Asymptotic normality of M-estimates in the classical nonlinear regression model
Sufficient conditions are obtained for the asymptotic normality of M-estimates of the unknown parameters of nonlinear regression models with discrete time and independent identically distributed errors of observations.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3262 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509318806241280 |
|---|---|
| author | Ivanov, O. V. Orlovs’kyi, I. V. Іванов, О. В. Орловський, І. В. |
| author_facet | Ivanov, O. V. Orlovs’kyi, I. V. Іванов, О. В. Орловський, І. В. |
| author_sort | Ivanov, O. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:49:31Z |
| description | Sufficient conditions are obtained for the asymptotic normality of M-estimates of the unknown parameters of nonlinear regression models with discrete time and independent identically distributed errors of observations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:39:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
О. В. Iванов, I. В. Орловський (Нац. техн. ун-т України „КПI”, Київ)
АСИМПТОТИЧНА НОРМАЛЬНIСТЬ M -ОЦIНОК
У КЛАСИЧНIЙ НЕЛIНIЙНIЙ МОДЕЛI РЕГРЕСIЇ
The nonlinear regression model with discrete time and independent identically distributed observation
errors is considered. Sufficient conditions for the asymptotic normality of M -estimates are obtained.
Получены достаточные условия асимптотической нормальности M -оценок неизвестных парамет-
ров нелинейных моделей регрессии с дискретным временем и независимыми одинаково распреде-
ленными погрешностями наблюдений.
Вступ. Кiлькiсть робiт, що стосуються M -оцiнок у класичних регресiйних мо-
делях, є достатньо великою. Застосування M -оцiнок у моделях лiнiйного регре-
сiйного аналiзу з незалежними похибками спостережень наведено в пiонерських
роботах П. Хьюбера [1, 2]. Асимптотичнi результати для M -оцiнок параметрiв
лiнiйних та нелiнiйних моделей регресiї з незалежними похибками спостережень
викладено в роботах [3 – 22].
Асимптотичнi властивостi M -оцiнок параметрiв лiнiйних та нелiнiйних моде-
лей регресiї з випадковим шумом, що задовольняє умову сильної залежностi для
моделей з дискретним часом, дослiджено в роботах [23 – 31], а для моделей з не-
перервним часом — в роботах [32 – 34].
Автори у роботах [34, 35] вивчали асимптотичнi властивостi M -оцiнок па-
раметрiв нелiнiйних моделей регресiї з неперервним часом та слабко залежним
випадковим шумом.
У данiй роботi дослiджено M -оцiнки, якi побудовано за допомогою гладких
функцiй втрат. Останнi, як i їхнi недиференцiйовнi аналоги, широко використову-
ються при розв’язаннi задач обробки статистичних даних (див., наприклад, [36]).
У статтi доведенню теореми про асимптотичну нормальнiсть M -оцiнок (п. 3)
передує доведення двох лем редукцiї (п. 2). З леми 1 видно, що вивчення M -
оцiнки можна замiнити вивченням оцiнки найменших квадратiв (о.н.к.) параметра
тiєї самої нелiнiйної функцiї регресiї у допомiжнiй моделi регресiї з помилками
спостережень, якi виражаються через похiднi функцiї втрат. Лема 2 зводить ви-
вчення о.н.к. параметра останньої нелiнiйної моделi до вивчення о.н.к. параметра
вiдповiдної сурогатної лiнiйної моделi регресiї. Таку двокрокову редукцiю для
доведення асимптотичної нормальностi M -оцiнок вперше було застосовано у ро-
ботi [6].
Ключовим моментом доведення асимптотичної нормальностi є застосування
теореми Брауера про нерухому точку. Для коректного використання цiєї теореми
потрiбна єдинiсть, у деякому асимптотичному сенсi, розв’язку системи „нормаль-
них” рiвнянь, яка визначає M -оцiнку. Таку єдинiсть встановлено у лемi 5.
Важливо також зауважити, що у роботi запропоновано економнi та необтяжливi
вимоги до функцiї регресiї (п. 1), за яких M -оцiнка є асимптотично нормальною.
1. Умови та формулювання основного результату. Розглянемо модель ре-
гресiї
Xj = g(j, θ) + εj , j = 1, . . . , n, (1)
c© О. В. IВАНОВ, I. В. ОРЛОВСЬКИЙ, 2008
1470 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
АСИМПТОТИЧНА НОРМАЛЬНIСТЬ M -ОЦIНОК У КЛАСИЧНIЙ НЕЛIНIЙНIЙ МОДЕЛI ... 1471
де g(j, θ), j ≥ 1, — послiдовнiсть невипадкових функцiй, якi задано на Θc, Θc —
замикання в Rq обмеженої вiдкритої множини Θ ⊂ Rq. Ми не будемо припускати,
що функцiя g(j, θ) є лiнiйною комбiнацiєю координат вектора θ = (θ1, . . . , θq).
Нехай виконується умова A:
A. εj , j ≥ 1, — послiдовнiсть незалежних однаково розподiлених випадкових
величин (в.в.), заданих на ймовiрнiсному просторi (Ω,=,P),Eεj = 0.
Означення. M -оцiнкою невiдомого параметра θ ∈ Θ, одержаною за спосте-
реженнями Xj , j = 1, . . . , n, вигляду (1) та неперервною функцiєю втрат ρ(x),
x ∈ R1, називають будь-який випадковий вектор (в.в.) θ̂n = θ̂n(Xj , j = 1, . . . , n) ∈
∈ Θc, для якого
Sn(θ̂n) = inf
τ∈Θc
Sn(τ), Sn(τ) =
∑
ρ(Xj − g(j, τ)),
де
∑
=
∑n
j=1
.
Зауважимо, що, за введених умов M -оцiнка iснує (див., наприклад, роботи
[37 – 39]).
Припустимо, що функцiї g(j, τ), j ≥ 1, є двiчi неперервно диференцiйовними
по τ ∈ Θc. Позначимо
gi(j, τ) =
∂
∂τi
g(j, τ), gil(j, τ) =
∂2
∂τi∂τl
g(j, τ), i, l = 1, . . . , q,
d2
n(θ) = diag
(
d2
in(θ)
)q
i=1
,
де
d2
in(θ) =
∑
g2
i (j, θ), lim
n→∞
n−1d2
in(θ) > 0, i = 1, . . . , q.
Цi границi можуть дорiвнювати, зокрема, нескiнченностi. Нехай також
d2
il,n(τ) =
∑
g2
il(j, τ), τ ∈ Θc, i, l = 1, . . . , q.
Буквами k будемо позначати додатнi константи. Припустимо, що для достатньо
великих n (для n > n0) виконуються умови B1:
max
1≤j≤n
sup
τ∈Θc
|gi(j, τ)|
din(θ)
≤ kin−
1
2 , i = 1, . . . , q, (2)
max
1≤j≤n
sup
τ∈Θc
|gil(j, τ)|
dil,n(θ)
≤ kiln−
1
2 , i, l = 1, . . . , q, (3)
sup
τ∈Θc
dil,n(τ)
din(θ)dln(θ)
≤ k̃iln−
1
2 , i, l = 1, . . . , q. (4)
Запишемо
Jn(θ) = (Jil,n(θ))q
i,l=1 , Jil,n(θ) = d−1
in (θ)d−1
ln (θ)
∑
gi(j, θ)gl(j, θ),
λmin(A) (λmax(A)) — мiнiмальне (максимальне) власне число додатно визначеної
матрицi A.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
1472 О. В. IВАНОВ, I. В. ОРЛОВСЬКИЙ
Припустимо, що виконується умова B2:
B2. λmin(Jn(θ)) ≥ λ0 > 0 для n > n0.
При виконаннi умови B2 для n > n0 iснують невиродженi матрицi
J−1
n (θ) = Λn(θ) =
(
Λil
n(θ)
)q
i,l=1
.
Нехай
fil(j, w) = gil(j, θ + n
1
2 d−1
n (θ)w), Fil(j;w1, w2) = fil(j, w1)− fil(j, w2),
Fil,n(w1, w2) =
∑
F 2
il(j;w1, w2), i, l = 1, . . . , q.
Введемо наступнi умови:
B3. Для деякого r0 > 0 для n > n0
nd−2
in (θ)d−2
ln (θ) sup
w∈vc(r0)
Fil,n(w, 0)‖w‖−2 ≤ kil, i, l = 1, . . . , q;
C. Функцiя ρ(x), x ∈ R1, є двiчi неперервно диференцiйовною, її похiднi
ρ′(x) = ψ(x) та ρ′′(x) = ψ′(x) задовольняють такi властивостi:
(i) Eψ(εj) = 0, E|ψ(εj)|3 <∞;
(ii) Eψ′(εj) 6= 0, E(ψ′(εj))2 <∞;
(iii) для довiльних x, h ∈ R1 та деякої константи κ <∞∣∣ψ′(x+ h)− ψ′(x)
∣∣ ≤ κ|h|.
Позначимо
σ2 =
Eψ2(εj)
(Eψ′(εj))2
, (5)
Cq — клас опуклих борелевих пiдмножин Rq;
ΦK(C) =
∫
C
ϕK(x)dx,
де ϕK(x), x ∈ Rq — щiльнiсть гауссiвського в.в. з нульовим середнiм та кореляцiй-
ною матрицею K.
Будемо вважати, що нормована M -оцiнка
ŵn = ŵn(θ) = n−
1
2 dn(θ)(θ̂n − θ)
задовольняє умову конзистентностi D.
D. ŵn
P−→
n→∞
0.
Достатнi умови слабкої конзистентностi M -оцiнок параметрiв нелiнiйних мо-
делей регресiї наведено у роботах [10 – 14, 16, 36, 40].
Сформулюємо основний результат цiєї роботи.
Теорема. Нехай виконуються умови A, B1 – B3, C та D. Тодi
sup
C∈Cq
∣∣∣P{dn(θ)(θ̂n − θ) ∈ C
}
− Φσ2Λn(θ)(C)
∣∣∣ −→
n→∞
0. (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
АСИМПТОТИЧНА НОРМАЛЬНIСТЬ M -ОЦIНОК У КЛАСИЧНIЙ НЕЛIНIЙНIЙ МОДЕЛI ... 1473
Нехай замiсть умови B2 виконано наступну умову:
B4. Iснує lim
n→∞
Jn(θ) = J(θ), де J(θ) — деяка додатно визначена матриця.
При виконаннi умови B4 iснує невироджена матриця
Λ(θ) = J−1(θ) =
(
Λil(θ)
)q
i,l=1
.
Тодi справедливим є такий результат.
Наслiдок 1. Якщо виконано умови A, B1, B3, B4, C та D, то
sup
C∈Cq
∣∣∣P{dn(θ)(θ̂n − θ) ∈ C
}
− Φσ2Λ(θ)(C)
∣∣∣ −→
n→∞
0.
2. Допомiжнi твердження. Виконаємо замiну змiнних
u = dn(θ)(τ − θ) (7)
у функцiї регресiї та її похiдних:
g(j, τ) = g(j, θ + d−1
n (θ)u) = h(j, u),
gi(j, τ) = gi(j, θ + d−1
n (θ)u) = hi(j, u), i = 1, . . . , q,
gil(j, τ) = gil(j, θ + d−1
n (θ)u) = hil(j, u), i, l = 1, . . . , q.
Також будемо використовувати позначення
H(j;u1, u2) = h(j, u1)− h(j, u2),
Hi(j;u1, u2) = hi(j, u1)− hi(j, u2), i = 1, . . . , q.
Введемо вектори
Mn(u) =
(
M i
n(u)
)q
i=1
,
M i
n(u) = γ
∑
ψ(Xj − h(j, u))
hi(j, u)
din(θ)
, i = 1, . . . , q,
та
Ψn(u) =
(
Ψi
n(u)
)q
i=1
,
Ψi
n(u) = γ
∑
ψ(εj)
hi(j, u)
din(θ)
+
∑
H(j; 0, u)
hi(j, u)
din(θ)
, i = 1, . . . , q,
де
γ =
1
Eψ′(εj)
.
Вектори Mn(u) та Ψn(u) визначено для u ∈ U c
n(θ),
Un(θ) = dn(θ)(Θ− θ).
Зауважимо, що за введених нами припущень множини Un(θ) розширюються до Rq
при n → ∞. Таким чином, для довiльного R > 0 v(R) =
{
u ∈ Rq : ‖u‖ < R
}
⊂
⊂ Un(θ) для n > n0(R).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
1474 О. В. IВАНОВ, I. В. ОРЛОВСЬКИЙ
Легко зрозумiти статистичний сенс векторiв Mn(u) та Ψn(u). Розглянемо функ-
цiонал
γSn(θ + d−1
n (θ)u).
Тодi нормована M -оцiнка ûn = dn(θ)(θ̂n − θ) задовольняє систему рiвнянь
Mn(u) = 0. (8)
Нехай
ηj = γψ(εj), j ≥ 1, (9)
та спостереження мають вигляд
Yj = g(j, θ) + ηj , j = 1, . . . , n. (10)
Тодi
Ψn(u) = 0
є системою нормальних рiвнянь для знаходження нормованої оцiнки найменших
квадратiв
^
un =
^
un(θ) = dn(θ)(
^
θ n − θ)
невiдомого параметра θ допомiжної нелiнiйної моделi регресiї (10).
Лема 1. Нехай виконуються умови A, B1, C. Тодi для довiльних R > 0 та
r > 0
P
{
sup
u∈vc(R)
‖Mn(u)−Ψn(u)‖ > r
}
−→
n→∞
0. (11)
Доведення. Для фiксованого i запишемо рiзницю
M i
n(u)−Ψi
n(u) =
= γ
∑[
ψ (εj +H(j; 0, u))− ψ(εj)− ψ′(εj)H(j; 0, u)
]hi(j, u)
din(θ)
+
+γ
∑
H(j; 0, u)
hi(j, u)
din(θ)
ζj =
= S1(u) + S2(u),
ζj = ψ′(εj)− Eψ′(εj), j ≥ 1.
Необхiдно довести, що S1(u) та S2(u) збiгаються до нуля за ймовiрнiстю рiвно-
мiрно по u ∈ vc(R).
Нехай u ∈ vc(R) є фiксованим. Тодi
ES2
2(u) = γ2Eζ2
1
∑
H2(j; 0, u)
h2
i (j, u)
d2
in(θ)
. (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
АСИМПТОТИЧНА НОРМАЛЬНIСТЬ M -ОЦIНОК У КЛАСИЧНIЙ НЕЛIНIЙНIЙ МОДЕЛI ... 1475
Очевидно,
max
1≤j≤n
∣∣H(j; 0, u)
∣∣ = max
1≤j≤n
∣∣∣∣∣
q∑
i=1
hi(j, u∗j )
din(θ)
ui
∣∣∣∣∣ ≤ ‖u‖ max
1≤j≤n
(
q∑
i=1
[
hi(j, u∗j )
din(θ)
]2)1
2
,
де ‖u∗j‖ ≤ ‖u‖, j = 1, . . . , q. Використовуючи (2), отримуємо
max
1≤j≤n
∣∣H(j; 0, u)
∣∣ ≤ n−
1
2 ‖~k‖‖u‖, (13)
де ~k = (k1, . . . , kq) — вектор констант з нерiвностей (2).
Застосовуючи нерiвностi (13) та (2) до суми (12), знаходимо
ES2
2(u) ≤ γ2Eζ2
1‖~k‖2(ki)2R2n−1. (14)
З (14) та умови C(ii) випливає, що S2(u)
P→ 0 при n→∞ поточково у vc(R).
Для u1, u2 ∈ vc(R) розглянемо рiзницю
S2(u1)− S2(u2) =
= γ
∑
H(j; 0, u1)
Hi(j;u1, u2)
din(θ)
ζj − γ
∑
H(j;u1, u2)
hi(j, u2)
din(θ)
ζj =
= S3(u1, u2) + S4(u1, u2).
Для довiльних h > 0, r > 0 розглянемо ймовiрнiсть
P
{
sup
‖u1−u2‖≤h
|S3(u1, u2)| > r
}
≤ r−1E sup
‖u1−u2‖≤h
∣∣S3(u1, u2)
∣∣ ≤
≤ 2r−1
∣∣γ|E|ψ′(ε1)∣∣n sup
u∈v(R)
1≤j≤n
∣∣H(j; 0, u)
∣∣ sup
‖u1−u2‖≤h
1≤j≤n
|Hi(j;u1, u2)|
din(θ)
. (15)
Крiм цього,
sup
‖u1−u2‖≤h
1≤j≤n
|Hi(j;u1, u2)|
diT (θ)
≤
≤ h max
1≤j≤n
[
q∑
l=1
(
sup
u∈v(R)
|hil(j, u)|
dil,n(θ)
)
dil,n(θ)
din(θ)dln(θ)
]
≤
q∑
l=1
kilk̃ilhn−1 (16)
завдяки (3) та (4). Застосовуючи (13) та (16) до (15), отримуємо
P
{
sup
‖u1−u2‖≤h
|S3(u1, u2)| > r
}
≤ k1r
−1n−
1
2h (17)
з
k1 = 2
∣∣γ|E|ψ′(ε1)∣∣R‖~k‖( q∑
l=1
kilk̃il
)
.
Аналогiчним чином, використовуючи (2) та (13), знаходимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
1476 О. В. IВАНОВ, I. В. ОРЛОВСЬКИЙ
P
{
sup
‖u1−u2‖≤h
|S4(u1, u2)| > r
}
≤ r−1E sup
‖u1−u2‖≤h
∣∣S4(u1, u2)
∣∣ ≤
≤ 2r−1
∣∣γ|E|ψ′(ε1)∣∣n sup
u∈vc(R)
1≤j≤n
|hi(j, u)|
din(θ)
sup
‖u1−u2‖≤h
1≤j≤n
∣∣H(j;u1, u2)
∣∣ ≤ k2r
−1h (18)
з
k2 = 2
∣∣γ|E|ψ′(ε1)∣∣Rki‖~k‖.
З (17) та (18) маємо
P
{
sup
‖u1−u2‖≤h
∣∣S2(u1)− S2(u2)
∣∣ > r
}
≤ 2r−1h(k1n
− 1
2 + k2) ≤ k3r
−1h. (19)
Нехай Nh — скiнченна h-сiтка кулi vc(R). Тодi
sup
u∈vc(R)
|S2(u)| ≤ sup
‖u1−u2‖≤h
∣∣S2(u1)− S2(u2)
∣∣+ max
u∈Nh
∣∣S2(u)
∣∣. (20)
З (19) та (20) випливає, що для будь-якого r > 0
P
{
sup
u∈vc(R)
|S2(u)| > r
}
< 2k3r
−1h+ P
{
max
u∈Nh
|S2(u)| >
r
2
}
.
Для ε > 0 задамо h =
εr
4k3
. Тодi для n > n0 внаслiдок поточкової збiжностi S2(u)
до нуля за ймовiрнiстю маємо
P
{
max
u∈Nεr/4k3
|S2(u)| >
r
2
}
≤ ε
2
.
Звiдси випливає, що
P
{
sup
u∈vc(R)
|S2(u)| > r
}
< ε.
З iншого боку, для деякої в.в. u∗n ∈ vc(R)
sup
u∈vc(R)
∣∣S1(u)
∣∣ =
= |γ|
∣∣∣∣∑ hi(j, u∗n)
din(θ)
(
ψ(εj +H(j; 0, u∗n)
)
− ψ(εj)− ψ′(εj)H(j; 0, u∗n))
∣∣∣∣ . (21)
Згiдно з припущенням C(iii) та (13) майже напевно (м.н.)∣∣∣ψ(εj +H(j; 0, u∗n)
)
− ψ(εj)− ψ′(εj)H(j; 0, u∗n)
∣∣∣ =
=
∣∣ψ′(εj + δH(j; 0, u∗n)
)
− ψ′(εj)
∣∣∣∣H(j; 0, u∗n)
∣∣ ≤
≤ κH2(j; 0, u∗n) ≤ κ‖~k‖2R2n−1, δ ∈ (0, 1). (22)
Завдяки (2), (21) та (22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
АСИМПТОТИЧНА НОРМАЛЬНIСТЬ M -ОЦIНОК У КЛАСИЧНIЙ НЕЛIНIЙНIЙ МОДЕЛI ... 1477
sup
u∈v(R)
∣∣S1(u)
∣∣ ≤ κ|γ|‖~k‖2kiR2n−
1
2 м.н.,
i лему 1 доведено.
Введемо в.в.
Ln(u) =
(
Li
n(u)
)q
i=1
,
Li
n(u) =
∑(
ηj −
q∑
l=1
gl(j, θ)
dln(θ)
ul
)
gi(j, θ)
din(θ)
, i = 1, . . . , q,
(23)
який вiдповiдає допомiжнiй лiнiйнiй регресiйнiй моделi
Zj =
q∑
i=1
gi(j, θ)βi + ηj , j = 1, . . . , n,
з в.в. ηj , заданими формулою (9).
Система нормальних рiвнянь
Ln(u) = 0 (24)
визначає нормовану лiнiйну оцiнку найменших квадратiв β̃n параметра β ∈ Rq.
Покладемо
ũn = ũn(θ) = dn(θ)(β̃n − β). (25)
Лема 2. Нехай виконуються умови A, B1 та C. Тодi для довiльних R > 0 та
r > 0
P
{
sup
u∈vc(R)
‖Ψn(u)− Ln(u)‖ > r
}
−→
n→∞
0. (26)
Доведення. Для довiльного i ∈ {1, . . . , q}
Ψi
n(u)− Li
n(u) =
=
∑
ηj
hi(j, u)
din(θ)
+
∑
H(j; 0, u)
hi(j, u)
din(θ)
−
−
∑
ηj
gi(j, θ)
din(θ)
+
∑ gi(j, θ)
din(θ)
q∑
l=1
gl(j, θ)
dln(θ)
ul =
=
∑
ηj
Hi(j;u, 0)
din(θ)
+
∑
H(j; 0, u)
Hi(j;u, 0)
din(θ)
+
+
∑ gi(j, θ)
din(θ)
[
H(j; 0, u) +
q∑
l=1
gl(j, θ)
dln(θ)
ul
]
=
= S5(u) + S6(u) + S7(u).
Для фiксованого u ∈ vc(R), використовуючи нерiвнiсть (16), знаходимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
1478 О. В. IВАНОВ, I. В. ОРЛОВСЬКИЙ
ES2
5(u) = γ2Eψ2(ε1)
∑ H2
i (j;u, 0)
d2
in(θ)
≤ γ2Eψ2(ε1)
(
q∑
l=1
kilk̃il
)2
R2n−1,
i тому S5(u)
P−→
n→∞
0 поточково у vc(R). З iншого боку, завдяки (16),
E sup
‖u1−u2‖≤h
∣∣S5(u1)− S5(u2)
∣∣ ≤ ∣∣γ|E|ψ(ε1)
∣∣( q∑
l=1
kilk̃il
)
h,
i, як i для S2(u) в доведеннi леми 1, доводиться рiвномiрна у vc(R) збiжнiсть S5(u)
до нуля за ймовiрнiстю.
Беручи до уваги нерiвностi (13) та (16), отримуємо
sup
u∈vc(R)
∣∣S6(u)
∣∣ ≤ ‖~k‖
(
q∑
l=1
kilk̃il
)
R2n−
1
2 −→
n→∞
0.
Зауважимо, що S7(u) можна записати у виглядi
S7(u) = −1
2
q∑
l,m=1
(∑ hlm(j, un)
dln(θ)dmn(θ)
gi(j, θ)
din(θ)
)
ulum
для деякого un ∈ vc(R). Тодi за умови B1∣∣S7(u)
∣∣ ≤ ki
2
q∑
l, m=1
(
klmk̃lm|ul||um|
)
n−
1
2 ≤ qki
2
max
l, m=1,...,q
[
klmk̃lm
]
‖u‖2n− 1
2 .
Таким чином,
sup
u∈vc(R)
∣∣S7(u)
∣∣ −→
n→∞
0,
i лему 2 доведено.
З (11) та (26) випливає таке твердження.
Лема 3. Нехай виконуються умови A, B1 та C. Тодi для довiльних R > 0 та
r > 0
P
{
sup
u∈vc(R)
‖Mn(u)− Ln(u)‖ > r
}
−→
n→∞
0. (27)
Використовуючи (23) та (24), знаходимо (див. (25))
ũn = Λn(θ)
∑
ηjd
−1
n (θ)∇g(j, θ), (28)
де ∇g(j, θ) = (gi(j, θ))
q
i=1 — градiєнт функцiї g(j, θ).
Лема 4. Нехай виконуються умови (2), C(i), C(ii) та B2. Тодi для довiльних
R > 0 та r > 0
sup
C∈Cq
∣∣P {ũn ∈ C} − Φσ2Λn(θ)(C)
∣∣ −→
n→∞
0. (29)
Доведення. Позначимо через cov(ζ) коварiацiйну матрицю в.в. ζ.
Для доведення леми необхiдно перевiрити умови наслiдку 17.2 в [41, с. 172],
який сформульовано нижче у зручному для нас виглядi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
АСИМПТОТИЧНА НОРМАЛЬНIСТЬ M -ОЦIНОК У КЛАСИЧНIЙ НЕЛIНIЙНIЙ МОДЕЛI ... 1479
Твердження 1. Нехай ξjn, j = 1, . . . , n, n ≥ 1, — послiдовнiсть серiй iз
незалежних в кожнiй серiї в.в. в Rq з Eξjn = 0, j = 1, . . . , n, n ≥ 1, i для n ≥ n0 :
1) λmin(Kn) ≥ λ∗ > 0, Kn = n−1
∑
cov(ξjn);
2) n−1
∑
E‖ξjn‖3 ≤ r3 <∞.
Тодi iснує константа k(q) <∞ така, що
sup
C∈Cq
∣∣∣P{n−1/2
∑
ξjn ∈ C
}
− ΦKn
(C)
∣∣∣ ≤ k(q)λ−3/2
∗ r3n
−1/2.
Покладемо ξjn = n1/2ηjΛn(θ)d−1
n (θ)∇g(j, θ), j = 1, . . . , n. Тодi Kn = σ2Λn(θ).
Оскiльки Jii,n = 1, i = 1, . . . , q, то λmax(Jn(θ)) ≤ q i, вiдповiдно, λmin(Λn(θ)) ≥ 1
q
.
Позначимо
µ3 =
E|ψ(ε1)|3
|Eψ′(ε1)|3
<∞.
Маємо
n−1
∑
E‖ξjn‖3 ≤ µ3
(
λmax
(
Λn(θ)
))3
n1/2
∑(
q∑
i=1
g2
i (j, θ)
d2
in(θ)
)3/2
. (30)
За умови B2 для n > n0 виконується λmin(Jn(θ)) ≥ λ0 > 0. Вiдповiдно, при
n > n0
λmax(Λn(θ)) ≤ 1
λ0
. (31)
З iншого боку, завдяки (2)
n1/2
∑(
q∑
i=1
g2
i (j, θ)
d2
in(θ)
)3/2
≤ n3/2
(
q∑
i=1
(
max
1≤j≤n
|gi(j, θ)|
din(θ)
)2
)3/2
≤ ‖~k‖3. (32)
Таким чином, пiдставляючи (31), (32) у (30), отримуємо
n−1
∑
E‖ξjn‖3 ≤ µ3λ
−3
0 ‖~k‖3 = r3 <∞.
Всi умови твердження 1 виконано, i лему 4 доведено.
Аналогiчно (7) виконаємо замiну змiнних
w = n−
1
2 dn(θ)(τ − θ)
у функцiї регресiї та її похiдних. Функцiї, аналогiчнi h, hi, H, Hi позначимо f, fi,
F, Fi вiдповiдно (див. також означення перед умовою B3).
Лема 5. За умов теореми для довiльного ε > 0 iснує таке n0 = n0(ε), що для
n > n0 з iмовiрнiстю не меншою за 1− ε
3
система рiвнянь
∇
(
γn−1Sn(θ + n
1
2 d−1
n (θ)w)
)
= 0 (33)
має єдиний розв’язок.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
1480 О. В. IВАНОВ, I. В. ОРЛОВСЬКИЙ
Доведення. Розглянемо загальний елемент гессiана H(w) вiдображення w →
→ γn−1Sn(θ + n
1
2 d−1
n (θ)w):
Hil(w) =
∂2
∂wi∂wl
(
γn−1Sn(θ + n
1
2 d−1
n (θ)w)
)
=
8∑
k=1
H(k)
il (w),
H(1)
il (w) =
γ
din(θ)dln(θ)
∑
(ψ′(εj + F (j; 0, w))− ψ′(εj)) fi(j, w)fl(j, w),
H(2)
il (w) =
γ
din(θ)dln(θ)
∑
ψ′(εj) (fi(j, w)Fl(j;w, 0) + fl(j, 0)Fi(j;w, 0)) ,
H(3)
il =
γ
din(θ)dln(θ)
∑
ζjfi(j, 0)fl(j, 0); H(4)
il = Jil,n(θ),
H(5)
il (w) = − γ
din(θ)dln(θ)
∑
(ψ(εj + F (j; 0, w))− ψ(εj)−
−ψ′(εj)F (j; 0, w))fil(j, w),
H(6)
il (w) = − γ
din(θ)dln(θ)
∑
ψ′(εj)F (j; 0, w)fil(j, w),
H(7)
il (w) = − 1
din(θ)dln(θ)
∑
ηjFil(j;w, 0),
H(8)
il = − 1
din(θ)dln(θ)
∑
ηjfil(j, 0), i, l = 1, . . . , q.
Нерiвностi, аналогiчнi (13) та (16), набирають вигляду
max
1≤j≤n
∣∣F (j;w, 0)
∣∣ ≤ ‖~k‖‖w‖,
n−
1
2 d−1
in (θ) max
1≤j≤n
∣∣Fi(j;w, 0)
∣∣ ≤ ( q∑
l=1
kilk̃il
)
‖w‖n−1, i = 1, . . . , q.
У подальших оцiнках будемо використовувати умови теореми та останнi двi
нерiвностi. Маємо ∣∣H(1)
il (w)
∣∣ ≤ |γ|κkikl‖~k‖‖w‖. (34)
Позначимо ξn =
1
n
∑(
(ψ′(εj))
2 − E (ψ′(εj))
2
)
. Тодi
∣∣H(2)
il (w)
∣∣ ≤ |γ|n 1
2
(
|ξn|
1
2 +
(
E (ψ′(εj))
2
) 1
2
)
×
×
(
2
∑ f2
i (j, w)F 2
l (j;w, 0) + f2
l (j, 0)F 2
i (j;w, 0)
d2
in(θ)d2
ln(θ)
)1
2
≤
≤ |γ|
(
|ξn|
1
2 +
(
E (ψ′(εj))
2
) 1
2
)
×
×
2(ki)2
(
q∑
i=1
klik̃li
)2
+ 2(kl)2
(
q∑
i=1
kilk̃il
)2
1
2
‖w‖, (35)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
АСИМПТОТИЧНА НОРМАЛЬНIСТЬ M -ОЦIНОК У КЛАСИЧНIЙ НЕЛIНIЙНIЙ МОДЕЛI ... 1481
E
(
H(3)
il
)2
≤ γ2Eζ2
j
(
kikl
)2
n−1, (36)
∣∣H(5)
il (w)
∣∣ ≤ |γ|κ
∑ F 2(j; 0, w)|fil(j, w)|
din(θ)dln(θ)
≤ |γ|κkil k̃il‖~k‖2‖w‖2. (37)
Аналогiчно (35) отримуємо∣∣H(6)
il (w)
∣∣ ≤ |γ|
(
|ξn|
1
2 +
(
E (ψ′(εj))
2
) 1
2
)
‖~k‖kilk̃il‖w‖. (38)
За умови B3, якщо ‖w‖ ≤ r0,∣∣H(7)
il (w)
∣∣ ≤ (|νn|
1
2 +
(
Eν2
n
) 1
2
)
k
1
2
il‖w‖, (39)
де νn = n−1
∑
(η2
j − Eη2
j ).
Маємо також
E
(
H(8)
il
)2
≤ Eη2
j
(
kilk̃il
)2
n−1. (40)
На пiдставi нерiвностi [42, с. 103] можемо записати∣∣∣λmin (H(w))− λmin (Jn(θ))
∣∣∣ ≤ q max
1≤i,l≤q
|Hil(w)− Jil,n(θ)| ≤
≤ q
∑
k 6=4
max
1≤i,l≤q
∣∣∣H(k)
il (w)
∣∣∣ .
З умови конзистентностi D та оцiнок (34) – (40) випливає, що для довiльного
ε > 0 можна вказати подiю Cn, iмовiрнiсть якої P{Cn} ≥ 1− ε
3
для n > n0, таку,
що коли Cn вiдбувається, то
|λmin (H(w))− λmin (Jn(θ))| ≤ λ0
2
,
або
λmin (H(ŵn)) ≥ λ0
2
,
тобто випадковий вектор ŵn є єдиним розв’язком системи рiвнянь (33).
Наслiдок 2. Для будь-яких ε > 0 та R > 0 система рiвнянь (8) для n > n0 з
iмовiрнiстю не меншою за 1− ε
3
має єдиний розв’язок у кулi vc(R).
3. Доведення основних результатiв. Доведення теореми. З огляду на лему 4
для доведення теореми необхiдно показати, що для довiльних r > 0
πn(r) = P {‖ûn − ũn‖ > r} −→
n→∞
0, (41)
де ũn введено у (28).
Задамо подiю An =
{
ũn ∈ vc(R− r)
}
з таким R, що за лемою 4 для n > n0
P{An} ≤
ε
3
,
де ε > 0 — фiксоване як завгодно мале число.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
1482 О. В. IВАНОВ, I. В. ОРЛОВСЬКИЙ
Введемо також подiю
Bn =
{
sup
u∈vc(R)
‖Λn(θ)(Mn(u)− Ln(u))‖ ≤ r
}
.
З (27) та (31) випливає, що для n > n0
P{Bn} ≤ P
{
sup
u∈vc(R)
‖Mn(u)− Ln(u)‖ > λ0r
}
≤ ε
3
,
а отже, для n > n0
P{An ∩Bn ∩ Cn} ≥ 1− ε, (42)
де Cn — подiя, про яку йдеться у доведеннi леми 5.
Беручи до уваги формули (23) та (28), отримуємо Λn(θ)Ln(u) = ũn − u. Якщо
подiя An ∩Bn ∩ Cn вiдбулася, то для u ∈ vc(R)∥∥u+ Λn(θ)Mn(u)
∥∥ ≤ ∥∥Λn(θ)(Mn(u)− Ln(u))
∥∥+ ‖ũn‖ ≤ r + (R− r) = R,
тобто Fn(u) = u + Λn(θ)Mn(u) — неперервне вiдображення з vc(R) в vc(R). Для
того щоб довести (41), скористаємося теоремою Брауера про нерухому точку (див.,
наприклад, [43]).
Застосовуючи цю теорему до Fn(u), отримуємо, що iснує точка u0
n ∈ vc(R)
така, що Fn(u0
n) = u0
n або, оскiльки Λn(θ) не вироджена, Mn(u0
n) = 0. Згiдно з
наслiдком 2 леми 5 єдиним розв’язком системи рiвнянь Mn(u) = 0 є нормована
M -оцiнка ûn. Таким чином,
An ∩Bn ∩ Cn ⊂
{
ûn ∈ vc(R)
}
i
P
{
ûn ∈ vc(R)
}
≥ 1− ε.
Зауважимо також, що з (42) випливає нерiвнiсть
1− ε ≤ P
{{
ûn ∈ vc(R)
}
∩Bn
}
≤
≤ P
{∥∥Λn(θ)(Mn(ûn)− Ln(ûn))
∥∥ ≤ r
}
=
= P {‖ûn − ũn)‖ ≤ r} , (43)
а виконання (43) для довiльного ε > 0 еквiвалентне виконанню (41).
Нехай для опуклої борелевої множини C
Cr = {x : x ∈ Rq; d(x,C) < r} ,
де d(x,C) = inf
y∈C
‖x− y‖, та C−r = Rq\ (Rq\C)r .
Тодi завдяки (41),
P{ûn ∈ C} ≤ P
{
ûn ∈ C, ‖ûn − ũn‖ ≤
r
2
}
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
АСИМПТОТИЧНА НОРМАЛЬНIСТЬ M -ОЦIНОК У КЛАСИЧНIЙ НЕЛIНIЙНIЙ МОДЕЛI ... 1483
+P
{
ûn ∈ C, ‖ûn − ũn‖ >
r
2
}
≤ P{ũn ∈ Cr}+ πn
(r
2
)
, (44)
P{ũn ∈ C−r} ≤ P
{
ũn ∈ C−r, ‖ûn − ũn‖ ≤
r
2
}
+
+P
{
ũn ∈ C−r, ‖ûn − ũn‖ >
r
2
}
≤ P{ûn ∈ C}+ πn
(r
2
)
. (45)
Для довiльної опуклої множини C ∈ Cq з (44) та (45) маємо
P{ûn ∈ C} − Φσ2Λn(θ)(C) ≤
≤ πn
(r
2
)
+
(
P{ũn ∈ Cr} − Φσ2Λn(θ)(Cr)
)
+
+
(
Φσ2Λn(θ)(Cr)− Φσ2Λn(θ)(C)
)
, (46)
Φσ2Λn(θ)(C)− P{ûn ∈ C} ≤
≤ πn
(r
2
)
+
(
Φσ2Λn(θ)(C−r)− P{ũn ∈ C−r}
)
+
+
(
Φσ2Λn(θ)(C)− Φσ2Λn(θ)(C−r)
)
. (47)
Другi доданки у правих частинах (46) та (47) збiгаються до нуля рiвномiрно
по C ∈ Cq завдяки (29), πn
(r
2
)
−→
n→∞
0 за (41). Для оцiнки третiх доданкiв нам
потрiбен один глибокий факт, повне доведення якого можна знайти в § 3 [41].
Твердження 2. Нехай ν — невiд’ємна диференцiйовна функцiя на [0,∞) така,
що:
1) b =
∫ ∞
0
|ν′(λ)|λq−1dλ <∞;
2) lim
λ→∞
ν(λ) = 0.
Тодi для довiльної опуклої множини C ∈ Cq та будь-якого r > 0∫
Cr\C
ν(‖x‖)dx ≤ b
2π
q
2
Γ
(q
2
)r, ∫
C\C−r
ν(‖x‖)dx ≤ b
2π
q
2
Γ
(q
2
)r. (48)
Оскiльки за означенням матрицi Jn(θ)
det Jn(θ) ≤ q!,
а за умовою B2 для n > n0
〈Jn(θ)x, x〉 ≥ λ0‖x‖2,
то
ϕσ2Λn(θ)(x) =
(det Jn(θ))
1
2
(2πσ2)
q
2
exp
{
− 1
2σ2
〈Jn(θ)x, x〉
}
≤
≤ (q!)
1
2
(2πσ2)
q
2
exp
{
− λ0
2σ2
‖x‖2
}
= ν(‖x‖).
Тодi за формулами (48)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
1484 О. В. IВАНОВ, I. В. ОРЛОВСЬКИЙ
Φσ2Λn(θ)(Cr)− Φσ2Λn(θ)(C) =
∫
Cr\C
ϕσ2Λn(θ)(x)dx ≤ b
2π
q
2
Γ
(q
2
)r, (49)
де b = b(q, λ0, σ
2) <∞ — деяка константа, яка не залежить вiд множини C.
За допомогою (48) для рiзницi
Φσ2Λn(θ)(C)− Φσ2Λn(θ)(C−r)
отримуємо оцiнку, яка збiгається з (49).
Таким чином, з (46), (47) та попереднiх мiркувань випливає справедливiсть (6).
Доведення наслiдку 1. Беручи до уваги (6), потрiбно довести, що
sup
C∈Cq
∣∣Φσ2Λn(θ)(C)− Φσ2Λ(θ)(C)
∣∣ −→
n→∞
0.
Позначимо λmin(J(θ)) = 2λ0 > 0. Тодi для n > n0 λmin(Jn(θ)) ≥ λ0. Для
довiльного C ∈ Cq та n > n0∣∣Φσ2Λn(θ)(C)− Φσ2Λ(θ)(C)
∣∣ ≤
≤
∣∣∣(det Jn(θ))
1
2 − (det J(θ))
1
2
∣∣∣
(2πσ2)
q
2
∫
Rq
exp
{
− λ0
2σ2
‖x‖2
}
dx+
+
(det J(θ))
1
2
(2πσ2)
q
2
∫
Rq
∣∣∣∣exp
{
− 1
2σ2
〈Jn(θ)x, x〉
}
− exp
{
− 1
2σ2
〈J(θ)x, x〉
}∣∣∣∣ dx =
= I1 + I2.
Очевидно, lim
n→∞
I1 = 0. Крiм того, послiдовнiсть функцiй
fn(x) =
∣∣∣∣exp
{
− 1
2σ2
〈Jn(θ)x, x〉
}
− exp
{
− 1
2σ2
〈J(θ)x, x〉
}∣∣∣∣ , x ∈ Rq,
поточково збiгається до нуля та має iнтегровну мажоранту:
fn(x) ≤ exp
{
− λ0
2σ2
‖x‖2
}
+ exp
{
−λ0
σ2
‖x‖2
}
, n > n0.
За теоремою Лебега про мажоровану збiжнiсть lim
n→∞
I2 = 0.
Наслiдок доведено.
4. Приклади. Наступнi функцiї втрат ρ мають обмежену похiдну ρ′′′ = ψ′′,
тобто для них виконується умова Лiпшиця C(iii):
ρ(x) =
1
2ν
(1− e−νx2
), ν > 0,
ρ(x) = 2 ln ch
x
2
,
ρ(x) = νx arctgµx− ν
2µ
ln(1 + µ2x2), ν, µ > 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
АСИМПТОТИЧНА НОРМАЛЬНIСТЬ M -ОЦIНОК У КЛАСИЧНIЙ НЕЛIНIЙНIЙ МОДЕЛI ... 1485
ρ(x) =
x2
x2 + c2
, c > 0, ψ(x) =
2c2x
(x2 + c2)2
, ψ′(x) =
2c2(c2 − 3x2)
(x2 + c2)3
,
ψ′′(x) =
24c2x(x2 − c2)
(x2 + c2)4
.
У подальших прикладах зупинимось на M -оцiнках параметрiв зсуву в.в. зi
щiльнiстю Кошi, побудованих за останньою функцiєю втрат.
Пpиклад 1. Розглянемо модель регресiї
Xj = θ1 cos θ2j + εj , j = 1, . . . , n,
в якiй функцiю регресiї g(j, θ) = θ1 cos θ2j задано на Θ = (a,A) × (h, π − h),
0 < a < A <∞, 0 < h <
π
2
, та в.в. εj мають розподiл Кошi зi щiльнiстю
fεj
(x) =
c
π(x2 + c2)
, x ∈ R1,
c > 0 — деякий вiдомий параметр.
У цьому випадку
g1(j, θ) = cos θ2j, g2(j, θ) = −θ1j sin θ2j,
g11(j, θ) = 0, g12(j, θ) = −j sin θ2j, g22(j, θ) = −θ1j2 cos θ2j,
крiм того,
d2
1n(θ) =
∑
cos2 θ2j =
n
2
+O(1), n→∞, (50)
d2
2n(θ) = θ21
∑
j2 sin2 θ2j = θ21
n3
6
+O(n2), n→∞. (51)
Виходячи з (50) та (51), можна взяти нормованi M -оцiнки
û1n =
(n
2
) 1
2
(θ̂1n − θ1), û2n = θ1
(
n3
6
) 1
2 (
θ̂2n − θ2
)
. (52)
Враховуючи, що d12,n(θ) = O(n
3
2 ), d22,n(θ) = O(n
5
2 ), бачимо, що умова B1
виконується. Зауважимо також, що
lim
n→∞
Jn(θ) = J(θ) = I2 =
(
1 0
0 1
)
,
i, таким чином, умови B4 (та B2) виконано також.
Перевiримо виконання умови B3. Для випадку, коли i = l = 1, g11(j, θ) = 0, i
твердження є очевидним. Для випадку i = 1, l = 2
nF12,n(w, 0)
d2
1n(θ)d2
2n(θ)
=
n
d2
1n(θ)d2
2n(θ)
∑(
j sin(θ2 + n
1
2 d−1
2n (θ)w2)j − j sin θ2j
)2
≤
≤ 4n
d2
1n(θ)d2
2n(θ)
∑
j2 sin2
(
j
2
n
1
2 d−1
2n (θ)w2
)
≤ k12‖w‖2
для деякого k12 > 0. Аналогiчно
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
1486 О. В. IВАНОВ, I. В. ОРЛОВСЬКИЙ
nF22,n(w, 0)
d4
2n(θ)
=
n
d4
2n(θ)
∑
j4
(
θ1
[
cos(θ2 + n
1
2 d−1
2n (θ)w2)j − cos θ2j
]
+
+n
1
2 d−1
1n (θ)w1 cos(θ2 + n
1
2 d−1
2n (θ)w2)j
)2
≤
≤ 4θ21n
d4
2n(θ)
∑
j4 sin2
(
j
2
n
1
2 d−1
2n (θ)w2
)
+
+
(
2n2
d2
1n(θ)d4
2n(θ)
∑
j4
)
|w1|2 ≤ k22‖w‖2
для деякого k22 > 0.
Перевiримо виконання умови C у випадку, коли параметри c функцiй ρ та f
збiгаються. Очевидно,
Eψ(εj) = 0, E |ψ(εj)|3 <∞, E |ψ′(εj)|
2
<∞.
Неважко знайти, наприклад, методом лишкiв, що
Eψ2(εj) =
5
32c2
, Eψ′(εj) =
1
4c2
> 0.
Таким чином, умова C виконується i величина σ2, задана формулою (5), набуває
значення
σ2 =
5c2
2
.
Отже, нормована M -оцiнка ûn = (û1n, û2n) , яку задано в (52), асимптотично
нормальна N
(
0,
5c2
2
I2
)
.
Пpиклад 2. Розглянемо модель спостережень
Xj = θ + εj , j = 1, . . . , n ,
яка є найпростiшим випадком загальної моделi (1). Припустимо, що похибки
спостережень εj мають розподiл Кошi зi щiльнiстю
fεj (x) =
1
π
1
1 + x2
, x ∈ R1.
Таким чином, спостереження Xj мають щiльнiсть розподiлу
f(x, θ) =
1
π
1
1 + (x− θ)2
, x ∈ R1,
i параметр θ є медiаною в.в. Xj .
Доведена у статтi теорема стверджує, що M -оцiнка θ̂n параметра θ, побудо-
вана за допомогою функцiї втрат ρ(x) =
x2
1 + x2
, має таку властивiсть: величина
√
n
(
θ̂n − θ
)
асимптотично нормальна N
(
0,
5
2
)
.
З iншого боку, якщо в якостi оцiнки медiани θ взяти порядкову статистику
X(
k( 1
2 )
), де k
(
1
2
)
=
n
2
, якщо
n
2
— цiле число, i k
(
1
2
)
=
[n
2
]
+1 в протилежному
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
АСИМПТОТИЧНА НОРМАЛЬНIСТЬ M -ОЦIНОК У КЛАСИЧНIЙ НЕЛIНIЙНIЙ МОДЕЛI ... 1487
випадку, то в.в.
√
n
(
X(
k( 1
2 )
) − θ
)
є асимптотично нормальною N
(
0,
1
4f2(θ, θ)
)
i, очевидно,
1
4f2(θ, θ)
=
π2
4
(див., наприклад, теорему 2 в [44, с. 368]).
Вiдносною асимптотичною ефективнiстю цих двох оцiнок є величина
π2
4
:
5
2
=
π2
10
≈ 0, 987.
Останнiй результат показує, що θ̂n i X(k(1/2)) оцiнюють медiану θ практично з
однiєю точнiстю.
1. Huber P. J. Robust regression: asymptotics, conjectures and Monte-Carlo // Ann. Statist. – 1973. –
1, № 5. – P. 799 – 821.
2. Хьюбер П. Робастность в статистике. – М.: Мир, 1984.
3. Hampel F. R., Ronchetti E. M., Rousseeuw P. J., Stahel W. A. Robust statistics. The approach based
on influence functions. – New York: Wiley, 1986.
4. Ronner A. E. Asymptotic normality of p-norm estimators in multiple regression // Z. Wahrscheinli-
chkeitstheor. und verw. Geb. – 1984. – 66. – S. 613 – 620.
5. Бардадым Т. А., Иванов А. В. Асимптотическая нормальность lα-оценок параметров нелиней-
ной модели регрессии // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1988. – № 8. – С. 68 – 70.
6. Бардадим Т. О., Iванов О. В. Про асимптотичну нормальнiсть lα-оцiнок параметра нелiнiйної
моделi регресiї // Теорiя ймовiрностей та мат. статистика. – 1999. – Вип. 60. – С. 1 – 10.
7. Chen X. R., Wu Y. H. Strong consistency of M -estimates in linear models // J. Multivar. Anal. –
1988. – 27. – P. 116 – 130.
8. Jurečková. Consistency of M -estimators in linear model generated by a nonmonotone and disconti-
nuous ψ-function // Probab. Statist. – 1989. – 10. – P. 1 – 10.
9. Иванов А. В. О состоятельности lα-оценок параметров функции регрессии // Теория вероят-
ности и мат. статистика. – 1990. – Вып. 42. – С. 42 – 48.
10. Liese F., Vajda I. Asymptotic normality of M -estimators in nonlinear regression // Res. Rept UTIA,
Prague. – 1991. – № 1714. – 6 p.
11. Liese F., Vajda I. Consistency of M -estimators in nonlinear regression. – Ibid. – № 1713. – 19 p.
12. Liese F., Vajda I. Consistency of M -estimates in general regression models // J. Multivar. Anal. –
1994. – 50, № 1. – P. 93 – 114.
13. Liese F., Vajda I. Necessary and sufficient conditions for consistency of generalized M -estimates //
Metrika. – 1995. – 42. – P. 291 – 324.
14. Liese F., Vajda I. A general asymptotic theory of M -estimators // Res. Rept. UTIA, Prague. – 1999.
– № 1951.
15. Müller Ch. H. Robust planning and analysis of experiments // Lect. Notes Statist. – New York:
Springer, 1997.
16. Liese F. Necessary and sufficient conditions for consistency of approximate M -estimators in nonli-
near models // Proc. Prague Stochast. – 1998. – P. 357 – 360.
17. Arcones M. A. Asymptotic theory of M -estimators over a convex kernel // Econometric Theory. –
1998. – 14, № 4. – P. 387 – 422.
18. Wu Y., Zen M. M. A strongly consistent information criterion for linear model selection based on
M -estimation // Probab. Theory and Relat. Fields. – 1999. – 113. – P. 599 – 625.
19. Geer van de S. A. Empirical processes in M -estimation. – Cambridge Univ. Press, 2000.
20. Орловський I. В. Конзистентнiсть оцiнок Коенкера – Бассета в нелiнiйних моделях регресiї //
Наук. вiстi НТУУ „КПI”. – 2004. – № 3(35). – С. 144 – 150.
21. Iванов О. В., Орловський I. В. Асимптотична нормальнiсть оцiнок Коенкера – Бассета у не-
лiнiйних моделях регресiї // Теорiя ймовiрностей та мат. статистика. – 2005. – Вип. 72. –
С. 30 – 41.
22. Ivanov A. V., Orlovsky I. V. Parameter estimators of nonlinear quantile regression // Theory Stochast.
Process. – 2005. – 11(27), № 3-4. – P. 82 – 91.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
1488 О. В. IВАНОВ, I. В. ОРЛОВСЬКИЙ
23. Koul H. L. M -estimators in linear models with long range dependent errors // Statist. and Probab.
Lett. – 1992. – 14. – P. 153 – 164.
24. Koul H. L. Asymptotics of M -estimations in non-linear regression with long-range dependence
errors // Proc. Athens Conf. Appl. Probab. and Time Ser. Analysis / Eds. P. M. Robinson and
M. Rosenblatt: Lect. Notes Statist. – 1996. – 2. – P. 272 – 291.
25. Koul H. L., Mukherjee K. Regression quantiles and related processes under long range dependent
errors // J. Multivar. Anal. – 1994. – 51. – P. 318 – 337.
26. Giraitis L., Koul H. L., Surgailis D. Asymptotic normality of regression estimators with long memory
errors // Statist. and Probab. Lett. – 1996. – 29. – P. 317 – 335.
27. Koul H. L., Surgailis D. Asymptotic expansion of M -estimators with long memory errors // Ann.
Statist. – 1997. – 25. – P. 818 – 850.
28. Koul H. L., Surgailis D. Second order behavior of M -estimators in linear regression with long-
memory errors // J. Statist. Planning and Inference. – 2000. – 91. – P. 399 – 412.
29. Koul H. L., Surgailis D. Robust estimators in regression models with long memory errors // Theory
and Application of Long-Range Dependence / Eds P. Doukhan, G. Oppenheim and M. S. Taqqu. –
Boston: Birkhäuser, 2003. – P. 339 – 353.
30. Giraitis L., Koul H. L. Estimation of the dependence parameter in linear regression with long-range
dependent errors // Statist. and Probab. Letters. – 1996. – 29. – P. 317 – 335.
31. Koul H. L., Baillie R. T., Surgailis D. Regression model fitting with a long memory covariance
process // Economic Theory. – 2004. – 20. – P. 485 – 512.
32. Ivanov A. V., Leonenko N. N. Asymptotic behavior of M -estimators in continuous-time non-linear
regression with long-range dependent errors // Random Oper. and Stochast. Equat. – 2002. – 10,
№ 3. – P. 201 – 222.
33. Ivanov A. V., Orlovsky I. V. Lp-estimates in nonlinear regression with long-range dependence //
Theory Stochast. Processes. – 2002. – 7, № 3-4. – P. 38 – 49.
34. Iванов О. В., Орловський I. В. Конзистентнiсть М-оцiнок у нелiнiйних моделях регресiї з
неперервним часом // Наук. вiстi НТУУ „КПI”. – 2005. – № 4. – С. 140 – 147.
35. Orlovsky I. V. M -estimates in nonlinear regression with weak dependence // Theory Stochast.
Process. – 2003. – 9, №. 1-2. – P. 108 – 122.
36. Орловський I. В. Асимптотичнi властивостiM -оцiнок параметрiв нелiнiйних моделей регресiї:
Дис. . . . канд. фiз.-мат. наук. – Київ, 2007.
37. Jennrich R. I. Asymptotic properties of non-linear least squares estimators // Ann. Math. Statist. –
1969. – 40. – P. 633 – 643.
38. Pfanzagl J. On the measurability and consistency of minimum contrast estimates // Metrika. – 1969.
– 14. – P. 249 – 272.
39. Шметтерер Л. Введение в математическую статистику. – М.: Наука, 1976.
40. Ivanov A. V. Asymptotic theory of nonlinear regression. – Dordrecht: Kluwer Acad. Press, 1997.
41. Бхаттачария Р. Н., Ранга Рао Р. Аппроксимация нормальным распределением и асимптоти-
ческие разложения. – М.: Наука, 1982.
42. Wilkinson J. H. The algebraic eigenvalue problem. – Oxford: Clarendon Press, 1965.
43. Гончаренко Ю. В., Ляшко С. И. Теорема Брауэра. – Киев: КИЙ, 2000.
44. Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. И. Теория вероятностей и математическая статис-
тика. – Киев: Вища шк., 1988.
Одержано 03.07.07,
пiсля доопрацювання — 25.03.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-3262 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:39:12Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/8c/8eea7c67ba984a1bd51dc7165fb0e28c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32622020-03-18T19:49:31Z Asymptotic normality of M-estimates in the classical nonlinear regression model Асимптотична нормальність M-оцінок у класичній нелінійній моделі регресії Ivanov, O. V. Orlovs’kyi, I. V. Іванов, О. В. Орловський, І. В. Sufficient conditions are obtained for the asymptotic normality of M-estimates of the unknown parameters of nonlinear regression models with discrete time and independent identically distributed errors of observations. Получены достаточные условия асимптотической нормальности M-оценок неизвестных параметров нелинейных моделей регрессии с дискретным временем и независимыми одинаково распределенными погрешностями наблюдений. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3262 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 11 (2008); 1470–1488 Український математичний журнал; Том 60 № 11 (2008); 1470–1488 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3262/3270 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3262/3271 Copyright (c) 2008 Ivanov O. V.; Orlovs’kyi I. V. |
| spellingShingle | Ivanov, O. V. Orlovs’kyi, I. V. Іванов, О. В. Орловський, І. В. Asymptotic normality of M-estimates in the classical nonlinear regression model |
| title | Asymptotic normality of M-estimates in the classical nonlinear regression model |
| title_alt | Асимптотична нормальність M-оцінок у класичній нелінійній моделі регресії |
| title_full | Asymptotic normality of M-estimates in the classical nonlinear regression model |
| title_fullStr | Asymptotic normality of M-estimates in the classical nonlinear regression model |
| title_full_unstemmed | Asymptotic normality of M-estimates in the classical nonlinear regression model |
| title_short | Asymptotic normality of M-estimates in the classical nonlinear regression model |
| title_sort | asymptotic normality of m-estimates in the classical nonlinear regression model |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3262 |
| work_keys_str_mv | AT ivanovov asymptoticnormalityofmestimatesintheclassicalnonlinearregressionmodel AT orlovskyiiv asymptoticnormalityofmestimatesintheclassicalnonlinearregressionmodel AT ívanovov asymptoticnormalityofmestimatesintheclassicalnonlinearregressionmodel AT orlovsʹkijív asymptoticnormalityofmestimatesintheclassicalnonlinearregressionmodel AT ivanovov asimptotičnanormalʹnístʹmocínokuklasičníjnelíníjníjmodelíregresíí AT orlovskyiiv asimptotičnanormalʹnístʹmocínokuklasičníjnelíníjníjmodelíregresíí AT ívanovov asimptotičnanormalʹnístʹmocínokuklasičníjnelíníjníjmodelíregresíí AT orlovsʹkijív asimptotičnanormalʹnístʹmocínokuklasičníjnelíníjníjmodelíregresíí |