Invariant tori of locally Hamiltonian systems close to conditionally integrable systems
We study the problem of perturbations of quasiperiodic motions in the class of locally Hamiltonian systems. By using methods of the KAM-theory, we prove a theorem on the existence of invariant tori of locally Hamiltonian systems close to conditionally integrable systems. On the basis of this theorem...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3292 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509356937707520 |
|---|---|
| author | Loveikin, Yu. V. Parasyuk, I. O. Ловейкін, Ю. В. Парасюк, І. О. |
| author_facet | Loveikin, Yu. V. Parasyuk, I. O. Ловейкін, Ю. В. Парасюк, І. О. |
| author_sort | Loveikin, Yu. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:50:22Z |
| description | We study the problem of perturbations of quasiperiodic motions in the class of locally Hamiltonian systems. By using methods of the KAM-theory, we prove a theorem on the existence of invariant tori of locally Hamiltonian systems close to conditionally integrable systems. On the basis of this theorem, we investigate the bifurcation of a Cantor set of invariant tori in the case where a Liouville-integrable system is perturbed by a locally Hamiltonian vector field and, simultaneously, the symplectic structure of the phase space is deformed. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:39:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
Ю. В. Ловейкiн, I. О. Парасюк (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
IНВАРIАНТНI ТОРИ ЛОКАЛЬНО ГАМIЛЬТОНОВИХ
СИСТЕМ, БЛИЗЬКИХ ДО УМОВНО IНТЕГРОВНИХ
The problem of perturbations of quasiperiodic motions in the class of locally Hamiltonian systems is
analyzed. The theorem on existence of invariant torus of locally Hamiltonian systems close to conditionally
integrable systems is proved with the use of methods of KAM-theory. On the basis of this theorem, the
bifurcation of the Cantor set of invariant torus is investigated for the case where the Liouville-integrable
system is perturbed by a locally Hamiltonian vector field and, at the same time, the symplectic structure
of the phase space is deformed.
Проведен анализ проблемы возмущений квазипериодических движений в классе локально гамиль-
тоновых систем. Методами КАМ-теории доказана теорема о существовании инвариантных торов
локально гамильтоновых систем, близких к условно интегрируемым. С помощью этой теоремы ис-
следована бифуркация канторового множества инвариантных торов в случае, когда интегрируемая
по Лиувиллю система возмущается локально гамильтоновым векторным полем и одновременно
испытывает деформацию симплектическая структура фазового пространства.
1. Вступ. Дана робота продовжує дослiдження, розпочатi в [1, 2]. Основною
нашою метою є доведення КАМ-теореми про збурення локально гамiльтонових
систем, близьких до умовно iнтегровних. Умовна iнтегровнiсть системи означає,
що її iнварiантнi тори, якi несуть на собi квазiперiодичнi рухи, розшаровують не
вiдкриту область фазового простору, а лише деякий пiдмноговид. Ми маємо також
намiр показати, як за допомогою зазначеної теореми можна узагальнити результа-
ти [1, 2] про бiфуркацiю канторової множини iнварiантних торiв у випадку, коли на
iнтегровну за Лiувiллем систему дiють локально гамiльтоновi збурення i водночас
зазнає деформацiї симплектична структура фазового простору. Основними технiч-
ними засобами нашого аналiзу є метод прискореної збiжностi та метод штучних
параметрiв. Ефективнiсть поєднання цих методiв при дослiдженнi задач з мали-
ми знаменниками переконливо продемонстровано в монографiї М. М. Боголюбова,
Ю. О. Митропольського та А. М. Самойленка [3], а також у роботi Ю. Мозера [4].
Ми використовуємо симплектичний варiант першого iз названих методiв та моди-
фiкацiю методу штучних параметрiв, запропоновану М. Севрюком та М. Ерманом
(див. [5]).
Основний результат п. 2, сформульований у пп. , узагальнює результати ро-
бiт [1, 6] i охоплює невироджений та вироджений випадки КАМ-теорiї локально
гамiльтонових систем.
У п. 3 розглянуто задачу про бiфуркацiю канторової множини iнварiантних
торiв. Як i в [1, 2], дослiджено випадок, коли векторне поле iнтегровної системи
збурюється локально гамiльтоновим векторним полем i водночас деформується
симплектична структура. Однак у порiвняннi з результатами зазначених робiт
суттєво послаблено умову елiптичностi квазiстацiонарних точок дослiджуваних
систем. Основний результат цього пункту сформульовано в пп. 3.1.
2. КАМ-теорема для iнварiантних торiв локально гамiльтонових систем.
2.1. Постановка задачi та основна теорема методу штучних параметрiв.
На 2m-вимiрному симплектичному многовидi (M2m, ω2) з симплектичною струк-
турою ω2 розглядаємо локально гамiльтонове векторне поле =ω, де ω — замкнена
c©Ю. В. ЛОВЕЙКIН, I. О. ПАРАСЮК, 2007
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1 71
72 Ю. В. ЛОВЕЙКIН, I. О. ПАРАСЮК
1-форма, а = : T ∗M2m → TM2m — iндуковане симплектичною структурою га-
мiльтонове вiдображення розшарувань, яке задовольняє рiвнiсть ı=ωω
2 = −ω (ı —
операцiя внутрiшнього добутку векторного поля i диференцiальної форми). Далi
замiсть 1-форми ω будемо розглядати вiдповiдний, взагалi кажучи, багатозначний
гамiльтонiан H. Припустимо, що ця система в певному сенсi близька до умовно
iнтегровної локально гамiльтонової системи, причому iнварiантнi тори останньої
є пiдмноговидами, дифеоморфними стандартному тору Tr:=Rr/2πZr, i в око-
лi кожного iнварiантного тора iснують координати (y, z, ϕ), де y = (y1, . . . , ys),
z = (z1, . . . , zk̂), ϕ = (ϕ1, . . . , ϕr)| mod 2π, s+ r + k̂ = 2m, в яких:
a) кожен iнварiантний тор визначається рiвняннями y = const, z = 0;
б) для дужки Пуассона {•, •}, iндукованої симплектичною структурою ω2, ви-
конуються рiвностi {y, y} = 0, {z, z} = I, {ϕ, y} = σ, {ϕ,ϕ} = χ;
в) гамiльтонiан H набирає вигляду
H = λ0 · y +
1
2
Πz2 + h(y, z, ϕ) + (ζ0 + ζ1) · ϕ. (1)
Тут σ, I та χ — сталi (не залежнi вiд y, z, ϕ) матрицi розмiру r × s, k̂ × k̂, r × r
вiдповiдно, λ0 ∈ Rs, ζ0, ζ1 ∈ Rr — сталi вектори, Πz2 — квадратична щодо z
форма зi сталою невиродженою матрицею Π, h — функцiя, перiодична з перiодом
2π по кожнiй змiннiй ϕj , j = 1, . . . , r, символ · позначає операцiю стандартного
скалярного добутку в координатному векторному просторi. Доданки h(y, z, ϕ) +
+ ζ1 · ϕ трактуються як збурення гамiльтонiана λ0 · y +
1
2
Πz2 + ζ0 · ϕ.
Зауважимо, що необхiдною умовою iнварiантностi торiв y = const, z = 0
локально гамiльтонової системи з гамiльтонiаном вигляду f(y) + g(z)z2 + ζ · ϕ є
умова ортогональностi
σTζ = 0, (2)
де символ T позначає операцiю транспонування. Справдi, рiвняння руху системи
з указаним гамiльтонiаном мають вигляд
ẏ = {y, f(y) + g(z)z2 + ζ·ϕ} = −σTζ,
ż = {z, f(y) + g(z)z2 + ζ·ϕ} = I(g(z)z2)′,
ϕ̇ = {ϕ, f(y) + g(z)z2 + ζ·ϕ} = σf ′(y) + χξ.
Таким чином, гамiльтонiан λ0 · y +
1
2
Πz2 + ζ0 · ϕ за умови σTζ0 = 0 породжує
умовно iнтегровну локально гамiльтонову систему
ẏ = 0, ż = IΠz, ϕ̇ = σλ0 + χζ0.
Оскiльки iнварiантнi тори iнтегровної системи утворюють s-параметричну
сiм’ю, то λ0, χ, Π та h в загальному випадку додатково залежать вiд „внутрiшнiх”
параметрiв — сталих iнтегрування. Вектори ζ0, ζ1 вiд цих параметрiв не зале-
жать, однак вони, а також λ0, σ, Π та h можуть залежати вiд деяких „зовнiшнiх”
параметрiв. Позначимо через ϑ набiр всiх параметрiв системи.
Наша мета полягає в тому, щоб обґрунтувати такий результат: якщо вектор ζ1
також задовольняє умову ортогональностi типу (2), а функцiя h та її похiднi по y та
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
IНВАРIАНТНI ТОРИ ЛОКАЛЬНО ГАМIЛЬТОНОВИХ СИСТЕМ ... 73
z при y = 0, z = 0 є досить малими, то iснує канторова пiдмножина параметрiв, на
якiй справджується твердження: поблизу тора y = 0, z = 0 iснує r-вимiрний iнва-
рiантний тор локально гамiльтонової системи, породженої гамiльтонiаном (1). При
додаткових умовах невиродженої залежностi дослiджуваної системи вiд параметрiв
вiдносна мiра зазначеної пiдмножини параметрiв прямує до 1, коли збурення пря-
мує до нуля. Також будемо розглядати питання диференцiйовностi (в сенсi Вiтнi)
множини торiв збуреної системи.
Згiдно з основною iдеєю методу штучних параметрiв спочатку будемо розгля-
дати гамiльтонiан бiльш загального вигляду
H̃ = (λ+ µ∆) · y +
1
2
Πz2 + h(y, z, ϕ, ν) + ζ · ϕ,
який залежить вiд параметрiв ν = (ν1, . . . , νn), n ≥ s + r, якi розбито на групи
λ = (ν1, . . . , νs), ζ = (νs+1, . . . , νs+r), ϑ = (νs+r+1, . . . , νn). Множник µ ∈ (0; 1]
дозволяє водночас розглядати невироджений (µ = 1) i вироджений (µ� 1) випад-
ки, а параметр ∆ = (∆1, . . . ,∆s) потрiбно визначити так, щоб вiн не залежав вiд
(y, z, ϕ), гладко залежав вiд параметрiв ν i система з гамiльтонiаном H̃ на певнiй
пiдмножинi параметрiв ν мала iнварiантний тор, близький до тора y = 0, z = 0.
Для будь-якої множини A ⊂ Cn i числа δ > 0 покладемо A+ δ :=
⋃
ν∈A
{
ν′ ∈
∈ Cn : |ν′ − ν| < δ
}
. Через Cp та AR позначимо вiдповiдно класи p (0 ≤ p ≤ ∞)
разiв неперервно диференцiйовних та дiйсно-аналiтичних вiдображень.
Позначимо власнi числа матрицi IΠ через $j , причому $j 6= 0, j = 1, . . . , k̂.
Сформулюємо основний результат.
Теорема 1. Для додатних чисел C, ρ, γ, τ, a ∈ (1; 3/2), b ∈ (1/2; 1), a+b < 2,
iснують числа ε∗ > 0 та κ ∈ (0; 1) такi, що для кожного µ ∈ (0; 1] i кожного
ε ∈ (0; ε∗) справджується твердження: якщо функцiя h є дiйсно-аналiтичною в
областi
Ω :=
{
x̄ = (y, z, ϕ, ν) ∈ Cs+k̂+r+n : |y| < ρ, |z| < ρ, | Imϕ| < ρ, ν ∈ V + r0
}
,
де V ∈ Rn — обмежена область, r0 := µ| ln ε|−τ−1, i задовольняє в нiй нерiвностi
max
{
|h|y=0
z=0
, |h′y|y=0
z=0
, |h′z|y=0
z=0
}
≤ µ2ε, max
{
|h′′yy|y=0
z=0
, |h′′yz|y=0
z=0
}
≤ µC,
max
{
|h|, |h′x̄|, |h|′′x̄x̄
}
≤ C,
то iснують вiдображення
F (ϕ, ν) ∈ C∞(Tr × Rn → Rs), G(ϕ, ν) ∈ C∞(Tr × Rn → Rk̂),
∆(ν) ∈ C∞(Rn → Rs)
з такими властивостями:
1) для кожного ν ∈ V такого, що
σTζ = 0,
∣∣m·(σλ+ χζ)
∣∣ ≥ µγ|m|−τ ,
∣∣im·(σλ+ χζ)−$j
∣∣ ≥ µγ|m|−τ
∀m ∈ Zr \ {0}, j = 1, . . . , k̂,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
74 Ю. В. ЛОВЕЙКIН, I. О. ПАРАСЮК
локально гамiльтонова система з гамiльтонiаном H̃ = (λ+ µ∆(ν)) · y +
1
2
Πz2 +
+ h(y, z, ϕ, ν) + ζ · ϕ має iнварiантний тор, заданий у фазовому просторi змiнних
(y, z, ϕ) рiвняннями y = F (ϕ, ν), z = G(ϕ, ν), причому вiдображення F (•, ν) : Tr →
→ Rs, G(•, ν) : Tr → Rk̂ є дiйсно-аналiтичними i потiк на цьому торi квазiперiо-
дичний з вектором базисних частот σλ+ χζ;
2) для кожного p = 0, 1, 2, . . . знайдеться стала c(p,κ), яка залежить лише
вiд p та κ, така, що виконується нерiвнiсть
max {|F |p, |G|p, |∆|p} ≤ c(p,κ)µ1−p| ln ε|p(τ+1) sup
j≥0
εbaj
κpj
,
де | • |p — Cp-норма у вiдповiднiй областi.
Зауваження 1. За умови достатньої мализни ε∗ для p, якi задовольняють
нерiвнiсть 0 ≤ p ≤ b ln a
ln ε∗
ln κ
, маємо sup
j≥0
εbaj
κpj
= εb при ε ∈ (0; ε∗).
Для застосування цiєї теореми до системи з гамiльтонiаном H вигляду (1), в
якiй λ0 = λ0(ϑ), Π = Π(ϑ), h = h(y, z, ϕ, ϑ), ζj = ζj(ϑ), j = 0; 1, потрiбно iз
спiввiдношення
λ+ µ∆(λ, ζ0(ϑ) + ζ1(ϑ), ϑ) = λ0(ϑ)
виразити λ = λ(ϑ). За природних припущень це можна зробити при всiх досить
малих ε > 0, при цьому разом з λ0(ϑ) та ζj(ϑ), j = 0; 1, гладкою буде i функцiя
λ(ϑ), i вона буде мало вiдрiзнятись вiд λ0(ϑ). Отже, пiдмножина параметрiв ϑ, на
якiй система з гамiльтонiаном (1) має iнварiантний тор, визначатиметься умовами
ν(ϑ) :=
(
λ(ϑ), ζ0(ϑ) + ζ1(ϑ), ϑ
)
∈ V, σT(ζ0(ϑ) + ζ1(ϑ)) = 0,∣∣m · (σλ(ϑ) + χ(ζ0(ϑ) + ζ1(ϑ)))
∣∣ ≥ µγ|m|−τ ,∣∣im · (σλ(ϑ) + χ(ζ0(ϑ) + ζ1(ϑ)))−$j(ϑ)
∣∣ ≥ µγ|m|−τ
∀ m ∈ Zr \ {0}, j = 1, . . . , k̂.
Для оцiнки вiдносної мiри цiєї канторової пiдмножини у просторi параметрiв
ϑ слiд застосовувати результати теорiї дiофантових наближень на пiдмноговидах
евклiдового простору (див., наприклад, [5]).
2.2. Iндуктивна лема. В цьому пунктi сформульовано i доведено лему, яка
є основою для доведення теореми 1. Вона мiстить опис одного кроку швидко
збiжного iтерацiйного процесу послiдовних симплектичних перетворень локально
гамiльтонових систем.
Виберемо числа α ∈ (0; 1/2), β ∈ (0; 1) так, щоб виконувались нерiвностi
a < 1 + α < 2− b, 0 < β < 1− 2α, введемо послiдовностi чисел
δk =
ρ
12 · 2k+1
, ρ0 = ρ, ρk+1 = ρk − 6δk, ε0 = ε, εk+1 = εa
k = εak+1
0 ,
C0 = C, Ck+1 = Ck + εβ
k , Nk+1 =
4ak
3δk
| ln ε|, k = 0, 1, 2, . . . ,
i послiдовностi множин
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
IНВАРIАНТНI ТОРИ ЛОКАЛЬНО ГАМIЛЬТОНОВИХ СИСТЕМ ... 75
Lk(γ, r0) =
⋃
0<|m|≤Nk+1
{
ν ∈ V + r0 :
∣∣m · (σλ+ χζ)
∣∣ ≥ µγ|m|−τ ,
∣∣im · (σλ+ χζ)−$j
∣∣ ≥ µγ|m|−τ
}
, m ∈ Zr, j = 1, . . . , k̂,
Dk =
{
x̄ := (y, z, ϕ, θ) ∈ Cs+k̂+r+s : |y| < ρk, |z| < ρk, | Imϕ| < ρk, |θ| < εα
k
}
,
Ek = {θ ∈ Cs : |θ| < εα
k} , k = 0, 1, 2, . . . .
Лема 1. Iснує ε∗ > 0 таке, що для всiх µ ∈ (0; 1], ε ∈ (0; ε∗) i k = 0, 1, 2, . . .
справджується твердження: якщоHk = (λ+µθ)·y+
1
2
Πz2+hk(y, z, ϕ, θ, ν)+ζ ·ϕ
на множинi Dk × Lk(γ/2, r0) задовольняє умови
hk ∈ AR(Dk × Lk(γ/2, r0) → C), (3)
max
{
|hk|y=0
z=0
, |hk
′
y|y=0
z=0
, |hk
′
z|y=0
z=0
}
≤ µ2εk,
max
{∣∣hk
′′
yy
∣∣
y=0
z=0
,
∣∣hk
′′
yz
∣∣
y=0
z=0
}
≤ µCk,
(4)
max {|hk|, |hk
′
x̄|, |hk
′′
x̄x̄|} ≤ Ck, (5)
то iснують вiдображення
Xk ∈ AR(Dk+1 × Lk+1(γ/2, r0) → Cs+k̂+r),
Θk ∈ AR(Ek+1 × Lk+1(γ/2, r0) → Cs)
з такими властивостями:
1) у вiдповiдних областях визначення виконуються нерiвностi
|Xk| ≤ µεb
k, |Xk
′
x̄| ≤ µεβ
k , |Θk| ≤ µεb
k, |Θk
′
θ| ≤ µεβ
k ; (6)
2) при фiксованих θ ∈ ReEk+1, ν ∈ ReLk+1(γ/2, r0) вiдображення{
(y, z) ∈ Rs+k̂ : |y| < ρk+1, ‖z| < ρk+1
}
× Rr 3 (y, z, ϕ) =:
=: x 7→ x+Xk := (y + Yk, z + Zk, ϕ+ Φk)
є симплектоморфiзмом;
3) якщо у гамiльтонiанi Hk виконати замiну змiнних i параметрiв
x̄ 7→ x̄+ X̄k := (x+Xk, θ + Θk)
i перетворений гамiльтонiан подати у виглядi
Hk+1 = (λ+ µθ) · y +
1
2
Πz2 + hk+1(y, z, ϕ, θ, ν) + ζ · ϕ,
то функцiя hk+1 задовольнятиме на множинi Dk+1 × Lk+1(γ/2, r0) умови вигля-
ду (3) – (5), в яких iндекс k замiнено на k + 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
76 Ю. В. ЛОВЕЙКIН, I. О. ПАРАСЮК
Доведення. Мiркування значною мiрою аналогiчнi таким у роботi [1].
Визначимо функцiї
uk(ϕ, θ, ν) ∈ AR(Cr × Ek × LK(γ/2, r0) → C),
vk(ϕ, θ, ν) ∈ AR(Cr × Ek × LK(γ/2, r0) → Cs),
wk(ϕ, θ, ν) ∈ AR(Cr × Ek × LK(γ/2, r0) → Ck̂)
як розв’язки гомологiчних рiвнянь[
(σλ+ χζ) · ∂
∂ϕ
]
uk = (PNk+1 − P0)
[
hk|y=0
z=0
]
,
[
(σλ+ χζ) · ∂
∂ϕ
]
vk = (PNk+1 − P0)
[
hk
′
y|y=0
z=0
+ hk
′′
yy|y=0
z=0
{y, uk}
]
, (7)
[
(σλ+ χζ) · ∂
∂ϕ
− IΠ
]
wk = (PNk+1 − P0)
[
hk
′
z|y=0
z=0
+ hk
′′
yz|y=0
z=0
{y, uk}
]
,
де P0(•) := (2π)−r
∫
Tr
• dϕ, PN (•) :=
∑
0≤|m|≤N
eim·ϕP(• e−im·ϕ), m ∈ Zr.
Функцiя Sk = uk + vk·y + wk·z породжує гамiльтонове векторне поле ξk =
= {x, Sk}. Скориставшись оцiнками, якi використовуються в КАМ-теорiї, неважко
показати, що
|uk| ≤
2r+3Γ(r + 1)µεk
γδr
k
≤ A1
µεk
δr
k
при (x̄, ν) ∈ Dk × Lk+1(γ/2, r0) i | Imϕ| < ρk − δk,∣∣uk
′
ϕ
∣∣ ≤ A1
µεk
δr+1
k
при (x̄, ν) ∈ Dk × Lk+1(γ/2, r0) i | Imϕ| < ρk − 2δk,
|vk| ≤ A2
µεk
δ2r+1
k
при (x̄, ν) ∈ Dk × Lk+1(γ/2, r0) i | Imϕ| < ρk − 3δk,
∣∣vk
′
ϕ
∣∣ ≤ A2
µεk
δ2r+2
k
при (x̄, ν) ∈ Dk × Lk+1(γ/2, r0) i | Imϕ| < ρk − 4δk,
|wk| ≤ A3
µεk
δ2r+1
k
при (x̄, ν) ∈ Dk × Lk+1(γ/2, r0) i | Imϕ| < ρk − 3δk,
∣∣wk
′
ϕ
∣∣ ≤ A3
µεk
δ2r+2
k
при (x̄, ν) ∈ Dk × Lk+1(γ/2, r0) i | Imϕ| < ρk − 4δk.
Тут i далi в доведеннi Aj , j ≥ 1, — сталi, що не залежать вiд µ, ε i k, Γ(r + 1) —
гамма-функцiя.
Тодi, враховуючи, що ξk є полiномом першого степеня щодо y, маємо (у подаль-
ших оцiнках доведення вважаємо, що x̄ ∈ Dk, ν ∈ Lk+1(γ/2, r0))
|ξk| ≤ A3
µεk
δ2r+2
k
при | Imϕ| < ρk − 4δk,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
IНВАРIАНТНI ТОРИ ЛОКАЛЬНО ГАМIЛЬТОНОВИХ СИСТЕМ ... 77
|ξk′x| ≤ A3
µεk
δ2r+3
k
при |y| < ρk − δk, |z| < ρk − δk, | Imϕ| < ρk − 5δk.
Позначимо через X t
k фазовий потiк (локальний), породжений векторним полем
ξk, i покладемо X̂k = X 1
k − x. Тодi
|X̂k| ≤ A4
µεk
δ2r+2
k
, | Imϕ| < ρk − 4δk,
|X̂k
′
x̄| ≤ A4
µεk
δ2r+2
k
, |y| < ρk − δk, |z| < ρk − δk,
| Imϕ| < ρk − 5δk, |θ| < εaα
k = εα
k+1,
|X̂k − ξk| ≤ A5
µ2ε2k
δ4r+5
k
, |y| < ρk − δk, |z| < ρk − δk, | Imϕ| < ρk − 5δk,
∣∣(X̂k − ξk)′y
∣∣ ≤ A5
µ2ε2k
δ4r+6
k
, |y| < ρk − 2δk, |z| < ρk − δk, | Imϕ| < ρk − 5δk.
Покладемо
ωk = −Π−1P0
[
hk
′
z|y=0
z=0
+ hk
′′
yz|y=0
z=0
{y, uk}
]
,
Θk = − 1
µ
P0
[
hk
′
y|y=0
z=0
+ hk
′′
yy|y=0
z=0
{y, uk}
]
.
Тодi виконуються нерiвностi
|ωk| ≤ A6
µ2εk
δr+1
k
, | Imϕ| < ρk − 2δk, |θ| < εα
k ,
|ωk
′
θ| ≤ A6
µ2ε1−α
k
δr+1
k
, | Imϕ| < ρk − 2δk, |θ| < εα
k+1,
|Θk| ≤ A7
µεk
δr+1
k
, | Imϕ| < ρk − 2δk, |θ| < εα
k ,
|Θk
′
θ| ≤ A7
µε1−α
k
δr+1
k
, | Imϕ| < ρk − 2δk, |θ| < εα
k+1.
Тепер покладемо Xk := (Yk, Zk + ωk,Φk), де (Yk, Zk,Φk) = X̂k. Легко бачити,
що вiдображення Xk та Θk задовольняють нерiвностi (6). При цьому очевидно,
що виконується умова (3), в якiй iндекс k замiнено на k + 1.
Подамо hk+1 у виглядi
hk+1(x̄, λ, ν) = hk(x̄, λ, ν) +
1∫
0
X̄k · hk
′
x̄(x̄+tX̄k, λ, ν) dt−
−P0
[
hk|y=0
z=0
]
+ ζ·
(
Φk−{ϕ, Sk}
)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
78 Ю. В. ЛОВЕЙКIН, I. О. ПАРАСЮК
|y| < ρk − δk, |z| < ρk − δk, | Imϕ| < ρk − 5δk, |θ| < εα
k .
Тодi можна стверджувати, що
|hk+1 − hk| ≤ A8
µεk
δ2r+2
k
, |(hk+1 − hk)′x̄| ≤ A8
µε1−α
k
δ2r+3
k
,
∣∣(hk+1 − hk)′′x̄x̄
∣∣ ≤ 2A8
µε1−2α
k
δ2r+4
k
,
|y| < ρk − 2δk, |z| < ρk − 2δk, | Imϕ| < ρk − 6δk, |θ| < εα
k+1.
(8)
Покладаючи Ck+1 = Ck + εβ
k , бачимо, що оцiнки (5), в яких iндекс k замiнено на
k + 1, виконуються.
Взявши до уваги, що ξk =
(
{y, Sk}, {z, Sk}, {ϕ, Sk}
)
, а uk, vk, wk є розв’язками
гомологiчних рiвнянь (7), а також позначивши ĥk := hk
′
y|y=0
z=0
+ hk
′′
yy|y=0
z=0
{y, uk},
h̃k := hk
′
z|y=0
z=0
+ hk
′′
yz|y=0
z=0
{y, uk}, подамо hk+1 у виглядi
hk+1 = λ · (Yk−{y, Sk}) + µθ · Yk +
1
2
Π(Z2
k + ω2
k) + (Id−PNk+1)
[
hk|y=0
z=0
]
+
+ hk
′
x|y=0
z=0
·Xk + (Id−PNk+1)[ĥk] · y + P0h̃k · ωk + (Id−PNk+1)[h̃k] · (z + ωk) +
+ ζ · (Φk − {ϕ, Sk}) + µΘk · Yk + hk
′
θ|y=0
z=0
·Θk +O(X̄2
k) +O(y2 + z2).
Далi, знову застосувавши оцiнки КАМ-теорiї, дiстанемо нерiвностi
|hk+1|y=0
z=0
≤ µ2εk+1, |hk+1
′
y|y=0
z=0
≤ µ2εk+1, |hk+1
′
z|y=0
z=0
≤ µ2εk+1,
|y| < ρk − 2δk, |z| < ρk − 2δk, | Imϕ| < ρk − 6δk, |θ| < εα
k+1.
Застосувавши оцiнки Кошi до першої нерiвностi в (8), одержимо∣∣(hk+1 − hk)′′yy
∣∣ ≤ 2A8
µεk
δ2r+3
k
,
∣∣(hk+1 − hk)′′yz
∣∣ ≤ 2A8
µεk
δ2r+3
k
,
|y| < ρk − 3δk, |z| < ρk − 3δk, | Imϕ| < ρk − 6δk, |θ| < εα
k+1.
З цих нерiвностей випливає
∣∣hk+1
′′
yy
∣∣
y=0
z=0
≤ µCk+1,
∣∣hk+1
′′
yz
∣∣
y=0
z=0
≤ µCk+1. Таким
чином, умова (4), в якiй iндекс k замiнено на k + 1, виконується.
Отже, лему доведено.
2.3. Доведення основної теореми. Доведення теореми полягає в побудовi
близького до тотожного (при малих ε) симплектичного перетворення x 7→ x +
+ Ξ(x, ν), яке на вiдповiднiй множинi параметрiв ν зводить гамiльтонiан H до
вигляду H∗ = λ · y +
1
2
Πz2 + h∗(y, z, ϕ, ν) + ζ · ϕ, де функцiя h∗ задовольняє
рiвностi h∗|y=0
z=0
= 0, h∗′y|y=0
z=0
= 0, h∗′z|y=0
z=0
= 0.
Оскiльки рiвняння руху системи з локально гамiльтоновим векторним полем,
породженим (багатозначним) гамiльтонiаном H∗, в нових координатах (y, z, ϕ) ма-
ють вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
IНВАРIАНТНI ТОРИ ЛОКАЛЬНО ГАМIЛЬТОНОВИХ СИСТЕМ ... 79
ẏ = −σTh∗
′
ϕ, ż = I(Πz + h∗
′
z), ϕ̇ = σ(λ+ h∗
′
y) + χ(ζ + h∗
′
ϕ),
то множина y = 0, z = 0 є її iнварiантним тором, i потiк на цьому торi задається
системою ϕ̇ = σλ+ χζ.
Перетворення x 7→ x+Ξ(x, ν) можна побудувати методом прискореної збiжнос-
тi як границю послiдовностi симплектичних перетворень, кожне з яких є пере-
творенням Лi зсуву за одиницю часу вздовж траєкторiй гамiльтонової системи зi
спецiальним чином вибраним гамiльтонiаном.
Визначимо двi послiдовностi вiдображень
Ξk : Dk × Lk(γ/2, r0) → Cs+k̂+r, ∆k : Ek × Lk(γ/2, r0) → Cs (9)
рекурентними спiввiдношеннями
Ξ0 = x, Ξk+1 = Ξk(x+Xk, θ + Θk, ν),
∆0 = θ, ∆k+1 = ∆k(θ + Θk, ν), k = 0, 1, 2, . . . ,
де Xk, Θk — послiдовностi вiдображень, а Dk, Ek, Lk(γ/2, r0) — послiдовностi
множин, визначенi в лемi 1, якщо попередньо покласти h0 = h.
Неважко переконатися, що вiдображення Ξk i ∆k задовольняють нерiвностi
|Ξk+1 − Ξk| ≤ 2µεb
k, |∆k+1 −∆k| ≤ 2µεb
k
∀ (x, θ, ν) ∈ Dk+1 × Lk+1(γ/2, r0).
З цих нерiвностей випливає рiвномiрна збiжнiсть послiдовностi {Ξk, k ≥ 0} до
Ξ(∞) на множинi D(∞) × L(∞)(γ, 0) i послiдовностi {∆k, k ≥ 0} до ∆(∞) на мно-
жинi {θ = 0}×L(∞)(γ, 0). При цьому для фiксованого ν ∈ L(∞)(γ, 0) вiдображення
Ξ(∞) є дiйсно-аналiтичним щодо (y, z, ϕ) в областi
{
(y, z, ϕ) ∈ Cs+k̂+r : |y| <
< ρ/2, |z| < ρ/2, | Imϕ| < ρ/2
}
.
Перевiримо гладкiсть у сенсi Вiтнi граничних вiдображень Ξ(∞) та ∆(∞). Легко
бачити, що для досить малого κ ∈ (0; 1), p = 0, 1, 2, . . . , k = 0, 1, 2, . . . , досить
малого ε∗ > 0 та всiх ε ∈ (0; ε∗), µ ∈ (0; 1] виконується нерiвнiсть
2µεb
k ≤Mrp
k,
де rk = µ| ln ε|−τ−1κk, M = 2µ1−p| ln ε|p(τ+1) sup
j≥0
εbaj
κpj
. До того ж для кожного
k = 0, 1, 2, . . . множина
{
(y, z, ϕ) ∈ Cs+k̂+r : |y| < ρ/2, |z| < ρ/2, | Imϕ | <
< ρ/2
}
× L(∞)(γ, 0) мiститься у множинi
{
(y, z, ϕ) ∈ Cs+k̂+r : |y| < ρk, |z| <
< ρk, | Imϕ | < ρk
}
× Lk(γ/2, r0) разом зi своїм rk-околом.
Отже, можна стверджувати [5, 7], що вiдображення Ξ(∞) та ∆(∞) є гладки-
ми в сенсi Вiтнi вiдповiдно на множинах
{
(y, z, ϕ) ∈ Cs+k̂+r : |y| < ρ/2, |z| <
< ρ/2, | Imϕ| < ρ/2
}
× L(∞)(γ, 0) та L(∞)(γ, 0) (оскiльки E(∞) = {0}, то вва-
жаємо, що Ξ(∞) та ∆(∞) не залежать вiд θ). Цi вiдображення можна продовжити
до гладких, визначених в Rs+k̂+r+n та Rn вiдповiдно, причому iснує стала c, яка
залежить лише вiд p та κ, така, що виконується нерiвнiсть
max
{
|Ξ(∞)|p , |∆(∞)|p
}
≤ cM.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
80 Ю. В. ЛОВЕЙКIН, I. О. ПАРАСЮК
Вiдображення ∆ покладаємо рiвним ∆(∞). Для того щоб побудувати вiдобра-
ження F та G, якi описують iнварiантний тор збуреної системи у початкових
координатах (y, z, ϕ), позначимо через yk(ϕ, ν), zk(ϕ, ν) та ϕ+φk(ϕ, ν) вiдповiдно
y-, z- та ϕ-компоненти для Ξ(∞)|y=0
z=0
. При фiксованому ν ∈ Lk(γ, r0) вiдображен-
ня ϕ 7→ ϕ + φk визначає аналiтичний дифеоморфiзм смуги | Imϕ| < ρk в смугу
| Imϕ| < ρk+1. Позначивши через ϕ+ ψk(φ, ν) обернений дифеоморфiзм, дiстане-
мо послiдовностi дiйсно-аналiтичних вiдображень Fk(ϕ, ν) = yk(ϕ + ψk(ϕ, ν), ν)
та Gk(ϕ, ν) = zk(ϕ+ψk(ϕ, ν), ν), k = 0, 1, 2, . . . . Їх збiжнiсть, гладкiсть граничних
вiдображень F(∞)(ϕ, ν) =: F (ϕ, ν), G(∞)(ϕ, ν) = G(ϕ, ν) у сенсi Вiтнi, а також
оцiнки для |F |p , |G|p встановлюються на основi мiркувань, аналогiчних наведеним
вище.
Таким чином, теорему доведено.
3. Бiфуркацiя iнварiантних торiв при локально гамiльтонових збуреннях
iнтегровних систем у загальному випадку. Покажемо, що коли цiлком iнтег-
ровну систему збурювати локально гамiльтоновим векторним полем та водночас
деформувати симплектичну структуру, то в фазовому просторi можуть виникати
iнварiантнi тори розмiрностi бiльшої, нiж кiлькiсть ступенiв вiльностi системи, i
якi несуть на собi квазiперiодичнi рухи.
На 2n-вимiрному симплектичному многовидi (M2n, ω2
0) з симплектичною струк-
турою ω2
0 розглядаємо iнтегровну в сенсi Лiувiлля систему з гамiльтонiаном H0 :
M2n → R. Нехай ця система зазнає збурення вигляду
dH0 7→ dH0 + µω1, ω2
0 7→ ω2
0 + µω2
1 ,
де µ — малий параметр, а 1-форма ω1 i 2-форма ω2
1 є замкненими, але не точними.
Нехай {Fi : M2n → R, i = 1, . . . , n} — повний iнволютивний набiр перших iн-
тегралiв незбуреної системи. Розглянемо вiдображення F = (F1, . . . , Fn) : M2n →
→ Rn i припустимо, що c ∈ F (M2n) — таке некритичне значення, для якого F−1(c)
мiстить зв’язну компоненту Mc. Тодi Mc є лагранжевим пiдмноговидом, дифео-
морфним n-вимiрному тору Tn [8]. Крiм того, в Rn iснує однозв’язна область
G ∈ F (M2n) значень c з указаною властивiстю, а на множинi N =
⋃
c∈GMc
визначено симплектичну дiю тора Tn, яка задається абелевою групою симплекто-
морфiзмiв {Φq : N → N , q ∈ Tn} i орбiтами якої є многовиди Mc ⊂ N .
Припустимо, що функцiя H0 та 2-форма ω2
1 задовольняють аналоги умов з [9].
Як i в [9], обчислимо усереднену форму ω̄2
1 = (2π)−n
∫
Tn
(Φq)∗ω2
1 dq, для кожного
a ∈ Rn визначимо векторне полеXa(x) =
d
dt
∣∣∣∣
t=0
Φat(x) i введемо кососиметричну
бiлiнiйну форму (коцикл) C(a, b) = ω̄2
1(Xa, Xb), a, b ∈ Rn.
Будемо окремо розглядати два випадки:
Припущення 1. Бiлiнiйна форма C вироджена: k0 := dim ker C > 0.
Припущення 2. Бiлiнiйна форма C невироджена, тобто ker C = {0}.
Далi замiсть 1-форми ωµ будемо розглядати багатозначний гамiльтонiан Hµ.
Спираючись на теорему Дарбу – Вейнстейна, введемо в N координати прямого
добутку (p, q| mod 2π), p = (p1, . . . , pn), q = (q1, . . . , qn), типу „дiя-кут”, в яких
гамiльтонiан збуреної системи i матриця дужок Пуассона вiдповiдно набирають
вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
IНВАРIАНТНI ТОРИ ЛОКАЛЬНО ГАМIЛЬТОНОВИХ СИСТЕМ ... 81
Hµ = H0(p) + µ(H1(p, q) + β·q),
{p, p} = µC, {q, p} = En,
(10)
де β — сталий вектор, µ ∈ (−µ0;µ0) — малий параметр, µ0 ∈ (0; 1), En — одинична
матриця розмiру n× n, C — кососиметрична матриця форми C в координатах q, а
саме C(a, b) = Ca·b.При цьомуH0(p)+µH1(p, q) та µβ·q є вiдповiдно однозначною
та багатозначною складовими гамiльтонiана Hµ.
Припущення 3. Для деяких додатних чисел R0, ρ0 функцiї H0 та H1 є
дiйсно-аналiтичними в областях {p ∈ Cn : |p| < R0} i {(p, q) ∈ C2n : |p| <
< R0, | Im q| < ρ0} вiдповiдно.
Зменшивши в разi потреби R0, ρ0, з огляду на нерiвностi Кошi без обмеження
загальностi мiркувань можна вважати, що в зазначених областях функцiї H0 та H1
обмеженi разом з усiма своїми частинними похiдними довiльного порядку.
Назвемо точку p∗ квазiстацiонарною, якщо виконується рiвнiсть
CH0
′(p∗) = β.
Легко бачити, що рiвняння p = p∗, де p∗ — квазiстацiонарна точка, визначає iн-
варiантний тор локально гамiльтонової системи з багатозначним гамiльтонiаном
H0(p) + µβ·q.
3.1. Формулювання основного результату. Випадок виродженої бiлiнiйної
форми C. Нехай {σ1, . . . , σk0} — базис в ker C.
Припущення 4. Iснує γ0 > 0 таке, що max j=1,...,k0 |m · ςj | ≥ γ0|m|−n для
кожного m ∈ Zn \ {0}.
Щоб уникнути руйнування iнварiантних торiв вже в першому наближеннi теорiї
збурень, необхiдно, аби виконувалися ще два припущення, природнiсть яких стає
зрозумiлою iз наведених нижче мiркувань.
Зауважимо, що оскiльки Cςj = 0, j = 1, . . . , k0, то функцiї p · ςi, i = 1, . . . , k0,
утворюють повний набiр функцiй Казiмiра пуассонової структури в Rn, визначеної
спiввiдношенням {f(p), g(p)}1 = f ′(p) ·Cg′(p). Спiльна поверхня рiвня цих функ-
цiй є (n− k0)-вимiрним афiнним простором, який є симплектичним листком мак-
симальної розмiрностi зазначеної пуассонової структури в Rn. Базис {ς1, . . . , ςk0}
пiдпростору kerC завжди можна доповнити векторами α1, . . . , α2m, β1, . . . , β2k до
базису всього простору Rn так, щоб пiсля введення координат
vi = p · ςi, wj = p · αj , zs = p · βs,
i = 1, . . . , k0, j = 1, . . . , 2m, s = 1, . . . , 2k,
матриця дужок Пуассона (10) набрала вигляду
{v, v} = 0, {w,w} = µI2m, {z, z} = µI2k, {q, v} = Σ,
{q, w} = A, {q, z} = B,
де матрицю Σ складено зi стовпцiв ς1, . . . , ςk0 , матрицю A — з α1, . . . , α2m, а
матрицю B — з β1, . . . , β2k, k0 + 2m+ 2k = n.
Запишемо тепер рiвняння, якi описують еволюцiю змiнних v, w, z для гамiль-
тонової системи першого наближення, породженої лiнеаризованим у деякiй точцi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
82 Ю. В. ЛОВЕЙКIН, I. О. ПАРАСЮК
(v0, w0, z0) гамiльтонiаном H0
′
v(v0, w0, z0) ·v+H0
′
w(v0, w0, z0) ·w+H0
′
z(v0, w0, z0) ·
· z + µβ · dq. Маємо
v̇ = −µΣTβ, ẇ = µ(I2mH0
′
w(v0, w0, z0)−ATβ),
ż = µ(I2kH0
′
z(v0, w0, z0)−BTβ).
(11)
Вiдсутнiсть дрейфу за змiнними v забезпечує така умова: вектор β ортогональ-
ний до кожного вектора ςj , j = 1, . . . , k0, а за змiнними w, z, з огляду на два
останнiх рiвняння в (11), забезпечують умови
H0
′
w(v∗, w∗, z∗) + I2mA
Tβ = 0, H0
′
z(v∗, w∗, z∗) + I2kB
Tβ = 0. (12)
Умова ортогональностi вектора β та умови (12) є означенням квазiстацiонарної
точки p∗, записаним у координатах v, w, z ((v∗, w∗, z∗) — квазiстацiонарна точ-
ка, яка вiдповiдає p∗ в координатах v, w, z). Невиродженою квазiстацiонар-
ною точкою назвемо таку квазiстацiонарну точку (v∗, w∗, z∗), в якiй матриця
I2mH0
′′
ww(v∗, w∗, z∗) невироджена i має рiзнi суто уявнi власнi числа ±iλ̄j , j =
= 1, . . . ,m, а матриця I2kH0
′′
zz(v∗, w∗, z∗) невироджена i має рiзнi ненульовi власнi
числа±$̄i, i = 1, . . . , k, причому якщо Re $̄i 6= 0, то Re $̄i > 0, якщо ж Re $̄i = 0,
то Im $̄i > 0.
Припущення 5. Iснує невироджена квазiстацiонарна точка (v∗, w∗, z∗) та-
ка, що вектор частот H0
′(p∗(η)) з деякими γ > 0, τ ≥ n задовольняє дiофантовi
умови
|k ·H0
′(p∗(η))| ≥ γ|k|−τ ∀k ∈ Zn \ {0},
а вектори λ̄(p∗(η)) =
(
λ̄1(p∗(η)), . . . , λ̄m(p∗(η))
)
, $̄(p∗(η)) =
(
$̄1(p∗(η)), . . .
. . . , $̄k(p∗(η))
)
— умови вiдсутностi резонансiв до порядку l включно
j̃ · iλ̄(p∗(η)) + j̄ · $̄(p∗(η)) 6= 0 ∀j = (̃j, j̄) ∈ Zm+k : 0 < |j| ≤ l,
де l ≥ 4 — деяке натуральне число.
З теореми про неявну функцiю випливає, що принаймнi в околi (v∗, w∗, z∗) неви-
родженi квазiстацiонарнi точки утворюють k0-вимiрний многовид, який можна за-
дати в координатах v, w, z параметричними рiвняннями w = w∗(η), z = z∗(η), v =
= η з дiйсно-аналiтичними принаймнi в околi v∗ функцiями w∗(η), z∗(η), w∗(v∗) =
= w∗, z∗(v∗) = z∗. При цьому матрицi I2mH0
′′
ww(η, w∗(η), z∗(η)) та I2kH0
′′
zz(η,
w∗(η), z∗(η)) матимуть вiдповiдно рiзнi суто уявнi власнi числа ±iλ̄j(η), j =
= 1, . . . ,m, та рiзнi ненульовi власнi числа ±$̄i(η), i = 1, . . . , k.
Нехай p = p∗(η) — рiвняння многовиду квазiстацiонарних точок, записане у
початкових p-координатах. У подальшому будемо називати квазiстацiонарним
многовидом i множинуM, задану цим рiвнянням в усьому 2n-вимiрному фазовому
просторi. Зрозумiло, що вона є k0-параметричною сiм’єю n-вимiрних iнварiантних
торiв незбуреної системи.
Проблема малих знаменникiв, яка виникає в процесi побудови квазiперiодичних
рухiв збуреної системи, має безпосереднiй зв’язок з теорiєю дiофантових набли-
жень на пiдмноговидах евклiдового простору. У зв’язку з цим накладемо ще умови
невиродженостi Рюссмана [10] на функцiїH0
′(p∗(η)), λ̄j(η) та $̄i(η), j = 1, . . . ,m,
i = 1, . . . , k.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
IНВАРIАНТНI ТОРИ ЛОКАЛЬНО ГАМIЛЬТОНОВИХ СИСТЕМ ... 83
Припущення 6. Система n + m + 2k функцiй, утворена компонентами
вектор-функцiї H0
′(p∗(η)) i функцiями λ̄j(η), $̄i(η), j = 1, . . . ,m, i = 1, . . . , k,
лiнiйно незалежна в їхнiй спiльнiй областi визначення.
Сформулюємо пiдсумковий результат про бiфуркацiю канторової множини iн-
варiантних торiв збуреної системи в околi тора, заданого в координатах (p, q) рiв-
нянням p = p∗ у випадку виродженої матрицi дужок Пуассона.
Теорема 2. Нехай виконуються припущення 1, 3 – 6. Тодi при вiдповiдному
виборi числа τ > 0 для довiльного дiйсного s ≥ 1 iснує таке µ∗ > 0, що для
кожного µ ∈ (−µ∗;µ∗) i кожного набору параметрiв ϑ ∈ Wµ в µs-околi тора
Tm+n
µ iснує (m+ n)-вимiрний iнварiантний тор T m+n
µ (ϑ) збуреної гамiльтонової
системи, який несе на собi квазiперiодичнi рухи з m+ n рацiонально незалежними
частотами. Iснує гладке вiдображення λµ : W0 → Rm таке, що λµ(ξ) = O
(
|µ|
)
i вектор базисних частот квазiперiодичних рухiв на торi T m+n
µ (ϑ) має вигляд(
λµ(ϑ),H0
′(p∗)
)
. При цьому lim
µ→0
mesWµ
/
mesW0 = 1.
Випадок невиродженої бiлiнiйної форми C. З припущення 2 випливає, що n має
бути парним.
Для того щоб незбурена система мала iнварiантнi тори, якi не руйнуються хоча
б у першому наближеннi теорiї збурень, необхiдно, аби виконувалося додаткове
припущення, природнiсть якого стає зрозумiлою iз наступних мiркувань.
Запишемо рiвняння руху збуреної системи
ṗ = µ(CH0
′(p)− β −H1
′
q(p, q)) + µ2CH1
′
p(p, q), q̇ = H0
′(p) + µH1
′
p(p, q).
Вiдомо, що коли вiдображення p 7→ H0
′(p) задовольняє певнi природнi умови
невиродженостi, еволюцiя повiльних змiнних p на промiжку часу довжини 1/|µ|
для бiльшостi початкових значень з довiльною точнiстю описується усередненою
системою
ṗ = µ(CH0
′(p)− β),
якщо µ досить мале за модулем (точнi формулювання див. у [11 – 13]). У загально-
му випадку в усередненiй системi може вiдбуватися систематичний дрейф змiнної
дiї таким чином, що величина її вiдхилення вiд початкового значення за час 1/|µ|
матиме порядок O(1) при як завгодно малому за модулем µ. Зрозумiло, що в цiй
ситуацiї слiд очiкувати руйнування iнварiантних торiв. Разом iз тим, якщо p∗ —
таке значення змiнної дiї, для якого
CH0
′(p∗) = β, (13)
тобто p∗ є квазiстацiонарною точкою, а компоненти вектора частот H0
′(p∗) задо-
вольняють дiофантовi умови рацiональної незалежностi, то тор, який вiдповiдає
точцi p∗, буде iнварiантним i для системи першого наближення теорiї збурень.
Аналiз поведiнки траєкторiй в околi цього тора природно розпочати з системи у
варiацiях першого наближення. Вона має вигляд
ṗ = µCH ′′
0 (p∗)p, q̇ = H0
′(p∗) + µH̄1
′
p(p∗),
де H̄1 — середнє значення функцiї H1 по тору. Нас зараз буде цiкавити негрубий
випадок, коли тривiальний тор цiєї системи є стiйким.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
84 Ю. В. ЛОВЕЙКIН, I. О. ПАРАСЮК
Точку p∗ назвемо невиродженою квазiстацiонарною точкою, якщо вона задо-
вольняє рiвнiсть (13) i при цьому матриця CH ′′
0 (p∗) має рiзнi суто уявнi власнi
числа ±iλ̄j(p∗), j = 1, . . . ,m, та ненульовi власнi числа ±$̄i(p∗), i = 1, . . . , k,
для яких якщо Re$i(p∗) 6= 0, то Re$i(p∗) > 0, якщо ж Re$i(p∗) = 0, то
Im$i(p∗) > 0, 2m+ 2k = n.
Зауважимо, що система у варiацiях для тора, який вiдповiдає точцi зазначеного
типу, демонструє, в загальному випадку, некласичну динамiку: її квазiперiодичнi
рухи покривають iнварiантнi тори вимiрностi n+m.
Припущення 7. Iснує невироджена квазiстацiонарна точка p∗ така, що
вектор частот H0
′(p∗) з деякими γ > 0, τ ≥ n задовольняє дiофантовi умови
|k ·H0
′(p∗)| ≥ γ|k|−τ ∀ k ∈ Zn \ {0},
а вектори λ̄(p∗) = (λ̄1(p∗), . . . , λ̄m(p∗)) та $̄(p∗) = ($̄1(p∗), . . . , $̄k(p∗)) — умови
вiдсутностi резонансiв до порядку l включно
j̃ · iλ̄(p∗) + j̄ · $̄(p∗) 6= 0 ∀j = (̃j, j̄) ∈ Zm+k : 0 < |j| ≤ l, (14)
де l ≥ 7 — деяке натуральне число.
Якщо припущення 7 справджується, то iснує полiномiальна замiна змiнних
p = (w, z)+O(|w|2 + |z|2), яка зводить матрицю дужок Пуассона {p, p} до вигляду
{w,w} =
(
0 −Em
Em 0
)
=: I2m, {z, z} =
(
0 −Ek
Ek 0
)
=: I2k, (15)
а функцiю H0(p∗+p)−H0
′(p∗)·p−H0(p∗) — до нормальної форми степеня l :
1
2
Λ̄(p∗)w2 + µḠ2(p∗)z2+
+
∑
i,j=0,[l/2], 2≤i+j≤[l/2]
µ2(i+j)−1F̄2i,2j(p∗)w2iz2j +O(wl+1 + zl+1),
де F̄2i,2j(p∗)w2iz2j = Aij(p∗)yiz2j одержується з Aij(p∗)yiz2j замiною ys на (w2
s +
+ w2
m+s)/2, s = 1, . . . ,m, y = (y1, . . . , ym).
Сформулюємо тепер основний результат про бiфуркацiю канторової множини
iнварiантних торiв збуреної системи в околi тора, заданого в координатах (p, q)
рiвнянням p = p∗, у випадку невиродженої матрицi дужок Пуассона.
Теорема 3. Нехай виконуються припущення 2, 3, 7. Тодi для кожного µ ∈
∈ (−µ∗;µ∗), де µ∗ > 0 є досить малим, в O
(
|µ|
)
-околi iнварiантного тора Tn
∗
незбуреної системи, який вiдповiдає квазiстацiонарнiй точцi p∗, iснує вiдкрита
множина Fµ, розшарована (m + n)-вимiрними торами m-параметричної сiм’ї
{Tm+n
µ (ξ)}ξ∈W0 з областю змiни параметрiв W0 := {ξ ∈ Rm : ρ < |ξ| < R}.
Область W0 мiстить канторову множину Cµ таку, що для кожного ξ ∈ Cµ в
o(|µ|3)-околi тора Tm+n
µ (ξ) iснує iнварiантний тор T m+n
µ (ξ) збуреної системи,
який несе на собi квазiперiодичнi рухи з m + n рацiонально незалежними час-
тотами. Iснує таке гладке вiдображення λµ : W0 7→ Rm, що λµ(ξ) = O(|µ|)
i вектор базисних частот квазiперiодичних рухiв на торi T m+n
µ (ξ) має вигляд
(λµ(ξ),H0
′(p∗)). При цьому mes Cµ
/
mesW0 → 1, µ→ 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
IНВАРIАНТНI ТОРИ ЛОКАЛЬНО ГАМIЛЬТОНОВИХ СИСТЕМ ... 85
3.2. Попереднi перетворення. Для того щоб застосувати КАМ-теорiю для
встановлення iснування квазiперiодичних рухiв збуреної системи, початкову сис-
тему потрiбно звести до спецiального вигляду.
На першому етапi виконаємо низку перетворень, якi охоплюють як вироджений,
так i невироджений випадки.
Спочатку виконаємо перетворення p 7→ p0 + p, в якому p0 — n-вимiрний пара-
метр з областю змiни {|p0| < R1}, деR1 < R0. Одержану систему з гамiльтонiаном
H0(p0+p)+µ(H1(p0+p, q)+β·q) усереднимо за кутовими змiнними при малих |p|.
З цiєю метою виконаємо симплектичне перетворення у виглядi зсуву за час t = 1
вздовж траєкторiй гамiльтонової системи з гамiльтонiаном (iнфiнiтезимальною
твiрною функцiєю) вигляду µS1(p, q, p0) +µ2S2(p, q, p0) + . . .+µlSl(p, q, p0). Вва-
жаючи поки що невiдомi функцiї S1(p, q, p0), . . . , Sl(p, q, p0) дiйсно-аналiтичними
щодо своїх аргументiв, це перетворення можна подати як
p 7→ p− µS1
′
q − µ2(S2
′
q + P2)− µ3(S3
′
q + P3) + . . . ,
q 7→ q + µS1
′
p + µ2(S2
′
p +Q2) + µ3(S3
′
p +Q3) + . . . ,
(16)
де Pj , Qj — деякi полiноми вiд частинних похiдних першого та вищих порядкiв
функцiй S1, . . . , Sj−1.
Коефiцiєнт при µj у розвиненнi однозначної складової перетвореного гамiль-
тонiана за степенями µ матиме вигляд Hj(p, q, p0) − H0
′(p0 + p)·Sj
′
q(p, q, p0),
j = 1, 2, . . . , l, де дiйсно-аналiтичнi функцiї Hj(p, q, p0) не залежать вiд Sk, k ≥ j.
Вигляд багатозначної складової не змiнюється.
Шукатимемо кожну функцiю Sj у виглядi полiнома щодо p: Sj(p, q, p0) =
=
∑l
k=0Sjk(q, p0)pk, де Sjk(q, p0)pk позначає однорiдну форму степеня k щодо
p. Для кожного j = 1, . . . , l розвинемо коефiцiєнт при µj однозначної складової
перетвореного гамiльтонiана за степенями p. Однорiдна щодо p форма степеня k,
k = 0, 1, . . . , l, у формулi Тейлора для цього коефiцiєнта має вигляд Ĥjk(q, p0)pk−
−H0
′(p0) · Sjk
′
q(q, p0)pk, де
Ĥjk(q, p0) :=
1
k!
∂k
∂pk
∣∣∣∣
p=0
(
Hj(p, q, p0)−
k−1∑
i=0
(
H0
′(p0 + p) · Sji
′
q(q, p0)
)
pi
)
.
Тепер коефiцiєнти форми Sjk визначаємо з гомологiчних рiвнянь
H0
′(p0) ·
∂
∂q
Sjk = [PN−P0]Ĥjk(p0, q), k = 0, 1, . . . , l,
де P0(•) := (2π)−n
∫
Tn
• dq, PN :=
∑
0≤|k|≤N
eik·q P0(• e−ik·q), k ∈ Zn, N ∈ N.
Розв’язки цих рiвнянь знаходимо в областi нерезонансних значень p0, яку ви-
значають нерiвностi
|p0| < R1,
∣∣k ·H0
′(p0)
∣∣ ≥ γ
2
|k|−τ , ∀k ∈ Zn : 0 < |k| ≤ N. (17)
Якщо вибрати T = T (ρ0) > 0 досить великим, то, поклавши N = Tr| ln ε|, де
ε ∈
[
|µ|d; ε∗
]
— додатковий додатний малий параметр, а r i d — деякi додатнi числа,
матимемо оцiнку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
86 Ю. В. ЛОВЕЙКIН, I. О. ПАРАСЮК∣∣∣[Id−PN ]Ĥjk(p0, q)
∣∣∣ < εr
при |p0| < R1, | Im q| < ρ0/2 i досить малому ε∗. В результатi гамiльтонiан пе-
ретвореної системи для p0 з областi (17), |p| < R0/2 та | Im q| < ρ0/2 набирає
вигляду
H ′
0(p0)·p+
1
2
H ′′
0 (p0)p2 + . . .+ µ
(
H1
′
p(p0)·p+
1
2
H1
′′
pp(p0)p2 + . . .
)
+
+µ2
(
H2
′
p(p0)·p+
1
2
H2
′′
pp(p0)p2 + . . .
)
+ . . .+O(pl+1) + µO(εr) + µβ·q,
де риски над символами похiдних позначають їхнi середнi за змiнними q по тору
Tn, тобто значення оператора P0 на вiдповiдних функцiях. При цьому тут i далi
ми користуємося тим, що вигляд гамiльтонової системи на змiниться, якщо вiд її
гамiльтонiана вiдняти довiльну сталу (залежну вiд p0).
Виконаємо масштабнi перетворення
p 7→ µp, Hµ 7→ µ−1Hµ, {•, •} 7→ µ{•, •}.
В результатi отримаємо систему з гамiльтонiаном
H0
′(p0)·p+
µ
2
H ′′
0 (p0)p2 + . . .+
(
µH1
′
p(p0)·p+
µ2
2
H1
′′
pp(p0)p2 + . . .
)
+
+µ
(
µH2
′
p(p0)·p+
µ2
2
H2
′′
pp(p0)p2 + . . .
)
+ . . .+O(µl + εr) + β·q (18)
i дужкою Пуассона, заданою рiвностями
{p, p} = C, {q, p} = En.
Розглянемо окремо вироджений та невироджений випадки.
Випадок виродженої бiлiнiйної форми C. Пiсля введення координат vi = p · ςj ,
wj = p · αi, zs = p · βs (див. п. 3.1) дужка Пуассона i гамiльтонiан Hµ набирають
вiдповiдно вигляду
{v, v} = 0, {w,w} = I2m, {z, z} = I2k, {q, v} = Σ,
{q, w} = A, {q, z} = B,
Hµ =
(
H0
′
v + µH1
′
v + . . .+ µlHl
′
v
)
·v +
(
H0
′
w + µH1
′
w + . . .+ µlHl
′
w
)
·w+
+
(
H0
′
z + µH1
′
z + + . . .+ µlHl
′
z
)
·z + . . .
. . .+
l∑
s=2
0≤i+j≤s
µs−1H̃ijs(v0, w0, z0, µ)viwjzs−i−j + O(µl + εr) + β·q, (19)
де всi похiднi беруться в точцi (v0, w0, z0), яка вiдповiдає точцi p0, i H̃ijs(v0, w0,
z0, 0) =
1
j!
H0
(j)(v0, w0, z0).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
IНВАРIАНТНI ТОРИ ЛОКАЛЬНО ГАМIЛЬТОНОВИХ СИСТЕМ ... 87
Введемо новi кутовi змiннi ψ = q + AI2mw + BI2kz. Тодi матриця дужок
Пуассона набере вигляду
{w,w} = I2m, {z, z} = I2k, {ψ, v} = Σ, {ψ,ψ} = Γ,
а гамiльтонiан буде вiдрiзнятись вiд (19) тим, що лiнiйними доданками по w та z
будуть вiдповiдно (H0
′
w + µH1
′
w + . . .+ µlHl
′
w + I2mA
Tβ)·w i (H0
′
z + µH1
′
z + . . .
. . .+ µlHl
′
z + I2kB
Tβ)·z.
З цього моменту покладемо (v0, w0, z0) = (v0(η, µ), w0(η, µ), z0(η, µ)), де функ-
цiї v0(η, µ), w0(η, µ) i z0(η, µ) визначаємо неявно умовами
H0
′
w(v0, w0, z0) + µH1
′
w(v0, w0, z0) + . . .+ µlHl
′
w(v0, w0, z0) + I2mA
Tβ = 0,
H0
′
z(v0, w0, z0) + µH1
′
z(v0, w0, z0) + . . .+ µlHl
′
z(v0, w0, z0) + I2kB
Tβ = 0,
(v0(η, 0), w0(η, 0), z0(η, 0)) = (v∗(η), w∗(η), z∗(η)).
З урахуванням припущення 5 функцiї v0(η, µ), w0(η, µ), z0(η, µ) є дiйсно-аналi-
тичними при всiх досить малих |µ|, причому v0(η, µ) = v∗(η) + O(µ), w0(η, µ) =
= w∗(η) +O(µ), z0(η, µ) = z∗(η) +O(µ) при µ→ 0.
В результатi одержимо гамiльтонiан
Hµ = H101(η, µ)·v + µH̃2(η, µ)(v, w, z)2+
+
l∑
s=3
0≤i+j≤s
µs−1H∗
ijs(η, µ)viwjzs−i−j +O(µl + εr) + β·ψ,
де H101(η, µ) = H0
′
v + µH1
′
v + . . . + µlHl
′
v, H̃2(η, µ)(v, w, z)2 = Ȟ202(η, µ)v2 +
+ Ȟ022(η, µ)w2 + Ȟ002(η, µ)z2 + Ȟ112(η, µ)vw+ Ȟ102(η, µ)vz+ Ȟ012(η, µ)wz i кое-
фiцiєнти H∗
ijs(η, µ) є полiномами щодо µ степеня, не вищого нiж l+1−s, причому
H∗
ijs(η, 0) =
1
s!
H0
(s)(η).
З огляду на припущення 5 при всiх досить малих µ власнi числа матри-
цi IȞ022(η, µ) є суто уявними i рiзними: ±iλ̃j(η, µ), а власнi числа матрицi
IȞ002(η, µ) — рiзними i ненульовими: ±$̃i(η, µ), j = 1, . . . ,m, i = 1, . . . , k,
тому можна вибрати µ∗ > 0 так, щоб iснувала дiйсно-аналiтична щодо µ сiм’я лi-
нiйних симплектичних перетворень (w, z) 7→ W (η, µ)(w, z), |µ| < µ∗, яка зводить
квадратичну форму H̃2(η, µ)(v, w, z)2 до нормальної форми (див., наприклад, [14])
1
2
m∑
j=1
λ̃j(η, µ)(w2
j + w2
m+j) + Ḡ2(η, µ)z2 + H̆2(η, µ)v2 =
=
1
2
Λ̃(η, µ)w2 + Ḡ2(η, µ)z2 + H̆2(η, µ)v2,
де Λ̃(η, µ) = diag
{
λ̃1(η, µ), . . . , λ̃m(η, µ), λ̃1(η, µ), . . . , λ̃m(η, µ)
}
, а Ḡ2(η, µ) —
невироджена матриця, причому λ̃j(η, µ) = λ̄j(η)+O(µ), $̃i(η, µ) = $̄i(η)+O(µ),
µ→ 0, j = 1, . . . ,m, i = 1, . . . , k. При цьому гамiльтонiан Hµ набирає вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
88 Ю. В. ЛОВЕЙКIН, I. О. ПАРАСЮК
Hµ = H101(η, µ)·v + µ
(
1
2
Λ̃(η, µ)w2 + Ḡ2(η, µ)z2 + H̆2(η, µ)v2
)
+
+
l∑
s=3
0≤i+j≤s
µs−1H̃ijs(η, µ)viwjzs−i−j +O(µl + εr) + β·ψ. (20)
Зведемо до нормальної форми доданки за змiнними v, w, z степеня вiд 3 до l.
Процедуру нормалiзацiї будемо проводити аналогiчно [2]. Цього можна досягти за
допомогою перетворення, яке зводить до нормальної форми гамiльтонiан
1
2
Λ̃(η, µ)w2 + Ḡ2(η, µ)z2 + H̆2(η, µ)v2 +
l∑
s=3
0≤i+j≤s
µs−2H̃ijs(η, µ)viwjzs−i−j . (21)
Iнфiнiтезимальну твiрну функцiю нормалiзуючого перетворення шукаємо у виглядi
S =
l∑
s=3
0≤i+j≤s
µj−2Sijs(µ)viwjzs−i−j .
Зауважимо, що перетворення з указаною твiрною функцiєю не змiнює змiнних v.
Аналогiчно [2] член степеня s+ 2− i− j щодо v, степеня i щодо w, степеня j
щодо z нормальної форми гамiльтонiана (21) одержується множенням на µs члена
степеня s+2− i−j щодо v, степеня i щодо w, степеня j щодо z нормальної форми
гамiльтонiана
1
2
Λ̃(η, µ)w2 + Ḡ2(η, µ)z2 + H̆2(η, µ)v2 +
l∑
s=3
0≤i+j≤s
H̃ijs(η, µ)viwjzs−i−j . (22)
Якщо ще взяти до уваги, що для всiх досить малих значень |µ| вектори λ̃(η, µ) =
=
(
λ̃1(η, µ), . . . , λ̃m(η, µ)
)
та $̃(η, µ) =
(
$̃1(η, µ), . . . , $̃k(η, µ)
)
задовольняють
умову
min
0<|j|≤l
∣∣∣iλ̃(η, µ) · j̃ + $̃(η, µ) · j̄
∣∣∣ ≥
≥ 1
2
min
0<|j|≤l
∣∣∣iλ̄(η) · j̃ + $̄(η) · j̄
∣∣∣ > 0, j = (̃j, j̄) ∈ Zm+k, (23)
а також той факт, що коефiцiєнти H̃ijs(η, µ) — дiйсно-аналiтичнi функцiї в околi
µ = 0, то можна зробити такi висновки:
1) пiсля нормалiзацiї до порядку l включно гамiльтонiан (22) набирає вигляду
1
2
Λ̃(η, µ)w2+Ḡ2(η, µ)z2+H̆2(η, µ)v2 +
∑
i=3,...,l
H̆i(η, µ)vi+
+
∑
i=0,l, j,s=1,[l/2]
3≤i+2(j+s)≤l
F̃i,2j,2s(η, µ)viw2jz2s + . . . ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
IНВАРIАНТНI ТОРИ ЛОКАЛЬНО ГАМIЛЬТОНОВИХ СИСТЕМ ... 89
де F̃i,2j,2s(η, µ)viw2jz2s = Ãi,j,s(η, µ)viujz2s одержуємо з Ãi,j,s(η, µ)viujz2s замi-
ною uk на (w2
k + w2
m+k)/2, k = 1, . . . ,m; 2) коефiцiєнти F̃i,2j,2s(η, µ)viw2jz2s є
дiйсно-аналiтичними в околi µ = 0 i при µ→ 0 переходять у вiдповiднi коефiцiєнти
F̄i,2j,2s(η, µ)viw2jz2s нормальної форми степеня l функцiї H0(p∗+p)−H0
′(p∗)·p−
−H0(p∗).
Таким чином, можна стверджувати, що гамiльтонiан (20) зведено до вигляду
Hµ = H101(η, µ)·v + µ
(
1
2
Λ̃(η, µ)w2 + Ḡ2(η, µ)z2 + H̆2(η, µ)v2
)
+
+
∑
i=3,...,l
µi−1H̆i(η, µ)vi +
∑
i=0,l, j,s=1,[l/2]
3≤i+2(j+s)≤l
µi+2j+2s−1F̃i,2j,2s(η, µ)viw2jz2s+
+ O(µl + εr) + β·ψ.
Введемо тепер змiннi u = (u1, . . . , um) та φ = (φ1, . . . , φm)|mod 2π за форму-
лами
wi =
√
2(ξi + ui) cosφi, wi+m =
√
2(ξi + ui) sinφi, i = 1, . . . ,m,
де ξ = (ξ1, . . . , ξm) — m-вимiрний параметр. Тодi для дужок Пуассона матимемо
спiввiдношення
{φ, u} = Em, {z, z} = I2k, {ψ, v} = Σ, {ψ,ψ} = Γ, (24)
а гамiльтонiан Hµ зведеться до вигляду
Hµ = H101(η, µ)·v + µ
(
λ̃(η, µ)·u+ Ḡ2(η, µ)z2 + H̆2(η, µ)v2
)
+
+
∑
i=3,...,l
µi−1H̆i(η, µ)vi +
∑
i=0,l, j,s=1,[l/2]
3≤i+2(j+s)≤l
µi+2j+2s−1Ãi,j,s(η, µ)vi(ξ+u)jz2s+
+ O(µl + εr) + β·ψ,
або
Hµ = Λ̆(η, µ)·v + λ̂(η, ξ, µ)·u+ µ
(
Ḡ2(η, µ)z2 + H̆2(η, µ)v2
)
+ µ2H̆3(η, µ)v3 +
+ µ3G3(v, u, z, η, ξ, µ) + fε(v, u, z, φ, ψ, η, ξ, µ) + β·ψ,
в якому Λ̆(η, µ) := H0
′(p0(η, µ))+
∑ l
j=1
µjHj
′(p0(η, µ), µ), λ̂(η, ξ, µ) := µλ̃(η, µ)+
+
∑[l/2]
j=2
µ2j−1
(
A0,j,0(η, µ)ξj
)′
ξ
, а Ḡ2(η, µ), H̆2(η, µ), H̆3(η, µ) полiномiально за-
лежать вiд µ, G3(v, u, z, η, ξ, µ) полiномiально залежить вiд v, u, z, ξ, µ i не мiс-
тить доданкiв по u, v i z степеня, нижчого нiж 3, fε(v, u, z, φ, ψ, η, ξ, µ) — дiйсно-
аналiтична функцiя в областi
|v| < ρ, |u| < ρ, |z| < ρ, | Imφ| < ρ, | Imψ| < ρ,
η ∈ U + δ, ρ < |ξ| < R, |µ| < µ∗,
(25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
90 Ю. В. ЛОВЕЙКIН, I. О. ПАРАСЮК
де ρ, δ, R (R > ρ) — деякi додатнi числа, причому fε(v, u, z, φ, ψ, η, ξ, µ) = O(µl +
+ εr) рiвномiрно щодо φ, ψ, η, ξ, якi задовольняють нерiвностi (17), (25).
Тепер остаточно зведемо гамiльтонiан Hµ до такого вигляду, щоб застосувати
КАМ-теорему про iснування квазiперiодичних рухiв для локально гамiльтонових
систем при наявностi додаткових змiнних.
Зафiксуємо додатнi числа d i r так, щоб виконувались нерiвностi l > 2 + d,
r > 1 + 2/d, i покладемо ε = |µ|d. Тодi для досить малого µ∗ > 0 в областi, яка за-
дається нерiвностями (17), (25), буде виконуватись оцiнка
∣∣fµd(v, u, φ, ψ, η, ξ, µ)
∣∣ <
< |µ|2+d. Нарештi, визначимо функцiю
hµ(v, u, z, φ, ψ, η, ξ) := µH̆2(η, µ)v2 + µ2H̆3(η, µ)v3+
+µ3G3(v, u, z, η, ξ, µ) + fε(v, u, z, φ, ψ, η, ξ, µ).
З наведених вище мiркувань випливає така пiдготовча теорема для випадку
виродженої бiлiнiйної форми C.
Теорема 4. Нехай виконуються припущення 1, 3 – 5. Тодi для деякого додат-
ного числа µ∗ i для будь-якого µ ∈ (−µ∗;µ∗) в O(µ)-околi квазiстацiонарного
многовиду iснує вiдкрита множина, яка є об’єднанням (m + n)-вимiрних торiв
Tm+n
µ (ϑ) = Tm
µ (ϑ)× Tn
µ(ϑ), занумерованих k0 +m параметрами ϑ = (η, ξ) ∈ W0,
де W0 :=
{
ϑ ∈ Rk0+m : η ∈ U , ρ < |ξ| < R
}
. В околi кожного тора Tm+n
µ (ϑ)
можна ввести гладко залежнi вiд ϑ координати прямого добутку
{v ∈ Rk0} × {u ∈ Rm} × {z ∈ Rk} × {φ ∈ Rm/2πZm} × {ψ ∈ Rn/2πZn}
так, щоб цей тор задавався рiвняннями v = 0, u = 0, z = 0, змiннi φ i ψ були
кутовими координатами вiдповiдно на торах Tm
µ (ϑ) i Tn
µ(ϑ), дужка Пуассона
визначалася рiвностями (24), а гамiльтонiан Hµ мав вигляд
Hµ = Λ̆(η, µ) · v + λ̂(η, ξ, µ) · u+ µḠ2(η, µ)z2 + hµ(v, u, z, φ, ψ, η, ξ) + β · ψ.
При цьому функцiї Λ̆(η, µ), λ̂(η, ξ, µ), Ḡ2(η, µ), hµ(v, u, φ, ψ, η, ξ) є гладкими в сен-
сi дiйсного аналiзу й рiвномiрно щодо µ ∈ (0;µ∗) обмеженi разом з усiма своїми
частинними похiдними довiльного порядку в областi (25) i матриця Ḡ2(η, µ) неви-
роджена для всiх |µ| < µ∗, η ∈ U + δ. Крiм того, якщо параметри η обмежити
множиною, яка видiляється з U + δ нерiвностями (17), (23) при p0 = p0(η, µ)
i N = Nµ := Tr | lnµd|, то дiстанемо область, в якiй зазначенi функцiї будуть
дiйсно-аналiтичними i при цьому
max
{
|hµ|y=0
z=0
,
∣∣hµ
′
y
∣∣
y=0
z=0
, |hµ
′
z|y=0
z=0
}
≤ µ2+d,
max
{∣∣hµ
′′
yy
∣∣
y=0
z=0
,
∣∣hµ
′′
yz
∣∣
y=0
z=0
}
≤ µC,
max {|hµ| , |hµ
′
x| , |hµ
′′
xx|} ≤ C
з деякою сталою C > 0 i y = (v, u), x = (y, z, φ, ψ, ϑ).
Розглянемо локально гамiльтонову систему, породжену лiнеаризованим гамiль-
тонiаном „першого наближення” Λ(η)·v + µλ(η) · u+ β · ψ. Кожен тор T m+n
µ (ϑ) є
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
IНВАРIАНТНI ТОРИ ЛОКАЛЬНО ГАМIЛЬТОНОВИХ СИСТЕМ ... 91
iнварiантним для цiєї системи, а рiвняння руху на ньому в координатах φ, ψ мають
вигляд
φ̇ = µλ(η), ψ̇ = ΣΛ(η) + Γβ.
Таким чином, маємо вироджений випадок, коли вектор частот лiнеаризованої
системи першого наближення має „повiльнi” µλ(η) i „швидкi” ΣΛ(η)+Γβ компо-
ненти. Покажемо, що для останнiх справджується рiвнiсть
H0
′(p∗(η)) = ΣΛ(η) + Γβ. (26)
Справдi, з одного боку,
H ′
0(p∗(η)) =
{
q,H ′
0(p∗(η)) · p
}
=
=
{
ψ −AI2mw −BI2kz,H0
′
v·v +H0
′
w·w +H0
′
z·z
}
= ΣΛ(η) +AH0
′
w +BH0
′
z.
З iншого боку, враховуючи явний вигляд матрицi Γ та означення многовиду квазi-
стацiонарних точок, маємо
Γβ = (AI2mA
T +BI2kB
T)β = AH0
′
w +BH0
′
z.
Порiвнюючи одержанi рiвностi, дiстаємо потрiбний результат.
Випадок невиродженої бiлiнiйної форми C. Введемо новi кутовi змiннi ψ =
= q − C−1p. Тодi матриця дужок Пуассона розщеплюється на блоки
{p, p} = C, {ψ,ψ} = C−1,
а вигляд перетвореного гамiльтонiана вiдрiзнятиметься вiд (18) лише тим, що пер-
шим доданком буде
(
H0
′(p0)− C−1β
)
· p, а багатозначною складовою — β·ψ.
Тепер покладемо p0 = p0(µ), де функцiя p0(µ) визначається неявно умовами
H0
′(p0)+µH1
′
p(p0)+µ2H2
′
p(p0)+ . . .+µlHl
′
p(p0)−C−1β = 0, p0(0) = p∗. (27)
З урахуванням припущення 7 p0(µ) є дiйсно-аналiтичною функцiєю при всiх досить
малих |µ|, причому p0(µ) = p∗ +O(|µ|), µ→ 0.
Важливо зазначити, що при виконаннi припущення 7 нерiвностi (17) справд-
жуватимуться при p0 = p0(µ) при всiх досить малих за модулем µ, адже N =
= O
(∣∣ ln |µ|∣∣).
В результатi виконаних перетворень, згрупувавши доданки з однаковими сте-
пенями pk, k = 1, 2, . . . , l, з урахуванням рiвностi (27) дiстанемо систему, гамiль-
тонiан якої можна подати у виглядi
Hµ =
l∑
j=2
µj−1H∗
j (µ)pj +O(|µ|l + εr) + β·ψ,
де коефiцiєнти форми H∗
j (µ) є полiномами щодо µ степеня, не вищого нiж l+1−j,
причому H∗
j (0) =
1
j!
H
(j)
0 (p∗).
У просторi Rn змiнних p можна ввести базис α1, . . . , α2m, β1, . . . , β2k, 2(m +
+ k) = n, так, щоб матриця дужок Пуассона нових змiнних wj = αj · p, z = βi · p,
j = 1, 2, . . . , 2m, i = 1, . . . , 2k, набрала вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
92 Ю. В. ЛОВЕЙКIН, I. О. ПАРАСЮК
{w,w} =
(
0 −Em
Em 0
)
=: I2m, {z, z} =
(
0 −Ek
Ek 0
)
=: I2k.
Нехай F̂2(µ)w2+Ĝ2(µ)z2+Ĥ2(µ)wz — квадратична форма, одержана зH∗
2 (µ)p2
пiсля введення координат w, z. Оскiльки з огляду на припущення 7 при всiх досить
малих за модулем µ матриця IH∗
2 (µ) має суто уявнi рiзнi власнi числа ±iλ̃j(µ) i
ненульовi власнi числа ±$̃i(µ), то число µ∗ > 0 можна вибрати так, щоб iсну-
вала дiйсно-аналiтична щодо параметра µ сiм’я лiнiйних симплектичних перетво-
рень (w, z) 7→ W (µ)(w, z), |µ| < µ∗, яка зводить квадратичну форму F̂2(µ)w2 +
+Ĝ2(µ)z2+Ĥ2(µ)wz до нормальної форми (див. [14])
1
2
∑m
i=1
λ̃i(µ)(w2
i +w2
m+i)+
+ Ḡ2(µ)z2 =
1
2
Λ̃(µ)w2 + Ḡ2(µ)z2, де Λ̃ := diag{λ̃1, . . . , λ̃m, λ̃1, . . . , λ̃m}, а Ḡ2(µ)
— невироджена матриця, причому λ̃j(µ) = λ̄j(p∗)+O(|µ|), $̃i(µ) = $̄i(p∗)+O(µ),
µ→ 0, j = 1, . . . ,m, i = 1, . . . , k.
Тепер гамiльтонiан Hµ набирає вигляду
Hµ = µ
(
1
2
Λ̃(µ)w2 + Ḡ2(µ)z2
)
+
+
∑
i,j=0,...,l
3≤i+j≤l
µi+j−1H̃ij(µ)wizj +O(|µ|l + εr) + β·ψ. (28)
Зведемо доданки за змiнними w, z степенiв вiд 3 до l гамiльтонiана (28) до нор-
мальної форми. Зрозумiло, що цього можна досягти за допомогою перетворення,
яке зводить до нормальної форми гамiльтонiан
1
2
Λ̃(µ)w2 + Ḡ2(µ)z2 +
∑
i,j=0,l, 3≤i+j≤l
µi+j−2H̃ij(µ)wizj . (29)
Iнфiнiтезимальну твiрну функцiю нормалiзуючого перетворення шукаємо у ви-
глядi S =
∑
i,j=0,l, 3≤i+j≤l
µi+j−2Sij(µ)wizj .
Аналогiчно виродженому випадку, взявши до уваги, що для всiх досить малих
значень |µ| вектори λ̃(µ) =
(
λ̃1(µ), . . . , λ̃m(µ)
)
та $̃(µ) =
(
$̃1(µ), . . . , $̃k(µ)
)
задовольняють умову
min
0<|j|≤l
∣∣∣iλ̃(µ) · j̃ + $̃(µ) · j̄
∣∣∣ ≥
≥ 1
2
min
0<|j|≤l
∣∣∣iλ̄(p∗) · j̃ + $̄(p∗) · j̄
∣∣∣ > 0, j = (̃j, j̄) ∈ Zm+k,
а також той факт, що коефiцiєнти H̃ij(µ) — дiйсно-аналiтичнi функцiї в околi µ = 0,
можна зробити висновки, що пiсля нормалiзацiї до порядку l включно гамiльтонiан
1
2
Λ̃(µ)w2 + Ḡ2(µ)z2 +
∑
i,j=0,l, 3≤i+j≤l
H̃ij(µ)wizj набирає вигляду
1
2
Λ̃(µ)w2 + Ḡ2(µ)z2 +
∑
i,j=0,[l/2], 2≤i+j≤[l/2]
F̃ij(µ)w2iz2j ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
IНВАРIАНТНI ТОРИ ЛОКАЛЬНО ГАМIЛЬТОНОВИХ СИСТЕМ ... 93
де F̃ij(µ)w2iz2j = Ãij(µ)yiz2j одержується з Ãij(µ)yiz2j замiною ys на (w2
s +
+w2
m+s)/2, s = 1, . . . ,m, коефiцiєнти F̃ij(µ) є дiйсно-аналiтичними в околi µ = 0
i при µ→ 0 переходять у вiдповiднi коефiцiєнти F̄ij(p∗) нормальної форми степеня
l функцiї H0(p∗ + p)−H0
′(p∗)·p−H0(p∗).
Таким чином, можна стверджувати, що гамiльтонiан (28) зведено до вигляду
Hµ = µ
(
1
2
Λ̃(µ)w2 + Ḡ2(µ)z2
)
+
+
∑
i,j=0,[l/2], 2≤i+j≤[l/2]
µ2(i+j)−1F̃ij(µ)w2iz2j +O(|µ|l + εr) + β·ψ.
Введемо тепер змiннi (y, φ| mod 2π) за формулами
wi =
√
2(ξi + yi) cosφi, wm+i =
√
2(ξi + yi) sinφi, i = 1, 2, . . . ,m,
де ξ = (ξ1, . . . , ξm) — m-вимiрний параметр. Тодi для дужки Пуассона матимемо
рiвностi
{φ, y} = Em, {z, z} = I2k, {ψ,ψ} = C−1, (30)
а збурений гамiльтонiан набере вигляду
Hµ = µ
(
1
2
λ̃(µ)·y + Ḡ2(µ)z2
)
+
+
∑
i,j=0,[l/2], 2≤i+j≤[l/2]
µ2(i+j)−1Ãij(µ)yiz2j +O(|µ|l + εr) + β·ψ,
або
Hµ = λ̂(ξ, µ)·y + µḠ2(µ)z2 + µ3G3(y, z, ξ, µ) + fε(y, z, φ, ψ, ξ, µ) + β·ψ,
де λ̂(ξ, µ) := µλ̃(µ) +
∑[l/2]
j=2
µ2j−1
(
Ãj0(µ)ξj
)′
ξ
, матриця Ḡ2(µ) невироджена для
всiх |µ| < µ∗, форма G3(y, z, ξ, µ) полiномiально залежить вiд y, z, ξ, µ i не мiстить
доданкiв по y, z степеня, нижчого нiж 3, а fε(y, z, φ, ψ, ξ, µ) — дiйсно-аналiтична
функцiя в областi
|y| < ρ, |z| < ρ, | Imφ| < ρ, | Imψ| < ρ, ρ < |ξ| < R, |µ| < µ∗, (31)
де ρ, δ i R (R > ρ) — деякi додатнi числа, причому fε(y, z, φ, ψ, ξ, µ) = O(|µ|l +εr)
рiвномiрно щодо змiнних φ, ψ, ξ, якi задовольняють нерiвностi (31).
Зафiксуємо тепер додатнi числа d та r так, щоб вони задовольняли нерiвностi
l > 6 + d, r > 1 + 6/d, i покладемо ε = |µ|d. Тодi для досить малого µ∗ > 0 в
областi (31) буде виконуватись нерiвнiсть |fµd(y, z, φ, ψ, ξ, µ)| < |µ|6+d. Нарештi,
увiвши функцiю
hµ(y, z, φ, ψ, ξ) = µ3G3(y, z, ξ, µ) + fµd(y, z, φ, ψ, ξ, µ),
з урахуванням наведених вище мiркувань сформулюємо такий пiдготовчий резуль-
тат для випадку невиродженої матрицi дужок Пуассона.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
94 Ю. В. ЛОВЕЙКIН, I. О. ПАРАСЮК
Теорема 5. Нехай виконуються припущення 2, 3, 7. Тодi для кожного µ ∈
∈ (−µ∗;µ∗), де µ∗ > 0 — досить мале, в O(|µ|)-околi iнварiантного тора незбуре-
ної системи, який вiдповiдає квазiстацiонарнiй точцi p∗, iснує вiдкрита множина,
яка розшаровується (m+ n)-вимiрними торами Tm+n
µ (ξ) = Tm
µ (ξ)× Tn
µ(ξ), зану-
мерованими m параметрами ξ ∈ W0 :=
{
ξ ∈ Rm : ρ < |ξ| < R
}
. В околi кожного
тора Tm+n
µ (ξ) можна ввести дiйсно-аналiтичнi i дiйсно-аналiтично залежнi вiд
ξ координати прямого добутку
{y ∈ Rm} × {z ∈ R2k} × {φ ∈ Rm/2πZm} × {ψ ∈ Rn/2πZn}
так, щоб цей тор задавався рiвняннями y = 0, z = 0, змiннi φ i ψ були кутовими
координатами на торах Tm
µ (ξ) i Tn
µ(ξ) вiдповiдно, дужка Пуассона визначалася
рiвностями (30), а гамiльтонiан збуреної системи мав вигляд
Hµ = λ̂(ξ, µ)·y + µḠ2(µ)z2 + hµ(y, z, φ, ψ, ξ) + β·ψ, (32)
де λ̂(ξ, µ), Ḡ2(µ) — гладкi в сенсi дiйсного аналiзу i рiвномiрно щодо µ ∈ (−µ∗, µ∗)
обмеженi разом з усiма своїми частинними похiдними довiльного порядку в облас-
тi (31), матриця Ḡ2(µ) невироджена для всiх µ ∈ (−µ∗, µ∗), hµ(y, z, φ, ψ, ξ) —
дiйсно-аналiтична функцiя змiнних x = (y, z, φ, ψ, ξ) в областi, яка визначається
умовами (31). Крiм того, в цiй областi виконанi оцiнки
max
{
|hµ|y=0
z=0
,
∣∣hµ
′
y
∣∣
y=0
z=0
, |hµ
′
z|y=0
z=0
}
≤ |µ|6+d,
max
{∣∣hµ
′′
yy
∣∣
y=0
z=0
,
∣∣hµ
′′
yz
∣∣
y=0
z=0
}
≤ |µ|3c,
max {|hµ| , |hµ
′
x| , |hµ
′′
xx|} ≤ c
з деякою сталою c > 0 i x = (y, z, φ, ψ, ξ).
3.3. Доведення основного результату. Випадок виродженої бiлiнiйної форми
C. Якщо ввести (k+m)-вимiрнi вектори y := (v, u) та λµ(ϑ) :=
(
Λ̆(η, µ), λ̂(η, ξ, µ)
)
,
Π = 2µḠ2(µ), а також (m+ n)-вимiрнi вектори ϕ := (φ, ψ) та ζ = (0, β), то отри-
маємо
Hµ = λµ(ϑ)·y +
1
2
Πz2 + hµ(y, z, ϕ, ϑ) + ζ·ϕ.
Вiдповiднi матрицi дужок Пуассона в даному випадку матимуть вигляд
{ϕ, y} =
(
0m×k Em
Σ 0n×m
)
=: σ, {z, z} =
(
0k −Ek
Ek 0k
)
=: I,
{ϕ,ϕ} =
(
0m 0m×n
0n×m Γ
)
=: χ.
Для того щоб застосувати теорему 1, потрiбно визначити множину V. Буде-
мо вважати, що β — фiксований вектор, так що параметрами є ϑ i λ ∈ Rm+k.
Покладемо rµ := µ| lnµd|−τ−1.
Введемо множину Vµ, яка складається з тих ν = (λ, η, ξ) ∈ R2(m+k), що задо-
вольняють умови
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
IНВАРIАНТНI ТОРИ ЛОКАЛЬНО ГАМIЛЬТОНОВИХ СИСТЕМ ... 95
|λ| < R, η ∈ U , ρ+ rµ < |ξ| < R− rµ,∣∣m ·H0
′(p0(η, µ))
∣∣ ≥ γ|m|−τ , m ∈ Zn : 0 < |m| ≤ Nµ,∣∣ j̃ · iλ̃(η, µ) + j̄ · $̃(η, µ)
∣∣ 6= 0, j = (̃j, j̄) ∈ Zm+k : 0 < |j| ≤ l.
(33)
Тепер очевидно, що функцiя hµ в областi
Ωµ :=
{
(y, ϕ, ν) ∈ C2k+3m+2n : |y| < ρ, ‖z| < ρ, | Imϕ| < ρ, ν ∈ Vµ + rµ
}
,
задовольняє всi умови теореми 1.
Спираючись на цю теорему, опишемо побудову множини параметрiв ϑ, кожнiй
точцi якої вiдповiдає (m+n)-вимiрний iнварiантний тор гамiльтонової системи, по-
родженої гамiльтонiаном Hµ. Нехай F (ϕ, ν) = Fµ(ϕ, λ, ϑ), G(ϕ, ν) = Gµ(ϕ, λ, ϑ) i
∆(ν) = ∆µ(λ, ϑ) — вiдображення, побудованi згiдно з теоремою 1. Вiдповiдно до
зауваження 1 для кожного натурального s i дiйсного k ≥ 1 можна вибрати числа r,
d i µ∗ > 0 так, щоб виконувалось
max
{∣∣Fµ(ϕ, λ, ϑ)
∣∣
s
,
∣∣∆µ(λ, ϑ)
∣∣
s
,
∣∣Gµ(ϕ, λ, ϑ)
∣∣
s
}
≤
≤ c(s,κ)µbd+1−s| lnµd|s(τ+1) ≤ µk
для всiх |µ| < µ∗. Вiдтак рiвняння λ + µ∆µ(λ, ϑ) = λµ(ϑ) можна розв’язати
вiдносно λ i таким чином визначити гладку функцiю вигляду λ = λµ(ϑ) + µλ̌µ(ϑ),
де |λ̌µ(ϑ)|s = O(µs) при µ→ 0.
Нарештi, визначимо множину Wµ, яка складається з тих ϑ, якi задовольняють
умови (33) i нерiвностi∣∣∣n · i(σ(λµ(ϑ) + µλ̂µ(ϑ)) + χ(η)ζ
)
−$j(ϑ)
∣∣∣ ≥ µγ|n|−τ ,∣∣∣n · (σ(λµ(ϑ) + µλ̂µ(ϑ)) + χ(η)ζ
)∣∣∣ ≥ µγ|n|−τ
∀n ∈ Zm+n \ {0}, j = 1, . . . , k.
(34)
Зауважимо, з огляду на рiвнiсть (26), що основну роль при визначеннi структури
i метричних характеристик множини Wµ вiдiграють дiйсно-аналiтичнi в областi
U + δ функцiї H0
′(p0(η, µ)) i λ̄(η, µ).
З вiдомих результатiв теорiї дiофантових наближень на пiдмноговидах евклiдо-
вого простору [5, 10, 13] та припущення 6 випливає така лема.
Лема 2. Для кожного ξ ∈ Rm такого, що ρ + rµ < |ξ| < R − rµ, позна-
чимо через Uµ,ξ множину, утворену тими η ∈ U , що задовольняють нерiвнос-
тi (33) та (34). Тодi при вiдповiдному виборi числа τ справджується рiвнiсть
lim
µ→0
mesUµ,ξ
/
mesU = 1.
Випадок невиродженої бiлiнiйної форми C. Введемо (m + n)-вимiрнi вектори
ϕ:=(φ, ψ), ζ := (0, β) та Π = 2µḠ2(µ). Тодi
Hµ = λ̂(ξ, µ)·y +
1
2
Πz2 + hµ(y, ϕ, ξ) + ζ·ϕ, (35)
а для матрицi дужок Пуассона матимемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
96 Ю. В. ЛОВЕЙКIН, I. О. ПАРАСЮК
{ϕ, y} =
(
Em
0n×m
)
=: σ, {z, z} =
(
0k −Ek
Ek 0k
)
=: I,
{ϕ,ϕ} =
(
0m 0m×n
0n×m C−1
)
=: χ.
Покладемо rµ := |µ|3| ln |µ|d|−τ−1. На пiдставi теореми 5, рiвностi σTζ =
= 0, теореми 1 i зауваження 1 можна зробити такий висновок: якщо зафiксувати
довiльним чином числа κ ∈ (0; 1), b ∈ (1/2; 1), s ∈ N, то число µ∗ ∈ (0; 1) можна
вибрати так, щоб для кожного µ ∈ (−µ∗, µ∗) iснували вiдображення
Fµ(ϕ, λ, ξ) ∈ C∞(Tm+n × R2m 7→ Rm),
Gµ(ϕ, λ, ξ) ∈ C∞(Tm+n × R2m 7→ Rk),
∆µ(λ, ξ) ∈ C∞(R2m 7→ Rm)
такi, що для будь-яких λ, ξ, якi задовольняють умови
|λ| < R, ρ+ rµ < |ξ| < R− rµ, |j · λ+ k · C−1β| > |µ|3γ(|j|+ |k|)−τ ,∣∣i(j · λ+ k · C−1β)−$i
∣∣ > |µ|3γ(|j|+ |k|)−τ
∀(j,k) ∈ Zm+n \ {0}, i = 1, . . . , k,
допомiжна система з гамiльтонiаном (λ+µ3∆µ(λ, ξ)) ·y+
1
2
Πz2 +hµ(y, ϕ, ξ)+ζ ·ϕ
мала iнварiантний тор, заданий рiвняннями y = Fµ(ϕ, λ, ξ), z = Gµ(ϕ, λ, ξ), i при
цьому Cs-норми зазначених вiдображень задовольняли нерiвностi
max
{∣∣Fµ(ϕ, λ, ξ)
∣∣
s
,
∣∣Gµ(ϕ, λ, ξ)
∣∣
s
,
∣∣∆µ(λ, ξ)
∣∣
s
}
≤
≤ c(s,κ)|µ|bd+3(1−s)| ln |µ|d|s(τ+1), ∀ µ ∈ (−µ∗, µ∗),
де c(s,κ) — стала, яка залежить лише вiд s та κ. Для того щоб цей результат
застосувати до системи з гамiльтонiаном (35), потрiбно вiдповiдно до модифiкова-
ного методу штучних параметрiв [5] визначити λ = λµ(ξ) як неявну функцiю зi
спiввiдношення
λ+ µ3∆µ(λ, ξ) = λ̂(ξ, µ) ≡ µλ̃(µ) +
[l/2]∑
j=2
µ2j−1
(
Ãj0(µ)ξj
)′
ξ
.
Зрозумiло, що за умови достатньої мализни µ∗ для кожного µ ∈ (−µ∗, µ∗) та-
ка функцiя iснує i є гладкою в областi ρ + 2rµ < |ξ| < R − 2rµ. Крiм того,
λµ(ξ) = µλ̃(µ) + 2µ3A2,0(p∗)ξ +O(µ4) i
∂
∂ξ
λµ(ξ) = 2µ3A2,0(p∗) +O(µ4). Вiдтак,
зауваживши, що вектор C−1β = H0
′(p∗) задовольняє дiофантовi умови припущен-
ня 7, можна стверджувати, що для кожного µ ∈ (−µ∗, µ∗) i для кожного ξ ∈ Rm,
яке справджує нерiвностi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
IНВАРIАНТНI ТОРИ ЛОКАЛЬНО ГАМIЛЬТОНОВИХ СИСТЕМ ... 97
ρ+ 2rµ < |ξ| < R− 2rµ, |j · λµ(ξ) + k · C−1β| > |µ|3γ(|j|+ |k|)−τ ,∣∣i(j · λµ(ξ) + k · C−1β)−$i
∣∣ > |µ|3γ(|j|+ |k|)−τ
∀(j,k) ∈ Zm+n, j 6= 0, i = 1, . . . , k,
(36)
система з гамiльтонiаном (35) має iнварiантний тор, який задається рiвняннями
y = Fµ(ϕ, λµ(ξ), ξ), z = Gµ(ϕ, λµ(ξ), ξ).
Щоб переконатися, що iнварiантнi тори iснують для бiльшостi значень пара-
метра ξ з областi ρ < |ξ| < R, оцiнимо мiру множини Cµ, визначеної нерiвностя-
ми (36). Спочатку розглянемо пiдмножину Xµ обмеженої областi D ⊂ Rm, задану
умовами
x ∈ D,
∣∣i(j · (x0 + µ3x) + k · C−1β)−$i
∣∣ ≤ |µ|3γ(|j|+ |k|)−τ ,
|j · (x0 + µ3x) + k · C−1β| ≤ |µ|3γ(|j|+ |k|)−τ
∀(j,k) ∈ Zm+n, j 6= 0, i = 1, . . . , k,
(37)
де x0 ∈ Rm — фiксований вектор.
Легко бачити, що для кожної фiксованої пари j, k, такої що j 6= 0, мiра множини,
заданої нерiвностями (37), не перевищує мiри множини
x ∈ D − 1
µ3
(
x0 +
k · C−1β
‖j‖
j
)
, |j · x| ≤ γ(|j|+ |k|)−τ .
Оскiльки вiдстань мiж гiперплощинами j·x = ±γ(|j|+|k|)−τ дорiвнює 2γ‖j‖−1
(
|j|+
+ |k|
)−τ
, де ‖ • ‖ — евклiдова норма, то ця мiра не перевищує
γC1(m)(diamD)m−1‖j‖−1
(
|j|+ |k|
)−τ
,
де стала C1(m) залежить лише вiд m. Але тодi за умови, що τ > m + n, iснує
стала C2(m,n, τ) > 0 така, що
mesXµ ≤ γC1(m)(diamD)m−1
∞∑
k=1
k−τ
∑
|j|+|k|=k
‖j‖−1 ≤
≤ γC2(m,n, τ)(diamD)m−1.
З цих мiркувань можна зробити висновок, що мiру множини параметрiв (36) можна
зробити як завгодно близькою до мiри областi ρ < |ξ| < R за умови достатної
мализни µ∗ та γ.
4. Висновки. В данiй роботi доведено теорему про iснування квазiперiодичних
рухiв на iнварiантних торах локально гамiльтонових систем, близьких до умовно
iнтегровних. Ця теорема охоплює як виродженi випадки, коли серед частот квазi-
перiодичних рухiв є такi, що прямують до нуля разом з величиною збурення, так
i невиродженi випадки, i дозволяє унiфiкувати аналiз ситуацiй, якi виникають в
теорiї збурень iнварiантних торiв.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
98 Ю. В. ЛОВЕЙКIН, I. О. ПАРАСЮК
Також дослiджено задачу про збурення цiлком iнтегровної гамiльтонової сис-
теми локально гамiльтоновим векторним полем при одночаснiй деформацiї симп-
лектичної структури. Така деформацiя породжує ненульову матрицю µC дужок
Пуассона змiнних дiї. За умови iснування квазiстацiонарного положення p∗, яке
визначається як корiнь рiвняння CH ′
0(p∗) = β, результати робiт [1, 2] розповсюд-
жено на випадок, коли матриця CH ′′
0 (p∗), окрiм суто уявних i, можливо, нульових
власних чисел, має ще й ненульовi власнi числа.
1. Ловейкiн Ю. В., Парасюк I. О. Теорема про збурення коiзотропних iнварiантних торiв локально
гамiльтонових систем та її застосування // Нелiнiйнi коливання. – 2005. – 8, № 4. – С. 490 – 515.
2. Ловейкiн Ю. В., Парасюк I. О. Бiфуркацiя коiзотропних iнварiантних торiв при локально га-
мiльтонових збуреннях iнтегровних систем та невиродженiй деформацiї симплектичної струк-
тури // Там же. – 2006. – 9, № 2. – С. 221 – 232.
3. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Метод ускоренной сходимости в
нелинейной механике. – Киев: Наук. думка, 1969. – 248 с.
4. Мозер Ю. О разложении условно-периодических движений в сходящиеся степенные ряды //
Успехи мат. наук. – 1969. – 24, вып. 2. – С. 165 – 217.
5. Broer H. W., Huitema G. B., Sevryuk M. B. Quasi-periodic motions in families of dynamical systems:
order admits chaos // Lect. Notes Math. – Berlin: Springer, 1997. – 1645. – 195 p.
6. Парасюк И. О. О сохранении коизотропных инвариантных торов локально гамильтоновых
систем // Некоторые вопросы теории асимптотических методов нелинейной механики. – Киев:
Ин-т математики АН УССР, 1986. – С. 150 – 154.
7. Pöschel J. Integrability of Hamiltonian systems on Cantor sets // Communs Pure and Appl. Math.
– 1982. – 35, № 5. – P. 653 – 695.
8. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. – М.: Наука, 1989. – 472 с.
9. Парасюк I. О. Бiфуркацiя канторової множини коiзотропних iнварiантних торiв гамiльтонових
систем при збуреннi симплектичної структури // Нелiнiйнi коливання. – 1998. – 1, № 2. – С. 81 –
89.
10. Rüssmann H. Non-degeneracy in the perturbation theory of integrable dynamical systems // London
Math. Soc. Lect. Notes Ser. – 1989. – № 134. – P. 15 – 18.
11. Аносов Д. В. Осреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений с быстро-
колеблющимися решениями // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1960. – 24, № 5. – С. 721 – 742.
12. Kasuga T. On the adiabatic theorem for the Hamaltonian system of differential equations in the
classical mechanics // Proc. Jap. Acad. – 1961. – 37, № 7. – P. 366 – 382.
13. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небес-
ной механики. – М: Эдиториал УРСС, 2002. – 416 с.
14. Брюно А. Д. Нормальная форма системы Гамильтона // Успехи мат. наук. – 1988. – 43, вып. 1.
– С. 23 – 56.
Одержано 22.09.2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-3292 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:39:49Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f8/60874a8036da5a657efc95e144e728f8.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32922020-03-18T19:50:22Z Invariant tori of locally Hamiltonian systems close to conditionally integrable systems Інваріантні тори локально гамільтонових систем, близьких до умовно інтегровних Loveikin, Yu. V. Parasyuk, I. O. Ловейкін, Ю. В. Парасюк, І. О. We study the problem of perturbations of quasiperiodic motions in the class of locally Hamiltonian systems. By using methods of the KAM-theory, we prove a theorem on the existence of invariant tori of locally Hamiltonian systems close to conditionally integrable systems. On the basis of this theorem, we investigate the bifurcation of a Cantor set of invariant tori in the case where a Liouville-integrable system is perturbed by a locally Hamiltonian vector field and, simultaneously, the symplectic structure of the phase space is deformed. Проведен анализ проблемы возмущений квазипериодических движений в классе локально гамильтоновых систем. Методами КАМ-теории доказана теорема о существовании инвариантных торов локально гамильтоновых систем, близких к условно интегрируемым. С помощью этой теоремы исследована бифуркация канторового множества инвариантных торов в случае, когда интегрируемая по Лиувиллю система возмущается локально гамильтоновым векторным полем и одновременно испытывает деформацию симплектическая структура фазового пространства. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3292 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 1 (2007); 71–98 Український математичний журнал; Том 59 № 1 (2007); 71–98 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3292/3329 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3292/3330 Copyright (c) 2007 Loveikin Yu. V.; Parasyuk I. O. |
| spellingShingle | Loveikin, Yu. V. Parasyuk, I. O. Ловейкін, Ю. В. Парасюк, І. О. Invariant tori of locally Hamiltonian systems close to conditionally integrable systems |
| title | Invariant tori of locally Hamiltonian systems close to conditionally integrable systems |
| title_alt | Інваріантні тори локально гамільтонових систем, близьких до умовно інтегровних |
| title_full | Invariant tori of locally Hamiltonian systems close to conditionally integrable systems |
| title_fullStr | Invariant tori of locally Hamiltonian systems close to conditionally integrable systems |
| title_full_unstemmed | Invariant tori of locally Hamiltonian systems close to conditionally integrable systems |
| title_short | Invariant tori of locally Hamiltonian systems close to conditionally integrable systems |
| title_sort | invariant tori of locally hamiltonian systems close to conditionally integrable systems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3292 |
| work_keys_str_mv | AT loveikinyuv invarianttorioflocallyhamiltoniansystemsclosetoconditionallyintegrablesystems AT parasyukio invarianttorioflocallyhamiltoniansystemsclosetoconditionallyintegrablesystems AT lovejkínûv invarianttorioflocallyhamiltoniansystemsclosetoconditionallyintegrablesystems AT parasûkío invarianttorioflocallyhamiltoniansystemsclosetoconditionallyintegrablesystems AT loveikinyuv ínvaríantnítorilokalʹnogamílʹtonovihsistemblizʹkihdoumovnoíntegrovnih AT parasyukio ínvaríantnítorilokalʹnogamílʹtonovihsistemblizʹkihdoumovnoíntegrovnih AT lovejkínûv ínvaríantnítorilokalʹnogamílʹtonovihsistemblizʹkihdoumovnoíntegrovnih AT parasûkío ínvaríantnítorilokalʹnogamílʹtonovihsistemblizʹkihdoumovnoíntegrovnih |