A criterion for the existence of the unique invariant torus of a linear extension of dynamical systems
Under the assumption that a linear homogeneous system defined on the direct product of a torus and the Euclidean space is exponentially dichotomous on semiaxes, we obtain a necessary and sufficient condition for the existence of the unique invariant torus of the corresponding inhomogeneous linear sy...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3288 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509349961531392 |
|---|---|
| author | Boichuk, О. A. Бойчук, А. А. Бойчук, А. А. |
| author_facet | Boichuk, О. A. Бойчук, А. А. Бойчук, А. А. |
| author_sort | Boichuk, О. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:50:22Z |
| description | Under the assumption that a linear homogeneous system defined on the direct product of a torus and the Euclidean space is exponentially dichotomous on semiaxes, we obtain a necessary and sufficient condition for the existence of the unique invariant torus of the corresponding inhomogeneous linear system. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:39:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
А. А. Бойчук (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ
ЕДИНСТВЕННОГО ИНВАРИАНТНОГО ТОРА
ЛИНЕЙНОГО РАСШИРЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Under the assumption that a linear homogeneous system defined on the direct product of a torus and
the Euclidean space is exponentially dichotomous on semiaxes, we obtain the necessary and sufficient
condition for the existence of unique invariant torus of the corresponding inhomogeneous linear system.
У припущеннi, що лiнiйна однорiдна система, визначена на прямому добутку тора та евклiдово-
го простору, є експоненцiально-дихотомiчною на пiвосях, отримано необхiдну й достатню умову
iснування єдиного iнварiантного тора вiдповiдної неоднорiдної лiнiйної системи.
Постановка задачи. Рассмотрим линейную неоднородную систему
dϕ
dt
= a(ϕ),
dx
dt
= P (ϕ)x + f(ϕ), (1)
заданную в прямом произведении m-мерного тора Tm и евклидового пространства
Rn в предположении, что a(ϕ) ∈ C1(Tm); P (ϕ), f(ϕ) ∈ C(Tm); ϕ = (ϕ1, . . . , ϕm) ∈
∈ Tm; x = col(x1, . . . , xn) ∈ Rn. Известно, что задача о существовании и постро-
ении инвариантного тора x = u(ϕ) ∈ C(Tm), ϕ ∈ Tm, системы (1) при про-
извольном значении f(ϕ) ∈ C(Tm) может быть решена с помощью функции Гри-
на – Самойленко [1, 2]. Для единственности последней при произвольном значении
f(ϕ) ∈ C(Tm) необходимо отсутствие вырожденных инвариантных торов у одно-
родной системы
dϕ
dt
= a(ϕ),
dx
dt
= P (ϕ)x. (2)
Это означает, что при любой ϕ ∈ Tm система
dx
dt
= P
(
ϕt(ϕ)
)
x (3)
экспоненциально-дихотомична (э-дихотомична) на всей действительной оси R =
= (−∞,+∞), т. е. существует проектор C(ϕ) = C2(ϕ) и не зависящие от ϕ, τ
константы K ≥ 1, α > 0 такие, что∥∥Ωt
0(ϕ)C(ϕ)Ω0
τ (ϕ)
∥∥ ≤ Ke−α(t−τ), t ≥ τ,∥∥Ωt
0(ϕ)(I − C(ϕ))Ω0
τ (ϕ)
∥∥ ≤ Ke−α(τ−t), τ ≥ t,
(4)
для любых t, τ ∈ R; Ωt
τ (ϕ)
(
Ωτ
τ (ϕ) = In
)
— (n × n)-мерная фундаментальная
матрица системы (3); ϕt(ϕ)− решение задачи Коши ϕ̇ = a(ϕ), ϕ0(ϕ) = ϕ.
Предположим, что система (3) не является э-дихотомичной на всей оси R,
однако э-дихотомична на полуосях R+ и R− c проекторами C+(ϕ) и C−(ϕ)
c© А. А. БОЙЧУК, 2007
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1 3
4 А. А. БОЙЧУК
(C2
±(ϕ) = C±(ϕ)) соответственно. Это означает [3], что для системы (3) выполне-
ны условия типа (4) на полуосях. В этом случае и однородная система (2), и сопря-
женная к ней система могут иметь вырожденные инвариантные торы (критический
случай). Поэтому возможна ситуация, когда система (1) имеет инвариантный тор,
но не при произвольном значении f(ϕ) ∈ C(Tm). В настоящей статье найдены не-
обходимые и достаточные условия существования единственного инвариантного
тора x = u(ϕ) ∈ C(Tm), ϕ ∈ Tm, системы (1) в этом случае, а также указан способ
построения единственного инвариантного тора линейного расширения динамиче-
ской системы (1) через проекторы C±(ϕ), определяющие э-дихотомию системы
(3) на полуосях. Найдены необходимые и достаточные условия на неоднородности
f(ϕ) ∈ C(Tm), определяющие инвариантное многообразие, которому должны при-
надлежать неоднородности f(ϕ) ∈ C(Tm) для существования искомого тора. Ра-
нее такая задача была решена в предположении произвольности f(ϕ) ∈ C(Tm)
в так называемом регулярном и слаборегулярном случаях [2], когда система (3)
э-дихотомична или э-трихотомична на всей оси R.
Ограниченные на всей оси решения. Непосредственной проверкой легко
убедиться [3 – 5], что при фиксированном ϕ ∈ Tm общее решение задачи
dx
dt
= P
(
ϕt(ϕ)
)
x + f
(
ϕt(ϕ)
)
, (5)
ограниченное на полуосях R+ и R−, имеет вид
x(t, ϕ, ξ) =
Ωt
0(ϕ)C+(ϕ)ξ +
t∫
0
Ωt
τ (ϕ)C+(ϕτ (ϕ))f(ϕτ (ϕ))dτ−
−
∞∫
t
Ωt
τ (ϕ)(I − C+(ϕτ (ϕ)))f(ϕτ (ϕ))dτ, t ≥ 0,
Ωt
0(ϕ)(I − C−(ϕ))ξ +
t∫
−∞
Ωt
τ (ϕ)C−(ϕτ (ϕ))f(ϕτ (ϕ))dτ−
−
0∫
t
Ωt
τ (ϕ)
(
I − C−(ϕτ (ϕ))
)
f(ϕτ (ϕ))dτ, t ≤ 0,
(6)
где
C+(ϕτ (ϕ)) = Ωτ
0(ϕ)C+(ϕ)Ω0
τ (ϕ), C−(ϕτ (ϕ)) = Ωτ
0(ϕ)C−(ϕ)Ω0
τ (ϕ). (7)
Здесь и ниже будем использовать известные соотношения [1]
Ωt
τ
(
ϕs(ϕ)
)
= Ωt+s
τ+s(ϕ), Ωt
τ (ϕ)Ωτ
s (ϕ) = Ωt
s(ϕ),(
Ωt
τ (ϕ)
)−1 = Ωτ
t (ϕ), ϕτ (ϕs(ϕ)) = ϕτ+s(ϕ),
(8)
справедливые для всех t, τ, s ∈ R, ϕ ∈ Tm .
Решение (6) будет ограниченным на всей оси R, если векторная константа
ξ = ξ(ϕ) ∈ Rn удовлетворяет алгебраической системе, получаемой из (6) при
t = 0:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЕДИНСТВЕННОГО ИНВАРИАНТНОГО ТОРА . . . 5
[
C+(ϕ)− (I − C−(ϕ))
]
ξ =
0∫
−∞
C−(ϕ)Ω0
τ (ϕ)f(ϕτ (ϕ))dτ+
+
∞∫
0
(I − C+(ϕ))Ω0
τ (ϕ)f(ϕτ (ϕ))dτ. (9)
Обозначим через D(ϕ) = C+(ϕ) −
(
I − C−(ϕ)
)
(n × n)-мерную матрицу, а
через D+(ϕ) ее псевдообратную по Муру – Пенроузу [5]; PN(D)(ϕ) и PN(D∗)(ϕ) —
(n× n)-матрицы-ортопроекторы:
P 2
N(D)(ϕ) = PN(D)(ϕ) = P ∗N(D)(ϕ),
P 2
N(D∗)(ϕ) = PN(D∗)(ϕ) = P ∗N(D∗)(ϕ),
проектирующие Rn на ядро N(D) = kerD(ϕ) и коядро N(D∗) = kerD∗(ϕ) мат-
рицы D(ϕ);
PN(D∗)(ϕ) = I −D(ϕ)D+(ϕ), PN(D)(ϕ) = I −D+(ϕ)D(ϕ).
Система (9) разрешима тогда и только тогда, когда правая часть системы (9)
принадлежит ортогональному дополнению N⊥(D∗(ϕ)) = Im (D(ϕ)) к подпрост-
ранству N(D∗(ϕ)). Это означает, что
PN(D∗)(ϕ)
{ 0∫
−∞
C−(ϕ)Ω0
τ (ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
dτ+
+
∞∫
0
(I − C+(ϕ))Ω0
τ (ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
dτ
}
= 0. (10)
При этом общее решение системы (9), ограниченное на всей оси R, будет иметь вид
(6) с константой ξ = ξ(ϕ) ∈ Rn, которая определяется из уравнения (9) следующим
образом:
ξ = D+(ϕ)
{ 0∫
−∞
C−(ϕ)Ω0
τ (ϕ)f(ϕτ (ϕ))dτ+
+
∞∫
0
(
I − C+(ϕ)
)
Ω0
τ (ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
dτ
}
+ PN(D)(ϕ)c, c = c(ϕ) ∈ Rn. (11)
Подставляя (11) в (6), получаем, что при фиксированном ϕ ∈ Tm и неодно-
родности f(ϕt(ϕ)) ∈ C(Tm), удовлетворяющей условию (10), ограниченное на R
решение системы (5) имеет вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
6 А. А. БОЙЧУК
x(t, ϕ, c) =
= Ωt
0(ϕ)
C+(ϕ)PN(D)(ϕ)c +
t∫
0
C+(ϕ)Ω0
τ (ϕ)f(ϕτ (ϕ))dτ−
−
∞∫
t
(
I − C+(ϕ)
)
Ω0
τ (ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
dτ+
+C+(ϕ)D+(ϕ)
{ 0∫
−∞
C−(ϕ)Ω0
τ (ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
dτ+
+
∞∫
0
(
I − C+(ϕ)
)
Ω0
τ (ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
dτ
}
, t ≥ 0,
(
I − C−(ϕ)
)
PN(D)(ϕ)c +
t∫
−∞
C−(ϕ)Ω0
τ (ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
dτ−
−
0∫
t
(
I − C−(ϕ)
)
Ω0
τ (ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
dτ+
+
(
I − C−(ϕ)
)
D+(ϕ)
{ 0∫
−∞
C−(ϕ)Ω0
τ (ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
dτ+
+
∞∫
0
(
I − C+(ϕ)
)
Ω0
τ (ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
dτ
}
, t ≤ 0.
(12)
Поскольку PN(D∗)(ϕ)D(ϕ) = PN(D∗)(ϕ)
[
C+(ϕ)− (I − C−(ϕ))
]
= 0, то
PN(D∗)(ϕ)C+(ϕ) = PN(D∗)(ϕ)
(
I − C−(ϕ)
)
,
поэтому условие (10) эквивалентно одному из условий
PN(D∗)(ϕ)
+∞∫
−∞
C−(ϕ)Ω0
τ (ϕ)f(ϕτ (ϕ))dτ = 0,
PN(D∗)(ϕ)
∞∫
−∞
(I − C+(ϕ))Ω0
τ (ϕ)f(ϕτ (ϕ))dτ = 0.
(13)
Учитывая, что [
C+(ϕ)−
(
I − C−(ϕ)
)]
D+(ϕ) = I − PN(D∗)(ϕ),
получаем
C+(ϕ)D+(ϕ){. . .} − I{. . .} = (I − C−(ϕ))D+(ϕ){. . .},
так как имеет место условие (10), {. . .} — выражение в (10).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЕДИНСТВЕННОГО ИНВАРИАНТНОГО ТОРА . . . 7
Далее, поскольку D(ϕ)PN(D)(ϕ) =
[
C+(ϕ)− (I − C−(ϕ))
]
PN(D)(ϕ) = 0, то
C+(ϕ)PN(D)(ϕ) =
(
I − C−(ϕ)
)
PN(D)(ϕ).
Рассмотрим случай, когда однородная система (3) не имеет ограниченных на всей
оси решений, т. е. выполнено условие
C+(ϕ)PN(D)(ϕ) =
(
I − C−(ϕ)
)
PN(D)(ϕ) = 0.
Тогда (12) можно переписать в виде
x(t, ϕ) = (Gt(f))(ϕ), (14)
где оператор
(
Gt(f)
)
(ϕ) = Ωt
0(ϕ)
t∫
0
C+(ϕ)Ω0
τ (ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
dτ−
−
∞∫
t
(
I − C+(ϕ)
)
Ω0
τ (ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
dτ+
+C+(ϕ)D+(ϕ)
{ 0∫
−∞
C−(ϕ)Ω0
τ (ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
dτ+
+
∞∫
0
(
I − C+(ϕ)
)
Ω0
τ (ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
dτ
}
, t ≥ 0,
t∫
−∞
C−(ϕ)Ω0
τ (ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
dτ−
−
0∫
t
(
I − C−(ϕ)
)
Ω0
τ (ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
dτ+
+
[
C+(ϕ)D+(ϕ)− I
]{ 0∫
−∞
C−(ϕ)Ω0
τ (ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
dτ+
+
∞∫
0
(
I − C+(ϕ)
)
Ω0
τ (ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
dτ
}
, t ≤ 0,
будем называть обобщенным оператором Грина задачи об инвариантном торе сис-
темы (1).
Таким образом, при условии (13) решение, ограниченное на R, системы (5) при
фиксированном ϕ ∈ Tm имеет вид (14).
Покажем, что выражение
x(0, ϕ) = u(ϕ) =
(
G0(f)
)
(ϕ), (15)
полученное из (14) при t = 0, определяет при любом ϕ ∈ Tm инвариантный тор
системы (1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
8 А. А. БОЙЧУК
Критерий существования инвариантного тора неоднородной системы. Ра-
нее было показано, что при условии
PN(D∗)(ϕ)
+∞∫
−∞
C−(ϕ)Ω0
τ (ϕ)f(ϕτ (ϕ))dτ = 0 (16)
неоднородная система (5) имеет ограниченное на R решение вида (14) при фикси-
рованном ϕ ∈ Tm. Покажем, что условие (16) на решениях ϕt(ϕ) соответствующей
задачи Коши определяет инвариантное множество. Для этого заменим ϕ на ϕt(ϕ)
и покажем, что условие (16) имеет место для любых t ∈ R и ϕ ∈ Tm. Учитывая
соотношения (7) и (8), для матрицы D(ϕ) = C+(ϕ) −
(
I − C−(ϕ)
)
получаем ра-
венство
D
(
ϕt(ϕ)
)
= Ωt
0(ϕ)D(ϕ)Ω0
t (ϕ) ∀t ∈ R, ∀ϕ ∈ Tm. (17)
Непосредственной проверкой убеждаемся, что для любого t ∈ R и любого ϕ ∈ Tm
матрица
D−(
ϕt(ϕ)
)
=
[
Ωt
0(ϕ)D(ϕ)Ω0
t (ϕ)
]− = Ωt
0(ϕ)D−(ϕ)Ω0
t (ϕ) (18)
является обобщенно-обратной к матрице D
(
ϕt(ϕ)
)
и удовлетворяет определяющим
ее соотношениям [5]
D−(
ϕt(ϕ)
)
D
(
ϕt(ϕ)
)
D−(
ϕt(ϕ)
)
= D−(
ϕt(ϕ)
)
,
D
(
ϕt(ϕ)
)
D−(
ϕt(ϕ)
)
D
(
ϕt(ϕ)
)
= D
(
ϕt(ϕ)
)
.
(19)
Из свойств обобщенно-обратной матрицы
D
(
ϕt(ϕ)
)
D−(
ϕt(ϕ)
)
= I − PN(D)
(
ϕt(ϕ)
)
,
D−(
ϕt(ϕ)
)
D
(
ϕt(ϕ)
)
= I − PN(D∗)
(
ϕt(ϕ)
)
получаем выражения для проекторов PN(D)(ϕt(ϕ)) и PN(D∗)(ϕt(ϕ)) на ядро и ко-
ядро матрицы D(ϕ) на решениях ϕt(ϕ) соответствующей задачи Коши для любых
t ∈ R и ϕ ∈ Tm :
PN(D)
(
ϕt(ϕ)
)
= Ωt
0(ϕ)PN(D)(ϕ)Ω0
t (ϕ) = Ωt
0(ϕ)
[
I −D−(ϕ)D(ϕ)
]
Ω0
t (ϕ),
PN(D∗)
(
ϕt(ϕ)
)
= Ωt
0(ϕ)PN(D∗)(ϕ)Ω0
t (ϕ) = Ωt
0(ϕ)
[
I −D(ϕ)D−(ϕ)
]
Ω0
t (ϕ).
(20)
Замечание 1. Проекторы PN(D)(ϕ) и PN(D∗)(ϕ) при фиксированном ϕ ∈ Tm
в предыдущем пункте мы выбирали как ортопроекторы PN(D)(ϕ) = P ∗N(D)(ϕ),
однако при замене ϕ на ϕt(ϕ) эти проекторы утрачивают свойство PN(D)
(
ϕt(ϕ)
)
6=
6= P ∗N(D)
(
ϕt(ϕ)
)
ортогонального проектирования. Соответственно матрица D−(ϕ),
обобщенно-обратная к D(ϕ) в этом случае (при фиксированном ϕ ∈ Tm), была
псевдообратной по Муру – Пенроузу, однако на решениях ϕt(ϕ) для любых t ∈
∈ R и ϕ ∈ Tm она утрачивает характерное свойство
[
D
(
ϕt(ϕ)
)
D−(
ϕt(ϕ)
)]∗ =
= D
(
ϕt(ϕ)
)
D−(
ϕt(ϕ)
)
псевдообратной матрицы и является одной из обобщен-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЕДИНСТВЕННОГО ИНВАРИАНТНОГО ТОРА . . . 9
но-обратных матриц, удовлетворяющих соотношениям (19). Поскольку множест-
ву обобщенно-обратных матриц D−(ϕ) принадлежит и псевдообратная матрица
D+(ϕ), всюду ниже при фиксированном ϕ ∈ Tm в качестве обобщенно-обратной
к D(ϕ) матрицы можно использовать ее псевдообратную D−(ϕ) = D+(ϕ) и, со-
ответственно, проекторы PN(D)(ϕ) и PN(D∗)(ϕ) в этом случае будут ортопроекто-
рами.
Таким образом, на основании свойств (7), (8), (20) для любых t ∈ R и ϕ ∈ Tm
имеем
PN(D∗)
(
ϕt(ϕ)
) +∞∫
−∞
C−
(
ϕt(ϕ)
)
Ω0
τ
(
ϕt(ϕ)
)
f(ϕτ
(
ϕt(ϕ)
)
)dτ =
= Ωt
0(ϕ)PN(D∗)(ϕ)
+∞∫
−∞
C−(ϕ)Ω0
τ+t(ϕ)f(ϕτ+t(ϕ))dτ = 0.
В силу э-дихотомии системы (3) на полуосях интеграл сходится. Здесь будем
использовать ограниченность матрицы-проектора
∥∥PN(D∗)(ϕt(ϕ)
∥∥ ≤ K0 при лю-
бом ϕ ∈ Tm и неравенства
‖Ωt
0(ϕ)C+(ϕ)Ω0
τ (ϕ)‖ ≤ K1e
−α1(t−τ), t ≥ τ,
∥∥Ωt
0(ϕ)(I − C+(ϕ))Ω0
τ (ϕ)
∥∥ ≤ K1e
−α1(τ−t), τ ≥ t, ∀t, τ ∈ R+,
∥∥Ωt
0(ϕ)C−(ϕ)Ω0
τ (ϕ)
∥∥ ≤ K2e
−α2(t−τ), t ≥ τ,
∥∥Ωt
0(ϕ)(I − C−(ϕ))Ω0
τ (ϕ)
∥∥ ≤ K2e
−α2(τ−t), τ ≥ t, ∀t, τ ∈ R−,
(21)
характеризующие э-дихотомию системы (3) на полуосях R+ и R− с константа-
ми Ki ≥ 1, αi > 0, i = 1, 2. Действительно, поскольку PN(D∗)(ϕ)C−(ϕ) =
= PN(D∗)(ϕ)
(
I − C+(ϕ)
)
, из неравенств (21) имеем оценки∥∥∥∥∥∥PN(D∗)(ϕ)
+∞∫
−∞
C−(ϕ)Ω0
τ (ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
dτ
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤
∥∥PN(D∗)(ϕ)
∥∥{ 0∫
−∞
‖C−(ϕ)Ω0
τ (ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
‖dτ+
+
+∞∫
0
∥∥∥(
I − C+(ϕ)
)
Ω0
τ (ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
‖dτ
}
≤
≤ K0
(
K2
α2
+
K1
α1
) ∥∥f(ϕ)
∥∥ = K‖f(ϕ)‖.
И наконец, покажем, что выражение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
10 А. А. БОЙЧУК
u(ϕ) = (G0(f))(ϕ) (22)
определяет, при условии (16) и только при нем, инвариантный тор системы (1) при
любых ϕ ∈ Tm. Покажем, что интегралы в (22) сходятся. Действительно, так как
(
G0(f)
)
(ϕ) = C+(ϕ)D+(ϕ)
0∫
−∞
C−(ϕ)Ω0
τ (ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
dτ+
+[C+(ϕ)D+(ϕ)− I]
∞∫
0
(
I − C+(ϕ)
)
Ω0
τ (ϕ)f(ϕτ (ϕ))dτ,
учитывая неравенства (21), получаем
‖u(ϕ)‖ =
∥∥(
G0(f)
)
(ϕ)
∥∥ ≤ [
K3K2
α2
+
K4K1
α1
]
‖f‖ =
−
K ‖f‖,
∥∥C+(ϕ)D+(ϕ)
∥∥ = K3,
∥∥C+(ϕ)D+(ϕ)− I
∥∥ = K4,
(23)
и поэтому, как и в [1, с.123], из условия f(ϕ) ∈ C(Tm) следует, что u(ϕ) ∈ C(Tm).
Из свойств (7), (9), (20) следует
u
(
ϕt(ϕ)
)
= (G0(f))
(
ϕt(ϕ)
)
=
(
Gt(f)
)
(ϕ)
для любых t ∈ R и ϕ ∈ Tm. Последнее доказывает, что u
(
ϕt(ϕ)
)
∈ C1(Tm), а
множество u(ϕ) определяет инвариантный тор системы (1).
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусть система (3) э-дихотомична на полуосях R+ и R− с про-
екторами C±(ϕ), удовлетворяющими на полуосях неравенствам (21), а на реше-
ниях ϕt(ϕ) свойствам
C±
(
ϕt(ϕ)
)
= Ωt
0(ϕ)C±(ϕ)Ω0
t (ϕ), C2
±(ϕ) = C±(ϕ).
Система (1) имеет инвариантный тор тогда и только тогда, когда f(ϕ) ∈ C(Tm)
удовлетворяет условию (16). Если однородная система (3) не имеет ограниченных
на всей оси решений, т. е. выполнено условие
C+(ϕ)PN(D)(ϕ) =
(
I − C−(ϕ)
)
PN(D)(ϕ) = 0,
то выражение
u(ϕ) =
(
G0(f)
)
(ϕ)
получаемое из (14) при t = 0, определяет при любом ϕ ∈ Tm единственный инва-
риантный тор системы (1).
Замечания. 2. Если кроме условия
C+(ϕ)PN(D)(ϕ) = 0
выполнено и условие
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЕДИНСТВЕННОГО ИНВАРИАНТНОГО ТОРА . . . 11
PN(D∗)(ϕ)C−(ϕ) = 0,
то система (1) имеет единственный инвариантный тор u(ϕ) ∈ C(Tm) при любой
неоднородности f(ϕ) ∈ C(Tm). Например, этот случай имеет место при det D(ϕ) 6=
6= 0 [6].
3. Аналогичные рассуждения остаются справедливыми и в случае анализа
существования инвариантного многообразия системы (1), не обязательно торо-
идального, когда коэффициенты системы не являются периодическими по ϕ. Это
иллюстрирует приведенный ниже пример [7].
Пример. Рассмотрим задачу о существовании инвариантного многообразия
системы
ϕ̇ = 1, ẋ = th (ϕ)x + f(ϕ). (24)
Эта система имеет следующие характеристики:
Ωt
0(ϕ) =
eϕt(ϕ) + e−ϕt(ϕ)
eϕ + e−ϕ
=
ch(ϕt(ϕ))
chϕ
, ϕt(ϕ) = t + ϕ, t ∈ R,
C+(ϕ) = 0, C−(ϕ) = 1, D(ϕ) = D+(ϕ) = 0,
PN(D)(ϕ) = PN(D∗)(ϕ) = 1.
Согласно доказанной теореме необходимое и достаточное условие (16) су-
ществования инвариантного многообразия системы (24) имеет вид
+∞∫
−∞
Ω0
τ (ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
dτ = 0. (25)
Учитывая свойства (8), легко проверить, что если условие (25) выполняется
при некотором фиксированном ϕ, то оно выполняется и при любом ϕt(ϕ) = t + ϕ,
t ∈ R. Система (24) при этом будет иметь единственное инвариантное многообра-
зие вида
u(ϕ) = (G0(f))(ϕ) = −
∞∫
0
Ω0
τ (ϕ)f(ϕτ (ϕ))dτ, (26)
или, что одно и то же,
u(ϕ) =
(
G0(f)
)
(ϕ) =
0∫
−∞
Ω0
τ (ϕ)f(ϕτ (ϕ))dτ.
Убедимся, что u(ϕt
(
ϕ)
)
удовлетворяет уравнению
ẋ = th (ϕt(ϕ))x + f
(
ϕt(ϕ)
)
∀t ∈ R.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
12 А. А. БОЙЧУК
Действительно, из (26) имеем
u(ϕt(ϕ)) =
(
G0(f)
)(
ϕt(ϕ)
)
=
=
−
∞∫
0
Ω0
τ (ϕt(ϕ))f(ϕτ (ϕt(ϕ)))dτ, t ≥ 0,
0∫
−∞
Ω0
τ (ϕt(ϕ))f(ϕτ (ϕt(ϕ))dτ, t ≤ 0,
=
= Ωt
0(ϕ)
−
∞∫
t
Ω0
s(ϕ)f(ϕs(ϕ)))ds, t ≥ 0,
t∫
−∞
Ω0
s(ϕ)f(ϕs(ϕ)ds, t ≤ 0,
=
(
Gt(f)
)
(ϕ).
Далее имеем
u̇
(
ϕt(ϕ)
)
= Ω̇t
0(ϕ)
−
∞∫
t
Ω0
s(ϕ)f(ϕs(ϕ)))ds, t ≥ 0,
t∫
−∞
Ω0
s(ϕ)f(ϕs(ϕ)ds, t ≤ 0,
+
+ Ωt
0(ϕ)
−Ω0
s(ϕ)f
(
ϕs(ϕ)
) ∣∣∣ s=t
s=∞
Ω0
s(ϕ)f
(
ϕs(ϕ)
) ∣∣∣ s=t
s=−∞
= th
(
ϕt(ϕ)
)
u
(
ϕt(ϕ)
)
+ f
(
ϕt(ϕ)
)
.
Если в качестве функции f(ϕ) использовать функцию f(ϕ) = sh (ϕ)/ch2(ϕ), то
условие (25) существования будет выполнено, и поэтому система
ϕ̇ = 1, ẋ = th (ϕ)x +
sh (ϕ)
ch2(ϕ)
будет иметь единственное инвариантное многообразие
u(ϕ) =
(
G0(f)
)
(ϕ) = −
∞∫
0
ch (ϕ)
sh
(
ϕτ (ϕ)
)
ch3(ϕτ (ϕ))
dτ = − 1
eϕ + e−ϕ
,
или, что одно и то же,
u(ϕ) =
0∫
−∞
ch (ϕ)
sh
(
ϕτ (ϕ)
)
ch3
(
ϕτ (ϕ)
)dτ = − 1
eϕ + e−ϕ
.
Легко проверить, что система (24) c функцией f(ϕ), которая не удовлетворяет
критерию (25), например система
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЕДИНСТВЕННОГО ИНВАРИАНТНОГО ТОРА . . . 13
ϕ̇ = 1, ẋ = th (ϕ)x + 1,
не будет иметь инвариантного многообразия, так как не выполнено условие
+∞∫
−∞
Ω0
τ (ϕ)f
(
ϕτ (ϕ)
)
dτ = 0
теоремы, ибо
+∞∫
−∞
ch(ϕ)
ch
(
ϕτ (ϕ)
)dτ = 2 ch (ϕ)
+∞∫
−∞
dτ
eτ+ϕ + e−(τ+ϕ)
6= 0.
1. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. – M.: Наука,
1987. – 304 с.
2. Mитропольский Ю. А., Самойленко А. М., Кулик В. Л. Исследование дихотомии линейных
систем дифференциальных уравнений с помощью функций Ляпунова. – Kиев: Наук. думка,
1990. – 270 c.
3. Palmer K. J. Exponential dichotomies and transversal homoclinic points // J. Different. Equat. –
1984. – 55. – P. 225 – 256.
4. Boichuk A. A. Solutions of weakly nonlinear differential equations bounded on the whole line //
Nonlinear Oscillations. – 1999. – 2, № 1. – P. 3 – 10.
5. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and fredholm boundary value
problems. – Utrecht; Boston: VSP, 2004. – 317 p.
6. Бойчук А. А. Условие существования единственной функции Грина – Самойленко задачи об
инвариантном торе // Укр. мат. журн. – 2001. – 53, № 4. – С. 556 – 559.
7. Boichuk A. Bounded solutions of differential equations in Banach space // Colloq. Different. and
Difference Equat. dedicat. Prof. Jaroslav Kurzweil 80-th Birthday: Abstrs (Brno, Czech Republic,
Sept. 5 – 8, 2006). – P. 35.
Получено 06.10.2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-3288 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:39:42Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/03/b4bed7a40080a5d66a8e93a3171ef603.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32882020-03-18T19:50:22Z A criterion for the existence of the unique invariant torus of a linear extension of dynamical systems Критерий существования единственного инвариантного тора линейного расширения динамических систем Boichuk, О. A. Бойчук, А. А. Бойчук, А. А. Under the assumption that a linear homogeneous system defined on the direct product of a torus and the Euclidean space is exponentially dichotomous on semiaxes, we obtain a necessary and sufficient condition for the existence of the unique invariant torus of the corresponding inhomogeneous linear system. У припущенні, що лінійна однорідна система, визначена на прямому добутку тора та евклідового простору, є експоненцiально-дихотомiчною на півосях, отримано необхідну й достатню умову існування єдиного інваріантного тора відповідної неоднорідної лінійної системи. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3288 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 1 (2007); 3–13 Український математичний журнал; Том 59 № 1 (2007); 3–13 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3288/3321 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3288/3322 Copyright (c) 2007 Boichuk О. A. |
| spellingShingle | Boichuk, О. A. Бойчук, А. А. Бойчук, А. А. A criterion for the existence of the unique invariant torus of a linear extension of dynamical systems |
| title | A criterion for the existence of the unique invariant torus of a linear extension of dynamical systems |
| title_alt | Критерий существования единственного инвариантного тора линейного расширения динамических систем |
| title_full | A criterion for the existence of the unique invariant torus of a linear extension of dynamical systems |
| title_fullStr | A criterion for the existence of the unique invariant torus of a linear extension of dynamical systems |
| title_full_unstemmed | A criterion for the existence of the unique invariant torus of a linear extension of dynamical systems |
| title_short | A criterion for the existence of the unique invariant torus of a linear extension of dynamical systems |
| title_sort | criterion for the existence of the unique invariant torus of a linear extension of dynamical systems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3288 |
| work_keys_str_mv | AT boichukoa acriterionfortheexistenceoftheuniqueinvarianttorusofalinearextensionofdynamicalsystems AT bojčukaa acriterionfortheexistenceoftheuniqueinvarianttorusofalinearextensionofdynamicalsystems AT bojčukaa acriterionfortheexistenceoftheuniqueinvarianttorusofalinearextensionofdynamicalsystems AT boichukoa kriterijsuŝestvovaniâedinstvennogoinvariantnogotoralinejnogorasšireniâdinamičeskihsistem AT bojčukaa kriterijsuŝestvovaniâedinstvennogoinvariantnogotoralinejnogorasšireniâdinamičeskihsistem AT bojčukaa kriterijsuŝestvovaniâedinstvennogoinvariantnogotoralinejnogorasšireniâdinamičeskihsistem AT boichukoa criterionfortheexistenceoftheuniqueinvarianttorusofalinearextensionofdynamicalsystems AT bojčukaa criterionfortheexistenceoftheuniqueinvarianttorusofalinearextensionofdynamicalsystems AT bojčukaa criterionfortheexistenceoftheuniqueinvarianttorusofalinearextensionofdynamicalsystems |