On the normality of families of space mappings with branching
We study space mappings with branching that satisfy modulus inequalities. For classes of these mappings, we obtain several sufficient conditions for the normality of families.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3253 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509307029684224 |
|---|---|
| author | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_facet | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_sort | Sevost'yanov, E. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:49:15Z |
| description | We study space mappings with branching that satisfy modulus inequalities. For classes of these mappings, we obtain several sufficient conditions for the normality of families. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:39:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
E. A. Sevost\qnov (Yn-t prykl. matematyky y mexanyky NAN Ukrayn¥, Doneck)
O NORMAL|NOSTY SEMEJSTV
PROSTRANSTVENNÁX OTOBRAÛENYJ S VETVLENYEM
We study the space mappings with branching that satisfy to modulus inequalities. For classes of such
mappings, we obtain some sufficient conditions of the normality of families.
Vyvçagt\sq prostorovi vidobraΩennq z rozhaluΩennqm, wo zadovol\nqgt\ modul\ni nerivnosti.
Wodo klasiv takyx vidobraΩen\ otrymano nyzku dostatnix umov normal\nosti simej.
1. Vvedenye. Dannaq rabota qvlqetsq prodolΩenyem stat\y [1], v kotoroj po-
luçen¥ analohyçn¥e teorem¥ dlq homeomorfyzmov. Texnyka yssledovanyq
otobraΩenyj s vetvlenyem vo mnohom otlyçaetsq ot yspol\zovannoj v [1].
Pryvedem osnovn¥e opredelenyq y oboznaçenyq, yspol\zuem¥e v dal\nej-
ßem. Vsgdu dalee D — oblast\ v R
n
, n ≥ 2. OtobraΩenye f : D → R
n
naz¥-
vaetsq dyskretn¥m, esly proobraz f y−1( ) kaΩdoj toçky y ∈ R
n
sostoyt yz
yzolyrovann¥x toçek, y otkr¥t¥m, esly obraz lgboho otkr¥toho mnoΩestva
U D⊆ qvlqetsq otkr¥t¥m mnoΩestvom v R
n
. Vezde dalee zapys\ f : D → R
n
predpolahaet, çto otobraΩenye f neprer¥vno. Budem takΩe predpolahat\, çto
otobraΩenye f soxranqet oryentacyg, t. e. topolohyçeskyj yndeks µ ( y, f, G )
stroho poloΩytelen dlq proyzvol\noj oblasty G D⊂ ⊂ y proyzvol\noho
y f G f G∈ ∂( ) ( )\ . V dal\nejßem B x( , )0 ε = { }:x x xn∈ − <R 0 ε , B rn( ) =
= { }:x x rn∈ <R , B
n = { }:x xn∈ <R 1 , ωn−1 — plowad\ edynyçnoj hyper-
sfer¥ S
n−1
v R
n
, dm x( ) — n-mernaq mera Lebeha.
Napomnym, çto boreleva funkcyq ρ : R
n → [ 0, ∞ ] naz¥vaetsq dopustymoj
dlq semejstva Γ kryv¥x γ v R
n
, esly
ρ
γ
( )x dx∫ ≥ 1
dlq vsex kryv¥x γ ∈ Γ . V πtom sluçae zapys¥vaem ρ ∈ adm Γ . Modulem semej-
stva kryv¥x Γ naz¥vaetsq velyçyna
M ( Γ ) = inf ( ) ( )
ρ
ρ
∈ ∫adm Γ
n
D
x dm x .
V 2001 h. O.:Martyo predloΩyl sledugwee opredelenye (sm. [2]). Pust\
Q : D → [ 1, ∞ ] — yzmerymaq po Lebehu funkcyq. Hovorqt, çto homeomorfyzm
f D n: → R qvlqetsq Q -homeomorfyzmom, esly
M ( f Γ ) ≤ Q x x dm xn
D
( ) ( ) ( )ρ∫ (1)
dlq lgboho semejstva Γ kryv¥x γ v D y dlq kaΩdoj dopustymoj funkcyy
ρ:∈ adm Γ . Zdes\ y dalee R
n = R
n ∪{ }∞ — odnotoçeçnaq kompaktyfyka-
cyq::R
n
.
Opredelenye Q-homeomorfyzma tesno svqzano s yzuçenyem vesov¥x modulej
(sm. [3]), poskol\ku v pravoj çasty (1) moΩno perejty k ynfymumu po vsem do-
© E. A. SEVOST|QNOV, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10 1389
1390 E. A. SEVOST|QNOV
pustym¥m funkcyqm ρ. Otmetym, çto ocenky typa (1) v sluçae Q ( x ) ≡ 1 xa-
rakteryzugt konformn¥e otobraΩenyq, a pry Q ( x ) ≤ q — kvazykonformn¥e
(sm., naprymer, pp.:8.1, 13.1 y 34.3 v [4]). V sluçae, kohda nepostoqnnoe otobra-
Ωenye f ne qvlqetsq homeomorfyzmom, ocenky vyda (1) pry ohranyçennoj
funkcyy Q faktyçesky qvlqgtsq çast\g opredelenyq kvazyrehulqrn¥x oto-
braΩenyj (otobraΩenyj s ohranyçenn¥m yskaΩenyem). V dannoj stat\e budem
rassmatryvat\ otobraΩenyq s vetvlenyem, kotor¥e udovletvorqgt modul\nomu
sootnoßenyg (1) s, voobwe hovorq, neohranyçennoj funkcyej Q ( x ) .
OtobraΩenye g : D → R
n
, n ≥ 2, budem naz¥vat\ Q-otobraΩenyem, esly
uslovye (1) pry g = f v¥polneno dlq lgboho semejstva Γ kryv¥x γ v D y
dlq kaΩdoj dopustymoj funkcyy ρ ∈ adm Γ . Takoe opredelenye nemnoho ot-
lyçaetsq ot tradycyonnoho (sm. [5]).
Pust\ ( X, d ) y ( X ′, d ′ ) — metryçeskye prostranstva s metrykamy d y d ′ so-
otvetstvenno. Semejstvo � neprer¥vn¥x otobraΩenyj f : X → X ′ naz¥vaetsq
normal\n¥m, esly yz lgboj posledovatel\nosty otobraΩenyj fm ∈ � moΩno
v¥delyt\ podposledovatel\nost\ fmk
, kotoraq sxodytsq lokal\no ravnomerno
v X k neprer¥vnoj funkcyy f0 : X → X ′ .
Vvedennoe ponqtye tesno svqzano so sledugwym. Semejstvo � otobraΩe-
nyj f : X → X ′ naz¥vaetsq ravnostepenno neprer¥vn¥m v toçke x0 ∈ X , esly
dlq lgboho ε > 0 najdetsq δ > 0 takoe, çto ′d f x f x( ( ), ( ))0 < ε dlq vsex x s
d x x( , )0 < δ y dlq vsex f ∈ � . Hovorqt, çto � ravnostepenno neprer¥vno,
esly � ravnostepenno neprer¥vno v kaΩdoj toçke yz X . Zametym, çto po od-
noj yz versyj teorem¥ Arcela – Askoly, esly ( X, d ) — separabel\noe metry-
çeskoe prostranstvo, a ( X ′, d ′ ) — kompaktnoe metryçeskoe prostranstvo, to se-
mejstvo � otobraΩenyj f : X → X ′ normal\no tohda y tol\ko tohda, kohda �
ravnostepenno neprer¥vno (sm., naprymer, p.:20.4 v [4]). V sylu πtoho vopros o
normal\nosty semejstva otobraΩenyj çasto svodytsq k ustanovlenyg ocenok
yskaΩenyq rasstoqnyq, obespeçyvagwyx ravnostepennug neprer¥vnost\ se-
mejstv v kaΩdoj toçke.
Vopros ob ocenkax yskaΩenyq y normal\nosty semejstv dlq kvazykonform-
n¥x otobraΩenyj y yx obobwenyj yssledovalsq mnohymy avtoramy, takymy kak
L. Al\fors, P. Belynskyj, M.:Vuorynen, G. Vqjsqlq, F. Herynh, V.:Hutlqn-
skyj, S.:Krußkal\, M.:Lavrent\ev, O.:Lexto, V Myklgkov, A.:Mory, Y.:Ovçyn-
nykov, Y.:Pesyn, G.:Reßetnqk, S.:Rykman, V.:Rqzanov, H.:Suvorov, B.:Íabat y
dr. Neobxodymo takΩe otmetyt\ vklad v razvytye teoryy Q-homeomorfyzmov y
yx obobwenyj, a takΩe modul\noj y emkostnoj texnyky A.:Hol\berha, V.:Hut-
lqnskoho, N.:Zoryj, A.:Yhnat\eva, O.:Martyo, V.:Rqzanova, P.:Tamrazova,
U.:Srebro, y ∏.:Qkubova (sm., naprymer, [2, 3, 5 – 10]). V çastnosty, v ukazann¥x
rabotax moΩno najty ocenky yskaΩenyq pry Q-homeomorfyzmax, poluçenn¥e
na osnove svojstv funkcyj ohranyçennoho y koneçnoho sredneho kolebanyq.
2. Predvarytel\n¥e svedenyq. Napomnym neskol\ko opredelenyj, neob-
xodym¥x dlq dal\nejßeho yzloΩenyq. Nam ponadobqtsq ponqtyq kondensato-
ra y emkosty kondensatora (sm., naprymer, §:5 v [11] yly razdel:10 hl.:2 v [12]).
Kondensatorom naz¥vagt paru E = ( A, C ) , hde A — otkr¥toe mnoΩestvo v
R
n
, a C — kompaktnoe podmnoΩestvo A . Kondensator E naz¥vagt kol\cev¥m,
esly A \ C qvlqetsq kol\com.
Napomnym, çto kol\com v R
n
naz¥vaetsq dvusvqznaq oblast\ R n⊂ R ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
O NORMAL|NOSTY SEMEJSTV PROSTRANSTVENNÁX OTOBRAÛENYJ … 1391
t. e. takaq oblast\, dopolnenye k kotoroj v R
n
sostoyt yz dvux svqzn¥x
komponent, naprymer, C1 y C2 . Kratko πto zapys¥vagt tak: R = R C C( , )1 2 .
Pust\ E = ( A, C ) — kondensator.
Emkost\g kondensatora E naz¥vaetsq velyçyna
cap E = cap ( A, C ) = inf ( )
u W E
n
A
u dm x
∈
∇∫
0( )
, (2)
hde W E0( ) = W A C0( , ) — semejstvo neotrycatel\n¥x neprer¥vn¥x funkcyj
u : A → R
1
s kompaktn¥m nosytelem v A takyx, çto u ( x ) ≥ 1 pry x ∈ C y
u:∈ ACL , ∇u = ( )
/
∂( )=∑ ii
n
u 2
1
1 2
.
Napomnym, çto otobraΩenye f : D → R
n
naz¥vaetsq absolgtno neprer¥v-
n¥m na lynyqx (zapys¥vaem f ∈ ACL ) , esly v lgbom n -mernom parallelepype-
de P s rebramy, parallel\n¥my osqm koordynat, y takom, çto P D⊂ , vse ko-
ordynatn¥e funkcyy f = ( f1, … , fn ) absolgtno neprer¥vn¥ na poçty vsex prq-
m¥x, parallel\n¥x osqm koordynat.
Zameçanye%1. Sohlasno lemme:5.5 v [11],
cap E = cap ( A, C ) = inf ( )
u W E
n
A
u dm x
∈ ∞
∇∫
0 ( )
, (3)
hde W E0
∞( ) = W E C A0 0( ) ( )∩ ∞
, a C A0
∞( ) — mnoΩestvo vewestvennoznaçn¥x bes-
koneçno dyfferencyruem¥x funkcyj s kompaktn¥m nosytelem v A .
Bolee toho, uslovye u ( x ) ≥ 1 dlq kaΩdoho x ∈ C moΩet b¥t\ zameneno us-
lovyem u ( x ) = 1 dlq kaΩdoho x ∈ C yly daΩe uslovyem u ( x ) = 1 v nekoto-
roj okrestnosty C (sm. zameçanye:2.2 v [13] yly [14, s.:502]).
V dal\nejßem v R
n
yspol\zuetsq sferyçeskaq (xordal\naq) metryka h ( x,
y ) = π π( ) ( )x y− , hde π — stereohrafyçeskaq proekcyq R
n
na sferu
S
n
ne1
2
1
21+
, v R
n+1
:
h ( x, ∞ ) = 1
1 2+ x
, h ( x, y ) = x y
x y
−
+ +1 12 2
, x ≠ ∞ ≠ y.
Xordal\n¥m dyametrom mnoΩestva B n⊆ R naz¥vaetsq velyçyna
h ( B ) = sup ( , )
,x y B
h x y
∈
.
Kol\com Tejxmgllera naz¥vagt kol\co R tT ( ) = R t( )[ , ], [ , ]− ∞1 0 , t > 1.
Sformulyruem teper\ oçen\ vaΩn¥j rezul\tat, prynadleΩawyj Herynhu (sm.
[15] yly p.:7.37 v [16]).
Lemma%1. Pust\ R ( B, F ) — proyzvol\noe kol\co, takoe, çto kontynuum¥
B y F nev¥roΩden¥. Tohda
cap ( R ( B, F ) ) ≥ cap R
h B h FT
1
( ) ( )
. (4)
Kol\com Hretßa naz¥vagt kol\co R tG( ) = R t n( )[ , ],∞ B , t > 1. Pust\
funkcyq Ψ ( t ) opredelena sootnoßenyem cap R tG( ) = ωn
nt−
−
1
1( )log ( )Ψ . Yz-
vestno [16], çto funkcyq log ( ) logΨ t t− vozrastaet. Polahaem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
1392 E. A. SEVOST|QNOV
logλn = lim log ( ) log( )
t
t t
→∞
−Ψ .
Yzvestno takΩe, çto λn
ne∈ −[ ),4 2 1 , λ2 4= , λn
n e1/ → pry n → ∞ (sm., na-
prymer, [15, c. 225, 226], (7.19) y (7.22) v [16]). Sohlasno lemme:7.22 v [16],
cap ( RT ( t ) ) =
ωn
nt
−
−{ }
1
1log ( )Φ
,
hde funkcyq Φ udovletvorqet uslovyqm
t + 1 ≤ Φ ( t ) ≤ λn t2 1( )+ < 2 2λnt , t > 1.
Vezde nyΩe budem yspol\zovat\ oboznaçenye λn yz pryvedennoho v¥ße oprede-
lenyq, ne ohovaryvaq konkretn¥j sm¥sl, esly nedorazumenye nevozmoΩno.
Yz sootnoßenyq (4) poluçaem sledugwug ocenku emkosty.
Lemma%2. Dlq lgb¥x neperesekagwyxsq nev¥roΩdenn¥x kontynuumov B y
F v R
n
ymeet mesto sootnoßenye
cap ( R ( B, F ) ) ≥
ω
λ
n
n
n
h B h F
−
−
1
2 1
2
log
( ) ( )
.
Analoh sledugwej lemm¥ v neskol\ko al\ternatyvnom varyante dokazan v
rabote [13] (sm. lemmu:2.9).
Lemma%3. PredpoloΩym, çto E = ( A, C ) — kondensator, takoj, çto
A B rn⊂ ( ), y mnoΩestvo C svqzno. Tohda ymeet mesto sootnoßenye
cap E ≥
ω
λ
n
n
n n
n
h C h B r
−
−
1
2 1
2
log
( ) \ ( )( )R
.
Dokazatel\stvo v sylu monotonnosty emkostej sleduet yz lemm¥:2.
3. Osnovnaq lemma ob ocenke yskaΩenyq. Vvedem ewe neskol\ko oprede-
lenyj. Sledugwee ponqtye moΩno najty v [12, c. 32] (sm. razdel:3 hlav¥:II).
Pust\ β : [ a, b ) → R
n
— nekotoraq kryvaq y x f a∈ −1( ( ))β . Kryvaq α : [ a, c ) →
→ D naz¥vaetsq maksymal\n¥m podnqtyem kryvoj β pry otobraΩenyy f s
naçalom v toçke x , esly: 1) α( )a x= ; 2) f a c� α β= [ , ); 3) esly c < c ′ ≤ b,
to ne suwestvuet kryvoj α ′ : [ a, c ′ ) → D takoj, çto α α= ′ [ , )a c y f � α =
= β [ , )a c′ . Pust\ f — otkr¥toe dyskretnoe otobraΩenye y x f a∈ −1( ( ))β . Tohda
kryvaq β ymeet maksymal\noe podnqtye pry otobraΩenyy f s naçalom v toçke
x (sm. sledstvye:3.3 hl.:2 v [12]).
Nam ponadobytsq sledugwee utverΩdenye (sm. predloΩenye:10.2 hl.:2
v:[12]).
Lemma%4. Pust\ E = ( A, C ) — proyzvol\n¥j kondensator, ΓE — semej-
stvo vsex kryv¥x vyda γ : [ a, b ) → A s γ ( )a C∈ y γ ∩ ( )\A F ≠ ∅ dlq pro-
yzvol\noho kompakta F ⊂ A , hde γ = γ ([ , ))a b . Tohda cap E = M E( )Γ .
Hovorqt, çto semejstvo kryv¥x Γ1 mynoryruetsq semejstvom Γ2 (zapys¥-
vagt Γ Γ1 2> ), esly dlq kaΩdoj kryvoj γ ∈Γ1 suwestvuet podkryvaq, kotoraq
prynadleΩyt semejstvu Γ2 . Yzvestno, çto esly Γ Γ1 2> , to M M( ) ( )Γ Γ1 2≤
(sm., naprymer, teoremu:6.4 v [4]).
Analohy sledugwej lemm¥ dokazan¥ v rabote [1] dlq homeomorfyzmov.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
O NORMAL|NOSTY SEMEJSTV PROSTRANSTVENNÁX OTOBRAÛENYJ … 1393
Lemma%5. Pust\ f : D → R
n
, n ≥ 2, — otkr¥toe dyskretnoe Q-otobra-
Ωenye, takoe, çto D ′ = f ( D ) ⊂ B
n
( r ) s h B rn n( \ )( )R ≥ δ > 0. Predpolo-
Ωym, çto dlq nekotoroho x0 ∈ D y 0 < ε0 < dist ( x0, ∂D ) suwestvugt çyslo
p, p ≤ n, y semejstvo neotrycatel\n¥x na ( 0, ∞ ) funkcyj { }( ), ( , )ψ ε εε t ∈ 0 0 ,
udovletvorqgwyx uslovyqm
Q x x x dm xn
x x
( ) ( )ψε
ε ε
−( )
< − <
∫ 0
0 0
≤ K I p( )ε , 0 < I ( ε ) < ∞ , (5)
hde
I ( ε ) = ψε
ε
ε
( )t dt
0
∫ ,
a K — koneçnaq poloΩytel\naq konstanta. Tohda
h f x f x( ( ), ( ))0 ≤
α
δ
β γn
n I x xn pexp ,− −( ){ }0
dlq vsex x B x∈ ( , )0 0ε , hde
αn = 2 2λn , βn =
ωn
n
K
−
−
1
1 1/( )
, γ n p, = 1 1
1
− −
−
p
n
. (6)
Dokazatel\stvo. Rassmotrym kondensator E = ( A , C ) , hde A = B ( x0
, ε0 ) ,
C = B ( x0
, ε ) , ε < ε0 . Poskol\ku f — otkr¥toe y neprer¥vnoe otobraΩenye,
f C est\ kompaktnoe podmnoΩestvo otkr¥toho mnoΩestva f A . Sledovatel\no,
para mnoΩestv E ′ = f E = ( f A , f C ) takΩe qvlqetsq kondensatorom. Rassmot-
rym dlq kondensatorov E y f E semejstva kryv¥x ΓE y ΓfE sootvetstvenno
(sm. oboznaçenyq lemm¥:4). Pust\ Γ∗
— semejstvo maksymal\n¥x f - podnqtyj
kryv¥x ΓfE s naçalom v C, leΩawyx v A . PokaΩem, çto Γ Γ∗ ⊂ E .
PredpoloΩym protyvnoe. Tohda suwestvuet kryvaq β : [ a, b ) → R
n
semej-
stva ΓfE , dlq kotoroj sootvetstvugwee maksymal\noe podnqtye α : [ a, c ) →
→ A leΩyt so svoym zam¥kanyem α v nekotorom kompakte vnutry A . Sledo-
vatel\no, α — kompakt v A . Zametym, çto c ≠ b, poskol\ku v protyvnom slu-
çae β — kompakt v f A , çto protyvoreçyt uslovyg β ∈ΓfE . Pust\ G — pre-
del\noe mnoΩestvo α ( t ) pry t → c – 0 . Dlq x ∈ G v sylu neprer¥vnosty f
ymeem f x f xk( ( )) ( )α → pry k → ∞ , hde x a ck ∈[ , ), x ck → pry k → ∞ .
Odnako f xk( ( ))α = β( )xk → β( )c pry k → ∞ . Otsgda zaklgçaem, çto f
postoqnna na G v A . Po uslovyg Kantora v kompakte α [17, c. 8, 9]
G =
α ([ , ))t ck
k =
∞
1
∩ = lim sup ([ , ))
k
kt c
→∞
α = lim inf ([ , ))
k
kt c
→∞
α ≠ ∅
v sylu monotonnosty posledovatel\nosty svqzn¥x mnoΩestv α ([ , ))t ck y, takym
obrazom, G qvlqetsq svqzn¥m po I (sm. (9.12) v [18]). Takym obrazom, vsledst-
vye dyskretnosty f, G ne moΩet sostoqt\ bolee çem yz odnoj toçky y kryvaq
α : [ a, c ) → A prodolΩaetsq do zamknutoj kryvoj α : [ a, c ] → A . Tohda
ymeem f c( ( ))α = β( )c , t. e. α β( ) ( ( ))c f c∈ −1 . S druhoj storon¥, moΩno postro-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
1394 E. A. SEVOST|QNOV
yt\ (sm. sledstvye:3.3 hlav¥:2 v [12]) maksymal\noe podnqtye ′α kryvoj β [ , )c b
s naçalom v toçke α( )c . Tohda, obæedynqq podnqtyq α y ′α , poluçaem novoe
podnqtye ′′α kryvoj β, kotoroe opredeleno na [ a, c ′ ) , çto protyvoreçyt
maksymal\nosty podnqtyq α .
Takym obrazom, Γ Γ∗ ⊂ E . Zametym, çto Γ Γf E f> ∗
y, sledovatel\no,
M f E( )Γ ≤ M f( )Γ∗ . Takym obrazom, sohlasno lemme:4 y opredelenyg Q-otob-
raΩenyq
cap f E ≤ Q x x dm xn
D
( ) ( ) ( )ρ∫ (7)
dlq proyzvol\noj funkcyy ρ ∈ adm ΓE .
Teper\ pust\ Aε = x x xn∈ < − <{ }R : ε ε0 0 . Po teoreme Luzyna [19, c. 69]
suwestvuet borelevskaq funkcyq ψε
∗( )t = ψε( )t dlq poçty vsex t . Sledova-
tel\no, funkcyq
ρε( )x =
ψ εε ε
ε
∗ −( ) ∈
∈
x x I x A
x An
0
0
( ), ,
, ,\R
qvlqetsq borelevskoj. Krome toho, pust\ γ ∈ΓE . Tohda (sm., naprymer, teore-
mu:5.7 v [4])
ρε
γ
dx∫ ≥ 1
0
I
t dt
( )
( )
ε
ψε
ε
ε
∗∫ = 1. (8)
Otsgda zaklgçaem, çto ρε( )x E∈adm Γ . Kombynyruq (5), (7) y (8), poluçaem
cap f E ≤ K I p n− ( )ε . (9)
Poskol\ku f A B rn⊂ ( ), v sylu lemm¥:3, prymenennoj k kondensatoru f E ,
cap f E ≥
ω
λ
n
n
n n
n
h f C h B r
−
−
1
2 1
2
log
( ) ( )( \ )R
. (10)
Vsledstvye toho, çto po uslovyg h B rn n( \ )( )R ≥ δ, yz (9) y (10) ymeem
h f C( ) ≤
2 2
1
1 1
1λ
δ
ω εn n
n
p n n
K
Iexp ( )
/( )
( )/( )−
( )
−
−
− − .
Oboznaçaq
αn = 2 2λn , βn =
ωn
n
K
−
−
1
1 1/( )
, γ n p, = 1 1
1
− −
−
p
n
,
poluçaem
h f C( ) ≤
α
δ
β εγn
n I n pexp ( ),−{ } , (11)
hde C = B x( , )0 ε . Pust\ teper\ x ∈ D takoe, çto x x− 0 = ε , 0 < ε < ε0 .
Tohda x ∈ B x( , )0 ε y f ( x ) ∈ f B x( , )0 ε( ) = f C y yz (11) ymeem ocenku
h f x f x( ( ), ( ))0 ≤
α
δ
β γn
n I x xn pexp ,− −( ){ }0 ∀ ε ∈ ( 0, ε0 ) . (12)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
O NORMAL|NOSTY SEMEJSTV PROSTRANSTVENNÁX OTOBRAÛENYJ … 1395
V sylu proyzvol\nosty ε ∈ ( 0, ε0 ) , (12) ymeet mesto vo vsem ßare B x( , )0 0ε .
4. Ocenky yskaΩenyq rasstoqnyq pry Q-otobraΩenyqx. Vezde nyΩe
q rx0
( ) oboznaçaet srednee yntehral\noe znaçenye funkcyy Q ( x ) nad sferoj
x x− 0 = r y δ ( )x0 = dist ( x0, ∂D ) .
Teorema%1. Pust\ f : D → R
n
, n ≥ 2, — otkr¥toe dyskretnoe Q-oto-
braΩenye, dlq kotoroho D ′ = f ( D ) ⊂ B
n
( r ) s h B rn n( \ )( )R ≥ δ > 0. Tohda
dlq kaΩdoj toçky x ∈ B ( x0
, ε ( x0 )) , ε ( x0 ) ≤ dist ( x0, ∂D ), y dlq kaΩdoho β ≥
≥ 1 / ( n – 1 )
h f x f x( ( ), ( ))0 ≤
α
δ β
ε
n
xx x
x
dr
rq r
exp
( )
( )
−
−
∫
00
0
, (13)
hde αn zadaetsq sootnoßenyem (6).
Dokazatel\stvo. Oboznaçym ε0 = ε ( x0 ) . Rassmotrym funkcyg
ψ ( t ) =
1 0
0
0
0
0
tq t
t
t
x
β ε
ε
( )
, ( , ),
, [ , ).
∈
∈ ∞
Tohda
Q x x x dm xn
x x
( ) ( )ψ
ε ε
−( )
< − <
∫ 0
0 0
= ω β
ε
ε
n
x
n
dr
rq r
− −∫1 1
0
0
( )
≤ ω β
ε
ε
n
x
dr
rq r
− ∫1
0
0
( )
.
Zaklgçenye teorem¥ sleduet teper\ yz lemm¥::5 s p = 1.
Zameçanye%2. Koneçno, srednee znaçenye q rx0
( ) funkcyy Q ( x ) na neko-
tor¥x sferax x x− 0 = r moΩet b¥t\ beskoneçno. Odnako po teoreme Fuby-
ny (sm., naprymer, [19]) q rx0
( ) yzmeryma po parametru r, poskol\ku Q ( x ) yz-
meryma po x . Bolee toho,
dr
rq rx
x x
x
0
0
0
β
ε
( )
( )
−∫ < ∞ dlq x ≠ x0, tak kak q rx0
( ) ≥ 1.
Yntehral moΩet b¥t\ raven 0, esly q rx0
( ) = ∞ poçty vsgdu, no v takom slu-
çae neravenstvo (13) oçevydno, ybo αn ≥ 32 y δ ≤ 1, a h f x f x( ( ), ( ))0 men\ße
lybo ravno::1.
V¥byraq v teoreme::1 velyçynu β = 1 / ( n – 1 ) , pryxodym k sledugwemu ut-
verΩdenyg.
Sledstvye%1. Esly
q rx0
( ) ≤ log 1 1
r
n
−
(14)
dlq r < ε ( )x0 < δ ( )x0 , to
h f x f x( ( ), ( ))0 ≤
α
δ
εn x
x x
log
( )
log
1
1
0
0−
(15)
dlq vsex x ∈ B ( x0
, ε ( x0 )) .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
1396 E. A. SEVOST|QNOV
Zameçanye%3. Esly vmesto sootnoßenyq (14) v¥polneno
q rx0
( ) ≤ c
r
n
log 1 1
−
,
to
h f x f x( ( ), ( ))0 ≤
α
δ
εn
c
x
x x
n
log
( )
log
/ / ( )
1
1
0
0
1 1 1
−
−
.
5. Koneçnoe srednee kolebanye. Hovorqt, çto funkcyq ϕ : D → R s
ϕ ∈L Dloc
1 ( ) ymeet ohranyçennoe srednee kolebanye v oblasty D, ϕ ∈BMO D( ) ,
esly
ϕ ∗ = sup ( ) ( )
B D
B
B
B
x dm x
⊂
−∫1 ϕ ϕ < ∞ ,
hde toçnaq verxnqq hran\ beretsq po vsem ßaram B ⊂ D y ϕ B = B −1 ×
× ϕ ( ) ( )x dm x
B∫ — srednee znaçenye funkcyy ϕ na ßare B . S cel\g uprowe-
nyq zapysy oboznaçaem v dal\nejßem
−∫ f x dm x
A
( ) ( ) : = 1
A
f x dm x
A
( ) ( )∫ ,
hde, kak ob¥çno, A — lebehova mera mnoΩestva A ⊆ R
n
. Yzvestno, çto
L D∞( ) ⊂ BMO D( ) ⊂ L Dp
loc( ) (sm., naprymer, [20]).
Sleduq rabote [8], vvedem sledugwye opredelenyq. Budem hovoryt\, çto
funkcyq ϕ : D → R ymeet koneçnoe srednee kolebanye v toçke x0 ∈ D (zapy-
s¥vaem ϕ ∈ FMO v x0 ), esly
lim
ε→0
− −∫ ϕ ϕε
ε
( ) ( )
( , )
x dm x
B x0
< ∞ , (16)
hde ϕε = −∫ ϕ
ε
( ) ( )
( , )
x dm x
B x0
. Zametym, çto pry v¥polnenyy uslovyq (16) voz-
moΩna sytuacyq, kohda ϕε → ∞ pry ε → 0 .
TakΩe budem hovoryt\, çto ϕ : D → R — funkcyq koneçnoho sredneho
kolebanyq v oblasty D (zapys¥vaem ϕ ∈ FMO ( D ) yly prosto ϕ ∈ FMO ), esly
ϕ ymeet koneçnoe srednee kolebanye v kaΩdoj toçke x ∈ D . V çastnosty, esly
dlq nekotor¥x çysel ϕε ∈ R , ε ∈ ( 0, ε0 ] , v¥polneno sootnoßenye
lim
ε→0
− −∫ ϕ ϕε
ε
( ) ( )
( , )
x dm x
B x0
< ∞ ,
to funkcyq ϕ ymeet koneçnoe srednee kolebanye v toçke x0 [8]. Naprymer,
funkcyq ϕ ymeet koneçnoe srednee kolebanye v toçke x0 , esly v toçke x0 ∈ D
v¥polneno
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
O NORMAL|NOSTY SEMEJSTV PROSTRANSTVENNÁX OTOBRAÛENYJ … 1397
lim
ε→0
−∫ ϕ
ε
( ) ( )
( , )
x dm x
B x0
< ∞ .
Sledugwee utverΩdenye qvlqetsq, poΩaluj, klgçev¥m pry yzuçenyy
otobraΩenyj koneçnoho sredneho kolebanyq. Ranee ono ßyroko yspol\zovalos\
v rabotax A.:Yhnat\eva y V.:Rqzanova (sm. sledstvye:2.3 v [8]) dlq reßenyq
problem¥ homeomorfnoho (neprer¥vnoho) prodolΩenyq homeomorfyzmov na
hranycu.
Lemma%6. Pust\ D0 — oblast\ v R
n
, n ≥ 2, soderΩawaq naçalo koordy-
nat y ϕ : D0 → R — neotrycatel\naq funkcyq, ymegwaq koneçnoe srednee
kolebanye v toçke 0. Tohda
ϕ
ε ε
( ) ( )
log
x dm x
x
x
n
x 1
0
< <
∫ = O log log 1
ε
pry ε → 0 dlq nekotoroho ε0 ≤ dist ( 0, ∂D0 ) .
Teorema%2. Pust\ f : D → R
n
, n ≥ 2, — otkr¥toe dyskretnoe Q-otob-
raΩenye, takoe, çto D ′ = f ( D ) ⊂ B
n
( r ) s h B rn n( \ )( )R ≥ δ > 0. Esly funk-
cyq Q ( x ) ymeet koneçnoe srednee kolebanye v toçke x0 ∈ D , to
h f x f x( ( ), ( ))0 ≤
α
δ
ε
β
n
x x
log
log
1
1
0
0
0
−
dlq x ∈ B ( x0
, ε0 ) pry nekotorom ε0 < dist ( x0, ∂D ) , hde α n zavysyt tol\ko
ot n , a β0 > 0 — tol\ko ot n y funkcyy Q .
Dokazatel\stvo. Pust\ ε0 < min { }, ( , )1 0dist x D∂ . PredpoloΩym, çto
funkcyq Q ( x ) ymeet koneçnoe srednee kolebanye v oblasty D . Tohda na osno-
vanyy lemm¥::6 dlq funkcyy ψ ( t ) = 1
1t
t
log
budem ymet\
Q x x x dm xn
x x
( ) ( )ψ
ε ε
−( )
< − <
∫ 0
0 0
= Q y x y dm yn
y
( ) ( )+ ( )
< <
∫ 0
0
ψ
ε ε
=
=
Q y x
y
y
dm yn
y
( )
log
( )
+
< <
∫ 0
1
0ε ε
= O log log 1
ε
. (17)
Zdes\ m¥ vospol\zovalys\ tem, çto funkcyq Q y1( ) : = Q y x( )+ 0 ymeet koneç-
noe srednee kolebanye v toçke 0. Zametym takΩe, çto
I ( ε ) : = ψ
ε
ε
( )t dt
0
∫ = log logc 1
ε
, (18)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
1398 E. A. SEVOST|QNOV
hde c = 1
1
0
log
ε
. Teper\ na osnovanyy sootnoßenyj (17) y (18) poluçaem, çto
dlq v¥brannoj funkcyy ψ v toçnosty v¥polneno sootnoßenye (5) s p = 1.
Ostavßaqsq çast\ utverΩdenyq sleduet teper\ yz lemm¥::5.
6. O normal\n¥x semejstvax Q-otobraΩenyj. Oboznaçym çerez
�Q D, ( )δ
klass vsex otkr¥t¥x dyskretn¥x Q-otobraΩenyj f : D → R
n
, n ≥ 2, takyx,
çto D ′ = f ( D ) ⊂ B
n
( r ) s h B rn n( \ )( )R ≥ δ > 0. Spravedlyv¥ sledugwye
utverΩdenyq.
Teorema%3. Esly Q ∈ FMO, to klass
�Q D, ( )δ obrazuet normal\noe se-
mejstvo otobraΩenyj v R
n
.
Sledstvye%2. Semejstvo
�Q D, ( )δ normal\no v R
n
, esly dlq kaΩdoho
x0 ∈ D
lim ( ) ( )
( , )
ε
ε
→
−∫0
0
Q x dm x
B x
< ∞ .
Sledstvye%3. Klass
�Q D, ( )δ obrazuet normal\noe semejstvo otobraΩe-
nyj v R
n
, esly kaΩdaq toçka x0 ∈ D qvlqetsq toçkoj Lebeha funkcyy Q ( x ) .
Teorema%4. Semejstvo �Q D, ( )δ normal\no v R
n, esly uslovye rasxodymo-
sty yntehrala
dr
rq rx
x
0
0
0
β
δ
( )
( )
∫ = ∞
v¥polnqetsq pry nekotorom β ≥ 1 / ( n – 1 ) y, v çastnosty, pry β = 1 v kaΩ-
doj toçke x0 ∈ D .
Vsledstvye zameçanyq:3 spravedlyvo sledugwee utverΩdenye.
Sledstvye%4. Klass
�Q D, ( )δ normalen v R
n
, esly Q ( x ) ymeet osoben-
nosty loharyfmyçeskoho typa porqdka ne v¥ße çem n – 1 v kaΩdoj toçke x ∈
∈ D .
7. Ob otobraΩenyqx s koneçn¥m yskaΩenyem dlyn¥. Sleduq [5], hovo-
rym, çto otobraΩenye f : D → R
n
, n ≥ 2, qvlqetsq otobraΩenyem s koneçn¥m
metryçeskym yskaΩenyem (zapys¥vaem f ∈ FMD ), esly f obladaet ( )N -svoj-
stvom Luzyna y
0 < l x f( , ) ≤ L x f( , ) < ∞ poçty vsgdu,
hde
L x f( , ) = lim sup ( ) ( )
y x y D
f x f y
y x→ ∈
−
−
, l x f( , ) = lim inf ( ) ( )
y x y D
f x f y
y x→ ∈
−
−
.
Napomnym, çto otobraΩenye f : X → Y meΩdu prostranstvamy s meroj ( X, Σ,
µ ) y ( X ′, Σ ′, µ ′ ) obladaet ( )N -svojstvom, esly ′µ ( ( ))f S = 0, kak tol\ko
µ( )S = 0. Analohyçno, f ymeet ( )N−1 -svojstvo, esly µ( )S = 0, kak tol\ko
′µ ( ( ))f S = 0.
Pust\ ∆ ⊆ R — otkr¥t¥j ynterval çyslovoj prqmoj, γ : ∆ → R
n
— lo-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
O NORMAL|NOSTY SEMEJSTV PROSTRANSTVENNÁX OTOBRAÛENYJ … 1399
kal\no sprqmlqemaq kryvaq. Tohda suwestvuet edynstvennaq neub¥vagwaq
funkcyq dlyn¥ lγ : ∆ → ∆γ ⊆ R s uslovyem l tγ( )0 = 0, t0 ∈∆ , takaq, çto zna-
çenye l tγ( ) ravno dlyne podkryvoj γ [ , ]t t0
kryvoj γ , esly t > t0 , y – l t t( )[ , ]γ
0
,
esly t < t0 , t ∈ ∆ . Pust\ g : γ → R
n
— neprer¥vnoe otobraΩenye, hde γ =
= γ ( ∆ ) ⊆ R
n
. PredpoloΩym, çto kryvaq ̃γ γ= g � takΩe lokal\no sprqmlqe-
ma. Tohda suwestvuet edynstvennaq neub¥vagwaq funkcyq L gγ , : ∆γ → ∆γ̃
takaq, çto L l tgγ γ, ( ( )) = l t˜ ( )γ ∀ t ∈ ∆ . Budem hovoryt\, çto otobraΩenye f : D →
→ R
n
obladaet ( )L -svojstvom, esly v¥polnen¥ sledugwye uslovyq:
( )L1 dlq poçty vsex kryv¥x γ ∈D kryvaq ̃γ γ= f � lokal\no sprqmlqema
y funkcyq L fγ , obladaet ( )N -svojstvom;
( )L2 dlq poçty vsex kryv¥x ˜ ( )γ ∈ f D kaΩdoe podnqtye γ kryvoj γ̃ lo-
kal\no sprqmlqemo y funkcyq L fγ , obladaet ( )N−1
-svojstvom.
Zdes\ kryvaq γ ∈ D naz¥vaetsq podnqtyem kryvoj γ̃ ∈R
n
pry otobraΩe-
nyy f : D → R
n
, esly γ̃ γ= f � . Hovorqt, çto nekotoroe svojstvo v¥polneno
dlq poçty vsex kryv¥x oblasty D, esly ono ymeet mesto dlq vsex kryv¥x, le-
Ωawyx v D, krome, b¥t\ moΩet, nekotoroho yx semejstva, modul\ kotoroho ra-
ven nulg.
Sleduq [5], hovorym, çto otobraΩenye f : D → R
n, n ≥ 2, qvlqetsq otob-
raΩenyem s koneçn¥m yskaΩenyem dlyn¥ (zapys¥vaem f ∈ FLD ), esly f ∈ FMD
y obladaet ( )L -svojstvom.
Zametym, çto razvytaq v¥ße teoryq prymenyma k semejstvam otobraΩenyj
f : D → R
n
s koneçn¥m yskaΩenyem dlyn¥, poskol\ku otobraΩenyq klassa
FLD qvlqgtsq Q-otobraΩenyqmy s Q ( x ) = K x fI ( , ) , hde K x fI ( , ) —
vnutrennqq dylatacyq otobraΩenyq f v toçke x ∈ D (sm. teoremu::6.10 v [5]).
PredpoloΩym, çto dlq otobraΩenyq f : D → R
n
, ymegweho v D çastn¥e
proyzvodn¥e poçty vsgdu, ′f x( ) — qkobyeva matryca otobraΩenyq ′f v toçke
x , J x f( , ) — qkobyan otobraΩenyq f v toçke x , t. e. determynant ′f x( ) . Pust\,
krome toho,
l f x( ( ))′ = min ( )
\{ }h n
f x h
h∈
′
R 0
.
Napomnym, çto vnutrennqq dylatacyq otobraΩenyq f v toçke x est\ velyçyna
K x fI ( , ) = J x f
l f x n
( , )
( ( ))′
,
esly J x f( , ) ≠ 0, K x fI ( , ) = 1, esly ′f x( ) = 0, y K x fI ( , ) = ∞ v ostal\n¥x
toçkax.
Pust\ D — oblast\ v R
n
, n ≥ 2. Oboznaçym çerez
LQ D, ( )∆ semejstvo vsex
otkr¥t¥x dyskretn¥x otobraΩenyj koneçnoho yskaΩenyq dlyn¥ f : D → R
n
takyx, çto D ′ = f ( D ) ⊂ B
n
( r ) s h B rn n( \ )( )R ≥ ∆ > 0 y K x fI( , ) ≤ Q ( x )
poçty vsgdu.
Teorema%5. Pust\ ∆ > 0 y Q : D → [ 1, ∞ ] — yzmerymaq funkcyq, ta-
kaq, çto
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
1400 E. A. SEVOST|QNOV
dr
rq rx
n
x
0
0
1 1
0
/( )
( )
( )−∫
δ
= ∞ ∀ x0 ∈ D .
Tohda semejstvo otobraΩenyj
LQ D, ( )∆ normal\no v R
n
.
Sledstvye%5. Semejstvo otobraΩenyj
LQ D, ( )∆ normal\no v R
n
, esly
q rx0
( ) = O
r
n
log1 1
−
dlq kaΩdoho x0 ∈ D pry r → 0.
Sledstvye%6. Semejstvo otobraΩenyj
LQ D, ( )∆ normal\no v R
n
, esly
funkcyq Q ( x ) ymeet v kaΩdoj toçke x0 ∈ D loharyfmyçeskye osobennosty
porqdka ne v¥ße çem n – 1.
Sledstvye%7. Esly Q ∈ FMO, to semejstvo otobraΩenyj
LQ D, ( )∆
normal\no v R
n
.
Sledstvye%8. Semejstvo otobraΩenyj
LQ D, ( )∆ normal\no v R
n
, esly
lim ( ) ( )
( , )
ε
ε
→
−∫0
0
Q x dm x
B x
< ∞ ∀ x0 ∈ D .
1. Rqzanov V. Y., Sevost\qnov E. A. Ravnostepenno neprer¥vn¥e klass¥ kol\cev¥x Q-homeo-
morfyzmov // Syb. mat. Ωurn. – 2007. – 48, # 6. – S.:1361 – 1376.
2. Bishop C. J., Gutlyanskii V. Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int. J.
Math. and Math. Sci. – 2003. – 22. – P. 1397 – 1420.
3. Tamrazov P. M. Moduly y πkstremal\n¥e metryky v neoryentyrovann¥x y skruçenn¥x
rymanov¥x mnohoobrazyqx // Ukr. mat. Ωurn. – 1998. – 50, # 10. – S.:1388 – 1398.
4. Väisälä J. Lectures on n dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – 1971. –
229.
5. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Mappings with finite length distortion // J. D.
Anal. Math. – 2004. – 93. – P. 215 – 236.
6. Gol’berg A. L. Quasiconformal mappings and radii of normal systems of neighborhoods // Ukr.
Math. J. – 1999. – 51, # 10. – P. 1566 – 1568.
7. Zoryj N. V. Modul\n¥e, funkcyonal\n¥e y potencyal\n¥e xarakterystyky kondensatorov
v oblasty; sootnoßenyq meΩdu nymy // Ukr. mat. Ωurn. – 1992. – 44, # 5. – S.:604 – 613.
8. Yhnat\ev A., Rqzanov V. Koneçnoe srednee kolebanye v teoryy otobraΩenyj // Ukr. mat.
vestn. – 2005. – 2, # 3. – S.:395 – 417.
9. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Q-homeomorphisms // Cont. Math. – 2004. – 364.
– P. 193 – 203.
10. Ryazanov V. I. Closure of classes quasiconformal mappings with integral constraints // Ukr. Math.
J. – 1991. – 43, # 4. – P. 399 – 404.
11. Martio O., Rickman S., Väisälä J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn.
Ser. A1. – 1969. – 448. – P. 1 – 40.
12. Rickman S. Quasiregular mappings // Results Math. and Relat. Areas. – 1993. – 26, # 3.
13. Martio O., Rickman S., Väisälä J. Distortion and singularities of quasiregular mappings // Ann.
Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. – 1970. – 465. – P. 1 – 13.
14. Gehring F. W. Symmetrization of rings in space // Trans. Amer. Math. Soc. – 1961. – 101. –
P. 499 – 519.
15. Gehring F. W. Quasiconformal mappings // Complex Anal. and Appl. – 1976. – 2.
16. Vuorinen M. Conformal geometry and quasiregular mappings // Lect. Notes Math. – 1988. – 1319.
17. Kuratovskyj K. Topolohyq: V 2 t. – M.: Myr, 1969. – 624 s.
18. Whyburn G. T. Analytic topology. – Amer. Math. Soc., Rhode Island, 1942.
19. Saks S. Theory of the integral. – New York: Dover Publ. Inc., 1937.
20. John F., Nirenberg L. On functions of bounded mean oscillation // Communs Pure and Appl.
Math. – 1961. – 14. – P. 415 – 426.
Poluçeno 07.11.06,
posle dorabotky — 05.05.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
|
| id | umjimathkievua-article-3253 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:39:01Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ab/4017941cf10252a9852b62aa9a0584ab.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32532020-03-18T19:49:15Z On the normality of families of space mappings with branching О нормальности семейств пространственных отображений с ветвлением Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. We study space mappings with branching that satisfy modulus inequalities. For classes of these mappings, we obtain several sufficient conditions for the normality of families. Вивчаються просторові відображення з розгалуженням, що задовольняють модульні нерівності. Щодо класів таких відображень отримано низку достатніх умов нормальності сімей. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3253 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 10 (2008); 1389–1400 Український математичний журнал; Том 60 № 10 (2008); 1389–1400 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3253/3252 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3253/3253 Copyright (c) 2008 Sevost'yanov E. A. |
| spellingShingle | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. On the normality of families of space mappings with branching |
| title | On the normality of families of space mappings with branching |
| title_alt | О нормальности семейств пространственных отображений с ветвлением |
| title_full | On the normality of families of space mappings with branching |
| title_fullStr | On the normality of families of space mappings with branching |
| title_full_unstemmed | On the normality of families of space mappings with branching |
| title_short | On the normality of families of space mappings with branching |
| title_sort | on the normality of families of space mappings with branching |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3253 |
| work_keys_str_mv | AT sevost039yanovea onthenormalityoffamiliesofspacemappingswithbranching AT sevostʹânovea onthenormalityoffamiliesofspacemappingswithbranching AT sevostʹânovea onthenormalityoffamiliesofspacemappingswithbranching AT sevost039yanovea onormalʹnostisemejstvprostranstvennyhotobraženijsvetvleniem AT sevostʹânovea onormalʹnostisemejstvprostranstvennyhotobraženijsvetvleniem AT sevostʹânovea onormalʹnostisemejstvprostranstvennyhotobraženijsvetvleniem |