Best approximation by holomorphic functions. Application to the best polynomial approximation of classes of holomorphic functions
We find necessary and sufficient conditions under which a real function from $L_p(\mathbb{T}),\; 1 \leq p < \infty$, is badly approximable by the Hardy subspace $H_p^0: = \{f \in H_p:\; F(0) = 0\}$. In a number of cases, we obtain exact values for the best approximations in the mean of funct...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3369 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509447571374080 |
|---|---|
| author | Savchuk, V. V. Савчук, В. В. |
| author_facet | Savchuk, V. V. Савчук, В. В. |
| author_sort | Savchuk, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:52:34Z |
| description | We find necessary and sufficient conditions under which a real function from $L_p(\mathbb{T}),\; 1 \leq p < \infty$, is badly approximable by the Hardy subspace $H_p^0: = \{f \in H_p:\; F(0) = 0\}$. In a number of cases, we obtain exact values for the best
approximations in the mean of functions holomorphic in the unit disk by functions that are holomorphic outside the unit disk.
We use obtained results in determining exact values of the best polynomial approximations and га-widths of some classes of holomorphic functions.
We find necessary and sufficient conditions under which the generalized Bernstein inequality for algebraic polynomials on the unit circle is true.
|
| first_indexed | 2026-03-24T02:41:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
В. В. Савчук (Iн-т математики НАН України, Київ)
НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ
ГОЛОМОРФНИМИ ФУНКЦIЯМИ. ЗАСТОСУВАННЯ
ДО НАЙКРАЩИХ МНОГОЧЛЕННИХ НАБЛИЖЕНЬ
КЛАСIВ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦIЙ
We find necessary and sufficient conditions under which a real function from Lp(T), 1 ≤ p < ∞, is
badly approximable by the Hardy subspace H0
p := {f ∈ Hp : f(0) = 0}. In a number of cases, we
obtain exact values for the best approximations in the mean of functions holomorphic in the unit disk
by functions that are holomorphic outside the unit disk. We use obtained results in determining exact
values of the best polynomial approximations and n-widths of some classes of holomorphic functions.
We find necessary and sufficient conditions under which the generalized Bernstein inequality for algebraic
polynomials on the unit circle is true.
Установлены необходимые и достаточные условия, при которых действительнозначная функция
из Lp(T), 1 ≤ p < ∞, является плохо приближаемой подпространством Гарди H0
p := {f ∈
∈ Hp : f(0) = 0}. В ряде случаев найдены точные значения наилучших приближений в среднем
функций, голоморфных в круге единичного радиуса, функциями, являющимися голоморфными
вне этого круга. Полученные результаты применены к нахождению точных значений величин
наилучших многочленных приближений и n-поперечников некоторых классов голоморфных фун-
кций. Установлены необходимые и достаточные условия, при которых выполняется обобщенное
неравенство Бернштейна для алгебраических многочленов на единичной окружности.
1. Вступ. Попереднi вiдомостi. Нехай D :=
{
z ∈ C : |z| < 1
}
— одиничний круг
у комплекснiй площинi C, T :=
{
z ∈ C : |z| = 1
}
— одиничне коло в комплекснiй
площинi, σ — нормована мiра Лебега на T, Lp(T), 1 ≤ p ≤ ∞, — простiр сумовних
на T вiдносно σ функцiй f з нормою
‖f‖
Lp(T)
:=
∫
T
|f |pdσ
1/p
, 1 ≤ p <∞,
ess sup
z∈T
|f(z)|, p = ∞,
Hp — простiр Гардi голоморфних в D функцiй f iз нормою
‖f‖
Hp
:=
sup
0<%<1
∫
T
∣∣f(% ·)
∣∣pdσ
1/p
, 1 ≤ p <∞,
sup
z∈D
∣∣f(z)
∣∣, p = ∞.
Вiдомо, що функцiї з простору Гардi Hp мають на колi T граничнi значення
по недотичних шляхах. Залишивши за граничними значеннями функцiї f ∈ Hp те
ж саме позначення f, на пiдставi вiдомих теорем будемо мати рiвнiсть ‖f‖
Hp
=
= ‖f‖
Lp(T)
. З огляду на це далi будемо використовувати єдине позначення ‖ · ‖p
для норми у просторах Hp i Lp(T).
У данiй роботi наведено результати дослiджень, що стосуються такої задачi:
c© В. В. САВЧУК, 2007
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8 1047
1048 В. В. САВЧУК
Нехай функцiя f належить Lp(T) i Ap — деякий пiдпростiр Hp, 1 ≤ p ≤ ∞.
Обчислити значення величини найкращого наближення функцiї f пiдпростором
Ap, тобто обчислити
inf
g∈Ap
‖f + g‖p,
а також знайти екстремальну функцiю g
f
∈ Ap (якщо така iснує), для якої
досягається нижня межа.
У першiй частинi роботи, конкретизуючи цю задачу, ми даємо характеризацiю
множини дiйснозначних функцiй iз Lp(T), якi є погано наближуваними пiдпросто-
ром H0
p , тобто тих функцiй f ∈ Lp(T), для яких
inf
g∈H0
p
‖f + g‖p = ‖f‖p,
де H0
p :=
{
g ∈ Hp : g(0) = 0
}
.
У другiй частинi роботи ми застосовуємо отриманий результат до розв’язання
задачi про найкраще наближення в середньому функцiй, голоморфних у крузi D,
функцiями, якi є голоморфними зовнi цього круга, тобто в D∞ :=
{
z ∈ C : |z| > 1
}
.
Також в цiй частинi наведено кiлька важливих наслiдкiв, якi мають самостiйний
iнтерес в теорiї функцiй.
Нарештi, у третiй частинi ми застосовуємо попереднi результати до задачi про
найкраще наближення алгебраїчними многочленами класiв згорток за Адамаром та
задачi про n-поперечники таких класiв функцiй.
Методи доведення основних тверджень цiєї роботи ґрунтуються на конкретних
спiввiдношеннях двоїстостi, якi є окремими випадками одного загального тверд-
ження. Для зручностi наведемо його тут.
Теорема двоїстостi (див., наприклад, [1, с. 110]). Нехай X — банахiв простiр,
Y — замкнений пiдпростiр X, X∗ i Y ∗ — вiдповiдно спряженi простори i Y ⊥ —
анулятор Y. Тодi:
1) фактор-простiр X∗/Y ⊥ iзометрично iзоморфний простору Y ∗ i для кож-
ного фiксованого функцiонала φ ∈ X∗
sup
y∈Y,‖y‖
X
≤1
∣∣φ(y)
∣∣ = min
ψ∈Y ⊥
‖φ+ ψ‖, (1)
де „min" означає, що нижня межа досягається;
2) простiр (X/Y )∗ iзометрично iзоморфний простору Y ⊥ i для кожного фiк-
сованого елемента x ∈ X
max
ψ∈Y ⊥,‖ψ‖≤1
∣∣ψ(x)
∣∣ = inf
y∈Y
‖x+ y‖
X
, (2)
де „min" означає, що верхня межа досягається.
Зауваження 1. Якщо X = Lp(T) i Y = H0
p , або Y = Hp, то (див., на-
приклад, [1, с. 132; 2, с. 138]) iснують єдинi екстремальнi елементи, для яких
досягаються вiдповiднi верхнi та нижнi межi у спiввiдношеннях (1) i (2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИМИ ФУНКЦIЯМИ ... 1049
2. Наближення дiйснозначних функцiй функцiями з простору Гардi. Функ-
цiя f : T → R називається знакосталою на T, якщо f ≥ 0 або ж f ≤ 0 майже
скрiзь на T.
Теорема 1. Нехай 1 ≤ p <∞, f : T → R — функцiя з Lp(T) i f 6≡ 0. Наступнi
твердження є рiвносильними:
1) функцiя g∗ ≡ 0 — єдиний елемент з H0
p , що найкраще наближає функцiю f,
тобто min
g∈H0
p
‖f + g‖p = ‖f + g∗‖p = ‖f‖p;
2) якщо p = 1, то функцiя f знакостала на T, якщо ж 1 < p < ∞, то
f ≡ const .
Доведення. 1) ⇒ 2). Згiдно iз зауваженням 1 iснує єдина функцiя F ∈ Hq =
= (Hp)⊥, 1/q + 1/p = 1, ‖F‖q = 1, така, що∫
T
Ffdσ = min
g∈H0
p
‖f + g‖p.
За умовою теореми g∗ ≡ 0 — єдина екстремальна функцiя з H0
p , для якої дося-
гається нижня межа у правiй частинi цього спiввiдношення. Отже, за нерiвнiстю
Гельдера
‖f‖p ≤ ‖F‖q‖f‖p = ‖f‖p ,
причому рiвнiсть можлива тодi i тiльки тодi, коли майже скрiзь на T
0 ≤ Ff = ‖f‖1−pp |f |p, якщо 1 ≤ p <∞, (3)
i
F |F |q−2 = ‖f‖−1
p f, якщо 1 < p <∞. (4)
Розглянемо на T множини
S−f :=
{
w ∈ T : f(w) < 0
}
,
S+
f :=
{
w ∈ T : f(w) > 0
}
i покажемо, що одна з цих множин має нульову мiру Лебега.
Припустимо, що це не так, тобто min(σ(S−f ), σ(S+
f )) > 0. Внаслiдок дiйсно-
значностi функцiї f iз спiввiдношення (3) випливає, що 0 ≤ Ff, тобто ImF = 0
майже скрiзь на T. Тому за формулою Шварца
F (z) = i
∫
T
ImF (w)
1 + wz
1− wz
dσ(w) + ReF (0) = ReF (0) ∀z ∈ D. (5)
Отже, функцiя F ≡ c, c ∈ R. Далi, на множинi S−f 0 ≤ cf. Отже, c ≤ 0. Але
i на множинi S+
f 0 ≤ cf. Отже, c ≥ 0. Таким чином, 0 = c ≡ F i внаслiдок (3)
f ≡ 0, що виключається умовою теореми.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
1050 В. В. САВЧУК
Отримана суперечнiсть доводить спiввiдношення
0 = min(σ(S−f ), σ(S+
f )) < max(σ(S−f ), σ(S+
f )) ≤ 1.
Отже, функцiя f є знакосталою на T i F ≡ c, c ∈ R, |c| = 1. Якщо ж 1 < p <∞,
то цi факти разом зi спiввiдношенням (4) свiдчать про те, що f = c‖f‖p = const
майже скрiзь на T.
2) ⇒ 1). Нехай для визначеностi f ≥ 0 майже скрiзь на T, якщо p = 1, i
f = const > 0, якщо 1 < p <∞.
З одного боку,
min
g∈H0
p
‖f + g‖p ≤ ‖f‖p,
а з iншого, згiдно зi спiввiдношенням (2),
min
g∈H0
p
‖f + g‖p = max
F∈Hq
‖F‖q≤1
∣∣∣∣∣∣
∫
T
Ffdσ
∣∣∣∣∣∣ ≥
∫
T
1 · fdσ = ‖f‖p.
Отже, ming∈H0
p
‖f + g‖p = ‖f‖p i згiдно iз зауваженням 1 функцiя g ≡ 0 є
єдиним елементом з H0
p , що найкраще наближає функцiю f.
Зауваження 2. У випадку наближення дiйснозначної функцiї f ∈ Lp(T),
1 < p <∞, множиною Hp можна довести таке твердження:
min
g∈Hp
‖f + g‖p = ‖f‖p ⇔ f ≡ 0.
Справдi, якщо виконується така рiвнiсть, то
‖f‖p = min
g∈Hp
‖f + g‖p ≤ min
g∈H0
p
‖f + g‖p ≤ ‖f‖p.
Отже, за теоремою 1 функцiя f є сталою. Згiдно зi спiввiдношенням двоїстостi
майже скрiзь на T виконується рiвнiсть (3), в якiй двоїста екстремальна функцiя F
належить H0
q . Отже, за формулою Шварца (5) F ≡ 0. Але виконання (4) при цьому
можливе лише тодi, коли f = 0 майже скрiзь на T.
Характеризацiю пiдмножини неперервних на T функцiй, якi є погано наближу-
ваними простором H∞, отримано в роботах [3, 4].
3. Наближення в середньому функцiй, голоморфних в D, функцiями, голо-
морфними в D∞. У цьому пунктi домовимося про такi позначення:
H+, H− — множини функцiй, голоморфних вiдповiдно в D i D∞;
H0
− — множина функцiй f, голоморфних в D∞, таких, що f(∞) = 0;
Pn — множина алгебраїчних многочленiв степеня не бiльшого за n, n ∈ N;
S+, S− — множини iнтегралiв типу Кошi – Cтiльтьєса вiдповiдно в D i D∞;
R+ — множина функцiй, голоморфних в D, для яких Re f ≥ 0;
Hp,− — простiр Гардi в D∞.
Нагадаємо, що iнтегралом типу Кошi – Стiльтьєса в D (вiдповiдно в D∞) нази-
вається функцiя f ∈ H+
(
f ∈ H0
−
)
вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИМИ ФУНКЦIЯМИ ... 1051
f(z) =
∫
T
dµ(w)
1− wz
∀z ∈ D (z ∈ D∞), (6)
де µ — комплексний заряд на T.
Нехай f ∈ H+, g ∈ H0
− i
‖f + g‖∗1 := lim
%→1−
∥∥∥∥f(% ·) + g
(
1
%
·
)∥∥∥∥
1
.
Величину infg∈H0
−
‖f + g‖∗1 будемо називати найкращим наближенням у серед-
ньому даної функцiї f ∈ H+ множиною H0
−. Якщо ця величина є скiнченною, то
будемо говорити, що функцiю f можна наблизити множиною H0
−.
З основного результату роботи [5] випливає характеризацiя множини функцiй iз
H+, якi можна наблизити множиноюH0
−. Так, перефразовуючи основний результат
цiєї роботи, отримуємо наступне твердження.
Твердження 1. Для того щоб функцiю f ∈ H+ можна було наблизити мно-
жиною H0
−, необхiдно i достатньо, щоб f ∈ S+, при цьому наближуючою пiд-
множиною з H0
− буде S−.
Твердження 1 залишається правильним, якщо в ньому формально помiняти
мiсцями H+ i H0
−, а також S+ i S−.
Покажемо, як спiввiдноситься множина S+ з деякими важливими для подаль-
шого викладу матерiалу множинами голоморфних функцiй.
Насамперед зазначимо, що згiдно з теоремами братiв Рiсiв i В. I. Смiрнова (див.,
наприклад, [1, с. 39, 40; 2, с. 100])
H1 ⊂ S+ ⊂
⋂
0<p<1
Hp.
Тому функцiї з S+ мають майже скрiзь на колi T граничнi значення по недотичних
шляхах. Якщо для граничних значень функцiй f ∈ S+ i g ∈ S− залишити тi ж
самi позначення f i g, то f, g ∈ Lp(T) для всiх p ∈ (0, 1).
Далi, за теоремою Рiса – Герґлотца голоморфна в D функцiя f належить R+
тодi i тiльки тодi, коли знайдеться борелiвська мiра µ на T така, що
f(z) =
∫
T
dµ(w)
1− wz
− f(0) ∀z ∈ D. (7)
Отже, R+ ⊂ S+.
З огляду на зазначенi факти нашою метою в даному пунктi буде вивчення
найкращих наближень функцiй з S+ множинами S−.
Нехай f ∈ H+,
f(z) =
∞∑
k=0
f̂kz
k, z ∈ D, де f̂k :=
f (k)(0)
k!
,
i g ∈ H0
−. Тодi за теоремою Кошi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
1052 В. В. САВЧУК
f̂0 =
∫
T
f(%w)dσ(w) =
∫
T
(
f(%w) + g
(
1
%
w
))
dσ(w), 0 < % < 1.
Звiдси випливає, що для будь-якої функцiї f ∈ H+ справджується оцiнка
inf
g∈H0
−
‖f + g‖∗1 ≥ |f̂0|. (8)
Природно виникає питання про те, для яких функцiй у цьому спiввiдношеннi
виконується рiвнiсть.
Характеризацiя множини таких функцiй випливає з наступного твердження.
Теорема 2. Нехай f належить H+ i f̂0 > 0. Наступнi твердження є рiвно-
сильними:
1) 2 Re f ≥ f̂0 у крузi D;
2) inf
g∈H0
−
‖f + g‖∗1 = ‖f + g
f
‖∗1 = f̂0, де g
f
(z) := f(1/z)− f̂0 — єдиний елемент
з H0
−, що найкраще наближає функцiю f.
Доведення. 1) ⇒ 2). Насамперед зазначимо, що f ∈ R+ ⊂ S+. Отже, згiдно
з твердженням 1 функцiю f можна наблизити в середньому множиною H0
−. Далi,
функцiя g
f
належить H0
− i f(z) + g
f
(1/z) > 0 у крузi D. Оскiльки для кожного
фiксованого % ∈ [0, 1) f(% ·) ∈ H1 i g
f
(1/% ·) ∈ H0
1,−, де
H0
1,− :=
{
f ∈ H0
− : функцiя z 7→ f(1/z) ∈ H1, z ∈ D
}
,
то за теоремою 1
min
g∈H0
1,−
‖f(% ·) + g(·)‖1 =
= min
h∈H0
1,−
‖f(% ·) + g
f
(1/% ·) + h(·)‖1 = ‖f(% ·) + g
f
(1/% ·)‖1 = f̂0. (9)
За теоремою двоїстостi g
f
(1/% ·) — єдина функцiя, для якої досягається нижня
межа в (9).
Звiдси випливає, що для будь-якої функцiї h ∈ H0
−
‖f(% ·) + g
f
(1/% ·)‖1 ≤ ‖f(% ·) + h(1/% ·)‖1 ∀% ∈ [1, 0),
i, отже,
‖f + g
f
‖∗1 ≤ ‖f + h‖∗1.
Якщо g1 — iнша функцiя з H0
− така, що ‖f + g1‖∗1 = infg∈H0
−
‖f + g‖∗1, то
на пiдставi того, що функцiя z 7→ f(z) + g1(1/z) у крузi D є функцiєю з гармо-
нiчного простору Гардi h1 (див., наприклад, [1, с. 2]), згiдно з (9) виконуються
спiввiдношення
f̂0 = ‖f(% ·) + g
f
(1/% ·)‖1 ≤ ‖f(% ·) + g1(1/% ·)‖1 ≤ f̂0 ∀% ∈ [0, 1).
Отже, за теоремою двоїстостi g1 = g
f
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИМИ ФУНКЦIЯМИ ... 1053
2) ⇒ 1). Для кожного фiксованого % ∈ [0, 1) за теоремою двоїстостi (див.
зауваження 1) iснує єдина функцiя g∗% ∈ H0
1,−, для якої
min
g∈H0
1,−
‖f(% ·) + g(·)‖1 =
∫
T
|f(%w) + g∗%(w)|dσ(w) = f̂0 .
Але оскiльки g∗% ∈ H0
1,−, то i∫
T
(f(%w) + g∗%(w))dσ(w) = f̂0.
Отже, майже скрiзь на T
0 ≤ f(%w) + g∗%(w) = |f(%w) + g∗%(w)|. (10)
Далi, розглянемо функцiю ϕ%(z) := g∗%(1/z) − f(%z) + f̂0, z ∈ D. Функцiя ϕ%
належитьH0
1 i згiдно з (10) Imϕ% = 0 майже скрiзь на T, тому за формулою Шварца
(див. (5)) ϕ%(z) = c, c ∈ R, для всiх z ∈ D. Але оскiльки ϕ% ∈ H0
1 , то 0 = ϕ̂%(0) = c.
Отже, Re g∗%(w) = Re f(%w)− f̂0 майже скрiзь на T i спiввiдношення (10) набирає
вигляду 0 ≤ 2 Re f(%w)− f̂0.
Зауваження 3. Якщо функцiя f належить простору Гардi H1 ⊂ H+, то
скрiзь у доведеннi теореми 2 можна вважати, що % = 1, а пiд функцiями f i g
f
розумiти їх граничнi значення на T.
Розглянемо тепер найкращi наближення функцiї f ∈ H+ множиною
Pn−1 +H0
− :=
{
f : f = p+ g, p ∈ Pn−1, g ∈ H0
−
}
при даному фiксованому n ∈ N.
Зрозумiло, що можливiсть такого наближення повнiстю характеризується твер-
дженням 1.
Якщо f ∈ H+ i g ∈ Pn−1 +H0
−, то за формулою Кошi
f̂n =
1
%n
∫
T
wn
(
f(%w) + g
(
1
%
w
))
dσ(w) ∀% ∈ [0, 1),
звiдки випливає оцiнка
inf
g∈Pn−1+H0
−
‖f + g‖∗1 ≥ |f̂n|. (11)
Найближчою нашою метою є знаходження умов на функцiю f, за яких спiввiд-
ношення (11) є рiвнiстю.
Нехай
Sn−1(f)(z) :=
n−1∑
k=0
f̂kz
k
— частинна сума ряду Тейлора функцiї f ∈ H+.
Наступне твердження є безпосереднiм наслiдком теореми 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
1054 В. В. САВЧУК
Теорема 3. Нехай n ∈ N, f ∈ H1 i |f̂n| > 0. Наступнi твердження є рiвно-
сильними:
1) 2 Re
f(z)− Sn−1(f)(z)
znf̂n
≥ 1 у крузi D;
2) inf
g∈Pn−1+H0
1,−
‖f + g‖1 = ‖f + g
f
‖1 = |f̂n|, де
g
f
(z) =
n−1∑
k=0
(
f̂2n−ke
i2 arg f̂n − f̂k
)
zk + ei2 arg f̂nz2n
(
f(1/z)− S2n(f)(1/z)
)
— єдиний елемент iз Pn−1 +H0
1,−, що найкраще наближає функцiю f.
Доведення. Розглянемо функцiї
ϕ(z) :=
1
znf̂n
(f(z)− Sn−1(f)(z)) , z ∈ D,
i
g
ϕ
(z) := ϕ(1/z)− ϕ̂0, z ∈ D∞.
Рiвносильнiсть тверджень 1 i 2 теореми встановлюється застосуванням теоре-
ми 2 до функцiй ϕ i gϕ з урахуванням зауваження 3 i рiвностi
ϕ(w) + g
ϕ
(w) =
=
1
f̂nwn
(f(w)− Sn−1(f)(w)) +
1
f̂nw
n
(
f(w)− Sn−1(f)(w)
)
− 1 =
=
1
wnf̂n
(
f(w) +
n−1∑
k=0
(
f̂2n−ke
i2 arg f̂n − f̂k
)
wk+
+ei2 arg f̂nw2n
(
f(w)− S2n(f)(w)
))
=
=
1
wnf̂n
(f(w) + g
f
(w)),
яка виконується майже в кожнiй точцi w ∈ T.
Наведемо тепер деякi iншi наслiдки теореми 2.
Наслiдок 1. Якщо f належить H∞, f 6= const, i |f | ≤ K у крузi D, то
inf
g∈H1,−
‖f + g‖1 ≤ min
(
K, 2(K − |f̂0|)
)
.
Доведення. Зрозумiло, що достатньо довести нерiвнiсть infg∈H− ‖f + g‖1 ≤
≤ 2(K − |f̂0|).
Для цього розглянемо функцiю
ϕ := 2K − |f̂0| − e−i arg f̂0f.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИМИ ФУНКЦIЯМИ ... 1055
Очевидно, що ϕ̂0 = 2
(
K − |f̂0|
)
i
2 Reϕ = 2
(
2K − |f̂0| − Re(e−i arg f̂0 f)
)
≥ 2
(
K − |f̂0|
)
= ϕ̂0 > 0.
Отже, за теоремою 2
inf
g∈H1,−
‖f + g‖1 = inf
g∈H1,−
‖e−i arg f̂0 f + g‖1 ≤
≤ min
g∈H0
1,−
‖ϕ+ g‖1 = ϕ̂0 = 2(K − |f̂0|).
Голоморфна в D функцiя f, f(0) = 0, називається опуклою в D, якщо вона
однолиста i образ f(D) є опуклою областю.
Наслiдок 2. Якщо f — опукла функцiя в D, то функцiя g
f
(z) := z2f(1/z)−
− f̂1z — єдиний елемент з H−, що найкраще наближає функцiю f, i
min
g∈H−
‖f + g‖∗1 = ‖f + g
f
‖∗1 = |f̂1|.
Доведення. Оскiльки функцiя f є однолистою, то f̂1 = f ′(0) 6= 0. Розглянемо
функцiю
F (z) :=
f(z)
f̂1z
.
Оскiльки F (0) = 1 i ReF > 1/2 (див., наприклад, [6, с. 45]), то за теоремою 2
1 = min
g∈H0
−
‖F + g‖∗1 = ‖F +G
F
‖∗1 =
1
|f̂1|
‖f + g
f
‖∗1,
де G
F
(z) := F (1/z)− 1.
Звiдси випливає спiввiдношення
min
g∈H−
‖f + g‖∗1 ≤ ‖f + g
f
‖∗1 = |f̂1|,
яке з урахуванням (11) насправдi є рiвнiстю.
Оскiльки за теоремою 2 функцiя G
F
(елемент найкращого наближення для F )
є єдиною, то звiдси випливає i єдинiсть функцiї g
f
.
Зауважимо, що безпосередньо зi спiввiдношення (11) i наслiдкiв 1 та 2 випли-
вають оцiнки коефiцiєнтiв Тейлора голоморфних функцiй:
|f̂n| ≤ min
(
K, 2(K − |f̂0|)
)
∀n ∈ N, якщо |f | ≤ K,
i
|f̂n| ≤ |f̂1| ∀n ∈ N, якщо f є опуклою.
Кожна з цих оцiнок є непокращуваною на вiдповiдному класi функцiй. Перша
вiдома як нерiвнiсть Каратеодорi, а друга — як нерiвнiсть Льовнера – Привалова
(див., наприклад, [6, с. 46]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
1056 В. В. САВЧУК
Наслiдок 3. Нехай f належить H+ i f(z) = 1 +
∑∞
k=1
f̂kz
k, z ∈ D. Якщо∑∞
k=1
|f̂k| ≤ 1/2, то функцiя g
f
(z) = f(1/z)− 1, z ∈ D∞, є єдиним елементом з
H0
1,−, що найкраще наближає функцiю f, i
min
g∈H0
1,−
‖f + g‖1 = ‖f + gf‖1 = 1. (12)
Доведення. Легко бачити, що
2 Re f(eit)− 1 = 1 + 2
∞∑
k=1
|f̂k| cos(kt− arg f̂k) ≥ 1− 2
∞∑
k=1
|f̂k| ≥ 0,
тобто 2 Re f ≥ 1 скрiзь на T.
Отже, за теоремою 2 виконується рiвнiсть (12).
Функцiя h : D → C називається внутрiшньою, якщо h голоморфна в D,
∣∣h(z)∣∣ ≤
≤ 1 для всiх z ∈ D i |h(z)| = 1 для майже всiх z ∈ T.
Зовнiшньою в просторiHp, p > 0, називається голоморфна в D функцiя вигляду
Q(z) = c exp
∫
T
w + z
w − z
logψ(w)dσ(w)
,
де c ∈ C, |c| = 1, i ψ — невiд’ємна функцiя з Lp(T) така, що logψ ∈ L1(T).
Поняття внутрiшньої та зовнiшньої функцiй у просторi Hp,−, p > 1, нам буде
зручно подати таким чином. Голоморфна в D∞ функцiя f називається внутрiшньою
(у просторi Hp,−), якщо функцiя z 7→ f(1/z), z ∈ D, є внутрiшньою. Голоморфна
в D∞ функцiя f називається зовнiшньою у просторi Hp,−, p > 0, якщо функцiя
z 7→ f(1/z), z ∈ D, є зовнiшньою у просторi Hp.
Вiдомо, що кожну функцiю f ∈ Hp, p > 0, можна єдиним чином, з точнiстю
до множника, рiвного за модулем одиницi, зобразити у виглядi f = hQ, де h —
внутрiшня, а Q — зовнiшня функцiя.
Позначимо
Hn
p := {f ∈ Hp : f̂j = 0, j = 0, n}, n ∈ Z+. (13)
Наведемо елементарне твердження, потрiбне для подальшого викладу.
Твердження 2. Нехай n ∈ N, 1 ≤ p ≤ ∞, f : T → C — функцiя з Lp(T) i h —
внутрiшня функцiя в D. Тодi
min
g∈Hnp
‖hf + g‖p ≤ min
g∈Hnp
‖f + g‖p ≤ min
g∈Hnp
‖hf + g‖p. (14)
Доведення. Якщо g ∈ Hn
p , то i hg ∈ Hn
p . Отже,
min
g∈Hnp
‖hf + g‖p = min
g∈Hnp
‖h(f + hg)‖p = min
g∈Hnp
‖f + hg‖p ≥ min
g∈Hnp
‖f + g‖p, (15)
i праву нерiвнiсть в (14) доведено. Продовжуючи далi спiввiдношення (15), одер-
жуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИМИ ФУНКЦIЯМИ ... 1057
min
g∈Hnp
‖f + g‖p = min
g∈Hnp
‖h(f + g)‖p ≥ min
g∈Hnp
‖hf + g‖p.
Зауваження 4. Якщо f належить H2,−, то при p = 2 у спiввiдношеннях (14)
виконуються рiвностi, оскiльки в такому випадку функцiя g ≡ 0 — єдиний елемент,
що найкраще наближає функцiї hf, f i hf.
З твердження 2 i теореми 1 маємо такi наслiдки.
Наслiдок 4. Нехай 1 ≤ p ≤ ∞, функцiя f ∈ Hp i f = hQ — розклад f на
внутрiшнiй i зовнiшнiй множники. Тодi
min
g∈H0
p,−
‖Q+ g‖p ≤ min
g∈H0
p,−
‖f + g‖p. (16)
Доведення. Справдi, функцiя h1(z) := h(1/z), ∈ D∞, є внутрiшньою в Hp,−.
Тому за другою нерiвнiстю в (14)
min
g∈H0
p,−
‖Q+ g‖p ≤ min
g∈H0
p,−
‖h1 ·Q+ g‖p =
= min
g∈H0
p,−
‖h ·Q+ g‖p = min
g∈H0
p,−
‖f + g‖p .
Наслiдок 5. Нехай 1 ≤ p ≤ ∞ i h — внутрiшня функцiя в D. Тодi
min
g∈H0
p
‖h+ g‖p = ‖h‖p = 1.
Доведення. Згiдно з першою нерiвнiстю в (14)
min
g∈H0
p
‖1 + g‖p ≤ min
g∈H0
p
‖h+ g‖p ≤ ‖h‖p = 1.
Але за теоремою 1 для 1 ≤ p <∞ лiва частина останнього спiввiдношення дорiв-
нює 1.
Якщо ж p = ∞, то для функцiї g1 ∈ H0
∞,що найкраще наближає 1, майже скрiзь
на T виконується спiввiдношення |1 + g1| ≤ 1, з якого випливає, що Re(−g1) ≥ 0
у крузi D, тобто −g1 ∈ R+. Отже, за теоремою Рiса – Герґлотца (див. (7))
−g1(z) =
∫
T
dµ(w)
1− wz
+ g1(0) ∀z ∈ D,
де µ — борелiвська мiра на T.
Але g1(0) = 0, тому
0 =
∫
T
dµ = |µ|(T).
Звiдси внаслiдок того, що µ ≥ 0, випливає, що µ ≡ 0 i g1 = 0.
4. Найкраще наближення алгебраїчними многочленами класiв голоморф-
них функцiй. Для даної послiдовностi комплексних чисел ψ := {ψk}∞k=0 такої,
що limk→∞
k
√
|ψk| ≤ 1, побудуємо функцiю
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
1058 В. В. САВЧУК
Ψ(z) :=
∞∑
k=0
ψkz
k, z ∈ D.
Якщо функцiя f належить H+, то сума ряду
(f ∗Ψ)(z) :=
∞∑
k=0
f̂kψkz
k
визначає функцiю, голоморфну в D, i називається згорткою Адамара функцiй f i Ψ.
Якщо для заданої послiдовностi ψ функцiю f ∈ H+ можна зобразити у виглядi
згортки g∗Ψ з деякою функцiєю g ∈ H+, то говорять [7], що f є ψ-iнтегралом функ-
цiї g. В свою чергу функцiю g називають ψ-похiдною функцiї f i використовують
при цьому позначення fψ.
Якщо X — деякий нормований лiнiйний простiр, то UX означатиме одиничну
кулю в ньому.
Визначимо клас Hψ
p , 1 ≤ p ≤ ∞, таким чином:
Hψ
p :=
{
f ∈ H+ : fψ ∈ UHp
}
.
Будемо говорити, що функцiя Ψ(z) =
∑∞
k=0
ψkz
k ∈ H+ є твiрним ядром класу
Hψ
p , якщо вона задовольняє умови, наведенi вище, i |ψk| > 0 для всiх k ∈ Z+.
Зрозумiло, що якщо Ψ є твiрним ядром i f ∈ Hψ
p , то
fψ(z) =
∞∑
k=0
1
ψk
f̂kz
k ∈ UHp, z ∈ D.
Розглянемо послiдовнiсть лiнiйних операторiв {Un}∞0 , заданих наH+,що дiють
за правилом
Un(f)(z) = Un,Λ(f)(z) =
n−1∑
k=0
λnk f̂kz
k, (17)
де λnk — елементи нескiнченної нижньотрикутної матрицi Λ := {λnk} , n = 1,∞,
k = 0, n− 1, над полем комплексних чисел.
Таким чином, будь-яка нижньотрикутна матриця Λ породжує за правилом (17)
певний лiнiйний полiномiальний метод наближення функцiй з H+.
Нехай X — нормований лiнiйний простiр функцiй, голоморфних в D, i A —
пiдмножина в H+. Величина
Ln (A;X) := inf
Λ
sup
f∈A
‖f − Un(f)‖
X
, n ∈ N,
де нижня межа береться по множинi усiх нижньотрикутних числових матриць Λ,
називається найкращим лiнiйним наближенням класу A в просторi X. Якщо iснує
матриця Λ∗, яка породжує послiдовнiсть операторiв {U∗n}∞0 таких, що
sup
f∈A
∥∥f − U∗n(f)
∥∥
X
= Ln(A;X), n = 0,∞,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИМИ ФУНКЦIЯМИ ... 1059
то кажуть, що матриця Λ∗ породжує найкращий лiнiйний метод наближення класу
A в просторi X.
Величина
En(A;X) := sup
f∈A
inf
Pn−1∈Pn−1
‖f − Pn−1‖X
називається найкращим многочленим наближенням порядку n класу A в прос-
торi X.
Нехай C(T%) — банахiв простiр неперервних на T% := {z ∈ C : |z| = %}, % > 0,
функцiй f з нормою
‖f‖
C(T%)
:= max
z∈T%
|f(z)|.
Теорема 4. Нехай функцiя Ψ(z) :=
∑∞
k=0
ψkz
k — твiрне ядро класу Hψ
p ,
1 ≤ p ≤ ∞.
1. Для кожного фiксованого % ∈ [0, 1] i кожного натурального n рiвнiсть
En
(
Hψ
∞;C(T%)
)
= Ln
(
Hψ
∞;C(T%)
)
= |ψn|%n (18)
має мiсце тодi i тiльки тодi, коли
2 Re
(
1
ψn
∞∑
k=0
ψk+nz
k
)
≥ 1 ∀z ∈ D. (19)
При цьому iснує єдиний найкращий лiнiйний метод наближення Λ∗ = {λ∗nk }, який
має вигляд
λ∗nk = 1− ψ2n−k
ψk
e2i argψn%2(n−k), k = 0, n− 1. (20)
2. Якщо виконується (19), то для кожного фiксованого % ∈ [0, 1] i кожного
натурального n при всiх p ∈ [1,∞)
En
(
Hψ
p ;Lp(T%)
)
= Ln
(
Hψ
p ;Lp(T%)
)
= sup
f∈Hψp
‖f − Un,Λ∗(f)‖
Lp(T%)
= |ψn|%n.
(21)
Зауваження 5. Якщо числа ψk для k = n,∞ є дiйсними, то умова (19)
рiвносильна такiй: гармонiчна функцiя
1
2
ψn + Re
∞∑
k=1
ψk+nz
k
є знакосталою в крузi D.
За таких обмежень на функцiю Ψ iмплiкацiю (19) ⇒ Ln
(
Hψ
p ;Lp(T%)
)
= |ψn|%n
доведено в роботi [8], де також побудовано найкращий лiнiйний метод наближення
у виглядi (20). За цих же обмежень на Ψ iмплiкацiя (19) ⇒ En
(
Hψ
p ;Lp(T%)
)
=
= |ψn|%n випливає з результатiв робiт [9, 10].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
1060 В. В. САВЧУК
Доведення. 1. Для кожної функцiї f ∈ Hψ
∞ має мiсце формула
f(%z) +
n−1∑
k=0
αk
ψk
f̂k%
kzk =
∫
T
fψ(wz)
(
Ψ(%w) +
n−1∑
k=0
αk%
kwk + g
(
1
%
w
))
dσ(w),
(22)
в якiй αk — будь-якi комплекснi числа, z ∈ T, % ∈ [0, 1) i g — довiльна функцiя
з H0
−.
З цiєї формули за теоремою двоїстостi (спiввiдношення (2)) маємо рiвностi
sup
f∈Hψ∞
∣∣∣∣∣f(%) +
n−1∑
k=0
αk
ψk
f̂k%
k
∣∣∣∣∣ =
= sup
h∈UH∞
∣∣∣∣∣∣
∫
T
h(w)
(
Ψ(%w) +
n−1∑
k=0
αk%
kw−k + g
(
1
%
w
))
dσ(w)
∣∣∣∣∣∣ =
= inf
g∈H0
1,−
∥∥∥∥∥Ψ(% ·) +
n−1∑
k=0
αk(% ·)k + g (·)
∥∥∥∥∥
1
.
Оскiльки клас Hψ
∞ є iнварiантним вiдносно зсуву аргументу, то звiдси випливає
Ln
(
Hψ
∞;C(T%)
)
= inf
Λ
sup
f∈Hψ∞
|f(%)− Un,Λ(f)(%)| =
= inf
αk
sup
f∈Hψ∞
∣∣∣∣∣f(%) +
n−1∑
k=0
αk
ψk
f̂k%
k
∣∣∣∣∣ =
= inf
αk
inf
g∈H0
1,−
∥∥∥∥∥Ψ(% ·) +
n−1∑
k=0
αk(% ·)k + g (·)
∥∥∥∥∥
1
=
= inf
g∈Pn−1+H0
1,−
‖Ψ(% ·) + g (·)‖1 . (23)
Отже, якщо виконується (18), то
inf
g∈Pn−1+H0
1,−
‖Ψ(% ·) + g (·)‖1 = %n|ψn|, (24)
i за теоремою 3 для функцiї Ψ(% ·), а вiдтак i для Ψ, виконується умова (19).
Навпаки, якщо має мiсце (19), то за теоремою 3 виконується рiвнiсть (24). Отже,
згiдно з (23) має мiсце (18).
2. Оцiнюючи iнтеграл, що стоїть у правiй частинi (22), за iнтегральною нерiв-
нiстю Мiнковського, одержуємо спiввiдношення∥∥∥∥∥f(% ·) +
n−1∑
k=0
αk
ψk
f̂k(% ·)k
∥∥∥∥∥
p
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИМИ ФУНКЦIЯМИ ... 1061
≤
∥∥∥∥∥∥
∫
T
fψ(w ·)
(
Ψ(%w) +
n−1∑
k=0
αk%
kwk + g
(
1
%
w
))
dσ(w)
∥∥∥∥∥∥
p
≤
≤ ‖fψ‖p
∥∥∥∥∥Ψ(% ·) +
n−1∑
k=0
αk(% ·)k + g
(
1
%
·
)∥∥∥∥∥
1
,
з якого випливає оцiнка
En
(
Hψ
p ;Lp(T%)
)
≤ Ln
(
Hψ
p ;Lp(T%)
)
≤ inf
g∈Pn−1+H0
1,−
‖Ψ(% ·) + g(·)‖1.
Оскiльки за умови (19) виконується (24), то
En
(
Hψ
p ;Lp(T%)
)
≤ Ln
(
Hψ
p ;Lp(T%)
)
≤ %n|ψn|.
З iншого боку, за теоремою двоїстостi (спiввiдношення (1)) для функцiї f∗(z) =
= ψnz
n має мiсце рiвнiсть
min
Pn−1∈Pn−1
∥∥f∗(% ·)− Pn−1(·)
∥∥
Hp
= sup
g∈Lq,n(T)
∣∣∣∣∣∣
∫
T
f∗(%w)g(w)dσ(w)
∣∣∣∣∣∣ ,
в якiй
Lq,n(T) :=
{
g ∈ ULq(T) :
∫
T
g(w)wkdσ(w) = 0, k = 0, n− 1
}
.
Отже,
En
(
Hψ
p ;Lp(T%)
)
≥ min
Pn−1∈Pn−1
‖f∗(% ·)− Pn−1(·)‖Hp ≥
≥
∣∣∣∣∣∣
∫
T
f∗(%w)wndσ(w)
∣∣∣∣∣∣ = %n|ψn|,
що i завершує доведення другої частини теореми.
З’ясуємо тепер умови на твiрну функцiю Ψ, за яких простiр алгебраїчних мно-
гочленiв буде оптимальним наближуючим n-вимiрним простором для класiв Hψ
p в
сенсi n-поперечникiв (див. означення далi).
Для цього нам потрiбне наступне твердження, яке дає необхiднi i достатнi
умови на функцiю Ψ, за яких має мiсце узагальнена нерiвнiсть Бернштейна для
алгебраїчних многочленiв на колi T в термiнах ψ-похiдних.
Теорема 5. Нехай ψ := {ψ0, . . . , ψn}, n ∈ N, — набiр комплексних чисел,
вiдмiнних вiд нуля.
1. Для того щоб для будь-якого алгебраїчного многочлена Pn ∈ Pn виконува-
лась узагальнена нерiвнiсть Бернштейна
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
1062 В. В. САВЧУК
∥∥Pψn ∥∥
C(T)
≤ 1
|ψn|
‖Pn‖C(T)
, (25)
необхiдно i достатньо, щоб iснувала послiдовнiсть чисел {ck}∞k=0 така, що
2 Re
(
n∑
k=0
ψn
ψn−k
zk + zn+1
∞∑
k=0
ckz
k
)
≥ 1 ∀z ∈ D. (26)
2. Якщо виконується (26), то для будь-якого алгебраїчного многочлена Pn ∈
∈ Pn при кожному p ∈ [1,∞)
∥∥Pψn ∥∥
Lp(T)
≤ 1
|ψn|
‖Pn‖Lp(T)
. (27)
Рiвнiсть у (27) досягається для Pn(z) = zn.
Зауваження 6. Умова (26) рiвносильна кожнiй iз наступних умов:
1) iснує борелiвська мiра µ на T така, що
∫
T
w−kdµ(w) =
ψn
ψn−k
, k = 0, . . . , n;
2) для кожного натуральногоm i будь-яких комплексних чисел λk, k = 0, 1, . . . ,
m∑
k=0
m∑
l=0
γk−lλkλl ≥ 0, (28)
де
γk =
ψn
ψn−k
, k = 0, . . . , n,
ck, k = n+ 1, . . . ,
i γ−k = γk, k ≥ 1.
Справдi, позначаючи
F (z) := 1 + 2
n∑
k=1
ψn
ψn−k
zk + 2zn+1
∞∑
k=0
ckz
k,
бачимо, що умова (26) рiвносильна тому, що ReF ≥ 0 у крузi D, тобто F належить
R+, що, в свою чергу, за теоремою Рiса – Герґлотца рiвносильне рiвностi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИМИ ФУНКЦIЯМИ ... 1063
F (z) =
∫
T
dλ(w)
1− wz
− 1 = (d̂λ0 − 1) +
∞∑
k=1
d̂λkz
k ∀z ∈ D,
де λ — додатна борелiвська мiра на T.
З iншого боку, за теоремою Каратеодорi (див., наприклад, [6, с. 40]) F належить
R+ тодi i тiльки тодi, коли виконується (28).
У випадку, коли числа ψk є такими, що умова (26) виконується при ck = 0,
k = 0, 1, . . . , iмплiкацiя (26) ⇒ (25) доведена Г. Сеге (див. посилання в [11,
с. 173]) i передоведена в [12].
Доведення. Нехай для будь-якого многочлена Pn ∈ Pn виконується (25). Оче-
видно, що для многочлена P ∗n(z) = zn в (25) виконується рiвнiсть. Отже,
sup
Pn∈UPn
‖Pψn ‖C(T)
=
1
|ψn|
, (29)
де UPn :=
{
Pn ∈ Pn : ‖Pn‖C(T)
≤ 1
}
.
Оскiльки
Pψn (z) =
zn
ψn
∫
T
Pn(w)
wn
(
n∑
k=0
ψn
ψn−k
(w
z
)k)
dσ(w) ∀z ∈ C
i множина UPn є iнварiантною вiдносно зсуву аргументу, тобто (Pn ∈ UPn) ⇒
⇒ (Pn(eiθ·) ∈ UPn ∀θ ∈ [0, 2π]), то за теоремою двоїстостi (спiввiдношення (1)) i
з урахуванням (29) маємо рiвностi
1 = |ψn| sup
Pn∈UPn
∥∥Pψn ∥∥
C(T)
= |ψn| sup
Pn∈UPn
∣∣Pψn (1)
∣∣ =
= sup
Pn∈UPn
∣∣∣∣∣∣
∫
T
Pn(w)
wn
(
n∑
k=0
ψn
ψn−k
wk
)
dσ(w)
∣∣∣∣∣∣ = inf
µ∈Mn(ψ)
|µ|(T), (30)
де
Mn(ψ) :=
µ ∈M(T) : d̂µk :=
∫
T
w−kdµ(w) =
ψn
ψn−k
, k = 0, n
i M(T) — банахiв простiр комплексних зарядiв µ на T з повною варiацiєю |µ|(T) у
ролi норми.
Нехай {µν}∞ν=1 — послiдовнiсть зарядiв з Mn(ψ) така, що
lim
ν→∞
|µν |(T) = inf
µ∈Mn(ψ)
|µ|(T) = 1.
Розглянемо iнтеграл Пуассона – Стiльтьєса заряду µν
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
1064 В. В. САВЧУК
P (dµν)(z) :=
∫
T
1− |z|2
|1− ζz|2
dµν(ζ), z ∈ D.
Оскiльки для кожного ν ∈ N
|P (dµν)(z)| ≤
1 + |z|
1− |z|
sup
ν∈N
|µν |(T)
на кожному компактi в D, то послiдовнiсть функцiй P (dµν), ν = 1, 2, . . . , є рiвно-
мiрно обмеженою в D.
Тому за принципом згущення для гармонiчних функцiй (див., наприклад, [13,
с. 25]) з послiдовностi {P (dµν)}∞ν=1 можна видiлити пiдпослiдовнiсть, яка буде
рiвномiрно збiгатися в D до деякої гармонiчної функцiї, наприклад до u. Модуль
|u| при цьому буде границею пiдпослiдовностi
∣∣P (dµνj )
∣∣ на кожному компактi K
в D, тобто
|u(z)| = lim
j→∞
∣∣P (dµνj )(z)
∣∣ ∀z ∈ K ⊂ D.
Звiдси за лемою Фату з урахуванням (30) для будь-якого % ∈ [0, 1) справджується
спiввiдношення ∫
T
|u(%w)|dσ(w) ≤ lim
ν→∞
∫
T
|P (dµν)(%w)|dσ(w) ≤
≤ lim
ν→∞
|µν |(T) = inf
µ∈Mn(ψ)
|µ|(T) = 1. (31)
З рiвномiрної збiжностi пiдпослiдовностi P (dµνj ) до u випливає, що (̂dµνj )k → ûk
при j →∞ для кожного k ∈ Z.
Отже, гармонiчну функцiю u в крузi D можна подати у виглядi
u(%w) =
n∑
k=0
ψn
ψn−k
%kwk +
∑
k 6=0,1,...,n
ck%
|k|wk =
=
n∑
k=0
ψn
ψn−k
%kwk + h(%w) + g
(
1
%
w
)
∀% ∈ [0, 1) ∀w ∈ T,
де ck — певнi числа такi, що функцiї
h(z) := zn+1
∞∑
k=0
ckz
k, z ∈ D,
i
g(z) :=
∞∑
k=1
c−k
1
zk
, z ∈ D∞,
є функцiями вiдповiдно з Hn
+ i H0
−.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИМИ ФУНКЦIЯМИ ... 1065
Розглянемо тепер найкраще наближення функцiї
∑n
k=0
ψn
ψn−k
zk+h(z) множи-
ною H0
−.
Очевидно, що згiдно з (8) i (31)
1 ≤ inf
f∈H0
−
∥∥∥∥∥
n∑
k=0
ψn
ψn−k
(·)k + h(·) + f(·)
∥∥∥∥∥
∗
1
≤
≤
∥∥∥∥∥
n∑
k=0
ψn
ψn−k
(·)k + h(·) + g(·)
∥∥∥∥∥
∗
1
= ‖u‖∗1 ≤ 1.
Отже, скрiзь в останнiх спiввiдношеннях виконується рiвнiсть. Тому за теоре-
мою 2
2 Re
(
n∑
k=0
ψn
ψn−k
zk + h(z)
)
≥ 1 ∀z ∈ D,
що й завершує доведення необхiдностi умов теореми.
Нехай виконується умова (26). Для доведення достатностi цiєї умови заува-
жимо, що для будь-якої функцiї g ∈ H0
− та будь-якого % ∈ [0, 1) у кожнiй точцi
z ∈ T
Pψn (z) =
1
ψn%n
∫
T
Pn(%zw)
wn
×
×
(
n∑
k=0
ψn
ψn−k
(%w)k + (%w)n+1
∞∑
k=0
ck(%w)k + g
(
1
%
w
))
dσ(w).
Звiдси, вибираючи належним чином функцiю g, за нерiвнiстю Гаусдорфа – Юнга
отримуємо оцiнку
∥∥Pψn ∥∥p ≤ 1
|ψn|%n
‖Pn‖p
∥∥∥∥∥2 Re
(
n∑
k=0
ψn
ψn−k
(% ·)k +
∞∑
k=0
ck(% ·)k+n+1
)
− 1
∥∥∥∥∥
1
=
=
1
|ψn|%n
‖Pn‖p, 1 ≤ p ≤ ∞.
Спрямувавши тепер % до 1, одержимо вiдповiдно (25) i (27).
Нехай X — комплексний нормований лiнiйний простiр, A — пiдмножина в X,
Xn — n-вимiрний пiдпростiр X, Xn — пiдпростiр X ковимiрностi n i Ln : X → Xn
— неперервний лiнiйний оператор рангу n.
Величини
bn(A;X) := sup
Xn+1
sup {r : rUXn+1 j A} ,
dn(A;X) := inf
Xn
sup
f∈A
inf
g∈Xn
‖f + g‖
X
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
1066 В. В. САВЧУК
dn(A;X) := inf
Xn
sup
f∈A∩Xn
‖f‖
X
,
δn(A;X) := inf
Ln
sup
f∈A
‖f + Ln(f)‖
X
називають вiдповiдно бернштейнiвським, колмогоровським, гельфандiвським та
лiнiйним n-поперечником.
Оптимальними пiдпросторами для перших трьох iз наведених поперечникiв
називають пiдпростори, для яких досягаються вiдповiдно верхня межа для bn та
нижнi межi для dn i dn. Аналогiчно для δn оператор Ln називають оптимальним,
якщо для нього досягається нижня межа.
Перерахованi n-поперечники спiввiдносяться мiж собою таким чином (див.,
наприклад, [14], гл. 2)
bn(A;X) ≤ dn(A;X)
dn(A;X)
≤ δn(A;X). (32)
Теорема 6. Нехай 1 ≤ p ≤ ∞, Ψ(z) :=
∑∞
k=0
ψkz
k — твiрне ядро класу Hψ
p ,
n ∈ N i Dn — один з n-поперечникiв bn, dn, dn або ж δn. Якщо для Ψ одночасно
виконуються умови (19) i (26), то для будь-якого % ∈ [0, 1]
Dn(Hψ
p ;Lp(T%)) = |ψn|%n. (33)
При цьому:
1) простiр Pn є оптимальним пiдпростором для bn;
2) простiр Pn−1 є оптимальним пiдпростором для dn;
3) простiр Hn−1
p (див. позначення (13)) є оптимальним пiдпростором для dn;
4) оператор Ln := Un,Λ∗ , де елементи матрицi Λ∗ визначаються прави-
лом (20), є оптимальним для δn.
За умови, що послiдовнiсть {ψk}∞k=0 задовольняє умови зауваження 5 та умо-
ву (26) зi значеннями ck = 0, k = 0,∞, рiвнiсть (33) доведено в [12], а її окремi
випадки (за конкретних значень послiдовностi ψk) — в [15, 16].
Доведення. Згiдно зi спiввiдношенням (32) достатньо довести оцiнки
bn
(
Hψ
p ;Lp(T%)
)
≥ |ψn|%n
i
δn
(
Hψ
p ;Lp(T%)
)
≤ |ψn|%n.
Перша оцiнка випливає з означення поперечника bn та теореми 5, яка гарантує,
що множина %n|ψn|UPn :=
{
P ∈ Pn :
∥∥P (% ·)
∥∥
Lp(T)
≤ %n|ψn|
}
мiститься в Hψ
p .
Друга ж оцiнка — це наслiдок теореми 4, оскiльки δn
(
Hψ
p ;Lp(T%)
)
≤ Ln
(
Hψ
p ;
Lp(T%)
)
.
Оптимальнiсть простору Pn для bn випливає з теореми 5, а простору Pn−1
для dn є наслiдком теореми 4 i рiвностi (33). Оптимальнiсть простору Hn−1
p для
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИМИ ФУНКЦIЯМИ ... 1067
dn — це наслiдок рiвностi (33) i того факту, що функцiя f(z) = ψnz
n належить
Hψ
p ∩Hn−1
p . Оптимальнiсть оператора Ln — це наслiдок рiвностей (33) i (21).
1. Duren P. Theory of Hp spaces. – New York: Acad. Press, 1970. – 258 p.
2. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. – М.: Мир, 1984. – 469 p.
3. Poreda S. J. A characterization of badly approximable functions // Trans. Amer. Math. Soc. – 1972.
– 169. – P. 249 – 256.
4. Gamelin T. W., Garnett J. B., Rubel L. A., Shields A. L. On badly approximable functions // J.
Approxim. Theory. – 1976. – 17, № 3. – P. 280 – 296.
5. Тумаркин Г. Ц. Об интегралах типа Коши – Стильтьеса // Успехи мат. наук. – 1956. – 11, № 4.
– С. 163 – 166.
6. Pommerenke Chr. Univalent functions. – Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 1975. – 376 p.
7. Степанец А. И., Савчук В. В. Приближения интегралов типа Коши // Укр. мат. журн. – 2002.
– 54, № 5. – С. 706 – 740.
8. Белый В. И., Двейрин М. З. О наилучших линейных методах приближения на классах функций,
определяемых союзными ядрами // Метрические вопросы теории функций и отображений. –
Киев: Наук. думка, 1971. – 5. – С. 37 – 54.
9. Бабенко К. И. Наилучшие приближения классов аналитических функций // Изв. АН СССР.
Сер. мат. – 1958. – 222, № 5. – С. 631 – 640.
10. Scheick J. T. Polynomial approximation of functions analytic in a disk // Proc. Amer. Math. Soc. –
1966. – 17. – P. 1238 – 1243.
11. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений: В 2 т. – М.: Изд-во АН СССР, 1954. – Т. 2. – 630 с.
12. Тайков Л. В. Поперечники некоторых классов аналитических функций // Мат. заметки. – 1977.
– 22, № 2. – С. 285 – 295.
13. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1966.
– 623 с.
14. Pinkus A. n-Widths in approximation theory. – Berlin: Springer, 1985. – 291 p.
15. Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональном пространстве и теория наилучших
приближений // Успехи мат. наук. – 1960. – 15, № 3. – С. 81 – 120.
16. Тайков Л. В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций
// Мат. заметки. – 1967. – 1, № 2. – С. 155 – 162.
Одержано 11.07.2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-3369 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:41:15Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/04/53b018553be1cb0b29f8befed6444004.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33692020-03-18T19:52:34Z Best approximation by holomorphic functions. Application to the best polynomial approximation of classes of holomorphic functions Найкращі наближення голоморфними функціями. Застосування до найкращих многочленних наближень класів голоморфних функцій Savchuk, V. V. Савчук, В. В. We find necessary and sufficient conditions under which a real function from $L_p(\mathbb{T}),\; 1 \leq p < \infty$, is badly approximable by the Hardy subspace $H_p^0: = \{f \in H_p:\; F(0) = 0\}$. In a number of cases, we obtain exact values for the best approximations in the mean of functions holomorphic in the unit disk by functions that are holomorphic outside the unit disk. We use obtained results in determining exact values of the best polynomial approximations and га-widths of some classes of holomorphic functions. We find necessary and sufficient conditions under which the generalized Bernstein inequality for algebraic polynomials on the unit circle is true. Установлены необходимые и достаточные условия, при которых действительнозначная функция из $L_p(\mathbb{T}),\; 1 \leq p < \infty$, является плохо приближаемой подпространством Гарди $H_p^0: = \{f \in H_p:\; F(0) = 0\}$. В ряде случаев найдены точные значения наилучших приближений в среднем функций, голоморфных в круге единичного радиуса, функциями, являющимися голоморфными вне этого круга. Полученные результаты применены к нахождению точных значений величин наилучших многочленных приближений и га-поперечников некоторых классов голоморфных функций. Установлены необходимые и достаточные условия, при которых выполняется обобщенное неравенство Бернштейна для алгебраических многочленов на единичной окружности. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3369 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 8 (2007); 1047–1067 Український математичний журнал; Том 59 № 8 (2007); 1047–1067 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3369/3481 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3369/3482 Copyright (c) 2007 Savchuk V. V. |
| spellingShingle | Savchuk, V. V. Савчук, В. В. Best approximation by holomorphic functions. Application to the best polynomial approximation of classes of holomorphic functions |
| title | Best approximation by holomorphic functions. Application to the best polynomial approximation of classes of holomorphic functions |
| title_alt | Найкращі наближення голоморфними функціями. Застосування до найкращих многочленних наближень класів голоморфних функцій |
| title_full | Best approximation by holomorphic functions. Application to the best polynomial approximation of classes of holomorphic functions |
| title_fullStr | Best approximation by holomorphic functions. Application to the best polynomial approximation of classes of holomorphic functions |
| title_full_unstemmed | Best approximation by holomorphic functions. Application to the best polynomial approximation of classes of holomorphic functions |
| title_short | Best approximation by holomorphic functions. Application to the best polynomial approximation of classes of holomorphic functions |
| title_sort | best approximation by holomorphic functions. application to the best polynomial approximation of classes of holomorphic functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3369 |
| work_keys_str_mv | AT savchukvv bestapproximationbyholomorphicfunctionsapplicationtothebestpolynomialapproximationofclassesofholomorphicfunctions AT savčukvv bestapproximationbyholomorphicfunctionsapplicationtothebestpolynomialapproximationofclassesofholomorphicfunctions AT savchukvv najkraŝínabližennâgolomorfnimifunkcíâmizastosuvannâdonajkraŝihmnogočlennihnabliženʹklasívgolomorfnihfunkcíj AT savčukvv najkraŝínabližennâgolomorfnimifunkcíâmizastosuvannâdonajkraŝihmnogočlennihnabliženʹklasívgolomorfnihfunkcíj |