Evaluation of the probability of bankruptcy for a model of insurance company
A problem of calculating the probability of ruin of an insurance company in infinite number of steps is considered in the case where this company is able to invest its capital to a bank deposit at every time. As a distribution describing claim amounts to the insurance company, the gamma distribution...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3319 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509385131819008 |
|---|---|
| author | Bondarev, B. V. Zhmykhova, T. V. Бондарєв, Б. В. Жмихова, Т. В. |
| author_facet | Bondarev, B. V. Zhmykhova, T. V. Бондарєв, Б. В. Жмихова, Т. В. |
| author_sort | Bondarev, B. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:51:20Z |
| description | A problem of calculating the probability of ruin of an insurance company in infinite number of steps is considered in the case where this company is able to invest its capital to a bank deposit at every time. As a distribution describing claim amounts to the insurance company, the gamma distribution with parameters $n$ and $\alpha$ is chosen. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:40:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.21
B. V. Bondar[v, T. V. Ûmyxova (Doneck. nac. un-t)
ZNAXODÛENNQ JMOVIRNOSTI BANKRUTSTVA
DLQ ODNI{} MODELI STRAXOVO} KOMPANI}
A problem of calculating the probability of ruin of an insurance company in infinite number of steps is
considered in the case where this company is able to invest its capital to a bank deposit at every time. As
a distribution describing claim amounts to the insurance company, the gamma distribution with
parameters n and α is chosen.
Rassmotrena zadaça naxoΩdenyq veroqtnosty razorenyq straxovoj kompanyy za beskoneçnoe
çyslo ßahov, ymegwej vozmoΩnost\ v kaΩd¥j moment vremeny razmewat\ svoj kapytal na
bankovskom depozyte. V kaçestve raspredelenyq, opys¥vagweho razmer¥ yskov k straxovoj
kompanyy, b¥lo v¥brano hamma-raspredelenye s parametramy n y α .
1. Vstup. Tradycijnog xarakterystykog platospromoΩnosti straxovo] kompa-
ni] [ jmovirnist\ bankrutstva, najbil\ß toçna ocinka qko] dozvolyla b znaçnog
mirog polehßyty keruvannq straxovog kompani[g j uberehty ]] vid moΩlyvoho
bankrutstva.
Vidomo, wo dobrobut straxovo] kompani] zaleΩyt\ ne til\ky vid ]] osnovno]
diql\nosti, ale i vid investycijno] polityky, qku provodyt\ dana kompaniq (vid
moΩlyvosti j efektyvnosti investuvannq svoho kapitalu na finansovomu
( B, S ) -rynku). Ce stalo pryçynog osoblyvo] zacikavlenosti ci[g problemog,
qkij prysvqçeno velyku kil\kist\ statej i monohrafij (dyv., napryklad, [1, 2]), i
same tomu v danij roboti my rozhlqda[mo zadaçu znaxodΩennq jmovirnosti bank-
rutstva straxovo] kompani], wo ma[ moΩlyvist\ u koΩen moment çasu rozmiwaty
svij kapital na bankivs\komu depozyti, za neskinçenne çyslo krokiv.
2. Postanovka zadaçi. Nexaj na finansovomu rynku isnu[ odyn bezryzyko-
vyj aktyv (bankivs\kyj raxunok) B. Budemo vvaΩaty, wo vidsotky na bankiv-
s\kyj raxunok naraxovugt\sq z postijnog stavkog r ( t ) ≡ r > 0, tak wo cina
bezryzykovoho aktyvu evolgcionu[ vidpovidno do riznycevoho rivnqnnq
∆ Bn = rBn−1, B0 > 0, (1)
de B0 — suma, wo znaxodyt\sq na bankivs\komu raxunku v poçatkovyj moment
çasu.
Nexaj straxova kompaniq, magçy v moment çasu n = 0 kapital u0 , rozmiwu[
joho na bankivs\komu depozyti. Todi v moment çasu n = 1 z uraxuvannqm toho,
wo kompaniq oderΩu[ straxovi vnesky c i robyt\ vyplaty po pozovax Z1 , kapi-
tal bude dorivngvaty
u1 = u r c Z0 11( )+ + − .
Znovu rozmiwugçy vΩe svij novyj kapital u1 na bankivs\komu raxunku, u
moment çasu n = 2 kompaniq bude maty kapital
u2 = u r c Z1 21( )+ + − .
ProdovΩugçy tak dali, v moment çasu n + 1 kompaniq matyme kapital
un+1 = u r c Zn n( )1 1+ + − + . (2)
Tut i dali budemo prypuskaty, wo velyçyny pozovu kli[ntiv do kompani]
{ } , ,Zi i= …1 2 — nezaleΩni odnakovo rozpodileni ( )Z Zi ∼ nevid’[mni vypadkovi
velyçyny, wo ne zaleΩat\ vid evolgci] aktyviv finansovoho rynku. Poklademo
F xZi
( ) = F xZ ( ) , de F xZ ( ) — funkciq rozpodilu velyçyny pozoviv Zi .
© B. V. BONDAR{V, T. V. ÛMYXOVA, 2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 447
448 B. V. BONDAR{V, T. V. ÛMYXOVA
Qkwo v k-j moment çasu suma do vyplaty po pozovax perevywyla nakopyçe-
nyj do c\oho çasu kapital, to na k -mu kroci fiksu[t\sq bankrutstvo i kompaniq
prypynq[ svog diql\nist\. Nexaj ϕk u( )0 — jmovirnist\ bankrutstva na kince-
vomu intervali [ 0, k ] , tobto
ϕk u( )0 = P u n kn n{ }:ω < ≤0 pry deqkomu ,
qka monotonno zrosta[ po k i u0 . Todi jmovirnist\ bankrutstva straxovo] kom-
pani], dynamika kapitalu qko] opysu[t\sq rivnqnnqm (2) za neskinçenne çyslo
krokiv, moΩna znajty z rivnqnnq
ϕ( )u0 = 1 1 10 0
0
10
− + + + + + −
+ +
∫F u r c u r c y dF yZ
u r c
z( ( ) ) ( ( ) ) ( )
( )
ϕ , (3)
wo vyvodyt\sq z rekurentnoho spivvidnoßennq [1]
ϕk u+1 0( ) = 1 1 10 0
0
10
− + + + + + −
+ +
∫F u r c u r c y dF yZ k
u r c
z( ( ) ) ( ( ) ) ( )
( )
ϕ , (4)
de ϕ1 0( )u = 1 10− + +F u r cZ ( ( ) ) . Dijsno, ϕk u( ) pry fiksovanomu u monotonno
zrosta[ po k, [ nevid’[mnog ta obmeΩenog. Takym çynom, poslidovnist\ ϕk u( )
ma[ hranycg ta hranyçnyj perexid pry k → ∞ v (4) takoΩ [ moΩlyvym.
Zadaça polqha[ v znaxodΩenni jmovirnosti bankrutstva straxovo] kompani] za
neskinçenne çyslo krokiv vidpovidno do rivnqnnq (3) za umovy, wo rozmiry pozo-
viv magt\ hamma-rozpodil z parametramy ( n, α ) .
3. Vyvedennq rivnqnnq i znaxodΩennq rozv’qzkiv.
Teorema41. Nexaj rozmiry pozovu opysu[ hamma-rozpodil z parametramy
( n, α ) . Todi jmovirnist\ bankrutstva straxovo] kompani], wo rozmiwu[ svij ka-
pital na bankivs\komu depozyti, cina qkoho evolgcionu[ vidpovidno do riznyce-
voho rivnqnnq (1), opysu[t\sq rivnqnnqm
ϕ( )n u( ) = ( ( )) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )( )α ϕ ϕ α ϕ1 1 11 1+ + + −[ ] − + −r u r c u C r un
n
n –
– C r u C r u C r un
n
n
n
n
n n2 2 2 3 3 3 1 11 1 1( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )( ) ( )α ϕ α ϕ α ϕ+ − + − … − + ′− − − − . (5)
Dovedennq. Oskil\ky rozmiry pozoviv magt\ hamma-rozpodil z parametramy
( n, α ) , tobto wil\nist\ rozpodilu velyçyn pozoviv kli[ntiv do kompani] [ takog:
f xZ ( ) =
α αn n xx e
n
x
x
− −
−
>
≤
1
1
0
0 0
( )!
, ,
, ,
to jmovirnist\ bankrutstva budemo znaxodyty z rivnqnnq
ϕ( )u = 1
1
1
1
0
1 1
0
1 1
−
−
+ + + −
−
+ + − − + + − −
∫ ∫
u r c n n y u r c n n yy e
n
dy u r c y
y e
n
dy
( ) ( )
( )!
( ( ) )
( )!
α ϕ αα α
. (6)
U podal\ßomu nam dovedet\sq dyferencigvaty rivnist\ (6). PokaΩemo, wo ope-
raciq vzqttq poxidno] bude zakonomirnog do porqdku n + 1.
Vykona[mo zaminu zminnyx u druhomu intehrali pravo] çastyny (6). Dlq c\oho
poklademo u r( )1 + + c y− = x, todi prava çastyna rivnqnnq, oçevydno, bude
dorivngvaty
1
1
1
1
0
1 1
0
1 1
−
−
+ + + −
−
+ + − − + + − −
∫ ∫
u r c n n y u r c n n yy e
n
dy u r c y
y e
n
dy
( ) ( )
( )!
( ( ) )
( )!
α ϕ αα α
=
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
ZNAXODÛENNQ JMOVIRNOSTI BANKRUTSTVA DLQ ODNI{} MODELI … 449
= 1
1 1
0
1 1
1−
−
+
−
+ + − −
− + +∫
u r c n n y n
u r cy e
n
dy
n
e
( )
( ( ) )
( )! ( )!
α αα
α ×
× ϕ α( )( ( ) )
( )
x u r c x e dxn x
u r c
1 1
0
1
+ + − −
+ +
∫ = 1 –
0
1 1
1
u r c n n yy e
n
dy
( )
( )!
+ + − −
∫ −
α α
+
+ α ϕα α
n
u r c
k
n
k k n k x
u r c
n
e u r c x x e dx
( )!
( ( ) ) ( ) ( )( ( ) )
( )
−
+ + −− + +
=
−
− −
+ +
∑ ∫1
1 11
0
1
1
0
1
.
Zvidsy vydno, wo prava çastyna otrymanoho vyrazu, a otΩe i prava çastyna (6), [
dyferencijovnog po u, tobto funkciq ma[ perßu poxidnu. Dyferenciggçy
rivnqnnq (6) po u, otrymu[mo intehro-dyferencial\ne rivnqnnq
′ϕ ( )u = –
α αn n u r cu r c e
n
r
( ( ) )
( )!
( )
( ( ) )1
1
1
1 1+ +
−
+
− − + +
+
+ ϕ α α
( )
( ( ) )
( )!
( )
( ( ) )
0
1
1
1
1 1n n u r cu r c e
n
r
+ +
−
+
− − + +
+
+
0
1 1
1
1
1
u r c
u
n n y
u r c y
y e
n
r dy
( )
( ( ) )
( )!
( )
+ + − −
∫ ′ + + −
−
+ϕ α α
. (7)
Intehrugçy çastynamy intehral z (7), ma[mo
0
1 1
1
1
1
u r c
u
n n y
u r c y
y e
n
r dy
( )
( ( ) )
( )!
( )
+ + − −
∫ ′ + + −
−
+ϕ α α
=
=
0
1 1
1
1 1
u r c n n yy e
n
r d u r c y
( )
( )!
( ) ( ( ) )
+ + − −
∫ −
+ + + −α ϕ
α
=
= – ϕ α α
( )
( ( ) )
( )!
( )
( ( ) )
0
1
1
1
1 1n n u r cu r c e
n
r
+ +
−
+
− − + +
+
+
0
1
21
1
2
u r c n
n yu r c y
r
n
y e dy
( )
( ( ) )
( )
( )!
+ +
− −∫ + + − +
−
ϕ α α –
–
0
1 1
11
1
1
u r c n
n yu r c y
r
n
y e dy
( )
( ( ) )
( )
( )!
+ + +
− −∫ + + − +
−
ϕ α α . (8)
Pidstavlqgçy (8) u (7) i vykonugçy elementarni matematyçni peretvorennq,
oderΩu[mo
′ϕ ( )u = –
α αn n u r cu r c e
n
r
( ( ) )
( )!
( )
( ( ) )1
1
1
1 1+ +
−
+
− − + +
+
0
1
1
u r c
u r c y
( )
( ( ) )
+ +
∫ + + −ϕ ×
×
α ϕ αα α
n
n y
u r c n
n yr
n
y e dy u r c y
r
n
y e dy
( )
( )!
( ( ) )
( )
( )!
( )
1
2
1
1
1
2
0
1 1
1+
−
− + + − +
−
− −
+ + +
− −∫ .
Dali, zapysugçy znaçennq druhoho intehrala z (6) ta pidstavlqgçy cej vyraz v
wojno otrymane rivnqnnq, znaxodymo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
450 B. V. BONDAR{V, T. V. ÛMYXOVA
′ϕ ( )u =
0
1
21
1
2
u r c n
n yu r c y
r
n
y e dy
( )
( ( ) )
( )
( )!
+ +
− −∫ + + − +
−
ϕ α α –
–
0
1 1
11
1
u r c n
n yr
n
y e dy
( )
( )
( )!
+ + +
− −∫ +
−
α α
–
–
α α ϕ αα
n
n u r cr
n
u r c e r u r
( )
( )!
( ( ) ) ( ) ( ) ( )( ( ) )1
1
1 1 11 1+
−
+ + − + + +− − + + . (9)
Znovu vykonugçy zaminu v perßomu intehrali u r c y( )1 + + − = x, ßlqxom ele-
mentarnyx peretvoren\ pryxodymo do vysnovku, wo prava çastyna (9) [ dyfe-
rencijovnog po u. Dali isnuvannq poxidnyx tret\oho i t. d. porqdkiv ne budemo
ob©runtovuvaty.
Dyferenciggçy (9) po u, ma[mo
′′ϕ ( )u = –
α α
n
n u r cr
n
u r c e
( )
( )!
( ( ) ) ( ( ) )1
2
1
2
2 1+
−
+ + − − + + +
+ ϕ α α ϕα( )
( )
( )!
( ( ) ) ( ) ( )( ( ) )0
1
2
1 1
2
2 1
n
n u r cr
n
u r c e r u
+
−
+ + − + ′− − + +
+
+
0
1 2
21
2
1
u r c
u
n n y
u r c y
y e
n
r dy
( )
( ( ) )
( )!
( )
+ + − −
∫ ′ + + −
−
+ϕ α α
. (10)
Intehrugçy çastynamy intehral z (10), otrymu[mo
0
1 2
21
1
2
u r c
u
n
n yu r c y
r
n
y e dy
( )
( ( ) )
( )
( )!
+ +
− −∫ ′ + + − +
−
ϕ α α =
=
α ϕα
n
n u r cr
n
u r c e
( )
( )!
( ( ) ) ( )( ( ) )1
2
1 0
2
2 1+
−
+ + − − + + +
+
0
1 2
31
1
3
u r c n
n yu r c y
r
n
y e dy
( )
( ( ) )
( )
( )!
+ +
− −∫ + + − +
−
ϕ α α
–
–
0
1 1 2
21
1
2
u r c n
n yu r c y
r
n
y e dy
( )
( ( ) )
( )
( )!
+ + +
− −∫ + + − +
−
ϕ α α . (11)
Znovu vykonugçy ti sami di], wo i raniße, znaxodymo
′′ϕ ( )u =
0
1 2
31
1
3
u r c n
n yu r c y
r
n
y e dy
( )
( ( ) )
( )
( )!
+ +
− −∫ + + − +
−
ϕ α α –
–
0
1 2
31
3
u r c n
n yr
n
y e dy
( )
( )
( )!
+ +
− −∫ +
−
α α
–
– 2 1 1 12 2α ϕ α ϕ α( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))+ ′ − + + +r u r u r (12)
i
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
ZNAXODÛENNQ JMOVIRNOSTI BANKRUTSTVA DLQ ODNI{} MODELI … 451
′′′ϕ ( )u =
0
1 3
41
1
4
u r c n
n yu r c y
r
n
y e dy
( )
( ( ) )
( )
( )!
+ +
− −∫ + + − +
−
ϕ α α –
–
0
1 3
41
4
u r c n
n yr
n
y e dy
( )
( )
( )!
+ +
− −∫ +
−
α α
–
– 3 1 3 1 1 12 3 3α ϕ α ϕ α ϕ α( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))+ ′′ − + ′ − + + +r u r u r u r . (13)
Dyferenciggçy rivnqnnq (13), potim beruçy çastynamy intehral i vykonugçy
elementarni peretvorennq, oderΩu[mo
ϕ(IV)( )u =
0
1 4
51
1
5
u r c n
n yu r c y
r
n
y e dy
( )
( ( ) )
( )
( )!
+ +
− −∫ + + − +
−
ϕ α α –
–
0
1 4
51
5
u r c n
n yr
n
y e dy
( )
( )
( )!
+ +
− −∫ +
−
α α
–
– 4 1 6 1 4 12 3α ϕ α ϕ α ϕ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )+ ′′′ − + ′′ − + ′r u r u r u –
– ( ( )) ( ) ( ( ))α ϕ α1 14 4+ + +r u r . (14)
ProdovΩugçy cg proceduru, pomiça[mo, wo koefici[nty pry poxidnyx — ce
koefici[nty z trykutnyka Paskalq. Takym çynom, dyferenciggçy n – 1 raz,
ma[mo
ϕ( )n u−1 ( ) =
0
1
11 1
u r c
n n yu r c y r e dy
( )
( ( ) ) ( )
+ +
− −∫ + + − +ϕ α α –
–
0
1 11
8
u r c n n
yr
n
e dy
( )
( )
( )!
+ + −
−∫ +
−
α α –
– C r u C r un
n
n
n
−
−
−
−+ − +1
1 2
1
2 2 31 1α ϕ α ϕ( ) ( ) ( ( )) ( )( ) ( )
– …
… – C r u C r u rn
n n
n
n n n
−
− −
−
− − −+ ′ − + + +1
2 2
1
1 1 11 1 1( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))α ϕ α ϕ α . (15)
OtΩe, znovu dyferenciggçy (15), otrymu[mo
ϕ( )n u( ) =
0
1
1 1
u r c
u
n n yu r c y r e dy
( )
( ( ) ) ( )
+ +
−∫ ′ + + − +ϕ α α +
+ ϕ α α( ) ( ) ( ( ) )0 1 1n n u r cr e+ − + + – C r u C r un
n
n
n
−
−
−
−+ − +1
1 1
1
2 2 21 1α ϕ α ϕ( ) ( ) ( ( )) ( )( ) ( ) – …
… – C r u C r un
n n
n
n n
−
− −
−
− −+ ′′ − + ′1
2 2
1
1 11 1( ( )) ( ) ( ( )) ( )α ϕ α ϕ . (16)
Zintehruvavßy çastynamy intehral v (16), a potim pidstavyvßy joho znaçennq v
(16) ta vykonavßy elementarni matematyçni peretvorennq, ostatoçno budemo
maty
ϕ( )n u( ) = α ϕ α ϕn n
n
nr u r c C r u( ) ( ( ) ) ( ) ( )1 1 11 1+ + + − + −( )
–
– C r un
n2 2 21( ( )) ( )α ϕ+ −( ) – … – C r u r un
n n n− −+ ′ − +1 11 1( ( )) ( ) ( ( )) ( )α ϕ α ϕ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
452 B. V. BONDAR{V, T. V. ÛMYXOVA
Takym çynom, my otrymaly dyferencial\ne rivnqnnq z arhumentom, wo vidxylq-
[t\sq, abo take dyferencial\ne rivnqnnq, do qkoho nevidoma funkciq ta ]] po-
xidni vxodqt\ pry riznyx znaçennqx arhumentu.
Zapysavßy ce rivnqnnq inakße, ostatoçno matymemo
ϕ( )n u( ) = α ϕ ϕ α ϕn n
n
nr u r c u C r u( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1+ + + −[ ] − + −( )
–
– C r u C r un
n
n
n2 2 2 3 3 31 1( ( )) ( ) ( ( )) ( )α ϕ α ϕ+ − +− −( ) ( ) – … – C r un
n n− −+ ′1 11( ( )) ( )α ϕ ,
wo i potribno bulo dovesty.
Teorema42. V umovax teoremyO1 rozv’qzok rivnqnnq (5) ma[ vyhlqd
ϕ ( u ) =
k
k
r A ud e
k
=
∞
− +∑
0
1α( )( ) , (17)
de
A
k
u = ( )
( )
1
1 1+ + + −
r u c
r
r
k
k
, k = 0, 1, … ,
dk =
d
b b b bn n n k n
0
2 31 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )− − − … −
, k = 1, 2, … ,
b = 1 + r, d0 = ( ( , , ))
( ( , ( ( ) ), ))
( ) ( ) ( )
( )
1
1 1 1 1
1 1 10
1 1
2
1
−
− − − +( )
− − … −
=
∞ − + + −
∑D c n
e D c r n
b b bk
r c k
n n k n
k
α
αα
,
D c n( , , )α = α α
n c
n y
n
y e dy
Γ( )
0
1∫ − − = 1
0
1
− −
=
−
∑e
c
p
c
p
n p
α α( )
!
.
Dovedennq. Rozv’qzok rivnqnnq (5) budemo ßukaty u vyhlqdi (17) metodom
nevyznaçenyx koefici[ntiv. Dlq c\oho znajdemo spoçatku ′ϕ ( )u , ′′ϕ ( )u , …
… ,ϕ( )n u( ) , ϕ( )bu c+ . Tut i dali dlq prostoty poklademo b = 1 + r, a β =
= α ( )1 + r , otΩe,
′ϕ ( )u =
k
k
A u kd e A u
k
=
∞
−∑ ′ −
0
β β( )( ) ( ) =
k
k
A u kd e b
k
=
∞
−∑ −
0
β β( )( ),
′′ϕ ( )u =
k
k
A u kd e A u
k
=
∞
−∑ ′
0
2β β( )( ) =
k
k
A u kd e b
k
=
∞
−∑
0
2 2β β( ) ,
′′′ϕ ( )u =
k
k
A u kd e b
k
=
∞
−∑ −
0
3 3β β( )( ),
ϕ(IV)( )u =
k
k
A u kd e b
k
=
∞
−∑
0
4 4β β( ) ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ϕ( )n u−1 ( ) =
k
k
A u n n kd e b
k
=
∞
− − −∑
0
1 1β β( ) ( ) ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
ZNAXODÛENNQ JMOVIRNOSTI BANKRUTSTVA DLQ ODNI{} MODELI … 453
ϕ( )n u( ) =
k
k
A u n nkd e b
k
=
∞
−∑ −
0
β β( )( ) ,
ϕ( )bu c+ = ϕ ( )Au =
k
k
A ud e
k
=
∞
−∑
+
0
1β( ) =
i
i
A ud e
i
=
∞
−
−∑
1
1
β( ),
de
A u u0 = , A u bu c1 = + , A u b bu c c b u cb c2 2= + + = + +( ) ,
A u b u cb cb c3 3 2= + + + , … , A u r u c
r
r
k k
k
= + + + −
( )
( )
1
1 1
, k = 0, 1, … .
Pidstavlqgçy znajdeni znaçennq v rivnqnnq (5), otrymu[mo rivnqnnq
k
k
A u n nkd e b
k
=
∞
−∑ −
0
β β( )( ) = β β βn
i
i
A u
k
k
A ud e d e
i k
=
∞
−
−
=
∞
−∑ ∑−
1
1
0
( ) ( )
–
– C d e b C d e bn
k
k
A u n n k
n
k
k
A u n n kk k1
0
1 1 2 2
0
2 2β β β ββ β
=
∞
− − −
=
∞
− − −∑ ∑− −( ) ( ) ( ) ( )( ) – …
… – C d e bn
n n
k
k
A u kk− −
=
∞
−∑ −1 1
0
β ββ( ) ( ) . (18)
Dali budemo poslidovno zadavaty znaçennq k v rivnqnni (18), wob znajty nevido-
mi koefici[nty dk .
Nexaj spoçatku k = 0. Todi
d en u
0( )− −β β = – β β ββ β βn u
n
n u
n
n ud e C d e C d e0
1
0
2
0
− − −− + – … + C d en
n n u− −1
0β β ,
0 = 0.
Tut my skorystalys\ formulog C Cn
m
n
m n= − . Dali, nexaj k = 1:
d b en n bu c
1( ) ( )− − +β β = β ββ β βn bu c bu c
n
n n bu cd e d e C b e d( )( ) ( ) ( )
0 1
1 1
1
− + − + − − +− − +
+ C b e d C b e dn
n n bu c
n
n n bu c2 2
1
3 3
1β ββ β− − + − − +−( ) ( )
+ … + C be dn
n n bu c− − +1
1β β( ) ,
d C b C b C b C b C bn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
0 1 1 2 2 3 3 11( )− + − + −…−− − − − = d0 .
Oskil\ky vyraz u duΩkax [ formulog binoma N\gtona, to, vykorystavßy ]], ma-
tymemo
d b n
1 1( )− = d0 ,
d1 =
d
b n
0
1( )−
.
Nexaj k = 2. Todi
d b en n b u bc c
2
2 2
( ) ( )− − + +β β = β β βn b u bc c b u bc cd e d e( )( ) ( )
1 2
2 2− + + − + +− –
– C b e d C b e dn
n n b u bc c
n
n n b u bc c1 2 1
2
2 2 2
2
2 2
β ββ β( ) ( ) ( ) ( )− − + + − − + ++ –
– C b e d C b e dn
n n b u bc c
n
n n b u bc c3 2 3
2
1 2
2
2 2
β ββ β( ) ( ) ( )− − + + − − + ++…+ ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
454 B. V. BONDAR{V, T. V. ÛMYXOVA
d C b C b C b C b C bn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2
0 2 1 2 1 2 2 2 3 2 3 1 21( )( ) ( ) ( )− + − + −…−− − − − = d1 ,
d b n
2
21( )− = d1 .
OtΩe,
d2 =
d
b n
1
21( )−
=
d
b bn n
0
21 1( ) ( )− −
.
Pry k = 3 matymemo
d3 =
d
b n
2
31( )−
=
d
b b bn n n
0
2 31 1 1( ) ( ) ( )− − −
.
ProdovΩugçy takym sposobom zadavaty znaçennq k, pryxodymo do toho, wo
dk =
d
b b b bn n n k n
0
2 31 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )− − − … −
, k = 1, 2, … .
OtΩe, rozv’qzok rivnqnnq (5) bude maty vyhlqd
ϕ ( u ) = d e e
b
e
b b
e
b b b
bu
b Au
n
b A u
n n
b A u
n n n0 2 2 31 1 1 1 1 1
2 3
−
− − −
+
−
+
− −
+
− − −
+…
α
α α α( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
,
(19)
de d0 znaxodyt\sq z umovy
ϕ ( 0 ) = 1
1 1
0
1
0
1
−
−
+ −
−∫ ∫
− − − −c n n y c n n yy e
n
dy c y
y e
n
dy
α ϕ αα α
( )!
( )
( )!
,
wo i potribno bulo dovesty.
4. Dovedennq [dynosti rozv’qzku. Zaznaçymo, wo v roboti [3] bulo vyvçeno
analityçni rozv’qzky rivnqnnq typu
y x a y x a y xp
p( ) ( ) ( )+ ′ + … +1 = λy qx h( )+ (20)
z postijnymy koefici[ntamy i linijnymy vidxylennqmy arhumentu, wo ma[ takyj
vyhlqd, qk i otrymane namy rivnqnnq (5). Tut bulo dovedeno, wo pry q > 1 (u
rozhlqduvanomu vypadku q = 1 + r, de r — vidsotkova stavka) moΩut\ buty
znajdeni rozv’qzky, wo isnugt\ til\ky dlq dijsnyx x pry special\nyx znaçen-
nqx λ , i rozv’qzky znykagt\ razom z ]x poxidnymy dlq neskinçenno] poslidov-
nosti znaçen\ x .
U roboti [3] dovedeno, wo xarakter rozv’qzkiv zaleΩyt\ vid vlastyvostej
funkci]
θ λ( ) =
n
n
nq q q=
∞
∑ − − … −0
21 1 1
λ
( )( ) ( )
,
oblast\ zbiΩnosti rqdu pry q < 1 vyznaça[t\sq nerivnistg λ < 1, a pry q >
> 1 vin zbiha[t\sq na vsij plowyni. TakoΩ bulo rozhlqnuto rizni vypadky para-
metriv, odnak vypadok, qkyj my rozhlqda[mo u cij statti, ne buv doslidΩenyj.
NevaΩko perekonatysq, wo ϕ ( u ) ≡ 1 takoΩ [ rozv’qzkom rivnqnnq (5). Ra-
zom z tym danyj rozv’qzok ne stanovyt\ interesu, oskil\ky zrozumilo, wo pry
u → ∞ ϕ ( u ) povynno prqmuvaty do 0, pryçomu ϕ ( u ) monotonno spada[ zi zro-
stannqm u .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
ZNAXODÛENNQ JMOVIRNOSTI BANKRUTSTVA DLQ ODNI{} MODELI … 455
Pryrodno dovesty [dynist\ rozv’qzku v klasi funkcij, wo prqmugt\ do nu-
lq, pry prqmuvanni arhumentu do neskinçennosti dlq rivnqnnq (6). Vnaslidok
totoΩnosti peretvoren\ z [dynosti rozv’qzku rivnqnnq (6) bude vyplyvaty [dy-
nist\ rozv’qzku rivnqnnq (5) dlq klasu funkcij, wo magt\ poxidni neobxidnoho
porqdku, ta taki, wo prqmugt\ do nulq pry u → ∞ .
Ma[ misce nastupna teorema.
Teorema43. Rozv’qzok rivnqnnq (5) ma[ vyhlqd (17), pryçomu vin [ [dynym.
Dovedennq. Prypustymo, wo isnugt\ dva riznyx rivnqnnq dlq znaxodΩennq
jmovirnosti bankrutstva straxovo] kompani], rozmiry pred’qvlenyx pozoviv do
qko] magt\ hamma-rozpodil z parametramy ( n, α ) , tobto
ϕ1( )u = 1
1
1
1
0
1 1
1
0
1 1
−
−
+ + + −
−
+ + − − + + − −
∫ ∫
u r c n n y u r c n n yy e
n
dy u r c y
y e
n
dy
( ) ( )
( )!
( ( ) )
( )!
α ϕ αα α
, (21)
ϕ2( )u = 1
1
1
1
0
1 1
2
0
1 1
−
−
+ + + −
−
+ + − − + + − −
∫ ∫
u r c n n y u r c n n yy e
n
dy u r c y
y e
n
dy
( ) ( )
( )!
( ( ) )
( )!
α ϕ αα α
. (22)
Vidnimagçy (22) vid (21), otrymu[mo
ϕ ϕ1 2( ) ( )u u− =
α ϕ ϕ
αn n yu r c
y e
n
u r c y u r c y dy
− −+ +
−
+ + − − + + −( )∫
1
1 2
0
1
1
1 1
( )!
( ( ) ) ( ( ) )
( )
. (23)
Dali, nexaj ln = max ( )
0≤ <∞y
z y , de z ( y ) =
α αn n yy e
n
− −
−
1
1( )!
, pryçomu max ( )
0≤ <∞y
z y , qk
nevaΩko pereviryty, dosqha[t\sq v toçci y = α
n −1
. OtΩe, skorystavßys\ cym
ta vykonavßy u (23) zaminu u r c y( )1 + + − = u1 , budemo maty ocinku
ϕ ϕ1 2( ) ( )u u− ≤
0
1
1 1 2 1 1
u r c
nl u u du
( )
( ) ( )
+ +
∫ −ϕ ϕ . (24)
Zafiksu[mo dovil\ne dodatne male ε . Odnoznaçnist\ rozv’qzku bude dovedeno,
qkwo my pokaΩemo, wo dlq napered zadanoho maloho ε vykonu[t\sq nerivnist\
sup ( ) ( )
[ ; ]u
u u
∈ ∞
−
0
1 2ϕ ϕ ≤ ε . (25)
Oskil\ky lim ( )
u
u
→∞
ϕ1 = lim ( )
u
u
→∞
ϕ2 = 0 (ce pryrodna umova dlq jmovirnosti
bankrutstva straxovo] kompani]), to dlq dodatnoho çysla ε / 2 znajdet\sq N
take, wo
sup ( ) ( )
[ ; ]u N
u u
∈ ∞
−ϕ ϕ1 2 ≤ ε
2
.
Todi
sup ( ) ( )
[ ; ]u
u u
∈ ∞
−
0
1 2ϕ ϕ ≤ sup ( ) ( )
[ ; ]u N
u u
∈
−
0
1 2ϕ ϕ + sup ( ) ( )
[ ; ]u N
u u
∈ ∞
−ϕ ϕ1 2 ≤
≤ sup ( ) ( )
[ ; ]u N
u u
∈
−
0
1 2ϕ ϕ + ε
2
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
456 B. V. BONDAR{V, T. V. ÛMYXOVA
Dali, vykorystovugçy (24), ma[mo
ϕ ϕ1 2( ) ( )u u− ≤
0
1
1 1 2 1 1
u r c
nl u u du
( )
( ) ( )
+ +
∫ −ϕ ϕ ≤
≤ l u u du dun
u r c u r c
2
0
1
0
1
1 2 2 2 1 2
1( ) ( )
( ) ( )
+ + + +
∫ ∫ −ϕ ϕ ≤ …
… ≤ l u u du dun
m
u r c u r c u r c u r c
m m m
m
0
1
0
1
0
1
0
1
1 2 1
1 2 1( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
+ + + + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫… − …
−
ϕ ϕ .
Z ohlqdu na te, wo ϕ ϕ1 2( ) ( )u um m− ≤ 1, otrymu[mo
l u u du dun
m
u r c u r c u r c u r c
m m m
m
0
1
0
1
0
1
0
1
1 2 1
1 2 1( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
+ + + + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫… − …
−
ϕ ϕ ≤
≤ l du dun
m
u r c u r c u r c u r c
m
m
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1 2 1( ) ( ) ( ) ( )+ + + + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫… …
−
≤
≤ l u r c du dun
m
u r c u r c u r c u r c
m m
m
0
1
0
1
0
1
0
1
1 1 1
1 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ( ) )
+ + + + + + + +
− −∫ ∫ ∫ ∫… + + …
−
≤
≤
l
r
u r c r c du dun
m u r cu r cu r c u r c
m m
m
2 1
1 1
0
1
0
1
0
1
0
1
2
2 2
1 2
1 2 3
!( )
( ( ) ( ) )
( ) ( ) ( ) ( )
+
… + + + + …
+ + + + + + + +
− −∫ ∫ ∫ ∫
−
≤
≤
l
r
n
m u r c u r c u r c
3 1 3
0
1
0
1
0
11 2
!( )
( ) ( ) ( )
+
+ + + + + +
∫ ∫ ∫ …
…
0
1
3
3 2 3
1 3
4
1 1 1
u r c
m m
m
u r c r c r c du du
− + +
− −∫ + + + + + + …
( )
( ( ) ( ) ( ) ) ≤ …
… ≤
l N r c
r
r
m r
n
m m
m m
m
( )
( )
!( )
1
1 1
1
+ + + −
+
.
OtΩe, ostatoçno
ϕ ϕ1 2( ) ( )u u− ≤
l N r c
r
r
m r
n
m m
m m
m
( )
( )
!( )
1
1 1
1
+ + + −
+
,
abo z vykorystannqm poznaçen\, wo buly vvedeni v (17),
ϕ ϕ1 2( ) ( )u u− ≤
l A N
m r
n
m m m
m
( )
!( )1+
. (26)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
ZNAXODÛENNQ JMOVIRNOSTI BANKRUTSTVA DLQ ODNI{} MODELI … 457
Dali, z uraxuvannqm formuly Sterlinha, a same m ! ≥ m
e
m
m
2π , (26) nabere
vyhlqdu
ϕ ϕ1 2( ) ( )u u− ≤
( ( ))
( ( ))
el A N
m r m
n
m m
m1 2+ π
,
tobto pry velykyx m
sup ( ) ( )
[ ; ]u N
u u
∈
−
0
1 2ϕ ϕ ≤ ε
2
.
Takym çynom, nerivnist\ (25) vykonu[t\sq.
Teoremu dovedeno.
5. Vysnovky. Znajdeno v qvnomu vyhlqdi jmovirnist\ bankrutstva straxovo]
kompani] za neskinçenne çyslo krokiv qk funkcig vid poçatkovoho kapitalu za
umovy, wo straxova kompaniq ma[ moΩlyvist\ u koΩen moment çasu k = 0, 1, 2,
3, … rozmiwaty svij kapital na bankivs\komu depozyti, a rozmiry pozoviv do
straxovo] kompani] opysugt\sq hamma-rozpodilom z parametramy ( n, α ) .
Avtory hlyboko vdqçni profesoru V. V. Volçkovu za plidne obhovorennq py-
tan\, wo rozhlqdagt\sq v cij statti.
1. Mel\nykov A. V. Rysk – menedΩment: stoxastyçeskyj analyz ryskov v πkonomyke fynansov
y straxovanyq. – M.: Ankyl, 2001.
2. Mel\nykov A. V., Volkov S. N., Neçaev M. L. Matematyka fynansov¥x obqzatel\stv. – M.:
HU VÍ∏, 2001.
3. Fjelstad J. E. On certain linear functional differential equations with constant coefficients // Arch.
Math. Naturvid. – 1949. – 50. – P. 1 – 64.
OderΩano 23.06.2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
|
| id | umjimathkievua-article-3319 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:40:15Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/dd/a420cda8e4cd18a37125db40dc7bd1dd.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33192020-03-18T19:51:20Z Evaluation of the probability of bankruptcy for a model of insurance company Знаходження ймовірності банкрутства для однієї моделі страхової компанії Bondarev, B. V. Zhmykhova, T. V. Бондарєв, Б. В. Жмихова, Т. В. A problem of calculating the probability of ruin of an insurance company in infinite number of steps is considered in the case where this company is able to invest its capital to a bank deposit at every time. As a distribution describing claim amounts to the insurance company, the gamma distribution with parameters $n$ and $\alpha$ is chosen. Рассмотрена задача нахождения вероятности разорения страховой компании за бесконечное число шагов, имеющей возможность в каждый момент времени размещать свой капитал на банковском депозите. В качестве распределения, описывающего размеры исков к страховой компании, было выбрано гамма-распределение с параметрами $n$ и $\alpha$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3319 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 4 (2007); 447–457 Український математичний журнал; Том 59 № 4 (2007); 447–457 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3319/3383 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3319/3384 Copyright (c) 2007 Bondarev B. V.; Zhmykhova T. V. |
| spellingShingle | Bondarev, B. V. Zhmykhova, T. V. Бондарєв, Б. В. Жмихова, Т. В. Evaluation of the probability of bankruptcy for a model of insurance company |
| title | Evaluation of the probability of bankruptcy for a model of insurance company |
| title_alt | Знаходження ймовірності банкрутства для однієї моделі страхової компанії |
| title_full | Evaluation of the probability of bankruptcy for a model of insurance company |
| title_fullStr | Evaluation of the probability of bankruptcy for a model of insurance company |
| title_full_unstemmed | Evaluation of the probability of bankruptcy for a model of insurance company |
| title_short | Evaluation of the probability of bankruptcy for a model of insurance company |
| title_sort | evaluation of the probability of bankruptcy for a model of insurance company |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3319 |
| work_keys_str_mv | AT bondarevbv evaluationoftheprobabilityofbankruptcyforamodelofinsurancecompany AT zhmykhovatv evaluationoftheprobabilityofbankruptcyforamodelofinsurancecompany AT bondarêvbv evaluationoftheprobabilityofbankruptcyforamodelofinsurancecompany AT žmihovatv evaluationoftheprobabilityofbankruptcyforamodelofinsurancecompany AT bondarevbv znahodžennâjmovírnostíbankrutstvadlâodníêímodelístrahovoíkompaníí AT zhmykhovatv znahodžennâjmovírnostíbankrutstvadlâodníêímodelístrahovoíkompaníí AT bondarêvbv znahodžennâjmovírnostíbankrutstvadlâodníêímodelístrahovoíkompaníí AT žmihovatv znahodžennâjmovírnostíbankrutstvadlâodníêímodelístrahovoíkompaníí |