Extension of the Stieltjes moment sequence to the left and related problems of the spectral theory of inhomogeneous string
For a nonhomogeneous string with the known mass distribution (the full mass is assumed to be infinite), the known finite length, and the unknown spectral measure $d\sigma(t)$, we construct an analogous string with spectral measure $d\sigma(t)/t$. This allows to calculate the moments of all negativ...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3347 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509422702297088 |
|---|---|
| author | Nudel'man, A. A. Нудельман, А. А. Нудельман, А. А. |
| author_facet | Nudel'man, A. A. Нудельман, А. А. Нудельман, А. А. |
| author_sort | Nudel'man, A. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:51:58Z |
| description | For a nonhomogeneous string with the known mass distribution (the full mass is assumed to be infinite),
the known finite length, and the unknown spectral measure $d\sigma(t)$, we construct an analogous string with spectral measure $d\sigma(t)/t$.
This allows to calculate the moments of all negative orders of the measure $d\sigma(t)$.
The mechanical interpretation of the Stieltjes investigations on the moment problem proposed by M. G. Krein enables one to solve the following problem: for given
Stieltjes moment sequence with unique solution, calculate the moments of negative orders.
This problem is equivalent to the following one: establish the asymptotic behavior of the associate Stieltjes function near zero if its asymptotic behavior near infinity is given.
|
| first_indexed | 2026-03-24T02:40:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
A. A. Nudel\man (Odes. nac. akad. pyw. texnolohyj)
PRODOLÛENYE VLEVO STYL|T|ESOVSKOJ
MOMENTNOJ POSLEDOVATEL|NOSTY
Y RODSTVENNÁE ZADAÇY SPEKTRAL|NOJ TEORYY
NEODNORODNOJ STRUNÁ
∗∗∗∗
For a nonhomogeneous string with the known mass distribution (the full mass is assumed to be infinite),
the known finite length, and the unknown spectral measure d tσ( ), we construct an analogous string
with spectral measure d t tσ( ) / . This allows to calculate the moments of all negative orders of the
measure d tσ( ). The mechanical interpretation of the Stieltjes investigations on the moment problem
proposed by M. G. Krein enables one to solve the following problem: for given Stieltjes moment
sequence with unique solution, calculate the moments of negative orders. This problem is equivalent to
the following one: establish the asymptotic behavior of the associate Stieltjes function near zero if its
asymptotic behavior near infinity is given.
Dlq neodnoridno] struny z vidomymy rozpodilom mas (povna masa vvaΩa[t\sq neskinçennog),
skinçennog dovΩynog ta nevidomog spektral\nog mirog d tσ( ) pobudovano analohiçnu strunu
zi spektral\nog mirog d t tσ( ) / . Ce dozvolq[ obçyslyty momenty vsix vid’[mnyx porqdkiv miry
d tσ( ) . Mexaniçna interpretaciq doslidΩen\ Stil\t\[sa z problemy momentiv, zaproponovana
M./H. Krejnom, dozvolq[ rozv’qzaty nastupnu problemu: dlq stil\t\[sivs\ko] momentno] posli-
dovnosti, qka ma[ [dynyj rozv’qzok, obçyslyty momenty vid’[mnyx porqdkiv. Cq problema ekvi-
valentna takij: znajty asymptotyçnu povedinku asocijovno] funkci] Stil\t\[sa poblyzu nulq,
znagçy ]] asymptotyçnu povedinku poblyzu neskinçennosti.
1. Kak yzvestno, klassyçeskaq problema momentov Styl\t\esa sostoyt v sledu-
gwem. Dlq zadannoj posledovatel\nosty çysel { }sk 0
∞
neobxodymo:
1) najty uslovyq, pry kotor¥x suwestvuet neotrycatel\naq mera dσ (re-
ßenye problem¥), dlq kotoroj çysla sk qvlqgtsq stepenn¥my momentamy k-ho
porqdka:
sk = t d tk σ( )
0
∞
∫ , k = 0, 1, … ; (1)
2) esly reßenye suwestvuet, v¥qsnyt\, edynstvenno ly ono (v πtom sluçae
problema naz¥vaetsq opredelennoj);
3) esly problema neopredelennaq, najty vse reßenyq.
Otvet¥ na perv¥e dva voprosa b¥ly dan¥ ewe Styl\t\esom [1], opysanye vsex
reßenyj neopredelennoj problem¥ vperv¥e pryvedeno v rabote M./H./Krej-
na/[2].
Problema (1) razreßyma tohda y tol\ko tohda, kohda vse form¥
s x xi j i j
i j
n
+
=
∑
, 0
, s x xi j i j
i j
n
+ +
=
∑ 1
0,
(2)
qvlqgtsq neotrycatel\no opredelenn¥my pry n = 0, 1,… . Esly pry πtom xotq
b¥ odna yz nyx v¥roΩdaetsq, to reßenye edynstvenno y ymeet koneçn¥j nosy-
tel\. Verno y obratnoe: esly problema (1) ymeet reßenye s koneçn¥m nosyte-
lem, to ono edynstvenno, pry πtom vse form¥ (2) neotrycatel\n¥ y sredy nyx
ymegtsq v¥roΩdenn¥e. Takym obrazom, dlq toho çtob¥ problema (1) ymela re-
ßenye s beskoneçn¥m nosytelem, neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ b¥ly polo-
Ωytel\n¥ vse opredelytely
∗
Çastyçno podderΩana fondom U. S. Civilian Research and Development Foundation y Myny-
sterstvom obrazovanyq y nauky Ukrayn¥ (hrant UK2-2811-OD-06).
© A. A. NUDEL|MAN, 2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 815
816 A. A. NUDEL|MAN
A sn i j
n= +
−det( )0
1, B sn i j
n= + +
−det( )1 0
1, n = 1, 2, … ( A0 = B0 = 1 ) . (3)
Ymenno πtot sluçaj b¥l yzuçen Styl\t\esom, kotor¥j ustanovyl, çto problema
(1) qvlqetsq opredelennoj tohda y tol\ko tohda, kohda
an
n=
∞
∑
1
= ∞ , (4)
hde
a A B Bk k k k2
2
1= −/ , a A B Bk k k k2 1 1
2
1+ − −= / . (5)
V poslednee vremq naçaly razrabat¥vat\ tak naz¥vaemug syl\nug problemu
momentov Styl\t\esa [3] (sm. takΩe [4], hde ymeetsq obßyrnaq byblyohrafyq, y
[5]), kotoraq otlyçaetsq ot klassyçeskoj tem, çto krome momentov neotryca-
tel\n¥x porqdkov sk
, k = 0, 1, … , zadagtsq moment¥ otrycatel\n¥x porqdkov
s– k
, k = 1, 2, … .
Pry postanovke rassmotrenn¥x v nastoqwej stat\e zadaç otpravn¥m punk-
tom posluΩyl sledugwyj vopros. Pust\ zadana posledovatel\nost\ { }sk 0
∞,
dlq kotoroj razreßyma klassyçeskaq problema momentov Styl\t\esa (1). Pry
kakyx uslovyqx ee moΩno prodolΩyt\ vlevo nekotoroj posledovatel\nost\g
{ }s k−
∞
1 tak, çtob¥ dlq beskoneçnoj v obe storon¥ posledovatel\nosty { }sk −∞
∞
b¥la razreßyma syl\naq problema momentov Styl\t\esa
sk = t d tk σ( )
0
∞
∫ , k = 0, ± 1, ± 2, … . (6)
Yn¥my slovamy, pry kakyx uslovyqx sredy reßenyj dσ klassyçeskoj proble-
m¥ (1) ymegtsq takye, dlq kotor¥x sxodqtsq yntehral¥
s– k = t d tk−
∞
∫ σ( )
0
, k = 1, 2, … . (7)
Otmetym, çto πtot vopros soderΩatelen tol\ko v sluçae, kohda klassyçeskaq
problema Styl\t\esa (1) qvlqetsq opredelennoj, ybo, kak pokazal Styl\t\es, u
neopredelennoj problem¥ ymegtsq reßenyq s dyskretn¥m nosytelem, ne so-
derΩawym nulq; dlq takyx reßenyj yntehral¥ (7) suwestvugt. Dlq oprede-
lennoj problem¥ ymeet sm¥sl zadaça o tom, kak v¥razyt\ moment¥ s– k otryca-
tel\n¥x porqdkov edynstvennoho reßenyq çerez zadann¥e moment¥ sk neotry-
catel\n¥x porqdkov.
UkaΩem druhug formu postanovky poslednej zadaçy. Oboznaçym çerez S
klass funkcyj, holomorfn¥x v kompleksnoj oblasty, razrezannoj po [ 0, ∞ ) ,
otobraΩagwyx otkr¥tug verxngg poluploskost\ v zamknutug verxngg polu-
ploskost\ y neotrycatel\n¥x na ( – ∞, 0 ) . Yzvestno (sm., naprymer, [6, c. 522]),
çto F ∈ S tohda y tol\ko tohda, kohda
F ( z ) = γ σ+
−
∞
∫ d t
t z
( )
0
, (8)
hde γ ( = F ( – ∞ )) ≥ 0, d σ ( t ) ≥ 0. Yzvestno takΩe, çto S - funkcyq (8) pry z →
→ ∞ v sektore 0 < δ ≤ arg z ≤ π asymptotyçesky predstavlqetsq rqdom
– s zk
k
k
− +
=
∞
∑ ( )1
0
(9)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
PRODOLÛENYE VLEVO STYL|T|ESOVSKOJ MOMENTNOJ … 817
tohda y tol\ko tohda, kohda γ = 0 y v¥polnqetsq (1). Krome toho [5], pry γ =
= 0 S - funkcyq (8) asymptotyçesky predstavlqetsq rqdom
s zk
k
k
− +
=
∞
∑ ( )1
0
(10)
pry z → 0 v tom Ωe sektore tohda y tol\ko tohda, kohda v¥polnqetsq (7).
Teper\ zadaçu moΩno sformulyrovat\ sledugwym obrazom. Znaq asympto-
tyçeskoe razloΩenye (9) zadannoj S - funkcyy vblyzy ∞ , najty ee asymptoty-
çeskoe razloΩenye (10) vblyzy 0.
Kak pokazal M. H. Krejn [2] (sm. takΩe [7]), teoryg klassyçeskoj problem¥
momentov Styl\t\esa moΩno rassmatryvat\ kak sostavnug çast\ spektral\noj
teoryy neodnorodnoj strun¥ (neobxodym¥e svedenyq sm. nyΩe); v çastnosty,
mnoΩestvo reßenyj problem¥ (1) sovpadaet s mnoΩestvom spektral\n¥x mer
strun¥ specyal\noho vyda (styl\t\esovskoj strun¥), uslovye opredelennosty
problem¥ Styl\t\esa sovpadaet s uslovyem synhulqrnosty sootvetstvugwej
styl\t\esovskoj strun¥.
V nastoqwej stat\e poluçen¥ v¥raΩenyq dlq momentov otrycatel\n¥x po-
rqdkov spektral\noj mer¥ proyzvol\noj neodnorodnoj synhulqrnoj strun¥ v
termynax ee dlyn¥ y funkcyy raspredelenyq mass. ∏ty obwye formul¥ pozvo-
lqgt reßyt\ zadaçu o prodolΩenyy vlevo styl\t\esovskoj momentnoj posle-
dovatel\nosty s pomow\g yzvestn¥x formul dlq dlyn¥ y funkcyy rasprede-
lenyq mass styl\t\esovskoj strun¥.
Kryteryy suwestvovanyq momentov otrycatel\n¥x porqdkov spektral\noj
mer¥ synhulqrnoj strun¥ b¥ly poluçen¥ Y. S. Kacem [8]. Zdes\ budet poluçe-
na druhaq forma kryteryq.
2. Pryvedem neobxodym¥e svedenyq yz spektral\noj teoryy neodnorodnoj
strun¥. Podrobnoe yzloΩenye moΩno najty v [7].
Oboznaçym çerez S L M[ , ] strunu, natqnutug edynyçnoj syloj meΩdu toç-
kamy x = 0 y x = L ( ≤ ∞ ) s funkcyej raspredelenyq mass M ( x ) ( M ( 0 ) = 0 ) ,
pryçem
0 < M ( x ) = M ( x + 0 ) < M ( L ) , 0 < x < L , M ( L – 0 ) = M ( L ) . (11)
Udobno sçytat\, çto M ( x ) = 0 pry x < 0. Dopuskagtsq ynterval¥, svobodn¥e
ot mass, ravno kak y sosredotoçenn¥e mass¥. Amplytudn¥e funkcyy takoj
strun¥ qvlqgtsq reßenyqmy yntehral\noho uravnenyq
y ( x, λ ) = α β λ ξ ξ λ ξ+ − −
−
∫z x y dM
x
( ) ( , ) ( )
0
. (12)
Esly na funkcyqx vyda
u ( x ) = α β ξ ξ ξ+ + −
−
∫x x g dM
x
( ) ( ) ( )
0
,
hde g — kompleksnoznaçnaq M - summyruemaq na [ 0, L ] funkcyq, opredelyt\
operator dyfferencyrovanyq po x formuloj
du
dx
= β ξ+
−
∫ g dM x
x
( ) ( )
0
,
a na funkcyqx vyda
v ( x ) = β ξ ξ+
−
∫ g dM
x
( ) ( )
0
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
818 A. A. NUDEL|MAN
opredelyt\ operator dyfferencyrovanyq po M ( x ) formuloj
d
dM x
v
( )
= g ( x ) ,
to uravnenye (12) budet ravnosyl\no zadaçe
d y
dM x dx
y
2
( )
+ λ = 0, y ( 0, λ ) = α ,
dy
dx
( , )−0 λ = β . (13)
V çastnom sluçae, kohda M ( x ) absolgtno neprer¥vna, dM ( x ) = p ( x ) dx , urav-
nenye (13) prevrawaetsq v ob¥çnoe uravnenye
d y
dx
p x y
2
2 + λ ( ) = 0.
Oboznaçym çerez ϕ ( x, λ ) y ψ ( x, λ ) reßenyq zadaçy (13), sootvetstvugwye
znaçenyqm α = 1, β = 0 y α = 0, β = 1. Mera dσ naz¥vaetsq spektral\noj
meroj strun¥ S L M[ , ], esly otobraΩenye U : f → F , hde
F ( λ ) = f x x dM x
l
( ) ( , ) ( )ϕ λ
−
∫
0
,
otobraΩaet prostranstvo L
2 0([ , ], )l dM v prostranstvo L
2 0([ , ], )∞ dσ yzomet-
ryçesky, t. e. esly
F d( ) ( )λ σ λ2
0
∞
∫ = f x dM x
l
( ) ( )2
0−
∫ .
Spektral\naq mera edynstvenna tohda y tol\ko tohda, kohda struna synhulqrna,
t. e.
L + M ( L ) = ∞ . (14)
Odnu yz spektral\n¥x mer (hlavnug spektral\nug meru) moΩno poluçyt\ sle-
dugwym obrazom. Funkcyq
Γ ( λ ) = lim
( , )
( , )x L
x
x↑
ψ λ
ϕ λ
, (15)
naz¥vaemaq koπffycyentom dynamyçeskoj podatlyvosty strun¥, qvlqetsq S -
funkcyej, tak çto
Γ ( λ ) = γ σ
λ
+
−
∞
∫
0
d t
t
( )
, dσ ( t ) ≥ 0. (16)
Zdes\ mera dσ — hlavnaq spektral\naq mera strun¥ (ee moΩno najty s po-
mow\g formul¥ obrawenyq Styl\t\esa), γ ( ( ))= +∞Γ — dlyna uçastka stru-
n¥, prym¥kagweho k 0, svobodnoho ot mass: M ( x ) = 0 pry 0 ≤ x < γ . V sylu
(11) v rassmatryvaemom sluçae γ = 0. Dlq synhulqrnoj strun¥ takΩe
Γ ( λ ) = lim
( , )
( , )x L
d x
dx
d x
dx
↑
ψ λ
ϕ λ . (17)
V dal\nejßem predpolahaetsq, çto struna S L M[ , ] synhulqrna.
Naßa cel\ sostoyt v tom, çtob¥ v¥razyt\ çerez L y d M moment¥ otryca-
tel\n¥x porqdkov mer¥ dσ.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
PRODOLÛENYE VLEVO STYL|T|ESOVSKOJ MOMENTNOJ … 819
3. V¥raΩenye dlq s−1 yzvestno, ono poluçaetsq dostatoçno prosto: tak kak
ϕ ( x, λ ) = 1
0
− −∫λ ξ ϕ ξ λ ξ( ) ( , ) ( )x dM
x
, ψ ( x, λ ) = x x dM
x
− −∫λ ξ ϕ ξ λ ξ( ) ( , ) ( )
0
,
to ϕ ( x, 0 ) = 1, ψ ( x, 0 ) = x, tak çto, polahaq λ = 0 v (15) y (16), poluçaem
s−1 = L . (18)
Takym obrazom, s−1 suwestvuet tohda y tol\ko tohda, kohda L < ∞ (y, sledo-
vatel\no, M ( L ) = ∞ ) .
Dlq naxoΩdenyq s k− pry k > 1 budet yspol\zovan sledugwyj pryem. Po
synhulqrnoj strune S L M[ , ] ( ), ( )L M L< ∞ = ∞ stroytsq novaq synhulqrnaq
struna S L M[ , ]1 1 ( )( )M L1 1 = ∞ , u kotoroj spektral\naq mera dσ1 svqzana s
dσ formuloj d t t d tσ σ1
1( ) ( )= − . Prymenqq (18) k novoj strune, ymeem
L1 = t d t−
∞
∫ 1
1
0
σ ( ) = t d t−
∞
∫ 2
0
σ( ) = s−2 ,
tak çto s−2 suwestvuet tohda y tol\ko tohda, kohda novaq struna ymeet koneç-
nug dlynu. Povtorno prymenqq πtot pryem, naxodym uslovyq suwestvovanyq y
formul¥ dlq s k− .
Pry postroenyy strun¥ S L M[ , ]1 1 po strune S L M[ , ] budet yspol\zovan
podxod, nameçenn¥j bez dokazatel\stva M. H. Krejnom [9] v druhyx preobrazova-
nyqx spektral\n¥x mer. Koordynata x1 y massa M x1 1( ) yntervala [ , ]0 1x dlq
novoj strun¥ vvodqtsq kak nekotor¥e neub¥vagwye funkcyy parametra x
( 0 ≤ x ≤ L ) : x1 = p ( x ) , M x1 1( ) = q ( x ) , ne ymegwye obwyx toçek razr¥va.
Sleduet poqsnyt\, çto esly ( ξ, η ) — ynterval, v kotorom funkcyq p soxranq-
et postoqnnoe znaçenye, p ( x ) = c pry ξ < x < η , to v toçke x1 = c sosredo-
toçena massa q ( η – 0 ) – q ( ξ + 0 ) ; esly ζ — toçka razr¥va funkcyy p, p ( ζ – 0 ) =
= a, p ( ζ + 0 ) = b, to ynterval a < x1 < b svoboden ot mass. Analohyçno, yn-
tervalu postoqnstva funkcyy q sootvetstvuet ynterval, svobodn¥j ot mass, a
ee skaçku — sosredotoçennaq massa.
Pust\ S L M[ , ] ( ), ( )L M L< ∞ = ∞ — zadannaq synhulqrnaq struna so
spektral\noj meroj dσ. PoloΩym
x1 = ( ) ( )L dM
x
−
−
∫ ξ ξ2
0
, M x1 1( ) = ( )L x− −1, 0 < x < L, M1 0( ) = 0. (19)
Kohda x probehaet otrezok [ 0, L ] , x1 probehaet otrezok [ 0, L1 ] , hde
L1 = ( ) ( )L dM
L
−
−
∫ ξ ξ2
0
,
pry πtom M L1 1( ) = ∞ . Struna S L M[ , ]1 1 ymeet v toçke 0 sosredotoçennug
massu M L1
10( )+ = − . Esly struna S L M[ , ] ymeet v toçke 0 sosredotoçennug
massu m0 , to x L m1
2
00( )+ = y, sledovatel\no, u strun¥ S L M[ , ]1 1 ynterval
0 < x1 < L m2
0 svoboden ot mass.
Teorema%1. Esly funkcyq y ( x, λ ) qvlqetsq reßenyem zadaçy (13), to
funkcyq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
820 A. A. NUDEL|MAN
Y ( x1
, λ ) = α β λ ξ ξ λ ξ+ − −
−
∫L L y dM
x
( ) ( , ) ( )
0
(20)
qvlqetsq reßenyem zadaçy
d Y
dM x dx
Y
2
1 1 1( )
+ λ = 0, Y( , )0 λ = α β+ L , dY
dx1
0( , )− λ = β λ .
Dokazatel\stvo. Sleduet ubedyt\sq v tom, çto
Y x( , )1 λ = α β βλ λ λ+ + − −
−
∫L x x t Y t dM t
x
1 1 1 1 1 1
0
1
( ) ( , ) ( ). (21)
PreΩde vseho zametym, çto
x t1 1− = ( ) ( ) ( ) ( )L dM L dM
x t
− − −
− −
∫ ∫ξ ξ ξ ξ2
0
2
0
= ( ) ( )L dM
t
x
−
+
∫ ξ ξ2
0
.
PoloΩym µ( ) ( )t L t= − −1
pry 0 < t < L , µ( )t = 0 pry t ≤ 0 y ν ( t ) =
= ( ) ( , ) ( )L y dM
t
−
−∫ τ τ λ τ
0
. Oboznaçym pravug çast\ (21) çerez Z ( x1 , λ ) y s uçe-
tom (19) zapyßem ee v vyde
Z ( x1 , λ ) = α β βλ ξ ξ+ + −
−
∫L L dM
x
( ) ( )2
0
–
– λ ξ ξ α β λν µ
− +
∫ ∫ −
+ −
0
2
0
x
t
x
L dM L t d t( ) ( ) ( ) ( )( ) = α β βλ ξ ξ+ + −
−
∫L L dM
x
( ) ( )2
0
–
– λ α β ξ ξ µ( ) ( ) ( ) ( )+ −
∫ ∫
+
L L dM d t
x
t
x
0
2
0
+ λ ξ ξ ν µ2
0
2
0
x
t
x
L dM t d t∫ ∫ −
+
( ) ( ) ( ) ( ).
DokaΩem, çto Z ( x1 , λ ) = Y ( x1 , λ ) .
Yzmenyv porqdok yntehryrovanyq v poslednyx dvux slahaem¥x, poluçym
Z ( x1 , λ ) = α β βλ ξ ξ+ + −
−
∫L L dM
x
( ) ( )2
0
–
– λ α β µ ξ ξ
ξ
( ) ( ) ( ) ( )+
−
−
∫ ∫L d t L dM
x
0 0
2 + λ ν µ ξ ξ
ξ
2
0 0
2
− −
∫ ∫
−
x
t d t L dM( ) ( ) ( ) ( ).
Poskol\ku
d tµ
ξ
( )
0
∫ = ( )L − −ξ 1 y d tν( ) = ( ) ( , ) ( )L t y t dM t− λ ,
to
ν µ
ξ
( ) ( )t d t
−
∫
0
= ν ξ ν
ξ
( )( ) ( ) ( )t L L t d t− − −−
−
−∫1
0
1 =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
PRODOLÛENYE VLEVO STYL|T|ESOVSKOJ MOMENTNOJ … 821
= ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )L L t y t dM t y t dM t− − −−
− −
∫ ∫ξ λ λ
ξ ξ
1
0 0
=
= ( ) ( ) ( , ) ( )L t y t dM t− −−
−
∫ξ ξ λ
ξ
1
0
.
Uçyt¥vaq (12), ymeem
ν µ
ξ
( ) ( )t d t
−
∫
0
= λ ξ α βξ ξ− −− + −1 1( ) ( , )( )L y t .
Poπtomu
Z ( x1 , λ ) = α β βλ ξ ξ+ + −
−
∫L L dM
x
( ) ( )2
0
–
– λ α βλ ξ ξ λ ξ α βξ ξ λ ξ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( , ) ( )+ − + − + −
− −
∫ ∫L dM L y dM
x x
0 0
=
= α β λ ξ ξ λ ξ+ − −
−
∫L L y dM
x
( ) ( , ) ( )
0
= Y ( x1 , λ ) ,
çto y zaverßaet dokazatel\stvo teorem¥.
Teorema%2. Dlq funkcyy Y ( x1 , λ ) , opredelennoj v teoreme/1, spravedlyva
formula
dY
dx1
= – λ λy x
L x
( , )
−
.
Dokazatel\stvo. Po opredelenyg
dY
dx1
= βλ λ λ−
−
∫ Y t dM t
x
( , ) ( )1 1 1
0
1
,
tak çto
dY
dx1
= βλ λ α β λ ξ ξ λ ξ µ− + − −
− −
∫ ∫
0 0
x t
L L y dM d t( ) ( , ) ( ) ( ) =
= βλ λα β λ µ ξ ξ λ µ ξ
ξ
− +
−
+
−
−
∫ ∫L
L x
d t L y d
x x
2
0
( ) ( ) ( , ) ( ) =
= – λα β λ ξ ξ λ µ ξ+
−
+
−
−
−
∫x
L x L x
x y d
x2
0
( ) ( , ) ( ) = – λ λy x
L x
( , )
−
.
Teorema%3. Spektral\n¥e mer¥ dσ y dσ 1 sootvetstvenno strun
S L M[ , ] y S L M[ , ]1 1 svqzan¥ sootnoßenyem
dσ1 ( t ) = t d t−1 σ( ).
Dokazatel\stvo. Oboznaçym çerez Y1 ( x1 , λ ) y Y2 ( x1 , λ ) reßenyq zadaçy
(13), sootvetstvugwye znaçenyqm α1 1= , β1 0= y α2 0= , β2 1= , tak çto
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
822 A. A. NUDEL|MAN
Y1 ( x1 , λ ) = 1
0
− −
−
∫λ ξ ϕ ξ λ ξ( ) ( , ) ( )L dM
x
,
Y2 ( x1 , λ ) = L L dM
x
− −
−
∫λ ξ ψ ξ λ ξ( ) ( , ) ( )
0
.
Sohlasno teoreme/1
Y1 ( 0, λ ) = 1,
dY
dx
1
1
0( , )− λ = 0,
Y2 ( 0, λ ) = L,
dY
dx
2
1
0( , )− λ = λ ,
poπtomu dlq strun¥ S L M[ , ]1 1
ϕ1 ( x1 , λ ) = Y1 ( x1 , λ ) , ψ1 ( x1 , λ ) = – L Y x Y xλ λ λ λ− −+1
1 1
1
2 1( , ) ( , ) . (22)
Poskol\ku struna S L M[ , ]1 1 synhulqrna ( )( )M L1 1 = ∞ , ee koπffycyent
dynamyçeskoj podatlyvosty Γ1( )λ moΩno v¥çyslyt\ po formule
Γ1( )λ = lim
( , )
( , )x L
d x
dx
d x
dx
1 1
1 1
1
1 1
1
↑
ψ λ
ϕ λ .
Yspol\zuq (22) y teoremu/2, naxodym
d x
dx
d x
dx
ψ λ
ϕ λ
1 1
1
1 1
1
( , )
( , )
= λ ψ λ
ϕ λ
− − +
1 L
x
x
( , )
( , )
,
otkuda, ustremlqq x k L, poluçaem
Γ1( )λ = λ λ− − +( )1 L Γ( )
yly
0
1
∞
∫ −
d t
t
σ
λ
( )
= λ σ σ
λ
−
∞ ∞
− +
−
∫ ∫1
0 0
d t
t
d t
t
( ) ( )
,
t. e.
0
1
∞
∫ −
d t
t
σ
λ
( )
=
0
1∞ −
∫ −
t d t
t
σ
λ
( )
.
Sledovatel\no, d tσ1( ) = t d t−1 σ( ).
Teorema dokazana.
4. Kak b¥lo otmeçeno v konce p./2, yz teorem¥/3 sleduet, çto s−2 = L1, po-
πtomu v sootvetstvyy s (19)
s−2 = ( ) ( )L x dM x
L
−
−
∫ 2
0
, (23)
y s−2 suwestvuet tohda y tol\ko tohda, kohda sxodytsq yntehral v pravoj ças-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
PRODOLÛENYE VLEVO STYL|T|ESOVSKOJ MOMENTNOJ … 823
ty (23) (moment ynercyy strun¥ S L M[ , ] otnosytel\no ee pravoho konca). Esly
poloΩyt\ s x−1( ) = L – x ( )( )s L s− −= =1 10 , to
s−2 = s x dM x
L
−
−
∫ 1
2
0
( ) ( ).
Otpravlqqs\ ot postroennoj strun¥ S L Mn n[ , ]− −1 1 , n = 1, 2, … , L L0 = ,
M M0 = , postroym strunu S L Mn n[ , ], poloΩyv
xn = ( ) ( )L t dM tn n n n
xn
− − − −
−
−
−
∫ 1 1
2
1 1
0
1
,
M xn n( ) = ( )L xn n− −
−−1 1
1 ( )0 1 1< <− −x Ln n , Mn( )0 = 0.
PoloΩym s x L xk k k− − −= −( ) 1 1, tak çto s sk k− −= −( )0 . Tohda
dxn = s x dM xn n− −
2
1( ) ( ), dMn =
dx
s x s x
n
n n
−
− +
1
0 0( ) ( )
. (24)
Uslovymsq vmesto s x s xn n( ) ( )− +0 0 pysat\ ˜ ( )s xn
2 . Posledovatel\no prymenqq
(24), poluçaem
dxn = s x dM xn n n− − −
2
1 1( ) ( ) = s x
dx
s x
n
n
n
−
−
− −
2 2
1
2( )
˜ ( )( )
=
=
s x
s x
s x dM xn
n
n n n
−
− −
− − − −
( )
˜ ( )
˜ ( ) ( )
( )
( )
1
2
2
2
3 3 = … .
Okonçatel\n¥j vyd formul¥, v¥raΩagwej dxn çerez x, zavysyt ot çetnosty
n. Yntehryruq dxn po ξ ot x do L, ymeem
s xk− +( )( )2 1 =
s s s
s s s
dk
kx
L
− − −
− − − −
…
…
∫ 2 4 2
1 3 2 1
2
( ) ( ) ( )
˜ ( ) ˜ ( ) ˜ ( )( )
ξ ξ ξ
ξ ξ ξ
ξ,
s xk− +( )( )2 2 =
s s s
s s s
dMk
kx
L
− − − +
− − −
…
…
∫ 1 3 2 1
2 4 2
2
( ) ( ) ( )
˜ ( ) ˜ ( ) ˜ ( )
( )( )ξ ξ ξ
ξ ξ ξ
ξ .
Pry x = 0 πty formul¥ dagt znaçenyq momentov s n− . Zametym, çto funkcyy
s xn− ( ) pry neçetnom n neprer¥vn¥ v yntervale 0 ≤ x ≤ L , tohda kak pry
çetnom n ony mohut ymet\ skaçky.
5. Vozvratymsq k probleme momentov Styl\t\esa (1). Kak b¥lo otmeçeno,
mnoΩestvo ee reßenyj sovpadaet s mnoΩestvom spektral\n¥x mer strun¥ spe-
cyal\noho vyda. Utoçnym, çto reç\ ydet o strune, kotoraq sostoyt yz neveso-
moj nyty, natqnutoj edynyçnoj syloj meΩdu toçkamy x = 0 y x = L, na koto-
rug v toçkax xk = a jj
k
20=∑ , k = 0, 1, … , x0 = 0, nasaΩen¥ mass¥ mk = a k2 1+
(takym obrazom, lk : = a k2 — rasstoqnye meΩdu massamy mk y mk+1 ). Svqz\
meΩdu zadann¥my momentamy sk y çyslamy an zadaetsq formulamy (3), (5).
Takug strunu budem naz¥vat\ styl\t\esovskoj strunoj, a çysla an — ee
styl\t\esovskymy parametramy. Dlq toho çtob¥ struna b¥la styl\t\esovskoj,
neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ xotq b¥ odna ee spektral\naq mera (a tohda y
vse ee spektral\n¥e mer¥) ymela koneçn¥e moment¥ vsex neotrycatel\n¥x
porqdkov. Dlyna styl\t\esovskoj strun¥
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
824 A. A. NUDEL|MAN
L = lj
j=
∞
∑
1
= a j
j
2
1=
∞
∑ ,
a ee polnaq massa
M ( L ) = mj
j=
∞
∑
0
= a j
j
2 1
0
+
=
∞
∑ .
Zametym, çto svoy yssledovanyq po probleme momentov Styl\t\es naçal s
rassmotrenyq cepnoj droby
1
1
1
1
1
2
3
4
a z
a
a z
a
+
+
+
+ �
,
tak çto parametr¥ an u neho poqvylys\ do momentov sk .
Dlq styl\t\esovskoj strun¥ uslovye synhulqrnosty L + M ( L ) = ∞ sovpa-
daet s uslovyem ann=
∞∑ 1
= ∞ sxodymosty cepnoj droby y, sledovatel\no, s
uslovyem opredelennosty sootvetstvugwej problem¥ momentov Styl\t\esa.
Dlq problem¥ momentov Styl\t\esa ymeem
s−1 = L = ln
n=
∞
∑
1
= a n
n
2
1=
∞
∑ .
Çtob¥ poluçyt\ v¥raΩenye dlq s−2 , zametym, çto struna S L M[ , ]1 1 takΩe
qvlqetsq styl\t\esovskoj strunoj s parametramy
′m1 = L−1, ′mk = l L l L lk j
j
k
j
j
k
−
−
=
− −
=
∑ ∑
1
1
1
1
,
′l1 = m L1
2, ′lk = L l mj
j
k
k−
=
−
∑
1
1
2
,
tak çto
s−2 = ′
=
∞
∑ lk
k 1
.
V¥raΩenyq dlq posledugwyx momentov s n− poluçagtsq posredstvom ytera-
cyj.
6. Osobenno prostoj vyd ymegt formul¥, v¥raΩagwye s n− çerez { }sk 0
∞
v
sluçae, kohda nosytel\ mer¥ dσ ohranyçen. Eho samug pravug toçku b moΩno
najty po formule
b = lim
n
n
n
s
s→∞
+1 . (25)
Poluçyt\ πtu formulu moΩno sledugwym obrazom. Funkcyq F ( z ) =
d t
t z
b σ( )
−∫0
analytyçna vne otrezka [ 0, b ] vewestvennoj osy, pryçem, buduçy toçkoj rosta
funkcyy σ ( t ) , toçka b qvlqetsq osoboj toçkoj funkcyy F ( z ) . Zamenyv z na
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
PRODOLÛENYE VLEVO STYL|T|ESOVSKOJ MOMENTNOJ … 825
1 / z , poluçym, çto 1 / b — osobaq toçka funkcyy
d t
tz
b σ( )
10 −∫ . V kruhe z < 1 / b
πta funkcyq razlahaetsq v stepennoj rqd s zk
k
0
∞∑ s radyusom sxodymosty
1 / b , otkuda y sleduet (25). Predel v pravoj çasty suwestvuet, tak kak
s s
s s
n n
n n
+
+ +
1
1 2
> 0, t. e. posledovatel\nost\ { / }s sn n+1 — vozrastagwaq.
PoloΩym
ck = b sk
k
− , ∆0ck = ck
, ∆n
kc = ∆ ∆n
k
n
kc c− −
+−1 1
1,
n = 1, 2, … , k = 0, 1, 2, … .
Lehko vydet\, çto
ck = t d tk τ( )
0
1
∫ , d τ ( t ) = d σ ( bt ) , ∆n
kc = t t d tk n( ) ( )1
0
1
−∫ τ ≥ 0.
V [10] b¥lo pokazano, çto
c m− : = t d tm−∫ τ( )
0
1
=
n m
m
cn
n
+ −
−
=
∞
∑
1
1 0
0
∆ (26)
y c m− suwestvuet tohda y tol\ko tohda, kohda rqd v pravoj çasty sxodytsq.
Pry πtom s m− = b cm
m− . Yz (26) lehko sdelat\ v¥vod, çto v rassmatryvaemom
sluçae moment¥ vsex otrycatel\n¥x porqdkov suwestvugt tohda y tol\ko toh-
da, kohda dlq lgboho natural\noho m
∆n c0 = o n m( )− , n → ∞ .
1. Styl\t\es T. Yssledovanyq o neprer¥vn¥x drobqx. – Xar\kov; Kyev: HONTY Ukrayn¥,
1938. – 120 s.
2. Krejn M. H. Ob odnom obobwenyy yssledovanyj Styl\t\esa // Dokl. AN SSSR. – 1952. – 42,
# 6. – S./881 – 884.
3. Jones W. B., Thron W. J., Waadeland H. A strong Stieltjes moment problem // Trans. Amer. Math.
Soc. – 1980. – 261. – P. 503 – 528.
4. Njåstad O. Solutions of the strong Stieltjes moment problem // Meth. Appl. Anal. – 1995. – 2,
# 3. – P. 320 – 347.
5. Kac Y. S., Nudel\man A. A. Syl\naq problema momentov Styl\t\esa // Alhebra y analyz. –
1996. – 8, v¥p./6. – S./26 – 56.
6. Krejn M. H., Nudel\man A. A. Problema momentov Markova y πkstremal\n¥e zadaçy. – M.:
Nauka, 1973. – 552 s.
7. Kac Y. S., Krejn M. H. O spektral\n¥x funkcyqx strun¥: Dop. II k kn. „Dyskretn¥e y
neprer¥vn¥e hranyçn¥e zadaçy” / F. Atkynson. – M.: Myr, 1968. – S./648 – 737.
8. Kac Y. S. Stepenn¥e moment¥ otrycatel\n¥x porqdkov hlavnoj spektral\noj funkcyy
strun¥ // Ukr. mat. Ωurn. – 1996. – 48, # 9. – S./1209 – 1222.
9. Krejn M. H. O nekotor¥x sluçaqx πffektyvnoho opredelenyq plotnosty neodnorodnoj
strun¥ po ee spektral\noj funkcyy // Dokl. AN SSSR. – 1953. – 43, # 4. – S./617 – 620.
10. Nudel\man A. A. O prymenenyy vpolne y absolgtno monotonn¥x posledovatel\nostej k
probleme momentov // Uspexy mat. nauk. – 1953. – 8, # 6. – S./119 – 124.
Poluçeno 15.01.2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
|
| id | umjimathkievua-article-3347 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:40:51Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f1/a3e8b32aad0930cbf42e1070ac0cc0f1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33472020-03-18T19:51:58Z Extension of the Stieltjes moment sequence to the left and related problems of the spectral theory of inhomogeneous string Продолжение влево стильтьесовской моментной последовательности и родственные задачи спектральной теории неоднородной струны Nudel'man, A. A. Нудельман, А. А. Нудельман, А. А. For a nonhomogeneous string with the known mass distribution (the full mass is assumed to be infinite), the known finite length, and the unknown spectral measure $d\sigma(t)$, we construct an analogous string with spectral measure $d\sigma(t)/t$. This allows to calculate the moments of all negative orders of the measure $d\sigma(t)$. The mechanical interpretation of the Stieltjes investigations on the moment problem proposed by M. G. Krein enables one to solve the following problem: for given Stieltjes moment sequence with unique solution, calculate the moments of negative orders. This problem is equivalent to the following one: establish the asymptotic behavior of the associate Stieltjes function near zero if its asymptotic behavior near infinity is given. Для неоднорідної струни з відомими розподілом мас (повна маса вважається нескінченною), скінченною довжиною та невідомою спектральною мірою $d\sigma(t)$ побудовано аналогічну струну зі спектральною мірою $d\sigma(t)/t$. Це дозволяє обчислити моменти всіх від'ємних порядків міри $d\sigma(t)$. Механічна інтерпретація досліджень Стільтьєса з проблеми моментів, запропонована М. Г. Крейном, дозволяє розв'язати наступну проблему: для стільтьєсівської моментної послідовності, яка має єдиний розв'язок, обчислити моменти від'ємних порядків. Ця проблема еквівалентна такій: знайти асимптотичну поведінку асоційовної функції Стільтьєса поблизу нуля, знаючи її асимптотичну поведінку поблизу нескінченності. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3347 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 6 (2007); 815–825 Український математичний журнал; Том 59 № 6 (2007); 815–825 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3347/3438 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3347/3439 Copyright (c) 2007 Nudel'man A. A. |
| spellingShingle | Nudel'man, A. A. Нудельман, А. А. Нудельман, А. А. Extension of the Stieltjes moment sequence to the left and related problems of the spectral theory of inhomogeneous string |
| title | Extension of the Stieltjes moment sequence to the left and related problems of the spectral theory of inhomogeneous string |
| title_alt | Продолжение влево стильтьесовской моментной последовательности и родственные задачи спектральной теории неоднородной струны |
| title_full | Extension of the Stieltjes moment sequence to the left and related problems of the spectral theory of inhomogeneous string |
| title_fullStr | Extension of the Stieltjes moment sequence to the left and related problems of the spectral theory of inhomogeneous string |
| title_full_unstemmed | Extension of the Stieltjes moment sequence to the left and related problems of the spectral theory of inhomogeneous string |
| title_short | Extension of the Stieltjes moment sequence to the left and related problems of the spectral theory of inhomogeneous string |
| title_sort | extension of the stieltjes moment sequence to the left and related problems of the spectral theory of inhomogeneous string |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3347 |
| work_keys_str_mv | AT nudel039manaa extensionofthestieltjesmomentsequencetotheleftandrelatedproblemsofthespectraltheoryofinhomogeneousstring AT nudelʹmanaa extensionofthestieltjesmomentsequencetotheleftandrelatedproblemsofthespectraltheoryofinhomogeneousstring AT nudelʹmanaa extensionofthestieltjesmomentsequencetotheleftandrelatedproblemsofthespectraltheoryofinhomogeneousstring AT nudel039manaa prodolženievlevostilʹtʹesovskojmomentnojposledovatelʹnostiirodstvennyezadačispektralʹnojteoriineodnorodnojstruny AT nudelʹmanaa prodolženievlevostilʹtʹesovskojmomentnojposledovatelʹnostiirodstvennyezadačispektralʹnojteoriineodnorodnojstruny AT nudelʹmanaa prodolženievlevostilʹtʹesovskojmomentnojposledovatelʹnostiirodstvennyezadačispektralʹnojteoriineodnorodnojstruny |