Dynamical systems and simulation of turbulence
We propose an approach to the analysis of turbulent oscillations described by nonlinear boundary-value problems for partial differential equations. This approach is based on passing to a dynamical system of shifts along solutions and uses the notion of ideal turbulence (a mathematical phenomenon in...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3305 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509369101189120 |
|---|---|
| author | Romanenko, Ye. Yu. Sharkovsky, O. M. Романенко, Е. Ю. Шарковский, А. Н. Романенко, Е. Ю. Шарковский, А. Н. |
| author_facet | Romanenko, Ye. Yu. Sharkovsky, O. M. Романенко, Е. Ю. Шарковский, А. Н. Романенко, Е. Ю. Шарковский, А. Н. |
| author_sort | Romanenko, Ye. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:50:43Z |
| description | We propose an approach to the analysis of turbulent oscillations described by nonlinear boundary-value problems for partial differential equations. This approach is based on passing to a dynamical system of shifts along solutions and uses the notion of ideal turbulence (a mathematical phenomenon in which an attractor of an infinite-dimensional dynamical system is contained not in the phase space of the system but in a wider functional space and there are fractal or random functions among the attractor “points”). A scenario for ideal turbulence in systems with regular dynamics on an attractor is described; in this case, the space-time chaotization of a system (in particular, intermixing, self-stochasticity, and the cascade process of formation of structures) is due to the very complicated internal organization of attractor “points” (elements of a certain wider functional space). Such a scenario is realized in some idealized models of distributed systems of electrodynamics, acoustics, and radiophysics. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:40:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9
E. G. Romanenko, A. N. Íarkovskyj (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
DYNAMYÇESKYE SYSTEMÁ
Y MODELYROVANYE TURBULENTNOSTY
We propose an approach to the analysis of turbulent oscillations described by nonlinear boundary-value
problems for partial differential equations. This approach is based on the transition to a dynamical
system of shifts along solutions and uses the notion of ideal turbulence (a mathematical phenomenon
such that the attractor of an infinite-dimensional dynamical system lies not in the phase space of the
system but in a wider functional space and, among attractor “points”, there are fractal or random
functions). A scenario for ideal turbulence in systems with regular dynamics on an attractor is described;
in this case, the space-time chaotization of a system, in particular, the intermixing, the self-stochastisity,
and the cascade process of creation of structures, is due to the very complicated organization of attractor
“points” (elements of a certain wider functional space). Such a scenario is available in some idealized
models of parameter-distributed systems in electrodynamics, acoustics, radiophysics, etc.
Okresleno pidxid do analizu turbulentnyx kolyvan\, wo opysugt\sq nelinijnymy krajovymy
zadaçamy dlq rivnqn\ z çastynnymy poxidnymy. Cej pidxid bazu[t\sq na perexodi do dynamiçno]
systemy zsuviv vzdovΩ rozv’qzkiv i vykorystovu[ ponqttq ideal\no] turbulentnosti —
matematyçnoho qvywa, pry qkomu atraktor neskinçennovymirno] dynamiçno] systemy mistyt\sq
ne u fazovomu prostori systemy, a u ßyrßomu funkcional\nomu prostori i sered „toçok” atrak-
tora [ fraktal\ni abo j vypadkovi funkci]. Opysano scenarij turbulentnosti v systemax z re-
hulqrnog dynamikog na atraktori, koly prostorovo-çasova xaotyzaciq systemy, zokrema pere-
mißuvannq, avtostoxastyçnist\, kaskadnyj proces utvorennq struktur, zumovleni duΩe sklad-
nog vnutrißn\og orhanizaci[g „toçok” atraktora — elementiv ßyrßoho funkcional\noho
prostoru. Takyj scenarij realizu[t\sq u pevnyx idealizovanyx modelqx rozpodilenyx system
elektrodynamiky, akustyky, radiofyzyky.
1. Vvedenye. Vo vtoroj polovyne proßloho veka proysxodylo yntensyvnoe
razvytye asymptotyçeskyx metodov kak v teoretyçeskom plane, tak y v plane
prymenenyj k nelynejn¥m, preymuwestvenno rehulqrn¥m, kolebatel\n¥m pro-
cessam. Vmeste s tem vse bol\ße owuwalas\ neobxodymost\ y sozdavalys\
predpos¥lky dlq yssledovanyq nelynejn¥x processov s krajne nerehulqrnoj
prostranstvenno-vremennoj dynamykoj. Poqvylys\ y staly aktyvno yspol\zo-
vat\sq takye ponqtyq, kak xaos — dlq xarakterystyky nerehulqrnoho povede-
nyq vo vremeny y/yly prostranstve dynamyçeskyx processov, fraktal — kak
mnoΩestvo s oçen\ sloΩn¥m topolohyçeskym ustrojstvom, ymegwym, napry-
mer, drobnug razmernost\, strann¥j attraktor — kak fraktal v fazovom
prostranstve dynamyçeskoj system¥, prytqhyvagwyj traektoryy yz nekotoroj
svoej okrestnosty.
Teoryq dynamyçeskyx system, voznykßaq kak sredstvo dlq yssledovanyq
asymptotyçeskyx svojstv reßenyj dyfferencyal\n¥x uravnenyj, postepenno,
poluçaq mown¥e ympul\s¥ dlq svoeho razvytyq so storon¥ prykladn¥x nauk,
prevratylas\ v samostoqtel\n¥j razdel matematyky, predstavlqgwyj, v çast-
nosty, πffektyvn¥j matematyçeskyj apparat dlq yzuçenyq dynamyçeskyx pro-
cessov v okruΩagwem myre.
V naçale 60-x hodov v otdele matematyçeskoj fyzyky y teoryy nelynejn¥x
kolebanyj Ynstytuta matematyky NAN Ukrayn¥ naçaly yzuçat\ dynamyçeskye
system¥ s dyskretn¥m vremenem y prostejßym fazov¥m prostranstvom — ve-
westvennoj prqmoj. V rezul\tate b¥ly sozdan¥ osnov¥ topolohyçeskoj teoryy
odnomern¥x dynamyçeskyx system, kotoraq çerez 15 – 20 let stala odnym yz
vaΩnejßyx ynstrumentov yssledovanyq sam¥x raznoobrazn¥x nelynejn¥x sys-
tem.
Dal\nejßye yssledovanyq dynamyçeskyx system, provodyvßyesq v Ynstytu-
te matematyky, pokazaly, çto odnomern¥e dynamyçeskye system¥ oçen\ πffek-
tyvn¥ y pry yssledovanyy opredelenn¥x klassov beskoneçnomern¥x dynamy-
çeskyx system, poroΩdaem¥x nelynejn¥my kraev¥my zadaçamy matematyçeskoj
fyzyky. V çastnosty, na πtom puty okazalos\ vozmoΩn¥m proanalyzyrovat\
© E. G. ROMANENKO, A. N. ÍARKOVSKYJ, 2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 217
218 E. G. ROMANENKO, A. N. ÍARKOVSKYJ
razlyçn¥e matematyçeskye mexanyzm¥ voznyknovenyq y razvytyq turbulent-
nosty — veroqtno, samoho sloΩnoho kolebatel\noho processa, vstreçagwehosq
v pryrode. Ymenno ob πtyx yssledovanyqx y ydet reç\ v stat\e.
Termyn turbulentnost\, kotor¥j voznyk v hydrodynamyke y pervonaçal\-
no yspol\zovalsq tol\ko dlq potokov Ωydkostej y hazov, teper\ çasto ponyma-
etsq znaçytel\no ßyre y oznaçaet, çto nekotor¥e xarakterystyky raspredelen-
noj system¥ yzmenqgtsq xaotyçesky vo vremeny y prostranstve. Perexod ot re-
hulqrnoj dynamyky k turbulentnoj vsehda svqzan s formyrovanyem y razruße-
nyem struktur, kotor¥e, kak edynoe celoe, xarakteryzugtsq bol\ßym çyslom
prostranstvenn¥x y vremenn¥x masßtabov. V real\n¥x systemax mynymal\n¥j
masßtab prostranstvenn¥x struktur „dyktuetsq” vnutrennym soprotyvlenyem
system¥. Ydeal\n¥e system¥ — system¥ bez vnutrenneho soprotyvlenyq („vqz-
kosty”) — samy po sebe ne prepqtstvugt razvytyg kaskadnoho processa vplot\
do obrazovanyq struktur skol\ uhodno mal¥x masßtabov, çto moΩet daΩe pry-
vodyt\ k stoxastyzacyy system¥, kohda ee povedenye na bol\ßyx vremenax opy-
s¥vaetsq nekotor¥m sluçajn¥m processom. Poπtomu vaΩn¥m y ves\ma produk-
tyvn¥m (!) πtapom na puty k ponymanyg pryrod¥ real\noj turbulentnosty qv-
lqetsq yzuçenye ydeal\noj turbulentnosty — turbulentnosty v systemax bez
vnutrenneho soprotyvlenyq.
Ydeal\n¥my matematyçeskymy modelqmy ydeal\noj turbulentnosty qvlq-
gtsq kraev¥e zadaçy (KZ) dlq uravnenyj v çastn¥x proyzvodn¥x (UÇP). ∏ty
zadaçy poroΩdagt beskoneçnomern¥e dynamyçeskye system¥ sdvyhov vdol\ re-
ßenyj, kotor¥e, kak okazalos\, demonstryrugt mnohye osobennosty struktur-
noj turbulentnosty, v tom çysle dve naybolee xaraktern¥e: kaskadn¥j process
voznyknovenyq struktur ub¥vagwyx masßtabov y xaotyçeskoe peremeßyvanye.
∏ffektyvnoe yzuçenye dynamyky ydeal\n¥x system stalo vozmoΩn¥m tol\ko v
poslednye 20 – 30 let blahodarq razvytyg teoryy raznostn¥x uravnenyj s ne-
prer¥vn¥m arhumentom (sm. [16, 17, 20, 40, 44] y pryvedennug tam byblyohra-
fyg), kotoraq v znaçytel\noj stepeny opyraetsq na teoryg odnomern¥x dyna-
myçeskyx system.
NyΩe kratko yzloΩen podxod k modelyrovanyg turbulentn¥x processov,
razvyt¥j v naßyx rabotax po xaotyçeskoj dynamyke beskoneçnomern¥x dynamy-
çeskyx system y KZ dlq UÇP. Ponqtye ydeal\noj turbulentnosty b¥lo pred-
loΩeno odnym yz avtorov ewe v 1983 h.; pervonaçal\no yspol\zovalos\ nazva-
nye „suxaq turbulentnost\” [27 – 29] po analohyy s „suxoj vodoj” Nejmana. S
tex por problematyka ydeal\noj turbulentnosty postoqnno ostavalas\ v pole
zrenyq avtorov (sm., naprymer, [12, 21 – 25, 31, 32, 34, 37, 41, 42, 46 – 48]). V yto-
he b¥lo „otrabotano” strohoe matematyçeskoe opredelenye y metodolohyq ys-
sledovanyj [35, 45] (sm. takΩe [32, 48]), „uvençavßyesq” fyksacyej v nauçnoj
termynolohyy ponqtyq turbulentnost\ ydeal\naq, kotoroe, v çastnosty, pred-
stavleno v „Encyclopedia of Nonlinear Science” (ed. Alwyn Scott, New York: Rout-
ledge, 2005). Otmetym, çto rassmatryvaem¥e nyΩe modely ydeal\noj turbu-
lentnosty ne ymegt prqmoho otnoßenyq k hydrodynamyke, a svqzan¥ s yzuçe-
nyem πlektromahnytn¥x y akustyçeskyx kolebanyj [8, 9, 11, 30, 31, 38, 39].
2. Ydeal\naq turbulentnost\: opredelenyq y prostejßaq model\.
SoderΩatel\noe matematyçeskoe opredelenye turbulentnosty moΩno dat\ dlq
dynamyçeskyx system (DS) na prostranstvax hladkyx (yly kusoçno-hladkyx)
funkcyj. Pust\
{ C
k
( D, E ), T, S
t
} (1)
— dynamyçeskaq systema, C
k
( D, E ) — prostranstvo C
k-funkcyj ϕ : D → E ;
D y E — kompaktn¥e oblasty v evklydov¥x prostranstvax; T = R
+
yly Z
+.
Fazovoe prostranstvo C
k, snabΩennoe a priori „ob¥çnoj” C
k-metrykoj, qv-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
DYNAMYÇESKYE SYSTEMÁ Y MODELYROVANYE … 219
lqetsq nekompaktn¥m, y potomu dlq nekotor¥x, a vozmoΩno, y dlq poçty vsex
1
naçal\n¥x sostoqnyj system¥ ϕ ∈ C
k
( D, E ) sootvetstvugwye traektoryy
S
t
[ ϕ ] ymegt pust¥e ω-predel\n¥e mnoΩestva. Bolee toho, proysxodyt prost-
ranstvenno-vremennaq xaotyzacyq system¥: πvolgcyq naçal\n¥x sostoqnyj
system¥ — hladkyx funkcyj yz fazovoho prostranstva — soprovoΩdaetsq vse
bol\ßym y bol\ßym usloΩnenyem yx struktur¥ (povedenyq) vplot\ do takoho,
çto predel\noe sostoqnye system¥ uΩe ne moΩet b¥t\ opysano v termynax
hladkyx funkcyj. V takom sluçae attraktor system¥ ne soderΩytsq celykom
v fazovom prostranstve C
k. Sledovatel\no, DS neobxodymo prodolΩyt\ na ne-
kotoroe bolee ßyrokoe funkcyonal\noe prostranstvo C
∗ s novoj metrykoj
ρ
∗, pryçem tak, çtob¥ novoe prostranstvo C
∗
soderΩalo ω-predel\n¥e mno-
Ωestva vsex yly poçty vsex traektoryj, naçynagwyxsq v ysxodnom fazovom
prostranstve. Tohda moΩno postroyt\ hlobal\n¥j attraktor, ponymaem¥j, na-
prymer, kak analoh Generic Limit Set DΩ. Mylnora [13] dlq dynamyçeskyx sys-
tem na nekompaktn¥x prostranstvax [22].
Opredelenye.1. Hlobal\n¥m attraktorom v prostranstve C
∗
system¥
(1) nazovem naymen\ßee zamknutoe mnoΩestvo A
∗
v rasßyrennom fazovom
prostranstve C
∗, soderΩawee ω-predel\n¥e mnoΩestva traektoryj, po-
roΩdaem¥x poçty vsemy naçal\n¥my sostoqnyqmy ϕ ∈ C
k
( D, E ) .
Pry realyzacyy πtoho podxoda — v¥bore rasßyrennoho prostranstva y met-
ryky v πtom prostranstve — nuΩno ymet\ v vydu takug „fyzyçeskug” arhu-
mentacyg. Çtob¥ yssledovat\ povedenye funkcyy S
t
[ ϕ ] ( y ) pry t → ∞ pry
nalyçyy bol\ßyx hradyentov kak po y, tak y/yly po t (s çem, sobstvenno, y
ymeem delo), v çastnosty, çtob¥ proanalyzyrovat\ svojstva S
t
[ ϕ ] ( y ) v kakoj-
lybo toçke y = y∗ , neobxodymo prynymat\ vo vnymanye znaçenyq ϕ ( y ) ne tol\-
ko v toçke y = y∗ , no y v nekotoroj ε-okrestnosty πtoj toçky. Esly reç\ ydet
obo vsex y ∈ D, to dlq kaΩdoj konkretnoj zadaçy sleduet, umen\ßaq ε, najty
„optymal\noe razreßenye” — maloe, no koneçnoe znaçenye ε. ∏to oznaçaet, çto
yskomaq metryka dolΩna osuwestvlqt\ ne potoçeçnoe sravnenye funkcyj, a
sravnenye znaçenyj funkcyj v „optymal\n¥x” okrestnostqx toçek. Blyzkye
ydey v¥skaz¥valys\ v [3, 6].
Dlq osuwestvlenyq opysannoj v¥ße „stratehyy” v kaçestve rasßyrennoho
prostranstva C
∗
predlahagtsq dva prostranstva C
∆
y C
#, pervoe yz kotor¥x
voznykaet kak estestvennoe rasßyrenye prostranstva hladkyx funkcyj, a vto-
roe pozvolqet, pry opredelenn¥x uslovyqx, suwestvenno utoçnyt\ opysanye
funkcyj, sostavlqgwyx attraktor system¥ (1). Prostranstvo C
∆
— πto pro-
stranstvo poluneprer¥vn¥x sverxu funkcyj ξ : D → 2
E
s metrykoj
ρ ξ ξ∆ ( , )1 2 = sup min , sup ( ), ( )( )
ε
ξ
ε
ξ
εε
> ∈
0
1 2
y D
H V y V ydist , (2)
hde distH ( , )⋅ ⋅ — rasstoqnye Xausdorfa meΩdu mnoΩestvamy, V yξ
ε ( ) =
= ξ ε( )( )V y y Vε ( )⋅ — ε-okrestnost\ toçky. Metryka ρ
∆, kak netrudno vydet\,
πkvyvalentna metryke
ρ ξ ξH
∆ ( , )1 2 = dist gr grH ( ),ξ ξ1 2 , gr ξ — hrafyk funkcyy ξ ( y ) . (3)
1
Budem hovoryt\, çto nekotoroe svojstvo ymeet mesto dlq poçty vsex x ∈ X, esly mnoΩestvo
tex x, dlq kotor¥x πto svojstvo v¥polnqetsq, qvlqetsq rezydual\n¥m v X.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
220 E. G. ROMANENKO, A. N. ÍARKOVSKYJ
Metryka ρH
∆
vo mnohyx sluçaqx udobnee dlq yspol\zovanyq, çem metryka ρ∆
;
ona, v çastnosty, pozvolqet lehko ponqt\ sm¥sl sxodymosty v prostranstve C
∆:
sxodymost\ posledovatel\nosty funkcyj ξi k funkcyy ξ πkvyvalentna soot-
noßenyg
Lti→∞ gr ξi = gr ξ , (4)
hde Lt — operacyq perexoda k topolohyçeskomu predelu. Netrudno vydet\, çto
znaçenyqmy funkcyj ξ ∈ C
∆
qvlqgtsq zamknut¥e svqzn¥e (!) mnoΩestva yz E
(podrobnee sm. [17, 18]).
Prostranstvo C
#
— πto prostranstvo funkcyj ζ : D → E, zadann¥x nabo-
ramy koneçnomern¥x raspredelenyj, t. e. C
#
sostoyt yz sluçajn¥x y yzmery-
m¥x determynyrovann¥x funkcyj. Pod sluçajnoj funkcyej faktyçesky po-
nymaem raspredelenye sluçajnoj funkcyy (yly, ynaçe, meru na prostranstve
realyzacyj); v takom sm¥sle termyn „sluçajnaq funkcyq” yspol\zuetsq rady
udobstva (çto ne qvlqetsq obweprynqt¥m v teoryy veroqtnostej). Metryka v
C
#
dolΩna sravnyvat\ raspredelenyq znaçenyj funkcyj ζ v okrestnosty
kaΩdoj toçky yz D. Zamenqq mnoΩestvo V yξ
ε ( ) v (2) usrednenn¥m rasprede-
lenyem funkcyy ζ na V yε ( ), poluçaem yskomug metryku
ρ ζ ζ# ( , )1 2 = sup min , ( , ), ( , )( ), ,
ε
ζ
ε
ζ
εε
> =
∞
∑
0 1
1
2 1 2
r
r R
r rV z y V z ydist , (5)
hde
distR
r rV V( ), ,,ζ
ε
ζ
ε
1 2
= sup ( , ) ( , ), ,
z E
r
D
r r
r rD
F z y F z y dy
∈
∫ −1
1 2mes ζ
ε
ζ
ε ,
D
r y E
r
— prqm¥e proyzvedenyq r kopyj D y E , F z yr
ζ
ε, ( , ) — usrednenye
r-mernoho raspredelenyq F zr
ζ ( , )⋅ funkcyy ζ ( y ) po ε -okrestnosty toçky
yV∈ D
r
. Dlq determynyrovannoj funkcyy ζ : D → E vse koneçnomern¥e
raspredelenyq odnoznaçno opredelqgtsq ee funkcyej raspredelenyq
F x zζ( , ) = χ ζ( , )( )( )−∞ z x , x ∈ D, hde χA( )⋅ — yndykator mnoΩestva A. Sm¥sl
sxodymosty v prostranstve C
#
takov: esly posledovatel\nost\ funkcyj ζi
sxodytsq k funkcyy ζ, to pry fyksyrovann¥x ε∗ > 0, r∗ ∈ Z
+, z∗ ∈ Dr∗
po-
sledovatel\nost\ raspredelenyj F z y
i
r
ζ
ε∗ ∗
∗
, ( , ) sxodytsq k raspredelenyg
F z yr
ζ
ε∗ ∗
∗
, ( , ) po mere, ravnomerno po z∗ (podrobnee sm. [20]).
Prostranstvo C
∆
qvlqetsq kompaktn¥m y potomu vsehda „rabotaet”: po-
polnenye prostranstva C
k
( D, E ) v metryke ρ∆
pryvodyt k tomu, çto vse traek-
toryy system¥ (1) okaz¥vagtsq kompaktn¥my v prostranstve C
∆
( otnosytel\-
no metryky ρ∆
) , y tohda dlq kaΩdoho naçal\noho sostoqnyq ϕ ∈ C
k
( D, E ) so-
otvetstvugwaq traektoryq uΩe ymeet v C
∆
nepustoe kompaktnoe ω-predel\-
noe mnoΩestvo, kotoroe oboznaçym ω
∆
[ ϕ ] . Pry πtom typyçna sytuacyq, kohda
nekotor¥e (a vozmoΩno, y vse) „toçky” mnoΩestva ω
∆
[ ϕ ] qvlqgtsq sobstvenno
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
DYNAMYÇESKYE SYSTEMÁ Y MODELYROVANYE … 221
poluneprer¥vn¥my sverxu (t. e. razr¥vn¥my) funkcyqmy, y, sledovatel\no, yx
hrafyky (kak mnoΩestva v D × E ) mohut okazat\sq fraktal\n¥my ( toçnee, dlq
ξ ∈ ω
∆
[ ϕ ] kakaq-lybo yz fraktal\n¥x razmernostej hrafyka gr ξ bol\ße to-
polohyçeskoj razmernosty oblasty D — oblasty opredelenyq funkcyy ξ ( y ) ) .
Vtoroe rasßyrennoe prostranstvo C
#, voobwe hovorq, ne qvlqetsq kom-
paktn¥m y potomu „rabotosposobnost\” C
#
uΩe zavysyt ot operatora S
t. Dlq
prostejßyx system vyda (1) osnovn¥m yz uslovyj, kotor¥e pozvolqgt πffek-
tyvno yspol\zovat\ prostranstvo C
#, qvlqetsq suwestvovanye hladkoj (t. e.
absolgtno neprer¥vnoj otnosytel\no mer¥ Lebeha) ynvaryantnoj mer¥ DS.
Esly dlq ϕ ∈ C
k
( D, E ) sootvetstvugwaq traektoryq system¥ (1) kompaktna v
C
#, to ee (nepustoe kompaktnoe) ω-predel\noe mnoΩestvo v C
#
oboznaçym
ω
#
[ ϕ ] ; dlq nekompaktn¥x v C
#
traektoryj prymem ω
#
[ ϕ ] = ∅ .
Ymeq prostranstva C
∆
y C
#, moΩno predloΩyt\ matematyçeskoe oprede-
lenye turbulentnosty y klassyfycyrovat\ turbulentn¥e kolebanyq po svojst-
vam ω-predel\n¥x mnoΩestv traektoryj.
Opredelenye.2. Budem hovoryt\, çto naçal\noe sostoqnye ϕ ∈ C
k
poroΩ-
daet:
ydeal\nug turbulentnost\ (YT), esly najdetsq funkcyq ξ ∈ ω
∆
[ ϕ ] , hra-
fyk kotoroj qvlqetsq fraktal\n¥m;
stoxastyçeskug ydeal\nug turbulentnost\ (StYT), esly mnoΩestvo
ω
#
[ ϕ ] soderΩyt sluçajnug funkcyg;
slabug ydeal\nug turbulentnost\ (SlYT), esly ϕ ne poroΩdaet ydeal\-
nug turbulentnost\, no suwestvuet funkcyq ξ ∈ ω
∆
[ ϕ ] , razr¥vnaq na bes-
koneçnom mnoΩestve toçek yz D 2.
Budem hovoryt\, çto dynamyçeskaq systema demonstryruet turbulent-
nost\ toho yly ynoho typa, kohda naçal\n¥e sostoqnyq ϕ ∈ C
k
( D, E ) , poroΩ-
dagwye takug turbulentnost\, obrazugt massyvnoe (v tom yly ynom sm¥sle)
mnoΩestvo
3
v fazovom prostranstve C
k
.
Stoxastyçeskaq turbulentnost\ πkvyvalentna avtostoxastyçnosty [41, 42].
MoΩno predloΩyt\ [40] y druhug hradacyg turbulentn¥x kolebanyj, ysxodq,
naprymer, yz topolohyçeskoj struktur¥ y mownosty mnoΩestva toçek razr¥va
funkcyj yz ω
∆
[ ϕ ] .
Prostejßyj predstavytel\ DS s ydeal\noj turbulentnost\g — DS na pro-
stranstve hladkyx funkcyj ϕ : D → E, dejstvugwaq po pravylu
S : ϕ � f ° ϕ, f : E → E — hladkaq neobratymaq funkcyq, (6)
hde ° — operacyq kompozycyy funkcyj. Traektoryg „toçky” ϕ moΩno zapy-
sat\ v vyde
S
n
[ ϕ ] = f
n ° ϕ yly S
n
[ ϕ ] ( y ) = f
n
( ϕ ( y ) ) , n ∈ Z
+, y ∈ D,
yndeks n oboznaçaet n-g yteracyg funkcyy (t. e. f
n = f ° f
n
-
1, f
0
( y ) = y ).
2
To est\ na beskoneçnom mnoΩestve toçek y ′ ∈ D znaçenyq funkcyy ξ ( y ) (prynadleΩawye
2E
) ne qvlqgtsq odnotoçeçn¥my mnoΩestvamy.
3
∏to moΩet b¥t\ mnoΩestvo poloΩytel\noj yly polnoj mer¥, vsgdu plotnoe mnoΩestvo yly
mnoΩestvo vtoroj katehoryy, yly ewe kakoe-nybud\ mnoΩestvo, estestvennoe dlq rassmatryva-
emoj zadaçy.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
222 E. G. ROMANENKO, A. N. ÍARKOVSKYJ
Poslednqq formula oznaçaet, çto dynamyku poçty kaΩdoj traektoryy S
n
[ ϕ ]
moΩno rassmatryvat\ kak dynamyku kontynuuma nesvqzann¥x oscyllqtorov: v
kaΩdoj toçke y ∈ D „podveßen maqtnyk”, koleblgwyjsq po zakonu zn �
� zn+1 = f zn( ), hde z0 = ϕ ( y ) ; eho kolebanyq ne zavysqt ot „maqtnykov” v
druhyx toçkax oblasty D. Ymenno nezavysymost\ kolebanyj y est\ pryçynoj
ydeal\noj turbulentnosty v DS (6): sostoqnyq podveßenn¥x v toçkax z ∈ D
„maqtnykov”, kotor¥e (sostoqnyq) b¥ly blyzky v naçal\n¥j moment, so vreme-
nem mohut okazat\sq oçen\ dalekymy.
Opysanye asymptotyçeskoj dynamyky system¥ (6) moΩem predloΩyt\ dlq
sluçaq, kohda D y E — ynterval¥ (y tohda f — odnomernoe otobraΩenye).
Teorema.1. 1. Pry poçty vsex f dlq poçty kaΩdoho naçal\noho sostoqnyq ϕ
ω-predel\noe mnoΩestvo ω
∆
[ ϕ ] qvlqetsq cyklom
∆-rasßyrennoj system¥ ξ � f ° ξ , ξ ∈ C
∆;
ω-predel\noe mnoΩestvo ω
#
[ ϕ ] , esly ono ne pusto, qvlqetsq cyklom
#-rasßyrennoj system¥ ζ � f ° ζ , ζ ∈ C
#.
2. Esly f ymeet cykl¥ tol\ko peryodov 2
i
, i = 0, 1, … , l < ∞ , to dlq
kaΩdoho naçal\noho sostoqnyq ϕ mnoΩestvo ω
∆
[ ϕ ] qvlqetsq cyklom ∆ -ras-
ßyrennoj system¥.
3. Systema (6) ymeet attraktor A
∆
v prostranstve C
∆
y pry poçty
vsex f πtot attraktor sostoyt yz cyklov ∆-rasßyrennoj system¥. Esly
systema (6) ymeet attraktor A
#
v prostranstve C # , to πtot attrak-
tor sostoyt yz cyklov #-rasßyrennoj system¥
4
.
Takym obrazom, moΩno konstatyrovat\, çto DS (6) okaz¥vaetsq v opredelen-
nom sm¥sle bolee prostoj, neΩely DS, ynducyruemaq otobraΩenyem f : typyç-
n¥e traektoryy pervoj system¥ qvlqgtsq asymptotyçesky peryodyçeskymy, v
to vremq kak typyçn¥e traektoryy vtoroj mohut, kak yzvestno, y ne b¥t\
asymptotyçesky peryodyçeskymy.
Teorema.2. Pry sdelann¥x v¥ße predpoloΩenyqx systema (6) demonstry-
ruet:
1) SlYT, esly f ymeet cykl¥ s peryodamy 2
i
, i = 0, 1, … , l, 1 < l < ∞ ,
y ne ymeet druhyx peryodyçeskyx traektoryj;
2) YT, esly f ymeet cykl peryoda ≠ 2
i
, i = 0, 1, … ;
3) StYT, esly najdetsq n > 0 takoe, çto f
n
ymeet ynvaryantnug me-
ru, sosredotoçennug na nekotorom yntervale y πkvyvalentnug na nem mere
Lebeha, y f
n
qvlqetsq peremeßyvagwym otnosytel\no πtoj mer¥.
Zdes\ yspol\zuem „box-counting” razmernost\ — odnu yz versyj fraktal\noj
razmernosty, kotoraq naybolee ßyroko prymenqetsq v pryloΩenyqx y xoroßo
prysposoblena dlq v¥çyslenyj (opredelenye sm., naprymer, v [15]). V sluçaqx 1
y 2 turbulentnost\ poroΩdaetsq naçal\n¥my sostoqnyqmy ϕ, kotor¥e obrazu-
gt v C
k
mnoΩestvo vtoroj katehoryy, a v sluçae 3 — nesynhulqrn¥my (otno-
sytel\no mer¥ Lebeha) naçal\n¥my sostoqnyqmy ϕ, dlq kotor¥x ynterval
4
TeoremaV1 v¥tekaet yz dvux faktov: a) asymptotyçeskaq dynamyky traektoryj system¥ (6)
opredelqetsq traektoryqmy okrestnostej (!) toçek (a ne traektoryqmy toçek) pry otobraΩenyy
f [40], b) dlq poçty kaΩdoho f traektoryq okrestnosty toçky qvlqetsq asymptotyçesky pery-
odyçeskoj [19, 26].
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
DYNAMYÇESKYE SYSTEMÁ Y MODELYROVANYE … 223
ϕ ( D ) ymeet nepustoe pereseçenye s bassejnom ynvaryantnoj mer¥ (opredelenye
sm., naprymer, v [1]), pry πtom funkcyy ζ ∈ ω
#
[ ϕ ] qvlqgtsq sobstvenno slu-
çajn¥my funkcyqmy s nezavysym¥my znaçenyqmy, raspredelenyq kotor¥x v¥-
raΩagtsq çerez upomqnutug meru.
V kaçestve prymera yspol\zuem populqrnug y xoroßo yzuçennug parabolu
f λ : z � λ z ( 1 – z ) , z ∈ [ 0, 1 ] , 0 < λ ≤ 4. Kohda λ yzmenqetsq v yntervale
( ),1 6+ ∗λ , hde λ∗ ≈ 3,57 — znaçenye λ, predel\noe dlq byfurkacyonn¥x
znaçenyj udvoenyq peryoda, otobraΩenye f λ ymeet cykl¥ tol\ko peryodov 1,
2, 22, … , 2r
s nekotor¥m koneçn¥m r > 1. Kohda λ > λ∗, otobraΩenye f λ
uΩe ymeet cykl peryoda, otlyçnoho ot stepeny 2. KaΩdaq funkcyq ϕ ∈ C
k,
ne ravnaq toΩdestvenno konstante ny na odnom yz yntervalov yz [ 0, 1 ] , poroΩ-
daet SlYT v pervom sluçae
5
y YT vo vtorom. Y, nakonec, tretyj sluçaj: suwe-
stvuet mnoΩestvo Λ ⊂ ( λ∗, 4 ] poloΩytel\noj mer¥ Lebeha takoe, çto f λ pry
λ ∈ Λ ymeet (edynstvennug) hladkug πrhodyçeskug ynvaryantnug meru. Tohda
DS demonstryruet StYT. V çastnosty, otobraΩenye z � 4 z ( 1 – z ) ymeet yn-
varyantnug meru s plotnost\g p ( z ) = 1 1/ ( )π z z− y nosytelem [ 0, 1 ] . V πtom
sluçae dlq kaΩdoj nesynhulqrnoj funkcyy ϕ ∈ C
k
mnoΩestvo ω
#
[ ϕ ] sosto-
yt yz edynstvennoj sluçajnoj funkcyy (s nezavysym¥my znaçenyqmy) ζ
∗
( y ) ,
kotoraq zadaetsq ne zavysqwej ot y funkcyej raspredelenyq F z yζ∗ ( , ) =
= p z dz
z
( )
0∫ = ( ) arcsin/2 π z , y hlobal\n¥j attraktor A
#
sostoyt yz odnoj
traektoryy — toçky { ζ
∗
} .
V obwej sytuacyy funkcyy, obrazugwye ω-predel\n¥e mnoΩestva traekto-
ryj DS (6), mohut b¥t\ determynyrovann¥my na odnyx podmnoΩestvax oblasty
D y sluçajn¥my na druhyx. Dlq πtoho neobxodymo, çtob¥ otobraΩenye f yme-
lo neskol\ko attraktorov y ynterval naçal\n¥x znaçenyj ϕ ( D ) peresekalsq s
bassejnamy, po krajnej mere, dvux yz nyx. Zametym, çto topolohyçeskaq πnt-
ropyq DS (6) ravnqetsq nulg, esly DS demonstryruet SlYT, y beskoneçna, es-
ly DS demonstryruet YT [44].
3. Turbulentnost\ v kraev¥x zadaçax. Sejças ne v¥z¥vaet udyvlenyq po-
qvlenye xaosa y raznoho roda fraktal\n¥x obæektov v tex yly yn¥x oblastqx
estestvoznanyq, v tom çysle y v teoryy πvolgcyonn¥x zadaç, zadavaem¥x kak
ob¥çn¥my dyfferencyal\n¥my uravnenyqmy, tak y UÇP. Odnako v sluçae
UÇP (vvydu beskoneçnomernosty zadaçy) moΩno y, bolee toho, neobxodymo (!)
hovoryt\ ne tol\ko o sloΩnoj dynamyke perexodov meΩdu mhnovenn¥my sosto-
qnyqmy system¥ (kak dlq ob¥çn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj), no y o
sloΩnom „vnutrennem” ustrojstve samyx sostoqnyj v kaΩd¥j moment vremeny.
Ymenno, usloΩnenye „vnutrenneho” stroenyq sostoqnyj s vozrastanyem vreme-
ny y moΩet pryvodyt\ k prostranstvenno (!) -vremennoj xaotyzacyy system¥
(turbulentnosty v ßyrokom sm¥sle).
∏volgcyonn¥e KZ dlq UÇP, kak pravylo, ynducyrugt na prostranstve na-
çal\n¥x sostoqnyj beskoneçnomern¥e dynamyçeskye system¥ sdvyhov vdol\ re-
ßenyj. Dlq uravnenyj parabolyçeskoho typa (klassyçeskyj predstavytel\ —
uravnenye Nav\e – Stoksa) attraktor¥ sootvetstvugwyx DS
6
ob¥çno qvlqgtsq
5
Pry πtom πvolgcyq turbulentnosty s vozrastanyem λ proysxodyt v sootvetstvyy s yzvest-
noj model\g byfurkacyj udvoenyq peryoda.
6
V teoryy dyssypatyvn¥x system pod attraktorom ob¥çno ponymaetsq naymen\ßee zamknutoe
mnoΩestvo v fazovom prostranstve, soderΩawee ω-predel\n¥e mnoΩestva vsex traektoryj
system¥.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
224 E. G. ROMANENKO, A. N. ÍARKOVSKYJ
koneçnomern¥my podmnoΩestvamy fazovoho prostranstva. Soverßenno druhaq
sytuacyq ymeet mesto, kohda reç\ ydet o KZ dlq uravnenyj hyperbolyçeskoho
typa, kotor¥e m¥ kak raz y budem rassmatryvat\. Fazov¥e prostranstva DS, yn-
ducyrovann¥x takymy zadaçamy, ob¥çno qvlqgtsq nekompaktn¥my, v rezul\ta-
te çeho DS voobwe ne ymegt attraktora v fazovom prostranstve. V πtom sluçae
dlq yssledovanyq asymptotyçeskoj dynamyky KZ sleduet vospol\zovat\sq me-
todykoj, predloΩennoj v pred¥duwem punkte. ∏to, v çastnosty, pozvolqet
stroyt\ dlq ßyrokyx klassov πvolgcyonn¥x kraev¥x zadaç teoryg ydeal\noj
turbulentnosty, osnovannug na suwestvovanyy attraktorov s prostoj dyna-
mykoj (kohda attraktor sostoyt yz nepodvyΩn¥x toçek y cyklov), no s oçen\
sloΩnoj vnutrennej strukturoj samyx „toçek” (!) attraktora — πlementov op-
redelenn¥x funkcyonal\n¥x prostranstv
7.
Estestvenno hovoryt\, çto v kraevoj zadaçe ymeet mesto turbulentnost\,
esly sootvetstvugwaq ej DS demonstryruet turbulentnost\.
Pryvedem neskol\ko prymerov. Rassmotrym prostejßug kraevug zadaçu
wt – wx = 0, x ∈ [ 0, 1 ] , t ∈ R
+, (7)
w ( 1, t ) = f ( w ( 0, t )) , f — C
1
-funkcyq. (8)
Obwee reßenye uravnenyq (7) ymeet vyd w ( x, t ) = u ( x + t ) , u — proyzvol\naq
C
1
-funkcyq. Podstavlqq πtu formulu v kraevoe uslovye (8), poluçaem raz-
nostnoe uravnenye s neprer¥vn¥m arhumentom (NRU)
u ( τ + 1 ) = f ( u ( τ )) , τ ∈ R
+. (9)
KaΩdoe naçal\noe uslovye w ( x, 0 ) = ϕ ( x ) pry x ∈ [ 0, 1 ] ( ϕ — C
1
-funkcyq)
poroΩdaet naçal\noe uslovye u ( τ ) = ϕ ( τ ) pry τ ∈ [ 0, 1 ) dlq uravnenyq (9).
Sootvetstvugwye πtym naçal\n¥m uslovyqm reßenyq zadaçy (7), (8) y uravne-
nyq (9) oboznaçym wϕ ( x, t ) y uϕ ( τ) sootvetstvenno. Reßenye uϕ ( τ) moΩno
predstavyt\ v vyde
uϕ ( τ ) = f
n
( ϕ ( { τ – n } ) ) , n ≤ τ < n + 1, n = 0, 1, … . (10)
Tohda sootvetstvugwee reßenye wϕ ( x, t ) prynymaet vyd
wϕ ( x, t ) = f [t
+
x]
( ϕ ( { t + x } )) , t ∈ R
+, (11)
hde [ ⋅ ] y { ⋅ } — celaq y drobnaq çasty çysla. V çastnosty, w ( x, n ) = f n ( ϕ ( x ) ) .
Takym obrazom, svojstva reßenyj y uravnenyq (9), y zadaçy (7), (8) tesno svqza-
n¥ so svojstvamy dyskretnoho raznostnoho uravnenyq un
+
1 = f ( un ) , n ∈ Z
+,
yly, ynaçe, so svojstvamy dynamyçeskoj system¥, zadavaemoj otobraΩenyem
u � f ( u ) .
Kak uΩe otmeçalos\, pry yssledovanyy asymptotyçeskoho povedenyq reße-
nyj kraev¥x zadaç ob¥çno b¥vaet udobn¥m perejty k dynamyçeskoj systeme
sdvyhov vdol\ reßenyj (na prostranstve naçal\n¥x sostoqnyj). Dlq zadaçy (7),
(8) sootvetstvugwaq DS sdvyhov ymeet vyd
S
t
: ϕ ( x ) � f [t
+
x]
( ϕ ( { t + x } )) , t ∈ R
+, v çastnosty, S [ ϕ ] = f ° ϕ . (12)
DS (12) qvlqetsq neprer¥vn¥m analohom rassmotrennoj ranee dyskretnoj DS
(6), y dlq nee takΩe qvlqetsq pravyl\n¥m pryvedenn¥j v¥ße kryteryj turbu-
lentnosty.
7
∏tot scenaryj qvlqetsq v nekotorom sm¥sle al\ternatyvoj „pryv¥çn¥m” scenaryqm xaosa,
kotor¥e osnov¥vagtsq na suwestvovanyy attraktorov so sloΩnoj dynamykoj (strann¥x at-
traktorov).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
DYNAMYÇESKYE SYSTEMÁ Y MODELYROVANYE … 225
Analohyçnaq sytuacyq ymeet mesto dlq volnovoho uravnenyq y rodstvenn¥x
emu uravnenyj. Typyçn¥m prymerom qvlqetsq kraevaq zadaça
wtt – wxx = 0, x ∈ [ 0, 1 ] , (13)
w ( 0, t ) = 0, wt ( 1, t ) = h ( wx ( 1, t )) , (14)
hde h — C
1
-funkcyq, opredelennaq na dejstvytel\noj prqmoj. KaΩdoe na-
çal\noe uslovye
w ( x, 0 ) = ϕ ( x ) , wt ( x, 0 ) = ψ ( x ) (15)
opredelqet traektoryg v fazovom prostranstve dynamyçeskoj system¥ sdvy-
hov, assocyyruemoj s zadaçej (13), (14). Operator sdvyha na πtom prostranstve
opredelqetsq sledugwym obrazom:
S x tt[( , )]( , )ϕ ψ = w x t
w x t
tϕ ψ
ϕ ψ
,
,( , ),
( , )∂
∂
, t ∈ R
+, (16)
hde w x tϕ ψ, ( , ) — reßenye kraevoj zadaçy s naçal\n¥my uslovyqmy (15). Ysxo-
dq yz obweho reßenyq uravnenyq (13)
w ( x, t ) = u ( t + x ) + v ( t – x ) , u, v — proyzvol\n¥e C
1
-funkcyy,
y kraevoho uslovyq (14), moΩno poluçyt\ predstavlenye operatora (16) çerez
yteracyy nekotoroho odnomernoho otobraΩenyq f : un � un + 1 . Sootvetstvug-
wye v¥kladky (sm., naprymer, [23, 29]) prost¥, no slyßkom hromozdky, çtob¥
pryvodyt\ yx zdes\, poπtomu ohranyçymsq koneçn¥m rezul\tatom: upomqnutoe
otobraΩenye f zadaetsq neqvno formuloj
un + 1 – un = h ( un + un + 1 ) .
Esly kraevoe uslovye (14) zamenyt\ uslovyem w ( 0, t ) = 0, wx ( 1, t ) = h ( wx ( 0, t )) ,
to prydem k dvumernomu otobraΩenyg, zadavaemomu formuloj un + 1 – un – 1 =
= h ( un ) .
Suwestvuet mnoho druhyx klassov odno- y mnohomern¥x KZ, asymptotyçes-
kaq dynamyka kotor¥x opredelqetsq odno- yly malomern¥m otobraΩenyem yn-
tervala, kotoroe estestvenno nazvat\ upravlqgwym otobraΩenyem sootvetst-
vugwej KZ. Dlq takyx KZ ymeet mesto sytuacyq, analohyçnaq rassmotrennoj v
pervom prymere: ysxodq yz svojstv upravlqgweho otobraΩenyq, moΩno for-
mulyrovat\ uslovyq realyzacyy v KZ turbulentnosty toho yly ynoho typa.
Pryvedem v kaçestve ewe odnoho prymera πlektryçeskug cep\ s rasprede-
lenn¥my parametramy — tak naz¥vaemug cep\ Çua s zapazd¥vanyem, soderΩa-
wug tunnel\n¥j dyod Çua [11, 30, 31, 38, 39]. Pry nekotoroj ydealyzacyy πta
cep\ modelyruetsq kraevoj zadaçej
vx = – L it , ix = – C vt , 0 ≤ x ≤ l, t ∈ R
+, (17)
v ( 0, t ) = 0, i ( l, t ) = G ( v ( l, t ) – E – R i ( l, t )) . (18)
Zdes\ v ( x, t ) y i ( x, t ) — naprqΩenye y tok vdol\ lynyy, L y C — udel\n¥e
ynduktyvnost\ y emkost\, R — soprotyvlenye; vol\t-ampernaq xarakterystyka
dlq dyoda Çua symmetryçna otnosytel\no v = E y zadaetsq nekotoroj kusoç-
no-lynejnoj funkcyej G ( z ) .
Reßenye uravnenyj (17) pry uslovyy v ( 0, t ) = 0 ymeet vyd
v ( x, t ) = α ( t – x / ν ) – α ( t + x / ν ) , (19)
i ( x, t ) = ( 1 / Z ) ( α ( t – x / ν ) + α ( t + x / ν )) ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
226 E. G. ROMANENKO, A. N. ÍARKOVSKYJ
hde ν = 1/ LC , Z = L C/ , α — proyzvol\naq funkcyq. Vvodq nov¥e pe-
remenn¥e τ = ( ν t / l – 1 ) / 2, u ( τ ) = α ( 2 l τ / ν ) y podstavlqq (19) vo vtoroe yz
kraev¥x uslovyj (18), poluçaem dlq u ( τ ) raznostnoe uravnenye s neprer¥vn¥m
arhumentom
u ( τ + 1 ) + u ( τ ) = F ( u ( τ ) – u ( τ + 1 )) , τ ≥ – 1, (20)
hde F ( z ) = Z ⋅ G (( 1 – R / Z ) z – E ) .
Ytak, asymptotyçeskoe povedenye reßenyj KZ opredelqetsq odnomern¥m
otobraΩenyem — upravlqgwym otobraΩenyem f : un � un + 1 , kotoroe zadaetsq
neqvno formuloj
un + 1 + un = F ( un – un + 1 ) .
Yspol\zuq (19), moΩno v¥razyt\ operator sdvyha S
t, zadagwyj DS dlq zadaçy
(17), (18), çerez yteracyy upravlqgweho otobraΩenyq.
Esly funkcyq G ( z ) qvlqetsq kusoçno-lynejnoj, kak v sluçae dyoda Çua,
to ob¥çno suwestvuet oblast\ znaçenyj parametrov KZ, hde upravlqgwee otob-
raΩenye f ymeet ynvaryantn¥j ynterval, na kotorom f πkvyvalentno otobra-
Ωenyg
g : un �
p u a u a
q u u a p q a q
n n
n n
( ) , [ , ],
( ), ( , ], , , ./
+
+
− + ∈
− ∈ > > = −
1
1
1 0
1 1 0 1 1 1s nekotor¥my
(21)
Dlq lgboho celoho m ≥ 2 otobraΩenye g ymeet prytqhyvagwyj cykl peryo-
da m tohda y tol\ko tohda, kohda parametr¥ ( p, q ) udovletvorqgt uslovyg
p i
i
m
−
=
−
∑
0
2
≤ q < p m− +1.
Pry druhyx znaçenyqx parametrov ( p, q ) yz oblasty { 0 < p < 1 } otobraΩenye
g ymeet hladkug ynvaryantnug meru. V πtyx sluçaqx, prymenyv kryteryj
turbulentnosty, moΩem zaklgçyt\ sledugwee.
Esly pry nekotor¥x znaçenyqx parametrov kraevoj zadaçy (17), (18) uprav-
lqgwee otobraΩenye f πkvyvalentno na kakom-to yntervale otobraΩenyg
(21) s parametramy ( p, q ) ∈ { 0 < p < 1 } , to v KZ ymeet mesto:
1) YT (bez StYT), esly g ymeet prytqhyvagwyj cykl peryoda m > 2;
2) StYT — v protyvnom sluçae.
∏to utverΩdenye konkretyzyrovano v [31] dlq sluçaq dyoda Çua.
4. Matematyçeskye mexanyzm¥ ydeal\noj turbulentnosty. Esly KZ
ynducyruet beskoneçnomernug DS sdvyhov, dynamyka kotoroj opredelqetsq ne-
kotor¥m (upravlqgwym) otobraΩenyem yntervala, to teoryq odnomern¥x otob-
raΩenyj pozvolqet ponqt\, poçemu y kak v KZ voznykaet y razvyvaetsq turbu-
lentnost\, y predloΩyt\ scenaryy qvlenyq samoorhanyzacyy y qvlenyq avto-
stoxastyçnosty. Naybolee podxodyt dlq poqsnenyj zadaça (7), (8) s kvadra-
tyçnoj nelynejnost\g f : I → I, I — ohranyçenn¥j zamknut¥j ynterval.
Osnovn¥m faktorom ydeal\noj turbulentnosty qvlqetsq sloΩnaq topo-
lohyçeskaq struktura mnoΩestva, obrazovannoho toçkamy neustojçyv¥x traek-
toryj upravlqgweho otobraΩenyq f . ∏to mnoΩestvo naz¥vaem razdelytelem
otobraΩenyq f y oboznaçaem D ( f ) . Razdelytel\ obladaet svojstvom lokal\-
noho samopodobyq v toçkax ottalkyvagwyx cyklov y v yx proobrazax. V sluçae,
kohda f ymeet cykl peryoda, otlyçnoho ot stepeny 2, πto pryvodyt k tomu, çto
„box-counting” razmernost\ razdelytelq D ( f ) okaz¥vaetsq poloΩytel\noj.
Tohda hrafyk kaΩdoho reßenyq wϕ ( x, t ) , ostavaqs\ hladkoj poverxnost\g,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
DYNAMYÇESKYE SYSTEMÁ Y MODELYROVANYE … 227
stanovytsq s vozrastanyem t vse bolee y bolee blyzkym k nekotoroj fraktal\-
noj poverxnosty, „box-counting” razmernost\ kotoroj bol\ße 2. ∏to v svog
oçered\ ynycyyruet (y obæqsnqet) razvytye v zadaçe YT.
Kaskadn¥j process voznyknovenyq struktur v reßenyqx KZ neposredstven-
no svqzan so sloΩnoj topolohyçeskoj y dynamyçeskoj orhanyzacyej bassejnov
prytqhyvagwyx cyklov upravlqgweho otobraΩenyq f . Kak pravylo, bassejn
predstavym v vyde Bii≥0∪ , hde B0 — oblast\ neposredstvennoho prytqΩenyq
sootvetstvugweho cykla, B1 = f B B−1
0 0( ) \ y Bi = f Bi
−
−
1
1( ) , i ≥ 2. Pry πtom
hranyçn¥e toçky bassejna prynadleΩat razdelytelg D ( f ) . Oçevydno, çto
B Bi i′ ′′∩ = ∅, esly i ′ ≠ i ″, y kaΩdoe mnoΩestvo Bi qvlqetsq obæedynenyem
koneçnoho çysla neperesekagwyxsq yntervalov Bij (vozmoΩno, Bi = ∅, naçy-
naq s nekotoroho i = i0 > 0 ).
Pust\ m Bi( ) — çyslo yntervalov B i j ( komponent svqznosty) mnoΩestva
Bi . Esly m — peryod prytqhyvagweho cykla, to m B( )0 = m. PredpoloΩym,
dlq Bi j′ ′ y Bi j′′ ′′ , i ′ < i ″, ymeet mesto ravenstvo f Bi
i j
′
′ ′( ) = f Bi
i j
′′
′′ ′′( ) y, krome
toho, otobraΩenyq f i
Bi j
′
′ ′
, f i
Bi j
′′
′′ ′′
qvlqgtsq vzaymno odnoznaçn¥my. Esly
naçal\noe sostoqnye ϕ ( x ) takovo, çto ϕ ( D ) ⊃ B Bi j i j′ ′ ′′ ′′∪ , to dlq lgboho t∗ >
> 0 reßenye wϕ ( x, t ) „v¥çerçyvaet” odnu y tu Ωe „kartynku” (strukturu) nad
oblast\g Di j′ ′ = ϕ−
′ ′
1( )Bi j v moment vremeny t = t∗ + i ′ y nad oblast\g Di j′′ ′′ =
= ϕ−
′′ ′′
1( )Bi j v moment vremeny t = t∗ + i ″. V πtom sluçae estestvenno hovoryt\,
çto reßenye w ϕ ( x, t ) producyruet koherentn¥e struktur¥ nad oblastqmy
Di j′ ′ , Di j′′ ′′ ⊂ D. Poskol\ku diam Bij → 0 pry i → ∞ , masßtab¥ struktur,
producyruem¥x v moment t, ub¥vagt k nulg pry t → ∞ . Esly m ≠ 2
i, i = 0,
1, … , to meΩdu lgb¥my yntervalamy Bi j′ ′ y Bi j′′ ′′ , i ′ ≠ i ″, najdetsq ynterval
Bi j∗ ∗
i∗ > i ′, i ″ . Opysann¥j process producyrovanyq struktur qvlqetsq kas-
kadn¥m, skorost\ producyrovanyq struktur zadaetsq velyçynoj ci =
= m B m Bi i( ) ( )/+1 , pryçem log ci → ent f pry i → ∞ , hde ent f — topolohyçes-
kaq πntropyq f.
Dlq razvytyq stoxastyçeskoj turbulentnosty pryncypyal\noe znaçenye
ymegt kak suwestvovanye hladkoj πrhodyçeskoj ynvaryantnoj mer¥ ( y. m. π. h. )
upravlqgweho otobraΩenyq, tak y tot fakt, çto dlq otobraΩenyj yntervala
nalyçye y. m. π. h. ne qvlqetsq ysklgçytel\noj sytuacyej: dlq ßyrokyx
klassov otobraΩenyj, zavysqwyx ot parametra, upomqnutaq sytuacyq realyzu-
etsq na mnoΩestve parametrov poloΩytel\noj mer¥ Lebeha [1, 10, 49]. V çast-
nosty, kohda u kvadratyçnoho otobraΩenyq f : I → I suwestvuet y. m. π. h., to
na nosytele mer¥ otobraΩenye f obladaet çuvstvytel\noj zavysymost\g ot na-
çal\n¥x dann¥x y, bolee toho, traektoryq poçty kaΩdoj toçky z ∈ I vos-
stanavlyvaet meru: vremq preb¥vanyq traektoryy v mnoΩestve A ⊂ I sov-
padaet s meroj πtoho mnoΩestva. Vsledstvye (12) takaq vremennáq
stoxastyçnost\ traektoryj upravlqgweho otobraΩenyq f transformyruetsq
v prostranstvenno-vremennug stoxastyzacyg reßenyj KZ y poroΩdaet StYT
posredstvom kaskadn¥x processov „roΩdenyq y razrußenyq” struktur vplot\
do struktur beskoneçno mal¥x masßtabov.
5. Zaklgçenye. V¥ße v obwyx çertax yzloΩen razvyt¥j avtoramy podxod
k analyzu turbulentn¥x kolebanyj, opys¥vaem¥x nelynejn¥my KZ dlq UÇP.
∏tot podxod osnov¥vaetsq na metode perexoda k DS sdvyhov vdol\ reßenyj, yn-
ducyruemoj KZ na prostranstve naçal\n¥x sostoqnyj. Metod perexoda k DS
dovol\no ßyroko prymenqetsq v teoryy πvolgcyonn¥x zadaç, hlavn¥m obrazom
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
228 E. G. ROMANENKO, A. N. ÍARKOVSKYJ
dyssypatyvn¥x (sm., naprymer, [2, 7]). V obwej sytuacyy, kohda DS sdvyhov qv-
lqetsq nedyssypatyvnoj (!), prymenenye πtoho metoda natalkyvaetsq na suwest-
venn¥e trudnosty, obuslovlenn¥e nekompaktnost\g fazovoho prostranstva DS
— nekotoroho prostranstva hladkyx (vektor- ) funkcyj. V çastnosty, attrak-
tor system¥ nel\zq opysat\, ostavaqs\ v ysxodnom fazovom prostranstve. Y πto
pry tom, çto ymenno attraktor qvlqetsq osnovn¥m obæektom yzuçenyq, kohda
reç\ ydet o v¥qsnenyy toho, kak process¥, ymegwye qvno v¥raΩenn¥j sluçaj-
n¥j xarakter, moΩno obæqsnyt\ v ramkax determynystyçeskoho opysanyq.
PredloΩenn¥j podxod razvyvaet metodyku reßenyq πtoj problem¥ — „v¥-
xod” v bolee ßyrokoe funkcyonal\noe prostranstvo (s metrykoj, otlyçnoj ot
ob¥çnoj sup-metryky) y postroenye v πtom novom prostranstve attraktora DS
(y sootvetstvugwej KZ). V kaçestve rasßyrenn¥x prostranstv predlahagtsq
prostranstvo poluneprer¥vn¥x sverxu funkcyj y prostranstvo sluçajn¥x
funkcyj, nadelenn¥e specyal\n¥my metrykamy (pozvolqgwymy vloΩyt\ ys-
xodnoe prostranstvo hladkyx funkcyj v sootvetstvugwee rasßyrennoe prost-
ranstvo). Ysxodq yz takoj sxem¥, opysan „beskoneçnomern¥j” scenaryj yde-
al\noj turbulentnosty, pry kotorom xaotyzacyq system¥ obuslovlena sloΩ-
n¥m ustrojstvom „toçek” attraktora — πlementov rasßyrennoho funkcyo-
nal\noho prostranstva, pry πtom dynamyka na samóm attraktore soverßenno
prostaq — attraktor sostoyt yz peryodyçeskyx y/ yly poçty peryodyçeskyx
traektoryj (sm. [22, 33, 40, 43, 44]). ∏tot scenaryj, v çastnosty, obæqsnqet sa-
mostoxastyzacyg polnost\g determynyrovannoj KZ, kohda na bol\ßyx vreme-
nax povedenye reßenyj asymptotyçesky toçno opys¥vaetsq sluçajn¥my pro-
cessamy.
∏tot obwyj podxod ves\ma πffektyvno prymenym k KZ, kotor¥e svodqtsq k
RNU yly blyzkym k nym uravnenyqm (neskol\ko tomu prymerov pryvedeno v¥-
ße). Kak pravylo, takaq redukcyq stanovytsq vozmoΩnoj, esly yzvestna for-
mula obweho reßenyq sootvetstvugweho UÇP. V πtom sm¥sle naybolee „plo-
dovyt¥my” qvlqgtsq uravnenyq hyperbolyçeskoho typa: uΩe lynejn¥e hyper-
bolyçeskye uravnenyq v soçetanyy s nelynejn¥my kraev¥my uslovyqmy pryvo-
dqt k bol\ßomu raznoobrazyg NRU [40, 44]. Xotq prymer¥ takoho roda svody-
m¥x KZ yzvestn¥ dovol\no davno (sm., v çastnosty, [4, 5, 14]), metod svedenyq ne
pryvlek ser\eznoho vnymanyq specyalystov. Osnovn¥x pryçyn, po-vydymomu,
dve: vo-perv¥x, dejstvytel\no rezul\tatyvn¥m πtot metod stal sravnytel\no
nedavno — blahodarq razvytyg kaçestvennoj teoryy NRU, y, vo-vtor¥x, dosty-
Ωenyq teoryy NRU yzvestn¥, k soΩalenyg, nedostatoçno ßyroko.
Po naßemu mnenyg, prymenenye predloΩennoho podxoda pry yssledovanyy
raznoobrazn¥x zadaç, opys¥vagwyx sloΩn¥e kolebatel\n¥e reΩym¥, qvlqetsq
otnosytel\no prost¥m y ves\ma πffektyvn¥m ynstrumentom, kotor¥j pozvo-
lqet suwestvenno prodvynut\sq na puty k bolee hlubokomu ponymanyg obwyx
zakonomernostej real\noj turbulentnosty. ∏tot podxod oΩydaet kak dal\nej-
ßeho prymenenyq k nov¥m klassam kraev¥x zadaç, svodqwyxsq k prostejßym
raznostn¥m uravnenyqm (s neprer¥vn¥m arhumentom), tak y rasprostranenyq na
te zadaçy, kotor¥e svodqtsq k bolee sloΩn¥m uravnenyqm, naprymer, k dyffe-
rencyal\no-raznostn¥m, yly ne qvlqgtsq svodym¥my, no blyzky k svodym¥m.
Poslednee predpolahaet postroenye „standartnoj” teoryy vozmuwenyj, çto,
odnako, qvlqetsq daleko ne standartnoj y, vmeste s tem, ves\ma vaΩnoj zadaçej,
kotoraq, nadeemsq, pryvleçet vnymanye y specyalystov po teoryy asymptoty-
çeskyx metodov.
1. Avila A., Lyubich M., de Melo W. Regular or stochastic dynamics in real analytic families of
unimodal maps // Invent. math. – 2003. – 154. – P. 451 – 550.
2. Babyn A. V., Vyßyk M. Y. Attraktor¥ πvolgcyonn¥x uravnenyj. – M.: Nauka, 1989. – 296 s.
3. Born M. Vorhersagbarkeit in der klassischen Mechanik // Z. Phys. – 1958. – 153. – S. 372 – 388.
4. Vytt A. A. K teoryy skrypyçnoj strun¥ // Ûurn. texn. fyzyky. – 1936. – 6, # 9. –
S.V1459 – 1479.
5. Cooke K. L.,Krumme D. Differential difference equations and nonlinear initial-boundary-value
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
DYNAMYÇESKYE SYSTEMÁ Y MODELYROVANYE … 229
problems for linear hyperbolic partial differential equations // J. Math. Anal. and Appl. – 1968. – 24.
– P. 372 – 387.
6. Kr¥lov N. S. Rabot¥ po obosnovanyg statystyçeskoj fyzyky // Trud¥ AN SSSR. – M.; L.,
1950. – 208Vs.
7. Lad¥Ωenskaq O. A. O naxoΩdenyy hlobal\noho attraktora dlq uravnenyq Nav\e – Stoksa
y druhyx uravnenyj s çastn¥my proyzvodn¥my // Uspexy mat. nauk. – 1987. – 42, # 6. –
S.V25 – 60.
8. Lukin K. A., Maistrenko Yu. L., Sharkovsky A. N., Shestopalov V. P. Nonlinear difference equations
with two argument deviations in the electro-dynamics problems // Proc. IV Int. Workshop „Plasma
Theory and Nonlinear and Turbulent Processes in Physics”. – Kyiv: Naukova Dumka, 1989.
9. Lukyn K. A., Majstrenko G. L., Íarkovskyj A. N., Íestopalov V. P. Metod raznostn¥x
uravnenyj v rezonatornoj zadaçe s nelynejn¥m otraΩenyem // Dokl. AN SSSR. – 1989. –
309, # 2. – S. 327 – 331.
10. Lyubich M. Almost any real quadratic map is either regular or stochastic // Ann. Math. – 2002. –
156. – P. 1 – 78.
11. Maistrenko Yu. L., Maistrenko V. L., Vikul S. I., Chua L. O. Bifurcations of attracting cycles from
time-delayed Chua’s circuit // Int. J. Bifurcation and Chaos. – 1995. – 5, # 3. – P.V653 – 671.
12. Maistrenko Yu. L., Romanenko E. Yu., Sharkovsky A. N. Attractors of difference equations and
turbulence // Proc. III Int. Workshop „Plasma Theory and Nonlinear and Turbulent Processes in
Physics”. – Singapore: World Sci. Publ., 1988. – P. 520 – 536.
13. Milnor J. On the concept of attractor // Communs Math. Phys. – 1985. – 99. – P. 177 – 195.
14. Nagumo J., Shimura M. Self-oscillation in a transmission line with a tunnel diode // Proc. IEEE. –
1961. – 49. – P. 1281 – 1291.
15. Peitgen H. O., Jürgens H., Saupe D. Chaos and fractals: new frontiers of science. – New York:
Springer, 1993. – 984 p.
16. Romanenko E. Yu. On attractors of continuous time difference equations // Comput. and Math.
Appl. – 1998. – 36, #V10 – 12. – P. 377 – 390.
17. Romanenko E. Yu. Dynamical systems iuced by continuous time difference equations and long-
time behavior of solutions // Int. J. Difference Equat. and Appl. – 2003. – 9, #V3-4. – P. 263 – 280.
18. Romanenko O. G. Dynamiçni systemy, porodΩuvani riznycevymy rivnqnnqmy z neperervnym
çasom // Pr. Ukr. mat. konhr. Sekc. Dynamiçni systemy. – Ky]v: In-t matematyky NAN Ukra]-
ny, 2003. – S.V94 – 104.
19. Romanenko E. G. Dynamyka okrestnostej toçek pry neprer¥vnom otobraΩenyy yntervala
// Ukr. mat. Ωurn. – 2005. – 57, # 11. – S.V534 – 547.
20. Romanenko O. G. Qvywe avtostoxastyçnosti v dynamiçnyx systemax, porodΩuvanyx rizny-
cevymy rivnqnnqmy z neperervnym arhumentom // Tam Ωe. – 2006. – 58, # 7. – S.V954 – 975.
21. Romanenko E. Yu., Sharkovsky A. N. Formation of structures and autostochasticity in distributive
systems // Proc. IV Int. Workshop „Nonlinear and Turbulent Processes in Physics”. – Kiev:
Naukova Dumka, 1989. – 2. – P. 416 – 419.
22. Romanenko O. G., Íarkovs\kyj O. M. Vid odnovymirnyx do neskinçennovymirnyx
dynamiçnyx system: ideal\na turbulentnist\ // Ukr. mat. Ωurn. – 1996. – 48, # 12. –
S.V1604 – 1627.
23. Romanenko E. Yu., Sharkovsky A. N. From boundary value problems to difference equations: a
method of investigation of chaotic vibrations // Int. J. Bifurcation and Chaos. – 1999. – 9, # 7. –
P. 1285 – 1306.
24. Romanenko E. Yu., Sharkovsky A. N., Vereikina M. B. Self-structuring and self-similarity in
boundary value problems // Ibid. – 1995. – 5, # 5. – P. 145 – 156.
25. Romanenko E. Yu., Sharkovsky A. N., Vereikina M. B. Self-stochasticity in deterministic boundary
value problems // Nonlinear Boundary Value Problems. – Donetsk: Inst. Appl. Math. and Mech.
NAS Ukraine. – 1999. – 9. – P. 174 – 184.
26. Fedorenko V. V. Topolohyçeskyj predel traektoryj yntervala prostejßyx odnomern¥x
dynamyçeskyx system // Ukr. mat. Ωurn. – 2002. – 54, # 3. – S. 425 – 430.
27. Íarkovskyj A. N. Kolebanyq, opys¥vaem¥e avtonomn¥my raznostn¥my y dyfferencyal\-
no-raznostn¥my uravnenyqmy // Proc. VIII Int. Conf. Nonlinear Oscillations. – Prague: Academia,
1979. – 2. – P. 1073 – 1078.
28. Sharkovsky A. N. “Dry” turbulence // Short Comm. Int. Congr. Math. – Warszawa, 1983. – 10 (12).
– P. 4.
29. Sharkovsky A. N. “Dry” turbulence // Proc. Int. Workshop „Nonlinear and Turbulent Processes in
Physics”. – 1984. – 3. – P. 1621 – 1626.
30. Sharkovsky A. N. Chaos from a time-delayed Chua’s circuit // IEEE Trans. Circ. and Syst. – 1993.
– 40, # 10. – P. 781 – 783.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
230 E. G. ROMANENKO, A. N. ÍARKOVSKYJ
31. Sharkovsky A. N. Ideal turbulence in an idealized time-delayed Chua’s circuit // Int. J. Bifurcation
and Chaos. – 1994. – 4, # 2. – P. 303 – 309.
32. Sharkovsky A. N. Universal phenomena in some infinite-dimensional dynamical systems // Ibid. –
1995. – 5, # 5. – P. 1419 – 1425.
33. Sharkovsky A. N. Iteration of continuous functions and dynamics of solutions for some boundary
value problems // Ann. Math. Silesianae (Proc. Int. Conf. Iteration Theory). – 1999. – 13. – P. 243
– 255.
34. Íarkovs\kyj O. M. Dynamiçni systemy, porodΩuvani krajovymy zadaçamy. Ideal\na
turbulentnist\. Komp’gterna turbulentnist\ // Pr. Ukr. mat. konhr. Sekc. Dynamiçni
systemy. – Ky]v: In-t matematyky NAN Ukra]ny, 2003. – S.V125 – 129.
35. Sharkovsky A. N. Difference equations and boundary value problems // New Progress in Difference
Equations (Proc. Int. Conf. „Difference Equations and Appl.” (ICDEA-2001)). – 2004. – P. 3 – 22.
36. Sharkovsky A. N. Ideal turbulence: definition // Grazer Math. Berichte (Proc. Int. Conf. Iteration
Theory). – 2004. – # 346. – P. 403 – 412.
37. Sharkovsky A. N. Ideal turbulence // Nonlinear Dynamics. – 2006. – 44. – P. 15 – 27.
38. Sharkovsky A. N., Deregel Ph., Chua L. O. Dry turbulence and period-adding phenomena from a
1-D map // Int. J. Bifurcation and Chaos. – 1995. – 5, # 5. – P. 1283 – 1302.
39. Sharkovsky A. N., Maistrenko Yu. L., Deregel Ph., Chua L. O. Dry turbulence from a time delayed
Chua’s circuit // Syst. and Comput. – 1993. – 3, # 2. – P. 645 – 668.
40. Íarkovskyj A. N., Majstrenko G. L., Romanenko E. G. Raznostn¥e uravnenyq y yx
pryloΩenyq. – Kyev: Nauk. dumka, 1986. – 280 s. (Anhl. perevod: Sharkovsky A. N.,
Maistrenko Yu. L., Romanenko E. Yu. Difference equations and their applications // Ser. Math. and
its Appl. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1993. – 250. – 358 p.)
41. Sharkovsky A. N., Romanenko E. Yu. Ideal turbulence: attractors of deterministic systems may lie
in the space of random fields // Int. J. Bifurcation and Chaos. – 1992. – 2, # 1. – P. 31 – 36.
42. Íarkovs\kyj O. M., Romanenko O. G. Avtostoxastyçnist\: atraktory determinovanyx zadaç
moΩut\ mistyty vypadkovi funkci] // Dopov. NAN Ukra]ny. – 1992. – # 10. – S. 33 – 39.
43. Íarkovs\kyj O. M., Romanenko O. G. Asymptotyçni vlastyvosti rozv’qzkiv odnoho klasu
hranyçnyx zadaç // Tam Ωe. – 1999. – # 3. – S. 43 – 48.
44. Íarkovskyj A. N., Romanenko E. G. Raznostn¥e uravnenyq y dynamyçeskye system¥,
poroΩdaem¥e nekotor¥my klassamy kraev¥x zadaç // Tr. Mat. yn-ta RAN. – 2004. – 244. –
S.V281 – 296.
45. Sharkovsky A. N., Romanenko E. Yu. Turbulence: ideal // Encycl. Nonlinear Sci. / Ed. Alwyn Scott.
– New York; London: Routledge, 2005. – P. 955 – 957.
46. Sharkovsky A. N., Romanenko E. Yu., Berezovsky S. A. Ideal turbulence: definition and models //
Proc. Int. Conf. „Physics and Control”. – Petersburg, 2003. – 1. – P. 23 – 30.
47. Sharkovsky A. N., Romanenko E. Yu., Fedorenko V. V. One-dimensional bifurcations in some
infinite-dimensional dynamical systems and ideal turbulence // Regular and Chaotic Dynamics. –
2006. – 11, # 2.
48. Sharkovsky A. N., Sivak A. G. Universal phenomena in solution bifurcations of some boundary
value problems // J. Nonlinear Math. Phys. – 1994. – 1, # 2. – P. 147 – 157.
49. Jakobson M. V. Absolutely continuous invariant measure for one-parameter families of one-
dimensional maps // Communs Math. Phys. – 1981. – 81. – P. 39 – 88.
Poluçeno 11.10.2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
|
| id | umjimathkievua-article-3305 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:40:00Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/fc/12a2438cb7149a5862fbe8a6625ba7fc.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33052020-03-18T19:50:43Z Dynamical systems and simulation of turbulence Динамические системы и моделирование турбулентности Romanenko, Ye. Yu. Sharkovsky, O. M. Романенко, Е. Ю. Шарковский, А. Н. Романенко, Е. Ю. Шарковский, А. Н. We propose an approach to the analysis of turbulent oscillations described by nonlinear boundary-value problems for partial differential equations. This approach is based on passing to a dynamical system of shifts along solutions and uses the notion of ideal turbulence (a mathematical phenomenon in which an attractor of an infinite-dimensional dynamical system is contained not in the phase space of the system but in a wider functional space and there are fractal or random functions among the attractor “points”). A scenario for ideal turbulence in systems with regular dynamics on an attractor is described; in this case, the space-time chaotization of a system (in particular, intermixing, self-stochasticity, and the cascade process of formation of structures) is due to the very complicated internal organization of attractor “points” (elements of a certain wider functional space). Such a scenario is realized in some idealized models of distributed systems of electrodynamics, acoustics, and radiophysics. Окреслено підхід до аналізу турбулентних коливань, що описуються нелінійними крайовими задачами для рівнянь з частинними похідними. Цей підхід базується на переході до динамічної системи зсувів вздовж розв'язків і використовує поняття ідеальної турбулентності — математичного явища, при якому атрактор нескінченновимірної динамічної системи міститься не у фазовому просторі системи, а у ширшому функціональному просторі і серед „точок" атрактора є фрактальні або й випадкові функції. Описано сценарій турбулентності в системах з регулярною динамікою на атракторі, коли просторово-часова хаотизація системи, зокрема перемішування, автостохастичність, каскадний процес утворення структур, зумовлені дуже складною внутрішньою організацією „точок" атрактора — елементів ширшого функціонального простору. Такий сценарій реалізується у певних ідеалізованих моделях розподілених систем електродинаміки, акустики, радіофизики. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3305 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 2 (2007); 217–230 Український математичний журнал; Том 59 № 2 (2007); 217–230 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3305/3355 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3305/3356 Copyright (c) 2007 Romanenko Ye. Yu.; Sharkovsky O. M. |
| spellingShingle | Romanenko, Ye. Yu. Sharkovsky, O. M. Романенко, Е. Ю. Шарковский, А. Н. Романенко, Е. Ю. Шарковский, А. Н. Dynamical systems and simulation of turbulence |
| title | Dynamical systems and simulation of turbulence |
| title_alt | Динамические системы и моделирование турбулентности |
| title_full | Dynamical systems and simulation of turbulence |
| title_fullStr | Dynamical systems and simulation of turbulence |
| title_full_unstemmed | Dynamical systems and simulation of turbulence |
| title_short | Dynamical systems and simulation of turbulence |
| title_sort | dynamical systems and simulation of turbulence |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3305 |
| work_keys_str_mv | AT romanenkoyeyu dynamicalsystemsandsimulationofturbulence AT sharkovskyom dynamicalsystemsandsimulationofturbulence AT romanenkoeû dynamicalsystemsandsimulationofturbulence AT šarkovskijan dynamicalsystemsandsimulationofturbulence AT romanenkoeû dynamicalsystemsandsimulationofturbulence AT šarkovskijan dynamicalsystemsandsimulationofturbulence AT romanenkoyeyu dinamičeskiesistemyimodelirovanieturbulentnosti AT sharkovskyom dinamičeskiesistemyimodelirovanieturbulentnosti AT romanenkoeû dinamičeskiesistemyimodelirovanieturbulentnosti AT šarkovskijan dinamičeskiesistemyimodelirovanieturbulentnosti AT romanenkoeû dinamičeskiesistemyimodelirovanieturbulentnosti AT šarkovskijan dinamičeskiesistemyimodelirovanieturbulentnosti |