On some limit theorems for the maximum of sums of independent random processes
We study conditions of weak convergence of maximum of sums of independent random processes in the space $L_p.$ We present a number of applications to asymptotic analysis of some $\omega^2$-type statistics.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2008
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3280 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509342014373888 |
|---|---|
| author | Matsak, I. K. Мацак, І. К. |
| author_facet | Matsak, I. K. Мацак, І. К. |
| author_sort | Matsak, I. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:49:49Z |
| description | We study conditions of weak convergence of maximum of sums of independent random processes in the space $L_p.$
We present a number of applications to asymptotic analysis of some $\omega^2$-type statistics.
|
| first_indexed | 2026-03-24T02:39:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
I. K. Mацак (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ДЕЯКI ГРАНИЧНI ТЕОРЕМИ ДЛЯ МАКСИМУМУ СУМ
НЕЗАЛЕЖНИХ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСIВ
We study conditions of weak convergence of maximum of sums of independent random processes in the space
Lp. We present a number of applications to asymptotic analysis of some ω2-type statistics.
Изучаются условия слабой сходимости максимума сумм независимых случайных процессов в про-
странстве Lp. Приведен ряд применений к асимптотическому анализу некоторых статистик типа ω2.
1. Вступ. Вiдомо, яке значення мають дослiдження граничних розподiлiв макси-
муму сум незалежних випадкових величин, наприклад, для теорiї масового обслу-
говування чи теорiї страхування. Тому ця тематика iнтенсивно вивчалася [1 – 3]
(огляд останнiх робiт можна знайти в [2]). Розглядався також i векторний випадок
(простори R(m)) [4 – 6]. Але для випадкових процесiв подiбнi питання, здається,
не ставилися в лiтературi. Водночас результати такого типу також мають значний
iнтерес для застосувань (див. п. 4).
Нехай X = {X(s), s ∈ [0, 1]} — випадковий процес, EX(s) = 0, (Xi) — по-
слiдовнiсть незалежних копiй X, Sn(s) =
∑n
i=1
Xi(s), S0 = 0, Sn(s) =
= max0≤k≤n Sk(s).
Виявляється, що при широких умовах скiнченновимiрнi розподiли випадкового
процесу Sn(s)/
√
n збiгаються до скiнченновимiрних розподiлiв процесу W (s), де
W (s) = sup0≤t≤1W (t, s), а W (t, ·) — деякий нескiнченновимiрний вiнерiв процес.
Природно виникає задача дослiдження умов, при яких має мiсце слабка збiжнiсть
Sn(·)√
n
D−→W (·) (1)
для функцiональних банахових ґраток.
У данiй роботi цю задачу розглядаємо для просторiв Lp = Lp[0, 1] (п. 3). У
п. 4 наведено ряд застосувань загальних теорем до асимптотичного аналiзу деяких
статистик типу ω2.
2. Деякi властивостi багатовимiрного броунiвського руху. Нехай W (t),
t ≥ 0, — нормально розподiлений, неперервний, однорiдний процес з незалежними
приростами iз значеннями у сепарабельному банаховому просторi B, W (0) = 0,
EW (t) = 0. Нехай характеристичний функцiонал процесу W (t) задається форму-
лою
ϕ(t, z) = exp
(
− t
2
〈Rz, z〉
)
, (2)
де z ∈ B∗, B∗ — спряжений простiр до B, R : B∗ → B — коварiацiйний оператор
випадкового елемента (в. е.) Γ, Γ — деякий нормально розподiлений в. е. зi значен-
нями у просторi B. W (t) називається процесом броунiвського руху (або вiнеровим
процесом).
Це означення для випадку B = R(m) збiгається з класичним означенням (див.
[4, c. 65], де такий процес називається процесом броунiвського руху при умовi, що
R — одиничний оператор).
c© I. K. MАЦАК, 2008
1664 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
ДЕЯКI ГРАНИЧНI ТЕОРЕМИ ДЛЯ МАКСИМУМУ СУМ НЕЗАЛЕЖНИХ ... 1665
Зауваження 1. (i) У випадку функцiональних банахових просторiв типу Lp
чи C = C[0, 1] процес броунiвського руху W (t) — нормально розподiлена випад-
кова функцiя W (t, s), для якої EW = 0, i для будь-якого t ∈ [0, 1] процес W (t, s)
однаково розподiлений з
√
tΓ(s), тобто
EW (t1, s1)W (t2, s2) = min(t1, t2)R(s1, s2).
Тут R(u, s) — коварiацiйна функцiя Γ(s), Γ(s) — деякий нормально розподiлений
випадковий процес, вибiрковi функцiї якого належать вiдповiдному простору.
(ii) У випадку, коли Γ(s) — процес броунiвського руху чи броунiвський мiст,
такi процеси розглядалися у працi [7].
Вiдомо [8, c. 128], що для дiйсної прямої ряд
w(t) =
∞∑
n=0
γn
t∫
0
Hn(s)ds
збiгається рiвномiрно на [0, 1] майже напевно (м. н.) i w(t), t ∈ [0, 1], — стандартний
процес броунiвського руху в R(1), якщо (γn) — послiдовнiсть незалежних нормаль-
них випадкових величин (в. в.), Eγn = 0, E|γn|2 = 1, а (Hn(t)) — ортогональна
система функцiй Хаара
H0(t) = 1, 0 ≤ t ≤ 1, H1(t) =
+1 при 0 ≤ t ≤ 1
2
,
−1 при
1
2
< t ≤ 1,
i при 2n ≤ k < 2n+1
Hk(t) =
2n/2 при
k − 2n
2n
≤ t ≤ k − 2n + 1/2
2n
,
−2n/2 при
k − 2n + 1/2
2n
≤ t ≤ k − 2n + 1
2n
,
0 в iнших випадках.
Цiкаво, що подiбне конструктивне зображення має мiсце i для процесу броу-
нiвського руху iз значеннями у банаховому просторi.
Лема 1. Нехай B — сепарабельний банахiв простiр, Γ — нормально розпо-
дiлений в. е. iз значеннями в B, EΓ = 0, R — коварiацiйний оператор Γ, (Γn) —
послiдовнiсть незалежних копiй Γ. Тодi ряд
W (t) =
∞∑
n=0
Γn
t∫
0
Hn(u)du (3)
збiгається в нормi B рiвномiрно по t ∈ [0, 1] м. н., а W (t) — процес броунiвського
руху в B, характеристичний функцiонал якого задається формулою (2).
Доведення. Наведенi нижче мiркування близькi до одновимiрного випадку
(див. [8, с. 126 – 130]). Позначимо через ‖ · ‖ норму в B, Jn(t) =
∫ t
0
Hn(u)du.
Як i у [8], встановлюємо, що при виконаннi умови
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1666 I. K. MАЦАК
‖xn‖ = O(nε) для ε <
1
2
ряд
∑∞
n=0
xnJn(t) збiгається в нормi B рiвномiрно по t ∈ [0, 1].
Таким чином, рiвномiрна збiжнiсть ряду (3) м. н. буде випливати з рiвностi
P
(
sup
n>2
‖Γn‖√
lnn
<∞
)
= 1.
Але останнє спiввiдношення є правильним для простору C [9]. А оскiльки простiр
C унiверсальний серед сепарабельних банахових просторiв, то вонo справджується
i в загальному випадку.
Зазначимо, що функцiї Jn(t) є неперервними по t i дорiвнюють 0 при t = 0,
тому i W (t) має цi властивостi.
Зрозумiло також, що процес W (t) та його прирости нормально розподiленi, як
суми нормально розподiлених в. е.
Далi за рiвнiстю Парсеваля для системи Хаара в L2 маємо (див. [8, с. 130])
∞∑
n=0
Jn(t) · Jn(s) = min(t, s), t, s ∈ [0, 1]. (4)
Позначимо через B∗ спряжений простiр до B. Спiввiдношення (3) та (4) при
z ∈ B∗, h > 0 дозволяють записати
E
〈
W (t+ h)−W (t), z
〉2 =
=
∞∑
n=0
E〈Γn, z〉2 (Jn(t+ h)− Jn(t))2 = h〈Rz, z〉. (5)
Враховуючи нормальнiсть розподiлуW (t), з рiвностi (5) отримуємо (2). Рiвнiсть (5)
означає однорiднiсть процесу W (t).
Залишилося перевiрити незалежнiсть приростiв W (t). Покажемо, що для всiх
k, 0 ≤ t1 < . . . < tk ≤ 1 i z1, . . . , zk ∈ B∗ в. в. 〈z1,W (t1)〉, 〈z2,W (t2) −
−W (t1)〉, . . . , 〈zk,W (tk)−W (tk−1)〉 некорельованi. Цього достатньо для незалеж-
ностi, бо, як було зазначено вище, в. в. є нормально розподiленими. Вiзьмемо,
наприклад, 〈z2,W (t2)−W (t1)〉 та 〈z3,W (t3)−W (t2)〉. Тодi згiдно з (3) маємо
E〈z2,W (t2)−W (t1)〉〈z3,W (t3)−W (t2)〉 =
=
∞∑
n=0
E〈z2,Γn〉〈z3,Γn〉 (Jn(t2)− Jn(t1)) (Jn(t3)− Jn(t2)) =
= 〈Rz2, z3〉
∞∑
n=0
(Jn(t2)− Jn(t1)) (Jn(t3)− Jn(t2)) , (6)
а з рiвностi (4) випливає, що остання сума в (6) дорiвнює
min(t2, t3)−min(t1, t3)−min(t2, t2) + min(t1, t2) = 0.
Лему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
ДЕЯКI ГРАНИЧНI ТЕОРЕМИ ДЛЯ МАКСИМУМУ СУМ НЕЗАЛЕЖНИХ ... 1667
3. Слабка збiжнiсть у просторi Lp. Розглянемо простiр ([0, 1],Λ, µ), де Λ
— σ-алгебра борелевих множин на [0, 1], µ — мiра Лебега. Через Lp = Lp[0, 1]
позначимо банахiв простiр вимiрних функцiй x(t) на ([0, 1],Λ, µ) з нормою ‖x‖ =
=
(∫ 1
0
|x(t)|pµ(dt)
)1/p
.
Щоб отримати спiввiдношення (1) у просторi Lp, 1 ≤ p < ∞, на випадковий
процес X(s) накладемо наступнi умови:
sup
0≤s≤1
E|X(s)|p
∗
≤ Cp <∞, (7)
де p∗ = 2 при 1 ≤ p < 2, p∗ = p при 2 ≤ p <∞;
E|X(s)|p+ε <∞ ∀s ∈ [0, 1] (8)
для деякого ε > 0, ≤ p <∞.
Якщо вимiрний випадковий процес X(s) задовольняє умову (7), то вибiрковi
функцiї X(s, ω) належать Lp м. н., тобто X — в. е. iз значеннями у просторi Lp.
Нагадаємо, що в. е. X iз значеннями у сепарабельному банаховому просторi
B називається передгауссiвським, якщо в B iснує нормально розподiлений в. е.
Γ = ΓX , коварiацiйний оператор якого збiгається з коварiацiйним оператором X.
Неважко зрозумiти, що при умовi (7) X буде передгауссiвським в. е. у просторi
Lp. Дiйсно, це випливає iз ланцюжка рiвностей(
E|Γ(s)|p
)1/p = Cp
(
E|Γ(s)|2
)1/2 = Cp
(
E|X(s)|2
)1/2 ≤ Cp(E|X(s)|p
∗)1/p∗
<∞.
(9)
Теорема 1. Нехай X(s), s ∈ [0, 1], — вимiрний випадковий процес, який при
деякому p, 1 ≤ p < ∞, задовольняє умови (7), (8), EX(s) = 0. Тодi X — перед-
гауссiвський в. е. iз значеннями у просторi Lp. Якщо W (t) — вiнерiв процес в Lp,
характеристичний функцiонал якого задається формулою (2), R — коварiацiйний
оператор X, то у просторi Lp має мiсце слабка збiжнiсть (1).
Теорема 2. Якщо в умовах теореми 1 замiнити рiвностi EX(s) = 0 на умову
EX(s) = a(s) > 0 ∀s ∈ [0, 1], то у просторi Lp має мiсце слабка збiжнiсть
Sn(·)− a(·)n√
n
D−→ Γ(·), (10)
де Γ(·) = ΓX(·) — нормально розподiлений в. е. простору Lp з коварiацiйним
оператором R, EΓ(s) = 0.
Доведення цих теорем ґрунтується на кiлькох лемах. Простi загальнi умови
слабкої збiжностi у просторi Lp одержано в роботi [10] (див. також [11]).
Лема 2 [10]. Нехай для деякого p, 1 ≤ p <∞, вимiрнi випадковi процеси ξ1(s),
ξ2(s), . . . , ξn(s), . . . i ξ0(s) задовольняють умову
sup
0≤s≤1
E|ξn(s)|p ≤ Cp <∞, n = 0, 1, 2, . . . . (11)
Якщо скiнченновимiрнi розподiли процесiв ξn(s) збiгаються до скiнченновимiрних
розподiлiв процесу ξ0(s) i, крiм того, при n→∞
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1668 I. K. MАЦАК
E|ξn(s)|p → E|ξ0(s)|p ∀s ∈ [0, 1], (12)
то для будь-якого неперервного функцiонала в Lp
f(ξn(·)) D−→ f(ξ0(·)).
Наступна лема вiдноситься до класичної областi випадкових блукань i добре
вiдома для дiйсної прямої. Але автору не вiдомi роботи, де вона була б сформульо-
вана в R(m). Неявно вона мiститься у книзi А. В. Скорохода, Н. П. Слободенюка
[4]. Ми одержимо її як наслiдок одного результату [4].
Лема 3. Нехай ξ1, ξ2, . . . , ξn, . . . — незалежнi однаково розподiленi в. в. в
R(m), Eξn = 0, E(ξn, z)2 = (Rz, z), де R — невiд’ємний симетричний лiнiйний
оператор, i Sn =
∑n
i=1
ξi, S0 = 0, а W (t) =
(
w1(t), . . . , wm(t)
)
— процес броу-
нiвського руху в R(m), для якого EW (t) = 0, E(W (t), z)2 = t(Rz, z). Якщо
Sn =
(
max
0≤k≤n
Sk1, . . . , max
0≤k≤n
Skm
)
,
W =
(
sup
0≤t≤1
w1(t), . . . , sup
0≤t≤1
wm(t)
)
,
то при n→∞
Sn√
n
D−→W. (13)
Доведення. Нехай D
(m)
[0,1] — простiр функцiй x(t), визначених на [0, 1], iз зна-
ченнями в R(m), якi не мають розривiв 2-го роду i неперервнi справа. Так само, як
i у книзi [4, c. 68], позначимо через F цилiндричну σ-алгебру простору D(m)
[0,1], µ
— мiра на F, породжена вiнеровим процессом W (t), Fµ — множина функцiоналiв
f(x(·)), визначених на D(m)
[0,1], якi задовольняють умови:
a) функцiонал f(x(·)) є вимiрним вiдносно σ-алгебри F;
б) iснує F-вимiрна множина G ⊂ D
(m)
[0,1] така, що µ(G) = 1 i для будь-якого
x(·) ∈ G i послiдовностi xn(·) iз D(m)
[0,1] виконується рiвнiсть limn→∞ f(xn(·)) =
= f(x(·)), якщо limn→∞ supt |xn(t)− x(t)| = 0.
Функцiонал f(x(·)), визначений на D(m)
[0,1], називається однорiдним степеня α,
якщо при λ > 0 виконується рiвнiсть f(λx(·)) = λαf(x(·)).
Для однорiдного степеня α функцiонала f(x(·)), який належить Fµ, iз [4] (гл. 2,
теорема 2) маємо асимптотичне спiввiдношення
f(S[nt])
nα/2
D−→ f(W (t)). (14)
Нехай φ(x), φ : R(m) → R(1), — неперервна однорiдна функцiя степеня α,
тобто φ(λx) = λαφ(x). Розглянемо функцiонал f0(x(·)) = φ(supt x(t)). Зрозумi-
ло, що f0(x(·)) — однорiдний функцiонал степеня α. Неважко перевiрити, що
f0(x(·)) ∈ Fµ. Дiйсно, цей функцiонал є неперервним у топологiї рiвномiрної
збiжностi в D
(m)
[0,1]. Вимiрнiсть його вiдносно F випливає iз рiвностi f0(x(·)) =
= lim
n→∞
φ
(
sup
1≤k≤n
x
(
k
n
))
(див. аналогiчний приклад в [4, с. 73, 78]). Для функ-
цiонала f0(x(·)) iз (14) одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
ДЕЯКI ГРАНИЧНI ТЕОРЕМИ ДЛЯ МАКСИМУМУ СУМ НЕЗАЛЕЖНИХ ... 1669
φ(Sn)
nα/2
D−→ φ(W ). (15)
Покладемо φ0(x) =
∑m
i=1
cixi, де c1, . . . , cm — довiльнi числа, x = (x1, . . .
. . . , xm). Зрозумiло, що φ0(x) — неперервна однорiдна функцiя степеня 1. Тому
згiдно з (15) ∑m
i=1
ciSni
√
n
D−→
m∑
i=1
ciwi, (16)
де Sni = max1≤k≤n Ski, wi = sup0≤t≤1 wi(t). Оскiльки (16) виконується для до-
вiльних (ci), то звiдси випливає (13) [12, с. 76].
Лему доведено.
Лема 4 [13]. Нехай ξ1, ξ2, . . . , ξn — незалежнi в. в., Eξi = 0, Sn =
∑n
i=1
ξi,
Ap,n =
∑n
i=1
E|ξi|p, B2
n = A2,n. Тодi при 2 ≤ p <∞
E|Sn|p ≤ Cp(Ap,n +Bpn).
Лема 5. Нехай ξ, ξ1, ξ2, . . . , ξn — незалежнi однаково розподiленi в. в., Eξ =
= a > 0, mp(ξ) =
(
E|ξ − a|p
)1/p
, Sn = sup1≤k≤n
∑k
i=1
ξi. Тодi
E
∣∣∣∣Sn − na√
n
∣∣∣∣p ≤ Cp(mp∗(ξ))p,
де p∗ визначено у спiввiдношеннi (7).
Доведення. Покладемо ζk =
1√
n
(∑k
i=1
ξi − na
)
, k = 1, 2, . . . , n. Оскiльки
Eξ = a > 0, то (ζk)n1 — субмартингал i згiдно з [14, с. 78] при 1 < p <∞
E
∣∣∣∣ max
1≤k≤n
ζ+
k
∣∣∣∣p ≤ ( p
p− 1
)p
E|ζ+
n |p, (17)
як завжди, x+ = max(x, 0), x− = max(−x, 0).
Розглянемо випадок 2 ≤ p <∞. Враховуючи оцiнку (17) та рiвнiсть
Sn − na√
n
= max
1≤k≤n
ζk м. н.,
маємо
E
∣∣∣∣Sn − na√
n
∣∣∣∣p ≤ E
∣∣∣∣∣
(
max
1≤k≤n
ζk
)+
∣∣∣∣∣
p
+ E
∣∣∣∣∣
(
max
1≤k≤n
ζk
)−∣∣∣∣∣
p
≤
≤ E
∣∣∣∣ max
1≤k≤n
ζ+
k
∣∣∣∣p + E|(ζn)−|p ≤
(
1 +
(
p
p− 1
)p)
E|ζn|p. (18)
Далi скористаємось нерiвнiстю Розенталя iз леми 4:
E|ζn|p ≤ Cp(n1−p/2|mp(ξ)|p + |m2(ξ)|p) ≤ Cp
∣∣mp(ξ)
∣∣p. (19)
Iз нерiвностей (18), (19) отримуємо оцiнку з леми 5 для 2 ≤ p <∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1670 I. K. MАЦАК
Випадок 1 ≤ p < 2 зводиться до попереднього, оскiльки
E|η|p ≤
(
E|η|2
)p/2
при 1 ≤ p < 2.
Лему доведено.
Доведення теореми 1. Достатньо перевiрити виконання умов леми 2 при
ξn(s) = Sn(s)/
√
n, ξ0(s) = W (s) . Iз леми 3 безпосередньо випливає, що скiн-
ченновимiрнi розподiли випадкового процесу Sn(s)/
√
n збiгаються до скiнченно-
вимiрних розподiлiв процесу W (s).
Перевiримо умову (11). Використовуючи нерiвнiсть Левi та нерiвнiсть симет-
ризацiї з [15, с. 211, 222], E‖Y ‖ ≤ E‖Y − Y ′‖, отримуємо
E
∣∣∣∣Sn(s)√
n
∣∣∣∣p ≤ E
∣∣∣∣max1≤k≤n |Sk(s)|√
n
∣∣∣∣p ≤
≤ E
∣∣∣∣max1≤k≤n |Sk(s)− S′k(s)|√
n
∣∣∣∣p ≤ 2E
∣∣∣∣Sn(s)− S′n(s)√
n
∣∣∣∣p ≤
≤ CpE
∣∣∣∣Sn(s)√
n
∣∣∣∣p , (20)
де S′n(s) — незалежна копiя Sn(s).
Останню величину в (20) при 2 ≤ p < ∞ оцiнимо за допомогою нерiвностi
Розенталя iз леми 4:
E
∣∣∣∣Sn(s)√
n
∣∣∣∣p ≤ Cp(n1−p/2E|X1(s)|p + (E|X1(s)|2)p/2) ≤ CpE|X1(s)|p. (21)
Iз нерiвностей (20), (21) та умови (7) випливає оцiнка (11) для 2 ≤ p <∞.
Випадок 1 ≤ p < 2 так само, як i у лемi 5, зводиться до p = 2.
Оскiльки для фiксованого s в. в. W (s) однаково розподiлена з |Γ(s)| (див. заува-
ження 1), то, враховуючи оцiнку (9), приходимо до висновку, що iW (s) задовольняє
умову (11).
Для завершення доведення залишилося перевiрити умову (12), тобто умову
E
∣∣∣∣Sn(s)√
n
∣∣∣∣p → E|W (s)|p ∀s ∈ [0, 1]. (22)
Оцiнки (20), (21) показують, що при умовi (8) величини
∣∣∣∣Sn(s)√
n
∣∣∣∣p будуть рiвномiрно
iнтегровними. А оскiльки їх розподiл збiгається до розподiлуW (s), то звiдси маємо
(22) [12, с. 51].
Теорему доведено.
Зауваження 2. Покладемо в умовах леми 3
S
∗
n =
(
max
0≤k≤n
|Sk1|, . . . , max
0≤k≤n
|Skm|
)
,
W
∗
=
(
sup
0≤t≤1
|w1(t)|, . . . , sup
0≤t≤1
|wm(t)|
)
.
Аналiз доведення леми 3 показує, що в Rm має мiсце спiввiдношення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
ДЕЯКI ГРАНИЧНI ТЕОРЕМИ ДЛЯ МАКСИМУМУ СУМ НЕЗАЛЕЖНИХ ... 1671
S
∗
n√
n
D−→W
∗
.
Звiдси, як i при доведеннi теореми 1, можна отримати для простору Lp спiввiдно-
шення
S
∗
n(·)√
n
D−→W
∗
(·),
де S
∗
n(s) = max1≤k≤n |Sk(s)|, W ∗(s) = sup0≤t≤1 |W (t, s)|.
Доведення теореми 2 аналогiчне доведенню попередньої теореми. Перевiримо
виконання умов леми 2 при ξn(s) = (Sn(s) − a(s)n)/
√
n, ξ(s) = Γ(s). Для цього
застосуємо результат про розподiл максимуму послiдовних сум незалежних одна-
ково розподiлених випадкових векторiв iз [5, 6]. Через R(m)
+ позначимо множину
{x ∈ R(m) : xi > 0, i = 1, 2, . . . ,m}. Нехай ξ1, ξ2, . . . , ξn, . . . — незалежнi однаково
розподiленi в. в. iз значеннями в R(m), Eξn = a, E(ξn − a, z)2 = (Rz, z). Якщо в
умовах i позначеннях леми 3 a ∈ R(m)
+ , то (див. [5, 6]) при n→∞
Sn − an√
n
D−→W (1), (23)
W (t) — процес броунiвського руху в R(m) iз леми 3.
Iз спiввiдношення (23) маємо збiжнiсть скiнченновимiрних розподiлiв випадко-
вого процесу (Sn(s)− a(s)n)/
√
n до скiнченновимiрних розподiлiв процесу Γ(s).
Умова (11) з леми 2 фактично доводиться у лемi 5.
Мiркування з доведення теореми 1, використанi при перевiрцi умови (12), за-
лишаються без змiн i в даному випадку.
Теорему доведено.
4. Застосування до емпiричних процесiв. Для незалежних однаково розпо-
дiлених в. в. ξ, ξ1, ξ2, . . . в R1 з функцiєю розподiлу F (t) розглянемо емпiричну
функцiю розподiлу
F ∗n(t) =
1
n
n∑
i=1
I(−∞,t](ξi), −∞ < t <∞.
У роботi [16, с. 134 – 141] А. М. Колмогоров ввiв статистику
Dn = sup
−∞<t<∞
∣∣F ∗n(t)− F (t)
∣∣
i довiв, що для неперервної функцiї розподiлу F (t), x > 0
lim sup
n→∞
P
(√
nDn < x
)
= 1− 2
∞∑
n=1
(−1)n−1 exp(−2n2x2). (24)
Наступний важливий результат належить М. В. Смирнову [17]. Вiн знайшов
розподiл статистик ω2, D+
n , Dm,n.
У подальшому дослiдження асимптотичної поведiнки емпiричної функцiї були
пов’язанi з рiвномiрним емпiричним процесом
βn(s) =
√
n(F ∗n(s)− s), 0 ≤ s ≤ 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1672 I. K. MАЦАК
для якого емпiрична функцiя F ∗n(s) будується по в. в. ξi, рiвномiрно розподiлених
на [0, 1]. Огляди цих дослiджень можна знайти в роботах [18 – 20].
На думку автора значний iнтерес має асимптотичний аналiз наступних ста-
тистик типу Колмогорова – Смирнова та ω2:
√
nDn = sup
0≤s≤1
sup
1≤k≤n
√
k/n
∣∣βk(s)
∣∣ ,
√
nD
+
n = sup
0≤s≤1
sup
1≤k≤n
√
k/nβk(s) ,
n ω2
n =
1∫
0
∣∣∣∣ sup
1≤k≤n
√
k/nβk(s)
∣∣∣∣2 ds ,
nΩ
2
n =
1∫
0
∣∣ sup1≤k≤n
√
k/nβk(s)
∣∣2
s(1− s)
ds .
Граничнi теореми для двох останнiх статистик будуть виведенi iз загальних резуль-
татiв п. 3 про слабку збiжнiсть максимуму сум незалежних випадкових процесiв у
просторi Lp.
Далi через W (t, ·) будемо позначати нескiнченновимiрний вiнерiв процес, для
якого EW = 0, i для будь-якого t ∈ [0, 1] W (t, ·) однаково розподiлений з
√
tW0(·),(
W0(s), s ∈ [0, 1]
)
— броунiвський мiст, тобто
EW (t1, s1)W (t2, s2) = min(t1, t2)(min(s1, s2)− s1s2).
Наслiдок 1. При n→∞
nω2
n
D−→
1∫
0
| sup
t
W (t, s)|2ds, (25)
nΩ
2
n
D−→
1∫
0
| suptW (t, s)|2
s(1− s)
ds. (26)
Доведення. Щоб установити слабку збiжнiсть (25), покладемо
Xn(s) = I(−∞,s](ξn)− s, 0 ≤ s ≤ 1,
де в. в. ξn рiвномiрно розподiленi на [0, 1].
Зрозумiло, що
EXn(s) = 0, EXn(s)Xn(u) = min(s, u)− su i Sk(s)/
√
n =
√
k/nβk(s).
Оскiльки |Xn(s)| ≤ 1, то умови (7), (8) виконуються для будь-якого 1 ≤ p < ∞.
Тому (25) одержуємо iз теореми 1 у просторi L2 .
Доведення (26) проводиться аналогiчним чином. Треба взяти
Xn(s) =
I(−∞,s](ξn)− s
[s(1− s)]1/2
, 0 < s < 1, Xn(0) = Xn(1) = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
ДЕЯКI ГРАНИЧНI ТЕОРЕМИ ДЛЯ МАКСИМУМУ СУМ НЕЗАЛЕЖНИХ ... 1673
Неважко обчислити моменти в. в. Xn(s) :
E
∣∣Xn(s)
∣∣2 = 1, 0 < s < 1,
E
∣∣Xn(s)
∣∣2+ε =
(1− s)1+ε + s1+ε
(s(1− s))ε/2
<∞, 0 < s < 1.
Таким чином, випадковий процес Xn(s) задовольняє умови (7), (8). Залишилося
застосувати теорему 1.
Наслiдок доведено.
Зауваження 3. Для статистик
1∫
0
(
sup
1≤k≤n
√
k/n
∣∣βk(s)
∣∣)2
ds,
1∫
0
(
sup1≤k≤n
√
k/n
∣∣βk(s)
∣∣)2
s(1− s)
ds
також можна записати асимптотичнi спiввiдношення, аналогiчнi (25), (26), iз замi-
ною W (t, s) на |W (t, s)| (див. зауваження 2).
Наведенi вище результати роблять правдоподiбним припущення, що
Dn
D−→ sup
t,s
∣∣W (t, s)
∣∣,
D
+
n
D−→ sup
t,s
W (t, s). (27)
Можливо, що спiввiдношення (27) можна вивести iз результатiв працi Дж. Кiфера
[7]. Цiкаво, що результати [7] про попадання траєкторiй емпiричних процесiв в
криволiнiйнi областi було отримано iншим шляхом (використовувались глибокi
узагальнення методу вкладення Скорохода для емпiричних процесiв).
Покладемо
βn(λ, s) =
√
n(Fn(s)− λs), 0 ≤ s ≤ 1 ,
ω2
n(λ) =
1∫
0
∣∣∣∣ sup
1≤k≤n
√
k/nβk(λ, s)− (1− λ)
√
ns
∣∣∣∣2 ds.
Наслiдок 2. При 0 ≤ λ < 1, n→∞
ω2
n(λ) D−→
1∫
0
∣∣W0(s)
∣∣2ds . (28)
Наслiдок 2 виводиться з теореми 2 так само, як наслiдок 1 iз теореми 1.
Зазначимо, що при 0 < λ < 1 граничний розподiл не залежить вiд λ, а при
λ ≤ 0 спiввiдношення (28) збiгається з класичним результатом для статистики ω2.
Звичайно, для статистики типу Ω2 можна також одержати асимптотичне спiв-
вiдношення, аналогiчне (28).
Зауваження 4. У роботi ставиться задача дослiдження умов, при яких має
мiсце слабка збiжнiсть максимуму сум незалежних випадкових процесiв i знахо-
диться її розв’язок у просторi Lp. Наведенi застосування до емпiричних процесiв
(див. спiввiдношення (27)) показують актуальнiсть такої задачi i для просторiв
C[0, 1] та D[0, 1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
1674 I. K. MАЦАК
1. Боровков А. А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. – М.: Наука, 1972. –
368 с.
2. Боровков А. А. Колмогоров и граничные задачи теории вероятностей // Успехи мат. наук. – 2004.
– 59, № 1. – С. 91 – 102.
3. Cramer H. Collectiv risk theory. – Stochgolm: Esselte, 1955. – 92 p.
4. Скороход А. В., Слободенюк Н. П. Предельные теоремы для случайных блужданий. – Киев: Наук.
думка, 1970. – 304 c.
5. Паулаускас В. О распределении максимума последовательных сумм независимых одинаково рас-
пределенных случайных векторов // Liet. mat. rinkinys. – 1973. – 13, № 2. – С. 133 – 138.
6. Паулаускас В., Стейшунас С. О скорости сходимости распределения максимума последовательных
сумм независимых разнораспределенных случайных векторов к предельному закону // Там же. –
1973. – 13, № 2. – С. 139 – 147.
7. Kiefer J. Skorokhod embedding of multivariate RV’s, and the sample DF // Z. Wahrscheinlichkeitstheor.
und verw. Geb. – 1972. – 24, № 1. – S. 1 – 35.
8. Ламперти Дж. Вероятность. – М.: Наука, 1973. – 184 с.
9. Мацaк I. K. Гранична теорема для максимуму гауссiвських випадкових величин у просторi C //
Укр. мат. журн. – 1995. – 47, № 7. – С. 1006 – 1008.
10. Grinblat L. S. A limit theorem for measurable random processes and its appliications // Proc. Amer.
Math. Soc. – 1976. – 61, № 2. – P. 371 – 376.
11. Боровков А. А. Сходимость мер и случайных процессов // Успехи мат. наук. – 1976. – 31, № 2. –
С. 3 – 68.
12. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. – М.: Наука, 1977. – 352 с.
13. Rosenthal H. P. On the subspaces of Lp (p > 2) spanned by sequences of independent random variables
// Isr. J. Math. – 1970. – 8, № 3. – P. 273 – 303.
14. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов: В 3 т. – М.: Наука, 1971. – Т. 1. – 664 с.
15. Ваxания Н. Н., Тариеладзе В. И., Чобанян С. А. Вероятностные распределения в банаxовыx
пространстваx. – М.: Наука, 1985. – 368 с.
16. Колмогоров А. Н. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Наука, 1986. – 536 с.
17. Смирнов Н. В. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Наука, 1970. – 290 с.
18. Gaenssler P., Stute W. Empirical processes: a survey of results for independent and identically distributed
random variables // Ann. Probab. – 1979. – 7, № 2. – P. 193 – 243.
19. Csorgo M., Revesz P. Strong approximations in probability and statistics. – Budapest: Akad. Kiado,
1981. – 284 p.
20. Хмаладзе Э. В. Некоторые применения теории мартингалов в статистике // Успехи мат. наук. –
1982. – 37, № 6. – С. 194 – 212.
Одержано 01.11.07
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-3280 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:39:34Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/46/1f0c0880c19af8afc3203816117aec46.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32802020-03-18T19:49:49Z On some limit theorems for the maximum of sums of independent random processes Деякі граничні теореми для максимуму сум незалежних випадкових процесів Matsak, I. K. Мацак, І. К. We study conditions of weak convergence of maximum of sums of independent random processes in the space $L_p.$ We present a number of applications to asymptotic analysis of some $\omega^2$-type statistics. Изучаются условия слабой сходимости максимума сумм независимых случайных процессов в пространстве $L_p.$ Приведен ряд применений к асимптотическому анализу некоторых статистик типа $\omega^2$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2008-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3280 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 60 No. 12 (2008); 1664–1674 Український математичний журнал; Том 60 № 12 (2008); 1664–1674 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3280/3306 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3280/3307 Copyright (c) 2008 Matsak I. K. |
| spellingShingle | Matsak, I. K. Мацак, І. К. On some limit theorems for the maximum of sums of independent random processes |
| title | On some limit theorems for the maximum of sums of independent random processes |
| title_alt | Деякі граничні теореми для максимуму сум незалежних випадкових процесів |
| title_full | On some limit theorems for the maximum of sums of independent random processes |
| title_fullStr | On some limit theorems for the maximum of sums of independent random processes |
| title_full_unstemmed | On some limit theorems for the maximum of sums of independent random processes |
| title_short | On some limit theorems for the maximum of sums of independent random processes |
| title_sort | on some limit theorems for the maximum of sums of independent random processes |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3280 |
| work_keys_str_mv | AT matsakik onsomelimittheoremsforthemaximumofsumsofindependentrandomprocesses AT macakík onsomelimittheoremsforthemaximumofsumsofindependentrandomprocesses AT matsakik deâkígraničníteoremidlâmaksimumusumnezaležnihvipadkovihprocesív AT macakík deâkígraničníteoremidlâmaksimumusumnezaležnihvipadkovihprocesív |