Multiple Fourier sums and ψ-strong means of their deviations on the classes of ψ-differentiable functions of many variables
We present results concerning the approximation of ψ-differentiable functions of many variables by rectangular Fourier sums in uniform and integral metrics and establish estimates for φ-strong means of their deviations in terms of the best approximations.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3371 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509449611902976 |
|---|---|
| author | Lasuriya, R. A. Stepanets, O. I. Ласурия, Р. А. Степанец, А. И. Ласурия, Р. А. Степанец, А. И. |
| author_facet | Lasuriya, R. A. Stepanets, O. I. Ласурия, Р. А. Степанец, А. И. Ласурия, Р. А. Степанец, А. И. |
| author_sort | Lasuriya, R. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:52:34Z |
| description | We present results concerning the approximation of ψ-differentiable functions of many variables by rectangular Fourier sums in uniform and integral metrics and establish estimates for φ-strong means of their deviations in terms of the best approximations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:41:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
А. И. Степанец (Ин-т математики НАН Украины, Киев),
Р. А. Ласурия (Абхаз. ун-т, Сухум)
КРАТНЫЕ СУММЫ ФУРЬЕ
И ϕ-СИЛЬНЫЕ СРЕДНИЕ ИХ УКЛОНЕНИЙ
НА КЛАССАХ ψ-ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
We present results concerning the approximation of ψ-differentiable functions of many variables by
rectangular Fourier sums in uniform and integral metrics and establish estimates for ϕ-strong means of
their deviations in terms of the best approximations.
Викладено результати з наближення ψ-диференцiйовних функцiй багатьох змiнних прямокутними
сумами Фур’є у рiвномiрнiй та iнтегральнiй метриках, а також встановлено оцiнки ϕ-сильних
середнiх їх вiдхилень у термiнах найкращих наближень.
1. Основные определения. Пусть f(x) = f(x1, . . . , xm) − 2π-периодическая
по каждой переменной суммируемая на кубе периодов Tm = [−π, π]m функция,
f(x) ∈ L ≡ L(Tm) =
{
f : ‖f‖L =
∫
Tm
|f(x)| dx <∞
}
;
S[f ] =
∞∑
k1=0
. . .
∞∑
km=0
2−q(k1, ..., km)Ak1, ..., km(f ;x) ≡
∞∑
k=0
2−q(k)Ak(f ;x), (1)
где q(k) = q(k1, . . . , km) — количество нулевых координат точки k = (k1, . . . , km),
Ak(f ;x) ≡
∑
γ∈P
ak(f ; γ)
m∏
i=1
cos
(
ki xi − γi
π
2
)
, (2)
P — множество всех точек γ = (γ1, . . . , γm) ∈ Rm, координаты которых имеют
значения, равные нулю либо единице, и
ak(f ; γ) = π−m
∫
Tm
f(t)
m∏
i=1
cos
(
ki ti − γi
π
2
)
dt (3)
— коэффициенты Фурье функции f(x), соответствующие вектору k и набору γ.
Из (1) – (3) получаем
Ak(f ;x) = π−m
∫
Tm
f(t)
m∏
i=1
cos ki (ti − xi) dt,
тогда
S[ f ] =
∞∑
k=0
2−q(k)
∫
Tm
f(t)
m∏
i=1
cos ki (ti − xi) dt. (1′)
Выражения (1) и (1′) называются полным рядом Фурье функции f(x).
c© А. И. СТЕПАНЕЦ, Р. А. ЛАСУРИЯ, 2007
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8 1075
1076 А. И. СТЕПАНЕЦ, Р. А. ЛАСУРИЯ
Пусть m = {1, . . . , m}, µ ⊂ m и |µ| — количество элементов множества µ.
Каждой функции f(x) ∈ L(Tm) поставим в соответствие ряд вида
S[ f ]µ =
∞∑
k µ=0
2−q(k) π−|µ|
∫
T |µ|
f(tµ + xc µ)
∏
i∈µ
cos ki (ti − xi) dtµ, (4)
где k µ = (kj1 , . . . , kj|µ|), j1, . . . , j|µ| ∈ µ, tµ = (t1, . . . , tm), причем ti = 0, если
i ∈ cµ, cµ = m\µ, xcµ = (x1, . . . , xm) и xi = 0, если i ∈ µ, т. е. tµ+xcµ — точка из
Rm, у которой координаты, имеющие номера из множества µ, обозначаются через
ti, остальные — через xi. Ряд (4) называется частным рядом Фурье функции f(x) ∈
∈ L(Tm) по группе переменных xi, i ∈ µ. Ясно, что если µ = m, то S[ f ]µ = S[ f ].
Пусть, далее, ψi =
(
ψ
(1)
i (ki), ψ
(2)
i (ki)
)
— пары произвольных систем действи-
тельных чисел ψ(j)
i (ki), i = 1, . . . ,m; j = 1, 2; ψ(1)
i (0) df=1, ψ(2)
i (0) df=0. Предполо-
жим, что для данной функции f(x) ∈ L(Tm) и набора µ ряд (см. [1 – 3])
∞∑
k µ=1
π−|µ|
∫
T |µ|
f(tµ + xcµ)
∏
i∈µ
ψ
(1)
i (ki) cos ki(ti − xi) + ψ
(2)
i (ki) sin ki(ti − xi)
ψ
2
i (ki)
dtµ,
ψ
2
i (ki) ≡
(
ψ1
i (ki))
2 + (ψ2
i (ki)
)2 6= 0, ki = 0, 1, . . . , i = 1, . . . ,m,
является рядом Фурье некоторой функции F (x) ∈ (Tm) по переменным xi, i ∈ µ.
Эту функцию обозначим через fψµ(x) и назовем ψµ-производной функции f(x):
F (x) = fψµ(x).
Множество функций f(x) ∈ L(Tm) таких, что для любого µ ⊆ m существуют
производные fψµ(x) ∈ L(Tm), обозначим Lψ = Lψ(Tm). Если f(x) ∈ Lψ и для
любого µ ⊂ m справедливо включение fψµ ∈ N, где N — некоторое подмножество
из ⊂ L(Tm), то множество таких функций обозначим через LψN. Подмножество
непрерывных функций f(x), f(x) ∈ C = C(Tm), из LψN обозначим через CψN.
При m ≥ 1 определение ψµ-производной для любого µ ⊆ m совпадает с опре-
делением (ψ, β)µ-производной (см. [4]) в том смысле, что любая ψµ-производная
совпадает с (ψ, β)µ-производной, если определяющие их параметры связаны со-
отношениями
ψ
(1)
i (ki) = ψi(ki) cosβi
π
2
, ψ
(2)
i (ki) = ψi(ki) sinβi
π
2
. (5)
При этом Lψ = Lψβ , βi ∈ R, а также любая (ψ, β)µ-производная является и ψµ-
производной, если имеет место равенство (5).
Пусть M — множество положительных непрерывных выпуклых вниз функций
ψ(v) непрерывного аргумента v ≥ 1 таких, что
lim
v→∞
ψ(v) = 0 и M′ =
ψ ∈ M :
∞∫
1
|ψ(v)|
v
dv <∞
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
КРАТНЫЕ СУММЫ ФУРЬЕ И ϕ-СИЛЬНЫЕ СРЕДНИЕ ИХ УКЛОНЕНИЙ ... 1077
Обозначение ±ψ ∈ A означает, что либо ψ ∈ A, либо −ψ ∈ A.
Последовательности ψ
(j)
i (ki), j = 1, 2, будем рассматривать как сужение на
множестве N натуральных чисел функций ψ(j)
i (vi) ∈ M.
Каждой функции ψ(v) ∈ M сопоставим пару функций
η(t) = η(ψ; t) = ψ−1
(
1
2
ψ(t)
)
и µ(t) = µ(ψ; t) =
t
η(t)− t
,
где ψ−1(·) — функция, обратная к ψ(·), и выделим следующие подмножества
(см. [1, c. 159, 160, 165, 186]):
M0 =
{
ψ ∈ M : 0 < µ(t) ≤ K
}
, K ≡ const > 0,
M′
0 = M′ ∩M0, F =
{
ψ ∈ M : η′(t) ≤ K
}
.
Пусть, далее, Tµ, n — множество функций tµ, n(x) ∈ L, которые являются тригоно-
метрическими полиномами порядка ni − 1, i ∈ µ :
tµ, n(x) =
(n−1) µ∑
k µ=0
∑
γµ∈R|µ|
ak µ(xcµ , γµ)
∏
i∈µ
cos
(
ki xi − γi
π
2
)
,
γµ = (γj1 , . . . , γj |µ|), причем γj k
принимают значения, равные нулю либо единице,
akµ(·) — функции переменных xi, i ∈ µ, суммируемые на кубе периодов T |c µ|,
Eµ, n(g) = inf
tµ, n∈Tµ, n
∥∥g(x)− tµ, n(x)
∥∥
C
, ‖g‖C = max
x
|g(x)|,
— наилучшее приближение функции g(x) посредством функций tµ, n ∈ Tµ, n в
равномерной метрике и
Eµ, n(g) = inf
tµ, n∈Tµ, n
∥∥g(x)− tµ, n(x)
∥∥
L
— наилучшее приближение g ∈ L в интегральной метрике.
2. Приближения суммами Фурье. Здесь излагаются результаты по при-
ближению функций из множеств CψC прямоугольными суммами Фурье, когда
±ψ(j)
i ∈ F, j = 1, 2, а также из множеств Lψ в интегральной метрике в случае
±ψ(1)
i ∈ M0, ±ψ(2)
i ∈ M′
0.
В принятых обозначениях имеет место следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть ±ψ(j)
i ∈ F, j = 1, 2, i = 1, . . . ,m, и выполняются условия
0 < K
(i)
1 ≤ ηi(ψ
(1)
i ; ti)− ti
ηi(ψ
(2)
i ; ti)− ti
≤ K
(i)
2 , i = 1, . . . ,m. (6)
Тогда для любой f ∈ CψC
∥∥ρn(f ;x)
∥∥
c
≤
m∑
k=1
(
4
π2
)k ∑
|µ|=k
Eµ, n(fψµ)
∏
i∈µ
ψi(ni) ln+(ηi(ni)− ni) + bψn(f), (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
1078 А. И. СТЕПАНЕЦ, Р. А. ЛАСУРИЯ
где
∥∥bψn(f)
∥∥ ≤ K
m∑
k=1
∑
|µ|=k
Eµ, n(fψµ)
∏
i∈µ
ψi(ni)
∑
µ̃⊂µ
µ̃6=µ
∏
i∈µ̃
ln+(ηi(ni)− ni),
ηi(ni) есть либо ηi
(
ψ
(1)
i ;ni
)
, либо ηi
(
ψ
(2)
i ;ni
)
, K — величина, равномерно ограни-
ченная по n ∈ Nm, f ∈ CψC, ln+ x = max(lnx, 0).
При m = 1 утверждение теоремы 1 переходит в соответствующее утверждение
из [1, c. 266], где показано, что в этом случае неравенство (7) асимптотически
точно на всем классе CψC, а также на ряде важных подмножеств из CψC. Аналог
теоремы 1 в интегральной метрике содержится в [3].
Доказательству теоремы 1 предпошлем ряд вспомогательных утверждений.
Лемма 1 [2]. Если f ∈ CψC, ±ψ(1)
i ∈ M, ±ψ(2)
i ∈ M′, i = 1, . . . ,m, ∆µ(x) ≡
≡ fψµ(x)− tµ, n(x), tµ, n ∈ Tµ, n, то для любых x ∈ Rm и n ∈ Nm
ρn(f ;x) =
m∑
k=1
(−1)k+1
∑
|µ|=k
Fµ(∆µ;x) +
m∑
k=1
(−1)k+1
∑
|µ|=k
Pµ(∆µ;x)+
+
m∑
k=2
(−1)k+1
∑
|µ|=k
Qµ(∆µ;x); (8)
если f ∈ Lψ, то равенство (8) имеет место почти в каждой точке x, где
Fµ(∆µ;x) =
∫
R|µ|
∆µ(x− tµ)
∏
i∈µ
[J2(ψ
(1)
i ; ni; ti)0 + J2(ψ
(2)
i ; ni; ti)1]dtµ,
Pµ(∆µ;x) = (2π)−|µ|
∏
i∈µ
ψi(ni)
∫
T |µ|
∆µ(x− tµ)
∏
i∈µ
sin(ni ti + γni
)dtµ,
γni
= arctg
ψ
(2)
i (ni)
ψ
(1)
i (ni)
,
Qµ(∆µ;x) = (2π)−|µ
′′|
∏
i∈µ′′
ψi(ni)
∫
R|µ′|
∫
T |µ′′|
∆µ(x− tµ)×
×
∏
i∈µ′′
sin(ni ti + γni
)
∏
i∈µ′
[
J2
(
ψ
(1)
i ; ni; ti
)
0
+ J2
(
ψ
(2)
i ; ni; ti
)
1
]
dtµ,
µ = µ′ ∪ µ′′, µ′ ∩ µ′′ = ∅.
Лемма 2. Пусть ∆ ∈ C, ±ψ(j) ∈ F, j = 1, 2, и, кроме того, выполняются
условия (6). Тогда для любого n ∈ N∥∥∥∥∥∥
∫
R
∆(x− t)
[
J2(ψ(1); n; t)0 + J2(ψ(2); n; t)1
]
dt
∥∥∥∥∥∥
C
≤ ‖∆‖C δ
(
n; ψ
)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
КРАТНЫЕ СУММЫ ФУРЬЕ И ϕ-СИЛЬНЫЕ СРЕДНИЕ ИХ УКЛОНЕНИЙ ... 1079
где
δ(n; ψ) ≡
(
4
π2
ln+(η(n)− n) +K
)
ψ(n),
ψ(n) =
(
(ψ(1)(n))2 + (ψ(2)(n))2
)1/2
, η(n) есть либо η(ψ(1); n), либо η(ψ(2); n),
K > 0 — величина, равномерно ограниченная по ∆ ∈ C, и n ∈ N.
Доказательство леммы 2 аналогично доказательству теоремы 10.1 (см. [1,
с. 267, c. 279 – 285]).
Доказательство теоремы 1. Пусть ±ψ(j)
i ∈ F, j = 1, 2, i = 1, . . . , s, µ =
= {1, . . . , s} и выполняются условия (6).
При фиксированном натуральном s ≤ m рассмотрим выражение
JS(x) ≡
∫
RS
∆µ(x− t)
s∏
i=1
[
J2(ψ
(1)
i ; ni; ti)0 + J2(ψ
(2)
i ; ni; ti)1
]
dtµ =
=
∫
R
∫
RS−1
∆µ(x− t)
s∏
i=2
[J2(ψ
(1)
i ; ni; ti)0 + J2(ψ
(2)
i ; ni; ti)1] dtµ\{1} ×
×
[
J2(ψ
(1)
i ; ni; ti)0 + J2(ψ
(2)
i ; ni; ti)1
] dt1.
Применяя лемму 2, находим ∥∥Js(x)∥∥C ≤
≤
∥∥∥∥∥∥
∫
RS−1
∆µ(x− t)
S∏
i=2
[
J2(ψ
(1)
i ; ni; ti)0 + J2(ψ
(2)
i ; ni; ti)1
]
dtµ\{1}
∥∥∥∥∥∥
C
×
×δ(n1, ψ1) ≤ ‖∆µ ‖C
s∏
i=1
δ(ni, ψi).
Поэтому для величин Fµ(∆µ;x) и Qµ(∆µ;x) получаем∥∥Fµ(∆µ; x)
∥∥
C
=
=
∥∥∥∥∥∥
∫
R|µ|
∆µ(x− tµ)
∏
i∈µ
[
J2(ψ
(1)
i ; ni; ti)0 + J2(ψ
(2)
i ; ni; ti)1
]
dtµ
∥∥∥∥∥∥
C
≤
≤ ‖∆µ ‖C
∏
i∈µ
δ(ni, ψi). (9)
Аналогично,
∥∥Qµ(∆µ; x)
∥∥
C
= (2π)−|µ
′′|
∏
i∈µ′′
ψi(ni)
∥∥∥∥∥∥∥
∫
R|µ′|
∫
T |µ′′|
∆µ(x− tµ) ×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
1080 А. И. СТЕПАНЕЦ, Р. А. ЛАСУРИЯ
×
∏
i∈µ′′
sin(ni ti + γni)
∏
i∈µ′
[
J2(ψ
(1)
i ; ni; ti)0 + J2(ψ
(2)
i ; ni; ti)1
]
dtµ
∥∥∥∥∥∥∥
C
=
= (2π)−|µ
′′|
∏
i∈µ′′
ψi(ni)
∥∥∥∥∥∥∥
∫
R|µ′|
∫
T |µ′′|
∆µ(x− tµ)
∏
i∈µ
sin(ni ti + γni
)
dtµ
′′
×
×
∏
i∈µ′
[
J2(ψ
(1)
i ; ni; ti)0 + J2(ψ
(2)
i ; ni; ti)1
]
dtµ
′
∥∥∥∥∥∥∥
C
≤
≤ (2π)−|µ
′′|
∏
i∈µ′′
ψi(ni)
∥∥∥∥∥∥∥
∫
T |µ′′|
∆µ(x− tµ)
∏
i∈µ′′
sin(ni ti + γni
)dtµ
′′
∥∥∥∥∥∥∥
C
∏
i∈µ′
δ(ni, ψi),
δ(ni, ψi) ≡
(
4
π2
ln+(η(ni)− ni) +Ki
)
ψi(ni).
Отсюда ∥∥Qµ(∆µ; x)
∥∥
C
≤ ‖∆µ ‖C
∏
i∈µ′′
ψi(ni)
∏
i∈µ′
δ(ni, ψi). (10)
Далее, замечая, что
∥∥Pµ(∆µ;x)
∥∥
C
≤ (2π)−|µ|
∏
i∈µ
ψi(ni)
∥∥∥∥∥∥
∫
T |µ|
∆µ(x− tµ)
∏
i∈µ
sin(ni ti + γni)dt
µ
∥∥∥∥∥∥
C
≤
≤ ‖∆µ‖
∏
i∈µ
ψi(ni), (11)
и объединяя (9) – (11), с учетом равенства (8) имеем
∥∥ρn(f ;x)
∥∥
c
≤
m∑
k=1
∑
|µ|=k
‖Fµ(∆µ;x)‖C +
∑
|µ|=k
‖Pµ(∆µ;x)‖C
+
+
m∑
k=2
∑
|µ|=k
∥∥Qµ(∆µ; x)
∥∥
C
≤
≤
m∑
k=1
∑
|µ|=k
‖∆µ‖C
∏
i∈µ
δ(ni; ψi) +
∑
|µ|=k
‖∆µ‖C
∏
i∈µ
ψi(ni)
+
+
m∑
k=2
∑
|µ|=k
‖∆µ‖C
∏
i∈µ′′
ψi(ni)
∏
i∈µ′
δ
(
ni; ψi
)
.
Отсюда, выбирая t ∗µ,n(x) так, чтобы
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
КРАТНЫЕ СУММЫ ФУРЬЕ И ϕ-СИЛЬНЫЕ СРЕДНИЕ ИХ УКЛОНЕНИЙ ... 1081
∥∥fψµ(x)− t ∗µ,n(x)
∥∥
C
= Eµ, n(fψµ),
и принимая во внимание определение величины δ(n, ψ), получаем утверждение
теоремы 1.
Теорема 2. Пусть f ∈ Lψ, ±ψ(1)
i ∈ M0, ±ψ(2)
i ∈ M′
0, i = 1, . . . ,m. Тогда
для любого n ∈ Nm
∥∥ρn(f ;x)
∥∥
L
≤
m∑
k=1
∑
|µ|=k
Eµ, n(fψµ)
∏
i∈µ
Eni(L
ψi) + bψn(f)L,
где
Eni
(Lψ) ≡ 2
π
∞∫
ni
|ψ(2)
i (ti)|
ti
dti +
4
π2
ψi(ni) lnni,
bψn(f)L =
m∑
k=1
∑
|µ|=k
Eµ, n(fψµ)L
∑
µ̃⊂µ
∏
i∈µ̃
Eni
(Lψ)
∏
i∈µ\µ̃
Ki ψi(ni)+
+
m∑
k=2
∑
|µ|=k
Eµ, n(fψµ)L
∏
i∈µ′′
ψi(ni)
∑
µ̃⊂µ′
∏
i∈µ̃
Eni(L
ψ)
∏
i∈µ′\µ̃
Ki ψi(ni)+
+
m∑
k=1
∑
|µ|=k
Eµ, n(fψµ)L
∏
i∈µ
Ki ψi(ni),
величины µ′, µ′′ имеют прежний смысл, Ki > 0 — величины, равномерно ограни-
ченные по n ∈ Nm и f ∈ Lψ.
При m = 1 утверждение теоремы 2 переходит в соответствующее утверждение
из работы [1, c. 286].
Анализ доказательства теоремы 8.2 из [1, c. 252] позволяет сформулировать
такой аналог леммы 2.
Лемма 3. Пусть f ∈ Lψ, ±ψ(1)
i ∈ M0, ±ψ(2)
i ∈ M′
0, i = 1, . . . ,m. Тогда для
любого n ∈ N∥∥∥∥∥∥
∫
R
∆µ(x− t)
[
J2(ψ(1); n; t)0 + J2(ψ(2); n; t)1
]
dt
∥∥∥∥∥∥
L
≤ ‖∆µ‖L δ
(
n, ψ
)
,
где
δ(n, ψ) ≡ 2
π
∞∫
n
|ψ(2) (t)|
t
dt+
4
π2
ψ(n) lnn+K ψ(n) ≡ En(Lψ) +K ψ(n),
K > 0 — величина, равномерно ограниченная по n ∈ N и f ∈ Lψ.
Доказательство теоремы 2 базируется на лемме 1 в случае f ∈ Lψ, а также на
лемме 3 и проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 1 из работы
[2] с использованием известного неравенство вида
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
1082 А. И. СТЕПАНЕЦ, Р. А. ЛАСУРИЯ∥∥∥∥∫ g(x− t)K(t)dt
∥∥∥∥
L
≤ ‖g‖L‖K‖L.
3. ϕ-Сильные средние. Положим ρµ,n(f ;x) = f(x)−Sµ,n(f ;x), где Sµ,n(f ;x)
— прямоугольные суммы Фурье ряда (4) по переменным xi, i ∈ µ ⊂ m. При µ =
= m, Sm,n(f ;x) = Sn(f ;x), ρm,n(f ;x) = ρn(f ;x). Пусть, далее, µ ⊂
⊂ µ0 ⊂ m, µ̃ = µ0 \ µ, следовательно, kµ0 = kµ + kµ̃;
ν0(n, µ) =
{
kµ : ki ∈ [ni, 2ni ], i ∈ µ
}
.
Обозначим через Φm множество неубывающих на [ 0,+∞) функций ϕ(·) таких,
что
lim
u→0+
ϕ(u) = ϕ(0) = 0, ϕ(u) > 0, u > 0,
причем для любого ϕ ∈ Φm существуют положительные числа a = a(ϕ), b = b(ϕ)
такие, что
ϕ(2u) ≤ aϕ(u), u ∈ [ 0, 1 ],
ϕ(u) ≤ A exp(bu1/m), u ≥ 0, m ∈ N, A ≡ const > 0.
Определение множества Φm при m = 1 введено в работе [5], а при m > 1 оно
содержится, например, в [6].
В принятых обозначениях справедливо следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть ϕ ∈ Φm, ±ψ(1)
i ∈ M0, ±ψ(2)
i ∈ M′
0 ∀i ∈ m, µ ⊂ µ0 ⊂ m,
µ1 — произвольное подмножество µ0, µ
′
1 = µ1 ∩ µ, µ2 = µ1 \ µ и
d(k µ2) ≡
∏
i∈µ2
cki
(ψi) ln ki e.
Тогда для любых f ∈ CψC и n ∈ Nm∏
i∈µ
(ni + 1)−1
∑
kµ∈ν0(n, µ)
ϕ
(
|ρµ0, k(f ;x)|
)
≤
≤ K ϕ
∑
µ1⊂µ0
E
µ1, n
µ′1
+ kµ2(fψµ1 )
∏
i∈µ′1
cni
(ψi) d(k
µ2
)
, (12)
где
cni
(ψi) ≡ ψi(ni) +
∞∫
ni
∣∣ψ(2)
i (ti)
∣∣
ti
dti,
K = K(ϕ, d, m) — величина, зависящая от указанных параметров и равномерно
ограниченная по n ∈ Nm и f ∈ CψC.
Полагая в условиях теоремы 3 µ = µ0, в силу того, что µ1 ⊂ µ, µ′1 = µ1,
µ2 = ∅, получаем такое утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
КРАТНЫЕ СУММЫ ФУРЬЕ И ϕ-СИЛЬНЫЕ СРЕДНИЕ ИХ УКЛОНЕНИЙ ... 1083
Следствие 1. Пусть ϕ ∈ Φm, ±ψ(1)
i ∈ M0, ±ψ(2)
i ∈ M′
0 ∀i ∈ m. Тогда для
любых f ∈ CψC, n ∈ Nm и µ ⊂ m
∏
i∈µ
(ni + 1)−1
∑
kµ∈ν0(n, µ)
ϕ( |ρk(f ;x)| ) ≤ K ϕ
∑
µ1⊂µ
Eµ1, n(f
ψµ1 )
∏
i∈µ′1
cni(ψi)
.
Теорема 3 при m = 1 доказана в [7]. Некоторые важные частные случаи теоре-
мы 3 известны и содержатся в работе [6]. Доказательству теоремы 3 предпошлем
некоторые вспомогательные утверждения.
Пусть ν(n, µ) — произвольное подмножество множества ν0(n, µ), ri — количе-
ство элементов ортогональной проекции ν(n, µ) на i-ю (i ∈ µ) координатную ось.
Введем в рассмотрение сильные средние вида
hp
(
f ; x; ν(n, µ); k µ̃
)
=
∏
i∈µ
r−1
i
∑
kµ∈ν(n, µ)
∣∣ρµ0, k(f ;x)
∣∣p
1/p
, p > 0.
Лемма 4. Пусть ±ψ(1)
i ∈ M0, ±ψ(2)
i ∈ M′
0, i ∈ µ, τ ⊂ µ0 ⊂ m, µ1 —
произвольное подмножество µ0, τ1 = µ∩ τ, µ̃ = µ1 \ τ. Тогда для любых f ∈ CψC,
p > 0 и n ∈ Nm
hp(f ; x; ν(n, µ); kµ0\τ ) ≤ K
∑
µ1⊂µ0
Eµ1, n(f
ψµ1 )
∏
i∈τ1
cni(ψi) ln
ni e
ri
d(kµ). (13)
Доказательство леммы 4 проведем в несколько этапов. Сначала докажем сле-
дующее утверждение.
Лемма 5. Пусть ±ψ(1)
i ∈ M0, ±ψ(2)
i ∈ M′
0, i ∈ µ ⊂ m. Тогда для любых
g ∈ C, p > 0 и n ∈ Nm
Rp(g; x; ν(n, µ)) ≡
∏
i∈µ
r−1
i
∑
kµ∈ν(n, µ)
|Fµ(g; x; kµ)|p
1/p
≤
≤ K ‖g‖c
∏
i∈µ
cni
(
ψi
)
ln
ni e
ri
, (14)
где Fµ(·) — величина, определенная в п. 2.
Доказательство. В силу известного неравенства для средних величин aRp(g;
x; ν(n, µ)) не убывает с возрастанием показателя p. Поэтому полагаем p ≥ 2 и
будем считать, что µ = {1, 2, . . . , s}, µ ⊂ m.
Для представления величины F1(·) используем равенства для интегралов∫
R
g(x− t)J2(ψ
(1)
1 ; n; t)0 dt и
∫
R
g(x− t)J2(ψ
(1)
1 ; n; t)1 dt, n ∈ N, x ∈ R,
полученные в [1, c. 221 – 230 ].
Будем иметь
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
1084 А. И. СТЕПАНЕЦ, Р. А. ЛАСУРИЯ
F1(g; x; k1) =
∫
R
g(x− t{1})
[
J2(ψ
(1)
1 ; k1; t1)0 + J2(ψ
(2)
1 ; k1; t1)1
]
dt1 =
=
∫
|t1|≤ a1
k1
g(x− t{1})[J2(ψ
(1)
2 ; k1; t1)1 dt1+
+
ψ1(k1)
π
∫
a1
k1
≤ |t1| ≤ q1π
g(x− t{1}) t−1
1 sin(k1t1 + θk1)dt1+
+
ψ1(k1)
π
∫
T
g(x− t{1})Aq1(t1) sin(k1t1 + θk1)dt1+
+
1
π
∫
|t1| ≤ a1
k1
g(x− t{1})J3(ψ
(1)
2 ; k1; t1)1 dt1−
−ψ
(1)
1 (k1)
π
∫
|t1| ≤ a1
k1
g(x− t{1})
sin k1 t1
t1
dt1−
− 1
π
∫
R
g(x− t{1})J3(ψ
(1)
1 ; k1; t1)0 dt1 ≡
≡
6∑
j1=1
χj1(g; x; k1), (15)
где
Aq1(t1) =
∞∑
j1=
q1+1
2
2t1
t21 − (2π j)2
,
q1 — нечетное число из условия (q1 − 2)π <
a1
k1
< q1 π,
J3(ψ
(1)
1 ; k1; t1)0 =
1
t1
∞∫
k1
(ψ(1)
1 (v)) sin vt1 dv,
J3(ψ
(2)
1 ; k1; t1)1 =
1
t1
∞∫
k1
(ψ(1)
1 (v)) cos vt1 dv,
cos θk1 =
ψ
(1)
1 (k1)
ψ
(1)
1 (k1)
, sin θk1 =
ψ
(2)
1 (k1)
ψ
(1)
1 (k1)
, a1 > 0.
В дальнейшем числа ai, i = 1, . . . ,m, выбираются из условий
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
КРАТНЫЕ СУММЫ ФУРЬЕ И ϕ-СИЛЬНЫЕ СРЕДНИЕ ИХ УКЛОНЕНИЙ ... 1085
signJ2(ψ
(2)
i ; ki; ti)1 = sign(ψ(2)
i (ki), ti ∈
(
0,
ai
ki
)
.
Тогда на основании неравенства [1, c. 236]
∫
|ti| ≤ a
ki
∣∣J2(ψ
(2)
i ; ki; ti)1
∣∣ dti ≤ 2
π
∞∫
ki
|ψ(2)
i (ti)|
ti
dti +O(1)ψi(ki) (16)
и в силу соотношений [1, c. 223, 227]∫
|t1| ≥ a1
k1
∣∣J3(ψ
(2)
1 ; k1; t1)1
∣∣ dt1 = O(1)|ψ(2)
1 (k1)|, (17)
∫
R
∣∣J3(ψ
(1)
1 ; k1; t1)0
∣∣ dt1 = O(1)|ψ(1)
1 (k1)| (18)
заключаем, что все интегралы в (15) абсолютно сходятся.
Стало быть, F1(g; x; k1) — ограниченная функция. Точно так же заключаем,
что и функции
F2(g; x; k{1,2}) = F2(F1; x; k2) =
=
∫
R
F1(g; x− t{2}; k2)
[
J2(ψ
(1)
2 ; t2; k2)0 + J2(ψ
(2)
2 ; k2; t2)1
]
dt2, . . . ,
Fs(g; x; k µ) = Fs(Fs−1; x; ks) =
=
∫
R
Fs−1(g; x− t{s}; k µ1)
[
J2(ψ(1)
s ; ts; ks)0 + +J2(ψ(2)
s ; ks; ts)1
]
dts,
µ1 = {1, . . . , s− 1},
ограничены. Представляя интеграл F2(·) в виде (16), находим
F2(F1; x; k 2) =
6∑
j 2=1
χj 2(F1; x; k 2),
или с учетом (15)
F2(F1; x; k 2) =
6∑
j 1=1
6∑
j 2=1
χj 1(χj 2(g; x; k 2); x; k1) =
=
6∑
j 1=1
6∑
j 2=1
χj 1 j 2(g; x; k 1; k 2).
Продолжая этот процесс, на шаге s получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
1086 А. И. СТЕПАНЕЦ, Р. А. ЛАСУРИЯ
Fs(g; x; k µ) =
=
∫
R
. . .
∫
R
g(x− tµ)
∏
i∈µ
[
J2(ψ
(1)
i ; ti; ki)0 + J2(ψ
(2)
i ; ti; ki)1
]
dt1 . . . dts =
=
6∑
j 1=1
. . .
6∑
j s=1
χj 1...j s
(g; x; k µ) =
=
6eµ∑
j µ=eµ
χj µ(g; x; kµ), (19)
где χj µ(·) = χj 1(. . . (χj s
(·)) . . .), e = (1, . . . , 1).
Применяя неравенство Минковского, с учетом (19) имеем
Rp(g; x; ν(n, µ)) ≤
6eµ∑
j µ=eµ
∏
i∈µ
r−1
i
∑
kµ∈ν(n, µ)
|χj µ(g; x; kµ)|p
1/p
≡
≡
6eµ∑
j µ=eµ
ωj µ, p(g; x; nµ). (20)
Обозначим через µσ множество индексов координат точки j µ, равных σ, σ =
= 1, . . . , 6, µ =
6⋃
σ=1
µσ. Рассмотрим величину ωj µ, p(·) с индексом j µ, для которого
все µσ 6= ∅, и положим
H1 =
∏
i∈µ1
{
ti : |ti| ≤
ai
ki
}
, H2 =
∏
i∈µ2
{
ti : |ti| ∈ [
ai
ki
; qi π ]
}
,
H3 = T |µ3|, H4 =
∏
i∈µ4
{
ti : |ti| ≥
ai
ki
}
,
H5 =
∏
i∈µ5
{
ti : |ti| ≤
ai
ki
}
, H6 = R |µ6|,
где
∏
i∈µi
Ei — произведение множеств Ei.
Применяя теорему Фубини и учитывая ограниченность величин Aqi
(·), полу-
чаем
ωj µ,, p(g; x; nµ) ≤
≤ K
∏
i∈µ 2,3,5
ψi(ni)
∏
i∈µ
r−1
i
∑
k µ∈ν(n, µ)
∫
H1
∏
i∈µ1
∣∣J2(ψ
(2)
i ; ti; ki)1
∣∣dtµ1 ×
×
∫
H3
dtµ3
∫
H4
∏
i∈µ4
∣∣J3(ψ
(2)
i ; ki; ti)1
∣∣dtµ4
∫
H5
∏
i∈µ5
∣∣∣∣ sin kititi
∣∣∣∣ dtµ5×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
КРАТНЫЕ СУММЫ ФУРЬЕ И ϕ-СИЛЬНЫЕ СРЕДНИЕ ИХ УКЛОНЕНИЙ ... 1087
×
∫
H6
∏
i∈µ6
∣∣J3(ψ
(1)
i ; ki; ti)0
∣∣dtµ6
∫
H2
g(x− tµ)
∏
i∈µ2
t−1
i sin(kiti + θki
)dtµ2
p
1/p
≡
≡ K
∏
i∈µ 2,3,5
ψi(ni)ω
(1)
j µ, p(g; x; n
µ). (21)
На основании известного обобщенного неравенства Минковского{∑
k
(∫
fk(x)dx
)p}1/p
≤
∫ (∑
k
fpk (x)
)1/p
dx, fk(·) > 0, (22)
полагая p > 1 и µ̃2 = µ \ µ2, имеем
ω
(1)
j µ,, p(g; x; n
µ) ≤
∏
i∈µ
r−1
i
∑
k µ̃2∈ν(n, µ̃2)
∫
H1
∏
i∈µ1
∣∣J2(ψ
(2)
i ; ki; ti)1
∣∣dtµ1 ×
×
∫
H3
dtµ3
∫
H4
∏
i∈µ4
∣∣J3(ψ
(2)
i ; ki; ti)1
∣∣dtµ4
∫
H5
∏
i∈µ5
∣∣∣∣ sin kititi
∣∣∣∣ dtµ5×
×
∫
H6
∏
i∈µ6
∣∣J3(ψ
(1)
i ; ki; ti)0
∣∣dtµ6×
×
∑
k µ2∈ν(n, µ2)
∣∣∣∣∣∣
∫
H2
g(x− tµ)
∏
i∈µ2
sin(kiti + θki)
ti
dtµ2
∣∣∣∣∣∣
p
1/p
p
1/p
.
Пусть µ2 = {i1, i2, . . . , id},
Qi1(g; x; ki1) =
∫
ai1/ki1≤|ti1 |≤qi1 π
g(x− t µ̃2 − t{i1})t−1
i1
sin(ki1 ti1 + θki1
)dti1
и
Qij (Qij−1 ; x; kij ) =
∫
aij
/kij
≤|ti1 |≤qij
π
Qij−1(x− t {ij})t−1
ij
sin(kij tij + θkij
)dtij =
=
∫
H2
g(x− tµ)
∏
i∈µ2
t−1
i sin(kiti + θki
)dtµ2 , j = 1, d. (23)
Величину Qi1(g; x; k1) представим в виде
Qi1(g; x; ki1) =
∫
ai1/ki1≤|ti1 |≤r
−1
i1
+
∫
π≤|ti1 |≤qi1π
+
∫
r−1
i1
≤|ti1 |≤π
×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
1088 А. И. СТЕПАНЕЦ, Р. А. ЛАСУРИЯ
×g(x− t µ̃2 − t{i1})t−1
i1
sin(ki1 ti1 + θki1
)dti1 ≡
≡
3∑
ji1=1
σji1 (g; x; ki1). (24)
Учитывая это равенство, на шаге d находим
Qid(Qid−1 ; x; kid) =
3eµ2∑
j µ2=eµ2
σj µ2 (g; x; k µ2), (25)
где σj µ2 (·) = σj id
(
. . . (σj i1
(·)) . . .
)
.
Принимая во внимание (23) – (25), получаем
ω
(1,1)
jµ (g; x; nµ) ≡
≡
∑
k µ2∈ ν(n, µ2)
∣∣∣∣∣∣
∫
H2
g(x− tµ)
∏
i∈µ2
t−1
i sin(ki ti + θki)dt
µ2
∣∣∣∣∣∣
p
1/p
≤
≤
3eµ2∑
j µ=eµ2
∑
k µ2∈ ν(n, µ2)
|σj µ2 (g; x; k µ2)|p
1/p
≡
≡
∑
j µ2=eµ2
αj µ2 (g; x; nµ2). (26)
Обозначим через ησ множество индексов координат точки j µ 2 , равных σ, σ =
= 1, 2, 3; µ2 =
3⋃
σ=1
ησ. Пусть множество ησ не пусто и
G1 =
∏
i∈ η1
{
ti : |ti| ∈
[
ai
ki
, r−1
i
]}
, G2 =
∏
i∈ η2
{
ti : |ti| ∈ [π, qi π ]
}
,
G3 =
∏
i∈ η3
{
ti : |ti| ∈ [ ri, π]
}
, η0 = µ2 \ η3.
Вследствие (22) имеем
αjµ2(g; x; n
µ2) ≤
∑
k η0∈ ν(n, η0)
∣∣∣∣∣∣∣
∫
G1
∏
i∈ η1
|t−1
i |dt η1
∫
G2
dt η2 ×
×
∑
k η3∈ ν(n, η3)
∣∣∣∣∣∣
∫
G3
g(x− tµ)
∏
i∈ η3
sin(ki ti + θki
)
ti
dt η3
∣∣∣∣∣∣
p
1/p
∣∣∣∣∣∣∣
p
1/p
. (27)
Положим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
КРАТНЫЕ СУММЫ ФУРЬЕ И ϕ-СИЛЬНЫЕ СРЕДНИЕ ИХ УКЛОНЕНИЙ ... 1089
Z(t η3) =
g(x− tµ)
∏
i∈ η3
|ti|−1, t η3 ∈ G3,
0, t η3 ∈ T |η3| \G3,
и продолжим Z(·) 2π-периодически. В силу неравенства Хаусдорфа – Юнга [8,
c. 211] находим ∑
k η3∈ ν(n, η3)
∣∣∣∣∣∣
∫
T |η3|
Z(t η3)
∏
i∈ η3
sin(ki ti + θki
)dt η3
∣∣∣∣∣∣
p
1/p
≤
≤
∣∣∣∣∣∣
∫
G3
g(x− tµ)
∏
i∈ η3
t−1
i
∣∣∣∣∣∣
p
′
dt η3
1/p′
≤
≤ K‖g‖C
∏
i∈ η3
r
1/p
i , p′ =
p
p− 1
. (28)
В силу (27) из (28) следует оценка
αjµ2(g; x; n
µ2) ≤ K‖g‖C
∏
i∈µ2
r
1/p
i max
k η3∈ ν(n, η3)
∣∣∣∣∣∣
∏
i∈ η1
ln
ki
ai ri
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ K1‖g‖C r1/pi
∏
i∈ η1
ln
ni e
ri
. (29)
Учитывая (29), (26), а также (16) – (18), находим
ω
(1)
j µ, p(g; x; n
µ) ≤ K2‖g‖C
∏
i∈µ1,4,6
cni(ψi)
∏
i∈µ2
ln
ni e
ri
.
Объединяя неравенства (20), (21) и (35), приходим к соотношению (14).
Лемма 6. Пусть ±ψ(1)
i ∈ M0, ±ψ(2)
i ∈ M′
0, τ ∈ µ, ⊂ µ. Тогда для любых
g ∈ C, p > 0 и n ∈ Nm∏
i∈ τ
r−1
i
∑
k τ∈ ν(n, τ)
|Fµ(g; x; k µ)|p
1/p
≤
≤ K ‖g‖C
∏
i∈ τ
cni
(ψi) ln
ni e
ri
∏
i∈µ1
cki
(ψi) ln ki e, (30)
где µ1 = µ \ τ.
Доказательство. Если τ = µ, то µ1 = ∅. В таком случае∏
i∈µ1
cki
(
ψi
)
ln ki e = 1.
В силу неравенства Минковского
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
1090 А. И. СТЕПАНЕЦ, Р. А. ЛАСУРИЯ
∏
i∈ τ
r−1
i
∑
k τ∈ ν(n, τ)
|Fµ(g; x; k µ)|p
1/p
≤
≤
4eµ∑
j µ=eµ
∏
i∈ τ
r−1
i
∑
k τ∈ ν(n, τ)
|χj τ (χj µ1(g1; x; k
µ1); x; kτ )|p
1/p
≤
≤ K
4eµ∑
j µ=eµ
∏
i∈ τ
cni
(ψi) ln
ni e
ri
‖χj µ1(g; x; k
µ1)‖C . (31)
Пусть Bi, i ∈ µ, обозначает одно из множеств
H
(i)
1 =
{
ti : |ti| ≤
ai
ki
}
, H
(i)
2 =
{
ti : |ti| ∈
[
ai
ki
, qi π
]}
, H
(i)
3 = T,
H
(i)
4 =
{
ti : |ti| ≥
ai
ki
}
, H
(i)
5 = R
и
Zi(ti) =
J2
(
ψ
(1)
i ; ki; ti
)
1
, Bi = H
(i)
1 ,
ψi(ki)
π
t−1
i sin(kiti + θki
), Bi = H
(i)
2 ,
ψi(ki)
π
Aqi(ti) sin(kiti + θki), Bi = H
(i)
3 ,
π−1J3
(
ψ
(2)
i ; ki; ti
)
1
, Bi = H
(i)
4 ,
π−1ψ(1)(ki)t−1
i sin kiti, Bi = H
(i)
1 ,
π−1J3
(
ψ
(1)
i ; ki; ti
)
0
, Bi = H
(i)
5 .
Полагая µ1 = {i1, . . . i|µ1|}, имеем
χjµ1
(g; x; k µ1) =
∫
Bi1
zi1(ti1)dti1 . . .
∫
Bi |µ1|
g(x− tµ1)zi |µ1|
(ti |µ1|
)dti |µ1|
.
Вследствие (16) – (18) ∫
Bi σ
|zi σ
(ti σ
)|dti σ
≤
≤ K ψi σ
(ki σ
) ·
1, Bi σ = H
(iσ)
1 , H
(iσ)
3 , H
(iσ)
4 , H
(iσ)
5 , H
(iσ)
6 ,
ln k(iσ)e, Bi σ
= H
(i)
2 .
Отсюда с учетом (31) получаем (30).
Рассуждая, как и при доказательстве лемм 5 и 6, получаем следующее утверж-
дение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
КРАТНЫЕ СУММЫ ФУРЬЕ И ϕ-СИЛЬНЫЕ СРЕДНИЕ ИХ УКЛОНЕНИЙ ... 1091
Лемма 7. Пусть ±ψ(1)
i ∈ M0, ±ψ(2)
i ∈ M′
0 ∀i ∈ µ, τ ⊂ µ ⊂ m. Тогда для
любых g ∈ C, n ∈ Nm и p > 0∏
i∈ τ
r−1
i
∑
k τ∈ ν(n, τ)
|Qµ(g; x; k µ)|p
1/p
≤
≤ K ‖g‖C
∏
i∈ τ
cki
(ψi)
∏
i∈τ1
ln
ni e
ri
∏
i∈ µ̃
cki
(ψi) ln ki e, τ1 = τ ∩ µ1, µ̃ = µ \ τ.
(32)
Доказательство леммы 4. Используя представление (8), находим
ρµ, k(f ;x) =
|µ|∑
j=1
(−1)j+1
∑
|µ1|=i
Fµ1(∆µ1 ; x; k
µ1)+
+
|µ|∑
j=1
(−1)j+1
∑
|µ1|=j
µ1⊂µ
Pµ1(∆µ1 ; x; k
µ1)+
+
|µ|∑
j=2
(−1)j+1
∑
|µ1|=j
µ1⊂µ
Qµ1(∆µ1 ; x; k
µ2), (33)
где ∆µ1 = fψ µ1 (x)− t ∗µ1, n(x), t
∗
µ1, n ∈ Tµ1, n,
Eµ1, n(f
ψ µ1 ) =
∥∥∥fψ µ1 (x)− t ∗µ1, n(x)
∥∥∥
C
. (34)
В силу (33) и неравенства Минковского имеем
hp(f ; ν(n; τ); k µ\τ ) ≤
≤
|µ|∑
j=1
∑
|µ1|=j
µ1⊂µ
∏
i∈ τ
r−1
i
∑
k τ∈ ν(n, τ)
|Fµ1(∆µ1 ; x; k
µ1)|p
1/p
+
+
|µ|∑
j=1
∑
|µ1|=j
∏
i∈ τ
r−1
i
∑
k τ∈ ν(n, τ)
|Pµ1(∆µ1 ; x; k
µ1)|p
1/p
+
+
|µ|∑
j=2
∑
|µ1|=j
µ1⊂µ
∏
i∈ τ
r−1
i
∑
k τ∈ ν(n, τ)
|Qµ1(∆µ1 ; x; k
µ1)|p
1/p
.
Отсюда на основании леммы 6 и (32), с учетом (34) и представления величины
Pµ(·), приходим к неравенству (13).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
1092 А. И. СТЕПАНЕЦ, Р. А. ЛАСУРИЯ
Доказательство теоремы 3. Положим µ̃ = µ0 \ µ,
α(f ; nµ; k µ̃) =
∑
µ1⊂µ0
E
µ1, n
µ′1+k µ2
(fψ µ1 )
∏
i∈µ′1
cni
(ψi)d(k
µ2).
Из оценки (6), установленной в работе [2], следует неравенство∥∥ρµ0, k(f ;x)
∥∥
C
≤ K
∑
µ1⊂µ0
Eµ1, k(f
ψ µ1 )
∏
i∈µ′1
cki
(ψi) ln ki e.
Если α(f ; nµ; k µ̃) = 0, то Eµ1, k(f
ψ µ1 ) = 0 ∀µ1 ⊂ µ0, k ≥ n. Следовательно,∥∥ρµ0, k(·)
∥∥
C
= 0, k ≥ n, и тогда с учетом свойств функций ϕ ∈ Φm убеждаемся в
справедливости (12).
Пусть α(f ; nµ; k µ̃) > 0 и j ∈ N,
ν(nµ; k µ̃; j) = {k µ0 ∈ ν0(nµ; k µ̃) : (j − 1)α(f ; nµ; k µ̃) ≤
≤
∣∣ρµ0, k(f ;x)
∣∣ ≤ j α(f ; nµ; k µ̃)},
|ν(·)| — количество элементов множества ν(·).
Поскольку функция ϕ не убывает, то
∏
i∈µ
(ni + 1)−1
∞∑
j=1
∑
k µ∈ ν(nµ; k µ̃; j)
ϕ
(
|ρµ0, k(f ;x)|
)
≤
≤
∏
i∈µ
(ni + 1)−1
∞∑
j=1
ϕ(jα(f ; nµ; k µ̃))
∣∣ν(nµ; k µ̃; j)∣∣. (35)
Здесь предполагается, что если при некотором j ν(nµ; k µ̃; j) = ∅, то∑
k µ0∈ ν(nµ; k µ̃; j)
(·) = 0.
Пусть
∣∣ν(nµ; k µ̃; j)∣∣ =
∏
i∈µ
ri ≥ 1, где ri — количество элементов ортого-
нальной проекции ν(nµ; k µ̃; j) на i-ю (i ∈ µ) координатную ось. Полагая в (14)
p = 1, находим
α(f ; nµ; k µ̃)(j − 1) ≤ K
∏
i∈µ
ln
ni e
ri
α(f ; nµ; k µ̃).
Используя известное неравенство Коши(
q∏
i=1
ai
)1/q
≤ q−1
q∑
i=1
ai,
получаем ∏
i∈µ
ri ≤ K
∏
i∈µ
(nie)e−q(ja0)
1/q
. (36)
С учетом (36) из (35) находим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
КРАТНЫЕ СУММЫ ФУРЬЕ И ϕ-СИЛЬНЫЕ СРЕДНИЕ ИХ УКЛОНЕНИЙ ... 1093
∏
i∈µ
(ni + 1)−1
∑
k µ∈ ν0(n, µ)
ϕ(|ρµ0, k(f ;x)|) ≤ K
∞∑
j=1
ϕ(jα)e−q(ja0)
1/q
.
Отсюда на основании многомерного аналога неравенства Тотика (см., например,
[6])
∞∑
j=1
ϕ(jz)e−q(ja0)
1/q
≤ Kϕ(z), K = K(σm), z ∈ [ 0, σm ],
полагая z = α(f ; nµ; k µ̃), получаем требуемое соотношение (12).
1. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Пр. Iн-ту математики НАН України. –
2002. – 40, ч. I. – 426 c.
2. Ласурия Р. А. Кратные суммы Фурье на множествах ψ-дифференцируемых функций (неболь-
шая гладкость) // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 7. – С. 911 – 918.
3. Ласурия Р. А. Приближение ψ-дифференцируемых функций кратными суммами Фурье в
интегральной метрике // Anal. math. – 2004. – 30, № 3. – P. 207 – 221.
4. Степанец А. И., Пачулиа Н. Л. Кратные суммы Фурье на множествах (ψ, β)-дифферен-
цируемых функций // Укр. мат. журн. – 1991. – 43, № 4. – С. 545 – 556.
5. Totik V. Notes on Fourier series: strong approximation // J. Approxim. Theory. – 1985. – 43. –
P. 105 – 111.
6. Пачулиа Н. Л. Сильное суммирование рядов Фурье (ψ, β)-дифференцируемых функций m
переменных. – Киев, 1990. – С. 17 – 66. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 90.55).
7. Ласурия Р. А. Равномерные оценки группы отклонений ψ-интегралов суммами Фурье и силь-
ная суммируемость рядов Фурье // Теорiя наближень та гармонiйний аналiз: Пр. Укр. мат.
конгр. – 2001. – Київ: Iн-т математики НАН України, 2002. – С. 114 – 122.
8. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. – М.: Физматгиз, 1961. – 936 с.
Получено 11.09.2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-3371 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:41:17Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/23/e0eb12e9ea5d3d9a192c9cabdb3d2f23.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33712020-03-18T19:52:34Z Multiple Fourier sums and ψ-strong means of their deviations on the classes of ψ-differentiable functions of many variables Кратные суммы Фурье и φ-сильные средние их уклонений на классах ψ-дифференцируемых функций многих переменных Lasuriya, R. A. Stepanets, O. I. Ласурия, Р. А. Степанец, А. И. Ласурия, Р. А. Степанец, А. И. We present results concerning the approximation of ψ-differentiable functions of many variables by rectangular Fourier sums in uniform and integral metrics and establish estimates for φ-strong means of their deviations in terms of the best approximations. Викладено результати з наближення ψ-диференційовних Функцій багатьох змінних прямокутними сумами Фур'є у рівномірній та інтегральній метриках, а також встановлено оцінки φ-сильних середніх їх відхилень у термінах найкращих наближень. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3371 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 8 (2007); 1075–1093 Український математичний журнал; Том 59 № 8 (2007); 1075–1093 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3371/3485 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3371/3486 Copyright (c) 2007 Lasuriya R. A.; Stepanets O. I. |
| spellingShingle | Lasuriya, R. A. Stepanets, O. I. Ласурия, Р. А. Степанец, А. И. Ласурия, Р. А. Степанец, А. И. Multiple Fourier sums and ψ-strong means of their deviations on the classes of ψ-differentiable functions of many variables |
| title | Multiple Fourier sums and ψ-strong means of their deviations on the classes of ψ-differentiable functions of many variables |
| title_alt | Кратные суммы Фурье и φ-сильные средние их уклонений на классах ψ-дифференцируемых функций многих переменных |
| title_full | Multiple Fourier sums and ψ-strong means of their deviations on the classes of ψ-differentiable functions of many variables |
| title_fullStr | Multiple Fourier sums and ψ-strong means of their deviations on the classes of ψ-differentiable functions of many variables |
| title_full_unstemmed | Multiple Fourier sums and ψ-strong means of their deviations on the classes of ψ-differentiable functions of many variables |
| title_short | Multiple Fourier sums and ψ-strong means of their deviations on the classes of ψ-differentiable functions of many variables |
| title_sort | multiple fourier sums and ψ-strong means of their deviations on the classes of ψ-differentiable functions of many variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3371 |
| work_keys_str_mv | AT lasuriyara multiplefouriersumsandpsstrongmeansoftheirdeviationsontheclassesofpsdifferentiablefunctionsofmanyvariables AT stepanetsoi multiplefouriersumsandpsstrongmeansoftheirdeviationsontheclassesofpsdifferentiablefunctionsofmanyvariables AT lasuriâra multiplefouriersumsandpsstrongmeansoftheirdeviationsontheclassesofpsdifferentiablefunctionsofmanyvariables AT stepanecai multiplefouriersumsandpsstrongmeansoftheirdeviationsontheclassesofpsdifferentiablefunctionsofmanyvariables AT lasuriâra multiplefouriersumsandpsstrongmeansoftheirdeviationsontheclassesofpsdifferentiablefunctionsofmanyvariables AT stepanecai multiplefouriersumsandpsstrongmeansoftheirdeviationsontheclassesofpsdifferentiablefunctionsofmanyvariables AT lasuriyara kratnyesummyfurʹeiphsilʹnyesrednieihuklonenijnaklassahpsdifferenciruemyhfunkcijmnogihperemennyh AT stepanetsoi kratnyesummyfurʹeiphsilʹnyesrednieihuklonenijnaklassahpsdifferenciruemyhfunkcijmnogihperemennyh AT lasuriâra kratnyesummyfurʹeiphsilʹnyesrednieihuklonenijnaklassahpsdifferenciruemyhfunkcijmnogihperemennyh AT stepanecai kratnyesummyfurʹeiphsilʹnyesrednieihuklonenijnaklassahpsdifferenciruemyhfunkcijmnogihperemennyh AT lasuriâra kratnyesummyfurʹeiphsilʹnyesrednieihuklonenijnaklassahpsdifferenciruemyhfunkcijmnogihperemennyh AT stepanecai kratnyesummyfurʹeiphsilʹnyesrednieihuklonenijnaklassahpsdifferenciruemyhfunkcijmnogihperemennyh |