On Schur classes for modules over group rings
We consider the problem of the coupling between a factor-module $A / C_A(G)$ and a submodule $A(\omega RG)$, where $G$ is a group, $R$ is a ring, and $A$ is an $RG$-module. It is possible to consider $C_A (G)$ as an analog of the center of the group and the submodule $A(\omega RG)$ as an analog of...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3386 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509465733758976 |
|---|---|
| author | Semko, N. N. Chupordya, V. A. Семко, Н. Н. Чупордя, В. А. Семко, Н. Н. Чупордя, В. А. |
| author_facet | Semko, N. N. Chupordya, V. A. Семко, Н. Н. Чупордя, В. А. Семко, Н. Н. Чупордя, В. А. |
| author_sort | Semko, N. N. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:52:51Z |
| description | We consider the problem of the coupling between a factor-module $A / C_A(G)$ and a submodule $A(\omega RG)$, where $G$ is a group, $R$ is a ring, and $A$ is an $RG$-module.
It is possible to consider $C_A (G)$ as an analog of the center of the group and the submodule $A(\omega RG)$ as an analog of the derived subgroup of the group. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:41:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 512.544
N. N. Semko (Nac. un-t hos. naloh. sluΩb¥ Ukrayn¥, Yrpen\),
V. A. Çupordq (Dnepropetr. nac. un-t)
O KLASSAX ÍURA DLQ MODULEJ
NAD HRUPPOVÁMY KOL|CAMY
We consider the problem of the coupling between a factor-module A C GA/ ( ) and a submodule
A RG( )ω , where G is a group, R is a ring, and A is an RG-module. It is possible to consider C GA( )
as an analog of the center of the group and the submodule A RG( )ω as an analog of the derived
subgroup of the group.
Rozhlqnuto pytannq pro vza[mnyj zv’qzok miΩ faktor-modulem A C GA/ ( ) ta pidmodulem
A RG( )ω , de G — hrupa, R — kil\ce, A — RG-modul\. C GA( ) moΩna rozhlqdaty qk analoh
centra hrupy, a pidmodul\ A RG( )ω — qk analoh komutanta hrupy.
V teoryy hrupp oçen\ vaΩnug rol\ yhraet klassyçeskaq teorema Y.1Íura [1],
utverΩdagwaq, çto koneçnost\ faktor-hrupp¥ po centru vleçet koneçnost\ ee
kommutanta. Yzuçenye vzaymn¥x svqzej meΩdu faktor-hruppoj po centru y
kommutantom b¥lo prodolΩeno pozdnee. Tak, lehko vydet\, çto esly faktor-
hruppa G G/ ( )ζ qvlqetsq poçty polycyklyçeskoj, to y kommutant [ G, G ] bu-
det takym Ωe; esly Ωe G G/ ( )ζ qvlqetsq çernykovskoj, to çernykovskoj pod-
hruppoj budet y [ G, G ] [2]. Suwestvenn¥e obobwenyq πtyx rezul\tatov ras-
smatryvalys\ v rabote [3]. Sleduq πtoj rabote, budem hovoryt\, çto klass hrupp
X qvlqetsq klassom Íura, esly dlq lgboj hrupp¥ G yz toho fakta, çto
G G/ ( )ζ ∈ X, vsehda v¥tekaet vklgçenye [ G, G ] ∈ X. V rabote [3] ves\ma su-
westvenno yspol\zovalsq pryv¥çn¥j dlq teoryy razreßym¥x hrupp apparat
teoryy modulej nad hruppov¥my kol\camy, y zadaça ot¥skanyq klassov Íura
svodylas\ k sledugwej modul\noj zadaçe: esly A — takoj ZG-modul\, çto
addytyvnaq hruppa faktor-modulq A C GA/ ( ) prynadleΩyt nekotoromu klassu
hrupp X, to pry kakyx uslovyqx addytyvnaq hruppa podmodulq A ZGω( ) tak-
Ωe prynadleΩyt klassu X. Esly R — kol\co, G — hruppa, A — modul\ nad
hruppov¥m kol\com RG, to podmodul\ C GA( ) moΩet rassmatryvat\sq kak ana-
loh centra, a podmodul\ A RGω( ) — kak analoh kommutanta (zdes\ çerez ωRG
oboznaçen fundamental\n¥j ydeal hruppovoho kol\ca RG, t.1e. ydeal, poroΩ-
denn¥j vsemy πlementamy g – 1, g ∈ G ). Voznykagwaq takym obrazom analohyq
pryvodyt k sledugwemu voprosu v teoryy modulej: dlq kakyx klassov modulej
X (nad kol\com R yly nad hruppov¥m kol\com RG) yz toho fakta, çto
A C GA/ ( ) ∈ X, budet v¥tekat\, çto y A RGω( ) ∈ X ? Estestvenno suwestvennug
rol\ zdes\ yhragt kak svojstva kol\ca R, tak y svojstva hrupp¥ G. Dlq od-
noho yz perv¥x estestvenn¥x sluçaev — sluçaq, kohda R qvlqetsq polem, v
rabote [4] b¥l rassmotren sledugwyj vopros: dlq kakyx hrupp yz koneçnomer-
nosty nad R faktor-modulq A C GA/ ( ) budet v¥tekat\ koneçnomernost\ pod-
modulq A RGω( )? Estestvenn¥m obobwenyem koneçnomern¥x prostranstv pry
perexode ot polq k (kommutatyvnomu) kol\cu qvlqgtsq artynov¥ y neterov¥
moduly. Takym obrazom, pryxodym k sledugwym dvum estestvenn¥m voprosam:
dlq kakyx kolec R y hrupp G yz toho fakta, çto faktor-modul\ A C GA/ ( )
modulq A nad hruppov¥m kol\com RG qvlqetsq artynov¥m (sootvetstvenno
neterov¥m) R-modulem, budet sledovat\, çto y podmodul\ A RGω( ) qvlqetsq
artynov¥m (sootvetstvenno neterov¥m) R-modulem. Estestvenn¥m perv¥m ßa-
hom qvlqetsq rassmotrenye tex kommutatyvn¥x kolec R, kotor¥e dostatoçno
blyzky k kol\cu Z cel¥x çysel. Odnym yz takyx klassov kolec qvlqgtsq
dedekyndov¥ oblasty. Dedekyndov¥ oblasty yzuçen¥ oçen\ detal\no, a teoryq
© N. N. SEMKO, V. A. ÇUPORDQ, 2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9 1261
1262 N. N. SEMKO, V. A. ÇUPORDQ
modulej nad dedekyndov¥my oblastqmy qvlqetsq odnoj yz naybolee razvytoj v
teoryy modulej. Poπtomu estestvenno yspol\zovat\ na pervom πtape v kaçestve
kol\ca skalqrov ne kol\co Z cel¥x çysel, a dedekyndov¥ oblasty. V dannoj
rabote y naçynaetsq yzuçenye sformulyrovannoho v¥ße voprosa dlq sluçaq,
kohda R — dedekyndova oblast\.
Lemma 1. Pust\ G — hruppa, R — kol\co, A — R G-modul\, g, h ∈ G.
Tohda A R gω 〈 〉( ) = A g( )− 1 y A R g hω 〈 〉( ), = A g( )− 1 + A h( )− 1 .
Dokazatel\stvo. Dlq lgboho πlementa a ∈ A ymeet mesto ravenstvo
a ( gh – 1 ) = a ( g – 1 ) ( h – 1 ) + a ( g – 1 ) + a ( h – 1 ) , otkuda sleduet, çto A ( gh – 1 ) ≤
≤ A ( g – 1 ) + A ( h – 1 ). Prostoj yndukcyej otsgda poluçagt ravenstva
A R gω 〈 〉( ) = A g( )− 1 y A R g hω 〈 〉( ), = A g( )− 1 + A h( )− 1 .
Sledstvye. Pust\ G — koneçnoporoΩdennaq hruppa, R — kol\co, A —
RG-modul\. Esly faktor-modul\ A C GA/ ( ) qvlqetsq artynov¥m (sootvet-
stvenno neterov¥m) R-modulem, to y podmodul\ A RGω( ) budet artynov¥m
(sootvetstvenno neterov¥m) R-modulem.
Dokazatel\stvo. Pust\ G = g1 , … , gn . Dlq lgboho j , 1 ≤ j ≤ n,
otobraΩenye φ j : a → a gj( )− 1 , a ∈ A, budet R-homomorfyzmom. Sledovatel\-
no, ymeem Imφj = A gj( )− 1 ≅ A j/Kerφ = A C gA j/ ( ), 1 ≤ j ≤ n. Oçevydno,
C gA j( ) ≥ C GA ( ), tak çto A gj( )− 1 — artynov (sootvetstvenno neterov) R-mo-
dul\. Poskol\ku πto ymeet mesto dlq lgboho j, 1 ≤ j ≤ n, to
1
1≤ ≤∑ −
j n jA g( )
— artynov (sootvetstvenno neterov) R-modul\. Yz lemm¥ 1 poluçaem teper\,
çto A RGω( ) =
1
1≤ ≤∑ −
j n jA g( ), çto y dokaz¥vaet sledstvye.
Napomnym nekotor¥e ponqtyq teoryy modulej, neobxodym¥e v dal\nejßem.
Pust\ R — kol\co y A — R-modul\. PoloΩym
t A a A aR R( ) ( )= ∈ ≠ 〈 〉{ }Ann 0 .
Esly R — oblast\ celostnosty, to t AR ( ) — podmodul\ A. Budem naz¥vat\
eho R-peryodyçeskoj çast\g A. Modul\ A naz¥vaetsq R-peryodyçeskym, esly
A = t AR ( ); esly Ωe t AR ( ) = 〈 〉0 , to budem hovoryt\, çto A ne ymeet R-kru-
çenyq.
Pust\ D — dedekyndova oblast\. PoloΩym
Spec( )D = { |P P — maksymal\n¥j ydeal D}.
Esly I — ydeal D, to poloΩym
AI = { |∈ = 〈 〉a A aI n 0 dlq nekotoroho n ∈ }N .
Lehko vydet\, çto AI — D-podmodul\ A. AI naz¥vagt I-komponentoj A.
Esly A sovpadaet so svoej I-komponentoj, to budem hovoryt\, çto A — I-mo-
dul\ nad kol\com D. Dalee, pust\
ΩI n
nA a A aI, ( ) = ∈ = 〈 〉{ }0 .
Netrudno ubedyt\sq v tom, çto ΩI n A, ( ) — D-podmodul\ y ΩI n A, ( ) ≤ ΩI n A, ( )+1 ,
n ∈ N, tak çto
n I n A∈N∪ Ω , ( ) = AI . PoloΩym Ass ( )D A = {P ∈ Spec( )D | AP ≠
≠ 〈0〉}. Tohda t AD( ) = ⊕ ∈P PAπ , hde π = Ass ( )D A (sm., naprymer, [5]).
Pust\ D — dedekyndova oblast\, C — prostoj D-modul\. Tohda C ≅
≅ D P/ dlq nekotoroho P ∈ Spec( )D . Oboznaçym çerez D ynæektyvnug obo-
loçku C çerez CP ∞ . Modul\ CP ∞ naz¥vaetsq prgferov¥m P-modulem.
Kak y v teoryy abelev¥x hrupp, moΩno pokazat\, çto
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9
O KLASSAX ÍURA DLQ MODULEJ NAD HRUPPOVÁMY KOL|CAMY 1263
CP ∞ ≅ lim /D P nn ∈{ }N .
Po svoemu postroenyg, CP ∞ — P-modul\, pryçem ΩP k P, ( )C ∞ ≅ D
kD P/ y
Ω ΩP k P P k P
k kD P P P D P, ,( ) / ( ) / / / /+
+ +∞ ∞ ≅ ( ) ( ) ≅1
1 1C C
dlq lgboho k ∈ N. Sledovatel\no, esly C — sobstvenn¥j D -podmodul\
CP ∞ , to najdetsq çyslo k ∈ N takoe, çto C = ΩP k P, ( )C ∞ . Dejstvytel\no,
esly b ∉ ΩP k P, ( )C ∞ , to C = bD. Otmetym takΩe, çto prgferov P-modul\
CP ∞ monolytyçen y eho monolyt sovpadaet s ΩP P, ( )1 C ∞ .
Esly D — dedekyndova oblast\, A — artynov D-modul\, to A — D -pery-
odyçeskyj, tak çto A = ⊕ ∈P PAπ , hde mnoΩestvo π = Ass ( )D A koneçno. Dalee,
AP = C1 ⊕ … ⊕ Ck ⊕ E1 ⊕ … ⊕ Ed , hde Cj , 1 ≤ j ≤ k, — cyklyçeskyj P-
modul\, Ej , 1 ≤ j ≤ d, — prgferov P-modul\ (sm., naprymer, [6], teoremu15.7).
Napomnym, çto hruppa G ymeet koneçn¥j specyal\n¥j ranh r( )G = r, esly
kaΩdaq ee koneçnoporoΩdennaq podhruppa moΩet b¥t\ poroΩdena ne bolee çem
r πlementamy y r — naymen\ßee çyslo s πtym svojstvom. ∏to ponqtye b¥lo
vvedeno dlq proyzvol\n¥x hrupp v stat\e A.1Y.1Mal\ceva [7], a dlq abelev¥x
hrupp — X.1Prgferom. Poπtomu πtot ranh naz¥vagt takΩe ranhom Mal\ceva –
Prgfera.
Lemma 2. Pust\ G — hruppa, D — dedekyndova oblast\, A — DG-mo-
dul\. Esly hruppa G C AG/ ( ) ymeet koneçn¥j specyal\n¥j ranh n y faktor-
modul\ A C GA/ ( ) qvlqetsq artynov¥m P-modulem dlq nekotoroho P ∈
∈ Spec( )D , to y podmodul\ A DG( )ω budet artynov¥m P -modulem, pryçem
dim ( )/ ,D P P A DGΩ 1 ω( )( ) ≤ n dim / ( )/ ,D P P AA C GΩ 1( )( ).
Dokazatel\stvo. Ne ohranyçyvaq obwnosty, moΩno sçytat\, çto C AG( ) =
= 〈1〉. Pust\ L — systema vsex koneçnoporoΩdenn¥x podhrupp hrupp¥ G.
Poskol\ku hruppa G ymeet koneçn¥j specyal\n¥j ranh n , to dlq proyzvol\-
noj podhrupp¥ L ∈ L budem ymet\ L = g gk1, ,… , hde k ≤ n. Yz dokazatel\-
stva sledstvyq lemm¥ 1 poluçaem, çto A DL( )ω — artynov P-modul\, a takΩe
A DL( )ω =
1
1≤ ≤∑ −
j k jA g( ) . Vsledstvye toho, çto A gj( )− 1 ≅ A C gA j/ ( ) y
C gA j( ) ≥ C GA( ) ,
dim ( )/ ,D P P jA gΩ 1 1−( )( ) ≤ dim / ( )/ ,D P P AA C GΩ 1( )( ), 1 ≤ j ≤ k.
Otsgda poluçaem, çto dim ( )/ ,D P P A DLΩ 1 ω( )( ) ≤ k , dim / ( )/ ,D P P AA C GΩ 1( )( ) ≤
≤ n dim / ( )/ ,D P P AA C GΩ 1( )( ). Poskol\ku L — lokal\naq systema podhrupp hrup-
p¥ G, to G = ∪ L, a potomu semejstvo { A DL( )ω | L ∈ L} budet lokal\n¥m
dlq podhrupp¥ A DG( )ω y A DG( )ω = ∪L A DL∈Λ ( )ω . Otsgda sleduet, çto
A DG( )ω — P-modul\ y ΩP A DG, ( )1 ω( ) = ∪L ∈Λ ΩP A DL, ( )1 ω( ). V svog oçered\
πto vleçet sootnoßenye dim ( )/ ,D P P A DGΩ 1 ω( )( ) ≤ n dim / ( )/ ,D P P AA C GΩ 1( )( ). V
çastnosty, dim ( )/ ,D P P A DGΩ 1 ω( )( ) koneçna. Yz lemm¥ 5.6 rabot¥ [6] sleduet
tohda, çto A DG( )ω — artynov P-modul\.
Lemma 2 dokazana.
Pust\ p — prostoe çyslo. Budem hovoryt\, çto hruppa G ymeet koneçn¥j
sekcyonn¥j p -ranh rP G( ) = r, esly kaΩdaq πlementarnaq abeleva p-sekcyq
hrupp¥ G koneçna y ymeet porqdok, ne prev¥ßagwyj pr
, y pry πtom
suwestvuet takaq πlementarnaq abeleva p-sekcyq K L/ , çto K L/ = pr
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9
1264 N. N. SEMKO, V. A. ÇUPORDQ
Analohyçno budem hovoryt\, çto hruppa G ymeet koneçn¥j sekcyonn¥j 0-
ranh r0( )G = r, esly kaΩdaq abeleva sekcyq bez kruçenyq ymeet specyal\n¥j
ranh, ne prev¥ßagwyj r, y pry πtom suwestvuet abeleva sekcyq bez kruçenyq,
specyal\n¥j ranh kotoroj toçno raven r. Dlq razreßym¥x hrupp πty ponqtyq
vveden¥ A.1Y.1Mal\cev¥m [8] y D.1Robynsonom [9] (6.1). Netrudno ubedyt\sq v
tom, çto esly hruppa G ymeet koneçn¥j sekcyonn¥j p-ranh dlq nekotoroho
p > 0, to ona ymeet y koneçn¥j sekcyonn¥j 0-ranh.
Pust\ D — dedekyndova oblast\, 0 ≠ x ∈ D. D -modul\ A naz¥vaetsq x-
delym¥m, esly A = Ax. Esly A — x-delym dlq kaΩdoho 0 ≠ x ∈ D, to A na-
z¥vaetsq D-delym¥m.
Otmetym, çto prgferov P-modul\ qvlqetsq D -delym¥m (sm., naprymer, [6],
lemmu 5.1). Poπtomu lgboj artynov P-modul\ nad kol\com D, P ∈ Spec( )D
razlahaetsq v prqmug summu D-delymoho podmodulq (D-delymoj çasty) y ko-
neçnoporoΩdennoho podmodulq.
Hruppa G naz¥vaetsq obobwenno radykal\noj, esly ona ymeet vozrastag-
wyj rqd normal\n¥x podhrupp, kaΩd¥j faktor kotoroho lybo lokal\no nyl\-
potenten, lybo lokal\no koneçen.
Lemma 3. Pust\ G — hruppa, D — dedekyndova oblast\, A — DG-mo-
dul\. PredpoloΩym, çto A vklgçaet v sebq D G -podmodul\ B , kotor¥j
qvlqetsq artynov¥m P-modulem dlq nekotoroho P ∈ Spec( )D . Pust\ p =
= char D P/( ). Esly G — lokal\no obobwenno radykal\naq hruppa koneçnoho
sekcyonnoho p-ranha, to faktor-hruppa G C BG/ ( ) poçty razreßyma y ymeet
koneçn¥j specyal\n¥j ranh.
Dokazatel\stvo. Kak uΩe otmeçalos\ v¥ße,
B = C1 ⊕ … ⊕ Ck ⊕ E1 ⊕ … ⊕ Ed ,
hde Cj , 1 ≤ j ≤ k, — cyklyçeskyj P-modul\, Ej , 1 ≤ j ≤ d, — prgferov P-
modul\ (sm., naprymer, [6], teoremu 5.7). Rassmotrym snaçala sluçaj, kohda B =
= E1 ⊕ … ⊕ Ed — D-delym¥j modul\. Pust\ φn : D Pn/ → D Pn/ +1, n ∈ N, —
estestvenn¥j πpymorfyzm. PoloΩym
D P( )∞ = lim proj D P nn
n/ , φ ∈{ }N .
Yz predloΩenyq 6.3 rabot¥ [10] poluçaem, çto kol\co πndomorfyzmov prgfe-
rova P-modulq yzomorfno kol\cu D P( )∞
. Krome toho, D P( )∞
qvlqetsq ob-
last\g hlavn¥x ydealov y char D P( )∞( ) = char D P/( ). Otsgda v¥tekaet, çto
kol\co πndomorfyzmov B yzomorfno kol\cu matryc M D Pd ( )∞( ) , a hruppa av-
tomorfyzmov podmodulq B yzomorfna nekotoroj podhruppe GL D Pd ( )∞( ) .
Dlq kol\ca D P( )∞
suwestvuet pole çastn¥x F , pryçem char D P( )∞( ) =
=1 char ( )F , tak çto faktor-hruppa G C BG/ ( ) yzomorfna nekotoroj podhruppe
GL Fd ( ). Pust\ L — yzomorfn¥j obraz G C BG/ ( ) v lynejnoj hruppe GL Fd ( ).
PredpoloΩym, çto L vklgçaet v sebq svobodnug podhruppu X svobodnoho
ranha 2. S druhoj storon¥, buduçy koneçnoporoΩdennoj, podhruppa X dolΩna
b¥t\ obobwenno radykal\noj. No obobwenno radykal\naq hruppa ne moΩet
b¥t\ svobodnoj. ∏to protyvoreçye pokaz¥vaet, çto L ne moΩet soderΩat\ svo-
bodn¥e podhrupp¥. V sylu teorem¥ Tytsa [11] L vklgçaet v sebq takug
normal\nug razreßymug podhruppu H, çto L H/ lokal\no koneçna. Po teo-
reme A.1Y.1Mal\ceva [8] H vklgçaet v sebq normal\nug podhruppu S koneçno-
ho yndeksa so svojstvom g Sg−1 ≤ T Fn( )1 dlq nekotoroho koneçnoho rasßyrenyq
F1 polq F y nekotoroho πlementa g ∈ GL Fd ( )1 . PoloΩym
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9
O KLASSAX ÍURA DLQ MODULEJ NAD HRUPPOVÁMY KOL|CAMY 1265
U = g Sg UT Fd
−( )1
1∩ ( ), V = gUg−1
,
tohda V normal\na v S. Esly p > 0, to UT Fd ( )1 — nyl\potentnaq ohranyçen-
naq p-podhruppa. Poskol\ku S ymeet koneçn¥j sekcyonn¥j p-ranh, v πtom
sluçae U koneçna. Esly Ωe p = 0, to UT Fd ( )1 — nyl\potentnaq podhruppa
bez kruçenyq. Poskol\ku S ymeet koneçn¥j sekcyonn¥j 0-ranh, U ymeet ko-
neçn¥j specyal\n¥j ranh. Ytak, v lgbom sluçae V ymeet koneçn¥j specyal\-
n¥j ranh. Dalee,
T F UT Fd d( ) / ( )1 1 ≅
U F U F
d
( ) ( )1 1× … ×� ���� ���� .
Yz toho fakta, çto peryodyçeskaq çast\ U F( )1 lokal\no cyklyçeskaq (sm., na-
prymer, [12], predloΩenye 4.4.1), poluçaem, çto peryodyçeskaq çast\ S V/ yme-
et koneçn¥j specyal\n¥j ranh. Faktor-hruppa S V/ abeleva y, buduçy hrup-
poj koneçnoho sekcyonnoho p-ranha, ymeet koneçn¥j 0-ranh. No tohda ee
faktor-hruppa po peryodyçeskoj çasty ymeet koneçn¥j specyal\n¥j ranh.
Otsgda poluçaem, çto y S V/ ymeet koneçn¥j specyal\n¥j ranh. Poskol\ku
to Ωe spravedlyvo y dlq V, y S ymeet koneçn¥j specyal\n¥j ranh. Yz ko-
neçnosty yndeksa podhrupp¥ S v¥tekaet takoe Ωe zaklgçenye dlq H . Takym
obrazom, L ymeet koneçn¥j subnormal\n¥j rqd, kaΩd¥j faktor kotoroho
lybo lokal\no cyklyçeskyj y ne ymeet kruçenyq, lybo lokal\no koneçen. Yz
lemm¥ 2.14 rabot¥ [3] poluçaem, çto L vklgçaet v sebq takug normal\nug
lokal\no koneçnug podhruppu T, çto L T/ poçty razreßyma y ymeet koneç-
n¥j specyal\n¥j ranh. Vsledstvye toho, çto T — podhruppa GL Fd ( )1 , ee sy-
lovskaq q-podhruppa qvlqetsq çernykovskoj pry q ≠ p, a sylovskaq p-pod-
hruppa nyl\potentna y ohranyçena (sm., naprymer, [13] (9.1)). V çastnosty, esly
p = 0, to vse sylovskye podhrupp¥ T budut çernykovskymy. Esly Ωe p > 0, to,
tak kak T ymeet koneçn¥j sekcyonn¥j p-ranh, ee sylovskaq p-podhruppa
koneçna. Ytak, v lgbom sluçae vse sylovskye podhrupp¥ T budut çernykov-
skymy. No tohda podhruppa T vklgçaet v sebq normal\nug lokal\no razre-
ßymug podhruppu T1 koneçnoho yndeksa [14]. Yz dokazannoho v¥ße poluçaem,
çto T1 razreßyma y ymeet koneçn¥j specyal\n¥j ranh. No tohda y L (a zna-
çyt, G C BG/ ( )) poçty razreßyma y ymeet koneçn¥j specyal\n¥j ranh.
Rassmotrym teper\ sluçaj, kohda B = C1 ⊕ … ⊕ Ck , hde Cj , 1 ≤ j ≤ k , —
cyklyçeskyj P-modul\. Druhymy slovamy, B — koneçnoporoΩdenn¥j P-mo-
dul\. Tohda B ymeet koneçn¥j rqd DG-podmodulej
〈0〉 = B B B Bt0 1≤ ≤ … ≤ = ,
faktor¥ kotoroho — prost¥e DG-moduly. Otmetym, çto esly B Bj j+1 / —
prostoj DG-modul\, to AnnD j jB B+( )1 / = P, tak çto moΩno rassmatryvat\
B Bj j+1 / kak prostoj D P/ -modul\. Buduçy koneçnoporoΩdenn¥m nad D ,
πtot modul\ koneçnomeren nad D P/ . Poπtomu snova faktor-hruppa
G C B BG j j/ /+( )1 yzomorfna nekotoroj nepryvodymoj podhruppe GL Fr( ), hde
r = dimD P j jB B/ /+( )1 . Pust\ L — yzomorfn¥j obraz G C B BG j j/ /+( )1 v lynej-
noj hruppe GL Fk ( ) . Yspol\zuq rassuΩdenyq, kotor¥e provodylys\ çut\ v¥ße,
snova poluçaem, çto L poçty razreßyma y ymeet koneçn¥j specyal\n¥j ranh, a
znaçyt, to Ωe ymeet mesto y dlq faktor-hrupp¥ G C B BG j j/ /+( )1 , 0 ≤ j ≤ t – 1.
Pust\ Y = ∩0 1 1≤ ≤ − +( )j t G j jC B B/ . Yspol\zuq teoremu Remaka, poluçaem vlo-
Ωenye
G Y G C B B G C B BG G t t/ / / / /→ ( ) × … × ( )−1 0 1 ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9
1266 N. N. SEMKO
kotoroe pokaz¥vaet, çto faktor-hruppa G Y/ poçty razreßyma y ymeet
koneçn¥j specyal\n¥j ranh. Dalee, kaΩd¥j πlement podhrupp¥ Y ynducyruet
na kaΩdom faktore rqda { Bj | 0 ≤ j ≤ t } toΩdestvenn¥j avtomorfyzm.
Poπtomu faktor-hruppa Y C BY/ ( ) nyl\potentna, bolee toho, esly p > 0, to
ona qvlqetsq ohranyçennoj p-hruppoj, esly Ωe p = 0, to ona ne ymeet
kruçenyq (sm., naprymer, [15], teoremu 1.S.1 y predloΩenye 1.S.3). Uçyt¥vaq
uslovyq lemm¥, otsgda poluçaem, çto v pervom sluçae Y C BY/ ( ) koneçna, a vo
vtorom Y C BY/ ( ) ymeet koneçn¥j specyal\n¥j ranh. Ytak, v lgbom sluçae
G C BG/ ( ) razreßyma y ymeet koneçn¥j specyal\n¥j ranh.
Nakonec rassmotrym obwyj sluçaj. Tohda B vklgçaet v sebq takoj D-
delym¥j DG-podmodul\ R, çto B R/ — koneçnoporoΩdenn¥j P-modul\.
Pust\ Z = C RG( ) ∩ C B RG( / ). V sylu rassmotrennoho v¥ße obe faktor-hrupp¥
G C RG/ ( ) y G C B RG/ ( / ) razreßym¥ y ymegt koneçn¥j specyal\n¥j ranh. Yz
teorem¥ Remaka poluçaem vloΩenye G Z/ → G C RG/ ( ) × G C RG/ ( ), kotoroe po-
kaz¥vaet, çto y G Z/ poçty razreßyma y ymeet koneçn¥j specyal\n¥j ranh.
Dalee, kaΩd¥j πlement podhrupp¥ Z ynducyruet na kaΩdom faktore rqda
〈0〉 ≤ R ≤ B toΩdestvenn¥j avtomorfyzm. Poπtomu faktor-hruppa Z C BZ/ ( )
nyl\potentna, bolee toho, esly p > 0, to ona qvlqetsq p-hruppoj, esly Ωe p =
= 0, to ona ne ymeet kruçenyq (sm., naprymer, [15], teoremu 1.S.1 y predloΩe-
nye11.S.3). Uçyt¥vaq uslovyq lemm¥, otsgda poluçaem, çto v pervom sluçae
Y C BY/ ( ) çernykovskaq y, v çastnosty, ymeet koneçn¥j specyal\n¥j ranh, a vo
vtorom Z C BZ/ ( ) ymeet koneçn¥j specyal\n¥j ranh. Ytak, v lgbom sluçae
G C BG/ ( ) poçty razreßyma y ymeet koneçn¥j specyal\n¥j ranh.
Lemma dokazana.
Lemma 4. Pust\ G — lokal\no obobwenno radykal\naq hruppa, D —
dedekyndova oblast\, A — DG-modul\. PredpoloΩym, çto faktor-modul\
A C GA/ ( ) qvlqetsq artynov¥m P-modulem dlq nekotoroho P ∈ Spec( )D y
p = char /D P( ). Esly hruppa G ymeet koneçn¥j sekcyonn¥j p-ranh, to pod-
modul\ A DG( )ω budet artynov¥m P-modulem.
Dokazatel\stvo. Pust\ H = C A C GG A/ ( )( ). Yz lemm¥ 3 poluçaem, çto
G H/ — poçty razreßymaq hruppa koneçnoho specyal\noho ranha. Dalee, kaΩ-
d¥j πlement podhrupp¥ H ynducyruet na kaΩdom faktore rqda 〈0〉 ≤ C GA( ) ≤
≤ A toΩdestvenn¥j avtomorfyzm. Poπtomu faktor-hruppa H C AH/ ( ) abeleva,
bolee toho, ona yzomorfna nekotoroj podhruppe Hom A C GA/ ( )( , C GA( )) (sm.,
naprymer, [15], teoremu 1.S.1 y predloΩenye 1.S.3). Yz pryvodyvßehosq v¥ße
opysanyq artynov¥x P-modulej nad dedekyndovoj oblast\g moΩno zaklgçyt\,
çto A C GA/ ( ) = B = ∪n P n B∈N
Ω , ( ). KaΩd¥j faktor Ω ΩP n P nB B, ,( ) / ( )+1 moΩno
rassmatryvat\ kak vektornoe prostranstvo nad polem D P/ . Takym obrazom,
esly p > 0, to addytyvnaq hruppa A C GA/ ( ) qvlqetsq abelevoj p-hruppoj. No
tohda Hom A C GA/ ( )( , C GA( )) takΩe budet abelevoj p-hruppoj (sm., naprymer,
[16], sledstvye 43.4). Takym obrazom, esly char /D P( ) = p > 0, to H C AH/ ( ) —
abeleva p-hruppa. Uçyt¥vaq uslovyq lemm¥, otsgda poluçaem, çto v πtom
sluçae H C AH/ ( ) çernykovskaq y, v çastnosty, ymeet koneçn¥j specyal\n¥j
ranh. Yz lemm¥ 3 poluçaem,çto y faktor-hruppa G H/ poçty razreßyma y
ymeet koneçn¥j specyal\n¥j ranh. No tohda koneçn¥j specyal\n¥j ranh ymeet
y faktor-hruppa G C AG/ ( ). Prymenqq teper\ lemmu 2, poluçaem, çto podmo-
dul\ A DG( )ω budet artynov¥m P-modulem.
Pust\ teper\ p = 0. Addytyvnaq hruppa faktora Ω ΩP n P nB B, ,( ) / ( )+1 yzo-
morfna addytyvnoj hruppe vektornoho prostranstva D P tn/( ) dlq nekotoroho
natural\noho çysla tn . Poskol\ku addytyvnaq hruppa vektornoho prost-
ranstva nad polem nulevoj xarakterystyky delyma, to addytyvnaq hruppa
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9
O KLASSAX ÍURA DLQ MODULEJ NAD HRUPPOVÁMY KOL|CAMY 1267
Ω ΩP n P nB B, ,( ) / ( )+1 delyma pry lgbom n ∈ N. Otsgda poluçaem, çto vo vtorom
sluçae addytyvnaq hruppa faktor-modulq A C GA/ ( ) delyma y ne ymeet kruçe-
nyq. No tohda Hom A C GA/ ( )( , C GA( )) takΩe budet abelevoj hruppoj bez kru-
çenyq (sm., naprymer, [16], svojstvo E). Takym obrazom, esly char /D P( ) = p = 0,
to H C AH/ ( ) — abeleva hruppa bez kruçenyq. Uçyt¥vaq uslovyq lemm¥, otsg-
da poluçaem, çto v πtom sluçae H C AH/ ( ) ymeet koneçn¥j specyal\n¥j ranh.
Yz lemm¥ 3 poluçaem, çto y faktor-hruppa G H/ poçty razreßyma y ymeet
koneçn¥j specyal\n¥j ranh. No tohda koneçn¥j specyal\n¥j ranh ymeet y vsq
faktor-hruppa G C AG/ ( ). Ostaetsq snova prymenyt\ lemmu 2 y poluçyt\, çto
podmodul\ A DG( )ω budet artynov¥m.
Lemma 4 dokazana.
Teper\ uΩe moΩno dokazat\ osnovnoj rezul\tat dannoj rabot¥. Otmetym
snaçala, çto analoh teorem¥ Íura uΩe ne ymeet mesta dlq modulej nad hruppo-
v¥m kol\com FG, hde F — prostoe pole xarakterystyky p > 0, G — besko-
neçnaq πlementarnaq abeleva p-hruppa. Prymer¥ takoho roda pryveden¥ v
rabote [4]. Tam Ωe b¥lo pokazano, çto dlq sluçaq hrupp koneçnoho sekcyon-
noho p-ranha, hde p = char F, analoh teorem¥ Íura ymeet mesto. Estestvenno,
çto pry rasßyrenyy kol\ca skalqrov ot polq do dedekyndovoj oblasty koneç-
nost\ sekcyonnoho p-ranha hrupp¥ ostaetsq neobxodym¥m estestvenn¥m ohra-
nyçenyem.
Teorema. Pust\ G — lokal\no obobwenno radykal\naq hruppa, D — de-
dekyndova oblast\, A — D G -modul\. PredpoloΩym, çto faktor-modul\
A C GA/ ( ) qvlqetsq artynov¥m D-modulem. Esly hruppa G ymeet koneçn¥j
sekcyonn¥j p-ranh dlq lgboho p = char /D P( ), hde P ∈ AssD AA C G/ ( )( ), t o
y podmodul\ A DG( )ω budet artynov¥m D-modulem.
Dokazatel\stvo. Kak b¥lo otmeçeno v¥ße, D-modul\ A C GA/ ( ) , buduçy
artynov¥m, qvlqetsq peryodyçeskym, tak çto A C GA/ ( ) = ⊕ ∈P PAπ , hde AP —
P-komponenta faktor-modulq A C GA/ ( ) y mnoΩestvo π = AssD AA C G/ ( )( ) ko-
neçno. Qsno, çto AP — DG-podmodul\ A C GA/ ( ) dlq lgboho P ∈ π. Tohda A
soderΩyt takoj koneçn¥j rqd DG-podmodulej
C G B B B AA k( ) = ≤ ≤ … ≤ =0 1 ,
çto B Bj j+1 / — Pj -modul\, Pj ≠ Pt pry j ≠ t, 0 ≤ j, t ≤ k – 1, π = { P0, P1, …
… , Pk −1}. Dlq dokazatel\stva vospol\zuemsq yndukcyej po çyslu k . Esly
A C GA/ ( ) — P-modul\ dlq nekotoroho P ∈ Spec( )D (t.1e., k = 1), to podmodul\
A DG( )ω budet artynov¥m v sylu lemm¥ 4. Pust\ teper\ k > 1. PredpoloΩym,
çto uΩe dokazan tot fakt, çto DG-podmodul\ E = A DBkω −( )1 artynov. Dlq
faktor-modulq A E/ uΩe ymeet mesto vklgçenye B Ek −1 / ≤ C GA E/ ( ), koto-
roe pokaz¥vaet, çto ( / ) / ( )/A E C GA E — Pk −1-modul\. Prymenqq teper\ k fak-
tor-modulg A E/ lemmu 4, poluçaem, çto podmodul\ U E/ = A D A Eω ( / )( )
artynov. Poskol\ku E artynov, to y U budet artynov¥m. Oçevydnoe vklg-
çenye A DG( )ω ≤ U dokaz¥vaet teper\, çto A DG( )ω — artynov D-modul\.
1. Schur I. Uber die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen //
J. reine und angew. Math. – 1904. – 127. – S. 20 – 50.
2. Polovyckyj Q. D. Lokal\no πkstremal\n¥e y slojno πkstremal\n¥e hrupp¥ // Mat. sb. –
1962. – 58. – S. 685 – 694.
3. Franciosi S., de Giovanno F., Kurdachenko L. A. The Schur property and groups with uniform
conjugace classes // J. Algebra. – 1995. – 174. – P. 823 – 847.
4. Kirichenko V. V., Kurdachenko L. A., Polyakov N. V. On certain finitary module // Alhebra]çni
struktury ta ]x zastosuvannq: Pr. Ukr. mat. konhresu-2001. – Ky]v: In-t matematyky
NAN1Ukra]ny, 2002. – S. 283 – 296.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9
1268 N. N. SEMKO
5. Matlis E. Cotorsion modules. – Providence: Mem. Amer. Soc., 1964. – 49. – 66 p.
6. Kurdachenko L. A., Otal J., Subbotin I. Ya. Groups with prescribed quotient groups and associated
module theory. – New Jersey: World Sci., 2002. – 227 p.
7. Mal\cev A. Y. O hruppax koneçnoho ranha // Mat. sb. – 1948. – 22, # 2. – S. 351 – 352.
8. Mal\cev A. Y. O nekotor¥x klassax beskoneçn¥x razreßym¥x hrupp // Mat. sb. – 1951. –
28, # 3. – S. 567 – 588.
9. Robinson D. J. S. Infinite soluble and nilpotent groups. – London: Queen Mary Coll. Math. Notes,
1968. – 210 p.
10. Kurdachenko L. A., Smith H. Groups with the weak maximal condition for non-subnormal
subgroups // Ric. mat. – 1998. – 47, # 1. – P. 1 – 21.
11. Tits J. Free subgroups in linear groups // J. Algebra. – 1972. – 20, # 2. – P. 250 – 270.
12. Karpilovsky G. Field theory. – New York: Marcel Dekker, 1988. – 551 p.
13. Wehrfritz B. A. F. Infinite linear groups. – Berlin: Springer, 1973. – 229 p.
14. Belqev V. V. Lokal\no koneçn¥e hrupp¥ s çernykovskymy sylovskymy p-podhruppamy //
Alhebra y lohyka. – 1981. – 20, # 6. – S. 605 – 619.
15. Kegel O. H., Wehrfritz B. A. F. Locally finite groups. – Amsterdam: North-Holland Publ. Co.,
1973. – 210 p.
16. Fuks L. Beskoneçn¥e abelev¥ hrupp¥: V 2 t. – M.: Myr, 1974. – T. 1. – 336 s.
Poluçeno 16.05.2006,
posle dorabotky — 23.11.2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9
|
| id | umjimathkievua-article-3386 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:41:32Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/02/c276e7611f2d7ac403b910e67595ec02.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33862020-03-18T19:52:51Z On Schur classes for modules over group rings О классах Шура для модулей над групповыми кольцами Semko, N. N. Chupordya, V. A. Семко, Н. Н. Чупордя, В. А. Семко, Н. Н. Чупордя, В. А. We consider the problem of the coupling between a factor-module $A / C_A(G)$ and a submodule $A(\omega RG)$, where $G$ is a group, $R$ is a ring, and $A$ is an $RG$-module. It is possible to consider $C_A (G)$ as an analog of the center of the group and the submodule $A(\omega RG)$ as an analog of the derived subgroup of the group. Розглянуто питання про взаємний зв'язок між фактор-модулем $A / C_A(G)$ та підмодулем $A(\omega RG)$, де $G$ — група, $R$ — кільце, $A$ — $RG$-модуль. $C_A (G)$ можна розглядати як аналог центра групи, а підмодуль $A(\omega RG)$ — як аналог комутанта групи. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3386 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 9 (2007); 1261–1268 Український математичний журнал; Том 59 № 9 (2007); 1261–1268 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3386/3515 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3386/3516 Copyright (c) 2007 Semko N. N.; Chupordya V. A. |
| spellingShingle | Semko, N. N. Chupordya, V. A. Семко, Н. Н. Чупордя, В. А. Семко, Н. Н. Чупордя, В. А. On Schur classes for modules over group rings |
| title | On Schur classes for modules over group rings |
| title_alt | О классах Шура для модулей над групповыми кольцами |
| title_full | On Schur classes for modules over group rings |
| title_fullStr | On Schur classes for modules over group rings |
| title_full_unstemmed | On Schur classes for modules over group rings |
| title_short | On Schur classes for modules over group rings |
| title_sort | on schur classes for modules over group rings |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3386 |
| work_keys_str_mv | AT semkonn onschurclassesformodulesovergrouprings AT chupordyava onschurclassesformodulesovergrouprings AT semkonn onschurclassesformodulesovergrouprings AT čupordâva onschurclassesformodulesovergrouprings AT semkonn onschurclassesformodulesovergrouprings AT čupordâva onschurclassesformodulesovergrouprings AT semkonn oklassahšuradlâmodulejnadgruppovymikolʹcami AT chupordyava oklassahšuradlâmodulejnadgruppovymikolʹcami AT semkonn oklassahšuradlâmodulejnadgruppovymikolʹcami AT čupordâva oklassahšuradlâmodulejnadgruppovymikolʹcami AT semkonn oklassahšuradlâmodulejnadgruppovymikolʹcami AT čupordâva oklassahšuradlâmodulejnadgruppovymikolʹcami |