On one boundary-value problem for a strongly degenerate second-order elliptic equation in an angular domain
We prove the existence and uniqueness of a classical solution of a singular elliptic boundary-value problem in an angular domain. We construct the corresponding Green function and obtain coercive estimates for the solution in the weighted Hölder classes.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3352 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509428356218880 |
|---|---|
| author | Bazalii, B. V. Degtyarev, S. P. Базалий, Б. В. Дегтярев, С. П. Базалий, Б. В. Дегтярев, С. П. |
| author_facet | Bazalii, B. V. Degtyarev, S. P. Базалий, Б. В. Дегтярев, С. П. Базалий, Б. В. Дегтярев, С. П. |
| author_sort | Bazalii, B. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:52:14Z |
| description | We prove the existence and uniqueness of a classical solution of a singular elliptic boundary-value problem in an angular domain. We construct the corresponding Green function and obtain coercive estimates for the solution in the weighted Hölder classes. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:40:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 917.956.226
B. V. Bazalyj, S. P. Dehtqrev
(Yn-t prykl. matematyky y mexanyky NAN Ukrayn¥, Doneck)
OB ODNOJ HRANYÇNOJ ZADAÇE
DLQ SYL|NO VÁROÛDAGWEHOSQ
∏LLYPTYÇESKOHO URAVNENYQ VTOROHO PORQDKA
V UHLOVOJ OBLASTY
∗∗∗∗
We prove the existence and uniqueness of a classical solution of the elliptic singular boundary-value
problem in angular domain. We construct the corresponding Green function and derive coercive
estimates of the solution in the weighted Hölder classes.
Dovedeno isnuvannq ta [dynist\ klasyçnoho rozv’qzku eliptyçno] synhulqrno] hranyçno] zadaçi v
kutovij oblasti. Pobudovano vidpovidnu funkcig Hrina ta otrymano koercytyvni ocinky
rozv’qzku u vahovyx klasax Hel\dera.
Yzuçaetsq synhulqrnaq kraevaq zadaça, v kotoroj osobennosty poqvlqgtsq za
sçet v¥roΩdenyq πllyptyçeskoho uravnenyq po nezavysym¥m peremenn¥m na
hranyce oblasty y za sçet nerehulqrnosty hranyc¥ oblasty, v kotoroj rassmat-
ryvaetsq zadaça. Yzuçenyg hranyçn¥x zadaç dlq v¥roΩdagwyxsq uravnenyj v
hladkyx oblastqx, a takΩe hranyçn¥x zadaç dlq ravnomerno πllyptyçeskyx
uravnenyj v oblastqx s nerehulqrnoj hranycej posvqweno bol\ßoe kolyçestvo
rabot (sm., naprymer, [1 – 7]). K nastoqwemu vremeny net dostatoçno obwej te-
oryy, v kotoroj b¥ odnovremenno rassmatryvalys\ synhulqrnosty oboyx vydov.
Avtoram yzvestn¥ lyß\ neskol\ko rabot, posvqwenn¥x πtym voprosam. Sredy
nyx otmetym rabotu [7], v kotoroj rassmatryvaetsq slaboe reßenye zadaçy, voz-
nykagwej v teoryy upruhosty, v vesov¥x klassax Soboleva. Rassmatryvaemaq v
dannoj rabote zadaça voznykaet v teoryy nelynejnoj fyl\tracyy. Rezul\tatom
yssledovanyq qvlqgtsq koπrcytyvn¥e ocenky dlq klassyçeskoho reßenyq za-
daçy v vesov¥x klassax Hel\dera. Otmetym, çto, naskol\ko yzvestno avtoram, do
nastoqweho vremeny net rezul\tatov o razreßymosty yly koπrcytyvn¥x ocen-
kax reßenyj podobn¥x zadaç v klassax hladkyx funkcyj.
1. Postanovka zadaçy y osnovnoj rezul\tat. Na ploskosty ( ),ξ ξ1 2 vve-
dem polqrn¥e koordynat¥ ( r, ϕ ) . Pust\ D = { }( , ) : ,r rϕ ϕ θ> < <0 0 , hde θ —
fyksyrovannaq velyçyna, 0 < θ < π . V oblasty D rassmatryvaetsq hranyç-
naq zadaça
M u ≡ r u br u uγ γϕ ∂
ξ
ϕ ∂
ξ
ϕ∆ + −
∂
+
∂
−1
1 2
sin cos = g( )ξ , ξ ∈D, (1.1)
u ϕ θ= = 0, lim
ξ
ξ
2 0
2
→
∆u = 0,
hde ∆ — operator Laplasa, γ, b — poloΩytel\n¥e postoqnn¥e, γ < 2, g( )ξ
— zadannaq funkcyq.
Zadaça (1.1) qvlqetsq kraevoj zadaçej dlq syl\no v¥roΩdagwehosq πllyp-
tyçeskoho uravnenyq v oblasty s uhlovoj toçkoj. Krome toho, naß ynteres k
yzuçenyg πtoj zadaçy v klassax hladkyx funkcyj opredelqetsq prymenenyem
poluçenn¥x rezul\tatov k teoryy kraev¥x zadaç dlq uravnenyq nelynejnoj
fyl\tracyy.
Rassmotrym naçal\no-kraevug zadaçu so svobodnoj hranycej dlq uravnenyq
∗
Çastyçno podderΩana hrantom INTAS 03-51-5007.
© B. V. BAZALYJ, S. P. DEHTQREV, 2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7 867
868 B. V. BAZALYJ, S. P. DEHTQREV
nelynejnoj fyl\tracyy, zapysannoho v termynax funkcyy davlenyq p t( ),ξ
(sm. [8]) v oblasty D ( t ) , ∂D ( t ) = { ϕ = θ } ∪ Γ ( t ) , D ( 0 ) = D, Γ ( 0 ) = { ϕ = 0 } :
∂
∂
− −
−
∇p
t
mp p m
m
p∆
1
2 = 0, ξ ∈D t( ) ,
p t( ),ξ ϕ θ= = 0, p t t( ), ( )ξ Γ = 0, (1.2)
∂
∂
−
−
∇p
t
m
m
p
1
2 = 0, ξ ∈Γ( )t ⇒ → →( )p p t∆ Γ0, ( )ξ ,
p( ),ξ 0 = p0( )ξ ,
hde m > 1, Γ ( t ) — svobodnaq (neyzvestnaq) hranyca. Posle svedenyq zadaçy
(1.2) k zadaçe v fyksyrovannoj oblasty, v kaçestve kotoroj v¥brana D T = D ×
× ( 0, T ) , y lynearyzacyy zadaçy na naçal\noj funkcyy vyda p0( )ξ = rγ ×
× sin ( / )πφ θ pryxodym k yzuçenyg model\noj zadaçy dlq uravnenyq – ut + Mu =
= g ( ξ, t ) . Zadaça (1.1) — stacyonarn¥j varyant ukazannoj zadaçy.
Zamenoj peremenn¥x x = ϕ , y = – ln r zadaça (1.1) preobrazuetsq k zadaçe v
beskoneçnoj polose:
Lu ≡ x u
x
u
y
b u
x
∂ ∂ ∂2
2
2
2∂
+
∂
+
∂
= f ( x, y ) ≡ g x y e y( , ) −κ , ( , )x y ∈Ω ,
u x =θ = 0, lim
x
x u
→0
∆ = 0, κ = 2 – γ , (1.3)
Ω = { ( x, y ) : x ∈ ( 0, θ ) , y ∈ ( – ∞ , ∞ ) } .
Vvedem banaxovo prostranstvo H Dγ
α
,
2 +
takoe, çto dlq u H D( ) ,ξ γ
α∈ +2
koneçna nor-
ma
u Dγ
α
,
( )2 + = r u r D u r D D u
D i D
i
i j D
i j
γ γ γ ϕ− −
= =
+ +∑ ∑2
0
1
0
1
2
0
1
2
, , ,
,
+
+ sup sup
, ,,
( ) ( ) ( ) ( )
ξ ξ
γ α
α
ξ ξ
γ α
α
ξ ξ
ξ ξ
ϕ
ξ ξ
ξ ξ∈
− +
= ∈
+
=
−
−
+
−
−
∑ ∑
D
i i
i D
i j i j
i j
r
D u D u
r
D D u D D u1
1
2
1
2
,
hde
v( ) ,ξ 0 D = sup ( )
ξ
ξ
∈D
v , r y ϕ v πtom opredelenyy v¥byragtsq kak myny-
mal\n¥e yz znaçenyj, sootvetstvugwyx ξ φ( , )r y ξ φ( ),r .
Pust\ H Dα
α
, — vesovoe prostranstvo Hel\dera s normoj
u Dα
α
,
( ) = u r
u u
D
D
0,
,
sup
( ) ( )
+
−
−∈ξ ξ
α
α
ξ ξ
ξ ξ
y H HD D
α α= 0, — ob¥çnoe prostranstvo Hel\dera. V zadaçe (1.3) budem yspol\-
zovat\ vesovoe prostranstvo EΩ
2 +α
s normoj
u Ω
( )2 +α = u D u xD D ui D
i
i j D
i j
0 0
1
2
0
1
2
, , ,
,
Ω + +
= =
∑ ∑ +
+ 〈 〉 +
−
−= ∈=
∑ ∑D u x
D D u x y D D u x y
x y x yi
i x y x y
i j i j
i j
Ω
Ω
( )
( , ),( , ),
sup ˜
( , ) ( , )
( , ) ( , )
α
α
1
2
1
2
,
hde
〈 〉v Ω
( )α
— konstanta Hel\dera funkcyy v ( x, y ) , ( , ) ( , )x y x y− — rasstoqnye
meΩdu dvumq toçkamy v Ω, ˜ min{ , }x x x= .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
OB ODNOJ HRANYÇNOJ ZADAÇE DLQ SYL|NO VÁROÛDAGWEHOSQ … 869
Teorema31.1. Pust\ v zadaçe (1.1) g H D( ) ,ξ α
α∈ , α ∈ ( 0, 1 ) , θ κ< b / 2 , κ =
= 2 – γ > 0, g B B( )ξ ξ≤ +( )−
1 1 2 , B1 > 0, B2 > κ. Tohda suwestvuet edynst-
vennoe reßenye u ( x, y ) zadaçy (1.1) y dlq funkcyy u ( x, y ) v¥polnqetsq ne-
ravenstvo
u Dγ
α
,
( )2 + ≤ C g Dα
α
,
( ) . (1.4)
Pry dokazatel\stve teorem¥M1.1 budet yspol\zovana sledugwaq teorema.
Teorema31.2. Pust\ f x y H( , ) ∈ Ω
α . Suwestvuet edynstvennoe ohranyçennoe
reßenye u ( x, y ) zadaçy (1.3). Dlq funkcyy u ( x, y ) v¥polnqetsq neravenstvo
u Ω
( )2 +α ≤ C f Ω
( )α . (1.5)
Postoqnn¥e v neravenstvax (1.4) y (1.5) ne zavysqt ot u .
2. Dokazatel\stvo teorem¥ 31.2. 2.1. Funkcyq Hryna zadaçy (1.3).
Pust\ funkcyq f ( x, y ) v zadaçe (1.3) dostatoçno b¥stro ub¥vaet k nulg pry
y → ∞ . V¥polnym v zadaçe (1.3) preobrazovanye Fur\e po y, oboznaçaq Fu-
r\e-obraz¥ funkcyj u y f çerez ˜( , )u x λ y
˜( , )f x λ sootvetstvenno, naprymer,
˜( , )u x λ = u x y e dyi y( , ) −
− ∞
∞
∫ λ .
Tohda zadaça (1.3) preobrazuetsq k vydu
xu x u buxx x˜ ˜ ˜− +λ2 = f̃ , x ∈( , )0 θ , (2.1)
ũ x =θ = 0, xuxx˜ →
→x 0
0.
Odnorodnoe uravnenye v (2.1) ymeet dva lynejno nezavysym¥x reßenyq [9]
(8.491(6)):
r x1( , )λ = x I xq
q
/
/
2
2− ( )λ ,
r x2( , )λ = x K xq
q
/
/
2
2− ( )λ ,
hde I q− /2 y K q− /2, q b= −1 , — funkcyy Besselq. Opredelym funkcyg
R ( x, λ ) = r x M r x1 2( , ) ( ) ( , )λ λ λ− ,
hde M
r x
r x x
( )
( , )
( , )
λ λ
λ θ
=
=
1
2
, tak çto R ( x, λ ) = 0 pry x = θ . Zametym takΩe, çto
lim
x
xxxr
→
=
0
1 0 .
Reßenyq r x1( , )λ y R ( x, λ ) pozvolqgt standartn¥m sposobom postroyt\
funkcyg Hryna zadaçy (2.1) v vyde
S x( ), ,ξ λ =
A r x x
A R x x
1 1
2
( )
( )
, ( , ), ,
, ( , ), ,
ξ λ λ ξ
ξ λ λ ξ
<
>
hde A1 y A2 udovletvorqgt uslovyqm (pry x = ξ ) :
A R A r2 1 1( ) ( ), ,ξ λ ξ λ− = 0,
A R A rx x2 1 1′ − ′( ) ( ), ,ξ λ ξ λ = 1
ξ
.
Neposredstvenn¥e v¥çyslenyq pokaz¥vagt, çto
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
870 B. V. BAZALYJ, S. P. DEHTQREV
S x( ), ,ξ λ = S x S x1 2( ) ( ), , , ,ξ λ ξ λ+ , (2.2)
hde
S x1( ), ,ξ λ = – x I x I
K
I
q q
q q
q
q
/ /
/ /
/
/
2 2
2 2
2
2
ξ λ λ ξ
λ θ
λ θ
−
− −
−
−
( ) ( )
( )
( )
,
S x2( ), ,ξ λ = x
I x K x
I K x x
q q q q
q q
/ / / /
/ /
, ,
, .
2 2 2 2
2 2
ξ
λ λ ξ ξ
λ ξ λ ξ
− − −
− −
( ) ( ) <
( ) ( ) >
S pomow\g funkcyy Hryna reßenye zadaçy (2.1) moΩno predstavyt\ v vyde
˜( , )u x λ = S x f d( ) ( ), , ˜ ,ξ λ ξ λ ξ
θ
0
∫ .
Tohda posle obratnoho preobrazovanyq Fur\e poluçym reßenye zadaçy (1.3) v
vyde
u ( x, y ) = d G x y f dξ ξ η ξ η η
θ
0
∫ ∫ −
− ∞
∞
( ) ( ), , , , (2.3)
hde v sootvetstvyy s predstavlenyem (2.2)
G x y( ), ,ξ = 1
2π
ξ λ λλS x e di y( ), ,
− ∞
∞
∫ = G x y G x y1 2( ) ( ), , , ,ξ ξ+ , (2.4)
pryçem, tak kak funkcyy S1 y S2 v (2.2) çetn¥ po λ, to
G x y1( ), ,ξ = Cx I x I
K
I
y dq q
q q
q
q
/ /
/ /
/
/
( ) ( )
( )
( )
cos2 2
2 2
2
20
ξ λ λξ
λθ
λθ
λ λ−
− −
−
−
∞
∫ , (2.5)
G x y2( ), ,ξ = Cx
I x K y d x
I K x y d x
q q
q q
q q
/ /
/ /
/ /
( ) ( )
( ) ( )
cos , ,
cos , .
2 2 0
2 2
0
2 2
ξ
λ λξ λ λ ξ
λξ λ λ λ ξ
−
∞
− −
∞
− −
∫
∫
<
>
(2.6)
Zdes\ çerez C oboznaçagtsq vse vstreçagwyesq absolgtn¥e postoqnn¥e. Sxo-
dymost\ yntehrala (2.3) sleduet yz ocenok qdra G, kotor¥e pryveden¥ nyΩe.
Yntehral v (2.6) moΩno uprostyt\, yspol\zuq yzvestnug formulu [9, c. 746]
K ax I bx cx dxν ν( ) ( )cos
0
∞
∫ = 1
2 21 2
2 2 2
ab
Q a b c
abν−
+ +
/ ,
hde Q zν( ) — funkcyq LeΩandra 2-ho roda, Re Rea b> , c > 0, Re /ν > −1 2.
Poskol\ku parametr¥ v opredelenyy funkcyy S x2( ), ,ξ λ udovletvorqgt vsem
uslovyqm dlq spravedlyvosty πtoj formul¥, to
G x y2( ), ,ξ = Cx Q
x y
x
q q
q
/ / / /
/ /
2 1 2 2 1 2
2 1 2
2 2 2
2
− − −
− −
+ +
ξ ξ
ξ
. (2.7)
2.2. Ocenky funkcyy Hryna G x y( ), ,ξξ . Budem yspol\zovat\ sledugwye
yzvestn¥e asymptotyky funkcyj Besselq (sm., naprymer, [9]):
I zν( ) ∼ C e
z
z
, K zν( ) ∼ C e
z
z−
, z > 1, (2.8)
I zν( ) ∼ Czν , K zν( ) ∼ Cz− ν , z < 1. (2.9)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
OB ODNOJ HRANYÇNOJ ZADAÇE DLQ SYL|NO VÁROÛDAGWEHOSQ … 871
Otmetym, çto I q− / ( )2 λθ ne ymeet nulej pry λ ∈R , λ ≠ 0. Nam potrebugtsq
takΩe sledugwye asymptotyky funkcyy Q zν( ) .
Lemma32.1. Dlq z R∈ , z ≥ 1,
Q zν( ) ∼ C
z z
z z
ln( ) , ,
, ,
− − <
− ≥
− −
1 1 1
1 11ν (2.10)
d Q z
dz
i
i
ν( )
∼ C
z z
z z
i
i
( ) , ,
, ,
− − <
− ≥
−
− − −
1 1 1
1 11ν
i ≥ 1. (2.11)
Dokazatel\stvo πtoj lemm¥ neposredstvenno sleduet yz predstavlenyq [9,
c. 1032]
Q zν( ) =
d
z z
ϕ
ϕ
ν
+ −( ) +
∞
∫ 2 1
0 1ch
, Re ν > – 1.
Lemma32.2. Dlq funkcyy G x y1( ), ,ξ spravedlyv¥ ocenky
G x y1( ), ,ξ ≤ C xqξ θ ξ− + − − +[ ]ln( )2 1 , (2.12)
G x y1( ), ,ξ ≤ C
y y
q
q( )ξ−
−+ +
1 1 1
1 2 , y ≥ 1. (2.13)
Dlq proyzvodn¥x funkcyy G x y1( ), ,ξ spravedlyv¥ sledugwye ocenky.
Lemma32.3. Ymegt mesto neravenstva
∂
∂
+ ∂
∂
G x y
x
G x y
y
1 1( ) ( ), , , ,ξ ξ
≤
≤ C
x y x y y
q
q( ) min ,ξ
θ ξ θ ξ
−
−+
− − + − − + +
1 1
2
1
2 2 2 ≤
≤ C
x y x y y
q
q( ) min ,ξ
ξ ξ
−
−+
− + − + +
1 1 1
2 2 , (2.14)
∂
∂ ∂+ = ≥
∑
2
1
2 0
G x y
x yi j
i j i j
( ), ,
, ,
ξ
≤ C
x y y
q
q
ξ
ξ
−
−
+
− + +
1
2 3 2 , (2.15)
∂
∂ ∂+ = ≥
∑
3
1
3 0
G x y
x yi j
i j i j
( ), ,
, ,
ξ
≤ C
x y y
q
q
ξ
ξ
−
−
+
− + +( )
1
2 2 2 4 3 3 2( )/ / . (2.16)
Dokazatel\stvo lemm¥32.2. Neposredstvenno yz opredelenyq G1 sledu-
et, çto
G x y1( ), ,ξ ≤ C x I x I
K
I
d
q
q q
q
qξ
λ λξ
λθ
λθ
λ
− −
−
−
∞
∫
/
/ /
/
/
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
2
20
≡ CJ.
Pust\ ξ < x . Tohda predstavym J v vyde ( x , ξ < θ ) :
J =
0
1
1
1
1
1
1
/
/
/
/
/
/
θ
θ
ξ
ξ
∫ ∫ ∫ ∫+ + +
∞x
x
= J J J J1 2 3 4+ + + .
V kaΩdom yz yntervalov yntehryrovanyq, sootvetstvugwyx yntehralam Jk ,
funkcyy Besselq, soderΩawyesq pod yntehralom J, ymegt opredelenn¥e
asymptotyky. Poπtomu, yspol\zuq (2.8), (2.9), ymeem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
872 B. V. BAZALYJ, S. P. DEHTQREV
J1 ≤ C x x d
q
q q
q
qξ
λ λξ λθ
λθ
λ
θ
− −
−
−∫
/
/ /
/
/
/
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2
2
2
0
1
≤ C qξ− ,
hde uçteno, çto q = 1 – b < 1,
J2 ≤ C x x
e
e
d
q
q q
x
ξ
λ λξ λθ
λθ
λ
λθ
λθ
θ
− −
− −
−∫
/
/ /
/
/
/
/
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2
1 2
1 2
1
1
≤
≤ C e dq q
x
ξ λ λλθ
θ
− − −∫ 2
1
1
/
/
≤ C qξ− .
Analohyçno
J3 ≤ C x x e e d
q
x q
x
ξ
λ λξ λλ λθ
ξ
− − −∫
/
/ /
/
/
( ) ( )
2
1 2 2 2
1
1
≤
≤ C x e dq q q x
x
ξ λ λθ λ
ξ
− − − − − −∫/ / / / ( )
/
/
2 1 2 1 2 2 2
1
1
.
Poskol\ku x ≤ θ y λ ≥ 1 / x , to e e ex x− − − −≤( ) ( / )( / ) ( / )2 2 1 2θ λ θ θ λ
, y poπtomu
J3 ≤ C x e e dq q x q
x
ξ λ λθ λθ
ξ
− − − − − −∫( )/ / ( / )( / ) / / /
/
/
2 1 2 2 1 1 2 2 2
1
1
≤ C qξ− .
Nakonec,
J4 ≤ C x e dq q xξ λ λθ ξ λ
ξ
− − − − − − −
∞
∫/ / / / ( )
/
2 1 2 2 1 2 1 2
1
.
V poslednem yntehrale, esly x < θ / 2 yly ξ < θ / 2, to vsledstvye toho, çto
λ > 1 / ξ > 1 / x , ymeem e e e e ex x− − − − − − −≤ ≤( ) / / / /2 2 4 8 8θ ξ λ λθ θλ θ ξ θ
y
J4 ≤ C e dλ λθλ
ξ
− −
∞
∫ 1 4
1
/
/
≤ C .
Esly Ωe x > θ / 2 y ξ > θ / 2, to ξ− − −q qx/ / / /2 1 2 2 1 2 ≤ C y
J4 ≤ C e dxλ λθ ξ λ
ξ
− − − −
∞
∫ 1 2
1
( )
/
= ( )2θ ξ λ− − ={ }x v =
= C e d
x
v vv− −
− −
∞
∫ 1
2( )/θ ξ ξ
≤ C xln( )2 1θ ξ− − +( ), ξ θ θ∈( , ]/ 2 ,
hde v fyhurn¥x skobkax ukazana v¥polnennaq zamena peremenn¥x. Analohyçno
rassmatryvaetsq sluçaj x < ξ , çto y pryvodyt v rezul\tate k ocenke (2.12).
Rassmotrym teper\ povedenye G x y1( ), ,ξ pry „bol\ßyx” y, t. e. pry y > 1.
Predstavym G1 v vyde
G1 = S x y d S x y d1
0
1
0
1( ) ( ) ( ) ( ), , cos , , cosξ λ η λ λ λ ξ λ η λ λ λ
∞ ∞
∫ ∫+ −[ ] ≡ F F1 2+ ,
hde
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
OB ODNOJ HRANYÇNOJ ZADAÇE DLQ SYL|NO VÁROÛDAGWEHOSQ … 873
η λ( ) ∈ ∞C , η λ
λ θ
λ θ
( )
/
/
, [ , ],
, .
=
∈
> +
1 0 1
0 1 1
Rassmotrym F1. Pust\ snaçala – q / 2 ne ravno celomu çyslu. Tohda spraved-
lyva formula [9, c. 984]
K zν( ) = π
νπ
ν ν
2
I z I z− −( ) ( )
sin
.
V sylu πtoho sootnoßenyq y svojstv funkcyy I zν( ) na yntervale, hde
η λ( ) ≠ 0, ymeem
S x1( ), ,ξ λ = C
x
x f f
q
q q q
ξ
λ λξ λ λ λ
+[ ]− −
/
/ /( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
1 2 =
= C f fq qξ λ λ λ− − +[ ]1 2( ) ( ) ≡ s s1 2+ .
Zdes\ f a a ak
k k k( ) ( ) ( ) ( )λ λ λ= + + + …0 2
2
4
4
— funkcyy klassa C∞ , ′ =fk ( )0 0.
Oboznaçym
F k
1
( ) = s x y dk( ) ( ), , cosξ λ η λ λ λ
0
∞
∫ , F1 = F F1
1
1
2( ) ( )+ .
Dlq ocenky F1
1( )
prymenym lemmu ∏rdejy [10, c. 97], soderΩawug ocenku vyda
λ λ λβ λα−∫ 1
0
f e dir
a
( ) ≤ Cr−β α/ ,
hde f C( )λ ∈ ∞
y obrawaetsq v nul\ v toçke a vmeste so svoymy proyzvodn¥my.
V rassmatryvaemom sluçae f C fq( ) ( ) ( )λ ξ λ η λ= −
1 , α = 1, β = 1 – q > 0, a =
= 1 + θ−1, tak çto sohlasno ukazannoj lemme
F1
1( ) ≤ C
y
q
qξ−
−
1
1 .
Çto Ωe kasaetsq F1
2( ) , to, predstavlqq cos sinλ
λ
λy
y
y= ∂
∂
1
y yntehryruq po
çastqm dva raza (s uçetom ′ =f2 0 0( ) ), poluçaem ocenku
F1
2( ) ≤ C
y
qξ− 1
2 ,
y, sledovatel\no,
F1 ≤ C
y y
q
qξ−
− +
1 1
1 2 .
Esly Ωe – q / 2 = n, n ≥ 0, celoe, to, kak sleduet yz predstavlenyq [9, c. 975]
K z CI z Cz z g z z g zn n
n n( ) ( ) ln ( ) ( )= + + −
1 2 , g z Ck( ) ∈ ∞ ,
S x C C f f s s sq n n
1
2 2
3 4 0 1 2( ) ( ) ( ), , lnξ λ ξ λ λ λ λ λ= + +[ ] ≡ + +− , f Ck ∈ ∞ , ′ =fk ( )0 0.
Oboznaçym, kak y ranee,
F k
1
( ) = s x y dk( ) ( ), , cosξ λ η λ λ λ
0
∞
∫ , F1 = F F F1
0
1
1
1
2+ + .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
874 B. V. BAZALYJ, S. P. DEHTQREV
Yntehral¥ F1
1( )
y F1
2( )
ocenyvagtsq tak Ωe, kak y v¥ße. V¥polnqq v F1
0( )
pry n ≥ 1 dvukratnoe yntehryrovanye po çastqm, poluçaem F C yq
1
0 2≤ − −ξ .
Esly Ωe n = 0, to, yntehryruq po çastqm odyn raz, ubeΩdaemsq, çto
F C yq
1
0 1( ) ≤ − −ξ . Poskol\ku n = – q / 2, to v lgbom sluçae ymeem
F1 ≤ C
y y
q
qξ−
− +
1 1
1 2 .
Dalee, proyzvodq v F2 dvukratnoe yntehryrovanye po çastqm, razbyvaq ob-
last\ yntehryrovanyq na ynterval¥ toçkamy 1 / x y 1 / ξ y yspol\zuq v kaΩdom
yz poluçagwyxsq yntehralov svog asymptotyku funkcyj Besselq, posredst-
vom takyx Ωe ocenok, kak y v¥ße, ubeΩdaemsq, çto
F2 ≤ C
y
q1 1
2+( )−ξ .
Vmeste s ocenkoj dlq F1 πto daet neravenstvo (2.13).
LemmaM2.3 dokaz¥vaetsq s pomow\g analohyçn¥x rassuΩdenyj, pry πtom ob-
last\ yntehryrovanyq v opredelenyy G x y1( ), ,ξ razbyvaetsq na ynterval¥, so-
otvetstvugwye razlyçn¥m asymptotykam funkcyy S1. Zametym, çto hlavn¥j
vklad vnosqt yntehral¥ po neohranyçenn¥m oblastqm ( 1 / x , ∞ ) , ( 1 / ξ , ∞ ) .
Kak y pry dokazatel\stve lemm¥M2.2, m¥ otdel\no rassmatryvaem povedenye po
( x, ξ ) y po y. Pry πtom, naprymer, dlq G yy1 poluçaem dve ocenky (pry vsex y,
a ne tol\ko pry y ≥ 1 )
G yy1 ≤ C
x
q( )1 1
2 2+
− −
−ξ
θ ξ
, G yy1 ≤ C
y
q( )1 1
2+ −ξ ,
yz kotor¥x sleduet neravenstvo
G yy1 ≤ C
x y
q( )1 1
2 2 2+
− − +
−ξ
θ ξ
,
kotoroe s uçetom toho, çto pry x, ξ ∈ [ 0, θ ] 2θ ξ− −x ≥ x − ξ , pryvodyt k
sootvetstvugwej ocenke lemm¥M2.3. Ostal\n¥e ocenky πtoj lemm¥ poluçagt-
sq analohyçno, pryçem pry ocenkax G x1 , G xx1 , G xxy1 , G xyy1 sleduet pol\zo-
vat\sq predstavlenyqmy
S xx1 ( ), ,ξ λ = C x I x I
K
I
q
q q
q
qξ
λ λξ
λθ
λθ
λ
− + −
−
−
/
/ /
/
/
( ) ( )
( )
( )
2
2 1 2
2
2
,
S xxx1 ( ), ,ξ λ = Cx x I x I
K
I
q
q q
q
q
−
− + −
−
−
1
2
2 1 2
2
2ξ
λ λξ
λθ
λθ
λ
/
/ /
/
/
( ) ( )
( )
( )
+
+ C x I x I
K
I
q
q q
q
qξ
λ λξ
λθ
λθ
λ
− + −
−
−
/
/ /
/
/
( ) ( )
( )
( )
2
2 2 2
2
2
2 ,
kotor¥e poluçagtsq pry neposredstvennom dyfferencyrovanyy funkcyy S1
y yspol\zovanyy yzvestnoho sootnoßenyq [9]
zI z I z′ −ν νν( ) ( ) = zI zν+1( ).
2.3. Ocenky potencyala (2.3) v prostranstvax Hel\dera. Pust\ sna-
çala q < 0. Tohda yz ocenok lemmM2.1 y 2.2 sleduet, çto pry lgboj hladkoj oh-
ranyçennoj f ( x, y ) potencyal (2.3) suwestvuet y opredelqet reßenye zadaçy
(1.3) po postroenyg. Yspol\zuq lemm¥M2.3 y 2.1, lehko proveryt\, çto Gx y Gy
yntehryruem¥ po Ω , y poπtomu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
OB ODNOJ HRANYÇNOJ ZADAÇE DLQ SYL|NO VÁROÛDAGWEHOSQ … 875
ux ( x, y ) = d G x y f dxξ ξ η ξ η η
θ
0
∫ ∫ −
−∞
∞
( ) ( ), , , ,
uy ( x, y ) = d G x y f dyξ ξ η ξ η η
θ
0
∫ ∫ −
−∞
∞
( ) ( ), , , .
Poluçym dalee predstavlenye dlq vtor¥x proyzvodn¥x potencyala, naprymer,
uyy . Oboznaçym
vε = χ ξ ξ ξ η ξ η ηε
θ
( ) ( ) ( ), , ,x d G x y f dy− −∫ ∫
−∞
∞
0
,
hde χ χ εε ( ) ( )/z z= , χ ∈ ∞C , χ( )z = 0 pry z ≤ 1, χ( )z = 1 pry z ≥ 2. Leh-
ko vydet\, çto vε ravnomerno sxodytsq k uy ( x, y ) pry ε → 0. Ymeem
∂
∂
vε
y
= χ ξ ξ ξ η ξ η ηε
θ
( ) ( ) ( ), , ,x d G x y f dyy− −∫ ∫
−∞
∞
0
=
= χ ξ ξ ξ η ξ η ξ ηε
θ
( ) ( ) ( ) ( ), , , ,x d G x y f f y dyy− − [ ]∫ ∫ −
−∞
∞
0
,
tak kak
χ ξ ξ ξ η ηε
θ
( ) ( ), ,x d G x y dyy− −∫ ∫
−∞
∞
0
= 0
v sylu toho, çto Gη → 0 pry η → ∞ . Yspol\zuq ocenky lemmM2.1 y 2.3,
moΩno proveryt\, çto
∂
∂
vε
y
pry ε → 0 ravnomerno sxodytsq k
w = d G x y f f y dyyξ ξ η ξ η ξ η
θ
0
∫ ∫ − [ ]−
−∞
∞
( ) ( ) ( ), , , , .
Yz ravnomernoj sxodymosty vε y
∂
∂
vε
y
sleduet, çto w
y
u uy yy= ∂
∂
=( ) , t. e.
uyy = d G x y f f y dyyξ ξ η ξ η ξ η
θ
0
∫ ∫ − [ ]−
−∞
∞
( ) ( ) ( ), , , , . (2.17)
Otmetym, çto analohyçnoe predstavlenye spravedlyvo y dlq uy , tak kak
G x y dy( ), ,ξ η η−
−∞
∞
∫ = 0 :
uy = d G x y f f y dyξ ξ η ξ η ξ η
θ
0
∫ ∫ − [ ]−
−∞
∞
( ) ( ) ( ), , , , . (2.18)
Otsgda
uxy = d G x y f f y dxyξ ξ η ξ η ξ η
θ
0
∫ ∫ − [ ]−
−∞
∞
( ) ( ) ( ), , , , . (2.19)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
876 B. V. BAZALYJ, S. P. DEHTQREV
Çtob¥ poluçyt\ predstavlenye takoho Ωe typa dlq ux , predpoloΩym snaçala,
çto f ( x, y ) ymeet proyzvodnug po x, y predstavym u ( x, y ) v vyde
u ( x, y ) = d G x y f f x y dξ ξ η ξ η η
θ
0
∫ ∫ − [ ]−
−∞
∞
( ) ( ) ( ), , , , +
+ f x y d G x y d( , ) , ,( )ξ ξ η η
θ
0
∫ ∫ −
−∞
∞
.
Dyfferencyruq πto ravenstvo, poluçaem
ux ( x, y ) = d G x y f f x y dxξ ξ η ξ η η
θ
0
∫ ∫ − [ ]−
−∞
∞
( ) ( ) ( ), , , , +
+ f x y d G x y dx( , ) , ,( )ξ ξ η η
θ
0
∫ ∫ −
−∞
∞
.
Zametym, çto funkcyq d G x y dξ ξ η η
θ
0∫ ∫ −
−∞
∞
( ), , qvlqetsq reßenyem zadaçy
(1.3) pry f ( x, y ) ≡ 1, pryçem πta funkcyq ne zavysyt ot y. Lehko proveryt\,
çto edynstvenn¥m takym reßenyem qvlqetsq funkcyq v ( x ) = ( x – θ ) / b y,
sledovatel\no,
v ( x ) = d G x y dξ ξ η η
θ
0
∫ ∫ −
−∞
∞
( ), , = 1
b
x( )− θ
y
vx ( x ) = d G x y dxξ ξ η η
θ
0
∫ ∫ −
−∞
∞
( ), , = 1
b
.
Poπtomu
ux ( x, y ) = d G x y f f x y d
b
f x yxξ ξ η ξ η η
θ
0
1∫ ∫ − [ ] +−
−∞
∞
( ) ( ) ( ), , , , ( , ). (2.20)
Esly Ωe f ( x, y ) ne ymeet proyzvodnoj po x y prynadleΩyt tol\ko klassu Hel\-
dera, to predstavlenye (2.20) poluçaetsq putem approksymacyy f ( x, y ) hlad-
kymy funkcyqmy.
Yspol\zuq lemm¥M2.1 – 2.3 y predstavlenyq vyda (2.17) – (2.20), moΩno doka-
zat\ neravenstvo (1.5), ocenyvaq kaΩdoe slahaemoe v opredelenyy norm¥
u Ω
( )2+α
otdel\no. Rassmotrym, naprymer, uyy ( x, y ) , yspol\zovav predstavle-
nye (2.17). Predstavym uyy v vyde
uyy ( x, y ) = u1 ( x, y ) + u2 ( x, y ) , (2.21)
hde u1 y u2 sootvetstvugt predstavlenyg (sm. (2.4)) G x y( ), ,ξ = G x y1( ), ,ξ +
+ G x y2( ), ,ξ v (2.17).
Ocenky proyzvodn¥x qdra G x y1( ), ,ξ analohyçn¥ ocenkam fundamental\-
noho reßenyq uravnenyq Laplasa, kak πto sleduet yz lemm¥M2.3. Poπtomu ocen-
ky funkcyy u1 ( x, y ) ustanavlyvagtsq takym Ωe obrazom, kak πto sdelano v
[11] (hl.M3). V rezul\tate poluçaem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
OB ODNOJ HRANYÇNOJ ZADAÇE DLQ SYL|NO VÁROÛDAGWEHOSQ … 877
〈 〉u1 Ω
( )α ≤ C f〈 〉Ω
( )α , u1 Ω
( )α ≤ f Ω
( )α ,
a tem sam¥m
u x
u x y u x y
x y x y1 0
1 1
, sup ˜ ( , ) ( , )
( , ) ( , )Ω + −
− α ≤ f Ω
( )α . (2.22)
Rassmotrym teper\ u2 ( x, y ) y ocenym snaçala u x y2( , ) . Neposredstvenno
dyfferencyruq funkcyg G x y2( ), ,ξ , ymeem
G x yyy2 ( ), ,ξ η− = Cx Q zq q
q
/ / / /
/ / ( )2 3 2 2 3 2
2 1 2
− − −
− −′ξ +
+ Cx Q z yq q
q
/ / / /
/ / ( )( )2 5 2 2 5 2
2 1 2
2− − −
− −′′ −ξ η ≡ g g1 2+ , (2.23)
hde
z =
x y
x
2 2 2
2
+ + −ξ η
ξ
( )
. (2.24)
Oboznaçym
vk = d g x y f f y dkξ ξ η ξ η ξ η
θ
0
∫ ∫ − [ ]−
−∞
∞
( ) ( ) ( ), , , , , k = 1, 2. (2.25)
Yspol\zuq neravenstvo f f y f y( ) ( ), , ( )ξ η ξ ηα α− ≤ 〈 〉 −Ω , oboznaçaq
a =
x
x
2 2
2
+ ξ
ξ
(2.26)
y proyzvodq v yntehrale po η v (2.25) zamenu peremenn¥x, opredelqemug (2.24),
poluçaem
v1 ≤ C f d x Q z z a dzq q
q
a
〈 〉 ′ −∫ ∫− + − − +
− −
−
∞
Ω
( ) / / / /
/ /
/ /( ) ( )α
θ
α α αξ ξ
0
2 1 2 2 1 2
2 1 2
2 1 2 . (2.27)
Pust\
I ( a ) = ′ −− −
−
∞
∫ Q z z a dzq
a
/ /
/ /( ) ( )2 1 2
2 1 2α = z a u− ={ } =
= ′ +− −
−
∞
∫ Q u a u duq / /
/ /( )2 1 2
2 1 2
0
α .
V sluçae a ∈ [ 1, 2 ] predstavym I ( a ) v vyde
I ( a ) = … + …∫ ∫
∞
du du
0
1
1
= I a I a1 2( ) ( )+
y vospol\zuemsq lemmojM2.1. Tohda
I a1( ) ≤ C u a u du( ) / /+ − − −∫ 1 1 2 1 2
0
1
α = u a= −{ }( )1 v =
=
C a d
a
( ) ( )/ / / /
/( )
− +− + − −
−
∫1 11 2 2 1 2 1 2
0
1 1
α αv v v ≤ C a( ) / /− − +1 1 2 2α ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
878 B. V. BAZALYJ, S. P. DEHTQREV
I a2( ) ≤ C u a u duq( ) / / / /+ + − −
∞
∫ 2 1 2 2 2 1 2
1
α = u a={ }v =
=
C a dq q
a
/ / / / / /
/
( )2 2 1 2 3 2 2 1 2
1
1+ − − −
∞
+∫α αv v v ≤ C.
Ytak, pry a ∈ ( 1, 2 ]
I a( ) ≤ C a( ) / /− − +1 1 2 2α . (2.28)
Pry a ∈ ∞( , )2 snova yspol\zuem lemmuM2.1 dlq ocenky funkcyy ′ +− −Q u aq / / ( )2 1 2
pry u + a > 2. Ymeem
I a( ) ≤ C u a u duq( ) / / / /+ + − −
∞
∫ 2 1 2 2 2 1 2
0
α = u a={ }v =
= C a dq q/ / / / / /( )2 2 1 2 3 2 2 1 2
0
1+ − − −
∞
+∫α αv v v ≤ C aq / /2 2 1+ −α . (2.29)
Proyzvodq teper\ v pravoj çasty (2.27) zamenu peremenn¥x
ξ ξ= = +
xt a x
t
t
, ,( ) 1
2
2
,
poluçaem
v1 ≤ C f x t I
t
t
dtq
x
〈 〉 +
− + − − +∫Ω
( ) / /
/
α α α
θ
1 2 1 2
2
0
1
2
.
S uçetom ocenok (2.28), (2.29) dlq I ( a ) predstavym poslednyj yntehral v vyde
0
θ/ x
∫ =
0
2 3
2 3
2 3
2 3
−
−
+
+
∫ ∫ ∫+ +
θ/ x
= i i i1 2 3+ + ,
hde nekotor¥e yntehral¥ ik mohut otsutstvovat\ yly b¥t\ opredelenn¥my (v
zavysymosty ot θ / x ) na men\ßyx yntervalax yntehryrovanyq y dlq ik v¥pol-
nqetsq odna yz ocenok (2.28) yly (2.29), çto lehko sleduet yz svojstv funkcyy
1
2
2+ t
t
. Takym obrazom,
i1 ≤ C t
t
t
dtq
q
− − +
− +−
+
∫ / /
/ /
2 1 2
2 2 1 2
0
2 3
1
2
α
α
≤ C t dtq−
−
∫
0
2 3
≤ C,
i2 ≤ C t
t
t
dtq− − +
− +
−
+
+ −
∫ / /
/ /
2 1 2
2 1 2 2
2 3
2 3
1
2
1α
α
≤ C t dt− − +
−
+
∫ 1 1
2 3
2 3
α ≤ C,
i3 ≤ C t
t
t
dt
x
q
q
2 3
2 1 2
2 2 1 2
1
2
+
− − +
− +
∫ +
θ
α
α/
/ /
/ /
≤ C t dt
x
2 3
2
+
− +∫
θ
α
/
≤ C.
V rezul\tate pryxodym k ocenke
v1 ≤ C f x〈 〉 − +
Ω
( )α α1 . (2.30)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
OB ODNOJ HRANYÇNOJ ZADAÇE DLQ SYL|NO VÁROÛDAGWEHOSQ … 879
Yz analohyçnoj ocenky v2 s yspol\zovanyem lemm¥M2.1 poluçaem v2 ≤
≤ C f x〈 〉 − +
Ω
( )α α1 , otkuda sleduet, çto dlq u2 v (2.21) v¥polnqetsq neravenstvo
u2 ≤ C f x〈 〉 − +
Ω
( )α α1 . (2.31)
Otsgda s uçetom ocenky (2.22) ymeem
xu x yyy( , ) ≤ C f x〈 〉Ω
( )α α , (2.32)
t. e. ocenku sootvetstvugweho slahaemoho v norme u Ω
( )2 +α
. Ocenka (2.32)
ponadobytsq nam takΩe dlq ocenky konstant¥ Hel\dera funkcyy u2 ( x, y ) .
Pry πtom udobno dokaz¥vat\ otdel\no hel\derovost\ u2 ( x, y ) po peremennoj x
y po peremennoj y . Pust\ y y R, ∈ , δ = −y y . Dostatoçno rassmotret\
sluçaj δ ≤ ≤ x / 2, poskol\ku ynaçe
u x y u x y2 2( , ) ( , )− ≤ u x y u x y2 2( , ) ( , )+ ≤ C f x x〈 〉 −
Ω
( )α α1 ≤ C f x〈 〉 −
Ω
( )α αδ1 ,
t. e. ymeem trebuemug ocenku. Predstavym raznost\ u x y u x y2 2( , ) ( , )− v sledu-
gwem vyde:
u x y u x y2 2( , ) ( , )− = d G x y f f y d
x
yyξ ξ η ξ η ξ η
ξ δ− < −∞
∞
∫ ∫ − −[ ]2 ( ) ( ) ( ), , , , –
– d G x y f f y d
x
yyξ ξ η ξ η ξ η
ξ δ− < −∞
∞
∫ ∫ − −[ ]2 ( ) ( ) ( ), , , , +
+ d G x y G x y f f y d
x
yy yyξ ξ η ξ η ξ η ξ η
ξ δ− > −∞
∞
∫ ∫ − − −[ ] −[ ]2 2( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , +
+ d G x y f y f y d
x
yyξ ξ η ξ ξ η
ξ δ− > −∞
∞
∫ ∫ − −[ ]2 ( ) ( ) ( ), , , , ≡ J J J J1 2 3 4+ + + ,
pryçem
J4 = d f y f y G x y d
x
yyξ ξ ξ ξ η η
ξ δ− > −∞
∞
∫ ∫−[ ] −( ) ( ) ( ), , , ,2 = 0.
Ocenky yntehralov J1 y J2 polnost\g analohyçn¥ ocenkam, pryvedenn¥m pry
poluçenyy (2.31). Tohda
J J1 2+ ≤ C f x〈 〉 −
Ω
( )α αδ1 .
Pry ocenke J3 sleduet vospol\zovat\sq teoremoj o srednem ( [ , ])y y ym ∈
J3 ≤ C f d G x y y d
x
yyy m〈 〉 − −
− > −∞
∞
∫ ∫Ω
( ) ( ), ,α
ξ δ
αδ ξ ξ η η η2 ≤
≤ C f d G x y y d
x
yyy m m〈 〉 − −
− > −∞
∞
∫ ∫Ω
( ) ( ), ,α
ξ δ
αδ ξ ξ η η η2 +
+ C f d G x y d
x
yyy m〈 〉 −+
− > −∞
∞
∫ ∫Ω
( ) ( ), ,α α
ξ δ
δ ξ ξ η η1
2 ≡ J J3
1
3
2( ) ( )+ ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
880 B. V. BAZALYJ, S. P. DEHTQREV
tak kak y − η α ≤ C ym( )− +η δα α . Yspol\zuq pry ocenkax J3
1( ) y J3
2( )
lem-
muM2.1 y te Ωe rassuΩdenyq, çto y v¥ße, s uçetom δ ≤ x / 2 poluçaem
J3 ≤ J J3
1
3
2( ) ( )+ ≤ C f x〈 〉 −
Ω
( )α αδ1 .
Sledovatel\no,
u x y u x y2 2( , ) ( , )− ≤ C f x y y〈 〉 −−
Ω
( )α α1 .
Putem analohyçn¥x ocenok dlq 0 < <x x moΩno poluçyt\
u x y u x y2 2( , ) ( , )− ≤ C f x x x〈 〉 −−
Ω
( )α α1 .
Obæedynqq dva poslednyx neravenstva y uçyt¥vaq (2.22), naxodym ocenku odno-
ho yz slahaem¥x v opredelenyy norm¥ u Ω
( )2 +α
:
sup
( , ) ( , )
( , ) ( , )( , ),( , )x y x y
y yx
D u x y D u x y
x y x y∈
−
−Ω
2 2
α ≤ C f〈 〉Ω
( )α . (2.33)
Ocenky ostal\n¥x slahaem¥x v u Ω
( )2 +α
analohyçn¥ (2.32), (2.33) s uçetom
toho, çto poqvlqgwyesq pry dyfferencyrovanyy funkcyy G x y2( ), ,ξ η− v¥-
raΩenyq ∂ ∂ = −z x z x/ / /1 ξ (sm. (2.24)) nuΩno predstavlqt\ v vyde 1/ /ξ − z x =
= ( / / ) /( )1 ξ − − −a x z a x y ocenyvat\ kaΩdoe sootvetstvugwee slahaemoe ot-
del\no.
M¥ predpoloΩyly, çto q < 0, tak kak pry q = 1 – b ∈ [ 0, 1 ) predstavle-
nye (2.3) spravedlyvo tol\ko dlq funkcyj f, dostatoçno b¥stro ub¥vagwyx
pry y → ∞ , çto sleduet yz ocenok v lemmaxM2.1, 2.2. Odnako, kak sleduet yz
lemmM2.1, 2.3, predstavlenyq dlq proyzvodn¥x funkcyy u ( x, y ) vyda (2.17) –
(2.20) soxranqgtsq pry ohranyçennoj f y dlq q ∈ [ 0, 1 ) . Poπtomu v sluçae
q > 0 moΩno najty reßenye zadaçy (1.3) s proyzvol\noj f H∈ Ω
α
sledugwym
obrazom. Pust\ f x yε( , ) = f x y e y( , ) −ε , ε > 0, y u x yε( , ) — reßenye zadaçy
(1.3) s f f= ε . V sylu ravnomernoj po ε sxodymosty yntehralov (2.17) – (2.20)
netrudno vydet\, çto proyzvodn¥e funkcyj uε ( x, y ) pry ε → 0 ravnomerno
sxodqtsq k sootvetstvugwym potencyalam s plotnost\g f ( x, y ) . Poπtomu,
uçyt¥vaq hranyçnoe uslovye u ( θ, y ) = 0, moΩno opredelyt\ reßenye zadaçy
(1.3) pry q > 0, naprymer, v vyde
u ( x, y ) = lim ( , )
ε
ε
→0
u x y = lim ,( )
ε
ε
θ
ζ ζ
→
− ∫0
u y dx
x
=
= – d d G y f d
x
ζ ξ ζ ξ η ξ η η
θ θ
ζ∫ ∫ ∫ −
−∞
∞
0
( ) ( ), , , .
Pry πtom, kak lehko vydet\, dlq proyzvodn¥x funkcyy u ( x, y ) spravedlyv¥
predstavlenyq vyda (2.17), (2.20) y vse ocenky polnost\g analohyçn¥.
2.4. O edynstvennosty reßenyq zadaçy (1.3). Pust\ dvaΩd¥ dyfferen-
cyruemaq funkcyq u ( x, y ) — reßenye odnorodnoj zadaçy (1.3) y u x y( , ) ≤
≤ M y a1 +( ), hde M > 0, a ∈[ , )0 2 . PokaΩem, çto tohda u ( x, y ) ≡ 0 v Ω .
Pust\ v ( x, y ) = e u x yxλ ( , ), hde çyslo λ > 0 dostatoçno malo y budet v¥-
brano nyΩe. Funkcyq v ( x, y ) — reßenye zadaçy
L v ≡ x b x b xx∆v v v+ − − −( ) ( )2λ λ = 0, ( x, y ) ∈ Ω , (2.34)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
OB ODNOJ HRANYÇNOJ ZADAÇE DLQ SYL|NO VÁROÛDAGWEHOSQ … 881
v ( θ, y ) = 0, x∆v → 0, x → 0, (2.35)
pryçem v( , )x y ≤ M y a
1 1 +( ) , M1 = Meλθ . V¥berem λ nastol\ko mal¥m,
çtob¥ b b1 2 0≡ − >λθ . Tohda tem bolee λ λθ( )b − > 0. Yz vyda operatora L
sleduet, çto esly nekotoraq funkcyq w ( x, y ) udovletvorqet neravenstvu
Lw ≥ 0 y uslovyqm (2.35), to w ( x, y ) ne moΩet dostyhat\ poloΩytel\noho
maksymuma vnutry Ω . Krome toho, w ( x, y ) ne moΩet dostyhat\ poloΩytel\no-
ho maksymuma y pry x = 0 : v toçke takoho maksymuma bwx ≤ 0, – λbw < 0 ,
x w∆ → 0, çto protyvoreçyt neravenstvu Lw ≥ 0 . Takym obrazom, v çastnos-
ty, v ne moΩet dostyhat\ poloΩytel\noho maksymuma v Ω . V prqmouhol\nyke
B xR = ≤ ≤{ ,0 θ y R≤ } rassmotrym funkcyg F ( x, y ) = θ θ2
1 1
2 2/ / /b x b y− + ,
tak çto x F∆ → 0 pry x → 0 y
L F = x
b x
b
b x F− − − −θ λ λ λ2
1
( ) ≤ 0, ( , )x y BR∈ , (2.36)
tak kak x ≤ θ , b x b− ≥2 1λ , b x− >λ 0 , F ≥ 0 v Ω . Funkcyq
v vε ε( , ) ( , ) ( , )x y x y F x y≡ − , ε > 0, ymeet svojstva: vε ε= − ≤F 0 pry x = θ;
L L LFv vε ε= − ≥ 0 v Ω ; x∆vε → 0 pry x → 0;
vε = v − εF ≤ M y ya
1
21 2+( ) − ε / = M R Ra
1
21 2( ) /+ − ε ≤ 0
pry y R= dlq vsex R R M a≥ ( , , )ε 1 (tak kak a < 2 ). Otsgda, sohlasno yz-
loΩennomu v¥ße, sleduet, çto vε ne moΩet dostyhat\ poloΩytel\noho mak-
symuma ny vnutry BR , ny na eho hranyce. Poπtomu vε( , )x y ≤ 0 v BR , t. e.
v( , ) ( , )x y F x y≤ ε v BR . Poskol\ku R R M a≥ ( , , )ε 1 proyzvol\no, to v( , )x y ≤
≤ εF x y( , ) v Ω , a tak kak ε > 0 proyzvol\no, to v( , )x y ≤ 0 v Ω , y, sledova-
tel\no, u = e x− ≤λ v 0 v Ω . Vsledstvye toho çto u ( x, y ) udovletvorqet od-
norodnoj zadaçe (1.3), analohyçno – u ≤ 0 v Ω , t. e. u x y( , ) ≡ 0 v Ω . Tem
sam¥m teoremaM1.2 dokazana.
3. Dokazatel\stvo teorem¥31.1. Kak pokazano v p.M1, putem zamen¥ pere-
mennoj zadaça (1.1) svodytsq k zadaçe (1.3) s pravoj çast\g uravnenyq f ( x, y ) =
= e g x yy−κ ( , ) . Naßa cel\ sejças sostoyt v poluçenyy ocenky sootvetstvugwe-
ho reßenyq u ( x, y ) zadaçy (1.3) v termynax funkcyy g ( x, y ) . Predstavym
funkcyg u ( x, y ) v vyde u e y= −v κ . Tohda, kak lehko proveryt\, v ( x, y ) udov-
letvorqet zadaçe
x x b xy x∆v v v v− + +2 2κ κ = g, ( , )x y ∈Ω , (3.1)
v x =θ = 0, x∆v → 0, x → 0. (3.2)
PokaΩem, çto
v ≤ C g 0,Ω pry θ κ< b / 2 . Predstavym funkcyg v ( x, y ) v
vyde v = −we xλ , λ > 0. Tohda
L w ≡ x w xw b w c wy x∆ − + −2κ ≡ L w c w0 − = ge xλ ≡ g ,
hde
b b x b b= − ≥ − =2 2 1λ λθ , c b x b c= − + ≥ − + ≡λ κ λ λ θ κ λ( ) ( )2 2 2 2
1,
y w ( x, y ) udovletvorqet hranyçn¥m uslovyqm (3.2). V¥berem teper\ λ tak,
çtob¥ v¥polnqlys\ neravenstva b1 0> , c1 0> , çto vozmoΩno pry uslovyy
θ κ< b / 2 . Otmetym dalee, çto funkcyq w ( x, y ) ymeet takoe Ωe povedenye po
y, kak y funkcyq v = −ue yκ , t. e. poskol\ku u C f C
Ω Ω
( ) ( )2 + ≤ ≤α α
(v sylu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
882 B. V. BAZALYJ, S. P. DEHTQREV
teorem¥M1.2), funkcyq w → 0 pry y → − ∞ y w De y≤ κ , D > 0, pry
y → + ∞ .
Opredelym teper\ funkcyg m ( x, y ) = M + ε h ( x, y ) , hde M = g c0 1, /Ω ,
h ( x, y ) = ( )θ κ− +x e y1 2
. Poskol\ku
L h0 = x x x x b e y( ) ( )θ κ κ θ κ− + − − + −{ }1 4 4 12 2 2 = – b e y2κ < 0 v Ω ,
to
Lm x y( , ) = L m c m0 − ≤ εL h c M0 1− < – g 0,Ω , (3.3)
y esly R dostatoçno velyko, to m x R M w x R( , ) ( , )− > > − y m x R( , ) > ε κe R2 >
> w x R( , ), çto sleduet yz svojstv funkcyy w ( x, y ) . Krome toho, m ( θ, y ) > M >
> 0 = w ( θ, y ) . V prqmouhol\nyke BR s dostatoçno bol\ßym R , kak y v¥ße,
rassmotrym funkcyg w ( x, y ) – m ( x , y ) , dlq kotoroj w – m < 0 na
∂B xR \ { }= 0 y L w m Lw Lm g g( ) ,− = − > + ≥0 0Ω (v sylu (3.3)). Analohyç-
no pred¥duwemu, yspol\zuq neravenstvo c c≥ >1 0, moΩno pokazat\, çto
w ( x, y ) – m ( x, y ) ne moΩet dostyhat\ poloΩytel\noho maksymuma ny vnutry BR ,
ny pry x = 0. Sledovatel\no, w – m ≤ 0 v BR , a tak kak R velyko y pro-
yzvol\no, to w ≤ m v Ω . Dalee, poskol\ku ε > 0 v opredelenyy m ( x, y )
proyzvol\no, w x y M C g( , ) ,≤ = 0 Ω v Ω . Rassmatryvaq teper\ funkcyg
– w ( x, y ) , toçno tak Ωe poluçaem – w ( x, y ) ≤ C g 0,Ω, t. e. w ≤ C g 0,Ω,
otkuda
v ≤ C g 0,Ω. (3.4)
Zapyßem teper\ zadaçu (3.1), (3.2) v vyde
x b x∆v v+ = g x xy+ −2 2κ κv v ≡ f , ( x, y ) ∈ Ω , (3.5)
v x =θ = 0, lim
x→0
x∆v = 0. (3.6)
Yspol\zuq teoremuM1.2, ocenku (3.4) y ynterpolqcyonn¥e neravenstva
x yv
Ω
( )α
≤
ε α
εv v
Ω Ω
( )
,
2
0
+ + C ,
xv Ω
( )α ≤
ε α
εv v
Ω Ω
( )
,
2
0
+ + C ,
poluçaem, v¥byraq ε dostatoçno mal¥m,
v
Ω
( )2 + α
≤ C g Ω
( )α ,
t. e.
ue yκ α
Ω
( )2 +
≤ C g Ω
( )α . (3.7)
Perexodq teper\ v neravenstve (3.7) k peremenn¥m
( ) ( ), : ( , ) ( , ) ,ξ ξ ρ ϕ ξ ξ1 2 1 2x y → → ,
poluçaem ocenku (1.4), çto zaverßaet dokazatel\stvo teorem¥M1.1.
Zameçanye. Yz dokazatel\stva teorem¥M1.1 sleduet, çto dlq reßenyq zada-
çy (1.1) v dopolnenye k ocenke (1.4) ymeet mesto neravenstvo
u D0, ≤ C r g
D
κ
0,
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
OB ODNOJ HRANYÇNOJ ZADAÇE DLQ SYL|NO VÁROÛDAGWEHOSQ … 883
1. Kondrat\ev V. A. Kraev¥e zadaçy dlq πllyptyçeskyx uravnenyj v oblastqx s konyçeskymy
yly uhlov¥my toçkamy // Tr. Mosk. mat. o-va. – 1967. – 16. – S. 209 – 292.
2. Levendorskyj S. Z., Paneqx B. H. V¥roΩdagwyesq πllyptyçeskye uravnenyq y kraev¥e za-
daçy // Ytohy nauky y texnyky. Sovr. probl. matematyky. Fundam. napravlenyq. Dyffe-
renc. uravnenyq s çastn¥my proyzvodn¥my. – M.: VYNYTY, 1990. – 63. – S. 131 – 200.
3. Matijçuk M. I. Paraboliçni ta eliptyçni krajovi zadaçi z osoblyvostqmy. – Çernivci: Prut,
2003. – 243 s.
4. Grisvard P. Elliptic problem in nonsmooth domain. – Pitman, 1985. – 600 p.
5. Maz’ya V., Nazarov S., Plamenevskij B. Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in
singular perturbed domain // Operator Theory: Adv. and Appl. – Basel: Birkhauser, 2000. – 111/112.
6. Goalaouic C., Shimakura N. Regularite Holderienne de certains problemes aux limites ellipticues
degeneres // Ann. Scuola norm. super. Pisa. Ser. IV. – 1983. – 10, # 1. – P. 79 – 108.
7. Gubelidze D. On a generalized solution of the second order degenerate elliptic equation in an
angular domain // Proc. A. Razmadze Math. Inst. – 2003. – 133. – P. 37 – 61.
8. Bazalyj B. V., Krasnowek N. V. Rehulqrnost\ reßenyq mnohomernoj zadaçy so svobodnoj
hranycej dlq uravnenyq porystoj sred¥ // Mat. trud¥. – 2002. – 5, # 2. – S. 38 – 91.
9. Hradßtejn Y. S., R¥Ωyk Y. M. Tablyc¥ yntehralov, rqdov y proyzvedenyj. – M.: Fyzmat-
hyz, 1963. – 1100 s.
10. Fedorgk M. V. Metod perevala. – M.: Nauka, 1977. – 368 s.
11. Lad¥Ωenskaq O. A., Ural\ceva N. N. Lynejn¥e y kvazylynejn¥e uravnenyq πllyptyçesko-
ho typa. – M.: Nauka, 1973. – 576 s.
12. Bazalyj B. V., Krasnowek N. V. Rehulqrnost\ reßenyq zadaçy so svobodnoj hranycej dlq
uravnenyq v vt
m
xx= ( ) // Alhebra y analyz. – 2000. – 12, v¥p. 2. – S. 1 – 21.
Poluçeno 28.11.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 7
|
| id | umjimathkievua-article-3352 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:40:57Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0d/14f33be354b6a1950a7be36890ed200d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33522020-03-18T19:52:14Z On one boundary-value problem for a strongly degenerate second-order elliptic equation in an angular domain Об одной граничной задаче для сильно вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка в угловой области Bazalii, B. V. Degtyarev, S. P. Базалий, Б. В. Дегтярев, С. П. Базалий, Б. В. Дегтярев, С. П. We prove the existence and uniqueness of a classical solution of a singular elliptic boundary-value problem in an angular domain. We construct the corresponding Green function and obtain coercive estimates for the solution in the weighted Hölder classes. Доведено існування та єдиність класичного розв'язку еліптичної сингулярної граничної задачі в кутовій області. Побудовано відповідну функцію Гріна та отримано коерцитивні оцінки розв'язку у вагових класах Гельдера. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3352 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 7 (2007); 867–883 Український математичний журнал; Том 59 № 7 (2007); 867–883 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3352/3448 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3352/3449 Copyright (c) 2007 Bazalii B. V.; Degtyarev S. P. |
| spellingShingle | Bazalii, B. V. Degtyarev, S. P. Базалий, Б. В. Дегтярев, С. П. Базалий, Б. В. Дегтярев, С. П. On one boundary-value problem for a strongly degenerate second-order elliptic equation in an angular domain |
| title | On one boundary-value problem for a strongly degenerate second-order elliptic equation in an angular domain |
| title_alt | Об одной граничной задаче для сильно вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка в угловой области |
| title_full | On one boundary-value problem for a strongly degenerate second-order elliptic equation in an angular domain |
| title_fullStr | On one boundary-value problem for a strongly degenerate second-order elliptic equation in an angular domain |
| title_full_unstemmed | On one boundary-value problem for a strongly degenerate second-order elliptic equation in an angular domain |
| title_short | On one boundary-value problem for a strongly degenerate second-order elliptic equation in an angular domain |
| title_sort | on one boundary-value problem for a strongly degenerate second-order elliptic equation in an angular domain |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3352 |
| work_keys_str_mv | AT bazaliibv ononeboundaryvalueproblemforastronglydegeneratesecondorderellipticequationinanangulardomain AT degtyarevsp ononeboundaryvalueproblemforastronglydegeneratesecondorderellipticequationinanangulardomain AT bazalijbv ononeboundaryvalueproblemforastronglydegeneratesecondorderellipticequationinanangulardomain AT degtârevsp ononeboundaryvalueproblemforastronglydegeneratesecondorderellipticequationinanangulardomain AT bazalijbv ononeboundaryvalueproblemforastronglydegeneratesecondorderellipticequationinanangulardomain AT degtârevsp ononeboundaryvalueproblemforastronglydegeneratesecondorderellipticequationinanangulardomain AT bazaliibv obodnojgraničnojzadačedlâsilʹnovyroždaûŝegosâélliptičeskogouravneniâvtorogoporâdkavuglovojoblasti AT degtyarevsp obodnojgraničnojzadačedlâsilʹnovyroždaûŝegosâélliptičeskogouravneniâvtorogoporâdkavuglovojoblasti AT bazalijbv obodnojgraničnojzadačedlâsilʹnovyroždaûŝegosâélliptičeskogouravneniâvtorogoporâdkavuglovojoblasti AT degtârevsp obodnojgraničnojzadačedlâsilʹnovyroždaûŝegosâélliptičeskogouravneniâvtorogoporâdkavuglovojoblasti AT bazalijbv obodnojgraničnojzadačedlâsilʹnovyroždaûŝegosâélliptičeskogouravneniâvtorogoporâdkavuglovojoblasti AT degtârevsp obodnojgraničnojzadačedlâsilʹnovyroždaûŝegosâélliptičeskogouravneniâvtorogoporâdkavuglovojoblasti |