Approximation of ( ψ, β )-differentiable functions defined on the real axis by Weierstrass operators
Asymptotic equalities are obtained for upper bounds of approximations by the Weierstrass operators on the functional classes $\widehat{C}^{\psi}_{\beta, \infty}$ and $\widehat{L}^{\psi}_{\beta, 1}$ in metrics of the spaces $\widehat{C}$ and $\widehat{L}_1$, respectively.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3382 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509463504486400 |
|---|---|
| author | Kalchuk, I. V. Кальчук, І. В. |
| author_facet | Kalchuk, I. V. Кальчук, І. В. |
| author_sort | Kalchuk, I. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:52:51Z |
| description | Asymptotic equalities are obtained for upper bounds of approximations by the Weierstrass operators on the functional classes $\widehat{C}^{\psi}_{\beta, \infty}$
and $\widehat{L}^{\psi}_{\beta, 1}$ in metrics of the spaces $\widehat{C}$ and $\widehat{L}_1$, respectively. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:41:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
I. В. Кальчук (Волин. ун-т, Луцьк)
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ,
ЗАДАНИХ НА ДIЙСНIЙ ОСI,
ОПЕРАТОРАМИ ВЕЙЄРШТРАССА
Asymptotic equalities are obtained for upper bounds of approximations by the Weierstrass operators on
the functional classes Ĉψβ,∞ and L̂ψβ,1 in metrics of the spaces Ĉ and L̂1, respectively.
Получены асимптотические равенства для верхних граней приближений операторами Вейерштрасса
на функциональных классах Ĉψβ,∞ и L̂ψβ,1 в метриках пространств Ĉ и L̂1 соответственно.
1. Основнi означення. Нехай L̂p, p ≥ 1, — множина функцiй f(·), що заданi на
всiй дiйснiй осi R i мають скiнченну норму ‖f‖p̂ , де
‖f‖p̂ =
sup
a∈R
(∫ a+2π
a
|f(t)|p dt
) 1
p
, p ∈ [1,∞),
ess sup
t∈R
|f(t)| , p = ∞,
i Ĉ — множина неперервних, заданих на дiйснiй осi функцiй iз скiнченною нормою
‖f‖Ĉ = max
t∈R
|f (t)|.
Нехай A — множина додатних неперервних при t ≥ 0 функцiй ψ(t), якi задо-
вольняють умови:
1) ψ(0) = 0;
2) ψ(t) опукла донизу на [1,∞) i lim
t→∞
ψ(t) = 0;
3) ψ′(t) = ψ′(t+ 0) є функцiєю обмеженої варiацiї на [0,∞) .
Пiдмножину функцiй ψ ∈ A, для яких
∫ ∞
1
ψ(t)
t
dt <∞, позначають через A′.
Якщо ψ ∈ A′ i β ∈ R, то вiдомо, що перетворення ψ̂β(t) вигляду
ψ̂β(t) = ψ̂ (t;β) =
1
π
∞∫
0
ψ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv (1)
є сумовним на всiй дiйснiй осi (див. [1, с. 194]).
Через L̂ψβ (див., наприклад, [2, 3]) позначимо множину функцiй f ∈ L̂1, якi
майже для всiх x ∈ R можна подати у виглядi
f(x) = A0 +
∞∫
−∞
ϕ (x+ t) ψ̂β(t)dt = A0 +
(
ϕ ∗ ψ̂β
)
(x), (2)
де A0 — деяка стала i ϕ ∈ L̂1, а iнтеграл слiд розумiти як границю iнтегралiв по
симетричних промiжках, що розширюються. Якщо f ∈ L̂ψβ i при цьому ϕ ∈ N, де
N — деяка пiдмножина iз L̂1, то покладають f ∈ L̂ψβN. Пiдмножини неперервних
функцiй iз L̂ψβ , L̂
ψ
βN позначають вiдповiдно через Ĉψβ , Ĉ
ψ
β N. Функцiю ϕ(·) у (2)
називають (ψ, β)-похiдною функцiї f(·) i позначають fψβ (·).
c© I. В. КАЛЬЧУК, 2007
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9 1201
1202 I. В. КАЛЬЧУК
Через Ĉψβ,∞ позначають множину функцiй f ∈ Ĉψβ N у випадку, коли N збiга-
ється з одиничною кулею простору L̂∞, тобто N = S∞ =
{
ϕ ∈ L̂∞ : ess sup
t∈R
|ϕ(t)| ≤
≤ 1
}
, а через L̂ψβ,1 — множину функцiй f ∈ L̂ψβN, коли N є одиничною кулею про-
стору L̂1, тобто N = S1 =
{
ϕ ∈ L̂1 : ‖ϕ‖1̂ ≤ 1
}
.
У роботi [1, с. 169] показано, що якщо ϕ(·) — 2π-перiодична функцiя така, що∫ π
−π
ϕ(t) dt = 0, то в цьому випадку класи L̂ψβN, L̂ψβ,1 i Ĉψβ,∞ переходять у вiдомi
класи LψβN, Lψβ,1 i Cψβ,∞ вiдповiдно.
Нехай, далi,
A0 :=
{
ψ ∈ A : 0 <
t
η(t)− t
≤ K <∞ ∀t ≥ 1
}
,
де
η(t) = η(ψ, t) = ψ−1
(
1
2
ψ(t)
)
,
а ψ−1 — функцiя, обернена до функцiї ψ.
Розглянемо тепер сукупнiсть функцiй Λ =
{
λσ
( v
σ
)}
, якi є неперервними при
v ≥ 0 i залежать вiд дiйсного параметра σ. Кожнiй функцiї f ∈ L̂ψβ поставимо у
вiдповiднiсть вираз вигляду
Uσ(f ;x; Λ) = A0 +
∞∫
−∞
fψβ (x+ t)
1
π
∞∫
0
ψ(v)λσ
( v
σ
)
cos
(
vt+
βπ
2
)
dvdt. (3)
Ми будемо наближати функцiї з класiв L̂ψβ,1 i Ĉψβ,∞ операторами вигляду (3) у
випадку λσ
( v
σ
)
= e−
v2
σ . Такi оператори будемо позначати Wσ(f ;x), σ ∈ (0,∞), i
називати операторами Вейєрштрасса
Wσ(f ;x) = A0 +
∞∫
−∞
fψβ (x+ t)
1
π
∞∫
0
ψ(v)e−
v2
σ cos
(
vt+
βπ
2
)
dv dt, σ ∈ (0,∞).
(4)
Застосовуючи твердження 1.1 з роботи [1, c. 169], неважко переконатися, що якщо
функцiя f є 2π-перiодичною, то оператори Wσ(f ;x) збiгаються з вiдомими iнте-
гралами Вейєрштрасса
Wσ(f ;x) =
a0
2
+
∞∑
k=1
e−
k2
σ (ak cos kx+ bk sin kx) , σ > 0
(див., наприклад, [4, c. 150]).
У роботi будемо дослiджувати асимптотичну поведiнку величин
E
(
Ĉψβ,∞;Wσ
)
Ĉ
= sup
f∈Ĉψβ,∞
‖f(x)−Wσ(f ;x)‖Ĉ ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ ... 1203
E
(
L̂ψβ,1;Wσ
)
1̂
= sup
f∈L̂ψβ,1
‖f(x)−Wσ(f ;x)‖1̂
при σ →∞.
Якщо в явному виглядi знайдено функцiю h(σ) = h(N;σ) таку, що при σ →∞
E (N;Wσ)X = h (σ) + o (h (σ)) ,
то кажуть, що на класi N для оператора Вейєрштрасса розв’язано задачу Колмого-
рова – Нiкольського в метрицi простору X.
Вiдмiтимо, що задачу Колмогорова – Нiкольського для iнтегралiв Вейєрштрасса
на класахW r
β , W
r, класах Зигмунда та iнших розв’язано в роботах П. П. Коровкiна
[5], Л. I. Баусова [6, 7], Я. С. Бугрова [8], В. А. Баскакова [9], Л. П. Фалалєєва [10].
Результати даної роботи тiсно пов’язанi iз результатами роботи Ю. I. Харкевича та
I. В. Кальчук [11], де було знайдено розв’язки задачi Колмогорова – Нiкольського
для iнтегралiв Вейєрштрасса на класах Cψβ,∞, L
ψ
β,1.
2. Оцiнка верхнiх меж наближень функцiй на класах Ĉψβ,∞ їх операторами
Вейєрштрасса. Покладемо
τ(v) = τσ(v, ψ) =
(
1− e−v
2
) ψ(
√
σv)
ψ(
√
σ)
, v ≥ 0, (5)
де ψ(v) — функцiя, визначена i неперервна при всiх v ≥ 0. Далi будемо вважати, що
функцiя ψ(v) є монотонно зростаючою i опуклою донизу на [0, 1] i має неперервну
другу похiдну при всiх v ≥ 0 за винятком точки v = 1. Множину функцiй ψ ∈ A
або ψ ∈ A0, що мають вказанi вище властивостi, позначимо вiдповiдно через A∗
або A∗0.
Теорема 1. Нехай ψ ∈ A∗0 ∩ A′, функцiя g(v) = v2ψ(v) опукла вгору або
донизу на [b,∞) , b ≥ 1. Тодi при σ →∞ має мiсце рiвнiсть
E
(
Ĉψβ,∞;Wσ
)
Ĉ
= ψ(
√
σ)A(τ), (6)
де величина A(τ) означається формулою
A(τ) =
1
π
∞∫
−∞
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
τ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ dt (7)
i для неї справедливою є оцiнка
A(τ) =
2
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣
1
σψ(
√
σ)
√
σ∫
1
vψ(v)dv +
1
ψ(
√
σ)
∞∫
√
σ
ψ(v)
v
dv
+
+ O
(
1 +
1
σψ(
√
σ)
)
. (8)
Доведення. Як випливає з леми 1 з роботи [12], для доведення рiвностi (6)
досить показати сумовнiсть перетворення τ̂β(t) функцiї τ(v) вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
1204 I. В. КАЛЬЧУК
τ̂β(t) = τ̂(t, β) =
1
π
∞∫
0
τ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv, (9)
тобто збiжнiсть iнтеграла (7).
Згiдно з теоремою 1 з роботи [7, с. 24] для збiжностi iнтеграла (7) необхiдно i
достатньо, щоб збiгалися iнтеграли
1
2∫
0
v |dτ ′(v)| ,
∞∫
1
2
|v − 1| |dτ ′(v)| , (10)
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣
∞∫
0
|τ(v)|
v
dv,
1∫
0
|τ(1− v)− τ(1 + v)|
v
dv. (11)
Оцiнимо перший iнтеграл з (10). Для цього розiб’ємо промiжок iнтегрування
на двi частини:
[
0,
1√
σ
]
i
[
1√
σ
,
1
2
]
(при σ > 4b2).
Враховуючи, що τ ′′(v) ≥ 0 на
[
0,
1√
σ
]
, а також нерiвнiсть
1− e−v
2
≤ v2, v ∈ R, (12)
одержуємо
1√
σ∫
0
v |dτ ′(v)| = (vτ ′(v)− τ(v))
∣∣∣∣ 1√
σ
0
=
=
ψ′(1− 0)
ψ (
√
σ)
(1− e−
1
σ ) +
2ψ(1)
ψ (
√
σ)
1
σ
e−
1
σ − ψ(1)
ψ(
√
σ)
(
1− e−
1
σ
)
=
= O
(
1
σψ (
√
σ)
)
. (13)
Як випливає з рiвностей (21), (27) – (29) з роботи [11], має мiсце оцiнка
1
2∫
1√
σ
v |dτ ′(v)| = O
(
1 +
1
σψ(
√
σ)
)
, σ →∞. (14)
Об’єднуючи спiввiдношення (13) та (14), отримуємо
1
2∫
0
v |dτ ′(v)| = O
(
1 +
1
σψ(
√
σ)
)
, σ →∞. (15)
Враховуючи рiвнiсть (34) з роботи [11], робимо висновок, що для другого iнтеграла
з (10) справедливою є оцiнка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ ... 1205
∞∫
1
2
|v − 1| |dτ ′(v)| = O(1). (16)
Для оцiнки першого iнтеграла з (11) розiб’ємо промiжок [0,∞) на двi частини:[
0,
1√
σ
]
,
[
1√
σ
,∞
)
.
Нехай v ∈
[
0,
1√
σ
]
. Враховуючи нерiвнiсть (12) та той факт, що функцiя ψ(v)
монотонно зростає на [0, 1] , одержуємо
1√
σ∫
0
|τ(v)|
v
dv =
1
ψ (
√
σ)
1√
σ∫
0
(
1− e−v
2
)
ψ
(√
σv
) dv
v
≤
≤ ψ(1)
ψ (
√
σ)
1√
σ∫
0
vdv = O
(
1
σψ (
√
σ)
)
. (17)
На пiдставi оцiнок (36) та (37) з роботи [11] отримуємо
∞∫
1√
σ
|τ(v)|
v
dv =
1
σψ(
√
σ)
√
σ∫
1
vψ(v)dv+
+
1
ψ(
√
σ)
∞∫
√
σ
ψ(v)
v
dv +O
(
1 +
1
σψ(
√
σ)
)
. (18)
Об’єднуючи рiвностi (17) i (18), робимо висновок, що для першого iнтеграла з (11)
має мiсце рiвнiсть
∞∫
0
|τ(v)|
v
dv=
1
σψ(
√
σ)
√
σ∫
1
vψ(v)dv +
1
ψ(
√
σ)
∞∫
√
σ
ψ(v)
v
dv +O
(
1 +
1
σψ(
√
σ)
)
. (19)
Покажемо, що для другого iнтеграла з (11) справедливою є оцiнка
1∫
0
|τ(1− v)− τ(1 + v)|
v
dv = O
(
1 +
1
σψ(
√
σ)
)
, σ →∞. (20)
Iз спiввiдношення (5) знаходимо
τ(1− v) =
(
1− e−(1−v)2
) ψ (
√
σ(1− v))
ψ(
√
σ)
, v ≤ 1, (21)
τ(1 + v) =
(
1− e−(1+v)2
) ψ (
√
σ(1 + v))
ψ(
√
σ)
, v ≥ −1. (22)
Подамо iнтеграл з лiвої частини рiвностi (20) у виглядi суми двох iнтегралiв:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
1206 I. В. КАЛЬЧУК
1∫
0
|τ(1− v)− τ(1 + v)|
v
dv =
1− 1√
σ∫
0
+
1∫
1− 1√
σ
|τ(1− v)− τ(1 + v)|
v
dv. (23)
Оцiнимо спочатку перший доданок у правiй частинi рiвностi (23). Для цьо-
го вiднiмемо i додамо пiд знаком модуля в пiдiнтегральнiй функцiї величину
e−(1−v)2 − e−(1+v)2 i отримаємо
1− 1√
σ∫
0
|τ(1− v)− τ(1 + v)|
v
dv = O
1− 1√
σ∫
0
∣∣∣e−(1−v)2 − e−(1+v)2
∣∣∣
v
dv+
+
1− 1√
σ∫
0
∣∣∣τ(1− v)− τ(1 + v) + e−(1−v)2 − e−(1+v)2
∣∣∣
v
dv
. (24)
Очевидно, що
1− 1√
σ∫
0
∣∣∣e−(1−v)2 − e−(1+v)2
∣∣∣
v
dv = O(1). (25)
Оцiнимо тепер другий iнтеграл з правої частини рiвностi (24). Оскiльки мають
мiсце спiввiдношення (21) i (22), то
e−(1−v)2 = 1− ψ(
√
σ)
ψ(
√
σ(1− v))
τ(1− v), v ≤ 1, (26)
e−(1+v)2 = 1− ψ(
√
σ)
ψ(
√
σ(1 + v))
τ(1 + v), v ≥ −1. (27)
Тодi
1− 1√
σ∫
0
∣∣∣τ(1− v)− τ(1 + v) + e−(1−v)2 − e−(1+v)2
∣∣∣
v
dv ≤
≤
1− 1√
σ∫
0
|τ(1− v)|
∣∣∣∣1− ψ(
√
σ)
ψ(
√
σ(1− v))
∣∣∣∣ dvv +
+
1− 1√
σ∫
0
|τ(1 + v)|
∣∣∣∣1− ψ(
√
σ)
ψ(
√
σ(1 + v))
∣∣∣∣ dvv . (28)
З огляду на (15) та (16) на пiдставi леми 2 з роботи [7, с. 19] отримаємо рiвнiсть
1− 1√
σ∫
0
|τ(1− v)|
∣∣∣∣1− ψ(
√
σ)
ψ(
√
σ(1− v))
∣∣∣∣ dvv +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ ... 1207
+
1− 1√
σ∫
0
|τ(1 + v)|
∣∣∣∣1− ψ(
√
σ)
ψ(
√
σ(1 + v))
∣∣∣∣ dvv =
= H(τ)O
1− 1√
σ∫
0
|ψ(
√
σ(1− v))− ψ(
√
σ)|
vψ(
√
σ(1− v))
dv +
+
1− 1√
σ∫
0
|ψ(
√
σ(1 + v))− ψ(
√
σ)|
vψ(
√
σ(1 + v))
dv
, (29)
де
H(τ) = |τ(0)|+ |τ(1)|+
1
2∫
0
v |dτ ′(v)|+
∞∫
1
2
|v − 1| |dτ ′(v)| . (30)
Покажемо, що при σ →∞
I1,σ :=
1− 1√
σ∫
0
|ψ(
√
σ(1− v))− ψ(
√
σ)|
vψ(
√
σ(1− v))
dv = O(1), (31)
I2,σ :=
1− 1√
σ∫
0
|ψ(
√
σ(1 + v))− ψ(
√
σ)|
vψ(
√
σ(1 + v))
dv = O(1), (32)
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по σ.
Дiйсно, функцiя
1− ψ(
√
σ)/ψ(
√
σ(1− v))
v
обмежена при всiх v ∈
[
θ, 1− 1√
σ
]
,
0 < θ < 1− 1√
σ
, i, крiм того, з урахуванням теореми 3.12.1 з роботи [13, с. 161]
lim
v→0
1− ψ(
√
σ)/ψ(
√
σ(1− v))
v
=
√
σ |ψ′(
√
σ)|
ψ(
√
σ)
≤ K.
Отже, I1,σ = O(1), σ →∞.
Переходячи до оцiнки iнтеграла I2,σ, вiдмiтимо, що
I2,σ <
1
ψ(2
√
σ − 1)
1− 1√
σ∫
0
ψ(
√
σ)− ψ (
√
σ (1 + v))
v
dv.
Пiсля замiни змiнної u =
√
σ(1 + v) отримаємо
I2,σ <
1
ψ(2
√
σ − 1)
2
√
σ−1∫
√
σ
ψ(
√
σ)− ψ (u)
u−
√
σ
du <
1
ψ(2
√
σ − 1)
2
√
σ∫
√
σ
ψ(
√
σ)− ψ (u)
u−
√
σ
du.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
1208 I. В. КАЛЬЧУК
Застосовуючи до правої частини останньої нерiвностi лему 3.5.5 з роботи [14,
с. 97], а також теорему 3.16.1 з роботи [13, с. 175], одержуємо
I2,σ <
K1ψ(
√
σ)
ψ(2
√
σ − 1)
≤ K2ψ(
√
σ)
ψ (2
√
σ)
≤ K3.
Отже, рiвностi (31) та (32) виконуються.
Поєднуючи спiввiдношення (28) – (32), маємо
1− 1√
σ∫
0
∣∣∣τ(1− v)− τ(1 + v) + e−(1−v)2 − e−(1+v)2
∣∣∣
v
dv = H(τ)O(1). (33)
Згiдно зi спiввiдношеннями (15) та (16) для величини H (τ) , що означена рiвнi-
стю (30), справедливою є оцiнка
H(τ) = O
(
1 +
1
σψ(
√
σ)
)
. (34)
Iз формул (24), (25), (33) та (34) одержуємо
1− 1√
σ∫
0
|τ(1− v)− τ(1 + v)|
v
dv = O
(
1 +
1
σψ(
√
σ)
)
. (35)
Оцiнимо другий доданок з правої частини рiвностi (23). Для цього вiднiмемо i
додамо пiд знаком модуля в пiдiнтегральнiй функцiї величину
ψ(
√
σ(1− v))
ψ(1)
(
e−(1−v)2 − e−(1+v)2
)
,
врахуємо, що функцiя ψ (
√
σ(1− v)) є монотонно спадною на
[
1− 1√
σ
, 1
]
, i одер-
жимо
1∫
1− 1√
σ
|τ(1− v)− τ(1 + v)|
v
dv ≤
≤ 1
ψ(1)
1∫
1− 1√
σ
ψ (
√
σ(1− v))
∣∣∣e−(1−v)2 − e−(1+v)2
∣∣∣
v
dv+
+
1∫
1− 1√
σ
∣∣∣∣τ(1− v)− τ(1 + v) +
ψ(√σ(1−v))
ψ(1)
(
e−(1−v)2 − e−(1+v)2
)∣∣∣∣
v
dv ≤
≤
1∫
1− 1√
σ
∣∣∣e−(1−v)2 − e−(1+v)2
∣∣∣
v
dv+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ ... 1209
+
1∫
1− 1√
σ
∣∣∣∣τ(1− v)− τ(1 + v) +
ψ (
√
σ(1− v))
ψ(1)
(
e−(1−v)2 − e−(1+v)2
)∣∣∣∣
v
dv. (36)
Очевидно, що має мiсце оцiнка
1∫
1− 1√
σ
∣∣e−(1−v)2 − e−(1+v)2
∣∣
v
dv = O(1). (37)
Врахувавши спiввiдношення (26) та (27), а також лему 2 з роботи [7, с. 19],
отримаємо
1∫
1− 1√
σ
∣∣∣∣τ(1− v)− τ(1 + v) +
ψ (
√
σ(1− v))
ψ(1)
(
e−(1−v)2 − e−(1+v)2
)∣∣∣∣
v
dv =
=
1∫
1− 1√
σ
1
v
∣∣∣∣τ(1− v)− τ(1 + v) +
ψ (
√
σ(1− v))
ψ(1)
×
×
(
ψ(
√
σ)
ψ (
√
σ(1− v))
τ(1− v) +
ψ (
√
σ)
ψ (
√
σ(1 + v))
τ(1 + v)
) ∣∣∣∣dv ≤
≤
1∫
1− 1√
σ
|τ(1− v)|
∣∣∣∣1− ψ(
√
σ)
ψ(1)
∣∣∣∣ dvv +
+
1∫
1− 1√
σ
|τ(1 + v)|
∣∣∣∣1− ψ (
√
σ(1− v))ψ(
√
σ)
ψ(1)ψ (
√
σ(1 + v))
∣∣∣∣ dvv =
= H(τ)O
1∫
1− 1√
σ
∣∣∣∣1− ψ(
√
σ)
ψ(1)
∣∣∣∣ dvv +
1∫
1− 1√
σ
∣∣∣∣1− ψ (
√
σ(1− v))ψ(
√
σ)
ψ(1)ψ (
√
σ(1 + v))
∣∣∣∣ dvv
, (38)
де H (τ) означається рiвнiстю (30).
Оцiнимо перший iнтеграл у правiй частинi рiвностi (38):
1∫
1− 1√
σ
∣∣∣∣1− ψ(
√
σ)
ψ(1)
∣∣∣∣ dvv =
(
1− ψ(
√
σ)
ψ(1)
)
ln
1
1− 1√
σ
= O(1). (39)
Оскiльки функцiя
∣∣∣∣1− ψ (
√
σ(1− v))ψ(
√
σ)
ψ(1)ψ (
√
σ(1 + v))
∣∣∣∣ є обмеженою на
[
1− 1√
σ
, 1
]
, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
1210 I. В. КАЛЬЧУК
1∫
1− 1√
σ
∣∣∣∣1− ψ (
√
σ(1− v))ψ(
√
σ)
ψ(1)ψ (
√
σ(1 + v))
∣∣∣∣ dvv = O(1). (40)
На пiдставi спiввiдношень (38) – (40) маємо
1∫
1− 1√
σ
∣∣∣∣τ(1− v)− τ(1 + v) +
ψ (
√
σ(1− v))
ψ(1)
(
e−(1−v)2 − e−(1+v)2
)∣∣∣∣
v
dv =
= H(τ)O(1). (41)
Враховуючи формули (36), (37), (41) та оцiнку (34), отримуємо
1∫
1− 1√
σ
|τ(1− v)− τ(1 + v)|
v
dv = O
(
1 +
1
σψ(
√
σ)
)
. (42)
Поєднуючи спiввiдношення (35) та (42), приходимо до рiвностi (20).
Iз нерiвностей (2.14) i (2.15) з роботи [7, с. 24] з урахуванням формул (19), (20)
i (34) одержуємо спiввiдношення (8).
Теорему 1 доведено.
Iз теореми 1 випливають наступнi твердження.
Наслiдок 1. Якщо виконано умови теореми 1, sin
βπ
2
6= 0 i lim
t→∞
α(t) = ∞, де
α(t) =
ψ(t)
t |ψ′(t)|
, (43)
то при σ →∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
Ĉψβ,∞;Wσ
)
Ĉ
=
2
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣
∞∫
√
σ
ψ(v)
v
dv +O
(
ψ(
√
σ)
)
. (44)
Прикладом функцiй, якi задовольняють умови наслiдку 1, є функцiї ψ ∈ A∗, якi
на промiжку [1,∞) мають вигляд ψ(v) =
1
lnα(v +K)
, де α > 1, K > 0.
Наслiдок 2. Нехай ψ ∈ A∗0, sin
βπ
2
6= 0, функцiя v2ψ(v) опукла вгору або
донизу на промiжку [b,∞) , b ≥ 1, i
lim
v→∞
v2ψ(v) = ∞,
lim
σ→∞
1
σψ(
√
σ)
√
σ∫
1
vψ(v)dv = ∞.
Тодi при σ →∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
Ĉψβ,∞;Wσ
)
Ĉ
=
2
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣ 1
σ
√
σ∫
1
vψ(v)dv +O
(
ψ(
√
σ)
)
. (45)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ ... 1211
Вiдмiтимо, що умови наслiдку 2 задовольняють, наприклад, функцiї ψ ∈ A∗,
якi при v ≥ 1 мають вигляд ψ(v) =
1
v2
lnα(v +K), K > 0, α > 0.
Наслiдок 3. Нехай ψ ∈ A∗0, sin
βπ
2
6= 0, функцiя v2ψ(v) опукла донизу на
промiжку [b,∞) , b ≥ 1, i
lim
v→∞
v2ψ(v) = K <∞,
lim
σ→∞
√
σ∫
1
vψ(v)dv = ∞.
Тодi при σ →∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
Ĉψβ,∞;Wσ
)
Ĉ
=
2
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣ 1
σ
√
σ∫
1
vψ(v)dv +O
(
1
σ
)
. (46)
Прикладом функцiй ψ ∈ A∗, для яких має мiсце наслiдок 3, є функцiї, якi при
v ≥ 1 мають вигляд ψ(v) =
1
v2
(K+e−v), ψ(v) =
1
v2 lnα(v +K)
, K > 0, 0 ≤ α ≤ 1.
Зауважимо, що при виконаннi умов наслiдкiв 1 – 3 рiвностi (44) – (46) дають
розв’язок задачi Колмогорова – Нiкольського для операторiв Вейєрштрасса Wσ на
класах Ĉψβ,∞ у рiвномiрнiй метрицi.
Нехай G∗ — множина функцiй ψ ∈ A∗, що задовольняють наступну умову: для
довiльної сталої K > 0 iснує точка v0 = v0(K) ≥ 1 така, що при v > v0 для
функцiї α(v) вигляду (43) виконується нерiвнiсть α(v) <
1
2
(
1− K
v2
)
.
Теорема 2. Нехай ψ ∈ G∗, функцiя g(v) = v2ψ(v) опукла донизу на [b,∞) ,
b ≥ 1, i
∞∫
1
vψ(v)dv <∞. (47)
Тодi при σ →∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
Ĉψβ,∞;Wσ
)
Ĉ
=
1
σ
sup
f∈Ĉψβ,∞
∥∥∥f (2)(x)
∥∥∥
Ĉ
+O
1
σ
√
σ
√
σ∫
1
t2ψ(t)dt+
1
σ
∞∫
√
σ
tψ(t)dt
,
(48)
де f (2)(x) — друга похiдна функцiї f(x).
Доведення. Подамо функцiю τ(v), що задана за допомогою спiввiдношення
(5), у виглядi τ(v) = ϕ(v) + µ(v), де
ϕ(v) = v2ψ(
√
σv)
ψ(
√
σ)
, v ≥ 0, (49)
µ(v) = (1− e−v
2
− v2)
ψ(
√
σv)
ψ(
√
σ)
, v ≥ 0. (50)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
1212 I. В. КАЛЬЧУК
Переконаємось у сумовностi перетворень ϕ̂β(t) i µ̂β(t) функцiй ϕ(v) та µ(v)
(див. (9)).
Покажемо збiжнiсть iнтеграла
A (ϕ) =
1
π
∞∫
−∞
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ dt.
Застосовуючи двiчi iнтегрування частинами i враховуючи, що ϕ(0) = ϕ′(0) = 0,
lim
v→∞
ϕ(v) = lim
v→∞
ϕ′(v) = 0, маємо
∞∫
0
ϕ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv =
1√
σ∫
0
+
∞∫
1√
σ
ϕ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv =
= − 1
t2
1√
σ∫
0
+
∞∫
1√
σ
ϕ′′(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv+
+
1
t2
ψ′(1− 0)− ψ′(1 + 0)√
σψ(
√
σ)
cos
(
1√
σ
t+
βπ
2
)
,
звiдки∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ ≤ 1
t2
1√
σ∫
0
+
∞∫
1√
σ
∣∣ϕ′′(v)∣∣dv +
1
t2
K√
σψ(
√
σ)
.
Функцiя ϕ(v) є опуклою донизу на кожному з промiжкiв
[
0,
1√
σ
)
та
[
b√
σ
,∞
)
, а
на промiжку
(
1√
σ
,
b√
σ
]
— обмеженою. Тому з останньої нерiвностi одержуємо∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ 1
t2
1√
σ∫
0
+
b√
σ∫
1√
σ
+
∞∫
b√
σ
|ϕ′′(v)|dv +
1
t2
K√
σψ(
√
σ)
=
=
1
t2
1√
σ∫
0
+
∞∫
b√
σ
ϕ′′(v) dv +
1
t2
b√
σ∫
1√
σ
|ϕ′′(v)| dv +
1
t2
K√
σψ(
√
σ)
≤
≤ K1
t2
√
σψ(
√
σ)
+
1
t2
√
σψ(
√
σ)
b∫
1
(
2ψ(v) + 4vψ′(v) + v2ψ′′(v)
)
dv ≤ K2
t2
√
σψ(
√
σ)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ ... 1213
Тодi ∫
|t|≥
√
σ
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ dt = O
(
1
σψ(
√
σ)
)
, σ →∞. (51)
Оскiльки функцiя v2ψ(v) спадає на [b,∞) i є обмеженою на [1, b], а функцiя ψ(v)
зростає на [0, 1], то, використовуючи (49) i рiвнiсть (4.16) з роботи [14, с. 59],
отримуємо
√
σ∫
0
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ dt =
=
√
σ∫
0
∣∣∣∣∣
1√
σ∫
0
+
b√
σ∫
1√
σ
+
∞∫
b√
σ
ϕ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣dt ≤
≤
√
σ
1√
σ∫
0
+
b√
σ∫
1√
σ
|ϕ(v)| dv +
√
σ∫
0
b√
σ
+ 2π
t∫
b√
σ
v2ψ(
√
σv)
ψ(
√
σ)
dvdt ≤
≤
√
σψ(1)
ψ(
√
σ)
1√
σ∫
0
v2dv +
1
σψ(
√
σ)
b∫
1
v2ψ(v) dv+
+
1
ψ(
√
σ)
√
σ∫
0
b√
σ
+ 2π
t∫
b√
σ
v2ψ(
√
σv)dvdt ≤
≤ K
σψ(
√
σ)
+
1
ψ(
√
σ)
√
σ∫
0
b√
σ
+ 2π
t∫
b√
σ
v2ψ(
√
σv)dvdt. (52)
Враховуючи рiвностi (66) – (70) роботи [11], можемо записати наступну оцiнку:
1
ψ(
√
σ)
√
σ∫
0
b√
σ
+ 2π
t∫
b√
σ
v2ψ(
√
σv)dvdt = O
(
1
σψ(
√
σ)
)
. (53)
Об’єднуючи (52) та (53), одержуємо
√
σ∫
0
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ dt = O
(
1
σψ(
√
σ)
)
, σ →∞. (54)
Аналогiчно можна показати, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
1214 I. В. КАЛЬЧУК
0∫
−
√
σ
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ dt = O
(
1
σψ(
√
σ)
)
, σ →∞. (55)
Iз формул (51), (54) та (55) маємо
A(ϕ) = O
(
1
σψ(
√
σ)
)
, σ →∞.
Покажемо тепер збiжнiсть iнтеграла
A(µ) =
1
π
∞∫
−∞
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ dt.
Застосувавши двiчi iнтегрування частинами i врахувавши, що µ(0) = µ′(0) = 0,
lim
v→∞
µ(v) = lim
v→∞
µ′(v) = 0, матимемо
∞∫
0
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv =
1√
σ∫
0
+
∞∫
1√
σ
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv =
= − 1
t2
1√
σ∫
0
+
∞∫
1√
σ
µ′′(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv−
− 1
t2
(
1− e−
1
σ − 1
σ
) √
σ (ψ′(1− 0)− ψ′(1 + 0))
ψ(
√
σ)
cos
(
t√
σ
+
βπ
2
)
,
звiдки ∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ 1
t2
1√
σ∫
0
+
∞∫
1√
σ
|µ′′(v)| dv +
1
t2
K
σ
√
σψ(
√
σ)
. (56)
Оцiнимо iнтеграли в правiй частинi нерiвностi (56). Враховуючи, що µ′′(v) < 0,
v ∈
[
0,
1√
σ
]
, маємо
1√
σ∫
0
|µ′′(v)| dv = −
1√
σ∫
0
µ′′(v)dv =
2ψ(1)√
σψ(
√
σ)
(
1− e−
1
σ
)
−
−
√
σψ′(1− 0)
ψ(
√
σ)
(
1− e−
1
σ − 1
σ
)
≤ K
σ
√
σψ(
√
σ)
. (57)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ ... 1215
Згiдно з нерiвнiстю (79) з роботи [11] для другого iнтеграла з правої частини
нерiвностi (56) має мiсце оцiнка
∞∫
1√
σ
|µ′′(v)| dv ≤ K +
K1
σ
√
σψ(
√
σ)
+
K2
σ
√
σψ(
√
σ)
√
σ∫
1
v2ψ(v)dv. (58)
Згiдно з (56), враховуючи (57), (58), а також те, що
lim
σ→∞
1
σ
√
σψ(
√
σ)
√
σ∫
1
v2ψ(v)dv ≥ lim
σ→∞
1
σ
√
σψ(
√
σ)
σψ(
√
σ)
√
σ∫
1
dv = 1, (59)
отримуємо
∫
|t|≥π
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ dt = O
1
σ
√
σψ(
√
σ)
√
σ∫
1
v2ψ(v)dv
. (60)
Розглянемо тепер
π∫
0
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ dt ≤
≤
π∫
0
∣∣∣∣∣∣∣∣
1√
δ∫
0
+
1∫
1√
δ
+
∞∫
1
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣∣∣ dt. (61)
Враховуючи, що функцiя ψ(v) зростає на [0, 1] , та використовуючи нерiвнiсть
e−v
2
+ v2 − 1 ≤ v2, v ∈ R, (62)
одержуємо
π∫
0
∣∣∣∣∣∣∣
1√
σ∫
0
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣∣ dt ≤
π∫
0
1√
σ∫
0
|µ(v)| dvdt ≤
≤ πψ(1)
ψ(
√
σ)
1√
σ∫
0
(
e−v
2
+ v2 − 1
)
dv ≤ πψ(1)
ψ(
√
σ)
1√
σ∫
0
v2dv ≤ K
σ
√
σψ(
√
σ)
. (63)
Згiдно з формулою (85) з роботи [11] має мiсце наступна оцiнка:
π∫
0
∣∣∣∣∣∣∣∣
1∫
1√
σ
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣∣∣ dt = O
1
σ
√
σψ(
√
σ)
√
σ∫
1
v2ψ(v)dv
. (64)
Оскiльки функцiя ψ ∈ G∗, то, як неважко переконатися, функцiя −µ(v) = (e−v
2
+
+ v2 − 1)ψ(
√
σv) буде монотонно спадною починаючи з деякого значення v1 ≥ 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
1216 I. В. КАЛЬЧУК
З огляду на те, що функцiя −µ(v) є монотонно спадною на [v1,∞) , v1 ≥ 1,
невiд’ємною i прямує до нуля при v →∞, можемо скористатись нерiвнiстю (4.16)
з роботи [14, с. 59]. Враховуючи також нерiвнiсть (62), отримуємо
π∫
0
∣∣∣∣∣∣
∞∫
1
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ dt =
π∫
0
∣∣∣∣∣∣
∞∫
1
(−µ(v)) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ dt ≤
≤
π∫
0
∣∣∣∣∣∣
v1∫
1
(−µ(v)) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ dt+ (65)
+
π∫
0
∣∣∣∣∣∣
∞∫
v1
(−µ(v)) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ dt ≤
≤
π∫
0
v1∫
1
(−µ(v)) dvdt+
π∫
0
v1+
2π
t∫
v1
(−µ(v)) dvdt =
=
π∫
0
v1+
2π
t∫
1
(−µ(v)) dvdt ≤ 1
ψ(
√
σ)
π∫
0
v1+
2π
t∫
1
v2ψ(
√
σv)dvdt. (66)
Згiдно з формулою (93) з роботи [11] для останнього iнтеграла з (65) дiстаємо
оцiнку
1
ψ(
√
σ)
π∫
0
v1+
2π
t∫
1
v2ψ(
√
σv)dvdt = O
1 +
1
σψ(
√
σ)
∞∫
√
σ
vψ(v)dv
. (67)
Об’єднуючи спiввiдношення (65), (66), одержуємо
π∫
0
∣∣∣∣∣
∞∫
1
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣dt = O
1 +
1
σψ(
√
σ)
∞∫
√
σ
vψ(v)dv
. (68)
Iз (61), враховуючи (63), (64) i (67), а також (59), маємо
π∫
0
∣∣∣∣∣
∞∫
0
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣dt =
= O
1
σ
√
σψ(
√
σ)
√
σ∫
1
v2ψ(v)dv +
1
σψ(
√
σ)
∞∫
√
σ
vψ(v)dv
. (69)
Аналогiчно можна показати, що справедливою є оцiнка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ ... 1217
0∫
−π
∣∣∣∣∣
∞∫
0
µ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣dt =
= O
1
σ
√
σψ(
√
σ)
√
σ∫
1
v2ψ(v)dv +
1
σψ(
√
σ)
∞∫
√
σ
vψ(v)dv
. (70)
Об’єднуючи формули (60), (68) та (69), отримуємо
A (µ) = O
1
σ
√
σψ(
√
σ)
√
σ∫
1
v2ψ(v)dv +
1
σψ(
√
σ)
∞∫
√
σ
vψ(v)dv
. (71)
Враховуючи спiввiдношення (5), iз (2) та (4) маємо рiвнiсть
f(x)−Wσ (f, x) =
= ψ(
√
σ)
∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t√
σ
)
1
π
∞∫
0
τ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv dt. (72)
Тодi
E
(
Ĉψβ,∞;Wσ
)
Ĉ
= sup
f∈Ĉψβ,∞
‖f(x)−Wσ(f ;x)‖Ĉ =
= sup
f∈Ĉψβ,∞
∥∥∥∥∥∥ψ(
√
σ)
∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t√
σ
)
1
π
∞∫
0
τ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dvdt
∥∥∥∥∥∥
Ĉ
=
= sup
f∈Ĉψβ,∞
∥∥∥∥∥∥ψ(
√
σ)
∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t√
σ
)
τ̂β(t)dt
∥∥∥∥∥∥
Ĉ
=
= sup
f∈Ĉψβ,∞
∥∥∥∥∥∥ψ(
√
σ)
∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t√
σ
)
(ϕ̂β(t) + µ̂β(t)) dt
∥∥∥∥∥∥
Ĉ
=
= sup
f∈Ĉψβ,∞
∥∥∥∥∥∥ψ(
√
σ)
∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t√
σ
)
ϕ̂β(t)dt
∥∥∥∥∥∥
Ĉ
+O
(
ψ(
√
σ)A(µ)
)
. (73)
Легко бачити, що
∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t√
σ
)
ϕ̂β(t)dt =
=
1
σψ(
√
σ)
1
π
∞∫
−∞
fψβ (x+ t)
∞∫
0
v2ψ(v)×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
1218 I. В. КАЛЬЧУК
× cos
(
vt+
βπ
2
)
dv dt = −f (2)(x), (74)
де f (2)(x) — друга похiдна функцiї f(x).
Пiдставляючи (73) в (72), отримуємо
E
(
Ĉψβ,∞;Wσ
)
Ĉ
=
1
σ
sup
f∈Ĉψβ,∞
∥∥∥f (2)(x)
∥∥∥
Ĉ
+O
(
ψ(
√
σ)A(µ)
)
, σ →∞. (75)
Iз рiвностей (74) та (70) випливає рiвнiсть (48).
Теорему 2 доведено.
Прикладом функцiй, для яких має мiсце теорема 2, є функцiї ψ ∈ A∗, якi на
[1,∞) мають вигляд ψ(v) =
1
v2 lnα(v +K)
, K > 0, α > 1; ψ(v) =
1
vr
lnα(v +K),
ψ(v) =
1
vr
arctg v, ψ(v) =
1
vr
(K + e−v), K > 0, r > 2, α ∈ R.
3. Оцiнка верхнiх меж наближень функцiй з класу L̂ψβ,1 операторами Вейєр-
штрасса в iнтегральнiй метрицi. Як випливає з леми з роботи [15] та леми 1 з
роботи [12], для функцiї τ(v), що задана спiввiдношенням (5), має мiсце рiвнiсть
E
(
L̂ψβ,1;Wσ
)
1̂
= E
(
Ĉψβ,1;Wσ
)
Ĉ
+O
(
ψ(
√
σ)γ (σ)
)
, σ →∞,
де γ (σ) ≤ 0 i
|γ (σ)| = O
∫
|t|≥
√
σπ
2
∣∣∣∣∣
∞∫
0
τ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣dt
. (76)
Справедливою є така теорема.
Теорема 3. Нехай ψ ∈ A∗0 ∩ A′, функцiя g(v) = v2ψ(v) опукла вгору або
донизу на [b,∞) , b ≥ 1. Тодi при σ →∞ має мiсце рiвнiсть
E
(
L̂ψβ,1;Wσ
)
1̂
= ψ(
√
σ)A(τ) +O
(
1
σ
+
ψ(
√
σ)√
σ
)
,
де величина A(τ) означається за допомогою рiвностi (7) i для неї справджується
оцiнка (8).
Справедливiсть теореми 3 випливає iз теореми 1 та оцiнки (див. (48) з робо-
ти [11])∫
|t|≥
√
σπ
2
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
τ(v) cos
(
vt+
βπ
2
)
dv
∣∣∣∣∣∣ dt = O
(
1
σψ(
√
σ)
+
1√
σ
)
, σ →∞.
Наслiдок 4. Якщо виконуються умови теореми 1, sin
βπ
2
6= 0 i lim
t→∞
α(t) = ∞,
де величина α(t) означена рiвнiстю (43), то при σ →∞ має мiсце асимптотична
рiвнiсть
E
(
L̂ψβ,1;Wσ
)
1̂
=
2
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣
∞∫
√
σ
ψ(v)
v
dv +O
(
ψ(
√
σ)
)
. (77)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
НАБЛИЖЕННЯ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ ... 1219
Наслiдок 5. Нехай ψ ∈ A∗0, sin
βπ
2
6= 0, функцiя v2ψ(v) опукла вгору або
донизу на [b,∞) , b ≥ 1, i
lim
v→∞
v2ψ(v) = ∞,
lim
σ→∞
1
σψ(
√
σ)
√
σ∫
1
vψ(v)dv = ∞.
Тодi при σ →∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
L̂ψβ,1;Wσ
)
1̂
=
2
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣ 1
σ
√
σ∫
1
vψ(v)dv +O
(
ψ(
√
σ)
)
. (78)
Наслiдок 6. Нехай ψ ∈ A∗0, sin
βπ
2
6= 0, функцiя v2ψ(v) опукла донизу на
[b,∞) , b ≥ 1, i
lim
v→∞
v2ψ(v) = K <∞,
lim
σ→∞
√
σ∫
1
vψ(v)dv = ∞.
Тодi при σ →∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
L̂ψβ,1;Wσ
)
1̂
=
2
π
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣ 1
σ
√
σ∫
1
vψ(v)dv +O
(
1
σ
)
. (79)
Зауважимо, що при виконаннi умов наслiдкiв 4 – 6 рiвностi (76) – (78) дають
розв’язок задачi Колмогорова – Нiкольського для операторiв Вейєрштрасса Wσ на
класах L̂ψβ,1 в iнтегральнiй метрицi.
1. Степанец А. И. Методы теории приближения. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. –
Ч. 2. – 468 с.
2. Степанец А. И. Классы функций, заданные на действительной оси, и их приближение целыми
функциями. I // Укр. мат. журн. – 1990. – 42, № 1. – С. 102 – 112.
3. Степанец А. И. Классы функций, заданные на действительной оси, и их приближение целыми
функциями. II // Там же. – 1990. – 42, № 1. – С. 210 – 222.
4. Ахиезер Н. И. Лекции по теории апроксимации. – М.: Наука, 1965. – 407 с.
5. Коровкин П. П. О наилучшем приближении функций класса Z2 некоторыми линейными
операторами // Докл. АН СССР. – 1959. – 127, № 3. – С. 143 – 149.
6. Баусов Л. И. О приближении функций класса Zα положительными методами суммирования
рядов Фурье // Успехи мат. наук. – 1961. – 16, № 3. – С. 513 – 515.
7. Баусов Л. И. Линейные методы суммирования рядов Фурье с заданными прямоугольными
матрицами. I // Изв. вузов. – 1965. – 46, № 3. – С. 15 – 31.
8. Бугров Я. С. Неравенства типа неравенств Бернштейна и их применение к исследованию
дифференциальных свойств решений дифференциальных уравнений высшего порядка // Math.
Cluj. – 1963. – 5, № 1. – P. 5 – 25.
9. Баскаков В. А. О некоторых свойствах операторов типа операторов Абеля – Пуассона // Мат.
заметки. – 1975. – 17, № 2. – С. 169 – 180.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
1220 I. В. КАЛЬЧУК
10. Фалалеев Л. П. О приближении функций обобщенными операторами Абеля – Пуассона // Сиб.
мат. журн. – 2001. – 1, № 4. – С. 926 – 936.
11. Харкевич Ю. I., Кальчук I. В. Наближення (ψ, β)-диференцiйовних функцiй iнтегралами Вейєр-
штрасса // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 8. – С. 953 – 978.
12. Рукасов В. И. Приближение операторами Валле Пуссена функций, заданных на действитель-
ной оси // Там же. – 1992. – 44, № 5. – С. 682 – 691.
13. Степанец А. И. Методы теориии приближения. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002.
– Ч. I. – 427 с.
14. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка,
1987. – 268 с.
15. Харкевич Ю. I., Жигалло Т. В. Наближення функцiй, заданих на дiйснiй осi, операторами, що
породжуються λ-методами пiдсумовування їх iнтегралiв Фур’є // Укр. мат. журн. – 2004. – 56,
№. 9. – С. 1267 – 1280.
Одержано 01.12.2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-3382 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:41:30Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/05/da521b7d841b0f40e38f3dd48ae18605.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33822020-03-18T19:52:51Z Approximation of ( ψ, β )-differentiable functions defined on the real axis by Weierstrass operators Наближення ( ψ, β ) -диференційовних функцій, заданих на дійсній осі, операторами Вейєрштрасса Kalchuk, I. V. Кальчук, І. В. Asymptotic equalities are obtained for upper bounds of approximations by the Weierstrass operators on the functional classes $\widehat{C}^{\psi}_{\beta, \infty}$ and $\widehat{L}^{\psi}_{\beta, 1}$ in metrics of the spaces $\widehat{C}$ and $\widehat{L}_1$, respectively. Получены асимптотические равенства для верхних граней приближений операторами Вейерштрасса на функциональных классах $\widehat{C}^{\psi}_{\beta, \infty}$ и $\widehat{L}^{\psi}_{\beta, 1}$ в метриках пространств $\widehat{C}$ и $\widehat{L}_1$ соответственно. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3382 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 9 (2007); 1201–1220 Український математичний журнал; Том 59 № 9 (2007); 1201–1220 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3382/3507 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3382/3508 Copyright (c) 2007 Kalchuk I. V. |
| spellingShingle | Kalchuk, I. V. Кальчук, І. В. Approximation of ( ψ, β )-differentiable functions defined on the real axis by Weierstrass operators |
| title | Approximation of ( ψ, β )-differentiable functions defined on the real axis by Weierstrass operators |
| title_alt | Наближення ( ψ, β ) -диференційовних функцій, заданих на дійсній осі, операторами Вейєрштрасса |
| title_full | Approximation of ( ψ, β )-differentiable functions defined on the real axis by Weierstrass operators |
| title_fullStr | Approximation of ( ψ, β )-differentiable functions defined on the real axis by Weierstrass operators |
| title_full_unstemmed | Approximation of ( ψ, β )-differentiable functions defined on the real axis by Weierstrass operators |
| title_short | Approximation of ( ψ, β )-differentiable functions defined on the real axis by Weierstrass operators |
| title_sort | approximation of ( ψ, β )-differentiable functions defined on the real axis by weierstrass operators |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3382 |
| work_keys_str_mv | AT kalchukiv approximationofpsbdifferentiablefunctionsdefinedontherealaxisbyweierstrassoperators AT kalʹčukív approximationofpsbdifferentiablefunctionsdefinedontherealaxisbyweierstrassoperators AT kalchukiv nabližennâpsbdiferencíjovnihfunkcíjzadanihnadíjsníjosíoperatoramivejêrštrassa AT kalʹčukív nabližennâpsbdiferencíjovnihfunkcíjzadanihnadíjsníjosíoperatoramivejêrštrassa |