On the solvability of one class of parameterized operator inclusions
We consider a class of parameterized operator inclusions with set-valued mappings of \( {\bar S_k} \) type. Sufficient conditions for the solvability of these inclusions are obtained and the dependence of the sets of their solutions on functional parameters is investigated. Examples that illustrate...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3276 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509335328653312 |
|---|---|
| author | Kapustyan, V. O. Kasyanov, P. O. Kohut, O. P. Капустян, В. О Касьянов, П. О. Когут, О. П. |
| author_facet | Kapustyan, V. O. Kasyanov, P. O. Kohut, O. P. Капустян, В. О Касьянов, П. О. Когут, О. П. |
| author_sort | Kapustyan, V. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:49:49Z |
| description | We consider a class of parameterized operator inclusions with set-valued mappings of \( {\bar S_k} \) type. Sufficient conditions for the solvability of these inclusions are obtained and the dependence of the sets of their solutions on functional parameters is investigated. Examples that illustrate the results obtained are given. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:39:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
В. О. Капустян (Нац. техн. ун-т України „КПI”, Київ),
П. О. Касьянов (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка),
О. П. Когут (Iн-т прикл. систем. аналiзу НАН України та М-ва освiти i науки України, Київ)
ПРО РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ОДНОГО КЛАСУ
ПАРАМЕТРИЗОВАНИХ ОПЕРАТОРНИХ ВКЛЮЧЕНЬ
We consider a class of parameterized operator inclusions with multivalued maps of S̄k type. Sufficient
conditions for the solvability of these inclusions are obtained and the dependence of their solution sets on
functional parameters is investigated. The examples illustrating the results obtained are given.
Рассмотрен класс параметризованных операторных включений с многозначными отображениями типа
S̄k. Получены достаточные условия разрешимости таких включений и исследована зависимость мно-
жеств их решений от функциональных параметров. Приведены примеры, иллюстрирующие полученные
результаты.
Вступ. Операторнi включення A(y) 3 f є об’єктом iнтенсивних дослiджень упро-
довж останнiх десятилiть (див., наприклад, [1 – 5]). Iнтерес до таких об’єктiв зумов-
лений насамперед їх широким практичним застосуванням. Зазвичай їх пов’язують
iз задачами математичної фiзики, з диференцiальними рiвняннями з частинними
похiдними, диференцiальнi оператори яких допускають розрив по фазовiй змiннiй,
з диференцiальними рiвняннями з розривною правою частиною (див., наприклад,
[6]), iз задачами теорiї керування та оптимiзацiї та iн. Основним об’єктом дослiд-
жень даної роботи є параметризованi операторнi включення вигляду A(y, u) 3 f,
залежнiсть яких вiд функцiональних параметрiв u ∈ U може бути найрiзнома-
нiтнiшою. Такi об’єкти є типовими складовими математичних моделей багатьох
реальних процесiв (див., наприклад, [7]), що мотивує дослiдження проблеми їх
розв’язностi та залежностi їх розв’язкiв вiд параметра u ∈ U.
В роботах [8, 9] викладено основнi результати з теорiї розв’язностi оператор-
них рiвнянь, виходячи з властивостей монотонностi та псевдомонотонностi по-
роджуючих їх нелiнiйних операторiв. Бiльш широкi узагальнення, пов’язанi з пе-
реходом у класичних означеннях до пiдпослiдовностей, запропоновано в роботi
[10]. Це дало можливiсть розглядати клас λ0-псевдомонотонних вiдображень, зам-
кнений вiдносно суми вiдображень, що ранiше було проблематичним. Реалiзацiя
цiєї iдеї щодо проблем розв’язностi стацiонарних операторних включень знайшла
своє вiдображення в роботах [4, 11 – 16], а еволюцiйнi включення розглядалися
в [17, 18].
Мета даної роботи полягає у введеннi аналога властивостi Sk1, запропонованої в
роботi [10], для випадку багатозначних операторiв (далi позначатимемо його через
S̄k). Клас таких операторiв мiстить як власну пiдмножину оператори λ0-псевдо-
монотонного типу i, на вiдмiну вiд таких операторiв, властивiсть Sk є iнварiант-
ною вiдносно операцiї множення вiдображення на (−1). Хоча клас багатозначних
операторiв, якi задовольняють властивiсть S̄k, досi систематично не вивчався, в
роботi доведено теорему про розв’язнiсть вiдповiдних операторних включень та
дослiджено основнi властивостi множини їх розв’язкiв.
1Нелiнiйний оператор A : X → X∗, де X — банахiв простiр, задовольняє властивiсть Sk, якщо
для кожної послiдовностi {yn}n≥1 ⊂ X такої, що yn ⇀ y в X i A(yn) ⇀ d в X∗, з умови
〈A(yn), yn − y〉X → 0 випливає, що A(yn) ⇀ A(y) в X∗.
c© В. О. КАПУСТЯН, П. О. КАСЬЯНОВ, О. П. КОГУТ, 2008
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12 1619
1620 В. О. КАПУСТЯН, П. О. КАСЬЯНОВ, О. П. КОГУТ
Постановка задачi. Нехай X — рефлексивний банахiв простiр, X∗ — топологi-
чно спряжений до нього, 〈·, ·〉X : X∗×X → R — операцiя канонiчного спарювання,
2X
∗
— сукупнiсть усiх пiдмножин простору X∗, A : X → 2X
∗
— багатозначне
вiдображення,
DomA = {y ∈ X | A(y) 6= ∅} , grA = {(ξ; y) ∈ X∗ ×X | ξ ∈ A(y)} .
Далi багатозначне вiдображення A, для якого DomA = X, будемо називати стро-
гим i позначати його як A : X ⇒ X∗. Зi строгим багатозначним вiдображенням
A пов’яжемо його верхню [A(y), ξ]+ = sup
d∈A(y)
〈d, ξ〉X та нижню [A(y), ξ]− =
= inf
d∈A(y)
〈d, ξ〉X опорнi функцiї, де y, ξ ∈ X. Нехай також ‖A(y)‖+ = sup
d∈A(y)
‖d‖X∗ ,
‖A(y)‖− = inf
d∈A(y)
‖d‖X∗ [19]. Будемо також пов’язувати з вiдображенням A : X ⇒
⇒ X∗ вiдображення coA : X ⇒ X∗ та coA : X ⇒ X∗, якi визначенi за правилами
(coA)(y) = co(A(y)) та (coA(y)) = co(A(y)) вiдповiдно. Тут через co(A(y)) по-
значено слабке замикання у просторi X∗ опуклої оболонки множини A(y).
Твердження 1 [19]. Нехай A,B : X ⇒ X∗. Тодi для всiх y, v, v1, v2 ∈ X
справедливим є наступне:
1) функцiонал X 3 v → [A(y), v]+ є опуклим, додатно однорiдним та напiв-
неперервним знизу;
2) [A(y), v1 + v2]+ ≤ [A(y), v1]+ + [A(y), v2]+,
[A(y), v1 + v2]− ≥ [A(y), v1]− + [A(y), v2]−,
[A(y), v1 + v2]+ ≥ [A(y), v1]+ + [A(y), v2]−,
[A(y), v1 + v2]− ≤ [A(y), v1]+ + [A(y), v2]−;
3) [A(y) +B(y), v]+ = [A(y), v]+ + [B(y), v]+,
[A(y) +B(y), v]− = [A(y), v]− + [B(y), v]−;
4) [A(y), v]+ ≤ ‖A(y)‖+‖v‖X ,
[A(y), v]− ≤ ‖A(y)‖−‖v‖X ;
5) ‖co∗A(y)‖+ = ‖A(y)‖+, ‖co∗A(y)‖− = ‖A(y)‖−,
[A(y), v]+ = [co∗A(y), v]+ , [A(y), v]− = [co∗A(y), v]− ;
6) ‖A(y)−B(y)‖+ ≥ | ‖A(y)‖+ − ‖B(y)‖− | ,
‖A(y)−B(y)‖− ≥ ‖A(y)‖− − ‖B(y)‖+;
7) d ∈ co∗A(y)⇔ ∀ω ∈ X [A(y), ω]+ ≥ 〈d,w〉X .
Нехай далi Y — рефлексивний або сепарабельний нормований простiр, Y ∗ —
спряжений до нього, U — непорожня, опукла, ∗-слабкозамкнена множина в Y ∗.
Параметризованим операторним включенням будемо називати об’єкт
A(y, u) 3 f u ∈ U, (1)
де A : X × U ⇒ X∗ та f ∈ X∗.
Класи вiдображень. Введемо наступнi поняття.
Означення 1. Багатозначне вiдображення A : X × U ⇒ X∗ називається λ-
квазiмонотонним, якщо для довiльної послiдовностi {yn, un}n≥1 ⊂ X × U такої,
що для деяких y0 ∈ X, u0 ∈ U yn → y0 слабко в X, un → u0 ∗-слабко в Y ∗ при
n→ +∞, з нерiвностi
lim
n→∞
〈dn, yn − y0〉X ≤ 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
ПРО РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ОДНОГО КЛАСУ ПАРАМЕТРИЗОВАНИХ ОПЕРАТОРНИХ ВКЛЮЧЕНЬ 1621
де dn ∈ coA(yn, un) ∀n ≥ 1, випливає iснування пiдпослiдовностi {ynk
, unk
}k≥1 з
{yn, un}n≥1, для якої виконується
lim
k→∞
〈dnk
, ynk
− w〉X ≥ [A(y0, u0), y0 − w]− ∀w ∈ X.
Означення 2. Будемо говорити, що вiдображення A : X × U ⇒ X∗ задо-
вольняє властивiсть S̄k, якщо з того, що yn → y0 слабко в X, U 3 un → u0 ∈ U
∗-слабко в Y ∗, dn → d слабко в X∗ (dn ∈ coA(yn, un) ∀n ≥ 1) та
〈dn, yn − y0〉X→0 при n→∞, (2)
випливає d ∈ coA(y0, u0).
Зауваження 1. Якщо A : X ×U ⇒ X∗ задовольняє властивiсть S̄k, то (−A) :
X × U ⇒ X∗ також задовольняє дану властивiсть.
Наступне твердження належним чином впорядковує класи вiдображень типу S̄k
та λ-квазiмонотонного типу.
Твердження 2. Багатозначне λ-квазiмонотонне вiдображення задовольняє
властивiсть S̄k.
Доведення. Розглянемо послiдовностi U 3 un → u0 ∈ U ∗-слабко в Y ∗ та
yn → y0 слабко в X, dn → d слабко в X∗ (dn ∈ coA(yn, un) ∀n ≥ 1), i нехай
для них виконується спiввiдношення (2), а це означає, що lim
n→∞
〈dn, yn〉 = 〈d, y0〉X .
Доведемо, що d ∈ coA(y0, u0). З того, що оператор A є λ-квазiмонотонним, iз спiв-
вiдношення (2) випливає iснування пiдпослiдовностi {ym, um}m≥1 з {yn, un}n≥1,
для якої виконується
lim
m→∞
〈dm, ym − w〉X ≥ [A(y0, u0), y0 − w]− ∀w ∈ X.
Перетворимо дану нерiвнiсть:[
A(y0, u0), y0 − w
]
− ≤ lim
m→∞
〈dm, ym〉X − lim
m→∞
〈dm, w〉X =
= 〈d, y0 − w〉X ∀w ∈ X.
На пiдставi твердження 1 отримуємо, що d ∈ coA(y0, u0).
Твердження доведено.
Лема 1. Нехай A : X × U ⇒ X∗ та B : X × U ⇒ X∗ — λ-квазiмонотоннi
багатозначнi вiдображення. Тодi C := A+B : X × U ⇒ X∗ — λ-квазiмонотонне
багатозначне вiдображення.
Доведення аналогiчне наведеному в [16].
Означення 3. Будемо говорити, що вiдображення A : X × U ⇒ X∗ є демi-
замкненим, якщо з того, що yn → y0 сильно в X, U 3 un → u0 ∈ U ∗-слабко в Y ∗,
dn → d слабко в X∗ (dn ∈ coA(yn, un) ∀n ≥ 1), випливає, що d ∈ coA(y0, u0).
Твердження 3. Багатозначне вiдображення, що задовольняє властивiсть
S̄k, є демiзамкненим.
Означення 4. Багатозначне вiдображення A : X ⇒ X∗ задовольняє власти-
вiсть (Π), якщо для деякого k > 0, деякої обмеженої множини B ⊂ X та деякого
селектора d ∈ A виконується нерiвнiсть 〈d(y), y〉X ≤ k для всiх y ∈ B, тодi iснує
таке C > 0, що ‖d(y)‖X∗ ≤ C для всiх y ∈ B.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1622 В. О. КАПУСТЯН, П. О. КАСЬЯНОВ, О. П. КОГУТ
Зауваження 2. Сума багатозначних вiдображень, що задовольняють власти-
вiсть (Π), також задовольняє властивiсть (Π).
Означення 5. Багатозначне вiдображення A : X ⇒ X∗ називається:
локально обмеженим, якщо для довiльного фiксованого y ∈ X iснують констан-
ти m > 0 i M > 0 такi, що ‖A(ξ)‖+ ≤M для всiх ξ ∈ {ξ ∈ X | ‖y − ξ‖X ≤ m};
скiнченновимiрно локально обмеженим, якщо для довiльного скiнченновимiрного
простору F ⊂ X звуження A на F є локально обмеженим.
Основнi результати.
Означення 6. Будемо говорити, що y ∈ X є слабким розв’язком задачi (1)
при заданих f ∈ X∗ та u ∈ U, якщо coA(y, u) 3 f, тобто якщо [A(y, u), w]+ ≥
≥ 〈f, w〉X ∀w ∈ X.
Для фiксованих u ∈ U, f ∈ X∗ через K(u, f) позначимо множину слабких
розв’язкiв включення (1).
Теорема. Нехай багатозначне вiдображення A : X × U ⇒ X∗ задовольняє
властивiсть S̄k, U 3 un → u ∈ U ∗-слабко в Y ∗, fn → f сильно в X∗. Тодi⋂
n≥1
⋃
m≥n
K(um, fm)
w
⊂ K(u, f), (3)
де U
w
— слабке замикання множини U ⊂ X в X.
Бiльш того, якщо iснують u ∈ U, f ∈ X∗, r > 0 такi, що[
A(y, u)− f, y
]
+
≥ 0 ∀y ∈ X : ‖y‖X = r, (4)
а вiдображення X 3 y → A(y, u) є скiнченновимiрно локально обмеженим
i задовольняє властивiсть (Π), то K(u, f) — непорожня, слабкозамкнена мно-
жина в X.
Доведення. Нехай ℵ(X) — сукупнiсть усiх скiнченновимiрних пiдпросторiв
простору X, IF : F → X — оператор вкладення, I∗F : X∗ → F ∗ — спряжений
оператор. Для кожного F ∈ ℵ(X) розглянемо вiдображення AF : F → F ∗, яке
визначається комутативною дiаграмою
X
A(·,u)−→ X∗
↑ IF ↓ I∗F
F
AF−→ F ∗
,
тобто AF (·) = I∗FA(·, u)IF .
Для кожного F ∈ ℵ(X) покладемо AF (·) = I∗F coA(·, u) : F ⇒ F ∗. По-
кажемо, що вiдображення AF (·) = coAF (·) набуває опуклих компактних зна-
чень. Останнє випливає iз скiнченновимiрної локальної обмеженостi вiдображення
X 3 y → A(y, u) та зi справедливостi рiвностi coI∗FA(y, u) = I∗F coA(y, u) ∀y ∈ F,
яку доведено у [19].
Далi, покажемо, що вiдображення AF (·) = I∗F coA(·, u) : F ⇒ F ∗ є напiвнепе-
рервним зверху. Множина AF (x) є обмеженою, а отже, компактною в F ∗. При-
пустимо, що в точцi x0 ∈ F вiдображення AF не є напiвнеперервним зверху. Тодi
знайдеться ε > 0 таке, що в кoжнiй кулi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
ПРО РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ОДНОГО КЛАСУ ПАРАМЕТРИЗОВАНИХ ОПЕРАТОРНИХ ВКЛЮЧЕНЬ 1623
B 1
n
(x0) =
{
x ∈ F
∣∣∣ ‖x− x0‖F <
1
n
}
можна вибрати точку xn так, що
AF (xn) 6⊂ Bε
(
AF (x0)
)
=
{
z ∈ F ∗
∣∣dist
(
z,AF (x0)
)
< ε
}
.
Розглянемо послiдовностi {xn} , {zn} , де zn ∈ AF (xn) \Bε
(
AF (x0)
)
, xn ∈
∈ B1/n(x0). Послiдовнiсть xn збiгається до x0 в F, а послiдовнiсть zn обмеже-
на згiдно з обмеженiстю вiдображення AF . Не втрачаючи загальностi можемо
вважати, що zn → z0 в F ∗. Згiдно з твердженням 3 вiдображення A є демi-
замкненим, звiдки випливає замкненiсть AF . Тому z0 ∈ AF (x0), що суперечить
zn /∈ Bε
(
AF (x0)
)
.
Для кожного F ∈ ℵ(X) покладемо Br,F = Br
⋂
F, де Br — замкнена куля
радiуса r з центром у нулi в просторi X. Тодi[
AF (y)− fF , y
]
+
= [A(y, u)− f, y]+ ≥ 0 ∀y ∈ ∂Br,F ,
де fF = I∗F f.
Отже, для вiдображення AF (·) − fF застосуємо наслiдок 1.4.3 iз [19], з якого
випливає, що для будь-якого F ∈ ℵ(X) iснує yF ∈ Br,F таке, що AF (yF ) 3 fF .
Згiдно з твердженням 1.2.2 з [19] останнє включення є еквiвалентним нерiвностi[
AF (yF ) , w
]
+
≥ 〈fF , w〉F ∀w ∈ F. (5)
Для довiльного F0 ∈ ℵ(X) покладемо
GF0 =
⋃
F⊃F0
{
yF ∈ Br,F
∣∣ yF задовольняє (5)
}
.
Очевидно, множина GF0 є непорожньою i мiститься в кулi Br. Окрiм того, для
довiльного скiнченного набору F1, . . . , Fn ∈ ℵ(X) i F ∈ ℵ(X) таких, що
⋃n
i=1 Fi ⊂
⊂ F, маємо ∅ 6= GF ⊂
⋂n
i=1GFi
.
Таким чином, система множин {GwF } є центрованою, деG
w
F — слабке замикання
множини GF в X, i згiдно з теоремою Банаха – Алаоглу для кожного F ∈ ℵ(X) G
w
F
— компакт у слабкiй топологiї простору X. Отже,
⋂
F∈ℵ(X)G
w
F 6= ∅.
Розглянемо y0 ∈
⋂
F∈ℵ(X)G
w
F , зафiксуємо довiльне w ∈ X та виберемо F0 ∈
∈ ℵ(X) з умови y0, w ∈ F0. Тодi знайдеться пiдпослiдовнiсть {yn} ∈ GF0 , яка
слабко збiгається до y0 у просторi X, а також d′n ∈ AFn
(yn) (d′n = fn), де yn ∈
∈ Br
⋂
Fn, F0 ⊂ Fn ∈ ℵ(X), fn = I∗Fn
f. У такому випадку
lim
n→∞
〈dn, yn − y0〉X = lim
n→∞
〈d′n, yn − y0〉Fn
=
= lim
n→∞
〈fn, yn − y0〉Fn
= lim
n→∞
〈f, yn − y0〉X = 0,
де d′n = I∗Fn
dn, dn ∈ coA (yn, u) . Звiдси, зокрема, випливає, що послiдовнiсть{
〈dn, yn〉X
}
n≥1
є обмеженою зверху. Враховуючи, що вiдображення X 3 y →
→ A(y, u) задовольняє властивiсть (Π), згiдно з теоремою Банаха – Алаоглу мо-
жемо вважати, що з точнiстю до пiдпослiдовностi dn→d ∗-слабко в X∗. Оскiльки
вiдображення A задовольняє властивiсть S̄k, то d ∈ coA(y0, u). Далi,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1624 В. О. КАПУСТЯН, П. О. КАСЬЯНОВ, О. П. КОГУТ
〈d,w〉X = lim
n→∞
〈dn, w〉X = lim
n→∞
〈d′n, w〉Fn
= lim
n→∞
〈fn, w〉Fn
= lim
n→∞
〈f, w〉X .
З довiльного вибору w ∈ X випливає, що d = f, а це i доводить, що множина
K(u, f) є непорожньою.
Нехай тепер U 3 un → u ∈ U ∗-слабко в Y ∗, fn → f сильно в X∗. Перевiримо
справедливiсть включення (3). Припустимо, що множина⋂
n≥1
⋃
m≥n
K(um, fm)
w
є непорожньою (в iншому випадку включення (3) очевидно виконується). Тодi якщо
y0 ∈
⋂
n≥1
⋃
m≥n
K(um, fm)
w
, то iснує пiдпослiдовнiсть натуральних чисел {nk}k≥1
така, що y0 є слабкою границею в просторi X деякої послiдовностi {ynk
}k≥1 такої,
що для будь-якого k ≥ 1 ynk
∈ K(unk
, fnk
). Зазначимо, що 〈fnk
, ynk
− y0〉X → 0
при k →∞. Тодi з властивостi S̄k оператора A f ∈ A(y0, u), тобто y0 ∈ K(u, f).
Слабка замкненiсть K(u, f) випливає з (3).
Теорему доведено.
Далi на простому модельному прикладi буде проiлюстровано, що клас вiдобра-
жень типу S̄k є принципово ширшим за клас λ-квазiмонотонних вiдображень.
З кожним багатозначним вiдображенням A : X ⇒ X∗ пов’яжемо вiдображення
Ā : X × U ⇒ X∗, Ā(y, u) = A(y), y ∈ X, u ∈ U.
Означення 7. Багатозначний оператор A : X ⇒ X∗ називається:
λ-псевдомонотонним, якщо вiдповiдне вiдображення Ā : X × U ⇒ X∗ є λ-
квазiмонотонним;
+ (−)-коерцитивним, якщо
[A(y), y]+(−)
‖y‖X
→ +∞ при ‖y‖X → +∞.
Означення 8. Багатозначний оператор A : X ⇒ X∗ задовольняє власти-
вiсть (Sk), якщо вiдповiдне вiдображення Ā : X × U ⇒ X∗ задовольняє власти-
вiсть S̄k.
Зауваження 3. Достатньою умовою виконання нерiвностi (4) є умова +-
коерцитивностi для A(·, u) : X ⇒ X∗.
Ми розглянемо обмежене багатозначне вiдображення A : X ⇒ X∗, яке за-
довольняє властивiсть Sk, є +-коерцитивним, але не є −-коерцитивним, не є λ-
псевдомонотонним i −A теж не є λ-псевдомонотонним.
Приклад 1. Нехай n ≥ 2,Ω ⊂ Rn — обмежена область,X = H1
0 (Ω) — дiйсний
простiр Соболєва [9], X∗ ≡ H−1(Ω), (u, v)L2 =
∫
Ω
u(x)v(x)dx, u, v ∈ L2(Ω);
((u, v)) =
∫
Ω
∇u · ∇vdx — скалярний добуток в H1
0 (Ω), u, v ∈ H1
0 (Ω); a · b —
скалярний добуток векторiв a, b ∈ Rn; ‖u‖H1
0 (Ω) =
√
((u, u)), u ∈ X.
Для кожного y ∈ X покладемо
A(y) = {−divα∇y |α ∈ [−1, 1]}.
Зауважимо, що A : X ⇒ X∗, coA(y) = A(y) = −A(y) ∀y ∈ X.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
ПРО РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ОДНОГО КЛАСУ ПАРАМЕТРИЗОВАНИХ ОПЕРАТОРНИХ ВКЛЮЧЕНЬ 1625
Перевiримо, що A задовольняє властивiсть Sk. Нехай yn → y слабко в X,
dn → d слабко вX∗ (dn = −αn4yn ∈ A(yn), αn ∈ [−1, 1], n ≥ 1) i 〈dn, yn−y〉 → 0
при n→∞. Тодi
〈dn, yn − y〉 = −αn〈4yn, yn − y〉 = αn‖yn − y‖2X − αn〈4y, yn − y〉 ∀n ≥ 1.
Оскiльки yn → y слабко в X, а |αn| ≤ 1 ∀n ≥ 1, то αn‖yn − y‖2X → 0 при
n→∞. Тодi iснує пiдпослiдовнiсть {ym, αm}m ⊂ {yn, αn}n≥1 така, що або αm →
→ 0, або ‖ym − y‖H1
0 (Ω) → 0. У випадку, коли αm → 0 (враховуючи, що −4 :
H1
0 (Ω) → H−1(Ω) — обмежений оператор), маємо dm = −αm4ym → 0̄ ∈ A(y).
Якщо ж ym → y сильно в H1
0 (Ω) (враховуючи, що |αm| ≤ 1 ∀m), одержуємо, що
з точнiстю до пiдпослiдовностi {yk, αk} ⊂ {ym, αm} −αk4yk → −α4y сильно в
X для деякого α ∈ [−1, 1]. Отже, d = −α4y ∈ A(y).
+-Коерцитивнiсть A випливає з того, що
[A(y), y]+ = sup
|α|≤1
α〈4y, y〉 = ‖y‖2X ∀y ∈ X.
Обмеженiсть A випливає з оцiнки ‖A(y)‖+ ≤ ‖y‖X ∀y ∈ X. A не є −-коерцитив-
ним, оскiльки [A(y), y]− = −‖y‖2X ∀y ∈ X.
Тепер покажемо, що A не є λ-псевдомонотонним. Розглянемо довiльну орто-
нормовану систему векторiв {yn}n≥1 в нескiнченновимiрному гiльбертовому прос-
торi X = H1
0 (Ω). Як вiдомо, yn → 0̄ слабко в X. Нехай dn = 4yn ∈ A(yn)
∀n ≥ 1. Тодi 〈dn, yn − 0̄〉 = −‖yn‖2X = −1 ∀n ≥ 1. Звiдси lim
n→∞
〈dn, yn − 0̄〉 < 0,
але lim
m
〈dm, ym − 0̄〉 = −1 < 0 = [A(0̄), 0̄ − 0̄]− для довiльної пiдпослiдовностi
{ym, dm}m ⊂ {yn, dn}n. Враховуючи те, що −A(y) = A(y) ∀y ∈ X, маємо, що −A
теж не є λ-псевдомонотонним.
Наступний приклад стосується параметризованих операторних включень i
iлюструє суттєву залежнiсть властивостi Sk вiд вибору топологiй у просторi функ-
цiональних параметрiв.
Приклад 2. Нехай Ω — вiдкрита обмежена пiдмножина в Rn, n ≥ 2, з до-
статньо регулярною межею ∂Ω розмiрностi n− 1. Нехай ξ1, ξ2 — заданi функцiї з
L∞(Ω) такi, що
0 < β ≤ ξ1(x) ≤ ξ2(x) майже скрiзь в Ω.
Покладемо
U =
U = [uij(x)]1≤i,j≤n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
uji = uij ∈ [L∞(Ω)], i, j = 1, . . . , n,
ξ1(x) ≤ uij(x) ≤ ξ2(x)
майже скрiзь в Ω, i, j = 1, . . . , n,
(η,U(x)η)Rn ≥ α‖η‖2Rn ∀η ∈ Rn
,
де α > 0. Вважатимемо, що U утворює порожню множину рiвномiрно обмеже-
них та додатно означених симетричних квадратних матриць. Нехай також X =
= H1
0 (Ω), Y = [L1(Ω)]n×n. Тодi X∗ = H−1(Ω), Y ∗ = [L∞(Ω)]n×n. Розглянемо
оператор A : X × U → X∗, який визначається за правилом
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1626 В. О. КАПУСТЯН, П. О. КАСЬЯНОВ, О. П. КОГУТ
A(y,U) = −div(U(x)∇y) = −
n∑
i,j=1
∂
∂xi
(
ui j(x)
∂y
∂xj
)
.
Спочатку покажемо, що властивiсть S̄k буде порушуватися, якщо в якостi базових
топологiй в X та Y вибрати вiдповiдно топологiю слабкої збiжностi в H1
0 (Ω) та
топологiю ∗-слабкої збiжностi в [L∞(Ω)]n×n.
Дiйсно, нехай f ∈ H−1(Ω) — довiльний фiксований розподiл, {U k}∞k=1 — послi-
довнiсть в U така, що U k → U0 ∗-слабко в Y ∗. Оскiльки множина U є секвенцiйно
∗-слабкозамкненою, то U 0 ∈ U. В якостi послiдовностi {yk}∞k=1 ⊂ X вибере-
мо вiдповiднi розв’язки операторного рiвняння A(yk,U k) = f. Оскiльки оператор
A(·,U k) :X → X∗ є коерцитивним, лiнiйним та рiвномiрно обмеженим, то {yk}∞k=1
утворюють обмежену послiдовнiсть в X. Отже, можна вважати, що iснує елемент
y0 ∈ X такий, що yk → y0 слабко в X = H1
0 (Ω).
За нерiвнiстю Фрiдрiхса це означає, що ∇yk → ∇y0 слабко в [L2(Ω)]n, а от-
же, послiдовнiсть {(U k∇yk)}∞k=1 є обмеженою в [L2(Ω)]n. Нехай ξ ∈ [L2(Ω)]n є
слабкою границею в [L2(Ω)]n цiєї послiдовностi. Покладемо
dk = A(yk,U k) ∈ H−1(Ω)
i покажемо, що {dk}∞k=1 є слабкокомпактною в H−1(Ω). Дiйсно, для довiльного
φ ∈ H1
0 (Ω) маємо
〈−div(U k∇yk), φ〉H1
0 (Ω) =
∫
Ω
(U k∇yk,∇φ)Rndx→
∫
Ω
(ξ,∇φ)Rndx =
= 〈−div ξ, φ〉H1
0 (Ω) = 〈d, φ〉H1
0 (Ω).
Отже, dk → d слабко в H−1(Ω).
Далi нам знадобиться наступний результат.
Лема 2 (про компенсовану компактнiсть) [20, c. 142]. Нехай p k, p 0, vk, v0 —
вектори з [L2(Ω)]n такi, що
pk → p0 та vk → v0 слабко в [L2(Ω)]n.
Якщо при цьому послiдовностi {div p k}∞k=1 та {rot vk}∞k=1 є компактними в
H−1(Ω), то
lim
k→∞
∫
Ω
(p k, vk)Rn φdx =
∫
Ω
(p 0, v0)Rn φdx, ∀φ ∈ C∞0 (Ω).
Зауваження 4. Для довiльної вектор-функцiї v ∈
(
L2(Ω)
)n
елементи кососи-
метричної матрицi rot v як елементи простору H−1(Ω) визначаються таким чином:
〈rot v, φ〉i jH−1(Ω) = −
∫
Ω
(
vi
∂φ
∂xj
− vj
∂φ
∂xi
)
dx ∀φ ∈ H1
0 (Ω), i, j = 1, . . . , n.
Тепер покажемо, що lim
k→∞
〈dk, yk − y0〉H1
0 (Ω) = 0. Оскiльки простiр C∞0 (Ω) є щiль-
ним в H1
0 (Ω), то для виконання даної тотожностi досить встановити наступне:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
ПРО РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ОДНОГО КЛАСУ ПАРАМЕТРИЗОВАНИХ ОПЕРАТОРНИХ ВКЛЮЧЕНЬ 1627
〈dk, (yk − y0)φ〉H1
0 (Ω) → 0 при k →∞ ∀φ ∈ C∞0 (Ω).
Скористаємся перетвореннями
〈dk, (yk − y0)φ〉H1
0 (Ω) =
∫
Ω
(U k∇yk,∇yk)Rn φdx−
−
∫
Ω
(U k∇yk,∇y0)Rn φdx+
∫
Ω
(U k∇yk,∇φ)Rn(yk − y0) dx =
= Ik1 − Ik2 + Ik3 .
Оскiльки U k∇yk → ξ слабко в [L2(Ω)]n, yk → y0 слабко в H1
0 (Ω), yk → y0
сильно в L2(Ω), то
Ik2 →
∫
Ω
(ξ,∇y0)Rn φdx = I2,
Ik3 →
∫
Ω
(ξ,∇φ)Rn(y0 − y0) = 0 = I3.
Покладемо pk = U k∇yk, vk = ∇yk. Оскiльки rot vk = 0, a div pk = −f, то за
лемою про компенсовану компактнiсть отримуємо
Ik1 →
∫
Ω
(ξ,∇y0)φdx = I1.
Пiдсумовуючи отриманi результати, знаходимо
lim
k→∞
〈dk, (yk − y0)φ〉H1
0 (Ω) = I1 − I2 + I3 = 0,
що i потрiбно було встановити.
Таким чином, на вибраних вище послiдовностях {uk}∞k=1 i {yk}∞k=1 викону-
ються всi передумови означення 2. Покажемо, що в цьому випадку d 6= A(y0, u0),
тобто −div (U 0∇y0) 6= −div (ξ). Для цього покладемо
U k(x) = diag(u1k(x), u2k(x), . . . , unk(x)),
uik(x) = vi(x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn)u(k xi, ) ∀i = 1, . . . , n, (6)
де vi ∈ L∞(Ω) ∀i = 1, . . . , n, u(·) — довiльна 1-перiодична вимiрна функцiя ска-
лярного аргументу така, що max{α, ξ1(x)} ≤ vi(x)u(xi) ≤ ξ2(x) майже скрiзь в Ω
при всiх i = 1, 2, . . . , n. Оскiльки u(k xi) → 〈u〉 ∗-слабко в L∞(Ω), де через 〈u〉
позначено середнє значення функцiї u на її перiодi, то
U k →
v1〈u〉 0 · · · 0
0 v2〈u〉 · · · 0
· · ·
0 0 · · · vn〈u〉
≡ U 0 ∗-слабко в [L∞(Ω)]n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1628 В. О. КАПУСТЯН, П. О. КАСЬЯНОВ, О. П. КОГУТ
Проте, як показано в [20, c. 24], вектор ξ допускає подання
ξ =
v1〈u−1〉−1 0 · · · 0
0 v2〈u−1〉−1 · · · 0
· · ·
0 0 · · · vn〈u−1〉−1
∇y0.
Отже, рiвнiсть U 0∇y0 = ξ є хибною, оскiльки в загальному випадку 〈u〉 6= 〈u−1〉−1.
Таким чином, оператор A не задовольняє умову S̄k.
Проте досягти виконання цiєї умови можна, якщо звузити клас допустимих
значень функцiонального параметра U . А саме, розглянемо множину
V = {U = [u1,u2, . . . ,un] ∈ [L∞(Ω)]n×n : divui = 0 ∀ i = 1, 2, . . . , n},
де значення оператора div на векторi u ∈ [L2(Ω)]n визначається як елемент про-
стору H−1(Ω) такий, що
〈div u, φ〉H1
0 (Ω) = −
∫
Ω
(u,∇φ)Rndx ∀φ ∈ H1
0 (Ω).
Будемо говорити, що функцiональний параметр U є допустимим, якщо U ∈ V
⋂
U,
де множину U означено вище. Множину всiх допустимих параметрiв позначимо
через Usol.
Лема 3. Usol — секвенцiйно компактна множина в ∗-слабкiй топологiї про-
стору [L∞(Ω)]n×n.
Доведення. Нехай
{
U k = [u1k,u2k, . . . ,unk]
}∞
k=1
— довiльна послiдовнiсть
в Usol. Оскiльки Usol ⊂ U, а множина U є секвенцiйно ∗-слабкокомпактною, то
можна вважати, що iснує матриця U 0 ∈ U така, що∫
Ω
(u i k, φ)Rndx→
∫
Ω
(u i 0, φ)Rndx ∀φ ∈ [L1(Ω)]n ∀i = 1, 2, . . . , n.
Виберемо в якостi вектора φ такий, що φ = ∇p, де p ∈ H1
0 (Ω). Оскiльки∫
Ω
(u i k,∇p)Rndx = −〈div u i k, p〉H1
0 (Ω) = 0 ∀k ∈ N,
то
∫
Ω
(u i 0,∇p)Rn dx = −〈div u i 0, p〉H1
0 (Ω) = 0 для всiх i = 1, 2, . . . , n. Отже,
U 0 = [u1 0,u2 0, . . . ,un 0] ∈ Usol, що i потрiбно було встановити.
Лему доведено.
Тепер покажемо, що оператор A(y, u) = −div (U∇y), як вiдображення A :
H1
0 (Ω)× Usol → H−1(Ω), задовольняє умову S̄k.
Для цього виберемо послiдовностi {U k}∞k=1 ⊂ Usol та {yk}∞k=1 ⊂ X = H1
0 (Ω)
так, як це було зроблено вище.
Тодi в повнiй аналогiї до попереднього можна показати, що
dk = −div (U k∇y)→ d = −div (ξ) слабко в H−1(Ω)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
ПРО РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ОДНОГО КЛАСУ ПАРАМЕТРИЗОВАНИХ ОПЕРАТОРНИХ ВКЛЮЧЕНЬ 1629
i при цьому
lim
k→∞
〈dk, yk − y0〉H1
0 (Ω) = 0. (7)
Покажемо, що має мiсце тотожнiсть
ξ = U 0∇y0. (8)
Якщо це так, то з (7) отримуємо
lim
k→∞
〈dk, yk〉H1
0 (Ω) = lim
k→∞
〈dk, y0〉H1
0 (Ω) = 〈−div ξ, y0〉H1
0 (Ω) =
= 〈f, y0〉H1
0 (Ω) = 〈−div (U 0∇y0), y0〉H1
0 (Ω),
що означає d = A(y0,U 0).
Тепер встановимо тотожнiсть (8). Для цього використаємо лему про компенсо-
вану компактнiсть. Покладемо pk = u i k, p0 = u i 0, vk = ∇yk, v0 = ∇y0. Оскiльки
div pk = 0 i rot vk = 0 ∀k ∈ N, ∇yk → ∇y0 слабко в [L2(Ω)]n i U k → U 0 ∗-слабко
в [L∞(Ω)]n×n, а отже, слабко в [L2(Ω)]n×n, то
lim
k→∞
∫
Ω
(U k∇yk, φ)Rn dx =
n∑
i=1
lim
k→∞
∫
Ω
(u i k,∇yk)Rnφi dx =
= {за лемою про компенсовану компактнiсть} =
=
n∑
i=1
∫
Ω
(u i 0,∇y0)Rnφi dx =
∫
Ω
(U 0∇y0, φ)Rn dx ∀φ ∈ [C∞0 (Ω)]n.
Внаслiдок того, що простiр C∞0 (Ω) є щiльним в L1(Ω), U k∇yk → ξ = U 0∇y0
∗-слабко в [L∞(Ω)]n, що i потрiбно було встановити.
Зауважимо, що вибiр в якостi класу допустимих значень функцiональних пара-
метрiв множини соленоїдальних матриць Usol не передбачає переходу до матриць,
елементи яких належать простору H1(Ω). Тобто в загальному випадку це бiльш
широка множина, нiж{
U = [u1,u2, . . . ,un] ∈ [H1(Ω)]n×n : div ui = 0 ∀i = 1, 2, . . . , n
}
∩ U.
Бiльш того, оскiльки div u ∈ [L2(Ω)]n для всiх u ∈ [H1(Ω)]n, то мають мiсце
спiввiдношення
Usol * [H1(Ω)]n×n ∩ U, Usol ∩
(
[H1(Ω)]n×n ∩ U
)
6= ∅,{
[u1,u2, . . . ,un] ∈ [H1(Ω)]n×n : div ui = 0 ∀i = 1, 2, . . . , n
}
∩ U ⊂ Usol ⊂ U.
Особливим є також випадок, коли матриця U має дiагональну форму
U(x) = diag
(
v1(x), v2(x), . . . , vn(x)
)
. (9)
Як було показано вище, для оператора A : H1
0 (Ω)× U → H−1(Ω), де
A(y,U) = −div(U(x)∇y) = −
n∑
i=1
∂
∂xi
(
vi(x)
∂y
∂xj
)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1630 В. О. КАПУСТЯН, П. О. КАСЬЯНОВ, О. П. КОГУТ
властивiсть Sk може порушуватися. Проте ця властивiсть залишиться чинною, як
тiльки U ∈ Usol. З огляду на означення множини Usol це означає, що в цьому
випадку елементи vi з (9) повиннi задовольняти умови
vi ∈ L∞(Ω), max{α, ξ1(x)} ≤ vi(x) ≤ ξ2(x) майже скрiзь в Ω,
vi(x) = vi(x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn) ∀i = 1, 2, . . . , n.
Як видно, при такiй структурi дiагональної матрицi виконання умови 〈u〉 = 〈u−1〉−1
є тривiльним (див. (6)), оскiльки u = 1.
1. Aubin J. P., Cellina A. Differential inclusions. – Berlin: Springer, 1984.
2. Aubin J. P., Frankovska H. Set-valued analysis. – Boston: Birkhäuser, 1990.
3. Barbu V., Precupanu N. Convex analysis and optimization in Banach spaces. – New York: D. Reidet
Publ. Comp., 1986.
4. Згуровский М. З., Мельник В. С., Новиков А. Н. Прикладные методы анализа и управления нели-
нейными процессами и полями. – Киев: Наук. думка, 2004. – 590 с.
5. Ladas G. E., Lakshmikanthan V. Differential equations in abstract spaces. – New York: Acad. Press,
1972. – 458 p.
6. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. – М.: Наука, 1985. –
216 с.
7. Чикрий А. А. Конфликтно управляемые процессы. – Киев: Наук. думка, 1992. – 381 с.
8. Лионс Дж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.: Мир, 1972. – 587 с.
9. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные диффе-
ренциальные уравнения. – М.: Мир, 1978. – 336 с.
10. Скрыпник И. В. Методы исследования эллиптических краевых задач. – М.: Наука, 1990. – 442 с.
11. Згуровский М. З., Мельник В. С. Метод штрафа для вариационных неравенств с многозначными
отображениями. I // Кибернетика и систем. анализ. – 2000. – № 4. – С. 57 – 69.
12. Згуровский М. З., Мельник В. С. Неравенство Ки Фаня и операторные включения в банаховых
пространствах // Там же. – 2002. – № 2. – С. 70 – 85.
13. Згуровский М. З., Касьянов П. О., Мельник В. С. Дифференциально-операторные включения и
вариационные неравенства в бесконечномерных пространствах. – Киев: Наук. думка, 2008. – 464 с.
14. Мельник В. С. Про критичнi точки деяких класiв багатозначних вiдображень // Кибернетика и
систем. анализ. – 1997. – № 2. – C. 87 – 98.
15. Мельник В. С. Мультивариационные неравенства и операторные включения в банаховых про-
странствах с отображениями клаcса // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 11. – С. 1513 – 1523.
16. Мельник В. С. Топологические методы в теории операторных включений в банаховых пространс-
твах // Там же. – 2006. – 58, № 2, 4.
17. Иваненко В. И., Мельник В. С. Вариационные методы в задачах управления для систем с распре-
деленными параметрами. – Киев: Наук. думка, 1988. – 324 с.
18. Касьянов П. О., Мельник В. С. Метод Фаедо – Гальоркiна для диференцiально-операторних вклю-
чень в банахових просторах з вiдображеннями λ-псевдомонотонного типу // Зб. праць Iн-ту мате-
матики НАН України. – 2005. – 2, № 1. – С. 103 – 126.
19. Kasyanov P. O., Mel’nik V. S., Yasinsky V. V. Evolution inclusions and inequalities in Banach spaces with
Wλ-pseudomonotone maps. – Kyiv: Naukova dumka, 2007. – 308 p.
20. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. Л. Усреднение дифференциальных операторов. – М.:
Физматлит, 1993. – 464 с.
Одержано 15.01.08,
пiсля доопрацювання — 04.03.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-3276 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:39:28Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/eb/b026bdea16d7004a0be725f85e62a9eb.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32762020-03-18T19:49:49Z On the solvability of one class of parameterized operator inclusions Про розв'язність одного класу параметризованих операторних включень Kapustyan, V. O. Kasyanov, P. O. Kohut, O. P. Капустян, В. О Касьянов, П. О. Когут, О. П. We consider a class of parameterized operator inclusions with set-valued mappings of \( {\bar S_k} \) type. Sufficient conditions for the solvability of these inclusions are obtained and the dependence of the sets of their solutions on functional parameters is investigated. Examples that illustrate the results obtained are given. Рассмотрен класс параметризованных операторных включений с многозначными отображениями типа $\overline{S}_k.$ Получены достаточные условия разрешимости таких включений и исследована зависимость множеств их решений от функциональных параметров. Приведены примеры, иллюстрирующие полученные результаты. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3276 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 12 (2008); 1619–1630 Український математичний журнал; Том 60 № 12 (2008); 1619–1630 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3276/3298 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3276/3299 Copyright (c) 2008 Kapustyan V. O.; Kasyanov P. O.; Kohut O. P. |
| spellingShingle | Kapustyan, V. O. Kasyanov, P. O. Kohut, O. P. Капустян, В. О Касьянов, П. О. Когут, О. П. On the solvability of one class of parameterized operator inclusions |
| title | On the solvability of one class of parameterized operator inclusions |
| title_alt | Про розв'язність одного класу параметризованих операторних включень |
| title_full | On the solvability of one class of parameterized operator inclusions |
| title_fullStr | On the solvability of one class of parameterized operator inclusions |
| title_full_unstemmed | On the solvability of one class of parameterized operator inclusions |
| title_short | On the solvability of one class of parameterized operator inclusions |
| title_sort | on the solvability of one class of parameterized operator inclusions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3276 |
| work_keys_str_mv | AT kapustyanvo onthesolvabilityofoneclassofparameterizedoperatorinclusions AT kasyanovpo onthesolvabilityofoneclassofparameterizedoperatorinclusions AT kohutop onthesolvabilityofoneclassofparameterizedoperatorinclusions AT kapustânvo onthesolvabilityofoneclassofparameterizedoperatorinclusions AT kasʹânovpo onthesolvabilityofoneclassofparameterizedoperatorinclusions AT kogutop onthesolvabilityofoneclassofparameterizedoperatorinclusions AT kapustyanvo prorozv039âznístʹodnogoklasuparametrizovanihoperatornihvklûčenʹ AT kasyanovpo prorozv039âznístʹodnogoklasuparametrizovanihoperatornihvklûčenʹ AT kohutop prorozv039âznístʹodnogoklasuparametrizovanihoperatornihvklûčenʹ AT kapustânvo prorozv039âznístʹodnogoklasuparametrizovanihoperatornihvklûčenʹ AT kasʹânovpo prorozv039âznístʹodnogoklasuparametrizovanihoperatornihvklûčenʹ AT kogutop prorozv039âznístʹodnogoklasuparametrizovanihoperatornihvklûčenʹ |