Bounded approximate synthesis of the optimal control for the wave equation

We consider the problem of optimal control for the wave equation. For the formulated problem, we find the optimal control in the form of a feedback in the case where the control reaches a restriction, construct an approximate control, and substantiate its correctness, i.e., prove that the proposed c...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2007
Main Authors:	Sukretna, A. V., Сукретна, А. В.
Format:	Article
Language:	Ukrainian English
Published:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007
Online Access:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3372
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Download file:

Institution

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860509451732123648
author	Sukretna, A. V. Сукретна, А. В.
author_facet	Sukretna, A. V. Сукретна, А. В.
author_sort	Sukretna, A. V.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2020-03-18T19:52:34Z
description	We consider the problem of optimal control for the wave equation. For the formulated problem, we find the optimal control in the form of a feedback in the case where the control reaches a restriction, construct an approximate control, and substantiate its correctness, i.e., prove that the proposed control realizes the minimum of the quality criterion.
first_indexed	2026-03-24T02:41:19Z
format	Article
fulltext	УДК 517.977 А. В. Сукретна (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка) ОБМЕЖЕНИЙ НАБЛИЖЕНИЙ СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ДЛЯ ХВИЛЬОВОГО РIВНЯННЯ We consider the problem of optimal control for the wave equation. For the formulated problem, we find the optimal control in the form of reverse connection in the case where the control attains the restrictions, construct some approximated control and justify its correctness, i.e., we prove that the proposed control realizes the minimum of the quality criterion. Рассматривается задача оптимального управления для волнового уравнения. Для сформулирован- ной проблемы найдено оптимальное управление в форме обратной связи в случае, когда управление выходит на ограничение, построено приближенное управление и обоснована его корректность, т. е. доказано, что предложенное управление реализует минимум критерия качества. 1. Вступ. Задача побудови оптимального керування у формi зворотного зв’язку або синтезу є актуальною проблемою i має розв’язок лише для скiнченновимiрних динамiчних систем малої розмiрностi [1]. Для систем з розподiленими парамет- рами задача вiдшукання найкращого керування в замкненiй формi в загальному випадку залишається ще й досi нерозв’язаною. Якщо нескiнченновимiрну систему вдається замiнити еквiвалентною скiнченновимiрною, для побудови оптимального керування можна скористатися принципом максимуму Понтрягiна [2]. При немож- ливостi такого зведення оптимальне керування шукають, застосовуючи метод ди- намiчного програмування Беллмана [3], однак при цьому пiдходi постає проблема розв’язностi рiвнянь типу Рiккатi, що виникають при вiдшуканнi функцiї Беллма- на. Якщо вдається отримати програмне оптимальне керування, яке неперервно залежить вiд початкових даних, то синтезоване керування можна побудувати за допомогою граничного переходу М. М. Красовського [4]. В данiй роботi для гiперболiчної крайової задачi розв’язано питання обмеженого усередненого набли- женого синтезу. Аналогiчнi питання у випадку вiдсутностi обмежень на керування розглянуто в [5]. 2. Постановка задачi. Нехай керований процес в цилiндрi Q̄T = [t0, T ] × Ω̄ описується крайовою задачею yε tt(x, t) = Aε(yε(x, t)) + gε(x)v(t), (t, x) ∈ QT , yε(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t ∈ [t0, T ], yε(x, t0) = ϕε 0(x), yε t (x, t0) = ϕε 1(x), x ∈ Ω̄, (1) де Aε := div(aε−→∇), aε(x) = {aε ij(x)}n i,j=1 — вимiрнi симетричнi матрицi, що пiдпорядкованi умовi ∃ν1, ν2 > 0 ∀x ∈ Ω ∀~χ ∈ Rn : ν1 n∑ i=1 χ2 i ≤ aij(x)χiχj ≤ ν2 n∑ i=1 χ2 i , (2) gε, ϕε 1 ∈ L2(Ω), ϕε 0 ∈ H1 0 (Ω), Ω ⊂ Rn — обмежена область з кусково-гладкою межею, t0 ≥ 0 — довiльний фiксований момент часу, ε ∈ (0, 1) — малий параметр. c© А. В. СУКРЕТНА, 2007 1094 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8 ОБМЕЖЕНИЙ НАБЛИЖЕНИЙ СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ... 1095 Керування v(·) ∈ U = { v ∈ L2([t0, T ]) : \|v(t)\| ≤ ξ майже скрiзь на [0;T ] } . (3) На розв’язках (1) при v(·) ∈ U потрiбно мiнiмiзувати критерiй якостi I(v) = α ∫ Ω qε 0(x)y ε(x, T )dx− ψ0 2 + γ T∫ t0 v2(t)dt→ inf, (4) де α, γ > 0, ψ0 ∈ R, qε 0 ∈ L2(Ω). Будемо припускати справедливiсть наступних збiжностей: gε w→ g0, ϕε 0 w→ϕ0 0, ϕε 1 w→ϕ0 1, qε 0 w→ q00 при ε→ 0 в L2(Ω), aε(x) G→ a0(x) при ε→ 0, (5) де поняття G-збiжностi матриць вводиться з дотриманням [6]. Означення [6, с. 154]. Послiдовнiсть матриць aε G-збiгається до матрицi a0 в областi Ω (aε G→ a0), якщо при будь-якому f ∈ H−1(Ω) для розв’язкiв задачi Дiрiхле div(aε−→∇uε) = f, uε ∈ H1 0 (Ω), мають мiсце спiввiдношення uε w→u0 в H1 0 (Ω), pε = aε−→∇uε w→ p0 = a0−→∇u0 в L2(Ω), де u0 — розв’язок задачi Дiрiхле div(a0−→∇u0) = f, u0 ∈ H1 0 (Ω). Тому далi будемо вважати, що задачу оптимального керування (1), (3), (4) задано при ε ∈ [0, 1) (при ε = 0 отримуємо „усереднену задачу”). Мета даної роботи, у випадку виходу керування на обмеження, полягає в отри- маннi точної формули синтезованого оптимального керування uε = uε[t, yε] задачi (1), (3), (4) (тобто керування в формi зворотного зв’язку uε[t, yε], яке б при пiд- становцi його в (1) замiсть v(t) мiнiмiзувало заданий критерiй якостi) i, при замiнi в цiй формулi всiх нескiнченних рядiв на їх частковi суми з усередненими коефi- цiєнтами, доведеннi близькостi отриманого керування uε N = uε N [t, yε N ] до точного uε = uε[t, yε], а також близькостi значень I(uε) i I(uε N ). 3. Побудова оптимального керування в формi зворотного зв’язку. Вiдомо, що при кожному фiксованому керуваннi v ∈ U задача (1) має єдиний розв’язок в класi C([t0, T ];H1 0 ) [7, c. 77], (теорема 4.1). Крiм того, задача оптимального керування (1), (3), (4) має єдиний розв’язок uε(·) ∈ U [8, с. 16] (теорема 1.2). Розглянемо при ε ∈ [0, 1) спектральну задачу ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8 1096 А. В. СУКРЕТНА AεXε + (λε)2Xε = 0, x ∈ Ω, Xε\|∂Ω = 0. (6) Нехай 0 ≤ (λε 1) 2 ≤ (λε 2) 2 ≤ . . . , (λε k)2 →∞ при k →∞, — власнi числа спектраль- ної задачi (6), причому будемо вважати, що власнi числа спектральної задачi (6) з усередненим оператором (при ε = 0) є простими: 0 < (λ0 1) 2 < (λε 2) 2 < · · · < (λ0 k)2 < (λ0 k+1) 2 < . . . , (λ0 k)2 →∞; {Xε i (x)}∞i=1 — вiдповiднi власнi функцiї, що утворюють ортонормований базис в L2(Ω). Тодi мають мiсце наступнi збiжностi [6, с. 299] (теорема 3): λε k → λ0 k, ‖Xε k −X0 k‖ → 0 при ε→ 0, k = 1, 2, . . . , (7) тут i далi ‖ · ‖ = ‖ · ‖L2(Ω). Далi, при кожному ε ∈ [0, 1) згiдно з методом Фур’є, розкладаючи всi кое- фiцiєнти задачi оптимального керування (1), (3), (4) в ряди Фур’є за системою {Xε i (x)}∞i=1, отримуємо деяку розщеплену нескiнченновимiрну задачу оптималь- ного керування, що допускає зведення до еквiвалентної двовимiрної задачi ȧε i (t) = bεi (t)v(t), i = 1, 2, aε i (t0) = Φε i , i = 1, 2, J(v) = α(aε 1(T )− ψ0)2 + γ T∫ t0 v2(t)dt→ inf, (8) де aε 1(t) = ∞∑ i=1 q0ε i y ε i (t) cosλε i (T − t) + ∞∑ i=1 q0ε i λε i ẏε i (t) sinλε i (T − t), aε 2(t) = − ∞∑ i=1 λε i q 1ε i y ε i (t) sinλε i (T − t) + ∞∑ i=1 q1ε i ẏ ε i (t) cosλε i (T − t), bε1(t) = ∞∑ i=1 q0ε i λε i gε i sinλε i (T − t), bε2(t) = ∞∑ i=1 q1ε i g ε i cosλε i (T − t), Φε 1 = ∞∑ i=1 q0ε i ϕ 0ε i cosλε i (T − t0) + ∞∑ i=1 q0ε i λε i ϕ1ε i sinλε i (T − t0), Φε 2 = − ∞∑ i=1 λε i q 1ε i ϕ 0ε i sinλε i (T − t0) + ∞∑ i=1 q1ε i ϕ 1ε i cosλε i (T − t0), (9) причому всi ряди в (9) збiгаються рiвномiрно по t ∈ [t0, T ] i допускають почленне iнтегрування та диференцiювання. Крiм того, для коефiцiєнтiв Фур’є розв’язку крайової задачi (1) справедливими є оцiнки ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8 ОБМЕЖЕНИЙ НАБЛИЖЕНИЙ СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ... 1097 (yε i (t)) 2 ≤ 3 ( (ϕ0ε i )2 + (ϕ1ε i )2 (λε i )2 + 4(gε i ) 2 (λε i )4 ξ2 ) , (ẏε i (t)) 2 ≤ 3 ( (λε i ) 2(ϕ0ε i )2 + (ϕ1ε i )2 + 4(gε i ) 2 (λε i )2 ξ2 ) . (10) Для побудови програмного оптимального керування задачi (8) скористаємося принципом максимуму Понтрягiна [9, с. 186] (теорема 8.1), пiсля чого за допомо- гою граничного переходу Красовського отримаємо синтезоване оптимальне керу- вання. Розглянемо випадок, коли оптимальне керування задачi (8) (а отже, i вихiдної задачi оптимального керування (1), (3), (4)) виходить на обмеження i має єдину точку перемикання, тому далi будемо вважати виконаним наступне припущення. Припущення. При кожному ε ∈ [0, 1) функцiя bε1(t) є додатною i монотонно спадає на [t0, T ), крiм того, виконуються нерiвностi − α(Φε 1 − ψ0) γ + α ∫ T t0 (bε1(s)) 2ds bε1(t0) > ξ, (11) ξ T∫ t0 bε1(s)ds < ψ0 − Φε 1. (12) Зауваження 1. З визначення bε1(t) в (9) випливає bε1(T ) = 0. Тодi, повертаючись до вихiдної задачi оптимального керування хвильовим про- цесом (1), (3), (4), знаходимо, що оптимальний синтез при умовi виходу керування на обмеження має вигляд uε[t, yε(x, t)] =  ξ, t ∈ [t0, τ ε], −α ((Rε 11(·, t), yε(·, t)) + (Rε 12(·, t), yε t (·, t))− ψ0) γ + α ∫ T t (bε1(s)) 2ds bε1(t), t ∈ [τε, T ], (13) де Rε 11(x, t) = ∞∑ i=1 q0ε i X ε i (x) cosλε i (T − t), Rε 12(x, t) = ∞∑ i=1 q0ε i λε i Xε i (x) sinλε i (T − t), (14) точка перемикання τε визначається з рiвняння − α ( Φε 1 − ψ0 + ξ ∫ τε t0 bε1(s)ds ) γ + α ∫ T τε (bε1(s)) 2ds bε1(τ ε) = ξ, (15) а yε(x, t) — розв’язок крайової задачi (1) з керуванням (13). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8 1098 А. В. СУКРЕТНА Зауваження 2. За умови виконання припущення рiвняння для точки пере- микання (15) має єдиний розв’язок, i оптимальне керування (13) є неперервним у точцi t = τε. З огляду на збiжностi (5) та (7) неважко довести наведенi нижче твердження. Лема 1. Мають мiсце наступнi збiжностi при ε→ 0 : Φε 1 → Φ0 1, bε1(t) → b01(t),∥∥Rε 11(·, t)−R0 11(·, t) ∥∥→ 0, ∥∥Rε 12(·, t)−R0 12(·, t) ∥∥ H1 0 (Ω) → 0 (16) рiвномiрно щодо t ∈ [t0, T ]. Лема 2. Має мiсце збiжнiсть τε → τ0, ε→ 0, розв’язкiв рiвняння (15). Таким чином, при виконаннi припущення для кожного ε ∈ [0, 1) ми побудували оптимальне керування для задачi (1), (3), (4) у формi зворотного зв’язку (13), де точка перемикання τε визначається з рiвняння (15), а yε(x, t) — розв’язок крайової задачi (1) з керуванням (13). Проте отримане керування внаслiдок запису через нескiнченнi ряди i нерегулярної залежностi вiд малого параметра не є зручним для практичного застосування, тому далi побудуємо i обґрунтуємо закон наближеного усередненого синтезу, що буде забезпечувати мiнiмум критерiю якостi (4). 4. Наближений усереднений синтез задачi (1), (3), (4). Нехай тепер для N ∈ N b0N 1 (t) = N∑ i=1 1 λ0 i q00ig 0 i sinλ0 i (T − t), Φ0N 0 (t) = N∑ i=1 q00iϕ 0 0i cosλ0 i (T − t0) + N∑ i=1 1 λ0 i q00iϕ 0 0i sinλ0 i (T − t0), R0N 11 (x, t) = N∑ i=1 q00i cosλ0 i (T − t)X0 i (x), R0N 12 (x, t) = N∑ i=1 1 λ0 i q00i sinλ0 i (T − t)X0 i (x). (17) Побудуємо наближений усереднений синтез за законом u0 N [t, zε 0N (x, t)] = =  ξ, t ∈ [t0, τ0N ], − α ( (R0N 11 (·, t), zε 0N (·, t)) + (R0N 12 (·, t), zε 0N t(·, t))− ψ0 ) γ + α ∫ T t (b0N 1 (s))2ds b0N 1 (t), t ∈ [τ0N , T ], (18) де точка перемикання τ0N визначається з рiвняння ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8 ОБМЕЖЕНИЙ НАБЛИЖЕНИЙ СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ... 1099 − α ( Φ0N 1 − ψ0 + ξ ∫ τ0N t0 b0N 1 (s)ds ) γ + α ∫ T τ0N (b0N 1 (s))2ds b0N 1 (τ0N ) = ξ, (19) а zε 0N (x, t) — розв’язок крайової задачi (1) при v(t) = u0 N [ t, zε 0N (x, t) ] . Зауваження 3. Хоча оптимальний синтез (13), (15) при ε ∈ [0, 1) i неперерв- ний в точцi t = τε, наближений синтез (18), (19) може не мати цiєї властивостi. Має мiсце наступна лема. Лема 3. τ0N → τ0, N →∞, де τ0 — розв’язок рiвняння (15) при ε = 0. Обґрунтування усередненого наближеного синтезу (18), (19) випливає з наступ- ної теореми. Теорема. Нехай ϕε 1, q ε 0 ∈ L2(Ω), gε, ϕε 0 ∈ H1 0 (Ω), мають мiсце збiжностi (5) та виконується припущення. Тодi справджуються наступнi оцiнки близькостi мiж оптимальним керуванням (13) i побудованим усередненим наближеним керу- ванням (18): для довiльного малого η > 0 iснують N0 ≥ 1 i ε0 > 0 такi, що для будь-яких N ≥ N0 та ε ∈ (0, ε0) виконується∥∥∥u0 N [·, zε N ]− uε[·, yε] ∥∥∥ L2([t0,T ]) < η, (20) ∣∣∣I(u0 N [t, zε N ])− I(uε[t, yε]) ∣∣∣ < η. (21) Доведення. 1. Покажемо, що u0 N [t, zε 0N (x, t)] → v0[t, zε(x, t)] в L2([t0, T ]) при N →∞, де v0[t, zε(x, t)] = =  ξ, t ∈ [t0, τ0], − α ( (R0 11(·, t), zε(·, t)) + (R0 12(·, t), zε t (·, t))− ψ0 ) γ + α ∫ T t (b01(s)) 2ds b01(t), t ∈ [τ0, T ], (22) точка перемикання τ0 визначається з рiвняння (15) при ε = 0, а zε(x, t) — розв’язок крайової задачi (1) з керуванням (22). Очевидно, що при N →∞ b0N 1 (t) → b01(t), ∥∥R0N 11 (·, t)−R0 11(·, t) ∥∥→ 0, ∥∥R0N 12 (·, t)−R0 12(·, t) ∥∥ H1 0 (Ω) → 0 рiвномiрно щодо t ∈ [t0, T ]. Розглянемо I = T∫ t0 ∣∣∣u0 N [ t, zε 0N (x, t)]− v0[t, zε(x, t) ]∣∣∣ dt. З лем 2, 3 можемо вибратиN1 ∈ N таке, що для будь-якогоN ≥ N1 \|τ0N−τ0\| < < η2 144ξ2 . Тодi ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8 1100 А. В. СУКРЕТНА I = I1 + I2 + I3, I1 = τ0− η2 144ξ2∫ t0 ∣∣∣u0 N [ t, zε 0N (x, t) ] − v0 [ t, zε(x, t) ]∣∣∣2dt = 0, I2 = τ0+ η2 144ξ2∫ τ0− η2 144ξ2 ∣∣∣u0 N [ t, zε 0N (x, t) ] − v0 [ t, zε(x, t) ]∣∣∣2dt ≤ (2ξ)2 · 2 · η2 144ξ2 ≤ η2 18 , I3 = T∫ τ0+ η2 144ξ2 ∣∣∣u0 N [ t, zε 0N (x, t) ] − v0 [ t, zε(x, t) ]∣∣∣2dt. На промiжку [ τ0 + η2 144ξ2 , T ] обидва керування (18) i (22) задаються нижнiм ряд- ком, а функцiї zε 0N (x, t) i zε(x, t) є розв’язками крайової задачi (1) з керуваннями (18) i (22) вiдповiдно. Запишемо спочатку деякi оцiнки для zε(x, t). З (1) i [7, c. 71] (лема 3.2) маємо 1 2 d dt ( ‖zε t (·, t)‖2 + ‖zε(·, t)‖2H1 0 (Ω) ) = (gεv0, zε t (·, t)) ≤ ‖gε‖ · ‖zε t (·, t)‖ · \|v0\|, а з (22) оцiнюємо \|v0\| ≤ c1 + c2 (∥∥zε t (·, t) ∥∥2 + ∥∥zε(·, t) ∥∥2 H1 0 (Ω) ) , (23) де c1, c2 не залежать вiд ε. Отже, для t ≥ τ0 (для таких t має мiсце (23)) отримуємо 1 2 d dt ( ‖zε t (·, t)‖2 + ‖zε(·, t)‖2H1 0 (Ω) ) ≤ c̃ ( c1 + c2 ( ‖zε t (·, t)‖2 + ‖zε(·, t)‖2H1 0 (Ω) )) (24) (c̃ ≡ const не залежить вiд ε), звiдки∥∥zε t (·, t) ∥∥2 + ∥∥zε(·, t) ∥∥2 H1 0 (Ω) ≤ ∥∥zε t (·, τ0) ∥∥2 + ∥∥zε(·, τ0) ∥∥2 H1 0 (Ω) + kc̃c1, (25) де стала k не залежить вiд ε. Бiльш того, на пiдставi оцiнок (10) маємо∥∥zε t (·, t) ∥∥2 + ∥∥zε(·, t) ∥∥2 H1 0 (Ω) ≤ c (26) для t ∈ [τ0, T ], де стала c не залежить вiд ε. Зауважимо також, що аналогiчнi оцiнки можна отримати i для zε 0N (x, t). Розглянемо тепер dε N (x, t) = zε 0N (x, t) − zε(x, t). Функцiя dε N (x, t) при t ∈ ∈ [ τ0 + η2 144ξ2 , T ] є розв’язком крайової задачi ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8 ОБМЕЖЕНИЙ НАБЛИЖЕНИЙ СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ... 1101 dε N tt = Aεdε N + gε(u0 N [ t, zε 0N (x, t) ] − v0[t, zε(x, t)]), dε N \|∂Ω = 0, dε N ( x, τ0 + η2 144ξ2 ) = zε 0N ( x, τ0 + η2 144ξ2 ) − zε ( x, τ0 + η2 144ξ2 ) , dε N t ( x, τ0 + η2 144ξ2 ) = zε 0N t ( x, τ0 + η2 144ξ2 ) − zε t ( x, τ0 + η2 144ξ2 ) . Для цих t, використовуючи (18), (22) i (26), оцiнюємо∣∣∣u0 N [ t, zε 0N (x, t) ] − v0 [ t, zε(x, t) ]∣∣∣ ≤ αN + β (∥∥dε N t(·, t) ∥∥2 + ∥∥dε N (·, t) ∥∥2 H1 0 (Ω) ) , причому αN → 0, N →∞, {αN}∞N=1, β не залежать вiд ε. Отже, ми отримали оцiнку типу (23) i, використовуючи попереднi мiркування, аналогiчно до (25) маємо∥∥dε N t(·, t) ∥∥2 + ∥∥dε N (·, t) ∥∥2 H1 0 (Ω) ≤ ≤ ∥∥∥∥dε N t ( ·, τ0 + η2 144ξ2 )∥∥∥∥2 + ∥∥∥∥dε N ( ·, τ0 + η2 144ξ2 )∥∥∥∥2 H1 0 (Ω) + αNk. Покажемо тепер, що∥∥∥∥dε N ( ·, τ0 + η2 144ξ2 )∥∥∥∥2 H1 0 (Ω) → 0, ∥∥∥∥dε N t ( ·, τ0 + η2 144ξ2 )∥∥∥∥2 → 0, N →∞. Зауважимо, що dε N t ( x, τ0 − η2 144ξ2 ) = dε N ( x, τ0 − η2 144ξ2 ) = 0. На промiжку часу t ∈ [ τ0 − η2 144ξ2 , τ0 + η2 144ξ2 ] dε N є розв’язком крайової задачi dε N tt = Aεdε N + gε ( u0 N [ t, zε 0N (x, t) ] − v0 [ t, zε(x, t) ]) , dε N \|∂Ω = 0, dε N ( x, τ0 − η2 144ξ2 ) = dε N t ( x, τ0 − η2 144ξ2 ) = 0. Звiдси отримуємо∥∥∥∥dε N t ( ·, τ0 + η2 144ξ2 )∥∥∥∥2 + ∥∥∥∥dε N ( ·, τ0 + η2 144ξ2 )∥∥∥∥2 H1 0 (Ω) ≤ Lη2, L = const > 0. Тому∥∥zε 0N (·, t)−zε(·, t) ∥∥2 H1 0 (Ω) + ∥∥zε 0N t(·, t)−z ε t (·, t) ∥∥2 ≤ Lη2 +αNk ∀t ∈ [t0, T ], (27) де αN → 0, N →∞. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8 1102 А. В. СУКРЕТНА Отже, для достатньо великих N при αN → 0 дiстаємо∣∣∣u0 N [ t, zε 0N (x, t) ] − v0 [ t, zε(x, t) ]∣∣∣ ≤ αN + β(Lη2 + αNk) ≤ (βL+ 1)η2. Таким чином, ми довели рiвномiрну збiжнiсть керувань на промiжку t ∈ ∈ [ τ0 + η2 144ξ2 , T ] , а тому, очевидно, I3 ≤ (T − t0)(βL+ 1)η2. Покладаючи в по- переднiх мiркуваннях η = min { η√ 18(T − t0)(βL+ 1) , η } , отримуємо I3 ≤ η2 18 i ∃N2 ≥ N1 ∀N ≥ N2 :  T∫ t0 ∣∣∣u0 N [ t, zε 0N (x, t) ] − v0 [ t, zε(x, t) ]∣∣∣2dt  1 2 < η 3 (28) рiвномiрно по ε ∈ (0, 1). 2. Покажемо, що v0 [ t, zε(x, t) ] → u0[t, y0(x, t)], ε → 0, де u0 [ t, y0(x, t) ] зада- ється формулою (13) при ε = 0 i є оптимальним керуванням задачi (1), (3), (4) (при ε = 0), y0(x, t) — розв’язок крайової задачi в (1) (ε = 0) при v = u0 [ t, y0(x, t) ] . Зауважимо, що точки перемикання керувань v0 [ t, zε(x, t) ] i u0 [ t, y0(x, t) ] збi- гаються, тому ∀t ∈ [t0, τ0] : v0 [ t, zε(x, t) ] ≡ u0 [ t, y0(x, t) ] ≡ ξ. З оцiнок (10) маємо, що iснує M, не залежне вiд ε, таке, що ess sup [t0,T ] {∥∥zε(·, t)‖2H1 0 (Ω) + ‖zε t (·, t) ∥∥2 } ≤M. Тому з [10, с. 70] (теорема 5.1) випливає iснування такої функцiї z0 = z0(x, t), що за пiдпослiдовнiстю для всiх t ∈ [t0, T ] виконуються збiжностi zε(t) w→ z0(t) в H1 0 (Ω), zε t (t) w→ z0 t (t) в L2(Ω). (29) Далi аналогiчно доведенню п. 2 теореми з [5] отримуємо, що z0 ≡ y0 i збiжностi (29) мають мiсце по всiй послiдовностi, тому v0 [ t, zε(x, t) ] → u0 [ t, y0(x, t) ] , ε→ 0, при кожному t ∈ [t0, T ], а отже, за теоремою Лебега про мажоровану збiжнiсть, i в L2([t0, T ]). Таким чином, ∀η > 0 ∃ε1 > 0 ∀ε ∈ (0, ε1) :  T∫ t0 ∣∣∣v0 [ t, zε(x, t) ] − u0 [ t, y0(x, t) ]∣∣∣2dt  1 2 < η 3 . (30) 3. Аналогiчно п. 2 можна показати, що uε [ t, yε(x, t) ] → u0 [ t, y0(x, t) ] , ε → 0. Але ми скористаємося тим, що обидва керування є оптимальними керуваннями у формi зворотного зв’язку (синтезу) задачi (1), (3), (4) при ε > 0 i ε = 0 вiдповiдно, тому легко переконатися, що для всiх ε ∈ [0, 1) вздовж оптимальних траєкторiй ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8 ОБМЕЖЕНИЙ НАБЛИЖЕНИЙ СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ... 1103 −α ((Rε 11(·, t), yε(·, t)) + (Rε 11(·, t), yε(·, t))− ψ0) γ + α ∫ T t (bε1(s)) 2ds = = − α ( Φε 1 + ξ ∫ τε t0 bε1(s)ds− ψ0 ) γ + α ∫ T t (bε1(s)) 2ds = Bε ≡ const . Тодi uε [ t, yε(x, t) ] =  ξ, t ∈ [t0, τ ε], Bεbε1(t), t ∈ [τε, T ], u0 [ t, y0(x, t) ] =  ξ, t ∈ [t0, τ0], B0b01(t), t ∈ [τ0, T ], i з (16) i леми 2 поточково маємо потрiбну збiжнiсть. Звiдси ∀η > 0 ∃ε2 > 0 ∀ε ∈ (0, ε2) :  T∫ t0 ∣∣∣uε [ t, yε(x, t) ] − u0 [ t, y0(x, t) ]∣∣∣2dt  1 2 < η 3 . (31) З (28), (30), (31) маємо ∀η > 0 ∃N2 ∈ N ∃ε̃ = min{ε1, ε2} > 0 ∀N ≥ N2 ∀ε ∈ (0, ε̃ ) :∥∥∥uε [ t, yε(x, t) ] − u0 N [ t, zε 0N (x, t) ]∥∥∥ L2([t0,T ]) < η. (32) 4. Переконаємось у справедливостi (21). Для цього, з урахуванням вигляду функцiоналiв, припущення i (32), достатньо показати близькiсть за нормою L2(Ω) zε 0N (x, T ) i yε(x, T ). Зауважимо, що згаданi функцiї є розв’язками однiєї i тiєї ж крайової задачi (1), тому їх рiзниця Dε N (x, t) = zε 0N (x, T ) − yε(x, T ) задовольняє крайову задачу Dε N tt = AεDε N + gε ( u0 N [t, zε 0N (x, t)]− uε [ t, yε(x, t) ]) , Dε N \|∂Ω = 0, Dε N (x, t0) = Dε N t(x, t0) = 0. Тепер з оцiнок (10) i (32) отримуємо∥∥Dε N (·, t) ∥∥2 = ∥∥zε 0N (·, T )− yε(·, T ) ∥∥2 ≤ 12 (λε 1)2 ‖gε‖η2 ≤ Dη2, звiдки ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8 1104 А. В. СУКРЕТНА∣∣∣I(uε [ t, yε(x, t) ]) − I ( u0 N [ t, zε 0N (x, t) ])∣∣∣ ≤ Qη. На пiдставi мiркувань, викладених у пп. 1 – 3, для η = min { η, η Q } переконуємось у виконаннi (20) i (21) одночасно, що i завершує доведення. 5. Висновки. У роботi для задачi оптимального керування хвильовим процесом у сильно неоднорiдному середовищi побудовано оптимальне керування у формi зворотного зв’язку (розглянуто випадок, коли оптимальне керування має єдину точ- ку перемикання), на базi останнього побудовано наближене усереднене керування i обґрунтовано його коректнiсть, тобто доведено, що побудоване керування реалiзує мiнiмум критерiю якостi i є близьким до оптимального. 1. Летов А. М. Динамика полета и управление. – М.: Наука, 1969. – 359 с. 2. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, З. И. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. – М.: Наука, 1969. – 384 с. 3. Беллман Р. Динамическое программирование. – М.: Изд-во иностр. лит., 1960. – 400 с. 4. Красовский Н. Н. Теория управления движением. – М.: Наука, 1968. – 475 с. 5. Капустян О. В., Сукретна А. В. Усереднений синтез оптимального керування для хвильового рiвняння // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 5. – С. 612 – 620. 6. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. – М.: Физматлит, 1993. – 461 с. 7. Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. – New York: Springer, 1997. – 643 p. 8. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. – М.: Мир, 1972. – 414 с. 9. Кротов В. Ф. Основы теории оптимального управления. – М.: Высш. шк., 1990. – 429 с. 10. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.: Мир, 1972. – 587 с. Одержано 28.03.2007 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 8
id	umjimathkievua-article-3372
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian English
last_indexed	2026-03-24T02:41:19Z
publishDate	2007
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/14/3e2ef1dc3344383140044e0b6971ea14.pdf
spelling	umjimathkievua-article-33722020-03-18T19:52:34Z Bounded approximate synthesis of the optimal control for the wave equation Обмежений наближений синтез оптимального керування для хвильового рівняння Sukretna, A. V. Сукретна, А. В. We consider the problem of optimal control for the wave equation. For the formulated problem, we find the optimal control in the form of a feedback in the case where the control reaches a restriction, construct an approximate control, and substantiate its correctness, i.e., prove that the proposed control realizes the minimum of the quality criterion. Викладено результати з наближення &psi;-диференційовних Функцій багатьох змінних прямокутними сумами Фур'є у рівномірній та інтегральній метриках, а також встановлено оцінки &phi;-сильних середніх їх відхилень у термінах найкращих наближень. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3372 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 8 (2007); 1094–1104 Український математичний журнал; Том 59 № 8 (2007); 1094–1104 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3372/3487 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3372/3488 Copyright (c) 2007 Sukretna A. V.
spellingShingle	Sukretna, A. V. Сукретна, А. В. Bounded approximate synthesis of the optimal control for the wave equation
title	Bounded approximate synthesis of the optimal control for the wave equation
title_alt	Обмежений наближений синтез оптимального керування для хвильового рівняння
title_full	Bounded approximate synthesis of the optimal control for the wave equation
title_fullStr	Bounded approximate synthesis of the optimal control for the wave equation
title_full_unstemmed	Bounded approximate synthesis of the optimal control for the wave equation
title_short	Bounded approximate synthesis of the optimal control for the wave equation
title_sort	bounded approximate synthesis of the optimal control for the wave equation
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3372
work_keys_str_mv	AT sukretnaav boundedapproximatesynthesisoftheoptimalcontrolforthewaveequation AT sukretnaav boundedapproximatesynthesisoftheoptimalcontrolforthewaveequation AT sukretnaav obmeženijnabliženijsintezoptimalʹnogokeruvannâdlâhvilʹovogorívnânnâ AT sukretnaav obmeženijnabliženijsintezoptimalʹnogokeruvannâdlâhvilʹovogorívnânnâ

Bounded approximate synthesis of the optimal control for the wave equation

Institution

Similar Items