Commutants of some classes of operators associated with shift operators
Commutants of some classes of operators associated with shift operators are described in the space of entire functions.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3351 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509427266748416 |
|---|---|
| author | Linchuk, Yu. S. Лінчук, Ю. С. |
| author_facet | Linchuk, Yu. S. Лінчук, Ю. С. |
| author_sort | Linchuk, Yu. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:51:58Z |
| description | Commutants of some classes of operators associated with shift operators are described in the space of entire functions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:40:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.51
G. S. Linçuk (Çerniv. nac. un-t)
KOMUTANTY DEQKYX KLASIV OPERATORIV,
WO POV’QZANI Z OPERATORAMY ZSUVU
Commutants of some classes of operators connected with shift operators are described in the space of
entire functions.
V prostranstve cel¥x funkcyj opysan¥ kommutant¥ nekotor¥x klassov operatorov, svqzann¥x
s operatoramy sdvyha.
Operatory zsuvu vidihragt\ vaΩlyvu rol\ u suçasnij matematyci. Nexaj h —
fiksovane kompleksne çyslo. Operator zsuvu Eh linijno ta neperervno di[ v
prostori cilyx funkcij A∞, wo nadilenyj topolohi[g kompaktno] zbiΩnosti,
za pravylom ( )( )E f zh = f z h( )+ . V roboti [1] vstanovleno, wo linijnyj nepe-
rervnyj operator T : A∞ → A∞ perestavnyj z operatorom Eh todi i til\ky
todi, koly vin ma[ vyhlqd
( )( )T f z = ψn
n
n
z f z( ) ( )( )
=
∞
∑
0
,
de ( ( ))ψn z — poslidovnist\ cilyx funkcij, qki periodyçni z periodom h i zado-
vol\nqgt\ umovu
∀ r < ∞ : lim ! max ( )
n z r
nn n z
→∞ ≤
ψ < ∞ . (1)
U roboti [2] doslidΩuvavsq komutant operatora uzahal\nenoho zsuvu v pro-
storax analityçnyx funkcij. U cij statti u prostori cilyx funkcij budemo vy-
vçaty komutanty deqkyx klasiv operatoriv, wo pov’qzani z operatorom zsuvu.
Dali budemo vykorystovuvaty toj fakt, wo miΩ linijnymy neperervnymy
operatoramy T : A∞ → A∞ i ]xnimy xarakterystyçnymy funkciqmy t ( λ , z ) =
= T e z( )λ
isnu[ vza[mno odnoznaçna vidpovidnist\ [ 3 ] . Pry c\omu
xarakterystyçna funkciq t ( λ , z ) linijnoho neperervnoho operatora T : A∞ →
A∞ zadovol\nq[ umovu:
A) t ( λ , z ) [ cilog po λ ta z i
∀ < ∞ ∃ < ∞ ∃ > ∀ ∈r r C2 1 0 λ C :
max ( , )
z r
t z
≤ 2
λ ≤ Cer1 λ .
Çerez γn ( u ) poznaçymo funkci] Hurvica vyhlqdu
γn ( u ) =
n
i
e
e
dz
z
uz
z
z n
n
!
( )
2
1
1
2 1
1π
π
−
−= +
+∫ , n = 0, 1, … .
Ci funkci] [ cilymy ta zadovol\nqgt\ spivvidnoßennq
γ γn nu u( ) ( )+ −1 = u
n
, u ∈ C , n = 0, 1, … , (2)
i
∀ r < ∞ : lim ! max ( )
n u r
nn n u
→∞ ≤
γ < ∞ (3)
(dyv. [4]).
1. Nexaj h ta k — fiksovani nenul\ovi kompleksni çysla. Opyßemo u pro-
© G. S. LINÇUK, 2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6 859
860 G. S. LINÇUK
stori cilyx funkcij A∞ komutant operatora E kEh h+ − .
Teorema%1. Nexaj h ta k — fiksovani nenul\ovi kompleksni çysla. Dlq
toho wob linijnyj neperervnyj operator T : A∞ → A∞ buv perestavnym z
operatorom E kEh h+ − , neobxidno i dostatn\o, wob isnuvaly dvi funkci]
g2 ( λ , z ) i t2 ( λ , z ) , qki zadovol\nqgt\ umovu A), periodyçni po zminnij z z
periodom h i taki, wo xarakterystyçnu funkcig t ( λ , z ) operatora T moΩna
podaty u vyhlqdi
t ( λ , z ) =
n
n
n
n
zc h z
h
t z e
=
∞
∑
+
0
2( ) ( , )λ γ λ λ , (4)
de ( ( ))γ n u — poslidovnist\ funkcij Hurvica, a ( ( ))cn λ — poslidovnist\ cilyx
funkcij, qki vyznaçagt\sq za funkci[g g2 ( λ , z ) takym çynom:
e g zk h zln / ( , )−( )2
2
λ λ =
n
n
nc z
=
∞
∑
0
( )λ .
Dovedennq. Neobxidnist\. Prypustymo, wo linijnyj neperervnyj operator
T : A∞ → A∞ perestavnyj z operatorom E kEh h+ − , tobto vykonu[t\sq riv-
nist\
T E kEh h( )+ − = ( )E kE Th h+ − . (5)
Podiqvßy rivnistg (5) na funkcig e zλ , oderΩu[mo, wo xarakterystyçna funk-
ciq t ( λ , z ) operatora T zadovol\nq[ spivvidnoßennq
e t z ke t zh hλ λλ λ( , ) ( , )+ − = t z h kt z h( , ) ( , )λ λ+ + − . (6)
Poklademo t ( λ , z ) = t z e z
1( , )λ λ . Rivnqnnq (6) dlq funkci] t1 ( λ , z ) nabere vy-
hlqdu
e t z h t zhλ λ λ( )( , ) ( , )1 1+ − = ke t z t z hh− − −λ λ λ( )( , ) ( , )1 1 . (7)
Poznaçyvßy t z h t z1 1( , ) ( , )λ λ+ − = g z( , )λ , oderΩymo
e g zhλ λ( , ) = ke g z hh− −λ λ( , ) . (8)
Poklademo g ( λ , z ) = g z e z
1
2( , )λ λ− . Todi rivnqnnq (8) nabere vyhlqdu g1 ( λ , z ) =
= kg z h1( , )λ − , abo
g1 ( λ , z + h ) = k g1 ( λ , z ) , λ , z ∈ C . (9)
Poznaçymo g1 ( λ , z ) = e g zk h z(ln / ) ( , )2 λ . Todi z (9) vyplyva[
g2 ( λ , z + h ) = g2 ( λ , z ) . (10)
Oskil\ky funkciq t ( λ , z ) zadovol\nq[ umovu A), to poslidovno oderΩu[mo,
wo koΩna z funkcij t1 ( λ , z ) , g ( λ , z ) , g1 ( λ , z ) i g2 ( λ , z ) takoΩ zadovol\nq[
umovu A).
Takym çynom, qkwo operator T : A∞ → A∞ zadovol\nq[ spivvidnoßennq (5),
to joho xarakterystyçnu funkcig t ( λ , z ) moΩna podaty u vyhlqdi t ( λ , z ) =
= t z e z
1( , )λ λ , de t z1( , )λ zadovol\nq[ rivnqnnq
t z h t z1 1( , ) ( , )λ λ+ − = e g zk h zln / ( , )−( )2
2
λ λ , (11)
a funkciq g2 ( λ , z ) [ cilog po λ i z ta periodyçnog z periodom h po zminnij
z. Pry c\omu obydvi funkci] t1 ( λ , z ) , g2 ( λ , z ) zadovol\nqgt\ umovu A).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
KOMUTANTY DEQKYX KLASIV OPERATORIV … 861
Znajdemo zahal\nyj rozv’qzok rivnqnnq (11). Zapyßemo pravu çastynu
rivnqnnq (11) u vyhlqdi
e g zk h zln / ( , )−( )2
2
λ λ =
n
n
nc z
=
∞
∑
0
( )λ .
Todi funkciq ˜ ( , )t z1 λ = c h z
hn
n
nn
( )λ γ
=
∞∑ 0
[ çastynnym rozv’qzkom rivnqnnq
(11), oskil\ky dlq funkcij Hurvica γn ( z ) vykonugt\sq spivvidnoßennq (2). Po-
kaΩemo, wo pobudovana funkciq ˜ ( , )t z1 λ zadovol\nq[ umovu A).
Zafiksu[mo dovil\ne r2 < ∞ . Z umovy (3) vyplyva[, wo isnugt\ çysla ρ <
< ∞ ta C > 0 taki, wo pry n ≥ 0
max
z r
n
z
h≤
2
γ ≤ C nρ . (12)
Vyberemo ′ >r h2 ρ . Todi, zhidno z umovog A), dlq funkci] G ( λ , z ) =
= e g zk h zln / ( , )−( )2
2
λ λ isnugt\ stali C1 > 0 i ′ < ∞r1 taki, wo
∀ λ ∈ C : max ( , )
z r
G z
≤ ′2
λ ≤ C er
1
1′ λ .
Za nerivnostqmy Koßi dlq koefici[ntiv rozkladu analityçnyx funkcij u stepe-
nevi rqdy oderΩymo, wo dlq koΩnoho λ ∈ C i n ≥ 0
cn( )λ ≤
max ( , )
( )
z r
n
G z
r
≤ ′
′
2
2
λ
≤
C e
r
r
n
1
2
1′
′
λ
( )
.
Tomu dlq koΩnoho λ ∈ C
max ˜( , )
z r
t z
≤ 2
λ ≤
n
n
n
z r
nc h z
h=
∞
≤
∑
0 2
( ) maxλ γ ≤ CC
h
r
e
n
n
r
1
0 2
1
=
∞
′∑ ′
( )
ρ λ = C er
2
1′ λ .
Z navedenyx ocinok za teoremog Vej[rßtrassa pro rqdy analityçnyx funkcij
vyplyva[, wo funkciq ˜( , )t zλ [ cilog po λ i z ta zadovol\nq[ umovu
∀ < ∞ ∃ ′ < ∞ ∃ > ∀ ∈r r C2 1 2 0 λ C :
max ˜( , )
z r
t z
≤ 2
λ ≤ C er
2
1′ λ .
OtΩe, dlq funkci] ˜( , )t zλ vykonu[t\sq umova A).
Takym çynom, zahal\nyj rozv’qzok rivnqnnq (11) u klasi funkcij t1 ( λ , z ) ,
wo zadovol\nqgt\ umovu A), da[t\sq formulog
t1 ( λ , z ) =
n
n
n
nc h z
h
t z
=
∞
∑
+
0
2( ) ( , )λ γ λ ,
de t2 ( λ , z ) — funkciq, wo zadovol\nq[ umovu A) i [ periodyçnog z periodom h
po zminnij z. Neobxidnist\ umov teoremy dovedeno.
Dostatnist\. Nexaj funkci] g2 ( λ , z ) i t2 ( λ , z ) zadovol\nqgt\ umovy teo-
remyL1 i t ( λ , z ) poda[t\sq u vyhlqdi (4). Todi, qk bulo vstanovleno pry do-
vedenni neobxidnosti umov teoremy, funkciq t ( λ , z ) zadovol\nq[ umovu A). Ne-
xaj T — linijnyj neperervnyj operator, T : A∞ → A∞, dlq qkoho funkciq
t ( λ , z ) [ xarakterystyçnog. PokaΩemo, wo T zadovol\nq[ rivnist\ (5). Dlq
c\oho dosyt\ pereviryty, wo funkciq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
862 G. S. LINÇUK
t1 ( λ , z ) =
n
n
n
nc h z
h
t z
=
∞
∑
+
0
2( ) ( , )λ γ λ
[ rozv’qzkom rivnqnnq (7). Dlq dovil\nyx λ , z ∈ C ma[mo
e t z h t zhλ λ λ( )( , ) ( , )1 1+ − = e c h z h
h
z
h
h
n
n
n
n n
λ λ γ γ
=
∞
∑ +
−
0
( ) =
= e c h z
h
h
n
n
n
n
λ λ
=
∞
∑
0
( ) = e e g zh k h zλ λ λln / ( , )−( )2
2 .
Z inßoho boku,
ke t z t z hh− − −λ λ λ( )( , ) ( , )1 1 = ke e g z hh k h z h− −( ) − −λ λ λln / ( ) ( , )2
2 =
= ke e e g zk h k h z− −( )ln ln / ( , )λ λ λ2
2 = e e g zh k h zλ λ λln / ( , )−( )2
2 .
Takym çynom, T zadovol\nq[ rivnist\ (5).
2. Navedemo zobraΩennq rozv’qzkiv operatornoho rivnqnnq (5) v qvnomu
vyhlqdi.
Teorema%2. Nexaj h i k — fiksovani nenul\ovi kompleksni çysla. Dlq to-
ho wob operator T linijno i neperervno diqv u prostori A∞ i buv perestav-
nym z operatorom E kEh h+ − , neobxidno i dostatn\o, wob vin mav vyhlqd
( )( )T f z =
n
n
n n
n
n
nh z
h
c d
dz
f z z f z
=
∞
=
∞
∑ ∑
+
0 0
γ ψ( ) ( ) ( )( ) , (13)
de ( ( ))ψn z — poslidovnist\ cilyx funkcij, periodyçnyx z periodom h , qki za-
dovol\nqgt\ umovu (1), a ( ( ))cn λ — poslidovnist\ cilyx funkcij eksponenci-
al\noho typu, dlq qkyx funkciq
g z2( , )λ =
n
n
n h zc z e
=
∞
−( )∑
0
2( ) ln /λ λ k
zadovol\nq[ umovu A) i [ periodyçnog po z z periodom h.
Dovedennq. Za teoremogL1 operator T : A∞ → A∞ z xarakterystyçnog
funkci[g t ( λ , z ) [ perestavnym z operatorom E kEh h+ − todi i til\ky todi, ko-
ly funkciq t ( λ , z ) ma[ vyhlqd (4). Vidnovymo operator T za joho xarakterys-
tyçnog funkci[g t ( λ , z ) . Pry dovedenni teoremyL1 bulo vstanovleno, wo po-
slidovnist\ cilyx funkcij cn( )λ zadovol\nq[ umovu:
∀ ′ < ∞ ∃ ′ < ∞ ∃ > ∀ ≥ ∀ ∈r r C n2 1 1 0 0 λ C :
cn( )λ ≤
C e
r
r
n
1
2
1′
′
λ
( )
. (14)
Z (14) vyplyva[, wo koΩna z funkcij cn( )λ [ cilog funkci[g eksponencial\-
noho typu [5]. Tomu dlq koΩnoho n ≥ 0 formulog ( cn ( D ) f ) ( z ) , de D = d
dz
,
vyznaça[t\sq dyferencial\nyj operator neskinçennoho porqdku zi stalymy koe-
fici[ntamy, qkyj linijno i neperervno di[ u prostori A∞ [3].
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
KOMUTANTY DEQKYX KLASIV OPERATORIV … 863
Dovedemo dali, wo formulog ( )( )T f z1 = h z
h
c D f zn
n nn
γ
=
∞∑ ( ( ) )( )
0
vyzna-
ça[t\sq linijnyj neperervnyj operator T1 , qkyj di[ u prostori A∞. Zafiksu[-
mo r2 < ∞ i znajdeni dlq n\oho C > 0 ta ρ < ∞ zhidno z umovog (12).
Viz\memo dali ′ >r h2 ρ , i nexaj ′r1 i C1 > 0 vybrani dlq c\oho ′r2 zhidno z
umovog (14). Rozklademo funkcig cn( )λ v stepenevyj rqd: cn( )λ =
= ck
n k
k
( )λ=
∞∑ 0
i ocinymo koefici[nty c\oho rozkladu. Dlq dovil\noho s , 0 <
< s < ∞ , za nerivnostqmy Koßi z vykorystannqm (14) ma[mo
ck
n( ) ≤
max ( )
λ
λ
= s
n
k
c
s
≤
C e
s r
r s
k n
1
2
1′
′( )
∀ k, n ≥ 0.
Oskil\ky min ( )
0
1
< <∞
− ′
s
k r ss e =
( )′r e
k
k k
k
1 , to
ck
n( ) ≤ C
e r
k r
k k
k n1
1
2
( )
( )
′
′
∀ n, k ≥ 0. (15)
Viz\memo dali r1 tak, wob r1 > r2 i
′
−
r
r r
1
1 2
< 1. Todi, vykorystovugçy formu-
lu Koßi dlq poxidnyx cilo] funkci], oderΩu[mo
∀ ∈ ∀ ≥ ∀ ∈ ≤∞f A k z z r0 2C , :
f zk( )( ) =
k
i
f t
t z
dtk
z r
! ( )
( )2 1
1
π − +
=
∫ .
Tomu
max ( )( )
z r
kf z
≤ 2
≤ k
r f t
r r
t r
k!
max ( )
( )
1
1 2
1
1=
+−
. (16)
Vykorystovugçy (15), (16), dlq n ≥ 0 otrymu[mo
max ( ( ) )( )
z r
nc D f z
≤ 2
≤
k
k
n
z r
kc f z
=
∞
≤
∑
0 2
( ) ( )max ( ) ≤
≤ C
e r k r
k r r r
f t
k
k k
k n k t r
1
0
1 1
2 1 2
1
1=
∞
+ =
∑ ′
′ −
( ) !
( ) ( )
max ( ) = C
f t
r
t r
n2
2
1
max ( )
( )
=
′
,
de C2 = r C
e r k
k r r
k k
k kk1 1
1
1 2
10
( ) !
( )
′
− +=
∞∑ , a ostannij rqd zbiha[t\sq za oznakog Koßi,
oskil\ky
′
−
r
r r
1
1 2
< 1. Takym çynom,
max ( ( ) )( )
z r
n
n nh z
h
c D f z
≤
2
γ ≤ CC
h
r
f t
n
t r
2
2 1
ρ
′
=
max ( ) ∀ n ≥ 0. (17)
Oskil\ky
h
r
ρ
′2
< 1, to z (17) vyplyva[, wo rqd h z
h
c D f zn
n nn
γ
=
∞∑ ( ( ) )( )
0
zbi-
ha[t\sq dlq dovil\no] cilo] funkci] f ( z ) rivnomirno v kruzi z r≤ 2 . Vnaslidok
dovil\nosti r2 cej rqd zbiha[t\sq za topolohi[g prostoru A∞. Tomu operator
T1 linijno di[ v prostori A∞, a joho neperervnist\ vyplyva[ z ocinok (17). Zro-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
864 G. S. LINÇUK
zumilo, wo xarakterystyçna funkciq operatora T1 zbiha[t\sq z funkci[g
h z
h
c en
n n
z
n
γ λ λ
=
∞∑ ( )
0
.
Podamo funkcig t2 ( λ , z ) iz zobraΩennq (4) u vyhlqdi t2 ( λ , z ) =
= ψ λn
n
n
z( )=
∞∑ 0
. Oskil\ky funkciq t2 ( λ , z ) zadovol\nq[ umovu A), to posli-
dovnist\ cilyx funkcij ( ( ))ψn z zadovol\nq[ umovu (1). Tomu formulog
( )( )T f z2 = ψn
n
n
z f z( ) ( )( )
=
∞∑ 0
vyznaça[t\sq linijnyj neperervnyj operator,
wo di[ u prostori A∞. Toj fakt, wo funkciq t2 ( λ , z ) [ periodyçnog po z z
periodom h, rivnosyl\nyj tomu, wo koΩna z funkcij ψn z( ), n = 0, 1, … , ta-
koΩ [ periodyçnog z periodom h. Zrozumilo, wo xarakterystyçna funkciq ope-
ratora T2 zbiha[t\sq z t z e z
2( , )λ λ . Oskil\ky T = T1 + T2
, to operator T ma[
vyhlqd (13).
TeoremuL2 dovedeno.
Dovil\nyj linijnyj neperervnyj operator T : A∞ → A∞, qkyj perestav-
nyj iz operatorom Eh , takoΩ bude perestavnym z operatorom E kEh h+ − . Z
teorem 1 i 2 vyplyva[, wo obernene tverdΩennq ne [ pravyl\nym. Navedemo
vidpovidnyj pryklad operatora dlq h = k = 1 . Poklademo ( )( )T f z =
= γ n
n n
n
n
z
n
f z( )
( )
!
( )( )−
=
∞∑ 1 2
0
. Zrozumilo, wo cej operator perestavnyj z opera-
torom E E1 1+ − (vin zbiha[t\sq z operatorom T z teoremyL2, qkwo h = 1, ψn =
= 0, n = 0, 1, … , g2 ( λ , z ) = 1 ). Vodnoças operator T ne [ perestavnym z ope-
ratorom E1 , oskil\ky dlq dovil\no] cilo] funkci] f ( z ) vykonu[t\sq rivnist\
(( ) )( ) (( ) )( )E T f z T E f z1 1− = ( ( ) ( ))
( )
!
( )( )γ γn n
n n
n
n
z z
n
f z+ − − +
=
∞
∑ 1
1 2
1
0
=
=
( )
!
( )( )− +
=
∞
∑ 1 2
1
0
n n n
n
n
z
n
f z = f z( )1 − .
3. SprqΩenyj prostir A∞
∗
do prostoru cilyx funkcij A∞ [ izomorfnym
do prostoru cilyx funkcij eksponencial\noho typu [5]. Pry c\omu bilinijna
forma ( f, v ) = f nnn n=
∞∑ 0
!v , de f ( z ) = f znn
n
=
∞∑ 0
∈ A∞ , v ( z ) = vnn
nz=
∞∑ 0
L∈
∈ A∞
∗ , vstanovlg[ dvo]stist\ miΩ cymy prostoramy. Qkwo prostir A∞
∗
nadily-
ty zahal\nopryjnqtog topolohi[g [5], to linijnyj neperervnyj operator T :
A∞ → A∞ todi i lyße todi, koly sprqΩenyj operator T
∗
: A∞
∗ → A∞
∗ . Pry
c\omu xarakterystyçni funkci] t ( λ , z ) operatora T i t
∗
( λ , z ) operatora T
∗
pov’qzani spivvidnoßennqm t
∗
( λ , z ) = t ( z , λ ) . Vraxovugçy cej fakt, ma[mo
(( ) )( )E kE g zh h+ −
∗ = ( ) ( )e ke g zhz hz+ − . Tomu z teoremL1 i 2 oderΩu[mo opys li-
nijnyx neperervnyx operatoriv, qki digt\ u prostori A∞
∗
i perestavni z operato-
rom mnoΩennq na funkcig e kehz hz+ −
.
Naslidok. Nexaj h i k — fiksovani nenul\ovi kompleksni çysla. Dlq to-
ho wob operator T buv linijnym neperervnym operatorom u prostori A∞
∗ ,
perestavnym z operatorom mnoΩennq na funkcig e kehz hz+ − , neobxidno i dos-
tatn\o, wob vin mav vyhlqd
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
T =
n
n
n n
n
n
nh c z
h
d
dz
z d
dz=
∞
=
∞
∑ ∑
+
0 0
1( )γ ψ ,
de poslidovnosti funkcij ( ( ))cn λ i ( ( ))ψn z taki Ω, qk i v teoremiL2.
Pry k = 1 ta k = – 1 oderΩu[mo zobraΩennq linijnyx neperervnyx opera-
toriv T : A∞
∗ → A∞
∗ , qki perestavni z operatoramy mnoΩennq na funkci] ch hz( )
ta sh hz( ).
1. Podporyn V. P. K voprosu o predstavlenyy lynejn¥x operatorov v vyde dyfferencyal\-
n¥x operatorov beskoneçnoho porqdka // Syb. mat. Ωurn. – 1977. – 18, # 6. – S.L1422 – 1425.
2. Linçuk G. S. Komutant operatora uzahal\nenoho zsuvu // Nauk. visn. Çerniv. un-tu. Matema-
tyka. – 1999. – Vyp.L46. – S.L72 – 75.
3. Lynçuk S. S. O predstavlenyy lynejn¥x neprer¥vn¥x operatorov, dejstvugwyx v prost-
ranstvax analytyçeskyx funkcyj mnohyx peremenn¥x // Mat. zametky. – 1984. – 35, # 5. –
S.L721 – 727.
4. Markußevyç A. Y. Vvedenye v klassyçeskug teoryg abelev¥x funkcyj. – M.: Nauka, 1979.
– 239 s.
5. Leont\ev A. F. Obobwenyq rqdov πksponent. – M.: Nauka, 1981. – 320 s.
OderΩano 16.02.2005,
pislq doopracgvannq — 05.09.2006
|
| id | umjimathkievua-article-3351 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:40:56Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5d/b2f611ebe9d992ade27381d601fbff5d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33512020-03-18T19:51:58Z Commutants of some classes of operators associated with shift operators Комутанти деяких класів операторів, що пов'язані з операторами зсуву Linchuk, Yu. S. Лінчук, Ю. С. Commutants of some classes of operators associated with shift operators are described in the space of entire functions. В пространстве целых функций описаны коммутанты некоторых классов операторов, связанных с операторами сдвига. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3351 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 6 (2007); 859–864 Український математичний журнал; Том 59 № 6 (2007); 859–864 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3351/3446 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3351/3447 Copyright (c) 2007 Linchuk Yu. S. |
| spellingShingle | Linchuk, Yu. S. Лінчук, Ю. С. Commutants of some classes of operators associated with shift operators |
| title | Commutants of some classes of operators associated with shift operators |
| title_alt | Комутанти деяких класів операторів, що пов'язані з операторами зсуву |
| title_full | Commutants of some classes of operators associated with shift operators |
| title_fullStr | Commutants of some classes of operators associated with shift operators |
| title_full_unstemmed | Commutants of some classes of operators associated with shift operators |
| title_short | Commutants of some classes of operators associated with shift operators |
| title_sort | commutants of some classes of operators associated with shift operators |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3351 |
| work_keys_str_mv | AT linchukyus commutantsofsomeclassesofoperatorsassociatedwithshiftoperators AT línčukûs commutantsofsomeclassesofoperatorsassociatedwithshiftoperators AT linchukyus komutantideâkihklasívoperatorívŝopov039âzanízoperatoramizsuvu AT línčukûs komutantideâkihklasívoperatorívŝopov039âzanízoperatoramizsuvu |