On some properties of convex functions
We obtain some new results for convex-downward functions vanishing at infinity.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3357 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509436089466880 |
|---|---|
| author | Stepanets, O. I. Shydlich, A. L. Степанець, О. І. Шидліч, А. Л. |
| author_facet | Stepanets, O. I. Shydlich, A. L. Степанець, О. І. Шидліч, А. Л. |
| author_sort | Stepanets, O. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:52:14Z |
| description | We obtain some new results for convex-downward functions vanishing at infinity. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:41:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
О. I. Степанець, А. Л. Шидлiч (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРО ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ОПУКЛИХ ФУНКЦIЙ
We obtain some new results for convex downwards functions vanishing at infinity.
Установлен ряд новых результатов для выпуклых вниз функций, исчезающих на бесконечности.
У роботi продовжуються дослiдження властивостей множин опуклих функцiй, за-
початкованi у [1] (гл. III), [2] та [3] (гл. III), де, зокрема, викладено i мотивацiю
таких дослiджень.
Нехай M — множина всiх додатних при t ≥ 1 опуклих донизу спадних до нуля
функцiй:
M =
{
ψ(t) : ψ(t) > 0, ψ(t1)− 2ψ((t1 + t2)/2) + ψ(t2) ≥ 0
∀t1, t2 ∈ [1,∞), lim
t→∞
ψ(t) = 0
}
.
Нехай, далi, ψ ∈ M, тодi через η(t) = η(ψ; t) позначають функцiю, яка пов’язана з
ψ рiвнiстю
ψ(η(t)) =
1
2
ψ(t), t ≥ 1.
Внаслiдок строгої монотонностi функцiї ψ η(t) при всiх t ≥ 1 визначається одно-
значно:
η(t) = η(ψ; t) = ψ−1
(
1
2
ψ(t)
)
.
Покладемо
µ(t) = µ(ψ; t) =
t
η(t)− t
.
В залежностi вiд поведiнки функцiї µ розрiзняють наступнi пiдмножини множи-
ни M:
M0 =
{
ψ ∈ M : 0 < µ(ψ; t) ≤ K ∀t ≥ 1
}
, (1)
M∞ =
{
ψ ∈ M : 0 < K ≤ µ(ψ; t) <∞ ∀t ≥ 1
}
, (2)
MC = M0 ∩M∞ =
{
ψ ∈ M : 0 < K1 ≤ µ(ψ; t) ≤ K2 ∀t ≥ 1
}
, (3)
де, як i далi, K, K1, . . . — деякi додатнi сталi, що не залежать вiд параметра t.
Через M+
0 позначають пiдмножину всiх функцiй ψ ∈ M, для яких величина
µ(ψ; t) при t→∞ монотонно прямує до нуля:
M+
0 =
{
ψ ∈ M : µ(ψ; t) ↓ 0
}
,
c© О. I. СТЕПАНЕЦЬ, А. Л. ШИДЛIЧ, 2007
920 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
ПРО ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ОПУКЛИХ ФУНКЦIЙ 921
а через M+
∞ — пiдмножину всiх функцiй ψ ∈ M, для яких µ(ψ; t) монотонно i
необмежено зростає при t→∞:
M+
∞ =
{
ψ ∈ M : µ(ψ; t) ↑ ∞
}
.
В [2] було встановлено наступний критерiй належностi функцiй ψ ∈ M до
введених множин.
Твердження A. Функцiя ψ ∈ M належить множинi M0 тодi i лише тодi,
коли величина
α(t) = α(ψ; t) =
ψ(t)
t|ψ′(t)|
, ψ′(t) df=ψ′(t+ 0),
задовольняє умову
α(t) ≥ K > 0 ∀t ≥ 1;
ψ ∈ M належить множинi M∞ тодi i лише тодi, коли
α(t) ≤ K ∀t ≥ 1;
ψ ∈ M належить множинi MC тодi i лише тодi, коли
0 < K1 ≤ α(t) ≤ K2 ∀t ≥ 1.
Якщо функцiя α(t) не спадає i
lim
t→∞
α(t) = ∞,
то ψ ∈ M+
0 . Якщо ж α(t) не зростає i
lim
t→∞
α(t) = 0,
то ψ ∈ M+
∞.
Спочатку розглянемо множини функцiй, обернених до функцiй iз множини M,
i встановимо аналог твердження A для цих множин.
Нехай M∗ — множина всiх додатних при t ∈ (0, 1] опуклих донизу спадних
функцiй ϕ(·) таких, що lim
t→0
ϕ(t) = ∞.
Для ϕ ∈ M∗ означимо характеристики ζ(t) = ζ(ϕ; t) та ν(t) = ν(ϕ; t) — аналоги
величин η(t) та µ(t), якi визначаються таким чином:
ϕ(ζ(t)) = 2ϕ(t), t ∈ (0, 1]. (4)
Внаслiдок строгої монотонностi ϕ функцiя ζ(t) при всiх t ∈ (0, 1] визначається
однозначно:
ζ(t) = ζ(ϕ; t) = ϕ−1(2ϕ(t)). (5)
Функцiя ν(t) задається рiвнiстю
ν(t) = ν(ϕ; t) =
ζ(t)
t− ζ(t)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
922 О. I. СТЕПАНЕЦЬ, А. Л. ШИДЛIЧ
Якщо ϕ1(t) = t−r, r > 0, то ζ(ϕ1; t) = 2−1/rt i ν(ϕ1; t) = (21/r − 1)−1; якщо
ϕ2(t) = ln
1
t
, тобто ϕ2(t) — обернена функцiя до функцiї e−t, то ζ(ϕ2; t) = t2 i
ν(ϕ2; t) =
t
1− t
, а якщо ж ϕ3(t) = e1/t (ϕ−1
3 (t) = 1/ ln t), то ζ(ϕ3; t) =
t
t ln 2 + 1
i ν(ϕ3; t) = (t ln 2)−1. З даних прикладiв бачимо, що функцiя ν(t) може бути
обмеженою зверху та знизу деякими сталими, може прямувати до нуля або до
нескiнченностi при t→ 0.На основi таких ознак видiлимо iз множини M∗ наступнi
пiдмножини:
M∗
0 =
{
ϕ ∈ M∗ : 0 < ν(ϕ; t) ≤ K ∀t ∈ (0, 1]
}
,
M∗
∞ =
{
ϕ ∈ M∗ : 0 < K ≤ ν(ϕ; t) <∞ ∀t ∈ (0, 1]
}
,
M∗
C = M∗
0 ∩M∗
∞ =
{
ϕ ∈ M∗ : 0 < K1 ≤ ν(ϕ; t) ≤ K2 ∀t ∈ (0, 1]
}
.
Далi, через M∗+
0 позначимо пiдмножину всiх функцiй ϕ ∈ M∗, для яких вели-
чина ν(ϕ; t) при t→ 0 монотонно прямує до нуля:
M∗+
0 =
{
ϕ ∈ M∗ : ν(ϕ; t) ↓ 0 при t→ 0
}
,
а через M∗+
∞ — пiдмножину всiх функцiй ϕ ∈ M∗, для яких ν(ϕ; t) монотонно i
необмежено зростає при t→ 0:
M∗+
∞ =
{
ϕ ∈ M∗ : ν(ϕ; t) ↑ ∞ при t→ 0
}
.
У функцiй ϕ ∈ M∗ на промiжку (0, 1) iснують монотоннi похiднi ϕ ′(t), що
допускають розриви лише першого роду. Тому далi вважаємо, що ϕ ′(t) = ϕ ′(t−0),
t ∈ (0, 1). При цих позначеннях має мiсце наступний аналог твердження A.
Теорема 1. Функцiя ϕ ∈ M∗ належить множинi M∗
0 тодi i лише тодi, коли
величина
β(t) = β(ϕ; t) =
t|ϕ′(t)|
ϕ(t)
, ϕ′(t) df=ϕ′(t− 0), (6)
задовольняє умову
β(t) ≤ K ∀t ∈ (0, 1]; (7)
ϕ ∈ M∗ належить множинi M∗
∞ тодi i лише тодi, коли
β(t) ≥ K > 0 ∀t ∈ (0, 1]; (8)
ϕ ∈ M∗ належить множинi M∗
C тодi i лише тодi, коли
0 < K1 ≤ β(t) ≤ K2 ∀t ∈ (0, 1]. (9)
Якщо функцiя β(t) не спадає i
lim
t→0
β(t) = 0, (10)
то ϕ ∈ M∗+
0 . Якщо ж β(t) не зростає i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
ПРО ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ОПУКЛИХ ФУНКЦIЙ 923
lim
t→0
β(t) = ∞, (11)
то ϕ ∈ M∗+
∞ .
Доведення. Враховуючи рiвнiсть (6), для будь-якого t ∈ (0, 1] маємо
ϕ(t)
t∫
ζ(t)
β(τ)
τ
dτ ≤
t∫
ζ(t)
|ϕ′(τ)|dτ =
t∫
ζ(t)
β(τ)ϕ(τ)
τ
dτ ≤ ϕ(ζ(t))
t∫
ζ(t)
β(τ)
τ
dτ
або, з урахуванням (4),
ϕ(t)
t∫
ζ(t)
β(τ)
τ
dτ ≤ ϕ(t) ≤ 2ϕ(t)
t∫
ζ(t)
β(τ)
τ
dτ,
тобто для будь-якого t ∈ (0, 1]
1
2
≤
t∫
ζ(t)
β(τ)
τ
dτ ≤ 1. (12)
Якщо виконується (7), то звiдси отримуємо
1
2K
≤
t∫
ζ(t)
dτ
τ
= ln
t
ζ(t)
= ln
(
1
ν(ϕ; t)
+ 1
)
.
Таким чином,
ν(ϕ; t) ≤ (e1/(2K) − 1)−1,
тобто ϕ ∈ M∗
0.
Якщо виконується умова (8), то з (12) аналогiчно знаходимо
ln
(
1
ν(ϕ; t)
+ 1
)
≤ 1
K
,
звiдки одразу випливає, що ϕ ∈ M∗
∞. Таким самим чином переконуємося, що при
виконаннi умови (9) функцiя ϕ належить множинi M∗
C .
Якщо β(t) не спадає i виконується (10), то внаслiдок (12) для будь-якого t ∈
∈ (0, 1]
β(t) ≥ 1
2 ln
(
1
ν(ϕ; t)
+ 1
) .
Звiдси з урахуванням (10) робимо висновок, що
lim
t→0
ν(ϕ; t) = 0.
Переконаємося, що ν(ϕ; t) монотонно не зростає при t → 0. Це можливо тодi i
лише тодi, коли
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
924 О. I. СТЕПАНЕЦЬ, А. Л. ШИДЛIЧ
tζ ′(t)− ζ(t) ≥ 0, ζ ′(t) = ζ ′(t− 0). (13)
Згiдно з (4) та (6)
2ϕ(t) = ϕ(ζ(t)) = −ζ(t)ϕ
′(ζ(t))
β(ζ(t))
.
Об’єднуючи цю рiвнiсть iз рiвнiстю (6) i враховуючи те, що внаслiдок (5) для
будь-якої функцiї ϕ ∈ M∗
ζ ′(t) =
2ϕ′(t)
ϕ′(ζ(t))
, (14)
отримуємо
tζ ′(t)β(ζ(t))
β(t)ζ(t)
= 1,
або
tζ ′(t) = ζ(t)
β(t)
β(ζ(t))
≥ ζ(t),
тобто спiввiдношення (13) дiйсно є правильним. Тим самим доведено, що коли
β(t) не спадає i виконується (10), то ϕ ∈ M∗+
0 . Аналогiчно переконуємося, що
у випадку, коли β(t) не зростає i справджується умова (11), функцiя ϕ належить
множинi M∗+
∞ .
Залишається показати, що для будь-якої ϕ ∈ M∗
0 виконується умова (7), а для
будь-якої ϕ ∈ M∗
∞ — умова (8) i для будь-якої функцiї ϕ ∈ M∗
C справджується
умова (9).
Для кожної функцiї ϕ ∈ M∗ при довiльному t ∈ (0, 1] маємо
∣∣ϕ′(t)∣∣(t− ζ(t)
)
≤ ϕ(t) = −
t∫
ζ(t)
ϕ′(τ)dτ ≤
∣∣ϕ′(ζ(t))∣∣(t− ζ(t)
)
.
Звiдси
t|ϕ′(t)|
ϕ(t)
≤ t
t− ζ(t)
= 1 +
ζ(t)
t− ζ(t)
.
Якщо ϕ ∈ M∗ така, що
ν(ϕ; t) =
ζ(t)
t− ζ(t)
≤ K ∀t ∈ (0, 1],
тобто ϕ ∈ M∗
0, то
β(t) =
t|ϕ′(t)|
ϕ(t)
≤ K + 1.
Тим самим доведено, що якщо ϕ ∈ M∗
0, то умова (7) виконується, а також те, що
для функцiй ϕ ∈ M∗
C справджується права частина спiввiдношення (9).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
ПРО ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ОПУКЛИХ ФУНКЦIЙ 925
Для кожної функцiї ϕ ∈ M∗ позначимо через ζ(t) = ζ(ϕ; t) функцiю, обернену
до ζ(t). Внаслiдок (14) при довiльному t ∈ (0, 1] виконується нерiвнiсть ζ ′(t) > 2,
з якої випливає строга монотоннiсть функцiї ζ(t). Тому функцiя ζ(t) на пiвiнтер-
валi (0, ζ(1)] визначається однозначно i при кожному t ∈ (0, ζ(1)] справджується
спiввiдношення
1
2
ϕ(t) = −
ζ(t)∫
t
ϕ′(τ)dτ ≤ |ϕ′(t)|(ζ(t)− t)
або
t
ζ(t)− t
≤ 2
t|ϕ′(t)|
ϕ(t)
. (15)
Припустимо тепер, що функцiя ϕ ∈ M∗ така, що
ν(ϕ; t) =
ζ(t)
t− ζ(t)
≥ K > 0 ∀t ∈ (0, 1], (16)
тобто ϕ ∈ M∗
∞. Тодi, покладаючи z = ζ(t), знаходимо
t
t− ζ(t)
=
ζ(z)
ζ(z)− z
≥ K.
Пiдставляючи дану оцiнку в (15), робимо висновок, що коли виконується (16), то
при всiх t ∈ (0, ζ(1)]
β(t) =
t|ϕ′(t)|
ϕ(t)
≥ K1 > 0.
Зрозумiло, що така ж нерiвнiсть справджується i при t ∈ [ζ(1), 1]. Таким чином,
якщо ϕ ∈ M∗
∞, то умова (8) виконується, а якщо ϕ ∈ M∗
C , то справджується i лiва
частина спiввiдношення (9).
Твердження доведено.
Iз твердження A легко випливає наступний факт, який вказує на певну спорiд-
ненiсть функцiй ψ ∈ M, що мають подiбнi величини α = α(ψ; ·).
Наслiдок 1. Якщо для функцiй ψ1 ∈ M та ψ2 ∈ M величина r(t) =
α(ψ1; t)
α(ψ2; t)
при всiх t ≥ 1 задовольняє спiввiдношення
0 < K1 ≤ r(t) ≤ K2 <∞,
то властивостi цих функцiй збiгаються в тому сенсi, що якщо одна з цих функцiй
належить множинi M∞, M0 або MC , то й iнша функцiя також належить цiй
самiй множинi.
Зрозумiло, що аналогiчне твердження для функцiй з множини M∗ випливає з
теореми 1.
Наслiдок 1′. Якщо для функцiй ϕ1 ∈ M∗ та ϕ2 ∈ M∗ величина r∗(t) =
β(ϕ1; t)
β(ϕ2; t)
при всiх t ∈ (0, 1] задовольняє спiввiдношення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
926 О. I. СТЕПАНЕЦЬ, А. Л. ШИДЛIЧ
0 < K1 ≤ r∗(t) ≤ K2 <∞,
то властивостi цих функцiй збiгаються в тому сенсi, що якщо одна з цих функцiй
належить множинi M∗
∞, M∗
0 або M∗
C , то й iнша функцiя належить цiй самiй
множинi.
З означення множин M та M∗ випливає, що для довiльної ψ ∈ M функцiя
ϕ, обернена до функцiї ψ(t)/ψ(1), належить множинi M∗. Крiм того, на пiдставi
теорем про похiдну оберненої функцiї для будь-якого t ≥ 1 маємо
α(ψ; t) =
ψ(t)
t|ψ′(t)|
=
ψ(t)ψ(1)
t|ψ′(t)|ψ(1)
=
y|ϕ′(y)|
ϕ(y)
= β(ϕ; y),
де y = ψ(t)/ψ(1) ∈ (0, 1]. Звiдси на пiдставi твердження A та теореми 1 отримуємо
наступний наслiдок.
Наслiдок 2. Функцiя ψ ∈ M належить множинi M0 (M∞, MC , M+
0 або
M+
∞) тодi i лише тодi, коли функцiя ϕ, яка є оберненою до функцiї ψ(t)/ψ(1),
належить вiдповiдно множинi M∗
∞ (M∗
0, M
∗
C , M
∗+
∞ або M∗+
0 ).
Записуючи рiвнiсть (6) у виглядi
ϕ′(t)
ϕ(t)
= −β(t)
t
та iнтегруючи останнє спiввiдношення по промiжку [t, 1], t ≤ 1, отримуємо
ϕ(t) = ϕ(1)exp
1∫
t
β(τ)
τ
dτ
.
Аналiзуючи цю рiвнiсть, отримуємо наступне твердження.
Наслiдок 3. Якщо ϕ ∈ M∗
0, то можна вказати таке r1 > 0, що при всiх
t ∈ (0, 1] буде виконуватись нерiвнiсть
ϕ(t) ≤ Kt−r1 ;
якщо ϕ ∈ M∗
∞, то iснує число r2 > 0 таке, що при всiх t ∈ (0, 1]
ϕ(t) ≥ Kt−r2 ;
якщо ж ϕ ∈ M∗
C , то iснують числа r1, r2 > 0 такi, що при всiх t ∈ (0, 1]
K1t
−r1 ≤ ϕ(t) ≤ K2t
−r2 .
Цей наслiдок є аналогом для обернених функцiй наступного твердження для
функцiй з множини M, яке було встановлено в [2] (див. також [3]).
Твердження B. Якщо ψ ∈ M0, то можна вказати таке r1 > 0, що при всiх
t ≥ 1 буде виконуватись нерiвнiсть
ψ(t) ≥ Kt−r1 ; (17)
якщо ψ ∈ M∞, то iснує число r2 > 0 таке, що при всiх t ≥ 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
ПРО ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ОПУКЛИХ ФУНКЦIЙ 927
ψ(t) ≤ Kt−r2 ; (18)
якщо ж ψ ∈ MC , то iснують числа r1, r2 > 0 такi, що при всiх t ≥ 1
K1t
−r1 ≤ ψ(t) ≤ K2t
−r2 . (19)
Зокрема, якщо ψ1(t) = e−t ∈ M∞, то для будь-яких t ≥ 1, r > 0 маємо
ψ1(t) ≤ t−r; як що ψ2(t) =
1
ln t
∈ M0, то для будь-яких t ≥ 1, r > 0 ψ2(t) ≥ t−r;
якщо ж ψ3(t) = t−r, r > 0, то для довiльного t ≥ 1 та r1, r2 > 0 таких, що
r2 < r < r1, t
−r1 ≤ ψ3(t) ≤ t−r2 . У зв’язку з цим природно виникає питання: чи
гарантують спiввiдношення вигляду (17) – (19) належнiсть функцiй ψ ∈ M до однiєї
iз множин M0, M∞ чи MC? Вiдповiдь на це питання дають наступнi твердження.
Теорема 2. Якою б не була монотонно незростаюча на промiжку t ≥ 1
функцiя f(t) така, що f(t) > 0 при t ≥ 1, i для якої lim
t→∞
f(t) = 0, знайдеться
функцiя ψ ∈ M така, що
ψ(t) < f(t) ∀t ≥ 1, (20)
i при цьому справджуються спiввiдношення lim
t→∞
µ(ψ; t) = 0 та lim
t→∞
µ(ψ; t) = ∞.
Це означає, що нерiвностi вигляду (18) не гарантують функцiям ψ ∈ M належ-
ностi анi до множини M∞, анi до множини M0. Звiдси, зокрема, випливає, що
множина M \ (M∞ ∪M0) не є порожньою.
Доведення. Нехай y = f(t) — довiльна функцiя, що задовольняє умови тверд-
ження. Побудуємо функцiю ψ(t) таким чином. Нехай {ni}∞i=1 — послiдовнiсть
додатних чисел така, що при непарних значеннях i, i = 2k − 1, k = 1, 2, . . . ,
ni = 1 + 1/k, а при парних i ni — довiльнi числа, якi монотонно i необмежено
зростають. Через a1 позначимо деяке число з промiжку t > 1 i при деякому
ξ > 0 розглянемо функцiю y1(ξ, t), графiком якої є пряма l(1)ξ , що проходить через
точки (a1, 2ξ) i (n1a1, ξ). Позначимо через ξ1, ξ1 > 0, таке значення ξ, при якому
справджується нерiвнiсть
y1(ξ1, t) ≤ f(t), t > 1.
При довiльному значеннi ξ лiнiя l(1)ξ перетинає вiсь Ot в точцi (2n1 − 1)a1, тому
таке значення ξ1 завжди знайдеться.
Далi, покладемо (2n1 − 1)a1 = a2 i при ξ > 0 розглянемо функцiю y2(ξ, t),
графiком якої є лiнiя l(2)ξ , що проходить через точки (a2, 2ξ) i (n2a2, ξ). Через ξ2
позначимо число, для якого
y2(ξ2, t) ≤ f(t), t > 1,
i, окрiм того, лiнiї l(1)ξ1
та l
(2)
ξ2
перетинаються в деякiй точцi b1, що лежить на
промiжку [n1a1, (2n1−1)a1). Таке число ξ2 знайдеться, бо лiнiя l(2)ξ перетинає вiсь
Ot в точцi (2n2 − 1)a2, що не залежить вiд ξ.
Покладемо (2n2 − 1)a2 = a3 i продовжимо процес побудови функцiй yi(ξi, t),
i = 3, 4, . . . . При цьому k-й, k ≥ 3, крок полягає в наступному. Покладемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
928 О. I. СТЕПАНЕЦЬ, А. Л. ШИДЛIЧ
ak = (2nk−1 − 1)ak−1, розглянемо функцiю yk(ξ, t), графiком якої є пряма l(k)
ξ , що
проходить через точки (ak, 2ξ) i (nkak, ξ), знайдемо значення ξk, для якого
yk(ξk, t) ≤ f(t), t > 1, (21)
i, окрiм того, лiнiї l(k−1)
ξk−1
та l(k)
ξk
перетинаються в деякiй точцi bk−1 з промiжку
[nk−1ak−1, (2nk−1 − 1)ak−1).
В результатi буде побудовано:
1) послiдовнiсть точок ak таких, що
ak = (2nk−1 − 1)ak−1, k = 2, 3, . . . ;
2) послiдовнiсть точок bk, для яких
nkak ≤ bk < (2nk − 1)ak, k = 1, 2, . . . ;
3) послiдовнiсть лiнiйних функцiй yk(ξk, t), k = 1, 2, . . . , для яких справд-
жується спiввiдношення (21) i лiнiї l(k−1)
ξk−1
та l(k)
ξk
перетинаються в точках bk.
Пiсля цього покладемо
ψ(t) = yk(ξk, t), t ∈ [bk−1, bk], k = 1, 2, . . . , b0
df=1.
Графiком функцiї ψ(t) є ламана лiнiя з вузлами в точках bk, яка за побудовою є опук-
лою донизу при всiх t > 1 i lim
t→∞
ψ(t) = 0. Тобто ψ ∈ M i для неї справджується
оцiнка (20). Водночас на кожному промiжку [ak, nkak] функцiя ψ(t) зменшується
вдвiчi. Тому η(ψ, ak) = nkak i, отже,
η(ψ, ak)− ak
ak
= nk − 1. Звiдси на пiдставi
того, що
η(ψ, a2k−1)− a2k−1
a2k−1
=
1
k
, a
η(ψ, a2k)− a2k
a2k
= n2k − 1,
отримуємо потрiбнi спiввiдношення:
lim
t→∞
µ(ψ; t) = lim
k→∞
η(ψ, a2k−1)− a2k−1
a2k−1
= lim
k→∞
1
k
= 0
i
lim
t→∞
µ(ψ; t) = lim
k→∞
η(ψ, a2k)− a2k
a2k
= lim
k→∞
(n2k − 1) = ∞.
Наступне твердження показує, що нерiвностi вигляду (17) також не гарантують
функцiям ψ ∈ M належностi до множини M0.
Теорема 3. Якою б не була незростаюча при t ≥ 1 функцiя f(t) така, що
f(t) > 0 при t ≥ 1, i для якої lim
t→∞
f(t) = 0, знайдеться функцiя ψ ∈ M така, що
f(t) < ψ(t) ∀t ≥ 1 (22)
i при цьому величина µ(ψ; t) є необмеженою.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
ПРО ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ОПУКЛИХ ФУНКЦIЙ 929
Доведення. Не втрачаючи загальностi, будемо вважати, що f(t) < 1. Промiжок
y ∈ (0, 1] розiб’ємо точками yk =
1
2k
, k = 0, 1, . . . , i через tk позначимо точки,
для яких f(tk) = yk. У випадку, коли при деякому k таких точок є багато, через tk
позначимо найбiльшу з них, тобто
tk = max{t : y(t) = yk}, k = 0, 1, . . . .
Таким чином, будемо мати
f(t) < yk, t > tk, k = 0, 1, . . . .
Передусiм на промiжку [1, t1] функцiю ψ означимо так, щоб її графiком була
лiнiя l0, яка з’єднує (1, 2) та (t1, 1). При цьому менший iз кутiв, пiд якими l0
перетинає пряму y = 1, позначимо через α0. Лiнiя l0 перетинає графiк функцiї f(t)
в деякiй точцi t̄0 > t1.
Далi, для побудови функцiї ψ застосуємо процедуру, на першому кроцi якої
вiзьмемо довiльне число ξ > max
{
t2, t̄0
}
i розглянемо лiнiю l(ξ) = l(ξ; t), що
з’єднує точки
(
ξ,
1
21
)
та
(
ξ +
√
ξ,
1
22
)
. Менший iз кутiв, пiд якими l(ξ) перетинає
пряму y =
1
22
, позначимо через α2. Тодi
tgα2 =
1
22
√
ξ
,
i тому кут α2 неперервно зменшується з ростом ξ. Звiдси випливає, що знайдеться
значення ξ = t′2, t
′
2 > max
{
t2, t̄0
}
, таке, що точка перетину t′1 прямих l0 та l(ξ)
буде лежати справа вiд точки t1, тобто t′1 > t1. Лiнiю l(ξ) при ξ = t′2 позначимо
через l2. Тодi функцiю ψ(t) на промiжку
[
t1, t
′
2 +
√
t′2
]
означимо так, щоб її графiк
при t ∈
[
t′2, t
′
2 +
√
t′2
]
збiгався з лiнiєю l2, а на промiжку [t1, t′2) — з лiнiєю l1, яка
сполучає точки (t1, 1) та
(
t′2,
1
21
)
.
Таким чином, функцiю ψ(t) буде означено при всiх t ∈
[
1, t′2 +
√
t′2
]
. Вона є
опуклою i задовольняє спiввiдношення (22).
На другому кроцi вiзьмемо довiльне число ξ > max
{
t4, t̄2
}
, де t̄2 — точка
перетину прямої l2 iз графiком функцiї f(t). Розглянемо лiнiю l(ξ) = l(ξ; t), що
з’єднує точки
(
ξ,
1
23
)
та
(
ξ +
√
ξ,
1
24
)
. Менший iз кутiв, пiд якими l(ξ) перетинає
пряму y =
1
24
, позначимо через αk. Тодi
tgα4 =
1
24
√
ξ
,
i кут α4 знову неперервно зменшується з ростом ξ. Тому знайдеться значення
ξ = t′4, t
′
4 > max
{
t4, t̄2
}
, таке, що точка перетину t′3 прямих l2 та l(ξ) буде
лежати справа вiд точки t′2 +
√
t′2, тобто t′3 > t′2 +
√
t′2. Лiнiю l(ξ) при ξ = t′4
позначимо через l4. Тодi функцiю ψ(t) на промiжку
[
t′2 +
√
t′2, t
′
4 +
√
t′4
]
означимо
так, щоб її графiк при t ∈
[
t′4, t
′
4 +
√
t′4
]
збiгався з лiнiєю l4, а на промiжку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
930 О. I. СТЕПАНЕЦЬ, А. Л. ШИДЛIЧ
[
t′2 +
√
t′2, t
′
4
)
— з лiнiєю l3, яка сполучає точки
(
t′2 +
√
t′2,
1
22
)
та
(
t′4,
1
23
)
.
Тим самим функцiю ψ(t) означено при всiх t ∈
[
1, t′4 +
√
t′4
]
. Вона є опуклою i
задовольняє спiввiдношення (22).
Продовжуючи цей процес далi, на деякому, наприклад k-му, кроцi вiзьмемо
довiльне число ξ > max
{
t2k, t̄2k−2
}
, де t̄2k−2 — точка перетину прямої l2k−2 iз
графiком функцiї f(t). Розглянемо лiнiю l(ξ) = l(ξ; t),що з’єднує точки
(
ξ,
1
22k−1
)
та
(
ξ +
√
ξ,
1
22k
)
. Менший iз кутiв, пiд якими l(ξ) перетинає пряму y =
1
22k
,
позначимо через α2k. Тодi
tgα2k =
1
22k
√
ξ
,
i кут α2k неперервно зменшується з ростом ξ. Тому знайдеться значення ξ = t′2k,
t′2k > max
{
t2k, t̄2k−2
}
, таке, що точка перетину t′2k−1 прямих l2k−2 та l(ξ) буде
лежати справа вiд точки t′2k−2 +
√
t′2k−2, тобто t′2k−1 > t′2k−2 +
√
t′2k−2. Лiнiю
l(ξ) при ξ = t′2k позначимо через l2k. Тодi функцiю ψ(t) на промiжку
[
t′2k−2 +
+
√
t′2k−2, t
′
2k +
√
t′2k
]
означимо так, щоб її графiк при t ∈
[
t′2k, t
′
2k +
√
t′2k
]
збiгався з лiнiєю l2k, а на промiжку
[
t′2k−2 +
√
t′2k−2, t
′
2k
)
— з лiнiєю l2k−1, яка
сполучає точки
(
t′2k−2 +
√
t′2k−2,
1
22k−2
)
та
(
t′2k,
1
22k−1
)
. Тим самим функцiю
ψ(t) означено при всiх t ∈
[
1, t′2k +
√
t′2k
]
. Вона є опуклою i задовольняє спiввiд-
ношення (22).
В результатi такого процесу буде побудовано функцiю ψ(t), графiком якої є
ламана лiнiя з вузлами в точках (1, 2), (t1, 1),
(
t′2k,
1
22k−1
)
та
(
t′2k +
√
t′2k,
1
22k
)
,
k = 1, 2, . . . . Ця функцiя за побудовою є опуклою донизу при всiх t > 1 i
lim
t→∞
ψ(t) = 0. Тобто ψ ∈ M i для неї справджується оцiнка (22). Водночас на
кожному iз промiжкiв
(
t′2k, t
′
2k +
√
t′2k
)
, k = 1, 2, . . . , функцiя ψ(t) зменшується
вдвiчi. Тому η(ψ, t′2k) = t′2k +
√
t′2k i, отже,
t′2k
η(ψ, t′2k)− t′2k
=
√
t′2k −→∞ при k →∞.
Таким чином, теореми 2 i 3, зокрема, показують, що нерiвностi вигляду (17) та
(18), взагалi кажучи, не гарантують функцiї ψ ∈ M належностi до множин M∞ та
M0 вiдповiдно.
Розглянемо тепер випадок, коли для даної функцiї ψ(t) ∈ M виконується спiв-
вiдношення
ψ1(t) ≤ ψ(t) ≤ ψ2(t) ∀t ≥ 1, (23)
де ψ1, ψ2 — деякi функцiї з множини M.Позначимо через ψ−1
1 (ξ) та ψ−1
2 (ξ) функцiї,
оберненi вiдповiдно до функцiй ψ1 та ψ2. Внаслiдок строгої монотонностi функцiй
ψ1 та ψ2 цi функцiї визначаються однозначно для довiльного ξ ∈ (0, ψ1(1)].
У прийнятих позначеннях справедливим є наступне твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
ПРО ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ОПУКЛИХ ФУНКЦIЙ 931
Теорема 4. Нехай ψ1 ∈ M, а ψ2 — довiльна неперервна спадна на промiжку
[1,∞) функцiя така, що при кожному t ≥ 1 виконується нерiвнiсть ψ2(t) ≥ ψ1(t), i
lim
ξ→0
ψ−1
2 (ξ)− ψ−1
1 (ξ)
ψ−1
1 (ξ)
= ∞. (24)
Тодi iснує функцiя ψ ∈ M, для якої виконується спiввiдношення (23), i при цьому
величина 1/µ(ψ; t) не є обмеженою.
Доведення. Нехай функцiї ψ1 та ψ2 задовольняють умови даного твердження.
Тодi внаслiдок (24) iснує монотонно спадна до нуля послiдовнiсть чисел {ξk}∞k=1
така, що
lim
k→∞
t′k − tk
tk
= ∞, tk = ψ−1
1 (ξk), t′k = ψ−1
2 (ξk). (25)
Шукану функцiю ψ можна будувати, наприклад, таким чином.
Насамперед розглянемо функцiю y1(ξ1, t), графiком якої є пряма l1, що прохо-
дить через точки (t1; ξ1) та
(
t′1;ψ1(t′1)
)
. Тодi для будь-якого t ∈ (t1, t′1) будемо
мати
ψ1(t) ≤ y1(ξ1, t) ≤ ψ2(t).
На наступному кроцi позначимо через ξi2 , i2 ≥ 2, найближчий злiва вiд точки
ψ1(t′1) елемент послiдовностi {ξk}∞k=1. Послiдовнiсть {ξk}∞k=1 монотонно спадає
до нуля, тому таке значення завжди знайдеться.
Розглянемо функцiю y2(ξi2 , t), графiком якої є пряма l2, що проходить через
точки (ti2 ; ξi2) та
(
t′i2 ;ψ1(t′i2)
)
. Тодi для будь-якого t ∈ (ti2 , t
′
i2) знову будемо
мати
ψ1(t) ≤ y2(ξi2 , t) ≤ ψ2(t).
Далi, позначимо через ξi3 , i3 > i2, найближчий злiва вiд точки ψ1(t′i2) елемент
послiдовностi {ξk}∞k=1 i продовжимо процес побудови функцiй yk(ξk, t) при k =
= 3, 4, . . . . При цьому k-й крок буде полягати в наступному. Позначимо через ξik
,
ik > ik−1, найближчий злiва вiд точки ψ1(t′ik−1) елемент послiдовностi {ξk}∞k=1.
Розглянемо функцiю yk(ξik
, t), графiком якої є пряма lk, що проходить через точки
(tik
; ξik
) та
(
t′ik
;ψ1(t′ik
)
)
. Тодi, аналогiчно, для будь-якого t ∈ (tik
, t′ik
)
ψ1(t) ≤ yk(ξik
, t) ≤ ψ2(t). (26)
Таким чином буде побудовано послiдовнiсть лiнiйних функцiй yk(ξik
, t), k =
= 1, 2, . . . , i1
df=1, для яких при кожному t ∈ (tik
, t′ik
) буде справджуватись спiв-
вiдношення (26).
Пiсля цього покладемо
ψ(t) =
ψ1(t), t ∈ [t′ik
, tik+1), k = 0, 1, . . . ., t′i0
df=1,
yk(ξik
, t), t ∈ [tik
, t′ik
), k = 1, 2, . . . .
За побудовою дана функцiя ψ(t) є опуклою донизу при всiх t > 1 i lim
t→∞
ψ(t) = 0.
Тобто ψ ∈ M i для неї на пiдставi (26) справджується оцiнка (23). Водночас якщо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
932 О. I. СТЕПАНЕЦЬ, А. Л. ШИДЛIЧ
позначити через αk гострi кути мiж прямими lk i y = ξik
/2, то будемо мати
tgαk =
ψ1(tik
)− ψ1(t′ik
)
t′ik
− tik
i
1
µ(ψ, tik
)
=
η(ψ, tik
)− tik
tik
=
ψ1(tik
)
2tik
tgαk
=
=
1
2
t′ik
− tik
tik
ψ1(tik
)
ψ1(tik
)− ψ1(t′ik
)
≥ 1
2
t′ik
− tik
tik
.
Звiдси з огляду на (25) робимо висновок, що величина 1/µ(ψ, t) не є обмеженою,
що i потрiбно було довести.
На пiдставi твердження B для довiльної функцiї ψ ∈ MC виконується спiввiд-
ношення (19). Однак iз теореми 4 випливає, що умова (19) не гарантує належностi
функцiї ψ ∈ M навiть до множини M∞.
Дiйсно, якщо покласти для будь-якого t ≥ 1 ψ1(t) = t−r1 , а ψ2(t) = t−r2 , де
r1 > r2 > 0, то для будь-якого ξ ∈ (0, 1) будемо мати
ψ−1
2 (ξ)− ψ−1
1 (ξ)
ψ−1
1 (ξ)
=
ξ−
1
r2 − ξ−
1
r1
ξ−
1
r1
= ξ
1
r1
− 1
r2 − 1 −→∞ при ξ → 0.
Отже, iснує функцiя ψ ∈ M, для якої при всiх t ≥ 1 справджується нерiвнiсть
t−r1 ≤ ψ(t) ≤ t−r2 ,
яка, однак, не належить множинi M∞.
Разом з тим у випадку, коли
lim
ξ→0
ψ−1
2 (ξ)− ψ−1
1 (ξ)
ψ−1
1 (ξ)
<∞,
умова (23) вже забезпечує належнiсть функцiї ψ до множини M∞.
Теорема 5. Нехай ψ2 ∈ M∞, а ψ1 — довiльна неперервна додатна спадна
на промiжку [1,∞) функцiя така, що ψ1(t) ≤ ψ2(t) ∀t ≥ 1, i при будь-якому
ξ ∈ (0, ψ1(1))
ψ−1
2 (ξ)− ψ−1
1 (ξ)
ψ−1
1 (ξ)
≤ K1, (27)
де K1 — деяка додатна стала, що не залежить вiд параметра ξ. Тодi кожна
функцiя ψ ∈ M, яка задовольняє спiввiдношення (23), належить множинi M∞.
Доведення. Вiзьмемо довiльну функцiю ψ ∈ M, яка задовольняє спiввiдно-
шення (23), i при будь-якому t ≥ 1 покладемо ξ = ψ(t). Для даного ξ через tξ та
t ′ξ позначимо значення параметра t такi, що ψ−1
1 (ξ) = tξ i ψ−1
2 (ξ) = t ′ξ. Тодi на
пiдставi (23) маємо
tξ ≤ t ≤ t′ξ i η(ψ1; tξ) ≤ η(ψ; t) ≤ η(ψ2; t′ξ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
ПРО ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ОПУКЛИХ ФУНКЦIЙ 933
Звiдси випливає, що η(ψ; t) − t ≤ η(ψ2; t′ξ) − tξ. Тому внаслiдок (27) та того, що
ψ2 ∈ M∞, отримуємо
1
µ(ψ; t)
=
η(ψ; t)− t
t
≤
η(ψ2; t′ξ)− tξ
tξ
=
η(ψ2; t′ξ)− t′ξ
tξ
+
t′ξ − tξ
tξ
=
=
η(ψ2; t′ξ)− t′ξ
t′ξ
ψ−1
2 (ξ)
ψ−1
1 (ξ)
+
ψ−1
2 (ξ)− ψ−1
1 (ξ)
ψ−1
1 (ξ)
≤
≤ (K1 + 1)
η(ψ2; t′ξ)− t′ξ
t′ξ
+K1 ≤ K, K = const.
Тобто величина 1/µ(t;ψ) обмежена на всьому промiжку [1,∞), i, отже, ψ ∈ M∞.
Наступне твердження дає достатнi умови виконання спiввiдношення (27).
Теорема 6. Нехай ψ1 ∈ M, a ψ2 — деяка неперервна додатна спадна до
нуля на промiжку [1,∞) функцiя така, що при кожному t ≥ 1 справджується
нерiвнiсть ψ1(t) ≤ ψ2(t). Тодi:
1) якщо ψ1 ∈ M∞ i виконується спiввiдношення
ψ2(t)− ψ1(t)
ψ1(t)
≤ K1 t ≥ 1, (28)
де K1 — деяка додатна стала, що не залежить вiд t, то iснує стала K2 така, що
при будь-якому ξ ∈ (0, ψ1(1)]
ψ−1
2 (ξ)− ψ−1
1 (ξ)
ψ−1
1 (ξ)
≤ K2; (29)
2) якщо ψ1 належить множинi M0, то iз спiввiдношення (29) випливає нерiв-
нiсть (28);
3) якщо ж функцiя ψ1 належить множинi MC , то умови (28) та (29) є рiвно-
сильними.
Доведення. Покажемо спочатку, що коли ψ1 ∈ M∞ i виконується спiввiдно-
шення (28), то справджується i нерiвнiсть (29). Припустимо, що це не так, i iснує
спадна послiдовнiсть чисел {ξi}∞i=1 така, що
lim
i→∞
t ′ξi
− tξi
tξi
= ∞, tξi = ψ−1
1 (ξi), t′ξi
= ψ−1
2 (ξi).
Для будь-якого ξ ∈ (0, ψ1(1)] та довiльного k ∈ N через t(k)
ξ позначимо таке
число, для якого виконується рiвнiсть ψ1
(
t
(k)
ξ
)
=
ξ
2k
, t
(0)
ξ
df= tξ. Тодi для довiльного
k ∈ N t
(k)
ξ = η
(
ψ1; t
(k−1)
ξ
)
.
Функцiя ψ1 належить множинi M∞, тому iснує стала C1 > 0 така, що при
будь-якому t ≥ 1
η(ψ1; t)− t
t
≤ C1.
Звiдси випливає, що для довiльних ξ ∈ (0, ψ1(1)] та k ∈ N
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
934 О. I. СТЕПАНЕЦЬ, А. Л. ШИДЛIЧ
η(ψ1; t
(k)
ξ )− tξ
tξ
=
η(ψ1; t
(k)
ξ )
t
(k)
ξ
η(ψ1; t
(k−1)
ξ )
t
(k−1)
ξ
. . .
η(ψ1; t
(0)
ξ )
tξ
− 1 ≤ (C1 + 1)k+1 − 1.
Зокрема, при ξ = ξi, i = 1, 2, . . . ,
η(ψ1; t
(k)
ξi
)− tξi
tξi
≤ (C1 + 1)k+1 − 1, k ∈ N.
Тому для будь-якого k ∈ N iснує номер ik такий, що при всiх i > ik виконується
нерiвнiсть
t ′ξi
− tξi
tξi
>
η(ψ1; t
(k)
ξi
)− tξi
tξi
, k ∈ N.
Це означає, що t′ξi
> η(ψ1; t
(k)
ξi
), i тому справджуються наступнi спiввiдношення:
ψ1(t′ξi
) < ξi/2k i ψ2(t′ξi
)− ψ1(t′ξi
) > ψ1(tξi
)− ψ1
(
η(ψ1; t
(k)
ξi
)
)
= ξi
(
1− 1
2k+1
)
.
Звiдси
ψ2(t′ξi
)− ψ1(t′ξi
)
ψ1(t′ξi
)
>
ξi(1− 1/2k+1)
ξi/2k+1
= 2k+1 − 1.
Таким чином, внаслiдок довiльностi k отримуємо суперечнiсть iз нерiвнiстю (28).
Отже, припущення є хибним i виконується нерiвнiсть (29).
Покажемо тепер, що коли ψ1 ∈ M0, то iз нерiвностi (29) випливає нерiвнiсть
(28). Знову застосуємо метод вiд супротивного i припустимо, що iснує зростаюча
послiдовнiсть чисел {tn}∞n=1 така, що величина
ψ2(tn)− ψ1(tn)
ψ1(tn)
монотонно прямує
до нескiнченностi при n → ∞. Вiзьмемо довiльне число k ∈ N i покладемо для
будь-якого n = 1, 2, . . .
ξ(k)
n = 2kψ1(tn).
Оскiльки ψ1(t) → 0 при t→∞, то при досить великих n справджується нерiвнiсть
ξ
(k)
n < ψ1(1), i тому знайдеться точка t
ξ
(k)
n
така, що ψ1(tξ(k)
n
) = ξ
(k)
n , t
ξ
(0)
n
df= tn.
На пiдставi припущення величина
ψ2(tn)− ψ1(tn)
ψ1(tn)
монотонно прямує до не-
скiнченностi при n→∞. Тому починаючи з деякого номера nk матимемо
ψ2(tn)− ψ1(tn)
ψ1(tn)
=
ψ2(tn)− ψ1(tn)
ξ
(k)
n /2k
> 2k − 1.
Звiдси випливає, що
ψ2(tn)− ψ1(tn) > ξ(k)
n
(
1− 1
2k
)
= ψ1(tξ(k)
n
)− ψ1(tn),
а це означає, що ψ2(tn) > ψ1(tξ(k)
n
) i t′
ξ
(k)
n
> tn, де t′
ξ
(k)
n
= ψ−1
2
(
ξ
(k)
n
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
ПРО ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ОПУКЛИХ ФУНКЦIЙ 935
Функцiя ψ1 належить множинi M0, i тому iснує стала C2 > 0 така, що при
будь-якому t ≥ 1
η(ψ1; t)− t
t
≥ C2.
Звiдси внаслiдок того, що t
ξ
(k−1)
n
= η(ψ1; tξ(k)
n
), k = 0, 1, 2, . . . , отримуємо
tn − t
ξ
(k)
n
t
ξ
(k)
n
=
η(ψ1; tξ(1)
n
)
t
ξ
(1)
n
η(ψ1; tξ(2)
n
)
t
ξ
(2)
n
η(ψ1; tξ(3)
n
)
t
ξ
(3)
n
. . .
η(ψ1; tξ(k)
n
)
t
ξ
(k)
n
− 1 > (C2 + 1)k − 1.
Тодi для будь-яких n > nk
ψ−1
2 (ξ(k)
n )− ψ−1
1 (ξ(k)
n )
ψ−1
1 (ξ(k)
n )
=
t′
ξ
(k)
n
− t
ξ
(k)
n
t
ξ
(k)
n
>
tn − t
ξ
(k)
n
t
ξ
(k)
n
> (C2 + 1)k − 1.
Тобто отримали спiввiдношення, яке внаслiдок довiльностi k суперечить умовi (29).
Тому i в цьому разi припущення є хибним i виконується спiввiдношення (28).
Оскiльки MC = M0 ∩M∞, то твердження пункту 3 даної теореми випливає iз
щойно доведених перших двох пунктiв.
Зауваження 1. Iснують функцiї ψ1, ψ2 ∈ M+
∞, для яких справджується спiв-
вiдношення (29), однак не справджується спiввiдношення (28).
Дiйсно, покладемо ψ1(t) = e−t2−t, ψ2(t) = e−t2 . Тодi будемо мати
ψ2(t)− ψ1(t)
ψ1(t)
=
e−t2
e−t2−t
− 1 = et − 1 −→
t→∞
∞,
однак
ψ−1
2 (ξ)− ψ−1
1 (ξ)
ψ−1
1 (ξ)
=
√
ln(1/ξ)
(
√
1− 4 ln ξ − 1)/2
−1 =
2√
4− 1
ln(1/ξ)
− 1√
ln(1/ξ)
−1−→
ξ→0
0.
Зауваження 2. Iснують функцiї ψ1, ψ2 ∈ M+
0 , для яких справджується спiв-
вiдношення (28), однак не справджується спiввiдношення (29).
Дiйсно, покладемо ψ1(t) =
1
ln t+
√
ln t
, ψ2(t) =
1
ln t
. Тодi
ψ2(t)− ψ1(t)
ψ1(t)
=
1
ln t
− 1
ln t+
√
ln t
1
ln t+
√
ln t
=
1√
ln t
−→
t→∞
0,
проте
ψ−1
2 (ξ)− ψ−1
1 (ξ)
ψ−1
1 (ξ)
=
e
1
ξ
e
ξ+2−
√
ξ2+4ξ
2ξ
− 1 = e
√
ξ2+4ξ−ξ
2ξ −→
ξ→0
∞.
Iз теорем 5 та 6 випливає наступний наслiдок.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
936 О. I. СТЕПАНЕЦЬ, А. Л. ШИДЛIЧ
Наслiдок 4. Нехай функцiї ψ1, ψ2 ∈ M∞ такi, що для будь-якого t ≥ 1
справджуються нерiвностi ψ1(t) ≤ ψ2(t) i
ψ2(t)− ψ1(t)
ψ1(t)
≤ K,
де K — деяка додатна стала. Тодi довiльна функцiя ψ ∈ M, що задовольняє
спiввiдношення
ψ1(t) ≤ ψ(t) ≤ ψ2(t) ∀t ≥ 1,
належить множинi M∞.
Наступне твердження встановлює зв’язок мiж поведiнкою вiдношення двох
функцiй ψ1, ψ2 ∈ M i поведiнкою вiдношення величин η(ψ1; t) та η(ψ2; t).
Теорема 7. Якщо ψ1 ∈ M∞, а функцiя ψ2 ∈ M така, що
lim
t→∞
ψ1(t)
ψ2(t)
= K, K ∈ (0,∞), (30)
то справджується спiввiдношення
lim
t→∞
η1(t)
η2(t)
= 1, η1(t) = η(ψ1; t), η2(t) = η(ψ2; t), (31)
i ψ2 ∈ M∞. Якщо ж в умовi даного твердження функцiя ψ1 належить множинi
MC , то функцiя ψ2 також буде належати множинi MC .
Разом з тим iснують функцiї ψ1, ψ2 ∈ M+
0 , для яких виконується умова (30) i
не виконується спiввiдношення (31).
Доведення. Якщо виконується (30), то
ψ1(t) = ψ2(t)(K + ε(t)), (32)
де ε(t) → 0 при t→∞. Тому для довiльного t > 1
ψ1(η2(t)) = ψ2(η2(t))(K + ε(η2(t))) =
ψ2(t)
2
(
K + ε(η2(t))
)
=
=
ψ1(t)
2
K + ε(η2(t))
K + ε(t)
= ψ1(η1(t))
K + ε(η2(t))
K + ε(t)
. (33)
Оскiльки завжди η2(t) > t, то величина
r(t) =
K + ε(η2(t))
K + ε(t)
прямує до одиницi при t→∞, тому на пiдставi (33) маємо
ψ1(η2(t))
ψ1(η1(t))
− 1 = γ(t), lim
t→∞
γ(t) = 0. (34)
Звiдси
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
ПРО ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ОПУКЛИХ ФУНКЦIЙ 937
|γ(t)| =
∣∣ψ1(η2(t))− ψ1(η1(t))
∣∣
ψ1(η1(t))
=
∣∣∣∣∣
∫ η2(t)
η1(t)
ψ1
′(ξ)dξ
∣∣∣∣∣
ψ1(η1(t))
. (35)
Якщо в данiй точцi t η1(t) ≥ η2(t), то внаслiдок (35)
|γ(t)| ≥
|ψ′1(η1(t))|η1(t)
(
1− η2(t)
η1(t)
)
ψ1(η1(t))
. (36)
Функцiя ψ1 належить множинi M∞, тому згiдно з твердженням A знайдеться число
K1 таке, що при довiльному x ≥ 1
x|ψ′1(x)|
ψ1(x)
≥ K1.
Тодi внаслiдок (36) матимемо
∣∣γ(t)∣∣ ≥ K1
(
1− η2(t)
η1(t)
)
. (37)
Якщо ж в точцi t η1(t) < η2(t), то згiдно з (35)
∣∣γ(t)∣∣ ≥ 2
∣∣ψ′1(η2(t))∣∣ η2(t)(1− η1(t)
η2(t)
)
ψ1(t)
.
На пiдставi (32) маємо
ψ1(t)
2
=
ψ2(t)
2
(
K + ε(t)
)
= ψ2(η2(t))
(
K + ε(t)
)
= ψ1(η2(t))
K + ε(t)
K + ε(η2(t))
.
Тому при досить великих t та x = η2(t)∣∣γ(t)∣∣ ≥ x|ψ′1(x)|
ψ1(x)
(
1− η1(t)
η2(t)
)
K + ε(η2(t))
K + ε(t)
≥ K2
(
1− η1(t)
η2(t)
)
, (38)
де K2 — деяка додатна стала.
Згiдно з (34) lim
t→∞
γ(t) = 0. Тому iз (37) та (38) одержуємо (31).
Включення ψ2 ∈ M∞ отримуємо iз наступного твердження, яке легко випливає
iз означення поняття границi функцiї та спiввiдношень (1) – (3):
якщо для функцiй ψ1 ∈ M та ψ2 ∈ M виконується спiввiдношення
lim
t→∞
η1(t)
η2(t)
= 1, η1(t) = η(ψ1; t), η2(t) = η(ψ2; t),
то властивостi цих функцiй збiгаються в тому сенсi, що якщо одна з цих функцiй
належить множинi M0, M∞ або MC , то й iнша функцiя належить цiй самiй
множинi.
Зрозумiло, що якщо в умовi теореми 7 функцiя ψ1 належить множинi MC , то
аналогiчно випливає, що i функцiя ψ2 належить MC .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
938 О. I. СТЕПАНЕЦЬ, А. Л. ШИДЛIЧ
Для завершення доведення теореми достатньо вказати пару функцiй iз множини
M+
0 , для яких виконується умова (30) i не виконується спiввiдношення (31).
Роль таких функцiй, зокрема, можуть вiдiгравати функцiї ψ1(t) =
1
ln t+
√
ln t
та ψ2(t) =
1
ln t
. Для цих функцiй
η1(t) = exp
(
1
2
+ 2 ln t+ 2
√
ln t− 1
2
√
1 + 8(ln t+
√
ln t)
)
, η2(t) = exp(2 ln t).
Тому
lim
t→∞
η1(t)
η2(t)
= lim
t→∞
exp
(
1
2
+ 2 ln t+ 2
√
ln t− 1
2
√
1 + 8(ln t+
√
ln t)
)
exp(2 ln t)
=
= lim
t→∞
exp
(
1
2
+ 2
√
ln t−
√
1
4
+ 2 ln t+ 2
√
ln t
)
= ∞,
однак
lim
t→∞
ψ1(t)
ψ2(t)
= lim
t→∞
ln t
ln t+
√
ln t
= 1.
Зауваження 3. Iснують функцiї ψ1, ψ2 ∈ M+
∞, для яких справджується спiв-
вiдношення (31), однак не справджується спiввiдношення (30).
Дiйсно, покладемо при всiх t ≥ 1 ψ1(t) = e−t2−t, ψ2(t) = e−t2 . Тодi будемо
мати
η1(t) =
1
2
√
1− 4 ln
1
2
+ 4t2 + 4t− 1
2
, η2(t) =
√
t2 − ln
1
2
.
Тому
lim
t→∞
η1(t)
η2(t)
= lim
t→∞
√
1− 4 ln
1
2
+ 4t2 + 4t− 1
2
√
t2 − ln
1
2
= 1,
проте
lim
t→∞
ψ1(t)
ψ2(t)
= lim
t→∞
e−t2−t
e−t2
= 0.
Зазначимо, що зв’язок мiж розбиттям множини M на множини M0, M∞ та
MC i розбиттям множини M з урахуванням вiдомих умов Барi – Стєчкiна вивчався
у роботi [4].
1. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка,
1987. – 268 с.
2. Степанец А. И. Несколько утверждений для выпуклых функций // Укр. мат. журн. – 1999. –
51, № 5. – C. 688 – 702.
3. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iн-ту математики НАН України.
– 2002. – 40, ч. II. – C. 159 – 176.
4. Тихонов С. Ю. Об эквивалентности некоторых условий для выпуклых функций // Укр. мат.
журн. – 2005. – 57, № 3. – C. 427 – 431.
Одержано 03.07.2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-3357 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:41:04Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/60/8a092bdd6d7fa900b75b13502c217b60.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33572020-03-18T19:52:14Z On some properties of convex functions Про деякі властивості опуклих функцій Stepanets, O. I. Shydlich, A. L. Степанець, О. І. Шидліч, А. Л. We obtain some new results for convex-downward functions vanishing at infinity. Установлен ряд новых результатов для выпуклых вниз функций, исчезающих на бесконечности. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3357 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 7 (2007); 920–938 Український математичний журнал; Том 59 № 7 (2007); 920–938 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3357/3458 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3357/3459 Copyright (c) 2007 Stepanets O. I.; Shydlich A. L. |
| spellingShingle | Stepanets, O. I. Shydlich, A. L. Степанець, О. І. Шидліч, А. Л. On some properties of convex functions |
| title | On some properties of convex functions |
| title_alt | Про деякі властивості опуклих функцій |
| title_full | On some properties of convex functions |
| title_fullStr | On some properties of convex functions |
| title_full_unstemmed | On some properties of convex functions |
| title_short | On some properties of convex functions |
| title_sort | on some properties of convex functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3357 |
| work_keys_str_mv | AT stepanetsoi onsomepropertiesofconvexfunctions AT shydlichal onsomepropertiesofconvexfunctions AT stepanecʹoí onsomepropertiesofconvexfunctions AT šidlíčal onsomepropertiesofconvexfunctions AT stepanetsoi prodeâkívlastivostíopuklihfunkcíj AT shydlichal prodeâkívlastivostíopuklihfunkcíj AT stepanecʹoí prodeâkívlastivostíopuklihfunkcíj AT šidlíčal prodeâkívlastivostíopuklihfunkcíj |