Asymptotics of the values of approximations in the mean for classes of differentiable functions by using biharmonic Poisson integrals
Complete asymptotic decompositions are obtained for values of exact upper bounds of approximations of functions from the classes $W^r_1,\quad r \in N,$ and WJr, $\overline{W}^r_1,\quad r \in N\backslash\{1\}$, by their biharmonic Poisson integrals.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3373 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509450797842432 |
|---|---|
| author | Kalchuk, I. V. Kharkevych, Yu. I. Кальчук, И. В. Харкевич, Ю. И. Кальчук, И. В. Харкевич, Ю. И. |
| author_facet | Kalchuk, I. V. Kharkevych, Yu. I. Кальчук, И. В. Харкевич, Ю. И. Кальчук, И. В. Харкевич, Ю. И. |
| author_sort | Kalchuk, I. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:52:34Z |
| description | Complete asymptotic decompositions are obtained for values of exact upper bounds of approximations of functions from the classes $W^r_1,\quad r \in N,$ and WJr, $\overline{W}^r_1,\quad r \in N\backslash\{1\}$, by their biharmonic Poisson integrals. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:41:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
G. I. Xarkevyç, I. V. Kal\çuk (Volyn. un-t, Luc\k)
ASYMPTOTYKA VELYÇYN NABLYÛENNQ
V SEREDN|OMU KLASIV DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ
ZA DOPOMOHOG BIHARMONIJNYX
INTEHRALIV PUASSONA
Complete asymptotic decompositions are obtained for values of exact upper bounds of approximations
of functions from the classes W r
1 , r ∈ N, and W r
1 , r N∈ { }\ 1 , by their biharmonic Poisson
integrals.
Poluçen¥ poln¥e asymptotyçeskye razloΩenyq dlq velyçyn toçn¥x verxnyx hranej prybly-
Ωenyj funkcyj yz klassov W r
1 , r ∈ N, y W r
1 , r N∈ { }\ 1 , yx byharmonyçeskymy yntehralamy
Puassona.
Nexaj C — prostir 2π -periodyçnyx neperervnyx funkcij, u qkomu norma
zada[t\sq za dopomohog rivnosti f C = max ( )
t
f t ; L∞ — prostir 2π-periodyç-
nyx vymirnyx sutt[vo obmeΩenyx funkcij iz normog f ∞ = ess sup ( )
t
f t ; L —
prostir 2π-periodyçnyx sumovnyx na periodi funkcij, de normu zadano takym
çynom: f L = f 1 =
−∫ π
π
f t( ) dt.
Çerez Wp
r
(de p = 1 abo p = ∞) poznaçymo mnoΩynu 2π-periodyçnyx
funkcij, qki magt\ absolgtno neperervni poxidni do (r – 1)-ho porqdku vklgç-
no, i f tr
p
( )( ) ≤ 1, qkwo p = 1, ∞. Wp
r
— klas funkcij, sprqΩenyx do funk-
cij iz klasu Wp
r
, tobto
Wp
r = f f x f x t t dt f Wp
r: ( ) ( ) ctg ,= − + ∈
−
∫1
2 2π π
π
, (1)
de intehral rozumi[mo v sensi joho holovnoho znaçennq, tobto
−
∫ +
π
π
f x t t dt( ) ctg
2
= lim ( ) ctg
ε
π
ε
ε
π
→ +
−
−
∫ ∫+
+
0 2
f x t t dt
(dyv., napryklad, [1, s.522]).
Nexaj f L∈ . Velyçyna
B f xδ( , ) = 1
π
π
π
δ
−
∫ +f t x K t dt( ) ( ) , δ > 0, – π ≤ x < π, (2)
nazyva[t\sq biharmonijnym intehralom Puassona funkci] f, de
K tδ( ) = 1
2
+
k
kk e e kt
=
∞
− −∑ + −( )
1
21
2
1 / / cosδ δ
(3)
— biharmonijne qdro Puassona (dyv. [2]).
Dali pid poznaçennqm Bδ budemo rozumity periodyçne prodovΩennq funkci]
B f xδ( , ), x ∈ −[ ; )π π , na vsg çyslovu vis\.
© G. I. XARKEVYÇ, I. V. KAL|ÇUK, 2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 1105
1106 G. I. XARKEVYÇ, I. V. KAL|ÇUK
Poznaçymo
� �( , )Bδ 1 =
sup ( ) ( , )
f
f x B f x
∈
−
�
δ 1, (4)
� �( , )B Cδ =
sup ( ) ( , )
f
Cf x B f x
∈
−
�
δ , (5)
de � ≡ Wp
r
, abo � ≡ Wp
r
, p = 1, ∞.
Qkwo v qvnomu vyhlqdi znajdeno funkcig g( )δ = g( ; )� δ taku, wo pry δ →
→ ∞ ma[ misce toçna asymptotyçna rivnist\
� �( , )B Xδ = g( )δ + o g( )δ( ), (6)
to, naslidugçy O.5I.5Stepancq [3, s.5198], budemo hovoryty, wo rozv’qzano zadaçu
Kolmohorova – Nikol\s\koho dlq danoho klasu � i operatora B f xδ( , ) u met-
ryci prostoru X.
Formal\nyj rqd
n ng=
∞∑ 0
( )δ budemo nazyvaty povnym asymptotyçnym roz-
kladom abo povnog asymptotykog funkci] f ( )δ pry δ → ∞ , qkwo pry vsix
n N∈
gn +1( )δ = o gn( )δ( ) (7)
i pry bud\-qkomu natural\nomu N
f g o g
n
N
n N( ) ( ) ( )δ δ δ= + ( )
=
∑
0
, δ → ∞ . (8)
Korotko budemo zapysuvaty cej fakt tak: f ( )δ ≅
n ng=
∞∑ 0
( )δ .
Metog dano] roboty [ otrymannq povnyx asymptotyçnyx rozkladiv velyçyn
(4) pry � = W r
1 , r N∈ , ta � = W r
1 , r N∈ \ {}1 , za stepenqmy
1
δ
pry δ → ∞.
Teorema 1. Ma[ misce povnyj asymptotyçnyj rozklad
�( ; )W B
k
k k1
1
1
2
12 1 1
δ π δ
ν
δ
≅ +
=
∞
∑ , δ → ∞ , (9)
de
νk
1 = ( )
!
− −−
−1
11
1
k
k
k
k
σ , k = 2, 3, … , (10)
σ j
j
i
j
j
i
j
j
i
j
i
j
i j
j l
j
i a
j
j
C j i j l=
= −
− − − − − =
−
=
+
=
−
∑ ∑
0 2 1
1
2
2 1
2 1
2
1 21
1
1
0
1
2
, ,
!
( )
( )!
( )!
( ) ( ) , , l N∈ ,
(11)
a
i i j
a i a j i i j
i
j
i
j
j i
j=
= = −
− + − −( ) < < −
−
−
−
1 1 1
2 1 2 1 1 11 1
, , ,
( ) ( ) , ,
j N∈ . (12)
Dovedennq. V roboti [4] bulo znajdeno povnyj asymptotyçnyj rozklad
�( ; )W B C
k
k k∞
=
∞
≅ +
∑1
2
12 1 1
δ π δ
ν
δ
, δ → ∞ ,
u qkomu νk
1
vyznaça[t\sq za formulog (10), pryçomu vykorystovuvalas\ riv-
nist\ z roboty L.5P.5Falal[[va [5, s.5164]
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
ASYMPTOTYKA VELYÇYN NABLYÛENNQ V SEREDN|OMU KLASIV … 1107
�( ; )
( )
/
W B
k
e e
k
C
k
k
∞
=
∞ − − +
=
− + + −( )
+∑1
1
2
2 1
2
4
1 1
2 1
2
1
2 1δ
δ δ
π
. (13)
OtΩe, zrozumilo, wo dlq vstanovlennq spivvidnoßennq (9) dostatn\o po-
kazaty, wo �( ; )W B1
1
1δ zbiha[t\sq z pravog çastynog (13), abo, te same, wo
�( ; )W B1
1
1δ = �( ; )W B C∞
1
δ .
Vraxovugçy intehral\ne zobraΩennq (2) i te, wo
1
π
π
π
δ
−
∫ K t dt( ) = 1,
ma[mo
f x B f x f x f t x K t dt( ) ( , ) ( ) ( ) ( )− = − +( )
−
∫δ
π
π
δπ
1
. (14)
Oskil\ky funkciq f x f t x K t( ) ( ) ( )− +( ) δ [ vymirnog na mnoΩyni [− ]π π; ×
× [− ]π π; ta
− −∫ ∫ − +( )
π
π
π
π
δdx f x f t x K t dt( ) ( ) ( ) < + ∞, vykorystovugçy naslidok
do teoremy Fubini (dyv., napryklad, [6, s.5331]) pislq pidstanovky pravo] çastyny
rivnosti (14) v (4), a takoΩ vraxovugçy, wo dlq f W∈ 1
1
−
∫ + − ≤
π
π
f x t f x dx t( ) ( )
i K tδ( ) ≥ 0 pry δ > 0, – π ≤ x < π, otrymu[mo
�( ; )W B1
1
1δ ≤ 2
0
π
π
δ∫ t K t dt( ) = 4
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
2π
δ δ
k
k
k
e e
k=
∞ − − +
∑
− + + −( )
+
/
( )
. (15)
Z inßoho boku, zhidno z lemog z roboty [7, s.563]
�( ; )W B1
1
1δ ≥ sup ( ) ( , )
f T
f x B f x dx
∈ −
∫ −
1
π
π
δ ≥
≥ 4
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
2π
δ δ
k
k
k
e e
k=
∞ − − +
∑
− + + −( )
+
/
( )
, (16)
de T n
— klas usix tryhonometryçnyx polinomiv g, dlq qkyx ma[ misce
spivvidnoßennq
−∫ π
π
g x dxn( )( ) ≤ 1.
Iz nerivnostej (15) ta (16) iz uraxuvannqm (13) otrymu[mo
�( ; )W B1
1
1δ = 4
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
2π
δ δ
k
k
k
e e
k=
∞ − − +
∑
− + + −( )
+
/
( )
= �( ; )W B C∞
1
δ . (17)
Teoremu 1 dovedeno.
Teorema 2. Qkwo r = 2l +1, l N∈ , to pry δ → ∞ ma[ misce povnyj asymp-
totyçnyj rozklad
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
1108 G. I. XARKEVYÇ, I. V. KAL|ÇUK
�( ; )
!
lnW B
r
r
r
r
k
k
r
k1 1
2
2 1 1 1
δ π δ
δ ν
δ
≅ − +
=
∞
∑ , (18)
u qkomu
νk
r =
( ) ( )
!
( ), ,
!
( ) ln , ,
( ) ( )
!
, , , , ,
− − <
− +
+
=
− − > = …
−
−
=
−
−
∑
1 1
0
1 1 2 1 1
1 1
2 3
1
1
1
k
r k
i
r
k
k r
k
k
k r
r
r
i
k r
k
k
k r k
ϕ
σ
(19)
σ j vyznaça[t\sq formulog (11), a
ϕ
π
πn
n
n
K n l
K n l
( )
, ,
˜ , ,
0 2
2 1
2
2
=
= −
=
l N∈ , (20)
de Kn i K̃n — vidomi konstanty Û.+Favara – N.+I.+Axi[zera – M.+H.+Krejna:
Kn = 4 1
2 10
1
1π m
m n
nm=
∞ +
+∑ −
+
( )
( )
( )
, n = 0, 1, 2, … ,
K̃n = 4 1
2 10
1π m
mn
nm=
∞
+∑ −
+
( )
( )
, n N∈ .
Dovedennq. V roboti [4] (teorema 2) bulo znajdeno povnyj asymptotyçnyj
rozklad
�( ; )
!
lnW B
r
r
r
C r
k
k
r
k∞
=
∞
≅ − +
∑δ π δ
δ ν
δ
2 1 1 1
2
, δ → ∞ ,
de koefici[nty νk
r
obçyslggt\sq za formulog (19).
OtΩe, dlq dovedennq teoremy dosyt\ pokazaty spravedlyvist\ rivnosti
�( ; )W Br
1 1δ = �( ; )W Br
C∞ δ , r = 2l + 1, l N∈ , (21)
zauvaΩyvßy, wo zhidno z rivnistg (47) roboty [4]
�( ; )W Br
C∞ δ =
4
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑
− + + −( )
+
/
( )
. (22)
Iz (14) v rezul\tati r-kratnoho intehruvannq çastynamy otrymu[mo
f x( ) – B f xδ( , ) =
1
π
δ
π
π
−
∫ +f x t Q t dtr
r
( )( ) ( ; ) ,
de
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
ASYMPTOTYKA VELYÇYN NABLYÛENNQ V SEREDN|OMU KLASIV … 1109
Q tr( ; )δ =
k
k
r
k e e
k
kt
r
=
∞ − −
∑
− + −( )
+
1
21 1
2
1
2
/ /
cos
δ δ
π
. (23)
Tomu
�( ; )W Br
1 1δ = sup ( ) ( ; )( )
f W
r
r
r
f t x Q t dt dx
∈ − −
∫ ∫ +
1
1
π
δ
π
π
π
π
. (24)
Dlq podal\ßo] ocinky velyçyny �( ; )W Br
1 1δ pokaΩemo spoçatku, wo
sign ( ; ) sign sinQ t tr δ = ± , r = 2l + 1. (25)
Oçevydno, wo pry r = 2l + 1, l N∈ ,
Qr( ; )0 δ = Qr( ; )π δ = 0.
Tomu, prypustyvßy, wo Q tr( ; )δ dorivng[ nulg we v deqkij toçci t0 ∈ 5(0, π ),
matymemo, wo zhidno z teoremog Rollq isnugt\ toçky t1
1( )
∈ 5(0, t0 ), t1
2( )
∈ 5( t0 ,
π ) taki, wo
′Q tr( ; )( )
1
1 δ = ′Q tr( ; )( )
1
2 δ = 0,
zvidky
Q tr−1 1
1( ; )( ) δ = Q tr−1 1
2( ; )( ) δ = 0,
i, qk naslidok, isnu[ toçka t2 ∈5 t t1
1
1
2( ) ( ),( ) taka, wo
Q tr−2 2( ; )δ = 0,
i t.5d. Povtoryvßy vkazanu proceduru r – 2 razy, pryjdemo do vysnovku, wo
isnugt\ toçky tr−2
1( )
∈5(0, tr−1), tr−2
2( )
∈5( tr−1, π ) taki, wo
Q tr2 2
1
−( )( ) ; δ = Q tr2 2
2
−( )( ) ; δ = 0.
Ostannq rivnist\ [ supereçlyvog, tomu wo funkciq Q t2( ; )δ dorivng[ nulg na
promiΩku (0; π ) lyße v odnij toçci. Dijsno,
′ = − + + −( )
=
∞
=
∞ −
−
=
∞ −
∑ ∑ ∑Q t
kt
k
e kt
k
e e kt
k k
k
k
k
2
1 1
2
1
1
2
1( ; )
sin sin
sin
/
/δ
δ
δ δ
.
Vraxovugçy spivvidnoßennq (1.441.1), (1.447.1) ta (1.448.1) z [8], otrymu[mo
′ = − +
−
+
−( )
− +( )
−
−
− −
− −Q t
t e t
e t
e e t
e t e
2
1
1
2 1
1 22 1
1
2 1 2
( ; ) arctg
sin
cos
sin
cos
/
/
/ /
/ /δ π δ
δ
δ δ
δ δ .
Dali znaxodymo
′′ =
−( ) −( )
− +( )
− −
− −
Q t
e e t
e t e
2
2 2 1
1 2 2
1 1
2 1 2
( ; )
cos
cos
/ /
/ /
δ
δ δ
δ δ
i perekonu[mosq, wo ′′Q t2( ; )δ > 0, t ∈( ; )0 π . OtΩe, ′Q t2( ; )δ zrosta[ na ( ; )0 π ,
pryçomu, oskil\ky ′Q2 0( ; )δ = − π
2
, ′Q2( ; )π δ = 0, to ′Q t2( ; )δ < 0 na ( ; )0 π .
Takym çynom, Q t2( ; )δ spada[ na ( ; )0 π i, vraxovugçy, wo Q2 0( ; )δ > 0 i
Q2( ; )π δ < 0,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
1110 G. I. XARKEVYÇ, I. V. KAL|ÇUK
pryxodymo do vysnovku, wo funkciq Q t2( ; )δ dorivng[ nulg lyße v odnij
toçci vidrizka ( ; )0 π .
Rivnist\ (25) dovedeno. OtΩe, vyxodqçy z (24) pry r = 2l + 1, l N∈ , oderΩu-
[mo
�( ; )W Br
1 1δ ≤ 1
π
δ
π
π
−
∫ Q t dtr( ; ) = 2
1 1
2
1
0 1
2
π
π δ δ
∫ ∑
=
∞ − −− + −( )[ ]
k
k
r
k e e
k
kt dt
/ /
sin =
= 4
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑
− + + −( )
+
/
( )
. (26)
Z inßoho boku, vykorystovugçy lemu z roboty [7, s.563], pry neparnomu r ma[mo
�( ; )W Br
1 1δ ≥ sup ( ) ( , )
f T r
f x B f x dx
∈ −
∫ −
π
π
δ ≥
≥ 4
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑
− + + −( )
+
/
( )
. (27)
Porivnggçy spivvidnoßennq (26) ta (27), pryxodymo do vysnovku, wo
�( ; )W Br
1 1δ = 4
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑
− + + −( )
+
/
( )
,
i, vraxovugçy (22), oderΩu[mo (21) i, qk naslidok, (18).
Teoremu 2 dovedeno.
Teorema 3. Qkwo r = 2l, l N∈ , to pry δ → ∞ ma[ misce povnyj asymp-
totyçnyj rozklad
�( ; )W Br
k
k
r
k1 1
2
4 1
δ π
η
δ
≅
=
∞
∑ , (28)
u qkomu
ηk
r =
( ) ( )
!
( ), ,
!
, ,
( )
!
, , , , ,
− − <
− =
− > = …
−
−
−
1 1
0
1
4
1
2 3
1k
r k
k r
k
k
k r
r
r
k r
k
k
k r k
ψ
π
τ
(29)
τ j
j i
j i
i
j
j l
a j l
=
=
− = −
=
− +∑
0 2
1
2
1 2 1
1
1 1
, ,
( ) , ,
l N∈ , (30)
koefici[nty ai
j
oznaçeno formulog (12),
ψ
π
πn
n
n
K n l
K n l
( )
˜ , ,
, ,
0 4
2 1
4
2
=
= −
=
l N∈ . (31)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
ASYMPTOTYKA VELYÇYN NABLYÛENNQ V SEREDN|OMU KLASIV … 1111
Dovedennq. Zhidno z teoremog 3 roboty [4] ma[ misce povnyj asymptotyç-
nyj rozklad
�( ; )W Br
C
k
k
r
k∞
=
∞
≅ ∑δ π
η
δ
4 1
1
, δ → ∞,
de koefici[nty ηk
r
obçyslggt\sq za formulog (29), a takoΩ zhidno z formu-
log (50) ti[] Ω roboty ma[ misce rivnist\
�( ; ) ( )
( )
/
W B
k
e e
k
r
C
k
k
k
r∞
=
∞ − − +
+= −
− + + −( )
+∑δ
δ δ
π
4 1
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1 . (32)
Tomu dlq dovedennq teoremy dostatn\o pokazaty, wo vykonu[t\sq rivnist\
�( ; )W Br
1 1δ = �( ; )W Br
C∞ δ , r = 2l, l N∈ ,
abo, wo te same, dovesty, wo velyçyna �( ; )W Br
1 1δ zbiha[t\sq z pravog çasty-
nog (32).
Qk pokazano v dovedenni teoremy 1, ma[ misce rivnist\ (24). PokaΩemo, wo
sign ( ; ) ; sign cosQ t Q tr rδ π δ−
= ±
2
, r = 2l, l N∈ . (33)
Rivnist\ (33) u vypadku r = 2 vykonu[t\sq qk naslidok toho, wo funkciq
Q t2( ; )δ ma[ lyße odyn nul\ na ( ; )0 π .
PokaΩemo spravedlyvist\ rivnosti (33) u vypadku r = 2l + 2, l N∈ . Za pry-
puwennq, wo
Q tr( ; )0 δ – Qr
π δ
2
;
= 0, t0 0∈( , )π , t0 2
≠ π
,
zhidno z teoremog Rollq isnu[ toçka t1 0∈( , )π taka, wo
′Q tr( ; )1 δ = 0,
zvidky
Q tr−1 1( ; )δ = 0.
Ale ce vnaslidok (25) nemoΩlyvo. Rivnist\ (33) dovedeno. Tomu iz (24), vyko-
rystovugçy naslidok iz teoremy Fubini [5, s.5331], vykonannq umov qkoho [
oçevydnymy, pry r = 2l, l N∈ , ma[mo
�( ; )W Br
1 1δ = sup ( ) ( ; ) ;( )
f W
r
r r
r
f x t Q t Q dt dx
∈ − −
∫ ∫ + −
1
1
2π
δ π δ
π
π
π
π
≤
≤ 1
2π
δ π δ
π
π
−
∫ −
Q t Q dtr r( ; ) ; = 2
2
0
2
2
π
δ π δ
π
π
π/
/
( ; ) ;∫ ∫−
−
Q t Q dtr r =
= 4
1 1
2 1
2
1
2 1
2 1
0
2
0
2
2 1
1π
π δ δ/ /
( )
cos( )∫ ∑
=
∞ − − +
+
− + + −( )
+
+
k
k
r
k
e e
k
k t dt =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
1112 G. I. XARKEVYÇ, I. V. KAL|ÇUK
= 4 1
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑ −
− + + −( )
+
( )
( )
/
. (34)
Z inßoho boku, zhidno z lemog z roboty [7, s.563] pry parnyx r ma[ misce spivvid-
noßennq
�( ; )W Br
1 1δ ≥ sup ( ) ( , )
f T r
f x B f x dx
∈ −
∫ −
π
π
δ ≥
≥ 4 1
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑ −
− + + −( )
+
( )
( )
/
. (35)
Iz (34) ta (35) iz uraxuvannqm (32) vyplyva[ spravedlyvist\ rivnosti
�( ; )W Br
1 1δ = 4 1
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑ −
− + + −( )
+
( )
( )
/
= �( ; )W Br
C∞ δ .
Teoremu 3 dovedeno.
V nastupnyx dvox teoremax podano povni asymptotyçni rozklady dlq nably-
Ωen\ klasiv W r
1 .
Teorema 4. Qkwo r = 2l, l N∈ , to pry δ → ∞ ma[ misce povnyj asymp-
totyçnyj rozklad
�( ; )
!
lnW B
r
r
r
r
k
k
r
r1 1
2
2 1 1 1
δ π δ
δ ν
δ
≅ − +
=
∞
∑ , (36)
de νk
r = νk
r
pry k ≠ r i νr
r = – νr
r
, a koefici[nty νk
r , k = 2, 3, … , vyznaça-
gt\sq formulog (19).
Dovedennq. V teoremi 4 roboty [4] znajdeno povnyj asymptotyçnyj roz-
klad
�( ; )
!
lnW B
r
r
r
C r
k
k
r
r∞
=
∞
≅ − +
∑δ π δ
δ ν
δ
2 1 1 1
2
, δ → ∞.
Qk i raniße, dlq dovedennq dano] teoremy dostatn\o pokazaty, wo
�( ; )W Br
C∞ δ = �( ; )W Br
1 1δ , r = 2l, l N∈ ,
qkwo dlq �( ; )W Br
C∞ δ , r = 2l, l N∈ (dyv. [4, s.523]), [ vidomog rivnist\
�( ; )W Br
C∞ δ = 4
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑
− + + −( )
+
/
( )
. (37)
Vraxovugçy intehral\ne zobraΩennq (1) i te, wo pry f W r∈ , r N∈ \ {}1 ,
B f xδ( , ) = B f xδ( , ) = − + + −( )
− =
∞
− −∫ ∑1 1
2
1
1
2
π π
π
δ δf t x k e e kt dt
k
k( ) sin/ /
,
pislq zastosuvannq r-kratnoho intehruvannq çastynamy otrymu[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
ASYMPTOTYKA VELYÇYN NABLYÛENNQ V SEREDN|OMU KLASIV … 1113
�( ; )W Br
1 1δ = 1
π
δ
π
π
π
π
sup ( ) ( ; )( )
f W
r
r
r
f t x Q t dt dx
∈ − −
∫ ∫ + , (38)
de
Q tr( ; )δ =
k
k
r
k e e
k
kt
r
=
∞ − −
∑
− + −( )
+ +
1
21 1
2
1 1
2
/ /
cos
( )
δ δ
π
, δ > 0.
Perekona[mosq v tomu, wo
sign ( ; ) signsinQ t tr δ = ± , r = 2l, l N∈ . (39)
Oçevydno, wo
Q Qr r( ; ) ( ; )0 0δ π δ= = , r = 2l, l N∈ .
OtΩe, v prypuwenni, wo
Q tr( ; )δ = 0
we pry deqkomu t0 0∈( , )π , zastosovugçy r – 2 razy teoremu Rollq, pryxodymo
do vysnovku, wo dlq funkci] Q t2( ; )δ isnu[ tr− ∈2 0( , )π take, wo
Q tr2 2( ; )− δ = 0.
Ale ce nemoΩlyvo, oskil\ky, vykorystovugçy zauvaΩennq do teoremy 1.14 ro-
boty [9, s.5297], moΩna perekonatys\, wo
Q t2( ; )δ > 0, t ∈( , )0 π .
OtΩe, rivnist\ (39) ma[ misce.
Takym çynom, iz (38) pry r = 2l, l N∈ , oderΩu[mo
�( ; )W Br
1 1δ ≤ 1
π
δ
π
π
−
∫ Q t dtr( ;, ) =
= 2
1 1
2
1
0 1
2
π
π δ δ
∫ ∑
=
∞ − −− + −( )
k
k
r
k e e
k
kt dt
/ /
sin =
= 4
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑
− + + −( )
+
/
( )
. (40)
Z inßoho boku, vykorystovugçy lemu z roboty [7, s.563], pry parnomu r ma[mo
�( ; )W Br
1 1δ ≥ 4
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑
− + + −( )
+
/
( )
. (41)
Porivnggçy spivvidnoßennq (40) ta (41), a takoΩ vraxovugçy rivnist\ (37), pry-
xodymo do vysnovku, wo
�( ; )W Br
1 1δ = 4
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑
− + + −( )
+
/
( )
= �( ; )W Br
C∞ δ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
1114 G. I. XARKEVYÇ, I. V. KAL|ÇUK
Teoremu 4 dovedeno.
Teorema 5. Qkwo r = 2l +1, l N∈ , to pry δ → ∞ ma[ misce povnyj
asymptotyçnyj rozklad
�( ; )W Br
k
k
r
k1 1
2
4 1
δ π
η
δ
≅
=
∞
∑ , (42)
de ηk
r = ηk
r
pry k ≠ r i ηr
r = – ηr
r
, a koefici[nty ηk
r , k = 2, 3, … , vyznaça-
gt\sq z rivnosti (29).
Dovedennq. Zhidno z teoremog 5 roboty [4] ma[ misce povnyj asymptotyç-
nyj rozklad
�( ; )W Br
C
k
k
r
k∞
=
∞
≅ ∑δ π
η
δ
4 1
2
, δ → ∞.
Tomu dlq dovedennq teoremy dostatn\o dovesty rivnist\
�( ; )W Br
1 1δ = �( ; )W Br
C∞ δ , r = 2l + 1, l N∈ , (43)
zauvaΩyvßy, wo zhidno z rivnistg (57) roboty [4]
�( ; )W Br
C∞ δ = 4 1
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑ −
− + + −( )
+
( )
( )
/
. (44)
Qk pokazano v dovedenni teoremy 4, ma[ misce rivnist\ (38). PokaΩemo, wo
sign ( ; ) ; sign cosQ t Q tr rδ π δ− ( )( ) = ±2 , r = 2l + 1, l N∈ . (45)
Za prypuwennq, wo
Q t Qr r( ; ) ;0 2δ π δ− ( ) = 0, t0 0∈( , )π , t0 2
≠ π
,
zhidno z teoremog Rollq isnu[ toçka t1 0∈( , )π taka, wo
′ =Q tr( ; )1 0δ ,
zvidky
Q tr− =1 1 0( ; )δ .
Ale ce vnaslidok (39) nemoΩlyvo. Rivnist\ (45) dovedeno. Tomu iz (38), vyko-
rystovugçy naslidok iz teoremy Fubini [6, s.5331], pry r = 2l + 1, l ∈ N, ma[mo
�( ; )W Br
1 1δ = sup ( ) ( ; ) ;( )
f W
r
r r
r
f x t Q t Q dt dx
∈ − −
∫ ∫ + −
1
1
2π
δ π δ
π
π
π
π
≤
≤ 1
2π
δ π δ
π
π
−
∫ −
Q t Q dtr r( ; ) ; = 2
2
0
2
2
π
δ π δ
π
π
π/
/
( ; ) ;∫ ∫−
−
Q t Q dtr r =
= 4
1 1
2 1
2
1
2 1
2 1
0
2
0
2
2 1
1π
π δ δ/ /
( )
cos( )∫ ∑
=
∞ − − +
+
− + + −( )
+
+
k
k
r
k
e e
k
k t dt =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
ASYMPTOTYKA VELYÇYN NABLYÛENNQ V SEREDN|OMU KLASIV … 1115
= 4 1
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑ −
− + + −( )
+
( )
( )
/
. (46)
Z inßoho boku, zhidno z lemog roboty [7, s.563] pry neparnyx r ma[ misce spiv-
vidnoßennq
�( ; )W Br
1 1δ ≥ 4 1
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑ −
− + + −( )
+
( )
( )
/
. (47)
Iz (46) ta (47), a takoΩ (44) vyplyva[ rivnist\
�( ; )W Br
1 1δ = 4 1
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑ −
− + + −( )
+
( )
( )
/
= �( ; )W Br
C∞ δ .
Teoremu 5 dovedeno.
1. Stepanec A. Y. Klassyfykacyq y pryblyΩenye peryodyçeskyx funkcyj. – Kyev: Nauk.
dumka, 1987. – 268 s.
2. Petrov V. A. Byharmonyçeskyj yntehral Puassona // Lyt. mat. sb. – 1967. – 7, # 1. –
S.51375– 142.
3. Stepanec A. Y. Metod¥ teoryy pryblyΩenyq. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥,
2002. – Ç. I. – 427 s.
4. Xarkevyç G. I., Kal\çuk I. V. Povni asymptotyky toçnyx verxnix meΩ vidxylen\ biharmonij-
nyx intehraliv Puassona na klasax dyferencijovnyx funkcij // Problemy teori] nablyΩen-
nq funkcij ta sumiΩni pytannq: Zb. prac\ In-tu matematyky NAN Ukra]ny. – 2005. – 2, # 2.
– S. 311 – 335.
5. Falaleev L. P. Polnoe asymptotyçeskoe razloΩenye dlq verxnej hrany uklonenyq funk-
cyj yz Lip11 ot odnoho synhulqrnoho yntehrala // Teorem¥ vloΩenyq y yx pryloΩenyq
(Materyal¥ Vsesogz. symp.). – Alma-Ata: Nauka KazSSSR, 1976. – S. 163 – 167.
6. Natanson I. P. Osnovy teori] funkcij dijsno] zminno]. – Ky]v: Rad. ßkola, 1950. – 424 s.
7. Pych P. Approximation of functions in L- and C -metrics // Ann. Soc. Math. Pol. – 1967. – 1, #
11. – P. 61 – 76.
8. Hradßtejn Y. S., R¥Ωyk Y. M. Tablyc¥ yntehralov, summ, rqdov y proyzvedenyj. – M.:
Fyzmathyz, 1963. – 1100 s.
9. Zyhmund A. Tryhonometryçeskye rqd¥: V 2 t. – M.: Myr, 1965. – T. 1. – 615 s.
OderΩano 19.04.2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
|
| id | umjimathkievua-article-3373 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:41:18Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e9/fdcb646d828cacad86611c17165e03e9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33732020-03-18T19:52:34Z Asymptotics of the values of approximations in the mean for classes of differentiable functions by using biharmonic Poisson integrals Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона Kalchuk, I. V. Kharkevych, Yu. I. Кальчук, И. В. Харкевич, Ю. И. Кальчук, И. В. Харкевич, Ю. И. Complete asymptotic decompositions are obtained for values of exact upper bounds of approximations of functions from the classes $W^r_1,\quad r \in N,$ and WJr, $\overline{W}^r_1,\quad r \in N\backslash\{1\}$, by their biharmonic Poisson integrals. Получены полные асимптотические разложения для величин точных верхних граней приближений функций из классов $W^r_1,\quad r \in N,$ и W, $\overline{W}^r_1,\quad r \in N\backslash\{1\}$, их бигармоническими интегралами Пуассона. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3373 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 8 (2007); 1105–1115 Український математичний журнал; Том 59 № 8 (2007); 1105–1115 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3373/3489 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3373/3490 Copyright (c) 2007 Kalchuk I. V.; Kharkevych Yu. I. |
| spellingShingle | Kalchuk, I. V. Kharkevych, Yu. I. Кальчук, И. В. Харкевич, Ю. И. Кальчук, И. В. Харкевич, Ю. И. Asymptotics of the values of approximations in the mean for classes of differentiable functions by using biharmonic Poisson integrals |
| title | Asymptotics of the values of approximations in the mean for classes of differentiable functions by using biharmonic Poisson integrals |
| title_alt | Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона |
| title_full | Asymptotics of the values of approximations in the mean for classes of differentiable functions by using biharmonic Poisson integrals |
| title_fullStr | Asymptotics of the values of approximations in the mean for classes of differentiable functions by using biharmonic Poisson integrals |
| title_full_unstemmed | Asymptotics of the values of approximations in the mean for classes of differentiable functions by using biharmonic Poisson integrals |
| title_short | Asymptotics of the values of approximations in the mean for classes of differentiable functions by using biharmonic Poisson integrals |
| title_sort | asymptotics of the values of approximations in the mean for classes of differentiable functions by using biharmonic poisson integrals |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3373 |
| work_keys_str_mv | AT kalchukiv asymptoticsofthevaluesofapproximationsinthemeanforclassesofdifferentiablefunctionsbyusingbiharmonicpoissonintegrals AT kharkevychyui asymptoticsofthevaluesofapproximationsinthemeanforclassesofdifferentiablefunctionsbyusingbiharmonicpoissonintegrals AT kalʹčukiv asymptoticsofthevaluesofapproximationsinthemeanforclassesofdifferentiablefunctionsbyusingbiharmonicpoissonintegrals AT harkevičûi asymptoticsofthevaluesofapproximationsinthemeanforclassesofdifferentiablefunctionsbyusingbiharmonicpoissonintegrals AT kalʹčukiv asymptoticsofthevaluesofapproximationsinthemeanforclassesofdifferentiablefunctionsbyusingbiharmonicpoissonintegrals AT harkevičûi asymptoticsofthevaluesofapproximationsinthemeanforclassesofdifferentiablefunctionsbyusingbiharmonicpoissonintegrals AT kalchukiv asimptotikaveličinnabližennâvserednʹomuklasívdiferencíjovnihfunkcíjzadopomogoûbígarmoníjnihíntegralívpuassona AT kharkevychyui asimptotikaveličinnabližennâvserednʹomuklasívdiferencíjovnihfunkcíjzadopomogoûbígarmoníjnihíntegralívpuassona AT kalʹčukiv asimptotikaveličinnabližennâvserednʹomuklasívdiferencíjovnihfunkcíjzadopomogoûbígarmoníjnihíntegralívpuassona AT harkevičûi asimptotikaveličinnabližennâvserednʹomuklasívdiferencíjovnihfunkcíjzadopomogoûbígarmoníjnihíntegralívpuassona AT kalʹčukiv asimptotikaveličinnabližennâvserednʹomuklasívdiferencíjovnihfunkcíjzadopomogoûbígarmoníjnihíntegralívpuassona AT harkevičûi asimptotikaveličinnabližennâvserednʹomuklasívdiferencíjovnihfunkcíjzadopomogoûbígarmoníjnihíntegralívpuassona |