On solutions of linear functional differential equations with linearly transformed argument on a semiaxis
We establish conditions under which solutions of a system of linear functional differential equations on a semiaxis are determined as solutions of a certain system of ordinary differential equations.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3324 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509392788520960 |
|---|---|
| author | Denysenko, N. L. Samoilenko, A. M. Денисенко, Н. Л. Самойленко, А. М. |
| author_facet | Denysenko, N. L. Samoilenko, A. M. Денисенко, Н. Л. Самойленко, А. М. |
| author_sort | Denysenko, N. L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:51:20Z |
| description | We establish conditions under which solutions of a system of linear functional differential equations on a semiaxis are determined as solutions of a certain system of ordinary differential equations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:40:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
А. М. Самойленко, Н. Л. Денисенко (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРО РОЗВ’ЯЗКИ НА ПIВОСI СИСТЕМИ ЛIНIЙНИХ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З ЛIНIЙНО ПЕРЕТВОРЕНИМ АРГУМЕНТОМ
Conditions are established under which solutions on the semiaxis for a system of linear differential-
functional equations are determined as solutions of some system of ordinary differential equations.
Получены условия, при которых решениями на полуоси системы линейных дифференциально-
функциональных уравнений являются решения некоторой системы обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений.
Розглянемо систему диференцiально-функцiональних рiвнянь вигляду
dx(t)
dt
= A(t)x(t) + B(t)x(λt) + f(t), (1)
де 0 < λ < 1, t ∈ R = (−∞,+∞), A(t), B(t) — (n × n)-матричнi функцiї, f(t) —
вектор-функцiя розмiрностi n.
Рiзнi частиннi випадки таких рiвнянь були об’єктом дослiдження багатьох ма-
тематикiв, i на даний час отримано велику кiлькiсть результатiв щодо вивчення
рiзних задач теорiї таких рiвнянь. При цьому особливо активно вивчались питання
iснування рiзного роду розв’язкiв, поведiнки розв’язкiв та iн. [3 – 6]. У роботi [1]
наведено умови, при яких глобальними розв’язками лiнiйних систем диференцiаль-
них рiвнянь з вiдхиленнями аргументу є розв’язки вiдповiдних систем звичайних
диференцiальних рiвнянь. У данiй роботi, використавши пiдхiд, запропонований
у [1], встановимо умови, за яких розв’язками на пiвосi системи диференцiально-
функцiональних рiвнянь є розв’язки деякої системи звичайних диференцiальних
рiвнянь.
1. У цьому пунктi ми побудуємо систему звичайних диференцiальних рiвнянь
dx(t)
dt
= C(t)x(t) + g(t), (2)
всi розв’язки якої будуть розв’язками системи рiвнянь (1) при t ∈ (t∗,+∞) (або
при t ∈ (−∞, t∗)). Пiд розв’язком рiвняння (1) на деякому iнтервалi розумiємо
неперервно диференцiйовну вектор-функцiю, для якої (1) виконується в кожнiй
точцi цього iнтервалу.
Будемо припускати, що A(t), B(t), C(t) — (n × n)-матричнi, f(t), g(t) —
векторнi функцiї, визначенi i неперервнi при t ∈ R. Тут символом ‖A‖ позна-
чено норму матрицi A = (aij), яка визначається за допомогою спiввiдношення
‖A‖ = max
1≤i≤n
∑n
j=1
|aij |.
Має мiсце наступна теорема.
Теорема 1. Нехай виконуються такi умови:
1) A(t), B(t) i f(t) — визначенi, неперервнi при t ∈ (t∗,+∞) функцiї, якi
задовольняють нерiвностi
c© А. М. САМОЙЛЕНКО, Н. Л. ДЕНИСЕНКО, 2007
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4 501
502 А. М. САМОЙЛЕНКО, Н. Л. ДЕНИСЕНКО
sup
t∈(t∗,+∞)
‖A(t)‖ ≤ a < ∞, sup
t∈(t∗,+∞)
‖B(t)‖ ≤ b < ∞,
sup
t∈(t∗,+∞)
‖f(t)‖ ≤ f∗ < ∞;
2) iснують додатнi сталi α i a1 такi, що
sup
t∈(0,+∞)
‖A(t)− αI‖ ≤ a1, (3)
α− a1 > 2b, (4)
де I — одинична матриця.
Тодi всi розв’язки системи звичайних диференцiальних рiвнянь (2) є розв’язками
диференцiально-функцiональної системи рiвнянь (1) на промiжку [−L,+∞) ⊂
⊂ (t∗,+∞), де
L = max
{
τ ∈ (0,+∞): τb(1− λ)eτa(1−λ)+1 < 1
}
. (5)
Слiд зауважити, що твердження про те, що розв’язки системи рiвнянь (2) за-
довольняють систему рiвнянь (1) на промiжку (0,+∞), має мiсце без додаткових
обмежень на величину параметра λ.
2. Доведення теореми 1. Доведення розiб’ємо на кiлька частин.
2.1. Спочатку з припущення, що всi розв’язки системи (2) є розв’язками на
(t∗,+∞) системи (1), виведемо для C(t) i g(t) рiвняння вигляду
C(t) = A(t) + B(t)Ωλt
t (C), t ∈ (t∗,+∞),
g(t) = f(t) + B(t)
λt∫
t
Ωλt
s (C)g(s)ds, t ∈ (t∗,+∞),
а потiм встановимо розв’язнiсть цих рiвнянь. Тут Ωt
τ (C) – нормована фунда-
ментальна матриця розв’язкiв однорiдної системи рiвнянь, яка вiдповiдає системi
рiвнянь (2) та обчислюється за формулою [2]
Ωt
τ (C) = I +
t∫
τ
C(s)ds +
t∫
τ
C(s)
s∫
τ
C(s1)ds1ds + . . .
. . . +
t∫
τ
C(s)
s∫
τ
C(s1) . . .
sn−2∫
τ
C(sn−1)dsn−1 . . . ds1ds + . . . , (6)
де I — одинична матриця, t ∈ R, τ ∈ R. Ряд (6) збiгається при всiх t ∈ R,
τ ∈ R, причому рiвномiрно по (t, τ) на кожному компактi площини R2. Загаль-
ний розв’язок системи рiвнянь (2), як вiдомо, подається формулою Кошi
x(t) = Ωt
τ (C)x0 +
t∫
τ
Ωt
s(C)g(s)ds, (7)
де x0 ∈ Rn — довiльний сталий вектор.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
ПРО РОЗВ’ЯЗКИ НА ПIВОСI СИСТЕМИ ЛIНIЙНИХ ... 503
Функцiя (7) задовольняє рiвняння (1) при t ∈ (t∗,+∞) тодi i тiльки тодi, коли
dx
dt
= C(t)
Ωt
τ (C)x0 +
t∫
τ
Ωt
s(C)g(s)ds
+ g(t) =
= A(t)
Ωt
τ (C)x0 +
t∫
τ
Ωt
s(C)g(s)ds
+
+B(t)
Ωλt
τ (C)x0 +
λt∫
τ
Ωλt
s (C)g(s)ds
+ f(t). (8)
При x0 = 0 з тотожностi (8) маємо
C(t)
t∫
τ
Ωt
s(C)g(s)ds + g(t) = A(t)
t∫
τ
Ωt
s(C)g(s)ds+
+B(t)
λt∫
τ
Ωλt
s (C)g(s)ds + f(t), t ∈ (t∗,+∞), (9)
i тому iз (8), (9) отримуємо рiвняння
C(t)Ωt
τ (C) = A(t)Ωt
τ (C) + B(t)Ωλt
τ (C).
Iз властивостей матрицi Ωt
τ (C) вiдомо, що Ωt
τ (C)Ωτ
t (C) = Ωt
t(C) = I i
Ωλt
τ (C)Ωτ
t (C) = Ωλt
t (C). Звiдси випливає, що останнє рiвняння для функцiї C
виконується лише тодi, коли
C(t) = A(t) + B(t)Ωλt
t (C), t ∈ (t∗,+∞). (10)
Пiдставляючи (10) в (9), робимо висновок, що тотожнiсть виконується в тому i
лише в тому випадку, коли для t ∈ (t∗,+∞)
(
A(t) + B(t)Ωλt
t (C)
) t∫
τ
Ωt
s(C)g(s)ds + g(t) =
= A(t)
t∫
τ
Ωt
s(C)g(s)ds + B(t)
λt∫
τ
Ωλt
s (C)g(s)ds + f(t),
тобто
g(t) = f(t) + B(t)
λt∫
τ
Ωλt
s (C)g(s)ds− Ωλt
t (C)
t∫
τ
Ωt
s(C)g(s)ds
=
= f(t) + B(t)
λt∫
τ
Ωλt
s (C)g(s)ds−
t∫
τ
Ωλt
s (C)g(s)ds
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
504 А. М. САМОЙЛЕНКО, Н. Л. ДЕНИСЕНКО
= f(t) + B(t)
λt∫
t
Ωλt
s (C)g(s)ds.
Таким чином, якщо всi розв’язки системи рiвнянь (2) є розв’язками системи
рiвнянь (1) на (t∗,+∞), то матриця C(t) задовольняє рiвняння (10), а вектор-
функцiя g(t) — рiвняння
g(t) = f(t) + B(t)
λt∫
t
Ωλt
s (C)g(s)ds, t ∈ (t∗,+∞). (11)
Очевидним є i зворотне. Якщо C, g — неперервнi на (t∗,+∞) функцiї, якi
задовольняють рiвняння (10), (11), то вектор-функцiя (7) є розв’язком системи
рiвнянь (1) на (t∗,+∞).
Отже, розв’язнiсть рiвнянь (10), (11) у просторi неперервних на (t∗,+∞) функ-
цiй є необхiдною i достатньою умовою для того, щоб всi розв’язки системи рiв-
нянь (2) були на (t∗,+∞) розв’язками системи рiвнянь (1).
2.2. Визначимо додатне число L за формулою (5). Введемо простiр C(m; J)
(де J — деякий промiжок) неперервних на J вектор-функцiй z = z(t), якi задоволь-
няють умову
‖z‖0 = sup
t∈J
‖z(t)‖ ≤ m,
m = const > 0. Вiдстань ρ(x, y) мiж елементами x, y з простору C(m; J) означимо
за допомогою спiввiдношення
ρ(x, y) = ‖x− y‖0 = sup
t∈J
∥∥x(t)− y(t)
∥∥. (12)
Вiдносно такої вiдстанi простiр C(m; J) є повним метричним простором. Анало-
гiчно визначається простiр C(m; J) матричних функцiй Z = Z(t), неперервних на
J (далi позначаємо його одним i тим самим символом).
Має мiсце наступна лема про розв’язнiсть рiвняння (10).
Лема 1. Нехай виконуються умови теореми 1. Тодi рiвняння (10) має єди-
ний неперервний при t ∈ [−L,+∞) розв’язок, причому цей розв’язок задовольняє
нерiвнiсть
sup
t∈[−L,+∞)
‖C(t)‖ ≤ M1,
де M1 — певна стала, яка залежить вiд α, λ, a, b, a1.
Доведення. Виконаємо в рiвняннi (10) замiну змiнних
C = A + BY.
В результатi отримаємо рiвняння
B
[
Y − Ωλt
t (A + BY )
]
= O,
звiдки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
ПРО РОЗВ’ЯЗКИ НА ПIВОСI СИСТЕМИ ЛIНIЙНИХ ... 505
Y = Ωλt
t (A + BY ) + B0(t), (13)
де B0 — матриця, яка визначається умовою B(t)B0(t) = O (тут символом O по-
значено нульову матрицю). Вiдносно змiнної
Z = Y −B0
рiвняння (13) набирає вигляду
Z(t) = Ωλt
t
(
A + BZ
)
, t ∈ (t∗,+∞). (14)
При цьому всi розв’язки рiвняння (14) є неперервними функцiями. I навпаки, вiд
рiвняння (14) замiною змiнних
C = A + BZ
можна повернутися до рiвняння (10). Розглянемо два випадки.
Перший випадок. Розглянемо промiжок [−L,L] ⊂ (t∗,+∞). У просторi
C(m; [−L,L]) матричних функцiй Z = Z(t) розглянемо оператор S:
SZ(t) = Ωλt
t
(
A + BZ
)
, (15)
t ∈ [−L,L]. Матриця SZ є неперервною на [−L,L] матрицею.
Спочатку покажемо, що оператор S переводить C(m; [−L,L]) в себе. На пiд-
ставi (6) для SZ справджується оцiнка∥∥SZ(t)
∥∥ =
∥∥Ωλt
t (A + BZ)
∥∥ ≤ ∣∣∣Ωλt
t
(
‖A‖+ ‖B‖‖Z‖
)∣∣∣ ≤ e(a+bm)(1−λ)|t|
при t ∈ [−L, L] i, отже,
‖SZ‖0 ≤ e(a+bm)(1−λ)L.
Тому, якщо виконується нерiвнiсть
e(a+bm)(1−λ)L ≤ m, (16)
то оператор S: C(m; [−L,L]) → C(m; [−L,L]).
Покажемо, що оператор S є оператором стиску. Для матриць Z1 i Z2, якi
належать простору C(m; [−L,L]), оцiнимо рiзницю
SZ1(t)− SZ2(t) = Ωλt
t (A + BZ1)− Ωλt
t (A + BZ2).
Позначивши P1 = A + BZ1, P2 = A + BZ2, при t ∈ [−L, L] отримаємо∥∥∥∥∥∥
λt∫
t
P1(s)ds−
λt∫
t
P2(s)ds
∥∥∥∥∥∥ ≤
∣∣∣∣∣∣
λt∫
t
‖P1(s)− P2(s)‖ds
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
∣∣∣∣∣∣
λt∫
t
‖B(s)‖‖Z1(s)− Z2(s)‖ds
∣∣∣∣∣∣ ≤ b(1− λ)|t|‖Z1 − Z2‖0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
506 А. М. САМОЙЛЕНКО, Н. Л. ДЕНИСЕНКО∥∥∥∥∥∥
λt∫
t
P1(s)
s∫
t
P1(s1)ds1ds−
λt∫
t
P2(s)
s∫
t
P2(s1)ds1ds
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤
∥∥∥∥∥∥
λt∫
t
[
P1(s)− P2(s)
] s∫
t
P1(s1)ds1ds +
λt∫
t
P2(s)
s∫
t
[
P1(s1)− P2(s1)
]
ds1ds
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ b
∣∣∣∣∣∣
λt∫
t
s∫
t
∥∥P1(s1)
∥∥ds1ds
∣∣∣∣∣∣ +
∣∣∣∣∣∣
λt∫
t
∥∥P2(s)
∥∥ s∫
t
ds1ds
∣∣∣∣∣∣
‖Z1 − Z2‖0 ≤
≤ b(a + bm)
2
∣∣∣∣∣∣
λt∫
t
(s− t)ds
∣∣∣∣∣∣
‖Z1 − Z2‖0 =
= b(a + bm)|t|2(1− λ)2‖Z1 − Z2‖0 =
= (1− λ)b|t| |t|(1− λ)(a + bm)
1!
‖Z1 − Z2‖0,
∥∥∥∥∥
λt∫
t
P1(s)
s∫
t
P1(s1) . . .
sn−2∫
t
P1(sn−1)dsn−1 . . . ds1ds−
−
λt∫
t
P2(s)
s∫
t
P2(s1) . . .
sn−2∫
t
P2(sn−1)dsn−1 . . . ds1ds
∥∥∥∥∥ ≤
≤ bn(a + bm)n−1
∣∣∣∣∣∣
λt∫
t
s∫
t
. . .
sn−2∫
t
dsn−1 . . . ds1ds
∣∣∣∣∣∣ ‖Z1 − Z2‖0 =
= bn
|t|n(1− λ)n(a + bm)n−1
n!
‖Z1 − Z2‖0 =
= (1− λ)b|t| |t|
n−1(1− λ)n−1(a + bm)n−1
(n− 1)!
‖Z1 − Z2‖0.
Тому виконується оцiнка∥∥SZ1(t)− SZ2(t)
∥∥ =
∥∥∥Ωλt
t (A + BZ1)− Ωλt
t (A + BZ2)
∥∥∥ ≤
≤ |t|(1− λ)b
[
1 +
|t|(1− λ)(a + bm)
1!
+ . . .
. . . +
|t|n−1(1− λ)n−1(a + bm)n−1
(n− 1)!
+ . . .
]
‖Z1 − Z2‖0 =
= |t|(1− λ)be|t|(1−λ)(a+bm)‖Z1 − Z2‖0. (17)
Отже, при t ∈ [−L,L]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
ПРО РОЗВ’ЯЗКИ НА ПIВОСI СИСТЕМИ ЛIНIЙНИХ ... 507
‖SZ1 − SZ2‖0 ≤ L(1− λ)beL(1−λ)(a+bm)‖Z1 − Z2‖0
i, якщо виконується нерiвнiсть
L(1− λ)beL(1−λ)(a+bm) < 1, (18)
оператор S є оператором стиску на C(m; [−L,L]).
Знайдемо m, при яких нерiвностi (16) i (18) виконуються одночасно. Нехай
L(1− λ)beaL(1−λ)+1 < 1, (19)
тодi рiвняння eL(1−λ)(a+bm) = m має 2 розв’язки m1 i m2 такi, що b(1− λ)Lm1 <
< 1 < b(1− λ)Lm2. Звiдси випливає, що за умови
m1 ≤ m ≤ 1
b(1− λ)L
(20)
будуть виконуватись одночасно нерiвностi (16) i (18).
Отже, при виконаннi нерiвностi (19) для значень m, якi задовольняють не-
рiвнiсть (20), оператор S вiдображає C(m; [−L,L]) в себе i є оператором стиску.
Таким чином, у просторi C(m; [−L,L]) оператор S має єдину нерухому точку. Ця
нерухома точка i є єдиним неперервним на [−L,L] розв’язком рiвняння (14).
Другий випадок. Розглянемо промiжок (0,+∞) ⊂ (t∗,+∞) i оператор S, який
визначено формулою (15) у повному метричному просторi C(1; (0, +∞)) з метри-
кою (12). Матриця SZ є неперервною на (0,+∞) матрицею.
Покажемо, що оператор S переводить простiр C(1; (0, +∞)) в себе i є опера-
тором стиску. Повернемося до рiвняння (14). Використовуючи властивiсть матри-
цанта [2]
Ωt
τ (P + Q) = Ωt
τ (P )Ωt
τ (R),
де R =
[
Ωt
τ (P )
]−1
QΩt
τ (P ), t, τ ∈ (0,+∞), виконуємо такi перетворення:
Z(t) = Ωλt
t
(
A + BZ
)
= Ωλt
t
(
αI + A− αI + BZ
)
=
= e−α(1−λ)tΩλt
t
(
A− αI + BZ
)
= e−α(1−λ)tΩλt
t
(
A1 + BZ
)
,
де A1 = A− αI. Звiдси
SZ(t) = e−α(1−λ)tΩλt
t
(
A1 + BZ
)
, t ∈ (0,+∞).
На пiдставi (3) при t ∈ (0,+∞) справджується оцiнка∥∥SZ(t)
∥∥ =
∥∥∥e−α(1−λ)tΩλt
t
(
A1 + BZ
)∥∥∥ ≤ e−α(1−λ)t
∣∣Ωλt
t
(
‖A1‖+ ‖B‖‖Z‖
)∣∣ ≤
≤ e−α(1−λ)te(a1+b)(1−λ)t = e(−α+a1+b)(1−λ)t.
Звiдси випливає, що при виконаннi умови
−α + a1 + b < 0 (21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
508 А. М. САМОЙЛЕНКО, Н. Л. ДЕНИСЕНКО
для довiльної неперервної на (0,+∞) матричної функцiї Z виконується нерiвнiсть
‖SZ‖0 ≤ 1
i, отже, S: C
(
1; (0, +∞)
)
→ C
(
1; (0, +∞)
)
.
Тепер оцiнимо рiзницю SZ1 − SZ2, де матрицi Z1 i Z2 належать простору
C
(
1; (0, +∞)
)
. Тодi
SZ1(t)− SZ2(t) = e−α(1−λ)t
[
Ωλt
t (A1 + BZ1)− Ωλt
t (A1 + BZ2)
]
при t ∈ (0,+∞). Аналогiчно до оцiнки (17) отримуємо∥∥Ωλt
t (A1 + BZ1)− Ωλt
t (A1 + BZ2)
∥∥ ≤
≤ |t|(1− λ)b
[
1 +
|t|(1− λ)(a1 + b)
1!
+ . . .
. . . +
|t|n−1(1− λ)n−1(a1 + b)n−1
(n− 1)!
+ . . .
]
‖Z1 − Z2‖0 =
= |t|(1− λ)be|t|(1−λ)(a1+b)‖Z1 − Z2‖0, t ∈ (0,+∞).
Отже, при t ∈ (0,+∞) маємо∥∥SZ1(t)− SZ2(t)
∥∥ ≤ t(1− λ)bet(1−λ)(−α+a1+b)‖Z1 − Z2‖0.
Будемо вимагати, щоб нерiвнiсть
t(1− λ)bet(1−λ)(−α+a1+b) < 1 (22)
виконувалась при всiх значеннях t ∈ (0,+∞).
Розглянемо функцiю v(t) = t(1 − λ)bet(1−λ)(−α+a1+b) i знайдемо умови, при
яких нерiвнiсть v(t) < 1 виконується для всiх значень t ∈ (0,+∞). Для цього
достатньо виконання умови v(tmax) < 1. Оскiльки
v′(t) = (1− λ)be(1−λ)(−α+a1+b)t
(
1 + (1− λ)(−α + a1 + b)t
)
,
то
tmax =
1
(1− λ)(α− a1 − b)
,
max
t∈(0,+∞)
v(t) = v(tmax) =
b
(α− a1 − b)e
.
Тому v(tmax) < 1, якщо виконується умова
b < e(α− a1 − b). (23)
Очевидно, що з (4), зокрема, випливає (21) i (23). Отже, якщо має мiсце (4), то
нерiвнiсть (22) виконується при всiх t ∈ (0,+∞).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
ПРО РОЗВ’ЯЗКИ НА ПIВОСI СИСТЕМИ ЛIНIЙНИХ ... 509
Таким чином, оператор S вiдображає C
(
1; (0, +∞)
)
в себе i є оператором стиску
в C
(
1; (0, +∞)
)
, тому в просторi C(1; (0, +∞)) вiн має єдину нерухому точку, яка
i є єдиним неперервним на (0,+∞) розв’язком рiвняння (14).
Отже, якщо виконуються умови леми, то рiвняння (14) має єдиний при t ∈
∈ [−L,+∞) розв’язок.
Лему 1 доведено.
Перейдемо до розгляду рiвняння (11).
Лема 2. Нехай виконуються умови теореми 1. Тодi рiвняння (11) має єди-
ний неперервний при t ∈ [−L,+∞) розв’язок, причому цей розв’язок задовольняє
нерiвнiсть
sup
t∈[−L,+∞)
‖g(t)‖ ≤ M2,
де M2 — певна стала, яка залежить вiд α, λ, a, b, a1.
Доведення. Виконуючи в (11) замiну змiнних
g = f + Bz,
отримуємо вiдносно z рiвняння
z(t) =
λt∫
t
Ωλt
s (C)f(s)ds +
λt∫
t
Ωλt
s (C)B(s)z(s)ds (24)
при t ∈ (0,+∞). Розглянемо два випадки.
Перший випадок. Розглянемо промiжок [−L,L] ⊂ (t∗,+∞), де L — число,
визначене формулою (5). У просторi C
(
M ; [−L,L]
)
векторних функцiй z = z(t)
розглянемо оператор S1:
S1z(t) =
λt∫
t
Ωλt
s (C)f(s)ds +
λt∫
t
Ωλt
s (C)B(s)z(s)ds. (25)
Вектор-функцiя S1z є неперервною на [−L,L]. Спочатку покажемо, що оператор
S1 переводить C
(
M ; [−L, L]
)
в себе. Дiйсно, для S1z справджується оцiнка
∥∥S1z(t)
∥∥ =
∥∥∥∥∥∥
λt∫
t
Ωλt
s (C)
(
f(s) + B(s)z(s)
)
ds
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤
∣∣∣∣∣∣
λt∫
t
‖Ωλt
s (C)‖
(
‖f(s)‖+ ‖B(s)‖‖z(s)‖
)
ds
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
∣∣∣∣∣∣
λt∫
t
e(a+bm)|λt−s|ds
∣∣∣∣∣∣ (f∗ + bM) ≤
≤ (f∗ + bM)
[
e(a+bm)(1−λ)|t| − 1
a + bm
]
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
510 А. М. САМОЙЛЕНКО, Н. Л. ДЕНИСЕНКО
≤ (f∗ + bM)(1− λ)|t|e(a+bm)(1−λ)|t|.
Звiдси при t ∈ [−L,L] одержуємо
‖S1z‖0 ≤ (f∗ + bM)(1− λ)Le(a+bm)(1−λ)L,
а тому, якщо виконується нерiвнiсть
(f∗ + bM)(1− λ)Le(a+bm)(1−λ)L ≤ M, (26)
то S1: C
(
M ; [−L, L]
)
→ C
(
M ; [−L,L]
)
.
Покажемо, що оператор S1 є оператором стиску. Для довiльних векторних
функцiй z1, z2 з C
(
M ; [−L,L]
)
оцiнимо рiзницю
S1z1(t)− S1z2(t) =
λt∫
t
Ωλt
s (C)f(s)ds +
λt∫
t
Ωλt
s (C)B(s)z1(s)ds−
−
λt∫
t
Ωλt
s (C)f(s)ds−
λt∫
t
Ωλt
s (C)B(s)z2(s)ds =
=
λt∫
t
Ωλt
s (C)B(s)
(
z1(s)− z2(s)
)
ds. (27)
При t ∈ [−L,L] маємо
∥∥S1z1(t)− S1z2(t)
∥∥ ≤
∣∣∣∣∣∣
λt∫
t
‖Ωλt
s (C)‖‖B(s)‖ds
∣∣∣∣∣∣ ‖z1 − z2‖0 ≤
≤ b
∣∣∣∣∣∣
λt∫
t
‖Ωλt
s (C)‖ds
∣∣∣∣∣∣ ‖z1 − z2‖0 ≤ b(1− λ)|t|e(a+bm)(1−λ)|t|‖z1 − z2‖0.
Таким чином, звiдси випливає
‖S1z1 − S1z2‖0 ≤ (1− λ)bLe(a+bm)(1−λ)L‖z1 − z2‖0
i, якщо виконується нерiвнiсть
(1− λ)bLe(a+bm)(1−λ)L < 1, (28)
оператор S1 є оператором стиску в C
(
M ; [−L,L]
)
. Будемо вимагати, щоб одночас-
но виконувалися нерiвностi (26) i (28). Враховуючи (28), iз (26) одержуємо
(1− λ)f∗Le(a+bm)(1−λ)L ≤ M
(
1− (1− λ)bLe(a+bm)(1−λ)L
)
,
тобто при
M ≥ (1− λ)f∗Le(a+bm)(1−λ)L(
1− (1− λ)bLe(a+bm)(1−λ)L
)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
ПРО РОЗВ’ЯЗКИ НА ПIВОСI СИСТЕМИ ЛIНIЙНИХ ... 511
для значень m, якi задовольняють (20), оператор S1 при виконаннi умови (19)
вiдображає C
(
M ; [−L,L]
)
в себе i є оператором стиску. Отже, у просторi
C
(
M ; [−L,L]
)
оператор S1 має єдину нерухому точку, яка i є єдиним неперервним
на [−L,L] розв’язком рiвняння (24).
Другий випадок. Розглянемо в повному метричному просторi C
(
M ; (0, +∞)
)
оператор S1, визначений формулою (25). Вектор-функцiя S1z є неперервною на
(0,+∞) функцiєю. Мають мiсце такi оцiнки:
∥∥S1z(t)
∥∥ ≤
∣∣∣∣∣∣
λt∫
t
‖Ωλt
s (C)‖
(
‖f(s)‖+ ‖B(s)‖‖z(s)‖
)
ds
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
∣∣∣∣∣∣
λt∫
t
‖Ωλt
s (C)‖ds
∣∣∣∣∣∣ (f∗ + bM) ≤ (f∗ + bM)
t∫
λt
e(−α+a1+b)(s−λt)ds =
=
e(−α+a1+bm)(1−λ)t − 1
−α + a1 + b
(f∗ + bM) <
1
α− a1 − b
(f∗ + bM)
при t ∈ (0,+∞). Будемо вимагати, щоб виконувалась нерiвнiсть
f∗ + bM
α− a1 − b
≤ M. (29)
Очевидно, що iз (29) випливає (21) i, отже, при виконаннi умови (29) оператор S1
переводить простiр C
(
M ; (0, +∞)
)
в себе.
Покажемо, що S1 — оператор стиску в C
(
M ; (0, +∞)
)
. Нехай z1, z2 — довiльнi
функцiї з C
(
M ; (0, +∞)
)
, тодi iз (27) при t ∈ (0,+∞) маємо
∥∥S1z1(t)− S1z2(t)
∥∥ ≤
∣∣∣∣∣∣
λt∫
t
‖Ωλt
s (C)‖‖B(s)‖ds
∣∣∣∣∣∣ ‖z1 − z2‖0 ≤
≤ b
∣∣∣∣∣∣
λt∫
t
∥∥Ωλt
s (C)
∥∥ds
∣∣∣∣∣∣ ‖z1 − z2‖0 < b
1
α− a1 − b
‖z1 − z2‖0.
Тому на пiдставi (4) оператор S1 є оператором стиску в C
(
M ; (0, +∞)
)
. Очевидно,
що з (4) випливає (29).
При одночасному виконаннi умов (29), (4) маємо, що при
M ≥ f∗
α− a1 − 2b
оператор S1 вiдображає C
(
M ; (0, +∞)
)
в себе i є оператором стиску в просторi
C
(
M ; (0, +∞)
)
. Тому в просторi C
(
M ; (0, +∞)
)
оператор S1 має єдиний непе-
рервний на (0,+∞) розв’язок рiвняння (24).
Таким чином, якщо виконуються умови леми 2, то при t ∈ [−L,+∞) iснує
єдиний неперервний розв’язок рiвняння (24). Це i доводить лему 2.
3. Згiдно з пп. 2.1, для встановлення теореми 1 необхiдно i достатньо довести,
що кожне рiвняння (10), (11) має єдиний неперервний на [−L,+∞) розв’язок.
Враховуючи леми 1, 2, завершуємо доведення теореми 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
512 А. М. САМОЙЛЕНКО, Н. Л. ДЕНИСЕНКО
3. Як i в п. 1, зазначимо, що з використанням аналогiчних мiркувань можна
довести наступну теорему.
Теорема 2. Нехай виконуються умови:
1) A(t), B(t) i f(t) — визначенi, неперервнi при t ∈ (−∞, t∗) функцiї, якi
задовольняють нерiвностi
sup
t∈(−∞,t∗)
‖A(t)‖ ≤ a < ∞, sup
t∈(−∞,t∗)
‖B(t)‖ ≤ b < ∞,
sup
t∈(−∞,t∗)
‖f(t)‖ ≤ f∗ < ∞;
2) iснують сталi β < 0 i a1 > 0 такi, що
sup
t∈(−∞,0)
‖A(t)− βI‖ ≤ a1, −β − a1 > 2b.
Тодi всi розв’язки системи звичайних диференцiальних рiвнянь (2) є розв’язками
диференцiально-функцiональної системи рiвнянь (1) на промiжку (−∞, L] ⊂ (−∞,
t∗), де L — стала, визначена формулою (5).
Зауважимо, що твердження про те, що розв’язки системи рiвнянь (2) задо-
вольняють систему рiвнянь (1) на (−∞, 0), має мiсце без додаткових обмежень на
величину параметра λ.
При доведеннi теореми 2 використовується наступна лема.
Лема 3. Нехай виконуються умови теореми 2. Тодi кожне з рiвнянь (10), (11)
має єдиний неперервний на (−∞, L] розв’язок, причому цi розв’язки задовольняють
нерiвностi
sup
t∈(−∞,L]
‖C(t)‖ ≤ N1, sup
t∈(−∞,L]
‖g(t)‖ ≤ N2,
де N1, N2 — деякi сталi, якi залежать вiд β, λ, a, b, a1.
Наслiдок лем 1, 2, 3. Нехай виконуються умови теореми 1 (або теореми 2)
i A, B i f є r разiв неперервно диференцiйовними на (t∗,+∞) (або на (−∞, t∗))
функцiями. Тодi розв’язки C, g рiвнянь (10), (11) є r разiв неперервно диферен-
цiйовними на промiжку [−L,+∞) (або на (−∞, L]) функцiями.
Доведення. З рiвнянь (14), (24) випливає, що їх розв’язки мають гладкiсть на
одиницю бiльшу, нiж гладкiсть функцiй A, B i f. Тому функцiї C i g, якi визначенi
вiдповiдно до формул (14), (24), мають гладкiсть функцiй A, B, f.
З огляду на даний наслiдок можемо стверджувати, що має мiсце наступна тео-
рема про гладкiсть розв’язкiв системи рiвнянь (1).
Теорема 3. Нехай виконуються умови теореми 1 (або теореми 2) i A, B i f
є r разiв неперервно диференцiйовними на (t∗,+∞) (або на (−∞, t∗)) функцiями.
Тодi розв’язки системи рiвнянь (1) будуть r + 1 раз неперервно диференцiйовними
на промiжку [−L,+∞) (або на (−∞, L]) функцiями.
Доведення даної теореми випливає з наведеного вище наслiдку. Оскiльки
функцiї C i g є r разiв неперервно диференцiйовними на [−L,+∞) (або на (−∞, L])
функцiями, то будь-який розв’язок системи рiвнянь (2) має неперервнi похiднi
по t до (r + 1)-го порядку. А оскiльки, за припущенням, всi розв’язки системи
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
ПРО РОЗВ’ЯЗКИ НА ПIВОСI СИСТЕМИ ЛIНIЙНИХ ... 513
звичайних диференцiальних рiвнянь (2) є розв’язками системи рiвнянь (1), то цi
розв’язки будуть r + 1 раз неперервно диференцiйовними на [−L,+∞) (або на
(−∞, L] ) функцiями.
1. Самойленко А. М. Об одной задаче исследования глобальных решений линейных дифферен-
циальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 5. –
С. 631 – 640.
2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1967. – 575 с.
3. Kato T., McLeod J.B. The functional-differential equation y′(x) = ay(λx) + by(x) // Bull. Amer.
Math. Soc. – 1971. – 77. – P. 891 – 937.
4. Самойленко А. М., Пелюх Г. П. Ограниченные на всей вещественной оси решения систем
нелинейных дифференциально-функциональных уравнений и их свойства // Укр. мат. журн. –
1994. – 46, № 6. – С. 737 – 747.
5. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Мартынюк Д. И. Системы эволюционных уравнений
с периодическими и условно периодическими коэффициентами. – Киев: Наук. думка, 1985. –
216 с.
6. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1984. – 412 с.
Одержано 29.11.2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-3324 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:40:23Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a3/cf7e05b4c88e7f4ed52c11bd985bdda3.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33242020-03-18T19:51:20Z On solutions of linear functional differential equations with linearly transformed argument on a semiaxis Про розв'язки на півосі системи лінійних диференціально-функціональних рівнянь з лінійно перетвореним аргументом Denysenko, N. L. Samoilenko, A. M. Денисенко, Н. Л. Самойленко, А. М. We establish conditions under which solutions of a system of linear functional differential equations on a semiaxis are determined as solutions of a certain system of ordinary differential equations. Получены условия, при которых решениями на полуоси системы линейных дифференциально-функциональных уравнений являются решения некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3324 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 4 (2007); 501–513 Український математичний журнал; Том 59 № 4 (2007); 501–513 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3324/3393 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3324/3394 Copyright (c) 2007 Denysenko N. L.; Samoilenko A. M. |
| spellingShingle | Denysenko, N. L. Samoilenko, A. M. Денисенко, Н. Л. Самойленко, А. М. On solutions of linear functional differential equations with linearly transformed argument on a semiaxis |
| title | On solutions of linear functional differential equations with linearly transformed argument on a semiaxis |
| title_alt | Про розв'язки на півосі системи лінійних диференціально-функціональних рівнянь з лінійно перетвореним аргументом |
| title_full | On solutions of linear functional differential equations with linearly transformed argument on a semiaxis |
| title_fullStr | On solutions of linear functional differential equations with linearly transformed argument on a semiaxis |
| title_full_unstemmed | On solutions of linear functional differential equations with linearly transformed argument on a semiaxis |
| title_short | On solutions of linear functional differential equations with linearly transformed argument on a semiaxis |
| title_sort | on solutions of linear functional differential equations with linearly transformed argument on a semiaxis |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3324 |
| work_keys_str_mv | AT denysenkonl onsolutionsoflinearfunctionaldifferentialequationswithlinearlytransformedargumentonasemiaxis AT samoilenkoam onsolutionsoflinearfunctionaldifferentialequationswithlinearlytransformedargumentonasemiaxis AT denisenkonl onsolutionsoflinearfunctionaldifferentialequationswithlinearlytransformedargumentonasemiaxis AT samojlenkoam onsolutionsoflinearfunctionaldifferentialequationswithlinearlytransformedargumentonasemiaxis AT denysenkonl prorozv039âzkinapívosísistemilíníjnihdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹzlíníjnoperetvorenimargumentom AT samoilenkoam prorozv039âzkinapívosísistemilíníjnihdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹzlíníjnoperetvorenimargumentom AT denisenkonl prorozv039âzkinapívosísistemilíníjnihdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹzlíníjnoperetvorenimargumentom AT samojlenkoam prorozv039âzkinapívosísistemilíníjnihdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹzlíníjnoperetvorenimargumentom |