On moduli of smoothness and Fourier multipliers in $L_p, 0 < p < 1$
We obtain the theorem on the relationship between a modulus of smoothness and the best approximation in L p , 0 < p < 1, and theorems on the extension of functions with the preservation of the modulus of smoothness in L p , 0 < p < 1. In addition, we present a complet...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3383 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509465042747392 |
|---|---|
| author | Kolomoitsev, Yu. S. Коломойцев, Ю. С. Коломойцев, Ю. С. |
| author_facet | Kolomoitsev, Yu. S. Коломойцев, Ю. С. Коломойцев, Ю. С. |
| author_sort | Kolomoitsev, Yu. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:52:51Z |
| description | We obtain the theorem on the relationship between a modulus of smoothness and the best approximation in L p , 0 < p < 1,
and theorems on the extension of functions with the preservation of the modulus of smoothness in L p , 0 < p < 1.
In addition, we present a complete description of multipliers of periodic functions in the spaces L p , 0 < p < 1.
|
| first_indexed | 2026-03-24T02:41:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Ю. С. Коломойцев (Донец. нац. ун-т)
О МОДУЛЯХ ГЛАДКОСТИ
И МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ ФУРЬЕ В Lp, 0 < p < 1
We obtain the theorem on the relationship between a modulus of smoothness and the best approximation
in Lp, 0 < p < 1, and theorems on the extension of functions with the preservation of the modulus of
smoothness in Lp, 0 < p < 1. In addition, we present a complete description of multipliers of periodic
functions in the spaces Lp, 0 < p < 1.
Отримано теорему про зв’язок мiж модулем гладкостi та найкращим наближенням в Lp, 0 < p < 1,
i теореми про продовження функцiй зi збереженням модуля гладкостi в Lp, 0 < p < 1. Крiм того,
наведено повний опис мультиплiкаторiв перiодичних функцiй у просторах Lp, 0 < p < 1.
Пусть A — вещественная ось R, единичная окружность T реализована как отрезок
[0, 2π] с отождествленными концами или конечный отрезок. Через Lp = Lp(A),
0 < p ≤ ∞, обозначим пространство измеримых функций f таких, что ‖f‖p =
= ‖f‖p(A) < ∞, где
‖f‖p(A) :=
∫
A
|f(x)|pdx
1
p
, если 0 < p < ∞,
vrai sup
x∈A
|f(x)|, если p = ∞.
Пусть Tn — множество тригонометрических полиномов порядка не выше n.
Для 2π-периодических функций f через En(f)p := inf
T∈Tn
‖f − T‖p(T) обозначим
наилучшее приближение функции f множеством Tn.
Модуль гладкости функции f ∈ Lp(A) порядка r и шага h определяют по
формуле
ωr(f, h)p := ωr(f, h)p(A) := sup
0<δ≤h
∫
A
|∆r
δf(x)|pdx
1
p
,
где
∆r
δf(x) :=
r∑
s=0
(−1)s
(
r
s
)
f(x + sδ), если [x, x + rδ] ⊂ A,
0, если [x, x + rδ] 6⊂ A.
Оценка сверху величины En(f)p, 0 < p < 1, через модуль гладкости любо-
го порядка ωr(f, n−1)p была получена Э. А. Стороженко и П. Освальдом [1] (см.
также [2]). В п. 1 настоящей статьи получена теорема (см. ниже теорему 1), даю-
щая условие, при котором величину En(f)p можно легко оценить снизу. Данная
теорема является распространением на случай пространств Lp(T), 0 < p < 1,
соответствующего результата Разора [3].
В настоящей статье также рассматривается вопрос о продолжении функций с
сохранением модуля гладкости. В пространствах Lp при p ≥ 1 теоремы о продол-
жении функций были получены В. К. Дзядыком [4], О. В. Бесовым [5] (см. также
c© Ю. С. КОЛОМОЙЦЕВ, 2007
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9 1221
1222 Ю. С. КОЛОМОЙЦЕВ
теоремы 4.1. в [6] и 4.6.12 в [7]). В п. 2 доказываются теоремы о продолжении
функций из Lp, 0 < p < 1, с отрезка на более широкий отрезок и на всю числовую
прямую с сохранением свойств модуля гладкости (см. ниже теоремы 2 и 3).
В п. 3 рассматриваются мультипликаторы Фурье. Свойства мультипликаторов
Фурье в пространствах Lp(T) при p ≥ 1 хорошо изучены (см., например, [8],
гл. 4, п. II, [9], гл. 16, и [7], гл. 7). Мы рассмотрим мультипликаторы в Lp(T) при
0 < p < 1 и получим их полное описание (см. ниже теорему 4).
1. Далее во всей статье буква C будет обозначать положительные константы,
зависящие от указанных параметров. Константы C могут быть различными даже
в одной строке. Приведем ряд вспомогательных утверждений. Следующие два
свойства модуля гладкости верны как в периодическом, так и в непериодическом
случае (см., например, [6], гл. 12, § 5, или [7], гл. 4). Пусть 0 < p < 1, k, r ∈ N
(k > r), h > 0 и λ > 0, тогда
ωk(f, h)p ≤ 2
k−r
p ωr(f, h)p ≤ 2
r
p ‖f‖p, (1)
ωr(f, λh)p ≤ r
1
p−1(1 + λ)
1
p +r−1ωr(f, h)p. (2)
Теорема А [1, 2]. Пусть f ∈ Lp(T), 0 < p < 1, и n, r ∈ N. Тогда
En−1(f)p ≤ Cωr
(
f,
1
n
)
p
,
где константа C зависит только от r и p.
Известна также обратная теорема.
Теорема Б [10]. Пусть f ∈ Lp(T), 0 < p < 1, и n, r ∈ N. Тогда
ωr
(
f,
1
n
)
p
≤ C
nr
{
n∑
k=0
(k + 1)rp−1Ek(f)p
p
}1
p
,
где константа C зависит только от r и p.
Наша цель — доказать следующее предложение.
Теорема 1. Пусть f ∈ Lp(T), 0 < p < 1, и r ∈ N. Для того чтобы сущест-
вовала константа L > 0 такая, что при всех n ∈ N
ωr
(
f,
1
n
)
p
≤ LEn−1(f)p, (3)
необходимо и достаточно, чтобы для некоторого k > r − 1 +
1
p
существовала
константа M > 0 такая, что при всех h ∈ (0, 1]
ωr(f, h)p ≤ Mωk(f, h)p. (4)
Доказательство. Достаточность. Пусть выполняется условие (4), тогда из
свойств (1) и (2) модуля гладкости получаем, что для всех n ∈ N и h ∈ (0, 1] верно
неравенство
ωk(f, nh)p ≤ Cnr−1+ 1
p ωk(f, h)p, (5)
где C — константа, которая зависит от r, p и M.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
О МОДУЛЯХ ГЛАДКОСТИ И МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ ФУРЬЕ В Lp, 0 < p < 1 1223
Докажем далее, что
1
nkp
n∑
ν=0
(ν + 1)kp−1Eν(f)p
p ≤ Cωk
(
f,
1
n
)p
p
, (6)
где C — константа, которая зависит от r, p и M. Применяя теорему А и неравен-
ство (5), последовательно имеем
1
nkp
n∑
ν=0
(ν + 1)kp−1Eν(f)p
p ≤
C
nkp
n∑
ν=0
(ν + 1)kp−1ωk
(
f,
1
ν + 1
)p
p
≤
≤ C
nkp−(r−1)p−1
ωk
(
f,
1
n
)p
p
n∑
ν=0
(ν + 1)kp−(r−1)p−2 ≤ Cωk
(
f,
1
n
)p
p
.
Из теоремы Б следует, что для всех m и n ∈ N
ωk
(
f,
1
mn
)p
p
≤ C
(mn)kp
mn∑
ν=0
(ν + 1)kp−1Eν(f)p
p =
=
C
(mn)kp
{
mn∑
ν=n+1
(ν + 1)kp−1Eν(f)p
p +
n∑
ν=0
(ν + 1)kp−1Eν(f)p
p
}
≤
≤ C
{
1
(mn)kp
mn∑
ν=n+1
(ν + 1)kp−1Eν(f)p
p +
1
mkp
ωk
(
f,
1
n
)p
p
}
,
откуда находим
mn∑
ν=n+1
(ν + 1)kp−1Eν(f)p
p ≥
(mn)kp
C
ωk
(
f,
1
mn
)p
p
− nkpωk
(
f,
1
n
)p
p
.
Далее, в силу монотонности En(f)p и свойства (5) получаем
En(f)p
p
mn∑
ν=n+1
(ν + 1)kp−1 ≥ (Cmkp−(r−1)p−1 − 1)nkpωk
(
f,
1
n
)p
p
.
Выбирая подходящим образом m и выполняя простые вычисления, находим такую
положительную константу C, что
En(f)p
p ≥ Cωk
(
f,
1
n
)p
p
.
Из последнего соотношения и неравенства (4) сразу следует (3).
Необходимость следует из теоремы А.
Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть f ∈ Lp(T), 0 < p < 1, и r ∈ N. Отношение
En(f)p � ωr
(
f,
1
n
)
p
, n →∞,
выполняется тогда и только тогда, когда для некоторого k > r− 1 +
1
p
выполня-
ется отношение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
1224 Ю. С. КОЛОМОЙЦЕВ
ωr(f, h)p � ωk(f, h)p, h → +0
(двусторонние неравенства с положительными константами).
2. Основным результатом в данном пункте являются следующие две теоремы.
Теорема 2. Пусть I ⊂ J — два отрезка и 0 < p < 1, r ∈ N. Тогда су-
ществует линейный ограниченный оператор T такой, что T : Lp(I) → Lp(J),
T f(x) = f(x), x ∈ I, и
ωr(Tf, h)p(J) ≤ Cωr(f, h)p(I), h ∈ (0, 1],
где константа C зависит только от r, p и отношения длин отрезков |J |/|I|.
Теорема 3. Пусть f ∈ Lp(I), 0 < p < 1, и I — отрезок. Тогда:
i) если при r ≥ 2 и некотором k ∈ [1, r − 1] интеграл
∫ 1
0
ωr(f, u)p
p
u(k−1)p+2
du < ∞,
то существует линейный ограниченный оператор U продолжения функции f на
R, причем, после исправления функции f на множестве меры нуль, (Uf)(k−1)
локально абсолютно непрерывна на R, Uf(x) = f(x) при x ∈ I и
ωr(Uf, h)p(R) ≤ C
hk−1+ 1
p
h∫
0
ωr(f, u)p
p
u(k−1)p+2
du
1
p
+
+
r∑
ν=k+1
hν−1+ 1
p
‖f‖p
p +
1∫
h
ωr(f, u)p
p
u(ν−1)p+2
du
1
p
, h ∈ (0, 1],
где константа C зависит только от r, p, k и |I|;
ii) при r ≥ 1 существует линейный ограниченный оператор E такой, что
Ef(x) = f(x) при x ∈ I и
ωr(Ef, h)p(R) ≤
≤ C
ωr(f, h)p +
r∑
ν=1
hν−1+ 1
p
‖f‖p
p +
1∫
h
ωr(f, u)p
p
u3
du
1
p
, h ∈ (0, 1],
где константа C зависит только от r и p.
Введем необходимые обозначения и докажем ряд утверждений, которые нам
понадобятся при доказательстве теорем 2 и 3.
Пусть I = [0, 1]. Через Sr,n(I) обозначим пространство сплайнов максимальной
гладкости с разбиением
{
i
2n
}2n
i=0
. Будем говорить, что Sn ∈ Sr,n(I), если Sn(x) =
= Pr−1,i(x) при x ∈
[
i− 1
2n
,
i
2n
]
, где i = 1, . . . , 2n, Pr−1,i — полином степени≤ r−
− 1 и, кроме того, S
(r−2)
n ∈ C(I) при r ≥ 2. Под сплайном наилучшего приближе-
ния будем понимать сплайн Sn ∈ Sr,n(I) такой, что ‖Sn−f‖p = inf
S∈Sr,n(I)
‖S−f‖p.
Лемма 1 [11; 6, с. 136]. Для любого сплайна Sn ∈ Sr,n(I), r, n ∈ N, имеют
место следующие утверждения:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
О МОДУЛЯХ ГЛАДКОСТИ И МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ ФУРЬЕ В Lp, 0 < p < 1 1225
i) ‖Sn‖p ≤ C2n( 1
p−
1
q )‖Sn‖q, где 0 < p ≤ q ≤ ∞ и константа C зависит
только от p, q и r;
ii) при k = 1, . . . , r− 1 ‖S(k)
n ‖p ≤ C2kn‖Sn‖p, где 0 < p ≤ ∞ и константа C
зависит только от r.
Теорема В [11; 12, с. 83]. Пусть f ∈ Lp(I), 0 < p < 1, и r, n ∈ N. Тогда
существует сплайн Sn ∈ Sr,n(I) такой, что
‖f − Sn‖p ≤ Cωr(f, 2−n)p,
где константа C зависит только от r и p.
При доказательстве теоремы В используется аналог теоремы Уитни о локальном
приближении функций алгебраическими полиномами.
Теорема Г [13]. Пусть f ∈ Lp(J), 0 < p < 1, r ∈ N и J — отрезок. Тогда
существует алгебраический полином Pr−1 (степени ≤ r − 1) такой, что
‖f − Pr−1‖p(J) ≤ Cωr(f, |J |)p(J),
где константа C зависит только от r и p.
Замечание. Из доказательства теоремы В, предложенного Ю. А. Брудным [12]
(см. также [14]) следует, что на отрезке [0, 2−n] приближающий сплайн Sn совпа-
дает с соответствующим полиномом из теоремы Г.
Далее нам понадобится определение класса функций ограниченной p-вариации.
Говорят, что f ∈ Vp, 0 < p < ∞, на отрезке A := [a, b], если
V b
a (f)p := sup
Π
( n−1∑
k=0
∣∣f(xk+1)− f(xk)
∣∣p) 1
p
< ∞,
где разбиение Π := {a = x0 < x1 < . . . < xn = b}. При p = 1 — это классическое
определение Жордана, а для остальных p эти классы ввел Винер (приведенное
определение принадлежит Юнгу). Свойства функций ограниченной p-вариации
см. в [15], там же доказана следующая лемма.
Лемма 2. Пусть 0 < p < 1. Для каждого сплайна Sn ∈ Sr,n(I), n, r ∈ N, при
0 < h ≤ 1
r2n
выполняется равенство
ωr(Sn, h)p
hr−1+ 1
p
= CV 1
0 (S(r−1)
n )p,
где C — константа, зависящая только от r и p.
Из леммы 2 и свойств модулей гладкости (1) и (2) следует такая лемма.
Лемма 3. Пусть 0 < p < 1. Для каждого сплайна наилучшего приближения
Sn ∈ Sr,n(I), n, r ∈ N, функции f ∈ Lp(I) выполняется соотношение
‖f − Sn‖p + 2−n(r−1+ 1
p )V 1
0 (S(r−1)
n )p � ωr(f, 2−n)p
(двустороннее неравенство с положительными константами, зависящими от
r и p).
Доказательство теоремы 2. Достаточно рассмотреть случай I = [0, 1] и
J = [−1, 1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
1226 Ю. С. КОЛОМОЙЦЕВ
Положим
Tf(x) :=
f(x), x ∈ I,
r−1∑
i=0
αif(−2−ix), x ∈ J \ I,
где константы {αi}r−1
i=0 удовлетворяют условию
∑r−1
i=0
αi(−2−i)j = 1, j = 0, 1, . . .
. . . , r−1. После простых вычислений для каждой функции f ∈ Lp(I) и для каждого
сплайна g ∈ Sr,n(I) r, n ∈ N, получим
‖Tf‖p(J) ≤
(
1 +
r−1∑
i=0
2i|αi|p
)1
p
‖f‖p(I)
и
V 1
−1((Tg)(r−1))p ≤
(
r−1∑
i=0
2−i(r−1)p|αi|p
)1
p
V 1
0 (g(r−1))p.
Выберем n так, чтобы
1
2n+1
< h ≤ 1
2n
. Пусь также Sn ∈ Sr,n(I) — сплайн
наилучшего приближения функции f. Применяя лемму 3 и свойства (1) и (2),
последовательно находим
ωr(Tf, h)p(J) ≤ C
{
‖Tf − TSn‖p(J) + 2−n(r−1+ 1
p )V 1
−1((TSn)(r−1))p
}
≤
≤ C{‖f − Sn‖p(I) + 2−n(r−1+ 1
p )V 1
0 (S(r−1)
n )p} ≤ Cωr(f, h)p.
Теорема доказана.
Доказательство теоремы 3. Сначала докажем следующие две леммы.
Лемма 4. Пусть f ∈ Lp(I), 0 < p < 1, r, n ∈ N и P (x) =
∑r−1
k=0
ak,nxk —
полином, удовлетворяющий теореме Г на Jn = [0, 2−n]. Тогда
|ai,n| ≤ C
‖f‖p
p +
1∫
2−n
ωr(f, u)p
p
uip+2
du
1
p
, i = 0, . . . , r − 1,
где константа C зависит только от r и p.
Доказательство. Пусть i = 0, . . . , r−1, Sk ∈ Sr,k(I), k = 1, . . . , n, — сплайны
наилучшего приближения функции f в Lp. Воспользуемся представлением Sn =
= S1 +
∑n−1
j=1
(Sj+1−Sj). Используя замечание к теореме В и утверждения i) и ii)
леммы 1, имеем
i!|ai,n| = ‖P (i)‖∞(Jn) ≤ ‖S(i)
n ‖∞(I) ≤
≤
‖S(i)
1 ‖p
∞ +
n−1∑
j=1
‖(Sj+1 − Sj)(i)‖p
∞
1
p
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
О МОДУЛЯХ ГЛАДКОСТИ И МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ ФУРЬЕ В Lp, 0 < p < 1 1227
≤ C
‖S1‖p
p +
n−1∑
j=1
2j(1+ip)‖Sj+1 − Sj‖p
p
1
p
≤
≤ C
‖f‖p
p +
n−1∑
j=1
2j(1+ip)ωr(f, 2−j)p
p
1
p
.
Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть f ∈ Lp(I), 0 < p < 1, r ≥ 2. Если при некотором k ∈
∈ [1, r − 1] интеграл
∫ 1
0
ωr(f, u)p
p
u(k−1)p+2
du < ∞, то после исправления функции f на
множестве меры нуль ее производная f (k−1) абсолютно непрерывна на I.
Доказательство. Пусть Sj ∈ Sr,j(I), j ∈ N, — сплайны наилучшего прибли-
жения функции f в Lp. Используя лемму 1 и теорему В, получаем
‖S(k)
j+1 − S
(k)
j ‖1 ≤ 2j(k−1+ 1
p )‖Sj+1 − Sj‖p ≤ C2j(k−1+ 1
p )ωr(f, 2−j)p,
откуда следует, что
∞∑
j=n
‖S(k)
j+1 − S
(k)
j ‖1 ≤ C
∞∑
j=n
2j(1+(k−1)p)ωr(f, 2−j)p
p
1
p
≤ C
2−n∫
0
ωr(f, u)p
p
u(k−1)p+2
du.
Далее, из сходимости интеграла в правой части и представления f = Sn +
+
∑∞
j=n
(Sj+1 − Sj) в Lp по аналогии с доказательством теоремы 6.1.3 из [16]
находим, что после исправления функции f ее производная f (k−1) абсолютно не-
прерывна на I.
Лемма доказана.
Перейдем к доказательству теоремы. Будем доказывать теорему для продолже-
ния на R− (на R+ доказательство проводится аналогично).
В качестве продолжения возьмем функцию
g(x) =
r∑
i=1
αi(x + 2i)r−1
+ ,
где x+ = x при x > 0 и x+ = 0 при x ≤ 0, а числа {αi} определены так, чтобы
g(j−1)(0) =
f (j−1)(0), j = 1, . . . , k,
0, j = k + 1, . . . , r;
из этих условий получим систему для нахождения {αi}:
r∑
i=1
2i(r−j)αi =
(r − j)!
(r − 1)!
f (j−1)(0), j = 1, . . . , k,
0, j = k + 1, . . . , r.
Решение данной системы имеет вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
1228 Ю. С. КОЛОМОЙЦЕВ
αi =
k∑
j=1
γj,if
(j−1)(0), i = 1, . . . , k,
где {γi,j} — некоторые константы, зависящие только от r и k.
Определим оператор продолжения функции f на R− по формуле
Uf(x) =
f(x), x ∈ I,
g(x), −2r ≤ x < 0,
0, x < −2r.
Для доказательства теоремы нам также понадобится сплайн g̃n такой, что g̃
(r−2)
n ∈
∈ C(J), J = (−∞, 1], и имеющий вид
g̃n(x) =
Sn(x), x ∈ I,
g(x) +
r∑
i=1
α̃i(x + 2i−n)r−1
+ , −2r ≤ x < 0,
0, x < −2r,
где Sn ∈ Sr,n(I) — сплайн наилучшего приближения функции f в Lp(I), причем
Sn(x) = P (x) при x ∈ [0, 2−n]. Согласно замечанию к теореме В можно считать,
что P (x) =
∑r−1
k=0
ak,nxk удовлетворяет теореме Г.
Для определения {α̃i} получим систему
r∑
i=1
2i(r−j)α̃i =
(r − j)!
(r − 1)!
2n(r−j)
P (j−1)(0)− f (j−1)(0), j = 1, . . . , k,
P (j−1)(0), j = k + 1, . . . , r,
решив которую, найдем
α̃i =
k∑
j=1
γj,i2n(r−j)(P (j−1)(0)− f (j−1)(0))+
+
r∑
j=k+1
γj,i2n(r−j)P (j−1)(0), i = 1, . . . , r,
где {γj,i} — некоторые константы, зависящие только от r и k.
Выберем n так, чтобы
1
r2n+1
< h ≤ 1
r2n
. Затем, используя лемму 3, находим
ωr(Uf, h)p
p(J) ≤ C
{
‖Uf − g̃n‖p
p(J) + 2−n(1+p(r−1))V 1
−2r−1
(
g̃(r−1)
n
)p
p
}
. (7)
Оценим каждое слагаемое в правой части (7). Используя выражения для {α̃i},
после простых вычислений получаем
‖Uf − g̃n‖p
p(J) =
0∫
−2r−n
∣∣∣∣∣
r∑
i=1
α̃i(x + 2i−n)r−1
+
∣∣∣∣∣
p
dx + ‖f − Sn‖p
p(I) ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
О МОДУЛЯХ ГЛАДКОСТИ И МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ ФУРЬЕ В Lp, 0 < p < 1 1229
≤ C
k∑
j=1
2−n(1+p(j−1))
∣∣f (j−1)(0)− P (j−1)(0)
∣∣p +
+
r∑
j=k+1
2−n(1+p(j−1))
∣∣P (j−1)(0)
∣∣p .
Пусть далее i = 0, . . . , k−1. Применяя лемму 1 и теорему В, а также стандартные
рассуждения доказательства леммы 5, находим
∣∣f (i)(0)− P (i)
n (0)
∣∣ ≤ ‖f (i) − S(i)
n ‖∞(I) ≤
∞∑
j=n
‖(Sj+1 − Sj)(i)‖∞ ≤
≤ C
∞∑
j=n
2j(ip+1)ωr(f, 2−j)p
p
1
p
≤ C
2−n∫
0
ωr(f, u)p
p
uip+2
du
1
p
.
Оценка для |P (i)
n (0)|, i = k, . . . , r − 1, содержится в лемме 4. Таким образом,
‖Uf − g̃n‖p
p(J) ≤
≤ ‖f − Sn‖p
p(I) + C
k∑
j=1
2−n(1+p(j−1))
2−n∫
0
ωr(f, u)p
p
u(j−1)p+2
du
+
+
r∑
j=k+1
2−n(1+p(j−1))
‖f‖p
p +
1∫
2−n
ωr(f, u)p
p
u(j−1)p+2
du
. (8)
Вычислим теперь p-вариацию в (7). Имеем
V 1
−2r−1(g̃
(r−1)
n )p
p ≤
≤ (r − 1)!
r∑
j=1
|αj |p + |α̃j |p +
∣∣∣∣∣∣ar−1,n −
r∑
j=1
(αj + α̃j)
∣∣∣∣∣∣
p+
+V 1
0
(
S(r−1)
n
)p
p
.
Используя выражения для {αi} и {α̃i}, а также оценки для
∣∣f (i)(0) − P
(i)
n (0)
∣∣ и∣∣P (i)
n (0)
∣∣, получаем следующие соотношения:
r∑
i=1
|α̃i|p ≤
≤ C
k∑
j=1
2n(r−j)p
∣∣P (j−1)
n (0)− f (j−1)(0)
∣∣p +
r∑
j=k+1
2n(r−j)p|P (j−1)
n (0)|p
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
1230 Ю. С. КОЛОМОЙЦЕВ
≤ C
k∑
j=1
2n(r−j)p
2−n∫
0
ωr(f, u)p
p
u(j−1)p+2
du +
r∑
j=k+1
2n(r−j)p
‖f‖p
p +
1∫
2−n
ωr(f, u)p
p
u(j−1)p+2
du
и
r∑
i=1
|αi|p ≤ C
k∑
j=1
‖f (j−1)‖∞.
Чтобы оценить последнее неравенство, используем стандартные рассуждения (см.,
например, доказательство леммы 5), следуя которым, находим
‖f (j−1)‖∞ ≤ ‖S(j−1)
1 ‖∞ +
∞∑
l=1
‖(Sl+1 − Sl)(j−1))‖∞ ≤
≤ C
‖f‖p
p +
1∫
0
ωr(f, u)p
p
u(j−1)p+2
du
1
p
.
Объединяя полученные выше неравенства и применяя лемму 4 для оценки |ar−1,n|,
после простых вычислений получаем
V 1
−2r−1(g̃
(r−1)
n )p
p ≤ V 1
0 (S(r−1)
n )p
p + C
k∑
j=1
2n(r−j)p
2−n∫
0
ωr(f, u)p
p
u(j−1)p+2
du +
+
r∑
j=k+1
2n(r−j)p
‖f‖p
p +
1∫
2−n
ωr(f, u)p
p
u(j−1)p+2
du
. (9)
Подставляя в (7) неравенства (8) и (9), используя при этом лемму 3, находим
ωr(Uf, h)p
p(J) ≤ C
‖f − Sn‖p
p + h(r−1)p+1V 1
0 (S(r−1)
n )p
p +
+
k∑
j=1
h(j−1)p+1
h∫
0
ωr(f, u)p
p
u(j−1)p+2
du+
+
r∑
j=k+1
h(j−1)p+1
‖f‖p
p +
1∫
h
ωr(f, u)p
p
u(j−1)p+2
du
≤
≤ C
h(k−1)p+1
h∫
0
ωr(f, u)p
p
u(k−1)p+2
du+
+
r∑
ν=k+1
h(ν−1)p+1
‖f‖p
p +
1∫
h
ωr(f, u)p
p
u(ν−1)p+2
du
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
О МОДУЛЯХ ГЛАДКОСТИ И МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ ФУРЬЕ В Lp, 0 < p < 1 1231
Утверждение i) доказано.
Докажем утверждение ii). Определим оператор E следующим образом: Ef(x) =
= f(x) при x ∈ I и Ef(x) = 0 при x /∈ I. Тогда
ωr(Ef, h)p
p(J) ≤ ωr(f, h)p
p(I) + sup
0<δ≤h
0∫
−rδ
|∆r
δEf(x)|pdx. (10)
Выберем n так, чтобы
1
2n+1
< rh ≤ 1
2n
. Пусть также Sn ∈ Sr,n(I) — сплайн
наилучшего приближения функции f в Lp. Второе слагаемое в правой части ра-
венства (10) не превышает
C
rh∫
0
|f(x)|pdx ≤ C
‖f − Sn‖p
p(I) +
rh∫
0
|Sn(x)|pdx
≤
≤ C
{
ωr(f, h)p
p +
r−1∑
ν=0
|aν,n|phνp+1
}
,
где Sn(x) =
∑r−1
ν=0
aν,nxν при x ∈ [0, 2−n]. Используя лемму 4 и замечание к
теореме Г, получаем оценки для |aν,n|, ν = 0, . . . , r − 1, из которых и следует
утверждение ii).
Следствие 2. Пусть f ∈ Lp(I), 0 < p < 1, r ∈ N и ωr(f, h)p ≤ Mhα,
α ∈
(
0, r − 1 +
1
p
]
. Тогда существует линейный ограниченный оператор продол-
жения L функции f на R такой, что:
i) если α 6= 1
p
, то ωr(Lf, h)p(R) ≤ C(M + ‖f‖p)hα, h ∈ (0, 1];
ii) если α =
1
p
, то ωr(Lf, h)p(R) ≤ C(M + ‖f‖p)h
1
p
(
1 + ln
1
p
1
h
)
h ∈ (0, 1],
где константа C зависит только от r, p и |I|.
Доказательство. Если α ∈
(
1
p
+ k − 1,
1
p
+ k
]
при некотором k ∈ [1, r − 1],
то в качестве оператора продолжения L достаточно взять оператор U из утвержде-
ния i) теоремы 2. В случае α ∈
(
0,
1
p
]
в качестве L используем оператор E из
утверждения ii).
Предложение. Пусть f ∈ Lp(I), 0 < p < 1, r ∈ N и ωr(f, h)p = O(h
1
p ),
h → +0. Тогда существует ограниченный оператор продолжения V функции f на
R такой, что
ωr(V f, h)p(R) = O(h
1
p ), h → +0.
Доказательство. Достаточно рассмотреть продолжение на R−. Очевидно, что
существует точка x0 ∈ (−1, 0) такая, что каждая из точек {−2−ix0}r−1
i=0 является
точкой Лебега для функции |f |p, т. е.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
1232 Ю. С. КОЛОМОЙЦЕВ
lim
h→0
1
h
h∫
0
∣∣f(−2−ix0 + t)
∣∣pdt =
∣∣f(−2−ix0)
∣∣p, i = 0, . . . , r − 1. (11)
Определим оператор продолжения на R− следующим образом:
V f(x) :=
Tf(x), x ∈ [x0, 1],
0, x < x0,
где T — оператор продолжения из теоремы 2.
Покажем, что V — искомый оператор продолжения.
Имеем
ωr(V f, h)p
p(J) ≤ ωr(Tf, h)p
p(x0, 1) + sup
0<δ<h
x0∫
x0−rδ
∣∣∆r
δV f(x)
∣∣pdx. (12)
Из теоремы 2 следует, что
ωr(Tf, h)p
p(x0, 1) = O(h). (13)
Рассмотрим второе слагаемое в правой части (12). После простых оценок из (11)
получаем
sup
0<δ<h
x0∫
x0−rδ
∣∣∆r
δV f(x)
∣∣pdx ≤ C
r−1∑
i=0
x0+rh∫
x0−rh
∣∣(−2−ix)
∣∣pdx = O(h). (14)
Таким образом, из (12) – (14) следует доказательство предложения.
3. В этом пункте будут рассмотрены мультипликаторы Фурье. Ряд Фурье
функции f ∈ L(T) запишем в виде
f ∼
∑
k
ck(f)eikx.
Числовую последовательность {λk}k∈Z называют мультипликатором в Lp(T), 1 ≤
≤ p ≤ ∞, если для каждой функции f ∈ Lp(T) ряд
∑
λkck(f)eikx является рядом
Фурье некоторой функции Λf ∈ Lp(T) и
‖{λk}‖Mp
= sup
‖f‖p≤1
‖Λf‖p.
Известна следующая теорема (см., например, [8], гл. 4, п. II, [9], гл. 16, и [7],
гл. 7).
Теорема Д. Для того чтобы последовательность {λk}k∈Z была мультипли-
катором в L (C или L∞), необходимо и достаточно, чтобы на T существовала
конечная борелевская комплекснозначная мера µ такая, что для каждого k ∈ Z
λk =
∫
T
e−ikxdµ. При этом
Λf(x) =
∫
T
f(x− t)dµ(t)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
О МОДУЛЯХ ГЛАДКОСТИ И МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ ФУРЬЕ В Lp, 0 < p < 1 1233
и норма мультипликатора равна (в каждом из трех случаев)
‖{λk}‖Mp = varµ.
Отметим также, что достаточные условия для мультипликаторов степенных
рядов в пространствах Харди Hp(Dm) при 0 < p ≤ 1 и их применения были
получены в работе [17].
У функции из квазинормированного пространства Lp, 0 < p < 1, нет ряда
Фурье, если она не из L1. Более того, как известно, в Lp при 0 < p < 1 вообще нет
ненулевых линейных непрерывных функционалов. Ниже будет показано, что в Lp
при 0 < p < 1 нет нетривиальных мультипликаторов (см. следствие из теоремы 4).
Мультипликаторы естественно определить следующим образом. Числовую по-
следовательность {λk}k∈Z назовем мультипликатором в Lp(T), 0 < p < 1, если
существует константа γ такая, что для каждого n ∈ N и для каждого тригономет-
рического полинома Tn(x) =
∑n
k=−n
akeikx
‖ΛTn‖p ≤ γ‖Tn‖p, inf γ =
∥∥{λk}
∥∥
Mp
, (15)
где ΛTn(x) =
∑n
k=−n
λkakeikx.
В силу полноты пространства Lp(T), 0 < p < 1, и аппроксимационной теоремы
Вейерштрасса мультипликатор {λk}k∈Z можно продолжить по непрерывности на
все пространство Lp(T), 0 < p < 1, без увеличения квазинормы оператора Λ.
Докажем теорему, которая является аналогом теоремы Д в пространстве Lp(T),
0 < p < 1.
Теорема 4. Для того чтобы последовательность {λk}k∈Z была мульти-
пликатором в Lp, 0 < p < 1, необходимо и достаточно, чтобы на T сущест-
вовала комплекснозначная функция µ ∈ Vp такая, что для каждого k ∈ Z λk =
=
∫
T
e−ikxdµ. При этом
∥∥{λk}
∥∥
Mp
= V π
−π(µ)p. (16)
Следующая лемма дает полное описание класса функций ограниченной p-
вариации при 0 < p < 1.
Лемма 6 [15]. Пусть 0 < p < 1. Функция f принадлежит Vp на [a, b] тогда
и только тогда, когда
f(x) =
∑
xk<x
ck +
∑
xk≤x
dk,
где {xk} — конечное или счетное множество различных точек из [a, b], причем
если xk = a, то dk = 0, а если xk = b, то ck = 0 и
V b
a (f)p =
(∑
k
|ck|p + |dk|p
)1
p
< ∞.
Ясно, что если функцию µ ∈ Vp, 0 < p < 1, исправить на некотором счетном
множестве, то значение интеграла
∫
T
e−ikxdµ не изменится, поэтому условимся
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
1234 Ю. С. КОЛОМОЙЦЕВ
далее считать функцию µ непрерывной справа, т. е. µ(x) =
∑
j
bjh(x − xj), где
{xj} — конечное или счетное множество различных точек из T,
∑
j
|bj |p < ∞ и
h — 2π-периодическая функция такая, что h(x) = 1 при 0 < x ≤ π и h(x) = 0
при −π < x ≤ 0. Таким образом, используя лемму 6, из теоремы 4 получаем такое
следствие.
Следствие 3. Для того чтобы последовательность {λk}k∈Z была мульти-
пликатором в Lp, 0 < p < 1, необходимо и достаточно, чтобы существовали
конечные или счетные наборы чисел {bj} и {xj} такие, что
∑
j
|bj |p < ∞, xj ∈ T
для всех j ∈ Z и для каждого k ∈ Z λk =
∑
j
bje
−ikxj , т. е. Λf(x) =
∑
j
bjf(x−
− xj) (линейные комбинации сдвигов).
Далее будем использовать такие обозначения: под ϕ везде будем понимать
функцию ϕ ∈ C∞(R), ϕ(x) = 1 при |x| ≤ 1 и ϕ(x) = 0 при |x| ≥ 2. Положим
также
Kn(x) :=
2n∑
k=−2n
ϕ
(
k
n
)
eikx
и
Λn(x) :=
2n∑
k=−2n
ϕ
(
k
n
)
λkeikx.
Лемма 7. Пусть 0 < p < 1 и n ∈ N. Для тригонометрического полинома Kn
справедливы следующие утверждения:
i) существует константа C, которая не зависит от n, такая, что
‖Kn‖p ≤ Cn1− 1
p ;
ii) |Kn(x)| ≤ 4n + 1 при всех x ∈ T;
iii) для каждого фиксированного ε, 0 < ε ≤ π, и l = 1, 2, . . .
sup
ε≤|x|≤π
|Kn(x)| = O(n−l), n →∞.
Доказательство. Утверждение i) можно найти в [18] (см. также теорему 4.1.1
в [7]). Утверждение ii) очевидно.
Докажем утверждение iii). Положим
ϕ̂(x) =
1√
2π
∞∫
−∞
ϕ(u)e−iuxdu.
Для каждого s = 0, 1, 2, . . . имеют место соотношения
ϕ̂(x) =
1√
2π
(
i
x
)s
∞∫
−∞
ϕ(s)(u)e−iuxdu
и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
О МОДУЛЯХ ГЛАДКОСТИ И МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ ФУРЬЕ В Lp, 0 < p < 1 1235
∣∣ϕ̂(x)
∣∣ ≤ 1√
2π|x|s
∞∫
−∞
|ϕ(s)(u)|du ≤ C
|x|s
. (17)
Далее, используя формулу суммирования Пуассона (см., например, [19, с. 128]),
имеем
Kn(x) =
∑
k
ϕ
(
k
n
)
eikx =
n√
2π
∑
k
ϕ̂(n(x + 2πk)).
Выбирая в формуле (17) s ≥ 2 и учитывая, что ε ≤ |x| ≤ π, находим
|Kn(x)| ≤ Cn
∞∑
k=−∞
1
ns|x + 2πk|s
= O(n1−s).
Лемма доказана.
Лемма 8. Для того чтобы supn ‖Λn‖1 < ∞, необходимо и достаточно,
чтобы
∑
k
λkeikx являлся рядом Фурье некоторой меры µ. При этом если −π ≤
a < b ≤ π, то
V b
a (µ)1 ≤ lim
n→∞
b∫
a
|Λn(x)|dx.
Доказательство леммы ничем не отличается от доказательства теоремы 2.2.9
из [7]. Оценку сверху вариации можно найти, например, в [8, c. 225].
Лемма 9. Для того чтобы последовательность {λk}k∈Z была мультиплика-
тором в Lp, 0 < p < 1, необходимо и достаточно, чтобы sup
n
n
1
p−1‖Λn‖p < ∞.
Доказательство. Необходимость непосредственно следует из (15) и утверж-
дения i) леммы 7, так как существует константа γ такая, что ‖Λn‖p ≤ γ‖Kn‖p ≤
≤ Cn1− 1
p .
Достаточность. Пусть Tn(x) =
∑n
k=−n
akeikx — произвольный тригономе-
трический полином. Тогда
ΛTn(x) =
1
2π
π∫
−π
Tn(x− u)Λn(u)du.
Используя неравенство Никольского (см., например, [6, c. 102; 16, с. 243]), имеем
∣∣ΛTn(x)
∣∣p ≤ Cn1−p
π∫
−π
|Tn(x− u)|p|Λn(u)|pdu.
Далее
π∫
−π
|ΛTn(x)|pdx ≤ Cn1−p
π∫
−π
|Λn(u)|pdu
π∫
−π
|Tn(x− u)|pdx = Cn1−p‖Λn‖p
p‖Tn‖p
p.
Лемма доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
1236 Ю. С. КОЛОМОЙЦЕВ
Доказательство теоремы 4. Достаточность. Используя представление
Λn(x) =
1
2π
∫
T
Kn(x− t)dµ(t),
свойства интеграла Стильтьеса, утверждение i) леммы 7 и представление функции
µ ∈ Vp, 0 < p < 1, последовательно находим
‖Λn‖p
p =
π∫
−π
∣∣∣∣∣∣ 1
2π
π∫
−π
Kn(x− t)dµ(t)
∣∣∣∣∣∣
p
dx =
π∫
−π
∣∣∣∣∣∣ 1
2π
∑
j
bjKn(x− xj)
∣∣∣∣∣∣
p
dx ≤
≤ C
π∫
−π
∑
j
|bj |p|Kn(x− xj)|pdx ≤ Cnp−1V π
−π(µ)p
p.
Из леммы 9 и последнего неравенства следует, что последовательность {λk} явля-
ется мультипликатором в Lp.
Необходимость. Согласно лемме 9 supn n
1
p−1‖Λn‖p < ∞, поэтому из неравен-
ства Никольского имеем supn ‖Λn‖1 < ∞ и, следовательно, из леммы 8 получаем∑
k
λkeikx ∼ dµ.
Теперь докажем, что µ ∈ Vp. Зафиксируем некоторое m ∈ N и рассмотрим
произвольное разбиение {xk}m
k=0, −π = x0 < x1 < . . . < xm = π. Возьмем ε > 0
настолько малым, что 2ε < xk+1 − xk, k = 0, . . . ,m− 1. Тогда
xk+1−ε∫
xk+ε
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
Kn(x− t)dµ(t)
∣∣∣∣∣∣ dx ≤
xk+1−ε∫
xk+ε
∣∣∣∣∣∣
x+ε∫
x−ε
Kn(x− t)dµ(t)
∣∣∣∣∣∣ dx+
+
xk+1−ε∫
xk+ε
∣∣∣∣∣∣∣
∫
T\[x−ε,x+ε]
Kn(x− t)dµ(t)
∣∣∣∣∣∣∣ dx. (18)
Из утверждения iii) леммы 7 следует, что второй интеграл имеет порядок O(n−l),
l = 1, 2, . . . . Рассматривая первый интеграл справа и используя утверждение ii)
леммы 7, имеем
xk+1−ε∫
xk+ε
∣∣∣∣∣∣
x+ε∫
x−ε
Kn(x− t)dµ(t)
∣∣∣∣∣∣ dx =
xk+1−ε∫
xk+ε
∣∣∣∣∣∣
x+ε∫
x−ε
. . .
∣∣∣∣∣∣
1−p ∣∣∣∣∣∣
x+ε∫
x−ε
. . .
∣∣∣∣∣∣
p
dx ≤
≤ C
xk+1−ε∫
xk+ε
n1−p
(
V x+ε
x−ε (µ)1
)1−p
∣∣∣∣∣∣
x+ε∫
x−ε
Kn(x− t)dµ(t)
∣∣∣∣∣∣
p
dx ≤
≤ C
(
V xk+1
xk
(µ)1
)1−p
n1−p
xk+1∫
xk
∣∣∣∣∣∣
x+ε∫
x−ε
Kn(x− t)dµ(t)
∣∣∣∣∣∣
p
dx. (19)
Подставляя равенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
О МОДУЛЯХ ГЛАДКОСТИ И МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ ФУРЬЕ В Lp, 0 < p < 1 1237
x+ε∫
x−ε
Kn(x− t)dµ(t) = 2πΛn(x)−
∫
T\[x−ε,x+ε]
Kn(x− t)dµ(t),
в (19) и применяя еще к интегралу в правой части утверждение iii) леммы 7,
получаем, что (19) не превышает
C
(
V xk+1
xk
(µ)1
)1−p
n1−p
xk+1∫
xk
|Λn(x)|pdx + O(n1−(l+1)p). (20)
Из неравенств (18) и (20) находим
m−1∑
k=0
(
V xk+1
xk
(µ)1
)p (
V xk+1
xk
(µ)1
)−1
xk+1−ε∫
xk+ε
|Λn(x)|dx ≤
≤ Cn1−p
π∫
−π
|Λn(x)|pdx + O(n1−(l+1)p).
Выбирая в последнем неравенстве l >
1
p
, переходя к верхнему пределу при n →∞
и учитывая лемму 8, получаем, что существует константа C, зависящая только от
p, такая, что
m−1∑
k=0
(
V xk+1
xk
(µ)1
)p V
xk+1−ε
xk+ε (µ)1
V
xk+1
xk (µ)1
≤ C.
Далее, запишем функцию µ в виде µ = µc + µd, где µc — непрерывная, а µd —
дискретная часть (со скачками в точках {yk}) функции µ. Выбирая m произвольных
точек {yk}m
k=1, а в качестве точек {xk}m
k=0 беря точки непрерывности функции µ,
причем таким образом, чтобы yk ∈ (xk−1, xk), k = 1, . . . ,m, и переходя к пределу
при ε → 0, получаем, что µd ∈ Vp.
Общий случай аналогичными рассуждениями можно получить из следующих
неравенств:∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
Kn(x− t)dµc(t)
∣∣∣∣∣∣
p
≤
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
Kn(x− t)dµ(t)
∣∣∣∣∣∣
p
+
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
Kn(x− t)dµd(t)
∣∣∣∣∣∣
p
,
m−1∑
k=0
∣∣µc(xk+1)− µc(xk)
∣∣p V
xk+1−ε
xk+ε (µc)1
V
xk+1
xk (µc)1
≤ C,
где {xk}m
k=0 — произвольное разбиение T. Следовательно, функция µ ∈ Vp.
Докажем теперь равенство (16). Оценка сверху нормы мультипликатора следует
из того факта, что если µ(x) =
∑
j
bjh(x− xj), то ΛTn(x) =
∑
j
bjTn(x− xj).
Для оценки снизу нам понадобится следующая лемма.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
1238 Ю. С. КОЛОМОЙЦЕВ
Лемма 10 [15]. Пусть 0 < p < 1 и f ∈ Vp на T. Тогда
sup
δ>0
‖f(·+ δ)− f(·)‖p
δ
1
p
= V π
−π(f)p.
Положим hδ(x) =
(
h(x + δ) − h(x)
)
δ−
1
p , δ > 0, и рассмотрим последователь-
ность полиномов Tn такую, что Tn → hδ в Lp. На основании (15) получим, что
ΛTn → Λµδ =
(
µ(·+ δ)− µ(·)
)
δ−
1
p в Lp и, кроме того, ‖Λµδ‖p ≤ ‖{λk}‖Mp
‖hδ‖p.
Взяв верхнюю грань по δ > 0 и использовав лемму 5, найдем V π
−π(µ)p ≤ ‖{λk}‖p.
Теорема доказана.
1. Стороженко Э. А., Освальд П. Теорема Джексона в Lp(Rk), 0 < p < 1 // Сиб. мат. журн. –
1978. – 19. – C. 888 – 901.
2. Руновский В. К. О приближении семействами линейных полиномиальных операторов в прос-
транствах Lp, 0 < p < 1 // Мат. сб. – 1994. – 185. – C. 145 – 160.
3. Rathore R. K. S. The problem of A. F. Timan on the precise oreder of decrease of the best
approximations // J. Approxim. Theory. – 1994. – 77. – P. 153 – 166.
4. Дзядык В. К. О продолжении функций, удовлетворяющих условию Липшица в метрике Lp //
Мат. сб. – 1956. – 40. – С. 239 – 242.
5. Бесов О. В. Продолжение функций с сохранением дифференциально-разностных свойств в
Lp // Докл. АН СССР. – 1963. – 150, № 5. – C. 963 – 966.
6. DeVore R. A., Lorentz G. G. Constructive approximation. – New York: Springer, 1993.
7. Trigub R. M., Belinsky E. S. Fourier analysis and approximation of functions. – Kluwer, 2004. –
585 p.
8. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. – М.: Мир, 1965. – Т. 1. – 538 с.
9. Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении: В 2 т. – М.: Мир, 1985. – Т. 2. – 400 с.
10. Иванов В. И. Прямые и обратные теоремы теории приближения в метрике Lp для 0 < p < 1
// Мат. заметки. – 1975. – 18. – C. 641 – 658.
11. Освальд П. Приближение сплайнами в метрике Lp, 0 < p < 1 // Math. Nachr. – 1980. – 94. –
P. 69 – 96.
12. Брудный Ю. А., Шалашов В. К. Теория сплайнов: Учеб. пос. – Ярославль, 1983. – 91 с.
13. Стороженко Э. А. Приближение алгебраическими многочленами функций класса Lp, 0 <
< p < 1 // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1977. – 41. – C. 652 – 662.
14. Иродова И. П. Свойства функций, заданных скоростью убывания кусочно-полиномиальной
аппроксимации // Исследования по теории функций многих вещественных переменных. –
Ярославль, 1980. – C. 92 – 117.
15. Коломойцев Ю. С. Описание класса функций с условием ωr(f, h)p ≤Mh
r−1+ 1
p при 0 < p <
< 1 // Вестн. Днепропетр. нац. ун-та. Математика. – 2003. – Вып. 8. – C. 31 – 44.
16. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. – М.: Физматгиз,
1960. – 624 с.
17. Тригуб Р. М. Мультипликаторы в пространстве Харди Hp(Dm) при p ∈ (0, 1] и аппрокси-
мативные свойства методов суммирования степенных рядов // Мат. сб. – 1997. – 188, № 4. –
C. 145 – 160.
18. Иванов В. И., Юдин В. А. О тригонометрической системе в Lp, 0 < p < 1 // Мат. заметки. –
1980. – 28, № 6. – C. 859 – 868.
19. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. – М.:
Мир, 1974.
Получено 19.09.2005
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-3383 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:41:32Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ba/38ee58a7d3d2210fd7e159c5689c16ba.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33832020-03-18T19:52:51Z On moduli of smoothness and Fourier multipliers in $L_p, 0 < p < 1$ О модулях гладкости и мультипликаторах Фурье в $L_p, 0 < p < 1$ Kolomoitsev, Yu. S. Коломойцев, Ю. С. Коломойцев, Ю. С. We obtain the theorem on the relationship between a modulus of smoothness and the best approximation in L p , 0 < p < 1, and theorems on the extension of functions with the preservation of the modulus of smoothness in L p , 0 < p < 1. In addition, we present a complete description of multipliers of periodic functions in the spaces L p , 0 < p < 1. Отримано теорему про зв'язок між модулем гладкості та найкращим наближенням в L p , 0 < p < 1, і теореми про продовження функцій зі збереженням модуля гладкості в L p , 0 < p < 1. Крім того, наведено повний опис мультиплікаторів періодичних функцій у просторах L p , 0 < p < 1. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3383 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 9 (2007); 1221–1238 Український математичний журнал; Том 59 № 9 (2007); 1221–1238 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3383/3509 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3383/3510 Copyright (c) 2007 Kolomoitsev Yu. S. |
| spellingShingle | Kolomoitsev, Yu. S. Коломойцев, Ю. С. Коломойцев, Ю. С. On moduli of smoothness and Fourier multipliers in $L_p, 0 < p < 1$ |
| title | On moduli of smoothness and Fourier multipliers in $L_p, 0 < p < 1$ |
| title_alt | О модулях гладкости и мультипликаторах Фурье в $L_p, 0 < p < 1$ |
| title_full | On moduli of smoothness and Fourier multipliers in $L_p, 0 < p < 1$ |
| title_fullStr | On moduli of smoothness and Fourier multipliers in $L_p, 0 < p < 1$ |
| title_full_unstemmed | On moduli of smoothness and Fourier multipliers in $L_p, 0 < p < 1$ |
| title_short | On moduli of smoothness and Fourier multipliers in $L_p, 0 < p < 1$ |
| title_sort | on moduli of smoothness and fourier multipliers in $l_p, 0 < p < 1$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3383 |
| work_keys_str_mv | AT kolomoitsevyus onmoduliofsmoothnessandfouriermultipliersinlp0ltplt1 AT kolomojcevûs onmoduliofsmoothnessandfouriermultipliersinlp0ltplt1 AT kolomojcevûs onmoduliofsmoothnessandfouriermultipliersinlp0ltplt1 AT kolomoitsevyus omodulâhgladkostiimulʹtiplikatorahfurʹevlp0ltplt1 AT kolomojcevûs omodulâhgladkostiimulʹtiplikatorahfurʹevlp0ltplt1 AT kolomojcevûs omodulâhgladkostiimulʹtiplikatorahfurʹevlp0ltplt1 |