Analytic study of some differential equations related to problems of space dynamics
We present a survey of results of the study of differential equations whose solutions have singularities of a certain type, in particular movable singular points with fairly simple topology. New statements on the form of partial and general solutions of these equations are obtained.
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3301 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509364695072768 |
|---|---|
| author | Grebenikov, E. A. Chichurin, A. V. Гребеников, Е. А. Чичурин, А. В. Гребеников, Е. А. Чичурин, А. В. |
| author_facet | Grebenikov, E. A. Chichurin, A. V. Гребеников, Е. А. Чичурин, А. В. Гребеников, Е. А. Чичурин, А. В. |
| author_sort | Grebenikov, E. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:50:43Z |
| description | We present a survey of results of the study of differential equations whose solutions have singularities of a certain type, in particular movable singular points with fairly simple topology. New statements on the form of partial and general solutions of these equations are obtained. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:39:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9
E. A. Hrebenykov (V¥çyslyt. centr RAN, Moskva, Rossyq),
A. V. Çyçuryn (Brest. un-t, Belarus\)
ANALYTYÇESKYE YSSLEDOVANYQ NEKOTORÁX
DYFFERENCYAL|NÁX URAVNENYJ, SVQZANNÁX
S ZADAÇAMY KOSMYÇESKOJ DYNAMYKY
We present a survey of results of the study of differential equations solutions of which have singularities
of a certain type, in particular moving singular points with sufficiently simple topology. New statements
about the forms of particular and general solutions of similar equations are obtained.
Navedeno ohlqd rezul\tativ doslidΩen\ dyferencial\nyx rivnqn\, rozv’qzky qkyx magt\ osob-
lyvosti pevnoho typu i, nasampered, ruxomi osoblyvi toçky z dostatn\o prostog topolohi[g.
OderΩano novi tverdΩennq pro vyhlqd çastynnyx ta zahal\nyx rozv’qzkiv takyx rivnqn\.
1. V naçale 20-ho stoletyq Û. Íazy v¥polnyl rqd fundamental\n¥x kaçest-
venn¥x yssledovanyj nekotor¥x klassov ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x
uravnenyj, opys¥vagwyx fynal\n¥e reßenyq n\gtonovoj problem¥ trex tel y
topolohyg okrestnosty prostranstva pry skol\ uhodno vzaymno blyzkom pry-
blyΩenyy dvux yly trex vzaymno prytqhyvagwyxsq tel.
V specyal\nom kurse po analytyçeskoj y kaçestvennoj nebesnoj mexanyke,
kotor¥j çytal v 50 – 60-x hodax 20-ho veka akademyk G. A. Mytropol\skyj dlq
studentov y aspyrantov Kyevskoho unyversyteta ym. T. Íevçenko, detal\no ob-
suΩdalys\ problem¥ vlyqnyq y vzaymosvqzy obwej teoryy ob¥knovenn¥x dyf-
ferencyal\n¥x uravnenyj s problemamy kosmodynamyky, stavßymy v tu poru
ves\ma aktual\n¥my.
Odyn yz avtorov ymel sçastlyvug vozmoΩnost\ slußat\ nekotor¥e lekcyy
G. A. Mytropol\skoho, povlyqvßye na v¥bor tematyky eho yssledovanyj, çto
naßlo nekotoroe otraΩenye v dannoj stat\e.
2. Otsutstvye metodov yntehryrovanyq ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x
uravnenyj obweho vyda obuslovylo razvytye analytyçeskoj y kaçestvennoj te-
oryj, v kotor¥x odnoj yz aktual\n¥x zadaç qvlqetsq yzuçenye svojstv reßenyj
neposredstvenno po analytyçeskomu vydu dyfferencyal\n¥x uravnenyj. Odna
yz osnovn¥x zadaç analytyçeskoj teoryy ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x
uravnenyj — yssledovanye uravnenyj, reßenyq kotor¥x ymegt osobennosty
opredelennoho typa y, v pervug oçered\, podvyΩn¥e osob¥e toçky s dostatoçno
prostoj topolohyej.
Zadaça ob opysanyy klassov uravnenyj, reßenyq kotor¥x xarakteryzugtsq
opredelenn¥my svojstvamy, vosxodyt k rabotam Bryo y Buke [1, 2]. Ony yzuçy-
ly uravnenyq vyda
P ( w, w ′ ) = 0 (1)
s odnoznaçn¥my reßenyqmy, hde P — polynom stepeny n otnosytel\no neyz-
vestnoj w y ee proyzvodnoj w ′ (arhument funkcyy w oboznaçym çerez z ). Yz
uravnenyj (1) ∏rmyt [3] v¥delyl uravnenyq, reßenyq kotor¥x ne ymegt pod-
vyΩn¥x krytyçeskyx osob¥x toçek (p. k. o. t.), y pokazal, çto reßenyq takyx
uravnenyj qvlqgtsq racyonal\n¥my funkcyqmy yly racyonal\no v¥raΩagtsq
çerez pokazatel\n¥e yly πllyptyçeskye funkcyy.
Dlq uravnenyq
P ( w ′, w, z ) = 0,
hde P — polynom otnosytel\no w ′ y w s analytyçeskymy koπffycyentamy
po z ( z — arhument funkcyy w ), Fuks y Penleve dokazaly teorem¥ [4], dag-
wye neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq prynadleΩnosty πtoho uravnenyq k
© E. A. HREBENYKOV, A. V. ÇYÇURYN, 2007
162 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
ANALYTYÇESKYE YSSLEDOVANYQ NEKOTORÁX DYFFERENCYAL|NÁX … 163
tak naz¥vaemomu P-typu (reßenyq takyx uravnenyj ne soderΩat podvyΩn¥x
krytyçeskyx osob¥x toçek y suwestvenno osob¥x toçek odnoznaçn¥x funkcyj).
Dyfferencyal\n¥e uravnenyq vtoroho porqdka vyda
w ′′ = R ( w ′, w, z ), (2)
hde R — racyonal\naq funkcyq po w ′, w s analytyçeskymy koπffycyentamy
po z, yssledovaly Penleve y Hamb\e [4]. V rezul\tate b¥lo v¥deleno pqt\de-
sqt razlyçn¥x klassov uravnenyj vyda (2) P-typa. Yssledovanye πtyx klassov
pokazalo, çto obwee reßenye soroka çet¥rex yz nyx v¥raΩaetsq yly çerez πle-
mentarn¥e funkcyy, yly çerez reßenyq nekotor¥x lynejn¥x uravnenyj, yly
çerez reßenyq nelynejn¥x uravnenyj pervoho porqdka, yly çerez reßenyq ßes-
ty nepryvodym¥x uravnenyj Penleve. Dal\nejßye yssledovanyq uravnenyj
Penleve b¥ly v¥polnen¥ Fuksom [5], Harn\e [6], Ílezynherom [7], V.OV.OHolu-
bev¥m [8], Butru [9].
Nov¥j πtap yssledovanyj uravnenyj Penleve naçalsq v 1952 hodu. V rabote
N. P. Eruhyna [10] dlq πtyx uravnenyj b¥ly sformulyrovan¥ nov¥e zadaçy, re-
ßenyq kotor¥x poluçen¥ v rabotax A. Y. Qblonskoho [11, 12], N. A. Lukaßevy-
ça [13 – 19], V. V. Cehel\nyka [20 – 22], L. A. Bordah y A. V. Kytaeva [23, 24],
Murata [25], Okamoto [26 – 29], Fokasa, Ablovyca [30] y dr. V rabotax [31 – 34]
Bgro s pomow\g svoeho metoda povtoryl vse rezul\tat¥ Penleve y Hamb\e y na-
ßel klass¥ uravnenyj P-typa vyda
P ( w ′′, w ′, w, z ) = 0,
hde P — polynom vtoroj stepeny otnosytel\no w ′′ y polynom otnosytel\no
w ′, w s analytyçeskymy koπffycyentamy otnosytel\no z. Analohyçn¥e ys-
sledovanyq v¥polnen¥ takΩe Kardon-Lebrunom [35, 36].
Dyfferencyal\n¥e uravnenyq s yrracyonal\noj pravoj çast\g vyda
( w ′′ )
m = R ( w ′, w, z ), m ∈ N,
na predmet prynadleΩnosty k P-typu rassmatryvalys\ Koshrou [37, 38].
Uravnenyq vyda
w ′′′ = P ( w ′′, w ′, w, z ), (3)
w ′′′ = R ( w ′′, w ′, w, z ) (4)
( P — polynom po w ′′, w ′, w s analytyçeskymy koπffycyentamy po z, R —
racyonal\naq funkcyq po w ′′, w ′, w s analytyçeskymy koπffycyentamy po
z ) yssledovaly Harn\e [39], Íazy [40], Bgro [41], Kardon-Lebrun [42], ∏kston
[43], N. A. Lukaßevyç [44 – 46], V. Y. Lqlykova [47, 48], Y. P. Mart¥nov [49 –
53], Koshrou [54] y dr. Ymy najden¥ v nekotor¥x sluçaqx neobxodym¥e y dosta-
toçn¥e uslovyq otsutstvyq p. k. o. t. u reßenyj specyal\n¥x vydov uravnenyj
vyda (3), (4). Sredy uravnenyj vyda (3) Íazy v¥delyl takye, u kotor¥x obwye
yntehral¥ qvlqgtsq odnoznaçn¥my funkcyqmy, v to vremq kak yx osob¥e yn-
tehral¥ ymegt podvyΩn¥e krytyçeskye toçky. Osnovnaq zadaça, rassmotren-
naq Íazy [40], sostoqla v postroenyy y yssledovanyy nov¥x nelynejn¥x dyf-
ferencyal\n¥x uravnenyj tret\eho porqdka P-typa y otkr¥tyy nov¥x klassov
funkcyj, opredelqem¥x πtymy uravnenyqmy.
Yssledovanye uravnenyq vyda (4), sohlasno metodu Penleve, svodytsq k ys-
sledovanyg uravnenyj
w ′′′ = A ( w ′, w, z ) w ′′ 2 + B ( w ′, w, z ) w ′′ + C ( w ′, w, z ), (5)
hde A ( w ′, w, z ) ymeet odyn yz sledugwyx vydov:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
164 E. A. HREBENYKOV, A. V. ÇYÇURYN
0,
1 1
1
−
′ +
/n
w a
( n ∈ Z \ { 0, – 1 } ∨ n = ∞ ),
1
2
1 1
1 2′ +
+
′ +
w a w a
,
1
1′ +w a
+
1
2 2( )′ +w a
,
1
2 1( )′ +w a
+
1
3 2( )′ +w a
,
1
2 1( )′ +w a
+
3
4 2( )′ +w a
,
1
2 1( )′ +w a
+
5
6 2( )′ +w a
,
2
3
1 1
1 2′ +
+
′ +
w a w a
,
2
3 1( )′ +w a
+
5
6 2( )′ +w a
,
3
4
1 1
1 2′ +
+
′ +
w a w a
,
1
2
1 1 1
1 2 3′ +
+
′ +
+
′ +
w a w a w a
.
Zdes\ ai
, i = 1, 2, 3, — racyonal\n¥e funkcyy po w y analytyçeskye funkcyy
po z; funkcyy B, C qvlqgtsq racyonal\n¥my (drobqmy), kaΩd¥j polgs ko-
tor¥x ne bolee çem pervoho porqdka y sovpadaet s polgsom droby A. Pry πtom
porqdok beskoneçnosty w ′ = ∞ dlq B y C ne bolee çem perv¥j y tretyj soot-
vetstvenno. Uprowennoe uravnenye dlq uravnenyq (5) ymeet vyd
w ′′′ = 1
1 2
−
′′
′n
w
w
+ b ( w ) w ′ w ′′ + c ( w ) w ′ 3, (6)
hde n ∈ Z \ { 0, – 1 } ∨ n = ∞; b ( w ), c ( w ) — racyonal\n¥e funkcyy po w.
Íazy rassmatryval uravnenyq (5), uprowenn¥e uravnenyq (6) dlq kotor¥x
b¥ly b¥, vozmoΩno, bolee sloΩn¥my (maksymal\noe çyslo polgsov w ravno
ßesty). Esly obwyj yntehral uprowennoho uravnenyq (6) b¥l avtomorfnoj
funkcyej (fuksovoj yly klejnovoj), to obwyj yntehral polnoho uravnenyq
takΩe v¥raΩalsq v πtyx funkcyqx. Sredy uprowenn¥x uravnenyj Íazy v¥de-
lyl uravnenye vyda
y ′′′ =
PQ P Q
PQ P Q
y y
′′ − ′′
′ − ′
′ ′′ –
′ ′′ − ′′ ′
′ − ′
′P Q P Q
PQ P Q
y 3
( P, Q — mnohoçlen¥ çetvertoj stepeny po w s postoqnn¥my koπffycyenta-
my), kotoroe okazalos\ naybolee ynteresn¥m s toçky zrenyq reßaemoj zadaçy.
Dlq πtoho uravnenyq polnoe uravnenye, sohlasno metodu Penleve [4, 40], ymeet
vyd
y ′′′ =
k
k k k k k k k k
k
y a y a A y a B y a C y a
y a=
∑ ′ − ′( ) ′′ − ′′( ) + ′ − ′( ) + ′ − ′( ) + ′ − ′( )
−1
6 3 2
+
+ D y ′′ + E y ′ +
i
i
k
k
k
y a
F
y a= =
∏ ∑−
−1
6
1
6
( ) (7)
y udovletvorqet neobxodym¥m uslovyqm prynadleΩnosty k P-typu. Neobxody-
m¥e y dostatoçn¥e uslovyq prynadleΩnosty k P-typu dlq uravnenyq (7) pred-
stavlqgt soboj systemu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
ANALYTYÇESKYE YSSLEDOVANYQ NEKOTORÁX DYFFERENCYAL|NÁX … 165
k
kA
=
∑
1
6
= 0,
k
k ka A
=
∑
1
6
= – 6,
k
k ka A
=
∑
1
6
2
= – 2
1
6
k
ka
=
∑ , (8)
k
kF
=
∑
1
6
=
k
k ka F
=
∑
1
6
=
k
k ka F
=
∑
1
6
2 = 0, (9)
2 2Ak +
j
k j
k j
A A
a a∑
−
−
= 0, k, j = 1 6, ; j ≠ k, (10)
− − +
−
∑5
2
1
A
a a
Bk
j k j
k +
j
k
k j
jA
a a
B∑ +
−
1
2
1
= – ′Ak +
+ A
a a
a ak
j
k j
k j
∑
′ − ′
−
– 3
j
j
k j
k j
A
a a
a a∑
′ − ′
−
+
3
2 1
6
A a Ak
k
i i
=
∑ ′ ,
(11)
2 D +
k
k k kB a A
=
∑ − ′( )
1
6
3 = 0,
− +
−
∑2 1A
a a
Ck
j k j
k +
j
j
k j
C
a a∑ −
1 = Bk
2
– ′Bk – B
a a
a ak
j
k j
k j
∑
′ − ′
−
–
–
j
j k j j k j
k j
A a a B a a
a a∑
′ − ′( ) + ′ − ′( )
−
3 2
2
+ Bk D – E –
j
k j
k j
a a
a a∑
′′− ′′
−
, (12)
– ′′′ak – Bk Ck + ′Ck +
j
k j k j k j k j
k j
a a a a C A a a
a a∑
′ − ′( ) ′′ − ′′ −( ) + ′ − ′( )
−
3
+
+
j
j k j j j k
k j
B a a C a a
a a∑
′ − ′( ) + ′ − ′( )
−
2
+ E ak′ +
+ D a Ck k′′ −( ) + F a ak
j
k j∏ −( ) = 0, (13)
k, j = 1 6, ; j ≠ k,
sostoqwug yz 31 alhebrayçesky-dyfferencyal\noho uravnenyq, v kotor¥x ne-
yzvestn¥my qvlqgtsq 32 funkcyy — koπffycyent¥ uravnenyq (7).
Íazy ne naßel reßenyj system¥ uravnenyj (8) – (13), a potomu qvno ne v¥-
delyl klass¥ uravnenyj vyda (7), reßenyq kotor¥x ne ymegt p. k. o. t. [55].
Spustq 80 let N. A. Lukaßevyç prodolΩyl yssledovanye πtoj system¥. V ra-
bote [45] on reßyl systemu uravnenyj (8), (10) y pokazal, çto koπffycyent¥
Ak y ak , k = 1 6, , uravnenyq (7) svqzan¥ sootnoßenyqmy
Aj = – 1
aj
, j = 1 6, . (14)
Reßenye system¥ uravnenyj (11) – (13) v obwem vyde b¥lo poluçeno v rabote
[56]. Pry πtom udalos\ najty vse reßenyq system¥ (8) – (13) kak v sluçae po-
stoqnn¥x velyçyn ak , k = 1 6, , tak y v sluçae, kohda funkcyy ak , k = 1 6, ,
ymegt vyd
ak = γ λk x dxexp ( )∫{ }, k = 1 6, , (15)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
166 E. A. HREBENYKOV, A. V. ÇYÇURYN
hde γk — nekotor¥e postoqnn¥e.
Tak, v sluçae postoqnn¥x ak , k = 1 6, , reßenye system¥ uravnenyj (8) – (13)
opys¥vaetsq sledugwej teoremoj [56, 57].
Teorema 1. Systema uravnenyj (8) – (13) pry postoqnn¥x ak , k = 1 6, ,
ymeet try reßenyq:
Bk = – 1
3
D, Ck =
a
E D Dk
3
1
3
2
9
2− ′ +
+ a a ak k kσ σ χ3 2
3− −( ) ,
Fk =
a
a
D DD E DE Dk
k3
1
3
2
3
2
3
2
3
4
27
3
ϕ( )
′′ − ′ − ′ + +
, k = 1 6, ,
(16)
χ = C Ddxexp −{ }∫2
3
(pry ψ = 0),
yly
Bk = a ak kσ ψ2
2+( ) – 1
3
D, Ck = ψ σ σ σ2 3 4
2
2
2
2
4
1
3
4
3
4
3
a a ak k k+ + +
+
+
a
E D Dk
3
1
3
2
9
6 22 2
2 4 6− ′ + + +( )
ψ σ σ σ – a ak k
2
2
2σ χ+( ) ,
Fk =
a a a a a
a
k k k k k
k
2
2
2 6
2
4 2
2
2
4 2 4 6 34 3 4 7
3
σ σ σ σ σ σ σ
ϕ
ψ
+( ) + + +( ) + +( )
( )
, k = 1 6, ,
(17)
E = 1
9
3 2 2′ −( )D D + σ σ2 4 – σ6 , χ = 0 (pry s3 = 0),
yly
Bk = a ak kσ ψ2
2+( ) – 1
3
D, Ck = ψ σ σ σ2 3 4
2
2
2
2
4
1
3
4
3
4
3
a a ak k k+ + +
+
+
a
E D Dk
3
1
3
2
9
6 22 2
2 4 6− ′ + + +( )
ψ σ σ σ – a ak k
2
2
2σ χ+( ) ,
Fk =
1
27
9 27 9 4 3 39 2 6 3
6
2
ϕ
ψ ψ χ σ ψ ψ
( )
( )
a
a a a a D D D E
k
k k k k− + + − ′ + ′′ − ′( )( )[ ],
(18)
k = 1 6, ,
χ ′ = 1
27
18 3 2 9 92
6
3D D D Eχ σ ψ+ ′ − − −( )( ) , σ2 = σ4 = 0,
hde D — zadannaq, ψ — proyzvol\naq analytyçeskaq funkcyq po z, a σ i ,
i = 2, 3, 4, — sootvetstvugwye πlementarn¥e symmetryçeskye mnohoçlen¥,
sostavlenn¥e yz πlementov ak , k = 1 6, , ϕ ( ak ) =
j k ja a∏ −( ) , k, j = 1 6, , j ≠ k.
Uçyt¥vaq vyd reßenyj (16) – (18) system¥ uravnenyj (8) – (13), moΩno doka-
zat\ sledugwug teoremu.
Teorema 2. Uravnenyq
w ′′′ =
k
k k k
k
w w w a B w C w
w a=
∑ ′ ′′ − ′ + ′ + ′
−
/
1
6 3 2
+
+ D w ′′ + E w ′ +
i
i
k
k
k
w a
F
w a= =
∏ ∑−
−1
6
1
6
( ) , (19)
ymegwye sootvetstvenno koπffycyent¥ (16), (17) yly (18), prynadleΩat k
P-typu.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
ANALYTYÇESKYE YSSLEDOVANYQ NEKOTORÁX DYFFERENCYAL|NÁX … 167
Dokazatel\stvo πtoj teorem¥ v¥tekaet yz toho fakta, çto v kaΩdom yz πtyx
trex sluçaev koπffycyent¥ uravnenyq (19) udovletvorqgt systeme (8) – (13),
predstavlqgwej soboj neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq prynadleΩnosty
uravnenyq (7) k P-typu.
Takym obrazom, yz teorem¥ 2 sleduet, çto sredy uravnenyj (7) suwestvugt
try vyda uravnenyj P-typa, kotor¥e ymegt nepodvyΩn¥e polgs¥ ak , k = 1 6, .
Kak pokazano v [45], uravnenye (19) s postoqnn¥my koπffycyentamy ak , k =
= 1 6, , vsehda moΩno s pomow\g zamen¥
dw
dz
= η, η
2 = y svesty k lynejnomu
neodnorodnomu uravnenyg vtoroho porqdka s ßest\g osob¥my toçkamy
d y
dw
2
2 =
k kw a
d y
dw=
∑ −1
6
1 – 2
1
6
k k k
y
a w a=
∑ −( )
+ 2 1 1
4 1
6
E
a
w ak
k
k
+
−
=
∑ . (20)
V svog oçered\ yssledovanye uravnenyq (20) svodytsq k yssledovanyg
uravnenyq
d y
dw
2
2 –
k kw a
d y
dw=
∑ −1
6
1 + 2
1
6
k k k
y
a w a=
∑ −( )
= 0. (21)
V [56] pryvedeno reßenye uravnenyq (21) v vyde sxodqwyxsq stepenn¥x rq-
dov, a dlq uravnenyq (19) najdeno odnoparametryçeskoe semejstvo reßenyj v
vyde obweho reßenyq uravnenyq Rykkaty. Dlq 39 koπffycyentn¥x sootnoße-
nyj uravnenyq (19) dokazan¥ teorem¥ o suwestvovanyy reßenyj.
Esly koπffycyent¥ ak , k = 1 6, , ne postoqnn¥ y ymegt vyd (15), to reße-
nye system¥ uravnenyj (8) – (13) ymeet vyd, ukazann¥j v [56]. Spravedlyva sle-
dugwaq teorema.
Teorema 3. Systema (8) – (13) pry ak = γ λk x dxexp ( )∫{ }, k = 1 6, , ymeet
çet¥re reßenyq:
Bk = –
1
3
D – 3 λ, (22)
Ck =
γ λ λ λ λk x dx
E D D D e
3
1
3
2
9
2 4 312 2− ′ + + ′ − −
∫ ( )
+
+ γ σ γ σ γ χk k k3 2
3− −( ) , (23)
Fk =
=
γ
ϕ γ
θ λ λ λ λ λ λ θ λλk
k
x dx
e D D D E
9
2 3 9 9 9 3 3 3 32 3
( )
( ) ( ) ( )
( )∫ + + + − + ′ − + ′ − ′′[ ],
k = 1 6, , (24)
χ = 0,
yly
(22), (23), (24), χ ′ = 2
3
3D +
λ χ , σ4 = 0,
yly
Bk = γ σ γ ψk k2
2+( ) – 1
3
D – 3 λ, (25)
Ck =
γ λ λ λ λk x dx
E D D D e
3
1
3
2
9
2 4 312 2− ′ + + ′ − −
∫ ( )
– γ σ γ χk k
2
2
2+( ) +
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
168 E. A. HREBENYKOV, A. V. ÇYÇURYN
+ γ σ σ γ γ σ γ σ σ σ ψ λ
k k k
k x dx
e3
2
2
2
2 4
4 2 4 6
24
3
1
3
4
3 3
6 2+ + +
+ +
∫( )
( )
, (26)
Fk =
γ
ϕ
χ λ γ ψ χk
k
ka
D
4
3
3
3 2 9 3
( )
′ − + +( )( ) +
+
γ
ϕ
λ γ ψ
λ
k
x dx
k
k
e
a
D D
( )
( )
∫
− −( )[
4860
226 6 405 583 2 3
+
+ 3 339 12963 1728 21 353 422 3
6
2D E Dk+ − − − ′ − ′( )λ γ λψ σ ψ λ +
+ 9 107541 1434 174 3513 3 2 3( − + −( )λ γ λ ψ γ ψ λk kE +
+ 400 781 73 386
6
2γ σ ψ λk D+( ) + ′ − ′( ) +
+ 2 3 30 59 29 6 60 3 33 6
6
2γ ψ γ σ ψ λ λk k D D E+( ) − ′ − ′( ) + ′′ + ′′ − ′( ) ) ], k = 1 6, ,
σ2 = σ3 = σ4 = 0, χ ′ = 2
3
3D +
λ χ – ( )
( )θ σ ψ ψ λ+ ∫
6
2 e
x dx
,
yly
(25), (26), σ3 = σ4 = 0,
Fk =
γ
ϕ
λ γ σ γ ψ
λ
k
x dx
k
k k
e
a
D D
( )
( )
∫
− + +( )( )(
4860
224 6 391 23 2
2
2 +
+ 6 168 9894 216 15 176 242
2
2
6
2D E Dk k+ + +( ) − − ′ − ′( )λ γ σ γ λψ σ ψ λ –
– 9 417 153147 63
2
2( − + +( )E E k kλ λ γ σ γ ψ – 4641 2
2 2γ σ γ λ ψk k+( ) –
– 2 3 30 3 292
2 2
2
2
2
2
6
2γ σ γ ψ γ σ γ σ γ σ ψk k k k k+( ) ( +( ) +( ) +( ) + ′ − ′)D 186λ +
+ λ γ σ γ σ ψ λ3 2400 2339 739 4744
2
2
6
2
k k D+( ) −( ) − ′ + ′( ) + 3 60 20( )′ − ′′ + ′ ))E D θ ,
k = 1 6, , λ′ = 1
60
20 33 6
2λ λ θ σ ψ( )D + − −( ) ,
hde ψ = C e
D x x dx
3
27( ) ( )−( )∫ λ
, D — zadannaq, a λ — proyzvol\naq analytyçes-
kaq funkcyq po x , θ ≡ E – 1
3
′D + 2
9
2D + 2 λ′ – 4 λ D – 31 λ 2
, ϕ ( ak ) ≡
≡
j k ja a∏ −( ) , k, j = 1 6, , j ≠ k, C — proyzvol\naq postoqnnaq.
Íazy [40, 55] pokazal, çto nekotor¥e sluçay v¥roΩdenyq uravnenyq (7) qv-
lqgtsq uravnenyqmy Penleve y, sledovatel\no, uravnenye (7) moΩet b¥t\ ras-
smotreno kak uravnenye, reßenyq kotoroho qvlqgtsq suwestvenno nov¥my
funkcyqmy. V rabotax [56, 58] najden¥ koπffycyentn¥e sootnoßenyq, pry
kotor¥x uravnenye (7) ymeet dvuparametryçeskoe semejstvo reßenyj, predstav-
lqgwee soboj obwee reßenye uravnenyj vyda
y′′ = 1
2
1 1
1
1
1
2
y y y
y+
−
+
+
′ + 1
3
D x y( ) ′ , y′′ = 1
2
3
1
1
1
2
y y
y
−
+
+
′ .
Poslednee uravnenye lehko yntehryruetsq v πlementarn¥x funkcyqx
y = 1 + 1
11 2C x C( )− −
+ 1
11 2C C x( )− −
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
ANALYTYÇESKYE YSSLEDOVANYQ NEKOTORÁX DYFFERENCYAL|NÁX … 169
hde C1
, C2 — proyzvol\n¥e postoqnn¥e.
Çtob¥ najty obwee reßenye system¥ Íazy (8) – (13), nado reßyt\ systemu
uravnenyj (9) y uravnenye
k
k k k
k
a a a
a=
∑
+( ) ′
1
6
2
2σ
ϕ( )
= 0
(πto uravnenye poluçeno v rabote [59]). Pry πtom funkcyy Ak , k = 1 6, , ymegt
vyd (14), a vyd funkcyj Bk , Ck , Fk , k = 1 6, , ukazan v rabotax [56, 59] (yz-za
hromozdkosty m¥ πty funkcyy zdes\ ne pryvodym).
V zaklgçenye otmetym, çto razrabotka metoda obratnoj zadaçy rasseqnyq
obuslovyla znaçytel\n¥j prohress v razvytyy matematyçeskoj fyzyky, osoben-
no v poslednye desqtyletyq 20-ho stoletyq. Prymenenye πtoho metoda pozvo-
lylo proyntehryrovat\ mnohye dyfferencyal\n¥e uravnenyq v çastn¥x proyz-
vodn¥x, vaΩn¥e v pryloΩenyqx (uravnenyq Korteveha – de Fryza, uravnenye
sin-Gordon, nelynejnoe uravnenye Íredynhera y dr.). Prymenenye metoda hrup-
povoho analyza uravnenyj v çastn¥x proyzvodn¥x, a takΩe metoda, usoverßen-
stvovannoho Vejsom (J. Weiss), Taborom (M. Tabor), Karnevejlom (G. Carnevale)
(ydey πtoho metoda vosxodqt k rabotam S. V. Kovalevskoj y Penleve), kak k
uravnenyqm v çastn¥x proyzvodn¥x, tak y k ob¥knovenn¥m dyfferencyal\n¥m
uravnenyqm, sposobstvovalo poqvlenyg bol\ßoho çysla nov¥x fyzyçeskyx mo-
delej (opys¥vaem¥x πtymy uravnenyqmy), kotor¥e reducyrugtsq k uravnenyqm
P-typa. Posle rabot Ílezynhera, Fuksa, Harn\e, posvqwenn¥x predstavlenyg
koπffycyentov system¥ dyfferencyal\n¥x uravnenyj Fuksa v vyde funkcyj
poloΩenyq polgsov, v rabotax qponskyx matematykov (Sato, Dzymbo, Myva y
dr.) poluçyla razvytye teoryq yzomonodromnoj deformacyy, y zdes\ takΩe ob-
naruΩena svqz\ s uravnenyqmy P-typa. PryloΩenye πtoj teoryy k yssledova-
nyg asymptotyçeskyx svojstv reßenyj nelynejn¥x ob¥knovenn¥x dyfferen-
cyal\n¥x uravnenyj pryvedeno v rabotax A. R. Ytsa, V. G. Novokßenova,
A.OA.OKapaeva, A. V. Kytaeva y dr.
Pry yssledovanyy uravnenyq Íazy vyda (7) s postoqnn¥my koπffycyenta-
my pry D = 0 poqvlqetsq uravnenye, kotoroe udaetsq svesty k lynejnomu urav-
nenyg vtoroho porqdka s ßest\g osob¥my toçkamy. Yssledovanye πtoho urav-
nenyq aktual\no, poskol\ku samo uravnenye tesno svqzano s uravnenyqmy klas-
sa Fuksa y uravnenyqmy matematyçeskoj fyzyky.
Takym obrazom, moΩno zaklgçyt\, çto yzuçenye svojstv reßenyj dlq ras-
smatryvaem¥x klassov dyfferencyal\n¥x uravnenyj vtoroho y tret\eho po-
rqdkov vaΩno ne tol\ko s toçky zrenyq teoryy ob¥knovenn¥x dyfferencyal\-
n¥x uravnenyj, no y s toçky zrenyq ee pryloΩenyj k astronomyçeskym, fyzy-
çeskym y druhym problemam.
1. Briot C., Bouquet T. Recherches sur les properties des fonction definites par des equations
differentielles // J. Ecole Polut. – Paris, 1856.
2. Briot C., Bouquet T. Theorie des fonctions elliptiques // J. Ecole Polut. – Paris, 1875.
3. Holubev V. V. Lekcyy po analytyçeskoj teoryy dyfferencyal\n¥x uravnenyj. – M.; L.:
Hostexteoryzdat, 1950. – 436 s.
4. Painleve P. Lecons sur les theorie analytique des equations differentielles. Professies a Stokholm.
– Paris, 1897. – 589 p.
5. Fuchs R. Uber lineare homogene Differential gleichungen Zweiter Ordnung mit drei im Endlichen
gelegenenwesentlichen singularen Stellen // Math. Ann. – 1907. – 63. – S. 301 – 321.
6. Garnier R. Sur les equations differentielles du trouseme ordre dont l’integrale generale est
uniforme et sur classe d’equations nouvelles d’ordre superieur dont l’integrale generale a ses points
critiques fixes // Ann. sci. Ecole norm. supér. – 1912. – 29. – P. 1 – 126.
7. Schlesinger L. Uber eine Klasse von Differentialsystemen beliebigen Ordnung mit festen kritischen
Punkten // J. reine und angew. Math. – 1912. – 141. – S. 96 – 145.
8. Holubev V. V. Kæ teoriy uravnenij Painleve // Mat. sb. – 1912. – 28, v¥p. 2. – S. 323 – 349.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
170 E. A. HREBENYKOV, A. V. ÇYÇURYN
9. Boutroux P. Etude asymptotique de transcendantes de M. Painleve dont est les solutions des
equations differentielles du second ordre // Ann. sci. Ecole norm. supér. – 1914. – 31. – P. 99 – 159.
10. Eruhyn N. P. Analytyçeskaq teoryq nelynejn¥x system ob¥knovenn¥x dyfferencyal\-
n¥x uravnenyj // Prykl. matematyka y mexanyka. – 1952. – 16, # 4. – S. 465 – 486.
11. Qblonskyj A. Y. Obwee predstavlenye reßenyj vtoroho uravnenyq Penleve // Dokl. AN
BSSR. – 1958. – 2, # 11. – S. 139 – 142.
12. Qblonskyj A. Y. O racyonal\n¥x reßenyqx vtoroho uravnenyq Penleve // Yzv. AN BSSR.
Ser. fyz.-texn. nauk. – 1959. – # 3. – S. 30 – 35.
13. Hromak V. Y., Lukaßevyç N. A. Analytyçeskye svojstva reßenyj uravnenyj Penleve. –
Mynsk: Unyversytetskoe, 1990. – 157 s.
14. Lukaßevyç N. A. K teoryy çetvertoho uravnenyq Penleve // Dyfferenc. uravnenyq. – 1967.
– 3, # 5. – S. 771 – 789.
15. Lukaßevyç N. A. K teoryy tret\eho uravnenyq Penleve // Tam Ωe. – 1967. – 3, # 11. –
S.O1913 – 1923.
16. Lukaßevyç N. A. K teoryy pqtoho uravnenyq Penleve // Tam Ωe. – 1968. – 4 , # 8. –
S.O1413 – 1420.
17. Lukaßevyç N. A. K teoryy uravnenyj Penleve // Tam Ωe. – 1970. – 6, # 3. – S. 425 – 430.
18. Lukaßevyç N. A. Nekotor¥e zadaçy analytyçeskoj teoryy dyfferencyal\n¥x uravnenyj:
Avtoref. dys.…d-ra fyz.-mat. nauk. – Kyev, 1971. – 17 s.
19. Lukaßevyç N. A. K teoryy ßestoho uravnenyq Penleve // Dyfferenc. uravnenyq. – 1972. –
8, # 8. – S. 1404 – 1408.
20. Cehel\nyk V. V. Analytyçeskaq xarakterystyka reßenyj nelynejn¥x dyfferencyal\n¥x
uravnenyj P-typa: Dys.… kand. fyz.-mat. nauk. – Mynsk, 1985. – 82 s.
21. Cehel\nyk V. V. Hamyl\tonyan¥, svqzann¥e s perv¥m uravnenyem Penleve // Dokl. NAN Be-
larusy. – 2001. – 45, # 5. – S. 45 – 47.
22. Cehel\nyk V. V. Uravnenyq Penleve-typa: analytyçeskye svojstva reßenyj y yx pryloΩe-
nyq: Avtoref. dys.…d-ra fyz.-mat. nauk. – Mynsk, 2002. – 32 s.
23. Bordah L. A., Kytaev A. V. Ob alhebrayçeskyx y racyonal\n¥x reßenyqx pqtoho uravnenyq
Penleve. – Dubna, 1986. – 14 s. – (Preprynt / Obæed. yn-t qder. yssled.; R5-86-334).
24. Bordah L. A., Kytaev A. V. Preobrazovanyq reßenyj tret\eho y pqtoho uravnenyj Penleve
y yx çastn¥e reßenyq. – Dubna, 1985. – 17 s. – (Preprynt / Obæed. yn-t qder. yssled.; R5-85-
740).
25. Murata Y. Rational solutions of the second and the fourth Painleve equations // Func. ekvacioj. –
1985. – 28. – P. 1 – 32.
26. Okamoto K. Studies of the Painleve equations III, second and fourth Painleve equations PII and
PIV // Math. Ann. – 1986. – 275. – P. 221 – 255.
27. Okamoto K. Studies of the Painleve equations II, fifth Painleve equations PV // Jap. J. Math. –
1987. – 13, # 1. – P. 47 – 76.
28. Okamoto K. Studies of the Painleve equations I, sixth Painleve equations PVI // Ann. math. pura
ed appl. – 1987. – 146. – P. 337 – 381.
29. Okamoto K. Studies of the Painleve equations IV, third Painleve equations PIII // Func. ekvacioj. –
1987. – 30. – P. 305 – 332.
30. Fokas A. S., Ablowitz M. J. On a unified approach to transformations and elementary solutions of
Painleve equations // J. Math. Phys. – 1982. – 23, # 11. – P. 2033 – 2041.
31. Bureau F. J. Differential equations with fixed critical points // Ann. mat. pura ed appl. Ser IV. –
1964. – 64. – P. 229 – 364.
32. Bureau F. J. Equations differentielles du second ordre enyet du second degre en Ÿ dont l’integrale
ginerale est a points critiques fixes // Ann. mat. pura ed appl. Ser. IV. – 1972. – 91. – P. 163 – 281.
33. Bureau F. J. Les equations differentielles du second ordre a points critiques fixes. Les integrales
de equations A3 de Painleve // Bull. cl. sci. Acad. roy. Belg. – 1983. – 69, # 11. – P. 614 – 640.
34. Bureau F. J. Systèmes différentiels à points critiques fixes. IX. Les systèmes différentiels
polynomiaux stables // Bull. cl. sci. Acad. roy. Belg. – 1981. – 67, # 11. – P. 755 – 781.
35. Cardon-Lebrun C. Conditions nesessaires pour que solutions de certaines equations differentielles
soient a points critiques isoles fixes // Bull. cl. sci. Acad. roy. Belg. – 1969. – 55, # 7. –
P. 524 – 536, 656 – 672.
36. Cardon-Lebrun C. Simplifices de Painleve dont les solutions sont a points critiques isoles fixes //
Bull. cl. sci. Acad. roy. Belg. – 1969. – 55, # 10. – P. 883 – 915.
37. Cosgrove C. M., Scoufis G. All binomial type Painleve equations of the second order and degree
three or higher // Stud. Appl. Math. – 1993. – 90. – P. 119 – 187.
38. Cosgrove C. M., Scoufis G. Painleve classification of a class of differential equations of the second
order and second degree // Ibid. – 1993. – 88. – P. 25 – 87.
39. Garnier R. Sur les equations differentielles du troisieme ordre dont l’integrale generale est
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
ANALYTYÇESKYE YSSLEDOVANYQ NEKOTORÁX DYFFERENCYAL|NÁX … 171
uniforme et sur une classe d’equations nouvelles d’ordre superieur dont l’integrale generale a ses
points critiques fixes. – Paris, 1911. – 1–4. – P. 1 – 127.
40. Chazy J. Sur les equations differentielles du troisieme ordre et d’ordre superieur, dont l’integrale
generale a ses points critiques fixes // Acta Math. – 1911. – 34. – P. 317 – 385.
41. Bureau F. J. Sur des systèmes différentiels non linéaires du troisième ordre et les équations
différentielles non linéaires associées // Acad. roy. Belg. Bull. – 1987. – 73, # 6 – 9. – P. 335 – 353.
42. Cardon-Lebrun C. Une classe d’equations differentielles troisieme ordre dont les solutions sont a
points critiques isoles fixes // Bull. cl. sci. Acad. roy. Belg. – 1970. – 56, # 2. – P. 101 – 125.
43. Exton H. Third orders differential systems with fixed critical points // Funkc. ekvacioj. – 1976. –
19, # 1. – P. 45 – 51.
44. Lukaßevyç N. A. Uravnenyq tret\eho porqdka bez podvyΩn¥x krytyçeskyx toçek (p. k. t.) //
Dyfferenc. uravnenyq. – 1982. – 18, # 5. – S. 778 – 785.
45. Lukaßevyç N. A. K teoryy uravnenyq Íazy // Tam Ωe. – 1993. – 29, # 2. – S.O353 – 357.
46. Lukaßevyç N. A. Prostejßye dyfferencyal\n¥e uravnenyq tret\eho porqdka P-typa //
Tam Ωe. – 1995. – 31, # 6. – S.O955 – 961.
47. Lqlykova V. Y. Specyal\noe dyfferencyal\noe uravnenye tret\eho porqdka s nepodvyΩ-
n¥my krytyçeskymy osob¥my toçkamy // Tam Ωe. – 1984. – 20, # 6. – S. 1090 – 1092.
48. Lqlykova V. Y. Uravnenye tret\eho porqdka s nepodvyΩn¥my krytyçeskymy toçkamy y
kratn¥my polgsamy // Dokl. AN BSSR. – 1984. – 28, # 6. – S.O485 – 487.
49. Mart¥nov Y. P. Ob odnom uravnenyy tret\eho porqdka bez podvyΩn¥x krytyçeskyx toçek
// Tam Ωe. – 1985. – 29, # 2. – S. 115 – 118.
50. Mart¥nov Y. P. Ob uravnenyqx tret\eho porqdka bez podvyΩn¥x krytyçeskyx toçek //
Dyfferenc. uravnenyq. – 1985. – 21, # 6. – S. 937 – 946.
51. Mart¥nov Y. P. Analytyçeskye svojstva reßenyj odnoho dyfferencyal\noho uravnenyq
tret\eho porqdka // Tam Ωe. – # 5. – S. 764 – 771.
52. Mart¥nov Y. P. Ob uslovyqx odnoznaçnosty reßenyj dyfferencyal\n¥x uravnenyj
tret\eho porqdka s yrracyonal\noj pravoj çast\g // Dokl. AN BSSR. – 1986. – 30, # 10. –
S.O872 – 875.
53. Mart¥nov Y. P. Analytyçeskye svojstva uravnenyj y system tret\eho porqdka: Avtoref.
dys.… d-ra fyz.-mat. nauk. – Kyev, 1998. – 24 s.
54. Cosgrove C. M. Chazy classes IX – XI of third-order differential equations // Stud. Appl. Math. –
2000. – 104. – P. 171 – 228.
55. Dobrovol\skyj V. A. Oçerky razvytyq analytyçeskoj teoryy dyfferencyal\n¥x uravne-
nyj. – Kyev: Vywa ßk., 1974. – 456 s.
56. Çyçuryn A. V. Uravnenye Íazy y lynejn¥e uravnenyq klassa Fuksa. – M.: Yzd-vo Ros. un-ta
druΩb¥ narodov, 2003. – 163 s.
57. Chichurin A. V. About some equations of the third order with six poles // Bul. Acad. Stiinte Rep.
Moldova. – 2003. – # 2 (42). – P. 59 – 68.
58. Çyçuryn A. V. K probleme suwestvovanyq otobraΩenyj meΩdu klassamy uravnenyj Íazy y
uravnenyqmy vtoroho porqdka // Vestn. Belorus. un-ta. Ser. 1. Matematyka. – 2003. – # 2. –
S. 74 – 78.
59. Çyçuryn A. V. Ob obwem reßenyy system¥ Íazy // Vesn. Bresckaha un-ta. Ser. estestv. na-
uk. – 2003. – # 2. – S. 17 – 22.
Poluçeno 13.10.2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
|
| id | umjimathkievua-article-3301 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:39:56Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/65/e1b025f7f340c16f2d2189b284bb6165.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33012020-03-18T19:50:43Z Analytic study of some differential equations related to problems of space dynamics Аналитические исследования некоторых дифференциальных уравнений, связанных с задачами космической динамики Grebenikov, E. A. Chichurin, A. V. Гребеников, Е. А. Чичурин, А. В. Гребеников, Е. А. Чичурин, А. В. We present a survey of results of the study of differential equations whose solutions have singularities of a certain type, in particular movable singular points with fairly simple topology. New statements on the form of partial and general solutions of these equations are obtained. Наведено огляд результатів досліджень диференціальних рівнянь, розв'язки яких мають особливості певного типу і, насамперед, рухомі особливі точки з достатньо простою топологією. Одержано нові твердження про вигляд частинних та загальних розв'язків таких рівнянь. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3301 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 2 (2007); 162–171 Український математичний журнал; Том 59 № 2 (2007); 162–171 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3301/3347 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3301/3348 Copyright (c) 2007 Grebenikov E. A.; Chichurin A. V. |
| spellingShingle | Grebenikov, E. A. Chichurin, A. V. Гребеников, Е. А. Чичурин, А. В. Гребеников, Е. А. Чичурин, А. В. Analytic study of some differential equations related to problems of space dynamics |
| title | Analytic study of some differential equations related to problems of space dynamics |
| title_alt | Аналитические исследования некоторых дифференциальных уравнений, связанных с задачами космической динамики |
| title_full | Analytic study of some differential equations related to problems of space dynamics |
| title_fullStr | Analytic study of some differential equations related to problems of space dynamics |
| title_full_unstemmed | Analytic study of some differential equations related to problems of space dynamics |
| title_short | Analytic study of some differential equations related to problems of space dynamics |
| title_sort | analytic study of some differential equations related to problems of space dynamics |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3301 |
| work_keys_str_mv | AT grebenikovea analyticstudyofsomedifferentialequationsrelatedtoproblemsofspacedynamics AT chichurinav analyticstudyofsomedifferentialequationsrelatedtoproblemsofspacedynamics AT grebenikovea analyticstudyofsomedifferentialequationsrelatedtoproblemsofspacedynamics AT čičurinav analyticstudyofsomedifferentialequationsrelatedtoproblemsofspacedynamics AT grebenikovea analyticstudyofsomedifferentialequationsrelatedtoproblemsofspacedynamics AT čičurinav analyticstudyofsomedifferentialequationsrelatedtoproblemsofspacedynamics AT grebenikovea analitičeskieissledovaniânekotoryhdifferencialʹnyhuravnenijsvâzannyhszadačamikosmičeskojdinamiki AT chichurinav analitičeskieissledovaniânekotoryhdifferencialʹnyhuravnenijsvâzannyhszadačamikosmičeskojdinamiki AT grebenikovea analitičeskieissledovaniânekotoryhdifferencialʹnyhuravnenijsvâzannyhszadačamikosmičeskojdinamiki AT čičurinav analitičeskieissledovaniânekotoryhdifferencialʹnyhuravnenijsvâzannyhszadačamikosmičeskojdinamiki AT grebenikovea analitičeskieissledovaniânekotoryhdifferencialʹnyhuravnenijsvâzannyhszadačamikosmičeskojdinamiki AT čičurinav analitičeskieissledovaniânekotoryhdifferencialʹnyhuravnenijsvâzannyhszadačamikosmičeskojdinamiki |