Improved scales of spaces and elliptic boundary-value problems. III
We study elliptic boundary-value problems in improved scales of functional Hilbert spaces on smooth manifolds with boundary. The isotropic Hörmander-Volevich-Paneyakh spaces are elements of these scales. The local smoothness of a solution of an elliptic problem in an improved scale is investigated....
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3338 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509411173203968 |
|---|---|
| author | Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. |
| author_facet | Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. |
| author_sort | Mikhailets, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:51:39Z |
| description | We study elliptic boundary-value problems in improved scales of functional Hilbert spaces on smooth manifolds with boundary. The isotropic Hörmander-Volevich-Paneyakh spaces are elements of these scales. The local smoothness of a solution of an elliptic problem in an improved scale is investigated. We establish a sufficient condition under which this solution is classical. Elliptic boundary-value problems with parameter are also studied. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:40:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.223
В. А. Михайлец (Ин-т математики НАН Украины, Киев),
А. А. Мурач (Ин-т математики НАН Украины, Киев; Чернигов. технол. ун-т)
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ
И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. III
We study elliptic boundary-value problems in the refined scales of functional Hilbert spaces over a smooth
manifold with a boundary. The Hörmander – Volevich – Paneyakh isotropic spaces are the elements of
these scales. The local smoothness of a solution of an elliptic problem is investigated in the refined scale.
We prove a sufficient condition under which this solution is classical. Elliptic boundary-value problems
with a parameter are studied as well.
Вивчаються елiптичнi крайовi задачi в уточнених шкалах функцiональних гiльбертових просто-
рiв на гладкому многовидi з краєм. Елементами цих шкал є iзотропнi простори Хермандера –
Волевiча – Панеяха. Дослiджено локальну гладкiсть розв’язку елiптичної задачi в уточненiй шкалi.
Встановлено достатню умову класичностi її розв’язку. Вивчено також елiптичнi крайовi задачi з
параметром.
Введение. Настоящая статья является третьей частью работы, первые две части
которой опубликованы [1, 2]. Для удобства читателя мы продолжаем нумерацию
пунктов и сохраняем обозначения, принятые в предыдущих частях.
В работе исследуется уточненная шкала гильбертовых функциональных прос-
транств и изучаются ее приложения к эллиптическим краевым задачам. Эле-
ментами этой шкалы являются некоторые изотропные пространства Херманде-
ра – Волевича – Панеяха [3 – 5], параметризованные с помощью двух параметров
— числового и функционального. Первый параметр вещественный, а второй —
медленно меняющаяся на +∞ по Карамата функция. Функциональный пара-
метр позволяет тоньше охарактеризовать гладкость распределения по свойствам
его преобразования Фурье в окрестности +∞. Уточненная шкала содержит в себе
классическую шкалу гильбертовых пространств С. Л. Соболева.
В предыдущих частях работы было показано, что свойства уточненной и со-
болевской шкал во многом аналогичны. Это позволило распространить теорию
эллиптических краевых задач на уточненную шкалу. Так, во второй части было
установлено, что оператор общей эллиптической краевой задачи фредгольмов (т. е.
имеет конечный индекс и замкнутую область значений) в уточненной шкале прос-
транств дифференцируемых функций на многообразии. В настоящей, третьей,
части мы продолжаем исследование в следующих направлениях.
В п. 5 доказаны теоремы о повышении локальной гладкости решения эллипти-
ческой краевой задачи в уточненной шкале внутри области и вплоть до границы.
В п. 6 рассмотрено их приложение — установлено одно достаточное условие клас-
сичности решения этой задачи. В п. 7 исследуется эллиптическая краевая задача
с параметром в уточненной шкале. В заключительном п. 8 указаны некоторые
другие результаты авторов, которые примыкают к результатам этой статьи.
5. Локальная гладкость решения. Пусть, как и прежде, Ω — бесконечно
гладкое компактное многообразие размерности n ≥ 2 с непустым краем Γ. Тогда
Γ — бесконечно гладкое замкнутое многообразие размерности n − 1. Положим
Ω := Ω \ Γ — внутренняя часть многообразия Ω.
c© В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ, 2007
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5 679
680 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
Рассмотрим неоднородную эллиптическую краевую задачу
Lu = f на Ω, (5.1)
Bj u = gj на Γ для любого j = 1, . . . , k. (5.2)
Здесь L — линейный дифференциальный оператор на многообразии Ω произволь-
ного четного порядка 2k ≥ 2, а {Bj : j = 1, . . . , k} — набор краевых линейных
дифференциальных операторов на Γ. Порядок оператора Bj равен m j ≤ 2k − 1.
Коэффициенты операторов L и Bj — комплексные функции, бесконечно гладкие
на Ω и Γ соответственно.
Напомним [6, с. 6, 7], что эллиптичность краевой задачи (5.1), (5.2) означа-
ет следующее: оператор L эллиптический на Ω и правильно эллиптический на
Γ, а набор {Bj : j = 1, . . . , k} краевых операторов удовлетворяет на Γ условию
Я. Б. Лопатинского по отношению к оператору L. Отметим, что мы не требуем
нормальности набора краевых дифференциальных операторов. Поэтому в отличие
от известных работ [7 – 9] эллиптическая задача (5.1), (5.2) может быть и нерегу-
лярной.
Решение и правые части задачи (5.1), (5.2) рассматриваются в классах распре-
делений: u, f ∈ D ′(Ω) и gj ∈ D′(Γ). Здесь D ′(Ω) — топологическое пространство
продолжаемых распределений в Ω [10, c. 636], а D′(Γ) — топологическое прос-
транство всех распределений на Γ. При этом дифференциальное уравнение (5.1)
понимается в смысле теории распределений, а дифференциальное уравнение (5.2)
— в смысле теоремы о следах распределений [1, c. 363; 10, c. 638].
В п. 4 эллиптическая краевая задача (5.1), (5.2) изучалась в уточненных шкалах
функциональных пространств{
Hs,ϕ(Ω): s ∈ R, ϕ ∈M
}
и
{
Hs,ϕ(Γ) : s ∈ R, ϕ ∈M
}
. (5.3)
Здесь M — множество всех таких функций ϕ : [1,+∞) → (0,+∞), что: а) ϕ
измерима по Борелю; б) ϕ медленно меняющаяся на +∞ по Карамата; в) функции
ϕ и 1/ϕ ограничены на каждом отрезке [1, b], 1 < b < +∞.
Уточненные шкалы (5.3) определены и изучались в п. 3. В пространствах этих
шкал числовой параметр s задает основную (степенную) гладкость, а функцио-
нальный параметр ϕ уточняет ее. Отметим, что пространства Hs,ϕ(Ω) и Hs,ϕ(Γ)
гильбертовы сепарабельные и непрерывно вложены в топологические пространства
D ′(Ω) и D′(Γ) соответственно. Кроме того, множество C∞( Ω ) плотно в прос-
транстве Hs,ϕ(Ω), а множество C∞(Γ) — в пространстве Hs,ϕ(Γ). Справедливы
компактные вложения
Hs1,ϕ1(Ω) ↪→ Hs,ϕ(Ω) и Hs1,ϕ1(Γ) ↪→ Hs,ϕ(Γ) при s1 > s и ϕ,ϕ1 ∈M.
(5.4)
В частном случае ϕ ≡ 1 пространства Hs, ϕ(Ω) и Hs, ϕ(Γ) обозначаем через
Hs(Ω) и Hs(Γ) соответственно. Это классические пространства С. Л. Соболева
(или, в иной терминологии, пространства бесселевых потенциалов) порядка s.
Нам понадобятся следующие свойства задачи (5.1), (5.2), установленные в п. 4
(теорема 4.1). Положим m := max{m 1, . . . ,m k}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. III 681
Предложение 5.1. Пусть s > m+1/2, ϕ ∈M. Тогда линейное отображение
u 7→ Λu = (Lu,B1 u, . . . , Bk u), u ∈ C∞( Ω ),
продолжается по непрерывности до ограниченного оператора
Λ: Hs,ϕ(Ω) → H s,ϕ(Ω,Γ) := Hs−2k, ϕ(Ω)×
k∏
j=1
Hs−mj−1/2, ϕ(Γ). (5.5)
Ядро N этого оператора конечномерно, удовлетворяет условию N ⊂ C∞( Ω) и не
зависит от s, ϕ. Область значений Λ (Hs,ϕ(Ω)) оператора (5.5) замкнута в прос-
транстве Hs,ϕ(Ω,Γ) и состоит из всех таких вектор-функций (f, g1, . . . , gk) ∈
∈ Hs,ϕ(Ω,Γ), что
(f, w0)Ω + (g1, w1)Γ + . . .+ (gk, wk)Γ = 0 для любого (w0, w1, . . . , wk) ∈ N∗.
(5.6)
Здесь N∗ — некоторое не зависящее от s, ϕ конечномерное подпространство
пространства C∞(Ω) × (C∞(Γ))k, а (·, ·)Ω и (·, ·)Γ — скалярные произведения в
пространствах L2(Ω) и L2(Γ) соответственно (в случае s ≤ 2k форма (·, ·)Ω —
расширение по непрерывности скалярного произведения в L2(Ω)). Таким образом,
оператор (5.5) имеет конечный индекс, равный числу dimN − dimN∗, который
не зависит от s и ϕ.
Пусть s > m + 1/2, ϕ ∈ M. В силу предложения 5.1 для произвольной фун-
кции u ∈ Hs,ϕ(Ω) определены посредством замыкания правые части неоднородной
задачи (5.1), (5.2):
f ∈ Hs−2k,ϕ(Ω) и gj ∈ Hs−mj−1/2,ϕ(Γ), j = 1, . . . , k. (5.7)
При этом, как и прежде, дифференциальное уравнение (5.1) выполняется в смысле
теории распределений, а уравнение (5.2) — в смысле теоремы о следах. Краевая
задача (5.1), (5.2) нормально разрешима; она имеет решение u ∈ Hs,ϕ(Ω) для
тех и только тех правых частей (5.7), которые удовлетворяют условию (5.6). Это
решение является обобщенным.
Зададимся следующим вопросом. Предположим, что распределения (5.7) име-
ют на некотором открытом в Ω множестве дополнительную гладкость в уточненных
шкалах пространств. Что можно тогда утверждать о локальной гладкости решения
u на этом множестве? Оказывается, решение u унаследует такую же дополнитель-
ную гладкость.
Рассмотрим сначала случай дополнительной гладкости на всем многообра-
зии Ω.
Теорема 5.1. Пусть s > m + 1/2. Предположим, что функция u ∈ Hs(Ω)
является обобщенным решением задачи (5.1), (5.2), где
f ∈ Hs+ε−2k,ϕ(Ω) и gj ∈ Hs+ε−mj−1/2,ϕ(Γ) при j = 1, . . . , k
для некоторых ε ≥ 0 и ϕ ∈M. Тогда u ∈ Hs+ε,ϕ(Ω).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5
682 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
Отметим, что предположение u ∈ Hs(Ω) не ограничивает общность теоре-
мы 5.1 и последующей теоремы 5.2 для уточненной шкалы, ибо если u ∈ Hs1,ϕ1(Ω)
для некоторых s1 > m+ 1/2 и ϕ1 ∈ M, то в силу левого вложения (5.4) справед-
ливо включение u ∈ Hs(Ω) для любого числа s, удовлетворяющего неравенству
m+ 1/2 < s < s1.
Доказательство теоремы 5.1. По условию,
F := (f, g1, . . . , gk) = Λu ∈ Λ(Hs(Ω)) ∩Hs+ε,ϕ(Ω,Γ).
В силу предложения 5.1 из свойства F ∈ Λ(Hs(Ω)) вытекает равенство (5.6), кото-
рое вместе со свойством F ∈ Hs+ε,ϕ(Ω,Γ) влечет соотношение F ∈ Λ(Hs+ε,ϕ(Ω)).
Поэтому наряду с Λu = F справедливо равенство Λv = F для некоторого v ∈
∈ Hs+ε,ϕ(Ω). Следовательно, Λ(u − v) = 0 и, согласно предложению 5.1, w :=
:= u−v ∈ N ⊂ C∞(Ω). Таким образом, поскольку C∞(Ω) ⊂ Hs+ε,ϕ(Ω), получаем
u = v + w ∈ Hs+ε,ϕ(Ω), что и требовалось доказать.
Теорема 5.1 — это утверждение о повышении глобальной гладкости решения
задачи (5.1), (5.2) в уточненной шкале.
Рассмотрим теперь случай локальной гладкости. Пусть U — открытое непустое
подмножество многообразия Ω; положим Ω0 := U ∩ Ω и Γ0 := U ∩ Γ (возможен
случай Γ0 = ∅). Для σ ∈ R, ϕ ∈ M введем такие локальные аналоги пространств
уточненных шкал на Ω и на Γ:
Hσ,ϕ
loc (Ω0,Γ0) =
=
{
u ∈ D′(Ω): χu ∈ Hσ,ϕ(Ω) для любого χ ∈ C∞(Ω), suppχ ⊂ Ω0 ∪ Γ0
}
,
Hσ,ϕ
loc (Γ0) =
{
h ∈ D′(Γ) : χh ∈ Hσ,ϕ(Γ) для любого χ ∈ C∞(Γ), suppχ ⊂ Γ0
}
.
Как и прежде, в случае ϕ ≡ 1 индекс ϕ в обозначении этих пространств будем
опускать.
Теорема 5.2. Пусть s > m + 1/2. Предположим, что функция u ∈ Hs(Ω)
является обобщенным решением задачи (5.1), (5.2), где
f ∈ Hs+ε−2k,ϕ
loc (Ω0,Γ0) и gj ∈ H
s+ε−mj−1/2,ϕ
loc (Γ0) при j = 1, . . . , k (5.8)
для некоторых ε ≥ 0 и ϕ ∈M. Тогда u ∈ Hs+ε,ϕ
loc (Ω0,Γ0).
Доказательство разобьем на три шага.
Шаг 1. Выберем функции χ, η такие, что
χ, η ∈ C∞(Ω);
suppχ, supp η ⊂ Ω0 ∪ Γ0 и η = 1 в окрестности suppχ.
(5.9)
Переставив оператор умножения на функцию χ с дифференциальными оператора-
ми L и Bj , j = 1, . . . , k, для произвольного v ∈ C∞(Ω) можно записать следующие
равенства:
L(χv) = L(χηv) = χL(ηv) + L′(ηv) = χLv + L′(ηv), (5.10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. III 683
Bj(χv) = Bj(χηv) = χBj(ηv) +B′j(ηv) = χBjv +B′j(ηv). (5.11)
Здесь L′ — некоторый линейный дифференциальный оператор на Ω, а B′j — неко-
торый краевой линейный дифференциальный оператор на Γ. Коэффициенты этих
операторов бесконечно гладкие, а порядки удовлетворяют условиям
ordL′ ≤ 2k − 1 и ordB′j ≤ mj − 1.
Следовательно [6, c. 16], отображения
v 7→ L′v и v 7→ B′jv, где v ∈ C∞(Ω),
продолжаются по непрерывности до ограниченных операторов
L′ : Hλ(Ω) → Hλ−2k+1(Ω) для произвольного λ ∈ R, (5.12)
B′j : Hλ(Ω) → Hλ−mj+1−1/2(Γ) для произвольного λ > mj − 1/2. (5.13)
Отсюда при λ := s вытекает, что равенства (5.10), (5.11) продолжаются по непре-
рывности с класса функций v ∈ C∞(Ω) на класс функций v ∈ Hs(Ω). Возьмем
в этих равенствах v := u ∈ Hs(Ω), где u — решение задачи (5.1), (5.2). Получим
соотношения
L(χu) = χf + L′(ηu) на Ω, (5.14)
Bj(χu) = χgj +B′j(ηu) на Γ для любого j = 1, . . . , k. (5.15)
Шаг 2. Использовав условие (5.8), докажем следующую импликацию:
u ∈ Hσ,ϕ
loc (Ω0,Γ0) ⇒ u ∈ Hσ+δ,ϕ
loc (Ω0,Γ0),
где σ > m+ 1/2, 0 < δ < 1, σ + δ ≤ s+ ε.
(5.16)
Предположим, что u ∈ Hσ,ϕ
loc (Ω0,Γ0). Тогда на основании (5.4) запишем
ηu ∈ Hσ,ϕ(Ω) ↪→ Hλ(Ω), где σ + δ − 1 < λ < σ и λ > m+ 1/2.
Отсюда в силу (5.12), (5.13) и снова (5.4) имеем
L′(ηu) ∈ Hλ−2k+1(Ω) ↪→ Hσ+δ−2k,ϕ(Ω),
B′j(ηu) ∈ Hλ−mj+1−1/2(Γ) ↪→ Hσ+δ−mj−1/2,ϕ(Γ)
(вложения справедливы, поскольку λ + 1 > σ + δ). Кроме того, на основании
условия (5.8), неравенства σ + δ ≤ s+ ε и вложений (5.4) можно записать
χf ∈ Hs+ε−2k,ϕ(Ω) ↪→ Hσ+δ−2k,ϕ(Ω),
χgj ∈ Hs+ε−mj−1/2,ϕ(Γ) ↪→ Hσ+δ−mj−1/2,ϕ(Γ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5
684 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
Таким образом, распределение
χu ∈ Hσ,ϕ(Ω) ↪→ Hσ−ρ(Ω), где m+ 1/2 < σ − ρ < σ,
является решением эллиптической краевой задачи (5.14), (5.15), правые части ко-
торой принадлежат соответственно пространствам
Hσ+δ−2k,ϕ(Ω) и Hσ+δ−mj−1/2,ϕ(Γ).
Следовательно, согласно теореме 5.1 справедливо включение χu ∈ Hσ+δ,ϕ(Ω). Это
вследствие произвольности функции χ, удовлетворяющей условию (5.9), означает,
что u ∈ Hσ+δ,ϕ
loc (Ω0,Γ0). Тем самым импликация (5.16) доказана.
Шаг 3. Теперь выведем утверждение теоремы из (5.16). В силу (5.4) имеем
u ∈ Hs(Ω) ⊆ Hs
loc(Ω0,Γ0) ⊂ Hσ,ϕ
loc (Ω0,Γ0), где m+ 1/2 < σ < s.
Выберем такой номер r ∈ N, чтобы δ := (s + ε − σ)/r < 1. Применив r раз
импликацию (5.16), получим
u ∈ Hσ,ϕ
loc (Ω0,Γ0) ⇒ u ∈ Hσ+δ,ϕ
loc (Ω0,Γ0) ⇒ u ∈ Hσ+2δ,ϕ
loc (Ω0,Γ0) ⇒ . . .
. . .⇒ u ∈ Hσ+rδ,ϕ
loc (Ω0,Γ0) = Hs+ε,ϕ
loc (Ω0,Γ0),
что и требовалось доказать.
Теорема 5.2 — это утверждение о повышении локальной гладкости решения
задачи (5.1), (5.2) в уточненной шкале. Поскольку
Hσ,ϕ
loc (Ω,Γ) = Hσ,ϕ(Ω) и Hσ,ϕ
loc (Γ) = Hσ,ϕ(Γ),
эта теорема содержит в себе и теорему 5.1. Отметим также случай Γ0 = ∅,
который приводит к утверждению о повышении локальной гладкости решения в
окрестностях внутренних точек многообразия Ω.
Отметим, что для соболевской шкалы (случай ϕ ≡ 1) теоремы о повышении
локальной гладкости решения эллиптической краевой задачи установлены в [3,
11 – 13] для односторонней шкалы и в [14 – 17] для двусторонней.
6. Условия классичности решения. В качестве приложения теорем из п. 5
установим одно достаточное условие того, что обобщенное решение u эллиптичес-
кой краевой задачи (5.1), (5.2) является классическим, т. е. принадлежит классу
C2k(Ω)∩Cm(Ω). Если u — такое решение, то в равенствах (5.1), (5.2) левые части
вычисляются с помощью классических производных, а сами равенства выполняют-
ся в каждой точке множеств Ω и Γ соответственно. При этом их правые части
имеют следующую гладкость:
f ∈ C(Ω) и gj ∈ Cm−mj (Γ) для каждого j = 1, . . . , k. (6.1)
Обратное, вообще говоря, не верно: из условия (6.1) не следует, что обобщенное
решение u задачи (5.1), (5.2) является классическим. С помощью пространств
уточненной шкалы мы так усилим это условие, что оно станет достаточным для
классичности решения u.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. III 685
Теорема 6.1. Пусть s > m + 1/2. Предположим, что функция u ∈ Hs(Ω)
является обобщенным решением задачи (5.1), (5.2), где
f ∈ Hn/2,ϕ
loc (Ω,∅) ∩Hm−2k+n/2,ϕ(Ω), (6.2)
gj ∈ Hm−mj+(n−1)/2,ϕ(Γ) для каждого j = 1, . . . , k, (6.3)
а функциональный параметр ϕ ∈M удовлетворяет условию
+∞∫
1
dt
tϕ2(t)
<∞. (6.4)
Тогда решение u классическое, т. е. u ∈ C2k(Ω) ∩ Cm(Ω).
Отметим, что условия (6.2), (6.3) влекут свойство (6.1). В самом деле, согласно
теореме 3.6 д) и замечанию 3.3 (см. [2]) справедливо следующее. Пусть ρ —
положительное целое число, а ϕ ∈M. Тогда каждое из непрерывных вложений
Hρ+n/2,ϕ(Ω) ↪→ Cρ(Ω) и Hρ+(n−1)/2,ϕ(Γ) ↪→ Cρ(Γ) (6.5)
равносильно условию (6.4). Следовательно, для функционального параметра ϕ ∈
∈M, удовлетворяющего условию (6.4), получаем
f ∈ Hn/2,ϕ
loc (Ω,∅) ⇒
⇒
(
f ∈ D′(Ω) и χf ∈ Hn/2,ϕ(Ω) ↪→ C(Ω)
для любого χ ∈ C∞(Ω), suppχ ⊂ Ω
)
⇒ f ∈ C(Ω),
gj ∈ Hm−mj+(n−1)/2,ϕ(Γ) ⇒ gj ∈ Cm−mj (Γ).
Доказательство теоремы 6.1. Можно считать, что m + 1/2 < s < m + 1.
Положим
ε := 2k − s+
n
2
> 0 (поскольку 2k ≥ m+ 1), (6.6)
δ := m− s+
n
2
> 0 (поскольку n ≥ 2). (6.7)
Покажем сначала, что u ∈ C2k(Ω). В силу условия (6.2) на основании (6.6) запишем
f ∈ Hn/2,ϕ
loc (Ω,∅) = Hs+ε−2k,ϕ
loc (Ω,∅).
Кроме того,
gj ∈ D′(Γ) = H
s+ε−mj−1/2,ϕ
loc (∅) при j = 1, . . . , k.
Отсюда согласно теореме 5.2 и снова в силу (6.6) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5
686 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
u ∈ Hs+ε,ϕ
loc (Ω,∅) = H
2k+n/2,ϕ
loc (Ω,∅).
Следовательно, в силу условия (6.4) и первого вложения (6.5) справедливо
χu ∈ H2k+n/2,ϕ(Ω) ↪→ C2k(Ω) для любого χ ∈ C∞(Ω), suppχ ⊂ Ω.
Очевидно, это влечет свойство u ∈ C2k(Ω).
Покажем далее, что u ∈ Cm(Ω). В силу условий (6.2), (6.3) и на основании
(6.7) запишем
f ∈ Hm−2k+n/2,ϕ(Ω) = Hs+δ−2k,ϕ(Ω),
gj ∈ Hm−mj+(n−1)/2,ϕ(Γ) = Hs+δ−mj−1/2,ϕ(Γ) при j = 1, . . . , k.
Отсюда, на основании теоремы 5.1, равенства (6.7), а также в силу условия (6.4) и
первого вложения (6.5) запишем
u ∈ Hs+δ,ϕ(Ω) = Hm+n/2,ϕ(Ω) ↪→ Cm(Ω).
Таким образом, u ∈ C2k(Ω) ∩ Cm(Ω), что и требовалось доказать.
Замечание 6.1. Если использовать теорему 6.1 лишь для соболевской шкалы
пространств, то придется вместо условий (6.2), (6.3) потребовать, чтобы
f ∈ Hn/2+ε
loc (Ω,∅) ∩Hm−2k+n/2+ε(Ω),
gj ∈ Hm−mj+(n−1)/2+ε(Γ) при j = 1, . . . , k
для некоторого ε > 0, т. е. завысить основную гладкость правых частей, что суще-
ственно огрубляет результат.
7. Эллиптическая краевая задача с параметром в уточненной шкале.
Эллиптические краевые задачи с параметром изучались в работах Ш. Агмона,
Л. Ниренберга [18, 19], М. С. Аграновича, М. И. Вишика [20] и их последова-
телей (см. [6] и цитируемую там литературу). Ими было установлено, что при
достаточно больших по модулю значениях комплексного параметра оператор, со-
ответствующий задаче, является изоморфизмом в подходящих парах соболевских
пространств, причем норма оператора допускает двустороннюю оценку с посто-
янными, не зависящими от параметра. Ниже мы покажем, что для пространств
уточненной шкалы справедлив аналог этого результата.
Рассмотрим неоднородную краевую задачу
L(q)u = f на Ω, (7.1)
Bj(q)u = gj на Γ для любого j = 1, . . . , k, (7.2)
зависящую от комплексного параметра q следующим образом:
L(q) :=
2k∑
r=0
q2k−rLr и Bj(q) :=
mj∑
r=0
qmj−rBj,r.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. III 687
Здесь Lr — линейный дифференциальный оператор на Ω, а Bj,r — краевой ли-
нейный дифференциальный оператор на Γ; коэффициенты этих операторов — бес-
конечно гладкие комплексные функции, а порядки не превышают числа r. Целые
числа k и mj не зависят от параметра q и удовлетворяют условиям k ≥ 1 и
0 ≤ mj ≤ 2k − 1. Отметим, что L(0) = L2k и Bj(0) = Bj,mj .
Таким образом, для каждого комплексного значения параметра q выражения
L(q) и Bj(q) являются линейными дифференциальными операторами, порядки
которых не превышают чисел 2k и mj соответственно. При этом, как и ранее,
дифференциальное уравнение (7.1) понимается в смысле теории распределений, а
уравнение (7.2) — в смысле теоремы о следах распределений.
Пусть K — фиксированный замкнутый угол на комплексной плоскости с вер-
шиной в начале координат (не исключается случай, когда K вырождается в луч).
Предположим, что краевая задача (7.1), (7.2) является эллиптической с парамет-
ром в угле K. Это означает выполнение следующих двух условий 1 и 2.
Положим
L(0)(x, ξ, q) :=
2k∑
r=0
q2k−rL(0)
r (x, ξ) при x ∈ Ω, ξ ∈ T ∗xΩ, q ∈ C.
Здесь L
(0)
r (x, ξ) — главный символ дифференциального оператора Lr в случае,
когда ordLr = r, либо L
(0)
r (x, ξ) ≡ 0 в случае, когда ordLr < r. При этом, как
обычно, через T ∗xΩ обозначено кокасательное пространство к многообразию Ω в
точке x ∈ Ω. Аналогично положим
B
(0)
j (x, ξ, q) :=
mj∑
r=0
qmj−rB
(0)
j,r (x, ξ) при x ∈ Γ, ξ ∈ T ∗xΩ, q ∈ C.
Здесь B(0)
j,r (x, ξ) — главный символ дифференциального оператора Bj,r в случае,
когда ordBj,r = r, либо B(0)
j,r (x, ξ) ≡ 0 в случае, когда ordBj,r < r.
Условие 1. Для произвольных точки x ∈ Ω, ковектора ξ ∈ T ∗xΩ и значения
параметра q ∈ K справедливо L(0)(x, ξ, q) 6= 0, если (ξ, q) 6= 0.
В связи с условием 1 отметим следующее. Пусть x ∈ Γ. На многообразии
Ω в достаточно малой полуокрестности U точки x рассмотрим локальные коор-
динаты, заданные посредством C∞-диффеоморфизма α : Rn+ ↔ U. Здесь Rn+ :=
:=
{
(t′, tn) : t′ ∈ Rn−1, tn ≥ 0
}
— замкнутое полупространство, а α−1(x) = 0 — на-
чало координат. Запишем в этих координатах выражения L(0)(x, ξ, q) и B(0)
j (x, ξ, q)
при каждом комплексном q. Получим выражения, которые соответственно обозна-
чим
L0,α(0, ξ′, ξn, q) и B0,α
j (0, ξ′, ξn, q), где ξ′ ∈ Rn−1, ξn ∈ R.
Они являются однородными полиномами по совокупности переменных ξ′, ξn и q.
Известно [6, c. 23], что поскольку n ≥ 2, из условия 1 вытекает следующее. Пусть
фиксированы вектор ξ′ ∈ Rn−1 и значение параметра q ∈ K такие, что (ξ′, q) 6= 0.
Тогда многочлен L0,α(0, ξ′, η, q) комплексного переменного η имеет ровно k корней
с положительной мнимой частью и столько же корней с отрицательной мнимой
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5
688 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
частью (с учетом их кратности). Обозначим
L0,α
+ (0, ξ′, η, q) :=
k∏
j=1
(η − η+
j (ξ′, q)),
где η+
1 (ξ′, q), . . . , η+
k (ξ′, q) — все η-корни многочлена L0,α
+ (0, ξ′, η, q), имеющие по-
ложительную мнимую часть.
Условие 2. Для произвольных фиксированных точки x ∈ Γ, вектора ξ′ ∈
∈ Rn−1 и значения параметра q ∈ K таких, что (ξ′, q) 6= 0, многочлены
B0,α
1 (0, ξ′, η, q), . . . , B0,α
k (0, ξ′, η, q)
комплексного переменного η линейно независимы по модулю многочлена
L0,α
+ (0, ξ′, η, q).
При q = 0 условие 1 означает эллиптичность оператора L(0) на Ω и, как отме-
чалось выше, влечет его правильную эллиптичность на Γ. Условие 2 означает,
что набор {B1(0), . . . , Bk(0)} краевых операторов удовлетворяет на Γ условию
Я. Б. Лопатинского по отношению к оператору L(0). Таким образом, при q = 0
краевая задача (7.1), (7.2) является эллиптической. Поскольку параметр q влия-
ет только на младшие члены дифференциальных операторов L(q) и Bj(q), то эта
задача будет эллиптической при всех q ∈ C. Поэтому для нее справедливо предло-
жение 5.1. Более того, как показали М. С. Агранович и М. И. Вишик [20] (§ 4,
5), [6, с. 25], задача (7.1), (7.2) имеет следующие фундаментальные свойства в
соболевской шкале.
Предложение 7.1. 1. Существует такое число q0 > 0, что для каждого
значения параметра q ∈ K, удовлетворяющего условию |q| ≥ q0, справедлив при
любом s ≥ 2k топологический изоморфизм
Λ(q) := (L(q), B1(q), . . . , Bk(q)) : Hs(Ω) ↔ Hs(Ω,Γ) :=
:= Hs−2k(Ω)×
k∏
j=1
Hs−mj−1/2(Γ). (7.3)
2. Для произвольного фиксированного числа s ≥ 2k найдется такое число
c = c(s) ≥ 1, что
c−1
(∥∥u∥∥
Hs(Ω)
+ |q|s
∥∥u∥∥
L2(Ω)
)
≤
∥∥L(q)u
∥∥
Hs−2k(Ω)
+ |q|s−2k
∥∥L(q)u
∥∥
L2(Ω)
+
+
k∑
j=1
(∥∥Bj(q)u∥∥Hs−mj−1/2(Γ)
+ |q|s−mj−1/2
∥∥Bj(q)u∥∥L2(Γ)
)
≤
≤ c
(∥∥u∥∥
Hs(Ω)
+ |q|s
∥∥u∥∥
L2(Ω)
)
(7.4)
для любого q ∈ K, |q| ≥ q0, и произвольной функции u ∈ Hs(Ω).
Двусторонняя априорная оценка (7.4) имеет ряд приложений, в частности, в те-
ории параболических смешанных задач [20] (§ 9). Ясно, что при каждом фиксиро-
ванном |q| ≥ q0 эта оценка записана для величин, эквивалентных нормам ‖u‖Hs(Ω)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. III 689
и ‖Λ(q)u‖Hs(Ω,Γ). Отметим [20, с. 74], что правая часть оценки (7.4) справедлива
и без предположения об эллиптичности с параметром задачи (7.1), (7.2).
Установим далее аналог предложения 7.1 для уточненной шкалы. Сделаем
это отдельно для каждого из утверждений предложения 7.1. Как и прежде, m =
= max{m1, . . . ,mk} ≤ 2k − 1.
Теорема 7.1. Существует такое число q0 > 0, что для каждого значения па-
раметра q ∈ K, удовлетворяющего условию |q| ≥ q0, справедлив топологический
изоморфизм
Λ(q) : Hs,ϕ(Ω) ↔ Hs,ϕ(Ω,Γ) при любых s > m+ 1/2, ϕ ∈M. (7.5)
Доказательство. Пусть s > m+ 1/2 и ϕ ∈M. Поскольку для каждого q ∈ C
краевая задача (7.1), (7.2) эллиптическая, в силу предложения 5.1 ограниченный
оператор Λ(q) : Hs,ϕ(Ω) → Hs,ϕ(Ω,Γ) имеет замкнутую область значений и не
зависящие от s, ϕ конечномерные ядро N(q) и дефектное подпространство N∗(q).
Кроме того, согласно предложению 7.1, пункт 1 существует такое число q0 > 0,
что для каждого q ∈ K, удовлетворяющего условию |q| ≥ q0, справедлив топо-
логический изоморфизм Λ(q) : H2k(Ω) ↔ H2k(Ω,Γ). Следовательно, при q ∈ K,
|q| ≥ q0 пространства N(q) и N∗(q) тривиальны, т. е. линейный ограниченный
оператор Λ(q) : Hs,ϕ(Ω) → Hs,ϕ(Ω,Γ) является биекцией. Отсюда в силу теоремы
Банаха об обратном операторе получаем топологический изоморфизм (7.5), что и
требовалось доказать.
Отметим, что в случае m + 1/2 < s < 2k теорема 7.1, по-видимому, является
новым результатом даже для соболевской шкалы.
Теорема 7.2. Для произвольных фиксированных s > 2k и ϕ ∈ M найдется
такое число c = c(s, ϕ) ≥ 1, что
c−1
(∥∥u∥∥
Hs,ϕ(Ω)
+ |q|sϕ(|q|)
∥∥u∥∥
L2(Ω)
)
≤
≤
∥∥L(q)u
∥∥
Hs−2k,ϕ(Ω)
+ |q|s−2kϕ(|q|)
∥∥L(q)u
∥∥
L2(Ω)
+
+
k∑
j=1
(∥∥Bj(q)u∥∥Hs−mj−1/2,ϕ(Γ)
+ |q|s−mj−1/2ϕ(|q|)
∥∥Bj(q)u∥∥L2(Γ)
)
≤
≤ c
(∥∥u∥∥
Hs,ϕ(Ω)
+ |q|sϕ(|q|)
∥∥u∥∥
L2(Ω)
)
(7.6)
для любого q ∈ K, |q| ≥ max{q0, 1}, и произвольной функции u ∈ Hs,ϕ(Ω). Здесь
число q0 взято из теоремы 7.1.
Замечание 7.1. Формулировка теоремы 7.2 нуждается в комментарии. При
фиксированном q оценка (7.6) записана для норм, эквивалентных нормам ‖u‖Hs,ϕ(Ω)
и ‖Λ(q)u‖Hs,ϕ(Ω,Γ). Это вытекает из непрерывности вложений (5.4) и положитель-
ности функции ϕ. Чтобы избежать громоздких выражений, мы записали оцен-
ку (7.6), как и оценку (7.4), для негильбертовых норм. Она справедлива и для
соответствующих гильбертовых норм (порождающих скалярные произведения в
Hs,ϕ(Ω) и Hs,ϕ(Ω,Γ)), поскольку они оцениваются через использованные нор-
мы с постоянными, не зависящими от s, ϕ и q. Далее, на числовой параметр s
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5
690 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
накладывается более сильное условие s > 2k, чем в предыдущей теореме. Это
обусловлено тем, что вложение Hs−2k,ϕ(Ω) ↪→ H0(Ω) = L2(Ω) верно для любо-
го функционального параметра ϕ ∈ M только при s > 2k. Следовательно, член
‖L(q)u‖L2(Ω) в средней части оценки (7.6) определен для L(q)u ∈ Hs−2k,ϕ(Ω)
только при s > 2k, если произвольно ϕ ∈ M. Наконец, в формулировке наряду с
условием |q| ≥ q0 требуется, чтобы |q| ≥ 1. Последнее связано с тем, что функция
ϕ(t) определена лишь при t ≥ 1. Заметим, что оценка (7.6), как и оценка (7.4),
представляет интерес лишь при |q| � 1.
Мы выведем теорему 7.2 из предложения 7.1, пункт 2 с помощью интерпо-
ляции с функциональным параметром. Предварительно нам придется уточнить
некоторые результаты пп. 2, 3. Напомним (для удобства читателя) определение
этой интерполяции, данное в п. 2.
Пусть комплексные сепарабельные гильбертовы пространства X0 и X1 такие,
что справедливо непрерывное плотное вложение X1 ↪→ X0. В этом случае пару
X = [X0, X1] называем допустимой. Для нее существует такой изометрический
изоморфизм A : X1 ↔ X0, что оператор A является самосопряженным положи-
тельно определенным оператором в пространстве X0 с областью определения X1.
Оператор A называется порождающим для пары X; он определяется по паре X
однозначно. Пусть функция ψ положительна и измерима по Борелю на полуоси
(0;+∞). Тогда в пространстве X0 определен оператор ψ(A) как функция от A.
Обозначим через [X0, X1]ψ или, короче, через Xψ область определения оператора
ψ(A), наделенную скалярным произведением графика:
(
u, v
)
Xψ
=
(
u, v
)
X0
+
(
ψ(A)u, ψ(A)v
)
X0
.
Оно естественным образом порождает норму в пространствеXψ. Это пространство
гильбертово, причем справедливо непрерывное плотное вложение Xψ ↪→ X0.
Функция ψ называется интерполяционным параметром, если для произволь-
ных допустимых пар X = [X0, X1], Y = [Y0, Y1] гильбертовых пространств и для
произвольного линейного отображения T, заданного на X0, выполняется следую-
щее. Если при каждом j = 0, 1 сужение отображения T на пространство Xj
является ограниченным оператором T : Xj → Yj , то и сужение отображения T на
пространство Xψ является ограниченным оператором T : Xψ → Yψ. Если функ-
ция ψ — интерполяционный параметр, то говорят, что пространство Xψ получено
интерполяцией с функциональным параметром ψ пары X.
В п. 2 (теорема 2.1) установлен следующий результат.
Предложение 7.2. Пусть измеримая по Борелю функция ψ : (0;+∞) → (0;
+∞) ограничена на каждом отрезке [a; b], где 0 < a < b < +∞, и правильно
меняющаяся на +∞ порядка θ ∈ (0, 1) по Карамата. Тогда ψ — интерполяционный
параметр.
Ниже мы уточним этот результат в следующем направлении. Допустимую пару
X = [X0, X1] гильбертовых пространств назовем нормальной, если ‖u‖X0 ≤ ‖u‖X1
для любого u ∈ X1. Заметим, что каждую допустимую пару [X0, X1] можно сделать
нормальной, заменив, например, норму ‖u‖X1 на эквивалентную норму c‖u‖X1 ,
где c — достаточно большое положительное число.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. III 691
Отметим следующее. Если A — порождающий оператор для нормальной допу-
стимой пары X = [X0, X1], то SpecA ⊆ [1,+∞). В самом деле,(
A2u, u
)
X0
=
(
Au,Au
)
X0
=
∥∥Au∥∥2
X0
=
∥∥u∥∥2
X1
≥
∥∥u∥∥2
X0
для любого u из области определения оператора A2. Значит, оператор A2 полуогра-
ничен снизу числом 1, что влечет включение Spec(A2) ⊆ [1,+∞). Следовательно,
SpecA = Spec
√
A2 ⊆ [1,+∞).
Лемма 7.1. Пусть интерполяционный параметр ψ удовлетворяет условию
предложения 7.2. Тогда существует такое число cψ > 0, что
‖T‖Xψ→Yψ ≤ cψ max
{
‖T‖Xj→Yj : j = 0, 1
}
. (7.7)
Здесь X = [X0, X1] и Y = [Y0, Y1] — произвольные нормальные допустимые пары
гильбертовых пространств, а T — произвольное линейное отображение, заданное
на X0 и такое, что операторы T : Xj → Yj ограничены при j = 0, 1. Число cψ > 0
не зависит от X, Y и T.
Доказательство. Обратимся к доказательству теоремы 2.1, которое дано в п. 2
и опирается на установленные там леммы 2.1 – 2.6 (см. [2]). Лемма 2.2 утверждает,
что для параметра ψ существует непрерывная функция h : R → R, удовлетворяю-
щая следующим условиям:
а) для некоторых положительных чисел c0 и m справедлива оценка
|h(τ)| ≤ c0(1 + |τ |)m при τ ∈ R;
б) для произвольного числа κ > 0 существуют такие положительные числа
c1(ψ, κ) и c2(ψ, κ), что
c1(ψ, κ)
1 + ψ2(t)
≤
+∞∫
−∞
dτ
t2 + h2(τ)
≤ c2(ψ, κ)
1 + ψ2(t)
при t ≥ κ. (7.8)
Cогласно леммам 2.4 и 2.6, Xψ является пространством следов в точке нуль
абстрактных функций из пространства
W (h,X) =
{
u ∈ L2(R, X1) : hû ∈ L2(R, X0)
}
,
в котором рассматривается норма
∥∥u∥∥
W (h,X)
=
(∥∥û∥∥2
L2(R,X1)
+
∥∥hû∥∥2
L2(R,X0)
)1/2
.
Здесь û — преобразование Фурье функции u. То, что Xψ — пространство следов,
означает следующее. Отображение u 7→ u(0), где u ∈ C∞0 (R, X1), продолжается
по непрерывности до линейного ограниченного оператора следа RX : W (h,X) →
→ Xψ, причем последний имеет линейный ограниченный правый обратный опе-
ратор KX : Xψ → W (h,X). Как установлено в доказательствах лемм 2.4 и 2.6, из
неравенства (7.8) вытекают следующие оценки норм этих операторов:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5
692 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
∥∥RX∥∥
W (h,X)→Xψ
≤
(
c2(ψ, κ)
2π
)1/2
и
∥∥KX
∥∥
Xψ→W (h,X)
≤
(
2π
c1(ψ, κ)
)1/2
.
(7.9)
Здесь κ — любое положительное число, такое, что спектр оператора A является
подмножеством луча [κ,+∞), где A — порождающий оператор для пары X. По-
скольку пара X нормальна, то specA ⊆ [1,+∞); значит, в оценках (7.9) можно
взять κ = 1. Аналогично и для пары Y. В частности, справедливы оценки
∥∥RY ∥∥
W (h,Y )→Yψ
≤
(
c2(ψ, 1)
2π
)1/2
и
∥∥KX
∥∥
Xψ→W (h,X)
≤
(
2π
c1(ψ, 1)
)1/2
.
(7.10)
Далее, ограниченный оператор T : Xj → Yj , j = 0, 1, естественным образом
определяет ограниченный оператор T : L2(R, Xj) → L2(R, Yj). В самом деле, для
произвольной вектор-функции u ∈ L2(R, Xj) справедливо
∥∥Tu∥∥2
L2(R,Yj)
=
+∞∫
−∞
∥∥Tu(t)∥∥2
Yj
dt ≤
≤
∥∥T∥∥2
Xj→Yj
+∞∫
−∞
∥∥u(t)∥∥2
Xj
dt =
∥∥T∥∥2
Xj→Yj
∥∥u∥∥2
L2(R,Xj)
.
Значит, ∥∥T∥∥
L2(R,Xj)→L2(R,Yj)
≤
∥∥T∥∥
Xj→Yj
при j = 0, 1.
Отсюда для произвольного u ∈W (h,X) имеем (см. доказательство теоремы 2.1)
∥∥Tu∥∥
W (h,Y )
=
(∥∥T̂ u∥∥2
L2(R,Y1)
+
∥∥hT̂u∥∥2
L2(R,Y0)
)1/2
=
=
(∥∥T û∥∥2
L2(R,Y1)
+
∥∥Thû∥∥2
L2(R,Y0)
)1/2
≤
≤
(∥∥T∥∥2
X1→Y1
∥∥û∥∥2
L2(R,X1)
+
∥∥T∥∥2
X0→Y0
∥∥hû∥∥2
L2(R,X0)
)1/2
≤
≤ max
{
‖T‖Xj→Yj : j = 0, 1
} ∥∥u∥∥
W (h,X)
.
Итак, ∥∥T∥∥
W (h,X)→W (h,Y )
≤ max
{
‖T‖Xj→Yj : j = 0, 1
}
. (7.11)
В доказательстве теоремы 2.1 было установлено равенство T = RY TKX на прос-
транствеXψ. Отсюда в силу оценок (7.10), (7.11) следует неравенство (7.7), где
постоянная
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. III 693
cψ :=
(
c2(ψ, 1)
c1(ψ, 1)
)1/2
не зависит от X, Y и T.
Лемма 7.1 доказана.
В п. 3 (теорема 3.5) установлен следующий результат.
Предложение 7.3. Пусть задано функцию ϕ ∈ M и положительные числа
ε, δ. Положим ψ(t) := tε/(ε+δ)ϕ(t1/(ε+δ)) при t ≥ 1 и ψ(t) := ϕ(1) при 0 < t < 1.
Тогда:
а) функция ψ удовлетворяет всем условиям предложения 7.2, где θ = ε/(ε+δ),
и, значит, является интерполяционным параметром;
б) для произвольного s ∈ R справедливы следующие равенства пространств с
точностью до эквивалентности норм в них:[
Hs−ε(Ω),Hs+δ(Ω)
]
ψ
= Hs,ϕ(Ω) и
[
Hs−ε(Γ),Hs+δ(Γ)
]
ψ
= Hs,ϕ(Γ). (7.12)
Мы сейчас уточним этот результат для пространств, нормы которых опреде-
ленным образом зависят от числового параметра.
Пусть s > 0, ϕ ∈ M и ρ ≥ 1. Обозначим через Hs,ϕ(Ω, ρ) пространство
Hs,ϕ(Ω), наделенное нормой, зависящей от параметра ρ следующим образом:
∥∥u∥∥
Hs,ϕ(Ω,ρ)
:=
(∥∥u∥∥2
Hs,ϕ(Ω)
+ ρ2sϕ2(ρ)
∥∥u∥∥2
L2(Ω)
)1/2
.
Это определение корректно, поскольку в силу (5.4) справедливо непрерывное вло-
жение Hs,ϕ(Ω) ↪→ L2(Ω). Отсюда и из положительности функции ϕ вытекает, что
нормы в пространствахHs,ϕ(Ω, ρ) иHs,ϕ(Ω) эквивалентны. Норма в пространстве
Hs,ϕ(Ω, ρ) порождена скалярным произведением(
u, v
)
Hs,ϕ(Ω,ρ)
:=
(
u, v
)
Hs,ϕ(Ω)
+ ρ2sϕ2(ρ)
(
u, v
)
L2(Ω)
.
Следовательно, это пространство гильбертово.
Заменив в наших построениях Ω на Γ, получим гильбертово пространства
Hs,ϕ(Γ, ρ), совпадающее с пространством Hs,ϕ(Γ) с точностью до эквивалентнос-
ти норм. Как и прежде, в случае ϕ ≡ 1 индекс ϕ в обозначениях пространств
опускаем.
В силу предложения 7.2 пространства
[
Hs−ε(Ω, ρ),Hs+δ(Ω, ρ)
]
ψ
и Hs,ϕ(Ω, ρ)
равны с точностью до эквивалентных норм (то же и для пространств на крае Γ).
Оказывается, в оценках норм этих пространств можно выбрать постоянные так,
чтобы они не зависели от параметра ρ.
Лемма 7.2. Пусть задано функцию ϕ ∈ M и положительные числа s, ε, δ,
причем s − ε > 0. Тогда существует такое число c = c(s, ϕ, ε, δ) ≥ 1, что для
произвольных ρ ≥ 1, u ∈ Hs,ϕ(Ω) справедлива двусторонняя оценка норм
c−1
∥∥u∥∥
Hs,ϕ(Ω,ρ)
≤
∥∥u∥∥
[Hs−ε(Ω,ρ),Hs+δ(Ω,ρ)]ψ
≤ c
∥∥u∥∥
Hs,ϕ(Ω,ρ)
. (7.13)
Здесь ψ — интерполяционный параметр из формулировки предложения 7.3. Лемма
сохраняет силу, если в ее формулировке заменить Ω на Γ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5
694 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
Доказательство. Мы установим оценку (7.13) последовательно для прос-
транств, определенных в евклидовом пространстве Rn, полупространстве Rn+ =
=
{
(x′, xn) : x′ ∈ Rn−1, xn > 0
}
и на многообразии Ω. Доказательство для прос-
транств на крае Γ аналогично (и проще). Пусть параметр ρ ≥ 1. Заменив в
определении пространства Hs,ϕ(Ω, ρ) символ Ω на Rn и затем на Rn+, получим
гильбертовы пространства Hs,ϕ(Rn, ρ) и Hs,ϕ(Rn+, ρ) соответственно. Далее рас-
суждения проведем в три шага.
Шаг 1. Докажем оценку (7.13) для пространств в Rn. Напомним, что [2, c. 353]
∥∥u∥∥
Hs,ϕ(Rn,ρ) =
(∥∥u∥∥2
Hs,ϕ(Rn)
+ ρ2sϕ2(ρ)
∥∥u∥∥2
L2(Rn)
)1/2
=
=
∫
Rn
(
〈ξ〉2sϕ2
(
〈ξ〉
)
+ ρ2sϕ2(ρ)
)∣∣û(ξ)∣∣2dξ
1/2
, (7.14)
где 〈ξ〉 =
(
ξ21 + . . .+ ξ2n
)1/2
— сглаженный модуль вектора ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn, а
û — преобразование Фурье распределения u. Наряду с (7.14) рассмотрим еще одну
гильбертову норму распределения u: ∫
Rn
(
〈ξ〉+ ρ
)2s
ϕ2
(
〈ξ〉+ ρ
)∣∣û(ξ)∣∣2dξ
1/2
. (7.15)
Нормы (7.14) и (7.15) эквивалентны, причем постоянны, с помощью которых одна
норма оценивается через другую, не зависят от параметра ρ. Это непосредственно
следует из леммы 7.3, которая будет установлена сразу после доказательства на-
стоящей леммы. Обозначим через Hs,ϕ(ρ) гильбертово пространство Hs,ϕ(Rn),
наделенное нормой (7.15) и соответствующим скалярным произведением. Имеем∥∥u∥∥
Hs,ϕ(Rn,ρ) �
∥∥u∥∥
Hs,ϕ(ρ)
при u ∈ Hs,ϕ(Rn), ρ > 0. (7.16)
Проинтерполируем пару
[
Hs−ε(ρ),Hs+δ(ρ)
]
с параметром ψ (ср. c [2, c. 354]).
Псевдодифференциальный оператор Aρ с символом
(
〈ξ〉 + ρ
)ε+δ
является порож-
дающим для этой пары. С помощью преобразования Фурье F : Hs−ε(ρ) ↔ L2
(
Rn,
(〈ξ〉+ρ)2(s−ε)dξ
)
оператор ψ(Aρ) приведен к виду умножения на функцию ψ
(
(〈ξ〉+
+ ρ)(ε+δ)
)
= (〈ξ〉+ ρ)εϕ(〈ξ〉+ ρ) аргумента ξ ∈ Rn. Следовательно,∥∥u∥∥2
[Hs−ε(ρ),Hs+δ(ρ)]ψ
=
∥∥ψ(Aρ)u
∥∥2
Hs−ε(ρ)
+
∥∥u∥∥2
Hs−ε(ρ)
=
=
∫
Rn
(
〈ξ〉+ ρ
)2(s−ε)
ψ2
(
(〈ξ〉+ ρ)ε+δ
)∣∣û(ξ)∣∣2dξ +
∫
Rn
(
〈ξ〉+ ρ
)2(s−ε)∣∣û(ξ)∣∣2dξ =
=
∫
Rn
(
〈ξ〉+ ρ
)2s
ϕ2
(
〈ξ〉+ ρ
)(
1 + ϕ−2
(
〈ξ〉+ ρ
)(
〈ξ〉+ ρ
)−2ε
)∣∣û(ξ)∣∣2dξ.
Поскольку ϕ ∈ M, ε > 0, то tεϕ(t) → ∞ при t → +∞ и, значит, функция
1 + ϕ−2(t)t−2ε ограничена на множестве [1,+∞). Следовательно,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. III 695∥∥u∥∥
[Hs−ε(ρ),Hs+δ(ρ)]ψ
�
∥∥u∥∥
Hs,ϕ(ρ)
при u ∈ Hs,ϕ(Rn), ρ > 0. (7.17)
Заметим, что∥∥u∥∥
[Hs−ε(Rn,ρ),Hs+δ(Rn,ρ)]ψ
�
∥∥u∥∥
[Hs−ε(ρ),Hs+δ(ρ)]ψ
при u ∈ Hs,ϕ(Rn), ρ > 0.
(7.18)
В самом деле, тождественный оператор I осуществляет топологические изомор-
физмы
I : Hσ(Rn, ρ) ↔ Hσ(ρ), где σ ∈ {s− ε, s+ δ}, (7.19)
причем, поскольку∥∥u∥∥
Hσ(Rn,ρ) �
∥∥u∥∥
Hσ(ρ)
при u ∈ Hσ(Rn), ρ > 0,
нормы оператора (7.19) и обратного к нему ограничены равномерно по ρ. Отсюда
в силу леммы 7.1 получаем топологический изоморфизм
I :
[
Hs−ε(Rn, ρ),Hs+δ(Rn, ρ)
]
ψ
↔
[
Hs−ε(ρ),Hs+δ(ρ)
]
ψ
,
где нормы прямого и обратного операторов ограничены равномерно по ρ. Послед-
нее означает эквивалентность (7.18).
Теперь соотношения (7.16) – (7.18) влекут эквивалентность норм∥∥u∥∥
Hs,ϕ(Rn,ρ) �
∥∥u∥∥
[Hs−ε(Rn,ρ),Hs+δ(Rn,ρ)]ψ
при u ∈ Hs,ϕ(Rn), ρ > 0,
(7.20)
т. е. оценку (7.13) для пространств в Rn.
Шаг 2. Докажем оценку (7.13) для пространств в Rn+. Обозначим через R+
линейный оператор сужения распределения с пространства Rn в полупространство
Rn+. Поскольку∥∥R+u
∥∥
Hs,ϕ(Rn+)
≤
∥∥u∥∥
Hs,ϕ(Rn)
и
∥∥R+u
∥∥
Hσ(Rn+)
≤
∥∥u∥∥
Hσ(Rn)
,
нормы операторов
R+ : Hs,ϕ(Rn, ρ) → Hs,ϕ(Rn+, ρ) (7.21)
и
R+ : Hσ(Rn, ρ) → Hσ(Rn+, ρ), где σ ∈ {s− ε, s+ δ}, (7.22)
не превышают числа 1. Применив к операторам (7.22) интерполяцию с параметром
ψ, получим в силу леммы 7.1 и эквивалентности (7.20) оператор
R+ : Hs,ϕ(Rn, ρ) →
[
Hs−ε(Rn+, ρ),Hs+δ(Rn+, ρ)
]
ψ
, (7.23)
норма которого ограничена равномерно по параметру ρ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5
696 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
Далее, согласно [8, c. 265] существует линейный ограниченный оператор
T+ : Hσ(Rn+) → Hσ(Rn), σ ∈ {0, s− ε, s+ δ}, (7.24)
продолжающий распределение с полупространства Rn+ в пространство Rn. При-
менив интерполяцию с параметром ψ, получим в силу теорем 3.1 и 3.3 [2, c. 354]
ограниченный оператор
T+ : Hs,ϕ(Rn+) → Hs,ϕ(Rn).
Отсюда непосредственно следует, что нормы операторов
T+ : Hσ(Rn+, ρ) → Hσ(Rn, ρ) при σ ∈ {s− ε, s+ δ}, (7.25)
T+ : Hs,ϕ(Rn+, ρ) → Hs,ϕ(Rn, ρ) (7.26)
ограничены равномерно по параметру ρ. Применив к операторам (7.25) интерпо-
ляцию с параметром ψ, получим на основании леммы 7.1 и эквивалентности (7.20)
оператор
T+ :
[
Hs−ε(Rn+, ρ),Hs+δ(Rn+, ρ)
]
ψ
→ Hs,ϕ(Rn, ρ), (7.27)
норма которого также ограничена равномерно по ρ.
Заметим, что оператор R+T+ = I тождественный. Поэтому из равномерной
ограниченности по параметру ρ норм операторов (7.27), (7.22) и (7.26), (7.23)
следует раномерная ограниченность по ρ норм операторов вложения
I = R+T+ :
[
Hs−ε(Rn+, ρ),Hs+δ(Rn+, ρ)
]
ψ
→ Hs,ϕ(Rn+, ρ),
I = R+T+ : Hs,ϕ(Rn+, ρ) →
[
Hs−ε(Rn+, ρ),Hs+δ(Rn+, ρ)
]
ψ
.
Это означает, что∥∥u∥∥
Hs,ϕ(Rn+,ρ)
�
∥∥u∥∥[Hs−ε(Rn+,ρ),Hs+δ(Rn+,ρ)]ψ
при u ∈ Hs,ϕ(Rn+), ρ > 0,
(7.28)
т. е. оценка (7.13) справедлива для пространств в Rn+.
Шаг 3. Опираясь на эквивалентности (7.20) и (7.28), установим, наконец, оцен-
ку (7.13). Обратимся к доказательству теоремы 3.5 [2, c. 359] и рассмотрим исполь-
зованные там линейные операторы „распрямления” и „склейки”, обозначенные че-
рез T и K соответственно. Эти операторы имеют свойство KT = I и ограничены
в таких пространствах:
T : Hσ,ϕ(Ω) →
r∏
j=1
Hσ,ϕ(Πj) и K :
r∏
j=1
Hσ,ϕ(Πj) → Hσ,ϕ(Ω)
для любых σ ∈ R, ϕ ∈ M. Здесь Πj обозначает либо Rn, либо Rn+. Отсюда
непосредственно вытекает равномерная ограниченность по параметру ρ норм сле-
дующих операторов:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. III 697
T : Hs,ϕ(Ω, ρ) →
r∏
j=1
Hs,ϕ(Πj , ρ), (7.29)
T : Hσ(Ω, ρ) →
r∏
j=1
Hσ(Πj , ρ) при σ ∈ {s− ε, s+ δ}, (7.30)
K :
r∏
j=1
Hs,ϕ(Πj , ρ) → Hs,ϕ(Ω, ρ), (7.31)
K :
r∏
j=1
Hσ(Πj , ρ) → Hσ(Ω, ρ) при σ ∈ {s− ε, s+ δ}. (7.32)
Применим к операторам (7.30) и (7.32) интерполяцию с параметром ψ. На основа-
нии леммы 7.1, эквивалентностей (7.20), (7.28) и предложения 2.1 об интерполяции
прямых произведений пространств [1, c. 235] получим операторы
T :
[
Hs−ε(Ω, ρ),Hs+δ(Ω, ρ)
]
ψ
→
r∏
j=1
Hs,ϕ(Πj , ρ), (7.33)
K :
r∏
j=1
Hs,ϕ(Πj , ρ) →
[
Hs−ε(Ω, ρ),Hs+δ(Ω, ρ)
]
ψ
, (7.34)
нормы которых также ограничены равномерно по ρ.
Напомним, что KT = I. Поэтому из равномерной ограниченности по парамет-
ру ρ норм операторов (7.33), (7.31) и (7.29), (7.34) следует равномерная ограничен-
ность по ρ норм операторов вложения
I = KT :
[
Hs−ε(Ω, ρ),Hs+δ(Ω, ρ)
]
ψ
→ Hs,ϕ(Ω, ρ),
I = KT : Hs,ϕ(Ω, ρ) →
[
Hs−ε(Ω, ρ),Hs+δ(Ω, ρ)
]
ψ
.
Отсюда непосредственно получаем оценку (7.13).
Лемма 7.2 доказана.
В доказательстве леммы 7.2 был использован следующий результат.
Лемма 7.3. Пусть s > 0, ϕ ∈ M и ϕs(t) := tsϕ(t) при t ≥ 1. Тогда сущест-
вует такое число c0 = c0(s, ϕ) ≥ 1, что
c−1
0 ϕs(t1 + t2) ≤ ϕs(t1) + ϕs(t2) ≤ c0ϕs(t1 + t2) для любых t1, t2 ≥ 1. (7.35)
Доказательство. Поскольку функция ϕs правильно меняющаяся на +∞ по-
рядка s по Карамата, то ϕs(2t)/ϕs(t) → 2s при t → +∞. Отсюда вытекает, что
ϕs(2t) � ϕs(t) при t ≥ b для некоторого числа b ≥ 1. Здесь, как обычно, символ
� обозначает слабую эквивалентность положительных функций при указанных
значениях их аргументов. Кроме того, ϕs(t) � 1 � ϕs(2t) при 1 ≤ t ≤ b. Следова-
тельно,
ϕs(2t) � ϕs(t) при t ≥ 1. (7.36)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5
698 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
Далее, поскольку функция ϕ является медленно меняющейся на +∞ по Ка-
рамата, то [21, c. 15] ϕ(t) � ϕ0(t) при t � 1 для некоторой положительной
функции ϕ0, дифференцируемой в окрестности +∞ и удовлетворяющей условию
tϕ′0(t)/ϕ0(t) → 0 при t→ +∞. Отсюда получаем: ϕs(t) � tsϕ0(t) при t� 1 и(
tsϕ0(t)
)′
ts−1ϕ0(t)
= s+
tϕ′0(t)
ϕ0(t)
→ s > 0 при t→ +∞.
Значит,
(
tsϕ0(t)
)′
> 0 при t � 1, т. е. функция ψ(t) := tsϕ0(t) возрастает на
множестве [b,+∞), где число b � 1. Доопределив ψ(t) := bsϕ0(b) при 1 ≤ t ≤ b,
получим функцию ψ, возрастающую (нестрого) на [1,+∞) и удовлетворяющую
условию
ϕs(t) � ψ(t) при t ≥ 1. (7.37)
Теперь соотношение (7.35) вытекает из формул (7.36), (7.37) и возрастания функ-
ции ψ. В самом деле, для каждого номера j = 1, 2 можем записать
ϕs(tj) � ψ(tj) ≤ ψ(t1 + t2) � ϕs(t1 + t2) при t1, t2 ≥ 1.
Поэтому существует число c1 > 0 такое, что
ϕs(t1) + ϕs(t2) ≤ c1ϕs(t1 + t2) при t1, t2 ≥ 1. (7.38)
Обратно, предполагая без потери общности, что t1 ≤ t2, имеем
ϕs(t1 + t2) � ψ(t1 + t2) ≤ ψ(2t2) � ϕs(2t2) �
� ϕs(t2) ≤ ϕs(t1) + ϕs(t2) при t1, t2 ≥ 1.
Следовательно, существует число c2 > 0 такое, что
ϕs(t1 + t2) ≤ c2
(
ϕs(t1) + ϕs(t2)
)
при t1, t2 ≥ 1. (7.39)
Соотношения (7.38) и (7.39) означают двустороннее неравенство (7.35), что и тре-
бовалось доказать.
Перейдем к доказательству теоремы 7.2.
Доказательство теоремы 7.2. Пусть s > 2k, ϕ ∈ M, а параметр q ∈ K
такой, что |q| ≥ max{q0, 1}, где число q0 > 0 взято из формулировки теоремы 7.1.
Положим ε = δ = (s − 2k)/2 > 0. Согласно предложению 7.1 справедливы топо-
логические изоморфизмы
Λ(q) : Hs∓ε(Ω, |q|) ↔ Hs∓ε−2k(Ω, |q|)×
k∏
j=1
Hs∓ε−mj−1/2(Γ, |q|) :=
=: Hs∓ε(Ω,Γ, |q|), (7.40)
причем нормы оператора (7.40) и обратного к нему оператора ограничены равно-
мерно по параметру q. (Заметим, что мы перешли в оценке (7.4) к гильбертовым
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. III 699
нормам.) Пусть ψ — интерполяционный параметр из формулировки предложе-
ния 7.3. Применив интерполяцию с этим параметром к оператору (7.40), получим
изоморфизм
Λ(q) :
[
Hs−ε(Ω, |q|),Hs+ε(Ω, |q|)
]
ψ
↔
[
Hs−ε(Ω,Γ, |q|),Hs+ε(Ω,Γ, |q|)
]
ψ
. (7.41)
В силу леммы 7.1 норма оператора (7.41) вместе с нормой обратного операто-
ра ограничена равномерно по параметру q. Далее, согласно предложению 2.1 об
интерполяции прямых произведений пространств можем записать[
Hs−ε(Ω,Γ, |q|),Hs+ε(Ω,Γ, |q|)
]
ψ
=
[
Hs−ε−2k(Ω, |q|),Hs+ε−2k(Ω, |q|)
]
ψ
×
×
k∏
j=1
[
Hs−ε−mj−1/2(Γ, |q|),Hs+ε−mj−1/2(Γ, |q|)
]
ψ
с равенством норм. Отсюда в силу леммы 7.2 и (7.41) получаем изоморфизм
Λ(q) : Hs,ϕ(Ω, |q|) ↔ Hs−2k,ϕ(Ω, |q|)×
k∏
j=1
Hs−mj−1/2,ϕ(Γ, |q|)
такой, что нормы прямого и обратного операторов ограничены равномерно по
параметру q. Это непосредственно дает оценку (7.6).
Теорема 7.2 доказана.
Следствие 7.1. Пусть краевая задача (7.1), (7.2) эллиптическая с параме-
тром на некотором замкнутом луче K := {q ∈ C : arg q = const}. Тогда ограни-
ченный оператор
Λ(q) : Hs,ϕ(Ω) → Hs,ϕ(Ω,Γ), где s > m+ 1/2, ϕ ∈M, (7.42)
имеет нулевой индекс при любом q ∈ C.
Доказательство. Для каждого фиксированного q ∈ C задача (7.1), (7.2) эл-
липтическая. Поэтому в силу предложения 5.1 оператор (7.42) имеет конечный
индекс, не зависящий от s и ϕ. Кроме того [20, с. 96], этот индекс не зависит и
от параметра q. Согласно теореме 7.1 при достаточно большом |q|, q ∈ K, опе-
ратор (7.42) является изоморфизмом, и поэтому его индекс равен нулю. Отсюда
заключаем, что индекс оператора равен нулю при любом значении q ∈ C.
8. Заключительные замечания. Отметим также другие результаты по теории
эллиптических операторов и эллиптических краевых задач в уточненных шкалах
пространств из работ [22 – 27], которые примыкают к изложенным выше.
1. Эллиптические краевые задачи в двусторонних (полных) уточненных шка-
лах [22, 25, 26]. Для того чтобы оператор эллиптической краевой задачи (5.1),
(5.2) оставался ограниченным в двусторонней шкале пространств с произвольным
s ∈ R, необходимо подходящим образом сузить класс обобщенных решений, на-
ложив дополнительные условия на правые части задачи. В статье [25] изучалась
краевая задача для однородного эллиптического дифференциального уравнения
(f = 0), а в статьях [22, 26] — эллиптическая задача с однородными краевыми
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5
700 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
условиями (все gj = 0). Для таких полуоднородных эллиптических задач доказа-
ны теоремы об ограниченности и фредгольмовости порожденных ими операторов
в двусторонних уточненных шкалах.
2. Формально смешанные эллиптические краевые задачи [27]. Пусть край мно-
гообразия состоит из нескольких непустых связных компонент, а порядки краевых
дифференциальных операторов, вообще говоря, различны на разных компонентах.
Тогда упомянутые выше результаты об эллиптических краевых задачах сохраняют
силу.
3. Эллиптические операторы на замкнутом многообразии [24]. Доказано, что
такие дифференциальные операторы ограничены и фредгольмовы в двусторонней
уточненной шкале пространств. Дано альтернативное (эквивалентное) описание
уточненной шкалы на замкнутом многообразии с помощью некоторых правильно
меняющихся по Карамата функций от оператора Лапласа – Бельтрами на много-
образии.
4. Эллиптические системы и краевые задачи для них. Все упомянутые выше
результаты сохраняют силу и для систем уравнений, эллиптических по Петровско-
му или по Дуглису – Ниренбергу.
К отмеченным работам примыкает также статья [23], посвященная интерполя-
ции с функциональным параметром и ее приложению к уточненным шкалам.
1. Михайлец В. А., Мурач А. А. Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. I
// Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 2. – С. 217 – 235.
2. Михайлец В. А., Мурач А. А. Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые зада-
чи. II // Там же. – № 3. – С. 352 – 370.
3. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. – М.:
Мир, 1965. – 380 с.
4. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными:
В 4 т. – Т. 2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. – М.: Мир, 1986.
– 456 с.
5. Волевич Л. Р., Панеях Б. П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложе-
ния // Успехи мат. наук. – 1965. – 20, № 1. – С. 3 – 74.
6. Agranovich M. S. Elliptic boundary problems // Encycl. Math. Sci., 79. Part. Different. Equat. –
Berlin: Springer, 1997. – P. 1 – 144.
7. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – М.: Мир,
1971. – 372 с.
8. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные опера-
торы. – М.: Мир, 1980. – 664 с.
9. Трибель Х. Теория функциональных пространств. – М.: Мир, 1986. – 447 с.
10. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными:
В 4 т. – Т. 3. Псевдодифференциальные операторы. – М.: Мир, 1987. – 696 с.
11. Nirenberg L. Remarks on strongly elliptic partial differential equations // Communs Pure and Appl.
Math. – 1955. – 8, № 4. – P. 648 – 674.
12. Browder F. E. On the regularity properties of solutions of elliptic differential equations // Ibid. –
1956. – 9, № 3. – P. 351 – 361.
13. Schechter M. A local regularity theorem // J. Math. and Mech. – 1961. – 10, № 2. – P. 279 – 288.
14. Березанский Ю. М., Крейн С. Г., Ройтберг Я. А. Теорема о гомеоморфизмах и локальное
повышение гладкости вплоть до границы решений эллиптичеких уравнений // Докл. АН СССР.
– 1963. – 148, № 4. – С. 745 – 748.
15. Schechter M. On Lp estimates and regularity. I // Amer. J. Math. – 1963. – 85, № 1. – P. 1 – 13.
16. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. –
Киев: Наук. думка, 1965. – 800 с.
17. Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of distributions. – Dordrecht: Kluwer
Acad. Publ., 1996. – 427 p.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5
УТОЧНЕННЫЕ ШКАЛЫ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. III 701
18. Agmon S. On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general elliptic boundary value problems
// Communs Pure and Appl. Math. – 1962. – 15, № 2. – P. 119 – 147.
19. Agmon S., Nirenberg L. Properties of solutions of ordinary differential equations in Banach space //
Ibid. – 1963. – 16, № 2. – P. 121 – 239.
20. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи
общего вида // Успехи мат. наук. – 1964. – 19, № 3. – С. 53 – 161.
21. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 142 с.
22. Михайлец В. А., Мурач А. А. Эллиптические операторы в уточненной шкале функциональных
пространств // Укр. мат. журн. – 2005. – 57, № 5. – С. 689 – 696.
23. Михайлец В. А., Мурач А. А. Интерполяция пространств с функциональным параметром и
пространства дифференцируемых функций // Допов. НАН України. – 2006. – № 6. – С. 13 – 18.
24. Михайлец В. А., Мурач А. А. Эллиптический оператор в уточненной шкале пространств на
замкнутом многообразии // Там же. – № 10. – С. 27 – 33.
25. Михайлец В. А., Мурач А. А. Регулярная эллиптическая граничная задача для однородного
уравнения в двусторонней уточненной шкале пространств // Укр. мат. журн. – 2006. – 58,
№ 11. – С. 1536 – 1555.
26. Михайлец В. А., Мурач А. А. Эллиптический оператор с однородными регулярными гранич-
ными условиями в двусторонней уточненной шкале пространств // Укр. мат. вiсн. – 2006. – 3,
№ 4. – С. 547 – 580.
27. Мурач А. А. Эллиптические краевые задачи в многосвязных областях в уточненной шкале
пространств // Допов. НАН України. – 2007. – № 4. – С. 29 – 35.
Получено 29.12.2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-3338 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:40:40Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a1/89c188144a410aef2a4fcd50ebafe9a1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33382020-03-18T19:51:39Z Improved scales of spaces and elliptic boundary-value problems. III Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. III Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. We study elliptic boundary-value problems in improved scales of functional Hilbert spaces on smooth manifolds with boundary. The isotropic Hörmander-Volevich-Paneyakh spaces are elements of these scales. The local smoothness of a solution of an elliptic problem in an improved scale is investigated. We establish a sufficient condition under which this solution is classical. Elliptic boundary-value problems with parameter are also studied. Вивчаються єліптичні крайовi задачi в уточнених шкалах функціональних гільбертових простоpiв на гладкому многовиді з краєм. Елементами цих шкал є ізотропні простори Хермандера&#8211;Волевіча&#8211;Панеяха. Досліджено локальну гладкість розв'язку еліптичної задачі в уточненій шкалі. Встановлено достатню умову класичності її розв'язку. Вивчено також еліптичні крайові задачі з параметром. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3338 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 5 (2007); 679–701 Український математичний журнал; Том 59 № 5 (2007); 679–701 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3338/3420 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3338/3421 Copyright (c) 2007 Mikhailets V. A.; Murach A. A. |
| spellingShingle | Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. Михайлец, В. А. Мурач, А. А. Improved scales of spaces and elliptic boundary-value problems. III |
| title | Improved scales of spaces and elliptic boundary-value problems. III |
| title_alt | Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. III |
| title_full | Improved scales of spaces and elliptic boundary-value problems. III |
| title_fullStr | Improved scales of spaces and elliptic boundary-value problems. III |
| title_full_unstemmed | Improved scales of spaces and elliptic boundary-value problems. III |
| title_short | Improved scales of spaces and elliptic boundary-value problems. III |
| title_sort | improved scales of spaces and elliptic boundary-value problems. iii |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3338 |
| work_keys_str_mv | AT mikhailetsva improvedscalesofspacesandellipticboundaryvalueproblemsiii AT murachaa improvedscalesofspacesandellipticboundaryvalueproblemsiii AT mihajlecva improvedscalesofspacesandellipticboundaryvalueproblemsiii AT muračaa improvedscalesofspacesandellipticboundaryvalueproblemsiii AT mihajlecva improvedscalesofspacesandellipticboundaryvalueproblemsiii AT muračaa improvedscalesofspacesandellipticboundaryvalueproblemsiii AT mikhailetsva utočnennyeškalyprostranstviélliptičeskiekraevyezadačiiii AT murachaa utočnennyeškalyprostranstviélliptičeskiekraevyezadačiiii AT mihajlecva utočnennyeškalyprostranstviélliptičeskiekraevyezadačiiii AT muračaa utočnennyeškalyprostranstviélliptičeskiekraevyezadačiiii AT mihajlecva utočnennyeškalyprostranstviélliptičeskiekraevyezadačiiii AT muračaa utočnennyeškalyprostranstviélliptičeskiekraevyezadačiiii |