Constancy of upper-continuous two-valued mappings into the Sorgenfrey line
By using the Sierpiński continuum theorem, we prove that every upper-continuous two-valued mapping of a linearly connected space (or even a c-connected space, i.e., a space in which any two points can be connected by a continuum) into the Sorgenfrey line is necessarily constant.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3367 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509446173622272 |
|---|---|
| author | Maslyuchenko, V. K. Fotii, O. H. Маслюченко, В. К. Фотій, О. Г. |
| author_facet | Maslyuchenko, V. K. Fotii, O. H. Маслюченко, В. К. Фотій, О. Г. |
| author_sort | Maslyuchenko, V. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:52:34Z |
| description | By using the Sierpiński continuum theorem, we prove that every upper-continuous two-valued mapping of a linearly connected space (or even a c-connected space, i.e., a space in which any two points can be connected by a continuum) into the Sorgenfrey line is necessarily constant. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:41:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.51
V. K. Maslgçenko, O. H. Fotij (Çerniv. nac. un-t)
STALIST| NEPERERVNYX ZVERXU
DVOZNAÇNYX VIDOBRAÛEN| U PRQMU ZORÌENFREQ
By using the Sierpinski
\
continuum theorem, we prove that every upper continuous two-valued mapping
of linear connected or even c-connected space (i.e., the space in which every two points can be
connected by a continuum) into the Sorgenfrey line is necessarily constant.
S pomow\g teorem¥ Serpynskoho o kontynuume dokazano, çto kaΩdoe neprer¥vnoe sverxu dvu-
znaçnoe otobraΩenye lynejno svqznoho yly daΩe c-svqznoho prostranstva (prostranstva, lg-
b¥e dve toçky kotoroho svqz¥vagtsq kontynuumom) v prqmug Zorhenfreq obqzatel\no posto-
qnno.
1. U cij statti my prodovΩu[mo doslidΩennq bahatoznaçnyx vidobraΩen\ u
prqmu Zor©enfreq L , qki buly rozpoçati u pracqx [1 – 3], wo z’qvylysq
vnaslidok baΩannq avtoriv rozpovsgdyty deqki rezul\taty P. Kenderova [4] i
Ì.3Debsa [5] na nemetryzovnyj vypadok. Zokrema, v [3] dovedeno, wo u koΩnoho
n-znaçnoho neperervnoho zverxu vidobraΩennq F : X → L berivs\koho prostoru
X z druhog aksiomog zliçennosti mnoΩyna S ( F ) toçok joho lokal\no] stalosti
[ vidkrytog i skriz\ wil\nog v X. Ale v [1] bulo vstanovleno, wo koΩne n-
znaçne neperervne znyzu vidobraΩennq F : X → L zv’qznoho prostoru X [ sta-
lym. Tomu postalo pytannq: çy koΩne n-znaçne neperervne zverxu vidobra-
Ωennq, napryklad, çyslovo] prqmo] R v prqmu Zor©enfreq L [ stalym? Vono
vyqvylosq nabahato vaΩçym, niΩ vidpovidne pytannq dlq neperervnyx znyzu vi-
dobraΩen\. Tut my da[mo stverdnu vidpovid\ na n\oho u vypadku n = 2. Dlq
c\oho vvodymo special\nu topolohiçnu strukturu na pivplowyni
Y = {( , ) :y y1 2
2∈R y y1 2> } i pokazu[mo, wo neperervni zverxu dvoznaçni vido-
braΩennq F : X → L i neperervni vidobraΩennq F : X → Y znaxodqt\sq u pry-
rodnij vza[mno odnoznaçnij vidpovidnosti, qka zberiha[ stalist\. Dali z’qso-
vu[mo, wo u vvedenomu topolohiçnomu prostori Y koΩna odnotoçkova mnoΩyna
zamknena i koΩna kompaktna pidmnoΩyna ne bil\ß niΩ zliçenna. I, nareßti,
vykorystovugçy teoremu Serpins\koho pro kontynuumy [6, c. 526], dovodymo,
wo koΩne dvoznaçne neperervne zverxu vidobraΩennq F : R → L [ stalym.
Cej rezul\tat my rozßyrg[mo na vypadok vidobraΩen\ F : X → L , zadanyx na
c- zv’qznomu prostori X, qkyj xarakteryzu[t\sq umovog: dlq bud\-qkyx dvox
toçok x1 i x2 z X isnu[ takyj kontynuum C v X, wo xi ∈ C , i = 1, 2. Poßy-
rennq cyx mirkuvan\ na vypadok dovil\noho n bude zdijsneno v nastupnij praci
avtoriv. ZauvaΩymo, wo poperednij variant osnovnoho rezul\tatu ci[] statti
bulo anonsovano v [7].
2. Nahada[mo, wo prqma Zor©enfreq L — ce topolohiçnyj prostir, toçka-
my qkoho [ dijsni çysla, a bazu okoliv toçky x utvorggt\ napivvidkryti sprava
promiΩky [ x, x + ε ) , de ε > 0.
Rozhlqnemo vidkrytu pivplowynu Y = {( , ) :y y1 2
2∈R y y1 2> } koordynat-
no] plowyny R
2
i vvedemo na nij topolohiçnu strukturu, qka tisno pov’qzana z
topolohiçnog strukturog prqmo] Zor©enfreq L . Dlq toçky y = ( y1 , y2 ) ∈ Y i
dodatnoho çysla ε poklademo
V yε( ) = ([ , ) [ , )) [ , ) [ , )y y y y y y y y1 1 2 2 1 1
2
2 2
2+ × + + +( )ε ε ε ε∪ ∪ ∩ Y .
© V. K. MASLGÇENKO, O. H. FOTIJ, 2007
1034 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
STALIST| NEPERERVNYX ZVERXU DVOZNAÇNYX VIDOBRAÛEN| … 1035
Qkwo 0 1 2< ≤ −ε y y , to mnoΩyna V yε( ) [ dyz’gnktnym ob’[dnannqm napiv-
vidkrytoho kvadrata Q yε( ) = [ , ) [ , )y y y y1 1 2 2+ × +ε ε ta napivvidkrytyx prqmo-
kutnyx trykutnykiv T yε( )1 = [ , )y y1 1
2+ ε ∩ Y i T yε( )2 = [ , )y y2 2
2+ ε ∩ Y ,
tobto V yε( ) = Q y T y T yε ε ε( ) ( ) ( )� �1 2 . MnoΩynu V my nazvemo okolom toçky
y = ( y1 , y2 ) u prostori Y , qkwo V ⊆ Y i isnu[ take ε > 0, wo V yε( ) ⊆ V.
Poznaçymo symvolom Vy mnoΩynu vsix okoliv toçky y u prostori Y. Lehko
pereviryty, wo vidpovidnist\ y � Vy zada[ topolohiçnu strukturu na mnoΩy-
ni33Y.
Vstanovymo deqki najprostißi vlastyvosti prostoru Y.
TverdΩennq111. Y — nehausdorfovyj T1-prostir.
Dovedennq. Nexaj ′ = ′ ′y y y( , )1 2 i ′′ = ′′ ′′y y y( , )1 2 — dovil\ni toçky z Y, dlq
qkyx ′y2 = ′′y2 = y2 i ′ ≠ ′′y y1 1 . Oskil\ky V y V yε ε( ) ( )′ ′′∩ ⊇ T yε( )2 ≠ ∅, to
bud\-qki okoly ′V i ′′V vidpovidno toçok ′y i ′′y obov’qzkovo peretynagt\-
sq, xoça ′ ≠ ′′y y , otΩe, prostir Y [ nehausdorfovym.
Dali, nexaj y = ( y1 , y2 ) ∈ Y , ỹ = ( ỹ 1 , ỹ 2 ) ∈ Y i y y≠ ˜ . Oskil\ky y y1 1≠ ˜
abo y y2 2≠ ˜ , to toçka y vidriznq[t\sq vid koΩno] z toçok ỹ , q1 = ( ˜ , ˜ )y y1 1 i
q2 = ( ˜ , ˜ )y y2 2 . Nexaj d p q( , ) — maksymum-vidstan\ miΩ toçkamy p i q plowy-
ny R
2. Poklademo
ε = min ( , ˜), ( , ), ( , )d y y d y q d y q1 2{ }.
Zrozumilo, wo ε > 0 i y V y∉ ε( ˜) . Ce pokazu[, wo koΩna odnotoçkova mnoΩyna
{ y } [ zamknenog v Y, otΩe, Y — T1-prostir.
ZauvaΩymo, wo koly b my zamist\ prostoru Y rozhlqnuly prostir Ỹ =
= Y ∪ ∆ , v qkomu do Y doluçeno diahonal\ ∆ = { }( , ) :t t t ∈R , a topolohiq vy-
znaça[t\sq tak samo, qk i v Y, to cej prostir uΩe ne zadovol\nqv by aksiomu
T1 , bo v n\omu zamykannq bud\-qko] toçky y = ( t, t ) ∈ ∆ zbihalosq b z kutom
Pt = ( ) ( ){ } ( , ] [ , ) { }t t t t× − ∞ + ∞ ×∪ .
Na vidminu vid prqmo] Zor©enfreq, qka [ nezv’qznym prostorom, adΩe ]] kom-
ponenty zv’qznosti — odnotoçkovi mnoΩyny, dlq prostoriv Y i Ỹ ma[ misce
nastupnyj rezul\tat.
TverdΩennq112. Prostory Y i Ỹ [ zv’qznymy.
Dovedennq. Nexaj A — neporoΩnq vidkryta i zamknena mnoΩyna u prosto-
ri Y. Todi isnu[ toçka a = ( a1 , a2 ) ∈ A taka, wo V a Aε( ) ⊆ dlq deqkoho ε > 0.
Rozhlqnemo, napryklad, trykutnyk T aε( )1 = [ , )a a1 1
2+ ε ∩ Y . Joho zamykannq
u prostori Y zbiha[t\sq z mnoΩynog
P = ([ , ) ) ( [ , ))a a a a1 1 1 1+ × × +( )ε εR R Y∪ ∩ .
Oskil\ky T a Aε( )1 ⊆ i mnoΩyna A [ zamknenog v Y, to P A⊆ , zokrema
koΩna toçka pt = ( a1 , t ) pry t < a1 i koΩna toçka qt = ( t, a1 ) pry t > a1
vxodyt\ v A . Zvidsy i z vidkrytosti A lehko vyvesty, wo dlq koΩnoho t ∈ R is-
nu[ εt > 0 take, wo T t A
tε ( ) ⊆ . Todi, qk i raniße, budemo maty, wo ( t, s ) ∈ A
pry s < t dlq dovil\noho t ∈ R . Ce oznaça[, wo A = Y , otΩe, prostir Y [
zv’qznym.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
1036 V. K. MASLGÇENKO, O. H. FOTIJ
Zv’qznist\ prostoru Ỹ dovesty we prostiße, oskil\ky koΩna vidkryta i
zamknena mnoΩyna, qka mistyt\ deqku toçku y = ( t, t ) diahonali ∆ , obov’qzkovo
mistyt\ kut Pt , z nym vsg diahonal\ ∆, a otΩe, i ves\ prostir Ỹ. Vtim zv’qz-
nist\ Ỹ vyplyva[ i z toho, wo Ỹ mistyt\ skriz\ wil\nyj zv’qznyj pidprostir Y .
3. Nexaj X i Y — topolohiçni prostory i F : X → Y — bahatoznaçne vidob-
raΩennq, qke koΩnij toçci x z X stavyt\ u vidpovidnist\ neporoΩng pidmno-
Ωynu F ( x ) prostoru Y. Take vidobraΩennq nazyvagt\ neperervnym zverxu
(znyzu) u toçci x0 z X, qkwo dlq koΩno] vidkryto] mnoΩyny V u prostori Y
tako], wo V F x⊇ ( )0 ( )( )V F x∩ 0 ≠ ∅ isnu[ takyj okil U toçky x0 v X, wo
F x V( ) ⊆ ( )( )F x V∩ ≠ ∅ , qk til\ky x ∈ U . KaΩut\, wo F neperervne zverxu
(znyzu), qkwo vono [ takym u koΩnij toçci x z X.
Rozhlqnemo dvoznaçne vidobraΩennq F : X → L topolohiçnoho prostoru X
v prqmu Zor©enfreq. Oskil\ky dlq koΩnoho x ∈ X mnoΩyna F ( x ) sklada[t\-
sq rivno z dvox çysel, to ]] moΩna zapysaty u vyhlqdi F ( x ) = { }( ), ( )f x f x1 2 , de
çyslo f x1( ) bil\ße vid çysla f x2( ) . Spivstavyvßy koΩnij toçci x ∈ X paru
f ( x ) = ( )( ), ( )f x f x1 2 , oderΩymo odnoznaçne vidobraΩennq f : X → Y zi znaçen-
nqmy u vvedenomu v poperedn\omu punkti prostori Y.
TverdΩennq113. Dvoznaçne vidobraΩennq F : X → L bude neperervnym
zverxu v toçci x0 ∈ X todi i til\ky todi, koly vidpovidne jomu odnoznaçne vid-
obraΩennq f : X → Y [ neperervnym u toçci x0
.
Dovedennq. Dlq mnoΩyny { },y y1 2 ⊆ R i çysla ε > 0 poklademo
V y y({ } ), ,1 2 ε = V y y( , , )1 2 ε = [ , ) [ , )y y y y1 1 2 2+ +ε ε∪ .
Oçevydno, wo vidobraΩennq F bude neperervnym zverxu v toçci x0 todi i lyße
todi, koly dlq koΩnoho ε > 0 isnu[ takyj okil U toçky x0
, wo F ( x ) ⊆
⊆ V ( F ( x0 ) , ε ) , qk til\ky x ∈ U . Nexaj F ( x ) = { }( ), ( )f x f x1 2 , de f x1( ) > f x2( ) ,
yi = fi ( x ) , i = 1, 2, i y = ( y1 , y2 ) = f ( x ) . Poklademo takoΩ yi
0 = f xi( )0 , i =
= 1, 2, i y 0 = ( ),y y1
0
2
0 = f ( x0 ) . Dlq koΩnoho x ∈ X magt\ misce taki
ekvivalentnosti:
F x V F x( ) ( ),( )⊆( )0 ε ⇔
⇔ { }, [ , )y y y y1 2 1
0
1
0⊆ +( ε abo y y y1 1
0
1
0∈ +[ , )ε i y y y2 2
0
2
0∈ +[ , )ε
abo { }, [ , )y y y y1 2 2
0
2
0⊆ + )ε ⇔
⇔ y T y∈( ε( )1
0 abo y Q y∈ ε( )0 abo y T y∈ )ε( )2
0 ⇔ y V y∈ ε( )0 .
Ale neperervnist\ vidobraΩennq f u toçci x 0 rivnosyl\na umovi: dlq
koΩnoho ε > 0 isnu[ takyj okil U toçky x0 v X , wo f x V y( ) ( )∈ ε 0 , qk til\ky
x ∈ U . Oskil\ky
F x V F x( ) ( ),( )⊆( )0 ε ⇔ f x V y( ) ( )∈( )ε 0 ,
to dovedennq zaverßeno.
4. Lehko pereviryty, wo koΩna kompaktna mnoΩyna na prqmij Zor©enfreq
obov’qzkovo ne bil\ß niΩ zliçenna. U c\omu punkti my pokaΩemo, wo na vidminu
vid nezv’qznosti cq vlastyvist\ prqmo] Zor©enfreq perenosyt\sq i na prostir Y.
Qk i u vypadku prqmo] Zor©enfreq, dovedennq spyra[t\sq na nastupnyj vidomyj
rezul\tat: koΩna cilkom vporqdkovana çastyna A çyslovo] prqmo] R zi zvy-
çajnym porqdkom [ ne bil\ß niΩ zliçennog. Dlq joho poqsnennq zauvaΩymo,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
STALIST| NEPERERVNYX ZVERXU DVOZNAÇNYX VIDOBRAÛEN| … 1037
wo taka mnoΩyna A podibna do deqkoho vidtynka O ( α ) = { }:ξ ξ α< u klasi
porqdkovyx çysel. OtΩe, isnu[ stroho zrostagça transfinitna poslidovnist\
( ):aξ ξ α< taka, wo A = { }:aξ ξ α< . Dlq koΩnoho ξ α< na intervali
( ),a aξ ξ+1 vyberemo deqke racional\ne çyslo rξ . Pry c\omu qkwo çyslo α [
izol\ovanym, tobto α = β + 1, de β — deqke porqdkove çyslo, to poklademo
aα = aβ + 1. Oskil\ky pry ξ < η < α ma[mo aξ < aξ + 1 ≤ aη < aη + 1 , to
( ) ( ), ,a a a aξ ξ η η+ + = ∅1 1∩ , a otΩe, r rξ η≠ pry ξ η≠ . Tomu vidobraΩennq
ξ ξ� r [ bi[kci[g O ( α ) na deqku çastynu mnoΩyny Q vsix racional\nyx çy-
sel, qka, qk vidomo, [ zliçennog. Takym çynom, vidtynok O ( α ) i podibna do
n\oho mnoΩyna A budut\ ne bil\ß niΩ zliçennymy. Oskil\ky çyslova prqma R
z obernenym porqdkom ≥ podibna do çyslovo] prqmo] zi zvyçajnym porqdkom
(podibnistg bude vidobraΩennq x x� − ), to i bud\-qka cilkom vporqdkovana
çastyna linijno vporqdkovano] mnoΩyny ( , )R ≥ takoΩ ne bil\ß niΩ zliçenna.
TverdΩennq114. KoΩna kompaktna pidmnoΩyna K prostoru Y ne bil\ß
niΩ zliçenna.
Dovedennq. Nexaj πi ( y ) = yi dlq y = ( y1 , y2 ) ∈ Y , i = 1, 2. Dovedemo, wo
proekci] Ai = πi ( K ) , i = 1, 2, mnoΩyny K magt\ taku vlastyvist\: mnoΩyna
Ai ne ma[ stroho zrostagço] neskinçenno] poslidovnosti.
Nexaj i = 1. Prypustymo, wo mnoΩyna A1 ma[ stroho zrostagçu poslidov-
nist\ çysel ak , k ∈ N . Oskil\ky A1 = π1 ( K ) , to dlq koΩnoho k isnu[ çyslo
bk take, wo toçka pk = ( ak , bk ) naleΩyt\ do K. PokaΩemo, wo mnoΩyna P =
= { },p kk ∈N [ zamknenog u prostori Y.
Nexaj p = ( a, b ) ∈ Y \ P . MoΩlyvi try vypadky: 1) a < a1
; 2) ( ∃ k ) ( ak ≤
≤ a < ak + 1 ) ; 3) ( ∀ k ) ( ak < a ) .
Rozhlqnemo ]x.
1. Viz\memo ε = a1 – a . Oskil\ky ε > 0, to my moΩemo rozhlqnuty okil
V pε( ) toçky p u prostori Y. Dlq koΩno] toçky y = ( y1 , y2 ) ∈ V pε( ) i dovil\-
noho nomera k ma[mo
y1 < a + ε = a + a1 – a = a1 ≤ ak
,
zvidky vyplyva[, wo y ≠ pk dlq koΩnoho k, otΩe, p V pk ∉ ε( ) dlq koΩnoho k,
tobto V p Pε( ) ∩ = ∅.
2. Rozib’[mo mnoΩynu P na dvi çastyny: Pk = { }, ,p pk1 … i Q k =
= { }, ,p pk k+ + …1 2 . Oskil\ky za teoremog331 Y — ce T1-prostir, to mnoΩyna Pk
[ zamknenog v Y. Tomu isnu[ ε > 0 take, wo V p Pkε( ) ∩ = ∅ i ε ≤ ak + 1 – a .
Ale todi tak samo, qk i vywe, lehko vstanovyty, wo V p Qkε( ) ∩ = ∅ . OtΩe, i
V p Pε( ) ∩ = ∅.
3. Nexaj α = sup ,{ }a kk ∈N . Qkwo α ≤ b, to V p Pε( ) ∩ = ∅ dlq bud\-
qkoho ε > 0. Spravdi, vsi toçky okolu V pε( ) znaxodqt\sq vywe prqmo] R × { }b
abo na nij, a toçky pk — nyΩçe ci[] prqmo], bo ak < ak + 1 ≤ α ≤ b . Prypusty-
mo, wo α > b . Todi isnu[ nomer33k takyj, wo ak + 1 > b . Qk i v poperedn\omu
vypadku, isnu[ take ε > 0, wo V p Pkε( ) ∩ = ∅ i ε ≤ ak + 1 – b . Oskil\ky b + ε <
< aj pry j > k , to p T bj ∉ ε( ) pry j > k . Krim toho, aj < a dlq koΩnoho j,
otΩe, p Q p T aj ∉ ε ε( ) ( )∩ . V takomu razi p V pj ∉ ε( ) i pry j > k . Tomu
V p Pε( ) ∩ = ∅.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
1038 V. K. MASLGÇENKO, O. H. FOTIJ
Takym çynom, u koΩnomu z rozhlqnutyx vypadkiv my znajßly takyj okil V
toçky p v Y, wo V P∩ = ∅, a ce i pokazu[, wo mnoΩyna P [ zamknenog v Y.
Oskil\ky P ⊆ K i mnoΩyna K [ kompaktnog v Y, to i P bude kompaktnog
pidmnoΩynog prostoru Y. PokaΩemo, wo ce naspravdi ne tak.
Dlq koΩnoho k rozhlqnemo zamknenu mnoΩynu Pk – 1 = { }, ,p pk1 1… − .
Oskil\ky p Pk k∉ −1 i ak + 1 – ak > 0, to isnu[ take ε > 0, wo V p Pkε( ) ∩ − = ∅1
i ε ≤ a k + 1 – a k . Qk i raniße, z ostann\o] nerivnosti lehko vyplyva[, wo
p V pj k∉ ε( ) pry j > k . Tomu dlq vidkryto] mnoΩyny Gk = V pkε( ) u prostori
Y ma[mo G P yk k∩ = { }. Systema { }:G kk ∈N vidkrytyx mnoΩyn utvorg[ po-
kryttq mnoΩyny P, ale z ne] ne moΩna vydilyty skinçennoho pidpokryttq, bo,
vyluçyvßy qkus\ mnoΩynu Gk , my ne pokry[mo toçku pk . OtΩe, P ne [ kom-
paktnog mnoΩynog v Y. Otrymana supereçnist\ i dovodyt\, wo mnoΩyna A1
ma[ potribnu vlastyvist\.
Nexaj i = 2. Prypustymo, wo v mnoΩyni A 2 [ stroho zrostagça poslidov-
nist\ çysel bk , k ∈ N . Dlq koΩnoho k isnu[ toçka pk = ( ak , bk ) ∈ K . Znovu
z’qsu[mo, wo mnoΩyna P = { }:p kk ∈N [ zamknenog v Y . Nexaj p = ( a, b ) ∈
∈ Y \ P i β = sup :{ }b kk ∈N . MoΩlyvi taki vypadky: 1) β ≤ b ; 2) b < β ≤ a ;
3) β > a . Rozhlqnemo ]x.
1. U c\omu vypadku V p Pε( ) ∩ = ∅ dlq bud\-qkoho ε > 0, bo okil V pε( )
znaxodyt\sq nad prqmog R × { }b , a toçky pk roztaßovani stroho pid neg.
2. Z umovy b < β ≤ a vyplyva[, wo b < bk + 1 dlq deqkoho k i bj < a dlq
vsix j. Rozhlqnemo znovu mnoΩyny Pk = { }, ,p pk1 … i Q k = P \ Pk . Isnu[ take
çyslo ε > 0, wo V p Pε( ) ∩ = ∅ i ε ≤ bk + 1 – b . Oskil\ky b + ε ≤ bk + 1 , to
toçky pj pry j > k ne vxodqt\ do mnoΩyny T b Q pε ε( ) ( )∪ , bo vona rozmiwena
stroho pid prqmog R × +{ }bk 1 , a toçky pj pry j > k znaxodqt\sq nad neg.
Krim toho, p T aj ∉ ε( ) dlq koΩnoho j, bo bj < a. OtΩe, p V pj ∉ ε( ) pry j > k..
3. Oskil\ky β > a , to isnu[ take k, wo bk + 1 > a. Todi moΩna znajty take
ε > 0, wo V p Pkε( ) ∩ = ∅ i ε ≤ bk + 1 – a . Z nerivnosti a + ε ≤ bk + 1 vyplyva[,
wo okil V pε( ) leΩyt\ stroho pid prqmog R × +{ }bk 1 , a toçky pj pry j > k
znaxodqt\sq nad neg. Tomu V p Pε( ) ∩ = ∅.
Takym çynom, zamknenist\ mnoΩyny P vstanovleno. Qk i raniße, P bude
kompaktnog mnoΩynog u prostori Y. Ale ce ne tak, tomu wo isnu[ poslidov-
nist\ vidkrytyx v Y mnoΩyn u Gk takyx, wo G P pk k∩ = { } dlq koΩnoho k .
Spravdi, zafiksu[mo qkyjs\ nomer k . Prypustymo, wo β ≤ ak . Oskil\ky bk + 1 –
– bk > 0, to isnu[ take ε > 0, wo V p Pk kε( ) ∩ − = ∅1 i ε ≤ bk + 1 – bk . Z nerivno-
sti bk + ε ≤ bk + 1 ≤ bj pry j > k vyplyva[, wo p T b Q pj k∉ ε ε( ) ( )∪ pry j > k .
Ale bj < bj + 1 ≤ β ≤ ak dlq vsix j, otΩe, p T aj k∉ ε( ) dlq vsix j. Takym çy-
nom, dlq vidkryto] mnoΩyny Gk = V pkε( ) u c\omu vypadku matymemo G Pk ∩ =
= { }pk . Nexaj β > ak . Todi isnu[ nomer m takyj, wo bm > ak i m > k . V ta-
komu razi moΩna znajty ε > 0 take, wo V p P pk kε( ) \( { })∩ = ∅ i ε ≤ bm – ak .
Z nerivnosti ak + ε ≤ bm vyplyva[, wo p V pj k∉ ε( ) pry j ≥ m , bo okil V pkε( )
leΩyt\ stroho pid prqmog R × { }bm , a toçky pj pry j ≥ m znaxodqt\sq nad
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
STALIST| NEPERERVNYX ZVERXU DVOZNAÇNYX VIDOBRAÛEN| … 1039
neg abo na nij. Takym çynom, pokladagçy Gk = V pkε( ), i v c\omu vypadku
ma[mo G P pk k∩ = { }.
Otrymana supereçnist\ pokazu[, wo i mnoΩyna A2 ma[ potribnu vlastyvist\.
Oskil\ky mnoΩyny Ai
, i = 1, 2, ne mistqt\ stroho zrostagçyx neskinçennyx
poslidovnostej, to vony [ cilkom vporqdkovanymy pidmnoΩynamy mnoΩyny ( R,
≥ ) . Todi zhidno z zauvaΩennqm, navedenym pered formulgvannqm tverdΩen-
nq334, mnoΩyny Ai ne bil\ß niΩ zliçenni. V takomu razi ne bil\ß niΩ
zliçennym bude i ]x dobutok A1 × A2
. Ale K ⊆ A1 × A2
. Tomu i mnoΩyna K [
ne bil\ß niΩ zliçennog.
5. Nahada[mo, wo kontynuum — ce zv’qznyj kompakt [6, c. 522]. Oskil\ky
kontynuum [ zv’qznym, to joho ne moΩna rozbyty na dovil\ne skinçenne çyslo
neporoΩnix zamknenyx mnoΩyn, qke bil\ße abo dorivng[ dvom. Bil\ß toho,
zhidno z teoremog Serpins\koho [6, c. 526], bud\-qkyj kontynuum ne moΩna roz-
byty na zliçennu kil\kist\ neporoΩnix zamknenyx mnoΩyn. Ce tverdΩennq my
vykorysta[mo v dovedenni osnovnoho rezul\tatu. Wob joho sformulgvaty v na-
leΩnij zahal\nosti, vvedemo odne pidsylennq ponqttq zv’qznosti, qke razom z
tym [ oslablennqm ponqttq linijno] zv’qznosti. Topolohiçnyj prostir X my
nazvemo c-zv’qznym, qkwo dlq bud\-qkyx joho toçok x1 i x2 isnu[ takyj kon-
tynuum C v X, wo { x1, x2 } ⊆ C
.
Teorema. Nexaj X — c-zv’qznyj topolohiçnyj prostir i F : X → L — ne-
perervne zverxu dvoznaçne vidobraΩennq. Todi F [ stalym.
Dovedennq. Spivstavymo vidobraΩenng F neperervnu funkcig F : X →
→ Y , qk ce poqsneno v p.33, i dovedemo, wo vona [ stalog. Nexaj x1 i x2 — do-
vil\ni toçky z X . Isnu[ takyj kontynuum C v X , wo xi ∈ C , i = 1, 2. MnoΩy-
na K = f ( C ) [ kontynuumom v Y, zokrema vona [ kompaktnog pidmnoΩynog Y.
Za tverdΩennqm334 mnoΩyna K ne bil\ß niΩ zliçenna. Oskil\ky za tverdΩen-
nqm31 koΩna odnotoçkova mnoΩyna { y } v Y [ zamknenog, to dlq koΩnoho y ∈
∈ K mnoΩyny C y = C f y∩ −1( ) zamkneni v C . Pry c\omu C Cy y′ ′′∩ = ∅ ,
′ ≠ ′′y y . Oskil\ky mnoΩyna K ne bil\ß niΩ zliçenna, to z teoremy Serpins\ko-
ho vyplyva[, wo isnu[ take y0 ∈ K, wo Cy0
= C. V takomu razi f x( )1 = y0 =
= f x( )2 , otΩe, f x( )1 = f x( )2 . Ce pokazu[, wo funkciq f [ stalog, a otΩe,
stalym bude i vidobraΩennq F.
Oskil\ky Ỹ vΩe ne T1-prostir, to ci mirkuvannq ne pidxodqt\ dlq nepe-
rervnyx zverxu vidobraΩen\ F, qki v koΩnij toçci nabuvagt\ ne bil\ße dvox
znaçen\. Naspravdi taki vidobraΩennq moΩut\ vzahali ne maty toçok lokal\no]
stalosti (vidpovidnyj pryklad navedeno v [3, 7]).
1. KoΩukar O. H., Maslgçenko V. K. Navkolo teoremy Debsa pro mnohoznaçni vidobraΩennq //
Nauk. visn. Çerniv. un-tu. Matematyka. – 2004. – Vyp.3191 – 192. – S.361 – 66.
2. Maslgçenko V. K., Fotij O. H. Neperervni znyzu vidobraΩennq zi znaçennqmy v prqmij
Zor©enfreq // Mat. studi]. – 2005. – 24, # 2. – S.3203 – 206.
3. Maslgçenko V. K., Fotij O. H. Neperervni zverxu vidobraΩennq zi znaçennqmy v prqmij
Zor©enfreq // Nauk. visn. Çerniv. un-tu. Matematyka. – 2005. – Vyp.3269. – S.368 – 72.
4. Kenderov P. S. Mnohoznaçn¥e otobraΩenyq y yx svojstva, podobn¥e neprer¥vnosty //
Uspexy mat. nauk. – 1980. – 35, # 3. – S.3194 – 196.
5. Debs G. Points de continuité d’une function séparément continue // Proc. Amer. Math. Soc. –
1986. – 97, # 1. – P. 167 – 176.
6. ∏nhel\kynh R. Obwaq topolohyq. – M.: Myr, 1986. – 7523s.
7. Maslgçenko V. K., Fotij O. H. Neperervni zverxu vidobraΩennq zi znaçennqmy v prqmij
Zor©enfreq // MiΩnar. konf. „Analiz i sumiΩni pytannq” (L\viv, 17 – 20 lystop., 20053r.):
Tezy dop. – L\viv, 2005. – S.367 – 68.
OderΩano 08.12.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
|
| id | umjimathkievua-article-3367 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:41:14Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/14/e67af5c40a8e921ee91b1eedb6f2c614.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33672020-03-18T19:52:34Z Constancy of upper-continuous two-valued mappings into the Sorgenfrey line Сталість неперервних зверху двозначних відображень у пряму Зорґенфрея Maslyuchenko, V. K. Fotii, O. H. Маслюченко, В. К. Фотій, О. Г. By using the Sierpiński continuum theorem, we prove that every upper-continuous two-valued mapping of a linearly connected space (or even a c-connected space, i.e., a space in which any two points can be connected by a continuum) into the Sorgenfrey line is necessarily constant. С помощью теоремы Серпинского o континууме доказано, что каждое непрерывное сверху двузначное отображение линейно связного или даже c-связного пространства (пространства, любые две точки которого связываются континуумом) в прямую Зоргенфрея обязательно постоянно. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3367 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 8 (2007); 1034–1039 Український математичний журнал; Том 59 № 8 (2007); 1034–1039 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3367/3477 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3367/3478 Copyright (c) 2007 Maslyuchenko V. K.; Fotii O. H. |
| spellingShingle | Maslyuchenko, V. K. Fotii, O. H. Маслюченко, В. К. Фотій, О. Г. Constancy of upper-continuous two-valued mappings into the Sorgenfrey line |
| title | Constancy of upper-continuous two-valued mappings into the Sorgenfrey line |
| title_alt | Сталість неперервних зверху двозначних відображень у пряму Зорґенфрея |
| title_full | Constancy of upper-continuous two-valued mappings into the Sorgenfrey line |
| title_fullStr | Constancy of upper-continuous two-valued mappings into the Sorgenfrey line |
| title_full_unstemmed | Constancy of upper-continuous two-valued mappings into the Sorgenfrey line |
| title_short | Constancy of upper-continuous two-valued mappings into the Sorgenfrey line |
| title_sort | constancy of upper-continuous two-valued mappings into the sorgenfrey line |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3367 |
| work_keys_str_mv | AT maslyuchenkovk constancyofuppercontinuoustwovaluedmappingsintothesorgenfreyline AT fotiioh constancyofuppercontinuoustwovaluedmappingsintothesorgenfreyline AT maslûčenkovk constancyofuppercontinuoustwovaluedmappingsintothesorgenfreyline AT fotíjog constancyofuppercontinuoustwovaluedmappingsintothesorgenfreyline AT maslyuchenkovk stalístʹneperervnihzverhudvoznačnihvídobraženʹuprâmuzorgenfreâ AT fotiioh stalístʹneperervnihzverhudvoznačnihvídobraženʹuprâmuzorgenfreâ AT maslûčenkovk stalístʹneperervnihzverhudvoznačnihvídobraženʹuprâmuzorgenfreâ AT fotíjog stalístʹneperervnihzverhudvoznačnihvídobraženʹuprâmuzorgenfreâ |