Periodic solutions of linear impulsive differential inclusions
We establish sufficient conditions for the existence of periodic R-solutions of linear differential inclusions with impulses at fixed times.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3244 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509296917217280 |
|---|---|
| author | Skripnik, N. V. Скрипник, Н. В. Скрипник, Н. В. |
| author_facet | Skripnik, N. V. Скрипник, Н. В. Скрипник, Н. В. |
| author_sort | Skripnik, N. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:48:57Z |
| description | We establish sufficient conditions for the existence of periodic R-solutions of linear differential inclusions with impulses at fixed times. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:38:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
Н. В. Скрипник (Одес. нац. ун-т)
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ИМПУЛЬСАМИ
For linear differential inclusions with pulses at fixed times, we establish sufficient conditions for the
existence of periodic R-solutions.
Для линiйних диференцiальних включень з iмпульсами у фiксованi моменти часу встановлено
достатнi умови iснування перiодичних R-розв’язкiв.
Пусть comp(Rn) (conv(Rn)) — метрическое пространство непустых компактных
(и выпуклых) подмножеств Rn. Метрика в этих пространствах определяется с
помощью расстояния по Хаусдорфу:
h(A,B) = min
{
r ≥ 0: A ⊂ B + Sr(0), B ⊂ A+ Sr(0)
}
,
где Sr(a) =
{
x ∈ Rn : ‖x− a‖ ≤ r
}
— замкнутый шар радиуса r с центром в точке
a ∈ Rn, ‖ · ‖ — евклидова норма вектора в Rn.
Обозначим через |F | модуль множества F :
|F | = max
f∈F
‖f‖,
где ‖ · ‖ — евклидова норма вектора, если F ∈ comp(Rn), и спектральная норма
матрицы, если F ∈ comp(Rn×n).
Рассмотрим линейное неоднородное периодическое дифференциальное включе-
ние с импульсным воздействием вида
ẋ ∈ A(t)x+ F (t), t 6= τi, (1)
∆x|t=τi
∈ Bix+ Pi, (2)
где t ∈ R — время, x ∈ Rn — фазовый вектор, A : R → comp
(
Rn×n
)
, F : R →
→ comp(Rn) — измеримые T -периодические многозначные отображения,
∣∣A(t)
∣∣ ≤
≤ α(t),
∣∣F (t)
∣∣ ≤ µ(t) (α(t), µ(t) суммируемы на [0, T ]); Bi — компактные множест-
ва (n× n)-матриц, множества Pi ∈ comp(Rn) и моменты τi таковы, что
Bi+r = Bi, Pi+r = Pi, τi+r = τi + T
при всех i ∈ Z и некотором натуральном r.
Предполагается также, что 0 ≤ τ1 < . . . < τr < T и det(E + Bi) 6= 0 для всех
Bi ∈ Bi, i = 1, r.
Определение 1. Функция x : R → Rn называется решением включения (1),
(2), если она абсолютно непрерывна и почти всюду удовлетворяет включению (1)
на промежутках, не содержащих τi, имеет разрывы первого рода в точках t = τi
со скачками ∆x(τi), удовлетворяющими условию (2).
В теории дифференциальных включений наряду с обычными решениями боль-
шой интерес представляют R-решения [1, 2], свойства которых во многих случаях
аналогичны свойствам решений дифференциальных уравнений.
c© Н. В. СКРИПНИК, 2008
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 9 1287
1288 Н. В. СКРИПНИК
Определение 2. Многозначное отображениеR : R → comp(Rn) называется
R-решением, порожденным импульсным дифференциальным включением (1), (2),
если R(t) абсолютно непрерывно на промежутках, не содержащих τi, и для почти
всех t 6= τi
lim
∆↓0
1
∆
h
R(t+ ∆),
⋃
x∈R(t)
x+
t+∆∫
t
(A(s)x+ F (s))ds
= 0,
а при t = τi отображение R(t) удовлетворяет условию скачка
R(τi + 0) =
⋃
x∈R(τi)
{x+ Bix+ Pi} . (3)
Интеграл от многозначного отображения здесь и в дальнейшем понимается в
смысле Ауманна [3].
Рассмотрим вопрос о существовании периодических R-решений импульсного
дифференциального включения (1), (2). Исследованию условий существования пе-
риодических решений импульсных дифференциальных уравнений посвящено мно-
го работ (см., например, [4, 5]). Существование обычных периодических решений
импульсных дифференциальных включений рассматривалось в [6, 7]. В работе
[8] вопрос о существовании периодических R-решений импульсного дифференци-
ального включения был рассмотрен для включений вида (1), (2) с однозначными
матрицами A(t) и Bi, при этом получены необходимые и достаточные условия
существования таких решений.
Докажем ряд вспомогательных утверждений.
Пусть ΦA(t, s) — матрицант системы (1), соответствующий измеримой ветви
A(t) многозначного отображения A(t), т. е. решение матричной задачи Коши
dX
dt
= A(t)X, X(s, s) = E. (4)
Лемма 1. Множество матрицантов ΦA(t, s) =
{
ΦA(t, s) : A(t) ∈ A(t)
}
является непустым компактом в пространстве Rn×n при любых фиксированных
t, s ∈ R, t ≥ s.
Доказательство. Выберем произвольные вещественные t и s такие, что t ≥
≥ s. Множество ΦA(t, s) непусто, так как в силу теоремы А. Ф. Филиппова [9]
существует суммируемая ветвь многозначного отображения A(t), а в силу теоремы
Каратеодори для линейных систем существует решение матричной задачи (4).
Покажем, что множество ΦA(t, s) ограничено. Представим матрицу ΦA(t, s) в
виде [10]
ΦA(t, s) = E +
t∫
s
A(t1)dt+
t∫
s
A(t1)
t1∫
s
A(t2)dt2dt1 + . . . .
Тогда получаем следующую последовательность оценок:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 9
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ ... 1289
‖ΦA(t, s)‖ ≤ 1 +
t∫
s
‖A(t1)‖dt+
t∫
s
‖A(t1)‖
t1∫
s
‖A(t2)‖dt2dt1 + . . .
. . . ≤ 1 +
t∫
s
α(t1)dt+
t∫
s
α(t1)
t1∫
s
α(t2)dt2dt1 + . . . .
Использовав метод полной математической индукции, покажем, что для любого
t̃ ∈ (s, t] выполняется неравенство
t̃∫
s
α(t1)
t1∫
s
α(t2) . . .
tk−1∫
s
α(tk)dtk . . . dt2dt1 ≤
γk(t̃, s)
k!
, (5)
где
γ(t̃, s) =
t̃∫
s
α(t1)dt1.
При k = 1 неравенство (5) выполняется. Предположим, что оно выполняется
при k = m. Тогда при k = m+ 1 имеем
t̃∫
s
α(t1)
t1∫
s
α(t2) . . .
tm∫
s
α(tm+1)dtm+1 . . . dt2dt1 ≤
≤
t̃∫
s
α(t1)
γm(t1, s)
m!
dt1 =
γm+1(t̃, s)
(m+ 1)!
,
что и требовалось доказать.
Таким образом,
‖ΦA(t, s)‖ ≤
∞∑
k=0
γk(t, s)
k!
= eγ(t,s) (6)
и ограниченность множества ΦA(t, s) доказана.
Покажем теперь, что множество ΦA(t, s) замкнуто, т. е. предел любой сходя-
щейся последовательности матриц ΦAk
(t, s) ∈ ΦA(t, s) также принадлежит мно-
жеству ΦA(t, s). В силу эквивалентности дифференциального уравнения интег-
ральному уравнению Вольтерра справедливо представление
ΦAk
(t, s) = E +
t∫
s
Ak(σ)ΦAk
(σ, s)dσ. (7)
Аналогично (6) имеем
∥∥ΦAk
(σ, s)
∥∥ ≤ eγ(t,s) для всех σ ∈ [s, t]. Поскольку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 9
1290 Н. В. СКРИПНИК∥∥ΦAk
(t2, s)− ΦAk
(t1, s)
∥∥ =
=
∥∥∥∥∥∥
t2∫
t1
Ak(σ)ΦAk
(σ, s)dσ
∥∥∥∥∥∥ ≤
∣∣∣∣∣∣
t2∫
t1
α(σ)eγ(t,s)dσ
∣∣∣∣∣∣ = eγ(t,s)
∣∣γ(t2, s)− γ(t1, s)
∣∣,
где функция γ(σ, s) абсолютно непрерывна на [s, t], для любого ε > 0 существует
δ(ε) > 0 такое, что для любых t1, t2 ∈ [s, t] : |t2− t1| < δ выполняется неравенство∣∣γ(t2, s)− γ(t1, s)
∣∣ ≤ εe−γ(t,s),
а значит, ∥∥ΦAk
(t2, s)− ΦAk
(t1, s)
∥∥ < ε.
Таким образом, последовательность функций ΦAk
(σ, s) равномерно ограничена
и равностепенно непрерывна на [s, t], поэтому по теореме Арцела из нее можно
выделить равномерно сходящуюся к непрерывной матричной функции Φ∗(σ, s)
подпоследовательность.
Это означает, что для любого ε > 0 найдется k0 такое, что для всех k > k0
имеет место неравенство
∥∥ΦAk
(σ, s)− Φ∗(σ, s)
∥∥ < ε
γ(t, s)
для всех σ ∈ [s, t].
Поскольку
t∫
s
Ak(σ)ΦAk
(σ, s)dσ =
t∫
s
Ak(σ)[ΦAk
(σ, s)− Φ∗(σ, s)]dσ +
t∫
s
Ak(σ)Φ∗(σ, s)dσ,
где∥∥∥∥∥∥
t∫
s
Ak(σ)[ΦAk
(σ, s)− Φ∗(σ, s)]dσ
∥∥∥∥∥∥ ≤
t∫
s
α(σ)‖ΦAk
(σ, s)− Φ∗(σ, s)‖dσ < ε,
и в силу теоремы А. А. Ляпунова [11] существует подпоследовательность Ak1(σ)
последовательности Ak(σ), слабо сходящаяся к матрице A∗(σ) ∈ A(σ) на [s, t], то
t∫
s
Ak1(σ)Φ∗(σ, s)dσ →
t∫
s
A∗(σ)Φ∗(σ, s)dσ при k1 →∞.
Переходя к пределу в (7), получаем
Φ∗(t, s) = E +
t∫
s
A∗(σ)Φ∗(σ, s)dσ,
т. е. Φ∗(t, s) = ΦA∗(t, s) ∈ ΦA(t, s), что и требовалось доказать.
Таким образом, множество ΦA(t, s) ∈ comp (Rn×n).
Лемма доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 9
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ ... 1291
Пусть ΦABi
(t, s) — матрицант системы (1), (2), соответствующий матрицам
A(t) ∈ A(t), Bi ∈ Bi, т. е. решение матричной задачи Коши для системы с им-
пульсным воздействием
Ẋ = A(t)X, t 6= τi,
∆X|t=τi
= BiX, X(s, s) = E.
В силу результатов [4] для матрицанта ΦABi
(t, s) имеем
ΦABi
(t, s) = ΦA(t, τk)(E +Bk)ΦA(τk, τk−1) . . . (E +Bp)ΦA(τp, s), (8)
τp < s ≤ τp+1, τk < t ≤ τk+1.
Лемма 2. Множество матрицантов ΦABi
(t, s) =
{
ΦABi
(t, s) : A(t) ∈ A(t),
Bi ∈ Bi
}
является непустым компактом в пространстве Rn×n при любых фикси-
рованных t, s ∈ R, t ≥ s.
Доказательство. Выберем произвольные вещественные t и s такие, что t ≥ s.
Для множеств F, G ∈ comp(Rn×n) определим умножение следующим образом:
F ·G = {f · g : f ∈ F, g ∈ G}.
Очевидно, что F · G ∈ comp (Rn×n) . Действительно, F · G непусто в силу
непустоты множеств F иG, F ·G ограничено, так как для любой матрицыM ∈ F ·G
существуют f0 ∈ F и g0 ∈ G такие, что M = f0 · g0, а значит,
‖M‖ ≤ ‖f0‖ ‖g0‖ ≤ |F | |G| <∞.
Покажем, что множество F · G замкнуто. Выберем произвольную последова-
тельность матриц Mk ∈ F · G, сходящуюся к матрице M∗ ∈ Rn×n. Требуется
доказать, что M∗ ∈ F · G. В силу определения умножения множеств для любо-
го k найдутся fk ∈ F и gk ∈ G такие, что справедливо представление Mk =
= fk · gk. Поскольку множества F и G компактны, существуют подпоследова-
тельности последовательностей {fk} и {gk}, сходящиеся к f∗ ∈ F и g∗ ∈ G
соответственно. Тогда M∗ = f∗g∗ ∈ F ·G, что и требовалось доказать.
Используя представление (8) для матрицанта, запишем множество ΦABi
(t, s) в
виде
ΦABi
(t, s) = ΦA(t, τk)(E + Bk)ΦA(τk, τk−1) . . . (E + Bp)ΦA(τp, s),
τp < s ≤ τp+1, τk < t ≤ τk+1.
В силу леммы 1 и компактности множеств Bi множество ΦABi
(t, s) ∈ comp(Rn×n).
Лемма доказана.
Обычное решение x(t, x0), x(t0, x0) = x0 линейного импульсного дифференци-
ального включения (1), (2) представимо в виде
x(t, x0) = ΦABi
(t, t0)x0 +
t∫
t0
ΦABi
(t, τ)f(τ)dτ +
∑
t0≤τi<t
ΦABi
(t, τi)pi,
где A(t) ∈ A(t), f(t) ∈ F (t) — измеримые ветви, Bi ∈ Bi, pi ∈ Pi [4].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 9
1292 Н. В. СКРИПНИК
Пучок решений (интегральная воронка) X(t,X0), X(t0, X0) = X0 ∈ comp(Rn)
включения (1), (2) определяется формулой
X(t,X0) =
=
⋃
A(t)∈A(t)
Bi∈Bi
ΦABi(t, t0)X0 +
t∫
t0
ΦABi(t, τ)F (τ) dτ +
∑
t0≤τi<t
ΦABi(t, τi)Pi
. (9)
Лемма 3. Пучок решений
X(t,X0) =
⋃
A(t)∈A(t)
ΦA(t, t0)X0 +
t∫
t0
ΦA(t, s)F (s) ds
(10)
линейного неоднородного дифференциального включения (1) является непустым
компактом для любого фиксированного t ∈ R, t ≥ t0.
Доказательство. Выберем произвольное t ∈ R, t ≥ t0. Множество X(t,X0)
непусто, так как в силу теоремы А. Ф. Филлипова [9] существуют суммируемые ве-
тви многозначных отображений A(t) и F (t) и, кроме того, множество X0 непусто.
Любой элемент x множества X(t,X0) представим в виде
x = x(t, x0) = ΦA(t, t0)x0 +
t∫
t0
ΦA(t, s)f(s)ds,
x0 ∈ X0, A(s) ∈ A(s), f(s) ∈ F (s),
поэтому имеет место оценка
‖x‖ ≤ e
∫ t
t0
α(s)ds|X0|+
t∫
t0
µ(s)e
∫ t
s
α(τ)dτds ≤ e
∫ t
t0
α(s)ds
|X0|+
t∫
t0
µ(s)ds
= K,
(11)
т. е. множество X(t, x0) ограничено.
Покажем замкнутость, т. е. что предел любой сходящейся последовательнос-
ти точек xk ∈ X(t,X0) также принадлежит множеству X(t,X0). Так как xk ∈
∈ X(t,X0), существуют xk
0 ∈ X0, Ak(s) ∈ A(s) и fk(s) ∈ F (s) такие, что xk
является значением решения задачи Коши
ẋ = Ak(s)x+ fk(s), x(t0) = xk
0
в момент времени t. В силу эквивалентности дифференциального уравнения интег-
ральному уравнению Вольтерра справедливо представление
xk = xk(t) = xk
0 +
t∫
t0
Ak(s)xk(s)ds+
t∫
t0
fk(s)ds. (12)
Аналогично (11) имеем ‖xk(s)‖ ≤ K для всех s ∈ [t0, t]. Поскольку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 9
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ ... 1293
‖xk(s2)− xk(s1)‖ =
∥∥∥∥∥∥
s2∫
s1
[Ak(s)xk(s) + fk(s)]ds
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤
∣∣∣∣∣∣
s2∫
s1
[Kα(s) + µ(s)]ds
∣∣∣∣∣∣ = |φ(s2)− φ(s1)|,
где φ(τ) =
∫ τ
t0
[
Kα(s) + µ(s)
]
ds — абсолютно непрерывная на [t0, t] функция, для
любого ε > 0 существует δ(ε) > 0 такое, что для любых s1, s2 ∈ [t0, t] : |s2−s1| < δ
выполняется неравенство |φ(s2)− φ(s1)| < ε, а значит,
‖xk(s2)− xk(s1)‖ < ε.
Таким образом, последовательность функций xk(s) равномерно ограничена и
равностепенно непрерывна на [t0, t], поэтому по теореме Арцела из нее можно
выделить равномерно сходящуюся к непрерывной функции x∗(s) подпоследова-
тельность.
Это означает, что для любого ε > 0 найдется k0 такое, что для всех k > k0
выполняется неравенство ‖xk(s)− x∗(s)‖ <
ε
γ(t, t0)
для всех s ∈ [t0, t].
Так как
t∫
t0
Ak(s)xk(s)ds =
t∫
t0
Ak(s)
[
xk(s)− x∗(s)
]
ds+
t∫
t0
Ak(s)x∗(s)ds,
где ∥∥∥∥∥∥
t∫
t0
Ak(s)[xk(s)− x∗(s)]ds
∥∥∥∥∥∥ ≤
t∫
t0
α(s)‖xk(s)− x∗(s)‖ds < ε,
и в силу теоремы А. А. Ляпунова существует подпоследовательность Ak1(s) по-
следовательности Ak(s), слабо сходящаяся к матрице A∗(s) ∈ A(s) на [t0, t], то
t∫
t0
Ak1(s)x∗(s)ds→
t∫
t0
A∗(s)x∗(s)ds при k1 →∞.
Кроме того, xk1
0 ∈ X0 ∈ comp(Rn), следовательно, существует подпоследова-
тельность {xk2
0 }, сходящаяся к некоторому вектору x∗0 ∈ X0. Также в силу теоре-
мы А. А. Ляпунова существует подпоследовательность последовательности fk2(s),
слабо сходящаяся к функции f∗(s) ∈ F (s) на [t0, t].
Переходя к пределу в (12), получаем
x∗ = x∗(t) = x∗0 +
t∫
t0
A∗(s)x∗(s)ds+
t∫
t0
f∗(s)ds,
т. е. x∗ является значением решения дифференциального включения (1) в момент
времени t, т. е. x∗ ∈ X(t,X0). Таким образом, компактность множества X(t,X0)
доказана.
Лемма доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 9
1294 Н. В. СКРИПНИК
В силу леммы 3 и компактности множеств Bi и Pi с учетом того, что при
t ∈ (τi, τi+1] справедливо представление
X(t, x0) = ΦA(t, τi + 0)X(τi + 0, x0) +
t∫
τi+0
ΦA(t, τ)F (τ)dτ, (13)
а
X(τi + 0, x0) =
⋃
x∈X(τi,x0)
{x+ Bix+ Pi} , (14)
интегральная воронкаX(t,X0) включения (1), (2) является компактным множеством
при каждом фиксированном t ≥ t0.
Кроме того, множество X(t,X0) удовлетворяет условиям определения 2, т. е.
X(t,X0) — R-решение включения (1), (2). Поскольку правая часть включения (1)
липшицева по x, с учетом результатов [1] и условия скачка (14) множествоX(t,X0)
является единственным R-решением включения (1), (2).
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 1. R-решение включения (1), (2) существует, единственно и совпа-
дает с интегральной воронкой X(t,X0), определяемой равенством (9).
Перейдем к рассмотрению вопроса о существовании периодическихR-решений
включения (1), (2). В силу T -периодичности правых частей включения (1), (2)
существование T -периодических R-решений непосредственно связано с существо-
ванием в пространстве comp(Rn) решений уравнения
R0 =
⋃
A(t)∈A(t)
Bi∈Bi
{
ΦABi
(T, 0)R0 +GABi
}
, (15)
где
GABi
=
T∫
0
ΦABi
(T, τ)F (τ)dτ +
∑
0≤τi<T
ΦABi
(T, τi)Pi ∈ comp(Rn).
Теорема 2. Пусть для любых A(t) ∈ A(t), Bi ∈ Bi выполняется неравенство
‖ΦABi(T, 0)‖ < 1.
Тогда включение (1), (2) имеет единственное T -периодическое R-решение.
Доказательство. Введем в рассмотрение оператор ψ : comp(Rn) → comp(Rn)
следующим образом:
ψ(R) =
⋃
A(t)∈A(t)
Bi∈Bi
{ΦABi
(T, 0)R+GABi
}
и покажем, что данный оператор является оператором сжатия. Выберем произволь-
ные множества R1, R2 ∈ comp(Rn), тогда h(ψ(R1), ψ(R2)) = sup(d1, d2), где
d1 = ρ
ΦABi
(T, 0)r1 + gABi
,
⋃
A(t)∈A(t)
Bi∈Bi
{ΦABi
(T, 0)R2 +GABi
}
, r1 ∈ R1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 9
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ ... 1295
d2 = ρ
ΦABi(T, 0)r2 + gABi ,
⋃
A(t)∈A(t)
Bi∈Bi
{ΦABi(T, 0)R1 +GABi}
, r2 ∈ R2,
ρ(x, Y ) = min
y∈Y
‖x− y‖ — расстояние от точки x ∈ Rn до множества Y ∈ comp(Rn).
Оценим d1. Выберем r2 ∈ R2 так, что ‖r1 − r2‖ = ρ(r1, R2). Тогда
d1 ≤ ‖ΦABi
(T, 0)r1 + gABi
− [ΦABi
(T, 0)r2 + gABi
]‖ ≤
≤ ‖ΦABi
(T, 0)‖ρ(r1, R2) ≤ ‖ΦABi
(T, 0)‖h(R1, R2).
Аналогично d2 ≤ ‖ΦABi
(T, 0)‖h(R1, R2). Таким образом,
h(ψ(R1), ψ(R2)) ≤ h(R1, R2) sup
A(t)∈A(t)
Bi∈Bi
‖ΦABi
(T, 0)‖.
Покажем, что supA(t)∈A(t)
Bi∈Bi
‖ΦABi(T, 0)‖ < 1.
Поскольку в силу леммы 2 множество матрицантов ΦABi
(T, 0) компактно в
пространстве comp(Rn×n), ‖·‖ — непрерывная функция, по теореме Вейерштрасса
sup
A(t)∈A(t)
Bi∈Bi
‖ΦABi(T, 0)‖ = max
A(t)∈A(t)
Bi∈Bi
‖ΦABi(T, 0)‖ < 1.
Таким образом, ψ(R) — оператор сжатия и по теореме Банаха [12] он имеет
единственную неподвижную точку R0 ∈ comp(Rn), т. е. уравнение (15) имеет
единственное решение.
Следовательно, включение (1), (2) имеет единственное T -периодическое R-
решение.
Пример 1. Рассмотрим управляемую систему
ẋ = ux+ 1, u ∈ [−2,−1], u = const,
∆x|t=m = x, m ∈ Z,
которую можно записать в виде дифференциального включения
ẋ ∈ Ax+ 1, A = {u : u ∈ [−2,−1]}, (16)
∆x|t=m = x, m ∈ Z.
Правая часть является 1-периодической. Начальные множества 1-периодических
R-решений определяются уравнением (15), которое в данном случае имеет вид
R0 =
⋃
u∈[−2,−1]
{
2euR0 +
eu − 1
u
}
. (17)
Поскольку ‖Φu(1, 0)‖ = 2eu < 1 для всех u ∈ [−2,−1], в силу теоремы 2
уравнение (17) имеет единственное решение R0 ∈ comp(R). Учитывая, что R0
— связное множество в R, имеем R0 = [a, b]. Тогда уравнение (17) сводится к
следующему:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 9
1296 Н. В. СКРИПНИК
[a, b] =
[
2e−2a− e−2 − 1
2
, 2e−1b− (e−1 − 1)
]
⇔
⇔
a = 2e−2a− e−2−1
2 ,
b = 2e−1b− (e−1 − 1)
⇔
a =
e2 − 1
2(e2 − 2)
,
b =
e− 1
e− 2
.
Таким образом, R0 =
[
e2 − 1
2(e2 − 2)
,
e− 1
2(e− 2)
]
. Следовательно, включение (16)
имеет единственное 1-периодическое R-решение R
(
t,
[
e2 − 1
e2 − 2
,
e− 1
2(e− 2)
])
.
1. Панасюк А. И., Панасюк В. И. Асимптотическая оптимизация нелинейных систем управления.
– Минск: Изд-во Белорус. ун-та, 1977. – 206 с.
2. Толстоногов А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. – Новосибирск:
Наука, 1986. – 296 с.
3. Aumann R. J. Integrals of set-valued functions // J. Math. Anal. and Appl. – 1965. – 12, № 1. –
P. 1 – 12.
4. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействи-
ем. – Киев: Вища шк., 1987. – 288 с.
5. Lakshmikantham V., Bainov D. D., Simeonov P. S. Theory of impulsive differential equations. –
Singapore: World Sci., 1989. – 275 p.
6. Erbe L., Krawcewicz W. Existence of solutions to boundary value problems for impulsive second
order differential inclusions // Rocky Mt. J. Math. – 1992. – 22, № 2. – P. 519 – 539.
7. Watson P. J. Impulsive differential inclusions // Nonlinear World. – 1997. – 4, № 4. – P. 395 – 402.
8. Плотникова Н. В. Периодические решения линейных импульсных дифференциальных вклю-
чений // Нелiнiйнi коливання. – 2004. – 7, № 4. – С. 495 – 515.
9. Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управле-
ние // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1985. – 169. – С. 194 – 252.
10. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967. – 472 с.
11. Ляпунов А. А. О вполне аддитивных вектор-функциях // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1940. –
№ 6. – С. 465 – 478.
12. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. Приложения к зада-
чам со свободной границей. – М.: Наука, 1988. – 448 с.
Получено 09.10.06,
после доработки — 22.05.07
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-3244 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:38:51Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/cc/6f6b7acd944eae918e487ecc9e17adcc.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32442020-03-18T19:48:57Z Periodic solutions of linear impulsive differential inclusions Периодические решения линейных дифференциальных включений с импульсами Skripnik, N. V. Скрипник, Н. В. Скрипник, Н. В. We establish sufficient conditions for the existence of periodic R-solutions of linear differential inclusions with impulses at fixed times. Для линійних диференціальних включень з iмпульсами у фіксовані моменти часу встановлено достатні умови Існування періодичних R-розв'язків. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3244 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 9 (2008); 1287–1296 Український математичний журнал; Том 60 № 9 (2008); 1287–1296 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3244/3234 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3244/3235 Copyright (c) 2008 Skripnik N. V. |
| spellingShingle | Skripnik, N. V. Скрипник, Н. В. Скрипник, Н. В. Periodic solutions of linear impulsive differential inclusions |
| title | Periodic solutions of linear impulsive differential inclusions |
| title_alt | Периодические решения линейных дифференциальных включений с импульсами |
| title_full | Periodic solutions of linear impulsive differential inclusions |
| title_fullStr | Periodic solutions of linear impulsive differential inclusions |
| title_full_unstemmed | Periodic solutions of linear impulsive differential inclusions |
| title_short | Periodic solutions of linear impulsive differential inclusions |
| title_sort | periodic solutions of linear impulsive differential inclusions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3244 |
| work_keys_str_mv | AT skripniknv periodicsolutionsoflinearimpulsivedifferentialinclusions AT skripniknv periodicsolutionsoflinearimpulsivedifferentialinclusions AT skripniknv periodicsolutionsoflinearimpulsivedifferentialinclusions AT skripniknv periodičeskierešeniâlinejnyhdifferencialʹnyhvklûčenijsimpulʹsami AT skripniknv periodičeskierešeniâlinejnyhdifferencialʹnyhvklûčenijsimpulʹsami AT skripniknv periodičeskierešeniâlinejnyhdifferencialʹnyhvklûčenijsimpulʹsami |