Approximation of (ψ, β)-differentiable functions by Weierstrass integrals
Asymptotic equalities are obtained for upper bounds of approximations of functions from the classes $C^{\psi}_{\beta \infty}$ and $L^{\psi}_{\beta 1}$ by the Weierstrass integrals.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3359 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509436733292544 |
|---|---|
| author | Kalchuk, I. V. Kharkevych, Yu. I. Кальчук, І. В. Харкевич, Ю. І. |
| author_facet | Kalchuk, I. V. Kharkevych, Yu. I. Кальчук, І. В. Харкевич, Ю. І. |
| author_sort | Kalchuk, I. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:52:14Z |
| description | Asymptotic equalities are obtained for upper bounds of approximations of functions from the classes $C^{\psi}_{\beta \infty}$ and $L^{\psi}_{\beta 1}$ by the Weierstrass integrals. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:41:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Ю. I. Харкевич, I. В. Кальчук (Волин. ун-т, Луцьк)
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ
IНТЕГРАЛАМИ ВЕЙЄРШТРАССА
Asymptotic equalities are obtained for upper bounds of approximations of functions from the classes
Cψβ,∞ and Lψβ,1 by the Weierstrass integrals.
Получены асимптотические равенства для верхних граней приближений функций из классов Cψβ,∞
и Lψβ,1 интегралами Вейєрштрасса.
1. Основнi означення та допомiжнi твердження. Нехай C — простiр 2π-
перiодичних неперервних функцiй, у якому норма задається за допомогою рiвностi
‖f‖C = max
t
∣∣f(t)
∣∣; L∞ — простiр 2π-перiодичних вимiрних суттєво обмежених
функцiй iз нормою ‖f‖∞ = ess sup
t
∣∣f(t)
∣∣; L — простiр 2π-перiодичних сумовних
на перiодi функцiй, в якому норма задається рiвнiстю ‖f‖L = ‖f‖1 =
∫ π
−π
∣∣f(t)
∣∣dt.
У роботi О. I. Степанця [1] введено класи перiодичних функцiй таким чином.
Нехай f(x) ∈ L i
S[f ] =
a0
2
+
∞∑
k=1
(ak cos kx+ bk sin kx) (1)
— ряд Фур’є функцiї f .
Нехай, далi, ψ(k) — довiльна фiксована функцiя натурального аргументу i β —
фiксоване дiйсне число. Якщо ряд
∞∑
k=1
1
ψ (k)
(
ak cos
(
kx+
πβ
2
)
+ bk sin
(
kx+
πβ
2
))
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї ϕ, то цю функцiю називають (ψ, β)-похiдною
функцiї f(x) i позначають через fψβ (x). Множину усiх функцiй f(x), котрi задо-
вольняють таку умову, позначають через Lψβ . Пiдмножину неперервних функцiй iз
Lψβ позначають Cψβ . Якщо f(x) ∈ Lψβ i
∥∥∥fψβ (x)
∥∥∥
1
≤ 1, то кажуть, що f(x) належить
класу Lψβ,1; якщо ж f(x) ∈ Cψβ i
∥∥∥fψβ (x)
∥∥∥
∞
≤ 1, то f(x) належить класу Cψβ,∞.
При ψ(k) = k−r, r > 0, класи Cψβ,∞ збiгаються з класами W r
β , якi були введенi
Б. Надем [2], i fψβ (x) = f
(r)
β (x) — (r, β)-похiдна в розумiннi Вейля – Надя. Якщо,
крiм цього, β = r, r ∈ N, то fψβ є похiдною порядку r функцiї f, i при цьому класи
Cψβ,∞ є вiдомими класами Соболєва W r.
Наслiдуючи О. I. Степанця [1], множину всiх опуклих донизу послiдовностей
ψ(k), для яких lim
k→∞
ψ(k) = 0, позначатимемо через M. Не зменшуючи загальностi,
будемо вважати, що послiдовностi ψ(k) iз множини M є звуженнями на множинi
натуральних чисел деяких додатних неперервних опуклих донизу функцiй ψ(t)
c©Ю. I. ХАРКЕВИЧ, I. В. КАЛЬЧУК, 2007
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7 953
954 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, I. В. КАЛЬЧУК
неперервного аргументу t ≥ 1, що прямують до нуля на нескiнченностi. Множину
таких функцiй також будемо позначати через M. Отже, надалi
M =
{
ψ(t) : ψ(t) > 0, ψ(t1)− 2ψ
(
t1 + t2
2
)
+ ψ(t2) ≥ 0
∀t1, t2 ∈ [1,∞), lim
t→∞
ψ(t) = 0
}
,
а через M′ позначимо пiдмножину функцiй ψ(·) з M, що задовольняють умову
∞∫
1
ψ(t)
t
dt <∞. (2)
Далi, iз множини M видiлимо пiдмножину M0 за допомогою наступної харак-
теристики. Нехай ψ ∈ M i η(t) = η(ψ; t) — функцiя, пов’язана з ψ рiвнiстю η(t) =
= η (ψ; t) = ψ−1
(
1
2
ψ(t)
)
, де ψ−1 — функцiя, обернена до функцiї ψ. Покладемо
µ(t) = µ(ψ; t) =
t
η(t)− t
. Тодi
M0 = {ψ ∈ M : 0 < µ (ψ; t) ≤ K ∀t ≥ 1} ,
де K — константа, яка може залежати вiд ψ.
Нехай f (x) ∈ L. Величину
Wδ(f, x) =
a0
2
+
∞∑
k=1
e−
k2
δ (ak cos kx+ bk sin kx) , δ > 0, (3)
де ak, bk — коефiцiєнти Фур’є функцiї f, називають iнтегралом Вейєрштрасса (див.,
наприклад, [3, c. 150]).
Дану роботу присвячено вивченню асимптотичної поведiнки при δ →∞ вели-
чин
E
(
Cψβ,∞;Wδ
)
C
= sup
f∈Cψβ,∞
∥∥f(x)−Wδ(f, x)
∥∥
C
, (4)
E
(
Lψβ,1;Wδ
)
1
= sup
f∈Lψβ,1
∥∥f(x)−Wδ(f, x)
∥∥
1
. (5)
Якщо в явному виглядi знайдено функцiю ϕ(δ) = ϕ(N; δ) таку, що при δ →
→ ∞ E (N;Wδ)X = ϕ (δ) + o (ϕ (δ)) , то, наслiдуючи О. I. Степанця [1, c. 198],
будемо говорити, що розв’язано задачу Колмогорова – Нiкольського для класу N та
iнтеграла Вейєрштрасса в метрицi простору X .
Вiдмiтимо, що задача Колмогорова – Нiкольського для iнтегралiв Вейєрштрасса
на класах W r
β , W
r та iнших розглядалась в роботах Л. I. Баусова [4, 5], Я. С. Буг-
рова [6], В. А. Баскакова [7], Л. П. Фалалєєва [8].
Покладемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕГРАЛАМИ ВЕЙЄРШТРАССА 955
τ(u) = τδ(u, ψ) =
(
1− e−u
2
) ψ(1)
ψ(
√
δ)
, 0 ≤ u ≤ 1√
δ
,
(
1− e−u
2
) ψ (√δu)
ψ
(√
δ
) , u ≥ 1√
δ
,
(6)
де ψ(u) — функцiя, визначена i неперервна при всiх u ≥ 1. Не зменшуючи загаль-
ностi, будемо вважати, що функцiя ψ(u) має неперервну другу похiдну на [1;∞).
Домовимось у цiй роботi через K, Ki позначати сталi, взагалi кажучи, рiзнi.
Наведемо означення та допомiжнi твердження, що належать Л. I. Баусову [5] та
О. I. Степанцю [1], якi ми будемо використовувати в подальшому.
Означення [5]. Нехай функцiя τ(u) є заданою на [0,∞), абсолютно неперерв-
ною i τ(∞) = 0. Кажуть, що функцiя τ(u) належить Ea, якщо похiдну τ ′(u) в тих
точках, де вона не iснує, можна доозначити так, щоб для деякого a ≥ 0 iснували
iнтеграли
∫ a
2
0
u|dτ ′(u)|,
∫ ∞
a
2
|u− a||dτ ′(u)|.
Теорема 1′ [5, с. 24]. Нехай τ(u) ∈ Ea i sin
βπ
2
τ(0) = 0. Тодi для збiжностi
iнтеграла
A(τ) =
1
π
∞∫
−∞
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt (7)
необхiдно i достатньо, щоб збiгались iнтеграли
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣
∞∫
0
|τ(u)|
u
du,
a∫
0
|τ(a− u)− τ(a+ u)|
u
du.
При цьому справедливою є оцiнка∣∣∣∣∣∣A(τ)− 4
π2
∞∫
0
ξ
(
sin
βπ
2
τ(u), ju [τ(a− u)− τ(a+ u)]
)
du
u
∣∣∣∣∣∣ ≤ KH(τ),
де ξ(A,B) — функцiя, введена в роботi [9] таким чином:
ξ(A,B) =
π
2
|A|, |B| ≤ |A|,
|A| arcsin
∣∣∣∣AB
∣∣∣∣+√B2 −A2, |B| > |A|,
ju =
{
1, 0 < u < a,
0, u ≥ a,
H(τ) = |τ(0)|+ |τ(a)|+
a
2∫
0
u |dτ ′(u)|+
∞∫
a
2
|u− a| |dτ ′(u)| . (8)
Якщо
2
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣ ∫ ∞
0
|τ(u)|
u
du ≥ 4
π2
∫ a
0
|τ(a− u)− τ(a+ u)|
u
du, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
956 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, I. В. КАЛЬЧУК∣∣∣∣∣∣A(τ)− 2
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣
∞∫
0
|τ(u)|
u
du
∣∣∣∣∣∣ ≤ K
a∫
0
|τ(a− u)− τ(a+ u)|
u
du+H(τ)
; (9)
якщо ж
2
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣ ∫ ∞
0
|τ(u)|
u
du ≤ 4
π2
∫ a
0
|τ(a− u)− τ(a+ u)|
u
du, то
∣∣∣∣∣∣A(τ)− 4
π2
a∫
0
|τ(a− u)− τ(a+ u)|
u
du
∣∣∣∣∣∣ ≤ K
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣
∞∫
0
|τ(u)|
u
du+H(τ)
.
(10)
Теорема 2′ [1, с. 161]. Функцiя ψ ∈ M належить до M0 тодi i лише тодi,
коли величина
α(t) =
ψ(t)
t |ψ′(t)|
, ψ′(t) := ψ′(t+ 0) (11)
задовольняє умову α(t) ≥ K > 0 ∀t ≥ 1.
Теорема 3′ [1, с. 175]. Для того щоб функцiя ψ ∈ M належала до M0, необ-
хiдно i достатньо, щоб iснувала стала K така, щоб при всiх t ≥ 1 виконувалась
нерiвнiсть
ψ(t)
ψ(ct)
≤ K, де c — довiльна стала, що задовольняє умову c > 1.
2. Асимптотичнi оцiнки для верхнiх меж вiдхилень iнтегралiв Вейєрштрас-
са вiд функцiй iз класiв Cψβ,∞. Нам буде потрiбне наступне твердження, що є
аналогом леми 1 роботи [10].
Лема 1. Якщо для функцiї τ(u), що задана за допомогою спiввiдношення (6),
її перетворення τ̂β(t) вигляду
τ̂β(t) = τ̂(t, β) =
1
π
∞∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du (12)
є сумовним на всiй числовiй осi, то справджується рiвнiсть
E
(
Cψβ,∞;Wδ
)
C
= ψ(
√
δ)A(τ) +O
ψ (√δ) ∫
|t|≥
√
δ π
2
|τ̂β(t)| dt
, (13)
де величина A(τ) визначена рiвнiстю (7).
Теорема 1. Нехай ψ ∈ M
′
0 = M0 ∩ M′, функцiя g(u) = u2ψ(u) є опуклою
догори або донизу на [b;∞), b ≥ 1. Тодi при δ →∞ має мiсце рiвнiсть
E
(
Cψβ,∞;Wδ
)
C
= ψ(
√
δ)A(τ) +O
(
1
δ
+
ψ(
√
δ)√
δ
)
, (14)
де величина A(τ) означається за допомогою рiвностi (7) i для неї справедливою є
оцiнка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕГРАЛАМИ ВЕЙЄРШТРАССА 957
A(τ) =
2
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣
1
δψ(
√
δ)
√
δ∫
1
uψ(u)du+
1
ψ(
√
δ)
∞∫
√
δ
ψ(u)
u
du
+
+ O
(
1 +
1
δψ(
√
δ)
)
. (15)
Доведення. Перевiримо виконання умови леми 1. Для цього покажемо сумов-
нiсть перетворення функцiї τ(u) вигляду (12), тобто збiжнiсть iнтеграла (7). Згiдно
з теоремою 1′, знайдемо оцiнки наступних iнтегралiв:
1
2∫
0
u |dτ ′(u)| ,
∞∫
1
2
|u− 1| |dτ ′(u)| , (16)
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣
∞∫
0
|τ(u)|
u
du,
1∫
0
|τ(1− u)− τ(1 + u)|
u
du. (17)
Для оцiнки першого iнтеграла з (16) розiб’ємо промiжок
[
0;
1
2
]
на двi частини:[
0;
1√
δ
]
i
[
1√
δ
;
1
2
]
(при δ > 4b2).
Враховуючи, що τ ′′(u) ≥ 0 на
[
0;
1√
δ
]
, а також нерiвнiсть
e−u
2
≤ 1, u ∈ R, (18)
одержуємо
1√
δ∫
0
u |dτ ′(u)| = ψ(1)
ψ(
√
δ)
(
2
δ
e−
1
δ − 1 + e−
1
δ
)
= O
(
1
δψ(
√
δ)
)
, δ →∞. (19)
Нехай тепер u ∈
[
1√
δ
;
1
2
]
. Покладемо
τ1(u) =
(
1− e−u
2
− u2
) ψ(
√
δu)
ψ(
√
δ)
, τ2(u) = u2ψ(
√
δu)
ψ(
√
δ)
, (20)
тодi
1
2∫
1√
δ
u |dτ ′(u)| ≤
1
2∫
1√
δ
u |dτ ′1(u)|+
1
2∫
1√
δ
u |dτ ′2(u)|. (21)
Знайдемо оцiнку першого iнтеграла в правiй частинi нерiвностi (21). Оскiльки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
958 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, I. В. КАЛЬЧУК
τ ′′1 (u) =
(
1− e−u
2
− u2
) δψ′′(√δu)
ψ(
√
δ)
+ 4u
(
e−u
2
− 1
) √δψ′(√δu)
ψ(
√
δ)
+
+ 2
(
e−u
2
− 2u2e−u
2
− 1
) ψ(
√
δu)
ψ(
√
δ)
, (22)
то, враховуючи нерiвностi
e−u
2
+ u2 − 1 ≤ u4
2
, 1− e−u
2
≤ u2,
2u2e−u
2
− e−u
2
+ 1 ≤ 3u2, u ∈ R,
(23)
маємо
1
2∫
1√
δ
u|dτ ′1(u)| ≤
δ
2ψ(
√
δ)
1
2∫
1√
δ
u5ψ′′(
√
δu)du+
4
√
δ
ψ(
√
δ)
1
2∫
1√
δ
u4|ψ′(
√
δu)|du +
+
6
ψ(
√
δ)
1
2∫
1√
δ
u3ψ(
√
δu)du.
Зiнтегрувавши перший iнтеграл у правiй частинi останньої нерiвностi частинами
та скориставшись теоремами 2′ та 3′, отримаємо
1
2∫
1√
δ
u|dτ ′1(u)| ≤
√
δ|ψ′(
√
δ
2 )|
26ψ(
√
δ)
+
|ψ′(1)|
2δ2ψ(
√
δ)
+
13
√
δ
2ψ(
√
δ)
1
2∫
1√
δ
u4|ψ′(
√
δu)|du +
+
6
ψ(
√
δ)
1
2∫
1√
δ
u3ψ(
√
δu)du ≤
≤ K1 +
K2
δ2ψ(
√
δ)
+
K3
ψ(
√
δ)
b√
δ∫
1√
δ
+
1
2∫
b√
δ
u3ψ(
√
δu)du. (24)
Тут i далi будемо вважати, що ψ′(1) = ψ′(1 + 0).
Оскiльки функцiя g(u) = u2ψ(u) є обмеженою на [1; b] , то
1
ψ(
√
δ)
b√
δ∫
1√
δ
u3ψ(
√
δu)du =
1
δ2ψ(
√
δ)
b∫
1
u3ψ(u) du ≤
≤ K
δ2ψ(
√
δ)
b∫
1
u du = O
(
1
δ2ψ(
√
δ)
)
, δ →∞. (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕГРАЛАМИ ВЕЙЄРШТРАССА 959
Враховуючи опуклiсть догори або донизу функцiї g(u) = u2ψ(u) при u ≥ b, знахо-
димо
1
2∫
b√
δ
u3ψ(
√
δu)du ≤
1∫
b√
δ
u3ψ(
√
δu)du ≤ 1
δ
√
δψ(
√
δ)
√
δ∫
b
u2ψ(u)du =
= O
(
1 +
1
δψ(
√
δ)
)
, δ →∞. (26)
З огляду на (25) та (26) iз (24), маємо
1
2∫
1√
δ
u|dτ ′1(u)| = O
(
1 +
1
δψ(
√
δ)
)
, δ →∞. (27)
Оцiнимо другий iнтеграл у правiй частинi нерiвностi (21). Враховуючи, що при
u ≥ 1√
δ
τ ′′2 (u) = 2
ψ(
√
δu)
ψ(
√
δ)
+ 4u
√
δψ′
(√
δu
)
ψ(
√
δ)
+ u2 δψ
′′(
√
δu)
ψ(
√
δ)
,
при δ > 4b2 отримуємо
b√
δ∫
1√
δ
u |dτ ′2(u)| ≤
δ
ψ(
√
δ)
b√
δ∫
1√
δ
u3ψ′′(
√
δu) du+
+
4
√
δ
ψ(
√
δ)
b√
δ∫
1√
δ
u2
∣∣∣ψ′(√δu)∣∣∣ du+
2
ψ(
√
δ)
b√
δ∫
1√
δ
uψ(
√
δu) du.
Зiнтегрувавши частинами перший iнтеграл у правiй частинi останньої нерiвностi
двiчi, а другий — один раз i врахувавши, що функцiя ψ(u) є спадною на [1;∞) ,
одержимо
b√
δ∫
1√
δ
u |dτ ′2(u)| ≤
√
δ
ψ(
√
δ)
u3ψ′
(√
δu
) ∣∣∣∣∣
b√
δ
1√
δ
−
− 7
ψ(
√
δ)
u2ψ(
√
δu)
∣∣∣∣∣
b√
δ
1√
δ
+
16
ψ(
√
δ)
b√
δ∫
1√
δ
uψ(
√
δu)du =
= O
(
1
δψ(
√
δ)
)
. (28)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
960 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, I. В. КАЛЬЧУК
Оскiльки функцiя g(u) = u2ψ(u) є опуклою на [b;∞) , то
1
2∫
b√
δ
u|dτ ′2(u)| =
∣∣∣∣∣
1
2∫
b√
δ
udτ ′2(u)
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣(uτ ′2(u)− τ2(u))
∣∣∣∣ 12
b√
δ
∣∣∣∣∣ =
= O
(
1 +
1
δψ(
√
δ)
)
. (29)
Таким чином, iз спiввiдношень (19), (21), (27) – (29) випливає, що
1
2∫
0
u |dτ ′(u)| = O
(
1 +
1
δψ(
√
δ)
)
, δ →∞. (30)
Оцiнимо другий iнтеграл з (16). Оскiльки, згiдно з (6), при u ≥ 1√
δ
τ ′′(u) =
(
1− e−u
2
) δψ′′(√δu)
ψ(
√
δ)
+ 4ue−u
2
√
δψ′(
√
δu)
ψ(
√
δ)
+
+ 2
(
e−u
2
− 2u2e−u
2
) ψ(
√
δu)
ψ(
√
δ)
, (31)
а також |u− 1| ≤ u, u ∈
[
1
2
;∞
)
, та виконуються нерiвностi
1− e−u
2
≤ 1, u2e−u
2
≤ 1,
∣∣u− 2u3
∣∣ e−u2
≤ 2
u2
, u ∈ R, (32)
отримуємо
∞∫
1
2
|u− 1||dτ ′(u)| ≤ δ
ψ(
√
δ)
∞∫
1
2
uψ′′
(√
δu
)
du +
+
4
√
δ
ψ(
√
δ)
∞∫
1
2
∣∣ψ′(√δu)∣∣du+
4
ψ
(√
δ
) ∞∫
1
2
ψ(
√
δu)
u2
du. (33)
Зiнтегрувавши частинами перший iнтеграл у правiй частинi нерiвностi (33), а також
застосувавши теореми 2′ та 3′, одержимо
∞∫
1
2
|u− 1| |dτ ′(u)| = O(1), δ →∞. (34)
Для оцiнки першого iнтеграла з (17) розiб’ємо промiжок [0,∞) на три частини:[
0,
1√
δ
]
,
[
1√
δ
, 1
]
, [1,∞).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕГРАЛАМИ ВЕЙЄРШТРАССА 961
Нехай u ∈
[
0,
1√
δ
]
. Враховуючи (6) та друге спiввiдношення iз (23), маємо
1√
δ∫
0
|τ(u)|
u
du =
ψ(1)
ψ(
√
δ)
1√
δ∫
0
(1− e−u
2
)
du
u
≤ ψ(1)
ψ(
√
δ)
1√
δ∫
0
udu ≤ K
δψ(
√
δ)
. (35)
Згiдно з (6), у випадку u ∈
[
1√
δ
, 1
]
∣∣∣∣∣∣∣∣
1∫
1√
δ
τ(u)
u
du− 1
ψ(
√
δ)
1∫
1√
δ
uψ(
√
δu)du
∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ 1
ψ(
√
δ)
1∫
1√
δ
|1− e−u
2 − u2|
u
ψ(
√
δu)du.
Оскiльки має мiсце перша нерiвнiсть з (23) та оцiнки (25), (26), то∣∣∣∣∣∣∣∣
1∫
1√
δ
τ(u)
u
du− 1
ψ(
√
δ)
1∫
1√
δ
uψ(
√
δu)du
∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤
1
2ψ(
√
δ)
1∫
1√
δ
u3ψ(
√
δu)du =
=
1
2ψ(
√
δ)
b√
δ∫
1√
δ
u3ψ(
√
δu)du+
1
2ψ(
√
δ)
1∫
b√
δ
u3ψ(
√
δu)du =
= O
(
1 +
1
δψ(
√
δ)
)
.
Iз останнiх спiввiдношень випливає, що
1∫
1√
δ
|τ(u)|
u
du =
1
δψ(
√
δ)
√
δ∫
1
uψ(u)du+O
(
1 +
1
δψ(
√
δ)
)
, δ →∞. (36)
Нехай, нарештi, u ∈ [1,∞). Оскiльки∣∣∣∣∣
∞∫
1
τ(u)
u
du− 1
ψ(
√
δ)
∞∫
1
ψ(
√
δu)
u
du
∣∣∣∣∣ ≤ 1
ψ(
√
δ)
∞∫
1
e−u
2
u
ψ(
√
δu)du ≤ K,
то
∞∫
1
|τ(u)|
u
du =
1
ψ(
√
δ)
∞∫
√
δ
ψ(u)
u
du+O(1). (37)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
962 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, I. В. КАЛЬЧУК
Об’єднавши спiввiдношення (35) – (37), одержимо
∞∫
0
|τ(u)|
u
du =
1
δψ(
√
δ)
√
δ∫
1
uψ(u)du+
1
ψ(
√
δ)
∞∫
√
δ
ψ(u)
u
du+O
(
1 +
1
δψ(
√
δ)
)
. (38)
Оцiнимо другий iнтеграл iз (17). Для функцiї τ(u), заданої за допомогою
спiввiдношення (6), згiдно з лемою 1 роботи [11], для всiх ψ ∈ M0 має мiсце
рiвнiсть
1∫
0
|τ(1− u)− τ(1 + u)|
u
du =
1∫
0
|λ(1− u)− λ(1 + u)|
u
du+O
(
H(τ)
)
, (39)
де H(τ) означається за допомогою рiвностi (8), а λ(u) = e−u
2
.
Використовуючи те, що
1∫
0
|λ(1− u)− λ(1 + u)|
u
du =
1∫
0
e−(1−u)2 − e−(1+u)2
u
du = O(1),
а також спiввiдношення (30) та (34), iз (39) отримуємо
1∫
0
|τ(1− u)− τ(1 + u)|
u
du = O
(
1 +
1
δψ(
√
δ)
)
, δ →∞. (40)
Отже, враховуючи формули (30), (34), (38) i (40), згiдно з теоремою 1′, пере-
конуємося в тому, що перетворення функцiї τ(u) вигляду (12) є сумовним на всiй
числовiй осi. Тому, згiдно з лемою 1, виконується рiвнiсть (13). Iз нерiвностей (9)
i (10) з урахуванням формул (30), (34), (38) i (40) отримуємо спiввiдношення (15).
Оцiнимо залишковий член у правiй частинi рiвностi (13):
τ̂β(t) =
1
π
∞∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du =
1
π
1√
δ∫
0
+
∞∫
1√
δ
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du.
(41)
Зiнтегруємо двiчi частинами iнтеграли у правiй частинi рiвностi (41):
1√
δ∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du =
1
t
(
1− e−
1
δ
) ψ(1)
ψ(
√
δ)
sin
(
1√
δ
t+
βπ
2
)
+
+
1
t2
2e−
1
δψ(1)√
δψ(
√
δ)
cos
(
1√
δ
t+
βπ
2
)
− 1
t2
1√
δ∫
0
τ ′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du, (42)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕГРАЛАМИ ВЕЙЄРШТРАССА 963
∞∫
1√
δ
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du = −1
t
(
1− e−
1
δ
) ψ(1)
ψ(
√
δ)
sin
(
1√
δ
t+
βπ
2
)
−
− 1
t2
(
2e−
1
δψ(1)√
δψ(
√
δ)
+
(
1− e−
1
δ
) √δψ′(1)
ψ(
√
δ)
)
cos
(
1√
δ
t+
βπ
2
)
−
− 1
t2
∞∫
1√
δ
τ ′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du. (43)
Пiдставляючи (42), (43) в (41), отримуємо
1
π
∞∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du = − 1
πt2
1√
δ∫
0
τ ′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du−
− 1
πt2
∞∫
1√
δ
τ ′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du −
− 1
πt2
(
1− e−
1
δ
) √δψ′(1)
ψ(
√
δ)
cos
(
1√
δ
t+
βπ
2
)
,
звiдки ∣∣∣∣∣ 1π
∞∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣ ≤
≤ 1
πt2
1√
δ∫
0
+
1∫
1√
δ
+
∞∫
1
|τ ′′(u)|du+
1
t2
K√
δψ(
√
δ)
. (44)
Враховуючи, що τ ′′(u) ≥ 0 на
[
0,
1√
δ
]
, i нерiвнiсть (18), дiстаємо
1√
δ∫
0
|τ ′′(u)|du =
1√
δ∫
0
τ ′′(u)du =
2ψ(1)√
δψ(
√
δ)
e−
1
δ = O
(
1√
δψ(
√
δ)
)
, δ →∞. (45)
Нехай u ∈
[
1√
δ
, 1
]
. Мiркуючи, як i при оцiнюваннi першого iнтеграла з (16) на
промiжку
[
1√
δ
,
1
2
]
(див. (20) – (29)), можна показати, що має мiсце оцiнка
1∫
1√
δ
|τ ′′(u)|du = O
(
1 +
1√
δψ(
√
δ)
)
, δ →∞. (46)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
964 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, I. В. КАЛЬЧУК
Нехай тепер u ∈ [1,∞). Використовуючи рiвнiсть (31), першу нерiвнiсть з (32),
нерiвностi
ue−u
2
≤ 1, (2u2 − 1)e−u
2
≤ 1
u2
, u ∈ R,
а також теорему 3′, маємо
∞∫
1
|τ ′′(u)|du ≤ δ
ψ(
√
δ)
∞∫
1
ψ′′(
√
δu)du+
4
√
δ
ψ(
√
δ)
∞∫
1
∣∣∣ψ′(√δu)∣∣∣ du +
+
1
ψ(
√
δ)
∞∫
1
ψ(
√
δu)
u2
du = O(1). (47)
Об’єднуючи формули (45) – (47) iз (44), отримуємо∣∣∣∣∣ 1π
∞∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣ = O
(
1 +
1√
δψ(
√
δ)
)
1
t2
.
Звiдси ∫
|t|≥
√
δπ
2
∣∣∣τ̂β(t)∣∣∣dt = O
(
1
δψ(
√
δ)
+
1√
δ
)
. (48)
Iз спiввiдношень (48) та (13) видно, що має мiсце рiвнiсть (14).
Теорему 1 доведено.
Слiд вiдмiтити, що при ψ(u) =
1
ur
, r < 2, теорему 1 отримано в роботi Л. I. Ба-
усова [5, c. 31].
Наслiдок 1. Якщо виконуються умови теореми 1, sin
βπ
2
6= 0 i lim
t→∞
α(t) = ∞,
де величина α(t) означена рiвнiстю (11), то при δ →∞ має мiсце асимптотична
рiвнiсть
E
(
Cψβ,∞;Wδ
)
C
=
2
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣
∞∫
√
δ
ψ(u)
u
du+O
(
ψ(
√
δ)
)
. (49)
Доведення. Якщо ψ ∈ M′
0 i lim
t→∞
α(t) = ∞, то для довiльного ε > 0 знайдеться
таке u0 ≥ 1, що при u > u0 (uεψ(u))′ > 0, тобто функцiя uεψ(u) зростає, почи-
наючи з деякого числа u0, i lim
u→∞
uεψ(u) = ∞. Отже, при достатньо великих δ i
0 < ε < 2
1
δψ(
√
δ)
√
δ∫
1
uψ(u)du ≤ (
√
δ)εψ(
√
δ)
δψ(
√
δ)
√
δ∫
1
du
uε−1
= O(1). (50)
Використовуючи правило Лопiталя i те, що lim
t→∞
α(t) = ∞, маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕГРАЛАМИ ВЕЙЄРШТРАССА 965
lim
x→∞
∞∫
x
ψ(u)
u du
ψ(x)
= lim
x→∞
ψ(x)
x|ψ′(x)|
= ∞. (51)
Враховуючи, що
1
δ
+
ψ(
√
δ)√
δ
= o
(
ψ(
√
δ)
)
, (52)
а також спiввiдношення (50) та (51), iз (14), (15) отримуємо (49).
Прикладом функцiй, якi задовольняють умови наслiдку 1, є функцiї вигляду
ψ(u) =
1
lnα(u+K)
, де α > 1, K > 0.
Наслiдок 2. Нехай ψ ∈ M0, sin
βπ
2
6= 0, функцiя u2ψ(u) є опуклою догори
або донизу при u ≥ b ≥ 1 i
lim
u→∞
u2ψ(u) = ∞, (53)
lim
δ→∞
1
δψ(
√
δ)
√
δ∫
1
uψ(u)du = ∞. (54)
Тодi при δ →∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
Cψβ,∞;Wδ
)
C
=
2
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣ 1
δ
√
δ∫
1
uψ(u)du+O
(
ψ(
√
δ)
)
. (55)
Доведення. Якщо функцiя ψ задовольняє умови (53) i (54), то, використовуючи
правило Лопiталя, маємо
lim
x→∞
x∫
1
uψ(u)
x2ψ(x)
= lim
x→∞
xψ(x)
2xψ(x) + x2ψ′(x)
=
1
2 + lim
x→∞
xψ′(x)
ψ(x)
= ∞.
Звiдси
lim
x→∞
xψ′(x)
ψ(x)
= −2. (56)
Враховуючи (51) та (56), одержуємо
∞∫
√
δ
ψ(u)
u
du = O
(
ψ(
√
δ)
)
.
Використовуючи останню оцiнку та спiввiдношення (14), (15), (52) – (54), одержу-
ємо (55).
Вiдмiтимо, що умови наслiдку 2 задовольняють, наприклад, функцiї вигляду
ψ(u) =
1
u2
lnα(u+K), K > 0, α > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
966 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, I. В. КАЛЬЧУК
Наслiдок 3. Нехай ψ ∈ M0, sin
βπ
2
6= 0, функцiя u2ψ(u) є опуклою донизу
при u ≥ b ≥ 1 i
lim
u→∞
u2ψ(u) = K <∞, (57)
lim
δ→∞
√
δ∫
1
uψ(u)du = ∞. (58)
Тодi при δ →∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
Cψβ,∞;Wδ
)
C
=
2
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣ 1
δ
√
δ∫
1
uψ(u)du+O
(
1
δ
)
. (59)
Доведення. Оскiльки функцiя u2ψ(u) є опуклою донизу на промiжку [b;∞) ,
b ≥ 1, та задовольняє умову (57), то робимо висновок, що вона монотонно спадає
при u ≥ b. Отже, при δ > b2 маємо
∞∫
√
δ
ψ(u)
u
du ≤
∞∫
√
δ
u2ψ(u)
u3
du ≤ δψ(
√
δ)
∞∫
√
δ
1
u3
du = O
(
ψ(
√
δ)
)
,
ψ(
√
δ) = O
(
1
δ
)
.
Використовуючи останнi оцiнки та спiввiдношення (14), (15), (57), (58), отриму-
ємо (59).
Прикладом функцiй ψ, для яких має мiсце наслiдок 3, є функцiї вигляду ψ(u) =
=
1
u2
(K + e−u), ψ(u) =
1
u2 lnα(u+K)
, K > 0, 0 ≤ α ≤ 1.
Зокрема, при ψ(u) =
1
u2
iз (59) одержуємо асимптотичну рiвнiсть
E
(
W 2
β ;Wδ
)
C
=
1
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣ ln δ
δ
+O
(
1
δ
)
,
яку було отримано в роботi Л. I. Баусова [5, c. 31].
Зауважимо, що при виконаннi умов наслiдкiв 1 – 3 рiвностi (49), (55) i (59)
дають розв’язок задачi Колмогорова – Нiкольського для iнтегралiв Вейєрштрасса
Wδ на класах Cψβ,∞ у рiвномiрнiй метрицi.
Нехай G — множина функцiй ψ ∈ M, що задовольняють наступну умову: для
довiльної сталої K > 0 iснує така точка u0 = u0(K) ≥ 1, що при u > u0 для
функцiї α(u) вигляду (11) виконується нерiвнiсть α(u) <
1
2
(
1− K
u2
)
.
Теорема 2. Нехай ψ ∈ G, функцiя g(u) = u2ψ(u) є опуклою донизу на [b;∞) ,
b ≥ 1, i
∞∫
1
uψ(u)du <∞. (60)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕГРАЛАМИ ВЕЙЄРШТРАССА 967
Тодi при δ →∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
Cψβ,∞;Wδ
)
C
=
=
1
δ
sup
f∈Cψβ,∞
∥∥∥f (2)
0 (x)
∥∥∥
C
+O
1
δ
√
δ
√
δ∫
1
t2ψ(t)dt+
1
δ
∞∫
√
δ
tψ(t)dt
, (61)
де f (2)
0 (x) — (r, β)-похiдна в розумiннi Вейля – Надя при r = 2, β = 0.
Доведення. Подамо функцiю τ(u), задану за допомогою спiввiдношення (6), у
виглядi τ(u) = ϕ(u) + µ(u), де
ϕ(u) =
u2 ψ(1)
ψ(
√
δ)
, 0 ≤ u ≤ 1√
δ
,
u2ψ(
√
δu)
ψ(
√
δ)
, u ≥ 1√
δ
,
(62)
µ(u) =
(1− e−u
2
− u2)
ψ(1)
ψ(
√
δ)
, 0 ≤ u ≤ 1√
δ
,
(1− e−u
2
− u2)
ψ(
√
δu)
ψ(
√
δ)
, u ≥ 1√
δ
.
(63)
Переконаємося в сумовностi перетворень ϕ̂β(t) i µ̂β(t) функцiй ϕ(u) та µ(u)
(див. (12)).
Покажемо збiжнiсть iнтеграла
A (ϕ) =
1
π
∞∫
−∞
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt.
Виходячи з умови (60) та опуклостi донизу функцiї g(u), неважко переконатися, що
lim
u→∞
u2ψ(u) = 0 та lim
u→∞
u2ψ′(u) = 0. Застосовуючи двiчi iнтегрування частинами
i враховуючи, що ϕ(0) = ϕ′(0) = 0, lim
u→∞
ϕ(u) = lim
u→∞
ϕ′(u) = 0, маємо
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du =
1√
δ∫
0
+
∞∫
1√
δ
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du =
= − 1
t2
1√
δ∫
0
+
∞∫
1√
δ
ϕ′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du −
− 1
t2
ψ′(1)√
δψ(
√
δ)
cos
(
1√
δ
t+
βπ
2
)
,
звiдки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
968 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, I. В. КАЛЬЧУК
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ ≤ 1
t2
1√
δ∫
0
+
∞∫
1√
δ
|ϕ′′(u)|du+
1
t2
K√
δψ(
√
δ)
.
Оскiльки функцiя ϕ(u) є опуклою донизу на промiжках
[
0;
1√
δ
]
,
[
b√
δ
;∞
)
i обме-
женою на
[
1√
δ
;
b√
δ
]
, з останньої нерiвностi одержуємо
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ 1
t2
1√
δ∫
0
+
b√
δ∫
1√
δ
+
∞∫
b√
δ
|ϕ′′(u)|du+
1
t2
K√
δψ(
√
δ)
=
=
1
t2
1√
δ∫
0
+
∞∫
b√
δ
ϕ′′(u) du+
b√
δ∫
1√
δ
|ϕ′′(u)| du
+
1
t2
K√
δψ(
√
δ)
≤
≤ 1
t2
2ψ(1)− 2bψ(b)− b2ψ′(b)√
δψ(
√
δ)
+
1
t2
K√
δψ(
√
δ)
+
+
1
t2
1
ψ(
√
δ)
b√
δ∫
1√
δ
(
2ψ(
√
δu) + 4u
√
δ|ψ′(
√
δu)|+ u2δψ′′(
√
δu)
)
du ≤
≤ 1
t2
K1√
δψ(
√
δ)
.
Тодi
∫
|t|≥
√
δ
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt = O
(
1
δψ(
√
δ)
)
, δ →∞. (64)
Використовуючи (62), той факт, що функцiя u2ψ(u) спадає на [b,∞) i є обмеженою
на [1, b] , а також нерiвнiсть (4.16) роботи [12, с. 59], отримуємо
√
δ∫
0
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt =
=
√
δ∫
0
∣∣∣∣∣
1√
δ∫
0
+
b√
δ∫
1√
δ
+
∞∫
b√
δ
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣dt ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕГРАЛАМИ ВЕЙЄРШТРАССА 969
≤
√
δ
1√
δ∫
0
+
b√
δ∫
1√
δ
∣∣ϕ(u)
∣∣du+
√
δ∫
0
b√
δ
+ 2π
t∫
b√
δ
u2ψ(
√
δu)
ψ(
√
δ)
dudt ≤
≤
√
δψ(1)
ψ(
√
δ)
1√
δ∫
0
u2du+
1
δψ(
√
δ)
b∫
1
u2ψ(u) du +
+
1
ψ(
√
δ)
√
δ∫
0
b√
δ
+ 2π
t∫
b√
δ
u2ψ(
√
δu)dudt ≤
≤ K
δψ(
√
δ)
+
1
ψ(
√
δ)
√
δ∫
0
b√
δ
+ 2π
t∫
b√
δ
u2ψ(
√
δu)dudt. (65)
Виконуючи замiну змiнних та iнтегруючи частинами в останньому iнтегралi з (65),
дiстаємо
1
ψ(
√
δ)
√
δ∫
0
b√
δ
+ 2π
t∫
b√
δ
u2ψ(
√
δu)dudt =
2π
ψ(
√
δ)
∞∫
2π√
δ
b√
δ
+x∫
b√
δ
u2ψ(
√
δu)du
dx
x2
=
=
2π
ψ(
√
δ)
− 1
x
b√
δ
+x∫
b√
δ
u2ψ(
√
δu)du
∣∣∣∣∣
∞
2π√
δ
+
+
∞∫
2π√
δ
1
x
(
b√
δ
+ x
)2
ψ
(
b+
√
δx
)
dx
=
=
2π
ψ(
√
δ)
− lim
x→∞
1
x
b√
δ
+x∫
b√
δ
u2ψ(
√
δu)du+
√
δ
2π
(b+2π)√
δ∫
b√
δ
u2ψ(
√
δu)du +
+
1
δ
∞∫
2π√
δ
1
x
(
b+
√
δx
)2
ψ
(
b+
√
δx
)
dx
. (66)
У випадку, коли lim
x→∞
∫ b√
δ
+x
b√
δ
u2ψ(
√
δu)du = K > 0, маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
970 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, I. В. КАЛЬЧУК
lim
x→∞
1
x
b√
δ
+x∫
b√
δ
u2ψ(
√
δu)du = 0, (67)
а у випадку, коли lim
x→∞
∫ b√
δ
+x
b√
δ
u2ψ(
√
δu)du = ∞, використовуючи правило Лопi-
таля i те, що lim
u→∞
u2ψ(u) = 0, отримуємо
lim
x→∞
1
x
b√
δ
+x∫
b√
δ
u2ψ(
√
δu)du = lim
x→∞
(
b√
δ
+ x
)2
ψ
(
b+
√
δx
)
= 0. (68)
Оскiльки при u ≥ 1 функцiя ψ(u) спадає, то
√
δ
2π
(b+2π)√
δ∫
b√
δ
u2ψ(
√
δu)du ≤ ψ(1)
√
δ
2π
(b+2π)√
δ∫
b√
δ
u2du ≤ K
δ
. (69)
Внаслiдок сумовностi функцiї uψ(u) на [1;∞) маємо
1
δ
∞∫
2π√
δ
1
x
(
b+
√
δx
)2
ψ
(
b+
√
δx
)
dx =
1
δ
∞∫
b+2π
y2ψ(y)
y − b
dy =
=
1
δ
∞∫
b+2π
yψ(y)
(
1 +
b
y − b
)
dy ≤
(
1 +
b
2π
)
δ
∞∫
b+2π
yψ(y) dy ≤ K1
δ
. (70)
Iз спiввiдношень (66) – (70) i (65) отримуємо
√
δ∫
0
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt = O
(
1
δψ(
√
δ)
)
, δ →∞. (71)
Аналогiчно можна показати, що
0∫
−
√
δ
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt = O
(
1
δψ(
√
δ)
)
, δ →∞. (72)
Iз формул (64), (71) та (72) маємо
A(ϕ) = O
(
1
δψ(
√
δ)
)
, δ →∞.
Покажемо тепер збiжнiсть iнтеграла
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕГРАЛАМИ ВЕЙЄРШТРАССА 971
A(µ) =
1
π
∞∫
−∞
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
µ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt.
Застосувавши двiчi iнтегрування частинами i врахувавши, що µ(0) = µ′(0) = 0,
lim
u→∞
µ(u) = lim
u→∞
µ′(u) = 0, матимемо
∞∫
0
µ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du =
1√
δ∫
0
+
∞∫
1√
δ
µ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du =
= − 1
t2
1√
δ∫
0
+
∞∫
1√
δ
µ′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du −
− 1
t2
(
1− e−
1
δ − 1
δ
) √
δψ′(1)
ψ(
√
δ)
cos
(
t√
δ
+
βπ
2
)
,
звiдки∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
µ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ ≤ 1
t2
1√
δ∫
0
+
∞∫
1√
δ
|µ′′(u)| du+
1
t2
K
δ
√
δψ(
√
δ)
. (73)
При u ∈
[
0,
1√
δ
]
функцiя µ′′(u) < 0, тому
1√
δ∫
0
|µ′′(u)| du = −
1√
δ∫
0
µ′′(u)du = −µ′
(
1√
δ
)
+ µ′(0) ≤ K
δ
√
δψ(
√
δ)
. (74)
При u ≥ 1√
δ
µ′′(u) =
(
1− e−u
2
− u2
) δψ′′(√δu)
ψ(
√
δ)
+ 4u
(
e−u
2
− 1
) √δψ′(√δu)
ψ(
√
δ)
+
+ 2
(
e−u
2
− 2u2e−u
2
− 1
) ψ(
√
δu)
ψ(
√
δ)
, (75)
i, отже,
∞∫
1√
δ
|µ′′(u)| du ≤ δ
ψ(
√
δ)
∞∫
1√
δ
(
e−u
2
+ u2 − 1
)
ψ′′(
√
δu)du+
+
4
√
δ
ψ(
√
δ)
∞∫
1√
δ
u
(
1− e−u
2
) ∣∣∣ψ′(√δu)∣∣∣ du +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
972 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, I. В. КАЛЬЧУК
+
2
ψ(
√
δ)
∞∫
1√
δ
(
2u2e−u
2
− e−u
2
+ 1
)
ψ(
√
δu)du.
Зiнтегрувавши частинами перший iнтеграл у правiй частинi останньої нерiвностi
двiчi, а другий — один раз, будемо мати
∞∫
1√
δ
|µ′′(u)| du ≤ −
√
δψ′(1)
ψ(
√
δ)
(
e−
1
δ +
1
δ
− 1
)
+
+
6ψ(1)√
δψ(
√
δ)
(
1− e−
1
δ
)
+
8
ψ(
√
δ)
∞∫
1√
δ
(
2u2e−u
2
− e−u
2
+ 1
)
ψ
(√
δu
)
du.
Скориставшись першою та другою нерiвностями з (23), отримаємо
∞∫
1√
δ
|µ′′(u)| du ≤
≤ K1
δ
√
δψ(
√
δ)
+
K2
ψ(
√
δ)
∞∫
1√
δ
(
2u2e−u
2
− e−u
2
+ 1
)
ψ(
√
δu)du. (76)
Оцiнимо останнiй iнтеграл у нерiвностi (76). Для цього розiб’ємо промiжок
iнтегрування
[
1√
δ
;∞
)
на двi частини:
[
1√
δ
; 1
]
та [1;∞). Застосовуючи третю
нерiвнiсть з (23), одержуємо
1
ψ(
√
δ)
1∫
1√
δ
(
2u2e−u
2
− e−u
2
+ 1
)
ψ(
√
δu)du ≤
≤ 1
ψ(
√
δ)
1∫
1√
δ
u2ψ(
√
δu)du =
1
δ
√
δψ(
√
δ)
√
δ∫
1
u2ψ(u)du. (77)
Враховуючи нерiвнiсть 2u2e−u
2 − e−u
2
+ 1 ≤ 2, u ∈ R, отримуємо
1
ψ(
√
δ)
∞∫
1
(
2u2e−u
2
− e−u
2
+ 1
)
ψ(
√
δu)du ≤ 2
ψ(
√
δ)
∞∫
1
ψ
(√
δu
)
du ≤ K. (78)
Iз спiввiдношень (76) – (78) маємо
∞∫
1√
δ
|µ′′(u)| du ≤ K +
K1
δ
√
δψ(
√
δ)
+
K2
δ
√
δψ(
√
δ)
√
δ∫
1
u2ψ(u)du. (79)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕГРАЛАМИ ВЕЙЄРШТРАССА 973
Об’єднуючи формули (73), (74) i (79) i враховуючи те, що
lim
δ→∞
1
δ
√
δψ(
√
δ)
√
δ∫
1
u2ψ(u)du ≥ lim
δ→∞
1
δ
√
δψ(
√
δ)
δψ(
√
δ)
√
δ∫
1
du = 1, (80)
дiстаємо
∫
|t|≥π
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
µ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt = O
1
δ
√
δψ(
√
δ)
√
δ∫
1
u2ψ(u)du
. (81)
Розглянемо тепер
π∫
0
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
µ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt ≤
≤
π∫
0
∣∣∣∣∣∣∣∣
1√
δ∫
0
+
1∫
1√
δ
+
∞∫
1
µ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣∣∣ dt. (82)
Використавши нерiвнiсть
e−u
2
+ u2 − 1 ≤ u2, u ∈ R, (83)
одержимо
π∫
0
∣∣∣∣∣∣∣
1√
δ∫
0
µ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣∣ dt ≤
π∫
0
1√
δ∫
0
|µ(u)| dudt =
=
πψ(1)
ψ(
√
δ)
1√
δ∫
0
(
e−u
2
+ u2 − 1
)
du ≤ πψ(1)
ψ(
√
δ)
1√
δ∫
0
u2du ≤ K
δ
√
δψ(
√
δ)
, (84)
π∫
0
∣∣∣∣∣∣∣∣
1∫
1√
δ
µ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣∣∣ dt ≤
π∫
0
1∫
1√
δ
|µ(u)|dudt ≤
≤ π
ψ(
√
δ)
1∫
1√
δ
u2ψ(
√
δu)du =
π
δ
√
δψ(
√
δ)
√
δ∫
1
u2ψ(u)du. (85)
Оскiльки ψ ∈ G, то, як неважко переконатися, функцiя −µ(u) = (e−u
2
+ u2 −
− 1)ψ(
√
δu) буде монотонно спадною починаючи з деякого значення u1 ≥ 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
974 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, I. В. КАЛЬЧУК
Враховуючи те, що функцiя −µ(u) є монотонно спадною на [u1;∞) , u1 ≥ 1,
невiд’ємною i прямує до нуля при u→∞, можемо скористатись нерiвнiстю (4.16)
з роботи [12, с. 59]. Отримаємо
π∫
0
∣∣∣∣∣∣
∞∫
1
µ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt =
=
π∫
0
∣∣∣∣∣∣
∞∫
1
(−µ(u)) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt ≤
≤
π∫
0
∣∣∣∣∣∣
u1∫
1
(−µ(u)) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt +
+
π∫
0
∣∣∣∣∣∣
∞∫
u1
(−µ(u)) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt ≤
≤
π∫
0
u1∫
1
(−µ(u)) du dt+
π∫
0
u1+
2π
t∫
u1
(−µ(u)) du dt =
=
π∫
0
u1+
2π
t∫
1
(−µ(u)) du dt. (86)
Використовуючи нерiвнiсть (83), маємо
π∫
0
u1+
2π
t∫
1
(−µ(u)) dudt ≤ 1
ψ(
√
δ)
π∫
0
u1+
2π
t∫
1
u2ψ(
√
δu)dudt. (87)
Виконуючи замiну змiнних та iнтегруючи частинами, одержуємо
1
ψ(
√
δ)
π∫
0
u1+
2π
t∫
1
u2ψ(
√
δu)dudt =
2π
ψ(
√
δ)
∞∫
2
u1+x∫
1
u2ψ
(√
δu
)
du
dx
x2
=
=
2π
ψ(
√
δ)
− lim
x→∞
1
x
u1+x∫
1
u2ψ(
√
δu)du+
1
2
2+u1∫
1
u2ψ(
√
δu)du +
+
∞∫
2
1
x
(u1 + x)2 ψ
(√
δ(u1 + x)
)
dx
. (88)
У випадку, коли limx→∞
u1+x∫
1
u2ψ(
√
δu) du = K > 0, маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕГРАЛАМИ ВЕЙЄРШТРАССА 975
lim
x→∞
1
x
u1+x∫
1
u2ψ(
√
δu)du = 0, (89)
а у випадку lim
x→∞
∫ u1+x
1
u2ψ(
√
δu) du = ∞, використовуючи правило Лопiталя i
те, що lim
u→∞
u2ψ(u) = 0, отримуємо
lim
x→∞
1
x
u1+x∫
1
u2ψ(
√
δu)du = lim
x→∞
(u1 + x)2 ψ
(√
δ(u1 + x)
)
= 0. (90)
Оскiльки при u ≥ 1 функцiя ψ(u) спадає, то
1
2
2+u1∫
1
u2ψ(
√
δu)du ≤ ψ(
√
δ)
2
2+u1∫
1
u2du ≤ Kψ(
√
δ). (91)
Внаслiдок сумовностi функцiї uψ(u) на [1;∞) маємо
∞∫
2
1
x
(u1 + x)2 ψ
(√
δ(u1 + x)
)
dx =
1
δ
∞∫
√
δ(2+u1)
y2ψ(y)
y −
√
δu1
dy =
=
1
δ
∞∫
√
δ(2+u1)
yψ(y)
(
1 +
√
δu1
y −
√
δu1
)
dy ≤
(
1 +
u1
2
)
δ
∞∫
√
δ(2+u1)
yψ(y)dy ≤
≤ K1
δ
∞∫
√
δ
yψ(y)dy. (92)
Враховуючи спiввiдношення (89) – (92), iз (88) одержуємо
1
ψ(
√
δ)
π∫
0
u1+
2π
t∫
1
u2ψ(
√
δu)dudt ≤ K1 +
K2
δψ(
√
δ)
∞∫
√
δ
uψ(u)du. (93)
Iз (82), враховуючи (84), (85), (93), а також (80), маємо
π∫
0
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
µ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt =
= O
1
δ
√
δψ(
√
δ)
√
δ∫
1
u2ψ(u)du+
1
δψ(
√
δ)
∞∫
√
δ
uψ(u)du
. (94)
Подiбними мiркуваннями встановлюється i рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
976 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, I. В. КАЛЬЧУК
0∫
−π
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
µ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt =
= O
1
δ
√
δψ(
√
δ)
√
δ∫
1
u2ψ(u)du+
1
δψ(
√
δ)
∞∫
√
δ
uψ(u)du
. (95)
Об’єднуючи формули (81), (94) та (95), отримуємо
A (µ) = O
1
δ
√
δψ(
√
δ)
√
δ∫
1
u2ψ(u)du+
1
δψ(
√
δ)
∞∫
√
δ
uψ(u)du
. (96)
Аналогiчно до [1, c. 183] можна показати, що має мiсце рiвнiсть
f(x)−Wδ(f, x) = ψ(
√
δ)
∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t√
δ
)
τ̂β(t)dt.
Звiдси
E
(
Cψβ,∞;Wδ
)
C
= sup
f∈Cψβ,∞
∥∥∥∥∥∥ψ(
√
δ)
∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t√
δ
)
τ̂β(t)dt
∥∥∥∥∥∥
C
=
= sup
f∈Cψβ,∞
∥∥∥∥∥∥ψ(
√
δ)
∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t√
δ
)
(ϕ̂β(t) + µ̂β(t)) dt
∥∥∥∥∥∥
C
=
= sup
f∈Cψβ,∞
∥∥∥∥∥∥ψ(
√
δ)
∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t√
δ
)
ϕ̂β(t)dt
∥∥∥∥∥∥
C
+O
(
ψ(
√
δ)A(µ)
)
. (97)
Аналогiчно до спiввiдношення (1.1) роботи [10] можна показати, що ряд Фур’є
функцiї fϕ(x) =
∫ ∞
−∞
fψβ
(
x+
t√
δ
)
ϕ̂β(t)dt має вигляд
S [fϕ] =
∞∑
k=1
k2
δ
1
ψ(
√
δ)
(ak cos kx+ bk sin kx) ,
де ak, bk — коефiцiєнти Фур’є функцiї f . Тому
∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t√
δ
)
ϕ̂β(t)dt =
1
δψ(
√
δ)
f
(2)
0 (x), (98)
де f (2)
0 (x) — (r, β)-похiдна в розумiннi Вейля – Надя при r = 2, β = 0.
Пiдставляючи (98) в (97), маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕГРАЛАМИ ВЕЙЄРШТРАССА 977
E
(
Cψβ,∞;Wδ
)
C
=
1
δ
sup
f∈Cψβ,∞
∥∥∥f (2)
0 (x)
∥∥∥
C
+O
(
ψ(
√
δ)A(µ)
)
, δ →∞, (99)
а пiдставляючи (96) в (99), отримуємо рiвнiсть (61).
Теорему 2 доведено.
Прикладом функцiй, для яких має мiсце теорема 2, є функцiї вигляду ψ(u) =
=
1
u2 lnα(u+K)
, K > 0, α > 1; ψ(u) =
1
ur
lnα(u + K), ψ(u) =
1
ur
arctg u,
ψ(u) =
1
ur
(K + e−u) K > 0, r > 2, α ∈ R.
3. Оцiнка верхнiх меж наближень функцiй на класах Lψβ,1 iнтегралами
Вейєрштрасса в iнтегральнiй метрицi. Оскiльки функцiя τ(u), що задана за
допомогою спiввiдношення (6), є неперервною, а її перетворення τ̂β(t) вигляду (12),
як ми показали при доведеннi теореми 1, — сумовним, то аналогiчно до леми 2
роботи [10] можна довести, що при δ →∞ матиме мiсце рiвнiсть
E
(
Lψβ,1;Wδ
)
1
= ψ(
√
δ)A(τ) +O
ψ(
√
δ)
∫
|t|≥
√
δπ
2
|τ̂β(t)| dt
.
Порiвнюючи це спiввiдношення з рiвнiстю (13), приходимо до висновку, що має
мiсце така теорема.
Теорема 3. Нехай ψ ∈ M
′
0 = M0 ∩ M′, функцiя g(u) = u2ψ(u) є опуклою
догори або донизу на [b;∞) , b ≥ 1. Тодi при δ →∞ має мiсце рiвнiсть
E
(
Lψβ,1;Wδ
)
1
= ψ(
√
δ)A(τ) +O
(
1
δ
+
ψ(
√
δ)√
δ
)
,
де величина A(τ) означається за допомогою рiвностi (7) i для неї справедлива
оцiнка (15).
Iз теореми 3 на пiдставi мiркувань, наведених при доведеннi наслiдкiв 1 – 3,
випливають наступнi твердження.
Наслiдок 4. Якщо виконуються умови теореми 1, sin
βπ
2
6= 0 i lim
t→∞
α(t) = ∞,
де величина α(t) означена рiвнiстю (11), то при δ →∞ має мiсце асимптотична
рiвнiсть
E
(
Lψβ,1;Wδ
)
1
=
2
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣
∞∫
√
δ
ψ(u)
u
du+O
(
ψ(
√
δ)
)
. (100)
Наслiдок 5. Нехай ψ ∈ M0, sin
βπ
2
6= 0, функцiя u2ψ(u) є опуклою догори
або донизу при u ≥ b ≥ 1 i
lim
u→∞
u2ψ(u) = ∞, lim
δ→∞
1
δψ(
√
δ)
√
δ∫
1
uψ(u)du = ∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
978 Ю. I. ХАРКЕВИЧ, I. В. КАЛЬЧУК
Тодi при δ →∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
Lψβ,1;Wδ
)
1
=
2
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣ 1
δ
√
δ∫
1
uψ(u)du+O
(
ψ(
√
δ)
)
. (101)
Наслiдок 6. Нехай ψ ∈ M0, sin
βπ
2
6= 0, функцiя u2ψ(u) є опуклою донизу на
[b;∞), b ≥ 1, i lim
u→∞
u2ψ(u) = K < ∞, lim
δ→∞
∫ √
δ
1
uψ(u)du = ∞. Тодi при δ → ∞
має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
Lψβ,1;Wδ
)
1
=
2
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣ 1
δ
√
δ∫
1
uψ(u)du+O
(
1
δ
)
. (102)
Зауважимо, що при виконаннi умов наслiдкiв 4 – 6 рiвностi (100) – (102) дають
розв’язок задачi Колмогорова – Нiкольського для iнтегралiв Вейєрштрасса Wδ на
класах Lψβ,1 в iнтегральнiй метрицi.
1. Степанец А. И. Методы теории приближения. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002.
– Ч. I. – 427 с.
2. Nagy B. Über gewise Extremalfragen bei transformierten trigonometrischen Entwicklungen, I //
Period. Fall: Berichte Math. Phys. – 1938. – 90. – S. 103 – 134.
3. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. – М.: Наука, 1965. – 407 с.
4. Баусов Л. И. О приближении функций класса Zα положительными методами суммирования
рядов Фурье // Успехи мат. наук. – 1961. – 16, № 3. – С. 143 – 149.
5. Баусов Л. И. Линейные методы суммирования рядов Фурье с заданными прямоугольными
матрицами. I // Изв. вузов. – 1965. – 46, № 3. – С. 15 – 31.
6. Бугров Я. С. Неравенства типа неравенств Бернштейна и их применение к исследованию
дифференциальных свойств решений дифференциальных уравнений высшего порядка // Math.
Cluj. – 1963. – 5, № 1. – P. 5 – 25.
7. Баскаков В. А. О некоторых свойствах операторов типа операторов Абеля – Пуассона // Мат.
заметки. – 1975. – 17, № 2. – С. 169 – 180.
8. Фалалеев Л. П. О приближении функций обобщенными операторами Абеля – Пуассона // Сиб.
мат. журн. – 2001. – 1, № 4. – С. 926 – 936.
9. Теляковский С. А. О нормах тригонометрических полиномов и приближении дифференциру-
емых функций линейными средними их рядов Фурье. II // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1963. –
27, № 2. – С. 253 – 272.
10. Новикова А. К. О приближении функций в пространствах C и L // Вопросы суммирования
рядов Фурье. – Киев, 1985. – С. 14 – 51. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 85.61).
11. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I. Наближення бiгармонiйними iнтегралами Пуассона класiв
(ψ, β)-диференцiйовних функцiй в iнтегральнiй метрицi // Проблеми теорiї наближення функ-
цiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2004. – 1, № 1. – С. 144 –
170.
12. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка,
1987. – 268 с.
Одержано 20.02.2006,
пiсля доопрацювання – 14.08.2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-3359 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:41:05Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/78/5182c4e765c6b18aba91da6ea43dde78.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33592020-03-18T19:52:14Z Approximation of (ψ, β)-differentiable functions by Weierstrass integrals Наближення (ψ, β)-диференційовних функцій інтегралами Вейєрштрасса Kalchuk, I. V. Kharkevych, Yu. I. Кальчук, І. В. Харкевич, Ю. І. Asymptotic equalities are obtained for upper bounds of approximations of functions from the classes $C^{\psi}_{\beta \infty}$ and $L^{\psi}_{\beta 1}$ by the Weierstrass integrals. Получены асимптотические равенства для верхних граней приближений функций из классов $C^{\psi}_{\beta \infty}$ и $L^{\psi}_{\beta 1}$ интегралами Вейєрштрасса. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3359 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 7 (2007); 953–978 Український математичний журнал; Том 59 № 7 (2007); 953–978 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3359/3462 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3359/3463 Copyright (c) 2007 Kalchuk I. V.; Kharkevych Yu. I. |
| spellingShingle | Kalchuk, I. V. Kharkevych, Yu. I. Кальчук, І. В. Харкевич, Ю. І. Approximation of (ψ, β)-differentiable functions by Weierstrass integrals |
| title | Approximation of (ψ, β)-differentiable functions by Weierstrass integrals |
| title_alt | Наближення (ψ, β)-диференційовних функцій інтегралами Вейєрштрасса |
| title_full | Approximation of (ψ, β)-differentiable functions by Weierstrass integrals |
| title_fullStr | Approximation of (ψ, β)-differentiable functions by Weierstrass integrals |
| title_full_unstemmed | Approximation of (ψ, β)-differentiable functions by Weierstrass integrals |
| title_short | Approximation of (ψ, β)-differentiable functions by Weierstrass integrals |
| title_sort | approximation of (ψ, β)-differentiable functions by weierstrass integrals |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3359 |
| work_keys_str_mv | AT kalchukiv approximationofpsbdifferentiablefunctionsbyweierstrassintegrals AT kharkevychyui approximationofpsbdifferentiablefunctionsbyweierstrassintegrals AT kalʹčukív approximationofpsbdifferentiablefunctionsbyweierstrassintegrals AT harkevičûí approximationofpsbdifferentiablefunctionsbyweierstrassintegrals AT kalchukiv nabližennâpsbdiferencíjovnihfunkcíjíntegralamivejêrštrassa AT kharkevychyui nabližennâpsbdiferencíjovnihfunkcíjíntegralamivejêrštrassa AT kalʹčukív nabližennâpsbdiferencíjovnihfunkcíjíntegralamivejêrštrassa AT harkevičûí nabližennâpsbdiferencíjovnihfunkcíjíntegralamivejêrštrassa |