Asymptotic equivalence of impulsive systems
We present sufficient conditions for the asymptotic equivalence of a nonlinear impulsive system and a nonlinear system without pulses. We also consider the case of the asymptotic equivalence of a weakly nonlinear impulsive system and a linear system with pulses.
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3325 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509393337974784 |
|---|---|
| author | Misyats, O. O. Stanzhitskii, A. N. Місяць, О. О. Станжицький, О. М. |
| author_facet | Misyats, O. O. Stanzhitskii, A. N. Місяць, О. О. Станжицький, О. М. |
| author_sort | Misyats, O. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:51:20Z |
| description | We present sufficient conditions for the asymptotic equivalence of a nonlinear impulsive system and a nonlinear system without pulses. We also consider the case of the asymptotic equivalence of a weakly nonlinear impulsive system and a linear system with pulses. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:40:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9
O. M. StanΩyc\kyj, O. O. Misqc\ (Ky]v. nac. u-t im. T. Íevçenka)
ASYMPTOTYÇNA EKVIVALENTNIST|
IMPUL|SNYX SYSTEM
We present sufficient conditions of the asymptotic equivalence of a nonlinear pulse system to a nonlinear
system without pulses. We consider the case of the asymptotic equivalence of a weakly nonlinear pulse
system and a linear pulse system.
Pryveden¥ dostatoçn¥e uslovyq asymptotyçeskoj πkvyvalentnosty nelynejnoj ympul\snoj
system¥ nelynejnoj systeme bez ympul\sov. Rassmotren sluçaj asymptotyçeskoj πkvyvalent-
nosty slabonelynejnoj ympul\snoj system¥ y lynejnoj system¥ s ympul\samy.
1. Vstup. Systemy dyferencial\nyx rivnqn\ z impul\snog di[g [ zruçnymy ma-
tematyçnymy modelqmy opysu real\nyx procesiv, qki pid ças evolgci] zaznagt\
mytt[vyx vplyviv. Taki systemy intensyvno vyvçagt\sq bahat\ma matematykamy.
U monohrafi] [1] u pevnij miri pidsumovano doslidΩennq v danij haluzi.
Odnak na praktyci vyvçaty ob’[kt, qkyj zada[t\sq nelinijnog systemog z im-
pul\snog di[g v nefiksovani momenty çasu, dosyt\ vaΩko. StverdΩuvaty wos\
pro qkisnu povedinku rozv’qzkiv u takomu vypadku, osoblyvo na neskinçennyx in-
tervalax, [ duΩe neprostog zadaçeg.
V danij roboti navedeno deqki umovy na momenty ta velyçyny impul\siv, pry
qkyx rozv’qzky systemy z impul\snog di[g u nefiksovani momenty çasu moΩna
aproksymuvaty rozv’qzkamy deqko] systemy bez impul\siv. Inßymy slovamy, na-
vedeno umovy asymptotyçno] ekvivalentnosti impul\sno] systemy ta systemy
zvyçajnyx dyferencial\nyx rivnqn\.
Okremym pytannqm u roboti vydileno asymptotyçnu ekvivalentnist\ linij-
nyx system. Odni[g z klgçovyx teorem, v qkyx doslidΩu[t\sq cq problema, [
teorema Levinsona [2, s. 159]. Vkazana teorema vyznaça[ umovy asymptotyçno]
ekvivalentnosti stijko] linijno] odnoridno] systemy zi stalog matryceg A ta
linijno] odnoridno] systemy z matryceg A + B ( t ). TakoΩ v [2, c. 230] navedeno
(bez dovedennq) nastupne uzahal\nennq c\oho rezul\tatu, a same, umovy ekviva-
lentnosti system ẋ = A x ta ẏ = A y + f ( t, y ). Pry c\omu zrobleno posylannq na
robotu [3]. Prote naspravdi v cij roboti dovedeno asymptotyçnu ekvivalentnist\
lyße v odyn bik. Zokrema, vstanovleno, wo koΩnomu rozv’qzku y ( t ) systemy
ẏ = A y + f ( t, y ) moΩna postavyty u vidpovidnist\ [dynym çynom rozv’qzok x ( t )
systemy ẋ = A x takyj, wo || x ( t ) – y ( t ) || → 0, t → ∞. Wodo zvorotnoho rezul\-
tatu, to takoho dovedennq nema[; zaznaçeno lyße, wo ekvivalentnist\ v inßyj
bik dovesty skladno.
V danij roboti cej rezul\tat dovedeno v obydva boky i otrymano joho uza-
hal\nennq na impul\sni systemy.
2. Postanovka zadaçi. Rozhlqnemo systemu dyferencial\nyx rivnqn\ z im-
pul\snog di[g u nefiksovani momenty çasu:
ẋ = f ( t, x ), t ≠ τk ( x ),
(1)
∆ x t xk=τ ( ) = hk ( x ).
Budemo vvaΩaty, wo v nij nema[ byttq i rozv’qzky neobmeΩeno prodovΩuvani
vpravo. Zokrema, tak bude pry vykonanni umov lemy 3.1 z [1, c. 23].
Stavyt\sq zadaça doslidΩennq asymptotyçno] povedinky pry t → ∞ rozv’qz-
kiv systemy (1). Ce pytannq rozhlqda[t\sq v konteksti pobudovy systemy zvy-
çajnyx dyferencial\nyx rivnqn\
ẏ = g ( t, y), (2)
qku nazvemo hranyçnog dlq (1) v nastupnomu sensi.
© O. M. STANÛYC|KYJ, O. O. MISQC|, 2007
514 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
ASYMPTOTYÇNA EKVIVALENTNIST| IMPUL|SNYX SYSTEM 515
Oznaçennq 1. Systema (2) nazyva[t\sq hranyçnog (asymptotyçno ekvi-
valentnog) systemi (1), qkwo dlq dovil\noho rozv’qzku x ( t ) systemy (1) is-
nu[ rozv’qzok y ( t ) systemy (2) takyj, wo
lim ( ) ( )
t
x t y t
→∞
− = 0. (3)
Oçevydno, wo neobxidnog umovog vykonannq (3) [ prqmuvannq velyçyn im-
pul\su do nulq pry k → ∞ . Prote cq umova ne [ dostatn\og, wo pidtverdΩu[
nastupnyj pryklad.
Pryklad 1. Rozhlqnemo systemu
ẋ = x, t ≠ τk ( x ),
(4)
∆ x t xk=τ ( ) = hk ( x ), x ∈ R
n
.
Dosyt\ prosto pokazaty, wo dlq toho, wob systema ẏ = y bula asymptotyçno
ekvivalentnog (4), dostatn\o vykonannq umovy
e h x ex Rn n
n
k
x
k n x R
k
xsup ( ) ( )sup ( )∈ +
=
∞
∈
−∑τ τ1 → 0, n → ∞.
Qkwo Ω τk ( x ) ≡ τ k , h k ( x ) ≡ hk , to cq umova [ i neobxidnog. Nastupnyj
pryklad pokazu[, wo hranyçnym rivnqnnqm moΩe neobov’qzkovo buty perße z
rivnqn\ (1).
Pryklad 2. Rozhlqnemo systemu
ẋ = x, t ≠ τk ,
∆ x t k=τ = hk ( x ), x ∈ R.
Qkwo τk = ln ( ln k ) , a hk = ln ln ln( ) ln lnk k k+( ) − ( )( )1 , to rol\ hranyçnoho riv-
nqnnq vidihravatyme ẏ = 1
1+
t
y.
3. Osnovni rezul\taty. Navedeni vywe pryklady — ce pryklady system z
impul\snog di[g, perße rivnqnnq qkyx [ linijnym. Pry ]x doslidΩenni sutt[vo
vykorystovuvavsq qvnyj vyhlqd rozv’qzku.
Perejdemo do rozhlqdu zahal\no] systemy (1) iz nelinijnym perßym rivnqn-
nqm. Nexaj funkciq f ( t, x ) [ vyznaçenog i neperervnog za sukupnistg zminnyx
v oblasti t ≥ 0, x ∈ R
n
, h k ( x ) neperervni pry x ∈ R
n
. Ma[ misce nastupna
teorema.
Teorema 1. Nexaj v (1) nema[ byttq, rozv’qzky neobmeΩeno prodovΩuvani
vpravo i vykonugt\sq nastupni umovy:
1) f ( t, x ) [ lipßycevog po x zi stalog L;
2) rqd
k x R k
L x
n
kh x e=
∞
∈∑ +( )1
1sup ( ) ( )τ [ zbiΩnym.
Todi systema
ẏ = f ( t, y ) (5)
bude asymptotyçno ekvivalentnog systemi (1) u sensi navedenoho vywe
oznaçennq.
Dovedennq. Nexaj x ( t ) — dovil\nyj rozv’qzok systemy (1). Poznaçymo
çerez { τk , k ≥ 1} momenty impul\sno] di] dlq n\oho, { hk , k ≥ 1} — ]x velyçyny.
Nabir ( τk , hk ) odnoznaçno vyznaça[t\sq rozv’qzkom x ( t ) i [ fiksovanym dlq
n\oho. Za oznaçennqm rozv’qzku impul\sno] systemy x ( t ) moΩna podaty u
vyhlqdi
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
516 O. M. STANÛYC|KYJ, O. O. MISQC|
x ( t ) =
k
kx t I t
k k
=
∞
( ]∑ +
0
1
( ) ( ),τ τ ,
de xk ( t ) — rozv’qzok systemy (5). TakoΩ xk + 1 ( τk +1 ) – xk ( τk +1 ) = hk . Z umovy (1)
ta lemy Hronuolla – Bellmana ma[mo
|| xk + 1 ( 0 ) – xk ( 0 ) || ≤ e x xL
k k k k
kτ τ τ+ + +−1 1 1( ) ( ) = e hL
k
kτ +1
.
Poslidovnist\ x kk ( ),0 1≥{ } [ fundamental\nog v R
n
. Dijsno, dlq dovil\nyx
n, m ≥ 1
|| xn ( 0 ) – xm ( 0 ) || ≤ || xn ( 0 ) – xn + 1 ( 0 ) || + || xn + 1 ( 0 ) – xn + 2 ( 0 ) || + …
… + || xm – 1 ( 0 ) – xm ( 0 ) || ≤ sup ( ) ( )
x R
n
L x
n
nh x e
∈
+( )τ 1 +
+ sup ( ) ( )
x R
n
L x
n
nh x e
∈
+
+( )1
2τ + … + sup ( ) ( )
x R
m
L x
n
mh x e
∈
+( )τ 1 ≤
≤
k n x R
k
L x
n
kh x e
=
∞
∈
∑ +( )sup ( ) ( )τ 1 → 0, n, m → ∞.
Poznaçymo çerez x∞ ]] hranycg. Rozhlqnemo rozv’qzok y ( t ) systemy
ẏ = f ( t, y ( t ) ),
y ( 0 ) = x∞ .
PokaΩemo, wo || x ( t ) – y ( t ) || → 0, t → ∞.
Zafiksu[mo t > 0. Isnu[ n take, wo τn – 1 ≤ t < τn .
Budemo vvaΩaty, wo prqmuvannq t do neskinçennosti rivnosyl\ne prqmuvan-
ng n do neskinçennosti. U protyleΩnomu vypadku dovedennq [ oçevydnym.
Ma[mo
x ( t ) = xn – 1 ( t ), t ∈ ( τn – 1 , τn ], n ≥ 2,
|| x ( t ) – y ( t ) || ≤ e x yL t
n n
n( )– ( ) ( )− −τ τ τ1 ≤ e x yL
n n n
n n( )– ( ) ( )τ τ τ τ−
− −1
1 ,
x yn n n− −1( ) ( )τ τ ≤
k n
k n k nx x
= −
∞
+∑ −
1
1( ) ( )τ τ ≤
≤
k n
L
k k k ke x xk k
= −
∞
−
+ + +∑ + −
1
1 1 1
1( ) ( ) ( )τ τ τ τ =
k n
L
ke hk k
= −
∞
−∑ +
1
1( )τ τ
.
Todi
|| x ( t ) – y ( t ) || ≤ e e hL
k n
L
k
n n k n( ) ( )–τ τ τ τ−
= −
∞
−∑ +1 1
1
= e e hL
k n
L
k
n k−
= −
∞
∑ +τ τ–1 1
1
≤
≤
k n x R
L
k
n
ke h
= −
∞
∈
∑ +
1
1sup τ → 0, n → ∞.
Teoremu dovedeno.
Proilgstru[mo otrymanu teoremu prykladom.
Pryklad 3. Nexaj f ( t, x ) [ lipßycevog po x zi stalog L, f ( t, x ) ≥ 0 pry
t ≥ 0, x ∈ R. Hiperpoverxni, pry peretyni qkyx vidbuva[t\sq strybok, vyznaçymo
qk
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
ASYMPTOTYÇNA EKVIVALENTNIST| IMPUL|SNYX SYSTEM 517
τk = ( , ): , , ( )t x x t t k k= ∈ +( ){ }ctg π π 1 ,
velyçynu strybka — takym çynom: hk ( x ) =
1
12 2 1k x eL k( ) ( )+ +π , de L — stala
Lipßycq funkci] f.
U cij systemi byttq ne bude, oskil\ky rozv’qzky [ nespadnymy, a hiperpoverx-
ni strybka — spadnymy po t.
Perevirymo vykonannq umovy 2 teoremy 1:
k x R
k
L xh x e k
=
∞
∈
∑ +( )
1
1sup ( ) ( )τ ≤
k x R
k
x R
L xh x e k
=
∞
∈ ∈
∑ +
1
1sup ( ) sup ( )τ ≤
≤
k
L k
L k
k e
e
=
∞
+
+∑
1
2 1
11
π
π
( ) =
k k=
∞
∑
1
2
1
< ∞.
Takym çynom, zhidno z dovedenog teoremog, systemy
ẋ = f ( t, x ), t ≠ τk ( x ),
∆ x t xk=τ ( ) = hk ( x )
ta ẏ = f ( t, y) [ ekvivalentnymy.
Perejdemo do rozhlqdu asymptotyçno] ekvivalentnosti linijnyx ta slabko-
nelinijnyx system. Navedena nyΩçe teorema vyznaça[ dostatni umovy tako] ek-
vivalentnosti i [ uzahal\nennqm teoremy Levinsona.
Rozhlqnemo dvi systemy z impul\snog di[g u fiksovani momenty çasu:
dx
dt
= A x, t ≠ τk ,
(6)
∆ x t k=τ = B x,
de A, B — ( n × n )-matryci, τk — çyslova poslidovnist\ na R
1
taka, wo τk →
→ – ∞ pry k → – ∞ i τk → + ∞ pry k → ∞ ta
dy
dt
= A y + f ( t, y ), t ≠ τk ,
(7)
∆ y t k=τ = B y + Jk ( y ), Jk : R
n → R
n
.
Teorema 2. Nexaj vykonano nastupni umovy:
1) dijsni çastyny vlasnyx çysel matryci A nedodatni, a vlasnym çyslam z
nul\ovog dijsnog çastynog vidpovida[ odnovymirna klityna Ûordana;
2) A ta B komutugt\: A B = B A;
3) || E – B || ≤ 1;
4) isnu[ neperervna nevid’[mna funkciq K ( τ ) ∈ L1 [ 0, ∞ ] taka, wo || f (t,
y) || ≤ K ( t ) || y || dlq dovil\nyx t ≥ 0, x ∈ R
n
;
5) isnu[ {Dk , k ≥ 1} — nevid’[mna poslidovnist\ çysel taka, wo || Jk ( y) || ≤
≤ Dk || y || dlq dovil\noho y ∈ R
n i
k kD=
∞∑ 1
< ∞;
6) f [ lipßycevog po y ta neperervnog za sukupnistg zminnyx pry t ≥ 0,
x ∈ R
n
.
Todi (6) ta (7) ekvivalentni v nastupnomu sensi: koΩnomu rozv’qzku x ( t )
systemy (6) moΩna postavyty u vidpovidnist\ rozv’qzok y t( ) systemy (7) ta-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
518 O. M. STANÛYC|KYJ, O. O. MISQC|
kyj, wo || x ( t ) – y ( t ) || → 0, t → ∞ , a takoΩ koΩnomu rozv’qzku y ( t ) systemy
(7) [dynym çynom moΩna postavyty u vidpovidnist\ rozv’qzok x ( t ) systemy (6)
takyj, wo || x ( t ) – y ( t ) || → 0, t → ∞.
Dovedennq rozib’[mo na kil\ka punktiv.
1. Perßyj punkt [ analohiçnym do toho, wo i v teoremi Levinsona, a same:
matrycg A my poda[mo u vyhlqdi
A
A
1
2
0
0
,
de A1 — matrycq, dijsni çastyny vlasnyx çysel qko] [ vid’[mnymy, A2 — matry-
cq, dijsni çastyny vlasnyx çysel qko] [ nul\ovymy. Nexaj X ( t, t0 ) — matrycant
systemy (6). Iz zahal\no] teori] linijnyx system z impul\snog di[g vidomo, wo
pry vykonanni umovy (2) X ( t, t0 ) ma[ vyhlqd
X ( t, t0 ) = e E BA t t i t t( ) ( , )( )− +0 0
,
de i ( t, t0 ) — kil\kist\ impul\siv na [ t0 , t ]. Vraxovugçy zobraΩennq matryci A i
umovu (3), matrycant moΩna zapysaty u vyhlqdi
X ( t, t0 ) = X1 ( t, t0 ) + X2 ( t, t0 ),
de
|| X1 ( t, t0 ) || ≤ ae t t− −α( )0
pry t ≥ t0
, || X2 ( t, t0 ) || ≤ b, t ∈ R
1
,
a i b — deqki stali.
2. U c\omu punkti otryma[mo ocinku dlq rozv’qzku y ( t, t0 , y0 ) systemy (7)
takoho, wo y ( t0 , t0 , y0 ) = y0.
Zobrazymo joho v intehral\nij formi:
y ( t, t0 , y0 ) = X ( t, t0 ) y0 +
t
t
X t f y t y d
0
0 0∫ ( )( , ) , ( , , )τ τ τ τ +
+
t t
k k k
k
X t J y t y
0
0 0 0
< <
∑ ( )
τ
τ τ( , ) ( , , ) .
Ma[mo ocinku
|| y ( t, t0 , y0 ) || ≤ c || y0 || +
t
t
X t f y t y d
0
0 0∫ ( )( , ) , ( , , )τ τ τ τ +
+
t t
k k k
k
X t J y t y
0
0 0 0
< <
∑ ( )
τ
τ τ( , ) ( , , ) ≤
≤ c || y0 || + c K y t y d
t
t
0
0 0∫ ( ) ( , , )τ τ τ + c D y t y
k t t
k k
k:
( , , )
0
0 0
< <
∑
τ
τ .
Z uzahal\neno] nerivnosti Hronuolla – Bellmana [1, c. 13] vyplyva[
|| y ( t, t0 , y0 ) || ≤ c D e y
t t
k
K d
k
t
t
0
01 0
< <
∏ +
∫
τ
τ τ
( )
( )
≤
≤ c D e y
k
k
K d
t
=
∞
∏ +
∫
∞
1
01 0( )
( )τ τ
.
Rqd
k kD=
∞∑ 1
zbiha[t\sq, tomu ma[ misce nerivnist\
k kD=
∞∏ +
1
1( ) < ∞.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
ASYMPTOTYÇNA EKVIVALENTNIST| IMPUL|SNYX SYSTEM 519
Z ostann\oho i zbiΩnosti
0
∞
∫ K d( )τ τ vyplyva[ ocinka || y ( t, t0 , y0 ) || ≤ c1 || y0 ||
z ne zaleΩnog vid t0 i y0 stalog c.
3. U c\omu punkti dlq danoho rozv’qzku y ( t ) = y ( t, t0 , y0 ) znajdemo takyj
rozv’qzok x ( t ) systemy (6), wo || x ( t ) – y ( t ) || → 0, t → ∞.
Z intehral\no-sumarnoho zobraΩennq rozv’qzku ma[mo
y ( t ) = X ( t, t0 ) y0 +
t
t
X t f y d
0
1∫ ( )( , ) , ( )τ τ τ τ +
t
t
X t f y d
0
2∫ ( )( , ) , ( )τ τ τ τ +
+
t t
k k k
k
X t J y
0
1
< <
∑ ( )
τ
τ τ( , ) ( ) +
t t
k k k
k
X t J y
0
2
< <
∑ ( )
τ
τ τ( , ) ( ) .
Vraxovugçy evolgcijnu vlastyvist\ matrycanta, otrymu[mo
y ( t ) = X t t y X t f y d X t J y
t t
k k k
k
( , ) ( , ) , ( ) ( , ) ( )0 0 2 0 2 0
0 0
+ ( ) + ( )
∞
>
∫ ∑τ τ τ τ τ τ
τ
+
+
t
t
X t f y d
0
1∫ ( )( , ) , ( )τ τ τ τ –
t
X t f y d
∞
∫ ( )2( , ) , ( )τ τ τ τ –
–
τ
τ τ
k t
k k kX t J y
≥
∑ ( )2( , ) ( ) +
t t
k k k
k
X t J y
0
1
< <
∑ ( )
τ
τ τ( , ) ( ) .
Poklademo
x0 = y0 +
t
X t f y d
0
2 0
∞
∫ ( )( , ) , ( )τ τ τ τ +
τ
τ τ
k t
k k kX t J y
>
∑ ( )
0
2 0( , ) ( ) . (8)
Na pidstavi vykladenoho vywe intehral i rqd u (8) [ zbiΩnymy.
Rozv’qzku y ( t ) systemy (7) postavymo u vidpovidnist\ rozv’qzok x ( t ) systemy
(6) z poçatkovog umovog x ( t0 ) = x0 , de x0 vyznaçeno formulog (8).
Oskil\ky rozv’qzky x ( t ) i y ( t ) odnoznaçno vyznaçagt\sq svo]my poçatkovy-
my danymy, to formula (8) vstanovlg[ odnoznaçnu vidpovidnist\ miΩ mnoΩynog
vsix rozv’qzkiv systemy (7) i mnoΩynog vsix rozv’qzkiv (abo ]] çastyny) systemy
(6). Todi
x ( t ) = X ( t, t0 ) x0 .
PokaΩemo, wo
|| x ( t ) – y ( t ) || → 0, t → ∞.
Ma[mo
|| x ( t ) – y ( t ) || =
t
t
X t f y d
0
1∫ ( )( , ) , ( )τ τ τ τ +
t t
k k k
k
X t J y
0
1
< <
∑ ( )
τ
τ τ( , ) ( ) +
+
t
kX t f y d
∞
∫ ( )2( , ) , ( )τ τ τ τ +
τ
τ τ
k t
k k kX t J y
≥
∑ ( )2( , ) ( ) ≤
≤
t
t
X t K y d
0
1∫ ( , ) ( ) ( )τ τ τ τ +
t t
k k k
k
X t D y
0
1
< <
∑
τ
τ τ( , ) ( ) +
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
520 O. M. STANÛYC|KYJ, O. O. MISQC|
+
t
X t K y d
∞
∫ 2( , ) ( ) ( )τ τ τ τ +
τ
τ τ
k t
k k kX t D y
≥
∑ 2( , ) ( ) ≤
≤
t
t
tae K c y d
0
1 0∫ − −α τ τ τ( ) ( ) +
t t
t
k
k
kae D c y
0
1 0
< <
− −∑
τ
α τ( ) +
+ bc y K d
t
1 0
∞
∫ ( )τ τ + bc y D
k t
k1 0
τ ≥
∑ . (9)
Ostanni dva dodanky u formuli (9) prqmugt\ do nulq pry t, wo prqmu[ do ne-
skinçennosti, zhidno z umovamy 4 i 5 teoremy 2.
Vykorystovugçy ocinky
t
t
te K d
0
∫ − −α τ τ τ( ) ( ) =
t
t
te K d
0
2/
∫ − −α τ τ τ( ) ( ) +
t
t
te K d
/
∫ − −
2
α τ τ τ( ) ( ) ≤
≤ e K dt
t
−
∞
/ ∫α τ τ2
0
( ) +
t
t
K d
/
∫
2
( )τ τ ,
otrymu[mo zbiΩnist\ do nulq perßoho dodanka v (9) pry t → ∞.
Analohiçno
t t
t
k
k
ke D
0 < <
− −∑
τ
α τ( ) ≤
t t
t
k
k
ke D
0 2< ≤
− −
/
∑
τ
α τ( ) +
t t
t
k
k
ke D
/ < <
− −∑
2 τ
α τ( ) ≤
≤ e Dt
t
k
k
−
<
/ ∑α
τ
2
0
+
t t
k
k
D
/ < <
∑
2 τ
.
Zvidsy vyplyva[ prqmuvannq do nulq druhoho dodanka v (9) pry t → ∞.
4. Nareßti, pokaΩemo, wo koΩnomu rozv’qzku x ( t ) my moΩemo postavyty u
vidpovidnist\ rozv’qzok y ( t ) systemy (7) takyj, wo || x ( t ) – y ( t ) || → 0, t → ∞ ,
wo i zaverßyt\ dovedennq teoremy.
Nexaj x — poçatkove znaçennq rozv’qzku (6). PokaΩemo, wo isnu[ poçatko-
ve znaçennq rozv’qzku (7), qke zadovol\nq[ spivvidnoßennq (8). Poznaçymo pra-
vu çastynu c\oho spivvidnoßennq çerez F ( y0 ), x0 = F ( y0 ). Nahada[mo, wo v
formuli (8) y ( τ ) = y ( τ, t0
, y0 ).
PokaΩemo, wo vidobraΩennq F : R
n → R
n
[ neperervnym. Spoçatku dovede-
mo neperervnist\ vidobraΩennq F1 ( y0 ), vyznaçenoho formulog F1 ( y0 ) =
=
t
X t f y y d
0
2 0 0
∞
∫ ( )( , ) , ( , )τ τ τ τ .
Nexaj poslidovnist\ y nn , ≥{ }1 ∈ R
n
[ takog, wo yn → y0 v R
n
. Todi isnu[
kulq BR ( 0 ) taka, wo yn ∈ BR ( 0 ) dlq dovil\noho n. Zafiksu[mo dovil\ne ε >
> 0. Isnu[ T > 0 take, wo dlq dovil\noho n ≥ 1 vykonu[t\sq nerivnist\
T
nX t f y y d
∞
∫ ( )2 0( , ) , ( , )τ τ τ τ ≤ c K y y d
T
n
∞
∫ ( ) ( , )τ τ τ ≤ c K y d
T
n1
∞
∫ ( )τ τ ≤
≤ c R K d
T
2
∞
∫ ( )τ τ <
ε
4
.
Podamo F1 u vyhlqdi
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
ASYMPTOTYÇNA EKVIVALENTNIST| IMPUL|SNYX SYSTEM 521
F1 ( y0 ) =
t
T
X t f y y d
0
2 0 0∫ − ( )( ) , ( , )τ τ τ τ +
T
X t f y y d
∞
∫ − ( )2 0( ) , ( , ( ))τ τ τ τ τ.
Todi
|| F1 ( y0 ) – F1 ( yn ) || ≤
t
T
nX t f y y f y y y d
0
2 0 0∫ − ( ) − ( )( )[ ]( ) , ( , ) , , ( , )τ τ τ τ τ τ τ +
+
T
X t f y y d
∞
∫ − ( )2 0 0( ) , ( , )τ τ τ τ +
T
nX t f y y d
∞
∫ − ( )( )2 0( ) , , ( )τ τ τ τ τ ≤
≤ c y y y y d
t
T
n4 0
0
∫ −( , ) ( , )τ τ τ +
ε
4
+
ε
4
≤ c e y y d
t
T
L T t
n5 0
0
0∫ − −( ) τ +
ε
2
< ε
dlq dostatn\o velykyx n.
Z ostann\oho vyplyva[ neperervnist\ vidobraΩennq F1
. Neperervnist\ vi-
dobraΩennq F2 ( y ) = τ τ τ
k t k k kX t J y y>∑ ( )
0
2 0 0( , ) ( , ) dovodyt\sq analohiçno.
Dlq podal\ßoho dovedennq skorysta[mos\ nastupnym naslidkom z teoremy
Brauera pro neruxomu toçku, a same, nastupnog teoremog [4, c. 26].
Teorema. Qkwo f : R
n → R
n [ neperervnym i
f y y
y
( ),( )
→ ∞, || y || → ∞, (10)
to rivnqnnq f ( y ) = x ma[ rozv’qzok dlq vsix x ∈ R
n
.
Ma[mo
| (F ( y0 ), y0) | =
= ( , ) ( ) , ( , ) , ( , ) ( , ),y y X t f y y d y X t J y y y
t t
i i i
i
0 0 2 0 0 0 2 0 0 0
0 0
+ − ( )
+ ( )
∞
>
∫ ∑τ τ τ τ τ τ
τ
≥
≥ ( , )y y0 0 –
–
t t
i i iX t f y y d y X t J y y y
i0 0
2 0 0 0 2 0 0 0
∞
>
∫ ∑− ( )
+ ( )
( ) , ( , ) , ( , ) ( , ),τ τ τ τ τ τ
τ
≥
≥ y0
2 – c y K d
t
1 0
2
0
∞
∫ ( )τ τ – c y D
t t
k
k
2 0
2
0>
∑ .
Vyberemo t0 dostatn\o velykym tak, wob c K d
t1
0
∞
∫ ( )τ τ + c D
k t k
k
2
0:τ >∑ < 1.
Ostannq nerivnist\ zabezpeçu[ vykonannq umovy (10), a otΩe, i rozv’qznist\
rivnqnnq (8) vidnosno y0.
Teoremu dovedeno.
1. Samojlenko A. M., Perestgk N. A. Dyfferencyal\n¥e uravnenyq s ympul\sn¥m vozdejst-
vyem. – Kyev: Vywa ßk., 1987. – 288 s.
2. Demydovyç B. P. Lekcyy po matematyçeskoj teoryy ustojçyvosty. – M.: Nauka, 1967. –
472Us.
3. Brauer F. Nonlinear differential equations with forcing terms // Proc. Amer. Math. Soc. – 1964. –
15, # 5. – P. 758 – 765.
4. Nyrenberh L. Lekcyy po nelynejnomu funkcyonal\nomu analyzu. – M.: Myr, 1977. – 222 s.
OderΩano 18.09.2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
|
| id | umjimathkievua-article-3325 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:40:23Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/4d/1c69c4db4b4f8b4c1b908db53009214d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33252020-03-18T19:51:20Z Asymptotic equivalence of impulsive systems Асимптотична еквівалентність імпульсних систем Misyats, O. O. Stanzhitskii, A. N. Місяць, О. О. Станжицький, О. М. We present sufficient conditions for the asymptotic equivalence of a nonlinear impulsive system and a nonlinear system without pulses. We also consider the case of the asymptotic equivalence of a weakly nonlinear impulsive system and a linear system with pulses. Приведены достаточные условия асимптотической эквивалентности нелинейной импульсной системы нелинейной системе без импульсов. Рассмотрен случай асимптотической эквивалентности слабонелинейной импульсной системы и линейной системы с импульсами. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3325 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 4 (2007); 514–521 Український математичний журнал; Том 59 № 4 (2007); 514–521 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3325/3395 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3325/3396 Copyright (c) 2007 Misyats O. O.; Stanzhitskii A. N. |
| spellingShingle | Misyats, O. O. Stanzhitskii, A. N. Місяць, О. О. Станжицький, О. М. Asymptotic equivalence of impulsive systems |
| title | Asymptotic equivalence of impulsive systems |
| title_alt | Асимптотична еквівалентність імпульсних систем |
| title_full | Asymptotic equivalence of impulsive systems |
| title_fullStr | Asymptotic equivalence of impulsive systems |
| title_full_unstemmed | Asymptotic equivalence of impulsive systems |
| title_short | Asymptotic equivalence of impulsive systems |
| title_sort | asymptotic equivalence of impulsive systems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3325 |
| work_keys_str_mv | AT misyatsoo asymptoticequivalenceofimpulsivesystems AT stanzhitskiian asymptoticequivalenceofimpulsivesystems AT mísâcʹoo asymptoticequivalenceofimpulsivesystems AT stanžicʹkijom asymptoticequivalenceofimpulsivesystems AT misyatsoo asimptotičnaekvívalentnístʹímpulʹsnihsistem AT stanzhitskiian asimptotičnaekvívalentnístʹímpulʹsnihsistem AT mísâcʹoo asimptotičnaekvívalentnístʹímpulʹsnihsistem AT stanžicʹkijom asimptotičnaekvívalentnístʹímpulʹsnihsistem |