Asymptotic solutions of the Cauchy problem for the singularly perturbed Korteweg-de Vries equation with variable coefficients
We propose an algorithm for the construction of an asymptotic solution of the Cauchy problem for the singularly perturbed Korteweg-de Vries equation with variable coefficients and prove a theorem on the estimation of its precision.
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3295 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509357773422592 |
|---|---|
| author | Samoilenko, V. G. Samoilenko, Yu. I. Самойленко, В. Г. Самойленко, Юл. І. |
| author_facet | Samoilenko, V. G. Samoilenko, Yu. I. Самойленко, В. Г. Самойленко, Юл. І. |
| author_sort | Samoilenko, V. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:50:22Z |
| description | We propose an algorithm for the construction of an asymptotic solution of the Cauchy problem for the singularly perturbed Korteweg-de Vries equation with variable coefficients and prove a theorem on the estimation of its precision. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:39:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 917.9
V. H. Samojlenko, G. I. Samojlenko (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka)
ASYMPTOTYÇNI ROZV’QZKY ZADAÇI KOÍI
DLQ SYNHULQRNO ZBURENOHO RIVNQNNQ KORTEVEHA –
DE FRIZA ZI ZMINNYMY KOEFICI{NTAMY
An algorithm of the construction of asymptotic solutions of the Cauchy problem for singularly perturbed
Korteweg – de Vries equation with varying coefficients is proposed. The theorem on estimation of its
precision is proved.
PredloΩen alhorytm postroenyq asymptotyçeskoho reßenyq zadaçy Koßy dlq synhulqrno
vozmuwennoho uravnenyq Korteveha – de Fryza s peremenn¥my koπffycyentamy y dokazana
teorema ob ocenke eho toçnosty.
1. Vstup. Odnym iz fundamental\nyx rivnqn\ suçasno] fizyky [ rivnqnnq
Korteveha – de Friza [1], qke v 1895 roci bulo zaproponovane Kortevehom i de
Frizom dlq opysu qvywa „vidokremleno] xvyli”, vidkrytoho Rasselom [2]. Qk
vyqvylosq zhodom, rivnqnnq Korteveha – de Friza ne lyße opysu[ dovhi xvyli
poverxni ridyny, a j modelg[ nyzku inßyx fizyçnyx qvyw ta procesiv [3].
Zokrema, ce rivnqnnq stalo matematyçnym pid©runtqm dlq rozvytku novoho
naprqmku v matematyci – matematyçno] teori] solitoniv, rizni aspekty qko]
vyvçalys\ u pracqx takyx vidomyx matematykiv, qk Kruskal [3, 4], Laks [5, 6],
V.?{. Zaxarov, S. P. Novikov, L. D. Fadd[[v [7 – 11], V. O. Marçenko [12, 13],
G.?O. Mytropol\s\kyj [14] ta in. Zokrema, dlq rivnqnnq Korteveha – de Friza,
wo zapysu[t\sq u vyhlqdi
u uu ut x xxx− +6 = 0,
za dopomohog metodu oberneno] zadaçi teori] rozsiqnnq bulo znajdeno rizni kla-
sy toçnyx rozv’qzkiv c\oho rivnqnnq.
Dlq rivnqnnq Korteveha – de Friza zi zminnymy koefici[ntamy vyhlqdu
u ut xxx+ = ( ( , , )) ( , , ) ( , )g t x u f t x u F t xx + +
z poçatkovog umovog
u x( , )0 = u x0( ) , x ∈R,
znajdeno umovy isnuvannq rozv’qzku u prostori ßvydkospadnyx funkcij [15]. U
praci [16] rozhlqnuto rehulqryzovane rivnqnnq dlq dovho] xvyli vyhlqdu
u uu ut x xxt+ − = 0.
Prote, nezvaΩagçy na te, wo rivnqnnq Korteveha – de Friza sponukalo roz-
vytok oberneno] zadaçi teori] rozsiqnnq, qka dozvolq[ otrymaty toçni rozv’qzky
dlq bahat\ox dyferencial\nyx rivnqn\ z çastynnymy poxidnymy, sered qkyx riv-
nqnnq Korteveha – de Friza, nelinijne rivnqnnq Íredinhera, rivnqnnq sin-Hor-
dona, rivnqnnq Kadomceva – Petviaßvili ta inßi [10, 11, 14], wo magt\ vaΩlyve
znaçennq v suçasnij fizyci, cej pidxid ne dozvolq[ zapysaty v qvnomu vyhlqdi
rozv’qzky pry naqvnosti u takyx rivnqn\ zminnyx koefici[ntiv. Çerez ce dlq
rivnqn\ z çastynnymy poxidnymy zi zminnymy koefici[ntamy, wo [ uzahal\nen-
nqm tak zvanyx intehrovnyx [7, 14] rivnqn\, dovodyt\sq zastosovuvaty rizni ana-
lityçni metody, sered qkyx najbil\ß efektyvnymy [ klasyçni asymptotyçni me-
tody [17], qki dozvolqgt\ pobuduvaty ]x nablyΩeni rozv’qzky za dopomohog dos-
tatn\o prostyx obçyslgval\nyx alhorytmiv. Zokrema, dlq rivnqnnq Korteveha
– de Friza zi zminnymy koefici[ntamy ta malym parametrom u [18 – 20] znajdeno
joho nablyΩeni rozv’qzky za dopomohog asymptotyçnoho metodu.
2. Postanovka zadaçi. Osnovni prypuwennq i poznaçennq. V danij stat-
ti rozhlqda[t\sq pytannq pro pobudovu asymptotyçnyx rozv’qzkiv zadaçi Koßi
rivnqnnq Korteveha – de Friza zi zminnymy koefici[ntamy vyhlqdu
© V. H. SAMOJLENKO, G. I. SAMOJLENKO, 2007
122 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
ASYMPTOTYÇNI ROZV’QZKY ZADAÇI KOÍI DLQ SYNHULQRNO ZBURENOHO … 123
ε2uxxx = a x u b x uut x( , ) ( , )ε ε+ (1)
z poçatkovog umovog
u x( , , )0 ε = f x
ε
, (2)
de
a x( , )ε = a xk
k
k
( )ε
=
∞
∑
0
, b x( , )ε = b xk
k
k
( )ε
=
∞
∑
0
,
funkci] a xk( ) , b xk( ) ∈ C∞( )R1 , k = 0, 1, … ; funkciq f ( )η , η∈R , naleΩyt\
prostoru Ívarca; ε > 0 — malyj parametr.
Sformulg[mo osnovni prypuwennq ta navedemo oznaçennq, neobxidni dlq
podal\ßoho vykladu.
Nexaj nezburene dlq (1) rivnqnnq ( ε = 0 )
a x u b x uut x0 0( ) ( )+ = 0 (3)
ma[ neskinçenno dyferencijovnyj v R × [ ; ] \0 T Γ , de Γ = {( , ) : ( ),t x x t= ϕ
t T∈[ ; ]}0 — deqka kryva, rozv’qzok, qkyj [ rozryvnym lyße na kryvij Γ; pry-
puska[mo, wo cq kryva [ hladkog. Taki rozv’qzky dlq rivnqnnq vyhlqdu (3), qk
vidomo, isnugt\ [18].
Poznaçymo çerez G1 = G T1 0( [ ; ] )R R× × linijnyj prostir neskinçenno
dyferencijovnyx funkcij f = f x t( , , )τ , ( x, t, τ ) ∈ R R× ×[ ; ]0 T , takyx, wo
dlq dovil\nyx nevid’[mnyx cilyx çysel n, m, q, p rivnomirno wodo zminnyx x,
t na koΩnij kompaktnij mnoΩyni K ⊂ R × [ ; ]0 T vykonugt\sq taki dvi umovy
[18] :
1) spravdΩu[t\sq spivvidnoßennq
( x, t, τ ) lim ( , , )
τ
τ ∂
∂τ
∂
∂
∂
∂
τ
→+∞
n
m
m
q
q
p
pt x
f x t = 0, ( x, t ) ∈ K ; (4)
2) isnu[ taka neskinçenno dyferencijovna funkciq f x t−( , ), wo
lim ( , , ) ( , )
τ
τ ∂
∂τ
∂
∂
∂
∂
τ
→−∞
−−( )n
m
m
q
q
p
pt x
f x t f x t = 0, ( x, t ) ∈ K . (5)
Poznaçymo çerez G1
0 = G T1
0 0( [ ; ] )R R× × linijnyj pidprostir prostoru
G1 = G T1 0( [ ; ] )R R× × neskinçenno dyferencijovnyx funkcij f = f x t( , , )τ ,
( x, t, τ ) ∈ R R× ×[ ; ]0 T , takyx, wo dlq dovil\nyx nevid’[mnyx cilyx çysel n,
m, q, p rivnomirno wodo zminnyx x, t na koΩnomu kompakti K ⊂ R × [ ; ]0 T
dodatkovo do umov (4), (5) vykonu[t\sq umova
lim ( , , )
τ
τ ∂
∂τ
∂
∂
∂
∂
τ
→−∞
n
m
m
q
q
p
pt x
f x t = 0. (6)
ZauvaΩymo, wo prostir G1
0 — ce prostir neskinçenno dyferencijovnyx
funkcij, zaleΩnyx vid zminnyx ( x, t, τ ) ∈ R R× ×[ ; ]0 T , qki wodo zminno] τ
naleΩat\ prostoru Ívarca.
Poznaçymo çerez G2
+ = G T2 0 0+ × × ×( [ ; ] [ ; ])R R Θ , de Θ — deqke dijsne do-
datne çyslo, linijnyj prostir neskinçenno dyferencijovnyx funkcij f =
= f x t( , , , )τ τ1 2 , ( τ1 , τ2 ) ∈ R × [ ; ]0 Θ , ( x, t ) ∈ R × [ ; ]0 T , takyx, wo dlq dovil\-
nyx nevid’[mnyx cilyx çysel p, q, r, q1 , q2 rivnomirno wodo zminnyx x, t na
koΩnij kompaktnij mnoΩyni K ⊂ R × [ ; ]0 T vykonu[t\sq spivvidnoßennq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
124 V. H. SAMOJLENKO, G. I. SAMOJLENKO
lim ( , , , )
τ
τ ∂
∂τ
∂
∂τ
∂
∂
∂
∂
τ τ
→±∞
1
1 2
1 2
1
1
2
2
r
q
q
q
q
q
q
p
pt x
f x t = 0, ( x, t ) ∈ K, τ2 ∈ [ ; ]0 Θ . (7)
Oznaçennq71 [18]. Funkciq u = u x t( , , )ε nazyva[t\sq odnofazovog soli-
tonopodibnog, qkwo dlq dovil\noho ciloho çysla N ≥ 0 funkcig u ( x , t, ε )
moΩna zobrazyty za dopomohog rozkladu za malym parametrom ε :
u ( x, t, ε ) =
j
N
j
j j
Nu x t V x t O
=
+∑ + +
0
1ε τ ε[ ( , ) ( , , )] ( ),
de τ = ( ( ))x t− −ϕ ε 1; ϕ ( t ) ∈ C Tx
∞ ×( [ ; ])R1 0 — deqka skalqrna dijsna funkciq;
funkci] uj ( x, t ) , j N= 0, , — neskinçenno dyferencijovni (v toçkax t = 0, t =
= T rozhlqdagt\sq vidpovidno liva ta prava poxidni); V x t G0 1
0( , , )τ ∈ ;
V x t Gj( , , )τ ∈ 1, j N= 1, .
Funkciq S ( x, t ) = x – ϕ ( t ) nazyva[t\sq fazog odnofazovo] solitonopodibno]
funkci] u ( x, t, ε ) . Funkciq ϕ ( t ) vyznaça[ linig rozryvu funkci] u ( x, t, ε ) pry
ε = 0.
3. ZobraΩennq asymptotyçnoho rozv’qzku zadaçi Koßi (1), (2). Rozv’q-
zok zadaçi Koßi (1), (2) ßuka[mo u vyhlqdi asymptotyçnoho rqdu
u ( x, t, ε ) = Y x t ON
N( , , ) ( )ε ε+ +1 , (8)
de
YN ( x, t, ε ) =
j
N
j
j j ju x t V x t W
=
∑ + +
0
1 1 2ε τ τ τ[ ( , ) ( , , ) ( , )], (9)
τ1 =
x t− ϕ
ε
( )
, τ2 = t
ε
.
Funkciq
UN ( x, t, ε ) =
j
N
j
ju x t
=
∑
0
ε ( , )
nazyva[t\sq rehulqrnog çastynog asymptotyky (8), a funkciq
V x t W x tN N( , , ) ( , , )ε ε+ =
j
N
j
j jV x t W
=
∑ +
0
1 1 2ε τ τ τ[ ( , , ) ( , )] (10)
— synhulqrnog çastynog asymptotyky (8). Pry c\omu funkcig VN ( x, t, ε ) =
= ε τj
jj
N
V x t( , , )10=∑ vyznaçeno v deqkomu okoli kryvo] Γ , a funkcig
WN ( x, t, ε ) = ε τ τj
jj
N
W ( , )1 20=∑ — v deqkomu okoli zv’qzno] mnoΩyny
{( , ) : , }t x t x= ∈0 R ∪ {( , ) : ( ), [ ; ]}t x x t t T= ∈ϕ 0
i, krim toho,
YN ( x, t, ε ) = U x t V x t W x tN N N( , , ) ( , , ) ( , , )ε ε ε+ + .
Oznaçennq72. Qkwo dlq rozv’qzku u ( x, t, ε ) zadaçi Koßi (1), (2) pry bud\-
qkomu cilomu çysli N ≥ 0 ma[ misce zobraΩennq (8), (9), d e ϕ ( t ) ∈
∈ C Tx
∞ ×( [ ; ])R1 0 — deqka skalqrna dijsna funkciq; funkci] uj ( x, t ) , j N= 0, ,
— neskinçenno dyferencijovni (v toçkax t = 0, t = T rozhlqdagt\sq vid-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
ASYMPTOTYÇNI ROZV’QZKY ZADAÇI KOÍI DLQ SYNHULQRNO ZBURENOHO … 125
povidno liva ta prava poxidni); V x t G0 1 1
0( , , )τ ∈ ; V x t Gj( , , )τ1 1∈ , j N= 1, ;
W Gj( , )τ τ1 2 2∈ + , j N= 0, , to funkciq u ( x, t, ε ) nazyva[t\sq asymptotyçnym
odnofazovym solitonopodibnym rozv’qzkom zadaçi Koßi (1), (2).
Vidpovidno do zahal\no] metodolohi] asymptotyçnyx metodiv [17], dlq vyzna-
çennq koefici[ntiv asymptotyçnyx rozkladiv (8) – (10) znaxodymo
ε
ε τ ε τ ε τ
2
3
3
3
3
3
2
1
2
3
1
2 3
3
1
3
3 3 1∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂ ∂
+ ∂
∂ ∂
+ ∂
∂
U
x
V
x
V
x
V
x
VN N N N N =
= a x
U
t
V
t
V
t
VN N N N( , ) ( )ε
ε τ
ϕ
ε τ
∂
∂
+ ∂
∂
− ∂
∂
′ + ∂
∂
1 1
1 2
+
+ b x U V
U
x
V
x
V
g x tN N
N N N
N( , )( ) ( , , )ε
ε τ
ε+ ∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
+1
1
, (11)
de gN ( x, t, ε ) = O N( )ε +1
— deqka neskinçenno dyferencijovna funkciq svo]x
arhumentiv, wo vyznaça[t\sq rekurentnym (wodo j ) çynom za funkciqmy Yj ( x, t,
ε ) , j N= −0 1, . Çyslo N vvaΩa[mo dovil\nym, ale fiksovanym.
Dlq vyznaçennq rehulqrno] çastyny asymptotyky UN ( x, t, ε ) v (8) sprqmu[mo
τ1 do + ∞ v livij ta pravij çastynax spivvidnoßennq (11), a potim, vraxuvavßy
(8) – (10), pryrivnq[mo koefici[nty pry odnakovyx stepenqx ε. V rezul\tati
otryma[mo deqku systemu dyferencial\nyx rivnqn\ dlq funkcij uj ( x, t ) , j =
= 0, N , qki vxodqt\ do rehulqrno] çastyny asymptotyky v (8). Qkwo dodatkovo
prypustyty, wo vykonu[t\sq umova u0 ( 0, 0 ) = 0, to rehulqrna çastyna asymp-
totyky (8) vyznaça[t\sq funkciqmy, qki [ rozv’qzkamy zadaç vyhlqdu
a x
u
t
b x u
u
x0
0
0 0
0( ) ( )
∂
∂
+ ∂
∂
= 0, u0 ( 0, 0 ) = 0, (12)
a x
u
t
b x u
u
x
b x
u
x
uj j
j0 0 0 0
0( ) ( ) ( )
∂
∂
+
∂
∂
+ ∂
∂
= f x t u u uj j( , , , , , )0 1 1… − , j N= 1, . (13)
ZauvaΩymo, wo rozv’qzok zadaç (12), (13) isnu[ pry dosyt\ zahal\nyx umovax,
a tomu zadaçu pro znaxodΩennq rehulqrno] çastyny asymptotyky (8) moΩna vva-
Ωaty rozv’qzanog.
4. Vyznaçennq synhulqrno] çastyny asymptotyky V x tN( , , )εε . VvaΩag-
çy vidomog rehulqrnu çastynu asymptotyky v (8), pislq pryrivngvannq koefici-
[ntiv pry odnakovyx stepenqx ε (v livij ta pravij çastynax rivnosti (11)) znaxo-
dymo systemu dyferencial\nyx rivnqn\ dlq vyznaçennq funkcij V x tj( , , )τ1 ,
j N= 0, , qki vxodqt\ do synhulqrno] çastyny asymptotyky VN ( x, t, ε ) . Oder-
Ωani rivnqnnq spoçatku vykorystovu[mo dlq vyznaçennq funkcij V x tj( , , )τ1 ,
j N= 0, , na kryvij rozryvu Γ, a potim — dlq prodovΩennq cyx funkcij v
deqkyj 2µ-okil kryvo] Γ — oblast\
Ωµ ( Γ ) = { }( , ) [ ; ] : ( )t x T x t∈ × − <R 0 2ϕ µ ,
de µ ∈( ; )0 1 — deqka (dostatn\o mala) stala. Pry c\omu my vykorystovu[mo te,
wo bud\-qku neskinçenno dyferencijovnu funkcig g ( x, t ) v oblasti Ωµ ( Γ )
moΩna zobrazyty takym çynom:
g t t( ( ) , )ϕ ετ+ 1 =
j
N
j j
j
j
x t
N
j x
g x t O
= =
+∑ ∂
∂
+
0
1
11ε τ ε
ϕ!
( , ) ( )
( )
. (14)
ZauvaΩymo, wo oblast\ Ωµ ( Γ ) i kryva Γ poky wo nevidomi i magt\ buty
vyznaçeni zhodom.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
126 V. H. SAMOJLENKO, G. I. SAMOJLENKO
4.1. Vyznaçennq synhulqrno] çastyny asymptotyky V x tN( , , )εε na kry-
vij ΓΓΓΓ. Poznaçymo
v j
Γ = v j tΓ( , )τ1 = V x tj x t
( , , )
( )
τ
ϕ1 =
, j N= 0, . (15)
Vraxovugçy (12), (13), z (11) znaxodymo, wo funkci] v j
Γ = v j tΓ( , )τ1 , j = 0, N ,
[ rozv’qzkamy systemy kvazilinijnyx dyferencial\nyx rivnqn\ z çastynnymy po-
xidnymy:
∂
∂
+ ′ ∂
∂
− ∂
∂
+ ∂
∂
3
0
1
3 0
0
1
0 0
0
1
0
0
1
v v v
v
vΓ Γ Γ
Γ
Γ
τ
ϕ ϕ
τ
ϕ ϕ
τ τ
a t t b t u t t( ( )) ( ) ( ( )) ( ( ), ) = 0, (16)
∂
∂
+ ′
∂
∂
−
∂
∂
+ ∂
∂
+
∂
∂
3
1
3 0
1
0 0
1
0
1
0
1
v v v v
v v
vj j j
j
ja t t b t u t t
Γ Γ Γ Γ
Γ Γ
Γ
τ
ϕ ϕ
τ
ϕ ϕ
τ τ τ
( ( )) ( ) ( ( )) ( ( ), ) = F j t( , )τ1 ,
(17)
de funkci]
F j t( , )τ1 = F t t t u x t u x tj j j x t
( , ( , ), , ( , ), ( , ), , ( , ))
( )
v v0 1 1 1 0
Γ Γτ τ
ϕ
… …− =
, j N= 1, ,
vyznaçagt\sq rekurentnym çynom.
Rozv’qzok rivnqnnq (16) u prostori G1
0
moΩna podaty u vyhlqdi [19]
v0 1
Γ( , )t τ = A ch C H[ ] (( ) [ ])ϕ τ ϕ− +2
1 0 , C0 = const,
de
A[ ]ϕ = – 2 0 0 0
0
a t t b t u t t
b t
( ( )) ( ) ( ( )) ( ( ), )
( ( ))
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ
′ −
, H[ ]ϕ =
2
0
A
b t
[ ]
( ( ))
ϕ
ϕ
,
pry umovi, wo funkciq ϕ = ϕ ( t ) vyznaçena dlq t ∈ [ 0; T ] i dlq ne] pry vsix t ∈
∈ [ 0; T ] vykonugt\sq nerivnosti b t0( ( ))ϕ ≠ 0, A [ ϕ ] > 0.
Rozhlqnemo pytannq pro rozv’qznist\ systemy (17) pry j N= 1, . Poznaçymo
L =
∂
∂
+ ′ − −[ ] ∂
∂
− ∂
∂
3
1
3 0 0 0 0 0
1
0
0
1τ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
τ
ϕ
τ
a t t b t u t t b t b t( ( )) ( ) ( ( )) ( ( ), ) ( ( )) ) ( ( ))v
vΓ
Γ
.
Todi systemu rivnqn\ (16) za dopomohog operatora L moΩna zapysaty v opera-
tornomu vyhlqdi takym çynom:
L tjvΓ( , )τ1 = F j t( , )τ1 , j N= 1, . (18)
Qkwo funkci] F tj( , )τ1 , j N= 1, , zadovol\nqgt\ umovu F j t G( , )τ1 1
0∈ , j =
= 1, N , to dlq rozv’qznosti operatornyx rivnqn\ (18) u prostori G1 neobxidno i
dostatn\o, wob vykonuvalas\ umova ortohonal\nosti [19]
F j t t d( , ) ( , )τ τ τ1 0 1 1vΓ
−∞
+∞
∫ = 0, j N= 1, . (19)
Intehrugçy (18) za zminnog τ1 vid – ∞ do τ1 , dlq funkci] v j tΓ( , )τ1 , j =
= 1, N , znaxodymo rivnqnnq
L tj1 1vΓ( , )τ = Φ j t( , )τ1 ,
de
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
ASYMPTOTYÇNI ROZV’QZKY ZADAÇI KOÍI DLQ SYNHULQRNO ZBURENOHO … 127
L1 =
∂
∂
+ ′ − −
2
1
2 0 0 0 0 0τ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕa t t b t b t u t t( ( )) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( ), )vΓ .
Todi funkcig v j tΓ( , )τ1 , j N= 1, , moΩna zapysaty u vyhlqdi
v j tΓ( , )τ1 = ν η τ ψ τj jt t t( ) ( , ) ( , )1 1+ ,
de
ν j t( ) = − ′ − −
→−∞
( ( ( )) ( ) ( ( ))) lim ( , )a t t b t tj0 0
1
1
1
ϕ ϕ ϕ τ
τ
Φ ,
Φ j t( , )τ1 =
−∞
∫ +
τ
τ τ
1
F j jt d E t( , ) ( ) , lim ( , )
τ
τ
1
1
→+∞
Φ j t = 0.
Tut η τ( , )t 1 — deqka funkciq z prostoru G1 taka, wo lim ( , )
τ
η τ
1
1
→−∞
t = 1, E tj ( )
— deqka neskinçenno dyferencijovna funkciq („stala intehruvannq”).
Qkwo ψ τj t G( , )1 1
0∈ , j N= 1, , to dlq ( x, t ) ∉ Ωµ ( Γ ) funkci] v j tΓ( , )τ1 ,
j N= 1, , moΩna zapysaty u vyhlqdi v j tΓ( , )τ1 = ν η τj t t( ) ( , )1 + ψ τj t( , )1 , j N= 1, .
PokaΩemo, wo funkciq ψ τj t G( , )1 1
0∈ , j N= 1, . Dlq c\oho rozhlqnemo riv-
nqnnq wodo ψ τj t( , )1 , j N= 1, . Ma[mo
L1 ψj = Φ j jt t L t( , ) ( ) ( , )τ ν η τ1 1 1− . (20)
Oçevydno, wo funkciq Φ j jt t L t( , ) ( ) ( , )τ ν η τ1 1 1− naleΩyt\ prostoru G1
0.
Oskil\ky prostir G1
0
[ skriz\ wil\nym u prostori ( )G1
0 ′ , prostir ( )G1
0 ′
— pov-
nym, a operator L G G1 1
0
1
0: ( )→ ′
— neterovym, to dlq rozv’qznosti rivnqnnq (20)
u prostori G1
0
neobxidnog i dostatn\og [ umova ortohonal\nosti vyhlqdu [21]
〈 − 〉Φ j jt t L t( , ) ( ) ( , ),τ ν η τ1 1 1 v = 0, (21)
de 〈⋅ ⋅〉, — standartnyj skalqrnyj dobutok u prostori G1
0; v v= ∈ ∗( )τ1 1Ker L ;
L1
∗
— operator, sprqΩenyj do L1 stosovno skalqrnoho dobutku u prostori G1
0.
Dali, oskil\ky Ker L1
∗ = { }v0τ
Γ , to umova (21) ma[ misce todi i lyße todi, ko-
ly vykonu[t\sq umova (19). Ce oznaça[, wo ψ τj t G( , )1 1
0∈ , j N= 1, , za umovy,
wo vykonu[t\sq umova ortohonal\nosti (19).
Z umovy ortohonal\nosti (19) pry j = 1 znaxodymo zvyçajne dyferencial\ne
rivnqnnq dlq vyznaçennq funkci] ϕ = ϕ ( t ) . Ce rivnqnnq zapysu[t\sq takym çy-
nom [19]:
a d
dt
A
H
a
d
dt
b u t b
u x t
x
A
Hx
0
2
0 0 0 0
0
2
2 2( )
[ ]
[ ]
( ) ( ) ( , ) ( )
( , ) [ ]
[ ]
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕϕ
+ ′ − ′ − ∂
∂
=
= 0. (22)
Dali prypuska[mo, wo rivnqnnq (22) ma[ rozv’qzok ϕ = ϕ ( t ) , vyznaçenyj pry
t ∈ [ 0; T ] , qkyj zadovol\nq[ poçatkovu umovu
ϕ ( 0 ) = 0. (23)
4.2. ProdovΩennq synhulqrno] çastyny asymptotyky V x tN( , , )εε v
2µµµµ-okil kryvo] ΓΓΓΓ . Opyßemo proceduru vyznaçennq funkcij V x tj( , , )τ1 ,
j N= 1, , v zamykanni deqko] oblasti Ωµ ( Γ ) ⊃ Γ. Vraxovugçy (17), vyznaça[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
128 V. H. SAMOJLENKO, G. I. SAMOJLENKO
prodovΩennq funkcij v j tΓ( , )τ1 , j N= 0, , z kryvo] Γ v oblast\ Ωµ ( Γ ) za do-
pomohog formuly
V x t0 1( , , )τ = v0 1
Γ( , )t τ , V x tj( , , )τ1 = v j jx t t t− +( , ) ( , ) ( , )η τ ψ τ1 1 , j N= 1, ,
de v j x t−( , ) , j N= 1, , — deqki funkci], qki vyznaçagt\sq qk rozv’qzky zadaç
Koßi vyhlqdu
Λv j x t−( , ) = f x tj
−( , ), (24)
v j x t−( , )
Γ
= ν j t( ), j N= 1, . (25)
Dyferencial\nyj operator Λ v (24) zapysu[t\sq u vyhlqdi
Λ = a x
t
b x u x t
x
b x
u x t
x0 0 0 0
0( ) ( ) ( , ) ( )
( , )∂
∂
∂
∂
∂
∂
+ + .
Dyferencial\ne rivnqnnq (24) dlq vyznaçennq funkci] v j x t−( , ) , j N= 1, , ot-
rymano z (11) za dopomohog hranyçnoho perexodu pry τ1 → – ∞ .
Oskil\ky kryva Γ pry vsix t ∈ [ 0; T ] transversal\na xarakterystykam ope-
ratora Λ, to zhidno z teoremog Koßi – Kovalevs\ko] poçatkova zadaça (24), (25)
ma[ rozv’qzok v j x t−( , ) ∈ C∞( ( ))Ω Γµ , j N= 1, , prynajmni v deqkij oblasti
Ωµ ( Γ ) za umovy, wo çyslo µ dostatn\o male. Dali prypuska[mo, wo zadaça Ko-
ßi (24), (25) ma[ rozv’qzok i v oblasti ( , ) : ( ) , ( ; )x t x t t T− ≤ − ∈{ }ϕ µ 0 .
ZauvaΩennq71. Dlq funkci] u x t V x t0 0 1( , ) ( , , )+ τ magt\ misce spivvidno-
ßennq
u x t V x t0 0 1( , ) ( , , )+ τ → u x t0( , ) v D ′ pry ε → 0,
V x t0 1( , , )τ
ε
→ g t x t( ) ( ( ))δ ϕ− v D ′ pry ε → 0,
de D ′ — prostir uzahal\nenyx funkcij.
Takym çynom, N-te nablyΩennq U x t V x tN N( , , ) ( , , , )ε τ ε+ 1 , ( x, t ) ∈ R1 0× [ ; ]T ,
rozv’qzku rivnqnnq (1) moΩna zapysaty za dopomohog formuly
U x t V x tN N( , , ) ( , , , )ε τ ε+ 1 =
=
ε τ
ε
ε
µ
µ
µ
j
j j
j
N
j
j j
j
N
j
j
j
N
u x t V x t x t
u x t u x t x t x t D
u x t x t D
[ ( , ) ( , , )], ( , ) ( ),
( , ) [ ( , ) ( , )], ( , ) ( ),
( , ), ( , ) ( ),
\
\
+ ∈
+ + ∈
∈
=
−
=
−
=
+
∑
∑
∑
1
0
0
1
0
Ω Γ
Ω Γ
Ω Γ
v
(26)
de
D− = ( , )) [ ; ] : ( )x t T t x∈ × − ≥{ }R1 0 ϕ µ ,
D+ = ( , )) [ ; ] : ( )x t T x t∈ × − ≥{ }R1 0 ϕ µ ,
a funkci] v j x t−( , ) , j N= 0, , vyznaçeno qk rozv’qzky zadaç Koßi (24), (25) qk v
oblasti Ωµ ( Γ ) , tak i v oblasti ( , ) : ( ) , ( ; )x t x t t T− ≤ − ∈{ }ϕ µ 0 .
ZauvaΩennq72. Pry vkazanomu vywe prodovΩenni funkci] V x tj( , , )τ1 , j =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
ASYMPTOTYÇNI ROZV’QZKY ZADAÇI KOÍI DLQ SYNHULQRNO ZBURENOHO … 129
= 0, N , z kryvo] Γ v oblast\ Ωµ ( Γ ) funkciq Y x tN( , , )ε , vyznaçena za dopomo-
hog formuly (26), pry τ1 → – ∞ zadovol\nq[ rivnqnnq (1) z toçnistg O N( )ε +2 .
ZauvaΩennq73. U vypadku, koly rozv’qzky zadaç Koßi (24), (25) vyznaçeni
lyße v oblasti Ωµ ( Γ ) , N-te nablyΩennq U x t V x tN N( , , ) ( , , )ε ε+ , ( x, t ) ∈
∈ R1 0× [ ; ]T , rozv’qzku rivnqnnq (1) moΩna zapysaty za dopomohog formuly
U x t V x tN N( , , ) ( , , )ε ε+ =
=
ε τ
ε
µ
µ
j
j j
j
N
j
j
j
N
u x t V x t x t
u x t x t D D
[ ( , ) ( , , )], ( , ) ( ),
( , ), ( , ) ( ) ( ),\
+ ∈
∈
=
=
+ −
∑
∑
1
0
0
Ω Γ
Ω Γ∪
(27)
i take nablyΩennq rozv’qzku rivnqnnq (1) pry τ1 → – ∞ zadovol\nq[ rivnqnnq
(1) z toçnistg O N( )ε +2 .
5. Vyznaçennq synhulqrno] çastyny asymptotyky W x tN( , , )εε . Vraxovu-
gçy zadaçi (12), (13), z (11) standartnym çynom (pryrivnggçy koefici[nty pry
odnakovyx stepenqx ε ) znaxodymo systemu dyferencial\nyx rivnqn\ dlq vy-
znaçennq funkcij Wj( , )τ τ1 2 , j N= 0, , v okoli zv’qzno] mnoΩyny
M = ( , ) : , ( , ) : ( ), [ ; ]t x t x t x x t t T= ∈{ } = ∈{ }0 01R ∪ ϕ .
Takym çynom, dlq vyznaçennq synhulqrno] çastyny W x tN( , , )ε ma[mo dyferen-
cial\ni rivnqnnq
∂
∂
3
0
1
3
W
τ
= – a
W W
0
0
1
0
2
0 0( ) ( )′ ∂
∂
− ∂
∂
ϕ
τ τ
+
+ b V
W V
W W
W
0 0 1
0
1
0 1
1
0 0
0
1
0 0
0
( ) ( , )
( , )τ
τ
τ
τ τ
∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
, (28)
∂
∂
3
1
3
Wj
τ
= – a
W Wj j
0
1 2
0 0( ) ( )′
∂
∂
−
∂
∂
ϕ
τ τ
+
+ b V
W V
W
W
W W
Wj
j j
j
j0 0 1
1
0 1
1
0
1
0
1
1 20 0
0
( ) ( , )
( , )
( , )τ
τ
τ
τ τ τ
τ τ
∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
+
∂
∂
+ G , (29)
de funkci] G j( , )τ τ1 2 , j N= 1, , vyznaçagt\sq rekurentnym çynom pislq vyzna-
çennq funkcij W0 1 2( , )τ τ , W1 1 2( , )τ τ , … , Wj−1 1 2( , )τ τ .
Vykorystovugçy poçatkovu umovu (2), znaxodymo spivvidnoßennq
U x t V x t W x tN N N t( , , ) ( , , ) ( , , )ε ε ε+ +( ) =0 = f x
ε
,
zvidky, vraxovugçy asymptotyçni rozklady dlq funkcij U x tN( , , )ε , V x tN( , , )ε ,
W x tN( , , )ε vyhlqdu (8) – (10), otrymu[mo poçatkovi umovy dlq funkcij
Wj( , )τ τ1 2 , j N= 0, , pry τ2 = 0 :
W0 1 0( , )τ = f V( ) ( , )τ τ1 0 10− , (30)
Wj( , )τ1 0 = – V Qj j( , , ) ( )0 0 1 1τ τ+ , j N= 0, , (31)
de funkci] Qj , j N= 1, , vyznaçagt\sq rekurentnym çynom pislq vyznaçennq
funkcij W0 1 2( , )τ τ , W1 1 2( , )τ τ , … , Wj−1 1 2( , )τ τ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
130 V. H. SAMOJLENKO, G. I. SAMOJLENKO
Z’qsu[mo pytannq pro isnuvannq rozv’qzku zadaç (28), (30) ta (29), (31) u pro-
stori G2
+
. Dlq rozv’qznosti cyx zadaç u prostori G2
+
dostatn\og [ umova
vyhlqdu G j G( , )τ τ1 2 2∈ + . Pry c\omu rozv’qzok zadaç (28), (30) ta (29), (31) isnu[
dlq τ2 0∈[ ; ]Θ , de Θ — deqke dodatne çyslo.
Spravedlyva taka lema.
Lema71. Funkciq W0 1 2( , )τ τ , qka [ rozv’qzkom zadaçi (28), (30), naleΩyt\
prostoru G2
+
.
Lema?1 vyplyva[ z umovy W G0 1 1
00( , )τ ∈ .
Lema72. Qkwo funkciq – V Qj j( , ) ( )0 1 1τ τ+ , j N= 1, , naleΩyt\ prostoru
G1
0, a funkciq G j( , )τ τ1 2 , j N= 1, , — prostoru G2
+ , to funkciq Wj( , )τ τ1 2 ,
j N= 1, , qka [ rozv’qzkom zadaçi (29), (31), naleΩyt\ prostoru G2
+
.
Lema?2 vyplyva[ z teoremy?2.1 [15].
Takym çynom, ©runtugçys\ na vykladenyx vywe mirkuvannqx, moΩna sfor-
mulgvaty take tverdΩennq.
Teorema71. Nexaj vykonugt\sq taki prypuwennq:
1) funkci] ak ( x ) , bk ( x ) naleΩat\ prostoru C ( )( )∞ R1
, k ≥ 0;
2) zadaça Koßi (22), (23) ma[ rozv’qzok ϕ ( t ) , t ≥ 0, dlq qkoho vykonu[t\sq
nerivnist\ A [ ϕ ] > 0;
3) funkci] F j ( t, τ1 ) , j N= 1, , naleΩat\ prostoru G1
0
ta zadovol\nq-
gt\ umovu ortohonal\nosti (19);
4) vykonugt\sq umovy lemy?2.
Todi funkciq
Y x t( , , )ε =
j
N
j
j j j
Nu x t V x t W O
=
+∑ + + +
0
1 1 2
1ε τ τ τ ε[ ( , ) ( , , ) ( , )] ( ), (32)
τ1 =
x t− ϕ
ε
( )
, τ2 = t
ε
,
[ asymptotyçnym rozvynennqm dlq odnofazovoho solitonopodibnoho rozv’qzku
zadaçi Koßi (1), (2) dlq rivnqnnq Korteveha – de Friza pry 0 ≤ ≤t εΘ .
MoΩna vstanovyty ocinku miΩ toçnym u ( x, t, ε ) i nablyΩenym YN ( x, t, ε )
rozv’qzkamy zadaçi (1), (2). Spravedlyva taka teorema.
Teorema72. Nexaj vykonugt\sq umovy teoremy?1, funkci] a ( x, ε ) , b ( x, ε )
naleΩat\ prostoru G1
0
dlq ε ∈ ( 0; ε0 ] , funkciq a ( x, ε ) < 0 dlq vsix x ∈
∈ R1
ta dlq vsix ε ∈ ( 0; ε0 ] . Todi ma[ misce ocinka miΩ toçnym u ( x, t, ε ) i
nablyΩenym YN ( x, t, ε ) rozv’qzkamy zadaçi (1), (2) vyhlqdu
max ( )[ ( , , ) ( , , )]
[ ; ]t
Nx u x t Y x t dx
∈
−∞
+∞
∫ −
0
2
ε
αρ ε ε
Θ
≤ inf ( ) ( , )
α
αρ ε
−∞
+∞
∫ x h x dx2 , (33)
de α ∈N ∪ { }0 ; funkciq h x G( , )ε ∈ 1
0
— deqka funkciq, dlq qko] vykonu[t\sq
nerivnist\ h x( , )ε ≤ C Nε +1, a funkciq ρα( )x ma[ vyhlqd
ρα( )x =
e x
x x
x, ,
( ) , .
≤
+ >
0
1 0α
,
Dovedennq. Rozhlqnemo funkcig vyhlqdu
ω εN x t( , , ) = u x t Y x tN( , , ) ( , , )ε ε− ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
ASYMPTOTYÇNI ROZV’QZKY ZADAÇI KOÍI DLQ SYNHULQRNO ZBURENOHO … 131
de funkciq u ( x, t, ε ) — toçnyj rozv’qzok zadaçi (1), (2). Todi funkciq ωN ( x, t, ε )
[ rozv’qzkom zadaçi Koßi vyhlqdu
ε ω2
3
3
∂
∂
N
x
= a x
t
b x
x
Y
x
Y
x
N
N
N
N
N
N
N( , ) ( , )ε ω ε ω ω ω ω∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
, (34)
ωN ( x, 0, ε ) = h ( x, ε ) , (35)
de h x G( , )ε ∈ 1
0
— deqka funkciq, dlq qko] vykonu[t\sq asymptotyçna neriv-
nist\ h x( , )ε ≤ C Nε +1.
Vykonavßy v rivnqnni (34) zaminu zminnyx
x = εξ , t = – ε a ( ε ξ , ε ) η ,
otryma[mo rivnqnnq
∂
∂
+ ∂
∂
3
3
ω
ξ
ω
η
N N = b Y
Y
N
N
N
N
N
N( , )εξ ε ω ω
ξ
ω
ξ
ω
ξ
∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
,
dlq rozv’qzku ωN ( ξ, η, ε ) qkoho vykonu[t\sq nerivnist\
max ( )( ( , , ))
[ ; ]t
Nx d
∈
−∞
+∞
∫0
2
ε
αρ ω ξ η ε ξ
Θ
≤
−∞
+∞
∫ ρ εξ ε ξα( ) ( , ))x h d2 ,
de α ∈N ∪ { }0 .
Zvidsy vyplyva[ (33).
Teoremu?2 dovedeno.
Vysnovok. Za dopomohog zaproponovanoho alhorytmu pobudovano odnofa-
zovi solitonopodibni asymptotyçni rozv’qzky zadaçi Koßi dlq rivnqnnq Korteve-
ha?–?de?Friza zi zminnymy koefici[ntamy ta vstanovleno asymptotyçnu ocinku
dlq nyx.
1. Korteweg D. J., de Vries G. On the change in form of long waves advancing in a rectangular canal
and a new type of long stationary waves // Phil. Mag. – 1895. – # 39. – P. 422 – 433.
2. Russel J. S. Report on waves // Rept Fourteenth Meeting Brit Assoc. Adv. Sci. – London: John
Murray, 1844. – P. 311 – 390.
3. Zabusky N. J., Kruskal M. D. Interaction of „solutions” in a collisionless plasma and the recurrence
of initial states // Phys. Rev. Lett. – 1965. – 15. – P. 240.
4. Gardner C. S., Green J. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Method for solving the Korteweg – de
Vries equation // Ibid. – 1967. – 19. – P. 1095.
5. Lax P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Communs Pure and
Appl. Math. – 1968. – 21, # 2. – P. 467 – 490 (Pereklad ros. movog: Yntehral¥ nelynejn¥x
πvolgcyonn¥x uravnenyj y uedynenn¥e voln¥ // Matematyka. – 1969. – 13, # 15. –
S.?128 – 150 ) .
6. Lax P. D. Periodic solutions of the Korteweg – de Vries equation // Communs Pure and Appl.
Math. – 1975. – 28, # 2. – P. 141 – 188.
7. Zaxarov V. E., Faddeev L. D. Uravnenye Korteveha – de Fryza — vpolne yntehryruemaq
hamyl\tonova systema // Funkcyon. analyz y eho pryl. – 1971. – 5, # 4. – S. 18 – 27.
8. Novykov S. P. Peryodyçeskaq zadaça dlq uravnenyq Korteveha – de Fryza // Tam Ωe. – 1974.
– 8, # 3. – S. 54 – 66.
9. Zaxarov V. E., Manakov S. V. Obobwenye metoda obratnoj zadaçy teoryy rasseyvanyq //
Teor. y mat. fyzyka. – 1976. – 27, # 3. – S. 283 – 287.
10. Zaxarov V. E., Manakov S. V., Novykov S. P., Pytaevskyj L. P. Teoryq solytonov: metod
obratnoj zadaçy. – M.: Nauka, 1980. – 320 s.
11. TaxtadΩqn L. A., Faddeev L. D. Hamyl\tonov podxod v teoryy solytonov. – M.: Nauka,
1986. – 527 s.
12. Marçenko V. A. Peryodyçeskaq zadaça Korteveha – de Fryza // Mat. sb. – 1974. – 95, # 3. –
S. 331 – 356.
13. Marçenko V. A. Operator¥ Íturma – Lyuvyllq y yx pryloΩenyq. – Kyev: Nauk. dumka,
1977. – 332 s.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
132 V. H. SAMOJLENKO, G. I. SAMOJLENKO
14. Mytropol\skyj G. A., Boholgbov N. N. (ml.), Prykarpatskyj A. K., Samojlenko V. H.
Yntehryruem¥e dynamyçeskye system¥: spektral\n¥e y alhebro-heometryçeskye aspekt¥. –
Kyev: Nauk. dumka, 1987. – 296 s.
15. Famynskyj A. V. Zadaça Koßy dlq uravnenyq Korteveha – de Fryza y eho obobwenyj // Tr.
sem. ym. Y. H. Petrovskoho. – 1988. – V¥p. 13. – S. 56 – 105.
16. Dye J. M., Parker A. An inverse scattering scheme for the regularized long-wave equation // J.
Math. Phys. – 2000. – 41, # 5. – P. 2889 – 2904.
17. Boholgbov N. N., Mytropol\skyj G. A. Asymptotyçeskye metod¥ nelynejnoj mexanyky. –
M.: Nauka, 1974. – 504 s.
18. Maslov V. P., Omel\qnov H. A. Asymptotyçeskye solytonoobrazn¥e reßenyq uravnenyj s
maloj dyspersyej // Uspexy mat. nauk. – 1981. – V¥p. 36 (219), # 2. – S. 63 – 124.
19. Samojlenko V. H., Samojlenko G. I. Asymptotyçni rozvynennq dlq odnofazovyx
solitonopodibnyx rozv’qzkiv rivnqnnq Korteveha – de Friza zi zminnymy koefici[ntamy //
Ukr. mat. Ωurn. – 2005. – 58, # 1. – S. 111 – 124.
20. Samoylenko Yul. Asymptotical expansions for one-phase solution-type solution to perturbed
Korteweg – de Vries equation // Proc. Fifth. Int. Conf. „Symmetry in Nonlinear Mathematical
Physics”. – Kyiv: Inst. Math. Nat. Acad. Sci. Ukraine, 2004. – 3. – P. 1435 – 1441.
21. Matematyçeskaq πncyklopedyq: V 5 t. – M.: Nauka, 1982. – T. 3. – 1026 s.
22. Samoylenko V. Hr., Samoylenko Yul. Asymptotical expansions of solution to Cauchy problem for
Korteweg – de Vries equation with varying coefficients and small parameter // CERMCS Int. Conf.
Young Sci. Communs. – Chisinau: Moldova State Univ., 2006. – P. 186 – 192.
23. Myxajlov V. P. Dyfferencyal\n¥e uravnenyq s çastn¥my proyzvodn¥my. – M.: Nauka,
1976. – 391 s.
OderΩano 11.10.2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
|
| id | umjimathkievua-article-3295 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:39:49Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a9/e487fa4162cee924b798b23f7e1995a9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-32952020-03-18T19:50:22Z Asymptotic solutions of the Cauchy problem for the singularly perturbed Korteweg-de Vries equation with variable coefficients Асимптотичні розв'язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Кортевена-де Фріза зі змінними коефіцієнтами Samoilenko, V. G. Samoilenko, Yu. I. Самойленко, В. Г. Самойленко, Юл. І. We propose an algorithm for the construction of an asymptotic solution of the Cauchy problem for the singularly perturbed Korteweg-de Vries equation with variable coefficients and prove a theorem on the estimation of its precision. Предложен алгоритм построения асимптотического решения задачи Коши для сингулярно возмущенного уравнения Кортевега - де Фриза с переменными коэффициентами и доказана теорема об оценке его точности. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3295 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 1 (2007); 122–132 Український математичний журнал; Том 59 № 1 (2007); 122–132 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3295/3335 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3295/3336 Copyright (c) 2007 Samoilenko V. G.; Samoilenko Yu. I. |
| spellingShingle | Samoilenko, V. G. Samoilenko, Yu. I. Самойленко, В. Г. Самойленко, Юл. І. Asymptotic solutions of the Cauchy problem for the singularly perturbed Korteweg-de Vries equation with variable coefficients |
| title | Asymptotic solutions of the Cauchy problem for the singularly perturbed Korteweg-de Vries equation with variable coefficients |
| title_alt | Асимптотичні розв'язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Кортевена-де Фріза зі змінними коефіцієнтами |
| title_full | Asymptotic solutions of the Cauchy problem for the singularly perturbed Korteweg-de Vries equation with variable coefficients |
| title_fullStr | Asymptotic solutions of the Cauchy problem for the singularly perturbed Korteweg-de Vries equation with variable coefficients |
| title_full_unstemmed | Asymptotic solutions of the Cauchy problem for the singularly perturbed Korteweg-de Vries equation with variable coefficients |
| title_short | Asymptotic solutions of the Cauchy problem for the singularly perturbed Korteweg-de Vries equation with variable coefficients |
| title_sort | asymptotic solutions of the cauchy problem for the singularly perturbed korteweg-de vries equation with variable coefficients |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3295 |
| work_keys_str_mv | AT samoilenkovg asymptoticsolutionsofthecauchyproblemforthesingularlyperturbedkortewegdevriesequationwithvariablecoefficients AT samoilenkoyui asymptoticsolutionsofthecauchyproblemforthesingularlyperturbedkortewegdevriesequationwithvariablecoefficients AT samojlenkovg asymptoticsolutionsofthecauchyproblemforthesingularlyperturbedkortewegdevriesequationwithvariablecoefficients AT samojlenkoûlí asymptoticsolutionsofthecauchyproblemforthesingularlyperturbedkortewegdevriesequationwithvariablecoefficients AT samoilenkovg asimptotičnírozv039âzkizadačíkošídlâsingulârnozburenogorívnânnâkortevenadefrízazízmínnimikoefícíêntami AT samoilenkoyui asimptotičnírozv039âzkizadačíkošídlâsingulârnozburenogorívnânnâkortevenadefrízazízmínnimikoefícíêntami AT samojlenkovg asimptotičnírozv039âzkizadačíkošídlâsingulârnozburenogorívnânnâkortevenadefrízazízmínnimikoefícíêntami AT samojlenkoûlí asimptotičnírozv039âzkizadačíkošídlâsingulârnozburenogorívnânnâkortevenadefrízazízmínnimikoefícíêntami |