FD-method for an eigenvalue problem with nonlinear potential
Using the functional discrete approach and Adomian polynomials, we propose a numerical algorithm for an eigenvalue problem with a potential that consists of a nonlinear autonomous part and a linear part depending on an independent variable. We prove that the rate of convergence of the algorithm is e...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3289 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509351473577984 |
|---|---|
| author | Gavrilyuk, I. P. Klymenko, A. V. Makarov, V. L. Rossokhata, N. O. Гаврилюк, І. П. Клименко, А. В. Макаров, В. Л. Россохата, Н. О. |
| author_facet | Gavrilyuk, I. P. Klymenko, A. V. Makarov, V. L. Rossokhata, N. O. Гаврилюк, І. П. Клименко, А. В. Макаров, В. Л. Россохата, Н. О. |
| author_sort | Gavrilyuk, I. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:50:22Z |
| description | Using the functional discrete approach and Adomian polynomials, we propose a numerical algorithm for an eigenvalue problem with a potential that consists of a nonlinear autonomous part and a linear part depending on an independent variable. We prove that the rate of convergence of the algorithm is exponential and improves as the order number of an eigenvalue increases. We investigate the mutual influence of the piecewise-constant approximation of the linear part of the potential and the nonlinearity on the rate of convergence of the method. Theoretical results are confirmed by numerical data. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:39:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.983.27
I. П. Гаврилюк (Професiйна академiя, Айзенах, Нiмеччина),
А. В. Клименко, В. Л. Макаров, Н. О. Россохата (Iн-т математики НАН України, Київ)
FD-МЕТОД ДЛЯ ЗАДАЧI НА ВЛАСНI ЗНАЧЕННЯ
З НЕЛIНIЙНИМ ПОТЕНЦIАЛОМ
By using the functional-discrete approach and the Adomian decomposition method, we propose a numerical
algorithm to find an approximate solution of eigenvalue problem with nonlinear potential. The potential
consists of the linear part depending on an independent variable and of the nonlinear autonomous part.
We prove that the convergence rate of the algorithm is exponential and is improved as the order number
of eigenvalue increases. We investigate the interdependency of the piecewise constant approximation of
linear part of the potential and the nonlinear part and their influence on the rate of convergence of the
method. We justify theoretical results by numerical examples.
На основании функционально-дискретного подхода с использованием полиномов Адомяна предло-
жен численный алгоритм для задачи на собственные значения с потенциалом, состоящим из линей-
ной части, которая зависит от независимой переменной, и нелинейной автономной части. Доказана
экспоненциальная скорость сходимости алгоритма, которая улучшается с ростом порядкового но-
мера собственного значения. Исследовано взаимное влияние кусочно-постоянной аппроксимации
линейной части потенциала и нелинейности на сходимость метода. Теоретические результаты
подтверждены численными расчетами.
1. Вступ. У роботах [1 – 10] запропоновано новий чисельний алгоритм (FD-
метод) для задач Штурма – Лiувiлля. В роботi [11] даний метод розвинено для
задач на власнi значення для одновимiрного рiвняння Шредiнгера з нелiнiйним
потенцiалом автономного типу, iснування i єдинiсть розв’язку яких та базиснi вла-
стивостi власних функцiй з нормалiзуючою диференцiальною умовою вивчались у
роботi [12] i цитованiй в нiй лiтературi. В [11] також показано, що як для лiнiйної,
так i для нелiнiйної задач даний метод має експоненцiальну швидкiсть збiжностi,
яка покращується з ростом порядкового номера власного значення. Для лiнiйної
задачi в роботах [1 – 3, 8] показано, що швидкiсть збiжностi також покращується
iз зростанням кiлькостi сходинок кусково-сталої апроксимацiї функцiї, що описує
потенцiал. Це дозволяло обчислювати власнi значення з меншими порядковими
номерами.
Метою даної роботи є дослiдження FD-методу для нелiнiйної задачi на власнi
значення з потенцiалом, який крiм нелiнiйної складової мiстить i лiнiйну частину
q(x), а саме, вивчення взаємного впливу обох складових на можливiсть обчислення
власних значень з меншими порядковими номерами. Як i очiкувалось, швидкiсть
збiжностi методу є експоненцiальною i покращується з ростом порядкового номера
власного значення. Однак, на вiдмiну вiд лiнiйного випадку, iз покращенням якостi
апроксимацiї лiнiйної складової потенцiалу знаменник прогресiї прямує до деякої
додатної величини, яка залежить вiд порядкового номера власного значення. Це
означає, що на вiдмiну вiд лiнiйного випадку можуть iснувати обмеження на поряд-
ковий номер, починаючи з якого можна обчислити власнi значення за допомогою
FD-методу.
Робота побудована таким чином. У п. 2 вивчається нелiнiйна задача на влас-
нi значення з диференцiальною нормалiзуючою умовою (рiвнiсть нулевi похiдної
на лiвому кiнцi). Отримано умови збiжностi методу, доведено теорему про екс-
поненцiальну швидкiсть збiжностi. Пункт 3 присвячено задачi з iнтегральною
c© I. П. ГАВРИЛЮК, А. В. КЛИМЕНКО, В. Л. МАКАРОВ, Н. О. РОССОХАТА, 2007
14 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
FD-МЕТОД ДЛЯ ЗАДАЧI НА ВЛАСНI ЗНАЧЕННЯ З НЕЛIНIЙНИМ ПОТЕНЦIАЛОМ 15
нормалiзуючою умовою (задається L2-норма власної функцiї un, ‖un‖2 = M).
Отримано умови збiжностi методу, показано експоненцiальну швидкiсть збiжностi
методу. Наведено результати чисельного експерименту. Крiм того, п. 3 мiстить
експериментальну частину з вивчення асимптотичної поведiнки власних значень
вiдносно M, в якiй асимптотика власних значень для задачi з автономним потенцi-
алом порiвнюється з теоретичними результатами роботи [13], а також вивчається
вплив на асимптотику наявностi функцiї q(x).
2. Чисельний алгоритм для задачi з диференцiальною нормалiзуючою умо-
вою. Розглянемо задачу
u′′(x) + λu(x)− q(x)u(x)−N(u(x)) = 0, x ∈ (0, 1), (1)
u(0) = u(1) = 0,
де потенцiал q належить простору L2(0, 1), q(x) ≥ 0, а нелiнiйна функцiя N : R1 →
→ R1 аналiтична вiдносно u i задовольняє умови
N(0) = 0,∣∣∣N (k)
u (u)
∣∣∣ = ∣∣∣∣dk(N(u))
duk
∣∣∣∣ ≤ N̄ (k)(|u|), x ∈ [0, 1], (2)
N̄(u) — аналiтична функцiя з невiд’ємними похiдними для u ≥ 0.
Нормалiзуючу умову запишемо у виглядi
u′(0) = 1. (3)
Згiдно з iдеологiєю FD-методу розв’язок задачi (1) – (3) зображується у виглядi
рядiв
λn =
∞∑
j=0
λ(j)
n , un(x) =
∞∑
j=0
u(j)
n (x),
а, вiдповiдно, числовий розв’язок шукатимемо у виглядi зрiзаних рядiв
λm
n =
m∑
j=0
λ(j)
n , um
n (x) =
m∑
j=0
u(j)
n (x). (4)
Початкове наближення (λ0
n, u0
n(x)) — розв’язок базової задачi на власнi значення
d2
dx2
u(0)
n (x) +
(
λ(0)
n (q̄)− q̄(x)
)
u(0)
n (x) = 0, x ∈ (0, 1),
u(0)
n (0) = u(0)
n (1) = 0,
du
(0)
n (0)
dx
= 1,
(5)
де q̄(x) — кусково-стала апроксимацiя функцiї q(x).
Поправки
(
λj+1
n , uj+1
n (x)
)
, j = 0, 1, 2, . . . ,m, знаходимo таким чином: uj+1
n (x)
— розв’язок вiдповiдної крайової задачi для неоднорiдного лiнiйного диференцi-
ального рiвняння другого порядку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
16 I. П. ГАВРИЛЮК, А. В. КЛИМЕНКО, В. Л. МАКАРОВ, Н. О. РОССОХАТА
d2
dx2
u(j+1)
n (x) + (λ0
n(q̄)− q̄(x))uj+1
n (x) = F (j+1)
n (x), x ∈ (0, 1),
u(j+1)
n (0) = u(j+1)
n (1) =
du
(j+1)
n (0)
dx
= 0,
(6)
з правою частиною
F (j+1)
n (x) = −
j∑
p=0
λ(j+1−p)
n (q̄)u(p)
n (x) +
(
q(x)− q̄(x)
)
u(j)
n (x) + A(j)
n (u(0)
n , . . . , u(j)
n ),
(7)
де полiноми Адомяна [14]
A(j)
n (u(0)
n , . . . , u(j)
n ) =
1
j!
∂jN(
∑∞
j=0 u
(j)
n (x)tj)
∂tj
∣∣∣∣∣
t=0
=
=
∑
α1+...+αj=j
N (α1)
n (u(0)
n (x))
[u(1)
n (x)]α1−α2
(α1 − α2)!
. . .
. . .
[
u
(j−1)
n (x)
]αj−1−αj
(αj−1 − αj)!
[
u
(j)
n (x)
]αj
αj !
, j > 0, (8)
A(0)
n
(
u(0)
n
)
= N
(
u(0)
n
)
.
Поправку λ
(j+1)
n (q̄) знаходимо з умови розв’язностi неоднорiдного рiвняння
з (6):
λ(j+1)
n (q̄) =
−
j∑
p=1
λ(j+1−p)
n (q̄)
1∫
0
u(p)
n (ξ)u(0)
n (ξ)dξ +
+
1∫
0
(q(ξ)− q̄(ξ))u(j)
n (ξ)u(0)
n (ξ)dξ +
+
1∫
0
A(j)
n (u(0)
n (ξ), . . . , u(j)
n (ξ))u(0)
n (ξ)dξ
/∥∥u(0)
n
∥∥2
, (9)
де ‖ · ‖ — норма у просторi L2(0, 1).
Оцiнимо похибку алгоритму (4) – (10) таким чином:
‖un − um
n ‖∞ ≤
∞∑
j=m+1
∥∥∥u(j)
n
∥∥∥
∞
,
|λn − λm
n | ≤
∞∑
j=m+1
∣∣∣λ(j)
n
∣∣∣ .
(10)
Щоб оцiнити
∥∥u(j+1)
n
∥∥
∞ i
∣∣λ(j+1)
n
∣∣ в (10), перепишемо неоднорiдну задачу (6) у
виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
FD-МЕТОД ДЛЯ ЗАДАЧI НА ВЛАСНI ЗНАЧЕННЯ З НЕЛIНIЙНИМ ПОТЕНЦIАЛОМ 17
d2
dx2
u(j+1)
n (x) + λ(0)
n (0)u(j+1)
n (x) = F̂ (j+1)
n (x) = F (j+1)
n (x)−
−
[
λ(0)
n (q̄)− λ(0)
n (0)− q̄(x)
]
u(j+1)
n (x), x ∈ (0, 1),
u(j+1)
n (0) = u(j+1)
n (1) =
du
(j+1)
n (0)
dx
= 0.
Її розв’язок можна записати у виглядi
u(j+1)
n (x) =
x∫
0
sin (πn(x− ξ))
πn
{
−
[
λ(0)
n (q̄)− λ(0)
n (0)− q̄(ξ)
]
u(j+1)
n (ξ)−
−
j∑
p=0
λ(j+1−p)
n (q̄)u(p)
n (ξ)− (q(ξ)− q̄(ξ))u(j)
n (ξ) + A(j)
n
(
u(0)
n (ξ), . . . , u(j)
n (ξ)
)}
dξ,
(11)
звiдки
∣∣u(j+1)
n (x)
∣∣ ≤ 1
πn
{∥∥∥λ(0)
n (q̄)− λ(0)
n (0)− q̄
∥∥∥
∞
x∫
0
∣∣u(j+1)
n (ξ)
∣∣dξ+
+
j∑
p=0
∣∣λ(j+1−p)
n (q̄)
∣∣∥∥u(p)
n
∥∥
∞ + ‖q − q̄‖
∥∥u(j)
n
∥∥
∞+
+
∑
α1+...+αj=j
N̄ (α1)
n
(∥∥u(0)
n
∥∥
∞
)∥∥u(1)
n
∥∥α1−α2
∞
(α1 − α2)!
. . .
∥∥u(j−1)
n
∥∥αj−1−αj
∞
(αj−1 − αj)!
∥∥u(j)
n
∥∥αj
∞
αj !
}
.
Застосовуючи лему Гронуолла до останньої нерiвностi i позначаючи
dn =
∥∥∥λ(0)
n (q̄)− λ(0)
n (0)− q̄
∥∥∥
∞
, (12)
отримуємо оцiнку
∥∥u(j+1)
n
∥∥
∞ ≤ edn/πn
πn
{
j∑
p=0
∣∣λ(j+1−p)
n (q̄)
∣∣∥∥u(p)
n
∥∥
∞ +
∥∥q − q̄
∥∥∥∥u(j)
n
∥∥
∞+
+
∑
α1+...+αj=j
N̄ (α1)
n
(∥∥u(0)
n
∥∥
∞
) ∥∥u(1)
n
∥∥α1−α2
∞
(α1 − α2)!
. . .
∥∥u(j−1)
n
∥∥αj−1−αj
∞
(αj−1 − αj)!
∥∥u(j)
n
∥∥αj
∞
αj !
}
,
(13)
де ‖·‖∞ — норма у просторi L∞(0, 1). Зауважимо, що має мiсце нерiвнiсть dn ≤
≤ 2‖q‖∞.
Щоб оцiнити
∥∥u(0)
n
∥∥
∞, запишемо розв’язок базової задачi (5) у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
18 I. П. ГАВРИЛЮК, А. В. КЛИМЕНКО, В. Л. МАКАРОВ, Н. О. РОССОХАТА
u(0)
n (x) =
sin (πnx)
πn
−
−
x∫
0
sin (πn(x− ξ))
πn
(
λ(0)
n (q̄)− λ(0)
n (0)− q̄(ξ)
)
u(0)
n (ξ)dξ,
звiдки
∣∣u(0)
n (x)
∣∣ ≤ 1
πn
+
dn
πn
x∫
0
∣∣u(0)
n (ξ)
∣∣dξ.
Застосувавши лему Гронуолла до останньої нерiвностi, прийдемо до оцiнки
∥∥u(0)
n
∥∥
∞ ≤ edn/πn
πn
,
а з формули (9) отримаємо оцiнку
∣∣λ(j+1)
n (q̄)
∣∣ ≤ ( j∑
p=1
∣∣λ(j+1−p)
n (q̄)
∣∣∥∥u(p)
n
∥∥
∞ + ‖q − q̄‖
∥∥u(j)
n
∥∥
∞+
+
∑
α1+...+αj=j
N̄ (α1)
(∥∥u(0)
n
∥∥
∞
) ∥∥u(1)
n
∥∥α1−α2
∞
(α1 − α2)!
. . .
. . .
∥∥u(j−1)
n
∥∥αj−1−αj
∞
(αj−1 − αj)!
∥∥u(j)
n
∥∥αj
∞
αj !
)/∥∥u(0)
n
∥∥. (14)
Ввiвши числовi послiдовностi
uj+1 =
∥∥u(j+1)
n
∥∥
∞∥∥u(0)
n
∥∥
(
πne−dn/πn
‖q − q̄‖
)j+1
,
µj+1 =
∣∣λ(j+1)
n
∣∣∥∥q − q̄
∥∥
(
πne−dn/πn
‖q − q̄‖
)j
(15)
i їх числовi мажоранти
uj+1 ≤ ūj+1, ū0 =
edn/πn
πn
∥∥∥u(0)
n
∥∥∥ , µj+1 ≤ µ̄j+1,
з (13) i (14) одержимo систему мажоруючих рiвнянь
ūj+1 =
j∑
p=0
µ̄j+1−pūp + ūj +
1
‖q − q̄‖
Āj
(
N̄ , ū1, . . . , ūj
)
,
µ̄j+1 =
j∑
p=1
µ̄j+1−pūp + uj +
1
‖q − q̄‖
Āj
(
N̄ , ū1, . . . , ūj
)
= ūj+1 − µ̄j+1ū0,
звiдки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
FD-МЕТОД ДЛЯ ЗАДАЧI НА ВЛАСНI ЗНАЧЕННЯ З НЕЛIНIЙНИМ ПОТЕНЦIАЛОМ 19
ūj+1 =
j∑
p=1
ūj+1−pūp + (1 + ū0)ūj +
1 + u0
‖q − q̄‖
Āj
(
N̄ , ū1, . . . , ūj
)
. (16)
Ввiвши твiрну функцiю
f (z) =
∞∑
j=0
zj ūj (17)
i позначивши f̄ (z) = f (z)− u0, з (16) отримаємо рiвняння для f̄(z) :[
f̄ (z)
]2 − f̄ (z) + z
1 + ū0
‖q − q̄‖
(
‖q − q̄‖
(
f̄ + ū0
)
+ N̄
(
f̄ + ū0
))
= 0.
Виразимо з цього рiвняння z як функцiю вiд f̄ :
z(f̄) =
‖q − q̄‖
1 + ū0
f̄(1− f̄)
(f̄ + ū0)‖q − q̄‖+ N̄(ū0 + f̄)
.
Оскiльки z повинно бути невiд’ємним, то f̄ змiнюється на [0, 1]. Неважко переко-
натись, що на цьому вiдрiзку функцiя z(f̄) має один максимум
zmax = R = z(f̄max), (18)
де f̄max є кoренем рiвняння z′(f̄max) = 0.
Таким чином, ряд (17) збiгається для всiх z ∈ [0, R], тобтo iснує додатна твiрна
функцiя f(z), i
Rj ūj ≤
C
j1+ε
,
де ε i C — додатнi сталi.
Повернувшись до позначень (15), отримаємо
∥∥u(j+1)
n
∥∥
∞ ≤ C
(j + 1)1+ε
(
‖q − q̄‖ edn/πn
πnR
)j+1
,
∣∣λ(j+1)
n
∣∣ ≤ C ‖q − q̄‖
R(j + 1)1+ε
(
‖q − q̄‖ edn/πn
πnR
)j
.
Звiдси випливає, що за умови
rn =
‖q − q̄‖
πnR
edn/πn < 1 (19)
ряди (4) збiгаються, i з (10) отримуємо оцiнку
∥∥un − um
n
∥∥
∞ ≤
∞∑
j=m+1
∥∥∥u(j)
n
∥∥∥
∞
≤ C
(m + 1)1+ε
(
‖q − q̄‖ edn/πn
πnR
)n+1
,
∣∣λn − λm
n
∣∣ ≤ ∞∑
j=m+1
∣∣∣λ(j)
n
∣∣∣ ≤ C ‖q − q̄‖
R(m + 1)1+ε
(
‖q − q̄‖ edn/πn
πnR
)n
.
(20)
Сформулюємо отриманий результат у виглядi теореми про збiжнiсть FD-методу.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
20 I. П. ГАВРИЛЮК, А. В. КЛИМЕНКО, В. Л. МАКАРОВ, Н. О. РОССОХАТА
Теорема 1. Нехай виконується умова (2), а власне значення базової задачi
(5) з порядковим номером n задовольняє умову (19), де dn задається формулою
(12), а R — формулою (18). Тодi наближений розв’язок задачi (1) – (3) з порядковим
номером n, знайдений згiдно з чисельним алгоритмом (4) – (9), збiгається до вiдпо-
вiдного точного розв’язку задачi (1) – (3) експоненцiально. При цьому виконуються
оцiнки (20).
Зауваження 1. З формул (19), (18) випливає
rn =
edn/πn
πn
(1 + ū0)
[
(f̄max + ū0) ‖q − q̄‖+ N̄(f̄max + ū0)
)
f̄max(1− f̄max)
. (21)
Враховуючи формулу (12), приходимо до висновку, що швидкiсть збiжностi FD-
методу покращується з ростом порядкового номера n власного значення, а також
при зменшеннi похибки наближення функцiї q(x) її кусково-сталою апроксима-
цiєю, тобто при ‖q − q̄‖ → 0. Але слiд зауважити, що найменше значення rn при
фiксованому n може бути досягнуто у границi, коли ‖q − q̄‖ → 0, i воно буде
визначатись формулою
r(0)
n =
edn/πn
πn
(1 + ū0)N̄(f̄ (0)
max + ū0)
f̄
(0)
max(1− f̄
(0)
max)
,
де f̄
(0)
max — корiнь рiвняння
d
df̄
[
f̄(1− f̄)
N̄(ū0 + f̄)
]
= 0
на вiдрiзку [0, 1]. Якщо r
(0)
n ≥ 1, то нiяким покращенням якостi наближення q(x) за
допомогою q̄(x) досягти виконання теоретичних умов збiжностi не вдається. Хоча
практична збiжнiсть при цьому може мати мiсце.
3. Iнтегральна нормалiзуюча умова. Розглянемо задачу (1), (2) з iнтеграль-
ною нормалiзуючою умовою
1∫
0
u2(x)dx = M (22)
замiсть умови (3). Наближений розв’язок задачi (1), (2), (22) шукатимемо у виглядi
зрiзаних рядiв (4). Базова лiнiйна задача для початкового наближення має вигляд
d2
dx2
u(0)
n (x) + (λ(0)
n (q̄)− q̄(x))u(0)
n (x) = 0, x ∈ (0, 1), (23)
u(0)
n (0) = u(0)
n (1) = 0,
∥∥∥u(0)
n
∥∥∥ =
√
M.
Вiдповiдно, поправки власних функцiй u
(j+1)
n (x) є розв’язками задачi Дiрiхле для
неоднорiдного лiнiйного диференцiального рiвняння
d2
dx2
u(j+1)
n (x) + (λ(0)
n (q̄)− q̄(x))u(j+1)
n (x) = F (j+1)
n (x), x ∈ (0, 1), (24)
u(j+1)
n (0) = u(j+1)
n (1) = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
FD-МЕТОД ДЛЯ ЗАДАЧI НА ВЛАСНI ЗНАЧЕННЯ З НЕЛIНIЙНИМ ПОТЕНЦIАЛОМ 21
з додатковою умовою
1∫
0
u(0)
n (x)u(j+1)
n (x)dx = − 1
2
1∫
0
j∑
p=1
u(p)
n (x)u(j+1−p)
n (x)dx. (25)
Права частина F
(j+1)
n (x) обчислюється згiдно з формулами (7), (8).
Поправка власного значення λ
(j+1)
n знаходиться за формулою
λ(j+1)
n =
{
−
j∑
p=1
λ(j+1−p)
n
1∫
0
u(p)
n (ξ)u(0)
n (ξ)dξ +
1∫
0
(q(ξ)− q̄(ξ))u(j)
n (ξ)u(0)
n (ξ)dξ+
+A(j)
n
(
u(0)
n (ξ), . . . , u(j)
n (ξ)
)
u(0)
n (ξ)dξ
}/
M. (26)
Похибку алгоритму (23) – (26), (7), (8) запишемо у виглядi (10). Щоб оцiнити
величини
∥∥u(j+1)
n
∥∥
∞ в (10), запишемо розв’язок задачi (24) у виглядi
u(j+1)
n (x) = B(j+1)
n u(0)
n (x) + û(j+1)
n (x), (27)
де
û(j+1)
n (x) =
x∫
0
sin (πn(x− ξ))
πn
{
−
[
λ(0)
n (q̄)− λ(0)
n (0)− q̄(ξ)
]
u(j+1)
n (ξ)−
−
j∑
p=0
λ(j+1−p)
n u(p)
n (ξ)−
(
q(ξ)− q̄(ξ)
)
u(j)
n (ξ) + A(j)
n (u(0)
n (ξ), . . . , u(j)
n (ξ))
}
dξ. (28)
З умови (25) отримаємо
MB(j+1)
n = −
1∫
0
u(0)
n (x)û(j+1)
n (x)dx− 1
2
1∫
0
j∑
p=1
u(p)
n (x)u(j+1−p)
n (x)dx. (29)
Введемо позначення
Ln =
j∑
p=0
|λ(j+1−p)
n |
∥∥u(p)
n
∥∥
∞ + ‖q − q‖
∥∥u(j)
n
∥∥
∞ +
∥∥A(j)
n
∥∥
∞, (30)
врахувавши яке, з (28) будемо мати∣∣∣∣û(j+1)
n (x)
∣∣∣∣ ≤ dn
πn
∫ x
0
|u(j+1)
n (ξ)|dξ +
1
πn
Ln, (31)
що, у свою чергу, приведе до нерiвностi
∣∣B(j+1)
n
∣∣ ≤ ‖u(0)
n ‖∞
M
1∫
0
|û(j+1)
n (ξ)|dξ + Mn, (32)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
22 I. П. ГАВРИЛЮК, А. В. КЛИМЕНКО, В. Л. МАКАРОВ, Н. О. РОССОХАТА
де
Mn =
1
2M
j∑
p=1
‖u(p)
n ‖∞‖u(j+1−p)
n ‖∞. (33)
З (32) з урахуванням (31) одержуємо
∣∣B(j+1)
n
∣∣ ≤ ‖u(0)
n ‖∞
M
dn
πn
1∫
0
∣∣u(j+1)
n (ξ)
∣∣dξ +
1
πn
Ln
+ Mn. (34)
Нерiвностi (31), (34) дають змогу з (27) отримати оцiнку
∣∣u(j+1)
n (x)
∣∣ ≤ (
‖u(0)
n ‖∞
)2
M
dn
πn
1∫
0
∣∣u(j+1)
n (ξ)
∣∣dξ +
1
πn
Ln
+
+
∥∥u(0)
n
∥∥
∞Mn +
dn
πn
x∫
0
∣∣u(j+1)
n (ξ)
∣∣dξ + Ln. (35)
Нехай виконується умова
χn = 1− dn
πn
[
(‖u(0)
n ‖∞)2
M
+ 1
]
> 0, (36)
тодi пiсля iнтегрування обох частин (35) приходимо до оцiнки
1∫
0
∣∣u(j+1)
n (x)
∣∣dx ≤ α1
πn
Ln + β1Mn, (37)
де
α1 = χ−1
n
[
1 +
(‖u(0)
n ‖∞)2
M
]
, β1 = χ−1
n
∥∥u(0)
n
∥∥
∞.
Використовуючи лему Гронуолла, з урахуванням (37) з (35) одержуємо∣∣u(j+1)
n (x)
∣∣ ≤ α2
πn
Ln + β2Mn
i ∥∥u(j+1)
n
∥∥
∞ ≤ α2
πn
Ln + β2Mn, (38)
де
α2 = exp
(
dn
πn
){
1 +
(‖u(0)
n ‖∞)2
M
[
1 +
dnα1
πn
]}
,
β2 = exp
(
dn
πn
)
‖u(0)
n ‖∞
{
1 +
‖u(0)
n ‖∞
M
dnβ1
πn
}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
FD-МЕТОД ДЛЯ ЗАДАЧI НА ВЛАСНI ЗНАЧЕННЯ З НЕЛIНIЙНИМ ПОТЕНЦIАЛОМ 23
Далi, з (26) отримуємо оцiнку
∣∣λ(j+1)
n
∣∣ ≤ 1√
M
[
j∑
p=0
|λ(j+1−p)
n |
∥∥u(p)
n
∥∥
∞ + ‖q − q‖
∥∥u(j)
n
∥∥
∞ +
∥∥A(j)
n
∥∥
∞
]
. (39)
Таким чином, маємо рекурентну систему нерiвностей (38), (39). Перейдемо вiд
неї до мажоруючої системи рiвнянь
Uj+1 =
α2
πn
[
j∑
p=0
Λj+1−pUp + ‖q − q‖Uj +
∥∥A(j)
n
∥∥
∞
]
+
β2
2M
j∑
p=1
UpUj+1−p,
(40)
Λj+1 =
1
M
[
j∑
p=0
Λj+1−pUp + ‖q − q‖Uj +
∥∥A(j)
n
∥∥
∞ − Λj+1Uo
]
, j = 0, 1, . . . ,
причому ∥∥u(j)
n
∥∥
∞ ≤ Uj , U0 =
∥∥u(0)
n
∥∥
∞,
∣∣∣λ(j)
n
∣∣∣ ≤ Λj . (41)
Виконаємо замiну(
πn
‖q − q‖
)j
Uj = Ûj ,
1
πn
(
πn
‖q − q‖
)j
Λj = Λ̂j , (42)
тодi система (40) перетвориться до вигляду
Ûj+1 = α2
[
j∑
p=0
Λ̂j+1−pÛp + Ûj +
∥∥A(j)
n
∥∥
∞
‖q − q‖
]
+
β2
2M
j∑
p=1
ÛpÛj+1−p,
Λ̂j+1 =
1√
M + U0
[
j∑
p=0
Λ̂j+1−pÛp + Ûj +
∥∥A(j)
n
∥∥
∞
‖q − q‖
]
, j = 0, 1, . . . ,
(43)
Û0 = U0 =
∥∥u(0)
n
∥∥
∞.
Будемо розв’язувати систему (43) методом твiрних функцiй. Нехай
f(z) =
∞∑
j=0
zjÛj , g(z) =
∞∑
j=0
zjΛ̂j+1,
тодi з (43) знаходимо
f(z)− U0 = α2z
[
g(z)f(z) + f(z) +
N(f(z))
‖q − q‖
]
+
β2
2M
[
f(z)− U0
]2
,
g(z) =
1√
M + U0
[
g(z)f(z) + f(z) +
N(f(z))
‖q − q‖
]
.
Звiдси одержуємо рiвняння
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
24 I. П. ГАВРИЛЮК, А. В. КЛИМЕНКО, В. Л. МАКАРОВ, Н. О. РОССОХАТА
z = z(f) =
f
(
1− β2
2M
f
)(√
M − f
)
α2
(√
M + U0
) [
f + U0 +
N
(
f + U0
)
‖q − q‖
] , (44)
де використано позначення
f = f(z)− U0.
Оскiльки функцiя z = z(f) є неперервною, додатною на промiжку
l =
(
0,min
(
2M
β2
,
√
M
))
i дорiвнює нулю на його кiнцях, то вона у деякiй точцi f = fmax ∈ l досягає свого
максимального значення
zmax = R = z
(
fmax
)
, (45)
що є коренем рiвняння
z′
(
f
)
= 0.
При цьому zmax = R є радiусом збiжностi ряду f(z).
Таким чином,
RjÛj <
C
j1+ε
, RjΛ̂j <
C
j1+ε
,
де C i ε — додатнi сталi, що з урахуванням (41), (42) дає змогу одержати оцiнки
∥∥u(j+1)
n
∥∥
∞ ≤ C
(j + 1)1+ε
[
‖q − q̄‖
πnR
]j+1
,
∣∣λ(j+1)
n
∣∣ ≤ C ‖q − q̄‖
(j + 1)1+ε
[
‖q − q̄‖
πnR
]j
.
Звiдси випливає, що за умов (36) i
rn =
‖q − q̄‖
πnR
< 1 (46)
ряди (4) збiгаються i мають мiсце оцiнки
‖un − um
n ‖∞ ≤
∞∑
j=m+1
∥∥∥u(j)
n
∥∥∥
∞
≤ C
(m + 1)1+ε
[
‖q − q̄‖
πnR
]m+1
,
|λn − λm
n | ≤
∞∑
j=m+1
∣∣∣λ(j)
n
∣∣∣ ≤ C ‖q − q̄‖
R(m + 1)1+ε
[
‖q − q̄‖
πnR
]m
.
(47)
Таким чином, отримали наступний результат про збiжнiсть.
Теорема 2. Нехай виконуються умови (2), (36) i (46). Тодi наближений
розв’язок задачi (1), (2), (22), знайдений за допомогою чисельного алгоритму (23) –
(26), збiгається до вiдповiдного точного розв’язку задачi (1), (2), (22) експоненцi-
ально. Мають мiсце оцiнки (47).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
FD-МЕТОД ДЛЯ ЗАДАЧI НА ВЛАСНI ЗНАЧЕННЯ З НЕЛIНIЙНИМ ПОТЕНЦIАЛОМ 25
Зауваження 2. Як випливає з формул (44) – (46), для знаменника прогресiї
справедлива формула
rn =
1
πn
α2
(√
M + U0
) (f̄max + U0)‖q − q̄‖+ N̄(f̄max + U0)
f̄max
(
1− β2
2M
f̄max
)(√
M − f̄max
) . (48)
З (48) випливає, що iз зростанням порядкового номера n власного значення, а
також при ‖q− q̄‖ → 0 швидкiсть збiжностi FD-методу покращується. Але тут теж
слiд зауважити, що найменше значення rn при фiксованому n може бути досягнуто
у границi, коли ‖q − q̄‖ → 0, i воно буде визначатись за формулою
r(0)
n =
α2
(√
M + U0
)
πn
N̄(f̄ (0)
max + U0)
f̄
(0)
max
(
1− β2
2M
f̄ (0)
max
)
(
√
M − f̄
(0)
max)
,
де f̄
(0)
max — корiнь рiвняння
d
df̄
f̄
(
1− β2
2M
f̄
)
(
√
M − f̄)
N̄(Ū0 + f̄)
= 0
на вiдрiзку [0, 1]. Якщо r
(0)
n ≥ 1, то при як завгодно малiй величинi ‖q − q̄‖ за
допомогою q̄(x) досягти виконання теоретичних умов збiжностi не вдається. Хоча
практична збiжнiсть при цьому може мати мiсце.
Приклад. Розглянемо задачу (1), (22) з q(x) = x, M = 4:
u′′(x) + λu(x)− xu(x)− u3(x) = 0,
u(0) = u(1) = 0, ‖u‖ = 2.
(49)
Використавши FD-метод, обчислимо перше власне значення. Розв’язком базової
задачi (23), тобто нульовим наближенням, буде
(0)
λ1 = λ
(0)
1 = π2,
(0)
u1(x) ≡ u
(0)
1 (x) = 2
√
(2) sinπx.
Наступнi наближення знаходитимемо згiдно з формулами (24) – (26). Отриманий
таким чином числовий розв’язок порiвнюватимемо з наближеним розв’язком за-
дачi (49), отриманим методом стрiльби з точнiстю 10(−30) за допомогою системи
Maple 9.5. Для контролю точностi алгоритму аналiзуватимемо похибку наближення
власного значення
41(m) =
∣∣∣∣λex
1 −
m
λ1
∣∣∣∣ ,
де λex
1 — розв’язок задачi (49), отриманий методом стрiльби, i похибку норми
m
r1 =
∣∣∣∥∥m
u1
∥∥2 −M
∣∣∣ .
Результати розрахункiв наведено в табл. 1 (λex
1 ≈ 16,2308252384637974).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
26 I. П. ГАВРИЛЮК, А. В. КЛИМЕНКО, В. Л. МАКАРОВ, Н. О. РОССОХАТА
Таблиця 1
m λ1(m) 41(m)
m
r1
0 9,8696044010893586 6,361221 0
1 16,3696044010893586 1,387792·10−1 2,71457·10−3
2 16,2165253641638118 1,429987·10−2 4,16309·10−4
3 16,2322324339464589 1,407195·10−3 4,86584·10−5
4 16,2307054001940506 1,198383·10−4 4,82064·10−6
5 16,2308352716744303 1,003321·10−5 4,17809·10−7
6 16,2308265205578399 1,282094·10−6 3,28418·10−8
6
–2,5
–7,5
4
–12,5
m
d(m)
–0
–5,0
5
–10,0
321
Залежнiсть логарифму похибки вiд рангу наближення m для першого власного значення
δ(m) = ln
(∣∣∣
m
λ1 − λex
1
∣∣∣
)
.
Логарифм похибки ∆1(m) зображено на рисунку. Як видно з рисунка, данi
наближаються до прямої, що пiдтверджує експоненцiальну швидкiсть збiжностi
алгоритму.
Проаналiзуємо залежностi власних значень вiд величини M. Результати розра-
хункiв для задачi на власнi значення з нелiнiйним потенцiалом автономного ти-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
FD-МЕТОД ДЛЯ ЗАДАЧI НА ВЛАСНI ЗНАЧЕННЯ З НЕЛIНIЙНИМ ПОТЕНЦIАЛОМ 27
Таблиця 2
M m
m
λnlin
3 (M)
m
λavt
3 (M) λasym
3 (M) δm(M)
1 5 90,8256 90,3254 121,8530 0,5002
10 6 104,2240 103,7238 96,9823 0,5002
20 6 118,9271 118,4268 111,0240 0,5003
30 6 133,4511 132,9508 126,4190 0,5003
50 6 162,0157 161,5157 156,8000 0,5000
70 7 190,0123 189,5120 186,1210 0,5003
100 8 231,1097 230,6090 228,4900 0,5007
150 8 297,7082 297,2069 296,1580 0,5013
200 8 362,6909 362,1888 361,4000 0,5021
пу [9] показали хорошу узгодженiсть з асимптотичною формулою, отриманою в
роботi [10]. Щоб вивчити вплив лiнiйної складової потенцiалу, числовi власнi
значення, отриманi згiдно з розвиненим у данiй роботi пiдходом, також порiвнюва-
лись з асимптотичною формулою роботи [10]. У табл. 2 для n = 3 наведено власнi
значення задачi з нелiнiйним неавтономним потенцiалом
m
λnlin
3 (M), з автономним
потенцiалом
m
λavt
3 (M) та асимптотичнi власнi значення згiдно з [13].
Як видно з табл. 2, для q(x) = x рiзниця мiж власними значеннями задачi з
потенцiалом, що мiстить лiнiйну i нелiнiйну складовi,
m
λnlin
n , i власними значеннями
задачi з автономним потенцiалом,
m
λavt
n ,
δm(M) =
∣∣∣∣ m
λnlin
3 (M)−
m
λavt
3 (M)
∣∣∣∣
залишається майже сталою величиною для всiх M.
1. Makarov V. L. About functional-discrete method of arbitrary order of accuracy for solving Sturm –
Liouville problem with piecewise smooth coefficients // Soviet DAN SSSR. – 1991. – 320, № 1. –
P. 34 – 39.
2. Makarov V. L. FD-method: the exponential rate of convergence // J. Math. Sci. – 1997. – 104, № 6.
– P. 1648 – 1653.
3. Makarov V. L., Ukhanev O. L. FD-method for Sturm – Liouville problems. Exponential rate of
convergence // Appl. Math. and Inform. – 1997. – 2. – P. 1 – 19.
4. Bandyrskii B. I., Makarov V. L., Ukhanev O. L. Sufficient conditions for the convergence of non-
classical asymptotic expansions for Sturm – Liouville problems with periodic conditions // Different.
Equat. – 1999. – 35, № 3. – P. 369 – 381.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
28 I. П. ГАВРИЛЮК, А. В. КЛИМЕНКО, В. Л. МАКАРОВ, Н. О. РОССОХАТА
5. Bandyrskii B. I., Makarov V. L. Sufficient conditions for eigenvalues of the operator with Ionkin-
Samarskii conditions to be real-valued // Comput. Math. and Math. Phys. – 2000. – 40, № 12. –
P. 1715 – 1728.
6. Bandyrskii B. I., Lazurchak I. I., Makarov V. L. A functional-discrete method for solving Sturm –
Liouville problems with an eigenvalue parameter in the boundary conditions // Ibid. – 2002. – 42,
№ 5. – P. 646 – 659.
7. Bandyrskii B.I., Gavrilyuk I. P., Lazurchak I. I., Makarov V. L. Functional-discrete method (FD-
method) for matrix Sturm – Liouville problems // Comput. Meth. Appl. Math. – 2005. – 5, № 4. –
P. 1 – 25.
8. Bandyrskii B. I., Makarov V. L., Rossokhata N. O. Functional-discrete method with a high order of
accuracy for the eigenvalue transmission problems // Ibid. – 2004. – 4, № 3. – P. 324 – 349.
9. Bandyrskii B. I., Makarov V. L., Rossokhata N. O. Functional-discrete method for an eigenvalue
transmission problem with periodic boundary conditions // Comput. Meth. Appl. Math. – 2005. – 5,
№ 2. – P. 201 – 220.
10. Макаров В. Л., Россохата Н. О. Оцiнки швидкостi збiжностi FD-методу для задачi Штурма –
Лiувiлля з потенцiалом з простору L1 // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2005. – 1,
№ 3. – С. 1 – 16.
11. Gavrilyuk I. P., Klimenko A. V., Makarov V. L., Rossokhata N. O. Exponentially convergent parallel
algorithm for nonlinear eigenvalue problems // IMA J. Numer. Anal. – 2007.
12. Zhidkov P. E. Basis properties of eigenfunctions of nonlinear Sturm – Liouville problems // El. J.
Different. Eqaut. – 2000. – № 28. – P. 1 – 13.
13. Shibata T. Precise spectral asymptotics for nonlinear Sturm – Liouville problems // J. Different.
Equat. – 2005. – 180, № 3. – P. 1 – 16.
14. Abbaoui K., Pujol M. J., Cherruault Y., Himoun N., Grimalat P. A new formulation of Adomian
method. Convergence result // Kybernetes. – 2001. – 30, № 39/10. – P. 1183 – 1191.
Одержано 06.10.2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-3289 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:39:43Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ca/75eff6bacc3c72ea4014e3fb36f72bca.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32892020-03-18T19:50:22Z FD-method for an eigenvalue problem with nonlinear potential FD-метод для задачі на власні значення з нелінійним потенціалом Gavrilyuk, I. P. Klymenko, A. V. Makarov, V. L. Rossokhata, N. O. Гаврилюк, І. П. Клименко, А. В. Макаров, В. Л. Россохата, Н. О. Using the functional discrete approach and Adomian polynomials, we propose a numerical algorithm for an eigenvalue problem with a potential that consists of a nonlinear autonomous part and a linear part depending on an independent variable. We prove that the rate of convergence of the algorithm is exponential and improves as the order number of an eigenvalue increases. We investigate the mutual influence of the piecewise-constant approximation of the linear part of the potential and the nonlinearity on the rate of convergence of the method. Theoretical results are confirmed by numerical data. На основании функционально-дискретного подхода с использованием полиномов Адомяна предложен численный алгоритм для задачи на собственные значения с потенциалом, состоящим из линейной части, которая зависит от независимой переменной, и нелинейной автономной части. Доказана экспоненциальная скорость сходимости алгоритма, которая улучшается с ростом порядкового номера собственного значения. Исследовано взаимное влияние кусочно-постоянной аппроксимации линейной части потенциала и нелинейности на сходимость метода. Теоретические результаты подтверждены численными расчетами. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3289 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 1 (2007); 14–28 Український математичний журнал; Том 59 № 1 (2007); 14–28 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3289/3323 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3289/3324 Copyright (c) 2007 Gavrilyuk I. P.; Klymenko A. V.; Makarov V. L.; Rossokhata N. O. |
| spellingShingle | Gavrilyuk, I. P. Klymenko, A. V. Makarov, V. L. Rossokhata, N. O. Гаврилюк, І. П. Клименко, А. В. Макаров, В. Л. Россохата, Н. О. FD-method for an eigenvalue problem with nonlinear potential |
| title | FD-method for an eigenvalue problem with nonlinear potential |
| title_alt | FD-метод для задачі на власні значення з нелінійним потенціалом |
| title_full | FD-method for an eigenvalue problem with nonlinear potential |
| title_fullStr | FD-method for an eigenvalue problem with nonlinear potential |
| title_full_unstemmed | FD-method for an eigenvalue problem with nonlinear potential |
| title_short | FD-method for an eigenvalue problem with nonlinear potential |
| title_sort | fd-method for an eigenvalue problem with nonlinear potential |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3289 |
| work_keys_str_mv | AT gavrilyukip fdmethodforaneigenvalueproblemwithnonlinearpotential AT klymenkoav fdmethodforaneigenvalueproblemwithnonlinearpotential AT makarovvl fdmethodforaneigenvalueproblemwithnonlinearpotential AT rossokhatano fdmethodforaneigenvalueproblemwithnonlinearpotential AT gavrilûkíp fdmethodforaneigenvalueproblemwithnonlinearpotential AT klimenkoav fdmethodforaneigenvalueproblemwithnonlinearpotential AT makarovvl fdmethodforaneigenvalueproblemwithnonlinearpotential AT rossohatano fdmethodforaneigenvalueproblemwithnonlinearpotential AT gavrilyukip fdmetoddlâzadačínavlasníznačennâznelíníjnimpotencíalom AT klymenkoav fdmetoddlâzadačínavlasníznačennâznelíníjnimpotencíalom AT makarovvl fdmetoddlâzadačínavlasníznačennâznelíníjnimpotencíalom AT rossokhatano fdmetoddlâzadačínavlasníznačennâznelíníjnimpotencíalom AT gavrilûkíp fdmetoddlâzadačínavlasníznačennâznelíníjnimpotencíalom AT klimenkoav fdmetoddlâzadačínavlasníznačennâznelíníjnimpotencíalom AT makarovvl fdmetoddlâzadačínavlasníznačennâznelíníjnimpotencíalom AT rossohatano fdmetoddlâzadačínavlasníznačennâznelíníjnimpotencíalom |