Generalization of the Kneser theorem on zeros of solutions of the equation $y" + p (t) y = 0$
We obtain conditions of the oscillation of solutions of the equation $y" + p(t)Ay = 0$ in the Banach space, where $A$ is a bounded linear operator and $p : R_+ \rightarrow R_+$ is a continuous function.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3332 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509403778646016 |
|---|---|
| author | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_facet | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_sort | Slyusarchuk, V. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:51:20Z |
| description | We obtain conditions of the oscillation of solutions of the equation $y" + p(t)Ay = 0$ in the Banach space, where $A$ is a bounded linear operator and $p : R_+ \rightarrow R_+$ is a continuous function.
|
| first_indexed | 2026-03-24T02:40:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.91
В. Ю. Слюсарчук (Нац. ун-т водн. госп-ва та природокористування, Рiвне)
УЗАГАЛЬНЕННЯ ТЕОРЕМИ КНЕЗЕРА
ПРО НУЛI РОЗВ’ЯЗКIВ РIВНЯННЯ y′′ + p(t)y = 0
We obtain conditions of the oscillation of solutions of the equation y′′ +p(t)Ay = 0 in the Banach space,
where A is a bounded linear operator and p : R+ −→ R+ is a continuous function.
Получены условия осцилляции решений уравнения y′′ +p(t)Ay = 0 в банаховом пространстве, где
A — ограниченный линейный оператор и p : R+ −→ R+ — непрерывная функция.
У теорiї диференцiальних рiвнянь важливе значення має встановлена Кнезером
теорема.
Теорема 1 [1, 2]. Якщо в рiвняннi
y′′ + p(t)y = 0 (1)
коефiцiєнт p(t) задовольняє умову
0 < p(t) ≤ 1
4t2
, t ≥ t0 > 0,
то його ненульовий розв’язок не може мати нескiнченне число нулiв в iнтервалi
(t0,+∞). Якщо
p(t) >
1 + α
4t2
, α > 0, t ≥ t1 > 0,
то кожний ненульовий розв’язок має нескiнченну множину нулiв в iнтервалi (t1,+∞).
Хiлл [3] i Ф. Хартман [4] звернули увагу на те, що теорема Кнезера зберiгається,
якщо в цiй теоремi функцiї
p1(t, 0) =
1
4t2
i p1(t, α) =
1 + α
4t2
замiнити вiдповiдно функцiями pn(t, 0) i pn(t, α), n ≥ 2, де
pn(t, α) =
1
t2
(
1
4
+ pn−1(ln t, α)
)
, n ≥ 2
(див. також [5, 6]).
Автором статтi було показано, що перша частина твердження теореми Кнезера
зберiгається, якщо функцiю p1(t, 0) замiнити функцiєю K(t), що є сумою функцiо-
нального ряду
1
4(e− 1 + t)2
+
1
4(e− 1 + t)2(e− 1 + ln(e− 1 + t))2
+ . . .
. . . +
1
4e2n(Qn−1(t))2
+ . . . ,
де
c© В. Ю. СЛЮСАРЧУК, 2007
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4 571
572 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Qk(t) =
k∏
n=0
vn(t)
i
v0(t) =
e− 1 + t
e
,
vn(t) =
e− 1 + ln(evn−1(t))
e
, n ≥ 1.
Теорема 2 [7]. Якщо в рiвняннi (1) коефiцiєнт p(t) задовольняє умову
0 < p(t) ≤ K(t), t ≥ t0 ≥ 1, (2)
то його ненульовий розв’язок не може мати нескiнченне число нулiв в iнтервалi
(t0,+∞). Якщо для деякого n ∈ N
lim
t→+∞
(p(t)−K(t))(Qn(t))2 > 0, (3)
то кожний ненульовий розв’язок рiвняння (1) має нескiнченну множину нулiв в
кожному iнтервалi (t1,+∞) (t1 — досить велике додатне число).
Зазначимо, що для кожного цiлого n ≥ 0 справджується спiввiдношення K(t) >
> pn(t, 0) для всiх досить великих t.
Метою цiєї статтi є узагальнення теореми 2 на випадок диференцiального рiв-
няння
d2y
dt2
+ p(t)Ay = 0, t ∈ R+, (4)
де A: E −→ E — обмежений лiнiйний оператор (E — дiйсний банахiв простiр) i
p : R+ −→ R+ — неперервна функцiя (R+ = [0, +∞)).
Нехай E1 — пiдпростiр банахового простору E, ковимiрнiсть codim E1 якого
дорiвнює 1. Позначимо через ϕ ненульовий лiнiйний функцiонал на E, ядро Kerϕ
якого збiгається з E1.
Означення 1. Розв’язок x(t) рiвняння (4) називається осцилюючим (колив-
ним) вiдносно E1, якщо для кожного числа a > 0 iснують такi числа t1, t2 ∈
∈ (a,+∞), що
ϕ(x(t1))ϕ(x(t2)) < 0.
Означення 2. Розв’язок x(t) рiвняння (4) називається осцилюючим вiдносно
E1, якщо
{x(t) ∈ E: t > a} \ E1 6= ∅
i
{t: x(t) ∈ E1, t > a} 6= ∅
для кожного числа a > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
УЗАГАЛЬНЕННЯ ТЕОРЕМИ КНЕЗЕРА ПРО НУЛI РОЗВ’ЯЗКIВ РIВНЯННЯ ... 573
Очевидно, що означення 1 i 2 не рiвносильнi.
Зазначимо, що осциляцiя вiдносно E1 розв’язкiв рiзних класiв еволюцiйних
рiвнянь дослiджувалась у роботах [8 – 15].
Розглянемо множини
E2 =
{
x ∈ E: ϕ(x) < 0
}
,
E3 =
{
x ∈ E: ϕ(x) > 0
}
.
Теорема 3. Нехай AEk ⊂ Ek, k = 2, 3.
Якщо для всiх x ∈ E3
ϕ(Ax) ≤ ϕ(x) (5)
i в рiвняннi (4) коефiцiєнт p(t) задовольняє умову
0 < p(t) ≤ K(t), t ≥ t0 ≥ 1,
то кожний розв’язок цього рiвняння не є осцилюючим у сенсi означення 2.
Якщо для всiх x ∈ E3
ϕ(Ax) ≥ ϕ(x) (6)
i для деякого натурального числа n
lim
t→+∞
(
p(t)−K(t)
)
(Qn(t))2 > 0,
то кожний розв’язок y(t) рiвняння (4), для якого
ϕ(y(t)) 6≡ 0,
є осцилюючим у сенсi означення 1.
Доведення. Розглянемо диференцiальне рiвняння
d2y
dt2
+ p(t)y = 0, t ∈ R+, (7)
розв’язками якого є векторнi функцiї зi значеннями в банаховому просторi E.
Нехай y1 i y2 — довiльнi розв’язки вiдповiдно рiвнянь (4) i (7), для яких
ϕ(yk(t)) 6≡ 0, k = 1, 2. (8)
Тодi
d2ϕ(y1(t))
dt2
+ p(t)ϕ(Ay1(t)) ≡ 0 (9)
i
d2ϕ(y2(t))
dt2
+ p(t)ϕ(y2(t)) ≡ 0. (10)
Оскiльки ϕ(y2(t)) 6≡ 0, то на пiдставi теореми 2 iснує таке число T > 0, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
574 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
ϕ(y2(t)) 6= 0 для всiх t ≥ T.
Не зменшуючи загальностi, можна вважати, що
ϕ(y2(t)) > 0 для всiх t ≥ T. (11)
Припустимо, що функцiя ϕ(y1(t)) є осцилюючою. Тодi для деяких точок t1,
t2 ∈ [T,+∞), t1 < t2,
ϕ
(
y1(t1)
)
= ϕ
(
y1(t2)
)
= 0 (12)
i
ϕ(y1(t)) 6= 0 для всiх t ∈ (t1, t2). (13)
Не зменшуючи загальностi, можна вважати, що
ϕ(y1(t)) > 0 для всiх t ∈ (t1, t2).
Також
ϕ(Ay1(t)) > 0 для всiх t ∈ (t1, t2) (14)
i
ϕ(Ay1(t1)) = ϕ(Ay1(t2)) = 0. (15)
Тут враховано спiввiдношення AEk ⊂ Ek, k = 2, 3. Тому завдяки (9) функцiя
ϕ(y1(t)) є вгнутою на вiдрiзку [t1, t2] [16]. Звiдси та з неперервної диференцiйов-
ностi функцiї ϕ(y1(t)) на [t1, t2] випливає, що iснують такi числа α1 > 0 i α2 < 0,
що
ϕ(y1(t)) = α1(t− t1) + o(t− t1) при t → t1 + 0 (16)
i
ϕ(y1(t)) = α2(t2 − t) + o(t2 − t) при t → t2 − 0. (17)
Iз спiввiдношень (14), (15) та неперервної диференцiйовностi функцiї ϕ(Ay1(t)) на
[t1, t2] випливає, що для деяких чисел β1 ≥ 0 i β2 ≤ 0
ϕ(Ay1(t)) = β1(t− t1) + o(t− t1) при t → t1 + 0
i
ϕ(Ay1(t)) = β2(t2 − t) + o(t2 − t) при t → t2 − 0.
Тому
lim
t→t1+0
ϕ(Ay1(t))
ϕ(y1(t))
=
β1
α1
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
УЗАГАЛЬНЕННЯ ТЕОРЕМИ КНЕЗЕРА ПРО НУЛI РОЗВ’ЯЗКIВ РIВНЯННЯ ... 575
lim
t→t2−0
ϕ(Ay1(t))
ϕ(y1(t))
=
β2
α2
i на пiдставi (16) i (17) функцiя
p1(t) =
ϕ(Ay1(t))
ϕ(y1(t))
, якщо t ∈ (t1, t2),
β1
α1
, якщо t = t1,
β2
α2
, якщо t = t2,
є неперервною на вiдрiзку [t1, t2]. Звiдси та з тотожностi (9) випливає, що функцiя
ϕ(y1(t)) є розв’язком рiвняння
d2x
dt2
+ p1(t)x = 0
на промiжку [t1, t2]. Завдяки (5)
p1(t) ≤ p(t) для всiх t ∈ [t1, t2].
Тому за теоремою Штурма про розподiл нулiв [17] функцiя ϕ(y2(t)) має хоча б
один нуль на [t1, t2], що суперечить (11).
Отже, припущення про виконання спiввiдношень (12) i (13) є хибним, i першу
частину твердження теореми обґрунтовано.
Обґрунтуємо другу частину твердження теореми.
Нехай y1 i y2 — довiльнi розв’язки вiдповiдно рiвнянь (4) i (7), для яких справ-
джуються спiввiдношення (9), (10) i (8). Тодi за теоремою 2 функцiя ϕ(y2(t)) є
осцилюючим розв’язком рiвняння
d2z
dt2
+ p1(t)z = 0. (18)
Припустимо, що для деякого T > 0
ϕ(y1(t)) 6= 0 для всiх t ≥ T. (19)
Тодi завдяки (9)
d2ϕ(y1(t))
dt2
+ p2(t)ϕ(y1(t)) = 0 для всiх t ≥ T,
де
p2(t) = p(t)
ϕ(Ay1(t))
ϕ(y1(t))
.
Оскiльки завдяки (6)
p2(t) ≥ p(t) для всiх t ≥ T,
то на пiдставi теореми Штурма про розподiл нулiв та осциляцiї розв’язку ϕ(y2(t))
рiвняння (18) функцiя ϕ(y1(t)) також є осцилюючою, що суперечить (19).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
576 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Отже, другу частину твердження теореми також обґрунтовано.
Теорему 3 доведено.
1. Kneser A. Untersuchung über die reellen Nullstellen der Integrale linearer Differentialgleichungen
// Math. Ann. – 1893. – 42. – S. 409 – 435.
2. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. –
Минск: Вышэйш. шк., 1974. – 768 с.
3. Hille E. Nonoscilation theorems // Trans. Amer. Math. Soc. – 1948. – 64. – P. 234 – 252.
4. Hartman P. On the linear logarithmico-exponential equation of the second order // Amer. J. Math. –
1948. – 70. – P. 764 – 779.
5. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. – М.: Изд-во
иностр. лит., 1954. – 216 с.
6. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1970. – 720 с.
7. Слюсарчук В. Е. Усиление теоремы Кнезера о нулях решений уравнения y′′ + p(x)y = 0 //
Укр. мат. журн. – 1996. – 48, № 4. – С. 520 – 524.
8. Слюсарчук В. Ю. Осциляцiя розв’язкiв диференцiальних i диференцiально-рiзницевих рiвнянь
в банаховому просторi // Нелiнiйнi диференцiальнi рiвняння та їх застосування: Зб. наук. праць.
– Київ: Iн-т математики НАН України, 1993. – С. 66 – 70.
9. Слюсарчук В. Ю. Осциляцiя розв’язкiв диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю в ба-
наховому просторi // Конструктивнi методи дослiдження диференцiальних рiвнянь: Зб. наук.
праць. – Київ: Iн-т математики НАН України, 1993. – С. 174 – 178.
10. Слюсарчук В. Ю. Достатнi умови осциляцiї траєкторiй iмпульсних систем з нефiксованими
моментами iмпульсної дiї // Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових задач:
Зб. наук. праць. – Київ: Iн-т математики НАН України, 1994. – С. 192 – 197.
11. Слюсарчук В. Ю. Осциляцiя розв’язкiв рiзницевого рiвняння 42x(n) +
+
∑m
k=1
pk(n)gk(x(n)) = 0 в банаховому просторi // Системи еволюцiйних рiвнянь з
пiслядiєю: Зб. наук. праць. – Київ: Iн-т математики НАН України, 1995. – С. 98 – 102.
12. Слюсарчук В. Ю. Осциляцiя розв’язкiв диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi //
Мат. мiжнар. мат. конф., присв. пам’ятi Ганса Гана. – Чернiвцi: Рута, 1995. – С. 269 – 275.
13. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия осцилляции решений нелинейных
дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в банаховом пространстве // Укр.
мат. журн. – 1999. – 51, № 1. – С. 98 – 109.
14. Перестюк М. О., Слюсарчук В. Ю. Умови iснування неколивних розв’язкiв нелiнiйних ди-
ференцiальних рiвнянь iз запiзненням та iмпульсним збуренням у банаховому просторi // Там
же. – 2003. – 55, № 6. – С. 790 – 798.
15. Perestyuk N. A., Slyusarchuk V. Yu. Oscillation of nonlinear differential-integral equation in a Banach
space with respect to its subspace // Math. Notes (Publ. Univ. Miskolc). – 2003. – 4, № 1. – P. 53 – 64.
16. Ушаков Р. Р., Хацет В. I. Опуклi функцiї та нерiвностi. – Київ: Вища шк., 1986. – 112 с.
17. Sturm C. Sur les équations différentielles linéaires du second order // J. math. pures et appl. – 1963.
– 5. – P. 128 – 130.
Одержано 22.09.2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-3332 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:40:33Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7c/048fc834cbbcf20c644bef8865da397c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33322020-03-18T19:51:20Z Generalization of the Kneser theorem on zeros of solutions of the equation $y" + p (t) y = 0$ Узагальнення теореми Кнезера про нулі розв'язків рівняння $y" + p (t) y = 0$ Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. We obtain conditions of the oscillation of solutions of the equation $y" + p(t)Ay = 0$ in the Banach space, where $A$ is a bounded linear operator and $p : R_+ \rightarrow R_+$ is a continuous function. Получены условия осцилляции решений уравнения $y" + p(t)Ay = 0$ в банаховом пространстве, где $A$ — ограниченный линейный оператор и $p : R_+ \rightarrow R_+$ — непрерывная функция. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3332 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 4 (2007); 571–576 Український математичний журнал; Том 59 № 4 (2007); 571–576 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3332/3408 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3332/3409 Copyright (c) 2007 Slyusarchuk V. Yu. |
| spellingShingle | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. Generalization of the Kneser theorem on zeros of solutions of the equation $y" + p (t) y = 0$ |
| title | Generalization of the Kneser theorem on zeros of solutions of the equation $y" + p (t) y = 0$ |
| title_alt | Узагальнення теореми Кнезера про нулі розв'язків рівняння $y" + p (t) y = 0$ |
| title_full | Generalization of the Kneser theorem on zeros of solutions of the equation $y" + p (t) y = 0$ |
| title_fullStr | Generalization of the Kneser theorem on zeros of solutions of the equation $y" + p (t) y = 0$ |
| title_full_unstemmed | Generalization of the Kneser theorem on zeros of solutions of the equation $y" + p (t) y = 0$ |
| title_short | Generalization of the Kneser theorem on zeros of solutions of the equation $y" + p (t) y = 0$ |
| title_sort | generalization of the kneser theorem on zeros of solutions of the equation $y" + p (t) y = 0$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3332 |
| work_keys_str_mv | AT slyusarchukvyu generalizationoftheknesertheoremonzerosofsolutionsoftheequationyquotpty0 AT slûsarčukvû generalizationoftheknesertheoremonzerosofsolutionsoftheequationyquotpty0 AT slyusarchukvyu uzagalʹnennâteoremiknezerapronulírozv039âzkívrívnânnâyquotpty0 AT slûsarčukvû uzagalʹnennâteoremiknezerapronulírozv039âzkívrívnânnâyquotpty0 |