Asymptotic relation for the density of a multidimensional random evolution with rare poisson switchings
In the Euclidean space $\mathbb{R}^m,\quad m \geq 2,$ the symmetric random evolution $\textbf{X}(t) = (X_1(t),...,X_m(t))$ controlled by a homogeneous Poisson process with parameter $\lambda > 0$ is considered. An asymptotic formula for the transition density $p(\textbf{x},t),\quad t >...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3277 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509337677463552 |
|---|---|
| author | Kolesnik, A. D. Колесник, А. Д. Колесник, А. Д. |
| author_facet | Kolesnik, A. D. Колесник, А. Д. Колесник, А. Д. |
| author_sort | Kolesnik, A. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:49:49Z |
| description | In the Euclidean space $\mathbb{R}^m,\quad m \geq 2,$ the symmetric random evolution
$\textbf{X}(t) = (X_1(t),...,X_m(t))$ controlled by a homogeneous Poisson process with parameter $\lambda > 0$ is considered.
An asymptotic formula for the transition density $p(\textbf{x},t),\quad t > 0,$ of the process $\textbf{X}(t)$ for $\lambda \rightarrow 0$ is obtained.
The behavior of $p(\textbf{x},t)$ near the boundary of the diffusion area in spaces of various dimensions is described. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:39:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.21
A. D. Kolesnyk (Yn-t matematyky y ynformatyky Akademyy nauk Moldov¥, Kyßynev)
ASYMPTOTYÇESKAQ FORMULA DLQ PLOTNOSTY
MNOHOMERNOJ SLUÇAJNOJ ∏VOLGCYY
S REDKYMY PUASSONOVSKYMY PEREKLGÇENYQMY
In the Euclidean space R
m , m ≥ 2, the symmetric random evolution X( ) ( ), , ( ))t X t X tm= ( …1
controlled by a homogeneous Poisson process with parameter λ > 0 is considered.
An asymptotic formula for the transition density p t( , )x , t > 0 , of the process X( )t for
λ → 0 is obtained. The behavior of p t( , )x near the boundary of the diffusion area in spaces of
various dimensions is described.
Rozhlqnuto symetryçnu vypadkovu evolgcig X( ) ( ), , ( ))t X t X tm= ( …1 v evklidovomu prostori
R
m , m ≥ 2, kerovanu odnoridnym procesom Puassona z parametrom λ > 0 .
Otrymano asymptotyçnu formulu dlq perexidno] wil\nosti p t( , )x , t > 0 , procesu X( )t
pry λ → 0 . Opysano povedinku p t( , )x bilq meΩi dyfuzno] oblasti u prostorax riznyx roz-
mirnostej.
1. Vvedenye. Process¥ sluçajnoj πvolgcyy aktyvno yssledovalys\ v posled-
nye desqtyletyq. Takoj bol\ßoj ynteres k πtomu typu sluçajn¥x processov
obæqsnqetsq kak yx bol\ßoj teoretyçeskoj vaΩnost\g, tak y mnohoçyslenn¥-
my praktyçeskymy prymenenyqmy v statystyçeskoj fyzyke, hydrodynamyke,
byolohyy y druhyx oblastqx. Naybolee vaΩn¥j typ sluçajnoj πvolgcyy pred-
stavlen model\g dvyΩenyq çastyc¥ s koneçnoj skorost\g v nekotorom fazo-
vom prostranstve y upravlqemoj nekotor¥m sluçajn¥m processom.
V dannoj stat\e m¥ rassmatryvaem markovskug sluçajnug πvolgcyg X( )t
çastyc¥, dvyΩuwejsq s postoqnnoj koneçnoj skorost\g c v evklydovom pro-
stranstve R
m, m ≥ 2, v sluçajnom napravlenyy, v¥byraemom po ravnomernomu
zakonu. DvyΩenye upravlqetsq odnorodn¥m processom Puassona s parametrom
λ > 0, menqgwym napravlenye dvyΩenyq çastyc¥ v sluçajn¥e puassonovskye
moment¥. Takoj typ dvyΩenyq poroΩdaet yzotropn¥j process perenosa, ymeg-
wyj çrezv¥çajno vaΩnoe znaçenye v statystyçeskoj fyzyke (sm., naprymer, [1]).
Pry yzuçenyy πtyx processov naybolee vaΩn¥my qvlqgtsq, nesomnenno, yx
toçn¥e raspredelenyq v tex (ves\ma nemnohoçyslenn¥x) sluçaqx, kohda takye
raspredelenyq mohut b¥t\ poluçen¥ v qvnom vyde. Toçnoe raspredelenye sym-
metryçnoj markovskoj sluçajnoj πvolgcyy na ploskosty b¥lo poluçeno raz-
n¥my metodamy v rabotax [2] (dlq sluçaq edynyçnoj skorosty c = 1), [3] (dlq
evklydova rasstoqnyq ot naçala koordynat), [4, 5] (sovmestnoe raspredelenye
processa X( )t s proyzvol\noj koneçnoj skorost\g rasprostranenyq). Trex-
mern¥e markovskye sluçajn¥e πvolgcyy yzuçalys\ v rabotax [1] (poluçen¥
dovol\no sloΩn¥e analytyçeskye v¥raΩenyq dlq sovmestn¥x plotnostej v
termynax rezol\vent¥ nekotoroho yntehral\noho operatora) y [6] (dlq sluçaq
edynyçnoj skorosty c = 1 pryvedeno v¥raΩenye dlq plotnosty processa v vy-
de ves\ma sloΩnoho yntehrala s peremenn¥my predelamy, kotor¥j, oçevydno, ne
moΩet b¥t\ v¥raΩen çerez πlementarn¥e funkcyy). Nakonec, toçnoe raspre-
delenye symmetryçnoj markovskoj sluçajnoj πvolgcyy v çet¥rexmernom pro-
stranstve b¥lo poluçeno v rabote [7], pryçem ono ymeet prostug analytyçes-
kug formu. Dlq bolee v¥sokyx razmernostej vozmoΩnost\ poluçenyq toçn¥x
raspredelenyj v¥z¥vaet ser\ezn¥e somnenyq.
Poπtomu osob¥j ynteres predstavlqgt asymptotyçeskye formul¥ y pre-
del\n¥e teorem¥, kotor¥e pryblyΩenno opys¥vagt povedenye processov slu-
çajnoj πvolgcyy, kohda skorost\ dvyΩenyq c y yntensyvnost\ pereklgçenyj
λ ymegt tot yly ynoj xarakter stremlenyq k predelu.
© A. D. KOLESNYK, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12 1631
1632 A. D. KOLESNYK
Naybolee yzvestnoe predel\noe povedenye symmetryçnoj markovskoj slu-
çajnoj πvolgcyy X( )t opredelqetsq standartn¥m uslovyem Kaca
c → ∞ , λ → ∞ ,
c2
λ
→ ρ, ρ > 0. (1)
V çastn¥x dvu- y çet¥rexmernom sluçaqx povedenye X( )t pry uslovyy Kaca (1)
rassmatryvalos\ v rabotax [4] y [7] sootvetstvenno. Dlq proyzvol\noj razmer-
nosty m ≥ 2 predel\noe povedenye X( )t b¥lo yzuçeno v [8]. V πtoj rabote
b¥lo pokazano, çto pry uslovyy (1) sluçajnaq πvolgcyq X( )t slabo sxodytsq
k odnorodnomu m -mernomu vynerovskomu processu s nulev¥m snosom y koπf-
fycyentom dyffuzyy σ2 = 2ρ / m . Pry ρ = 1 πto sovpadaet s analohyçn¥m
rezul\tatom v [9] (predloΩenye>4.8) dlq yzotropnoho processa perenosa na ry-
manovom mnohoobrazyy.
Uslovye Kaca (1) obespeçyvaet suwestvovanye predela, kotor¥j moΩet b¥t\
nazvan termodynamyçeskym predelom processa X( )t (dlq obosnovanyq takoho
nazvanyq sm. [10]). ∏to uslovye xarakteryzuet πvolgcyg çastyc¥ v puassonov-
skoj srede, nas¥wennoj sluçajn¥my prepqtstvyqmy, stolknovenyq s kotor¥my
v¥z¥vagt yzmenenye napravlenyq ee dvyΩenyq. V takom sluçae za edynycu vre-
meny çastyca podverhaetsq ohromnomu y vse vozrastagwemu çyslu stolknove-
nyj, y πtot fakt uçyt¥vaetsq uslovyem λ → ∞ . Pry πtom svobodn¥j probeh
çastyc¥ meΩdu stolknovenyqmy stanovytsq vse koroçe y koroçe. Çtob¥ kom-
pensyrovat\ takoe umen\ßenye dlyn¥ svobodnoho probeha, skorost\ çastyc¥
takΩe dolΩna vozrastat\. Uslovye Kaca (1) pokaz¥vaet, çto skorost\ dolΩna
uvelyçyvat\sq na porqdok b¥stree yntensyvnosty stolknovenyj. V takom slu-
çae, kak otmeçalos\ v¥ße, termodynamyçeskym predelom symmetryçnoj markov-
skoj sluçajnoj πvolgcyy X( )t qvlqetsq odnorodn¥j vynerovskyj process s
nulev¥m snosom y koπffycyentom dyffuzyy, zavysqwym ot razmernosty pro-
stranstva.
Odnako predstavlqet znaçytel\n¥j ynteres y protyvopoloΩn¥j (v oprede-
lennom sm¥sle) predel\n¥j sluçaj λ → 0, kotor¥j opys¥vaet fyzyçeskyj
process perenosa v redkoj srede. ∏to pryvodyt k neobxodymosty yzuçenyq po-
vedenyq sluçajnoj πvolgcyy X( )t pry mal¥x znaçenyqx λ . Otmetym, çto
reç\ ydet ne ob ob¥çnom predel\nom perexode pry λ → 0 (v takom ponymanyy
zadaça stanovytsq bessm¥slennoj, tak kak process v¥roΩdaetsq), a ob asymp-
totyçeskom povedenyy sluçajnoj πvolgcyy X( )t pry mal¥x znaçenyqx λ .
Predel\noe povedenye sluçajn¥x πvolgcyj pry razlyçn¥x uslovyqx yzuça-
los\ mnohymy avtoramy (sm., naprymer, rabot¥ [11 – 13], a takΩe byblyohrafyg
v nyx). Bol\ßynstvo poluçenn¥x rezul\tatov ymegt vyd abstraktn¥x predel\-
n¥x teorem. Odnako, naskol\ko yzvestno avtoru, dlq sluçajn¥x πvolgcyj v
evklydov¥x prostranstvax proyzvol\noj razmernosty qvn¥e asymptotyçeskye
formul¥ pry λ → 0 ne poluçen¥ do syx por.
V nastoqwej stat\e m¥ poluçym asymptotyçeskug formulu dlq perexodnoj
plotnosty processa X( )t v evklydovom prostranstve Rm
proyzvol\noj raz-
mernosty m ≥ 2 pry λ → 0. Zametym, çto πta formula ymeet qvn¥j vyd, t.>e.
ne soderΩyt nykakyx neyzvestn¥x konstant, kotor¥e, kak pravylo, voznykagt
pry poluçenyy asymptotyçeskyx formul. V¥vod formul¥ osnov¥vaetsq na v¥-
çyslenyy toçnoho obratnoho preobrazovanyq Fur\e uslovnoj xarakterystyçes-
koj funkcyy, sootvetstvugwej edynstvennomu yzmenenyg napravlenyq. Polu-
çennaq formula daet perv¥j çlen asymptotyçeskoho razloΩenyq perexodnoj
plotnosty processa po stepenqm λ . Ona takΩe pozvolqet dat\ ysçerp¥vagwee
opysanye povedenyq perexodnoj plotnosty vblyzy hranyc¥ dyffuzyonnoj ob-
lasty.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
ASYMPTOTYÇESKAQ FORMULA DLQ PLOTNOSTY … 1633
2. Opysanye modely y struktura raspredelenyq. Rassmotrym çastycu,
naçynagwug dvyΩenye yz naçala koordynat 0 = ( 0, … , 0 ) evklydova prost-
ranstva Rm
razmernosty m ≥ 2 v moment vremeny t = 0. Çastyca dvyΩetsq s
postoqnnoj koneçnoj skorost\g c (otmetym, çto c ponymaetsq kak postoqn-
naq norma skorosty). Naçal\noe napravlenye est\ sluçajn¥j m -mern¥j vek-
tor, ravnomerno raspredelenn¥j (lebehova veroqtnostnaq mera) na edynyçnoj
sfere
Sm
1 = x = … ∈ + … + ={ }( , , ) :x x x xm
m
m1 1
2 2 1R .
Çastyca menqet napravlenye dvyΩenyq v sluçajn¥e moment¥, obrazugwye od-
norodn¥j process Puassona s parametrom λ > 0. V πty puassonovskye moment¥
çastyca mhnovenno v¥byraet novoe napravlenye, ravnomerno raspredelennoe na
Sm
1 , nezavysymo ot ee pred¥duweho napravlenyq.
Oboznaçym çerez X( )t = ( …X t X tm1( ), , ( )) poloΩenye çastyc¥ v proyzvol\-
n¥j moment vremeny t > 0. Pust\ N ( t ) — çyslo puassonovskyx sob¥tyj, pro-
yzoßedßyx na yntervale vremeny ( 0, t ) y dx = ( , , )dx dxm1 … — ynfynytezy-
mal\n¥j πlement v prostranstve Rm.
V proyzvol\n¥j moment vremeny t > 0 çastyca s veroqtnost\g>>1 naxodyt-
sq v m -mernom ßare radyusa ct
Bct
m = x = … ∈ + … + ≤{ }( , , ) :x x x x c tm
m
m1 1
2 2 2 2R .
Raspredelenye
Pr ( )X xt d∈{ } = Pr ( ) , , ( )X t dx X t dxm m1 1∈ … ∈{ }, x B∈ ct
m , t ≥ 0,
sostoyt yz dvux komponent. Synhulqrnaq komponenta sootvetstvuet sluçag,
kohda na yntervale vremeny ( 0, t ) ne proyzoßlo ny odnoho puassonovskoho so-
b¥tyq, y, sledovatel\no, çastyca ne yzmenyla svoeho naçal\noho napravlenyq.
Synhulqrnaq komponenta skoncentryrovana na sfere radyusa ct
Sct
m = ∂Bct
m = x = … ∈ + … + ={ }( , , ) :x x x x c tm
m
m1 1
2 2 2 2
R .
Ponqtno, çto veroqtnost\ toho, çto v dann¥j moment vremeny t çastyca naxo-
dytsq na sfere Sct
m
, est\ veroqtnost\ toho, çto do momenta t ne proyzoßlo ny
odnoho puassonovskoho sob¥tyq, y ravna
Pr ( )X t Sct
m∈{ } = e t−λ .
Esly Ωe na yntervale vremeny ( 0, t ) proyzoßlo xotq b¥ odno puassonov-
skoe sob¥tye y, sledovatel\no, çastyca xotq b¥ raz yzmenyla napravlenye svo-
eho dvyΩenyq, to ona budet naxodyt\sq v moment t stroho vnutry ßara Bct
m
, y
veroqtnost\ πtoho sob¥tyq ravna
Pr ( ) intX Bt ct
m∈{ } = 1 − −e tλ .
Çast\ raspredelenyq, sootvetstvugwaq πtomu sluçag, skoncentryrovana na
vnutrennosty ßara Bct
m
int Bct
m = x = … ∈ + … + <{ }( , , ) :x x x x c tm
m
m1 1
2 2 2 2R
y obrazuet eho absolgtno neprer¥vnug komponentu. Sledovatel\no, suwestvu-
et plotnost\
p t( , )x = p x x tm( , , , )1 … , x B∈int ct
m , t > 0,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
1634 A. D. KOLESNYK
absolgtno neprer¥vnoj komponent¥ raspredelenyq Pr ( )X xt d∈{ } , qvlqgwaq-
sq osnovnoj cel\g naßeho yssledovanyq. Suwestvovanye plotnosty p t( , )x v¥-
tekaet yz toho fakta, çto ona moΩet b¥t\ predstavlena kak puassonovskaq sum-
ma svertok.
3. Asymptotyçeskaq formula. Po formule polnoj veroqtnosty m¥ mo-
Ωem predstavyt\ plotnost\ absolgtno neprer¥vnoj komponent¥ p t( , )x ras-
predelenyq processa X( )t v vyde
p t( , )x = e
t
n
p tt
n
n
n
−
=
∞
∑λ λ
1
( )
!
( , )x , (2)
hde funkcyy p tn( , )x , n ≥ 1, qvlqgtsq uslovn¥my plotnostqmy uslovn¥x ras-
predelenyj Pr ( ) ( )X xt d N t n∈ ={ } , sootvetstvugwymy n yzmenenyqm naprav-
lenyq (yly n skaçkam puassonovskoho processa).
Poskol\ku uslovn¥e plotnosty p tn( , )x , n ≥ 1, ne zavysqt ot λ , yz pred-
stavlenyq (2) poluçaem prostug asymptotyçeskug formulu
p t( , )x = λ λλte p t ot− +1( , ) ( )x ,
yly
p t( , )x ∼ λ λte p tt−
1( , )x , λ → 0. (3)
∏to oznaçaet, çto pry mal¥x znaçenyqx λ plotnost\ p t( , )x vedet sebq
pryblyzytel\no kak funkcyq v pravoj çasty (3), pryçem πta approksymacyq
tem toçnee, çem men\ße znaçenye λ . Oçevydno, reßagwym momentom zdes\ qv-
lqetsq naxoΩdenye qvnoho vyda uslovnoj plotnosty p t1( , )x , sootvetstvugwej
edynstvennomu yzmenenyg napravlenyq.
Osnovn¥m rezul\tatom stat\y qvlqetsq sledugwaq teorema.
Asymptotyçeskaq teorema. Dlq lgboho t > 0 y proyzvol\noj razmernos-
ty m ≥ 2 ymeet mesto asymptotyçeskaq formula
p t( , )x ∼ λ ν
π
ν ν νλ
ν
ν νte
ct
F
c t
t−
−
+ +
+ + − + +
2 1 1
2
1 1
2 1
1 2 2
2
2 2
Γ( )
( )
, ; ;
x
, λ → 0,
(4)
x = ( , , )x xm1 … ∈ int Bct
m , x 2 = x xm1
2 2+ …+ ,
hde
ν =
m − 2
2
, m ≥ 2, (5)
y funkcyq
F z( , ; ; )ξ η ζ = 2 1F z( , ; ; )ξ η ζ =
( ) ( )
( ) !
ξ η
ζ
k k
kk
kz
k=
∞
∑
0
(6)
qvlqetsq hyperheometryçeskoj funkcyej Haussa,
( )a k = a a a k( ) ( )+ … + −1 1 =
Γ
Γ
( )
( )
a k
a
+
— symvol Poxhammera.
Dokazatel\stvo. Sravnyvaq (4) y (3), vydym, çto dlq dokazatel\stva teo-
rem¥ nuΩno pokazat\, çto dlq lgboho t > 0 ymeet mesto ravenstvo
p t1( , )x =
2 1 1
2
1 1
2 1
1 2 2
2
2 2
ν
ν ν
ν
π
ν ν ν
−
+ +
+ + − + +
Γ( )
( )
, ; ;
ct
F
c t
x
. (7)
Vnaçale zametym, çto pry razmernostqx m = 2, m = 3 y m = 4 (yly, v sy-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
ASYMPTOTYÇESKAQ FORMULA DLQ PLOTNOSTY … 1635
lu (5), pry znaçenyqx parametra ν = 0, ν = 1 / 2 y ν = 1 sootvetstvenno) yz
formul¥ (7) moΩno poluçyt\ yzvestn¥e v¥raΩenyq dlq uslovnoj plotnosty
p t1( , )x (sm. zameçanye>1 nyΩe). Poπtomu nam nuΩno dokazat\ formulu (7) lyß\
pry razmernostqx m ≥ 5 (t. e. pry znaçenyqx parametra ν ≥ 3 / 2 ) . Ytak, pola-
haem, çto ν ≥ 3 / 2 .
Yzvestno (sm. [14], formula>(2.4)), çto uslovnaq xarakterystyçeskaq funk-
cyq (preobrazovanye Fur\e) H t1( , )αα uslovnoj plotnosty p t1( , )x dlq proyz-
vol\noj razmernosty m ≥ 2 ymeet vyd
H t1( , )αα =
[ ]( ) ( )
( )
2 1 2
0
ν
ν
ν
ν
ν
ν τ
τ
τ
τ
τΓ + ( )
( )
−( )
−( )∫t
J c
c
J c t
c t
d
t αα
αα
αα
αα
=
=
[ ]( )
( )
( )
( )
2 1 1
1
2
2
0
1ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν ξ
ξ
ξ
ξ
ξΓ + ( )
( )
−( )
−( )∫ct
J ct J ct
d
αα
αα
αα
αα
, (8)
hde αααα = ( α1, … , αm ) ∈ R
m
— vewestvenn¥j m -mern¥j vektor parametrov ob-
rawenyq, αα = α α1
2 2+ …+ m , J xν( ) — funkcyq Besselq porqdka ν vewest-
vennoho arhumenta y ν daetsq formuloj (5).
Standartn¥j podxod zaklgçaetsq v v¥çyslenyy uslovnoj xarakterystyçes-
koj funkcyy H t1( , )αα y ee posledugwem obrawenyy. Odnako trudnost\ sosto-
yt v tom, çto yntehral v (8), voobwe hovorq, ne moΩet b¥t\ v¥çyslen v qvnom
vyde dlq proyzvol\noj razmernosty. M¥ preodoleem πtu trudnost\, v¥çyslyv
obratnoe preobrazovanye Fur\e funkcyy H t1( , )αα bez znanyq ee qvnoho vyda.
Ytak, perejdem k v¥çyslenyg obratnoho preobrazovanyq Fur\e Fαα
−1
funk-
cyy H t1( , )αα , zadannoj ravenstvom (8). Po formule obrawenyq Hankelq (sm.,
naprymer, [15, c. 359], formula (43)) ymeem
p t1( , )x = Fαα αα−1
1[ ]( , )H t =
x −
+
+ν
ν
ν
νπ
ν
( )
( )
( )
[ ]
2
2 1
1
2
2
Γ
ct
×
×
0
1
0
1
1
1
∞
+∫ ∫( ) ( )
( )
−( )
−( )
J r r
J ctr
r
J ctr
r
d drν
ν ν
ν
ν
ν
ξ
ξ
ξ
ξ
ξx
( )
( )
=
=
x −
+
+ν
ν
ν
νπ
ν
( )
( )
( )
[ ]
2
2 1
1
2
2
Γ
ct
0
1
0
1
1
1
∞
−∫ ∫( ) ( ) −( )
−
r J r
J ctr J ctr
d drν
ν
ν
ν
ν
ν
ξ
ξ
ξ
ξ
ξx
( )
( )
. (9)
PokaΩem, çto yntehral po r v pravoj çasty (9) sxodytsq ravnomerno y abso-
lgtno dlq lgboho ξ yz yntervala [ 0, 1 ] . Ymeem
0
1
0
1
1
1
∞
−∫ ∫( ) ( ) −( )
−
r J r
J ctr J ctr
d drν
ν
ν
ν
ν
ν
ξ
ξ
ξ
ξ
ξx
( )
( )
≤
≤ ( )
( )
( )
ct r J r
J ctr
ctr
J ctr
ctr
d dr2
0 0
1
1 1
1
ν ν
ν
ν
ν
ν
ν
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
∞
+∫ ∫ ( ) ( )
( )
−( )
−( )
x . (10)
Takym obrazom, nam nuΩno lyß\ dokazat\ sxodymost\ yntehrala po r v pra-
voj çasty (10). Yz neravenstva (ohranyçennost\ funkcyy Besselq)
J x
x
ν
ν
( )
≤
1
2 1ν νΓ( )+
, ν ≥ 0,
sleduet, çto yntehral po ξ v pravoj çasty (10) est\ neprer¥vnaq po r funk-
cyq y, znaçyt, pod¥ntehral\naq funkcyq v pravoj çasty neravenstva (10) ne-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
1636 A. D. KOLESNYK
prer¥vna po peremennoj r. Sledovatel\no, dostatoçno pokazat\, çto pry r →
→ ∞ ona stremytsq k nulg dostatoçno b¥stro. Yspol\zuq yzvestnoe asympto-
tyçeskoe razloΩenye funkcyy Besselq (sm., naprymer, [15, c. 352], formula
(23), yly [16], formula 8.451(1))
J xν( ) =
2
2 4
1 2 3 2
π
π ν π
cos / /( )x x O x− −
+− − , x → ∞ ,
vydym (ocenyvaq kosynus edynycej), çto
J xν( ) ≤ g x1( ) ∼ x O x− −+1 2 3 2/ /( ), x → ∞ .
Yn¥my slovamy, modul\ funkcyy Besselq maΩoryruetsq funkcyej g x1( ), ko-
toraq pry x → ∞ stremytsq k nulg so skorost\g x−1 2/
. Otsgda takΩe sledu-
et, çto
J x
x
ν
ν
( )
≤ g x2( ) ∼ x O x− + − ++( / ) ( / )( )ν ν1 2 3 2 , x → ∞ .
Takym obrazom, pod¥ntehral\naq funkcyq v pravoj çasty (10) maΩoryruetsq
nekotoroj funkcyej, stremqwejsq k nulg pry r → ∞ so skorost\g
r r r rν ν ν+ − − + − +1 1 2 1 2 1 2/ ( / ) ( / ) = r− +( / )ν 1 2 .
Poskol\ku, kak m¥ otmeçaly v¥ße, ν ≥ 3 / 2, otsgda sleduet, çto pry r → ∞
πta maΩoryrugwaq funkcyq stremytsq k nulg so skorost\g, ne men\ßej, çem
r−2
, y, sledovatel\no, ona yntehryruema po r.
Ytak, m¥ pokazaly, çto pod¥ntehral\naq funkcyq v (9) pry lgbom ξ yz
yntervala [ 0, 1 ] maΩoryruetsq nekotoroj funkcyej, yntehryruemoj po r na
[ 0, ∞ ) . Sledovatel\no, yntehral po r v pravoj çasty (9) sxodytsq ravnomerno
y absolgtno dlq lgboho ξ yz yntervala [ 0, 1 ] , çto y trebovalos\ dokazat\.
Zametym, çto poputno m¥ dokazaly y neprer¥vnost\ uslovnoj plotnosty
p t1( , )x dlq lgboj razmernosty m ≥ 5. M¥ ewe vernemsq k voprosu o nepre-
r¥vnosty p t1( , )x v zameçanyy>>2 nyΩe.
V sylu tol\ko çto dokazannoj ravnomernoj sxodymosty yntehrala, m¥ mo-
Ωem pomenqt\ porqdok yntehryrovanyq v (9) y perepysat\ πto v¥raΩenye v vyde
p t1( , )x =
[ ]( )
( ) ( )
2 1
2
2
1 2
ν
ν ν ν
ν
π
Γ +
+ x ct
×
×
0
1
0
11
1
1∫ ∫−
( ) ( ) −( )
∞
−d r J r J ct r J ct r drξ
ξ ξ
ξ ξν ν
ν
ν ν ν( )
( )x . (11)
Rassmotrym otdel\no vnutrennyj yntehral v (11):
K : =
0
1 1
∞
−∫ ( ) ( ) −( )r J r J ct r J ct r drν
ν ν νξ ξx ( ) .
Po formule>>6.578(9) yz [16] ymeem
K =
2
1 1 2 1 2
1 2 1ν ν
νξ ξ ν
− −
−( ) +
∆
Γ Γct ct( ) ( ) ( )/ /x
, (12)
hde ∆ — plowad\ treuhol\nyka so storonamy a1 = x , a ct2 = ξ y
a ct3 1= −( )ξ . Dlq suwestvovanyq treuhol\nyka s takymy storonamy neobxody-
mo y dostatoçno, çtob¥ v¥polnqlas\ systema neravenstv
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
ASYMPTOTYÇESKAQ FORMULA DLQ PLOTNOSTY … 1637
x + ctξ > ct( )1 − ξ , x + −ct( )1 ξ > ctξ , ct ctξ ξ+ −( )1 > x .
Reßenye πtoj system¥ daetsq neravenstvamy
ct
ct
− x
2
< ξ <
ct
ct
+ x
2
, x < ct . (13)
Dlq v¥çyslenyq plowady treuhol\nyka ∆ vospol\zuemsq formuloj Herona
πlementarnoj heometryy. Poluperymetr πtoho treuhol\nyka raven
l =
1
2 1 2 3( )a a a+ + =
x + + −ct ctξ ξ( )1
2
=
ct + x
2
,
y, sledovatel\no,
l a− 1 =
ct + −x
x
2
=
ct − x
2
,
l a− 2 =
ct
ct
+ −x
2
ξ =
ct( )1 2
2
− +ξ x
,
l a− 3 =
ct
ct
+ − −x
2
1( )ξ =
ct( )2 1
2
ξ − + x
.
Tohda po formule Herona ymeem
∆ = l l a l a l a( )( )( )− − −1 2 3 =
=
ct ct ct ct+ − − + − +x x x x
2 2
1 2
2
2 1
2
( ) ( )ξ ξ
=
=
c t ct ct2 2 2
4
1 2 2 1
4
− − +( ) − +( )x x x( ) ( )ξ ξ
=
=
ct c t c t
c t
2 2 2 2 2 2
2 2
2
2 4
− − − + −x x ξ ξ . (14)
Podstavlqq (14) v (12), naxodym
K =
2
1 1 2
1
2
ν
ν ν ν νξ ξ ν π
−
− +( ) ( ) ( )/ct x Γ
×
×
ct
c t
c t
c t2 4
2 2 2 1 2 2 2 2
2 2
2
1 2 2 1
−( ) − − + −
−
x
x/
/
ξ ξ
ν
=
=
c t
ct
c t
c t
2 2 2 1 2
2 2 2
2 2
2
1 2
1 1 2 2 4
−( )
− +
− − + −
− −x x
ν
ν ν ν
ν
π ξ ξ ν
ξ ξ
/ /
( ) ( ) ( )/Γ
. (15)
Podstavlqq teper\ (15) v (11) y prynymaq vo vnymanye (13), poluçaem
p t1( , )x =
[ ]
/
( )
( ) ( ) ( )
/
/
/
Γ
Γ
ν
π ν
ξ ξ
ξ ξ
ξ
ν
ν ν ν
ν
ν ν
+ −( )
+
− − + −
−
−
+ +
−
+
−
∫
1
2 1 2
4
1
2 2 2 2 1 2
3 2 2 1 2
2
2
2 2 2
2 2
2
1 2
2 2
c t
ct
c t
c t
d
ct
ct
ct
ctx
x
x
x
x
.
(16)
Rassmotrym otdel\no yntehral v (16):
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
1638 A. D. KOLESNYK
I : =
ct
ct
ct
ct
c t
c t
d
−
+
−
∫
− − + −
−x
x x
2
2
2 2 2
2 2
2
1 2
2 2
4
1
ξ ξ
ξ ξ
ξ
ν
ν ν
/
( )
.
Vvedq oboznaçenyq
a =
ct
ct
− x
2
, b =
ct
ct
+ x
2
, (17)
moΩno zapysat\ πtot yntehral v vyde
I =
a
b
a b
d∫ − −
−
− −( ) ( )
( )
/ /ξ ξ
ξ ξ
ξ
ν ν
ν ν
1 2 1 2
2 21
. (18)
Zamenoj peremennoj yntehryrovanyq z = ( ) ( )/ξ − −a b a yntehral (18) svodyt-
sq k yntehralu vyda
I =
b a
a a
z z
b a
a
z
b a
a
z
dz
−
−
−
+ −
− −
−
∫
− −
( )
( )/ /
1
1
1 1
1
2
0
1 1 2 1 2
2 2
ν ν ν
ν ν . (19)
Yz (17) sleduet, çto a + b = 1 y, znaçyt, a = 1 – b. Tohda
b a
a
−
= –
2 1
1
b
b
−
−
,
b a
a
−
−1
=
2 1b
b
−
,
b a
a a
−
−( )1
= –
2 1
1
b
b b
−
−( )
.
Podstavlqq πto v (19), poluçaem
I =
2 1
1
1
1
2 1
1
1
2 1
2
0
1 1 2 1 2
2 2
b
b b
z z
b
b
z
b
b
z
dz
−
−
−
− −
−
− −
∫
− −
( )
( )/ /ν ν ν
ν ν
. (20)
Znamenatel\ pod¥ntehral\noj funkcyy v (20) moΩet b¥t\ predstavlen v vyde
1
2 1
1
1
2 1− −
− −
b
b
z
b
b
z
–
= 1
2 1
1
1
2
− −( )
( – )
( – )
b
b b
z z .
Tohda (20) preobrazuetsq k vydu
I =
2 1
1
1
1
2 1
1
1
2
0
1 1 2
2 2
b
b b
z z
b
b b
z z
dz
−
−
− − −
∫
−
( – )
( ( ))
( )
( – )
( )
/ν ν
ν =
= 2
2 1
1
1
1
2 1
1
1
2
0
1 2 1 2
2 2
b
b b
z z
b
b b
z z
dz
−
−
− − −
∫
−
( – )
( ( ))
( )
( – )
( )
/ /ν ν
ν , (21)
hde y yspol\zovan tot fakt, çto na yntervale [ 0, 1 ] funkcyq z z( )1 − (a zna-
çyt, y sama pod¥ntehral\naq funkcyq) symmetryçna otnosytel\no prqmoj z =
= 1 / 2.
V¥polnqq teper\ zamenu u = 4 1z z( )− v yntehrale v pravoj çasty (21), pos-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
ASYMPTOTYÇESKAQ FORMULA DLQ PLOTNOSTY … 1639
le πlementarn¥x v¥çyslenyj ymeem
I = 2
2 1
1
2 1
4 1
1
4 1
2 1
2
2 2 2
0
1
1 2 1 2
2
2
−
−
− −
−
−
−
−
−
+
∫ν
ν ν
ν
ν
b
b b
b
b b
u u
b b
b
u du
( – )
( )
( – )
( )
( – )
( )
/ / .
Prymenqq formulu>>3.197(8) yz [16] k πtomu yntehralu, poluçaem
I = 2
2 1
1
4 1
2 1
4 1
2 1
2
2
2
2
2
2
−
−
−
−
−
ν
ν ν ν
b
b b
b b
b
b b
b( – )
( – )
( )
( – )
( )
×
× B F
b
b b
1
2
1
2
2
1
2
1
2 1
4 1
2
, , ; ;
( )
( – )
ν ν ν ν+
+ + − −
=
= 2
2 1
1
1 2 1 2
1
2
1
2
1
2 1
4 1
2
2 2
− −
+
+
+ + − −
ν
ν ν
ν
ν ν νb
b b
F
b
b b( – )
( ) ( )
( )
, ; ;
( )
( – )
/ /Γ Γ
Γ
. (22)
Yz (17) lehko naxodym
2 1
1
b
b b
−
( – )
= –
4
2 2 2
ct
c t
x
x−
,
( )
( – )
2 1
4 1
2b
b b
−
=
x
x
2
2 2 2c t −
.
Podstavlqq πty v¥raΩenyq v (22) y vozvrawaqs\ k (16), ymeem
p t1( , )x =
[ ( )]
( ) ( )
/
/ /
Γ
Γ
ν
π ν
ν
ν ν ν
ν
ν
+ −( )
+ −
−
+ +
−1
2 1 2
2
42 2 2 2 1 2
3 2 2 1 2
2
2 2 2
2
c t
ct
ct
c t
x
x
x
x
×
×
π ν
ν
ν ν νΓ
Γ
( )
( )
, ; ;/+
+
+ + −
−
1 2
1
2
1
2
1
2
2 2 2F
c t
x
x
=
=
2 1
2
1
2
1
2 1
1 2 2 2 1 2
2
2 2 2
ν
ν ν
ν
π
ν ν ν
−
+ +
+
−( )
+ + −
−
Γ( )
, ; ;/
ct c t
F
c tx
x
x
. (23)
V¥raΩenye v pravoj çasty πtoho ravenstva moΩet b¥t\ neskol\ko uproweno.
Prymenqq formulu>>9.131>(1) yz [16] k hyperheometryçeskoj funkcyy v (23),
poluçaem
p t1( , )x =
2 12 1
1 2 2 2 1 2
2 2
2 2 2
1 2ν
ν ν
ν
ν
π
−
+ +
− +
+
−( ) −
Γ( )
/
( / )
ct c t
c t
c tx x
F
c t
ν ν ν+ − + +
1
2
1 1
2
2 2, ; ;
x
=
=
2 1 1
2
1 1
2 1
1 2 2
2
2 2
ν
ν ν
ν
π
ν ν ν
−
+ +
+ + − + +
Γ( )
( )
, ; ;
ct
F
c t
x
,
çto y dokaz¥vaet (7).
Teorema dokazana.
Pry dokazatel\stve teorem¥ m¥ poluçyly oçen\ vaΩnug formulu (7), dag-
wug qvn¥j vyd uslovnoj plotnosty p t1( , )x , kotoraq sootvetstvuet edynstven-
nomu yzmenenyg napravlenyq, v evklydovom prostranstve proyzvol\noj razmer-
nosty m ≥ 5. V sledugwyx zameçanyqx m¥ ubedymsq v spravedlyvosty πtoj
formul¥ y dlq prostranstv bolee nyzkyx razmernostej, a takΩe s ee pomow\g
dadym opysanye povedenyq perexodnoj plotnosty p t( , )x absolgtno neprer¥v-
noj komponent¥ raspredelenyq processa X( )t vblyzy hranyc¥ dyffuzyonnoj
oblasty.
Zameçanye/1. M¥ dokazaly formulu (7) dlq proyzvol\n¥x razmernostej
m ≥ 5. No, kak lehko ubedyt\sq, πta formula takΩe spravedlyva y dlq raz-
mernostej m = 2, m = 3 y m = 4. Dejstvytel\no, v dvumernom sluçae m = 2
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
1640 A. D. KOLESNYK
y v sylu (5) ν = 0. Tohda yz formul¥ (7) ymeem
p t1( , )x =
2 1 1
2
1 1
1
2
2
2 2
−
Γ( )
( )
, ; ;
π ct
F
c t
x
=
1
2
12
2
2 2
1 2
π( )
/
ct c t
−
−
x
=
=
1
2 2
2 2
2 2 2
1 2
π( )
/
ct
c t
c t −
x
=
1
2 2 2 2πct c t − x
, (24)
hde na vtorom ßahe m¥ vospol\zovalys\ formuloj>>9.121>(1) yz [16]. Plot-
nost\ (24) v toçnosty sovpadaet s plotnost\g, poluçennoj v [4] (formula>(19)).
V trexmernom prostranstve m = 3 y, sledovatel\no, ν = 1 / 2. Tohda yz
formul¥>(7) poluçaem
p t1( , )x =
Γ( )
( )
, ; ;/
/
3 2
1
1
2
3
23 2 3
2
2 2π ct
F
c t
x
=
π
π
/
/ ( )
, ; ;
2 1
2
1
3
23 2 3
2
2 2ct
F
c t
x
=
=
1
2
1
2
1
13π( )
ln
ct ct
ct
ctx
x
x
+
−
=
1
4 2π( )
ln
ct
ct
ctx
x
x
+
−
, (25)
hde na tret\em ßahe m¥ vospol\zovalys\ formuloj>>9.121>(7) yz [16]. Plot-
nost\ (25) v toçnosty sovpadaet s plotnost\g, poluçennoj v [17] (formula>(5)).
Nakonec, v çet¥rexmernom sluçae m = 4 y, sledovatel\no, ν = 1. Pry
πtom, oçevydno, v hyperheometryçeskoj funkcyy vtoroj koπffycyent raven
nulg y, stalo b¥t\, sama funkcyq toΩdestvenno ravna>>1. Tohda yz formu-
l¥>(7) ymeem
p t1( , )x =
2 2 3
2
0 22 4
2
2 2
Γ( )
( )
, ; ;
π ct
F
c t
x
=
2
2 4π ( )ct
. (26)
Plotnost\ (26) v toçnosty sovpadaet s plotnost\g, poluçennoj v [7] (zameça-
nye>1). Sleduet otmetyt\, çto (26) est\ ne çto ynoe, kak plotnost\ ravnomer-
noho raspredelenyq v çet¥rexmernom ßare s centrom v naçale koordynat rady-
usa ct .
Zameçanye/2. Pry yzuçenyy sluçajn¥x dvyΩenyj s koneçnoj skorost\g v
prostranstvax nyzkyx razmernostej b¥lo zameçeno ves\ma ynteresnoe qvlenye,
kasagweesq povedenyq perexodnoj plotnosty processa vblyzy hranyc¥ dyf-
fuzyonnoj oblasty. Kak okazalos\, neprer¥vnost\ perexodnoj plotnosty
p t( , )x polnost\g opredelqetsq neprer¥vnost\g uslovnoj plotnosty p t1( , )x .
V to Ωe vremq v çet¥rexmernom sluçae uslovnaq plotnost\ p t1( , )x , opredelqe-
maq formuloj (26), neprer¥vna na hranyce dyffuzyonnoj oblasty, v dvu- y
trexmernom sluçaqx πta plotnost\ ymeet beskoneçn¥j razr¥v na hranyce (sm.
formul¥ (24) y (25) sootvetstvenno). Pryçyna πtoho qvlenyq b¥la neqsna.
Voznyk estestvenn¥j vopros: v kakyx razmernostqx funkcyq p t1( , )x (a znaçyt,
y vsq plotnost\ p t( , )x ) neprer¥vna na hranyce dyffuzyonnoj oblasty ( t. e.
pry x 2 = c t2 2
) y v kakyx razmernostqx ona razr¥vna?
Formula (7) pozvolqet dat\ ysçerp¥vagwyj otvet na πtot vopros. Yz vyda
formul¥ (7) moΩno zaklgçyt\, çto pryçyna takoho razlyçyq v povedenyy pere-
xodnoj plotnosty v prostranstvax razn¥x razmernostej kroetsq v specyfyçes-
kyx svojstvax hyperheometryçeskoj funkcyy F z( , ; ; )ξ η ζ , a toçnee, v znaçeny-
qx parametrov hyperheometryçeskoho rqda, opredelqgweho hyperheometryçes-
kug funkcyg v formule (7). Yzvestno (sm., naprymer, [16], p.>9.102), çto ob-
last\ sxodymosty hyperheometryçeskoho rqda (6) zavysyt ot parametra ω = ξ +
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
ASYMPTOTYÇESKAQ FORMULA DLQ PLOTNOSTY … 1641
+ η – ζ . Dlq hyperheometryçeskoj funkcyy v formule (7) πtot parametr, oçe-
vydno, raven
ω = ν ν ν+
+ − + − +1
2
1 1( ) ( ) = − +ν 1
2
.
Otsgda vydno, çto neravenstvo Re ω = ω ≥ 0 v¥polnqetsq tol\ko dlq dvux
znaçenyj ν, a ymenno, dlq ν = 0 (dvumern¥j sluçaj m = 2) y dlq ν = 1 / 2
(trexmern¥j sluçaj m = 3). V oboyx sluçaqx hyperheometryçeskyj rqd sxo-
dytsq absolgtno v otkr¥tom ßare
x 2
2 2c t
< 1 ( yly x 2 < c t2 2
) y rasxodytsq
na hranyce
x 2
2 2c t
= 1 ( yly x 2 = c t2 2
) πtoho ßara (sm., naprymer, [16],
p.>9.102). Dlq vsex ostal\n¥x razmernostej m ≥ 4 parametr ω < 0 y, sledo-
vatel\no, hyperheometryçeskyj rqd, opredelqgwyj hyperheometryçeskug
funkcyg v (7), sxodytsq absolgtno vo vsem ßare
x 2
2 2c t
≤ 1 ( yly x 2 ≤ c t2 2
) ,
vklgçaq y hranycu. ∏to pozvolqet utverΩdat\, çto dvu- y trexmern¥e slu-
çajn¥e πvolgcyy qvlqgtsq edynstvenn¥my, plotnost\ raspredelenyq kotor¥x
ymeet beskoneçn¥j razr¥v na hranyce dyffuzyonnoj oblasty. Vo vsex ostal\-
n¥x razmernostqx m ≥ 4 perexodnaq plotnost\ processa neprer¥vna na hrany-
ce.
1. Tolubynskyj E. V. Teoryq processov perenosa. – Kyev: Nauk. dumka, 1969. – 259 s.
2. Stadje W. The exact probability distribution of a two-dimensional random walk // J. Statist. Phys.
– 1987. – 46. – P. 207 – 216.
3. Masoliver J., Porrá J. M., Weiss G. H. Some two and three-dimensional persistent random
walks // Physica A. – 1993. – 193. – P. 469 – 482.
4. Kolesnik A. D., Orsingher E. A planar random motion with an infinite number of directions
controlled by the damped wave equation // J. Appl. Probab. – 2005. – 42. – P. 1168 – 1182.
5. Kolesnik A. D. A note on planar random motion at finite speed // Ibid. – 2007. – 44 . –
P. 838 – 842.
6. Stadje W. Exact probability distributions for non-correlated random walk models // J. Statist. Phys.
– 1989. – 56. – P. 415 – 435.
7. Kolesnik A. D. A four-dimensional random motion at finite speed // J. Appl. Probab. – 2006. – 43.
– P. 1107 – 1118.
8. Kolesnik A. D. A limit theorem for symmetric Markovian random evolution in R
m // Theory
Stochast. Process. – 2008. – 14, # 1. – P. 69 – 75.
9. Pinsky M. Isotropic transport process on a Riemannian manifold // Trans. Amer. Math. Soc. –
1976. – 218. – P. 353 – 360.
10. Turbyn A. F. Odnomern¥e process¥ brounovskoho dvyΩenyq — al\ternatyva modely
A.>∏jnßtejna – N. Vynera – P. Levy // Fraktal\nyj analiz ta sumiΩni pytannq: Zb. nauk.
pr. – 1998. – 2. – S. 47 – 60.
11. Korolgk V. S., Svywuk A. V. Polumarkovskye sluçajn¥e πvolgcyy. – Kyev: Nauk. dumka,
1992. – 256 s.
12. Papanicolaou G. Asymptotic analysis of transport processes // Bull. Amer. Math. Soc. – 1975. –
81. – P. 330 – 392.
13. Pinsky M. Lectures on random evolution. – River Edge, NJ: World Sci., 1991.
14. Kolesnik A. D. Random motions at finite speed in higher dimensions // J. Statist. Phys. – 2008. –
131. – P. 1039 – 1065.
15. Vladymyrov V. S. Uravnenyq matematyçeskoj fyzyky. – M.: Nauka, 1981. – 512 s.
16. Hradßtejn Y. S., R¥Ωyk Y. M. Tablyc¥ yntehralov, summ, rqdov y proyzvedenyj. – M.:
Nauka, 1971. – 1108 s.
17. Kolesnik A. D. Discontinuous term of the distribution for Markovian random evolution in R
3 //
Bull. Acad. Sci. Moldova. Ser. Math. – 2006. – 2(51). – P. 62 – 68.
Poluçeno 11.03.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
|
| id | umjimathkievua-article-3277 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:39:30Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/17/b60818223cb96cf095a9c620747b0517.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32772020-03-18T19:49:49Z Asymptotic relation for the density of a multidimensional random evolution with rare poisson switchings Асимптотическая формула для плотности многомерной случайной эволюции с редкими пуассоновскими переключениями Kolesnik, A. D. Колесник, А. Д. Колесник, А. Д. In the Euclidean space $\mathbb{R}^m,\quad m \geq 2,$ the symmetric random evolution $\textbf{X}(t) = (X_1(t),...,X_m(t))$ controlled by a homogeneous Poisson process with parameter $\lambda > 0$ is considered. An asymptotic formula for the transition density $p(\textbf{x},t),\quad t > 0,$ of the process $\textbf{X}(t)$ for $\lambda \rightarrow 0$ is obtained. The behavior of $p(\textbf{x},t)$ near the boundary of the diffusion area in spaces of various dimensions is described. Розглянуто симетричну випадкову еволюцію $\textbf{X}(t) = (X_1(t),...,X_m(t))$ в евклідовому просторі $\mathbb{R}^m,\quad m \geq 2,$ керовану однорідним процесом Пуассона з параметром $\lambda > 0.$ Отримано асимптотичну формулу для перехідної щільності $p(\textbf{x},t),\quad t > 0,$ процесу $\textbf{X}(t)$ при $\lambda \rightarrow 0.$ Описано поведінку $p(\textbf{x},t)$ біля межі дифузної області у просторах різних розмірностей. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3277 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 12 (2008); 1631 – 1641 Український математичний журнал; Том 60 № 12 (2008); 1631 – 1641 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3277/3300 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3277/3301 Copyright (c) 2008 Kolesnik A. D. |
| spellingShingle | Kolesnik, A. D. Колесник, А. Д. Колесник, А. Д. Asymptotic relation for the density of a multidimensional random evolution with rare poisson switchings |
| title | Asymptotic relation for the density of a multidimensional random evolution with rare poisson switchings |
| title_alt | Асимптотическая формула для плотности многомерной случайной эволюции с редкими пуассоновскими переключениями |
| title_full | Asymptotic relation for the density of a multidimensional random evolution with rare poisson switchings |
| title_fullStr | Asymptotic relation for the density of a multidimensional random evolution with rare poisson switchings |
| title_full_unstemmed | Asymptotic relation for the density of a multidimensional random evolution with rare poisson switchings |
| title_short | Asymptotic relation for the density of a multidimensional random evolution with rare poisson switchings |
| title_sort | asymptotic relation for the density of a multidimensional random evolution with rare poisson switchings |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3277 |
| work_keys_str_mv | AT kolesnikad asymptoticrelationforthedensityofamultidimensionalrandomevolutionwithrarepoissonswitchings AT kolesnikad asymptoticrelationforthedensityofamultidimensionalrandomevolutionwithrarepoissonswitchings AT kolesnikad asymptoticrelationforthedensityofamultidimensionalrandomevolutionwithrarepoissonswitchings AT kolesnikad asimptotičeskaâformuladlâplotnostimnogomernojslučajnojévolûciisredkimipuassonovskimipereklûčeniâmi AT kolesnikad asimptotičeskaâformuladlâplotnostimnogomernojslučajnojévolûciisredkimipuassonovskimipereklûčeniâmi AT kolesnikad asimptotičeskaâformuladlâplotnostimnogomernojslučajnojévolûciisredkimipuassonovskimipereklûčeniâmi |