Nonlocal boundary-value problem for linear partial differential equations unsolved with respect to the higher time derivative
We study the well-posedness of the problem with general nonlocal boundary conditions in the time variable and conditions of periodicity in the space coordinates for partial differential equations unsolved with respect to the higher time derivative. We establish the conditions of existence and unique...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3313 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509381350653952 |
|---|---|
| author | Vlasii, O. D. Ptashnik, B. I. Власій, О. Д. Пташник, Б. Й. |
| author_facet | Vlasii, O. D. Ptashnik, B. I. Власій, О. Д. Пташник, Б. Й. |
| author_sort | Vlasii, O. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:51:00Z |
| description | We study the well-posedness of the problem with general nonlocal boundary conditions in the time variable and conditions of periodicity in the space coordinates for partial differential equations unsolved with respect to the higher time derivative. We establish the conditions of existence and uniqueness of the solution of the considered problem. In the proof of existence of the solution, we use the method of divided differences. We also prove metric statements on the lower bounds of small denominators appearing in constructing the solution of the problem. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:40:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.95
O. D. Vlasij, B. J. Ptaßnyk
(In-t prykl. probl. mexaniky i matematyky NAN Ukra]ny, L\viv)
NELOKAL|NA KRAJOVA ZADAÇA DLQ LINIJNYX
RIVNQN| IZ ÇASTYNNYMY POXIDNYMY,
NE ROZV’QZNYX VIDNOSNO STARÍO} POXIDNO}
ZA ÇASOM
*
We investigate the correctness of the problem with general nonlocal boundary conditions with respect to
time variable and conditions of the periodicity with respect to space coordinates for partial differential
equations unsolved with respect to the higher time derivative. We establish conditions for the existence
and uniqueness of the solution of considered problem. In proving the existence of the solution, we use
the method of divided differences. We prove metric statements on lower bounds of small denominators
which appear in constructing the solution of the problem.
Yssledovana korrektnost\ zadaçy s obwymy nelokal\n¥my kraev¥my uslovyqmy po vremennoj
peremennoj y uslovyqmy peryodyçnosty po prostranstvenn¥m koordynatam dlq uravnenyj s
çastn¥my proyzvodn¥my, ne razreßenn¥x otnosytel\no starßej proyzvodnoj po vremeny.
Ustanovlen¥ uslovyq suwestvovanyq y edynstvennosty reßenyq rassmatryvaemoj zadaçy. Pry
dokazatel\stve suwestvovanyq reßenyq yspol\zovan metod razdelenn¥x raznostej. Dokazan¥
metryçeskye utverΩdenyq ob ocenkax snyzu mal¥x znamenatelej, voznykagwyx pry postroenyy
reßenyq zadaçy.
Krajovi zadaçi dlq rivnqn\, ne rozv’qznyx vidnosno starßo] poxidno] za çasovog
zminnog, vynykagt\ pry vyvçenni malyx kolyvan\ ideal\no] [1, 2] ta v’qzko] [3]
ridyny v posudyni, wo oberta[t\sq, pry vyvçenni fil\traci] ridyny v triwynuva-
tyx porodax [4], pry doslidΩenni malyx kolyvan\ eksponencial\no stratyfiko-
vano] ridyny v poli syly tqΩinnq [5, 6] towo. U zhadanyx pracqx, a takoΩ u
robotax [7 – 9] vyvçalys\ zadaça Koßi ta mißani zadaçi dlq dyferencial\nyx ta
dyferencial\no-operatornyx rivnqn\, ne rozv’qznyx vidnosno starßo] poxidno].
Bahatotoçkovi zadaçi ta zadaçi typu Dirixle dlq rivnqn\ i system rivnqn\, ne
rozv’qznyx vidnosno starßo] poxidno] za çasom, rozhlqdalysq v robotax [10, 11].
Zadaçi z nelokal\nymy umovamy dlq rivnqn\ iz çastynnymy poxidnymy, ne
rozv’qznyx vidnosno starßo] poxidno] za çasom, vyvçalysq v robotax [12, 13], a
dlq dyferencial\no-operatornyx rivnqn\ — u praci [14].
U danij roboti budemo rozhlqdaty zadaçu iz zahal\nymy nelokal\nymy kra-
jovymy umovamy za çasovog zminnog ta umovamy periodyçnosti za prostorovymy
koordynatamy dlq rivnqn\ iz çastynnymy poxidnymy, ne rozv’qznyx vidnosno
starßo] poxidno] za çasom. Pry vstanovlenni umov korektnosti zadaçi vykorys-
tano rozdileni riznyci, otrymano novi metryçni tverdΩennq pro ocinky znyzu
malyx znamennykiv pevnoho typu.
Vvedemo taki poznaçennq: x = (
x1
, … , xp
) ∈ R
p
, D = − … −
i
x
i
xp
∂
∂
∂
∂1
, , ; k =
= (
k1
, … , kp
) ∈ Z
p
, | k | = | k1 | + … + | kp |, (
k, x
) = k1
x1 + … + kp
xp
; h = (
h1
, …
… , hp
) ∈ Z+
p
, ξ = (
ξ1
, … , ξp
) ∈ R
p
, ξ
h = ξ1
1h
… ξ p
hp
; Ω
p
— p-vymirnyj tor
(R / 2πZ)
p
, QT
p = ( 0, T ) × Ω
p
, T > 0; Hz
(
Ω
p
) — hil\bertovyj prostir 2 π-perio-
dyçnyx funkcij ϕ
(
x
) =
k kp ik x∈∑ Z
ϕ exp( , ) iz normog ϕ Hz
p( )Ω =
=
k k
z
p k∈∑ +( )
Z
ϕ 2 21 , C T Hz
p0, , ( )[ ]( )Ω — prostir funkcij f (
t, x
) takyx,
*
Pidtrymano DerΩavnym fondom fundamental\nyx doslidΩen\ Ukra]ny (proekt # F 10/21-
2005).
© O. D. VLASIJ, B. J. PTAÍNYK, 2007
370 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3
NELOKAL|NA KRAJOVA ZADAÇA DLQ LINIJNYX RIVNQN| IZ ÇASTYNNYMY … 371
wo pry fiksovanomu t ∈ [ 0, T ] f (
t, x
) naleΩyt\ do Hz
(
Ω
p
) i qk element c\oho
prostoru [ neperervnog po t na [ 0, T ], norma v C T Hz
p0, , ( )[ ]( )Ω oznaça[t\sq
tak: f C T Hz
p0, , ( )[ ]( )Ω = max ( , )
,
( )
t T
Hf t x
z
p
∈[ ]0
Ω ; En — odynyçna matrycq porqd-
ku n; Cj
, j ∈ N, — dodatni stali, ne zaleΩni vid k.
1. Postanovka zadaçi. {dynist\ rozv’qzku. V oblasti QT
p
rozhlqda[mo
taku nelokal\nu zadaçu:
L D
t
u t x, ( , )
∂
∂
≡
j
n
n j
j
jA D
u t x
t=
−∑
0
( )
( , )∂
∂
= 0, (1)
M D u t xj ( ) ( , ) ≡ B D
u t x
t
j
j
j
t
1
1
1
0
, ( )
( , )∂
∂
−
−
=
– B D
u t x
t
j
j
j
t T
2
1
1, ( )
( , )∂
∂
−
−
=
=
= ϕj
(
x
), j = 1, … , n, (2)
de Aj
(
ξ
), B 1 , j
(
ξ
), B 2 , j
(
ξ
) — mnohoçleny z kompleksnymy koefici[ntamy:
Aj
(
ξ
) =
h n j
h h
j
a≤∑ ξ , j = 0, 1, … , n , B 1, j
(
ξ
) =
h j
h h
j
b≤∑ v 1, ξ , B 2 , j
(
ξ
) =
=
h j
h h
j
b≤∑ v 2, ξ , j = 1, … , n, A0
(
D
) — eliptyçnyj dyferencial\nyj vyraz.
Vyhlqd oblasti QT
p
naklada[ umovy 2 π-periodyçnosti za zminnymy x1
, … , xp
na funkci] u
(
t, x
) ta ϕj
(
x
), j = 1, … , n.
Rozv’qzok zadaçi (1), (2) ßuka[mo u vyhlqdi rqdu
u
(
t, x
) =
k
k
p
u t ik x
∈
∑
Z
( )exp( , ). (3)
KoΩna funkciq uk
(
t
), k ∈ Z
p
, [ rozv’qzkom zadaçi
L k
d
dt
u tk, ( )
≡
j
n
n j k
jA k u t
=
−∑
0
( ) ( )( ) = 0, (4)
M k u tj k( ) ( ) ≡ B k uj k
j
1
1 0,
( )( ) ( )− – B k u Tj k
j
2
1
,
( )( ) ( )− = ϕj, k
, j = 1, … , n, (5)
de ϕj, k
, k ∈ Z
p
, — koefici[nty Fur’[ funkci] ϕj
(
x
) ( za systemog
exp( , ),ik x k p∈{ }Z ).
Prypustymo, wo spravdΩu[t\sq umova
∀k ∈ Z
p
: OA0
(
k
) ≠ 0.
Todi na pidstavi lemy 1 iz [15] isnu[ stala C1 taka, wo
∀k ∈ Z
p
: O| A0
(
k
) | ≥ C k n
1 1 0+( ) . (6)
Qkwo Ω dlq deqkoho vektora k
0 ∈ Z
p
A0
(
k
0
) = 0, to vidpovidna zadaça (4),
(5) bude perevyznaçenog, i dlq isnuvannq ]] [dynoho rozv’qzku potribno
nakladaty dodatkovi umovy na koefici[nty rivnqnnq (1) (dyv. [13]).
Nexaj Λ
(
k
) = λ λ1( ), , ( )k kn…{ } , k ∈ Z
p
, — sukupnist\ koreniv rivnqnnq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3
372 O. D. VLASIJ, B. J. PTAÍNYK
L
(
k, λ
) ≡
j
n
n j
jA k
=
−∑
0
( )λ = 0. (7)
Çerez m
(
k
) poznaçymo çyslo koreniv rivnqnnq (7) z nedodatnog dijsnog çasty-
nog. Budemo vvaΩaty, wo dlq koΩnoho k ∈ Z
p
vsi koreni rivnqnnq (7) [ rizny-
my i zanumerovanymy tak, wo Re λq
(
k
) ≤ Re λq + 1
(
k
) ( qkwo Re λq
(
k
) =
= Re λq + 1
(
k
), to Im λq
(
k
) < Im λq + 1
(
k
)
), q = 1, … , n – 1. Todi systema funkcij
E = E (
t, k
) = = exp ( )λq q
n
k t( ){ } =1
[ fundamental\nog systemog rozv’qzkiv (FSR)
rivnqnnqO(4).
Vvedemo rozdileni riznyci
w tk
q ( , )η =
w t w k t
k
k
q
k
q
q
q
− −− ( )
−
1 1( , ) ( ),
( )
η λ
η λ
,
(8)
q = 1, … , n – 1, η ∈ C \ ( )λq k{ },
w tk
0( , )η = exp (
η
t
),
qki moΩna podaty v intehral\nij formi
w tk
q ( , )η =
1 1
η λ
∂
∂
λ
η
− ∫
−
q k
k
q
k
w z t
z
dz
q
( )
( , )
( )
, q = 1, … , n – 1, (9)
de intehruvannq provodyt\sq po vidrizku, wo spoluça[ toçky λ q
(
k
) ta η na
kompleksnij plowyni C. KoΩnu z funkcij w tk
q ( , )η , q = 1, … , n – 1, doozna-
çymo pry η = λq
(
k
) za neperervnistg: w k tk
q
qλ ( ),( ) =
∂ η
∂η η λ
w tk
q
kq
−
=
1( , )
( )
, q =
= 1, … , n – 1.
Dlq pobudovy rozv’qzku zadaçi (4), (5) vykorysta[mo taku fundamental\nu
systemu rozv’qzkiv rivnqnnq (4) (pobudovanu za rozdilenymy riznycqmy funkcij
systemy E, wo sprowu[ ob©runtuvannq rozv’qznosti zadaçi (1), (2)): U = U (
t,
k
) = u tkq q
n
( ){ } =1
, de
uk q
(
t
) = w k tk
q
q
− ( )1 λ ( ), , q = 1, … , n. (10)
Rozv’qzok zadaçi (4), (5) z klasu C Tn 0,[ ]( ) vyznaça[t\sq formulog
uk
(
t
) =
q
n
kq kqC u t
=
∑
1
( ), (11)
v qkij stali Ck q
, q = 1, … , n, znaxodqt\sq iz systemy rivnqn\
q
n
kq j kq
j
j kq
jC B k u B k u T
=
− −∑ −( )
1
1
1
2
10,
( )
,
( )( ) ( ) ( ) ( ) = ϕj k , j = 1, … , n, (12)
vyznaçnyk qko]
∆ ( k, T; U ) ≡ det ( ) ( )
,
M k u tj kq j q
n
=1
=
= det ( ) ( ) ( ) ( ),
( )
,
( )
,
B k u B k u Tj kq
j
j kq
j
j q
n
1
1
2
1
1
0− −
=
− . (13)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3
NELOKAL|NA KRAJOVA ZADAÇA DLQ LINIJNYX RIVNQN| IZ ÇASTYNNYMY … 373
Iz (8), (10) vydno, wo systemy funkcij U ta E pov’qzani miΩ sobog takym
çynom:
uk q
(
t
) =
j
q
qj jz k k t
=
∑ ( )
1
( )exp ( )λ , q = 1, … , n, k ∈ Z
p
, (14)
de
zq j
(
k
) =
1
1
≤ ≤
≠
−∏ −( )
r q
r j
j rk kλ λ( ) ( ) (
z11
(
k
) ≡ 1).
Dlq koΩnoho k ∈ Z
p
poklademo zq j
(
k
) = 0 pry n ≥ j > q ≥ 1 i rozhlqnemo mat-
rycg Z
(
k
) = z kqj j q
n
( )
, =1
, qka [ trykutnog. Lehko baçyty, wo vyznaçnyk ci[]
matryci vyznaça[t\sq formulog
Y
(
k
) ≡ det Z
(
k
) =
1
1
≤ < ≤
−∏ −( )
r j n
j rk kλ λ( ) ( ) , (15)
qka, zhidno z prypuwennqm wodo koreniv rivnqnnq (7), ma[ sens dlq koΩnoho
k ∈ Z
p
.
Na pidstavi formul (13) – (15) otrymu[mo spivvidnoßennq
∆ ( k, T; U ) = Y
(
k
) ∆ ( k, T; E ), (16)
de ∆ ( k, T; E ) ≡ det ( )exp ( )
,
M k k tj q j q
nλ( ) =1
.
Teorema 1. Dlq [dynosti rozv’qzku zadaçi (1), (2) u prostori C Qn
T
p( ) ne-
obxidno i dostatn\o, wob vykonuvalas\ umova
∀k ∈ Z
p
: O∆ ( k, T; E ) ≠ 0. (17)
Dovedennq analohiçne do dovedennq teoremy 3.7.5 iz [16] iz uraxuvan-
nqmO(16).
2. Isnuvannq rozv’qzku. Dali vvaΩatymemo, wo umova (17) spravdΩu[t\sq.
Todi z (11) – (13) otrymu[mo, wo dlq koΩnoho k ∈ Z
p
isnu[ [dynyj rozv’qzok
uk
(
t
) zadaçi (4), (5), qkyj vyznaça[t\sq formulog
uk
(
t
) = ∆
–
1
( k, T; U )
j
n
j k
q
n
jq kqk T u t
= =
∑ ∑
1 1
ϕ , ( , ; ) ( )∆ U , (18)
de ∆ jq k T( , ; )U , j, q = 1, … , n, — alhebra]çne dopovnennq elementa, qkyj rozta-
ßovanyj na peretyni j-ho rqdka ta q-ho stovpcq u vyznaçnyku ∆ ( k, T; U ). Na
pidstavi formul (3), (18) formal\nyj rozv’qzok zadaçi (1), (2) zobraΩu[t\sq
rqdom
u
(
t, x
) =
k j
n
jk
q
n
jq kq
p
k T k T u t ik x
∈
−
= =
∑ ∑ ∑
Z
∆ ∆1
1 1
( , ; ) ( , ; ) ( ) exp( , )U Uϕ . (19)
ZbiΩnist\ rqdu (19), vzahali, pov’qzana iz problemog malyx znamennykiv, os-
kil\ky | ∆ ( k, T; U ) |, buduçy vidminnym vid nulq, moΩe nabuvaty qk zavhodno ma-
lyx znaçen\ dlq neskinçenno] kil\kosti vektoriv k ∈ Z
p
.
Dlq koreniv rivnqnnq (7), vraxovugçy (6), otrymu[mo ocinky
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3
374 O. D. VLASIJ, B. J. PTAÍNYK
| λq
(
k
) | ≤ C k2 1 0+( )γ
, k ∈ Z
p
, q = 1, … , n, (20)
de γ0 = max1
0
≤ ≤
−
j n
jn n
j
, a stala C2 ne zaleΩyt\ vid k [17, c. 101]. Pozna-
çymo v =
j
n
j=∑ 1
v .
Teorema 2. Nexaj spravdΩu[t\sq umova (17) ta isnugt\ stali C3 > 0,
γ1 ∈ R taki, wo dlq vsix (krim skinçenno] kil\kosti) k ∈ Z
p
vykonugt\sq ne-
rivnosti
| ∆ ( k, T; U ) | ≥ C k k T
q m k
n
q3
1
1 1+( )
−
= +
∑γ λexp Re ( )
( )
. (21)
Qkwo ϕj
(
x
) ∈ Hz
p
j
( )Ω , zj > βj + p / 2 , de β j = γ1 + γ 0
1
2
1
n n
j
( )− + −
+
+ nmax ,1 0γ{ } + v – vj , j = 1, … , n, to u prostori C Qn
T
p( ) isnu[ [dynyj roz-
v’qzok zadaçi (1), (2), qkyj zobraΩu[t\sq rqdom (19) i neperervno zaleΩyt\ vid
funkcij ϕj
(
x
), j = 1, … , n.
Dovedennq. Wob ocinyty normu funkci] (19) u prostori C Qn
T
p( ), ocinymo
funkci]
Ij ( k, t ) =
q
n
jq kqk T u t
=
∑
1
∆ ( , ; ) ( )U , j = 1, … , n, (22)
ta ]x poxidni za zminnog t, zauvaΩyvßy, wo
Ij ( k, t ) =
M k u t M k u t M k u t
M k u t M k u t M k u t
u t u t u t
M k u t M k u
k k kn
j k j k j kn
k k kn
j k j k
1 1 1 2 1
1 1 1 2 1
1 2
1 1 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
�
� � � �
�
�
− − −
+ + (( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t M k u t
M k u t M k u t M k u t
j kn
n k n k n kn
�
� � � �
�
+1
1 2
, j = 1, … , n.
(23)
Iz (9), (10) ta (20) vyplyvagt\ taki ocinky:
max
( )
,t T
s
kq
s
d u t
dt∈[ ]0
≤
C k q m k
C k k T q m k n
s
s
q
4
5
1 1
1 1
0
0
+( ) = …
+( ) ( ) = + …
γ
γ λ
, , , ( ),
exp Re ( ) , ( ) , , ,
(24)
s = 0, 1, … , n.
Iz (5) ta ocinok (24) oderΩu[mo
M k u tj kq( ) ( ) ≤
C k q m k
C k k T q m k n
j
j
q
j
j
6
1
7
1
1 1
1 1
0
0
+( ) = …
+( ) ( ) = + …
− +
− +
γ
γ λ
( )
( )
, , , ( ),
exp Re ( ) , ( ) , , ,
v
v
(25)
j = 1, … , n.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3
NELOKAL|NA KRAJOVA ZADAÇA DLQ LINIJNYX RIVNQN| IZ ÇASTYNNYMY … 375
Na pidstavi (23) – (25) pryxodymo do nerivnostej
max
( , )
,t T
s
j
s
d I k t
dt∈[ ]0
≤
≤ C k n n j s j
8
1 2 11 0+( ) − − + +( )+ −/γ ( ) v v exp Re ( )
( )q m k
n
q k T
= +
∑
1
λ , (26)
s = 0, 1, … , n.
Vraxovugçy (18), (21), (22) ta (26), dista[mo ocinku
u C Qn
T
p( ) ≡
0 1
1≤ + ≤ ∈
+
∑
…s h n t x Q
s h
s h
p
h
T
p p
u t x
t x x
max
( , )
( , )
∂
∂ ∂ ∂
≤
≤ C k
j
n
k
j k
p
j
9
1
1
= ∈
∑ ∑ +( )
Z
β ϕ , . (27)
Zastosovugçy do (27) nerivnist\ Koßi – Bunqkovs\koho i vraxovugçy, wo rqd
k p k∈∑ +( )
Z
1 ω
[ zbiΩnym pry ω < – p, otrymu[mo
u C Qn
T
p( ) ≤ C k k
j
n
k
z
k
z
j k
p
j j
p
j
9
1
2 2 2
1 1
= ∈
−
∈
∑ ∑ ∑+( ) +( )
Z Z
( )
,
β ϕ ≤
≤ C
j
n
j Hz j
p10
1=
∑ ϕ
( )Ω
,
wo zaverßu[ dovedennq teoremy.
3. Deqki metryçni tverdΩennq. Ocinka znyzu xarakterystyçnoho vy-
znaçnyka zadaçi (4), (5). Wob z’qsuvaty, koly spravdΩu[t\sq ocinka (21), pot-
ribno dovesty rqd dopomiΩnyx tverdΩen\. Vvedemo taki poznaçennq:
Rj
(
k
) ≡
1
2 1 2
h
j
h
j
h h
j
b k b k k
≤
∑ −( )
v
, ,( ) ( ) ,
Sj
(
k
) ≡
1
2 1 2
h
j
h
j
h h
j
b k b k k
≤
∑ +( )
v
, ,( ) ( ) , j = 1, … , n.
Todi iz formuly (16) otrymu[mo
∆ ( k, T; U ) =
= Y k k R k k T k S k k Tq
j
j q q
j
j q j q
n
( )det ( ) ( ) exp ( ) ( ) ( ) exp ( )
,
λ λ λ λ− −
=
+ ( )( ) + − ( )( )1 1
1
1 1 .
Vyraz ∆ ( k , T ; U ) rozhlqdatymemo qk funkcig parametriv r j =
= Re –,
( )
,
( )b bj j1
0
2
0 2( ) / , j = 1, … , n. Todi
∆ ( k, T; U ) = Y k k r k T kq
j
j q jq j q
n
( )det ( ) exp ( ) ( )
,
λ λ−
=
+ ( )( ) +1
1
1 Θ , (28)
de dodanky Θj q
(
k
) ne zaleΩat\ vid r1 , … , rn .
Rozhlqnemo polinom n-ho stepenq vidnosno zminnyx y = ( y1 , … , yn ) ∈ R
n
z
kompleksnymy koefici[ntamy
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3
376 O. D. VLASIJ, B. J. PTAÍNYK
Pn
( y
) ≡
q Q
q
q
n
qa y y n
∈
∑ …1
1
, Q = { 0, 1 }
n
, a( , , )1 1… ≠ 0, (29)
vyznaçenyj u paralelepipedi Πn = ( , , ) : , , ,y y y j nn
n
j j j1 1… ∈ ≤ ≤ = …{ }R α β .
Lema 1. Dlq dovil\noho ε > 0 spravdΩu[t\sq ocinka
mes
mes
y P yn n
n
∈ <{ }Π
Π
: ( ) ε
≤ F
a
n
n
n
( , , )1 1
2
…
mesΠ
ε
, (30)
de
Fn
(
w
) =
1 1
1
1
0
1
, ,
ln
!
, .
qkwo
qkwo
w
w
w
r
w
r
n r
≤
>
=
−
∑
Dovedennq. Rozhlqnemo spoçatku vypadok dijsnyx koefici[ntiv polinoma
Pn
( y
). Dlq dovedennq lemy v c\omu vypadku vykorysta[mo metod povno] matema-
tyçno] indukci].
Pry n = 1 lema [ spravedlyvog, oskil\ky dlq polinoma P1
( y1
) ≡ a1 y1 + a0
,
de a0
, a1 ∈ R ( a1 ≠ 0 ), zadanoho na vidrizku Π1 = [ α1, β1 ], i dlq dovil\noho ε >
> 0 oçevydnog [ ocinka
mes
mes
y P y∈ <{ }Π
Π
1 1 1
1
: ( ) ε
≤ F
a
1
1 1
2
mesΠ
ε
.
Prypustymo, wo lema [ spravedlyvog pry n = m, tobto spravdΩu[t\sq
ocinka
mes
mes
y P ym m
m
∈ <{ }Π
Π
: ( ) ε
≤ F
a
m
m
m
( , , )1 1
2
…
mesΠ
ε
. (31)
PokaΩemo, wo ocinka (30) spravdΩu[t\sq takoΩ pry n = m + 1. Dijsno, vraxo-
vugçy (31), otrymu[mo
mes
mes
( , , , ) : ( , , , )y y y P y y ym m m m m m
m
1 1 1 1 1 1
1
… ∈ … <{ }+ + + +
+
Π
Π
ε
=
=
1
1 1
1 1 1
1
1
β α
η ε η
α
β
m m
m m m m
m
m
m y y P y y
d
+ +
+
−
… ∈ … <{ }
+
+
∫ mes
mes
( , , ) : ( , , , )Π
Π
≤
≤ 1
21 1
1 1 1 1 1 0
1
1
β α
η
ε
η
α
β
m m
m
m
m
m
m
F
a a
d
+ +
… …
−
+
+
+
∫ ( , , , ) ( , , , ) mesΠ
. (32)
Bezposeredn\og perevirkog moΩna pokazaty, wo dlq funkci] Fj
(
w
), j ∈ N, na
dovil\nomu vidrizku [ α, β ] ⊂ R vykonu[t\sq nerivnist\
1
β α
α
β
−
+( )∫ F A y B d yj ≤ F Aj+
−
1 2
β α
, A, B ∈ R, A ≠ 0. (33)
Na pidstavi (32), (33) otrymu[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3
NELOKAL|NA KRAJOVA ZADAÇA DLQ LINIJNYX RIVNQN| IZ ÇASTYNNYMY … 377
mes
mes
( , , , ) : ( , , , )y y y P y y ym m m m m m
m
1 1 1 1 1 1
1
… ∈ … <{ }+ + + +
+
Π
Π
ε
≤
≤ F am
m
m
m m
+ …
+ +−
1 1 1 1
1 1
2 2( , , , )
mesΠ
ε
β α
= F
a
m
m
m+
… +
+
1
1 1 1
12
( , , ) mesΠ
ε
.
OtΩe, na osnovi pryncypu povno] matematyçno] indukci] lemu dlq vypadku dijs-
nyx koefici[ntiv polinoma Pn
( y
) dovedeno.
Rozhlqnemo teper vypadok kompleksnyx koefici[ntiv. Podamo polinom
Pn
( y
) u vyhlqdi
Pn
( y
) =
a
a
a
a
a y y
q Q
q
q
n
qn( , , )
( , , )
( , , )
( , , )
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1…
… ∈
…
…
∑ … =
a
a
R y iI yn n
( , , )
( , , )
( ) ( )1 1
1 1
…
…
+( ), (34)
de
Rn
( y
) =
q Q
q
q
n
qa
a
a y y n
∈
…
…
∑
…Re ( , , )
( , , )
1 1
1 1
1
1
,
In
( y
) =
q Q
q
q
n
qa
a
a y y n
∈
…
…
∑
…Im ( , , )
( , , )
1 1
1 1
1
1
.
Todi, vraxovugçy spravedlyvist\ lemy dlq vypadku dijsnyx koefici[ntiv
polinoma Pn
( y
), otrymu[mo
mes y P yn n∈ <{ }Π : ( ) ε = mes y R y iI yn n n∈ + <{ }Π : ( ) ( ) ε ≤
≤ mes y R yn n∈ <{ }Π : ( ) ε ≤ F
a
n
n
n
( , , )1 1
2
…
mesΠ
ε
.
OtΩe, lemu povnistg dovedeno.
Dlq polinoma Pn
( y
), vyznaçenoho formulog (29), iz lemy 1 vyplyva[ take
tverdΩennq.
Lema 2. Dlq dovil\noho ψ ∈ ( 0, 1 ) isnu[ dodatna stala C 11 = C11
( ψ,
mes Πn ) taka, wo mira Lebeha v R
n
mnoΩyny Y n = y P yn n∈ <{ }Π : ( ) ε ,
ε ∈ ( 0, δ ), δ = 2 1 1
−
…
n
na( , , ) mesΠ , ne perevywu[ velyçyny C11 ε δ ψ/( ) .
Dovedennq bazu[t\sq na vykorystanni ocinky ln x ≤ ( )e xα α−1
(de e — osno-
va natural\nyx loharyfmiv), qka spravdΩu[t\sq dlq dovil\nyx x > 0 ta α > 0.
Teorema 3. Dlq dovil\nyx fiksovanyx parametriv zadaçi (1), (2) (krim b j1
0
,
( )
,
b j2
0
,
( )
, j = 1,…, n) i dlq majΩe vsix (stosovno miry Lebeha v R
n
) vektoriv r =
= ( r1 , … , rn ) nerivnist\
| ∆ ( k, T; U ) | ≥ 1 12
1
+( ) + ( )−
=
∏k k T
q
n
q
γ λexp ( ) (35)
spravdΩu[t\sq pry γ2 > p dlq vsix (krim skinçenno] kil\kosti) vektoriv
k ∈ Z
p
.
Dovedennq. Iz formuly (28) vydno, wo vyraz ∆ ( k, T; U ) [ polinomom n-ho
stepenq vidnosno zminnyx r1 , … , rn , qkyj zadovol\nq[ umovy lemy 1. Starßyj
koefici[nt c\oho polinoma dorivng[
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3
378 O. D. VLASIJ, B. J. PTAÍNYK
q
n
q k T
=
∏ + ( )( )
1
1 exp ( )λ .
Nexaj vektor r = ( r1 , … , rn ) naleΩyt\ deqkomu paralelepipedu Πn ⊂ R
n
i
ψ — dovil\ne çyslo z promiΩku p /( )γ 2 1, .
Na pidstavi lemy 2 dlq tyx k ∈ Z
p
, dlq qkyx 1 2+( )−k γ <
mesΠn
n2
, isnu[
taka stala C12 = C12 ( ψ, mes Πn ) > 0, wo spravdΩu[t\sq ocinka
mes r k T k k Tn
q
n
q∈ < +( ) + ( )
−
=
∏Π ∆: ( , ; ) exp ( )U 1 12
1
γ λ ≤ C k12 1 2+( )−ψγ
.
Zi zbiΩnosti rqdu
k p k∈
−∑ +( )
Z
1 2ψγ
na pidstavi lemy Borelq – Kantelli
(dyv. lemu 2.1 [18], hl. 1) otrymu[mo, wo mira Lebeha tyx r ∈ Πn , dlq qkyx
nerivnist\
∆( , ; ) exp ( )k T k k T
q
n
qU < +( ) + ( )−
=
∏1 12
1
γ λ
vykonu[t\sq dlq neskinçenno] kil\kosti vektoriv k ∈ Z
p
, dorivng[ nulevi. Ot-
Ωe, dlq majΩe vsix r ∈ Πn nerivnist\ (35) spravdΩu[t\sq dlq vsix (krim skin-
çenno] kil\kosti) vektoriv k ∈ Z
p
. Oskil\ky prostir R
n
moΩna pokryty zli-
çennog kil\kistg paralelepipediv, to, vraxovugçy vykladene vywe ta σ-ady-
tyvnist\ miry Lebeha, zaverßu[mo dovedennq lemy.
Lema 3. Nexaj ρ ( k ), k ∈ Z
p
, — dovil\na poslidovnist\ kompleksnyx çysel.
Todi dlq majΩe vsix (stosovno miry Lebeha v R ) çysel T > 0 nerivnist\
1 + ( )exp ( )ρ k T ≥ 1 13+( ) ( ){ }−k k Tγ ρmax , exp Re ( ) (36)
spravdΩu[t\sq dlq vsix (krim skinçenno] kil\kosti) vektoriv k ∈ Z
p
pry
γ3 > p.
Dovedennq. Spoçatku dovedemo lemu dlq T ∈ [ T0 , 2T0 ], de T0 — dovil\ne
fiksovane dodatne çyslo.
Rozib’[mo mnoΩynu Z
p
na taki pidmnoΩyny:
K1 = k k
T
p∈ >
Z : Re ( )ρ 1
0
,
K2 = k k
T
k
T
p∈ ≤ <
Z : Re ( ) , Im ( )ρ ρ π1
40 0
,
K3 = k k
T
k
T
p∈ ≤ ≥
Z : Re ( ) , Im ( )ρ ρ π1
40 0
.
Dlq vsix k ∈ K1 , | k | ≥
e
e −
/
1
1 3γ
– 1, i vsix T ∈ [ T0 , 2T0 ] spravdΩu[t\sq
ocinka
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3
NELOKAL|NA KRAJOVA ZADAÇA DLQ LINIJNYX RIVNQN| IZ ÇASTYNNYMY … 379
| 1 + e k Tρ( )
| ≥ ( )max , Re ( )1 11− { }−e e k Tρ ≥
≥ 1 13+( ) ( ){ }−k k Tγ ρmax , exp Re ( ) .
Dlq k ∈ K2 ∪ K3 vykonu[t\sq nerivnist\
| 1 + e k Tρ( )
| = 1 4
2
2 2−( ) +
e e
k Tk T k TRe ( ) Re ( ) cos
Im ( )ρ ρ ρ
≥
≥ 2
2 2
2e
k Tk TRe ( ) sin
Im ( )ρ π ρ/ +
. (37)
Na pidstavi (37) dlq vsix k ∈ K2
, | k | ≥ e1 3/ γ – 1, i vsix T ∈ [ T0 , 2T0 ] otrymu[mo
| 1 + e k Tρ( )
| > 2
4
2e k TRe ( ) sinρ π/
= 2 2e k TRe ( )ρ / ≥
≥ 2 11e k T− ( ){ }max , exp Re ( )ρ > 1 13+( ) ( ){ }−k k Tγ ρmax , exp Re ( ) .
Dlq k ∈ K3 spravdΩu[t\sq ocinka
sin
Im ( )π ρ
2 2
+
k T
= sin
Im ( )π ρ π
2 2
+ −k T
m ≥ 2
1
2 2
+ −Im ( )ρ
π
k T
m , (38)
de m = m ( k ) ∈ Z take, wo
π ρ π
2 2
+ −
Im ( )k T
m ∈ −
π π
2 2
, .
PokaΩemo, wo pry γ3 > p nerivnist\
1
2 2
+ −Im ( )ρ
π
k T
m < 1 3+( )−k γ
(39)
dlq majΩe vsix T ∈ [ T0 , 2T0 ] ma[ lyße skinçennu kil\kist\ rozv’qzkiv ( k, m ),
de k ∈ K3
, m ∈ Z. Dlq c\oho skorysta[mosq sxemog dovedennq lemy 2.4 iz [18]
(hl. 1).
Zafiksu[mo vektor k = k̂ ∈ K3
. Vidpovidni jomu znaçennq m, dlq qkyx vy-
konu[t\sq nerivnist\ (39), mistqt\sq v intervali
1
2
+
T kIm ˆρ
π
( )
2
– 1 3+( )−
k̂
γ
< m <
1
2
+
T kIm ˆρ
π
( )
2
+ 1 3+( )−
k̂
γ
. (40)
Zafiksu[mo deqke cile znaçennq m = m0 z intervalu (40). Oçevydno, wo pry
T ∈ [ T0 , 2T0 ] | m0 | ≤
T k0 Im ˆρ
π
( )
+ 2. Todi dlq miry mnoΩyny S k mˆ, 0( ) tyx çy-
sel T ∈ [ T0 , 2T0 ], dlq qkyx pry fiksovanyx k = k̂ ∈ K3
, m = m0 ∈ Z spravd-
Ωu[t\sq nerivnist\ (39), ma[ misce ocinka
mes S k mˆ, 0( ) ≤
4
1 3π
ρ
γ
Im ˆ
ˆ
k
k
( )
+( )−
.
OtΩe, mira mnoΩyny S k̂( ) tyx T ∈ [ T0 , 2T0 ], dlq qkyx nerivnist\ (39) pry
fiksovanyx k = k̂ ∈ K3 ma[ rozv’qzky v cilyx çyslax m, ocing[t\sq takym
çynom:
mes S k̂( ) ≤
m T k
T k
k
k
0 0
0
3
3
3
4
1
= − ( )[ ]−
( )[ ]+
−
/
/
∑ ( )
+( )
Im ˆ
Im ˆ
Im ˆ
ˆ
ρ π
ρ π
γπ
ρ
≤
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3
380 O. D. VLASIJ, B. J. PTAÍNYK
≤
2
7
4 10
3T k k
k
Im ˆ ˆ
Im ˆ
ρ
π
π
ρ
γ( )
+
+( )
( )
−
=
= 8
28
10
3T
k
k+
( )
+( )−π
ρ
γ
Im ˆ
ˆ
≤ 120 10
3T k+( )−ˆ γ
,
de [ a ] — cila çastyna çysla a.
Oskil\ky rqd
k p k∈
−∑ +( )
Z
1 3γ
[ zbiΩnym pry γ3 > p, to na pidstavi lemy
Borelq – Kantelli otrymu[mo, wo mira tyx T ∈ [ T0 , 2T0 ], dlq qkyx nerivnist\
(39) ma[ neskinçennu kil\kist\ rozv’qzkiv ( k, m ), k ∈ K3
, m ∈ Z, dorivng[ nule-
vi. Zvidsy na pidstavi (37), (38) otrymu[mo, wo dlq majΩe vsix T ∈ [ T0 , 2T0 ] i
vsix (krim skinçenno] kil\kosti) vektoriv k ∈ K3 spravdΩu[t\sq ocinka
| 1 + e k Tρ( )
| ≥ 4 12 3e kk TRe ( )ρ γ/ +( )− ≥
≥ 4 1 11 3e k k T− −+( ) ( ){ }γ ρmax , exp Re ( ) >
> 1 13+( ) ( ){ }−k k Tγ ρmax , exp Re ( ) .
OtΩe, dlq T ∈ [ T0 , 2T0 ] lemu dovedeno.
Oskil\ky dodatnu pivvis\ ( 0, ∞ ) moΩna pokryty zliçennog kil\kistg vid-
rizkiv vyhlqdu [ T0 , 2T0 ], to, vraxovugçy vstanovlene vywe ta σ-adytyvnist\
miry Lebeha, zaverßu[mo dovedennq lemy.
Iz lemy 3 vyplyva[ nastupne tverdΩennq.
Teorema 4. Dlq majΩe vsix (stosovno miry Lebeha v R ) çysel T > 0 ta
dlq dovil\nyx fiksovanyx koefici[ntiv rivnqnnq (1) nerivnist\
q
n
q k T
=
∏ + ( )
1
1 exp ( )λ ≥ 1 4
1
+( )
−
= +
∑k k T
q m k
n
q
γ λexp Re ( )
( )
spravdΩu[t\sq dlq vsix (krim skinçenno] kil\kosti) vektoriv k ∈ Z
p
pry γ4 >
> n p.
Iz teorem 3, 4 otrymu[mo take tverdΩennq.
Teorema 5. Dlq majΩe vsix (stosovno miry Lebeha v R
n
+
1
) vektoriv ( T,
r1 , … , rn ) ∈ R
n
+
1 nerivnist\ (21) spravdΩu[t\sq pry γ 1 > ( n + 1 ) p dlq vsix
(krim skinçenno] kil\kosti) vektoriv k ∈ Z
p
.
ZauvaΩennq. Qkwo v ocinkax (20) γ0 < 0, to dlq majΩe vsix (stosovno miry
Lebeha v R
n
) vektoriv ( r1 , … , rn ) ∈ R
n
nerivnist\ (21) spravdΩu[t\sq pry γ1 >
> p dlq vsix (krim skinçenno] kil\kosti) vektoriv k ∈ Z
p
.
Rezul\taty roboty poßyreno na vypadok neodnoridnoho rivnqnnq
L D
t
u t x, ( , )
∂
∂
= f ( t, x ),
de funkciq f ( t, x ) neperervna po t i dosyt\ hladka po x v QT
p
.
1. Sobolev S. L. Ob odnoj novoj zadaçe matematyçeskoj fyzyky // Yzv. AN SSSR. Ser. mat. –
1954. – 18, # 1. – S. 3 – 50.
2. Sobolev S. L. O dvyΩenyy symmetryçeskoho volçka s polost\g, napolnennoj Ωydkost\g
// Prykl. mexanyka y texn. fyzyka. – 1960. – # 3. – S. 20 – 55.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3
NELOKAL|NA KRAJOVA ZADAÇA DLQ LINIJNYX RIVNQN| IZ ÇASTYNNYMY … 381
3. Maslennykova V. N. Reßenye smeßannoj zadaçy dlq nestacyonarnoho dvyΩenyq vrawag-
wejsq vqzkoj Ωydkosty y yssledovanye dyfferencyal\n¥x svojstv πtoho reßenyq // Syb.
mat. Ωurn. – 1961. – 2, # 5. – S. 708 – 718.
4. Barenblatt H. Y., Ûeltov G. P., Koçyna Y. N. Ob osnovn¥x predstavlenyqx teoryy
fyl\tracyy odnorodn¥x Ωydkostej v trewynovat¥x porodax // Prykl. matematyka y
mexanyka. – 1960. – 24, v¥p. 5. – S. 852 – 864.
5. Habov S. A., Sveßnykov A. H. Zadaçy dynamyky stratyfycyrovannoj Ωydkosty. – M.: Na-
uka, 1986. – 287 s.
6. Habov S. A., Sveßnykov A. H. Lynejn¥e zadaçy teoryy nestacyonarn¥x vnutrennyx voln. –
M.: Nauka, 1990. – 344 s.
7. Vyßyk M. Y. Zadaça Koßy dlq uravnenyj s operatorn¥my koπffycyentamy, smeßannaq
kraevaq zadaça dlq system dyfferencyal\n¥x uravnenyj y pryblyΩenn¥j metod yx
reßenyq // Mat. sb. – 1956. – 39, # 1. – S. 51 – 148.
8. Horbaçuk M. L., Fedak Y. V. Zadaça Koßy dlq dyfferencyal\no-operatornoho uravnenyq,
svqzannoho s kolebanyqmy stratyfycyrovann¥x Ωydkostej // Dokl. AN SSSR. – 1987. –
297, # 1. – S. 14 – 17.
9. Uspenskyj S. V., Demydenko H. V., Perepelkyn V. H. Teorem¥ vloΩenyq y pryloΩenyq k
dyfferencyal\n¥m uravnenyqm. – Novosybyrsk: Nauka, 1984. – 224 s.
10. Bilusqk N. I., Komarnyc\ka L. I., Ptaßnyk B. J. Zadaça typu Dirixle dlq system rivnqn\ iz
çastynnymy poxidnymy, ne rozv’qzanyx vidnosno starßo] poxidno] za çasom // Ukr. mat. Ωurn.
– 2002. – 54, # 12. – S. 1592 – 1602.
11. Klgs I. S., Ptaßnyk B. J. Bahatotoçkova zadaça dlq rivnqn\ iz çastynnymy poxidnymy, ne
rozv’qzanyx vidnosno starßo] poxidno] za çasom // Tam Ωe. – 1999. – 51 , # 12. –
S.O1604 – 1613.
12. Komarnyc\ka L. I. Nelokal\na krajova zadaça dlq rivnqnnq zi zminnymy koefici[ntamy, ne
rozv’qzanoho vidnosno starßo] poxidno] // Visn. L\viv. un-tu. Ser. mex.-mat. – 1994. – Vyp. 40.
– S.O17 – 23.
13. Vlasij O. D., Ptaßnyk B. J. Zadaça z nelokal\nymy umovamy dlq rivnqn\ iz çastynnymy
poxidnymy, ne rozv’qzanyx stosovno starßo] poxidno] // Ukr. mat. Ωurn. – 2003. – 55, # 8. –
SO1022 – 1034.
14. Romanko V. K. O hranyçn¥x zadaçax dlq dyfferencyal\no-operatorn¥x uravnenyj, ne raz-
reßenn¥x otnosytel\no starßej proyzvodnoj // Dokl. AN SSSR. – 1977. – 235, # 5. –
S.O1030 – 1033.
15. Komarnyc\ka L. I., Ptaßnyk B. J. Krajovi zadaçi dlq dyferencial\noho rivnqnnq, ne
rozv’qzanoho vidnosno starßo] poxidno] za çasom // Ukr. mat. Ωurn. – 1995. – 47, # 9. –
S.O1197 – 1208.
16. Ptaßnyk B. J., Il\kiv V. S., Kmit\ I. Q., Poliwuk V. M. Nelokal\ni krajovi zadaçi dlq riv-
nqn\ iz çastynnymy poxidnymy. – Ky]v: Nauk. dumka, 2002. – 416 s.
17. Faddeev D. K., Somynskyj Y. S. Sbornyk zadaç po v¥sßej alhebre. – M.: Nauka, 1968. –
304Os.
18. Ptaßnyk B. Y. Nekorrektn¥e hranyçn¥e zadaçy dlq dyfferencyal\n¥x uravnenyj s
çastn¥my proyzvodn¥my. – Kyev: Nauk. dumka, 1984. – 264 s.
OderΩano 17.11.2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3
|
| id | umjimathkievua-article-3313 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:40:12Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/fd/361f3d17fdafbd34e51bc9688b0882fd.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33132020-03-18T19:51:00Z Nonlocal boundary-value problem for linear partial differential equations unsolved with respect to the higher time derivative Нелокальна крайова задача для лінійних рівнянь із частинними похідними, не розв'язних відносно старшої похідної за часом Vlasii, O. D. Ptashnik, B. I. Власій, О. Д. Пташник, Б. Й. We study the well-posedness of the problem with general nonlocal boundary conditions in the time variable and conditions of periodicity in the space coordinates for partial differential equations unsolved with respect to the higher time derivative. We establish the conditions of existence and uniqueness of the solution of the considered problem. In the proof of existence of the solution, we use the method of divided differences. We also prove metric statements on the lower bounds of small denominators appearing in constructing the solution of the problem. Исследована корректность задачи с общими нелокальными краевыми условиями по временной переменной и условиями периодичности по пространственным координатам для уравнений с частными производными, не разрешенных относительно старшей производной по времени. Установлены условия существования и единственности решения рассматриваемой задачи. При доказательстве существования решения использован метод разделенных разностей. Доказаны метрические утверждения об оценках снизу малых знаменателей, возникающих при построении решения задачи. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3313 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 3 (2007); 370–381 Український математичний журнал; Том 59 № 3 (2007); 370–381 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3313/3371 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3313/3372 Copyright (c) 2007 Vlasii O. D.; Ptashnik B. I. |
| spellingShingle | Vlasii, O. D. Ptashnik, B. I. Власій, О. Д. Пташник, Б. Й. Nonlocal boundary-value problem for linear partial differential equations unsolved with respect to the higher time derivative |
| title | Nonlocal boundary-value problem for linear partial differential equations unsolved with respect to the higher time derivative |
| title_alt | Нелокальна крайова задача для лінійних рівнянь із частинними похідними, не розв'язних відносно старшої похідної за часом |
| title_full | Nonlocal boundary-value problem for linear partial differential equations unsolved with respect to the higher time derivative |
| title_fullStr | Nonlocal boundary-value problem for linear partial differential equations unsolved with respect to the higher time derivative |
| title_full_unstemmed | Nonlocal boundary-value problem for linear partial differential equations unsolved with respect to the higher time derivative |
| title_short | Nonlocal boundary-value problem for linear partial differential equations unsolved with respect to the higher time derivative |
| title_sort | nonlocal boundary-value problem for linear partial differential equations unsolved with respect to the higher time derivative |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3313 |
| work_keys_str_mv | AT vlasiiod nonlocalboundaryvalueproblemforlinearpartialdifferentialequationsunsolvedwithrespecttothehighertimederivative AT ptashnikbi nonlocalboundaryvalueproblemforlinearpartialdifferentialequationsunsolvedwithrespecttothehighertimederivative AT vlasíjod nonlocalboundaryvalueproblemforlinearpartialdifferentialequationsunsolvedwithrespecttothehighertimederivative AT ptašnikbj nonlocalboundaryvalueproblemforlinearpartialdifferentialequationsunsolvedwithrespecttothehighertimederivative AT vlasiiod nelokalʹnakrajovazadačadlâlíníjnihrívnânʹízčastinnimipohídniminerozv039âznihvídnosnostaršoípohídnoízačasom AT ptashnikbi nelokalʹnakrajovazadačadlâlíníjnihrívnânʹízčastinnimipohídniminerozv039âznihvídnosnostaršoípohídnoízačasom AT vlasíjod nelokalʹnakrajovazadačadlâlíníjnihrívnânʹízčastinnimipohídniminerozv039âznihvídnosnostaršoípohídnoízačasom AT ptašnikbj nelokalʹnakrajovazadačadlâlíníjnihrívnânʹízčastinnimipohídniminerozv039âznihvídnosnostaršoípohídnoízačasom |