Application of asymptotic methods to the investigation of one-frequency nonlinear oscillations of cylindrical shells interacting with moving fluid
We demonstrate the applicability of the Bogolyubov-Mitropol’skii asymptotic method to the construction of one-frequency solutions of a system of nonlinear equations used to describe the multimode free, forced, and parametrically excited vibrations of cylindrical shells interacting with moving fluid....
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3322 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509391760916480 |
|---|---|
| author | Koval’chuk, P. S. Kruk, L. A. Kubenko, V. D. Ковальчук, П. С. Крук, Л. А. Кубенко, В. Д. Ковальчук, П. С. Крук, Л. А. Кубенко, В. Д. |
| author_facet | Koval’chuk, P. S. Kruk, L. A. Kubenko, V. D. Ковальчук, П. С. Крук, Л. А. Кубенко, В. Д. Ковальчук, П. С. Крук, Л. А. Кубенко, В. Д. |
| author_sort | Koval’chuk, P. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:51:20Z |
| description | We demonstrate the applicability of the Bogolyubov-Mitropol’skii asymptotic method to the construction of one-frequency solutions of a system of nonlinear equations used to describe the multimode free, forced, and parametrically excited vibrations of cylindrical shells interacting with moving fluid. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:40:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9
V. D. Kubenko, P. S. Koval\çuk, L. A. Kruk (Yn-t mexanyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
PRYMENENYE ASYMPTOTYÇESKYX METODOV
DLQ YSSLEDOVANYQ ODNOÇASTOTNÁX NELYNEJNÁX
KOLEBANYJ CYLYNDRYÇESKYX OBOLOÇEK PRY
VZAYMODEJSTVYY S PODVYÛNOJ ÛYDKOST|G
We demonstrate the application of the Bogolyubov–Mitropol’skii asymptotic method to the construction
of one-frequency solutions of a system of nonlinear equations that describe multimode free, forced, and
parametrically excited oscillations of cylindrical shells under interaction with flowing fluid.
Pokazano zastosuvannq asymptotyçnoho metodu Boholgbova – Mytropol\s\koho do pobudovy
odnoçastotnyx rozv’qzkiv systemy nelinijnyx rivnqn\, wo opysugt\ bahatomodovi vil\ni, vymu-
ßeni ta parametryçno zbudΩuvani kolyvannq cylindryçnyx obolonok pry vza[modi] z ruxomog
ridynog.
Nelynejn¥e zadaçy ob ustojçyvosty y kolebanyqx tonkyx cylyndryçeskyx obo-
loçek, vzaymodejstvugwyx s protekagwej vnutry yx Ωydkost\g, predstavlq-
gt suwestvenn¥j ynteres dlq rasçetov raznoobrazn¥x truboprovodn¥x system
na dynamyçeskug proçnost\ y πkspluatacyonnug nadeΩnost\. SloΩnost\ re-
ßenyq takoho roda zadaç obuslovlena preΩde vseho tem, çto dlq korrektnoho
opysanyq dynamyçeskyx processov, xarakteryzugwyx povedenye oboloçeçno-
Ωydkostnoho obæekta, neobxodymo rassmatryvat\ mnohomern¥e nelynejn¥e
rasçetn¥e modely [1 – 3], t. e. yssledovat\ nelynejn¥e kolebatel\n¥e system¥
so mnohymy stepenqmy svobod¥. Kak yzvestno [4, 5], takye modely podças trud-
no (naprymer, pry nalyçyy vnutrennyx rezonansov) poddagtsq posledovatel\-
nomu analyzu y ne dopuskagt rqda kaçestvenn¥x y nahlqdn¥x pryemov, kotor¥e
vozmoΩno prymenyt\ dlq nelynejn¥x system s odnoj stepen\g svobod¥. Ewe
odna osobennost\ obsuΩdaem¥x zadaç zaklgçaetsq v tom, çto dejstvugwye na
oboloçku so storon¥ podvyΩnoj Ωydkosty syl¥ hydrodynamyçeskoho davlenyq
predstavlqgt soboj specyfyçeskye nekonservatyvn¥e, zavysqwye ot skorostej
deformyrovanyq πtoj oboloçky syl¥, xarakteryzuem¥e nesymmetryçn¥my mat-
rycamy koπffycyentov. Pry opredelenn¥x („krytyçeskyx”) skorostqx dvyΩe-
nyq Ωydkosty takye syl¥ mohut obuslovyt\ dynamyçeskug poterg ustojçyvos-
ty nesuwej oboloçky [1], vsledstvye çeho voznyknut neosesymmetryçn¥e kole-
banyq s prohressyrugwymy amplytudamy.
V nedavno opublykovann¥x rabotax (sm., naprymer, [2, 3]) vperv¥e b¥ly ras-
smotren¥ nelynejn¥e zadaçy o kolebanyqx vzaymodejstvugwyx s Ωydkost\g
cylyndryçeskyx oboloçek, modelyruem¥x systemamy so mnohymy stepenqmy
svobod¥. Pry πtom dlq postroenyq reßenyj ysxodn¥x system nelynejn¥x
uravnenyj kolebanyj prymenqlys\ nekotor¥e sovremenn¥e çyslenn¥e metod¥
(v çastnosty, prohrammn¥j paket AUTO y dr.). V dannoj rabote dlq rasçeta
mnohoparametryçeskyx (ynaçe, mnohomodov¥x) kolebanyj oboloçek koneçnoj
dlyn¥, nesuwyx podvyΩnug Ωydkost\, predlahaetsq yspol\zovat\ razrabotan-
n¥j N.>N.>Boholgbov¥m y G.>A. Mytropol\skym asymptotyçeskyj metod, ory-
entyrovann¥j na yssledovanye odnoçastotn¥x reΩymov v nelynejn¥x systemax
so mnohymy stepenqmy svobod¥ [4, 5]. Predpolahaetsq takΩe, çto krome vzay-
modejstvyq s potokom Ωydkosty oboloçka moΩet podverhat\sq dejstvyg vneß-
nyx peryodyçeskyx nahruzok — kak popereçnoj, neravnomerno raspredelennoj
po bokovoj poverxnosty, tak y prodol\noj, pryloΩennoj k torcev¥m seçenyqm.
Skorost\ dvyΩenyq Ωydkosty v oboloçke moΩet b¥t\ postoqnnoj lybo soder-
Ωawej mal¥e po amplytude pul\sacyonn¥e slahaem¥e.
1. Ysxodnug systemu mnohomern¥x nelynejn¥x uravnenyj, kotor¥e opys¥-
vagt dynamyku zapolnenn¥x podvyΩnoj Ωydkost\g kruhov¥x cylyndryçeskyx
oboloçek, podverΩenn¥x dejstvyg vneßnyx peryodyçeskyx nahruzok, v obwem
sluçae moΩno svesty k vydu (sm., naprymer, [1 – 3, 6, 7])
© V. D. KUBENKO, P. S. KOVAL|ÇUK, L. A. KRUK, 2007
476 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
PRYMENENYE ASYMPTOTYÇESKYX METODOV DLQ YSSLEDOVANYQ … 477
˙̇ ( cos ) ˙ ˙f U t f h f U fk k k k k k k jk j
j
n
+ − − + +
=
∑ω α εγ ν β2 2
1
=
= ε εF f Q tk p k({ }) cos+ Ω . (1.1)
Zdes\ ḟ =
df
dt
k ; ˙̇f =
d f
dt
k
2
2 , k = 1, 2, … , n; fk — neyzvestn¥e funkcyy vremeny,
ymegwye sm¥sl obobwenn¥x koordynat oboloçky; { }ω = { , , , }ω ω ω1 2 … n —
çastotn¥j spektr oboloçky s uçetom vlyqnyq prysoedynennoj mass¥ Ωydkos-
ty; U — postoqnnaq yly peremennaq skorost\ dvyΩenyq Ωydkosty, napravlen-
naq vdol\ osy oboloçky; αk
, βjk — postoqnn¥e koπffycyent¥, xarakteryzug-
wye dejstvye hydrodynamyçeskoho davlenyq, pryçem parametr¥ βjk moΩno
predstavyt\ tak: βjk = β βjk jk
( ) ( )1 2+ , hde β jk
( )1 = βkj
( )1 , β jk
( )2 = – βkj
( )2 ; γk y Qk —
postoqnn¥e parametr¥, opredelqgwye amplytudn¥e urovny sootvetstvenno
prodol\noho s çastotoj ν y popereçnoho s çastotoj Ω peryodyçeskyx vozdej-
stvyj na oboloçku; F fk p( ){ } — nelynejn¥e analytyçeskye funkcyy peremen-
n¥x f f fn1 2, , ,… vyda [2, 8]
Fk =
p
n
q
n
r
n
pqr
k
p q rf f f
= = =
∑ ∑ ∑
1 1 1
δ( )
, δ pqr
k( ) = const; (1.2)
hk — parametr¥ dempfyrovanyq; ε — mal¥j parametr ( 0 < ε << 1 ) .
Takym obrazom, mal¥my velyçynamy v systeme (1.1) predpolahagtsq çlen¥,
obuslovlenn¥e heometryçeskoj nelynejnost\g oboloçky (obosnovannost\ πto-
ho tezysa pryvedena v [8]), a takΩe vneßnye vozdejstvyq, poskol\ku v dal\nej-
ßem predpolahaetsq rassmatryvat\ predstavlqgwye naybol\ßyj praktyçes-
kyj ynteres rezonansn¥e kolebanyq πtoj oboloçky [4].
2. Dlq postroenyq odnoçastotn¥x asymptotyçeskyx reßenyj obwej syste-
m¥ (1.1) neobxodymo, çtob¥ sootvetstvugwaq ej nevozmuwennaq systema
˙̇ ( ) ˙ ˙f U f h f U fk k k k k k jk j
j
n
+ − + +
=
∑ω α β2 2
1
= 0 , (2.1)
poluçennaq yz (1.1) pry ε = 0, udovletvorqla opredelenn¥m trebovanyqm [4, 5]
(zdes\ y dalee yndeks k prynymaet celoçyslennoe znaçenye yz yntervala 1 ≤
≤ k ≤ n ) .
PredpoloΩym, çto skorost\ dvyΩenyq Ωydkosty v oboloçke postoqnna, t. e.
U = U0 = const. Rassmotrym preΩde zadaçu o svobodn¥x kolebanyqx system¥
(1.1), poloΩyv γk = 0, Qk = 0. Yz obweho vyda nevozmuwennoj system¥ (2.1)
sleduet, çto statyçeskye reßenyq v nej, krome tryvyal\n¥x, nevozmoΩn¥
(sluçaj ω αk kU
2 2− = 0 sootvetstvuet, kak yzvestno [1], nekolebatel\n¥m
formam deformyrovanyq oboloçky typa dyverhencyq y poπtomu yz rassmotre-
nyq ysklgçaetsq). Vsledstvye uçeta dempfyrovanyq vnutrennye rezonans¥ v
(2.1) budut otsutstvovat\. V to Ωe vremq nezatuxagwye harmonyçeskye koleba-
nyq, opys¥vaem¥e systemoj (2.1) y zavysqwye ot dvux proyzvol\n¥x postoqn-
n¥x, vozmoΩn¥ lyß\ pry opredelenn¥x znaçenyqx skorostej U0 . Dlq yx na-
xoΩdenyq sostavym xarakterystyçeskoe uravnenye dlq system¥ (2.1), poloΩyv
fk = C ek
i tλ ( Ck = const, i λ = s — xarakterystyçeskyj pokazatel\, i = −1 ) :
( )− + − + +λ ω α λ δ β λ2 2
0
2
0k k k jk jkU h i U i = 0, j = 1, 2, … , n. (2.2)
Zdes\ δ jk — symvol Kronekera.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
478 V. D. KUBENKO, P. S. KOVAL|ÇUK, L. A. KRUK
Esly vse pokazately s naxodqtsq v levoj poluploskosty kompleksnoj pe-
remennoj, nevozmuwennaq forma nesuwej oboloçky vsehda budet ustojçyva y,
takym obrazom, samovozbuΩdaem¥e kolebanyq ne budut voznykat\ v rassmatry-
vaemoj systeme.
Naymen\ßee znaçenye skorosty U0 (oboznaçym eho U0
∗
) , pry kotorom odyn
yz pokazatelej s perexodyt na pravug poluploskost\ (ostavaqs\ pry πtom kom-
pleksn¥m), naz¥vaetsq krytyçeskoj skorost\g dvyΩenyq Ωydkosty. Sootvet-
stvugwug πtoj skorosty çastotu voznykagwyx kolebanyj oboznaçym λ∗ . Ee
opredelqem yz uravnenyq (2.2), v kotorom polahaem U U0 0= ∗ .
S uçetom yzloΩenn¥x v¥ße zameçanyj y predpoloΩenyj moΩno perexodyt\
k postroenyg odnoçastotn¥x (s bazovoj çastotoj λ ∗ ) peryodyçeskyx reßenyj
system¥ (1.1). Reßenye budem yskat\ v okrestnosty krytyçeskoho znaçenyq
skorosty U0
∗ , poloΩyv U U0 0 1= +∗ ε∆ , hde ε∆1 — malaq „rasstrojka” skoros-
tej. Ohranyçyvßys\ poka perv¥m pryblyΩenyem, predstavym πto reßenye v so-
otvetstvyy s [4, 5] v vyde
fk = a e ek
i
k
i( )ϕ ϕψ ψ+ − , k = 1, 2, … , n, (2.3)
hde ϕk — netryvyal\n¥e reßenyq system¥ odnorodn¥x alhebrayçeskyx uravne-
nyj
j
n
k k k jk jk jU h i U i
=
∗
∗
∗
∗
∗∑ − + − + +
1
2 2
0
2
0[( ) ]λ ω α λ δ β λ ϕ = 0; (2.4)
ϕk — kompleksno-soprqΩenn¥e velyçyn¥; a y ψ — neyzvestn¥e funkcyy
vremeny, opredelqem¥e yz uravnenyj
da
dt
= εA a1( ) ,
d
dt
ψ
= λ ε∗ + B a1( ) . (2.5)
Neyzvestn¥e velyçyn¥ A a1( ) y B a1( ) naxodym po yzloΩennoj v [4] meto-
dyke. S πtoj cel\g predstavym ysxodnug nelynejnug systemu (1.1), s uçetom
prynqt¥x uslovyj γk = 0, Qk = 0, v vyde
˙̇ ( ) ˙ ˙f U f h f U fk k k k k k jk j
j
n
+ − + +∗ ∗
=
∑ω α β2
0
2
0
1
=
= ε δ α β ε
p
n
q
n
r
n
pqr
k
p q r k k jk j
j
n
f f f U f U f
= = =
∗ ∗
=
∑ ∑ ∑ ∑+ −
+ …
1 1 1
0 1 0 1
1
22( ) ˙ ( )∆ ∆ (2.6)
y opredelym vxodqwye v πtu systemu proyzvodn¥e (s toçnost\g do velyçyn,
proporcyonal\n¥x ε v pervoj stepeny):
ḟk = ai e e A e ek
i
k
i
k
i
k
iλ ϕ ϕ ε ϕ ϕψ ψ ψ ψ
∗
− −+ + +( ) [ ( )1 +
+ aiB e ek
i
k
i
1
2( )] ( )ϕ ϕ εψ ψ− + …− ,
(2.7)
˙̇fk = – a e e ai A e ek
i
k
i
k
i
k
iλ ϕ ϕ ε λ ϕ ϕψ ψ ψ ψ
∗
−
∗
−+ + −2
12( ) [ ( ) –
– 2 1
2ai B e ek
i
k
iλ ϕ ϕ εψ ψ
∗
−+ + …( )] ( ) .
Nelynejn¥e funkcyy Fk ( )… (1.2) zapyßem v vyde razloΩenyq po harmonykam
± k iψ , k = 1, 3 :
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
PRYMENENYE ASYMPTOTYÇESKYX METODOV DLQ YSSLEDOVANYQ … 479
Fk ( )… = M a e N a e M a e N a ek
i
k
i
k
i
k
i
1
3
1
3
2
3 3
2
3 3ψ ψ ψ ψ+ + +− − , (2.8)
hde
Mk1 =
p
n
q
n
r
n
pqr
k
p q p q r p q r
= = =
∑ ∑ ∑ + +
1 1 1
δ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ( ) [( ) ],
Nk1 =
p
n
q
n
r
n
pqr
k
p q p q r p q r
= = =
∑ ∑ ∑ + +
1 1 1
δ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ( ) [( ) ], (2.9)
Mk2 =
p
n
q
n
r
n
pqr
k
p q r
= = =
∑ ∑ ∑
1 1 1
δ ϕ ϕ ϕ( ) , Nk2 =
p
n
q
n
r
n
pqr
k
p q r
= = =
∑ ∑ ∑
1 1 1
δ ϕ ϕ ϕ( ) .
Podstavlqq (2.3), (2.7), (2.8) v uravnenyq (2.6) y hruppyruq çlen¥ pry eiψ
y
e i− ψ , poluçaem sootvetstvenno takye system¥ uravnenyj:
( )ω λ α λ ϕ λ β ϕk k k k jk j
j
n
U h i a i U a2 2
0
2
0
1
− − + +∗
∗
∗ ∗
∗
=
∑ = εG ak1 ( ),
(2.10)
( )ω λ α λ ϕ λ β ϕk k k k jk j
j
n
U h i a i U a2 2
0
2
0
1
− − − −∗
∗
∗ ∗
∗
=
∑ = εG ak2 ( ) .
Zdes\
εG ak1 ( ) = ε λ ϕ β ϕM a A iaB i h Uk k k jk j
j
n
1
3
1 1 0
1
2− + + +
∗
∗
=
∑( ) ( ) +
+ ∆1 0
1
2α ϕ λ β ϕk k jk j
j
n
U i a∗
∗
=
−
∑ ,
(2.11)
εG ak2 ( ) = ε λ ϕ β ϕN a A iaB i h Uk k k jk j
j
n
1
3
1 1 0
1
2+ − − −
∗
∗
=
∑( ) ( ) +
+ ∆1 0
1
2α ϕ λ β ϕk k jk j
j
n
U i a∗
∗
=
+
∑ .
Otmetym, çto opredelytely „nevozmuwenn¥x” system (2.10) (kohda ε = 0 )
ravn¥ nulg. V svqzy s πtym dlq suwestvovanyq peryodyçeskyx reßenyj fk y
odnoznaçnoho opredelenyq neyzvestn¥x funkcyj A a1( ) y B a1( ) v (2.5) neob-
xodymo y dostatoçno v¥polnenye uslovyj [4]
k
n
k kG a
=
∑
1
1 ( )χ = 0 dlq s i= + ∗λ ,
k
n
k kG a
=
∑
1
2 ( ) χ = 0 dlq s i= − ∗λ , (2.12)
hde χk — netryvyal\n¥e, sootvetstvugwye xarakterystyçeskomu pokazatelg
s i= + ∗λ reßenyq soprqΩennoj po otnoßenyg k (2.4) system¥ odnorodn¥x
alhebrayçeskyx uravnenyj, a ymenno,
j
n
k k k jk kj jU h i U i
=
∗
∗ ∗
∗
∗∑ − − − −
1
2
0
2 2
0[( ) ]ω α λ λ δ β λ χ = 0, (2.13)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
480 V. D. KUBENKO, P. S. KOVAL|ÇUK, L. A. KRUK
χk — kompleksno-soprqΩenn¥e velyçyn¥, sootvetstvugwye druhomu pokaza-
telg s i= − ∗λ .
Vvedem oboznaçenyq
k
n
k kM
=
∑
1
1 χ = k ik1 2+ ,
k
n
k k jk j
j
n
ki h U
=
∗
∗
=
∑ ∑+ +
1
0
1
2( )λ ϕ β ϕ χ = k ik3 4+ , (2.14)
k
n
k k jk j
j
n
kU i
=
∗
∗
=
∑ ∑−
1
0
1
2α ϕ λ β ϕ χ = k ik5 6+ .
Zdes\ k k1 6÷ — dejstvytel\n¥e parametr¥. Tohda yz pervoho uravnenyq (2.12)
poluçym sledugwye v¥raΩenyq dlq yskom¥x funkcyj A1 y B1 :
A a1( ) = β β0 1 1
3∆ a a+ , B a1( ) = β β2 1 3
2∆ + a , (2.15)
hde
β0 =
1
0
2 3 5 4 6k
k k k k( )+ , β1 =
1
0
2 1 3 2 4
k
k k k k( )+ ,
(2.16)
β2 =
1
0
2 3 6 4 5k
k k k k( )− , β3 = 1
0
2 2 3 1 4
k
k k k k( )− , k0
2 = k k3
2
4
2+ .
Analohyçn¥e (2.15) sootnoßenyq moΩno poluçyt\ y yz vtoroho uravne-
nyq>>(2.12).
Takym obrazom, v¥veden¥ uravnenyq, s pomow\g kotor¥x moΩno opredelqt\
v pervom pryblyΩenyy amplytud¥ nezatuxagwyx kolebanyj, opys¥vaem¥x
systemoj (1.1), vblyzy hranyc¥ dynamyçeskoj potery ustojçyvosty, t. e. pry
U U0 0≈ ∗ . Ustanovyvßyesq kolebanyq zdes\ vozmoΩn¥ pry v¥polnenyy uslovyj
β0 > 0, β 1 < 0, kotor¥e v sluçae U U0 0> ∗
ob¥çno v¥polnqgtsq dlq real\-
n¥x oboloçeçno-Ωydkostn¥x system [9].
Stacyonarnoe znaçenye amplytud¥ kolebanyj a = a0 pry prynqt¥x uslo-
vyqx opredelqetsq yz sootnoßenyq
a0 = − β
β
0 1
1
∆
, ∆1 > 0. (2.17)
3. Yspol\zovav yzloΩenn¥e v¥ße rezul\tat¥, rassmotrym odnoçastotn¥e
kolebanyq v systeme (1.1) pry Qk ≠ 0, γk = 0, k = 1 ÷ n , t. e. pry dejstvyy na
bokovug poverxnost\ oboloçky vneßnej harmonyçeskoj syl¥. Po-preΩnemu
polahaem U = U0 ≈ U0
∗
y ohranyçymsq rassmotrenyem rezonansnoho sluçaq,
kohda λ ∗ ≈ Ω . PryblyΩennoe reßenye uravnenyj (1.1) budem yskat\ v vyde
fk = a e ek
i
k
i( )ϕ ϕψ ψ+ − , (3.1)
hde ψ θ= +Ωt , a y θ — medlenno yzmenqgwyesq funkcyy vremeny, kotor¥e,
v otlyçye ot (2.5), opredelqgtsq dyfferencyal\n¥my uravnenyqmy vyda
da
dt
= ε θA a1( , ) ,
d
dt
θ
= λ ε θ∗ − +Ω B a1( , ). (3.2)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
PRYMENENYE ASYMPTOTYÇESKYX METODOV DLQ YSSLEDOVANYQ … 481
Dlq naxoΩdenyq neyzvestn¥x funkcyj A1 y B1 yspol\zuem yzloΩennug
ranee metodyku. Predstavym harmonyçeskye vozdejstvyq Qk cos Ωt v vyde
Qk cos Ωt =
Q
i e i ek i i
2
(cos sin ) (cos sin )θ θ θ θψ ψ− + +[ ]−
y vvedem oboznaçenyq
1
2 1k
n
k kQ
=
∑ χ = q iq1 2+ , ε ∆0 = λ∗ − Ω.
Na osnovanyy uravnenyj (2.12) s uçetom (2.16) poluçym ravenstva
A a1( , )θ = β β θ θ0 1 1
3
1 1∆ a a R S+ + +cos sin , (3.3)
B a1( , )θ = β β θ θ2 1 3
2
1 1
1∆ + + −a
a
S R( cos sin ).
Zdes\
R1 =
q k q k
k
1 3 2 4
0
2
+
, S1 =
q k q k
k
2 3 1 4
0
2
−
,
a parametr¥ β β0 3÷ opredelqgtsq sohlasno (2.16).
Rassmotrym stacyonarn¥e reΩym¥ odnoçastotn¥x v¥nuΩdenn¥x kolebanyj
rassmatryvaemoj system¥, poloΩyv
da
dt
= 0,
d
dt
θ = 0. S uçetom (3.3) poluçym
amplytudno-çastotnug xarakterystyku (AÇX) ustanovyvßyxsq kolebanyj v ys-
sleduemoj rezonansnoj oblasty:
∆0 = – β β β β2 1 3 0
2
2
0
2 0 1 1 0
2 2∆ ∆− ± − +a
T
a
a( ) , (3.4)
hde T
2 =
q q
k
1
2
2
2
0
2
+
.
Oçevydno, çto uravnenye (3.4) moΩet ymet\ neskol\ko reßenyj dlq ustano-
vyvßyxsq amplytud a = a0 . Dlq v¥qsnenyq voprosa ob ustojçyvosty kaΩdoho
yz πtyx reßenyj neobxodymo yssledovat\ uravnenyq v varyacyqx, sostavlenn¥e
dlq system¥ (3.2) s uçetom (3.3). Uslovyq ustojçyvosty, kotor¥e v obwem slu-
çae moΩno predstavyt\ v vyde [4]
∂
∂
+ ∂
∂
A
a
B1 1
θ
< 0,
∂
∂
∂
∂
− ∂
∂
∂
∂
A
a
B A B
a
1 1 1 1
θ θ
> 0,
s uçetom (3.4) svodqtsq k neravenstvam vyda
β1
2a < –
β0
12
∆ , ( )( ) ( ) ( )β β β β β0 1 1
2
0 1 1
2 2
3
23 2∆ ∆+ + + +a a H a H a a > 0, (3.5)
hde
H ( a ) = ∆ ∆0 2 1 3
2+ +β β a .
S uçetom uslovyj β0 > 0, β1 < 0 pervoe yz neravenstv (3.5) πkvyvalentno
sledugwemu: a2 > a0
2 2/ , hde a0 — amplytuda ustojçyv¥x stacyonarn¥x ko-
lebanyj v avtonomnoj systeme (1.1) (kohda γk = 0, Qk = 0 ), opredelqemaq po
formule (2.17). Takym obrazom, pry U0 > U0
∗
ustojçyv¥e v¥nuΩdenn¥e kole-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
482 V. D. KUBENKO, P. S. KOVAL|ÇUK, L. A. KRUK
banyq nesuwej oboloçky s çastotoj Ω (reΩym prynudytel\noj „synxronyza-
cyy” [10]) vozmoΩn¥ lyß\ s amplytudamy, prev¥ßagwymy velyçynu a0 2/ ,
y realyzugtsq v nekotoroj ohranyçennoj çastotnoj oblasty Ω 1 < Ω < Ω 2 ,
ßyryna kotoroj proporcyonal\na urovng vneßneho harmonyçeskoho
vozdejstvyq. Pry U0 → U0
∗
ukazannaq çastotnaq oblast\ rasßyrqetsq,
poskol\ku v πtom sluçae a0 → 0, y v predele ( pry U 0 = U0
∗
) ustojçyv¥e
kolebanyq realyzugtsq vo vsej rezonansnoj zone.
Narußenye vtoroho yz kryteryev (3.5) proysxodyt v tex toçkax amplytudno-
çastotnoj xarakterystyky (3.4), v kotoroj kasatel\n¥e k nym stanovqtsq ver-
tykal\n¥my. Otmetym, çto takaq sytuacyq vozmoΩna v sluçae, kohda uravnenye
(3.4) ymeet try dejstvytel\n¥x kornq a
2 = a
2
( ∆0 ) . V ynom sluçae ( pry su-
westvovanyy lyß\ odnoho dejstvytel\noho kornq dlq kaΩdoho yz ∆ 0 ) verty-
kal\n¥x kasatel\n¥x k AÇX net y, takym obrazom, opredelqgwym kryteryem,
rehlamentyrugwym ustojçyvost\ (neustojçyvost\) rassmatryvaemoj system¥,
stanovytsq perv¥j yz kryteryev (3.5).
4. Pry parametryçeskom vozbuΩdenyy system¥ (1.1) ( γk ≠ 0, Qk = 0, k =
= 1 ÷ n ) naybol\ßyj praktyçeskyj ynteres predstavlqet yssledovanye odno-
çastotn¥x kolebanyj pry hlavnom demul\typlykacyonnom rezonanse [4], kohda
λ∗ ≈ ν / 2 . V reßenyy (3.1) y v systeme (3.2) v dannom sluçae sleduet zamenyt\
çastotu Ω na ν / 2 . Esly uçest\ ravenstvo
γk cos ν t =
γ θ θ θ θψ ψk i ie i e
2
2 2 2 22 2(cos sin ) (cos sin )− + +[ ]−
y yspol\zovat\ oboznaçenye
ε γ ϕ χ
2 1
k k k
k
n
=
∑ = p ip1 2+ ,
hde p1 , p2 — dejstvytel\n¥e velyçyn¥, to systema uravnenyj (3.2) dlq oprede-
lenyq amplytud¥ y faz¥ parametryçeskyx kolebanyj prymet sledugwyj vyd:
da
dt
= ε β β θ θ0 1 1
3
2 22 2∆ a a R S a+ + +[ ]( cos sin ) ,
(4.1)
d
dt
θ
= λ ν ε β β θ θ∗ − + + + −[ ]/ ( cos sin )2 2 22 1 3
2
2 2∆ a S R ,
hde
R2 =
p k p k
k
1 3 2 4
0
2
+
, S2 =
p k p k
k
2 3 1 4
0
2
−
;
ostal\n¥e parametr¥ opredelqgtsq yz sootnoßenyj (2.16).
Osobennost\g rassmatryvaemoj zdes\ zadaçy qvlqetsq to, çto dynamyçeskaq
neustojçyvost\ yssleduemoj system¥ moΩet b¥t\ obuslovlena odnovremenno
dvumq faktoramy: vneßnej parametryçeskoj nahruzkoj y nekonservatyvn¥my
sylamy, v¥zvann¥my Ωydkostn¥m potokom. Poπtomu celesoobrazno vnaçale ys-
sledovat\ ustojçyvost\ tryvyal\noho reßenyq a = 0 na baze lynejn¥x çastej
uravnenyj (4.1). S πtoj cel\g vvedem nov¥e peremenn¥e u y ν sohlasno for-
mulam
u = acos( )θ θ− 0 , ν = asin( )θ θ− 0 ,
hde θ0 =
1
2
2
2
arctg
S
R
. V rezul\tate poluçym systemu uravnenyj
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
PRYMENENYE ASYMPTOTYÇESKYX METODOV DLQ YSSLEDOVANYQ … 483
du
dt
= ε β β ν( ) ( )0 1 0 2 1∆ ∆ ∆+ − +[ ]M u ,
d
dt
ν
= ε β ν β( ) ( )0 1 0 2 1∆ ∆ ∆− + +[ ]M u ,
v kotoroj
M = R S2
2
2
2+ =
p p
k
1
2
2
2
0
2
+
, ε ∆0 = λ ν
∗ −
2
.
Tryvyal\noe reßenye πtoj system¥ u = 0, ν = 0 budet ustojçyvo, esly xa-
rakterystyçeskoe uravnenye
λ εβ λ ε β β2
0 1
2
0 2 1
2
0
2
1
2 22− + + + −[ ]( ) ( ) ( )∆ ∆ ∆ ∆ M = 0
( λ — xarakterystyçeskyj pokazatel\) ymeet korny s otrycatel\n¥my dejstvy-
tel\n¥my çastqmy. Poskol\ku
λ1 2, = εβ ε β0 1
2
0 2 1
2∆ ∆ ∆± − +M ( ) ,
oçevydno, çto uslovye Re λ < 0 budet v¥polnqt\sq v dvux sluçaqx:
β0 1 0∆ < pry M2
0 2 1
2< +( )∆ ∆β ,
(4.2)
β β0 1
2
0 2 1
2∆ ∆ ∆+ − +M ( ) < 0 pry M2
0 2 1
2> +( )∆ ∆β .
Pust\ β0 > 0 (o vozmoΩnosty v¥polnenyq takoho uslovyq prymenytel\no k
zapolnenn¥m Ωydkost\g oboloçkam ßla reç\ v p.>2). Yz (4.2) sleduet, çto pry
otsutstvyy parametryçeskoho vozbuΩdenyq neustojçyvost\ poloΩenyq ravno-
vesyq u = 0, ν = 0 vsehda ymeet mesto pry U0 > U0
∗ . Esly ∆1 = 0, to ob-
last\ dynamyçeskoj neustojçyvosty (ODN) opredelqetsq tak:
ν1 < ν < ν2, (4.3)
hde ν1, 2 = 2( )λ∗ ∓ M .
Esly Ωe ∆1 < 0 ( U0 < U0
∗
) , samovozbuΩdenye odnoçastotn¥x kolebanyj
rassmatryvaemoj system¥ proyzojdet v ynoj çastotnoj oblasty
ν3 < ν < ν4. (4.4)
Zdes\ ν3, 4 =
2 2 1
2
0 1
2λ β β∗ + −[ ]∆ ∆∓ M ( ) .
Yz sravnenyq oblastej (4.3) y (4.4) moΩno zaklgçyt\, çto pry U0 < U0
∗
ODN neskol\ko suΩaetsq (po sravnenyg so sluçaem U0 = U0
∗
) y odnovremenno
smewaetsq v storonu ból\ßyx (pry β2 < 0 ) yly men\ßyx (pry β2 > 0 ) znaçe-
nyj çastot¥ parametryçeskoho vozbuΩdenyq.
Vernemsq k uravnenyqm (4.1) y opredelym na yx osnove AÇX dlq ustanovyv-
ßehosq odnoçastotnoho reΩyma kolebanyj. Ona budet ymet\ takoj vyd:
∆0 = – β β β β2 1 3 0
2 2
0 1 1 0
2 2∆ ∆− ± − +a M a( ) . (4.5)
V¥polnenye kryteryev
β β0 1 1
22∆ + a < 0,
(4.6)
( ) ( )β β β β β β β1
2
3
2 2
1 0 2 3 1 3 0+ + + +a ∆ ∆ > 0
obespeçyt ustojçyvost\ kornej a0 = a0 ( ∆0 ) uravnenyq (4.5) y pozvolyt, takym
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
484 V. D. KUBENKO, P. S. KOVAL|ÇUK, L. A. KRUK
obrazom, opredelyt\ ustojçyv¥e y neustojçyv¥e uçastky AÇX.
5. Analohyçn¥e v kaçestvennom otnoßenyy rezul\tat¥ rasçeta odnoçastot-
n¥x kolebanyj rassmatryvaemoj system¥ poluçaem pry parametryçeskom voz-
buΩdenyy kaçestvenno druhoho typa, obuslovlennoho, v çastnosty, pul\sacyq-
my skorosty dvyΩenyq Ωydkosty.
Pust\, naprymer, skorost\ Ωydkosty U v systeme (1.1) yzmenqetsq po zako-
nu
U = U t0 0 11( cos )+ εµ ν ,
hde U0 = const, ε µ0 — malaq amplytuda pul\sacyj skorosty y, krome toho, v¥-
polnqetsq uslovye λ ν∗ ≈ 1 2/ . Polahaem, çto oboloçka ne ysp¥t¥vaet vneß-
nyx vozdejstvyj ( γk = 0, Qk = 0, k = 1, 2, … , n ) . Uravnenyq dlq opredelenyq
amplytud¥ a y faz¥ θ kolebanyj
fk = a e ek
i
k
i( )ϕ ϕψ ψ1 1+ − , ψ1 =
ν θ1
2
t + ,
budut ymet\ vyd (4.1) s uçetom sledugwyx zamen:
R2 =
p k p k
k
11 3 12 4
0
2
+
, S2 =
p k p k
k
12 3 11 4
0
2
−
,
hde parametr¥ p11, p12 opredelqgtsq yz sootnoßenyq
µ α ϕ λ β ϕ χ0 0
1
0
12
U U
i
k
n
k k
j
n
jk j k
=
∗
=
∑ ∑+
= p i p11 12+ .
Amplytudno-çastotn¥e xarakterystyky y kryteryy ustojçyvosty sovpadut
po forme s (4.5), (4.6). Pry πtom sleduet prynqt\ ε∆0 = λ ν∗ − 1 2/ , M =
=
p p
k
11
2
12
2
0
2
+
. Kak vydno, v dannom sluçae AÇX v otlyçye ot (4.5) bolee sloΩ-
n¥m obrazom zavysyt ot velyçyn¥ krytyçeskoj skorosty Ωydkosty U0
∗
yz-za
M = M U( )0
∗ . Po πtoj Ωe pryçyne parametr U0
∗
okaΩet suwestvennoe vlyqnye
y na oblasty dynamyçeskoj neustojçyvosty (4.3) y (4.4).
6. Vse predstavlenn¥e ranee odnoçastotn¥e reßenyq system¥ (1.1) b¥ly
postroen¥ v pervom pryblyΩenyy, kotor¥m ob¥çno y ohranyçyvagtsq pry
praktyçeskom yssledovanyy nelynejn¥x kolebanyj oboloçeçno-Ωydkostn¥x
obæektov [1, 8, 11]. Yspol\zuq asymptotyçeskyj metod, moΩno postroyt\ takΩe
utoçnenn¥e odnoçastotn¥e reßenyq uravnenyj (1.1), sootvetstvugwye, v çast-
nosty, uluçßennomu pervomu pryblyΩenyg lybo bolee v¥sokym pryblyΩeny-
qm (proporcyonal\n¥m ε
2, ε
3
y t. d.). Dlq yllgstracyy rassmotrym pryve-
dennug v p.>2 zadaçu o svobodn¥x kolebanyqx oboloçky pry vzaymodejstvyy s
protekagwej s postoqnnoj skorost\g U = U0 Ωydkost\g. Uluçßennoe per-
voe pryblyΩenye system¥ (1.1) ( v kotoroj polahaem γk = 0, Qk = 0, k = 1,
2, … , n ) budem yskat\ v vyde (2.3) s uçetom mal¥x, proporcyonal\n¥x paramet-
ru ε vybracyonn¥x slahaem¥x [4]
fk = a e e u ak
i
k
i
k( ) ( , )ϕ ϕ ε ψψ ψ+ +−
1 . (6.1)
Zdes\ ψ = λ θ∗ +t ( λ∗ — çastota odnoçastnoho reΩyma, realyzuemoho pry U =
= U0
∗
); amplytuda a y faza θ, po-preΩnemu, opredelqgtsq yz uravne-
nyj>(2.5).
Dyfferencyruq (6.1) dvaΩd¥ po vremeny y prenebrehaq çlenamy, propor-
cyonal\n¥my ε v stepeny v¥ße pervoj, naxodym
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
PRYMENENYE ASYMPTOTYÇESKYX METODOV DLQ YSSLEDOVANYQ … 485
df
dt
k = ε ϕ ϕ ε εβ ϕ ϕ ε
θ
ψ ψ ψ ψA e e
u
a
e e ia
u
k
i
k
i k
k
i
k
i k
1
1
1
1+ + ∂
∂
+ − + ∂
∂
− −( ) +
+ ai e e
u
tk
i
k
i kλ ϕ ϕ εψ ψ
∗
−− + ∂
∂
( ) 1 ,
(6.2)
d f
dt
k
2
2 = 2 1
2
1ε ϕ ϕ λ εψ ψA e e i
u
a tk
i
k
i k( )− + ∂
∂ ∂
−
∗ –
– 2 1
2
1ε ϕ ϕ λ ε
θ
ψ ψB e e a
u
tk
i
k
i k( )+ − ∂
∂ ∂
−
∗ – ai e e
u
tk
i
k
i kλ ϕ ϕ εψ ψ
∗
−+ + ∂
∂
2
2
1
2( ) .
Kak y v p.>2, dalee polahaem U0 ≈ U0
∗ . Posle podstanovky (6.1), (6.2) v urav-
nenyq (1.1) poluçym systemu dlq opredelenyq yskom¥x funkcyj u ak1( , )ψ :
∂
∂
+ − + ∂
∂
+
∂
∂
∗ ∗
=
∑
2
1
2
2
0
2
1
1
0
1
1u
t
U u h
u
t
U
u
t
k
k k k k
k
j
n
jk
j( )ω α β =
= Φk k k
i
j
n
jk ja A iaB i h e U( , ) ( ) ( )ψ λ ϕ β ϕψ− + + +
∗
∗
=
∑1 1 0
1
2 +
+ ( ) ( )A iaB i h e Uk k
i
j
n
jk j1 1 0
1
2− − −
∗
− ∗
=
∑λ ϕ β ϕψ . (6.3)
Zdes\
Φk a( , )ψ =
m
k m
ima e
= −
∑
3
3
Φ , ( ) ψ , (6.4)
pryçem funkcyy amplytud¥ Φk m a, ( ) v¥raΩagtsq, s uçetom oboznaçenyj (2.9),
sledugwym obrazom:
Φk,1 = M a U i ak k k
j
n
jk j1
3
1 0
1
2+ −
∗
∗
=
∑∆ α ϕ λ β ϕ ,
Φk,−1 = N a U i ak k k
j
n
jk j1
3
1 0
1
2+ −
∗
∗
=
∑∆ α ϕ λ β ϕ , (6.5)
Φk,3 = M ak2
3, Φk,−3 = N ak2
3, Φk m, = 0 pry m = 0, ± 2.
Predstavym funkcyy uk1 v vyde razloΩenyq, analohyçno (6.4):
u ak1( , )ψ =
m
k
m imu a e
= −
∑
3
3
1
( )( ) ψ , (6.6)
hde u ak
m
1
( )( ) — parametr¥, podleΩawye opredelenyg. Podstavlqq (6.4), (6.6) v
uravnenyq (6.3) y pryravnyvaq koπffycyent¥ v levoj y pravoj çastqx pry od-
nyx y tex Ωe harmonykax, poluçaem dve system¥: pry m = 1
j
n
k k k jk jk jU h i U i u a
=
∗
∗ ∗
∗
∗∑ − − + +[ ]
1
2
0
2 2
0 1
1( ) ( )( )ω α λ λ δ β λ =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
486 V. D. KUBENKO, P. S. KOVAL|ÇUK, L. A. KRUK
= Φk k k
j
n
jk ja A iaB i h U, ( ) ( ) ( )1 1 1 0
1
2− + + +
∗
∗
=
∑λ ϕ β ϕ (6.7)
(analohyçnug systemu poluçym pry m = – 1 ) y pry m ≠ ± 1
j
n
k k k jk jk j
mU m h im U im u a
=
∗
∗ ∗
∗
∗∑ − − + +[ ]
1
2
0
2 2 2
0 1( ) ( )( )ω α λ λ δ β λ = Φk m a, ( ). (6.8)
Poskol\ku opredelytel\ system¥ (6.7) raven nulg, dlq suwestvovanyq vewest-
venn¥x peryodyçeskyx reßenyj u ak1( , )ψ neobxodymo y dostatoçno v¥polne-
nye uslovyj „ortohonal\nosty” (2.12). Na osnovanyy πtyx uslovyj opredelqgt-
sq neposredstvenno funkcyy A a1( ) y B a1( ) , kotor¥e v dannom sluçae budut
ymet\ vyd (2.15). Otmetym, çto uslovyq (2.12) predstavlqgt po suwestvu trebo-
vanye otsutstvyq v funkcyqx u ak1( , )ψ perv¥x harmonyk arhumenta ψ, vsled-
stvye çeho v yskom¥x reßenyqx u ak1( , )ψ ysklgçagtsq sekulqrn¥e çlen¥.
Reßaq systemu (6.8) po metodu Kramera, poluçaem sootnoßenye
u ak
m
1
( )( ) =
j
n
kj j mZ a
=
∑
1
Φ , ( ),
hde Zkj =
D im
D im
kj ( )
( )
λ
λ
∗
∗
, pryçem D imkj ( )λ∗ — sootvetstvugwye mynor¥ oprede-
lytelq D im( )λ∗ .
Takym obrazom, yskomaq funkcyq u ak1( , )ψ budet ymet\ vyd
u ak1( , )ψ =
m
m
j
n
kj j m
imZ a e
= −
≠ ±
=
∑ ∑
3
1
3
1
Φ , ( ) ψ .
Analohyçno moΩno postroyt\ reßenye y vo vtorom pryblyΩenyy, a takΩe v
sluçae neavtonomn¥x system (1.1), kohda Qk ≠ 0 y γk ≠ 0.
Takym obrazom, v rabote proyllgstryrovano prymenenye asymptotyçeskoho
metoda Boholgbova – Mytropol\skoho dlq rasçeta odnoçastotn¥x nelynejn¥x
kolebanyj zapolnenn¥x podvyΩnoj Ωydkost\g cylyndryçeskyx oboloçek, mo-
delyruem¥x systemamy so mnohymy stepenqmy svobod¥.
Odnoçastotn¥e reßenyq postroen¥ dlq trex razlyçn¥x sluçaev: svobodn¥x
samovozbuΩdaem¥x kolebanyj, obuslovlenn¥x vozdejstvyem specyfyçeskyx
nekonservatyvn¥x syl, v¥zvann¥x potokom Ωydkosty; v¥nuΩdenn¥x koleba-
nyj, obuslovlenn¥x dejstvyem na systemu oboloçka – podvyΩnaq Ωydkost\ po-
pereçnoho, neravnomerno raspredelennoho po bokovoj poverxnosty davlenyq;
parametryçeskyx kolebanyj, obuslovlenn¥x odnym yz dvux faktorov — pul\-
syrugwym sΩatyem torcev¥x seçenyj nesuwej oboloçky lybo pul\sacyqmy
skorosty Ωydkostnoho potoka. Postroenye reßenyj proyllgstryrovano kak v
pervom, tak y v uluçßennom pervom pryblyΩenyy.
V celom, poluçenn¥e v stat\e rezul\tat¥ mohut b¥t\ yspol\zovan¥ pry re-
ßenyy praktyçesky vaΩn¥x nelynejn¥x zadaç dynamyçeskoj ustojçyvosty obo-
loçek, vzaymodejstvugwyx s podvyΩnoj Ωydkost\g, vklgçaq:
1) zadaçu opredelenyq krytyçeskyx skorostej dvyΩenyq Ωydkosty v nesu-
wyx oboloçkax;
2) postroenye y yssledovanye amplytudno-çastotn¥x xarakterystyk nesu-
wyx oboloçek pry dejstvyy vneßnyx popereçn¥x lybo prodol\n¥x peryodyçe-
skyx nahruzok;
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
PRYMENENYE ASYMPTOTYÇESKYX METODOV DLQ YSSLEDOVANYQ … 487
3) yzuçenye osobennostej dynamyçeskoj potery ustojçyvosty y nesta-
cyonarnoho deformyrovanyq oboloçek pry peremenn¥x skorostqx dvyΩenyq
Ωydkosty.
1. Bolotyn V. V. Nekonservatyvn¥e zadaçy teoryy upruhoj ustojçyvosty. – M.: Fyzmathyz,
1961. – 337 s.
2. Amabili M., Pellicano F., Païdoussis M. P. Non-linear dynamics and stability of circular
cylindrical shells containing flowing fluid. Pt I. Stability // J. Sound and Vibration. – 1999. – 225,
# 4. – P. 655 – 699.
3. Amabili M., Pellicano F., Païdoussis M. P. Non-linear dynamics and stability of circular
cylindrical shells containing flowing fluid. Pt IV. Large-amplitude vibrations with flow // Ibid. –
2000. – 237, # 4. – P. 641 – 666.
4. Boholgbov N. N., Mytropol\skyj G. A. Asymptotyçeskye metod¥ v teoryy nelynejn¥x
kolebanyj. – M.: Nauka, 1974. – 504 s.
5. Mytropol\skyj G. A. Metod usrednenyq v nelynejnoj mexanyke. – Kyev: Nauk. dumka,
1971. – 440 s.
6. Huz\ A. N., Markuß Í., Pust L. y dr. Dynamyka tel, vzaymodejstvugwyx so sredoj. – Kyev:
Nauk. dumka, 1991. – 392 s.
7. Koval\çuk P. S. O rasçete odnoçastotn¥x kolebanyj cylyndryçeskyx oboloçek pry
vzaymodejstvyy yx s protekagwej Ωydkost\g // Prykl. mexanyka. – 2005. – 41, # 4. –
S.>75 – 84.
8. Kubenko V. D., Koval\çuk P. S., Podçasov N. P. Nelynejn¥e kolebanyq cylyndryçeskyx
oboloçek. – Kyev: Vywa ßk., 1989. – 280 s.
9. Koval\çuk P. S., Kruk L. A. V¥nuΩdenn¥e nelynejn¥e kolebanyq cylyndryçeskyx
oboloçek, vzaymodejstvugwyx s protekagwej Ωydkost\g // Prykl. mexanyka. – 2006. – 42,
# 4. – S.>91 – 99.
10. Landa P. S. Avtokolebanyq v systemax s koneçn¥m çyslom stepenej svobod¥. – M.: Nauka,
1980. – 360 s.
11. Vol\myr A. S. Nelynejnaq dynamyka plastynok y oboloçek. – M.: Nauka, 1972. – 432 s.
Poluçeno 27.07.2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
|
| id | umjimathkievua-article-3322 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:40:22Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/15/356c365ae5169f966eeaec7d09f46115.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33222020-03-18T19:51:20Z Application of asymptotic methods to the investigation of one-frequency nonlinear oscillations of cylindrical shells interacting with moving fluid Применение асимптотических методов для исследования одночастотных нелинейных колебаний цилиндрических оболочек при взаимодействии с подвижной жидкостью Koval’chuk, P. S. Kruk, L. A. Kubenko, V. D. Ковальчук, П. С. Крук, Л. А. Кубенко, В. Д. Ковальчук, П. С. Крук, Л. А. Кубенко, В. Д. We demonstrate the applicability of the Bogolyubov-Mitropol’skii asymptotic method to the construction of one-frequency solutions of a system of nonlinear equations used to describe the multimode free, forced, and parametrically excited vibrations of cylindrical shells interacting with moving fluid. Показано застосування асимптотичного методу Боголюбова &#8211; Митропольського до побудови одночастотних розв'язків системи нелінійних рівнянь, що описують багатомодові вільні, вимушені та параметрично збуджувані коливання циліндричних оболонок при взаємодії з рухомою рідиною. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3322 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 4 (2007); 476–487 Український математичний журнал; Том 59 № 4 (2007); 476–487 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3322/3389 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3322/3390 Copyright (c) 2007 Koval’chuk P. S.; Kruk L. A.; Kubenko V. D. |
| spellingShingle | Koval’chuk, P. S. Kruk, L. A. Kubenko, V. D. Ковальчук, П. С. Крук, Л. А. Кубенко, В. Д. Ковальчук, П. С. Крук, Л. А. Кубенко, В. Д. Application of asymptotic methods to the investigation of one-frequency nonlinear oscillations of cylindrical shells interacting with moving fluid |
| title | Application of asymptotic methods to the investigation of one-frequency nonlinear oscillations of cylindrical shells interacting with moving fluid |
| title_alt | Применение асимптотических методов для исследования одночастотных нелинейных колебаний цилиндрических оболочек при взаимодействии с подвижной жидкостью |
| title_full | Application of asymptotic methods to the investigation of one-frequency nonlinear oscillations of cylindrical shells interacting with moving fluid |
| title_fullStr | Application of asymptotic methods to the investigation of one-frequency nonlinear oscillations of cylindrical shells interacting with moving fluid |
| title_full_unstemmed | Application of asymptotic methods to the investigation of one-frequency nonlinear oscillations of cylindrical shells interacting with moving fluid |
| title_short | Application of asymptotic methods to the investigation of one-frequency nonlinear oscillations of cylindrical shells interacting with moving fluid |
| title_sort | application of asymptotic methods to the investigation of one-frequency nonlinear oscillations of cylindrical shells interacting with moving fluid |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3322 |
| work_keys_str_mv | AT kovalchukps applicationofasymptoticmethodstotheinvestigationofonefrequencynonlinearoscillationsofcylindricalshellsinteractingwithmovingfluid AT krukla applicationofasymptoticmethodstotheinvestigationofonefrequencynonlinearoscillationsofcylindricalshellsinteractingwithmovingfluid AT kubenkovd applicationofasymptoticmethodstotheinvestigationofonefrequencynonlinearoscillationsofcylindricalshellsinteractingwithmovingfluid AT kovalʹčukps applicationofasymptoticmethodstotheinvestigationofonefrequencynonlinearoscillationsofcylindricalshellsinteractingwithmovingfluid AT krukla applicationofasymptoticmethodstotheinvestigationofonefrequencynonlinearoscillationsofcylindricalshellsinteractingwithmovingfluid AT kubenkovd applicationofasymptoticmethodstotheinvestigationofonefrequencynonlinearoscillationsofcylindricalshellsinteractingwithmovingfluid AT kovalʹčukps applicationofasymptoticmethodstotheinvestigationofonefrequencynonlinearoscillationsofcylindricalshellsinteractingwithmovingfluid AT krukla applicationofasymptoticmethodstotheinvestigationofonefrequencynonlinearoscillationsofcylindricalshellsinteractingwithmovingfluid AT kubenkovd applicationofasymptoticmethodstotheinvestigationofonefrequencynonlinearoscillationsofcylindricalshellsinteractingwithmovingfluid AT kovalchukps primenenieasimptotičeskihmetodovdlâissledovaniâodnočastotnyhnelinejnyhkolebanijcilindričeskihoboločekprivzaimodejstviispodvižnojžidkostʹû AT krukla primenenieasimptotičeskihmetodovdlâissledovaniâodnočastotnyhnelinejnyhkolebanijcilindričeskihoboločekprivzaimodejstviispodvižnojžidkostʹû AT kubenkovd primenenieasimptotičeskihmetodovdlâissledovaniâodnočastotnyhnelinejnyhkolebanijcilindričeskihoboločekprivzaimodejstviispodvižnojžidkostʹû AT kovalʹčukps primenenieasimptotičeskihmetodovdlâissledovaniâodnočastotnyhnelinejnyhkolebanijcilindričeskihoboločekprivzaimodejstviispodvižnojžidkostʹû AT krukla primenenieasimptotičeskihmetodovdlâissledovaniâodnočastotnyhnelinejnyhkolebanijcilindričeskihoboločekprivzaimodejstviispodvižnojžidkostʹû AT kubenkovd primenenieasimptotičeskihmetodovdlâissledovaniâodnočastotnyhnelinejnyhkolebanijcilindričeskihoboločekprivzaimodejstviispodvižnojžidkostʹû AT kovalʹčukps primenenieasimptotičeskihmetodovdlâissledovaniâodnočastotnyhnelinejnyhkolebanijcilindričeskihoboločekprivzaimodejstviispodvižnojžidkostʹû AT krukla primenenieasimptotičeskihmetodovdlâissledovaniâodnočastotnyhnelinejnyhkolebanijcilindričeskihoboločekprivzaimodejstviispodvižnojžidkostʹû AT kubenkovd primenenieasimptotičeskihmetodovdlâissledovaniâodnočastotnyhnelinejnyhkolebanijcilindričeskihoboločekprivzaimodejstviispodvižnojžidkostʹû |