On indecomposable and transitive systems of subspaces

We prove that the indecomposability of a system of subspaces of a finite-dimensional Hilbert space implies the transitivity of this system under the condition of the linear coherence of the corresponding system of orthogonal projectors.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2007
Автори:	Yakymenko, D. Yu., Якименко, Д. Ю.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська Англійська
Опубліковано:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007
Онлайн доступ:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3340
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Завантажити файл:

Репозитарії

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860509412767039488
author	Yakymenko, D. Yu. Якименко, Д. Ю.
author_facet	Yakymenko, D. Yu. Якименко, Д. Ю.
author_sort	Yakymenko, D. Yu.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2020-03-18T19:51:39Z
description	We prove that the indecomposability of a system of subspaces of a finite-dimensional Hilbert space implies the transitivity of this system under the condition of the linear coherence of the corresponding system of orthogonal projectors.
first_indexed	2026-03-24T02:40:42Z
format	Article
fulltext	UDK 513.88 D. G. Qkymenko (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka) PRO NEROZKLADNI TA TRANZYTYVNI SYSTEMY PIDPROSTORIV We prove that the indecomposability of a system of subspaces of finite-dimensional Hilbert space implies the transitivity of this system under the condition of the linear coherence of corresponding system of orthogonal projectors. Dokazano, çto yz nerazloΩymosty system¥ podprostranstv koneçnomernoho hyl\bertovoho prostranstva sleduet tranzytyvnost\ πtoj system¥ pry uslovyy lynejnoj svqznosty sootvetstvugwej system¥ ortoproektorov. 1. Vstup. Systemy pidprostoriv linijnoho çy hil\bertovoho prostoru zavΩdy vyklykaly interes qk sami po sobi, tak i v zv’qzku z ]x zastosuvannqmy [1 – 5]. Opys tranzytyvnyx ta nerozkladnyx system vaΩlyvyj tomu, wo taki systemy [ najprostißymy, z qkyx moΩna namahatysq buduvaty bud\-qki systemy pidpros- toriv. U cij statti dovodyt\sq, wo tranzytyvnist\ ta nerozkladnist\ systemy pidprostoriv skinçennovymirnoho hil\bertovoho prostoru ekvivalentni za umovy linijno] zv’qznosti vidpovidno] systemy ortoproektoriv. 2. Oznaçennq ta osnovni vlastyvosti. Nexaj H — skinçennovymirnyj hil\bertiv prostir, H1, H2, … , Hn — pidprostory H, S = ( H1; H1, H2, … , Hn ) — systema pidprostoriv u H, S = ( ); , , ,H H H Hn1 2 … — systema pidprostoriv u H . Linijne vidobraΩennq R H H: → budemo nazyvaty homomorfizmom syste- my S v S , qkwo R H Hi i( ) ⊂ , i n= 1, . Poznaçymo çerez Hom( ),S S mnoΩynu homomorfizmiv z S v S , End ( S ) : = : = Hom ( S, S ), tobto End ( S ) = R B H R H H i ni i∈ ⊂ ={ }( ) ( ) , ,1 . Systema S nazyva[t\sq tranzytyvnog, qkwo Idem ( S ) = C IH . Dali, poznaçymo Idem ( S ) = R B H R H H i n R Ri i∈ ⊂ = ={ }( ) ( ) , , ,1 2 . Systema S nazyva[t\sq nerozkladnog, qkwo Idem ( S ) = { 0, IH } . Bezposered- n\o z oznaçen\ vyplyva[, wo tranzytyvna systema [ obov’qzkovo nerozkladnog. ZauvaΩymo, wo vlastyvosti tranzytyvnosti ta nerozkladnosti systemy S, oçevydno, ne zaleΩat\ vid struktury skalqrnoho dobutku v H, tobto ci ponqt- tq moΩna rozhlqdaty i qk vlastyvosti system pidprostoriv linijnoho prostoru. Ma[ misce nastupne tverdΩennq (dyv., napryklad, [5]): S nerozkladna ⇐⇒ ∃ ∈U W H, : U W∩ = 0 , U W H+ = ta H U H W Hi i i= +∩ ∩ . Qkwo my ma[mo pidprostory U U U Hn1 2, , ,… ∈ , to çerez U U Un1 2 ˙ ˙ ˙+ + … + budemo poznaçaty U U Un1 2+ + … + u vypadku, koly U U Ui i∩ ( 1 1+ … + − + + U Ui n+ + … +1 ) = 0, i = 1, n . Inßymy slovamy, U U Un1 2 ˙ ˙ ˙+ + … + — prqma suma u H, qkwo H rozumity qk linijnyj prostir. Z koΩnog systemog S moΩna zv’qzaty systemu ortoproektoriv p1 , p2 , … … , pn , de pi — operator ortohonal\noho proektuvannq na Hi , i = 1, n . © D. G. QKYMENKO, 2007 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 717 718 D. G. QKYMENKO Systemu ortoproektoriv p1 , p2 , … , pn budemo nazyvaty linijno zv’qznog, qkwo isnugt\ αi > 0 , i = 1, n , taki, wo αi ii n p I=∑ = 1 , de I — totoΩnyj operator. 3. Osnovna teorema. Teorema. Nexaj H — hil\bertiv prostir, dim H < ∞ , S H E E= ( ; , ,1 2 … … , En ) — systema pidprostoriv u H , p1 , p2 , … , pn — ortoproektory, wo vidpovidagt\ E 1 , E2 , … , En . Nexaj vykonu[t\sq αi ii n p I=∑ = 1 dlq deqkyx αi > 0 , i = 1, n . Todi qkwo S nerozkladna, to S [ tranzytyvnog. Dovedennq. Prypustymo protyleΩne, tobto S [ nerozkladnog ta ne tran- zytyvnog. Todi isnu[ x B H∈ ( ), x I≠ λ , take, wo x E Ei i( ) ⊂ , i = 1, n . Lema1. Operator x ma[ lyße odne vlasne çyslo. Dovedennq. Nexaj λ 1 , λ2 , … , λk — rizni vlasni çysla operatora x . Todi H = H H H k( ) ˙ ( ) ˙ ˙ ( )λ λ λ1 2+ + … + , de H i( )λ = { }( )v v∈ ∃ ∈ − =H l N x i lλ 0 . Prypustymo, wo my ma[mo deqkyj pidprostir E H⊂ takyj, wo x E E( ) ⊂ . Rozhlqnemo x qk operator z E v E . Vlasni çysla x qk operatora z B E( ) na- leΩat\ mnoΩyni vsix vlasnyx çysel x . Analohiçno moΩemo rozklasty E = = E E E k( ) ˙ ( ) ˙ ˙ ( )λ λ λ1 2+ + … + , E i( )λ = 0 , qkwo λi ne [ vlasnym çyslom x B E∈ ( ) , E i( )λ = { }( )v v∈ ∃ ∈ − =E l N x i lλ 0 v inßomu vypadku. Zrozumilo, wo E Hi i( ) ( )λ λ⊂ . Takym çynom, bud\-qkyj Ei , i = 1, n , moΩna rozklasty v sumu Ei = Ei( )λ1 +̇ +̇ E Ei i k( ) ˙ ˙ ( )λ λ2 + … + , de E Hi j j( ) ( )λ λ⊂ . OtΩe, qkwo x ma[ bil\ße odnoho vlasnoho çysla, to ma[mo rozkladnist\ S, wo i dovodyt\ lemuG1. Nexaj λ — [dyne vlasne çyslo x . Todi x – λ [ nil\potentnym ta x – λ ∈ ∈ End( )S . Nexaj k ∈ N — najmenße take, wo ( )x k− =λ 0. Poznaçymo y = = ( )x k− −λ 1 ∈ B ( H ) . Oçevydno, wo y S∈End( ), y2 0= . Ale y ne dorivng[ 0, oskil\ky x , za prypuwennqm, ne kratnyj odynyçnomu ( , )x I x≠ ≠λ 0 . Takym çynom, my otrymaly takyj naslidok. Naslidok. Qkwo S [ nerozkladnog ta ne tranzytyvnog, to isnu[ y S∈End( ), y2 0= , take, wo y ≠ 0 . Vvedemo nastupni poznaçennq: H y0 = Ker , H H1 0= ⊥ , H y H01 1= ( ). Zrozu- milo, wo H y01 = Im . H H01 0⊂ , oskil\ky y2 0= ; H H H00 1 01= ⊥( )� . OtΩe, ma[mo rozklad H = H H1 0� = H H H1 01 00� �( ). Pry c\omu zrozumilo ta- koΩ, wo dim H1 = dim H01. Nexaj ma[mo deqkyj pidprostir ′ ⊂E H takyj, wo y E E( )′ ⊂ ′ . Analohiçno moΩemo rozklasty ′E = ′ ′E E1 0� = ′ ′ ′E E E1 01 00� �( ), de ′ = ′E E H0 0∩ , ′E1 = = ′ ′ ⊥E E∩ ( )0 , ′ = ′E y E01 1( ), ′ = ′ ′ ′ ⊥E E E E00 1 01∩ ( )� . NevaΩko perekonatysq, wo ′ ⊂E H0 0 , ′ ⊂E H01 01, ′ ⊂ ′ ′E E E0 01 00� , dim dim′ = ′E E1 01. ZauvaΩymo, wo, vzahali kaΩuçy, ′ /⊆E H1 1. Rozklademo koΩnyj Ei , i = 1, n , z systemy S opysanym vywe sposobom: Ei = E Ei i, ,1 0� = E E Ei i i, , ,( )1 01 00� � . Qkwo my dovedemo, wo E Hi,1 1⊂ , i = 1, n , to otryma[mo rozkladnist\ S (bo todi Ei = E Ei i, ,1 0� = E H E Hi i∩ ∩1 0� , i = 1, n ), a otΩe, pryjdemo do ßu- kano] supereçnosti. Lema2. αi ii n Edim ,11=∑ ≥ dim H1, pryçomu rivnist\ moΩlyva lyße za umovy E Hi,1 1⊂ , i = 1, n . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 PRO NEROZKLADNI TA TRANZYTYVNI SYSTEMY PIDPROSTORIV 719 Dovedennq. Poznaçymo çerez pr[ ]′E , de ′E — pidprostir H, operator ortohonal\noho proektuvannq na ′E , S1 = αi ii n Epr[ ],11=∑ , S0 = = αi ii n Epr[ ],01=∑ . Za umovog teoremy S0 + S1 = I. Nexaj m = dim H, l = = dim H1 , { v1, … , vl } — ortonormovanyj bazys H1, { w1, … , wm – l } — ortonormovanyj bazys H0 . Rozhlqnemo matryci operatoriv S0 ta S1 u bazysi { v1, … , vl, w1, … , wm – l } . Po-perße, oskil\ky α > 0, to S0 ta S1 — nevid’[m- ni operatory, a otΩe, na diahonalqx matryc\ roztaßovani nevid’[mni çysla. Os- kil\ky E Hi,0 0⊂ , to S H0 1 0( ) = . OtΩe, S0 = d d dl 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗                         … … � � � � … … … � � � � … , de ai ≥ 0 , i m l= −1, . Ale S0 + S1 = I, tomu S1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 … … � � � � … … … � � � � … ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗                         − b b bm l , de bi ≥ 0, a bi i+ = 1, i m l= −1, . Todi tr ( )S l b b b lm l1 1 2= + + + … + ≥− , tobto αi ii n Etr pr( [ ]),11=∑ ≥ dim H1 çy αi ii n Edim ,11=∑ ≥ dim H1. Rivnist\ bude lyße za umovy b1 = b2 = … = bm l− = = 0. Zvidsy ( ( ), )S w wi i1 0= , i m l= −1, , a otΩe, ( =∑ α j j ij n E wpr[ ]( ),,11 wi ) = 0 , i m l= −1, . Tomu pr[ ]( ),E wj i1 0= , i m l= −1, , j n= 1, , zvidky H Ej0 1⊂ ⊥( ), , j n= 1, , tobto E Hj,1 1⊂ , j n= 1, . Lema*3. αi ii n Edim ,011=∑ ≤ dim H01. Dovedennq. Poznaçymo S Ei ii n 01 011 = =∑ α pr[ ], , S E Ei i ii n 2 1 001 = =∑ α pr[ ], ,� , S S I01 2+ = . Nexaj { , , }′ … ′v v1 l — ortonormovanyj bazys H01, { , , }, ′ … ′ −w wm l1 — ortonormovanyj bazys ( )H01 ⊥ . Rozhlqnemo matryci operatoriv S01 ta S2 u ba- zysi { , , , , }′ … ′ ′ … ′ −v v ,1 1l m lw w . Znovu S01 ta S2 [ nevid’[mnymy, otΩe, na dia- honalqx matryc\ roztaßovani nevid’[mni çysla. Oskil\ky E Hi,01 01⊂ , to S H01 01 0( )( )⊥ = . Zvidsy ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 720 D. G. QKYMENKO S01 = c c cl 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗                     … … � � � � … … … � � � � … , de ci ≥ 0 , i l= 1, . Ale S S I01 2+ = , otΩe, S2 = d d dl 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗                     … … � � � � … … … � � � � … , de di ≥ 0, ci + di = 1, i = 1, l . Ma[mo tr ( )S01 = c c cl1 2+ + … + = l dii l− =∑ 1 ≤ l, zvidky αi ii n Etr pr( )[ ],011=∑ ≤ ≤ dim H01 , tobto αi ii n Edim ,011=∑ ≤ dim H01 . Oskil\ky dim H1 = dim H01 ta dim Ei, 1 = dim Ei, 01 , i = 1, n , to z lemG2 ta 3 otrymu[mo, wo ma[ buty rivnist\ αi ii n Edim ,11=∑ = dim H1 , a otΩe, z lemyG2 vyplyva[, wo Ei, 1 ⊂ H1 , i = 1, n . Teoremu dovedeno. Oskil\ky tranzytyvnist\ ta nerozkladnist\ systemy pidprostoriv ne zale- Ωat\ vid struktury skalqrnoho dobutku v H, to osnovnyj rezul\tat roboty moΩna pereformulgvaty takym çynom: nerozkladnist\ systemy pidprostoriv skinçennovymirnoho linijnoho prosto- ru V ekvivalentna tranzytyvnosti, qkwo u V moΩna vvesty takyj skalqr- nyj dobutok, wo vidpovidna systema ortoproektoriv vyqvyt\sq linijno zv’qz- nog. ZauvaΩennq. Pislq podannq statti do druku vyjßla robota S. A. Kruhlq- ka, L. O. Nazarovo] ta A V Rojtera. . „Ortoskalqrn¥e predstavlenyq kolçanov v katehoryy hyl\bertov¥x prostranstv” („Zapysky nauçn¥x semynarov POMY”, 2006, tom 338, s.G180 – 201), v qkij dlq nezvidnyx ortoskalqrnyx zobraΩen\ kol- çaniv dovedeno ]x ßurovist\ v katehori] linijnyx prostoriv. Avtor vyslovlg[ hlyboku podqku G. S. Samojlenku za postanovku zadaçi ta cinni zauvaΩennq i porady. 1. Gelfand I. M., Ponomarev V. A. Problems of linear algebra and classification of quadruples of subspaces in finite-dimensional vector space // Coll. Math. Spc. Bolyai. – 1970. – 5. – P. 163 – 237. 2. Brenner S. Endomorphism algebras of vector spaces with distinguished sets of subspaces // J. Algebra. – 1967. – 6. – P. 100 – 114. 3. Nazarova L. A. Representations of a quadruple // Izv. AN SSSR. – 1967. – 31, # 6. – P. 1361 – 1377. 4. Kruhlqk S. A., Rabanovyç V. Y., Samojlenko G. S. O summax proektorov // Funkcyon. analyz y pryl. – 2002. – 36, v¥p. 3. – S.G30 – 35. 5. Enomoto M., Watatani Ya. Relative position of four subspaces in a Hilbert space // ArXive:(2004). OderΩano 20.02.2006 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5
id	umjimathkievua-article-3340
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian English
last_indexed	2026-03-24T02:40:42Z
publishDate	2007
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/55/0e6c61af64c97fc7f87d0cbd18d36655.pdf
spelling	umjimathkievua-article-33402020-03-18T19:51:39Z On indecomposable and transitive systems of subspaces Про нерозкладні та транзитивні системи підпросторів Yakymenko, D. Yu. Якименко, Д. Ю. We prove that the indecomposability of a system of subspaces of a finite-dimensional Hilbert space implies the transitivity of this system under the condition of the linear coherence of the corresponding system of orthogonal projectors. Доказано, что из неразложимости системы подпространств конечномерного гильбертового пространства следует транзитивность этой системы при условии линейной связности соответствующей системы ортопроекторов. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3340 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 5 (2007); 717–720 Український математичний журнал; Том 59 № 5 (2007); 717–720 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3340/3424 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3340/3425 Copyright (c) 2007 Yakymenko D. Yu.
spellingShingle	Yakymenko, D. Yu. Якименко, Д. Ю. On indecomposable and transitive systems of subspaces
title	On indecomposable and transitive systems of subspaces
title_alt	Про нерозкладні та транзитивні системи підпросторів
title_full	On indecomposable and transitive systems of subspaces
title_fullStr	On indecomposable and transitive systems of subspaces
title_full_unstemmed	On indecomposable and transitive systems of subspaces
title_short	On indecomposable and transitive systems of subspaces
title_sort	on indecomposable and transitive systems of subspaces
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3340
work_keys_str_mv	AT yakymenkodyu onindecomposableandtransitivesystemsofsubspaces AT âkimenkodû onindecomposableandtransitivesystemsofsubspaces AT yakymenkodyu pronerozkladnítatranzitivnísistemipídprostorív AT âkimenkodû pronerozkladnítatranzitivnísistemipídprostorív

On indecomposable and transitive systems of subspaces

Репозитарії

Схожі ресурси