Isomonodromic deformations and the differential Galois theory
We show how a solution of an inverse problem of the differential Galois theory can be used to construct isomonodromic deformations.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3375 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509452928548864 |
|---|---|
| author | Grigorenko, N. V. Григоренко, Н. В. Григоренко, Н. В. |
| author_facet | Grigorenko, N. V. Григоренко, Н. В. Григоренко, Н. В. |
| author_sort | Grigorenko, N. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:52:34Z |
| description | We show how a solution of an inverse problem of the differential Galois theory can be used to construct isomonodromic deformations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:41:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
K�O�R�O�T�K�I���P�O�V�I�D�O�M�L�E�N�N�Q
UDK 512.628.2
N. V. Hryhorenko (Nac. ahrar. un-t, Kyev)
YZOMONODROMNÁE DEFORMACYY
Y DYFFERENCYAL|NAQ TEORYQ HALUA
We show how a solution of an inverse problem of the differential Galois theory can be used to construct
isomonodromic deformations.
Pokazano qk moΩna vykorystaty rozv’qzok oberneno] zadaçi dyferencial\no] teori] Halua dlq
pobudovy izomonodromnyx deformacij.
V poslednye hod¥ znaçytel\no vozros ynteres k yzuçenyg lynejn¥x dyffe-
rencyal\n¥x uravnenyj s parametramy metodamy dyfferencyal\noj alhebr¥
(sm. [1]). Naprymer, k takym uravnenyqm svodqtsq nekotor¥e zadaçy hamyl\to-
novoj dynamyky. Kak pokazano v [2], dyfferencyal\no-alhebrayçeskug tex-
nyku moΩno uspeßno prymenyt\ dlq ustanovlenyq neyntehryruemosty komp-
leksn¥x analytyçeskyx hamyl\tonov¥x system. Podobn¥m obrazom texnyku
dyfferencyal\noj alhebr¥ moΩno yspol\zovat\ dlq postroenyq yzomono-
dromn¥x semejstv lynejn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj (opredelenyq sm. v
[3, c. 128]).
V pryloΩenyqx çasto pryxodytsq reßat\ lynejn¥e dyfferencyal\n¥e
uravnenyq s parametramy y rehulqrn¥my osob¥my toçkamy. Pry πtom dlq ka-
kyx-to konkretn¥x, fyksyrovann¥x znaçenyj parametrov ynohda udaetsq polu-
çyt\ toçn¥e reßenyq πtyx uravnenyj. Estestvenno voznykaet vopros: nel\zq
ly kak-to neznaçytel\no yzmenyt\ (deformyrovat\) znaçenyq parametrov (na-
prymer, slehka yzmenyv poloΩenye osob¥x toçek) tak, çtob¥ xarakter povede-
nyq reßenyj v okrestnosty osob¥x toçek uravnenyq ostalsq preΩnym? Po-
skol\ku xarakter povedenyq reßenyj v okrestnosty osob¥x toçek uravnenyq
klassa Fuksa opredelqetsq eho hruppoj monodromyy (opredelenyq sm. v [4]),
takye deformacyy parametrov uravnenyq prynqto naz¥vat\ yzomonodromn¥my
(t. e. ne menqgwymy hruppu monodromyy uravnenyq). Yzomonodromn¥e defor-
macyy koπffycyentov uravnenyq vtoroho porqdka yzuçal ewe Fuks [5] v
1907=h. Çut\ pozdnee Ílezynher [6] poluçyl systemu lynejn¥x dyfferency-
al\n¥x uravnenyj, opys¥vagwug yzomonodromn¥e deformacyy. Odnako, esly
çyslo N osob¥x toçek uravnenyq bol\ße trex, yssledovanye poluçennoj sys-
tem¥ ne prowe, çem yssledovanye ysxodnoho uravnenyq. Naprymer, pry N = 4
posle opredelenn¥x preobrazovanyj pryxodym k uravnenyqm Penleve.
S druhoj storon¥, rassmatryvaemaq zadaça postroenyq yzomonodromn¥x se-
mejstv lynejn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj tesno svqzana s tak naz¥vae-
moj obratnoj zadaçej teoryy Halua dyfferencyal\n¥x polej (sm. [7]), a ymen-
no, postroenyem po zadannoj lynejnoj alhebrayçeskoj hruppe G lynejn¥x
dyfferencyal\n¥x uravnenyj, hruppa Halua kotor¥x yzomorfna G . Delo v
© N. V. HRYHORENKO, 2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 1131
1132 N. V. HRYHORENKO
tom, çto dlq uravnenyj Fuksa hruppa Halua uravnenyq sovpadaet s zam¥kanyem
(v topolohyy Zaryskoho) hrupp¥ monodromyy πtoho uravnenyq y pry yssledova-
nyy obwyx svojstv reßenyj takoho uravnenyq ne suwestvenno kakug yz nyx
rassmatryvat\.
V to Ωe vremq v reßenyy obratnoj zadaçy teoryy Halua dyfferencyal\n¥x
polej uΩe dostyhnut znaçytel\n¥j prohress. V çastnosty, Kovaçyç [8] reßyl
obratnug zadaçu dlq svqzn¥x razreßym¥x lynejn¥x alhebrayçeskyx hrupp nad
proyzvol\n¥m dyfferencyal\n¥m polem xarakterystyky nul\. ∏to oznaçaet,
naprymer, çto esly zam¥kanye hrupp¥ monodromyy uravnenyq — svqznaq razre-
ßymaq alhebrayçeskaq hruppa, to moΩno vospol\zovat\sq rezul\tatamy Kova-
çyça dlq postroenyq yzomonodromnoho semejstva lynejn¥x dyfferencyal\-
n¥x uravnenyj s takoj hruppoj monodromyy nad proyzvol\noj rymanovoj po-
verxnost\g. Odnako πty rezul\tat¥ malo yzvestn¥ specyalystam v oblasty
yzomonodromn¥x deformacyj yz-za abstraktnoj, çysto alhebrayçeskoj form¥
yx predstavlenyq.
Cel\ dannoj stat\y — pokazat\ na prymere kak moΩno yspol\zovat\ reße-
nye obratnoj zadaçy dlq konkretnoj lynejnoj alhebrayçeskoj hrupp¥, çtob¥
postroyt\ yzomonodromn¥e deformacyy.
Pust\ C ( z ) — dyfferencyal\noe pole racyonal\n¥x funkcyj odnoj pere-
mennoj z s kompleksn¥my koπffycyentamy y dyfferencyrovanyem d / dz .
M¥ budem yspol\zovat\ ponqtyq y opredelenyq yz [7]. V çastnosty, budem
predpolahat\, çto vse rasßyrenyq dyfferencyal\n¥x polej leΩat v nekoto-
rom fyksyrovannom unyversal\nom dyfferencyal\no-polevom rasßyrenyy U
polq C ( z ) . Pust\ çysla λ1 , … , λn ne cel¥e y ne vse racyonal\n¥, m ≥ 1,
a1 , … , an , b1 , … , bm — konstant¥, alhebrayçesky nezavysym¥e nad C, y K —
alhebrayçeskoe zam¥kanye C ( a1 , … , an , b1 , … , bm ) v U. Oboznaçym
ϕ ( z ) = ( )z bj
m
−∏
1
, ϕ ( z ) =
λ
ϕ
i
i i
n
a z a( ) ( )−∑
1
,
′u
u
1
1
= 1
4
′ +ϕ
ϕ
ψ ϕ ,
′u
u
2
2
= 1
4
′ −ϕ
ϕ
ψ ϕ ,
f1 = –
′ − ′ϕ
ϕ
ψ
ψ
,
f2 = – ψ ϕ ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ψ
ψ
2
2
1
4
3
16
1
4
− ′
′
+ ′
+ ′ ′
,
L ( y ) ≡ ′′ + ′ +y f y f y1 2 . (1)
Oboznaçym takΩe çerez G alhebrayçeskug matryçnug hruppu, poroΩdennug
matrycamy vyda
µ
µ
0
0 1−
,
0
0
i
i
, µ− ∗∈1 C , i
2 = – 1. Dlq lgboj
dyfferencyal\noj specyalyzacyy ( , )a b → ( ˜, ˜)a b nad C oboznaçym çerez
˜( )L y dyfferencyal\n¥j operator, kotor¥j poluçaetsq yz L y( ) putem
zamen¥ v eho koπffycyentax konstant a1 , … , an , b1 , … , bm na konstant¥
˜ , , ˜a an1 … , ˜ , , ˜b bm1 … .
Teorema. Hruppa Halua operatora (1) nad K ( z ) yzomorfna G , u1 , u2 —
fundamental\naq systema nulej πtoho operatora. Dlq lgboj dyfferency-
al\noj specyalyzacyy ( , )a b → ( ˜, ˜)a b n a d C takoj, çto ˜ , , ˜a an1 … ,
˜ , , ˜b bm1 … ∈ C poparno razlyçn¥, hruppa Halua operatora
˜( )L y nad polem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
YZOMONODROMNÁE DEFORMACYY Y DYFFERENCYAL|NAQ TEORYQ HALUA 1133
C ( z ) yzomorfna G. Matryc¥ monodromyy dlq bazysa ũ1, ũ2 v toçkax ã j
ymegt vyd
exp( )
exp( )
2 0
0 2
π λ
π λ
i
i
j
j−
, a v toçkax b̃j —
0
0
i
i
, i
2 = – 1.
Dokazatel\stvo. V¥bor konstant, sohlasno teoreme [9, c. 116], obespeçy-
vaet yzomorfyzm hrupp Halua sootvetstvugwyx operatorov na hruppu G. Tot
fakt, çto u1 , u2 — fundamental\naq systema nulej operatora L y( ) , ustanav-
lyvaetsq neposredstvennoj proverkoj. Netrudno ubedyt\sq, çto v okrestnosty
osoboj toçky ã j loharyfmyçeskye proyzvodn¥e fundamental\noj system¥
nulej operatora
˜( )L y ymegt vyd ˜ ˜/′u u1 1 ≈ λ j jz a/ ( ˜ )− , ˜ ˜/′u u2 2 ≈ – λ j jz a/ ( ˜ )− .
Sledovatel\no, pry obxode vokruh toçky ã j funkcyy ũ1, ũ2 pryobretagt
postoqnn¥e mnoΩytely, t. e. ũ1 → exp( ) ˜2 1π λi uj , ũ2 → exp( ) ˜−2 2π λi uj , çto
sootvetstvuet matryce monodromyy, ukazannoj v formulyrovke teorem¥.
Analohyçno, v okrestnosty osoboj toçky b̃j ymeem sledugwye predstavlenyq
dlq loharyfmyçeskyx proyzvodn¥x: ˜ ˜/′u u1 1 ≈ 1 4/ ( ˜ ) ˜z b f z bj j− + − , ˜ ˜/′u u2 2 ≈
≈ 1 4/ ( ˜ ) ˜z b f z bj j− − − , hde f — rehulqrn¥j v b̃j mnoΩytel\. Sledovatel\no,
pry obxode vokruh πtoj toçky funkcyy ũ1, ũ2 preobrazugtsq tak: ũ1 → iũ2 ,
ũ2 → iũ1, çto takΩe sootvetstvuet matryce monodromyy, ukazannoj v teoreme
dlq toçky b̃j .
Teorema dokazana.
Zametym, çto operator (1) predstavlqet soboj ne çto ynoe, kak yzomono-
dromnug deformacyg, esly rassmatryvat\ konstant¥ a1 , … , an , b1 , … , bm kak
parametr¥ operatora y πty parametr¥ ne svqzan¥ s çyslamy λ1 , … , λn .
Prymer. V kaçestve prymera pryvedennoho v¥ße operatora rassmotrym
sluçaj, kohda m = 1 y n = 2. Tohda
ϕ ( z ) = z – b , ψ ( z ) =
λ λ1
1 1
2
2 2a b z a a b z a− −
+
− −( ) ( )
,
′ϕ
ϕ
= ( )z b− −1 y
′ψ
ψ
= ( ) ( ) ( )z z a z a− + − + −− − −θ 1
1
1
2
1,
hde
θ =
λ λ
λ λ
1 2 2 2 1 1
1 2 2 1
a b a a b a
a b a b
− + −
− + −
.
V¥polnym teper\ nekotor¥e promeΩutoçn¥e podsçet¥:
ψ
2 =
λ λ λ λ1
2
1 1
2
1 2
1 2 1 2
2
2
2 2
2
2
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )a b z a a b a b z a z a a b z a− −
+
− − − −
+
− −
,
ψ
2
ϕ =
λ λ1
2
1
1
1
2 1
1 2
2
2
2
2
2 2
1
a b
a b
z a
z a
a b
a b
z a
z a
−
−
−
+ −
+
−
−
−
+ −
− −
( )
( )
( )
( ) +
+
2 1 2
1 2
1
1 2 1
2
2 1 2
λ λ
( )( ) ( )( ) ( )( )a b a b
a b
a a z a
a b
a a z a− −
−
− −
+ −
− −
.
Podstavyv poluçenn¥e v¥ße v¥raΩenyq v formul¥ dlq koπffycyentov ope-
ratora (1), posle prost¥x, no slehka hromozdkyx, preobrazovanyj poluçym
f1 = ( ) ( ) ( ) ( )z a z a z b z− + − − − − −− − − −
1
1
2
1 1 1θ ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
1134 N. V. HRYHORENKO
f2 = – λ λ λ λ
1
2
1
2
1
2
1
1 1 2
1 2
1
2
1
11
4
2
( ) ( ) ( )z a a b
a a
a b
a b
z a− − +
− +
−
−
−
−− − − +
+ λ λ λ λ
2
2
2
2
2
2
2
1 1 2
2 1
2
1
2
11
4
2
( ) ( ) ( )z a a b
a a
a b
a b
z a− − +
− +
−
−
−
−− − − +
+ 7
16
1
4
1
4
2 1
1
1
2
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z b b b a b a z b b z− + − − − − −[ ] − + − −− − − − − − −θ θ θ .
1. Varadarajan V. S. Group theoretic aspects of linear meromorphic differential equations // Dynam.
Contin. Discrete Impuls. Syst. – 1999. – 5, # 1 – 4. – P. 341 – 349.
2. Churchill R. C. Differential algebraic techniques in Hamiltonian dynamics // Proc. Int. Workshop
Different. Algebra and Relat. Top. (New Brunswick, New York, USA, November 2 – 3, 2000). –
Singapore: World Sci., 2002. – P. 219 – 255.
3. Bolybrux A. A. Ob yzomonodromn¥x slyqnyqx fuksov¥x osobennostej // Tr. Mat. yn-ta
RAN. – 1998. – 221. – S.=127 – 142.
4. Holubev V. V. Lekcyy po analytyçeskoj teoryy dyfferencyal\n¥x uravnenyj. – M.: Hos-
texyzdat, 1950.
5. Fuchs R. Über lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit drei in Endlisch
gelegene wesentlich singulären Stellen // Math. Ann. – 1907. – 63. – P. 301 – 321.
6. Schlesinger L. Über eine Klasse von Differentialsystemen beliebeger Ordnung mit festen
kritischen Punkten // J. reine und angew. Math. – 1912. – 141. – S. 96 – 145.
7. Kolchin E. R. Differential algebra and algebraic groups. – New York; London: Acad. Press, 1973.
8. Kovacic J. The inverse problem in the Galois theory of differential fields // Ann. Math. – 1969. –
89. – P. 583 – 608; 1971. – 93. – P. 269 – 284.
9. Hryhorenko N. V. K obratnoj zadaçe teoryy Halua dyfferencyal\n¥x polej // Mat.
zametky. – 1980. – 28. – S.=113 – 117.
Poluçeno 17.11.2005,
posle dorabotky — 26.04.2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
|
| id | umjimathkievua-article-3375 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:41:20Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/cf/4f8f25bc359b6387f90dbd3b0aaf13cf.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33752020-03-18T19:52:34Z Isomonodromic deformations and the differential Galois theory Изомонодромные деформации и дифференциальная теория Галуа Grigorenko, N. V. Григоренко, Н. В. Григоренко, Н. В. We show how a solution of an inverse problem of the differential Galois theory can be used to construct isomonodromic deformations. Показано як можна використати розв'язок оберненої задачі диференціальної теорії Галуа для побудови ізомонодромних деформацій Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3375 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 8 (2007); 1131-1134 Український математичний журнал; Том 59 № 8 (2007); 1131-1134 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3375/3493 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3375/3494 Copyright (c) 2007 Grigorenko N. V. |
| spellingShingle | Grigorenko, N. V. Григоренко, Н. В. Григоренко, Н. В. Isomonodromic deformations and the differential Galois theory |
| title | Isomonodromic deformations and the differential Galois theory |
| title_alt | Изомонодромные деформации и дифференциальная теория Галуа |
| title_full | Isomonodromic deformations and the differential Galois theory |
| title_fullStr | Isomonodromic deformations and the differential Galois theory |
| title_full_unstemmed | Isomonodromic deformations and the differential Galois theory |
| title_short | Isomonodromic deformations and the differential Galois theory |
| title_sort | isomonodromic deformations and the differential galois theory |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3375 |
| work_keys_str_mv | AT grigorenkonv isomonodromicdeformationsandthedifferentialgaloistheory AT grigorenkonv isomonodromicdeformationsandthedifferentialgaloistheory AT grigorenkonv isomonodromicdeformationsandthedifferentialgaloistheory AT grigorenkonv izomonodromnyedeformaciiidifferencialʹnaâteoriâgalua AT grigorenkonv izomonodromnyedeformaciiidifferencialʹnaâteoriâgalua AT grigorenkonv izomonodromnyedeformaciiidifferencialʹnaâteoriâgalua |