On equivalent bases in Banach spaces
We present several generalizations of the classical Bari theorem on the Riesz basis property of close systems in Hilbert spaces to Banach spaces. We introduce the corresponding definitions and formulate theorems on the basis property of close systems in Banach spaces.
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3329 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509396957659136 |
|---|---|
| author | Bilalov, B. T. Muradov, T. R. Билалов, Б. Т. Мурадов, Т. Р. Билалов, Б. Т. Мурадов, Т. Р. |
| author_facet | Bilalov, B. T. Muradov, T. R. Билалов, Б. Т. Мурадов, Т. Р. Билалов, Б. Т. Мурадов, Т. Р. |
| author_sort | Bilalov, B. T. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:51:20Z |
| description | We present several generalizations of the classical Bari theorem on the Riesz basis property of close systems in Hilbert spaces to Banach spaces. We introduce the corresponding definitions and formulate theorems on the basis property of close systems in Banach spaces. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:40:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
K�O�R�O�T�K�I���P�O�V�I�D�O�M�L�E�N�N�Q
UDK 517.9
B. T. Bylalov, T. R. Muradov (Yn-t matematyky y mexanyky NAN AzerbajdΩana, Baku)
OB ∏KVYVALENTNÁX BAZYSAX
V BANAXOVÁX PROSTRANSTVAX
We give some generalizations of the classical theorem of N. K. Bari on the Riesz basis property of close
systems in Hilbert spaces to Banach spaces. Appropriate definitions are introduced, theorems on basis
property of close systems in Banach spaces are formulated.
Navedeno deqki uzahal\nennq dlq banaxovyx prostoriv klasyçno] teoremy N. K. Bari wodo
bazysnosti Rissa blyz\kyx system u hil\bertovyx prostorax. Vvedeno vidpovidni oznaçennq,
sformul\ovano teoremy pro bazysnist\ blyz\kyx system u banaxovyx prostorax.
Xoroßo yzvestn¥ klassyçeskye teorem¥ Pπly – Vynera y N. K. Bary o bazys-
nosty Ryssa blyzkyx v nekotorom sm¥sle system v hyl\bertovom prostranstve.
Mnohymy avtoramy pryveden¥ razlyçn¥e pryznaky bazysnosty blyzkyx system
(sm., naprymer, [1, 2]). Nekotor¥e obobwenyq nazvann¥x teorem Pπly – Vynera
y N. K. Bary v banaxov¥x y hyl\bertov¥x prostranstvax poluçen¥ v rabote [3].
V ukazann¥x rabotax blyzost\, v osnovnom, zadana v termynax samyx system. V
sylu dvojstvennosty s toçky zrenyq bazysnosty byortohonal\n¥e system¥ v
nekotorom sm¥sle ravnoznaçn¥. Poskol\ku heometryq banaxov¥x prostranstv
znaçytel\no otlyçaetsq ot heometryy hyl\bertov¥x, çtob¥ yssledovat\ bazys-
n¥e svojstva konkretn¥x system v opredelennom banaxovom prostranstve,
neobxodymo uçest\ strukturu soprqΩennoho prostranstva.
Umestno pryvesty sledugwee obobwenye klassyçeskoj teorem¥ Krejna –
Myl\mana – Rutmana (KMR) o mal¥x vozmuwenyqx bazysa.
Teorema KMR [2] (teorema 10.2). Esly xn{ }∞
1 — bazys banaxova prostran-
stva X, xn
*{ }∞
1
— koordynatn¥e funkcyonal¥ πtoho bazysa y byortohonal\-
naq posledovatel\nost\ y yn n, *{ }∞
1
⊂ X × X*
blyzka k xn{ }∞
1 v sledugwem
sm¥sle:
n
n n nx y x
=
∞
∑ − < + ∞
1
*
, (KMR)
to yn{ }∞
1 takΩe obrazuet bazys prostranstva X, πkvyvalentn¥j ysxodnomu
bazysu xn{ }∞
1 .
V nastoqwej rabote ustanavlyvaetsq bazysnost\ system s yspol\zovanyem
blyzosty soprqΩenn¥x system.
Perv¥j osnovnoj rezul\tat posvqwen dokazatel\stvu analoha teorem¥ KMR
s zamenoj uslovyq (KMR) na dvojstvennoe uslovye. Otmetym, çto rezul\tat
© B. T. BYLALOV, T. R. MURADOV, 2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 551
552 B. T. BYLALOV, T. R. MURADOV
predstavlqet nauçnug cennost\ tol\ko v sluçae nerefleksyvn¥x prostranstv,
tak kak v refleksyvnom sluçae soprqΩennaq k bazysu systema qvlqetsq ba-
zysom, y dlq poluçenyq upomqnutoho rezul\tata dostatoçno pomenqt\ rolqmy
X y X*
.
PreΩde çem formulyrovat\ osnovnoj rezul\tat, vvedem sledugwye obozna-
çenyq: N — mnoΩestvo natural\n¥x çysel; B — nekotoroe banaxovo pros-
transtvo s normoj ⋅ ; B*
— soprqΩennoe k B prostranstvo.
Snaçala dokaΩem sledugwye lemm¥.
Lemma 1. Pust\ ϕn n N B{ } ⊂∈ — nekotor¥j bazys v B y mynymal\naq v
B systema ψn n N{ } ∈ blyzka k ϕn n N{ } ∈ v tom sm¥sle, çto
n
n n n
≥
∑ − < + ∞
1
ψ ϕ ϕ* *
,
hde ψn n N
*{ } ∈
, ϕn n N
B* *{ } ⊂
∈
— sootvetstvugwye byortohonal\n¥e k
ψn n N{ } ∈ , ϕn n N{ } ∈ system¥. Tohda v¥raΩenye
Tf f
n
n n n≡ −( )
≥
∑df
1
ψ ϕ ϕ* * ( )
opredelqet nekotor¥j vpolne neprer¥vn¥j operator T : B → B.
Dokazatel\stvo. Dejstvytel\no,
N
N p
n n nf
+
∑ −( )ψ ϕ ϕ* * ( ) ≤
N
N p
n n nf
+
∑ −( )ψ ϕ ϕ* * ( ) ≤
≤
N
N p
n n n f
+
∑ −
ψ ϕ ϕ* *
.
Yz πtoho neravenstva sleduet, çto rqd
Tf =
n
n n nf
≥
∑ −( )
1
ψ ϕ ϕ* * ( )
sxodytsq v B, pryçem qsno, çto T ≤
n n n n≥∑ −
1
ψ ϕ ϕ* *
.
Pust\ Tn =
n
N
n n n=∑ −( ) ⋅
1
ψ ϕ ϕ* * ( ) . Oçevydno, çto T Tn− ≤
≤
n N n n n≥ +∑ −
1
ψ ϕ ϕ* * � 0, n → ∞. Yz koneçnomernosty y neprer¥vnosty v
B operatorov Tn sleduet vpolne neprer¥vnost\ T : B → B.
Lemma dokazana.
Lemma 2. Pust\ v¥polnen¥ vse uslovyq lemm¥ 1. Tohda v¥raΩenye
Ff f
n
n n≡
≥
∑df
1
ψ ϕ*( )
opredelqet fredhol\mov¥j operator F : B → B.
Dokazatel\stvo. Lehko ubedyt\sq, çto
Ff =
n
n nf
≥
∑
1
ψ ϕ*( ) =
n
n n nf
≥
∑ −( )
1
ψ ϕ ϕ* * ( ) +
n
n nf
≥
∑
1
ϕ ϕ*( ) = ( )T I f+ ,
hde I : B � B — edynyçn¥j operator. Fredhol\movost\ F oçevydna.
Lemma dokazana.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
OB ∏KVYVALENTNÁX BAZYSAX V BANAXOVÁX PROSTRANSTVAX 553
Lemma 3. Pust\ F : B → B — nekotor¥j fredhol\mov¥j operator y
F nψ G= ϕn dlq lgboho n N∈ , hde ϕn n N{ } ∈ polna v B. Tohda F obratym y
ψn n N{ } ∈ takΩe polna v B ( yzomorfna systeme ϕn n N{ } )∈ .
Dejstvytel\no, yz x F* *∈Ker ymeem 0 = F x n
* * ( )ϕ = x F n
* ( )ψ = x n
*( )ϕ . Yz
polnot¥ ϕn n N{ } ∈ v B sleduet x* = 0.
Opredelenye 1. Mynymal\n¥e v B system¥ ψn n N{ } ∈ , ϕn n N{ } ∈ nazovem
*ϕ -blyzkymy, esly
n
n n n
≥
∑ − < + ∞
1
ψ ϕ ϕ* *
,
y *-blyzkymy, esly
n n n≥∑ −
1
ψ ϕ* * < + ∞, hde ψn n N
*{ } ∈
, ϕn n N
B* *{ } ⊂
∈
—
sootvetstvugwye byortohonal\n¥e system¥.
S pomow\g πtyx lemm lehko dokaz¥vaetsq sledugwaq teorema.
Teorema 1. Pust\ mynymal\naq v B systema ψn n N{ } ∈ *ϕ -blyzka k
nekotoromu bazysu ϕn n N{ } ∈ v B. Tohda ψn n N{ } ∈ toΩe obrazuet bazys v B,
yzomorfn¥j k ϕn n N{ } ∈ .
Dejstvytel\no, rassmatryvaq fredhol\mov¥j F : B → B operator
Ff f
n
n n=
≥
∑
1
ψ ϕ*( ) ,
hde ψn n N
B* *{ } ⊂
∈
— soprqΩennaq k ψn n N{ } ∈ systema, analohyçno lemme 3
dokaz¥vaetsq, çto Ker F* = 0 y, sledovatel\no, operator F ohranyçenno obra-
tym. Oçevydno, çto F n( )ψ = ϕn , y, sledovatel\no, ψn{ } toΩe obrazuet bazys
v B.
Yz πtoj teorem¥ neposredstvenno poluçaem sledugwyj analoh klassyçes-
koj teorem¥ N. K. Bary.
Sledstvye 1. Pust\ mynymal\naq v nekotorom hyl\bertovom prostranst-
ve H systema ψn n N{ } ∈ *-blyzka k nekotoromu bazysu Ryssa ϕn n N{ } ∈ v H .
Tohda ψn n N{ } ∈ obrazuet bazys Ryssa v H.
V sylu toho, çto bazys Ryssa udovletvorqet uslovyg 0 < c−1 ≤ ϕn ≤ c <
< + ∞ pry nekotoroj poloΩytel\noj postoqnnoj c > 0, spravedlyvost\ lemm
1, 2 otnosytel\no system ϕn n N{ } ∈ , ψn n N{ } ∈ oçevydna.
Dlq formulyrovky teorem¥ 2 nam ponadobqtsq sledugwye opredele-
nyqG[2, 3].
Opredelenye 2. Mynymal\nug v B systemu xn n N{ } ∈ s soprqΩennoj
x Bn n N
* *{ } ⊂
∈
nazovem p-besselevoj, esly dlq lgboho f B∈ ymeem
∑( ) ≤x f M fn
p p
*
/
( )
1
, 1 ≤ p < + ∞,
hde ⋅ — norma v B.
Opredelenye 3. System¥ xn n N{ } ∈ , y Bn n N{ } ⊂∈ nazovem p - blyzkymy,
esly
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
554 B. T. BYLALOV, T. R. MURADOV
n
n n
px y
≥
∑ − < + ∞
1
pry 1 < p < + ∞
y
max
n
n nx y− < + ∞ pry p = + ∞.
Teorema 2. Pust\ p -besseleva systema x Bn n N{ } ⊂∈ q -blyzka k bazysu
yn n N{ } ∈ v B,
1 1
p q
+ = 1. Tohda xn n N{ } ∈ obrazuet bazys v B, yzomorfn¥j k
yn n N{ } ∈ .
Dejstvytel\no, pust\ x Bn n N
* *{ } ⊂
∈
— soprqΩennaq k xn n N{ } ∈ systema.
Tohda yz neravenstva
∑ −x f x yn n n
*( )( ) ≤ ∑ −x f x yn n n
*( ) ≤
≤ ∑( )x fn
p p
*
/
( )
1
∑ −( )x yn n
q q1/
≤ M x y fn n
q q∑ −( )1/
sleduet, çto Tf = ∑ −x f x yn n n
*( )( ) vpolne neprer¥vn¥j, a znaçyt, F = I – T —
fredhol\mov¥j operator. Qsno, çto Fxn = yn .
Sohlasno lemme 3 F ohranyçenno obratym, v rezul\tate çeho utverΩdenye
teorem¥ oçevydno.
Zameçanye. Ynteresno sravnyt\ πtu teoremu s rezul\tatamy §G11 monohra-
fyy [2]. V utverΩdenyqx teorem [2] besselevost\ yly p-besselevost\ trebu-
etsq ot bazysa.
1. Myl\man V. D. Heometryçeskaq teoryq prostranstv Banaxa // Uspexy mat. nauk. – 1970. – 25,
v¥p. 3. – S. 113 – 174.
2. Zinger I. Bases in Banach spaces. I. – Berlin: Springer, 1970. – 668 p.
3. Bylalov B. T. Bazys¥ yz πksponent, kosynusov y synusov, qvlqgwyesq sobstvenn¥my
funkcyqmy dyfferencyal\n¥x operatorov // Dyfferenc. uravnenyq. – 2003. – 39, # 5. –
S. 1 – 5.
Poluçeno 16.05.2005,
posle dorabotky — 29.06.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
|
| id | umjimathkievua-article-3329 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:40:27Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b7/db56e5a9d6927db01123fa5365b23db7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33292020-03-18T19:51:20Z On equivalent bases in Banach spaces Об эквивалентных базисах в банаховых пространствах Bilalov, B. T. Muradov, T. R. Билалов, Б. Т. Мурадов, Т. Р. Билалов, Б. Т. Мурадов, Т. Р. We present several generalizations of the classical Bari theorem on the Riesz basis property of close systems in Hilbert spaces to Banach spaces. We introduce the corresponding definitions and formulate theorems on the basis property of close systems in Banach spaces. Наведено деякі узагальнення для банахових просторів класичної теореми H. К. Барі щодо базисності Рісса близьких систем у гільбертових просторах. Введено відповідні означення, сформульовано теореми про базисність близьких систем у банахових просторах. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3329 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 4 (2007); 551–554 Український математичний журнал; Том 59 № 4 (2007); 551–554 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3329/3402 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3329/3403 Copyright (c) 2007 Bilalov B. T.; Muradov T. R. |
| spellingShingle | Bilalov, B. T. Muradov, T. R. Билалов, Б. Т. Мурадов, Т. Р. Билалов, Б. Т. Мурадов, Т. Р. On equivalent bases in Banach spaces |
| title | On equivalent bases in Banach spaces |
| title_alt | Об эквивалентных базисах в банаховых пространствах |
| title_full | On equivalent bases in Banach spaces |
| title_fullStr | On equivalent bases in Banach spaces |
| title_full_unstemmed | On equivalent bases in Banach spaces |
| title_short | On equivalent bases in Banach spaces |
| title_sort | on equivalent bases in banach spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3329 |
| work_keys_str_mv | AT bilalovbt onequivalentbasesinbanachspaces AT muradovtr onequivalentbasesinbanachspaces AT bilalovbt onequivalentbasesinbanachspaces AT muradovtr onequivalentbasesinbanachspaces AT bilalovbt onequivalentbasesinbanachspaces AT muradovtr onequivalentbasesinbanachspaces AT bilalovbt obékvivalentnyhbazisahvbanahovyhprostranstvah AT muradovtr obékvivalentnyhbazisahvbanahovyhprostranstvah AT bilalovbt obékvivalentnyhbazisahvbanahovyhprostranstvah AT muradovtr obékvivalentnyhbazisahvbanahovyhprostranstvah AT bilalovbt obékvivalentnyhbazisahvbanahovyhprostranstvah AT muradovtr obékvivalentnyhbazisahvbanahovyhprostranstvah |