Systems of equations of Kolmogorov type
We consider one class of degenerate parabolic systems of equations of the type of diffusion equation with Kolmogorov inertia. For systems whose coefficients may depend only on the time variable, we construct a fundamental matrix of solutions of the Cauchy problem and obtain estimates for this matrix...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3279 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509337792806912 |
|---|---|
| author | Malyts’ka, H. P. Малицька, Г. П. |
| author_facet | Malyts’ka, H. P. Малицька, Г. П. |
| author_sort | Malyts’ka, H. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:49:49Z |
| description | We consider one class of degenerate parabolic systems of equations of the type of diffusion equation with Kolmogorov inertia. For systems whose coefficients may depend only on the time variable, we construct a fundamental matrix of solutions of the Cauchy problem and obtain estimates for this matrix and all its derivatives. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:39:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.4
Г. П. Малицька (Прикарпат. нац. ун-т, Iвано-Франкiвськ)
СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ТИПУ КОЛМОГОРОВА
We consider one class of degenerate parabolic systems of equations of type of the diffusive equation with
the Kolmogorov inertia. For systems with coefficients that may depend only on time variable, we construct
the fundamental matrix of solutions of the Cauchy problem and obtain estimates for this matrix and all its
derivatives.
Рассмотрен один класс вырожденных параболических систем уравнений типа уравнения диффузии
с инерцией Колмогорова. Для систем, коэффициенты которых могут зависеть только от временной
переменной, построена фундаментальная матрица решений задачи Коши, получены оценки для этой
матрицы и всех ее производных.
У другiй половинi минулого столiття з’явилося багато праць з теорiї вироджених
параболiчних рiвнянь. Найбiльш повнi результати дослiджень з теорiї ультрапа-
раболiчних рiвнянь одержали С. Д. Ейдельман та С. Д. Iвасишен [1]. Iталiйськi
математики опублiкували ряд цiкавих праць з теорiї ультрапараболiчних рiвнянь
другого порядку з довiльною кiлькiстю груп виродження (див., наприклад, [2, 3]).
У статтях [4 – 6] побудовано фундаментальний розв’язок задачi Кошi для рiвняння
типу Колмогорова з довiльною кiлькiстю груп виродження i коефiцiєнтами, що
залежать лише вiд t. У цiй статтi розглядаються системи рiвнянь колмогоровсько-
го типу, для яких у випадку, коли коефiцiєнти можуть залежати лише вiд часової
змiнної t, побудовано фундаментальну матрицю розв’язкiв задачi Кошi (ФМРЗК)
та встановлено її оцiнки.
1. Позначення, постановка задачi Кошi. Розглянемо систему n рiвнянь ви-
гляду
∂tuj(t,X)− x∂yuj(t,X) =
n∑
s=1
2b∑
k=0
ajsk (t,X)∂kxus(t,X),
(t,X) ∈ Π(0,T ], j ∈ {1, ..., n},
(1)
де n i b — заданi натуральнi числа, T — задане додатне число, X := (x, y),
Π(0,T ] := {t ∈ (0, T ], X ∈ R2}. Припускатимемо, що коефiцiєнти ajsk цiєї сис-
теми комплекснозначнi й такi, що система
∂twj(t,X) =
n∑
s=1
2b∑
k=0
ajsk (t,X)∂kxws(t,X), j ∈ {1, ..., n}, (2)
в якiй y вважається параметричною змiнною, є рiвномiрно параболiчною за Пет-
ровським у замиканнi Π[0,T ] множини Π(0,T ].
Для зручностi запишемо систему (1) у матричнiй формi
∂tu(t,X)− x∂yu(t,X) =
2b∑
k=0
ak(t,X)∂kxu(t,X), (t,X) ∈ Π(0,T ], (3)
де ak := (ajsk )nj,s=1, а u := col(u1, ..., un).
c© Г. П. МАЛИЦЬКА, 2008
1650 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ТИПУ КОЛМОГОРОВА 1651
Задача Кошi для цiєї системи полягає в знаходженнi її розв’язку, який задоволь-
няє початкову умову
u(t,X)|t=τ = ϕ(X), X ∈ R2, (4)
де τ — задане число з [0, T ), а ϕ := col(ϕ1, . . . , ϕn) — задана матриця-стовпець.
Означення. Пiд ФМРЗК будемо розумiти квадратну матрицю G(t,X; τ, S),
0 ≤ τ < t ≤ T, {X,S := (ξ, η)} ⊂ R2, порядку n таку, що для будь-якої до-
сить гладкої фiнiтної функцiї ϕ та довiльного τ ∈ [0, T ) формулою u(t,X) =
=
∫
R2
G(t,X; τ, S)ϕ(S)dS, (t,X) ∈ Π(τ,T ], визначається розв’язок системи (3) в
Π(τ,T ], який задовольняє умову (4).
2. Розв’язання задачi Кошi для системи зi сталими коефiцiєнтами. Нехай
спочатку система (1) мiстить тiльки похiдну порядку 2b по x i коефiцiєнти ajsk є
сталими. Розглянемо для такої системи задачу Кошi з початковими умовами при
t = τ, тобто задачу
∂tuj(t,X)− x∂yuj(t,X) =
n∑
s=1
ajs2b∂
2b
x us(t,X), (5)
t > τ, X ∈ R2, j ∈ {1, . . . , n},
uj(t,X)|t=τ = ϕj(X), X ∈ R2, j ∈ {1, . . . , n}, (6)
де ϕj — досить гладкi й фiнiтнi функцiї. Припускатимемо, що λ-коренi λ1, . . . , λn
рiвняння det(A(iξ)2b − λI) = 0, де A := (ajs2b)
n
j,s=1, I — одинична матриця по-
рядку n, i — уявна одиниця, задовольняють умову Reλj(ξ) ≤ −δ0ξ2b, ξ ∈ R,
j ∈ {1, . . . , n}, з деякою сталою δ0 > 0.
Зведемо задачу (5), (6) до задачi Кошi для системи диференцiальних рiвнянь iз
частинними похiдними першого порядку. Для цього компоненти u1, . . . , un розв’яз-
ку задачi (5), (6) шукатимемо у виглядi оберненого перетворення Фур’є F−1 по X
вiд невiдомих функцiй v1, . . . , vn, тобто
uj(t,X) := F−1[vj(t, S)](t,X) :=
1
(2π)2
∫
R2
exp{i(X,S)}vj(t, S)dS,
t > τ, X ∈ R2, j ∈ {1, . . . , n},
де (X,S) := xξ + yη.
Враховуючи рiвностi
∂tF
−1[vj ] = F−1[∂tvj ], x∂yF
−1[vj ] = F−1[−η∂ξvj ],
∂2b
x F
−1[vj ] = F−1[(iξ)2bvj ] = F−1[(−1)bξ2bvj ],
одержуємо для v1, . . . , vn таку задачу Кошi:
∂tvj(t, S) + η∂ξvj(t, S) =
n∑
k=1
(−1)bajk2b(ξ)
2bvk(t, S), (7)
t > τ, S ∈ R2, j ∈ {1, . . . , n},
vj(τ, S)|t=τ = ψj(S), S ∈ R2, j ∈ {1, . . . , n}, (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1652 Г. П. МАЛИЦЬКА
де ψj(S) := F
[
ϕj(X)
]
(S) :=
∫
R2
exp{−i(X,S)}ϕj(X)dX.
Оскiльки функцiї ϕj є досить гладкими та фiнiтними, то їхнi перетворення
Фур’є ψj є аналiтичними функцiями, для яких справджуються нерiвностi
|ψj(S| ≤ C(1 + |S|)−r, S ∈ R2, (9)
для досить великого натурального числа r (r ≥ 3).
У задачi (7), (8) η — параметр. Система (7) є системою диференцiальних рiвнянь
iз частинними похiдними першого порядку, якi мають однаковi головнi частини.
Згiдно з [7, c. 146 – 148] така система еквiвалентна однорiдному лiнiйному дифе-
ренцiальному рiвнянню з частинними похiдними першого порядку для функцiї w
вiд n+ 2 незалежних змiнних t, ξ, v1, . . . , vn
∂tw + η∂ξw +
n∑
j=1
n∑
k=1
(−1)bajk2bξ
2bvk∂vjw = 0,
яке в свою чергу, як вiдомо, є еквiвалентним системi звичайних диференцiальних
рiвнянь
dt
1
=
dξ
η
=
dv1∑n
k=1
(−1)ba1k
2b ξ
2bvk
= . . . =
dvn∑n
k=1
(−1)bank2b ξ
2bvk
.
Але ми зведемо систему (7) до системи звичайних диференцiальних рiвнянь
таким чином. Покажемо, що лiва частина кожного j-го рiвняння системи (7) з
точнiстю до множника є похiдною вiд vj(t, S) за напрямком характеристики цього
рiвняння. Знайдемо рiвняння характеристики. Оскiльки dt = dξ/η, то
ξ = C + tη. (10)
Усi рiвняння системи (7) мають однакову головну частину, тому через кожну
точку (t, ξ) проходить лише одна спiльна характеристика системи (10). Позначимо
через α кут, що утворює характеристика (10) у точцi (t, ξ) з вiссю Oξ. Оскiльки
tgα =
1
η
, cosα =
η√
1 + η2
, sinα =
1√
1 + η2
, то ∂lvj = (∂tvj + η∂ξvj)
1√
1 + η2
,
де l — довжина дуги характеристики, ∂l означає диференцiювання за напрямком
характеристики.
Тому систему (7) можна записати у виглядi
√
1 + η2∂lvj =
n∑
k=1
(−1)bajk2bξ
2bvk, j ∈ {1, . . . , n}. (11)
Якщо позначити через dvj диференцiал функцiї vj при русi вздовж характери-
стики (10), то iз (11) одержимо
dvj =
(
n∑
k=1
(−1)bajk2b(C + tη)2bvk
)
dl√
1 + η2
,
де dl =
√
1 + η2dt, тому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ТИПУ КОЛМОГОРОВА 1653
dvj =
n∑
k=1
(−1)bajk2b(C + tη)2bvkdt, j ∈ {1, . . . , n}. (12)
Нехай ξ̂ — значення ξ при t = τ, тобто ξ̂ = C + τη. Знайдемо vj при t = τ, тодi
vj(τ, C + τη, η) = ψj(C + τη, η), j ∈ {1, . . . , n}. (13)
Задача (12), (13) має єдиний розв’язок в iнтервалi a < t < b для будь-яких
скiнченних {a, b} ⊂ R, тому iснує й єдиний розв’язок для τ ≤ t ≤ T < +∞.
Оскiльки матриця системи (12) комутує зi своїм iнтегралом
∫ t
τ
[∑n
k=1
(−1)b ×
×ajk2b(C + βη)2b
]
dβ, то маємо випадок Лаппо – Данилевського, i тому розв’язок
v := col (v1, . . . , vn) задачi (12), (13) має вигляд
v(t, C + tη, η) = exp
(−1)bA
t∫
τ
(C + βη)2bdβ
ψ(C + τη, η), t > τ,
де ψ := col(ψ1, . . . , ψn).
З огляду на те, що C = ξ − tη, з останньої формули одержуємо
v(t, S) = exp
(−1)bA
t∫
τ
(ξ − (t− β)η)2bdβ
ψ(ξ−(t−τ)η, η), t ≥ τ, S ∈ R2.
(14)
Безпосередньо обчислюючи ∂tv i ∂ξv, переконуємося, що функцiя (14) є розв’язком
задачi (7), (8) . Навпаки, задача (7), (8) зводиться до задачi (12), (13), при цьому
правильною є формула (14).
Враховуючи, що u(t,X) = F−1[v(t, S)], за допомогою (14) отримуємо
u(t,X) = (2π)−2
∫
R2
exp
i(X,S) + (−1)bA
t∫
τ
(ξ − (t− β)η)2bdβ
×
×ψ(ξ − (t− τ)η, η)dS, t > τ, X ∈ R2,
або пiсля замiни змiнних ξ − (t− τ)η = α, η = η, B := (α, η) ∈ R2
u(t,X) =
1
(2π)2
∫
R2
exp
{
(−1)bA
t∫
τ
(α+ (β − τ)η)2bdβ +
+ i(X,B) + i(t− τ)xη
}
ψ(B)dB, t > τ, X ∈ R2. (15)
де B := (α, η).
Нехай
Q(t, τ ;S) := exp
(−1)bA
t∫
τ
(ξ − (t− β)η)2bdβ
,
а значення цiєї матрицi при ξ = α+ (t− τ)η позначимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1654 Г. П. МАЛИЦЬКА
Q(t, τ ;B(t, τ)) := exp
(−1)bA
t∫
τ
(α+ (β − τ)η)2bdβ
,
де B(t, τ) := (α+ (t− τ)η, η).
Зазначимо, що Q(t, τ ;C+ tη, η) — нормальна фундаментальна матриця розв’яз-
кiв системи (12).
Далi буде доведено оцiнку∣∣Q(t, τ ;B(t, τ)
∣∣ ≤ C exp
{
− c0(α2b + (η(t− τ))2b)(t− τ))
}
, t ≥ τ, B ∈ R2,
(16)
з деякими сталими C > 0, c0 > 0.
За допомогою цiєї оцiнки можна переконатися, що iнтеграл∫
R4
exp
{
i(X − Γ, B) + ix(t− τ)η
}
Q(t, τ ;B(t, τ))ϕ(Γ)dBdΓ,
Γ := (γ, θ), {X,Γ} ⊂ R2,
є абсолютно збiжним при t > τ. Застосовуючи теорему Фубiнi, одержуємо формулу
u(t,X) =
1
(2π)2
∫
R2
∫
R2
exp
{
i(X − Γ, B) + ix(t− τ)η
}
×
×Q(t, τ ;B(t, τ))dBϕ(Γ)dΓ, t > τ, X ∈ R2. (17)
Позначимо
G(t,X; τ,Γ) :=
1
(2π)2
∫
R2
exp
{
i(X − Γ, B) + ix(t− τ)η
}
Q(t, τ ;B(t, τ))dB, (18)
тодi
u(t,X) =
∫
R2
G(t,X; τ, S)ϕ(S)dS, t > τ, X ∈ R2. (19)
Позначимо через N множину натуральних чисел, Z+ := N
⋃
{0}. Оскiльки для
будь-яких фiксованих t, τ (τ < t)∫
R2
∂kx∂
r
y exp{i(X − Γ, B) + ix(t− τ)η}Q(t, τ ;B(t, τ))dB, {k, r} ⊂ Z+
рiвномiрно збiгається щодо X,X ∈ R2, то
∂kx∂
r
y
∫
R2
exp
{
i(X − Γ, B) + ix(t− τ)η
}
Q(t, τ ;B(t, τ))dB =
=
∫
R2
∂kx∂
r
y exp
{
i(XΓ, B) + ix(t− τ)η
}
Q(t, τ ;B(t, τ))dB,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ТИПУ КОЛМОГОРОВА 1655
{X,Γ} ⊂ R2, τ < t, {k, r} ⊂ Z+.
Розглянемо
H :=
∫
R2
∂kx∂
r
y∂
s
t
[
exp
{
i(X − Γ, B) + ix(t− τ)η
}
Q(t, τ ;B(t, τ))
]
dB,
{k, r} ⊂ Z+, s ∈ N, {X,Γ} ⊂ R2, τ < t.
Iнтеграл H збiгається рiвномiрно щодо (t,X) таких, що ε ≤ t− τ, |x| ≤ R < +∞,
y ∈ R, де ε i R — довiльнi додатнi сталi, тому∫
R2
∂kx∂
r
y∂
s
t
[
exp
{
i(X − Γ, B) + ix(t− τ)η
}
Q(t, τ ;B(t, τ))
]
dB =
= ∂kx∂
r
y∂
s
t
∫
R2
[
exp
{
i(X − Γ, B) + ix(t− τ)η
}
Q(t, τ ;B(t, τ))
]
dB, (20)
{k, r} ⊂ Z+, s ∈ N, {X,Γ} ⊂ R2, τ < t.
На пiдставi (20) G(t,X; τ,Γ) має похiднi довiльного порядку по t, X у кожнiй
точцi (t,X), t > τ, X ∈ R2. Звiдси випливає, що при t > τ функцiя (8) є розв’язком
системи (5). Оцiнки (16), (9) дають можливiсть у формулi (15) перейти до границi
при t→ τ пiд знаком iнтеграла та одержати
lim
t→τ
u(t,X) = F−1[F [ϕ]](X) = ϕ(X), X ∈ R2.
Отже, функцiя u, яка визначена формулою (19), є розв’язком задачi Кошi (7),
(8), а матриця G є ФМРЗК.
3. Оцiнка матрицi Q(t, τ ;B(t, τ )). Доведемо оцiнку (16). Для цього вико-
ристаємо лему 3.1 [8, c. 38] про оцiнку норми матрицi exp{tA}, де за t вiзьмемо∫ t
τ
(α+ (β − τ)η)2bdβ, а за A — матрицю (−1)bA.
Враховуючи те, що Reλj(1) < −δ0, j ∈ {1, . . . , n}, i виконуючи замiну β− τ =
= β́(t− τ), одержуємо
∣∣Q(t, τ ;B(t, τ))
∣∣ ≤ C exp
−δ1
1∫
0
(α+ β(t− τ)η)2bdβ(t− τ)
, 0 < δ1 < δ0.
Оцiнимо iнтеграл I1 :=
∫ 1
0
(α + β(t − τ)η)2bdβ. I1 = α2b при η = 0. Нехай
η 6= 0, α0 := α(α2 + (t− τ)2η2)−1/2, η0 := (t− τ)η(α2 + (t− τ)2η2)−1/2, тодi
I1 = (α2 + (t− τ)2η2)b
1∫
0
(α0 + βη0)2bdβ ≥ (α2b + ((t− τ)η)2b)w0 > 0,
де w0 := min
(α0,η0)
∫ 1
0
(α0 + βη0)2bdβ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1656 Г. П. МАЛИЦЬКА
Дiйсно, α2
0 + η2
0 = 1 i
∫ 1
0
(α0 + βη0)2bdβ = (2b+ 1)−1
∑2b
j=0
(α0 + η0)2b−jαj0 ≥
≥ (4b+ 2)−1
[
(α0 + η0)2b + α2b
0
]
≥ (2b+ 1)−12−(b+1).
У комплекснiй областi точок B + iM, M := (µ, ν) ∈ R2, M(t, τ) := (µ + (t −
− τ)ν, ν)
Q
(
t, τ ;B(t, τ) + iM(t, τ)
)
= Q(t, τ ;B(t, τ))×
× exp
(−1)bA
1∫
0
2b∑
j=1
Cj2b(α+ β(t− τ)η)2b−j(iµ+ β(t− τ)iν)jdβ(t− τ)
— цiла функцiя змiнних B + iM.
Використовуючи (16) i нерiвнiсть∣∣∣∣∣∣
2b∑
j=1
Cj2b(α+ β(t− τ)η)2b−j(µ+ β(t− τ)ν)j
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ 22b
[
ε(α+ β(t− τ)η)2b + ε−1(µ+ β(t− τ)ν)2b
]
,
де ε вибрано так, щоб 22bε|A| < δ2, одержуємо∣∣Q(t, τ ;B(t, τ) + iM(t, τ))
∣∣ ≤ C exp
{
−δ3(α2b + ((t− τ)η)2b)(t− τ)+
+c1(µ2b + ((t− τ)ν)2b)(t− τ)
}
, t ≥ τ, (21)
де 0 < δ3 < δ2, C, c1 — додатнi сталi.
4. ФМРЗК для системи (5), оцiнка її похiдних. Позначимо
q :=
2b
2b− 1
,
ρ(t,X; τ,Γ) := (|x− γ|(t− τ)−
1
2b )q +
(
|y − θ + x(t− τ)|(t− τ)−
2b+1
2b
)q
,
m0 :=
m+ 1 + (r + 1)(2b+ 1)
2b
,
d(t,X; τ, 0) :=
(
|x|(t− τ)−1/2b
)q +
(
|y|(t− τ)−
2b+1
2b
)q
.
Iз (18), (21), використовуючи лему 1.1 [8, с. 36], одержуємо таке твердження.
Теорема 1. ФМРЗК для системи (5) має вигляд
G(t,X; τ,Γ) = (t− τ)−(b+1)/bΩ((x− γ)(t− τ)−1/2b,
y − θ + x(t− τ))(t− τ)−(2b+1)/2b),
де Ω(z1, z2) — цiла функцiя аргументiв z1, z2 порядку зростання q при комплексних
значеннях цих аргументiв i такого ж самого порядку спадання при їх дiйсних
значеннях.
Для похiдних справджуються оцiнки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ТИПУ КОЛМОГОРОВА 1657∣∣∂mx ∂st ∂ryG(t,X + iX1; τ,Γ)
∣∣ ≤ Cmsr exp
{
−c0ρ(t,X; τ,Γ) + cd(t,X1; τ, 0)
}
×
×(t− τ)−m0
[
|x|s(t− τ)−
s(2b+1)
2b + (t− τ)−s
]
, (22)
{m, s, r} ⊂ Z+, {X,X1,Γ} ⊂ R2, t > τ,
де Cmsr, c0, c — додатнi сталi, що залежать вiд δ0, n, b, sup |ajk2b |.
Зауваження . При b = 1, обчисливши
∫ 1
0
(α+β(t−τ)η)2bdβ, одержимо оцiнки
∣∣∂mx ∂st ∂ryG(t,X + iX1; τ,Γ)
∣∣ ≤ Cmsr(t− τ)−
m+1+3(r+1)
2 ×
× exp
{
−c0
[
(x− γ)2(t− τ)−1 +
(
y − θ +
x+ γ
2
(t− τ)
)2
(t− τ)−3
]
+
+c
[
x2
1(t− τ)−1 + y2
1(t− τ)−3
]}[
|x|s(t− τ)−3s/2 + (t− τ)−s
]
,
{m, s, r} ⊂ Z+, {X,X1,Γ} ⊂ R2, t > τ,
де Cmsr, c0, c — додатнi сталi, що залежать вiд δ0, n, b, sup |ajk2b |.
5. Розв’язання задачi Кошi для систем з коефiцiєнтами, що залежать лише
вiд t. Розглянемо задачу Кошi, коли ajlk — неперервнi функцiї на [0, T ], тобто
задачу
∂tu(t,X)− x∂yu(t,X) =
2b∑
k=0
ak(t)∂kxu(t,X), (t,X) ∈ Π(0,T ], (23)
u(t,X)
∣∣
t=τ
= ϕ(X), X ∈ R2, (24)
де система ∂tw(t, x) =
∑2b
k=0
ak(t)∂kxw(t, x) є рiвномiрно параболiчною за Пе-
тровським в [0, T ] × R, а ϕ — достить гладка й фiнiтна вектор-функцiя (має непе-
рервнi похiднi до порядку r ≥ 3).
Аналогiчно до випадку системи зi сталими коефiцiєнтами, використовуючи пе-
ретворення Фур’є, зводимо задачу Кошi (23), (24) до системи лiнiйних диференцi-
альних рiвнянь iз частинними похiдними
∂tv + η∂ξv =
2b∑
k=0
ak(t)(iξ)kv (25)
з початковою умовою
v(t, S)|t=τ = ψ(S), S ∈ R2. (26)
Розглянемо j-те рiвняння системи (25). Через кожну точку (t, ξ) ∈ [τ, T ] × R
проходить єдина характеристична лiнiя цього рiвняння, яка визначається з рiвняння
dt = dξ/η, ξ = C + tη i при t = τ ξ̂ = C + τη.
У кожнiй точцi (t, ξ) ∈ [τ, T ] × R похiдна вiд vj в напрямку характеристики
визначається формулою
∂lvj = (∂tvj + η∂ξvj)
1√
1 + η2
,
де l — довжина дуги характеристики, dl =
√
1 + η2dt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1658 Г. П. МАЛИЦЬКА
Тому вздовж характеристики dvj = ∂lvjldl має вигляд
dvj =
n∑
r=1
2b∑
k=0
ajrk (t)(iC + ηti)kvrdt.
Маємо систему
dvj(t, C + tη, η) =
n∑
r=1
2b∑
k=0
ajrk (t)(i)k(C + tη)kvrdt, j ∈ {1, . . . , n}, (27)
з початковими умовами
vj(t, C + tη, η)|t=τ = ψj(C + τη, η), j ∈ {1, . . . , n}. (28)
Розв’язок задачi (27), (28) з параметрами C, η iснує, єдиний i має вигляд
v(t, C + tη, η) = Q(t, τ ;C + tη, η)ψ(t, C + τη, η), (29)
де Q(t, τ ;C+ tη, η), 0 ≤ τ ≤ t ≤ T, — нормальна фундаментальна матриця розв’яз-
кiв системи (27).
Оскiльки коефiцiєнти системи (27) — аналiтичнi функцiї вiд C, η, то i розв’я-
зок (29) є аналiтичною функцiєю вiд C, η.
Пiдставимо C = ξ − tη у (29), тодi
v(t, S) = Q(t, τ ;S)ψ(ξ − (t− τ)η, η), 0 ≤ τ ≤ t ≤ T, S ∈ R2. (30)
Оскiльки за побудовою
(∂t + η∂ξ)Q(t, τ ;S) =
d
dt
Q(t, τ, C + tη, η)
∣∣∣∣
C+tη=ξ
=
2b∑
k=0
ak(t)(iξ)kQ(t, τ, S),
то функцiя (30) є розв’язком задачi (25), (26). Навпаки, задача (25), (26) зводиться
до задачi (27), (28), при цьому правильною є формула (30).
З огляду на те, що u(t,X) = F−1
[
v(t, S)
]
, за допомогою (30) одержимо
u(t,X) =
1
(2π)2
∫
R2
exp
{
i(X,S)
}
Q(t, τ ;S)ψ(ξ − (t− τ)η, η)dS,
0 ≤ τ < t ≤ T, X ∈ R2,
або пiсля замiни змiнних ξ − (t− τ)η = α, η = η, B(α, η) ∈ R2,
u(t,X) =
1
(2π)2
∫
R2
exp
{
i(X,B) + ix(t− τ)η
}
Q(t, τ ;B(t, τ))ψ(B)dB,
0 ≤ τ < t ≤ T, X ∈ R2.
Далi буде доведено оцiнку∣∣Q(t, τ, B(t, τ))
∣∣ ≤ C exp
{
−c0(α2b + η2b(t− τ)2b)(t− τ)
}
, (31)
0 ≤ τ ≤ t ≤ T, B ∈ R2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ТИПУ КОЛМОГОРОВА 1659
з деякими сталими C > 0 i c0 > 0. За допомогою цiєї оцiнки можна переконатися,
що iнтеграл∫
R4
exp
{
i(X − Γ, B) + ix(t− τ)η
}
Q(t, τ ;B(t, τ))ϕ(Γ)dBdΓ,
є абсолютно збiжним при 0 ≤ τ < t ≤ T, {X,Γ} ⊂ R2. Застосувавши теорему
Фубiнi, одержимо формулу
u(t,X) =
∫
R2
1
(2π)2
∫
R2
exp
{
i(X − Γ, B) + ixη(t− τ))
}
Q(t, τ ;B(t, τ))dBϕ(Γ)dΓ,
(32)
0 ≤ τ < t ≤ T, X ∈ R2.
Позначимо
G(t,X; τ,Γ) :=
1
(2π)2
∫
R2
exp{i(X − Γ, B) + ixη(t− τ)}Q(t, τ ;B(t; τ))dB, (33)
0 ≤ τ < t ≤ T, {X,Γ} ⊂ R2.
Оскiльки для будь-яких фiксованих t, τ, 0 ≤ τ < t ≤ T, iнтеграл∫
R2
∂kx∂
r
y exp{i(X − Γ, B) + ix(t− τ)η}Q(t, τ ;B(t, τ))dB,
{X,Γ} ⊂ R2, {k, r} ⊂ Z+,
рiвномiрно збiгається щодо X ∈ R2, то
∂kx∂
r
y
∫
R2
exp
{
i(X − Γ, B) + ix(t− τ)η
}
Q(t, τ ;B(t, τ))dB =
=
∫
R2
∂kx∂
r
y exp
{
i(X − Γ, B) + ix(t− τ)η
}
Q(t, τ ;B(t, τ))dB.
Далi, iнтеграл∫
R2
∂t exp
{
i(X − Γ, B) + ix(t− τ)η
}
Q(t, τ ;B(t, τ))dB,
0 ≤ τ < t ≤ T, {X,Γ} ⊂ R2,
рiвномiрно збiгається щодо (t,X) таких, що ε ≤ t− τ, |x| ≤ R, де ε i R — будь-якi
додатнi сталi, тому
∂t
∫
R2
exp
{
i(X − Γ, B) + ix(t− τ)η
}
Q(t, τ ;B(t, τ))dB =
=
∫
R2
∂t
[
exp
{
i(X − Γ, B) + ix(t− τ)η
}
Q(t, τ ;B(t, τ))
]
dB,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1660 Г. П. МАЛИЦЬКА
0 ≤ τ < t ≤ T, {X,Γ} ⊂ R2.
Таким чином, G(t,X; τ,Γ) має похiднi довiльного порядку по X i похiдну пер-
шого порядку по t в кожнiй точцi (t,X) ∈ Π(τ,T ]. Звiдси випливає, що функцiя (33)
є розв’язком системи (23). Оцiнки (9), (31) дають можливiсть у формулi (32) пере-
йти до границi при t→ τ пiд знаком iнтеграла та одержати
lim
t→τ
u(t,X) = F−1
[
F [ϕ]
]
(X) = ϕ(X), X ∈ R2.
Отже, функцiя u, яка визначена формулою (32), є розв’язком задачi Кошi (23),
(24), а матриця G є ФМРЗК.
6. Оцiнка матрицi Q(t, τ, B(t, τ )) для системи (27). Дослiдимо поведiнку
матрицi Q(t, τ ;B(t, τ)), яка є розв’язком системи рiвнянь
dQ(t, τ ;B(t, τ)) =
2b∑
k=0
ak(t)(iα+ i(t− τ)η)kQdt =
=
{
(−1)ba2b(t0)(α+ (t− τ)η)2bQ+ (−1)b
[
a2b(t)− a2b(t0)
]
(α+ (t− τ))2bQ+
+
2b−1∑
k=0
ak(t)(iα+ i(t− τ)η)kQ
}
dt,
де t0 — будь-яка фiксована точка сегмента [0, T ].
Позначимо
P1(t, α+ (t− τ)η) :=
2b−1∑
k=0
ak(t)(iα+ i(t− τ)η)k.
Запишемо розв’язок цiєї системи у виглядi
Q(t, τ ;B(t, τ)) = exp
(−1)ba2b(t0)
t∫
t0
(α+ (β − τ)η)2bdβ
Q(t0, τ ;B(t0, τ))+
+
t∫
t0
exp
(−1)ba2b(t0)
t∫
β
(α+ (γ − τ)η)2bdγ
×
×
{
(−1)b
[
a2b(β)− a2b(t0)
]
(α+ (β − τ)η)2b+
+P1(β, α+ (β − τ)η)
}
Q(β, τ ;B(β, τ))dβ. (34)
Для оцiнки Q(t, τ ;B(t, τ)) виберемо довiльне ε > 0 i знайдемо δ(ε) > 0 таке,
щоб для всiх t, t0 таких, що |t − t0| < δ(ε), виконувалася нерiвнiсть
∣∣a2b(t) −
−a2b(t0)
∣∣ < ε. Крiм того,
∣∣P1(t, α+(t−τ)η)
∣∣ ≤ ε(α+(t−τ)η)2b при |α+(t−τ)η| >
> R. Така оцiнка норми матрицi P1(t, α+(t−τ)η) випливає з того, що (α+(t−τ)η)
входить в елементи матрицi як полiном степеня не вищого 2b−1. Iз (34) одержуємо
оцiнку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ТИПУ КОЛМОГОРОВА 1661
∣∣Q(t, τ ;B(t, τ))
∣∣ ≤
∣∣∣∣∣∣ exp
(−1)ba2b(t0)
t∫
t0
(α+ (γ − τ)η)2bdγ
∣∣∣∣∣∣×
×
∣∣Q(t0, τ ;B(t0, τ))
∣∣+
t∫
t0
∣∣∣∣∣∣∣ exp
(−1)ba2b(t0)
t∫
β
(α+ (γ − τ)η)2bdγ
∣∣∣∣∣∣∣×
×
{∣∣a2b(β)− a2b(t0)
∣∣|α+ (t− τ)η|2b +
∣∣P1(β, α+ (β − τ)η)
∣∣}∣∣Q(β, τ ;B(β, τ))
∣∣dβ,
звiдки знаходимо ∣∣Q(t, τ ;B(t, τ), η)
∣∣ ≤
≤
∣∣∣∣∣∣ exp
(−1)ba2b(t0)
t∫
t0
(α+ (γ − τ)η)2bdγ
∣∣∣∣∣∣ ∣∣Q(t0, τ ;B(t0, τ))
∣∣+
+
t∫
t0
∣∣∣∣∣∣∣ exp
(−1)ba2b(t0)
t∫
β
(α+ (γ − τ)η)2bdγ
∣∣∣∣∣∣∣×
×2ε|α+ (β − τ)η|2b
∣∣Q(β, τ ;B(β, τ))
∣∣dβ. (35)
Позначимо
U(t) :=
∣∣Q(t, τ ;B(t, τ))
∣∣ ∣∣∣∣∣∣exp
(−1)b+1a2b(t0)
t∫
t0
(α+ (γ − τ)η)2bdγ
∣∣∣∣∣∣,
тодi нерiвнiсть (35) набере вигляду
U(t) ≤
∣∣Q(t0, τ ;B(t0, τ))
∣∣+
t∫
t0
2ε(α+ (β − τ)η)2bU(β)dβ.
За лемою Гронуолла (35) зведеться до нерiвностi∣∣Q(t, τ ;B(t, τ))
∣∣ ≤
≤
∣∣Q(t0, τ ;B(t0, τ))
∣∣ ∣∣∣∣∣∣exp
(−1)ba2b(t0)
t∫
t0
(α+ (γ − τ)η)2bdγ
∣∣∣∣∣∣×
× exp
t∫
t0
2ε(α+ (β − τ)η)2bdβ
≤
≤ C1
∣∣Q(t0, τ ;B(t0, τ))
∣∣ exp
−(δ3 − 2ε)
t∫
t0
(α+ (β − τ)η)2bdβ
, (36)
0 < δ3 < δ0, δ3 > 2ε.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1662 Г. П. МАЛИЦЬКА
Взявши t0 = τ, τ + δ(ε), τ + 2δ(ε), . . . , τ + m1δ(ε), m1 =
[
t− τ
δ(ε)
]
+ 1, C1 ≥ 1,
з допомогою нерiвностi (36) послiдовно оцiнимо Q
(
τ + δ(ε), τ ;B(τ + δ(ε), τ)
)
, . . .
. . . , Q
(
τ +m1δ(ε), τ ;B(τ +m1δ(ε), τ)
)
i, використавши оцiнку iнтеграла
∫ t
τ
(α+
+ η(β − τ))2bdβ = (t− τ)I1, одержимо нерiвнiсть∣∣Q(t, τ ;B(t, τ))
∣∣ ≤ C exp
{
− c0(α2b + η2b(t− τ)2b)(t− τ)
}
,
де C = Cm1
1 , c0 = δ3 − 2ε, ε <
δ3
22b−1
, C1, c0 залежать вiд T, n, b, sup |ak(t)|,
характеру неперервностi a2b(t).
Якщо R >
∣∣α+ (t− τ)η
∣∣, то TR2b >
∫ t
τ
(α+ η(β − τ))2bdβ i
∣∣Q(t, τ ;B(t, τ))
∣∣ ≤ C2 ≤ C2 exp
TR2b −
t∫
0
(α+ η(β − τ))2dβ
.
Використавши оцiнку iнтеграла (t−τ)I1, матимемо оцiнку (31) i для цього випадку.
Аналогiчно до випадку параболiчних систем [9, c. 40 – 42] одержимо оцiнку∣∣Q(t, τ ;B(t, τ) + iM(t, τ))
∣∣ ≤ C exp
{
−c1(α2b + (η(t− τ))2b)(t− τ)
}
+
+F1
{
(µ2b + (ν(t− τ))2b)(t− τ)
}
, 0 ≤ τ ≤ t ≤ T, {B,M} ⊂ R2, (37)
де C, F1, c1 — додатнi сталi, що залежать вiд T, n, b, sup |ak(t)|, характеру непе-
рервностi a2b(t).
7. Аналiтичний опис ФМРЗК для системи (23). Властивостi матрицi Q(t, τ ;
B(t, τ)) дають можливiсть зробити повний аналiтичний опис ФМРЗК та її похi-
дних. З оцiнок (31), (37) випливає, що ФМРЗК є аналiтичною функцiєю, яка визна-
чається за формулою (33). Використавши (37), аналогiчно до випадку параболiчних
систем [8, c. 50 – 51] одержимо таке твердження.
Теорема 2. ФМРЗК для системи (23) має вигляд
G(t,X; τ,Γ) = (t− τ)−(b+1)/bΩ(t, τ ; (x− γ)(t− τ)−1/2b,
(y − θ + x(t− τ))(t− τ)−(2b+1)/2b),
де Ω(t, τ ; z1, z2) при фiксованих t i τ є цiлою функцiєю аргументiв z1, z2 порядку
зростання q при комплексних значеннях цих аргументiв i такого ж самого порядку
спадання при їх дiйсних значеннях.
Для похiдних справджуються оцiнки∣∣∂kx∂ryG(t,X + iX1; τ,Γ)
∣∣ ≤
≤ Ckr(t− τ)−
k+1+(r+1)(2b+1)
2b exp
{
− c1ρ(t,X; τ,Γ) + F1d(t,X1; τ, 0)
}
,
{k, r} ⊂ Z+, 0 ≤ τ < t ≤ T, {X,X1,Γ} ⊂ R2,
де Ckr, F1, c1 — додатнi сталi, що залежать вiд T, n, b, δ0, sup |ak(t)|, характеру
неперервностi a2b(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ТИПУ КОЛМОГОРОВА 1663
Оцiнимо ∂tG(t,X + iX1; τ,Γ). Оскiльки G(t,X + iX1; τ,Γ) є розв’язком сис-
теми (23), то
∂tG(t,X + iX1; τ,Γ) = x∂yG(t,X + iX1; τ,Γ) +
2b∑
k=0
ak(t)∂kxG(t,X + iX1; τ,Γ),
тому ∣∣∂tG(t,X + iX1; τ,Γ)
∣∣ ≤
≤ C
(
|x|(t− τ)−
4b+3
2b + (t− τ)−
2b+1
b
)
exp
{
− c1ρ(t,X; τ,Γ) + F1d(t,X1; τ, 0)
}
,
0 ≤ τ < t ≤ T, {X,X1,Γ} ⊂ R2,∣∣∂tG(t,X + iX1; τ,Γ)− x∂yG(t,X + iX1; τ,Γ)
∣∣ ≤
≤ C(t− τ)−
2b+1
b exp
{
− c1ρ(t,X; τ,Γ) + F1d(t,X1; τ, 0)
}
,
0 ≤ τ < t ≤ T, {X,X1,Γ} ⊂ R2
де C, c1, F1 — додатнi сталi, що залежать вiд T, n, 2b, sup |ak(t)|, характеру
неперервностi a2b(t).
1. Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Kochubei A. N. Analytic methods in the theory of differential and
pseudo-differential equations of parabolic type // Operator Theory: Adv. and Appl. – 2004. – 152. –
390 p.
2. Polidoro S. On a class of ultraparabolic operators of Kolmogorov – Fokker – Planck type // Le Matemati-
che. – 1994. – 49. – P. 53 – 105.
3. Cinti C., Pascucci A., Polidoro S. Pointwise estimates for solutions to a class of non-homogeneous
Kolmogorov equations // Math. Ann. – 2008. – 340, № 2. – P. 237 – 264.
4. Малицька Г. П. Побудова фундаментального розв’язку задачi Кошi для рiвняння дифузiї iз змiнною
iнерцiєю // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 1999. – 42, № 3. – С. 56 – 60.
5. Малицька Г. П. Про структуру фундаментального розв’язку задачi Кошi для елiптико-параболiчних
рiвнянь, що узагальнюють рiвняння дифузiї з iнерцiєю // Вiсн. Нац. ун-ту „Львiв. полiтехнiка”. –
2000. – № 411. – C. 221 – 228.
6. Малицька Г. П. Про фундаментальний розв’язок задачi Кошi для виродженого за довiльною
кiлькiстю груп змiнних параболiчного рiвняння типу Колмогорова довiльного порядку // Мат.
методи та фiз.-мех. поля. – 2004. – 47, № 4. – С. 131 – 138.
7. Курант Р. Уравнения с частными производными. – М.: Мир, 1964. – 830 с.
8. Эйдельман С. Д. Параболические системы. – М.: Наука, 1964. – 443 с.
9. Ивасишен С. Д., Эйдельман С. Д.
−→
2b-Параболические системы // Тр. сем. по функцион. анализу. –
Киев: Ин-т математики АН УССР, 1968. – Вып. 1. – С. 3 – 175, 271 – 273.
Одержано 05.02.07,
пiсля доопрацювання — 07.05.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-3279 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:39:30Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/11/154b9c1df7453f1db93767500dc24b11.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32792020-03-18T19:49:49Z Systems of equations of Kolmogorov type Системи рівнянь типу Колмогорова Malyts’ka, H. P. Малицька, Г. П. We consider one class of degenerate parabolic systems of equations of the type of diffusion equation with Kolmogorov inertia. For systems whose coefficients may depend only on the time variable, we construct a fundamental matrix of solutions of the Cauchy problem and obtain estimates for this matrix and all its derivatives. Рассмотрен один класс вырожденных параболических систем уравнений типа уравнения диффузии с инерцией Колмогорова. Для систем, коэффициенты которых могут зависеть только от временной переменной, построена фундаментальная матрица решений задачи Коши, получены оценки для этой матрицы и всех ее производных. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3279 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 12 (2008); 1650–1663 Український математичний журнал; Том 60 № 12 (2008); 1650–1663 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3279/3304 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3279/3305 Copyright (c) 2008 Malyts’ka H. P. |
| spellingShingle | Malyts’ka, H. P. Малицька, Г. П. Systems of equations of Kolmogorov type |
| title | Systems of equations of Kolmogorov type |
| title_alt | Системи рівнянь типу Колмогорова |
| title_full | Systems of equations of Kolmogorov type |
| title_fullStr | Systems of equations of Kolmogorov type |
| title_full_unstemmed | Systems of equations of Kolmogorov type |
| title_short | Systems of equations of Kolmogorov type |
| title_sort | systems of equations of kolmogorov type |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3279 |
| work_keys_str_mv | AT malytskahp systemsofequationsofkolmogorovtype AT malicʹkagp systemsofequationsofkolmogorovtype AT malytskahp sistemirívnânʹtipukolmogorova AT malicʹkagp sistemirívnânʹtipukolmogorova |