Invariants of knots, surfaces in R 3, and foliations

We give a survey of some known results related to combinatorial and geometric properties of finite-order invariants of knots in a three-dimensional space. We study the relationship between Vassiliev invariants and some classical numerical invariants of knots and point out the role of surfaces in the...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2007
Автори:	Plakhta, L. P., Плахта, Л. П.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська Англійська
Опубліковано:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007
Онлайн доступ:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3384
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Завантажити файл:

Репозитарії

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860509464890703872
author	Plakhta, L. P. Плахта, Л. П.
author_facet	Plakhta, L. P. Плахта, Л. П.
author_sort	Plakhta, L. P.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2020-03-18T19:52:51Z
description	We give a survey of some known results related to combinatorial and geometric properties of finite-order invariants of knots in a three-dimensional space. We study the relationship between Vassiliev invariants and some classical numerical invariants of knots and point out the role of surfaces in the investigation of these invariants. We also consider combinatorial and geometric properties of essential tori in standard position in closed braid complements by using the braid foliation technique developed by Birman, Menasco, and other authors. We study the reductions of link diagrams in the context of finding the braid index of links.
first_indexed	2026-03-24T02:41:32Z
format	Article
fulltext	УДК 513.83 Л. П. Плахта (Iн-т прикл. пробл. механiки та математики НАН України, Львiв; Iн-т математики, Гдан. ун-т, Польща) IНВАРIАНТИ ВУЗЛIВ, ПОВЕРХНI В R3 I ШАРУВАННЯ We give a review of some recent well-known results on combinatorial and geometric properties of finite- order invariants of knots in a three-dimensional space. We study relationships between the Vassiliev invariants and some classical numerical invariants of knots and point out the role of surfaces in the study of these invariants. We also consider some combinatorial and geometric properties of tiled essential tori in closed braid complements by using the braid foliation technique developed in the works of Birman and Menasco and other authors. We study the reductions of link diagrams in the context of finding the braid index of links. Приведен обзор некоторых известных результатов, касающихся комбинаторных и геометрических свойств инвариантов конечной степени узлов в трехмерном пространстве. Изучаются соотноше- ния между инвариантами Васильева и некоторыми классическими числовыми инвариантами узлов. Отмечена роль поверхностей при исследовании данных инвариантов. Рассматриваются также гео- метрические и комбинаторные аспекты существенных торов стандартного положения в дополнении к замкнутым косам с использованием техники слоений, развитой в работах Бирман, Менаско и др. Изучаются редукции диаграмм линков в контексте вычисления брейд-индекса линков. В останнi 10 – 15 рокiв в теорiї вузлiв значне мiсце в дослiдженнях, поряд з вi- домими класичними комбiнаторними та геометричними iнварiантами, посiдають iнварiанти Васильєва скiнченного порядку вузлiв та лiнкiв у тривимiрному прос- торi. Питання про те, яку топологiчну або геометричну iнформацiю про вузли мiстять iнварiанти Васильєва (якi називають також iнварiантами скiнченного по- рядку), є одним iз найбiльш цiкавих та актуальних у cучаснiй теорiї вузлiв (див., наприклад, [1 – 5]). Досi залишається вiдкритою гiпотеза Васильєва про те, що iнварiанти скiнченного порядку розрiзняють вузли в тривимiрному просторi. Вуз- ли, якi не розрiзняються iнварiантами скiнченного порядку ≤ n, називають n- еквiвалентними. Геометричну iнтерпретацiю n-еквiвалентностi вузлiв було дано Хабiро в термiнах локальних рухiв на вузлах, а комбiнаторну — М. М. Гусаровим у термiнах схем. Геометричне тлумачення iнварiантiв Васильєва наведено в [1]. Крiм того, у працях [6 – 9, 2] встановлено ряд цiкавих спiввiдношень мiж iнварiантами Васильєва i класичними комбiнаторними та геометричними iнварiантами вузлiв. Однак повного топологiчного i геометричного розумiння iнварiантiв скiнченного порядку досi немає. У данiй статтi описано спiввiдношення мiж iнварiантами скiнченного порядку та такими класичними iнварiантами вузлiв, як рiд, канонiчний рiд, полiном Алек- сандера, а також розглянуто деякi комбiнаторнi та геометричнi аспекти перших. Зокрема, у пунктi 1 показано, що локальнi простi рухи Хабiро Cn на вузлах еквi- валентнi вставленню, в геометричному сенсi, вiдповiдних комутаторiв групи чис- тих кiс. У теорiї iнварiантiв скiнченного порядку вузлiв i лiнкiв у тривимiрному прос- торi важливу роль вiдiграє градуйований простiр (над полем Q) тривалентних дiаграм, асоцiйований з фiльтрацiєю Васильєва – Гусарова вузлiв (лiнкiв), а та- кож градуйована алгебра лiнiйних функцiоналiв на просторi тривалентних дiаграм (див. [10]). Такi функцiонали називають ваговими системами. Багато питань, якi виникають тут, було розв’язано спочатку в термiнах тривалентних дiаграм, а потiм c© Л. П. ПЛАХТА, 2007 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9 1239 1240 Л. П. ПЛАХТА iнтерпретовано в термiнах самих iнварiантiв [10, 2]. Комбiнаторнi аспекти трива- лентних дiаграм, якi розглядаються як елементи групи (векторного простору) A, тобто за модулем AS- та STU-спiввiдношень, дослiджувались багатьма авторами (див., наприклад, [10, 11]). Зокрема, у працях [10, 12] дано їх геометричну iнтер- претацiю, а в [13, 2, 9] — їх геометричну реалiзацiю. Ваговi системи пiднiмаються до так званих канонiчних iнварiантiв Васильєва того ж самого порядку. Теоре- ма 1.2 дає комбiнаторно-геометричну конструкцiю одного класу вагових систем, якi походять з класичних алгебр Лi сiмей so i gl. Зазначимо також, шо iнварiанти Васильєва дали поштовх для систематичного вивчення сингулярних вузлiв i лiнкiв як самостiйних об’єктiв теорiї вузлiв. Зокрема, виникли такi напрямки в теорiї вузлiв, як теорiя сингулярних кiс, теорiя Александера – Маркова для сингулярних лiнкiв та iн. [11]. Топологiчно-комбiнаторнi аспекти теорiї сингулярних вузлiв розглянуто в п. 1. Отриманi результати (теорема 1.3) дозволяють побудувати моди- фiковану версiю вiдомого класичного алгоритму (див. [14]) обчислення iнварiантiв порядку ≤ n. Крiм того, даний метод редукцiї сингулярних вузлiв до канонiчних поширюється також на клас просторових графiв. У пунктi 2 (теорема 2.1, наслiдки 2.1 i 2.2) описано конструктивнi множини для iнварiантiв Васильєва порядку не бiльше нiж n. Множина вузлiв називається n-конструктивною, якщо всi iнварiанти скiнченного порядку однозначно задаються своїми значеннями на вузлах цiєї множини. Наведенi тут приклади конструктив- них множин складаються з вузлiв обмеженого канонiчного i класичного родiв. Розглядаються також для кожного n ∈ N класи „геометричних” n-тривiальних вузлiв, якi задаються вiдповiдними поверхнями Зайферта. Поряд з n-еквiвалентнiстю в данiй статтi розглядаємо такi вiдношення на вуз- лах, як n-спряженiсть, n-тривiальнiсть, перебудовна n-тривiальнiсть i т. д., якi дослiджувались також у працях [3 – 5]. При отриманнi результатiв (теореми 3.1 i 3.2) використано деякi спiввiдношення мiж iнварiантами скiнченного порядку вузлiв i сателiтними операцiями [15, 16]. Аналоги таких спiввiдношень мають мiсце також i у випадку iнварiантiв скiнченного порядку лiнкiв (iнварiанти Кiрка – Лiвiнгстона) [17]. Нестискуванi поверхнi стандартного положення в доповненнi до лiнкiв, якi ре- презентуються замкненими косами, дослiджувались у роботi [18]. Для вивчення таких поверхонь ефективно використовується технiка сингулярних шарувань на них, якi iндукуються природним чином брейд-структурою тривимiрного простору R3 з фiксованою вiссю. Моделi таких поверхонь i шарувань описуються в комбi- наторних термiнах. У пунктi 4 вивчається, зокрема, клас суттєвих (нестискуваних i непериферiйних) торiв у доповненнi до лiнкiв (замкнених кiс), якi допускають плитковi покриття, а також їх комбiнаторнi моделi, якi називаються плитковими торами. У працях [19, 20] було введено i дослiджено операцiї на дiаграмах лiнкiв, якi дозволяють редукувати у дiаграмi число циклiв Зайферта. Кiнцевою метою дослiд- ження редукцiйних операцiй на дiаграмах лiнкiв є знаходження або оцiнка брейд- iндексу лiнка, який репрезентується заданою дiаграмою. У пунктi 5 вивчаються редукцiйнi операцiї на дiаграмах лiнкiв i вiдповiдних графах Зайферта, введенi в [19, 20], розглядаються їхнi узагальнення й аналiзуються гiпотези стосовно влас- тивостей цих операцiй i редукованих дiаграм, а також спiввiдношень мiж числом циклiв Зайферта i скрутом дiаграми лiнка. Отриманi приклади графiв Зайферта ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9 IНВАРIАНТИ ВУЗЛIВ, ПОВЕРХНI В R3 I ШАРУВАННЯ 1241 i вiдповiдних дiаграм лiнкiв свiдчать про негативне вирiшення однiєї з гiпотез i виявляють всю складнiсть комбiнаторних проблем, якi виникають при знаходженнi брейд-iндексу лiнкiв i редукцiй дiаграм. 1. Iнварiанти Васильєва вузлiв та тривалентнi дiаграми. Тут i далi пiд вузлом ми розумiємо PL- або гладкий орiєнтований вузол у тривимiрному просторi або тривимiрнiй сферi, якщо не обумовлено протилежне. Сингулярним вузлом називається образ PL- або гладкої iмерсiї кола S1 у тривимiрному просторi, в якiй допускається скiнченне число трансверсальних самоперетинiв (сингулярностей). Вузол K називається n-сингулярним, якщо вiн мiстить рiвно n таких трансвер- сальних самоперетинiв [10]. Вузли в S3 або R3 розглядаються з точнiстю до еквiвалентностi, яка задається iзотопiєю об’ємного простору. Основнi поняття i факти з теорiї iнварiантiв Васильєва вузлiв можна знайти в [10, 2, 11]. Позначимо через K множину всiх орiєнтовних вузлiв в S3, через K′ вiльну абе- леву групу, породжену множиною класiв еквiвалентних вузлiв, а через Kn пiдгрупу групи K′, породжену множиною n-сингулярних вузлiв. Фiльтрацiєю Васильєва – Гусарова називається послiдовнiсть абелевих груп K′ ⊃ K1 ⊃ K2 ⊃ K3 ⊃ . . . . Iнварiант iзотопiї вузла v iз значеннями в абелевiй групi H (який можна розглядати як гомоморфiзм v : K′ → H) називають iнварiантом скiнченного типу n, якщо вiн є тотожним нулевi на пiдгрупi Kn+1. Найменше натуральне число m, для якого виконується дана умова, називають порядком iнварiанта v. Iнварiант v називають адитивним, якщо v(K1 ] K2) = v(K1)+v(K2) для довiльних вузлiв K1 i K2, де ] — операцiя зв’язної суми двох вузлiв. Рацiональнi iнварiанти Васильєва утворюють фiльтровану послiдовнiсть векторних просторiв V1 ⊂ V2 ⊂ . . . ⊂ Vn ⊂ . . . , де Vn позначає векторний простiр рацiональних iнварiантiв типу n. Градуйований векторний простiр, асоцiйований з даною фiльтрацiєю V, називають простором ва- гових систем i позначають W. На градуйованому просторi W = ⊕∞ n=1 Wn можна ввести операцiї множення i комноження, якi перетворюють W в алгебру Хопфа [10]. Вiдомо, що первiснi елементи степеня n в W вiдповiдають адитивним рацiо- нальним iнварiантам Васильєва порядку n [10]. Ваговi системи w степеня n можна розглядати як лiнiйнi функцiонали на векторному просторi An ⊗Q тривалентних дiаграм степеня n над Q [10] (див. нижче). Пiд тривалентною дiаграмою ми розумiємо зв’язний тривалентний мультиграф, в якому видiлено простий цикл (зовнiшнє коло) i обумовлено наступне. Вершини, якi лежать на зовнiшньому колi, називають зовнiшнiми, а всi iншi вершини — внутрiшнiми. Кожна внутрiшня вершина є орiєнтованою, тобто задано одну з двох циклiчних перестановок трьох ребер, що iнцидентнi данiй вершинi. Половину вiд числа вершин графа називають степенем даної тривалентної дiаграми. Вилучаючи з дiаграми ребра зовнiшнього циклу, отримуємо (можливо, незв’язний) внутрiшнiй граф. У частковому випадку, коли всi вершини внутрiшнього графа Γ тривалентної дiаграми D мiстяться в зовнiшньому циклi, D називають хордовою дiаграмою. З кожним орiєнтованим n-сингулярним вузлом K асоцiюється деяка хордова дiаграма D степеня n [10]. Позначимо через Dn сукупнiсть усiх тривалентних дiаграм степеня n [10]. Покладемо An = ZDn/ { всi STU -вiдношення } . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9 1242 Л. П. ПЛАХТА Тривалентну дiаграму T називають деревоподiбною дiаграмою, якщо її внут- рiшнiй граф є деревом. Далi, тривалентну дiаграму D називають гiллястою дiагра- мою степеня n, якщо її внутрiшнiй граф iзоморфний стандартному n-дереву [2]. Кожнiй гiллястiй дiаграмi T степеня n однозначно вiдповiдає пiдстановка σ ∈ Sn [2]. Позначимо через Tσ гiллясту дiаграму степеня n, яка вiдповiдає пiдстановцi σ. Тривалентну дiаграму T, яка допускає розбиття на двi зв’язнi компоненти вилу- ченням двох дуг iз зовнiшнього циклу так, що жодна з компонент не мiстить весь внутрiшнiй граф, називають розщеплюваною дiаграмою. Як показано в [2], для кожного натурального числа n абелева група An породжується розщеплюваними дiаграмами i гiллястими дiаграмами степеня n. Крiм того, довiльний адитивний iнварiант Васильєва порядку ≤ n на Kn однозначно задається своїми значеннями на гiллястих тривалентних дiаграмах степеня n [2]. Аналогiчно означають так званi унiтривалентнi дiаграми, якi отримують з три- валентних дiаграм вилученням зовнiшнього циклу. Вiдповiднi вiдношення на гра- дуйованому просторi (абелевiй групi), породженому унiтривалентними дiаграмами, задаються AS- та IHX-рiвностями [10]. Позначимо через Bn векторний простiр над Q унiтривалентних дiаграм степеня n за модулем AS- та IHX-спiввiдношень. Два вузли називають Vn-еквiвалентними (n-еквiвалентними), якщо вони не розрiзняються iнварiантами Васильєва (адитивними iнварiантами Васильєва) по- рядку ≤ n iз значеннями в довiльнiй абелевiй групi H. М. М. Гусаров [21] показав, що для довiльного n класи n-еквiвалентних вузлiв утворюють абелеву групу по вiдношенню до операцiї зв’язної суми вузлiв. Вiдомо також, що класи вузлiв, якi не розрiзняються рацiональними iнварiантами Васильєва, утворюють абелеву групу Cn без скруту [2]. Нехай Pk позначає групу чистих кiс на k струнах, а b̂ — стандартне замикання коси b до вузла чи лiнка. Крiм того, нехай LCSn(Pk) є n-ю пiдгрупою нижнього центрального ряду групи Pk. Вузли K1 та K2 називають LCSn-еквiвалентними, якщо iснують натуральне число k i коси p ∈ LCSn(Pk) i b ∈ Bk такi, що K1 = b̂ i K2 = p̂b. Стенфорд [9] показав, що довiльнi два вузли є Vn-еквiвалентними тодi i тiльки тодi, коли вони є LCSn+1-еквiвалентними. Вiдомi також iншi характеризацiї Vn-еквiвалентностi на вузлах. Хабiро [13] описав вiдно- шення Vn-еквiвалентностi на вузлах у термiнах локальних Cn+1-рухiв i показав, що Vn- i n-еквiвалентностi на вузлах — це одне i те ж. Серед усiх Cn-рухiв на вузлах i лiнках важливу роль вiдiграють так званi простi гiллястi рухи, якi реалiзують у ком- бiнацiях з iзотопiєю всi iншi Cn-рухи. Вiдношення еквiвалентностi на вузлах, яке породжується простими гiллястими Cn-рухами, називають sCn-еквiвалентнiстю. Насправдi, простi гiллястi рухи на вузлах вiдповiдають гiллястим тривалентним дiаграмам того ж самого степеня, а точнiше, є геометричною реалiзацiєю останнiх [13, 12]. Геометричну реалiзацiю довiльних тривалентних дiаграм описано в [13]. Позначимо через pi,j , 1 ≤ i < j ≤ k, стандартнi твiрнi групи чистих кiс Pk на k струнах. В [12] показано в явному виглядi, що sCn- i LCSn-еквiвалентностi збiгаються мiж собою для вузлiв у тривимiрному просторi. Точнiше, виконується наступне твердження. Теорема 1.1. Нехай K i K ′ — два довiльнi вузли такi, що K ′ отримується з K за допомогою простого гiллястого Cn-руху. Тодi iснує павутинне вiдображення T : Pn+1 → {типи вузлiв}, де n > 1, таке, що T (1n+1) = K i T (pn) = K ′, pn є n-комутатором групи чистих кiс Pn+1 вигляду pn = [ pn−1,n, [pn−2,n−1, . . . , [p1,2, p0,1] . . . ] . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9 IНВАРIАНТИ ВУЗЛIВ, ПОВЕРХНI В R3 I ШАРУВАННЯ 1243 В [12] знайдено ефект простого гiллястого руху на вузлi в термiнах градуйова- ного модуля, асоцiйованого з фiльтрацiєю Васильєва – Гусарова ([12], теорема 2.2). Важливим є також питання про iснування необоротного вузла K, який вiдрiз- няється вiд свого оберненого деяким iнварiантом скiнченного порядку n. В [12] показано, що дана проблема зводиться до проблеми iснування деякої нетривiаль- ної непарної дiаграми степеня n в категорiї градуйованого модуля тривалентних дiаграм, асоцiйованих з фiльтрацiєю Васильєва – Гусарова вузлiв (див. також [10]). В [10] тривалентнi та унiтривалентнi дiаграми реалiзуються у виглядi марко- ваних дiаграм i компактних поверхонь з маркованими поверхнями краю. Дана конструкцiя дозволяє побудувати геометрично клас вагових систем, якi випли- вають з простих класичних алгебр i груп Лi. В [22] описано iншу комбiнаторно- геометричну реалiзацiю тривалентних дiаграм, яка використовує теорiю топологiч- них графiв, а точнiше, графи напруг. Нехай G — довiльна скiнченна абелева група i BG позначає Z-градуйований векторний простiр над Q дiаграм з ребрами, маркованими елементами групи G (дiаграмами напруг), за модулем вiдповiдних спiввiдношень [22]. Для кожної фiксованої групи G iснує канонiчний гомоморфiзм µG : B → BG градуйованих векторних просторiв [22]. Дана реалiзацiя унiтривалентних дiаграм також задає рацiональнi ваговi системи, якi випливають з класичних простих алгебр Лi. Точнi- ше, має мiсце наступна теорема. Теорема 1.2. Кожна вагова система, яка пропускається через гомоморфiзм µG : B → BG, випливає з алгебр Лi з сiмей so i gl. Крiм того, в [22] розглянуто маркованi дiаграми в бiльш загальному контекстi. Питання про те, чи дозволяє дана конструкцiя отримати новий клас вагових систем, залишається вiдкритим. У теорiї iнварiантiв скiнченного порядку важливою є процедура (алгоритми) обчислення даних iнварiантiв. У статтi [10] описано стандартний рекурсивний ал- горитм обчислення iнварiантiв Васильєва вузлiв, який ґрунтується на методi спуску фiксованої дiаграми вузла до дiаграми тривiального вузла за допомогою операцiй розвузлення (змiни самоперетину у дiаграмi). Вiдомо також [10], що проблема обчислення значень iнварiанта Васильєва на вузлах має полiномiальну складнiсть, тобто значення iнварiанта на вузлi можна обчислити за час, який полiномiально залежить вiд числа самоперетинiв у дiаграмi, що репрезентує даний вузол. Проб- лема ж обчислення всiх iнварiантiв Васильєва порядку ≤ n є значно складнiшою. Стенфорд [23] описав i обґрунтував вiдповiдний алгоритм для обчислення твiр- них групи (векторного простору) всiх iнварiантiв порядку ≤ n. Запропонований алгоритм ґрунтується на процедурi зведення дiаграм сингулярних вузлiв за допо- могою R-рухiв (аналогiв рухiв Райдемейстера для дiаграм сингулярних вузлiв) до канонiчного вигляду i рекурсiї. Однак зазначений алгоритм Стенфорда є досить складним. Цей алгоритм допускає суттєве спрощення в обчисленнях за умови по- зитивної i конструктивної вiдповiдi на одне з двох наступних питань, поставлених у [23]. Запитання 1.1. Чи iснує для заданої хордової дiаграми D степеня n скiнченна множина n-сингулярних вузлiв K1, . . . ,Kp (для яких D є асоцiйованою хордовою дiаграмою) таких, що довiльний n-сингулярний вузол K з асоцiйованою хордовою дiаграмою D можна перетворити в один iз вузлiв Ki, використовуючи при цьому лише операцiї змiни самоперетину в деякiй дiаграмi сингулярного вузла K? ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9 1244 Л. П. ПЛАХТА Запитання 1.2. Чи iснує для заданої хордової дiаграми D степеня n скiнченна множина n-сингулярних вузлiв K1, . . . ,Kp (для яких D є асоцiйованою хордовою дiаграмою) таких, що довiльний n-сингулярний вузол K з асоцiйованою хордовою дiаграмою D можна перетворити в один iз вузлiв Ki, використовуючи при цьому для деякої вихiдної дiаграми L вузла K тiльки операцiї змiни самоперетину i локальнi R-рухи так, що жодна промiжна дiаграма в результатi трансформацiї не мiстить бiльше самоперетинiв, нiж в L? В [24] показано, що при деякому послабленнi умов вiдповiдь на запитання 1.1 є позитивною. Бiльш конкретно, для довiльної хордової дiаграми D степеня n конструктивно будується скiнченний класс LD дiаграм n-сингулярних вузлiв так, що справджується наступна теорема. Теорема 1.3. Довiльну дiаграму (сингулярного) вузла K з асоцiйованою хор- довою дiаграмою D степеня n можна редукувати за допомогою операцiй змiни самоперетину i комбiнацiй локальних рухiв R1 – R4 до деякої дiаграми з классу LD так, що жодна промiжна дiаграма не мiстить бiльше самоперетинiв, нiж дана дiаграма вузла K. З iншого боку, в [24] показано, що в загальному випадку немає позитивної вiд- повiдi на запитання 1.1. Для цього побудовано вiдповiднi приклади дiаграм вузлiв. В [24] також отримано деякi оцiнки для числа рiзних вузлiв у кожному з класiв LD. Отриманi оцiнки є не задовiльними i потребують уточнення. Зазначимо, що запро- понований в [24] метод редукцiї довiльної дiаграми сингулярного вузла з асоцiйо- ваною хордовою дiаграмою D до дiаграми, поданої у класi LD, можна продовжити на випадок просторових графiв. Використовуючи метод доведення теореми 1.3, в [24] описано модифiкований алгоритм обчислення iнварiантiв Васильєва порядку ≤ n (сингулярних) вузлiв. Обчислювальна складнiсть модифiкованого алгоритму є дещо меншою, нiж стандартного алгоритму. 2. Iнварiанти Васильєва вузлiв, поверхнi Зайферта та конструктивнi мно- жини. Дослiдження геометричних властивостей iнварiантiв скiнченного порядку започаткували Кальфагiаннi i Лiн [3]. Вони iнтерпретують iнварiанти скiнченного порядку як перешкоди для того, щоб заданий вузол обмежував регулярну поверхню Зайферта, доповнення до якої, за модулем нижнього центрального ряду фундамен- тальної групи вузла, виглядає як доповнення до нуль-iзотопiї. Вузол в S3 називають n-тривiальним, якщо вiн є n-еквiвалентним тривiальному вузловi. Кальфагiанi i Лiн [3] означили для кожного n ≥ 2 класи „геометричних вузлiв”, серед яких є кла- си n-гiперболiчних, n-елiптичних i n-параболiчних вузлiв. Данi геометричнi вузли допускають регулярнi поверхнi Зайферта вказаного вище типу. Бiльш того, кожний n-гiперболiчний або n-елiптичний вузол має тривiальний полiном Александера [3]. Зазначимо, що останнi три класи не вичерпують всi n-тривiальнi вузли. У роботi [3] зазначено, що всi 0-гiперболiчнi (в сенсi нашого означення) вузли є 2-тривiальними, i поставлено питання про те, чи виконується аналогiчне твер- дження для всiх iнших натуральних чисел n ≥ 1, тобто чи кожен n-гiперболiчний вузол є (n + 2)- або (n + 1)-тривiальним. У роботi [25] (теорема 2.1) дано нега- тивну вiдповiдь на дане питання. Точнiше, для довiльного непарного натурального числа n iснує n-гiперболiчний вузол, який не є (n + 2)-тривiальним. Доведення цього факту є конструктивним i iстотно використовує ефект вставлення в дiаграму вузла за допомогою павутинного вiдображення подвоєних комутаторiв чистих кiс (дублiв кiс) по вiдношенню до iнварiантiв скiнченного порядку ≤ n. При доведеннi ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9 IНВАРIАНТИ ВУЗЛIВ, ПОВЕРХНI В R3 I ШАРУВАННЯ 1245 теореми також суттєво використано технiку тривалентних дiаграм, про яку йшлося в п. 1. У теорiї iнварiантiв вузлiв скiнченного порядку важливим є питання про те, як спiввiдносяться данi iнварiанти з класичними числовими комбiнаторними та гео- метричними iнварiантами. Вiдомо, що Arf-iнварiант (другий коефiцiєнт полiнома Конвея за модулем 2) є iнварiантом Васильєва порядку 2. Iншi класичнi числовi геометричнi (i комбiнаторнi) iнварiанти вузлiв не є, як правило, iнварiантами скiн- ченного порядку. Вiдзначимо тут деякi вiдомi результати про спiввiдношення мiж iнварiантами Васильєва та класичними числовими iнварiантами вузлiв в iншому аспектi. Зокрема, Стоiменов [6] показав, що для довiльного вузла K i довiльних натуральних чисел n i u0 ≥ u(K), де u(K) є числом розвузлення вузла K, iснує вузол Kn,u0 такий, що для довiльного рацiонального iнварiанта v порядку ≤ n справджуються рiвностi u(Kn,u0) = u0 i v(Kn,u0) = v(K). Аналогiчнi результати були отриманi Стоiменовим для сигнатури σ, 4-го роду gs i узагальненої сигнатури Тристрама – Левiна σξ. Спiввiдношення мiж iнварiантами Васильєва i класичним та канонiчним ро- дами вузла є менш дослiдженими. Вiдомо, що iснують рацiональнi iнварiанти Васильєва (коефiцiєнти полiнома Конвея вузла), якi тотожно дорiвнюють нулевi на всiх вузлах обмеженого роду [7]. Крiм того, Стоiменов довiв [7], що для довiльного фiксованого g ∈ N при n →∞ iснує бiльше, нiж полiномiальне число, незалежних адитивних (первiсних) рацiональних iнварiантiв Васильєва, якi набувають тривi- альних значень на всiх вузлах K, для яких виконується нерiвнiсть g̃(K) ≤ g. У зв’язку з цим в [7] було висунуто наступну гiпотезу. Гiпотеза 2.1. Довiльний адитивний рацiональний iнварiант Васильєва скiн- ченного порядку n ∈ N, який набуває тривiальних значень на всiх вузлах обмеже- ного роду, є тотожним нулевi. В [26] отримано результати, якi частково пiдтверджують гiпотезу 2.1 i доповню- ють результати Стоiменова. Для їх формулювання введемо спочатку необхiднi поняття i деякi означення. Для довiльної коси b ∈ Bn+1 на n + 1 смугах (струнах) позначимо через b̂ її стандартне замикання вiдносно осi A. Замкнена коса b̂ репрезентує деякий лiнк (сплетення) L в S3. Поверхня Зайферта S для b̂ називається сплетеною поверхнею Зайферта вiдносно A, якщо S складається з n + 1 паралельного диска i деяких стрiчок, що з’єднують їх, таких, що: 1) вiсь A проколює диски в одному й тому ж напрямку; 2) кожна стрiчка описується косою σ±1 i,j = σi . . . σj−2σ ±1 j−1σ −1 j−2 . . . σ−1 i для 0 ≤ ≤ i < j ≤ n, де σk — стандартнi твiрнi Артiна групи кiс Bn+1. Для довiльної циклiчної пiдстановки τ = (0, i1, i2, . . . , in) ∈ Sn+1 позначи- мо через µ′τ косу σ0,ii . . . σ0,in p̂n−1 ∈ Pn+1, де p̂n−1 природно розглядається як елемент групи Pn ⊂ Pn+1. Далi, позначимо через µτ косу σ0,ii . . . σ0,in p̂n ∈ Pn+1. Означимо тепер iндуктивно послiдовнiсть скiнченних (конструктивних) мно- жин R1, R2, . . . , Rn, . . . вузлiв. 1. Нехай n = 1. Тодi R1 складається з єдиного елемента — замикання коси σ0,1p0,1, що репрезентує тривiальний вузол O; 2. Нехай множину Rn−1 вже означено. Для циклiчної пiдстановки τ = (0, i1, i2, . . . , in) ∈ Sn+1 покладемо K ′ τ = µ̂′τ i Kτ = µ̂τ . Далi покладемо R′n = {K \| ∃ циклiчна пiдстановка τ ∈ Sn+1 : K = Kτ або K = K ′ τ} i Rn = R′n ∪Rn−1. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9 1246 Л. П. ПЛАХТА Зазначимо, що кожний вузол K ′ τ , репрезентований замкненою косою µ̂′τ , є еквiвалентним деякому вузловi L ∈ Rn−1. Теорема 2.1 [26]. Довiльний рацiональний адитивний iнварiант Васильєва по- рядку ≤ k однозначно задається своїми значеннями на вузлах iз множини Rk. Безпосередньо перевiряється, що вузли з K ∈ Rn задовольняють умови g(K) ≤ ≤ 2n− 1 i g̃(K) ≤ n2 + 3n− 2 2 . Наслiдок 2.1. Якщо адитивний рацiональний iнварiант v порядку ≤ n то- тожно дорiвнює нулевi на всiх вузлах K, для яких виконується умова g(K) ≤ 2n−1, то v ≡ 0. Наслiдок 2.2. Якщо адитивний рацiональний iнварiант v порядку ≤ n тотожно дорiвнює нулевi на всiх вузлах K, для яких виконується умова g̃ ≤ ≤ n2 + 3n− 2 2 , то v ≡ 0. Аналогiчнi результати отримано також Стоiменовим з використанням суттєво iншого методу i технiки. В [4] змiна роду вузла вивчається для пари n-спряжених вузлiв у частковому випадку n-еквiвалентних вузлiв. У загальному ж випадку питання про спiввiд- ношення мiж Cn-рухами Хабiро i родом (канонiчним, класичним чи 4-родом) є дуже складним i залишається вiдкритим. C2-рух на дiаграмах орiєнтованих вузлiв називають ∆-рухом (з урахуванням орiєнтацiї дуг). Одним iз способiв контролю- вати (знизу) змiну роду (канонiчного роду) вузла K при застосуваннi елементарних Cn-рухiв до дiаграми D цього вузла є нерiвнiсть Беннекена для роду (канонiчного роду): g̃(K) ≥ g(K) ≥ (\|w(D)\| − n(D) + 1)/2, де w(D) — скрут дiаграми D, а n(D) — число циклiв Зайферта дiаграми D [27]. В [26] отримано частковi результати про змiну роду дiаграми вузла при застосу- ваннi до неї ∆-руху i петельного руху (комбiнацiя ∆-руху i рухiв Райдемейстера). Крiм того, в [28, 17] показано, що для довiльного фiксованого n (класичний) рiд вузла не є перешкодою зверху для n-еквiвалентностi вузлiв. Далi, в [3] показано, що для довiльного натурального числа n ≥ 1 iснує n- тривiальний вузол, який має нетривiальний полiном Александера. Доведення цього твердження не є конструктивним i не дає в явному виглядi прикладiв вiд- повiдних вузлiв. В [29] для кожного n побудовано в явному виглядi приклади (2n − 1)-тривiальних вузлiв, якi мають нетривiальний полiном Александера [29]. Пiдхiд i технiка, якi використовуються при доведеннi даного факту, опираються на характеризацiю n-еквiвалентностi вузлiв у термiнах комутаторiв груп чистих кiс i локальних Cn-рухiв Хабiро, про якi йшлося вище. Нехай S позначає векторний простiр над полем Q, породжений матрицями Зайферта вузлiв, за модулем вiдповiдних спiввiдношень [30]. Муракамi i Огцукi [31] описали фiльтрацiю векторного простору S, S ⊃ S1 ⊃ S2 ⊃ S3 ⊃ . . . , i спiвставили це з фiльтрацiєю Васильєва – Гусарова вузлiв. Далi, вони показали, що кожний рацiональний iнварiант Васильєва порядку n походить з полiнома Алек- сандера (тобто може бути поданий у виглядi суми добуткiв коефiцiєнтiв полiнома Александера – Конвея) тодi i тiльки тодi, коли вiн допускає факторизацiю вiдобра- ження фактор-простору S/Sn+1 у рацiональнi числа. З використанням результатiв Муракамi i Огцукi, наведених вище, в [29] отримано достатню умову для того, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9 IНВАРIАНТИ ВУЗЛIВ, ПОВЕРХНI В R3 I ШАРУВАННЯ 1247 щоб заданий n-тривiальний вузол, де n ≥ 2, мав тривiальний полiном Александе- ра. Крiм того, для кожного n ≥ 1 побудувано клас (нетривiальних) n-тривiальних вузлiв, якi мають тривiальний полiном Александера. Зазначимо також, що Конант i Тайхнер [1] дали геометричну iнтерпретацiю iнварiантiв скiнченного порядку вузлiв у термiнах гроуп-кобордизмiв у тривимiр- ному просторi. 3. Iнварiанти скiнченного порядку вузлiв та сателiтнi операцiї. Нехай K є вузлом, вкладеним у внутрiшнiсть повнотора V ⊂ S3. Ми будемо використову- вати термiн „K є n-тривiальним всерединi V ”, якщо iснують вкладення вузла K в int(V ) i сiм’я n + 1 диз’юнктних множин C1, . . . , Cn+1 дискiв iз самоперетинами, кожен з яких знаходиться всерединi V, таких, що для кожного 0 < m ≤ n + 1 одночасна змiна всiх самоперетинiв у довiльних m множинах з даної сiм’ї вздовж вiдповiдних дискiв приводить до незавузленої кривої, яка може бути здеформована iзотопiєю всередину 3-кулi в int(V ). Позначимо через sQ сателiтну операцiю на вузлах [15], задану за допомогою моделi (V,Q), де V є стандартним повнотором в S3, а Q ⊂ V — геометрично суттєвим вузлом у V. Куперберг показав, що довiльна сателiтна операцiя переводить n-еквiвалентнi вузли в n-еквiвалентнi. В [16] було отримано умову на сателiтну операцiю sQ, при якiй sQ переводить n-еквiвалентнi вузли в (n + 1)-еквiвалентнi. У [17] доведено також аналог даних результатiв для лiнкiв й iнварiантiв скiнченного порядку в сенсi Кiрка i Лiвiнгстона [32]. Кальфагiанi [5] означила для кожного невiд’ємного цiлого числа n клас пере- будовно n-тривiальних вузлiв i дослiдила їхнi властивостi. n-Колекцiєю для вузла K ⊂ S3 називається пара (D, q̄) така, що: 1) D = {D1, . . . , Dn} є множиною, яка складається з n диз’юнктних дискiв для K, так що алгебраїчне число перетину K з кожним Di дорiвнює нулю; 2) q̄ = { 1 q1 , . . . , 1 qn } , де qi ∈ Z− {0}. 3) вузли K1, . . . ,Kn є маркованими числами 1 q1 , . . . , 1 qn вiдповiдно, де Ki = = ∂Di. n-Колекцiю (D, q̄) називають неунiтарною (вiдповiдно, унiтарною), якщо iснує i ≤ n таке, що \|qi\| > 1 (вiдповiдно, \|qi\| = 1 для кожного i = 1, . . . , n). Нехай ij ∈ {0, 1}, j = 1, . . . , n, i ī = (i1, . . . , in) для заданого вузла K i n-колекцiї (D, q̄). Для заданого ī позначимо через K (̄i) вузол, отриманий з вузла K перебудовою порядку qj (вiдповiдно, 0) вздовж ∂Dj при ij = 1 (вiдповiдно, при ij = 0). Означення 3.1. Вузол K називають перебудовно n-тривiальним, якщо для K iснує така (n + 1)-колекцiя (D, q̄), що K (̄i) є тривiальним вузлом для кожного ī 6= (0, . . . , 0). Лiнк T = K0∪K1 · · ·∪Kn називають тодi n-тривiалiзатором вузла K. Вузол називають n-спряженим до тривiального вузла, якщо вiн є перебудовно n-тривiальним i допускає колекцiю (D, q̄) таку, що внутрiшнiсть кожного диска з D перетинає K у двох точках. n-Тривiалiзатор називають унiтарним, якщо вiд- повiдна n-колекцiя є унiтарною. У противному разi вiн називається неунiтарним. Вiдомо, що для довiльного n кожний перебудовно n-тривiальний вузол є n- тривiальним. Частковим випадком перебудовної n-тривiальностi вузлiв є n-спряже- нiсть їх тривiальному вузловi. Крiм того, справджується наступна теорема. Теорема 3.1 [16]. Для кожного n iснують n-тривiальнi вузли, якi не допуска- ють неунiтарних n-тривiалiзаторiв. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9 1248 Л. П. ПЛАХТА При доведеннi теореми суттєво використовуються результати робiт [12, 33]. Сенс даного твердження полягає в тому, що за модулем унiтарних тривiалiза- торiв перебудовна n-тривiальнiсть вузла є суттєво сильнiшою умовою, нiж його n-тривiальнiсть. Пшитицький [34] показав, що коли вузол Q, вкладений у повнотор V, є тривi- альним в S3 i k-тривiальним всерединi V, а також якщо вузол K̂ є m-тривiальним, то сателiтний вузол K = sQ(K̂) є (k + m + 1)-тривiальним. У [16] отримано наступний аналог результату Пшитицького. Теорема 3.2. Нехай V ⊂ S3 — повнотор, стандартно вкладений в S3, а Q ⊂ V — геометрично суттєвий вузол у V. Припустимо, що вузол Q є тривiальним в S3 i вкладеним у V так, що Q є k-спряженим iз тривiальним вузлом всерединi V. Крiм того, нехай K̂ є вузлом, який є m-спряженим iз тривiальним вузлом. Тодi сателiтний вузол K̂ = sQ(K) є перебудовно (k + m + 1)-тривiальним. 4. Суттєвi тори в доповненнi до замкнених кiс: комбiнаторнi та геомет- ричнi аспекти. В геометрiї i топологiї тривимiрних многовидiв (зокрема, в до- повненнi до лiнкiв) важливу роль вiдiграють нестискуванi тори i, бiльш загально, нестискуванi поверхнi. В цьому контекстi потрiбно вiдзначити результати Джа- ко i Шаллена в [35] про декомпозицiю многовидiв Хакена скiнченною множиною диз’юнктних суттєвих торiв. У [36] вивчаються нестискуванi поверхнi в доповненнi до замкнених кiс. Для дослiдження їх геометрiї використовуються природнi (сингулярнi) шарування на цих поверхнях, якi iндукуються брейд-структурою тривимiрного простору R3 або S3 з вiссю A, тобто розбиттям його на пiвплощини {Hθ : θ ∈ [0, 2π]} з краєм на осi A. Даний пiдхiд до вивчення нестискуваних поверхонь у доповненнях до замкнених кiс був закладений i розвинений Дж. Бiрман i В. Менаско в [18], Дж. Бiрман i Е. Фiнкельштейн в [37] та iн. Нехай L є нерозщеплюваним лiнком, репрезентованим деякою замкненою ко- сою з вiссю A, i T є суттєвим тором в S3 \L, який виникає в декомпозицiї Джако – Шаллена – Йогансона тривимiрного многовиду S3 \ L. Бiрман i Менаско показали [18], що кожний такий тор T може бути стандартизованим за допомогою послiдов- ностi контрольованих рухiв на замкнених косах, що репрезентують L, та iзотопiй у доповненнi до лiнка, так що результуючий тор буде в стандартному положеннi в доповненнi до нової замкненої коси, яка також репрезентує L. Контрольованi рухи, якi використовувались у [18] для зведення тора в стандартне положення, є двох типiв: iзотопiя кос i так званi змiннi рухи. Поняття тора в стандартному положеннi в доповненнi до лiнка вiдносно осi A визначається в термiнах сингуляр- ного шарування F на даному торi, яке iндукується брейд-структурою тривимiрного простору S3 або R3 з вiссю A. Позначимо через F вiдповiдне шарування на сут- тєвому торi T, а через T комбiнаторну модель даного шарування. В [38] показано, що кожне таке шарування F є орiєнтовним, тобто допускає гладкий потiк класу Cr−1, траєкторiї якого збiгаються з його шарами (r — порядок гладкостi вкладе- ної поверхнi). Опис суттєвих торiв стандартного положення складається з трьох наступних випадкiв [18]. У першому випадку тор T є трансверсальним до кожного шару Hθ декомпозицiї H i перетинає його по меридiану повнотора обмеженого T (тор типу 0). У другому випадку тор T допускає стандартну мiшану декомпозицiю. Повний геометричний опис стандартних торiв типу 1 був наведений у [18]. У третьому випадку вкладений ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9 IНВАРIАНТИ ВУЗЛIВ, ПОВЕРХНI В R3 I ШАРУВАННЯ 1249 тор T допускає стандартне плиткове покриття. Тори iз стандартним плитковим покриттям мають значно складнiшу конфiгурацiю. Комбiнаторнi моделi таких торiв були описанi в [18, 39]. Геометричнi (вкладенi в R3) тори типу n ≥ 2 [18] є окремим випадком стандартних торiв iз плитковим покриттям, але вони далеко не вичерпують клас останнiх. Повного геометричного опису торiв iз стандартним плитковим покриттям не було. У роботi [36] наведено опис торiв iз стандартним плитковим покриттям за до- помогою так званих меридiально-паралельних моделей. Дану комбiнаторну модель можна вiдтворити, виходячи iз стандартних моделей T торiв iз даного класу. На вiдмiну вiд iнших комбiнаторних моделей вона безпосередньо мiстить iнформацiю про вiдповiднi вкладенi тори i може бути використана для геометричного опису останнiх. У [36] запропоновано також алгоритм для знаходження зрiзаних геометричних i комбiнаторних меридiанiв на вкладених торах даного типу або їх комбiнаторних моделях. Теорема 4.1 [36]. Нехай T є комбiнаторним тором iз стандартним плитко- вим покриттям, який допускає вкладення T в R3. Тодi iснують θ ∈ [0, 2π) i компонента C несингулярного зрiзу Tθ така, що коло C обмежує меридiальний диск у повноторi T, обмеженому тором T. Крiм того, в [36] доведено також наступну теорему. Теорема 4.2. Довiльний вкладений плитковий тор T ′ є суттєвим (тобто нестискуваним i непериферiйним) у доповненнi до деякого нерозщеплюваного лiнка L, репрезентованого замкненою косою з вiссю A. 5. Дiаграми лiнкiв, графи Зайферта та брейд-iндекс. Класична гiпотеза теорiї вузлiв стверджує, що для кожної замкненої коси D, яка репрезентує лiнк L i має мiнiмальне число струн b(D) серед усiх замкнених кiс, якi задають L, скрут w(D) дiаграми D є однозначно визначеним. Крiм того, для довiльної iншої замкненої коси D′, яка репрезентує L i має b(D) + k струн, виконується подвiйна нерiвнiсть w(D)− k ≤ w(D′) ≤ w(D) + k. Позначимо через G(D) граф Зайферта дiаграми D. Вiдомо, що G(D) є завжди знаковим планарним i дводольним графом [20], хоч i не має канонiчного вкла- дення в площину. З результату Ямади [40] випливає, що вказана вище гiпотеза еквiвалентна наступнiй. Гiпотеза 5.1. Для кожної дiаграми D лiнка L, яка має мiнiмальне число циклiв Зайферта серед усiх можливих дiаграм для L, скрут w(D) дiаграми D є однознач- но заданим. Крiм того, для довiльної iншої дiаграми D′ лiнка L, яка має b(D) + k циклiв Зайферта, виконується подвiйна нерiвнiсть w(D)− k ≤ w(D′) ≤ w(D) + k. Циклiчний iндекс ind(G(D) графа Зайферта G(D), за означенням, є максималь- ним числом циклiчно незалежних ребер в G(D). Позначимо через ind−(G(D)) i ind+(G(D)) максимальнi числа циклiчно незалежних додатних i вiд’ємних ребер вiдповiдно в знаковому графi G(D). Очевидно, що нерiвнiсть ind−(G(D)) + ind+(G(D)) ≥ ind(G(D)) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9 1250 Л. П. ПЛАХТА виконується для довiльної дiаграми лiнка D i її графа Зайферта G(D). Мурасугi i Пшитицький [19] означили операцiю на дiаграмах лiнкiв, яка дозво- ляє зменшувати число циклiв Зайферта у дiаграмi лiнка деяким контрольованим способом. Пояснимо тут важливе значення, яке вiдiграють редукцiйнi операцiї в контекстi обчислення брейд-iндексу лiнкiв (див., наприклад, [20, 19]). Як вiдомо, одним iз методiв знаходження брейд-iндексу лiнка є нерiвностi Мортона – Френка – Вiльямса для дiаграм лiнкiв [30, 41], якi дають нижню оцiнку для брейд-iндексу b(L) лiнка L у термiнах HOMFLY-полiнома вiд двох змiнних. Нехай PL(v, z) по- значає HOMFLY-полiном лiнка L вiд змiнних v, z, а spanvPL(v, z) є рiзницею мiж максимальним i мiнiмальним степенями змiнної v в даному полiномi (Лорана). Тодi нижня оцiнка Мортона – Френка – Вiльямса для брейд-iндексу b(L) має вигляд spanvPL(v, z) ≤ 2(b(L)− 1). На жаль, нерiвностi Мортона – Френка – Вiльямса для дiаграм лiнкiв i наведена нижня оцiнка для брейд-iндексу лiнка не є точними, а похибка може бути як завгодно великою [19, 20, 8, 42]. Останнiй факт i був основною мотивацiєю для вивчення редукцiй лiнкiв до деякого стандартного (в певному сенсi оптимального) вигляду за допомогою спецiальних операцiй. Як результат, було висунуто кiлька гiпотез стосовно можливих редукцiй i властивостей результуючих дiаграм лiнкiв (див. вище). З iншого боку, вiдомо (див. [42]), що коли нерiвнiсть Мортона – Френка – Вiльямса є точною для лiнка L або деякого кабеля лiнка L, то L не може бути контрприкладом до (першого твердження) гiпотези 5.1. Мурасугi i Пшитицький [19] покращили нерiвностi Мортона – Френка – Вiльямса для дiаграм i показали, що для довiльної дiаграми D лiнка L виконується наступне: spanvPL(v, z) ≤ 2(s(D)− ind−(G(D))− ind+(G(D))− 1). Крiм того, в [19] було показано, що для довiльної дiаграми лiнка D число s(D) циклiв Зайферта може бути зменшене на величину ind(G(D)) при повторному застосуваннi до D редукцiйної операцiї Мурасугi – Пшитицького. Малешiч i Трачик в [20] висунули наступну гiпотезу. Гiпотеза 5.2. Нехай D — дiаграма деякого орiєнтованого лiнка L. Припусти- мо, що число циклiв Зайферта в D дорiвнює s, а скрут дiаграми D — c. Тодi iснує iнша дiаграма лiнка L, для якої число циклiв Зайферта дорiвнює s− ind+(G(D))− − ind−(G(D)), а скрут — c− ind+(G(D)) + ind−(G(D)). Зазначимо, що iз справедливостi гiпотези 5.2 випливає наступна нижня оцiнка для брейд-iндексу лiнка L з дiаграмою D: b(L) ≤ s(D)− ind−(G(D))− ind+(G(D)). Крiм того, Малешiч i Трачик припустили, що потрiбну редукцiю на довiльнiй дiаграмi лiнка можна виконати за допомогою п’яти спецiальних операцiй, якi вони означили в [20]. Граф Зайферта дiаграми лiнка вiдiграє в редукцiйному процесi важливу роль. В [20] останню гiпотезу Малешiча i Трачика (тобто гiпотезу 1.3 [43]) було cформульовано в термiнах теорiї графiв. В [43] показано, що гiпотеза 1.3 є хибною як на рiвнi графiв, так i на рiвнi дiаграм лiнкiв. Крiм того, було спрос- товано слабшу версiю гiпотези 1.3, в якiй допускається деяке узагальнення п’яти редукцiйних операцiй Малешiча – Трачика. Спочатку було розв’язано проблему на ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9 IНВАРIАНТИ ВУЗЛIВ, ПОВЕРХНI В R3 I ШАРУВАННЯ 1251 рiвнi графiв Зайферта (знакових графiв) побудовою серiї вiдповiдних контрприкла- дiв, а потiм за знаковими графами вiдновлено дiаграми лiнкiв, якi дають вiдповiднi контрприклади до гiпотези 1.3. Нарештi, в [43] було показано, що п’ять редукцiйних операцiй Малешiча – Трачика на дiаграмах лiнкiв є суттєво недостатнiми для бажаних редукцiй таких дiаграм. Точнiше, побудовано серiю прикладiв дiаграм лiнкiв, якi допускають редукцiї, обумовленi гiпотезою 5.2, але не допускають жодної редукцiйної операцiї в сенсi Малешiча i Трачика. Зазначимо однак, що гiпотеза 5.2 справджується для однорiдних дiаграм лiнкiв (якi включають в себе позитивнi i альтернованi дiаграми), оскiльки в цьому випадку маємо ind+(G(D))+ind−(G(D)) = ind(G(D)) [19]). Бiльш того, iснує зв’язок мiж гiпотезами 5.1 i 5.2. Як показано в [20], довiльний контрприклад до гiпотези 5.2 є водночас таким i для гiпотези 5.1. В [43] обговорюються також можливi контрприклади до гiпотези 5.2. Автор висловлює подяку професору В. В. Шарку за обговорення результатiв працi, кориснi поради i пiдтримку. 1. Conant J., Teichner P. Group cobordism of classical knots // Topology. – 2004. – 43. – P. 119 – 156. 2. Ng K. Y., Stanford T. On Gusarov’s groups of knots // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1999. – 126. – P. 63 – 76. 3. Kalfagianni E., Lin X.-S. Regular seifert surfaces and Vassiliev knot invariants. – Preprint, math.GT/1998/9804032S. 4. Kalfagianni E., Lin X.-S. Knot adjacency, genus and essential tori (with an Appendix by Darryl McCullough). – Preprint 2002. 5. Kalfagianni E. Surgery n-triviality and companion tori // J. Knot Theory Ramif. – 2004. – 13. – P. 441 – 456. 6. Stoimenow A. Vassiliev invariants and rational knots of unknotting number one // Topology. – 2003. – 42, № 1. – P. 227 – 241. 7. Stoimenow A. Knots of genus one // Proc. Amer. Math. Soc. – 2001. – 129, № 7. – P. 2141 – 2156. 8. Stoimenow A. On cabled knots and Vasssiliev invariants (not)contained in knot polynomials // Can. J. Math. – 2007. – 59, № 2. – P. 418 – 448. 9. Stanford T. Vassiliev invariants and knots modulo pure braid subgroups. – Preprint, math.GT/1998/9805092. 10. Bar-Natan D. On the Vassiliev knot invariants // Topology . – 1995. – 34. – P. 423 – 472. 11. Мантуров В. Теория узлов. – Москва; Ижевск: НИЦ „Регуляр. и хаот. динамика”, 2005. – 512 с. 12. Plachta L. Cn-moves, braid commutators and Vassiliev knot invariants // J. Knot Theory Ramif. – 2004. – 13. – P. 809 – 828. 13. Habiro K. Claspers and finite type invariants of links // Geom. and Top. – 2000. – 4. – P. 1 – 83. 14. Birman J. S., Lin X.-S. Knot polynomials and Vassiliev invariants // Invent. math. – 1993. – 111. – P. 225 – 270. 15. Kuperberg G. Detecting knot invertibility // J. Knot Theory Ramif. – 1996. – 5. – P. 173 – 181. 16. Plachta L. Knots, satellite operarions and invariants of finite order // Ibid. – 2006. – 15, № 8. – P. 1061 – 1077. 17. Plachta L. Remarks on n-equivalence of knots and links // Math. Methods and Phys.-Mech. Fields. – 2006. – 49, № 4. – P. 7 – 18. 18. Birman J. S., Menasco W. W. Special positions for essential tori in link complement // Topology. – 1994. – 33. – P. 525 – 556. 19. Murasugi K., Przytycki J. H. An index of a graph with applications to knot theory // Mem. AMS. – 1993. – 508. 20. Malešič J., Traczyk P. Seifert circles, braid index and the algebraic crossing number // Top. and Appl. – 2005. – 153. – P. 303 – 317. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9 1252 Л. П. ПЛАХТА 21. Gusarov M. N. On n-equivalence of knots and invariants of finite degree // Topology of Manifolds and Varieties / Ed. O. Viro: Adv. Sov. Math. – 1994. – 18. – P. 173 – 192. 22. Plachta L. Voltage graphs, weight systems and odd symmetry // Discrete Math. – 2001. – 236. – P. 287 – 313. 23. Stanford T. Computing Vassiliev invariants // Top. and Appl. – 1997. – 77. – P. 261 – 276. 24. Plachta L. On Stanford’s questions concerning singular knots // Univ. Iagel. Acta Math. – 2000. – 38. – P. 41 – 65. 25. Plachta L. Double trivalent diagrams and n-hyperbolic knots // Methods Func. Anal. and Top. – 2004. – 10. – P. 43 – 56. 26. Плахта Л. Рiд вузлiв, конструктивнi множини та iнварiанти Bасильєва // Доп. НАН України. Сер. A. – 2005. – № 10. – С. 29 – 34. 27. Stoimenow A. Positive knots, closed braids and the Jones polynomial. – Preprint, math.GT/9805078 28. Plachta L. Genera, band sums of knots and invariants of finite order // Top. and Appl. – 2007. – 154. – P. 2880 – 2887. 29. Plachta L. n-Trivial knots and the Alexander polynomial // Visnyk Lviv Univ. – 2003. – 61. – P. 161 – 171. 30. Lickorish W. B. R. An introduction to Knot Theory // Grad. Texts Math. – 1997. – 175. 31. Murakami H., Ohtsuki T. Finite type invariants of knots via their Seifert matrices // Asian J. Math. – 2001. – 5. – P. 239 – 256. 32. Kirk P., Livingston C. Vassiliev invariants of two component links and the Casson – Walker invariant // Topology. – 1997. – 36. – P. 1333 – 1353. 33. Lackenby M. Surfaces, surgery and unknotting operations // Math. Ann. – 1997. – 308. – P. 615 – 632. 34. Przytycki J. Vassiliev – Goussarov skein modules of 3-manifolds and criteria for peridicity of knots (Knoxville, TN, 1992) // Conf. Proc. Lect. Notes Geom. and Top. III. – Cambridge: Int. Press, 1994. – P. 143 – 162. 35. Jaco W. H., Shalen P. B. Seifert fibered spaces in 3-manifolds // Mem. AMS. – 1979. – 21, № 220. 36. Plachta L. Essential tori admitting standard tiling // Fund. math. – 2006. – 189, № 3. – P. 195 – 226. 37. Birman J. S., Finkelstein E. Studying surfaces via closed braids // J. Knot Theory Ramif. – 1998. – 7. – P. 267 – 334. 38. Plachta L. On orientability of singular foliations of surfaces in closed braid complements // Mat. Studii. – 2005. – 24, № 2. – P. 192 – 196. 39. Ng K. Y. Essential tori in link complements // J. Knot Theory Ramif. – 1998. – 7. – P. 205 – 216. 40. Yamada S. The minimal number of Seifert circles equals the braid index of a link // Invent. math. – 1987. – 89. – P. 347 – 356. 41. Frank J., Williams R. F. Braids and the Jones polynomial // Trans. Amer. Math. Soc. – 1987. – 303. – P. 97 – 108. 42. Stoimenow A. On the crossing number of positive knots and braids and braid index criteria of Jones and Morton – Frank – Williams // Ibid. – 2002. – 354, № 10. – P. 3927 – 3954. 43. Плахта Л. Редукцiї дiаграм сплетень i графiв Зайферта // Мат. методи i фiз.-мех. поля. – 2007. – 50, № 2. – C. 7 – 16. Одержано 27.10.2006, пiсля доопрацювання – 25.04.2007 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 9
id	umjimathkievua-article-3384
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian English
last_indexed	2026-03-24T02:41:32Z
publishDate	2007
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/6b/b7cbd5c1f1d860efc0fd18121573036b.pdf
spelling	umjimathkievua-article-33842020-03-18T19:52:51Z Invariants of knots, surfaces in R 3, and foliations Інваріанти вузлів, поверхні в R 3 і шарування Plakhta, L. P. Плахта, Л. П. We give a survey of some known results related to combinatorial and geometric properties of finite-order invariants of knots in a three-dimensional space. We study the relationship between Vassiliev invariants and some classical numerical invariants of knots and point out the role of surfaces in the investigation of these invariants. We also consider combinatorial and geometric properties of essential tori in standard position in closed braid complements by using the braid foliation technique developed by Birman, Menasco, and other authors. We study the reductions of link diagrams in the context of finding the braid index of links. Приведен обзор некоторых известных результатов, касающихся комбинаторных и геометрических свойств инвариантов конечной степени узлов в трехмерном пространстве. Изучаются соотношения между инвариантами Васильева и некоторыми классическими числовыми инвариантами узлов. Отмечена роль поверхностей при исследовании данных инвариантов. Рассматриваются также геометрические и комбинаторные аспекты существенных торов стандартного положения в дополнении к замкнутым косам с использованием техники слоений, развитой в работах Бирман, Менаско и др. Изучаются редукции диаграмм линков в контексте вычисления брейд-индекса линков. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3384 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 9 (2007); 1239–1252 Український математичний журнал; Том 59 № 9 (2007); 1239–1252 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3384/3511 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3384/3512 Copyright (c) 2007 Plakhta L. P.
spellingShingle	Plakhta, L. P. Плахта, Л. П. Invariants of knots, surfaces in R 3, and foliations
title	Invariants of knots, surfaces in R 3, and foliations
title_alt	Інваріанти вузлів, поверхні в R 3 і шарування
title_full	Invariants of knots, surfaces in R 3, and foliations
title_fullStr	Invariants of knots, surfaces in R 3, and foliations
title_full_unstemmed	Invariants of knots, surfaces in R 3, and foliations
title_short	Invariants of knots, surfaces in R 3, and foliations
title_sort	invariants of knots, surfaces in r 3, and foliations
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3384
work_keys_str_mv	AT plakhtalp invariantsofknotssurfacesinr3andfoliations AT plahtalp invariantsofknotssurfacesinr3andfoliations AT plakhtalp ínvaríantivuzlívpoverhnívr3íšaruvannâ AT plahtalp ínvaríantivuzlívpoverhnívr3íšaruvannâ

Invariants of knots, surfaces in R 3, and foliations

Репозитарії

Схожі ресурси