On the growth of deformations of algebras associated with Coxeter graphs
We investigate a class of algebras that are deformations of quotient algebras of group algebras of Coxeter groups. For algebras from this class, a linear basis is found by using the “diamond lemma.” A description of all finite-dimensional algebras of this class is given, and the growth of infinite-d...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3348 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509424248946688 |
|---|---|
| author | Popova, N. D. Samoilenko, Yu. S. Strilets, O. V. Попова, Н. Д. Самойленко, Ю. С. Стрілець, О. В. |
| author_facet | Popova, N. D. Samoilenko, Yu. S. Strilets, O. V. Попова, Н. Д. Самойленко, Ю. С. Стрілець, О. В. |
| author_sort | Popova, N. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:51:58Z |
| description | We investigate a class of algebras that are deformations of quotient algebras of group algebras of Coxeter groups. For algebras from this class, a linear basis is found by using the “diamond lemma.” A description of all finite-dimensional algebras of this class is given, and the growth of infinite-dimensional algebras is determined. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:40:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.552.4
Н. Д. Попова, Ю. С. Самойленко, О. В. Стрiлець
(Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРО РIСТ ДЕФОРМАЦIЙ АЛГЕБР,
ПОВ’ЯЗАНИХ З ГРАФАМИ КОКСТЕРА
We consider the class of algebras that are deformations of quotient algebras of group algebras of Coxeter
groups. For algebras from this class, the linear basis is found using the “diamond lemma”. The description
of all finite-dimensional algebras is given and the growth of infinite-dimensional algebras is calculated.
Исследован класс алгебр, являющихся деформациями фактор-алгебр групповых алгебр групп Кок-
стера. Для исследуемого класса алгебр с помощью „леммы о композиции” найден линейный базис,
приведено описание всех конечномерных алгебр в этом классе, а для бесконечномерных подсчитан
их рост.
Вступ. Одним iз важливих та плiдних напрямкiв математичної творчостi М. Г. Крей-
на було дослiдження глибоких алгебраїчних фактiв та розробка їх нескiнченнови-
мiрних узагальнень.
У цiй роботi ми дослiджуємо певний клас алгебр, що є деформацiями фактор-
алгебр групових алгебр груп Кокстера. Для дослiджуваного класу алгебр за до-
помогою „леми про композицiю” в термiнах „нормальних слiв” знайдено лiнiйний
базис. Як наслiдок, отримано необхiднi та достатнi умови для того, щоб така
алгебра була скiнченновимiрною. Для скiнченновимiрних алгебр знайдено їх роз-
мiрностi, а для нескiнченномiрних пiдраховано їх рiст.
Останнi 30 рокiв, великою мiрою в зв’язку з застосуваннями в математичнiй
фiзицi, велику увагу придiляють дослiдженню алгебр, що є деформацiями групо-
вих алгебр, та теорiї їх зображень. Зокрема, частину цих дослiджень присвячено
деформацiям груп, породжених вiдбиттями, та вiдповiдних групових алгебр, або
їх фактор-алгебр.
Наприклад, роботи [1 – 10] присвячено дослiдженню груп кiс Bn, алгебр Гекке
Hn(q) та алгебр Темперлi – Лiба TLn,τ . Групи кiс можна розглядати як групи,
породженi n твiрними gi, i = 1, . . . , n, та спiввiдношеннями
gigi+1gi = gi+1gigi+1, gigj = gjgi, |i− j| > 1.
Легко бачити, що якщо до цих спiввiдношень додати спiввiдношення g2
i = e,
i = 1, . . . , n (тобто вимагати, щоб gi були вiдбиттями), то отримаємо групу пе-
рестановок Sn. Алгебра Гекке Hn(q), q ∈ C, q 6= 0, є фактор-алгеброю групової
алгебри CBn по спiввiдношенню
(gi − qe)
(
gi +
1
q
e
)
= 0,
отже, вона є деформацiєю групової алгебри групи перестановок CSn = Hn(1) =
= Hn(−1). При q2 6= −1 можна перейти до нових твiрних
pi =
gi − qe
−q − 1/q
,
c© Н. Д. ПОПОВА, Ю. С. САМОЙЛЕНКО, О. В. СТРIЛЕЦЬ, 2007
826 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 6
ПРО РIСТ ДЕФОРМАЦIЙ АЛГЕБР, ПОВ’ЯЗАНИХ З ГРАФАМИ КОКСТЕРА 827
спiввiдношення в яких будуть мати вигляд
p2
i = pi, (1)
pipi+1pi − τpi = pi+1pipi+1 − τpi+1, (2)
pipj = pjpi, |i− j| > 1, (3)
де τ =
q2
(q2 + 1)2
.
Алгебра Темперлi – Лiба TLn,τ є фактор-алгеброю алгебри Hn(q) по спiввiдно-
шеннях
pipi+1pi − τpi = pi+1pipi+1 − τpi+1 = 0. (4)
Розглянемо групу Кокстера, що задана n вiдбиттями si та множиною натураль-
них чисел mij (mii = 1, mij > 1, якщо i 6= j), за допомогою яких задаються
спiввiдношення
(sisj)mij = e. (5)
Для i 6= j введемо kij та σij за допомогою формули mij = 2kij + σij , де kij ∈ N,
σij ∈ {0, 1}. Тодi спiввiдношення (5) можна переписати у виглядi
s2
i = e, (sisj)kij s
σij
i = (sjsi)kij s
σij
j . (6)
Якщо в груповiй алгебрi групи Кокстера перейти до проекторiв
pi =
si + e
2
,
то спiввiдношення (6) наберуть вигляду
p2
i = pi,((
pi −
1
2
e
)(
pj −
1
2
e
))kij
(
pi −
1
2
e
)σij
=
=
((
pj −
1
2
e
)(
pi −
1
2
e
))kij
(
pj −
1
2
e
)σij
. (7)
Твердження 1 показує, що спiввiдношення (7) пiсля розкриття дужок та скорочень
будуть мати вигляд fij(pipj)p
σij
i = fij(pjpi)p
σij
j , де fij — певнi полiноми степеня
kij , причому якщо mij = 2, то fij(x) = x, отже, pi та pj комутують, а у випадку
mij = 3 отримаємо спiввiдношення, аналогiчнi спiввiдношенням (2).
Множина чисел mij , i 6= j, фактично визначає граф Кокстера G (див. означення
в пунктi 1). Нехай g є вiдображенням множини ребер графа Кокстера в множину
полiномiв з R[x]
g : γij 7→ gij , deg gij 6 kij − 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 6
828 Н. Д. ПОПОВА, Ю. С. САМОЙЛЕНКО, О. В. СТРIЛЕЦЬ
Тодi алгебри Темперлi – Лiба TLG,g можна означити за допомогою твiрних та спiв-
вiдношень
TLG,g = C
〈
p1, . . . , pn | p2
i − pi = 0; pipj = pjpi, якщо mij = 2;
(pipj)kij p
σij
i − gij(pipj)p
σij
i = 0,
якщо mij > 2, mij = 2kij + σij , σij ∈ {0, 1}
〉
. (8)
Очевидно, що так означенi алгебри є деформацiями фактор-алгебр групових алгебр
груп Кокстера.
У цiй роботi ми розглянемо алгебри TLG,g,⊥, якi є фактор-алгебрами алгебр
TLG,g по спiввiдношеннях pipj = pjpi = 0, для тих пар (i, j), для яких mij = 2.
Зауважимо, що якщо всi mij 6 3, то граф Кокстера G є звичайним графом.
Алгебри TLΓ,τ та TLΓ,τ,⊥, де Γ — звичайний граф, а τ — вiдображення з множини
ребер графа в R, дослiджувались у роботах [11 – 13].
У пунктi 1 наведено необхiднi означення, зокрема означення графа Кокстера
та алгебри Темперлi – Лiба TLG,g,⊥. У пунктi 2 отримано опис лiнiйного базису
алгебри TLG,g,⊥. У пунктi 3 знайдено всi скiнченновимiрнi алгебри серед алгебр
TLG,g,⊥, пiдраховано їх розмiрностi. Для нескiнченномiрних алгебр знайдено їх
рiст.
1. Графи Кокстера та алгебри TLG,g,⊥, пов’язанi з ними. Графом Кокстера
G називають скiнченний неорiєнтований граф G = (V,R) (де V = {1, . . . , n} —
множина з |G| = n вершин, R — множина ребер γij = γji, i, j ∈ V, i 6= j) без
кратних ребер i петель, всi ребра R якого подiляються на декiлька типiв
R =
∞⊔
s=3
Rs.
Позначимо через sG > 3 такий номер s, що RsG 6= ∅ та Rs = ∅, якщо s > sG.
Вiдповiднi ребра будемо називати R3-ребрами, R4-ребрами i т. п.
Шлях довжини m у графi G
l = l(i0) = (i0, i1, . . . , im), γik−1,ik
∈ R,
будемо називати шляхом без повернень, якщо ik 6= ij для довiльних k 6= j, тобто
якщо вiн є iн’єктивним. Шлях l = (i0) розглядатимемо як шлях без повернень
довжини 0. Якщо всi ребра шляху належать множинi R3, то будемо називати такий
шлях R3-шляхом.
Пiдграфом G′ графа Кокстера G будемо називати граф Кокстера
G′ =
(
V ′, R′ =
∞⊔
s=3
R′s
)
такий, що V ′ ⊂ V, та якщо i, j ∈ V ′ i γij ∈ Rs, то γij ∈ R′s.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 6
ПРО РIСТ ДЕФОРМАЦIЙ АЛГЕБР, ПОВ’ЯЗАНИХ З ГРАФАМИ КОКСТЕРА 829
Пiдграф Кокстера G′ графа Кокстера G будемо називати R3-зв’язним, якщо
будь-якi двi його вершини пов’язанi R3-шляхом. R3-зв’язний пiдграф G′ будемо на-
зивати компонентою R3-зв’язностi графа G, якщо не iснує бiльшого R3-зв’язного
пiдграфа графа G, пiдграфом якого є G′.
Перед тим як навести означення алгебри TLG,g,⊥, доведемо твердження, з якого
буде випливати, що ця алгебра є деформацiю фактор-алгебри групової алгебри
групи Кокстера.
Твердження 1. Нехай p та q — проектори, що не комутують, α — довiльне
число. Тодi для довiльного k ∈ N та довiльного σ ∈ {0, 1} має мiсце рiвнiсть
((p + α)(q + α))k(p + α)σ = f(pq)pσ + r(p, q),
де f ∈ R[x], deg f = k, r(p, q) = r(q, p), крiм того, f(0) = 0, якщо σ = 0.
Доведення. Позначимо Ak,σ(p, q) = ((p + α)(q + α))k(p + α)σ. Для доведення
твердження достатньо показати, що
Ak,σ(p, q) = f1(pq)pσ + f2(qp)qσ + f0(pq)p1−σ + f0(qp)q1−σ + β, (9)
де β — деяке число, а f1, f2, f0 — полiноми з R[x] такi, що deg f1 = k, deg f2 = k−1,
deg f0 = k − 1 + σ i, крiм того, f1(0) = f2(0) = 0, якщо σ = 0, та f0(0) = 0 у
випадку σ = 1. Дiйсно, якщо виконується рiвнiсть (9), то покладемо
f(x) = f1(x)− f2(x),
r(p, q) = f2(pq)pσ + f2(qp)qσ + f0(pq)p1−σ + f0(qp)q1−σ + β.
Очевидно, що deg f = k.
Рiвнiсть (9), очевидно, виконується для k = 1, σ = 0, 1.
Нехай рiвнiсть (9) виконується для певного k та σ = 0. Тодi
Ak+1,0(q, p) = (q + α)Ak,0(p, q)(p + α).
Розкриваючи дужки, отримуємо
qAk,0(p, q)p = qf1(pq)p + f2(qp) + qf0(pq)p + f0(qp)qp + βqp,
qAk,0(p, q)α = α(qf1(pq) + f2(qp) + qf0(pq)p + f0(qp)q + βq),
αAk,0(p, q)p = α(f1(pq)p + f2(qp) + f0(pq)p + f0(qp)qp + βp),
αAk,0(p, q)α = α2(f1(pq) + f2(qp) + f0(pq)p + f0(qp)q + β).
Тодi, покладаючи β′ = α2β,
f ′1(x) = [f1(x)x + f2(x) + 2f0(x)x] + 2α(f2(x) + f0(x)x) + α2f2(x) + βx =
= f1(x)x + 2(α + 1)f0(x)x + (α + 1)2f2(x) + βx,
f ′2(x) = α2f1(x),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 6
830 Н. Д. ПОПОВА, Ю. С. САМОЙЛЕНКО, О. В. СТРIЛЕЦЬ
f ′0(x) = α(f1(x) + (1 + α)f0(x) + β),
знаходимо
Ak+1,0(q, p) = f ′1(qp) + f ′2(pq) + f ′0(pq)p + f ′0(qp)q + β′,
причому deg f ′1 = k+1, deg f ′2 = k, deg f ′0 = k i, крiм того, f ′1(0) = (α+1)2f2(0) =
= 0, f ′2(0) = α2f1(0) = 0.
Нехай тепер рiвнiсть (9) виконується для певного k та σ = 1. Тодi
Ak+1,1(q, p) = (q + α)Ak,1(p, q)(q + α).
Розкриваючи дужки, отримуємо
qAk,1(p, q)q = qf1(pq)pq + f2(qp)q + qf0(pq) + f0(qp)q + βq,
qAk,1(p, q)α = α(qf1(pq)p + f2(qp)q + qf0(pq) + f0(qp) + βq),
αAk,1(p, q)q = α(f1(pq)pq + f2(qp)q + f0(pq) + f0(qp)q + βq),
αAk,1(p, q)α = α2(f1(pq)p + f2(qp)q + f0(pq) + f0(qp) + β).
Тодi, покладаючи β′ = α2β,
f ′1(x) = [f1(x)x + f2(x) + 2f0(x)] + 2α(f2(x) + f0(x)) + α2f2(x) + (2α + 1)β =
= f1(x)x + 2(α + 1)f0(x) + (α + 1)2f2(x) + (2α + 1)β,
f ′2(x) = α2f1(x),
f ′0(x) = α(f1(x)x + (1 + α)f0(x)),
знаходимо
Ak+1,1(q, p) = f ′1(qp)q + f ′2(pq)p + f ′0(pq) + f ′0(qp) + β′,
причому deg f ′1 = k + 1, deg f ′2 = k, deg f ′0 = k + 1 i, крiм того, f ′0(0) = α(1 +
+ α)f0(0) = 0.
Твердження доведено.
Нехай g — деяке вiдображення, яке кожному ребру γij ∈ Rs, s = 2k + σ > 3,
k ∈ N, σ ∈ {0, 1}, ставить у вiдповiднiсть полiном gij такий, що deg gij 6 k− 1 та
gij(0) = 0, якщо σ дорiвнює нулевi,
g : R → R[x] : γij 7→ gij(x) =
k−1∑
m=1−σ
τ
(m)
ij xm ∈ R[x].
Визначимо також полiном g̃ij(x) як такий, що збiгається з gij(x) у випадку σ = 1
та є розв’язком рiвняння gij(x) = xg̃ij(x) у випадку σ = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 6
ПРО РIСТ ДЕФОРМАЦIЙ АЛГЕБР, ПОВ’ЯЗАНИХ З ГРАФАМИ КОКСТЕРА 831
Алгебра TLG,g,⊥ визначається за допомогою n твiрних та спiввiдношень, якi
задаються графом
TLG,g,⊥ = C
〈
p1, . . . , pn | p2
i − pi = 0; pipj = 0, якщо γij 6∈ R;
(pipj)kpσ
i − gij(pipj)pσ
i = 0, якщо γij ∈ Rs, s = 2k + σ > 3, σ ∈ {0, 1}
〉
.
(10)
Тобто алгебра TLG,g,⊥ є фактор-алгеброю вiльної алгебри Fn, породженої n твiр-
ними, по iдеалу I, який породжений множиною лiвих частин спiввiдношень (10).
Цю множину далi будемо позначати U. Букви впорядковуємо за зростанням iнде-
ксу: p1 < . . . < pn. На словах розглядаємо однорiдно-лексикографiчний порядок.
З кожним елементом v ∈ Fn пов’язуємо його старше слово v̂. Слово w назива-
ють нормальним (за модулем iдеалу I), якщо воно не є старшим словом жодного
елемента iдеалу I (див. [14]). Через N позначимо лiнiйну оболонку нормальних
слiв. Тодi за теоремою [14, с. 31] та наслiдком з неї на N можна визначити опера-
цiю множення таку, що алгебра N буде iзоморфною алгебрi TLG,g,⊥. Далi будемо
ототожнювати алгебру TLG,g,⊥ з алгеброю N.
2. Про лiнiйний базис в алгебрах TLG,g,⊥. Для доведення наступного твер-
дження ми скористаємося „лемою про композицiю”. З поняттями композицiї, ре-
дукцiї, базису Грьобнера можна ознайомитися, наприклад, в [14].
Твердження 2. Лiнiйний базис алгебри TLG,g,⊥ складається зi слiв, якi не
мiстять слiв
p2
i ∀i ∈ V, pipj ∀γij 6∈ R,
(pipj)kpσ
i ∀γij ∈ Rs, s = 2k + σ > 3, σ ∈ {0, 1},
в якостi пiдслiв.
Доведення. Старше слово будь-якого з елементiв множини U не є пiдсловом
старшого слова будь-якого iншого елемента множини U. Покажемо, що множина
U є замкненою вiдносно композицiї, тодi U є мiнiмальним базисом Грьобнера
iдеалу I, отже, нормальнi слова є лiнiйним базисом TLG,g,⊥.
Легко перевiрити, що результат будь-якої композицiї з елементом p2
i −pi, i ∈ V,
редукується до нуля. Результат композицiї елементiв pipj та pjpl, γij , γjl 6∈ R,
також редукується до нуля.
Наведемо результати всiх можливих композицiй з елементом
(pipj)kpσ
i − gij(pipj)pσ
i , γij ∈ Rs, s = 2k + σ > 3, σ ∈ {0, 1}.
1. Для γli 6∈ R маємо композицiю pl · pi · pj(pipj)k−1pσ
i :
pl
[
(pipj)kpσ
i − gij(pipj)pσ
i
]
− plpi
[
pj(pipj)k−1pσ
i
]
=
= −plgij(pipj)pσ
i → −τ
(0)
ij plp
σ
i =→ 0,
бо якщо τ
(0)
ij 6= 0, то σ = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 6
832 Н. Д. ПОПОВА, Ю. С. САМОЙЛЕНКО, О. В. СТРIЛЕЦЬ
2. Якщо σ = 0, то для γjl 6∈ R маємо композицiю (pipj)k−1pi · pj · pl, а якщо
σ = 1, то для γil 6∈ R маємо композицiю (pipj)k · pi · pl:[
(pipj)kpσ
i − gij(pipj)pσ
i
]
pl − (pipj)kpσ
i pl = −gij(pipj)pσ
i pl → 0,
бо якщо σ = 0, то gij(pipj)pl → τ
(0)
ij pl = 0.
3. Для γij ∈ Rs та k1, k2 таких, що k = k1 + k2, k1 > 1, k2 > 1 − σ, маємо
композицiю (pipj)k1 · (pipj)k2pσ
i · pσ
j (pipj)k1−σpσ
i :[
(pipj)k1(pipj)k2pσ
i − gij(pipj)pσ
i
]
pσ
j (pipj)k1−σpσ
i −
−(pipj)k1
[
(pipj)k2pσ
i pσ
j (pipj)k1−σpσ
i − gij(pipj)pσ
i
]
=
= (pipj)k1gij(pipj)pσ
i − gij(pipj)pσ
i pσ
j (pipj)k1−σpσ
i =
= (pipj)k1gij(pipj)pσ
i − gij(pipj)(pipj)k1pσ
i → 0.
4. Для γji ∈ Rs та довiльних k1, k2 таких, що k = k1 + k2 + 1, k1 > 0, k2 > 0,
маємо композицiю (pipj)k1pi · pj(pipj)k2pσ
i · p
1−σ
i (pjpi)k1pσ
j :[
(pipj)k1pipj(pipj)k2pσ
i − gij(pipj)pσ
i
]
p1−σ
i (pjpi)k1pσ
j−
−(pipj)k1pi
[
(pjpi)k2pjpi(pjpi)k1pσ
j − gij(pjpi)pσ
j
]
=
= (pipj)k1pigij(pjpi)pσ
j − gij(pipj)pi(pjpi)k1pσ
j =
= (pipj)k1gij(pipj)pip
σ
j − gij(pipj)(pipj)k1pip
σ
j = 0.
5. Якщо σ = 0 (k > 2), то для γjl ∈ Rs′ , де s′ = 2k′ + σ′ > 3, σ′ ∈ {0, 1},
маємо композицiю (pipj)k−1pi · pj · pl(pjpl)k′−1pσ′
j :[
(pipj)k−1pipj − gij(pipj)
]
pl(pjpl)k′−1pσ′
j −
−(pipj)k−1pi
[
pjpl(pjpl)k′−1pσ′
j − gjl(pjpl)pσ′
j
]
=
= (pipj)k−1pigjl(pjpl)pσ′
j − gij(pipj)pl(pjpl)k′−1pσ′
j =
= (pipj)k−1pipj g̃jl(plpj)p1−σ′
l − g̃ij(pipj)pipjpl(pjpl)k′−1pσ′
j =
= (pipj)kg̃jl(plpj)p1−σ′
l − g̃ij(pipj)pi(pjpl)k′pσ′
j →
→ gij(pipj)g̃jl(plpj)p1−σ′
l − g̃ij(pipj)pigjl(pjpl)pσ′
j =
= g̃ij(pipj)pipj g̃jl(plpj)p1−σ′
l − g̃ij(pipj)pipj g̃jl(plpj)p1−σ′
l = 0.
Ми скористалися означенням g̃ij , а також тим, що у випадку σ′ = 1
gjl(pjpl)pj = pjgjl(plpj) = pj g̃jl(plpj),
а у випадку σ′ = 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 6
ПРО РIСТ ДЕФОРМАЦIЙ АЛГЕБР, ПОВ’ЯЗАНИХ З ГРАФАМИ КОКСТЕРА 833
gjl(pjpl) = pj g̃jl(plpj)pl,
отже, має мiсце формула
gjl(pjpl)pσ′
j = pj g̃jl(plpj)p1−σ′
l .
6. Якщо σ = 1 (k > 1), то для γil ∈ Rs′ , де s′ = 2k′+σ′ > 3, σ′ ∈ {0, 1}, маємо
композицiю (pipj)k · pi · pl(pipl)k′−1pσ′
i :
[
(pipj)kpi − gij(pipj)pi
]
pl(pipl)k′−1pσ′
i −
−(pipj)k
[
pipl(pipl)k′−1pσ′
i − gil(pipl)pσ′
i
]
=
= (pipj)kgil(pipl)pσ′
i − gij(pipj)pipl(pipl)k′−1pσ′
i =
= (pipj)kpig̃il(plpi)p1−σ′
l − gij(pipj)(pipl)k′pσ′
i →
→ gij(pipj)pig̃il(plpi)p1−σ′
l − gij(pipj)gil(pipl)pσ′
i =
= gij(pipj)gil(pipl)pσ′
i − gij(pipj)gil(pipl)pσ′
i = 0.
Ми знову скористалися тим, що має мiсце формула
gil(pipl)pσ′
i = pig̃il(plpi)p1−σ′
l .
Iнших композицiй не iснує.
Твердження доведено.
3. Про розмiрнiсть та рiст алгебри TLG,g,⊥. Для формулювання наступного
твердження введемо позначення
R̂r =
∞⊔
s=r
Rs.
Теорема 1. Нехай G — дерево. Тодi:
0) якщо |R̂4| = 0, то dim TLG,g,⊥ = |G|2 + 1;
1) якщо |R̂4| = |RsG | = 1, то G складається з двох R3-зв’язних компонент G1
та G2, i
dim TLG,g,⊥ =
m|G|2 + 1, якщо sG = 2m + 1,
(m− 1)|G|2 + |G1|2 + |G2|2 + 1, якщо sG = 2m;
2) якщо |R̂4| > 2, то dim TLG,g,⊥ = ∞; у випадку |R̂4| = 2, якщо |R̂6| = 0, то
алгебра має полiномiальний рiст, а якщо |R̂6| > 1, то вона мiстить вiльну алгебру
з двома твiрними;
3) якщо |R̂4| > 3, то TLG,g,⊥ мiстить вiльну алгебру з двома твiрними.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 6
834 Н. Д. ПОПОВА, Ю. С. САМОЙЛЕНКО, О. В. СТРIЛЕЦЬ
Доведення. Наслiдком твердження 2 є той факт, що кожному R3-шляху без
повернень l = (i1, i2, . . . , im) взаємно однозначно вiдповiдає нормальне слово Πl =
= pi1pi2 . . . pim
. Зрозумiло, що якщо l = l1 t l2 — знов R3-шлях без повернень, то
Πl = Πl1Πl2 .
0. У випадку |R̂4| = 0 граф Кокстера G є звичайним графом. Алгебри TLΓ,τ,⊥,
де Γ — звичайне дерево, дослiджувались у роботi [12]. Зокрема, в цiй роботi
показано, що dim TLΓ,τ,⊥ = |Γ|2 + 1.
1. Нехай R̂4 = RsG = {γjk}, sG = 2m + σ > 4, тодi всi нормальнi слова
довжини 1 та бiльше мають вигляд
Πl, |G|2 елементiв;Π
l1(j)
pk(pjpk)r1Πl2(j), |G1|2 елементiв
Π
l3(k)
(pjpk)r1pjΠl4(k), |G2|2 елементiв
при фiксованому r1,
Π
l1(j)
(pkpj)r2Πl3(k), |G1||G2| елементiв
Π
l4(k)
(pjpk)r2Πl2(j), |G2||G1| елементiв
при фiксованому r2,
де l — довiльний шлях без повернень (всього iснує |G|2 таких шляхiв), l1(j), l2(j)
— довiльнi R3-шляхи, що починаються в точцi j (всього iснує |G1| таких шляхiв),
l3(k), l4(k) — довiльнi R3-шляхи, що починаються в точцi k (всього iснує |G2|
таких шляхiв).
0). У випадку |R̂4| = 0 граф Коксетера G є звичайним графом. Алгебри TLΓ,τ,⊥, де
Γ— звичайне дерево, дослiджувались в роботах [14]. Зокрема в цих роботах показано, що
dim TLΓ,τ,⊥ = |Γ|2 + 1
1). Нехай R̂4 = RsG
= {γjk}, sG = 2m + σ � 4 тодi всi нормальнi слова довжини 1 та
бiльше мають вигляд
Πl, |G|2 елементiв;⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
Πl1(j)
pk(pjpk)
r1Πl2(j), |G1|2 елементiв
Πl3(k)(pjpk)
r1pjΠl4(k), |G2|2 елементiв
, при фiксованому r1;
⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
Πl1(j)
(pkpj)
r2Πl3(k), |G1||G2| елементiв
Πl4(k)(pjpk)
r2Πl2(j), |G2||G1| елементiв
, при фiксованому r2;
де l —довiльний шлях без повернень (всього iснує |G|2 таких шляхiв), l1(j), l2(j)—довiльнi
R3-шляхи, що починаються в точцi j (всього iснує |G1| таких шляхiв), l3(k), l4(k)—довiльнi
R3-шляхи, що починаються в точцi k (всього iснує |G2| таких шляхiв).
•
j
•
k
G1 G2
l2(j)
l1(j)
l3(k)
l4(k)
Причому
3 � 2r1 + 3 < sG ⇔ 0 � r1 < (sG − 3)/2 ⇒ 0 � r1 � m− 2
4 � 2r2 + 2 < sG ⇔ 1 � r2 < (sG − 2)/2 ⇒ 1 � r2 � m− 2 + σ
Отже алгебра є скiнченовимiрною i має розмiрнiсть
dim TLΓ,τ,⊥ =1 + |G|2 + (m− 1)(|G1|2 + |G2|2) + 2(m− 2 + σ)(|G1||G2|) =
1 + |G|2 + (m− 2)(|G1|+ |G2|)2 + |G1|2 + |G2|2 + 2σ|G1||G2| =
1 + (m− 1)|G|2 + |G1|2 + |G2|2 + 2σ|G1||G2|.
2). Якщо |R̂4| � 2, тодi iснує єдиний шлях без повернень l такий, що його початок
належить одному з ребер з множини R̂4, а кiнець iншому, при чому цi два ребра не спiв-
падають. Позначимо цi два ребра через γj1,k1 та γj2,k2, вiдповiдно. Будемо також вважати,
10
При цьому
3 6 2r1 + 3 < sG ⇔ 0 6 r1 < (sG − 3)/2 ⇒ 0 6 r1 6 m− 2,
4 6 2r2 + 2 < sG ⇔ 1 6 r2 < (sG − 2)/2 ⇒ 1 6 r2 6 m− 2 + σ.
Отже, алгебра є скiнченновимiрною i має розмiрнiсть
dim TLG,g,⊥ = 1 + |G|2 + (m− 1)(|G1|2 + |G2|2) + 2(m− 2 + σ)(|G1||G2|) =
= 1 + |G|2 + (m− 2)(|G1|+ |G2|)2 + |G1|2 + |G2|2 + 2σ|G1||G2| =
= 1 + (m− 1)|G|2 + |G1|2 + |G2|2 + 2σ|G1||G2|.
2. Якщо |R̂4| > 2, то iснує єдиний шлях без повернень l такий, що його початок
належить одному з ребер з множини R̂4, а кiнець — iншому, причому цi два ребра
не збiгаються. Позначимо цi два ребра через γj1,k1 та γj2,k2 вiдповiдно. Будемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 6
ПРО РIСТ ДЕФОРМАЦIЙ АЛГЕБР, ПОВ’ЯЗАНИХ З ГРАФАМИ КОКСТЕРА 835
також вважати, що початком l є k1, а кiнцем — j2 (не виключено випадок k1 =
= j2). Тодi (pj1Πlpk2Πl)
n є нормальним словом для довiльного n. Отже, алгебра є
нескiнченномiрною.
що початком l є k1, а кiнцем— j2 (не виключено випадок k1 = j2). Тодi (pj1Πlpk2Πl)
n є
нормальним словом для довiльного n. Отже алгебра є нескiнченномiрною.
•
j1
•
k1
•
j2
•
k2
l
У випадку, коли R̂4 в точностi спiвпадає з {γj1,k1, γj2,k2}, а |R̂6| = 0, є три можливостi:
або |R4| = 2, або |R4| = 1 та |R5| = 1, або |R5| = 2. Легко бачити, що в будь якому
з цих вiпадкiв кiлькiсть нормальних слiв, якi не мiстять в якостi пiдслова pj1Πlpk2Πl, є
скiнченою, а всi слова що мiстять пiдслово pj1Πlpk2Πl мають вигляд
w1(pj1Πlpk2Πl)
nw2,
де w1 та w2 вже не мiстять пiдслова pj1Πlpk2Πl. Отже вiдповiднi алгебри мають лiнiйний
зрiст.
Якщо ж |R̂6| � 1 (будемо вважати, що γj2,k2 ∈ R6), тодi слова pj1Πlpk2Πl та pj1Πlpk2pj2pk2Πl
породжують вiльну алгебру.
3). Якщо R̂4 = {γj1,k1 , γj2,k2, γj3,k3}, тодi iснує шлях без повернень l1 такий, що його
початок належить одному з ребер з множини R̂4, а кiнець одному з двох iнших, при чому
цi два ребра не спiвпадають та не є сумiжними. Будемо вважати, що початок l1 є k1, а
кiнець j2 (не виключено випадок k1 = j2). Далi iснує двi можливостi:
а) iснує шлях без повернень l2 початком якого є k1 а кiнцем j3 (не виключено випадок
k1 = j3);
•
j1
•
k1
•
j2
•k2
•
j3
•k3
l1
l2
б) iснує шлях без повернень l2 початком якого є k2 а кiнцем j3 (не виключено випадок
j3 = k2).
•
j1
•
k1
•
j2
•
k2
•
j3
•
k3
l1 l2
11
У випадку, коли R̂4 в точностi збiгається з {γj1,k1 , γj2,k2}, а |R̂6| = 0, є три
можливостi: або |R4| = 2, або |R4| = 1 та |R5| = 1, або |R5| = 2. Легко бачити,
що в будь-якому з цих випадкiв кiлькiсть нормальних слiв, якi не мiстять в якостi
пiдслова pj1Πlpk2Πl, є скiнченною, а всi слова, що мiстять пiдслово pj1Πlpk2Πl,
мають вигляд
w1(pj1Πlpk2Πl)
nw2,
де w1 та w2 вже не мiстять пiдслова pj1Πlpk2Πl. Отже, вiдповiднi алгебри мають
лiнiйний рiст.
Якщо ж |R̂6| > 1 (будемо вважати, що γj2,k2 ∈ R6), то слова pj1Πlpk2Πl та
pj1Πlpk2pj2pk2Πl породжують вiльну алгебру.
3. Якщо R̂4 = {γj1,k1 , γj2,k2 , γj3,k3}, то iснує шлях без повернень l1 такий, що
його початок належить одному з ребер з множини R̂4, а кiнець — одному з двох
iнших, причому цi два ребра не збiгаються та не є сумiжними. Будемо вважати,
що початком l1 є k1, а кiнцем — j2 (не виключено випадок k1 = j2). Далi iснують
двi можливостi:
а) iснує шлях без повернень l2, початком якого є k1, а кiнцем j3 (не виключено
випадок k1 = j3);
що початком l є k1, а кiнцем— j2 (не виключено випадок k1 = j2). Тодi (pj1Πlpk2Πl)
n є
нормальним словом для довiльного n. Отже алгебра є нескiнченномiрною.
•
j1
•
k1
•
j2
•
k2
l
У випадку, коли R̂4 в точностi спiвпадає з {γj1,k1, γj2,k2}, а |R̂6| = 0, є три можливостi:
або |R4| = 2, або |R4| = 1 та |R5| = 1, або |R5| = 2. Легко бачити, що в будь якому
з цих вiпадкiв кiлькiсть нормальних слiв, якi не мiстять в якостi пiдслова pj1Πlpk2Πl, є
скiнченою, а всi слова що мiстять пiдслово pj1Πlpk2Πl мають вигляд
w1(pj1Πlpk2Πl)
nw2,
де w1 та w2 вже не мiстять пiдслова pj1Πlpk2Πl. Отже вiдповiднi алгебри мають лiнiйний
зрiст.
Якщо ж |R̂6| � 1 (будемо вважати, що γj2,k2 ∈ R6), тодi слова pj1Πlpk2Πl та pj1Πlpk2pj2pk2Πl
породжують вiльну алгебру.
3). Якщо R̂4 = {γj1,k1 , γj2,k2, γj3,k3}, тодi iснує шлях без повернень l1 такий, що його
початок належить одному з ребер з множини R̂4, а кiнець одному з двох iнших, при чому
цi два ребра не спiвпадають та не є сумiжними. Будемо вважати, що початок l1 є k1, а
кiнець j2 (не виключено випадок k1 = j2). Далi iснує двi можливостi:
а) iснує шлях без повернень l2 початком якого є k1 а кiнцем j3 (не виключено випадок
k1 = j3);
•
j1
•
k1
•
j2
•k2
•
j3
•k3
l1
l2
б) iснує шлях без повернень l2 початком якого є k2 а кiнцем j3 (не виключено випадок
j3 = k2).
•
j1
•
k1
•
j2
•
k2
•
j3
•
k3
l1 l2
11
б) iснує шлях без повернень l2, початком якого є k2, а кiнцем — j3 (не виклю-
чено випадок j3 = k2).
що початком l є k1, а кiнцем— j2 (не виключено випадок k1 = j2). Тодi (pj1Πlpk2Πl)
n є
нормальним словом для довiльного n. Отже алгебра є нескiнченномiрною.
•
j1
•
k1
•
j2
•
k2
l
У випадку, коли R̂4 в точностi спiвпадає з {γj1,k1, γj2,k2}, а |R̂6| = 0, є три можливостi:
або |R4| = 2, або |R4| = 1 та |R5| = 1, або |R5| = 2. Легко бачити, що в будь якому
з цих вiпадкiв кiлькiсть нормальних слiв, якi не мiстять в якостi пiдслова pj1Πlpk2Πl, є
скiнченою, а всi слова що мiстять пiдслово pj1Πlpk2Πl мають вигляд
w1(pj1Πlpk2Πl)
nw2,
де w1 та w2 вже не мiстять пiдслова pj1Πlpk2Πl. Отже вiдповiднi алгебри мають лiнiйний
зрiст.
Якщо ж |R̂6| � 1 (будемо вважати, що γj2,k2 ∈ R6), тодi слова pj1Πlpk2Πl та pj1Πlpk2pj2pk2Πl
породжують вiльну алгебру.
3). Якщо R̂4 = {γj1,k1 , γj2,k2, γj3,k3}, тодi iснує шлях без повернень l1 такий, що його
початок належить одному з ребер з множини R̂4, а кiнець одному з двох iнших, при чому
цi два ребра не спiвпадають та не є сумiжними. Будемо вважати, що початок l1 є k1, а
кiнець j2 (не виключено випадок k1 = j2). Далi iснує двi можливостi:
а) iснує шлях без повернень l2 початком якого є k1 а кiнцем j3 (не виключено випадок
k1 = j3);
•
j1
•
k1
•
j2
•k2
•
j3
•k3
l1
l2
б) iснує шлях без повернень l2 початком якого є k2 а кiнцем j3 (не виключено випадок
j3 = k2).
•
j1
•
k1
•
j2
•
k2
•
j3
•
k3
l1 l2
11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 6
836 Н. Д. ПОПОВА, Ю. С. САМОЙЛЕНКО, О. В. СТРIЛЕЦЬ
У першому випадку пара нормальних слiв pj1Πl1pk2Πl1
та pj1Πl2pk3Πl2
поро-
джують вiльну алгебру, в другому випадку вiльну алгебру породжують пара слiв
pj1Πl1pk2Πl1
та pj1Πl1Πl2pk3Πl2
Πl1
.
Теорему доведено.
Теорема 2. Нехай G — зв’язний граф Кокстера.
0. Якщо G мiстить цикл та |R̂4| = 0, то dim TLG,g,⊥ = ∞, причому, якщо
цикл в точностi один, алгебра має лiнiйний рiст, якщо ж G мiстить два цикли,
алгебра мiстить вiльну алгебру з двома твiрними.
1. Якщо G мiстить цикл та |R̂4| > 1, то TLG,g,⊥ мiстить вiльну алгебру з
двома твiрними.
Доведення. 0. Як i в попереднiй теоремi, у випадку |R̂4| = 0 граф Кокстера
G є звичайним графом. Алгебри TLΓ,τ,⊥, де Γ — звичайний зв’язний граф, що
мiстить цикл, дослiджувались у роботах [12, 15]. Зокрема, було показано, що якщо
Γ — зв’язний граф з одним циклом, то TLΓ,τ,⊥ має лiнiйний рiст, якщо ж циклiв
бiльше, то алгебра вже мiстить вiльну алгебру з двома твiрними.
1. Якщо ребро γj,k ∈ R̂4 належить циклу, то iснує шлях l, початком якого є k,
а кiнець i поєднано ребром з j (i не збiгається з k).
•
k
•
j
•
i
l
У цьому випадку нормальнi слова x1 = pjΠl та x2 = pjΠlpjpkpjΠl породжують
вiльну алгебру.
Якщо ж ребро γj,k ∈ R̂4 не належить циклу, то iснує шлях l1, початком якого
є k, а кiнець i1 належить циклу. Крiм того, iснує шлях l2, початок i2 та кiнець i3
якого поєднанi ребрами з i1 (i2 та i3 не збiгаються).
•
j
•
k
•i1
•i2
•
i3
l1
l2
У цьому випадку вiльну алгебру породжують нормальнi слова x1 = pjΠl1Πl2Πl1
та x2 = pjΠl1Πl2
Πl1
.
Теорему доведено.
1. Artin E. Theorie de Zopfe // Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg. – 1925. – 4. – P. 47 – 72.
2. Green R. M. Tabular algebras and their asymptotic versions // J. Algebra. – 2002. – 252. – P. 27 – 64.
3. Green R. M., Losonczy J. Canonical bases for Hecke algebra quotients // Math. Res. Lett. – 1999. –
6. – P. 213 – 222.
4. Jones V. Index for subfactors // Invent. math. – 1983. – 72. – P. 1 – 25.
5. Jones V. A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras // Bull. Amer. Math. Soc. –
1985. – 12. – P. 103 – 112.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 6
ПРО РIСТ ДЕФОРМАЦIЙ АЛГЕБР, ПОВ’ЯЗАНИХ З ГРАФАМИ КОКСТЕРА 837
6. Jones V. F. R. Hecke algebra representations of braid groups and link polynomials // Ann. Math. –
1987. – 126. – P. 335 – 388.
7. Jones V. F. R. In and around the origin of quantum groups. – 2004. – 37 p. – Preprint.
8. Kazhdan D., Lusztig G. Representation of Coxeter groups and Hecke algebras // Invent. math. –
1979. – 53. – P. 165 – 184.
9. Lusztig G. Affine Hecke algebras and their graded version // J. Amer. Math. Soc. – 1989. – 2, № 3.
– P. 598 – 635.
10. Temperley H. N. V., Lieb E. H. Relations between ‘percolations’ and ‘colouring’ problems and
other graph theoretical problems associated with regular planar lattices: some exact results for the
percolation problem // Proc. Roy. Soc. London A. – 1971. – 322. – P. 251 – 280.
11. Popova N. On one algebra of Temperley – Lieb type // Proc. Inst. Math. Nat. Acad. Sci. Ukraine. –
2002. – 43, Pt 2. – P. 486 – 489.
12. Vlasenko M. On the growth of an algebra generated by a system of projections with fixed angles //
Meth. Funct. Anal. and Top. – 2004. – 10, № 1. – P. 98 – 104.
13. Wenzl H. On sequences of projections // C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada. – 1987. – 9, № 1. –
P. 5 – 9.
14. Уфнаровский В. А. Комбинаторные и асимптотические методы в алгебре // Соврем. пробл.
математики. Фундам. направления / ВИНИТИ. – 1990. – 57. – P. 5 – 177.
15. Власенко М. А., Попова Н. Д. О конфигурациях подпространств гильбертова пространства с
фиксированными углами между ними // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 5. – P. 606 – 615.
Одержано 25.01.2007
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-3348 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:40:53Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c4/51145ddca049e3248aeb141e23f7d7c4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33482020-03-18T19:51:58Z On the growth of deformations of algebras associated with Coxeter graphs Про ріст деформацій алгебр, пов'язаних з графами Кокстера Popova, N. D. Samoilenko, Yu. S. Strilets, O. V. Попова, Н. Д. Самойленко, Ю. С. Стрілець, О. В. We investigate a class of algebras that are deformations of quotient algebras of group algebras of Coxeter groups. For algebras from this class, a linear basis is found by using the “diamond lemma.” A description of all finite-dimensional algebras of this class is given, and the growth of infinite-dimensional algebras is determined. Исследован класс алгебр, являющихся деформациями фактор-алгебр групповых алгебр групп Кокстера. Для исследуемого класса алгебр с помощью „леммы о композиции" найден линейный базис, приведено описание всех конечномерных алгебр в этом классе, а для бесконечномерных подсчитан их рост. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3348 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 6 (2007); 826–837 Український математичний журнал; Том 59 № 6 (2007); 826–837 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3348/3440 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3348/3441 Copyright (c) 2007 Popova N. D.; Samoilenko Yu. S.; Strilets O. V. |
| spellingShingle | Popova, N. D. Samoilenko, Yu. S. Strilets, O. V. Попова, Н. Д. Самойленко, Ю. С. Стрілець, О. В. On the growth of deformations of algebras associated with Coxeter graphs |
| title | On the growth of deformations of algebras associated with Coxeter graphs |
| title_alt | Про ріст деформацій алгебр, пов'язаних з графами Кокстера |
| title_full | On the growth of deformations of algebras associated with Coxeter graphs |
| title_fullStr | On the growth of deformations of algebras associated with Coxeter graphs |
| title_full_unstemmed | On the growth of deformations of algebras associated with Coxeter graphs |
| title_short | On the growth of deformations of algebras associated with Coxeter graphs |
| title_sort | on the growth of deformations of algebras associated with coxeter graphs |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3348 |
| work_keys_str_mv | AT popovand onthegrowthofdeformationsofalgebrasassociatedwithcoxetergraphs AT samoilenkoyus onthegrowthofdeformationsofalgebrasassociatedwithcoxetergraphs AT striletsov onthegrowthofdeformationsofalgebrasassociatedwithcoxetergraphs AT popovand onthegrowthofdeformationsofalgebrasassociatedwithcoxetergraphs AT samojlenkoûs onthegrowthofdeformationsofalgebrasassociatedwithcoxetergraphs AT strílecʹov onthegrowthofdeformationsofalgebrasassociatedwithcoxetergraphs AT popovand prorístdeformacíjalgebrpov039âzanihzgrafamikokstera AT samoilenkoyus prorístdeformacíjalgebrpov039âzanihzgrafamikokstera AT striletsov prorístdeformacíjalgebrpov039âzanihzgrafamikokstera AT popovand prorístdeformacíjalgebrpov039âzanihzgrafamikokstera AT samojlenkoûs prorístdeformacíjalgebrpov039âzanihzgrafamikokstera AT strílecʹov prorístdeformacíjalgebrpov039âzanihzgrafamikokstera |