General method for the solution of some problems of stabilization and destabilization of motion
We demonstrate a complete mathematical analogy between the description of motion of an electron in a periodic field and the phenomenon of parametric resonance. A band approach to the analysis of the phenomenon of parametric resonance is formulated. For an oscillator under the action of an external f...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3300 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509362725847040 |
|---|---|
| author | Baryakhtar, V. G. Samar, A. V. Барьяхтар, В. Г. Самар, А. В. Барьяхтар, В. Г. Самар, А. В. |
| author_facet | Baryakhtar, V. G. Samar, A. V. Барьяхтар, В. Г. Самар, А. В. Барьяхтар, В. Г. Самар, А. В. |
| author_sort | Baryakhtar, V. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:50:43Z |
| description | We demonstrate a complete mathematical analogy between the description of motion of an electron in a periodic field and the phenomenon of parametric resonance. A band approach to the analysis of the phenomenon of parametric resonance is formulated. For an oscillator under the action of an external force described by the Weierstrass function, we calculate the increments of increase in oscillations and formulate a condition for parametric resonance. For the known problem of a pendulum with vibrating point of suspension, we find exact conditions for the stabilization of the pendulum in the upper (unstable) equilibrium position by using the Lamé equation. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:39:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9
V. H. Bar\qxtar (Nac. texn. un-t Ukrayn¥ „KPY”, Yn-t mahnetyzma NAN Ukrayn¥ y
M-va obrazovanyq y nauky Ukrayn¥, Kyev),
A. V. Samar (Nac. texn. un-t Ukrayn¥ „KPY”, Kyev)
OBWYJ METOD REÍENYQ NEKOTORÁX ZADAÇ
PO STABYLYZACYY Y DESTABYLYZACYY DVYÛENYQ
We demonstrate the complete mathematical analogy between the description of motion of an electron in
periodic field and the phenomenon of resonance. We formulate a zone approach to the analysis of the
phenomenon of parametric resonance. For an oscillator under action of external force described by the
Weierstrass function, we compute increments of oscillation increase and formulate the condition of
parametric resonance. For the known problem of a pendulum with vibrating point of suspension, by
using the Lamé equation, we find exact conditions of the stabilization of pendulum in the upper
(unstable) equilibrium position.
Prodemonstrovano povnu matematyçnu analohig v opysi ruxu elektrona v periodyçnomu poli ta
qvywa parametryçnoho rezonansu. Sformul\ovano zonnyj pidxid do analizu qvywa parametryç-
noho rezonansu. Dlq oscylqtora pid di[g zovnißn\o] syly, wo opysu[t\sq funkci[g Vej[r-
ßtrassa, obçysleno inkrementy narostannq kolyvan\ i sformul\ovano umovu parametryçnoho
rezonansu. Dlq vidomo] zadaçi pro maqtnyk iz vibrugçog toçkog pidvisu za dopomohog rivnqnnq
Lame znajdeno toçni umovy stabilizaci] maqtnyka u verxn\omu (nestijkomu) poloΩenni rivno-
vahy.
1. Vvedenye. Kak yzvestno, v rqde sluçaev zadaça stabylyzacyy (destabylyza-
cyy) sostoqnyq fyzyçeskoj system¥ qvlqetsq oçen\ vaΩnoj problemoj. Nay-
bolee yzvestn¥j prymer otnosytsq k stabylyzacyy dvyΩenyq zarqΩenn¥x ças-
tyc v uskorytelqx y nakopytelqx putem orhanyzacyy yx dvyΩenyq v peremen-
n¥x v prostranstve mahnytn¥x polqx (syl\naq fokusyrovka). Ydeq syl\noj
fokusyrovky v¥skazana v rabotax Krystofylosa, Kuranta, Lyvynhstona, Snaj-
dera (sm. [1 – 3]). Dlq stabylyzacyy dvyΩenyq zarqΩenn¥x çastyc v cyklyçes-
kyx uskorytelqx yspol\zugt specyal\n¥e mahnyt¥, raspoloΩenn¥e vdol\
kol\ca uskorytelq, v lynejn¥x uskorytelqx — peryodyçesky raspoloΩenn¥e
po dlyne uskorytelq. Napomnym, çto v nakopytelqx çastyc¥ proxodqt rassto-
qnyq v sotny kylometrov.
L. Y. Mandel\ßtamm y N. D. Papaleksy [4, 5] rassmotrely y πksperymen-
tal\no realyzovaly parametryçeskoe vozbuΩdenye toka v πlektryçeskom rezo-
nansnom konture, t. e. destabylyzacyg osnovnoho (bestokovoho) sostoqnyq rezo-
nansnoho kontura. K takym zadaçam otnosqtsq zadaçy o raskaçyvanyy kaçelej
(parametryçeskyj rezonans) y zadaça o stabylyzacyy kaçelej v vertykal\nom
sostoqnyy (zadaça N. N. Boholgbova [6], P. L. Kapyc¥ [7] (sm. takΩe [8]).
Matematyçeskoe opysanye vsex pereçyslenn¥x v¥ße fyzyçeskyx zadaç daet-
sq s pomow\g uravnenyq Xylla [9]. Po πtoj pryçyne ono po-preΩnemu pryvle-
kaet k sebe vnymanye fyzykov y matematykov.
Napomnym, çto uravnenye Xylla ymeet vyd
′′ + +y x x y x( ) [ ( ) ] ( )Φ λ = 0. (1)
Zdes\ λ — postoqnnaq velyçyna, Φ ( x ) — peryodyçeskaq funkcyq, Φ ( x + a ) =
= Φ ( x ) , ′′y x( ) — vtoraq proyzvodnaq funkcyy y ( x ) .
V sluçae πlektrona v krystalle y ymeet sm¥sl eho volnovoj funkcyy
y ( x ) = Ψ ( x ) , Φ ( x ) = – U ( x ) — potencyal\noj πnerhyy vzaymodejstvyq πlekt-
rona s krystallom, a — postoqnnaq reßetky krystalla, λ = E — πnerhyq
πlektrona v krystalle, x — eho koordynata.
V sluçae πlektryçeskoho kolebatel\noho kontura y = q — πlektryçeskyj
zarqd na kondensatore, Φ ( t ) + λ = [ ( ) ( )]/1 L t C t = ω0
2( )t , L y C — sootvet-
stvenno ynduktyvnost\ y emkost\ kolebatel\noho kontura, zavysqwye ot vreme-
ny. Proyzvodnaq beretsq po vremeny. V sluçae maqtnyka s vybryrugwej toç-
© V. H. BAR|QXTAR, A. V. SAMAR, 2007
152 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
OBWYJ METOD REÍENYQ NEKOTORÁX ZADAÇ PO STABYLYZACYY … 153
koj podvesa (zadaça Boholgbova – Kapyc¥) peremennaq x ymeet sm¥sl vremeny
t, y = ϕ — uhol smewenyq maqtnyka, f ( t ) = Φ ( t ) ϕ predstavlqet soboj peryody-
çeskug s peryodom T sylu, dejstvugwug na toçku podvesa, – λ ϕ ( t ) = ω ϕ0
2 ( )t
— syla, otklonqgwaq maqtnyk yz sostoqnyq s maksymal\noj potencyal\noj
πnerhyej, ω0
2 = g l/ , g — uskorenye svobodnoho padenyq, l — dlyna maqtnyka.
Ynteres matematykov k uravnenyg (1) obuslovlen tem, çto v svqzy s razvyty-
em teoryy solytonov aktual\n¥my staly zadaçy o takom v¥bore Φ ( x ) , kohda
uravnenye Xylla ymeet toçn¥e n-zonn¥e reßenyq. ∏ta problema b¥la v centre
vnymanyq v 70-e hod¥ proßloho stoletyq. Suwestvenn¥j vklad v ee reßenye
vnesly matematyky Sovetskoho Sogza [10 – 12].
V nastoqwee vremq ymeetsq dostatoçno polnoe opysanye svojstv kvazyças-
tyc¥ v krystalle [13, 14]. V rabote [15] predloΩena toçno reßaemaq model\
trexmernoho dvyΩenyq πlektrona v krystalle, v rabotax [16, 17] — toçno re-
ßaemaq model\ zadaçy o parametryçeskom rezonanse. ∏ta model\ bazyruetsq na
uravnenyy Xylla s potencyalom Lame.
2. Parametryçeskyj rezonans. Nov¥j metod yssledovanyq. V zadaçe o
parametryçeskom rezonanse rassmatryvaetsq dvyΩenye materyal\noj toçky v
okrestnosty ustojçyvoho sostoqnyq (fyzyçeskyj maqtnyk, toçka podvesa koto-
roho naxodytsq v¥ße centra tqΩesty) y ywutsq takye peryodyçeskye vneßnye
vozdejstvyq, kotor¥e destabylyzyrovaly b¥ ee osnovnoe sostoqnye y v¥zvaly
b¥ kolebatel\noe dvyΩenye.
Budem ysxodyt\ yz uravnenyq
d y
dt
y V t y
2
2 0
2+ −ω ( ) = 0, V ( t ) = V ( t + T ) ,
1
0
T
V t dt
T
( )∫ = 0, (2)
hde y — koordynata materyal\noj toçky, t — vremq, T — peryod, y sçytat\,
çto srednee po vremeny V ravno nulg. Pry otsutstvyy syl¥ f = V ( t ) y dvyΩe-
nye materyal\noj toçky tryvyal\no: poloΩytel\n¥m ω0
2
(vewestvenn¥m ças-
totam ω 0 ) sootvetstvugt harmonyçeskye kolebanyq koneçnoj amplytud¥;
otrycatel\n¥m ω0
2
(mnym¥m çastotam ω0 ) sootvetstvuet πksponencyal\noe
vozrastanye y so vremenem. Xarakter dvyΩenyq materyal\noj toçky kaçest-
venno menqetsq pod dejstvyem syl¥ f = V ( t ) y , a ymenno, na osy sobstvenn¥x
çastot ω0
2
pod dejstvyem πtoj syl¥ voznykagt „razreßenn¥e” y „zaprewen-
n¥e” zon¥ (rys.Q1).
Rys. 1
„Razreßenn¥m” zonam sootvetstvuet fynytnoe dvyΩenye materyal\noj toçky
daΩe pry otrycatel\n¥x ω0
2
(stabylyzacyq dvyΩenyq), „zaprewenn¥m” — yn-
fynytnoe dvyΩenye daΩe pry poloΩytel\n¥x ω0
2
(destabylyzacyq dvyΩe-
nyq). Zaßtryxovann¥e uçastky sootvetstvugt tem ω0
2, pry kotor¥x dvyΩenye
fynytnoe, amplytuda kolebanyj ohranyçena. Nezaßtryxovann¥e uçastky osy
ω0
2
sootvetstvugt tem sluçaqm, kohda dvyΩenye ynfynytnoe, amplytuda kole-
banyj πksponencyal\no vozrastaet so vremenem.
Zadaçu (2) lehko pereformulyrovat\ v zadaçu o sobstvenn¥x znaçenyqx y
sobstvenn¥x funkcyqx operatorov sdvyha R ( T ) po vremeny na peryod T <po-
tencyala> V ( T ) y <hamyl\tonyana> h :
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
154 V. H. BAR|QXTAR, A. V. SAMAR
R ( T ) y ( t ) = y ( t + T ) = λ y ( t ) ,
(3)
h y ( t ) = − +
d
dt
V t y t
2
2 ( ) ( ) = ω0
2 y t( ) ,
hde λ y ω0
2
— sobstvenn¥e çysla, kotor¥m sootvetstvugt sobstvenn¥e funk-
cyy zadaçy. Zadaça (3) ymeet hlubokug analohyg s dvyΩenyem πlektrona v pe-
ryodyçeskom pole krystalla, kotoraq vperv¥e b¥la otmeçena v [16 – 18].
2.1. PryblyΩenye slaboj svqzy. Zdes\ m¥ pryvedem, ne ostanavlyvaqs\
na rasçetax, rezul\tat¥ dlq sluçaq slaboj vneßnej syl¥
V t( ) << ω0
2 .
V πtom pryblyΩenyy koordynat¥ centrov „zaprewenn¥x” zon opredelqgtsq
formuloj
ω0
2( )s =
πs
T
, s = ± 1, ± 2, … . (4)
„Zaprewennaq” zona s zanymaet na osy ω0
2
ynterval znaçenyj
π πs
T
V
s
T
−
2 2
≤ ω0
2 ≤
π πs
T
V
s
T
+
2 2
. (5)
Koordynat¥ „razreßennoj” zon¥ s, raspoloΩennoj meΩdu s - y (s + 1)-j „za-
prewenn¥my” zonamy, opredelqgtsq neravenstvamy
π πs
T
V
s
T
+
2 2
≤ ω0
2 ≤
π π( ) ( )s
T
V
s
T
+
− +
1 2 12
. (6)
V formulax (5), (6) V s T( )/2π — komponenta Fur\e peryodyçeskoho potency-
ala V ( t ) = V ( t + T ) :
V ( t ) = V s is t
s
( )exp( )Ω Ω−
= −∞
∞
∑ , Ω =
2π
T
. (7)
Sobstvenn¥e funkcyy, sootvetstvugwye çastotam ω0
2, leΩawym v „razre-
ßenn¥x” zonax, ymegt vyd
y t1 2, ( ) = exp( ) ( ),± i t u tω 1 2 , u ( t ) = u ( t + T ) , (8)
hde ω — kvazyçastota, opredelqgwaq yzmenenye sobstvennoj çastot¥ ω0
2
v
„razreßennoj” („zaprewennoj”) zone. „Razreßennoj” zone çastot sootvetstvuet
vewestvennaq kvazyçastota ω, „zaprewennoj” zone — kompleksnaq.
Pry s = 1 funkcyy u1 2, ymegt vyd
u t1 2, ( ) = 1
2 2
0
2 1− −
− −−V
T
i t
π ω ω[ ]( ) exp( )∓ Ω Ω –
– V
T
i t
2 2
0
2 1π ω ω
± − −[ ]( ) exp( )Ω Ω + … . (9)
V πtyx formulax sobstvennoe çyslo ω0
2
opredelqetsq yz dyspersyonnoho urav-
nenyq
( )( )( ) ( )ω ω ω ω0
2 2
0
2 2 21− − − −Ω V = 0, (10)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
OBWYJ METOD REÍENYQ NEKOTORÁX ZADAÇ PO STABYLYZACYY … 155
kotoroe spravedlyvo pry ω, blyzkyx k ω − Ω / 2 << Ω . Yz dyspersyonnoho
uravnenyq ymeem
ω ω0
2
, ( )s =
1
2
1
2
2 4
22 2 2 2
2
ω ω ω π+ −[ ] − +
( ) ( )Ω Ω Ω∓ V
T
. (11)
Na rys. 2 pryveden¥ zavysymosty pervoj ω0
2
− y vtoroj ω0
2
+ vetvej sobst-
venn¥x çastot ω0
2
vblyzy toçky ω ≈ Ω / 2 ( pry πtom Ω = 2; 4 2 2V T( )/π =
= 0,1 ) . Pervaq vetv\ opys¥vaet umen\ßenye sobstvennoj çastot¥ ω0
2
pry uda-
lenyy ot toçky ω = Ω / 2 , a vtoraq — ee uvelyçenye. Otmetym, çto obe vetvy
podxodqt k toçke ω = Ω / 2 s nulevoj proyzvodnoj ( )/
/
d dω ω
ω0
2
2=Ω
= 0. ∏to
obstoqtel\stvo ne qvlqetsq sluçajn¥m, a obuslovleno obwymy svojstvamy dvy-
Ωenyq v systeme s peryodyçeskym potencyalom. Ono analohyçno ravenstvu nu-
lg hruppovoj skorosty πlektrona na hranyce Bryllgπna.
Rys.Q2
M¥ vydym, çto reßenyq (8), (9) opys¥vagt kolebanyq maqtnyka s ohranyçen-
noj amplytudoj y çastotoj ω0
2, esly rassmatryvaetsq „razreßennaq” zona v ob-
lasty poloΩytel\n¥x ω . Konkretnoe znaçenye çastot¥ kolebanyj opredelq-
etsq velyçynoj ω0
2. Provedenn¥j analyz πlementarno rasprostranqetsq na
lgbug „razreßennug” zonu.
V sluçae, kohda ω π− ( )/s T << πs T/ , sobstvennaq çastota ω0
2
∓ ( )s opre-
delqetsq po formule
ω ω0
2
, ( )s =
1
2
1
2
2 4
22 2 2 2
2
ω ω ω π+ −[ ] − +
( ) ( ) ( )s s s V
s
T
Ω Ω Ω∓ . (12)
Perejdem k opredelenyg zavysymosty ω ω0
2( , )s ot kvazyçastot¥ ω v „za-
prewennoj” zone s. Çtob¥ poluçyt\ znaçenyq ω ω0
2( , )s yz yntervala
π πs
T
V
s
T
−
2 2
≤ ω0
2 ≤
π πs
T
V
s
T
+
2 2
, (13)
neobxodymo sçytat\, çto kvazyçastota ω ymeet mnymug çast\. Poskol\ku yn-
terval (13) dostatoçno uzkyj, v¥byraem ω y ω0 v vyde
ω =
s
i
Ω
2
+ γ =
π γs
T
i+ , ω0 =
Ω
2
+ ε . (14)
Podstavlqq πty v¥raΩenyq v dyspersyonnoe uravnenye (10), poluçaem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
156 V. H. BAR|QXTAR, A. V. SAMAR
ε γ2 2+ = R
2, R
2 ≡ V
T
2 12π
Ω
. (15)
Prokommentyruem poluçennoe sootnoßenye. Vo-perv¥x, m¥ vydym, çto yn-
krement narastanyq kolebanyj γ = γ max = R = V T( )/ /2π Ω dostyhaet mak-
symal\noho znaçenyq pry ε = 0 yly ω0 = Ω / 2 . ∏to y est\ yzvestnoe uslovye
parametryçeskoho rezonansa. Vo-vtor¥x, γ max prqmo proporcyonal\no ynten-
syvnosty vneßnej syl¥ V T( )/2π . V-tret\yx, ynkrement narastanyq koleba-
nyj γ raven nulg na koncax „zaprewennoj” zon¥, t. e. pry ε = ± R .
Yz uravnenyq (15) vydno, çto ynkrement γ raven nulg, esly vertykal\naq
proyzvodnaq ( )/∂ ∂ = ±γ ε ε R ravna ∞ . ∏tot rezul\tat moΩno predstavyt\ kak
ravenstvo nulg proyzvodnoj obratnoj funkcyy, ( )/∂ ∂ = ±ε γ ε R = 0, çto polno-
st\g sovpadaet s ravenstvom nulg proyzvodnoj ( )/
/
d dω ω
ω0
2
2=Ω
= 0.
V sluçae s-j „zaprewennoj” zon¥ formul¥ (15) prynymagt vyd
ε γ2 2+ = Rs
2 , (16)
hde
Rs
2 ≡ V
s
T s
2 12
2
π
( )Ω
, ε = ω0 2
− sΩ
, i γ = ω − sΩ
2
. (17)
V zaklgçenye πtoho podpunkta obsudym vopros, svqzann¥j s yzmenenyem ot-
noßenyq ßyryn¥ „zaprewennoj” zon¥ k ßyryne „razreßennoj” zon¥ s rostom
nomera zon¥ s. V rassmatryvaemom sluçae otnoßenye ßyryn¥ „zaprewennoj”
zon¥ k ßyryne „razreßennoj” zon¥ znaçytel\no men\ße edynyc¥,
[ ]
[ ]
,
,
∆
∆
ω
ω
0
2
0
2
s
s
zapr
razr
=
4
1 2 2
V s
s
( )
( )/
Ω
Ω+
<< 1. (18)
∏tot rezul\tat oznaçaet, çto veroqtnost\ P obnaruΩyt\ na bol\ßyx çastotax
ω0
2 ∼
s2 2
2
Ω
, s >> 1, kolebanyq s amplytudoj, neohranyçenno vozrastagwej so
vremenem, qvlqetsq dostatoçno maloj. Oçevydno, çto πta veroqtnost\ propor-
cyonal\na otnoßenyg (18). Poπtomu
P ≈
V s
s s
( )Ω
Ω2
→∞
→ 0. (19)
Veroqtnost\ P ′ obnaruΩyt\ kolebanyq s ohranyçennoj amplytudoj na bol\-
ßyx çastotax ravna edynyce. ∏tot v¥vod stanovytsq toçn¥m rezul\tatom dlq
potencyala Lame. On ymeet qsn¥j sm¥sl: malaq peremennaq syla ne yzmenqet
xarakter kolebanyj na bol\ßyx çastotax.
2.2. Potencyal Lame. Toçnoe reßenye zadaçy o parametryçeskom re-
zonanse. V¥byraq v zadaçe (3) v kaçestve <potencyala> V ( t ) funkcyg Vejer-
ßtrassa
V ( x ) = n n it t t t( ) ( , , )+ ℘ +1 1 1 2 , (20)
poluçaem uravnenye Lame. V πtoj formule çerez t1 , t2 oboznaçen¥ sootvetst-
venno vewestvenn¥j y mnym¥j peryod¥ funkcyy Vejerßtrassa. Potencyal
(20) qvlqetsq peryodyçeskym potencyalom s peryodom T = – 2it2 = 2 2t .
Vperv¥e uravnenye Lame poqvylos\ pry razdelenyy peremenn¥x uravnenyq
Laplasa v πllypsoydal\n¥x koordynatax. Uravnenye Lame ymeet toçnoe reße-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
OBWYJ METOD REÍENYQ NEKOTORÁX ZADAÇ PO STABYLYZACYY … 157
nye. A ymenno, normyrovannoe na peryod reßenye uravnenyq (3) s potencya-
lom (20) pry n = 1 opredelqetsq formulojQ[19]
Ψ± ( , )t ω0
2 =
S t
S t
i R S t dt
t
t
1 0
2
1 0
2
1 2
3 0
2
1 0
2 1
0
( , )
( , )
exp ( ) ( , )
/
[ ]ω
ω
ω ω
± ′ ′
−∫ . (21)
Zdes\ S t1 0
2( , )ω — polynom pervoj stepeny otnosytel\no ω0
2, a R3 0
2( )ω — po-
lynom tret\ej stepeny otnosytel\no ω0
2, uhlov¥e skobky oznaçagt usredne-
nye po peryodu <potencyala> (20),
S t1 0
2( , )ω = ω0
2
1 1 2− ℘ +( ; , )it t t t ,
R3 0
2( )ω = ( )( )( )ω ω ω0
2
1 0
2
2 0
2
3− − −e e e , (22)
S t1 0
2( , )ω =
1
1 0
2
0
T
S t dt
T
( , )′ ′∫ ω = ω η
0
2 2
2
−
t
.
Proanalyzyruem poluçenn¥e formul¥. Velyçyn¥ e1 > e2 > e3 ; e1 + e2 +
+ e3 = 0 ymegt sm¥sl hranyc zon. Ony opredelqgtsq kak znaçenyq funkcyy
Vejerßtrassa v poluperyodax t1 , t1 + t2 , t2 sootvetstvenno: e1 = ℘( )t1 , e2 =
= ℘ +( )t t1 2 , e3 = ℘( )t2 . Ynterval znaçenyj – ∞ < ω0
2 < e3 sootvetstvuet
neustojçyvomu osnovnomu sostoqnyg maqtnyka, y m¥ eho rassmatryvat\ ne bu-
dem. Ynterval znaçenyj e3 < ω0
2 < e2 takΩe ne budem rassmatryvat\, tak kak
on soderΩyt otrycatel\n¥e çastot¥ ω0
2. Ynterval znaçenyj 0 < e2 < ω0
2 <
< e1 ymeet bol\ßoe znaçenye dlq parametryçeskoho rezonansa, tak kak emu so-
otvetstvugt mnym¥e kvazyçastot¥. Nakonec, yntervalu znaçenyj e1 < ω0
2 < ∞
sootvetstvugt kolebanyq maqtnyka s ohranyçennoj amplytudoj.
Kak vydno yz (22), S t1 0
2( , )ω qvlqetsq peryodyçeskoj funkcyej s peryodom
T = – 2it2
. Poπtomu perv¥j mnoΩytel\ v formule (21) yhraet rol\ peryody-
çeskoj funkcyy v formule (8). Vtoroj mnoΩytel\ opredelqet svqz\ meΩdu
kvazyçastotoj y sobstvennoj çastotoj ω0
2
[19]
ω ω( )0
2 = R S t dt
e
3 0
2
1 0
2 1
02
0
2
( ) ( , )ω ω
ω
〈 〉′[ ] ′
−
∫ . (23)
Yz formul¥ (23) vydno, çto ω0
2 → ∞ , a znaçyt, ω → ω0
2
.
Ymeq v vydu rassmotrenye „zaprewennoj” zon¥ znaçenyj ω0
2, m¥ v kaçestve
nyΩneho predela vzqly levug hranycu „zaprewennoj” zon¥. Formulu (23)
moΩno preobrazovat\ k vydu [19]
ω ω( )0
2 = i
x t
e x e x e x
dx
E
ε
η∫ − ′
− − −
( )
( )( )( )
/ 2
1 2 3
.
Poskol\ku πta velyçyna qvlqetsq mnymoj, udobno vvesty ynkrement narastanyq
Γ kolebanyj v vyde
Γ( )ω0
2 =
ε
ηE
x t
e x e x e x
dx∫ − ′
− − −
( )
( )( )( )
/ 2
1 2 3
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
158 V. H. BAR|QXTAR, A. V. SAMAR
Yz πtoj formul¥ neposredstvenno sleduet, çto maksymal\noho znaçenyq yn-
krement narastanyq Γ( )ω0
2
dostyhaet pry ω0
2
max
= − η2 2/ t , tak kak pry πtom
znaçenyy ω0
2
proyzvodnaq d dΓ( ) /ω ω0
2
0
2
ravna nulg. MoΩno pokazat\, çto
velyçyna − η2 2/ t poloΩytel\na y leΩyt v yntervale e2 < ω0
2
max
< e1 .
Rys.Q3
Rys.Q4
Na rys.Q3, 4 predstavlen¥ hrafyky zavysymostej ynkrementa narastanyq
Γ( )ω0
2
ot ω0
2
y maksymuma ynkrementa narastanyq Γmax = Γ( )/− η2 2t ot ßy-
ryn¥ „zaprewennoj” zon¥ e1 – e2 (amplytud¥ vneßnej syl¥). ∏ta ßyryna, kak
m¥ vydely na prymere „slaboj” svqzy, yhraet rol\ yntensyvnosty <potencyala>
V ( t ) . V sluçae potencyala Lame πto est\ raznost\ znaçenyj funkcyy Vejer-
ßtrassa v poluperyodax. Otmetym, çto v sluçae odnozonnoho potencyala Lame
n = 1 pry uslovyy ω0
2 > 0 moΩno promodelyrovat\ <slabug> (( e1 – e2 ) <<
<< ( e2 – e3 )) y <sredngg> (( e1 – e2 ) ≈ ( e2 – e3 )) svqzy. Analyzyruq pryveden-
n¥e hrafyky, moΩno sdelat\ takye v¥vod¥.
1. V sluçae <slaboj> svqzy Γ = k ( e1 – e2 ) , hde k — koπffycyent proporcy-
onal\nosty. Otklonenye ot lynejnoj zavysymosty naçynaetsq pry (( e1 – e2 ) ≈
≈ ( e2 – e3 )) . ∏to polnost\g sootvetstvuet obwemu pryblyΩenyg „slaboj” svq-
zy.
2. Ynkrement narastanyq Γ( )ω0
2
dostyhaet svoeho maksymal\noho znaçenyq
pry ω0
2 ≈ ( 1 / 2 ) ( e1 – e2 ) . ∏to takΩe sootvetstvuet rassmotrenyg v pryblyΩe-
nyy „slaboj” svqzy ω0
2 >> V t( ) .
Sluçaj <syl\noj> svqzy trebuet rassmotrenyq dvuxzonnoho potencyala.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
OBWYJ METOD REÍENYQ NEKOTORÁX ZADAÇ PO STABYLYZACYY … 159
Perexod ot odnozonnoho k mnohozonnomu potencyalu ymeet nekotor¥e trudno-
sty, svqzann¥e s praktyçeskym opredelenyem hranyc zon, xotq alhorytm opre-
delenyq hranyc zon yzvesten.
3. Zadaça o maqtnyke s vybryrugwej toçkoj podvesa. DvyΩenye maqt-
nyka v pole tqΩesty xoroßo yzvestno. Esly otklonenyq maqtnyka ot verty-
kal\noj osy takov¥, çto πnerhyq ostaetsq v predelax – mgl < E < mgl , hde m
— massa maqtnyka, l — eho dlyna, g — uskorenye syl¥ tqΩesty, to maqtnyk
soverßaet kolebanyq. Esly Ωe πnerhyq maqtnyka E prev¥ßaet znaçenye mgl ,
E > mgl , to dvyΩenye maqtnyka predstavlqet soboj vrawenye vokruh toçky
podvesa.
Vybracyq toçky podvesa moΩet destabylyzyrovat\ kolebanyq maqtnyka oko-
lo poloΩenyq mynymuma yly stabylyzyrovat\ yx v okrestnosty maksymuma.
Pust\ koordynata toçky podvesa menqetsq so vremenem
yn = V ( t ) .
∏to pryvodyt k dejstvyg na maqtnyk dopolnytel\noho momenta syl
M = ˙̇ ( )sinV t θ ,
y uravnenye dvyΩenyq maqtnyka prynymaet vyd
d
dt
V t
l
2
2 0
2θ ω θ θ+ −sin
˙̇ ( )
sin = 0. (24)
Rassmotrym sluçaj vrawatel\noho dvyΩenyq. Esly ε =
˙̇ ( )V l
l
<< 1, to
dlq yzuçenyq dvyΩenyq maqtnyka moΩno yspol\zovat\ obwyj metod usredne-
nyq, razvyt¥j N. M. Kr¥lov¥m, N. N. Boholgbov¥m y G. A. Mytropol\skym.
Takoj analyz nezavysymo b¥l proveden N. N. Boholgbov¥m [6] y P. L. Kapycej
[7]. Ymy b¥lo pokazano, çto vybracyy toçky podvesa mohut tak yzmenyt\ poten-
cyal\nug πnerhyg maqtnyka Uef ( )θ , çto toçke θ = π sootvetstvuet mynymum
Uef ( )θ y maqtnyk s vybryrugwej toçkoj podvesa moΩet soverßat\ kolebanyq,
kohda eho centr tqΩesty naxodytsq v¥ße toçky podvesa. Uslovyem takoho dvy-
Ωenyq qvlqetsq v¥polnenye neravenstva ω > 2 0l aω / [7] v sluçae, kohda
V ( t ) = a sin ωt .
Xoroßym dopolnenyem k obwemu metodu maloho parametra moΩet sluΩyt\
toçno reßaemaq model\. Çtob¥ yssledovat\ dvyΩenye maqtnyka v okrestnosty
θ π− << 1, predstavym uravnenye (24) v vyde
d
dt
V t
2
2 0
2ϕ ω ϕ+ + ˙̇ ( ) = 0, (25)
hde ϕ = π – θ . Esly V ( t ) v¥brat\ v vyde
˙̇ ( )V t = – 2 1 1 2℘ +( , , )it t t t , hde ℘( t )
— funkcyq Vejerßtrassa, to uravnenye (25) prymet vyd
d
dt
it t t t
2
2 0
2
1 1 22
ϕ ω ϕ ϕ− − ℘ +( , , ) . (26)
Znak mynus pered vtor¥m slahaem¥m oznaçaet, çto V = 0 (toçka podvesa ne-
podvyΩna), y poπtomu zamena uravnenyq (24) na (26) nepravomerna, tak kak ϕ ( t )
neohranyçenno vozrastaet so vremenem. M¥ budem rassmatryvat\ πto uravnenye
tol\ko dlq ω0
2 > 0.
Reßenyq uravnenyq (26) ymegt vyd (21). Oblast\ ω0
2 < ω01
2
sootvetstvuet
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
160 V. H. BAR|QXTAR, A. V. SAMAR
takym reßenyqm, kohda ϕ neohranyçenno vozrastaet so vremenem (vrawenye
maqtnyka vokruh toçky podvesa), oblast\ e3 < ω0
2 < e2 < 0 — kolebanyqm
ϕ ( t ) s koneçnoj amplytudoj. V πtoj oblasty realyzuetsq stabylyzacyq dvyΩe-
nyq maqtnyka okolo poloΩenyq maksymuma eho potencyal\noj πnerhyy U =
= – mgl cos θ .
Uslovye
e3 < ω0
2 < e2 < 0, (27)
poluçennoe namy v sluçae potencyala Lame, formal\no protyvoreçyt uslovyg
Boholgbova ω > 2 0l aω / . Bolee vnymatel\n¥j analyz pokaz¥vaet, çto πto
ne tak. Dejstvytel\no, bol\ßym po modulg çastotam ω sootvetstvuet mal¥j
po modulg peryod t2. Poskol\ku pry t2 → 0 e3 → – ∞ , dlq bol\ßyx çastot
momenta syl, pryloΩennoho k toçke podvesa, uslovye (27) faktyçesky sovpada-
et s uslovyem N.QN.QBoholgbova. Otmetym, çto metod maloho parametra, razvy-
t¥j N. N. Boholgbov¥m y G. A. Mytropol\skym, ne pozvolqet poluçyt\ ohra-
nyçenye na velyçynu çastot¥ momenta syl sverxu.
V¥vod¥ y rezul\tat¥.
1. Pokazana polnaq matematyçeskaq analohyq v opysanyy dvyΩenyq πlekt-
rona v peryodyçeskom pole y qvlenyq parametryçeskoho rezonansa. Sformuly-
rovan zonn¥j podxod k analyzu parametryçeskoho rezonansa.
2. Prodemonstryrovana πffektyvnost\ uravnenyq Lame dlq yssledovanyq
razlyçn¥x zadaç stabylyzacyy y destabylyzacyy dvyΩenyq. V çastnosty, dlq
oscyllqtora pod dejstvyem vneßnej syl¥, opys¥vaemoj funkcyej Vejer-
ßtrassa, rassçytan¥ ynkrement¥ narastanyq kolebanyj y sformulyrovano us-
lovye parametryçeskoho rezonansa. Dlq yzvestnoj zadaçy o maqtnyke s vybry-
rugwej toçkoj podvesa s pomow\g uravnenyq Lame najden¥ toçn¥e uslovyq
stabylyzacyy maqtnyka v verxnem (neustojçyvom) poloΩenyy ravnovesyq.
Avtor¥ v¥raΩagt blahodarnost\ E. D. Belokolosu za pomow\ pry v¥polne-
nyy πtoj rabot¥ y polezn¥e obsuΩdenyq.
1. Courant E. D., Snyder H. S. Theory of alternating-gradient synchrotron // Ann. Phys. – 1958. – 3. –
P. 1 – 123.
2. Kolomenskyj A. A., Lebedev A. N. Teoryq cyklyçeskyx uskorytelej. – M.: Fyzmathyz, 1962.
– 352 s.
3. Lebedev A. N., Íal\nov A. V. Osnov¥ fyzyky y texnyky uskorytelej. – M.: ∏nerhoatomyz-
dat, 1991. – 528 s.
4. Mandel\ßtam L. Y. Lekcyy po kolebanyqm. Lekcyq 19 // Poln. sobr. tr. – M.: Yzd-vo AN
SSSR, 1955. – T. 4. – S. 511.
5. Papaleksy N. D. ∏volgcyq ponqtyq rezonansa // Uspexy fyz. nauk. – 1947. – 31, v¥p. 4. –
S.Q447 – 460.
6. Boholgbov N. N. Teoryq vozmuwenyj v nelynejnoj mexanyke // Sb. Yn-ta stroyt. mexanyky
AN USSR. – 1950. – 14. – S.Q9 – 34.
7. Kapyca P. L. Dynamyçeskaq ustojçyvost\ maqtnyka pry koleblgwejsq toçke podvesa //
Ûurn. πksperym. y teor. fyzyky. – 1951. – 21, v¥p. 5. – S.Q588 – 598.
8. Mytropol\skyj G. A. Metod usrednenyq v nelynejnoj mexanyke. – Kyev: Nauk. dumka,
1971. – 440 s.
9. Uytteker ∏. T., Vatson DΩ. N. Kurs sovremennoho analyza. – M.: Fyzmathyz, 1963. – 515 s.
10. Zaxarov V. E., Manakov S. V., Novykov S. P., Pytaevskyj L. P. Teoryq solytonov. Metod ob-
ratnoj zadaçy rasseqnyq. – M.: Nauka, 1980. – 319 s.
11. TaxtadΩqn L. A., Faddeev L. D. Hamyl\tonov podxod v teoryy solytonov. – M.: Nauka,
1986. – 527 s.
12. Marçenko V. A. Operator¥ Íturma – Lyuvyllq y yx pryloΩenyq. – Kyev: Nauk. dumka,
1977. – 264 s.
13. Abrykosov A. A. Osnov¥ teoryy metallov. – M.: Nauka, 1987. – 520 s.
14. Lyfßyc Y. M., Azbel\ M. Q., Kahanov M. Y. ∏lektronnaq teoryq metallov. – M.: Nauka,
1971. – 415 s.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
OBWYJ METOD REÍENYQ NEKOTORÁX ZADAÇ PO STABYLYZACYY … 161
15. Baryakhtar V. G., Belokolos E. D., Korostil A. M. A new method for calculating the electron spect-
rum of solids. Application to high-temperature superconductivity // Phys. Stat. Sol. (b). – 1992. –
169. – P. 105 – 114.
16. Bar\qxtar V. H., Bar\qxtar Y. V., Samar A. V. Toçno reßaemaq model\ parametryçeskoho
rezonansa // MeΩdunar. konf. pamqty M. A. Kryvohlaza (16 – 18 ygnq 2004 h.). – Kyev: Yn-t
metallofyzyky NAN Ukrayn¥, 2004.
17. Bar\qxtar V. H. Edynoe uravnenye dlq dvyΩenyq πlektrona v krystalle y parametryçes-
koho rezonansa. Toçno reßaemaq model\ // Metallofyzyka y novejßye texnolohyy. – 2005.
– 27, # 1. – S.Q119 – 134.
18. Bar\qxtar V. H., Bar\qxtar Y. V., Samar A. V. Edynoe uravnenye dlq dvyΩenyq πlektrona v
krystalle y parametryçekoho rezonansa. Toçno reßaemaq model\ // Kyev. Boholgbov. konf.
„Sovremenn¥e problem¥ matematyky y teoretyçeskoj fyzyky” (13 – 16 sent. 2004 h.): Tez.
dokl. – Kyev: Yn-t teoret. fyzyky NAN Ukrayn¥, 2004. – S.Q61.
19. Belokolos E. D. Matematyçeskye osnov¥ teoryy tverd¥x tel s kvazyperyodyçeskoj
strukturoj. – Kyev, 1982. – 27Qs. – (Preprynt / AN USSR, Yn-t teor. fyzyky).
Poluçeno 13.10.2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
|
| id | umjimathkievua-article-3300 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:39:54Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/38/2e39b099fca1bb74ce03a4c4a4dab338.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33002020-03-18T19:50:43Z General method for the solution of some problems of stabilization and destabilization of motion Общий метод решения некоторых задач по стабилизации и дестабилизации движения Baryakhtar, V. G. Samar, A. V. Барьяхтар, В. Г. Самар, А. В. Барьяхтар, В. Г. Самар, А. В. We demonstrate a complete mathematical analogy between the description of motion of an electron in a periodic field and the phenomenon of parametric resonance. A band approach to the analysis of the phenomenon of parametric resonance is formulated. For an oscillator under the action of an external force described by the Weierstrass function, we calculate the increments of increase in oscillations and formulate a condition for parametric resonance. For the known problem of a pendulum with vibrating point of suspension, we find exact conditions for the stabilization of the pendulum in the upper (unstable) equilibrium position by using the Lamé equation. Продемонстровано повну математичну аналогію в описі руху електрона в періодичному полі та явища параметричного резонансу. Сформульовано зонний підхід до аналізу явища параметричного резонансу. Для осцилятора під дією зовнішньої сили, що описується функцією Вейєрштрасса, обчислено інкременти наростання коливань і сформульовано умову параметричного резонансу. Для відомої задачі про маятник із вібруючою точкою підвісу за допомогою рівняння Ламе знайдено точні умови стабілізації маятника у верхньому (нестійкому) положенні рівноваги. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3300 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 2 (2007); 152–161 Український математичний журнал; Том 59 № 2 (2007); 152–161 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3300/3345 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3300/3346 Copyright (c) 2007 Baryakhtar V. G.; Samar A. V. |
| spellingShingle | Baryakhtar, V. G. Samar, A. V. Барьяхтар, В. Г. Самар, А. В. Барьяхтар, В. Г. Самар, А. В. General method for the solution of some problems of stabilization and destabilization of motion |
| title | General method for the solution of some problems of stabilization and destabilization of motion |
| title_alt | Общий метод решения некоторых задач по стабилизации и дестабилизации движения |
| title_full | General method for the solution of some problems of stabilization and destabilization of motion |
| title_fullStr | General method for the solution of some problems of stabilization and destabilization of motion |
| title_full_unstemmed | General method for the solution of some problems of stabilization and destabilization of motion |
| title_short | General method for the solution of some problems of stabilization and destabilization of motion |
| title_sort | general method for the solution of some problems of stabilization and destabilization of motion |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3300 |
| work_keys_str_mv | AT baryakhtarvg generalmethodforthesolutionofsomeproblemsofstabilizationanddestabilizationofmotion AT samarav generalmethodforthesolutionofsomeproblemsofstabilizationanddestabilizationofmotion AT barʹâhtarvg generalmethodforthesolutionofsomeproblemsofstabilizationanddestabilizationofmotion AT samarav generalmethodforthesolutionofsomeproblemsofstabilizationanddestabilizationofmotion AT barʹâhtarvg generalmethodforthesolutionofsomeproblemsofstabilizationanddestabilizationofmotion AT samarav generalmethodforthesolutionofsomeproblemsofstabilizationanddestabilizationofmotion AT baryakhtarvg obŝijmetodrešeniânekotoryhzadačpostabilizaciiidestabilizaciidviženiâ AT samarav obŝijmetodrešeniânekotoryhzadačpostabilizaciiidestabilizaciidviženiâ AT barʹâhtarvg obŝijmetodrešeniânekotoryhzadačpostabilizaciiidestabilizaciidviženiâ AT samarav obŝijmetodrešeniânekotoryhzadačpostabilizaciiidestabilizaciidviženiâ AT barʹâhtarvg obŝijmetodrešeniânekotoryhzadačpostabilizaciiidestabilizaciidviženiâ AT samarav obŝijmetodrešeniânekotoryhzadačpostabilizaciiidestabilizaciidviženiâ |