Middle-sectioned simplices in a four-dimensional affine space
We present the general geometric description and the Euler – Poincare characteristics of middle-sectioned simplexes in the four-dimensional affine space. We demonstrate the relation between such geometrical objects and four-dimensional analogs of the triangular Serpinski napkin.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3331 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509399200563200 |
|---|---|
| author | Reznikova, Yu. S. Резникова, Ю. С. Резникова, Ю. С. |
| author_facet | Reznikova, Yu. S. Резникова, Ю. С. Резникова, Ю. С. |
| author_sort | Reznikova, Yu. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:51:20Z |
| description | We present the general geometric description and the Euler – Poincare characteristics of middle-sectioned simplexes in the four-dimensional affine space.
We demonstrate the relation between such geometrical objects and four-dimensional analogs of the triangular Serpinski napkin.
|
| first_indexed | 2026-03-24T02:40:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 514.142
G. S. Reznykova
(NYY truda y zanqtosty naselenyq M-va truda y soc. polytyky Ukrayn¥ y NAN Ukrayn¥)
SREDYNNO-USEÇENNÁE SYMPLEKSÁ
V ÇETÁREXMERNOM AFFYNNOM PROSTRANSTVE
We present the general geometric description and the Euler – Poincare characteristics of middle-
sectioned simplexes in the four-dimensional affine space. We demonstrate the relation between such
geometrical objects and four-dimensional analogs of the triangular Serpinski napkin.
Navedeno zahal\nyj heometryçnyj opys, a takoΩ xarakterystyky Ejlera – Puankare seredynno-
zrizanyx sympleksiv u çotyryvymirnomu afinnomu prostori. Prodemonstrovano zv’qzok podib-
nyx heometryçnyx ob’[ktiv iz çotyryvymirnymy analohamy trykutno] servetky Serpins\koho.
1. Vvedenye. Pry pop¥tke analytyko-heometryçeskoho opysanyq karkasov
Serpynskoho, predstavlqgwyx soboj mnohomern¥e analohy treuhol\noj sal-
fetky Serpynskoho, v affynn¥x prostranstvax razmernosty çet¥re y v¥ße
b¥lo obnaruΩeno suwestvovanye typa v¥pukl¥x mnohohrannykov, opysanye ko-
toroho ranee avtoru ne vstreçalos\ [1, 2]. Poskol\ku podobn¥e heometryçeskye
obæekt¥, nazvann¥e sredynno-useçenn¥my sympleksamy
*
, predstavlqgt ynteres
kak s toçky zrenyq mnohomernoj heometryy neposredstvenno, tak y fraktal\-
noho analyza, yssledovanye yx osnovn¥x xarakterystyk pretenduet na rol\ sa-
mostoqtel\noj zadaçy.
Nastoqwaq rabota posvqwena yssledovanyqm sredynno-useçenn¥x symplek-
sov v çet¥rexmernom affynnom prostranstve. Cel\g rabot¥ qvlqetsq kak
predostavlenye polnoho opysanyq vnutrennej heometryçeskoj struktur¥, od-
noznaçno ydentyfycyrugweho podobn¥e obæekt¥, tak y demonstracyq svqzy
rassmatryvaem¥x mnohohrannykov s çet¥rexmern¥my karkasamy Serpynskoho.
2. Sredynno-useçenn¥j sympleks v çet¥rexmernom affynnom pros-
transtve.
Opredelenye. Sredynno-useçenn¥m sympleksom v çet¥rexmernom affyn-
nom prostranstve ( )ms S̃imp4 naz¥vaetsq çet¥rexmern¥j mnohohrannyk, pred-
stavlqgwyj soboj v¥puklug oboloçku desqty toçek (verßyn sredynno-useçen-
noho sympleksa), qvlqgwyxsq seredynamy 1-hranej proyzvol\noho çet¥rexmer-
noho sympleksa.
UtverΩdenye (o çet¥rexmernom sredynno-useçennom symplekse). Çet¥-
rexmern¥j sredynno-useçenn¥j sympleks qvlqetsq v¥pukl¥m mnohohrannykom,
3-hrany kotoroho predstavlen¥ ravn¥m kolyçestvom mnohohrannykov dvux ty-
pov, a ymenno:
sympleksamy (tetraπdramy);
sredynno-useçenn¥my sympleksamy (oktaπdramy).
Pry πtom kolyçestvo i-hranej çet¥rexmernoho sredynno-useçennoho sympleksa
ravno: N0 ( )ms S̃imp4 = 10, N1 ( )ms S̃imp4 = 30, N2 ( )ms S̃imp4 = 30, N3 ( )ms S̃imp4 =
= 10 sootvetstvenno.
Dokazatel\stvo. Procedura postroenyq sredynno-useçennoho sympleksa v
çet¥rexmernom affynnom prostranstve moΩet b¥t\ opysana sledugwym obra-
zom. Razob\em proyzvol\n¥j çet¥rexmern¥j sympleks ( )S̃imp4 pqt\g sredny-
my hyperploskostqmy, proxodqwymy çerez seredyn¥ eho reber parallel\no os-
novanyqm. Pry πtom obrazugtsq pqt\ konhruπntn¥x sympleksov okolo verßyn
ysxodnoho (dalee — pryverßynn¥e sympleks¥), a takΩe central\n¥j mnoho-
hrannyk, qvlqgwyjsq sredynno-useçenn¥m sympleksom po postroenyg (rys. 1).
*
V dvu- y trexmern¥x affynn¥x prostranstvax sredynno-useçenn¥e sympleks¥ predstavlqgt
soboj sootvetstvenno treuhol\nyky y oktaπdr¥.
© G. S. REZNYKOVA, 2007
566 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
SREDYNNO-USEÇENNÁE SYMPLEKSÁ V ÇETÁREXMERNOM … 567
Rys. 1. Hraf sredynno-useçennoho sympleksa ms S̃imp4 , vpysannoho v yznaçal\n¥j S̃imp4 .
Yz heometryçeskoj struktur¥ ms S̃imp4 sleduet, çto eho 3-hrany predstav-
len¥ ravn¥m kolyçestvom mnohohrannykov dvux typov, a ymenno:
pqt\g sympleksamy S̃imp3 (tetraπdramy), qvlqgwymysq osnovanyqmy pry-
verßynn¥x sympleksov;
pqt\g sredynno-useçenn¥my sympleksamy msS̃imp3 (oktaπdramy), predstav-
lqgwymy soboj central\n¥e mnohohrannyky 3-hranej ysxodnoho sympleksa.
Takym obrazom, N3 ( )ms S̃imp4 = 10.
Na rys. 2 predstavlen¥ hraf¥ 3-hranej oboyx ukazann¥x typov: sympleks
A12 A23 A25 A24 ( a) y oktaπdr A23A A A A A24 25 34 35 45 (b), vpysann¥e dlq luçßeho
vyzual\noho vospryqtyq v yznaçal\n¥j S̃imp4 .
a b
Rys. 2. Prymer¥ 3-hranej mnohohrannyka ms S̃imp4 pervoho (a)
y vtoroho (b) typov sootvetstvenno.
V dal\nejßem pry posledovatel\nom perexode ot i-hranej k ( i – 1 )-hranqm
mnohohrannyka ms S̃imp4 s cel\g korrektnoho podsçeta kolyçestva poslednyx
v kaçestve perv¥x rassmatryvagtsq tol\ko mnohohrannyky typa ms S̃imp vo yz-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
568 G. S. REZNYKOVA
beΩanye uçeta ( i – 1 )-hranej osnovanyj pryverßynn¥x sympleksov bolee çem
edynoΩd¥.
Sohlasno yzloΩennomu, dlq podsçeta kolyçestva 2-hranej mnohohrannyka
ms S̃imp4 neobxodymo opredelyt\ kolyçestvo 2-hranej pqty mnohohrannykov
msS̃imp3 s uçetom vnutrennej struktur¥ yssleduemoho heometryçeskoho
obæekta:
N2 ( )ms S̃imp4 = [obwee kolyçestvo mnohohrannykov msS̃imp3] × [kolyçestvo
2-hranej mnohohrannyka msS̃imp3 s uçetom vnutrennej struktur¥ mnohohran-
nyka ms S̃imp4 ] = [obwee kolyçestvo mnohohrannykov msS̃imp3] × [kolyçestvo
2-hranej mnohohrannyka msS̃imp3 , kotor¥e qvlqgtsq sympleksamy S̃imp2 +
+ (kolyçestvo 2-hranej mnohohrannyka msS̃imp3 , kotor¥e qvlqgtsq mnoho-
hrannykamy msS̃imp2) / 2 ] = 5 ⋅ 4 4
2
+
= 30.
Trydcat\ 2-hranej mnohohrannyka ms S̃imp4 predstavlen¥ dvadcat\g sym-
pleksamy S̃imp2 , kotor¥e sohlasno pryvedennoj v¥ße metodyke v dal\nejßem
podsçete i-hranej ne uçyt¥vagtsq, y desqt\g mnohohrannykamy msS̃imp2 .
Zametym, çto na dannom πtape y S̃imp2 , y msS̃imp2 predstavlqgt soboj
treuhol\nyky. Takym obrazom, dlq podsçeta 1-hranej mnohohrannyka ms S̃imp4
neobxodymo opredelyt\ kolyçestvo 1-hranej desqty treuhol\nykov msS̃imp2:
N1 ( )ms S̃imp4 = 30.
Kolyçestvo verßyn (0-hranej) mnohohrannyka ms S̃imp4 sovpadaet s koly-
çestvom reber yznaçal\noho sympleksa S̃imp4 , v kotor¥j on vpysan, po oprede-
lenyg: N0 ( )ms S̃imp4 = r( )S̃imp4 = C5
2 = 10.
Rezul\tat¥ podsçeta i-hranej mnohohrannyka ms S̃imp4 (rys. 3) predstavle-
n¥ v sledugwej tablyce.
Çet¥rexmern¥j sredynno-
useçenn¥j sympleks
N0 N1 N2 N3
ms S̃imp4 10 30 30 10
Kak yzvestno, v sluçae v¥pukl¥x mnohohrannykov proyzvol\noj razmer-
nosty n ( n ≥ 2 ) spravedlyva formula ∏jlera – Puankare [1, s. 512; 3, s. 182],
sohlasno kotoroj
(− )
=
−
∑ 1
0
1
i
i
n
⋅ Ni = 1 + ( – 1 )
n
–
1
,
hde Ni — kolyçestvo i-hranej.
PokaΩem, çto dlq çet¥rexmernoho sredynno-useçennoho sympleksa, opysan-
noho v¥ße, formula ∏jlera – Puankare dejstvytel\no v¥polnqetsq:
(− )
=
∑ 1
0
3
i
i
⋅ Ni = N0 – N1 + N2 – N3 = 10 – 30 + 30 – 10 = 0.
UtverΩdenye dokazano.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
SREDYNNO-USEÇENNÁE SYMPLEKSÁ V ÇETÁREXMERNOM … 569
UtverΩdenye o çet¥rexmernom sredynno-useçennom symplekse predostav-
lqet polnoe opysanye vnutrennej heometryçeskoj struktur¥, odnoznaçno yden-
tyfycyrugwee rassmatryvaem¥e obæekt¥.
Rys. 3. Hraf sredynno-useçennoho sympleksa ms S̃imp4 .
Sledstvye (o dual\nom k çet¥rexmernomu sredynno-useçennomu sympleksu
mnohohrannyke). Dual\n¥m k çet¥rexmernomu sredynno-useçennomu sympleksu
qvlqetsq çet¥rexmern¥j sredynno-useçenn¥j sympleks.
V dannom kontekste pod dual\nost\g ponymaetsq polqrnost\ otnosytel\no
ρ-sfer¥ Sρ = { }∈ (ℜ) ( ) =
� �
x V x c4 : ρ , c = const > 0, v metryçeskom prostranstve
{ }(ℜ)V 4 , ρ , hde ρ — nekotoraq fyksyrovannaq metryka.
3. Karkas Serpynskoho v çet¥rexmernom affynnom prostranstve.
Karkasom Serpynskoho v çet¥rexmernom affynnom prostranstve naz¥vaetsq
fraktal\noe mnoΩestvo, qvlqgweesq analohom treuhol\noj salfetky Ser-
pynskoho na ploskosty.
Sohlasno yznaçal\nomu podxodu k opysanyg treuhol\noj salfetky Serpyn-
skoho s pomow\g heometryçeskoj procedur¥ ysklgçenyj [4, s. 33], çet¥rex-
mern¥j karkas Serpynskoho takΩe moΩno opredelyt\ sxoΩym heometryçesky-
opysatel\n¥m sposobom.
Procedura postroenyq çet¥rexmernoho karkasa Serpynskoho. Razob\em pro-
yzvol\n¥j çet¥rexmern¥j zapolnenn¥j sympleks pqt\g srednymy hyperplos-
kostqmy, proxodqwymy çerez seredyn¥ eho reber parallel\no osnovanyqm. Pry
πtom obrazugtsq pqt\ konhruπntn¥x zapolnenn¥x sympleksov okolo verßyn
ysxodnoho, a takΩe central\n¥j telesn¥j mnohohrannyk [5, s. 13], vnutren-
nost\ kotoroho ysklgçaetsq. Dalee v¥polnym analohyçnug proceduru s kaΩ-
d¥m yz pqty ostavßyxsq zapolnenn¥x sympleksov. ProdolΩaq podobn¥j pro-
cess beskoneçno, poluçaem fyhuru, kotoraq qvlqetsq çet¥rexmern¥m karka-
som Serpynskoho ( SCar(4)
) po postroenyg.
SCar(4)
qvlqetsq dovol\no sloΩnoj prostranstvennoj lynyej, ymegwej
svojstvo samopodobyq: sostoyt yz pqty konhruπntn¥x y podobn¥x vsej kryvoj
çastej s koπffycyentom podobyq 1 / 2.
Ysxodq yz toho, çto razmernost\ Xausdorfa – Bezykovyça ohranyçenn¥x
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
570 G. S. REZNYKOVA
zamknut¥x SP-mnoΩestv, kakov¥m y qvlqetsq fraktal\noe mnoΩestvo SCar(4)
,
sovpadaet s SP-razmernost\g [6, s. 61], poluçaem sledugwee znaçenye razmer-
nosty Xausdorfa – Bezykovyça: α0
( SCar(4)
) = log2 5.
V processe yssledovanyq çet¥rexmernoho karkasa Serpynskoho s cel\g pre-
dostavlenyq analytyko-heometryçeskoho opysanyq
**
estestvenn¥m obrazom voz-
nykagt vopros¥, svqzann¥e s ysklgçaem¥my fyhuramy procedur¥ postroenyq.
Oçevydno, çto na pervom πtape postroenyq fraktal\noho mnoΩestva SCar(4)
ysklgçaemaq fyhura predstavlqet soboj vnutrennost\ çet¥rexmernoho zapol-
nennoho sredynno-useçennoho sympleksa. Uçyt¥vaq samopodobye rassmatryvae-
moho fraktal\noho mnoΩestva, oçevydno takΩe, çto na posledugwyx πtapax v
kaçestve ysklgçaem¥x mnoΩestv yspol\zugtsq obæedynenyq vnutrennostej so-
otvetstvugwyx telesn¥x mnohohrannykov ms S̃imp4 . Na osnovanyy yzloΩenno-
ho ymeet mesto sledugwee utverΩdenye.
UtverΩdenye. Fraktal\noe mnoΩestvo SCar(4)
moΩet rassmatryvat\sq
kak rezul\tat beskoneçnoj dyskretnoj procedur¥ (sohlasno pryncypam, yzlo-
Ωenn¥m v¥ße), na kaΩdom l-m, l ≥ 1, πtape kotoroj ysklgçaetsq mnoΩest-
vo, predstavlqgwee soboj obæedynenye vnutrennostej 5l
–
1
çet¥rexmern¥x
zapolnenn¥x sredynno-useçenn¥x sympleksov s koπffycyentom podobyq 1 / 2l
–
1
otnosytel\no pervoho πtapa postroenyq.
1. BerΩe M. Heometryq: V 2 t. – M.: Myr, 1984. – T. 1. – 560 s.
2. Kokster H. S. M. Vvedenye v heometryg. – M.: Nauka, 1966. – 648 s.
3. Lgsternyk L. A. V¥pukl¥e fyhur¥ y mnohohrannyky. – M.: Hostexteoryzdat, 1956. –
212Qs.
4. Feder E. Fraktal¥. – M.: Myr, 1991. – 260 s.
5. Aleksandrov A. D. V¥pukl¥e mnohohrannyky. – M.: Hostexteoryzdat, 1950. – 428 s.
6. Prac\ovytyj M. V. Fraktal\nyj pidxid u doslidΩennqx synhulqrnyx rozpodiliv. – Ky]v:
Nac. ped. un-t, 1998. – 298 s.
7. Reznykova G. S. Analytyko-heometryçeskoe opysanye kovra Serpynskoho y eho trexmer-
noho analoha v termynax modulq Halyc¥na // Nauk. çasopys NPU im. M. P. Drahomanova.
Seriq 1. Fiz.-mat. nauky. – 2004. – # 5. – S. 207 – 216.
Poluçeno 08.04.2005,
posle dorabotky — 21.06.2006
**
V dvu- y trexmern¥x affynn¥x prostranstvax upomqnutaq zadaça vpolne razreßyma v ter-
mynax modulq Halyc¥na [7].
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4
|
| id | umjimathkievua-article-3331 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:40:29Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d6/b903219029691da26c9d1beddfcac4d6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33312020-03-18T19:51:20Z Middle-sectioned simplices in a four-dimensional affine space Срединно-усеченные симплексы в четырехмерном аффинном пространстве Reznikova, Yu. S. Резникова, Ю. С. Резникова, Ю. С. We present the general geometric description and the Euler – Poincare characteristics of middle-sectioned simplexes in the four-dimensional affine space. We demonstrate the relation between such geometrical objects and four-dimensional analogs of the triangular Serpinski napkin. Наведено загальний геометричний опис, а також характеристики Ейлера – Пуанкаре серединно-зрізаних симплексів у чотиривимірному афінному просторі. Продемонстровано зв'язок подібних геометричних об'єктів із чотиривимірними аналогами трикутної серветки Серпінського. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3331 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 4 (2007); 566–570 Український математичний журнал; Том 59 № 4 (2007); 566–570 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3331/3406 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3331/3407 Copyright (c) 2007 Reznikova Yu. S. |
| spellingShingle | Reznikova, Yu. S. Резникова, Ю. С. Резникова, Ю. С. Middle-sectioned simplices in a four-dimensional affine space |
| title | Middle-sectioned simplices in a four-dimensional affine space |
| title_alt | Срединно-усеченные симплексы в четырехмерном аффинном пространстве |
| title_full | Middle-sectioned simplices in a four-dimensional affine space |
| title_fullStr | Middle-sectioned simplices in a four-dimensional affine space |
| title_full_unstemmed | Middle-sectioned simplices in a four-dimensional affine space |
| title_short | Middle-sectioned simplices in a four-dimensional affine space |
| title_sort | middle-sectioned simplices in a four-dimensional affine space |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3331 |
| work_keys_str_mv | AT reznikovayus middlesectionedsimplicesinafourdimensionalaffinespace AT reznikovaûs middlesectionedsimplicesinafourdimensionalaffinespace AT reznikovaûs middlesectionedsimplicesinafourdimensionalaffinespace AT reznikovayus sredinnousečennyesimpleksyvčetyrehmernomaffinnomprostranstve AT reznikovaûs sredinnousečennyesimpleksyvčetyrehmernomaffinnomprostranstve AT reznikovaûs sredinnousečennyesimpleksyvčetyrehmernomaffinnomprostranstve |