Evolution inequalities with noncoercive w λ 0 -pseudomonotone volterra-type mappings
We consider a class of differential-operator inequalities with noncoercive w λ 0 -pseudomonotone operators. The problem of the existence of solutions of the Cauchy problem for these inequalities is investigated by using the Dubinsky method. A priori estimates for these solutions and their derivati...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3264 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509320462991360 |
|---|---|
| author | Kasyanov, P. O. Mel'nik, V. S. Касьянов, П. О. Мельник, В. С. |
| author_facet | Kasyanov, P. O. Mel'nik, V. S. Касьянов, П. О. Мельник, В. С. |
| author_sort | Kasyanov, P. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:49:31Z |
| description | We consider a class of differential-operator inequalities with noncoercive w λ 0 -pseudomonotone operators.
The problem of the existence of solutions of the Cauchy problem for these inequalities is investigated by using the Dubinsky method.
A priori estimates for these solutions and their derivatives are obtained. We give a model example that illustrates the results and generalizations obtained. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:39:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
П. О. Касьянов (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка),
В. С. Мельник (Iн-т прикл. систем. аналiзу НАН України та М-ва освiти i науки України,
Київ)
ЕВОЛЮЦIЙНI НЕРIВНОСТI З НЕКОЕРЦИТИВНИМИ
wλ0-ПСЕВДОМОНОТОННИМИ ВIДОБРАЖЕННЯМИ
ТИПУ ВОЛЬТЕРРА
We consider a class of differential-operator inequalities with noncoercive wλ0-pseudomonotone operators.
The problem of the existence of solutions of the Cauchy problem for these inequalities is investigated by
using the Dubinsky method. A priori estimates for these solutions and their derivatives are obtained. We
give a model example that illustrates the results and generalizations obtained.
Рассмотрен класс дифференциально-операторных неравенств с некоэрцитивными операторами wλ0-
псевдомонотонного типа. С помощью метода Ю. А. Дубинского исследована проблема существова-
ния решения задачи Коши для данных неравенств. Установлены априорные оценки для полученных
решений и их производных. Приведен модельный пример, иллюстрирующий полученные резуль-
таты.
1. Вступ. Диференцiально-операторнi включення та еволюцiйнi варiацiйнi нерiв-
ностi вивчаються досить iнтенсивно. За аналогiєю з диференцiально-операторними
рiвняннями вiдомi, принаймнi, чотири пiдходи: метод Фаедо – Гальоркiна, елiптич-
на регуляризацiя, теорiя напiвгруп, рiзницевi апроксимацiї. Розповсюдження цих
пiдходiв на еволюцiйнi включення наштовхується на ряд принципових трудно-
щiв. Для диференцiально-операторних включень метод напiвгруп реалiзовано в
працях А. А. Толстоногова, Ю. I. Уманського [1, 2], метод сингулярних збурень
(Х. Брезис i Ю. А. Дубiнський) — в роботах О. М. Вакуленка та В. С. Мельни-
ка [3 – 5]. Метод Фаедо – Гальоркiна для диференцiально-операторних включень
для wλ0-псевдомонотонних багатозначних вiдображень розглянуто в [6 – 9]. Метод
скiнченних рiзниць на еволюцiйнi включення та варiацiйнi нерiвностi було вперше
розповсюджено в роботi П. О. Касьянова, В. С. Мельника i Л. Тоскано [10].
Cхема Ю. А. Дубiнського [11] для диференцiально-операторних включень та
еволюцiйних варiацiйних нерiвностей з некоерцитивними багатозначними wλ0-
псевдомонотонними вiдображеннями до цього часу систематично не була дослi-
джена.
У данiй роботi розглядаються еволюцiйнi варiацiйнi нерiвностi з некоерци-
тивними багатозначними вiдображеннями. Доведено ряд теорем про розв’язнiсть
даних об’єктiв.
2. Постановка задачi. Нехай (V1, ‖ · ‖V1) та (V2, ‖ · ‖V2) — рефлексивнi бана-
ховi простори над полем дiйсних чисел, неперервно вкладенi в дiйсний гiльбертiв
простiр (H, (·, ·)), такi що для деякої злiченної множини Φ ⊂ V = V1 ∩ V2
Φ щiльна в просторах V, V1, V2 та в H. (2.1)
Пiсля ототожнення H ≡ H∗ одержимо
V1 ⊂ H ⊂ V ∗1 , V2 ⊂ H ⊂ V ∗2 , (2.2)
з неперервними та щiльними вкладеннями, де (V ∗i , ‖ · ‖V ∗
i
), i = 1, 2, — топологiчно
спряжений до Vi простiр вiдносно форми
c© П. О. КАСЬЯНОВ, В. С. МЕЛЬНИК , 2008
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11 1499
1500 П. О. КАСЬЯНОВ, В. С. МЕЛЬНИК
〈·, ·〉Vi
: V ∗i × Vi → R,
яка спiвпадає на H × V зi скалярним добутком (·, ·) в H [12].
Розглянемо функцiональнi простори Xi = Lri
(S;H) ∩ Lpi
(S;Vi), де S — скiн-
ченний iнтервал часу, 1 < pi ≤ ri < +∞. Простори Xi є рефлексивними банахо-
вими просторами з нормами
‖y‖Xi
= ‖y‖Lpi
(S;Vi) + ‖y‖Lri
(S;H).
Розглянемо також рефлексивний банахiв простiр X = X1 ∩X2 з нормою ‖y‖X =
= ‖y‖X1 + ‖y‖X2 . Нехай X∗
i (i = 1, 2) спряжений до Xi. Тодi
X∗ = X∗
1 +X∗
2 = Lq1(S;V ∗1 ) + Lq2(S;V ∗2 ) + Lr′1
(S;H) + Lr′2
(S;H),
де ri−1 + r′i
−1 = pi
−1 + qi
−1 = 1, i = 1, 2. Визначимо спарювання на X∗ ×X :
〈f, y〉 =
∫
S
(f11(τ), y(τ))H dτ +
∫
S
(f12(τ), y(τ))H dτ +
+
∫
S
〈f21(τ), y(τ)〉V1
dτ +
∫
S
〈f22(τ), y(τ)〉V2
dτ =
∫
S
(f(τ), y(τ)) dτ,
де f = f11 +f12 +f21 +f22, f1i ∈ Lr′i
(S;H), f2i ∈ Lqi
(S;V ∗i ), i = 1, 2. Зауважимо,
що 〈·, ·〉 спiвпадає зi скалярним добутком в H = L2(S;H) на H×X.
Нехай A : X ⇒ X∗ — багатозначне вiдображення. Розглядаються розв’язки в
класi W = {y ∈ X | y′ ∈ X∗} наступної задачi:〈y
′, ξ〉+ [A(y), ξ]+ ≥ 〈f, ξ〉 ∀ξ ∈W,
y(0) = 0̄,
(2.3)
де f ∈ X∗ довiльне, y′ — похiдна вiд елемента y ∈ X в сенсi простору скалярних
розподiлiв D∗(S;V ∗) = L(D(S);V ∗w), з V = V1 ∩ V2; V ∗w спiвпадає з V ∗ = V ∗1 + V ∗2
з топологiєю σ(V ∗, V ) [13].
Для доведення розв’язностi задачi (2.3) використаємо окремий випадок мето-
ду стацiонарних апроксимацiй, представлений у роботi Ю. А. Дубiнського [11]
для диференцiально-операторних рiвнянь. Окрiм розв’язностi даний метод дозво-
лить нам одержати ряд апрiорних оцiнок, за допомогою яких, наприклад, можна
дослiджувати динамiку розв’язкiв для широкого класу прикладних задач, якi опису-
ються за допомогою еволюцiйних нерiвностей з некоерцитивними багатозначними
вiдображеннями типу Вольтерра. Цей метод полягає у тому, щоб вiд задачi (2.3)
перейти до диференцiально-операторного включення другого порядку
−εy′′ε + y′ε +
∗
coAyε 3 f, yε(0) = 0̄, y′ε(T ) = 0̄. (2.4)
Потiм, довiвши розв’язнiсть даної задачi при фiксованому ε > 0, одержавши апрi-
орнi оцiнки розв’язкiв i спрямувавши ε → 0+, одержати розв’язки задачi (2.3) з
рядом властивостей.
Введемо на рефлексивному банаховому просторi W норму графiка ‖y‖W =
= ‖y‖X + ‖y′‖X∗ , де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
ЕВОЛЮЦIЙНI НЕРIВНОСТI З НЕКОЕРЦИТИВНИМИ wλ0 -ПСЕВДОМОНОТОННИМИ ... 1501
‖f‖X∗ = inf
f = f11 + f12 + f21 + f22 :
f1i ∈ Lr′
i
(S; H), f2i ∈ Lqi
(S; V ∗
i ), i = 1, 2
max
{
‖f11‖Lr′1
(S;H);
‖f12‖Lr′2
(S;H); ‖f21‖Lq1 (S;V ∗
1 ); ‖f22‖Lq2 (S;V ∗
2 )
}
.
Зауважимо, що W ⊂ C(S;H) неперервно. Бiльш того, для кожних y, ξ ∈W та
s, t ∈ S має мiсце формула iнтегрування частинами
(
y(t), ξ(t)
)
−
(
y(s), ξ(s)
)
=
t∫
s
{
(y′(τ), ξ(τ)) + (y(τ), ξ′(τ))
}
dτ. (2.5)
Зокрема, при y = ξ маємо
1
2
(
‖y(t)‖2H − ‖y(s)‖2H
)
=
t∫
s
(y′(τ), y(τ))dτ.
3. Класи вiдображень. Нехай Y — деякий банахiв простiр, Y ∗ — його то-
пологiчно спряжений простiр, 〈·, ·〉Y : Y ∗ × Y → R — спарювання, A : Y ⇒ Y ∗
— строге багатозначне вiдображення. Для нього визначимо верхню [A(y), ω]+ =
= sup
d∈A(y)
〈d,w〉X i нижню [A(y), ω]_ = inf
d∈A(y)
〈d,w〉X опорнi функцiї, де y, ω ∈ X,
i також верхню ‖A(y)‖+ = sup
d∈A(y)
‖d‖X∗ i нижню ‖A(y)‖_ = inf
d∈A(y)
‖d‖X∗ норми.
Розглянемо пов’язанi з A вiдображення coA : Y ⇒ Y ∗ та
∗
co A : Y ⇒ Y ∗, визначенi
спiввiдношеннями (coA)(y) = co(A(y)) та
( ∗
co A(y)
)
=
∗
co (A(y)) вiдповiдно, де
∗ — ∗-слабке замикання в Y ∗, co(A(y)) — опукла оболонка множини A(y).
Пропозицiя 1 [14]. Нехай A, B : Y ⇒ Y ∗. Тодi справджуються наступнi
спiввiдношення:
1)
[
A(y), v1 + v2
]
+
≤
[
A(y), v1
]
+
+
[
A(y), v2
]
+
,
[A(y), v1 + v2]− ≥ [A(y), v1]− + [A(y), v2]−,
[A(y), v1 + v2]+ ≥ [A(y), v1]+ + [A(y), v2]−,
[A(y), v1 + v2]− ≤ [A(y), v1]+ + [A(y), v2]− ∀y, v1, v2 ∈ Y ;
2) [A(y), v]+ = −[A(y),−v]−,
[A(y) +B(y), v]+(−) = [A(y), v]+(−) + [B(y), v]+(−) ∀y, v ∈ Y ;
3) [A(y), v]+(−) =
[ ∗
co A(y), v
]
+(−)
∀y, v ∈ Y ;
4) [A(y), v]+(−) ≤ ‖A(y)‖+(−)‖v‖Y ,
dH
(
A(y), B(y)
)
≥
∣∣‖A(y)‖+(−) − ‖B(y)‖+(−)
∣∣,
‖A(y)−B(y)‖+ ≥
∣∣‖A(y)‖+−‖B(y)‖−
∣∣, де dH(·, ·) — метрика Хаусдорфа;
5)
∥∥∥ ∗
co A(y)
∥∥∥
+
= ‖A(y)‖+ i якщо простiр Y рефлексивний, то
∥∥∥ ∗
co A(y)
∥∥∥
−
=
= ‖A(y)‖− ∀y ∈ Y ;
6) функцiонал ‖ · ‖+ : Cv(X∗) → R+ задовольняє аксiоми норми на Cv(X∗);
7) функцiонал ‖ · ‖− : Cv(X∗) → R+ задовольняє наступнi умови:
a) 0 ∈ A(y) ⇔ ‖A(y)‖− = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
1502 П. О. КАСЬЯНОВ, В. С. МЕЛЬНИК
b) ‖αA(y)‖− = |α|‖A(y)‖− ∀α ∈ R, y ∈ X,
c) ‖A(y) + B(y)‖− ≤ ‖A(y)‖− + ‖B(y)‖−;
Пропозицiя 2 [14]. Включення d ∈
∗
co A(y) виконується тодi i тiльки тодi,
коли
[A(y), v]+ ≥ 〈d, v〉Y ∀v ∈ Y.
Пропозицiя 3 [14]. Нехай a(· , · ) : (D ⊂ Y ) × Y → R = R ∪ {+∞}. Для
кожного y ∈ D ⊂ Y функцiонал Y 3 w 7→ a(y, w) є додатньо однорiдним,
опуклим та напiвнеперервним знизу тодi i тiльки тодi, коли iснує багатозначне
вiдображення A : Y ⇒ Y ∗ таке, що D(A) = D та
a(y, w) = [A(y), w]+ ∀y ∈ D(A), w ∈ Y.
Нагадаємо, що багатозначне вiдображення A : Y ⇒ Y ∗ називається монотон-
ним, якщо ∀y1, y2 ∈ Y 〈d1 − d2, y1 − y2〉Y ≥ 0 ∀d1 ∈ A(y1), d2 ∈ A(y2).
Використовуючи наведенi вище дужки, легко показати, що багатозначний опе-
ратор A : Y ⇒ Y ∗ монотонний тодi i тiльки тодi, коли
[A(y1), y1 − y2]− ≥ [A(y2), y1 − y2]+ ∀y1, y2 ∈ Y.
Надалi, yn ⇀ y в Y означатиме, що yn слабко збiгається до y в просторi Y. Якщо
Y не рефлексивний, то yn ⇀ y в Y ∗ означатиме, що yn ∗-слабко збiгається до y в
просторi Y ∗. Позначимо через Cv(Y ∗) сiм’ю всiх непорожнiх ∗-слабко замкнених
опуклих обмежених пiдмножин з Y ∗.
Означення 1. Багатозначне вiдображення A : Y ⇒ Y ∗ називається:
– +(–)-коерцитивним, якщо iснує дiйсна функцiя γ : R+ → R, обмежена зни-
зу на обмежених в R+ множинах, така що γ(s) → +∞ при s → +∞ та
[A(y), y]+(−) ≥ γ(‖y‖Y )‖y‖Y ∀y ∈ Y ;
– обмеженим, якщо для кожного L > 0 iснує таке l > 0, що ‖A(y)‖+ ≤ l
∀y ∈ Y : ‖y‖Y ≤ L;
– локально обмеженим, якщо для довiльного фiксованого y ∈ Y iснують такi
сталi m,M > 0, що ‖A(ξ)‖+ ≤M при ‖y − ξ‖Y ≤ m.
Нехай W — деякий нормований простiр з нормою ‖ · ‖W . Припускається, що
W ⊂ Y неперервно, C ∈ Φ, тобто C(r1; · ) : R+ → R є неперервною функцiєю для
кожного r1 ≥ 0, причому τ−1C(r1; τr2) → 0 при τ → +0 ∀r1, r2 ≥ 0, ‖· ‖′W —
деяка (напiв-)норма на Y, компактна вiдносно ‖· ‖W на W та неперервна вiдносно
‖ · ‖Y на Y.
Означення 2. Багатозначне вiдображення A : Y ⇒ Y ∗ називається:
– радiально напiвнеперервним знизу (р.н.н.зн.), якщо для кожних фiксованих
y, ξ ∈ Y
lim
t→+0
[
A(y + tξ), ξ
]
+
≥ [A(y), ξ]−;
– оператором з напiвобмеженою варiацiєю на W (з (Y,W )-н.о.в.), якщо ∀y1,
y2 ∈ Y, ‖y1‖Y ≤ R, ‖y2‖Y ≤ R виконується нерiвнiсть[
A(y1), y1 − y2
]
− ≥
[
A(y2), y1 − y2
]
+
− C(R; ‖y1 − y2‖′W );
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
ЕВОЛЮЦIЙНI НЕРIВНОСТI З НЕКОЕРЦИТИВНИМИ wλ0 -ПСЕВДОМОНОТОННИМИ ... 1503
– λ0-псевдомонотонним на W (wλ0-псевдомонотонним), якщо для будь-якої по-
слiдовностi {yn}n≥0 ⊂ W такої, що yn ⇀ y0 в W, dn ⇀ d0 в Y ∗, де
dn ∈
∗
coA(yn) ∀n ≥ 1, з нерiвностi
lim
n→∞
〈dn, yn − y0〉Y ≤ 0,
випливає iснування {ynk
}k≥1 з {yn}n≥1 та {dnk
}k≥1 з {dn}n≥1 :
lim
k→∞
〈dnk
, ynk
− w〉Y ≥
[
A(y0), y0 − w
]
− ∀w ∈ Y.
Зауваження 1. Iдею переходу до пiдпослiдовностей в означеннi однозначного
псевдомонотонного оператора було запропоновано в роботi I. В. Скрипника [15].
Зауваження 2. Надалi A : Y ⇒ Y ∗ означатиме, що A вiдображає Y в 2Y ∗ \∅,
тобто A — строге багатозначне замкненозначне вiдображення.
Лема 1 [14]. Будь-який строгий багатозначний оператор A : Y ⇒ Y ∗ з
(Y ;W )-напiвобмеженою варiацiєю є обмеженозначним, локально обмеженим та
задовольняє властивiсть (Π), тобто якщо k1, k2 > 0, B ⊂ Y та селектор d ∈ A
такi, що
〈d(y), y〉Y ≤ k1 для всiх y ∈ B : ‖y‖Y ≤ k2,
то iснує таке C > 0, що
‖d(y)‖Y ∗ ≤ C для всiх y ∈ B : ‖y‖Y ≤ k2.
4. Про розв’язнiсть еволюцiйних нерiвностей. Доведемо тепер теорему
про розв’язнiсть диференцiально-операторних нерiвностей з нелiнiйними коер-
цитивними вiдображеннями wλ-псевдомонотонного типу, використовуючи схему
Ю. А. Дубiнського, розроблену в [11]. В подальшому вважаємо, що або r1 ≥ 2,
або r2 ≥ 2.
Теорема 1. Нехай A : X ⇒ X∗ — +-коерцитивний, р.н.н.зн. багатозначний
оператор з (X;W )-н.о.в. Тодi для кожного f ∈ X∗ iснує принаймнi один розв’язок
y ∈W задачi (2.3).
Зауваження 3. В теоремi 1 вiдображення A не обов’язково набирає опуклих
слабко компактних значень.
Зауваження 4. В наведенiй теоремi схема, розроблена в роботi Ю. А. Дубiн-
ського [11] для еволюцiйних рiвнянь, розповсюджується на еволюцiйнi нерiвностi
з багатозначними вiдображеннями з (X;W )-н.о.в. Дана схема є новою для нашого
класу задач i дозволяє нам не тiльки доводити розв’язнiсть, але й одержувати ряд
оцiнок для розв’язкiв, що є важливим для подальших дослiджень даних об’єктiв.
Наприклад, в роботах [11, 14] розглядається така ж схема, але для рiвнянь, в робо-
тах [3, 4, 7, 8, 21] використовуються iншi схеми для диференцiально-операторних
включень з багатозначними вiдображеннями монотонного типу, що набирають сла-
бо компактних опуклих значень.
Зауваження 5. Iз щiльностiW вX та iз пропозицiї 2 випливає, що задача (2.3)
еквiвалентна наступнiй:
y′ +
∗
coA(y) 3 f, y(0) = 0̄, y ∈W.
Доведення. Для спрощення доведення припустимо, що S = [0, T ]. Розглянемо
простiр
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
1504 П. О. КАСЬЯНОВ, В. С. МЕЛЬНИК
W0̄ := {y ∈W | y(0) = 0̄} з нормою ‖ · ‖W .
Розглянемо лiнiйний простiр
W̃ =
{
y ∈ Lp1(S;V1) ∩ Lp2(S;V2)
∣∣ y′ ∈ L2(S;H) = H, y(0) = 0̄
}
з нормою ‖y‖
W̃
= ‖y‖Lp1 (S;V1) + ‖y‖Lp2 (S;V2) + ‖y′‖H, y ∈ W̃ . Зауважимо, що
W̃ ⊂ C(S;H) неперервно i, бiльше того, iз припущення max{r1, r2} ≥ 2 випливає,
що W̃ ⊂ W0̄ ⊂ X неперервно. Застосувавши до (2.4) формулу (2.5) (взявши до
уваги y′ε(T ) = 0̄ та припущення y′′ε ∈ H+X∗), одержимо
ε(y′ε, ξ
′)H + 〈y′ε, ξ〉+ [Ayε, ξ]+ ≥ 〈f, ξ〉 ∀ξ ∈ W̃ . (4.1)
Пiд розв’язком задачi (2.4) розумiтимемо такий елемент yε ∈ W̃ , для якого вико-
нується нерiвнiсть (4.1).
Використаємо тепер умову коерцитивностi на A. Для кожного y ∈ W̃
ε(y′, y′)H + 〈y′, y〉+ [Ay, y]+ − 〈f, y〉 ≥
≥ ‖y(T )‖2H − ‖y(0)‖2H
2
+ [Ay, y]+ − ‖f‖X∗‖y‖X ≥
≥ [Ay, y]+ − ‖f‖X∗‖y‖X ≥ ‖y‖X (γA(‖y‖X)− ‖f‖X∗) ,
де γA(r) → +∞ при r → +∞. Тому iснує таке R1 > 0, що ∀ε > 0
ε(y′, y′)H + 〈y′, y〉+ [Ay, y]+ − 〈f, y〉 ≥ 0 ∀y ∈ W̃ : ‖y‖X = R1. (4.2)
Покажемо, що для кожного ε > 0 задача (2.4) має принаймнi один розв’язок
yε ∈ W̃ , для якого справджується оцiнка
ε‖y′ε‖2H + ‖yε‖X ≤ k, (4.3)
де k = k(f) не залежить вiд ε.
Оскiльки простiр V сепарабельний одночасно з W̃ (це легко перевiрити, ви-
користовуючи доведення леми VI.1.5 iз роботи [12]), то нехай {hn}n≥1 — повна
система в W̃ . Зауважимо, що hi(0) = 0̄ для i ≥ 1. Наближений розв’язок (2.4)
шукатимемо у виглядi
yεn =
n∑
j=1
αj,n
ε hj ,
де сталi αj,n
ε визначаються з наступної системи нерiвностей:
ε(y′εn, h
′)H + 〈y′εn, h〉+ [Ayεn, h]+ ≥ 〈f, h〉 ∀h ∈ Hn, (4.4)
де Hn — лiнiйна оболонка {hi}n
i=1. Зазначимо, що Hn — скiнченновимiрний сепа-
рабельний банахiв простiр з нормою ‖ · ‖X . Отже, нехай {vi}i≥1 ⊂ Hn — щiльна
система векторiв в Hn.
Покажемо, що для кожного n ≥ 1 задача (4.4) має принаймнi один розв’язок
yεn ∈ Hn, для якого справджується оцiнка ‖yεn‖X ≤ R1.
Розв’язки (4.4) будемо наближати скiнченними системами алгебраїчних нерiв-
ностей
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
ЕВОЛЮЦIЙНI НЕРIВНОСТI З НЕКОЕРЦИТИВНИМИ wλ0 -ПСЕВДОМОНОТОННИМИ ... 1505ε(y
′
εnm, v
′
i)H + 〈y′εnm, vi〉+ [Ayεnm, vi]+ ≥ 〈f, vi〉,
ε(y′εnm, v
′
i)H + 〈y′εnm, vi〉+ [Ayεnm, vi]− ≤ 〈f, vi〉, i = 1,m,
(4.5)
де m ≥ 1 довiльне та yεnm =
∑m
j=1
αj,n
ε,mvj .
Покажемо, що для кожного m ≥ 1 задача (4.5) має принаймнi один розв’язок
ᾱm
ε,n = (αj,n
ε,m)m
j=1 ∈ Rm такий, що для yεnm(ᾱm
ε,n) =
∑m
j=1
αj,n
ε,mvj справджується
оцiнка ‖yεnm(ᾱm
ε,n)‖X ≤ R1 та множина
Gεn(m) =
{
yεnm(ᾱm
ε,n) ∈ Hn
∣∣ yεnm(ᾱm
ε,n) - розв’язок (4.5), ‖yεnm(ᾱm
ε,n)‖X ≤ R1
}
є компактною в Hn.
Для фiксованого m ≥ 1 розглянемо багатозначне вiдображення B : Rm →
→ Cv(Rm), визначене таким чином:
∀ᾱ ∈ Rm B(ᾱ) =
(
Bi(ᾱ)
)m
i=1
,
де для кожного i = 1,m
Bi(ᾱ) =
[
ε(y′(ᾱ), v′i)H + 〈y′(ᾱ), vi〉+ [Ay(ᾱ), vi]− − 〈f, vi〉,
ε(y′(ᾱ), v′i)H + 〈y′(ᾱ), vi〉+ [Ay(ᾱ), vi]+ − 〈f, vi〉
]
∈ Cv(R),
ᾱ = (αi)m
i=1, y(ᾱ) =
m∑
i=1
αivi, y′(ᾱ) =
m∑
i=1
αiv
′
i.
Розглянемо на Rm норму
‖ᾱ‖Rm =
∥∥∥∥∥
m∑
i=1
αivi
∥∥∥∥∥
X
∀ᾱ = (αi)m
i=1 ∈ Rm
та спарювання
〈ᾱ, β̄〉 =
m∑
i=1
αiβi ∀ᾱ = (αi)m
i=1 ∈ Rm, β̄ = (βi)m
i=1 ∈ Rm.
Внаслiдок пропозицiї 1 та (4.2) для кожного ᾱ = (αi)m
i=1 ∈ Rm
[
B(ᾱ), ᾱ
]
+
= sup
{
m∑
i=1
biαi
∣∣∣∣∣ bi ∈ Bi(ᾱ), i = 1, n
}
≥
≥
m∑
i=1
(
ε(y′(ᾱ), v′i)H + 〈y′(ᾱ), vi〉+ [Ay(ᾱ), vi]+ − 〈f, vi〉
)
αi =
=
m∑
i=1
ε(y′(ᾱ), αiv
′
i)H + 〈y′(ᾱ), αivi〉+ [Ay(ᾱ), αivi]+ − 〈f, αivi〉 ≥
≥ ε(y′(ᾱ), y′(ᾱ))H + 〈y′(ᾱ), y(ᾱ)〉+ [Ay(ᾱ), y(ᾱ)]+ − 〈f, y(ᾱ)〉 ≥ 0
при ‖ᾱ‖Rm = ‖y(ᾱ)‖X = R1. Таким чином,
[B(ᾱ), ᾱ]+ ≥ 0 для всiх ᾱ ∈ Rm : ‖ᾱ‖Rm = R1. (4.6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
1506 П. О. КАСЬЯНОВ, В. С. МЕЛЬНИК
Аналогiчно, для кожного ᾱ = (αi)m
i=1 ∈ Rm та β̄ = (βi)m
i=1 ∈ Rm
[
B(ᾱ), β̄
]
+
= sup
{
m∑
i=1
biβi
∣∣∣∣∣ bi ∈ Bi(ᾱ), i = 1, n
}
=
=
m∑
i=1
(
ε(y′(ᾱ), v′i)H + 〈y′(ᾱ), vi〉 − 〈f, vi〉
)
βi+
+
m∑
i=1
(
max{[Ay(ᾱ), vi]+, [Ay(ᾱ),−vi]+}
)
· |βi|.
Вiдображення
Rm 3 ᾱ→
m∑
i=1
(
ε(y′(ᾱ), v′i)H + 〈y′(ᾱ), vi〉 − 〈f, vi〉
)
βi
афiнне, а отже, неперервне. Напiвнеперервнiсть зверху
Rm 3 ᾱ→ max
{[
Ay(ᾱ), vi
]
+
,
[
Ay(ᾱ),−vi
]
+
}
∀i = 1,m
випливає з того ж твердження для
Rm 3 ᾱ→
[
Ay(ᾱ), vi
]
+
та Rm 3 ᾱ→
[
Ay(ᾱ),−vi
]
+
i = 1,m.
Останнє випливає з (скiнченновимiрної) локальної обмеженостi та з (X;W )-н.о.в.
A (див., наприклад, [16]). Звiдси для кожного β̄ ∈ Rm вiдображення Rm 3
3 ᾱ →
[
B(ᾱ), β̄
]
+
напiвнеперервне зверху. Тому з теореми Кастеня [17] B —
напiвнеперервне зверху на Rm.
Тепер, завдяки (4.6), можемо застосувати до вiдображення B багатозначний
аналог леми про гострий кут [18]. Звiдси одержимо, що для кожного m ≥ 1 iснує
принаймнi один розв’язок (4.5) ᾱm
εn = (αj,n
ε,m)m
j=1 ∈ Rm такий, що ‖ᾱm
εn‖Rm ≤ R1.
Отже, для yεnm =
∑m
j=1
αj,n
ε vj справджується оцiнка ‖yεnm‖X ≤ R1.
Компактнiсть Gεn(m) легко випливає з обмеженостi Gεn(m) та напiвнеперерв-
ностi зверху B на Rm.
Розглянемо множину
Gεn =
⋂
m≥1
Gεn(m).
Вона непорожня, бо для кожного m ≥ 1 Gεn(m + 1) ⊂ Gεn(m) та Gεn(m) —
компакт. Отже, iснує yεn ∈ Gεn таке, що ‖yεn‖X ≤ R1 та
ε(y′εn, v
′
i)H + 〈y′εn, vi〉+ [Ayεn, vi]+ ≥ 〈f, vi〉 ∀i ≥ 1.
Оскiльки {vi}i≥1 щiльна в Hn, то виконується (4.4).
З пропозицiї 2, пропозицiї 3 та (4.4) одержимо, що для будь-якого ε > 0 та
n ≥ 1 iснує таке dεn ∈
∗
coAyεn, що
ε(y′εn, ξ
′)H + 〈y′εn, ξ〉+ 〈dεn, ξ〉 = 〈f, ξ〉 ∀ξ ∈ Hn. (4.7)
Поклавши в останньому ξ = yεn ∈ Hn, одержимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
ЕВОЛЮЦIЙНI НЕРIВНОСТI З НЕКОЕРЦИТИВНИМИ wλ0 -ПСЕВДОМОНОТОННИМИ ... 1507
ε‖y′εn‖2H +
1
2
‖yεn(T )‖2H + 〈dεn, yεn〉 = 〈f, yεn〉. (4.8)
Звiдси
〈dεn, yεn〉 ≤ ‖f‖X∗R1 ∀ε > 0, n ≥ 1.
Отже, в силу властивостi (Π) для A (див. лему 1) iснує таке C > 0, що
‖dεn‖X∗ ≤ C ∀ε > 0, n ≥ 1. (4.9)
З оцiнки (4.8) випливає, що
ε‖y′εn‖2H ≤ (C + ‖f‖X∗)R1 ∀ε > 0, n ≥ 1.
Звiдси випливає така оцiнка:
ε‖y′εn‖2H + ‖yεn‖X ≤ k(f) ∀ε > 0, n ≥ 1.
Таким чином, можемо припустити, що для довiльного ε > 0 послiдовнiсть {yεn}n≥1
(точнiше, деяка її пiдпослiдовнiсть) слабко збiгається в рефлексивному банаховому
просторi W̃ до деякої функцiї yε, а отже, y′εn ⇀ y′ε в H та yε(0) = 0̄.
Внаслiдок (4.9) для всiх ε > 0 можемо вважати, що з точнiстю до пiдпослiдов-
ностi dεn ⇀ κε в X∗. Перейшовши до границi в рiвняннi (4.7), одержимо
ε(y′ε, ξ
′)H + 〈y′ε, ξ〉+ 〈κε, ξ〉 = 〈f, ξ〉 ∀ξ ∈ W̃ . (4.10)
Покажемо тепер, що κε ∈
∗
coAyε. З (X;W )-н.о.в. A маємо
ε(y′εn − ξ′, y′εn − ξ′)H + 〈y′εn − ξ′, yεn − ξ〉+ [Ayεn, yεn − ξ]− ≥
≥ [Aξ, yεn − ξ]+ − CA
(
R; ‖yεn − ξ‖′W
)
∀ξ ∈ W̃ , (4.11)
де ‖ · ‖′W — напiвнорма, компактна вiдносно норми в W та норми в W̃ . Тут R > 0
таке, що ‖yεn‖X ≤ R, ‖ξ‖X ≤ R, k(f) ≤ R.
Внаслiдок щiльностi ∪n≥1Hn в W̃ iснує послiдовнiсть vεn ∈ Hn така, що для
фiксованого ε > 0
vεn → yε сильно в W̃ при n→∞.
Звiдси за допомогою (4.7) та (4.11) одержимо
ε(y′εn, y
′
εn − ξ′)H + 〈y′εn, yεn − ξ〉 +
+ 〈dεn, yεn − ξ〉 − ε(ξ′, y′εn − ξ′)H − 〈ξ′, yεn − ξ〉 =
= 〈f, yεn − vεn〉+ ε(y′εn, v
′
εn − ξ′)H+
+ 〈y′εn, vεn − ξ〉+ 〈dεn, vεn − ξ〉 − ε(ξ′, y′εn − ξ′)H − 〈ξ′, yεn − ξ〉 ≥
≥ ε(y′εn − ξ′, y′εn − ξ′)H + 〈y′εn − ξ′, yεn − ξ〉+ [Ayεn, yεn − ξ]− ≥
≥ [Aξ, yεn − ξ]+ − CA(R; ‖yεn − ξ‖′W ). (4.12)
Виконуються наступнi спiввiдношення:
〈f, yεn − vεn〉 → 0, (y′εn, v
′
εn − ξ′)H → (y′ε, y
′
ε − ξ′)H,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
1508 П. О. КАСЬЯНОВ, В. С. МЕЛЬНИК
〈y′εn, vεn − ξ〉 → 〈y′ε, yε − ξ〉, 〈dεn, vεn − ξ〉 → 〈κε, yε − ξ〉,
(ξ′, y′εn − ξ′)H → (ξ′, y′ε − ξ′)H, 〈ξ′, yεn − ξ〉 → 〈ξ′, yε − ξ〉,
lim
n→∞
[Aξ, yεn − ξ]+ ≥ [Aξ, yε − ξ]+,
CA(R; ‖yεn − ξ‖′W ) → CA(R; ‖yε − ξ‖′W )
при n→∞. Тодi, перейшовши в (4.12) до границi при n→∞, одержимо
ε(y′ε, y
′
ε − ξ′)H + 〈y′ε, yε − ξ〉+ 〈κε, yε − ξ〉 − ε(ξ′, y′ε − ξ′)H − 〈ξ′, yε − ξ〉 =
= ε(y′ε − ξ′, y′ε − ξ′)H + 〈y′ε − ξ′, yε − ξ〉+ 〈κε, yε − ξ〉 ≥
≥ [Aξ, yε − ξ]+ − CA(R; ‖yε − ξ‖′W ). (4.13)
Покладемо в останнiй нерiвностi ξ = yε − τω, де ω ∈ W̃ , i отримаємо
τε(ω′, ω′)H + τ〈ω′, ω〉+ 〈κε, ω〉 ≥
≥ [A(yε − τω), ω]+ −
1
τ
CA(R; ‖τω‖′W ).
Завдяки р.н.н.зн. A можемо перейти до границi при τ → +0, одержимо
〈κε, ω〉 ≥ [Ayε, ω]− ∀ω ∈ W̃ .
Тому κε ∈
∗
coAyε, тобто yε задовольняє нерiвнiсть (4.1).
Зауважимо також, що з (4.10) та iз означення похiдної в сенсi D(S;V ∗) випли-
ває, що
εy′′ε = d1ε + d2ε, y′ε(T ) = 0̄, (4.14)
де d1ε = κε − f ∈
∗
coA(yε)− f ⊂ X∗ та d2ε = y′ε ∈ H. Тому y′′ε ∈ X∗ +H.
Нехай ε → 0. Тодi з точнiстю до пiдпослiдовностi yε ⇀ y в X. Отже, з (4.14)
та умови y′ε(T ) = 0̄ маємо
y′ε(t) = −ε−1
T−t∫
0
d1ε(T − τ)e−(T−t−τ)/εdτ, t ∈ S,
де {d1ε} — обмежена множина в X∗. Оскiльки ε−1
∫ ∞
0
e−(τ/ε)dτ = 1, то з нерiв-
ностi для згорток випливає, що {y′ε} — обмежена множина в X∗. Таким чином,
можемо припустити, що yε ⇀ y в W з точнiстю до пiдпослiдовностi.
Використавши (4.3), одержимо
ε
∣∣(y′ε, ξ′)H∣∣ ≤ ε‖y′ε‖H‖ξ′‖H ≤
√
k
√
ε‖ξ′‖H → 0 при ε→ 0 + .
Тодi, внаслiдок рiвностi (4.10)
(
зауважимо, що κε ∈
∗
coAyε
)
,
〈y′, ξ〉+ 〈κ, ξ〉 = 〈f, ξ〉 ∀ξ ∈ W̃ , (4.15)
де κ — слабка границя послiдовностi κε вX∗. Зауважимо, однак, що рiвнiсть (4.15)
виконується для будь-якого ξ ∈ W. Внаслiдок пропозицiї 2 залишилось показати,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
ЕВОЛЮЦIЙНI НЕРIВНОСТI З НЕКОЕРЦИТИВНИМИ wλ0 -ПСЕВДОМОНОТОННИМИ ... 1509
що 〈κ, ξ〉 ≤ [Ay, ξ]+ ∀ξ ∈ W. З нерiвностi (4.13), iстинної для yε, та з (4.10)
випливає спiввiдношення
〈f, yε − ξ〉 − ε(ξ′, y′ε − ξ′)H − 〈ξ′, yε − ξ〉 ≥
≥ [Aξ, yε − ξ]+ − CA
(
R; ‖yε − ξ‖′W
)
,
i пiсля переходу до границi при ε→ 0+ (внаслiдок (4.15)) з точнiстю до пiдпослi-
довностi маємо нерiвнiсть
〈y′ − ξ′, y − ξ〉+ 〈κ, y − ξ〉 ≥ [Aξ, y − ξ]+ − CA
(
R; ‖y − ξ‖′W
)
iстинну для будь-якого ξ ∈W. Поклавши в нiй ξ = y − τω, ω ∈W, знаходимо
τ〈ω′, ω〉+ 〈κ, ω〉 ≥
[
A(y − τω), ω
]
+
− 1
τ
CA
(
R; τ‖ω‖′W
)
.
Звiдси, перейшовши до границi при τ → +0, внаслiдок р.н.н.зн. оператора A та
властивостей функцiї CA, одержимо необхiдне спiввiдношення:
〈κ, ω〉 ≥ [A(y), ω]− ∀ω ∈W.
Теорему 1 доведена.
Означення 3. Оператор A : X ⇒ X∗ називається оператором типу Воль-
терра, якщо для довiльного t ∈ S iз рiвностi u(s) = v(s) для майже всiх s ∈ [0, t]
(u, v ∈ X) випливає, що
( ∗
co A(u)
)
(s) =
( ∗
co A(v)
)
(s) для майже всiх s ∈ [0, t] в
тому сенсi, що [A(u), ξt]+ = [A(v), ξt]+ ∀ξt ∈ X таких, що ξt(s) = 0 для майже
всiх s ∈ S\[0, t].
Зауваження 6. Нехай в останнiй теоремi A — оператор Вольтерра, [·]Vi —
деяка напiвнорма на Vi, i = 1, 2; припустимо, що [y]Xi
=
(∫
S
[y(τ)]pi
Vi
dτ
)1/pi
.
Очевидно, що [·]Xi — напiвнорма на X. Можемо отримати рiвномiрну обмеже-
нiсть розв’язкiв задачi (4.4), якщо замiсть +-коерцитивностi оператора A : X ⇒ X∗
виконується така умова:
∃λ0 > 0, β > 0, γ1 > 0, γ2 > 0, α ∈ R та f ∈ X∗ такi, що ∀y ∈W
〈y′, y〉+ 〈d(y), y〉 ≤ 〈f, y〉 для заданого d ∈
∗
coA, (4.16)
[y]X1 + [y]X2 + λ0‖y‖Lp0 (S;H) ≥ β‖y‖X , (4.17)
〈d(y), y〉 ≥ γ1[y]
p1
X1
+ γ2[y]
p2
X2
+ α, (4.18)
де p0 = max {r1, r2}.
Зауважимо, що достатнiми умовами для (4.16) – (4.18) є наступнi: для кожного
y ∈ X
[y]X1 + [y]X2 + λ0‖y‖Lp0 (S;H) ≥ β‖y‖X , (4.17′)
[Ay, y]− ≥ γ1[y]
p1
X1
+ γ2[y]
p2
X2
+ α, (4.18′)
але умови (4.16) – (4.18) слабшi за (4.17′), (4.18′.)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
1510 П. О. КАСЬЯНОВ, В. С. МЕЛЬНИК
Вiдмiннiсть у доведеннi теореми 1, за цих умов, полягає лише в одержаннi
оцiнки
‖yεn‖X ≤ R1 для кожних ε > 0, n ≥ 1,
оскiльки розв’язнiсть задачi (4.4) в багатьох випадках випливає з теорiї розв’язностi
алгебраїчних нерiвностей та включень (в теоремi 1 ми спочатку вибираємо обме-
жену множину, якiй належатимуть розв’язки, а тут ми покажемо, що розв’язки
задачi (4.4) (якщо вони iснують) є рiвномiрно обмеженими). Оскiльки A — опера-
тор Вольтерра з н.о.в. на W, то з (4.16) – (4.18) випливає, що для кожного t ∈ S
(‖y(t)‖2H − ‖y(0)‖2H)/2 + 〈d(y), y〉Xt
≤ 〈f, y〉Xt
для заданого d ∈ A, (4.19)
[y]X1t
+ [y]X2t
+ λ0‖y‖Lp0 (0,t;H) ≥ β‖y‖Xt
, (4.20)
та
〈d(y), y〉Xt ≥ γ1[y]
p1
X1t
+ γ2[y]
p2
X2t
+ α̃, (4.21)
де при i = 1, 2 [y]Xit
=
(∫ t
0
[
y(τ)
]pi
V
dτ
)1/pi
— напiвнорма на Xt = X([0, t]),
〈·, ·〉Xt
— спарювання на X∗
t ×Xt. Тодi, використавши нерiвностi Кошi та Юнга, а
також (4.7), (4.8), (4.19), (4.20), (4.21) та yεn(0) = 0̄, одержимо
1
2
‖yεn(t)‖2H + γ1
t∫
0
[yεn(τ)]p1
V1
dτ + γ2
t∫
0
[yεn(τ)]p2
V2
dτ ≤
≤ 1
2
‖yεn(t)‖2H + 〈dεn, yεn〉Xt
− α̃ ≤ 〈f, yεn〉Xt
− α̃ ≤ ‖f‖X∗
t
‖yεn‖Xt
− α̃ ≤
≤ 1
β
‖f‖X∗
t
(
[yεn]X1t
+ [yεn]X2t
+ λ0‖yεn‖Lp0 (0,t;H)
)
− α̃ ≤
≤ C1 +
γ1
2
t∫
0
[yεn(τ)]p1
V1
dτ +
γ2
2
t∫
0
[yεn(τ)]p2
V2
dτ + C2
t∫
0
‖yεn(τ)‖p0
H dτ
2/p0
≤
≤ C1 +
γ1
2
[yεn]p1
X1t
+
γ2
2
[yεn]p2
X2t
+ C2‖yεn‖2Lp0 ([0,t];H).
Тому
‖yεn(t)‖2H + γ1[yεn]p1
X1t
+ γ2[yεn]p2
X2t
≤ 2C1 + 2C2‖yεn‖2Lp0 ([0,t];H),
звiдси
‖yεn(t)‖p0
H ≤ C3 + C3
t∫
0
‖yεn(τ)‖p0
H dτ для всiх t ∈ S, ε > 0 та n ≥ 1.
I, внаслiдок леми Гронуола, ‖yεn(t)‖p0
H ≤ C4e
C4t, тобто ‖yεn(t)‖H ≤ C5. Тодi
[yεn]Xit ≤ C6, i = 1, 2, та ‖yεn‖Xt ≤ C7. Внаслiдок довiльностi t ∈ S одержимо,
що ‖yεn‖X ≤ C7.
5. Диференцiально-операторнi нерiвностi з некоерцитивними вiдображе-
ннями. Теорема 2 та її наслiдок 1 стосуються розв’язностi еволюцiйних не-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
ЕВОЛЮЦIЙНI НЕРIВНОСТI З НЕКОЕРЦИТИВНИМИ wλ0 -ПСЕВДОМОНОТОННИМИ ... 1511
рiвностей з некоерцитивними багатозначними операторами Вольтерра з (X;W )-
н.о.в. Доведення даних тверджень грунтується на результатах теореми 1. Для
диференцiально-операторних рiвнянь аналогiчнi результати для монотонних одно-
значних вiдображень мiстяться в [12], для однозначних вiдображень з напiвобмеже-
ною варiацiєю — в [14]. Результати щодо розв’язностi диференцiально-операторних
включень та еволюцiйних варiацiйних нерiвностей з коерцитивними багатозначни-
ми вiдображеннями мiстяться в [1 – 10, 14, 21]. Для диференцiально-операторних
включень та еволюцiйних нерiвностей аналогiчних результатiв не iснує.
Теорема 2. Нехай max{r1, r2} ≥ 2, A : X ⇒ X∗ — р.н.н.зн. багатозначний
оператор, i для деякого λ > 0
sup
ζ(y)∈A(y)
∫
S
e−2λt
(
ζ(y)(t) + λy(t), y(t)
)
dt ≥ γ(‖y‖X)‖y‖X ∀y ∈ X, (5.1)
де γ : R+ → R — обмежена знизу на обмежених в R+ множинах функцiя така, що
γ(r) → +∞ при r →∞, та ∀R > 0, ∀y, ξ ∈ X : ‖y‖X ≤ R, ‖ξ‖X ≤ R,
inf
ζ(y)∈A(y)
∫
S
e−2λt
(
ζ(y)(t) + λy(t), y(t)− ξ(t)
)
dt ≥
≥ sup
ζ(ξ)∈A(ξ)
∫
S
e−2λt
(
ζ(ξ)(t) + λξ(t), y(t)− ξ(t)
)
dt −
− CA(R; ‖y − ξ‖Lp0 (S;V0)), (5.2)
де CA ∈ Φ, p0 = min{p1, p2}, V компактно вкладений в банахiв простiр V0 i
V0 ⊂ V ∗ неперервно. Тодi справджується твердження теореми 1.
Доведення. Введемо позначення yλ(t) = e−λty(t), fλ(t) = e−λtf(t), (Aλyλ)(t) =
= e−λt(Ay)(t) + λyλ(t), тобто
(dλ ∈ Aλ(yλ)) ⇔ (∀w ∈ X 〈dλ, w〉X ≤ [A(y) + λy,wλ]+).
Тодi Aλ : X ⇒ X∗ та y ∈ W є розв’язком задачi (2.3) тодi i тiльки тодi, коли yλ
задовольняє наступне:
〈y′λ, ξ〉+ [Aλyλ, ξ]+ ≥ 〈fλ, ξ〉 ∀ξ ∈W, yλ(0) = 0̄.
Тому потрiбно перевiрити, що Aλ задовольняє всi умови теореми 1. Радiальна
напiвнеперервнiсть знизу очевидна. Далi, оскiльки ‖yλ‖X ≤ ‖y‖X та
‖yλ‖−1
X [Aλyλ, yλ]+ ≥
≥ ‖y‖−1
X sup
ζ(y)∈A(y)
∫
S
e−2λt
(
ζ(y)(t) + λy(t), y(t)
)
dt ≥ γ(‖y‖X)‖y‖X ,
то оператор Aλ — +-коецитивний. Вiдповiдно до означення
[Aλyλ, yλ − ξλ]− =
= inf
ζ(y)∈A(y)
∫
S
(
e−λtζ(y)(t) + λy(t)e−λt, e−λt(y(t)− ξ(t))
)
dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
1512 П. О. КАСЬЯНОВ, В. С. МЕЛЬНИК
= inf
ζ(y)∈A(y)
∫
S
e−2λt
(
ζ(y)(t) + λy(t), y(t)− ξ(t)
)
dt ≥
≥ sup
ζ(ξ)∈A(ξ)
∫
S
e−2λt
(
ζ(ξ)(t) + λξ(t), y(t)− ξ(t)
)
dt− CA(R; ‖y − ξ‖Lp0 (S;V0)) =
= sup
ζ(ξ)∈A(ξ)
∫
S
(
e−λtζ(ξ)(t) + λξ(t)e−λt, e−λt(y(t)− ξ(t))
)
dt −
− CA(R; ‖y − ξ‖Lp0 (S;V0)) =
= [Aλξλ, yλ − ξλ]+ − CA(R; ‖y − ξ‖Lp0 (S;V0)). (5.3)
Розглянемо ваговий простiрLp0,λ(S;V0),що складається з вимiрних функцiй yλ : S →
→ V0, для яких iнтеграл
∫
S
eλtp0‖yλ(t)‖p0
V0
dt скiнченний. Тодi
‖y − ξ‖Lp0 (S;V0) =
∫
S
eλtp0‖yλ(t)− ξλ(t)‖p0
V0
dt
1/p0
= ‖yλ − ξλ‖Lp0,λ(S;V0).
Тому з (5.3) отримуємо
[Aλyλ, yλ − ξλ]− ≥ [Aλξλ, yλ − ξλ]+ − CA(R; ‖yλ − ξλ‖Lp0,λ(S;V0)).
Доведення теореми завершує той факт, що вкладення W ⊂ Lp0,λ(S;V0) компактне.
Це прямий наслiдок неперервностi вкладення
W ⊂
{
y ∈ Lp0(S;V )
∣∣ y′ ∈ Lmin {r′1,r′2}(S;V ∗)
}
та леми про компактнiсть (див. [19], теорема 1.5.1) з B0 = V, B = V0, B1 = V ∗,
p0 = p0 та p1 = min {r′1, r′2}.
Надалi припускатимемо виконання такої умови для A : X ⇒ X∗.
Означення 4. Багатозначне вiдображення A : X ⇒ X∗ задовольняє умо-
ву (H), якщо для довiльних y ∈ X, n ≥ 1, {di}n
i=1 ⊂ A(y) та Ej ⊂ S, j = 1, n :
∀j = 1, n Ej — вимiрна, ∪n
j=1Ej = S, Ei ∩ Ej = ∅ ∀i 6= j, i, j = 1, n, елемент
d(·) =
∑n
j=1
dj(·)χEj
(·) ∈
∗
coA(y), де χEj
(τ) =
{
1, τ ∈ Ej ,
0, iнакше.
Наслiдок 1. Нехай max {r1, r2} ≥ 2, для деякого λ ≥ 0 A + λI : X ⇒ X∗ є
р.н.н.зн. +-коерцитивним оператором типу Вольтерра з (X;W )-н.о.в. з ‖ · ‖′W =
= ‖·‖Lp0 (S;V0) (p0, V0 задовольняють умови теореми 2), що задовольняє умову (H).
Тодi справджується твердження теореми 2.
Зауваження 7. В наслiдку 1 умову (H) для A та +-коерцитивнiсть для A+λI
на X можна замiнити на −-коерцитивнiсть для A+ λI на X.
Доведення. Доведемо, що за виконання умов наслiдку, мають мiсце спiввiд-
ношення (5.1) та (5.2). Радiальна напiвнеперервнiсть знизу легко перевiряється.
Доведемо напiвобмеженiсть варiацiї. Нехай для всiх R > 0, y, ξ ∈ X: ‖y‖X ≤ R,
‖ξ‖X ≤ R виконується[
A(y)−A(ξ) + λy − λξ, y − ξ
]
− + CA(R; ‖y − ξ‖′W ) ≥ 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
ЕВОЛЮЦIЙНI НЕРIВНОСТI З НЕКОЕРЦИТИВНИМИ wλ0 -ПСЕВДОМОНОТОННИМИ ... 1513
Покладемо ĈA(R; ·) = max
τ∈[0,t]
CA(R; τ) для всiх R, t ≥ 0 (ĈA ∈ Φ),
zt(τ) =
z(τ), 0 ≤ τ ≤ t,
0̄, t < τ ≤ T,
t ∈ S, z ∈ X.
Нехай ζ, η ∈ A — фiксованi селектори. Оскiльки A — оператор типу Вольтерра,
то ∀t ∈ S
t∫
0
(
ζ(y)(τ) + λy(τ)− η(ξ)(τ)− λξ(τ), y(τ)− ξ(τ)
)
dτ + ĈA
(
R; ‖y − ξ‖′Wt
)
=
=
T∫
0
(
ζ(yt)(τ) + λyt(τ)− η(ξt)(τ)− λξt(τ), yt(τ)− ξt(τ)
)
dτ +
+ ĈA (R; ‖yt − ξt‖′W ) ≥
≥ [(A+ λI)(yt)− (A+ λI)(ξt), yt − ξt]− + ĈA(R; ‖yt − ξt‖′W ) ≥ 0,
бо ‖yt‖X ≤ ‖y‖X та ‖ξt‖X ≤ ‖ξ‖X . Тут ‖ · ‖′Wt
= ‖ · ‖Lp0 ([0,t];V0).
Покладемо
g(τ) =
(
ζ(y)(τ) + λy(τ)− η(ξ)(τ)− λξ(τ), y(τ)− ξ(τ)
)
, τ ∈ S,
h(t) = ĈA
(
R; ‖y − ξ‖′Wt
)
, t ∈ S.
Зауважимо, що функцiя S 3 t→ h(t) — монотонно неспадна та
t∫
0
g(τ)dτ ≥ −h(t) ∀t ∈ S.
Отже,
T∫
0
e−2λτ
(
ζ(y)(τ) + λy(τ)− η(ξ)(τ)− λξ(τ), y(τ)− ξ(τ)
)
dτ =
=
T∫
0
e−2λτg(τ)dτ = e−2λT
T∫
0
g(τ)dτ + 2λ
T∫
0
e−2λτ
τ∫
0
g(s)dsdτ ≥
≥ −e−2λTh(T )− 2λ
T∫
0
e−2λτh(τ)dτ ≥ −h(T )
[
e−2λT + 2λ
T∫
0
e−2λτdτ
]
=
= −h(T ) = −ĈA
(
R; ‖y − ξ‖′W
)
,
звiдки випливає (5.2).
Перевiримо (5.1). Нехай
[(A+ λI)y, y]+ ≥ γ(‖y‖X)‖y‖X ∀y ∈ X,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
1514 П. О. КАСЬЯНОВ, В. С. МЕЛЬНИК
де γ : R+ → R — обмежена знизу на обмежених в R+ множинах функцiя така, що
γ(r) → +∞ при r →∞ (це очевидно випливає з +-коерцитивностi A+λI). Звiдси
inf
s≥0
γ(s) = a > −∞. Для довiльного b > a розглянемо непорожню обмежену в
R+ множину Ab = {c ≥ 0 | γ(c) ≤ b}. Нехай cb = supAb для довiльного b > a.
Зауважимо, що ∀b1 > b2 > a +∞ > cb1 ≥ cb2 i cb → +∞ при b→ +∞. Покладемо
γ̂(t) =
a, t ∈ [0, ca+1],
a+ k, t ∈ (ca+k, ca+k+1], k ≥ 1.
Тодi γ̂ : R+ → R — обмежена знизу на обмежених в R+ множинах неспадна функцiя
така, що γ̂(r) → +∞ при r → ∞ та γ(t) ≥ γ̂(t) ∀t ≥ 0. Оскiльки A — оператор
типу Вольтерра, то
∀t ∈ S sup
ζ∈A
t∫
0
(
ζ(y)(τ) + λy(τ), y(τ)
)
dτ =
= sup
ζ∈A
T∫
0
(
ζ(yt)(τ) + λyt(τ), yt(τ)
)
dτ ≥ γ̂(‖yt‖X)‖yt‖X = γ̂(‖y‖Xt
)‖y‖Xt
,
де ‖y‖Xt
= ‖yt‖X . Нехай
gζ(τ) =
(
ζ(y)(τ) + λy(τ), y(τ)
)
, ζ ∈ A, τ ∈ S,
h(t) = γ̂(‖y‖Xt
)‖y‖Xt
, t ∈ S.
Для всiх t ∈ S h(t) ≥ min{γ̂(0), 0}‖y‖X та
sup
ζ∈A
t∫
0
gζ(τ)dτ ≥ h(t) ∀t ∈ S.
Для довiльних y ∈ X, t ∈ S покладемо
(A1y)(t) =
[
e−2λt − e−2λT
](
(Ay)(t) + λy(t)
)
,
(A2y)(t) = e−2λT
(
(Ay)(t) + λy(t)
)
.
Внаслiдок того, що для довiльної опуклої множини B ⊂ X∗ та додатних сталих α,
β виконується (α+ β)B = αB + βB, то
(Ây)(t) := e−2λt
(
(Ay)(t) + λy(t)
)
= (A1y)(t) + (A2y)(t) ∀y ∈ X, ∀t ∈ S.
Тому, внаслiдок пропозицiї 1 та умови (H),
sup
ζ∈A
T∫
0
e−2λτ
(
ζ(y)(τ) + λy(τ), y(τ)
)
dτ = [Ây, y]+ = [A1y, y]+ + [A2y, y]+ =
= e−2λT sup
ζ∈A
T∫
0
gζ(τ)dτ + sup
ζ∈A
T∫
0
[
e−2λτ − e−2λT
]
gζ(τ)dτ =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
ЕВОЛЮЦIЙНI НЕРIВНОСТI З НЕКОЕРЦИТИВНИМИ wλ0 -ПСЕВДОМОНОТОННИМИ ... 1515
= e−2λT sup
ζ∈
∗
co A
T∫
0
gζ(τ)dτ + sup
ζ∈
∗
co A
T∫
0
[
e−2λτ − e−2λT
]
gζ(τ)dτ ≥
≥ e−2λTh(T ) + 2λ sup
ζ∈
∗
co A
T∫
0
e−2λs
s∫
0
gζ(τ)dτds ≥
≥ e−2λTh(T ) + 2λT sup
ζ∈
∗
co A
inf
s∈S
e−2λs
s∫
0
(
ζ(y)(τ) + λy(τ), y(τ)
)
dτ =
= e−2λTh(T ) + 2λT sup
ζ∈
∗
co A
inf
s∈S
e−2λs
s∫
0
(
ζ(y)(τ) + λy(τ), y(τ)
)
dτ.
Доведемо, що для всiх y ∈ X
sup
ζ∈
∗
co A
inf
s∈S
e−2λs
s∫
0
(
ζ(y)(τ) + λy(τ), y(τ)
)
dτ ≥ −c1‖y‖X ,
де c1 = max{−γ̂(0), 0} ≥ 0 не залежить вiд y ∈ X.
Нехай y ∈ X — фiксоване. Покладемо
ϕ(s, d) = e−2λs
s∫
0
(
d(τ) + λy(τ), y(τ)
)
dτ, a = sup
d∈
∗
co A(y)
inf
s∈S
ϕ(s, d),
Ad =
{
s ∈ S
∣∣ϕ(s, d) ≤ a
}
, s ∈ S, d ∈
∗
coA(y).
Iз неперервностi ϕ(·, d) на S випливає, що Ad — непорожня замкнена множина для
довiльного d ∈
∗
coA(y). Дiйсно, для фiксованого d ∈
∗
coA(y) iснує sd ∈ S таке, що
ϕ(sd, d) = min
ŝ∈S
ϕ(ŝ, d) ≤ a.
Замкненiсть Ad випливає iз неперервностi ϕ(·, d) на S.
Доведемо тепер, що система {Ad}d∈A(y) — центрована. Для фiксованих {di}n
i=1 ⊂
⊂ A(y), n ≥ 1, покладемо
ψi(τ) =
(
di(τ) + λy(τ), y(τ)
)
, ψ(τ) =
n
max
i=1
ψi(τ), τ ∈ S,
E0 = ∅, Ej =
{
τ ∈ S \
(
∪j−1
i=0Ei
) ∣∣∣ψj(τ) = ψ(τ)
}
, j = 1, n,
d(τ) =
n∑
j=1
dj(τ)χEj (τ), χEj (τ) =
1, τ ∈ Ej ,
0, iнакше.
Зауважимо, що для будь-якого j = 1, n Ej — вимiрна, ∪n
j=1Ej = S, Ei ∩ Ej = ∅
∀i 6= j, i, j = 1, n, d ∈ X∗. Бiльше того,
ϕ(s, di) = e−2λs
s∫
0
ψi(τ)dτ ≤ e−2λs
s∫
0
ψ(τ)dτ = ϕ(s, d), s ∈ S, i = 1, n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
1516 П. О. КАСЬЯНОВ, В. С. МЕЛЬНИК
Отже, завдяки умовi (H) для A, d ∈
∗
coA(y) та для деякого sd ∈ S
ϕ(sd, di) ≤ ϕ(sd, d) = min
ŝ∈S
ϕ(ŝ, d) ≤ a, i = 1, n.
Таким чином, sd ∈ ∩n
i=1Adi
6= ∅.
Оскiльки S — компакт, а система замкнених множин {Ad}d∈A(y) центрована,
то ∃s0 ∈ S : s0 ∈ ∩d∈A(y)Ad [13]. Це означає, що
sup
ζ∈
∗
co A
inf
s∈S
e−2λs
s∫
0
(
ζ(y)(τ) + λy(τ), y(τ)
)
dτ ≥
≥ sup
ζ∈A
e−2λs0
s0∫
0
(
ζ(y)(τ) + λy(τ), y(τ)
)
dτ =
= e−2λs0 sup
ζ∈A
s0∫
0
gζ(τ)dτ ≥ e−2λs0h(s0) ≥
≥ e−2λs0 min{γ̂(0), 0}‖y‖X ≥ −max{−γ̂(0), 0}‖y‖X = −c1‖y‖X .
Таким чином,
sup
ζ∈A
T∫
0
e−2λτ
(
ζ(y)(τ) + λy(τ), y(τ)
)
dτ ≥
[
e−2λT γ̂(‖y‖X)− 2λc1T
]
‖y‖X .
Отже, властивiсть (5.1) встановлена.
Зауваження 8. Умову (5.1) в теоремi 2 можна замiнити аналогом (4.17′) –
(4.18′), а саме для кожного y ∈ X
[y]X1 + [y]X2 + λ0‖y‖Lp0 (S;H) ≥ β‖y‖X ,
inf
ζ(y)∈A(y)
∫
S
e−2λt
(
ζ(y)(t) + λy(t), y(t)
)
dt ≥ γ1[y]
p1
X1
+ γ2[y]
p2
X2
+ α.
Дiйсно (див. доведення теореми 2), ‖y‖X ≥ ‖yλ‖X та [y]Xi ≥ [yλ]Xi , i = 1, 2.
Тому
[Aλyλ, yλ]− = inf
ζ(y)∈A(y)
∫
S
e−2λt
(
ζ(y)(t) + λy(t), y(t)
)
dt ≥
≥ γ1[y]
p1
X1
+ γ2[y]
p2
X2
+ α ≥ γ1[yλ]p1
X1
+ γ2[yλ]p2
X2
+ α.
Тодi, застосовуючи еквiвалентнiсть вагових норм, легко показати виконання нерiв-
ностi
[yλ]X1 + [yλ]X2 + λ̂0‖yλ‖Lp0 (S;H) ≥ β̂‖yλ‖X .
Наслiдок 2. Нехай V2 = H, r1 ≥ 2, p2 = r2 = 2, λ0 > 0, A+ λ0I : X1 ⇒ X∗
1
— +-коерцитивний, р.н.н.зн. багатозначний оператор з (X1,W )-н.о.в., ϕ : X2 → R
— опуклий напiвнеперервний знизу функцiонал. Тодi для будь-якого f ∈ X∗ iснує
принаймнi один розв’язок y ∈W задачi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
ЕВОЛЮЦIЙНI НЕРIВНОСТI З НЕКОЕРЦИТИВНИМИ wλ0 -ПСЕВДОМОНОТОННИМИ ... 1517
〈y′, ξ − y〉+ [Ay, ξ − y]+ + ϕ(ξ)− ϕ(y) ≥ 〈f, ξ − y〉 ∀ξ ∈W, y(0) = 0̄, (5.8)
за умови, що A та ∂ϕ — оператори типу Вольтерра, якi задовольняють умову (H).
Доведення. Покажемо, що оператор C = λI + λ0I + A + ∂ϕ : X ⇒ X∗ задо-
вольняє всi умови наслiдку 1 для деякого λ > 0. Для цього досить показати те ж
саме для багатозначного оператора
B(y) = λy + ∂ϕ(y) ∀y ∈ X2,
де λ > 0 — довiльне фiксоване [8]. Радiальна напiвнеперервнiсть знизу випливає
з напiвнеперервностi зверху ∂ϕ на X2 (див. [17, 20]). Внаслiдок монотонностi ∂ϕ
на X2 (див. [17, 20]) для кожного y ∈ X2
[B(y), y]+ =
[
(λI + ∂ϕ)(y), y
]
+
= λ〈y, y〉+ [∂ϕ(y), y]+ =
= λ(y, y)H + [∂ϕ(y), y − 0̄]+ ≥ λ‖y‖2H + [∂ϕ(0̄), y − 0̄]+ ≥
≥ λ‖y‖2X2
− ‖∂ϕ(0̄)‖+‖y‖X2 .
Таким чином, для всiх y ∈ X2
[B(y), y]+
‖y‖X2
≥ λ‖y‖X2 − ‖∂ϕ(0̄)‖+ → +∞ при ‖y‖X2 → +∞.
Отже, B — +-коерцитивний оператор. Оскiльки λ > 0, з монотонностi ∂ϕ випливає,
що B також монотонний, а отже, має напiвобмежену варiацiю на W. Таким чином,
задача (5.9) має принаймнi один розв’язок y ∈ W такий, що y(0) = 0̄. Отже, y —
розв’язок (5.8).
Зауваження 9. В наслiдку 2 умову (H) для A та ∂ϕ та +-коерцитивнiсть для
A+ λ0I можна замiнити на −-коерцитивнiсть для A+ λ0I на X1.
Зауваження 10. Нерiвнiсть в (5.8) еквiвалентна наступнiй нерiвностi:
〈y′, ξ − y〉+ [Ay, ξ − y]+ + [∂ϕ(y), ξ − y]+ ≥ 〈f, ξ − y〉 ∀ξ ∈W, (5.9)
де
∂ϕ(y) = {p ∈ X∗
2 | ϕ(ξ)− ϕ(y) ≥ 〈p, ξ − y〉 ∀ξ ∈ X2}
— субдиференцiал опуклого функцiоналу ϕ.
Нерiвнiсть (5.9) випливає з наступної формули [17,20]: ∀u, v ∈ X2
D+ϕ(u; v − u) := lim
t→0+
ϕ(u+ t(v − u))− ϕ(u)
t
= [∂ϕ(u), v − u]+.
Зауваження 11. В останньому наслiдку ми не вимагаємо коерцитивностi вiд
ϕ (вiдповiдно, вiд ∂ϕ) на X2.
6. Приклад. Нехай n ≥ 1, Ω ⊂ Rn — обмежена область з межею ∂Ω, S = [0;T ],
Q = S × Ω, p ∈ (1; 2] : W 1,p
0 (Ω) ⊂ L2(Ω); функцiонал Φ: R → R — вимiрний i
задовольняє умови
∃C1, C2 > 0: |Φ(t)| ≤ C1|t|+ C2 ∀t ∈ R;
∃C3 > 0: (Φ(t)− Φ(s))(t− s) ≥ −C3(s− t)2 ∀t, s ∈ R;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
1518 П. О. КАСЬЯНОВ, В. С. МЕЛЬНИК
функцiонал ψ : R → R — опуклий, напiвнеперервний знизу i задовольняє умовi
росту
∃C4, C5 > 0: |ψ(t)| ≤ C4|t|+ C5 ∀t ∈ R.
Нехай q ≥ 2: 1/p+ 1/q = 1. Покладемо
X = Lp(S;W 1,p
0 (Ω)) ∩ L2(S;L2(Ω)),
X∗ = Lq(S;W−1,q
0 (Ω)) + L2(S;L2(Ω)).
Розглянемо таку задачу:∫
Q
∂y(t, x)
∂t
(v(t, x)− y(t, x))dtdx+
+
n∑
i=1
∫
Q
(∣∣∣∣∂y(t, x)∂xi
∣∣∣∣p−2
∂y(t, x)
∂xi
)(
∂v(t, x)
∂xi
− ∂y(t, x)
∂xi
)
dtdx +
+
∫
Q
Φ(y(t, x))(v(t, x)− y(t, x))dtdx +
+
∫
Q
ψ(v(t, x))dtdx−
∫
Q
ψ(y(t, x))dtdx ≥
≥
∫
Q
f(t, x)(v(t, x)− y(t, x))dtdx ∀v ∈ X, (6.1)
y(t, x)
∣∣
∂Ω
= 0 для майже всiх t ∈ S, (6.2)
y(t, x)
∣∣
t=0
= 0 для майже всiх x ∈ Ω, (6.3)
де f ∈ X∗ — довiльне фiксоване.
Покладемо X1 = X, X2 = L2(Q),
A(y) = −
n∑
i=1
∂
∂xi
(∣∣∣∣ ∂y∂xi
∣∣∣∣p−2
∂y
∂xi
)
∀y ∈ X1,
ϕ(y) =
∫
Q
ψ(y(t, x))dtdx, y ∈ X2.
Пiсля iнтегрування частинами нерiвностi (6.1) одержимо таку задачу:
〈y′, v − y〉+ 〈A(y), v − y〉+ ϕ(v)− ϕ(y) ≥ 〈f, v − y〉, y(0) = 0. (6.4)
Пiд узагальненим розв’язком (6.1) – (6.3) будемо розумiти розв’язок задачi (6.4) в
класi W = {y ∈ X | y′ ∈ X∗}. Завдяки наслiдку 2, має мiсце така пропозицiя.
Пропозицiя 4. За перерахованих вище умов задача (6.1) – (6.3) має узагаль-
нений розв’язок y ∈W.
Зауважимо, що задача (6.1) – (6.3) за перерахованих вище умов є суттєво неко-
ерцитивною, оскiльки C1 > 0 — довiльне, а на функцiонал ϕ накладається лише
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
ЕВОЛЮЦIЙНI НЕРIВНОСТI З НЕКОЕРЦИТИВНИМИ wλ0 -ПСЕВДОМОНОТОННИМИ ... 1519
умова росту. Дана задача є багатозначною (багатозначнiсть забезпечує наявнiсть
ψ) i не вкладається в жодну з iснуючих схем. Даний приклад частково iлюструє
переваги обраної авторами методологiї в порiвняннi з результатами [1 – 12, 14, 21].
1. Толстоногов А. А. О решениях эволюционных включений. I // Сиб. мат. журн. – 1992. – 33,
№ 3. – С. 145 – 162.
2. Толстоногов А. А., Уманский Ю. И. О решениях эволюционных включений. II // Сиб. мат.
журн. – 1992. – 33, № 4. – С. 163 – 174.
3. Вакуленко А. Н., Мельник В. С. Топологiчний метод для операторних включень з щiльнови-
значеними вiдображеннями в банахових просторах // Нелiн. гран. задачi. – 2000. – № 10. –
C. 125 – 142.
4. Вакуленко А. Н., Мельник В. С. Розв’язнiсть i властивостi розв’язкiв одного класу операторних
включень в банахових просторах // Науковi вiстi НТУУ „КПI”. – 1999. – № 3. – С.105 – 112.
5. Вакуленко А. Н., Мельник В. С. Про один клас операторних включень в банахових просторах
// Допов. НАН України. – 1998. – № 5.
6. Касьянов П. О. Метод Гальоркiна для класу диференцiально-операторних включень iз бага-
тозначними вiдображеннями псевдомонотонного типу // Науковi вiстi НТУУ „КПI”. – 2005. –
№ 2. – С. 139 – 151.
7. Касьянов П. О. Метод Фаедо – Гальоркiна для одного класу диференцiально-операторних
включень // Допов. НАН України. – 2005. – № 9. – C. 20 – 24.
8. Касьянов П. О., Мельник В. С. Метод Фаедо – Гальоркiна для диференцiально-операторних
включень в банахових просторах з вiдображеннями wλ0 -псевдомонотонного типу // Зб. праць
Iн-ту математики НАН України. – 2005. – 2. – № 1. – С. 103 – 126.
9. Kasyanov P. O., Mel’nik V. S. Differential-operator inclusions in Banach spaces with Wλ-
pseudomonotone maps // Нелиней. гранич. задачи. – 2006. – № 16. – P. 46 – 68.
10. Kasyanov P. O., Mel’nik V. S., Toscano L. Method of approximation of evolutionary inclusions and
variational inequalities by stationary // Sys. Res. & Inf. Tech. – 2005. – № 4. – P. 106 – 119.
11. Дубинский Ю. А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения // Итоги науки и
техники: ВИНИТИ. Совр. пробл. мат. – 1976. – № 9. – С. 5 – 130.
12. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные
дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1978. – 337 с.
13. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики (в 4-х томах). – М.: Мир,
1977. – Т. 1. – 359 с.
14. Згуровский М. З., Мельник В. С., Новиков А. Н. Прикладные методы анализа и управления
нелинейными процессами и полями. – К.: Наук. думка, 2004. – 590 с.
15. Скрыпник И. В. Методы исследования эллиптических краевых задач. – М.: Наука, 1990. –
442 с.
16. Мельник В. С. Мультивариационные неравенства и операторные включения в банаховых про-
странствах с отображениями класа (S)+ // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 11. – С. 1513 – 1523.
17. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. – М.: Мир, 1988. – 512 с.
18. Мельник В. С. Топологические методы в теории операторных включений в банаховых про-
странствах // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 2, 4.
19. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.: Мир, 1972. – 587 с.
20. Касьянов П. О., Мельник В. С. Про властивостi субдиференцiальних вiдображень в просторах
Фреше // Укр. мат. журн. – 2005. – 57, № 10. – С. 1385 – 1394.
21. Denkowski Z., Migorski S., Papageorgiou N. S. An Introduction to nonlinear analysis. Applications.
– Boston, Dordrecht, London: Kluwer Acad. Publ., 2003.
Одержано 27.03.07,
пiсля доопрацювання — 06.11.07
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-3264 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:39:14Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/48/734c03cd5646310044aff1ef1e462d48.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32642020-03-18T19:49:31Z Evolution inequalities with noncoercive w λ 0 -pseudomonotone volterra-type mappings Еволюційні нерівності з некоерцитивними w λ 0 - псевдомонотонними відображеннями типу Вольтерра Kasyanov, P. O. Mel'nik, V. S. Касьянов, П. О. Мельник, В. С. We consider a class of differential-operator inequalities with noncoercive w λ 0 -pseudomonotone operators. The problem of the existence of solutions of the Cauchy problem for these inequalities is investigated by using the Dubinsky method. A priori estimates for these solutions and their derivatives are obtained. We give a model example that illustrates the results and generalizations obtained. Рассмотрен класс дифференциально-операторных неравенств с некоэрцитивными операторами w λ 0 -псевдомонотонного типа. С помощью метода Ю. А. Дубинского исследована проблема существования решения задачи Коши для данных неравенств. Установлены априорные оценки для полученных решений и их производных. Приведен модельный пример, иллюстрирующий полученные результаты. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3264 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 11 (2008); 1499 – 1519 Український математичний журнал; Том 60 № 11 (2008); 1499 – 1519 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3264/3274 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3264/3275 Copyright (c) 2008 Kasyanov P. O.; Mel'nik V. S. |
| spellingShingle | Kasyanov, P. O. Mel'nik, V. S. Касьянов, П. О. Мельник, В. С. Evolution inequalities with noncoercive w λ 0 -pseudomonotone volterra-type mappings |
| title | Evolution inequalities with noncoercive w λ 0 -pseudomonotone volterra-type mappings |
| title_alt | Еволюційні нерівності з некоерцитивними w λ 0 - псевдомонотонними відображеннями типу Вольтерра |
| title_full | Evolution inequalities with noncoercive w λ 0 -pseudomonotone volterra-type mappings |
| title_fullStr | Evolution inequalities with noncoercive w λ 0 -pseudomonotone volterra-type mappings |
| title_full_unstemmed | Evolution inequalities with noncoercive w λ 0 -pseudomonotone volterra-type mappings |
| title_short | Evolution inequalities with noncoercive w λ 0 -pseudomonotone volterra-type mappings |
| title_sort | evolution inequalities with noncoercive w λ 0 -pseudomonotone volterra-type mappings |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3264 |
| work_keys_str_mv | AT kasyanovpo evolutioninequalitieswithnoncoercivewl0pseudomonotonevolterratypemappings AT mel039nikvs evolutioninequalitieswithnoncoercivewl0pseudomonotonevolterratypemappings AT kasʹânovpo evolutioninequalitieswithnoncoercivewl0pseudomonotonevolterratypemappings AT melʹnikvs evolutioninequalitieswithnoncoercivewl0pseudomonotonevolterratypemappings AT kasyanovpo evolûcíjnínerívnostíznekoercitivnimiwl0psevdomonotonnimivídobražennâmitipuvolʹterra AT mel039nikvs evolûcíjnínerívnostíznekoercitivnimiwl0psevdomonotonnimivídobražennâmitipuvolʹterra AT kasʹânovpo evolûcíjnínerívnostíznekoercitivnimiwl0psevdomonotonnimivídobražennâmitipuvolʹterra AT melʹnikvs evolûcíjnínerívnostíznekoercitivnimiwl0psevdomonotonnimivídobražennâmitipuvolʹterra |