Local behavior of Q-homeomorphisms in Loewner spaces
We study the problem of the elimination of isolated singularities for so-called Q-homeomorphisms in Loewner spaces. We formulate several conditions for a function Q(x) under which every Q-homeomorphism admits a continuous extension to an isolated singular point. We also consider the problem of the h...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3252 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509306263175168 |
|---|---|
| author | Salimov, R. R. Салимов, Р. Р. Салимов, Р. Р. |
| author_facet | Salimov, R. R. Салимов, Р. Р. Салимов, Р. Р. |
| author_sort | Salimov, R. R. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:49:15Z |
| description | We study the problem of the elimination of isolated singularities for so-called Q-homeomorphisms in Loewner spaces. We formulate several conditions for a function Q(x) under which every Q-homeomorphism admits a continuous extension to an isolated singular point. We also consider the problem of the homeomorphicity of the extension obtained. The results are applied to Riemannian manifolds and Carnot groups. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:39:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
R. R. Salymov (Yn-t prykl. matematyky y mexanyky NAN Ukrayn¥, Doneck)
LOKAL|NOE POVEDENYE Q-HOMEOMORFYZMOV
V PROSTRANSTVAX LEVNERA
We study the problem of removability of isolated singularities for the so-called Q-homeomorphisms in
the Loewner spaces. We formulate a number of conditions for the function Q x( ) under which every
Q-homeomorphism admits the continuous extension to an isolated singular point. We also discuss the
problem of homeomorphism of the obtained extension. The results are applicable, in particular, to
Riemannian manifolds and the Carnot groups.
Vyvça[t\sq problema usuvnosti izol\ovanyx osoblyvostej dlq tak zvanyx Q-homeomorfizmiv u
prostorax L\ovnera. Sformul\ovano nyzku umov na funkcig Q x( ) , pry qkyx bud\-qkyj Q-ho-
meomorfizm dopuska[ neperervne prodovΩennq v izol\ovanu osoblyvu toçku. TakoΩ rozhlqnuto
problemu homeomorfnosti otrymanoho prodovΩennq. Rezul\taty zastosovano do rimanovyx
mnohovydiv ta hrup Karno.
1. Vvedenye. Problema lokal\noho povedenyq — odna yz central\n¥x prob-
lem v teoryy kvazykonformn¥x otobraΩenyj y yx obobwenyj (sm., naprymer, [1
– 20]).
Sledugwaq koncepcyq b¥la predloΩena professorom Olly Martyo (sm. [7
– 10]). Pust\ G — oblast\ v Rn
, n ≥ 2, y Q : G → 1, ∞[ ] — yzmerymaq funk-
cyq. Homeomorfyzm f : G → Rn = R
n ∪ ∞{ } naz¥vaetsq Q-homeomorfyzmom,
esly
M f( )Γ ≤
G
nQ x x dm x∫ ( ) ( ) ( )ρ (1)
dlq lgboho semejstva Γ putej v G y lgboj dopustymoj funkcyy ρ dlq Γ.
Zdes\ m oboznaçaet meru Lebeha v Rn
. ∏ta koncepcyq qvlqetsq estestvenn¥m
obobwenyem heometryçeskoho opredelenyq kvazykonformnoho otobraΩenyq po
Vqjsqlq (sm. pp.;13.1 y 34.6 v [21]).
Napomnym, çto boreleva funkcyq ρ : Rn → 0, ∞[ ] naz¥vaetsq dopustymoj
dlq semejstva kryv¥x Γ v Rn
(pyßut ρ ∈adm Γ ), esly
γ
ρ∫ ds ≥ 1 (2)
dlq vsex γ ∈Γ . Modul\ semejstva kryv¥x Γ opredelqetsq ravenstvom
M( )Γ = inf ( ) ( )
ρ
ρ
∈ ∫adm Γ
G
n x dm x . (3)
Problema lokal\noho povedenyq Q-homeomorfyzmov v Rn
v sluçae Q ∈
∈ BMO (ohranyçennoho sredneho kolebanyq) yzuçalas\ v rabotax [8 – 10], a v
sluçae Q FMO∈ (koneçnoho sredneho kolebanyq) y v druhyx sluçaqx — v ra-
botax [7, 12 – 17]. V nastoqwej rabote problema yzuçaetsq v metryçeskyx pros-
transtvax Levnera. Rezul\tat¥ prymenym¥, v çastnosty, k rymanov¥m mnohoob-
razyqm y hruppam Karno. Ranee modul\naq texnyka dlq metryçeskyx pros-
transtv razvyvalas\, naprymer, v rabotax [22 – 24] y v pred¥duwej stat\e avtora
[25].
2. Opredelenyq y predvarytel\n¥e zameçanyq. Pryvedem nekotor¥e to-
polohyçeskye opredelenyq y zameçanyq obweho xaraktera, kotor¥e budut po-
lezn¥ v dal\nejßem. Pust\ T — proyzvol\noe topolohyçeskoe prostranstvo.
© R. R. SALYMOV, 2008
1378 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
LOKAL|NOE POVEDENYE Q-HOMEOMORFYZMOV V PROSTRANSTVAX LEVNERA 1379
Kryvoj v T naz¥vaetsq neprer¥vnoe otobraΩenye γ : a b,[ ] → T . V dal\nej-
ßem γ oboznaçaet γ a b,[ ]( ) y rassmatryvagtsq tol\ko kryv¥e s γ , ne v¥-
roΩdagwymsq v toçku. Prostranstvo T budem naz¥vat\ lynejno svqzn¥m, es-
ly lgb¥e dve eho toçky moΩno svqzat\ kryvoj. MnoΩestvo G v T naz¥vaetsq
oblast\g, esly G otkr¥to y lynejno svqzno. Esly A, B y C — mnoΩestva v
T, to ∆ A B C, ,( ) oboznaçaet mnoΩestvo vsex kryv¥x γ, kotor¥e soedynqgt A
y B v C, t.;e. γ( )a ∈ A, γ( )b ∈ B y γ( )t ∈ C, t ∈ ( , )a b .
Hovorqt, çto semejstvo kryv¥x Γ1 v T mynoryruetsq semejstvom kryv¥x
Γ2 v T (pyßut Γ1 > Γ2), esly dlq kaΩdoj kryvoj γ1 1∈Γ najdetsq kryvaq
γ 2 2∈Γ takaq, çto γ 2 — suΩenye γ1.
PredloΩenye 1. Pust\ Ω — otkr¥toe mnoΩestvo v proyzvol\nom topo-
lohyçeskom prostranstve T. Tohda
∆ Ω Ω, \ ,T T( ) > ∆ Ω Ω Ω, ,∂( ).
Dokazatel\stvo. Dejstvytel\no, dlq proyzvol\noj kryvoj γ : a b,[ ] → T
s γ( )a ∈ Ω y γ( )b ∈ T \ Ω proobraz ω = γ – ( )1 Ω � a b,[ ] — otkr¥toe mnoΩestvo
(po neprer¥vnosty γ), kotoroe soderΩyt a . Analohyçno, proobraz ω =
= γ – ( \ )1 T Ω � a b,[ ] takΩe otkr¥t. Takym obrazom, vsledstvye svqznosty ot-
rezka a b,[ ] najdetsq c ∈ γ ∂– ( )1 Ω takoe, çto γ a c,[ )( ) � Ω.
PredloΩenye 2. Esly Ω y ′Ω — otkr¥t¥e mnoΩestva v metryçeskyx
prostranstvax ( , )X d y ( , )′ ′X d , a f : Ω → ′Ω — homeomorfyzm, to pre-
del\noe mnoΩestvo f v toçke x0 ∈∂Ω
C x f( , )0 : = ′ ∈ ′ ′ = → ∈
→∞
x X x f x x x x
n
n n n: lim ( ), ,0 Ω
naxodytsq na hranyce mnoΩestva ′Ω .
Dokazatel\stvo. Dejstvytel\no, dopustym, çto nekotoraq toçka y0 ∈
∈ C x f( , )0 leΩyt vnutry oblasty ′Ω . Tohda, po opredelenyg predel\noho
mnoΩestva, najdetsq posledovatel\nost\ xn → x0 pry n → ∞ takaq, çto yn =
= f xn( ) → y0. V sylu neprer¥vnosty obratnoho otobraΩenyq g = f –1
ymeem
xn = g yn( ) → g y( )0 = x∗ ∈Ω . Odnako sxodqwaqsq posledovatel\nost\ xn ne
moΩet ymet\ dva predela x0 ∈∂Ω y x∗ ∈Ω v sylu neravenstva treuhol\nyka
d x x( , )∗ 0 ≤ d x xn( , )∗ + d x xn( , )0 .
V dal\nejßem dlq prostranstva ( , )X d s metrykoj d, x X0 ∈ y r > 0 ys-
pol\zuetsq oboznaçenye otkr¥toho ßara
B x r( , )0 : = x X d x x r∈ <{ }: ( , )0 .
PredloΩenye 3. Esly Ω y ′Ω — otkr¥t¥e mnoΩestva v metryçeskyx
prostranstvax ( , )X d y ( , )′ ′X d , a homeomorfyzm f : Ω → ′Ω ymeet nepre-
r¥vnoe prodolΩenye v toçku x0 ∈∂Ω , to prodolΩennoe otobraΩenye f
ynæektyvno v Ω ∪ x0{ } .
Dokazatel\stvo. Dejstvytel\no, dopustym, çto y0 : = f x( )0 = f x( )0
∗
dlq
nekotoroj toçky x0
∗ ∈Ω . Pust\ B0 = B x r( , )0 0
∗
, hde 0 < r0 < dist x0
∗( ), ∂Ω . Tohda
f B0 — otkr¥taq okrestnost\ toçky y0, çto protyvoreçyt opredelenyg y0 kak
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
1380 R. R. SALYMOV
C x f( , )0 .
Napomnym, çto esly γ : a b,[ ] → X — neprer¥vnaq kryvaq v metryçeskom
prostranstve ( , )X d , to ee dlyna s zadaetsq kak supremum summ
i
k
i id t t
=
∑ ( )
1
1γ γ( ), ( )–
nad vsemy razbyenyqmy a = t0 ≤ t1 ≤ … ≤ tk = b yntervala a b,[ ].
PredloΩenye 4. Pust\ γ — sprqmlqemaq kryvaq v metryçeskom pros-
transtve ( , )X d , soedynqgwaq toçky x1 ∈ B x r( , )0 1 y x2 ∈ X B x r\ ( , )0 2 , hde
0 < r1 < r2 < ∞, a ρ : 0, ∞[ ] → 0, ∞[ ] — borelevskaq funkcyq. Tohda
γ
ρ∫ ( )d x x ds( , )0 ≥
r
r
r dr
1
2
∫ ρ( ) .
Dokazatel\stvo. Dejstvytel\no, po opredelenyg dlyn¥ kryvoj v metry-
çeskom prostranstve γ : a b,[ ] → X, dlyna sehmenta kryvoj
s t t( , )1 2 ≥ d t tγ γ( ), ( )1 2( ) .
Krome toho, sohlasno neravenstvu treuhol\nyka, s odnoj storon¥,
d x t0 2, ( )γ( ) ≤ d x t0 1, ( )γ( ) + d t tγ γ( ), ( )1 2( ) ,
a s druhoj —
d x t0 1, ( )γ( ) ≤ d x t0 2, ( )γ( ) + d t tγ γ( ), ( )1 2( ) .
Takym obrazom,
d t tγ γ( ), ( )1 2( ) ≥ d x t d x t0 2 0 1, ( ) – , ( )γ γ( ) ( ).
Sledovatel\no,
ds dr≥ ,
hde r = d x x( , )0 , x = x s( ) . Nakonec, po svojstvu Darbu svqzn¥x mnoΩestv, ne-
prer¥vnaq funkcyq d x x( , )0 prynymaet vse promeΩutoçn¥e znaçenyq na γ
(sm., naprymer, [26, s. 137]). Poπtomu kratnost\ lgboho znaçenyq r v yntervale
( , )r r1 2 na kryvoj ne menee 1 y trebuemoe neravenstvo dokazano.
V dal\nejßem çerez ( , , )X d µ budem oboznaçat\ prostranstvo X s metrykoj
d y borelevoj meroj µ. Pust\ G y ′G — oblasty s koneçn¥my xausdorfov¥-
my razmernostqmy α y ′α v prostranstvax ( , , )X d µ y ( , , )′ ′ ′X d µ sootvet-
stvenno y Q : G → 0, ∞[ ] — yzmerymaq funkcyq. Budem hovoryt\, çto homeo-
morfyzm Q : G → ′G qvlqetsq Q- homeomorfyzmom, esly
M f( )Γ ≤
G
Q x x d x∫ ( ) ( ) ( )ρ µα
(4)
dlq lgboho semejstva Γ kryv¥x v G y lgboj dopustymoj funkcyy ρ dlq Γ.
Modul\ semejstv kryv¥x Γ v oblasty G zadaem ravenstvom
M( )Γ = inf ( ) ( )
ρ
αρ µ
∈ ∫adm Γ
G
x d x , (5)
hde dopustym¥e funkcyy dlq Γ, po-preΩnemu, opredelqgtsq uslovyem vy-
da;(2). Pry v¥çyslenyy modulq semejstv kryv¥x f Γ v ′G stepen\ α zame-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
LOKAL|NOE POVEDENYE Q-HOMEOMORFYZMOV V PROSTRANSTVAX LEVNERA 1381
nqetsq na ′α .
Napomnym, çto prostranstvo ( , , )X d µ naz¥vaetsq α-rehulqrn¥m po Al\-
forsu, esly suwestvuet postoqnnaq C ≥ 1 takaq, çto
C r–1 α ≤ µ( )Br ≤ Crα
(6)
dlq vsex ßarov Br v X radyusa r < diam X . Kak yzvestno, α-rehulqrn¥e
prostranstva ymegt xausdorfovu razmernost\ α (sm., naprymer, [22, s. 61]).
Budem hovoryt\, çto prostranstvo ( , , )X d µ α -rehulqrno sverxu v toçke
x X0 ∈ , esly suwestvuet postoqnnaq C > 0 takaq, çto
µ B x r( , )0( ) ≤ Crα
(7)
dlq vsex ßarov B x r( , )0 s centrom v toçke x X0 ∈ radyusa r < r0. Budem tak-
Ωe hovoryt\, çto prostranstvo ( , , )X d µ α -rehulqrno sverxu, esly uslovye (7)
v¥polneno v kaΩdoj toçke.
Pust\ ( , , )X d µ — prostranstvo s metrykoj d, borelevoj meroj µ y koneç-
noj xausdorfovoj razmernost\g α ≥ 1. Lynejno svqznoe X naz¥vaetsq pros-
transtvom Levnera, esly suwestvuet funkcyq Φ : ( , )0 ∞ → ( , )0 ∞ takaq, çto
M E F X∆ ( , , )( ) ≥ Φ( )t
dlq lgb¥x dvux neperesekagwyxsq nev¥roΩdenn¥x kontynuumov E y F v X s
dist
diam diam
( , )
min ,
E F
E F{ }
≤ t.
Kak yzvestno [23], dlq prostranstva Levnera xausdorfovoj razmernosty α > 1
C R1
1– α ≤ µ( )BR (8)
dlq vsex ßarov BR v X radyusa R < diam X y nekotoroj postoqnnoj C1 ≥ 1.
Esly k tomu Ωe suwestvuet konstanta C2 ≥ 1 takaq, çto
µ( )BR ≤ C R2
α
(9)
dlq vsex ßarov BR v X radyusa R < diam X , to ( , , )X d µ qvlqetsq α-rehu-
lqrn¥m y suwestvuet ub¥vagwyj homeomorfyzm Φ : ( , )0 ∞ → ( , )0 ∞ takoj,
çto
M E F X∆ ( , , )( ) ≥ Φ dist
diam diam
( , )
min ,
E F
E F{ }
.
Prostranstva Levnera s uslovyqmy (8) y (9) pry α > 1 budem naz¥vat\ rehu-
lqrn¥my.
3. O koneçnom srednem kolebanyy otnosytel\no mer¥. Pust\ G — ob-
last\ v prostranstve ( , , )X d µ . Analohyçno [7] (sm. takΩe [27]) budem hovoryt\,
çto funkcyq ϕ : G → R ymeet koneçnoe srednee kolebanye v toçke x G0 ∈
(sokrawenno ϕ ∈ FMO x( )0 ), esly
–lim ( ) – ( )
( , )
ε ε
εϕ ϕ µ
→ ∫
0
0G x
x d x < ∞, (10)
hde
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
1382 R. R. SALYMOV
ϕε = – ( ) ( )
( , )G x
x d x
0 ε
ϕ µ∫ = 1
0
0
µ ε
ϕ µ
ε
G x
x d x
G x
( , )
( ) ( )
( , )
( ) ∫
— srednee znaçenye funkcyy ϕ( )x po mnoΩestvu G x( , )0 ε = x G∈{ : d x x( , )0 <
< ε} otnosytel\no mer¥ µ. Zdes\ uslovye (10) vklgçaet predpoloΩenye, çto
ϕ yntehryruema otnosytel\no mer¥ µ v okrestnosty toçky x0.
PredloΩenye 5. Esly dlq nekotoroho nabora çysel ϕε ∈R , ε ε∈( ]0 0, ,
–lim ( ) – ( )
( , )
ε ε
εϕ ϕ µ
→ ∫
0
0G x
x d x < ∞, (11)
to ϕ ∈ FMO x( )0 .
Dejstvytel\no, sohlasno neravenstvu treuhol\nyka
– ( ) – ( )
( , )G x
x d x
0 ε
εϕ ϕ µ∫ ≤ – ( ) – ( )
( , )G x
x d x
0 ε
εϕ ϕ µ∫ + ϕ ϕε ε– ≤
≤ – ( ) – ( )
( , )
2
0
⋅ ∫
G x
x d x
ε
εϕ ϕ µ .
Sledstvye 1. V çastnosty, esly
–lim ( ) ( )
( , )
ε ε
ϕ µ
→ ∫
0
0G x
x d x < ∞, (12)
to ϕ ∈ FMO x( )0 .
Varyant¥ sledugwej lemm¥ b¥ly snaçala dokazan¥ dlq funkcyj klassa
BMO y vnutrennyx toçek oblasty G v Rn
pry n = 2 y n ≥ 3 sootvetstvenno v
[13, 14] y [9, 10], a zatem dlq hranyçn¥x toçek G v Rn
, n ≥ 2, s uslovyem
udvoenyq mer¥ y funkcyj klassa FMO v [7].
Lemma 1. Pust\ G — oblast\ v prostranstve ( , , )X d µ , α -rehulqrnom
sverxu s α ≥ 2 v toçke x G0 ∈ y
µ G B x r∩ ( , )0 2( ) ≤ γ µαlog ( , )– 2
0
1
r
G B x r∩( ) ∀ ∈r r( , )0 0 . (13)
Tohda dlq lgboj neotrycatel\noj funkcyy ϕ : G → R klassa FMO x( )0
G x
x d x
d x x
d x x
( , , )
( ) ( )
( , ) log
( , )
0 0 0
0
1ε ε
α
ϕ µ∫
= O log log 1
ε
(14)
pry ε → 0 y nekotorom ε0 ∈ ( , )0 0δ , hde δ0 = min –e e( , d0), d0 = sup (
x G
d x
∈
,
x0),
G x( , , )0 0ε ε = x G d x x∈ < <{ }: ( , )ε ε0 0 .
∏ta lemma dokazana v rabote avtora [25] dlq cel¥x α ≥ 2. M¥ opuskaem
zdes\ dokazatel\stvo, poskol\ku rassuΩdenyq povtorqgtsq.
Zameçanye 1. Uslovye (13) slabee uslovyq udvoenyq mer¥
µ G B x r∩ ( , )0 2( ) ≤ γ µ G B x r∩ ( , )0( ) ∀ ∈r r( , )0 0 , (15)
kotoroe yspol\zovalos\ ranee v sluçae Rn
, n ≥ 2, v rabote [7].
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
LOKAL|NOE POVEDENYE Q-HOMEOMORFYZMOV V PROSTRANSTVAX LEVNERA 1383
4. O neprer¥vnom prodolΩenyy v yzolyrovannug osobug toçku. Na-
pomnym, çto topolohyçeskoe prostranstvo T naz¥vaetsq svqzn¥m, esly eho
nel\zq razbyt\ na dva otkr¥t¥x (zamknut¥x) nepust¥x mnoΩestva. T naz¥vaet-
sq kontynuumom, esly T svqzno y kompaktno, t.;e. yz lgboho eho otkr¥toho
pokr¥tyq moΩno v¥delyt\ koneçnoe podpokr¥tye. T naz¥vaetsq lokal\no
svqzn¥m v toçke x T0 ∈ , esly dlq lgboj okrestnosty U toçky x0 najdetsq
okrestnost\ V U⊆ toçky x0, kotoraq svqzna (v ynducyrovannoj topolohyy)
[18, s. 232]. Budem hovoryt\, çto prostranstvo T svqzno v toçke x0, esly dlq
lgboj okrestnosty U toçky x0 najdetsq okrestnost\ V U⊆ toçky x0 ta-
kaq, çto V \ x0{ } svqzno. Otmetym, çto svqznost\ prostranstva T v toçke x0
vleçet eho lokal\nug svqznost\ v toçke x0. Obratnoe zaklgçenye, voobwe ho-
vorq, neverno.
V dal\nejßem ( , , )X d µ y ( , , )′ ′ ′X d µ — prostranstva s metrykamy d y ′d
y meramy µ y ′µ , a G y ′G — oblasty v X y ′X s koneçn¥my xausdorfo-
v¥my razmernostqmy α y ′α sootvetstvenno.
Lemma 2. Pust\ X svqzno v toçke x G0 ∈ , kotoraq ymeet kompaktnug
okrestnost\, ′X — rehulqrnoe kompaktnoe prostranstvo Levnera, a f :
G \ x0{ } → ′G — Q -homeomorfyzm, hde Q : G → 0, ∞[ ] — yzmerymaq funk-
cyq, udovletvorqgwaq uslovyg
ε ε
ε
αψ µ
< <
∫ ( )
d x x
xQ x d x x d x
( , )
,( ) ( , ) ( )
0 0
0 0 = o Ix0
α ε( )( ) (16)
pry ε → 0, hde ε0 < dist ( , )x G0 ∂ y ψ εx t
0 , ( ) — semejstvo neotrycatel\n¥x
yzmerym¥x (po Lebehu) funkcyj na ( , )0 ∞ takyx, çto
0 < Ix0
( )ε =
ε
ε
εψ
0
0∫ x t dt, ( ) < ∞, ε ε∈( , )0 0 . (17)
Tohda f prodolΩym v toçku x0 po neprer¥vnosty v prostranstve ( ′X , ′d ) .
Dokazatel\stvo. PokaΩem, çto predel\noe mnoΩestvo E = C x f( , )0 so-
stoyt yz edynstvennoj toçky. MnoΩestvo E leΩyt na ∂ ′G po predloΩenyg
2. Krome toho, E — kontynuum, tak kak oblast\ G svqzna v toçke x0. Dejst-
vytel\no,
E = lim sup ( )
m
mf G
→∞
=
m
mf G
=
∞
1
∩ ( ) ,
hde Gm = G ∩ Um — nekotoraq monotonno ub¥vagwaq posledovatel\nost\
svqzn¥x otkr¥t¥x mnoΩestv s okrestnostqmy Um toçky x0 y d Gm( ) → 0 pry
m → ∞ . Otmetym, çto lim inf ( )
m
mf G
→∞
= lim inf ( )
m
mf G
→∞
≠ ∅ vsledstvye kompakt-
nosty ′X (sm. [26], zameçanye 3, p.;41). Sledovatel\no, E ≠ ∅ y svqzno [28,
s. 15]. Krome toho, E zamknuto po postroenyg y potomu kompaktno kak zamk-
nutoe podprostranstvo kompaktnoho prostranstva ′X (sm. [29], p.;1.9.3).
V sylu svqznosty G v toçke x0 najdetsq komponenta svqznosty G∗ mno-
Ωestva G \ x0{ } ∩ B x r( , )0 0 , 0 < r0 < dist ( , )x G0 ∂ , vklgçagwaq G \ x0{ } ∩
∩ B x r( , )0 ∗ dlq nekotoroho r∗ ∈ ( , )0 0r . Esly ∂G = ∅, to polahaem, çto
dist ( , )x G0 ∂ = ∞. Poskol\ku x0 ymeet kompaktnug okrestnost\, moΩno sçy-
tat\, çto B x r( , )0 0 — kompakt.
Rassmotrym ′∗G = f G∗. PokaΩem, çto predel\noe mnoΩestvo E = C x f( , )0
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
1384 R. R. SALYMOV
qvlqetsq yzolyrovannoj komponentoj ∂ ′∗G . Dejstvytel\no, K = ∂G∗ \ x0{ } qv-
lqetsq kompaktom kak zamknutoe podmnoΩestvo kompakta B x r( , )0 0 y, sledova-
tel\no, K∗ = f K � ′G — kompakt. S druhoj storon¥, kompakt E leΩyt na
∂ ′G , t.;e. E ∩ K∗ = ∅. Takym obrazom, dist ( , )E K∗ > 0. Nakonec, esly y0 ∈
∈ ∂ ′∗G , to sohlasno predloΩenyg 2 C y g( , )0 � ∂G∗ = K ∪ x0{ }, hde g = f
G
–1
′∗
,
y, sledovatel\no, lybo y E0 ∈ , lybo y K0 ∈ ∗ .
Pust\ z G0 ∈ ′∗. Tohda ∆ z0{ }( , E, ′)X ≠ ∅ v sylu lynejnoj svqznosty levne-
rovskoho prostranstva ′X , y, sledovatel\no, ∆ z0{ }( , E, ′)∗G ≠ ∅ po predlo-
Ωenyg 1. Ytak, pust\ γ 0 ∈ ∆ z0{ }( , E , ′)∗G , t.;e. γ 0( )a = z0{ }, γ 0( )b ∈ E,
γ 0( )t ∈ ′∗G , t ∈ ( , )a b . Polahaem C∗ = γ 0 a b,[ )( ) y
Γ = ∆ C E X∗ ′( ), , .
Rassmotrym semejstvo kryv¥x
Γ∗ = γ γ∈ ≠ ∅{ }Γ : ∩ R ,
hde
R = ′ ′{ }∗X G E\ ∪ ,
y
Γ0 = ∆ C E G∗ ∗′( ), , .
Zametym, vo-perv¥x, çto M( )Γ0 = M( ˜ )Γ , hde Γ̃ = Γ \ Γ∗. Dejstvytel\no, s
odnoj storon¥, Γ0 � Γ̃ y potomu M( )Γ0 ≤ M( ˜ )Γ , a s druhoj — Γ0 < Γ̃ po
predloΩenyg 1 y potomu M( )Γ0 ≥ M( ˜ )Γ (sm. [30], teorema 1). Vo-vtor¥x,
M( )Γ∗ ≤ M∗ : =
µ
∂ α
( )
, \
′
′( )( )∗ ∗
′
X
C E G E2 dist ∪
< ∞,
poskol\ku C E∗ ∪ y ∂ ′∗G E\ — neperesekagwyesq kompakt¥, a µ( )′X < ∞ v
sylu kompaktnosty y ′α -rehulqrnosty prostranstva Levnera ′X .
PredpoloΩym, çto kontynuum E nev¥roΩdenn¥j. Rassmotrym kontynuum¥
C t( ) = γ 0 a t,[ ]( ), t ∈ [ )a b, . Zametym, çto dist C t E( ),( ) → 0 pry t → b. Takym
obrazom,
M C t E X( ), , ′( ) ≥ Φ dist C t E
d C t d E
( ),
min ( ) , ( )
( )
( ){ }
→ ∞
pry t → b. Sledovatel\no, najdetsq t0 ∈ a b,[ ) takoe, çto
M0 : = M C t E X∆ ( ), ,0 ′( )( ) > M∗.
Napomnym, çto Γ = Γ̃ ∪ Γ∗ y yz monotonnosty y poluaddytyvnosty modulq po-
luçaem
M∗ < M0 ≤ M( )Γ ≤ M( ˜ )Γ + M( )Γ∗ = M( )Γ0 + M( )Γ∗ ≤ M( )Γ0 + M∗.
Sledovatel\no,
M( )Γ0 > 0.
Odnako
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
LOKAL|NOE POVEDENYE Q-HOMEOMORFYZMOV V PROSTRANSTVAX LEVNERA 1385
Γ0 =
n
n
=
∞
1
∪ Γ ,
hde Γn = ∆ C tn( )( , E, ′)∗G , t bn → pry n → ∞ , y yz poluaddytyvnosty modulq
ymeem
M( )Γ0 ≤
n
nM
=
∞
∑
1
( )Γ .
Takym obrazom, najdetsq kontynuum C = C tn( ) takoj, çto M C E∆ ,(( , ′))∗G > 0.
Zametym, çto C0 = f C– ( )1
qvlqetsq kompaktom kak neprer¥vn¥j obraz kom-
pakta. Takym obrazom, ε0 = dist ( , )x C0 0 > 0. Pust\
Γε = ∆ C B x G0 0, ( , ),ε ∗( ), ε ε∈( , )0 0 .
Krome toho, pust\ ψ εx0 ,
∗
— borelevskaq funkcyq, ψ εx t
0 , ( )∗ = ψ εx t
0 , ( ) dlq poç-
ty vsex ;t ∈ ( , )0 ∞ , kotoraq suwestvuet po teoreme Luzyna (sm., naprymer,
p.;2.3.5. v [31]).
Tohda po predloΩenyg 4 funkcyq
ρε( )x =
ψ ε ε ε
ε ε
εx xd x x I x A x
x G A x
0 00 0 0
0 00
, ( , ) / ( ), ( , , ),
, \ ( , , ),
∗ ( ) ∈
∈
hde
A x( , , )0 0ε ε = x X d x x∈ < <{ }: ( , )ε ε0 0 ,
dopustyma dlq Γε y, sledovatel\no,
M f( )Γε ≤
G
Q x x d x∫ ( ) ( ) ( )ρ µε
α
,
t.;e. M f( )Γε → 0 pry ε → 0 v sylu (16).
S druhoj storon¥, M f( )Γε ≥ M C E∆ ,(( , ′))∗G > 0, poskol\ku
f C E G– , ,1 ∆ ′( )∗ � ∆ C x G0 0, ,{ }( )∗
pry lgbom ε ∈ ( , )0 0ε po predloΩenyg 2, prymenennomu k homeomorfyzmam
f –1
, g = f
G
–1
′∗
, y E0 ∈ , y0 = γ( )b , γ ∈ ∆ C E G, , ′( )∗ . Poluçennoe protyvoreçye
oproverhaet predpoloΩenye, çto kontynuum E qvlqetsq nev¥roΩdenn¥m.
Sledstvye 2. V çastnosty, esly
lim ( ) ( , ) ( )
( , )
ε
ε ε
αψ µ
→
< <
∫ ( )
0
0
0 0d x x
Q x d x x d x < ∞, (18)
hde ψ( )t — neotrycatel\naq yzmerymaq funkcyq na ( , )0 ∞ takaq, çto
0 < I( , )ε ε0 : =
ε
ε
ψ
0
∫ ( )t dt < ∞ ∀ ∈ε ε( , )0 0 ,
y I( , )ε ε0 → ∞ pry ε → 0, to Q -homeomorfyzm f : G \ x0{ } → ′G � ′X pro -
dolΩym v toçku x0 po neprer¥vnosty v ( , )′ ′X d .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
1386 R. R. SALYMOV
Zameçanye 2. Druhymy slovamy, dostatoçno, çtob¥ synhulqrn¥j yntehral
v (18) sxodylsq v sm¥sle hlavnoho znaçenyq v toçke x0 xotq b¥ dlq odnoho qd-
ra ψ s neyntehryruemoj osobennost\g v nule. Bolee toho, kak vydno yz lem-
m¥;2, dostatoçno, çtob¥ ukazann¥j yntehral daΩe rasxodylsq, no s kontroly-
ruemoj skorost\g:
ε ε
αψ µ
< <
∫ ( )
d x x
Q x d x x d x
( , )
( ) ( , ) ( )
0 0
0 = o Iα ε ε( , )0( ) . (19)
V¥byraq v lemme;2 ψ( )t ≡ 1 / t, poluçaem sledugwug teoremu.
Teorema 1. Pust\ prostranstva X y ′X kompaktn¥e, X svqzno v toçke
x G0 ∈ , a ′X — rehulqrnoe prostranstvo Levnera. Esly yzmerymaq funkcyq
Q : G → 0, ∞[ ] udovletvorqet uslovyg
ε ε
α
µ
< <
∫
d x x
Q x d x
d x x
( , )
( ) ( )
( , )
0 0
0
= o log 1
ε
α
(20)
pry ε → 0, hde ε0 < dist ( , )x G0 ∂ , to lgboj Q -homeomorfyzm f : G \ x0{ } →
→ ′G prodolΩym v toçku x0 po neprer¥vnosty v ( , )′ ′X d .
Sledstvye 3. V çastnosty, zaklgçenye teorem¥; 1 ymeet mesto, esly
sxodytsq synhulqrn¥j yntehral
∫ Q x d x
d x x
( ) ( )
( , )
µ
α
0
(21)
v okrestnosty toçky x0 v sm¥sle hlavnoho znaçenyq.
Kombynyruq lemm¥;1, 2 y v¥byraq ψε( )t ≡ t
t
log1
, t ∈ ( , )0 0δ , poluçaem sle-
dugwug teoremu.
Teorema 2. Pust\ X y ′X — rehulqrn¥e kompaktn¥e prostranstva Lev-
nera, G — oblast\ v G , kotoraq udovletvorqet uslovyg (13) y svqzna v
toçke x G0 ∈ . Esly Q ∈ FMO x( )0 , to lgboj Q - homeomorfyzm f :
G \ x0{ } → ′G prodolΩym v x0 po neprer¥vnosty v ( , )′ ′X d .
Kombynyruq sledstvye 1 y teoremu;2, poluçaem sledugwee utverΩdenye.
Sledstvye 4. V çastnosty, esly
–lim ( ) ( )
( , )
ε
ε
µ
→ ∫0
0B x
Q x d x < ∞, (22)
to lgboj Q -homeomorfyzm f : G \ x0{ } → ′G � ′X prodolΩym v toçku x 0
po neprer¥vnosty v ( , )′ ′X d .
Zameçanye 3. Sohlasno predloΩenyg 3 prodolΩenye f otobraΩenyq f v
toçku x0 budet ynæektyvn¥m otobraΩenyem y, takym obrazom, homeomorfyz-
mom na lgboj podoblasty G G∗ ⊂ , t.;;e. esly G G∗ ⊆ — kompakt. Kak pokaz¥-
vagt prost¥e prymer¥, πto, voobwe hovorq, neverno dlq samoj oblasty G . Od-
nako πto verno, esly, k prymeru, G = X — kompakt (sm. [26]).
Krome toho, esly semejstvo vsex kryv¥x v ′X , a toçnee v G∗ , proxodqwyx
çerez toçku y0 = f x( )0 , budet ymet\ nulevoj modul\, to suΩenye otobraΩenyq
g = f
G∗
budet Q-homeomorfyzmom. Dlq rehulqrn¥x prostranstv Levnera πto
vsehda v¥polnqetsq (sm. lemmu;7.18 v rabote [22]). Takym obrazom, yzolyrovan-
naq osobaq toçka Q-homeomorfyzmov v rehulqrn¥x prostranstvax Levnera lo-
kal\no ustranyma pry uslovyqx na Q, ukazann¥x v¥ße.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
LOKAL|NOE POVEDENYE Q-HOMEOMORFYZMOV V PROSTRANSTVAX LEVNERA 1387
5. O konformn¥x y kvazykonformn¥x otobraΩenyqx. Otmetym, nako-
nec, çto v sluçae konformn¥x y kvazykonformn¥x otobraΩenyj v metryçeskyx
prostranstvax s meroj, kohda maΩoranta Q x( ) qvlqetsq konstantoj, analyty-
çeskye uslovyq neprer¥vnoho prodolΩenyq v yzolyrovannug toçku svodqtsq k
uslovyqm na meru µ.
Ymenno, pust\, po-preΩnemu, G y ′G — oblasty koneçn¥x xausdorfov¥x
razmernostej α y ′α v prostranstvax ( , , )X d µ y ( , , )′ ′ ′X d µ s metrykamy d
y ′d y borelevskymy meramy µ y ′µ sootvetstvenno. Sleduq heometryçesko-
mu opredelenyg Vqjsqlq (sm. p.;1.3.1 v [23]), hovorym, çto homeomorfyzm f :
G → ′G naz¥vaetsq K-kvazykonformn¥m, K ∈ 1, ∞[ ], esly
K M– ( )1 Γ ≤ M f( )Γ ≤ K M( )Γ
dlq lgboho semejstva kryv¥x Γ v G. Homeomorfyzm f : G → ′G naz¥vaetsq
kvazykonformn¥m, esly f qvlqetsq K-kvazykonformn¥m dlq nekotoroho K ∈
∈ [ ∞)1, , t.;e. esly yskaΩenye modulej semejstv kryv¥x pry otobraΩenyy f
ohranyçeno. V çastnosty, homeomorfyzm f : G → ′G naz¥vaetsq konformn¥m,
esly
M f( )Γ = M( )Γ
dlq lgb¥x semejstv kryv¥x v G.
Teorema 3. Pust\ X svqzno v toçke x G0 ∈ s kompaktnoj okrestnost\g,
′X — rehulqrnoe kompaktnoe prostranstvo Levnera, a f : G \ x0{ } → ′G —
kvazykonformnoe otobraΩenye. Esly µ udovletvorqet uslovyg
ε ε
αψ µ
< <
∫ ( )
d x x
d x x d x
( , )
( , ) ( )
0 0
0 = o Iα ε ε( , )0( ) (23)
pry ε → 0, hde ε0 < dist ( , )x G0 ∂ y ψ( )t — neotrycatel\naq yzmerymaq (po
Lebehu) funkcyq na ( , )0 ∞ takaq, çto
0 < I( , )ε ε0 =
ε
ε
ψ
0
∫ ( )t dt < ∞ ∀ ∈ε ε( , )0 0 , (24)
to f prodolΩymo v toçku x0 po neprer¥vnosty v prostranstve ( , )′ ′X d .
Teorema 4. Pust\ X svqzno v toçke x G0 ∈ s kompaktnoj okrestnost\g,
′X — rehulqrnoe kompaktnoe prostranstvo Levnera, a f : G \ x0{ } → ′G —
kvazykonformnoe otobraΩenye. Esly µ udovletvorqet uslovyg
ε ε
α
µ
< <
∫
d x x
d x
d x x
( , )
( )
( , )
0 0
0
= o log 1
ε
α
(25)
pry ε → 0, hde ε0 < dist ( , )x G0 ∂ , to f prodolΩymo v toçku x0 po nepre-
r¥vnosty v prostranstve ( , )′ ′X d .
Yzvestno, çto esly metryçeskoe prostranstvo s meroj ( , , )X d µ α -rehulqr-
no sverxu v toçke x0 s α > 1, to
ε ε
α
µ
< <
∫
d x x
d x
d x x
( , )
( )
( , )
0 0
0
= O log
ε
ε
0
(26)
pry ε → 0 [22, s. 54], t. e. (25) ymeet mesto pry α > 1. Takym obrazom (sm. tak-
Ωe zameçanye;3), spravedlyvo sledugwee utverΩdenye.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
1388 R. R. SALYMOV
Sledstvye 5. Pust\ X y ′X — rehulqrn¥e kompaktn¥e prostranstva
Levnera y X svqzno v toçke x0 . Tohda lgboe kvazykonformnoe otobraΩenye
X \ x0{ } v ′X prodolΩymo do kvazykonformnoho otobraΩenyq X v ′X .
1. Brakalova M., Jenkins J. On the local behavior of certain homeomorphisms // Kodai Math. J. –
1994. – 17, # 2. – P. 201 – 213.
2. Brakalova M., Jenkins J. On the local behavior of certain homeomorphisms // Zap. nauç. sem.
POMY. – 1997. – 337. – S. 11 – 20.
3. Hutlqnskyj V., Rqzanov V. K teoryy lokal\noho povedenyq kvazykonformn¥x otobraΩe-
nyj // Yzv. AN Rossyy. Ser. mat. – 1995. – 59, # 3. – S. 31 – 58.
4. Gutlyanskii V., Ryazanov V. On boundary correspondence under quasiconformal mappings // Ann.
Acad. Sci. Fenn. A1. Math. – 1996. – 21, # 1. – P. 167 – 178.
5. Gutlyanskii V., Martio O., Ryazanov V., Vuorinen M. Infinitesimal geometry of quasiregular map-
pings // Ibid. – 2000. – 25, # 1. – P. 101 – 130.
6. Gutlyanskii V., Vuorinen M. On maps almost conformal at the boundary // Complex Variables
Theory Appl. – 1997. – 34. – P. 445 – 464.
7. Ignat’ev A., Ryazanov V. Finite mean oscillation in the mapping theory // Ukr. Math. Bull. – 2005.
– 2, # 3. – P. 403 – 424.
8. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Mappings with finite length distortion // J. Anal.
Math. – 2004. – 93. – P. 215 – 236.
9. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Q-homeomorphisms // Contemp. Math. – 2004. –
364. – P. 193 – 203.
10. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On Q-homeomorphisms // Ann. Acad. Sci. Fenn.
A1. Math. – 2005. – 30. – P. 49 – 69.
11. Myklgkov V. M. Ob ustranym¥x osobennostqx kvazykonformn¥x otobraΩenyj v prost-
ranstve // Dokl. AN SSSR. – 1969. – 188, # 3. – S. 525 – 527.
12. Ryazanov V. I., Sevost’yanov E. A. On normal families of Q-homeomorphisms // Tr. Yn-ta
prykl. matematyky y mexanyky. – 2004. – 9. – S. 161 – 176.
13. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On the theory of BMO-quasiregular mappings // Dokl. RAN.
1999. – 369, # 1. – S. 13 – 15.
14. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Plane mappings with dilatation dominated by functions of
bounded mean oscillation // Sib. Adv. Math. – 2001. – 11, # 2. – P. 94 – 130.
15. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On ring solution of Beltrami equations // J. Anal. Math. –
2005. – 96. – P. 117 – 150.
16. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Finite mean oscillation and Beltrami equation // Isr. J. Math. –
2006. – 153. – P. 247 – 266.
17. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. To the theory of the Beltrami equation // Ukr. mat. Ωurn. –
2006. – 58, # 11. – S. 1571 – 1583.
18. Vodop\qnov S. K., Hol\dßtejn V. M. Kryteryj ustranymosty mnoΩestv dlq prostranstv
Lp
1
kvazykonformn¥x y kvazyyzometryçeskyx otobraΩenyj // Syb. mat. Ωurn. – 1977. – 18,
# 1. – S. 630 – 633.
19. Vuorinen M. Exceptional sets and boundary behavior of quasiregular mappings in n-space // Ann.
Acad. Sci. Fenn. A1. Math. Dissertationes. – 1976. – # 11. – 44 p.
20. Vuorinen M. Lower bounds for the moduli of path families with applications to nontangential li-
mits of quasiconformal mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. A1. Math. – 1979. – 2. – P. 279 – 291.
21. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – 1971. –
229.
22. Heinonen J. Lectures on analysis on metric spaces. – New York: Springer, 2001.
23. Heinonen J., Koskela P. Quasiconformal maps in metric spaces with controlled geometry // Acta
math. – 1998. – 181, # 1. – P. 1 – 61.
24. Martio O. Modern tools in the theory of quasiconformal maps // Texts Math. B. – 2000. – 27 . –
P. 1 – 43.
25. Salymov R. R. O hranyçnom povedenyy vloΩenyj metryçeskyx prostranstv v evklydovo //
Ukr. mat. Ωurn. – 2007. – 59, # 8. – S. 1068 – 1074.
26. Kuratovskyj K. Topolohyq: V 2 t. – M.: Myr., 1969. – T. 2.
27. Heinonen J., Kilpelainen T., Martio O. Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations.
– New York: Clarendon Press, 1993.
28. Whyburn G. T. Analytic topology. – Rhode Island: Amer. Math. Soc., 1942.
29. Burbaky N. Obwaq topolohyq. Osnovn¥e struktur¥. – M.: Nauka, 1968. – 272 s.
30. Fuglede B. Extremal length and functional completion // Acta math. – 1957. – 98. – P. 171 – 219.
31. Federer H. Geometric measure theory. – Berlin etc.: Springer, 1969.
Poluçeno 21.12.06
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
|
| id | umjimathkievua-article-3252 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:39:00Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/63/3f50f53d4766d45297990d7739d6a763.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32522020-03-18T19:49:15Z Local behavior of Q-homeomorphisms in Loewner spaces Локальное поведение Q-гомеоморфизмов в пространствах Левнера Salimov, R. R. Салимов, Р. Р. Салимов, Р. Р. We study the problem of the elimination of isolated singularities for so-called Q-homeomorphisms in Loewner spaces. We formulate several conditions for a function Q(x) under which every Q-homeomorphism admits a continuous extension to an isolated singular point. We also consider the problem of the homeomorphicity of the extension obtained. The results are applied to Riemannian manifolds and Carnot groups. Вивчається проблема усувності ізольованих особливостей для так званих Q-гомеоморфізмів у просторах Льовнера. Сформульовано низку умов на функцію Q(x), при яких будь-який Q-го-меоморфізм допускає неперервне продовження в ізольовану особливу точку. Також розглянуто проблему гомеоморфності отриманого продовження. Результати застосовано до ріманових многовидів та груп Карно. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3252 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 10 (2008); 1378–1388 Український математичний журнал; Том 60 № 10 (2008); 1378–1388 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3252/3250 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3252/3251 Copyright (c) 2008 Salimov R. R. |
| spellingShingle | Salimov, R. R. Салимов, Р. Р. Салимов, Р. Р. Local behavior of Q-homeomorphisms in Loewner spaces |
| title | Local behavior of Q-homeomorphisms in Loewner spaces |
| title_alt | Локальное поведение Q-гомеоморфизмов в пространствах Левнера |
| title_full | Local behavior of Q-homeomorphisms in Loewner spaces |
| title_fullStr | Local behavior of Q-homeomorphisms in Loewner spaces |
| title_full_unstemmed | Local behavior of Q-homeomorphisms in Loewner spaces |
| title_short | Local behavior of Q-homeomorphisms in Loewner spaces |
| title_sort | local behavior of q-homeomorphisms in loewner spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3252 |
| work_keys_str_mv | AT salimovrr localbehaviorofqhomeomorphismsinloewnerspaces AT salimovrr localbehaviorofqhomeomorphismsinloewnerspaces AT salimovrr localbehaviorofqhomeomorphismsinloewnerspaces AT salimovrr lokalʹnoepovedenieqgomeomorfizmovvprostranstvahlevnera AT salimovrr lokalʹnoepovedenieqgomeomorfizmovvprostranstvahlevnera AT salimovrr lokalʹnoepovedenieqgomeomorfizmovvprostranstvahlevnera |