On Kolmogorov-type inequalities for functions defined on a semiaxis
Necessary and sufficient conditions for the existence of a function from the class S - with prescribed values of integral norms of three successive derivatives (generally speaking, of a fractional order) are obtained.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3389 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509469857808384 |
|---|---|
| author | Babenko, V. F. Skorokhodov, D. S. Бабенко, В. Ф. Скороходов, Д. С. Бабенко, В. Ф. Скороходов, Д. С. |
| author_facet | Babenko, V. F. Skorokhodov, D. S. Бабенко, В. Ф. Скороходов, Д. С. Бабенко, В. Ф. Скороходов, Д. С. |
| author_sort | Babenko, V. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:53:10Z |
| description | Necessary and sufficient conditions for the existence of a function from the class S -
with prescribed values of integral norms of three successive derivatives (generally speaking, of a fractional order) are obtained. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:41:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
V. F. Babenko, D. S. Skoroxodov (Dnepropetr. nac. un-t)
O NERAVENSTVAX TYPA KOLMOHOROVA DLQ FUNKCYJ,
OPREDELENNÁX NA POLUOSY
Necessary and sufficient conditions for the existence of a function from the class S− with prescribed
values of integral norms of three successive derivatives (generally speaking, of a fractional order) are
obtained.
Vstanovleno neobxidni i dostatni umovy isnuvannq funkci] klasu S−
iz zadanymy intehral\nymy
normamy tr\ox poslidovnyx poxidnyx (vzahali kaΩuçy, drobovoho porqdku).
1. Vvedenye. Pust\ G — dejstvytel\naq os\ R yly poluos\ (poloΩytel\naq
R+ = [ 0, ∞ ) lybo otrycatel\naq R− = ( – ∞ , 0 ] ) . Oboznaçym çerez Lp =
= L Gp( ), 1 ≤ p ≤ ∞ , prostranstvo funkcyj x : G → R , yntehryruem¥x v ste-
peny p (suwestvenno ohranyçenn¥x pry p = ∞ ) s ob¥çnoj normoj
x p =
x t dt p
x t t G p
p
G
p
( ) , ,
( ) : , .
/
∫
≤ < ∞
∈{ } = ∞
1
1esly
eslyesssup
Pust\ Lp
r = L Gp
r ( ), r ∈ N , — prostranstvo funkcyj x : G → R , ymegwyx
lokal\no absolgtno neprer¥vnug proyzvodnug x r( )−1
y takyx, çto x Lr
p
( ) ∈ .
Dlq 1 ≤ p , s ≤ ∞ poloΩym Lp s
r
, = L Gp s
r
, ( ) = L G L Gs
r
p( ) ( )∩ .
Neravenstva dlq norm promeΩutoçn¥x proyzvodn¥x funkcyj x L Gp s
r∈ , ( )
vyda
x k
q
( ) ≤ K x xp
r
s
λ λ( ) 1−
(1)
yhragt vaΩnug rol\ vo mnohyx voprosax analyza y eho pryloΩenyj. Naybolee
vaΩn¥ toçn¥e neravenstva yly neravenstva s naymen\ßej vozmoΩnoj postoqn-
noj K .
Odyn yz perv¥x poln¥x rezul\tatov v πtom napravlenyy prynadleΩyt
A.4N.4Kolmohorovu [1] (sm. takΩe [2]): Dlq lgb¥x k, r ∈ N , k < r , y lgboj
funkcyy x Lr∈ ∞ ∞, ( )R ymeet mesto neravenstvo
x k( )
∞
≤
ϕ
ϕ
r k
r
k r
k r r k r
x x
− ∞
∞
− ∞
−
∞1
1
/
/ ( ) /
,
hde ϕr — r-j peryodyçeskyj yntehral s nulev¥m srednym znaçenyem na peryode
ot funkcyy ϕ0( )t = sgn sin t .
© V. F. BABENKO, D. S. SKOROXODOV, 2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10 1299
1300 V. F. BABENKO, D. S. SKOROXODOV
Obwye neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq suwestvovanyq neravenstv vyda
(1) poluçen¥ V. N. Habußyn¥m [3]. Ym dokazana sledugwaq teorema.
Teorema(A. Pust\ 1 ≤ q , p , s ≤ ∞ , k, r ∈ N , k < r. Dlq lgboj funkcyy
x L Gp s
r∈ , ( ) neravenstvo (1) v¥polnqetsq s nekotoroj konstantoj K, ne za-
vysqwej ot funkcyy x , tohda y tol\ko tohda, kohda
r k
p
k
s
− + ≥ r
q
,
y pry πtom λ =
r k s q
r s p
− − +
− +
− −
− −
1 1
1 1 .
Krome v¥ßeupomqnutoho neravenstva Kolmohorova poln¥e reßenyq zadaçy
o neuluçßaem¥x neravenstvax vyda (1) dlq G = R yzvestn¥ v takyx sluçaqx:
1) p = q = s = 2 (Xardy, Lytlvud, Polya [4]);
2) p = q = s = 1 (Stejn [5]);
3) q = ∞ , p = s = 2 (L. V. Tajkov [6]).
Dlq G = R+ πty rezul\tat¥ takov¥:
1) p = q = s = ∞ (Landau [7], A.4P. Matoryn [8], Íenberh y Kavaretta
[9, 10]);
2) p = q = s = 2 (G. Y. Lgbyç [11], N. P. Kupcov [12]);
3) q = ∞ , p = s = 2 (V. N. Habußyn [3]).
Otmetym, çto pry G = R+ y r > 3 neuluçßaemaq konstanta K ymeet ne-
qvn¥j vyd.
Obzor druhyx yzvestn¥x rezul\tatov y dal\nejßye ss¥lky moΩno najty v
[13 – 15].
Oboznaçym çerez Lr
∞ ∞
+
−,
, ( )R mnoΩestvo r-monotonn¥x funkcyj, t. e. funk-
cyj x Lr∈ ∞ ∞ −, ( )R , u kotor¥x vse proyzvodn¥e do ( )r − 1 -ho porqdka vklgçy-
tel\no neotrycatel\n¥. V. M. Olovqnyßnykov [16] dokazal sledugwug
teoremu.
Teorema(B. Pust\ k, r ∈ N , k < r. Tohda dlq lgboj funkcyy x Lr∈ ∞ ∞
+
−,
, ( )R
v¥polneno neravenstvo
x k( )
∞
≤
( !)
( )!
/
/ ( ) /r
r k
x x
k r
k r r k r1
1
−
∞
−
∞−
.
V dal\nejßem rezul\tat V. M. Olovqnyßnykova obobwalsq v razn¥x na-
pravlenyqx (sm., naprymer, [17 – 19]). Tak, v [19] b¥lo dokazano, çto dlq lgb¥x
1 ≤ p , q ≤ ∞ , k, r ∈ N , k < r, y lgboj funkcyy x Lp
r∈ ∞
+
−,
, ( )R v¥polnqetsq
neravenstvo
x k
q
( ) ≤
( !) ( )
( )! ( )
/ /
/
/ /
( / )
/
/
/ ( )
/ /
/
r rq
r k r k q
x x
k p q
r p
k p q
p r p
q p
r k q
r p r
k p q
r p
+ −
+
+ −
+ − +
+
∞
+ −
+
+
− − +( )
1 1
1
1 1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
.
V [20] toçnoe neravenstvo typa Kolmohorova b¥lo dokazano dlq klassa ab-
solgtno monotonn¥x funkcyj pry lgb¥x 1 ≤ p , q , s ≤ ∞ y pry k, r ∈ N ,
k < r.
Pust\ klass S−
— mnoΩestvo, sostoqwee yz analytyçeskyx funkcyj x ( z ) ,
udovletvorqgwyx sledugwym trebovanyqm:
1) funkcyq x ( z ) rehulqrna vo vsej kompleksnoj ploskosty s razrezom
vdol\ poluosy ( – ∞, 0 ) ;
2)
Im ( )
Im
x z
z
< 0 pry Im z ≠ 0.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
O NERAVENSTVAX TYPA KOLMOHOROVA DLQ FUNKCYJ … 1301
V [18] b¥lo pokazano, çto dlq x S∈ −
pry vsex k < r
x k
q
( ) ≤
k
k q r
x x
q
qk
qr
r k q
r r
k q
r
!
( ) ( !)/
/
( )
/
+ −( )
− ∞
− +
∞
−
1 1 1
1
1 1
,
x k
q
( ) ≤
k
k q r
x x
q
qk
q r
r k q
r r
k q
r!
( ) (( )!)/ ( )
/
( )
/
+ −( ) −
−
−
∞
− − +
−
−
−
1 1 11
1
1
1 1
1
1
1
1 .
2. Osnovn¥e opredelenyq y rezul\tat¥. V dannoj rabote budut poluçe-
n¥ toçn¥e neravenstva vyda (1) dlq funkcyj klassa S−
pry vsex 1 ≤ q , p , s ≤
≤ ∞ y vsex k, r ∈ R , 0 < k < r.
Funkcyy klassa S−
xarakteryzugtsq tem (sm. [21, c. 255]), çto ony dopuska-
gt predstavlenye
x ( z ) = ξ σ+
+
∞
∫ d t
t z
( )
0
, (2)
hde ξ ≥ 0, a σ ( t ) , 0 < t < ∞ , — nekotoraq neub¥vagwaq funkcyq y
0
11
∞
−∫ +( ) ( )t d tσ < ∞ .
Otmetym, çto x zk( )( ) = k
d t
z t k!
( )
( )0 1
∞
+∫ +
σ
, k ∈ N .
Pust\ x = x ( t ) ∈ L1( )R+ y α > 0. Dlq t ≥ 0 poloΩym
( )( )I x tα = 1 1
Γ( )
( ) ( )
α
τ τ τα
−∞
−∫ −
t
t x d .
Teper\ proyzvodnaq Rymana – Lyuvyllq drobnoho porqdka D xα , α ∈ +R , op-
redelqetsq sledugwym obrazom:
D xα = d
dt
x
[ ]
[ ]
[ ]
α
α
α α
+
+
− +
1
1
1I ,
hde [ z ] — celaq çast\ çysla z.
Yz opredelenyq proyzvodnoj drobnoho porqdka sleduet, çto dlq funkcyy
x S∈ −
y α ∈ +R
x z( )( )α = Γ( )
( )
( )
1
0
1+
+
∞
+∫α σ
α
d t
z t
, α ∈ +R .
Opredelym Lp
α = Lp
α ( )R+ , α ∈ +R , kak prostranstvo funkcyj x : R + → R ta-
kyx, çto x Lp
( )α ∈ . Dlq 1 ≤ p , s ≤ ∞ poloΩym Lp s,
α = Lp s, ( )α
R+ = Ls
α ( )R+ ∩
∩ Lp( )R+ .
Dlq 1 ≤ p , s ≤ ∞ y α ∈ +R poloΩym Sp s,
,α − = S Lp s
− ∩ ,
α , Sp
α,− = S Lp
− ∩ α
y Sp
− = S Lp
− ∩ . TakΩe dlq lgb¥x 1 ≤ p , q ≤ ∞ y α β, ∈ +R poloΩym
Sp q,
, ,α β − = S Sp q
α β, ,− −∩ . Yz predstavlenyq (2) funkcyj klassa S−
vydno, çto
x ( z ) ≥ ξ pry lgbom z ∈ +R .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
1302 V. F. BABENKO, D. S. SKOROXODOV
Pust\ E S( )−
— mnoΩestvo funkcyj vyda e ( z ) = e ( C, D; z ) = D
z C+
, hde
C > 0 y D > 0. PoloΩym
K ( γ, α, β; p, q, s ) =
ϕ
ϕ ϕ
α
γ λ β λ
( )
( ) ( )
q
p s
1− , hde λ =
β α
β γ
− − +
− − +
1 1
1 1
/ /
/ /
s q
s p
y ϕ ∈ −E S( ).
PokaΩem, çto K ( γ, α , β; p, q, s ) ne zavysyt ot v¥bora funkcyy ϕ yz klassa
E S( )− . Dejstvytel\no, pust\ ϕ ( z ) = D
z C+
, hde D > 0 y C > 0. Tohda
ϕ α( )( )z =
Γ( )
( )
α
α
+
+ +
1
1
D
z C
y
ϕ α( )
q
= D dz
z C q
q
Γ( )
( )( )
/
α α+
+
∞
+∫1
0
1
1
=
D
q Cq q
Γ( )
[( ) ] / /
α
α α
+
+ − + −
1
1 1 1 1 1 , 1 ≤ q < ∞ .
V sluçae q = ∞ poluçym ϕ α( )
∞
=
D
C
Γ( )α
α
+
+
1
1 . Poskol\ku [( ) ] /α + −1 1 1q q →
→ 1 pry q → ∞ , moΩno sçytat\, çto
ϕ α( )
q
=
D
q Cq q
Γ( )
[( ) ] / /
α
α α
+
+ − + −
1
1 1 1 1 1 dlq 1 ≤ q ≤ ∞ .
Najdem znaçenye K ( γ, α, β; p, q, s ) dlq funkcyy ϕ ( z ) :
K ( γ, α, β; p, q, s ) =
ϕ
ϕ ϕ
α
γ λ β λ
( )
( ) ( )
q
p s
1− =
=
D
q C
D
p C
D
s C
q q
p p s s
Γ
Γ Γ
( )
[( ) ]
( )
[( ) ]
( )
[( ) ]
/ /
/ / / /
α
α
γ
γ
β
β
α
γ
λ
β
λ
+
+ −
+
+ −
+
+ −
+ −
+ − + −
−
1
1 1
1
1 1
1
1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 =
=
Γ
Γ Γ
( )
[( ) ]
( )
[( ) ]
( )
[( ) ]
/
/ /
α
α
γ
γ
β
β
λ λ
+
+ −
+
+ −
+
+ −
−
1
1 1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
1
q
p s
q
p s
⋅
D
C
D
C
D
C
q
p s
α
γ
λ
β
λ
+ −
+ − + −
−
1 1
1 1 1 1
1
/
/ /
.
Tak kak C p s q( / ) ( / )( ) ( / )γ λ β λ α+ − + + − − − + −1 1 1 1 1 1 1 = 1, to
K ( γ, α, β; p, q, s ) =
Γ
Γ Γ
( )[( ) ] [( ) ]
[ ( )] [ ( )] [( ) ]
/ /
/
α γ β
γ β αλ λ
+ + − + −
+ + + −−
1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
p s
q
p s
q .
Takym obrazom, m¥ pokazaly, çto K ( γ, α , β; p , q , s ) ne zavysyt ot v¥bora
funkcyy ϕ ∈ −E S( ).
Sformulyruem osnovn¥e rezul\tat¥ rabot¥.
Teorema(1. Dlq lgb¥x çysel α γ β, , ∈ +R , γ α β≤ − ≤1/ q y γ < β, 1 ≤
≤ q ≤ ∞ y lgboj funkcyy x S∈ ∞ ∞
−
,
, ,γ β
v¥polnqetsq neravenstvo
x
q
( )α ≤ K q x x
q q
( , , ; , , ) ( )
/
( )
/
γ α β γ
β α
β γ β
α γ
β γ∞ ∞
∞
− +
−
∞
− −
−
1 1
. (3)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
O NERAVENSTVAX TYPA KOLMOHOROVA DLQ FUNKCYJ … 1303
Neravenstvo (3) obrawaetsq v ravenstvo dlq lgboj funkcyy x E S∈ −( ).
Neravenstvo (3) — πto obobwenye neravenstva, poluçennoho v [18]. ∏ta teo-
rema yspol\zuetsq pry dokazatel\stve sledugwej obwej teorem¥.
Teorema(2. Dlq lgboj funkcyy x S p s∈ −
,
,β
, hde
α ≥ 1 1
1 1 1
1 1
/ /max ,
( )
q
q
p s
+ + − +
+ −
α
β
, ( / )( / )α + − −1 1 1 1q p ≤ β,
1 ≤ q , s ≤ ∞ y α + −2 1/q ≤ p ≤ ∞ , v¥polnqetsq neravenstvo
x
q
( )α ≤ K p q s x xp
s q
s p
s
p q
s p( , , ; , , )
/ /
/ / ( )
/ /
/ /0
1 1
1 1
1 1
1 1α β
β α
β β
α
β
− − +
− +
+ −
− + . (4)
Neravenstvo (4) obrawaetsq v ravenstvo dlq lgboj funkcyy x E S∈ −( ) .
Yzvestnaq zadaça Kolmohorova (sm., naprymer, [1, 2]) o suwestvovanyy funk-
cyj, ymegwyx zadann¥e znaçenyq norm posledovatel\n¥x proyzvodn¥x, formu-
lyruetsq tak. Pust\ i = 1, 2, … , m, m ∈ N . Dlq zadann¥x çysel M
i ipν , , 1 ≤
≤ pi ≤ ∞ , 0 ≤ ν1 < … < νm ≤ r, r ∈ N , y dlq nekotoroho klassa X hladkyx
funkcyj najty neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq suwestvovanyq funkcyy
x4∈ X takoj, çto x i
ip
( )ν = M
i ipν , , i = 1, 2, … , m.
M¥ pryvedem reßenye πtoj zadaçy dlq X = S p s,
,β −
y m = 3.
Teorema(3. Pust\ parametr¥ α , β , p , q y s udovletvorqgt uslovyqm
1 ≤ q , s ≤ ∞ ,
α ≥ 1 1
1 1 1
1 1
/ /max ,
( )
q
q
p s
+ + − +
+ −
α
β
, ( / )( / )α + − −1 1 1 1q p ≤ β,
y α + −2 1/q ≤ p ≤ ∞ . Tohda dlq lgb¥x trex poloΩytel\n¥x çysel M p0, ,
M qα, , M sβ, suwestvuet funkcyq x S p s∈ −
,
,β
takaq, çto
x p = M p0, , x
q
( )α = M qα, , x
s
( )β = M sβ,
tohda y tol\ko tohda, kohda
M qα, ≤ K p q s M Mp s( , , ; , , ) , ,0 0
1α β λ
β
λ− , (5)
hde λ =
β α
β
− − +
− +
1 1
1 1
/ /
/ /
s q
s p
.
Otmetym, çto teorema42 pokaz¥vaet, çto uslovye (5) qvlqetsq neobxodym¥m
v teoreme43.
3. Dokazatel\stvo neravenstv typa Kolmohorova dlq funkcyj yz klas-
sa S
–
y sledstvyq yz nyx.
Lemma. Pust\ funkcyq x S∈ −
y α γ β, , ∈ +R , 0 ≤ γ ≤ α ≤ β , β > γ .
Tohda pry lgbom z ∈ +R \ { }0 ymeet mesto neravenstvo
x z( )( )α ≤
Γ
Γ Γ
( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )α
γ β
β α
β γ
α γ
β γ
γ
β α
β γ β
α γ
β γ+
+( ) +( )
−
−
−
−
−
−
−
−1
1 1
x z x z .
Dokazatel\stvo. Dejstvytel\no, pry lgbom z ∈ +R \ { }0 , yspol\zuq ne-
ravenstvo Hel\dera s pokazatelqmy
β γ
β α
−
−
y
β γ
α γ
−
−
, poluçaem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
1304 V. F. BABENKO, D. S. SKOROXODOV
x z( )( )α = Γ( )
( )
( )
α σ
α+
+
∞
+∫1
0
1
d t
z t
= Γ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
α σ
β α
β γ
γ
α γ
β γ
β
+
+ +
∞
−
−
+
−
−
+
∫1
0 1 1
d t
z t z t
≤
≤ Γ( )
( )
( )
( )
( )
α σ σ
γ
β α
β γ
β
α γ
β γ
+
+
+
∞
+
−
− ∞
+
−
−
∫ ∫1
0
1
0
1
d t
z t
d t
z t
=
=
Γ
Γ Γ
( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )α
γ β
β α
β γ
α γ
β γ
γ
β α
β γ β
α γ
β γ+
+( ) +( )
−
−
−
−
−
−
−
−1
1 1
x z x z .
Takym obrazom, m¥ poluçyly trebuemoe neravenstvo.
Dokazatel\stvo teorem¥(1. Pust\ K =
Γ( )
( ) /
α
α
+
+ −( )
1
1 1 1q q . Vospol\zuemsq
obobwenn¥m neravenstvom Mynkovskoho y dalee neravenstvom Hel\dera s
pokazatelqmy
β γ
β α
−
− + 1/q
y
β γ
α γ
−
− − 1/q
:
x
q
( )α =
0
1
1
∞
+∫ +
⋅ +
Γ( ) ( )
(( ) )
α σ
α
d t
t
q
≤ Γ( )
(( ) )
( )α σα+
⋅ +
∞
+∫1
1
0
1t
d t
q
=
= Γ( )
( )
( )( )
/
α σα+
+
∞ ∞
+∫ ∫1
0 0
1
1
dz
z t
d tq
q
= K
d t
t q
0
1 1
∞
+ −∫ σ
α
( )
/ =
= K
d t
t t
q q
0
1 1 1 1
∞
− + +
−
− − +
−
∫ σ
β α γ
β γ
α γ β
β γ
( )
( / ) ( ) ( / ) ( ) ≤ K
d t
t
d t
t
q q
0
1
1
0
1
1
∞
+
− +
− ∞
+
− −
−
∫ ∫
σ σ
γ
β α
β γ
β
α γ
β γ( ) ( )
/ /
.
Otmetym, çto dlq funkcyy x S∈ ∞
−α,
znaçenye norm¥ proyzvodnoj porqdka
α, α ∈ +R , est\ x ( )α
∞
= Γ( )
( )α σ
α+
∞
+∫1
0 1
d t
t
. Takym obrazom, m¥ poluçaem tre-
buemoe neravenstvo
x
q
( )α ≤ K x xq q
q q
( ( )) ( ( ))
/ /
( )
/
( )
/
Γ Γγ β
β α
β γ
α γ
β γ
γ
β α
β γ β
α γ
β γ
+ +
− +
−
− −
−
∞
− +
−
∞
− −
−
1 1
1 1
1 1
.
Sledstvye(1. Dlq lgboj funkcyy x S q∈ ∞
− −α 1/ , , hde α ≥ 1/q y 1 ≤ q ≤
≤ ∞ , v¥polnqetsq neravenstvo
x
q
( )α ≤ ( )( ) / ( / )α α+ + − −
∞
1 1 1 1q xq q .
Neravenstvo obrawaetsq v ravenstvo dlq lgboj funkcyy x E S∈ −( ) .
Teorema(4. Dlq lgboj funkcyy x S
p p
∈ +
+
+
+
−
α
γ
α
β
γ β
1
1
1
1
,
, , , hde 0 ≤ γ ≤ α ≤ β y
1 ≤ p ≤ ∞ , v¥polnqetsq neravenstvo
x
p
( )α ≤ K p q p x x
p p
γ α β α
γ
α
β
γ
α
γ
β α
β γ β
α
β
α γ
β γ, , ; , , ( ) ( )+
+
+
+
+
+
−
−
+
+
−
−1
1
1
1 1
1
1
1
. (6)
Neravenstvo (6) obrawaetsq v ravenstvo dlq lgboj funkcyy x E S∈ −( ).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
O NERAVENSTVAX TYPA KOLMOHOROVA DLQ FUNKCYJ … 1305
Dokazatel\stvo. Dlq kratkosty oboznaçym
K = K p q pγ α β α
γ
α
β
, , ; , ,
+
+
+
+
1
1
1
1
=
Γ
Γ Γ
( )
( ) ( )
α
γ β
β α
β γ
α γ
β γ
+
+( ) +( )
−
−
−
−
1
1 1
.
Yspol\zuq lemmu y neravenstvo Hel\dera s pokazatelqmy
( )( )
( )( )
α β γ
γ β α
+ −
+ −
1
1
y
( )( )
( )( )
α β γ
β α γ
+ −
+ −
1
1
, ymeem
x
p
p( )α =
0
∞
∫ x z dz
p( )( )α ≤
0
∞ −
−
−
−∫
K x z x z dz
p
( ) ( )( ) ( )γ
β α
β γ β
α γ
β γ ≤
≤ K x z x z dzp p p
0
∞ −
−
−
−∫ ( ) ( )( ) ( )γ
β α
β γ β
α γ
β γ ≤
≤ K x z dz x z dzp p p
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1∞ +
+
+ −
+ − ∞ +
+
+ −
+ −
∫ ∫
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )γ
α
γ
γ β α
α β γ
β
α
β
β α γ
α β γ
=
= K x xp
p
p
p
p
( ) ( )γ
α
γ
β α
β γ β
α
β
α γ
β γ
+
+
−
−
+
+
−
−
1
1
1
1
.
Takym obrazom, m¥ poluçyly neravenstvo (6).
Teorema(5. Dlq lgboj funkcyy x S p
p
p
p
∈ + +
+
+ +
+
−
α
γ
α
β
γ β
1 1
1
1 1
1
/
,
/
, , , hde 0 ≤ γ ≤ α ≤
≤ β – 1 y
β
α + 1
≤ p ≤ ∞ , v¥polnqetsq neravenstvo
x ( )α
∞
≤ K
p
p
p
p x xp
p
p
p
p
p
γ α β α
γ
α
β
γ
α
γ
β α
β γ β
α
β
α γ
β γ, , ; , ,/ / ( )
/
/
( )
/
/
+ +
+
∞ + +
+
+ +
+
− −
−
+ +
+
− +
−1 1
1
1 1
1 1 1
1
1
1 1
1
1
.
(7)
Neravenstvo (7) obrawaetsq v ravenstvo dlq lgboj funkcyy x E S∈ −( ).
Dokazatel\stvo. Poskol\ku lgbaq funkcyq x yz klassa S −
qvlqetsq
ub¥vagwej vmeste so svoymy proyzvodn¥my, to x ( )α
∞
= x ( )( )α 0 . TakΩe
x z( )( )α → 0 pry z → ∞ . Poπtomu ymegt mesto sootnoßenyq
x
p( )α
∞
= x
p( )( )α 0 =
0
∞
∫ ( )d x z
p( )( )α = p x z x z dz
p
0
1 1
∞
− +∫ ( ) ( )( ) ( )α α .
Yspol\zuq neravenstvo Hel\dera dlq pokazatelej
p p
p p
α
α α
+ +
+ − −
1
1
y
p pα
α
+ +
+
1
2
,
a takΩe neravenstvo (6), poluçaem
x
p( )α
∞
≤ p x z dz x z dz
p p
p
p p p p p p
0
1
1
1 1
1
0
1
1
2
2
1∞ + +
+
+ −
+ + ∞
+
+ +
+
+
+ +
∫ ∫
( )
( )( )
( )( ) ( )α
α
α
α
α α
α
α
α
α
=
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
1306 V. F. BABENKO, D. S. SKOROXODOV
= p x xp p
p
p p
( ) ( )α
α
α
α α
α
+ +
+
− + + +
+
1
1
1 1
1
2
≤ p K p q pp⋅ +
+
+
+
−1 1
1
1
1
γ α β α
γ
α
β
, , ; , , ×
× K p q p x xp p
p
p p
p
γ α β α
γ
α
β
γ
α
γ
β α
β γ
β α
β γ β
α
β
α γ
β γ
α γ
β γ, , ; , , ( )
( )
( )
( )
+ +
+
+
+
+ +
+
−
−
− +
− −
−
+ +
+
−
−
− +
− −
−1
2
1
2
1 1
1
1
1
1
1
1
1
.
Takym obrazom, m¥ dokazaly neravenstvo (7).
Perepyßem neravenstvo (7) v bolee nahlqdnom vyde.
Sledstvye(2. Dlq lgboj funkcyy x S
p p
∈ +
+
−
,
, ,
γ
β
γ β
1
1
, hde 0 ≤ γ ≤ α ≤ β – 1 y
β
γ
+
+
1
1
≤ p ≤ ∞ , v¥polnqetsq neravenstvo
x ( )α
∞
≤ K p p x x
p p
γ α β γ
β
γ λ β
γ
β
λ
, , ; , , ( ) ( )∞ +
+
+
+
−1
1 1
1
1
, (8)
hde λ =
β α β
γ
β γ β
γ
− − +
+
− − +
+
+
1
1
1
1
1
( )
( )
p
p p
. Neravenstvo (8) obrawaetsq v ravenstvo dlq
lgboj funkcyy x E S∈ −( ) .
Teorema(6. Dlq lgboj funkcyy x S
p p
∈ +
+
−
,
, ,
γ
β
γ β
1
1
, hde 0 ≤ γ ≤ α – 1 / q ≤ β – 1,
β
γ
+
+
1
1
≤ p ≤ ∞ , 1 ≤ q ≤ ∞ y γ 2 21+ −( )p > 0, ymeet mesto neravenstvo
x
q
( )α ≤ K p q p x x
p p
γ α β γ
β
γ λ β
γ
β
λ
, , ; , , ( ) ( )+
+
+
+
−1
1 1
1
1
, (9)
hde λ =
β α β
γ
β γ β
γ
− − +
+
+
− − +
+
+
1
1
1
1
1
1
( )
( )
p q
p p
. Neravenstvo (9) obrawaetsq v ravenstvo dlq
lgboj funkcyy x E S∈ −( ) .
Dokazatel\stvo. Dlq dokazatel\stva neravenstva (9) posledovatel\no
prymenym neravenstva (3) y (8). Neravenstvo (9) obrawaetsq v ravenstvo dlq
lgboj funkcyy yz E S( )−
, tak kak dlq funkcyj yz E S( )−
v ravenstva obra-
wagtsq neravenstva (3) y (8).
Zametym, çto uslovye γ 2 21+ −( )p > 0 v¥tekaet yz toho fakta, çto pry
γ = 0 ne suwestvuet x z dz( )( )γ
0
∞
∫ dlq funkcyy x E S∈ −( ), tak kak v πtom
sluçae on obratytsq v
D dz
C z+
∞
∫0
.
Teorema(7. Dlq lgboj funkcyy x S
q
p∈
+
+
+
−
( ) ,
,
α
β
β
1
1
1
, hde α ≥ +max ,{ / / }1 1 1p q ,
β α≥ + −1 1/q , β ≤ p ≤ ∞ y 1 ≤ q ≤ ∞ , v¥polnqetsq neravenstvo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
O NERAVENSTVAX TYPA KOLMOHOROVA DLQ FUNKCYJ … 1307
x
q
( )α ≤ K q q
p
x xq p0 1
1
1 1 1
1
1
, , ; ( ) , , ( )
( )α β α
β α
λ β
β
λ
+ +
+
+ +
+
−
, (10)
hde λ =
β α β
β β
α
− − +
+
+
− +
+
+
+
1
1
1
1
1
1
1
p q
p q( )
. Neravenstvo (10) obrawaetsq v ravenstvo dlq
lgboj funkcyy x E S∈ −( ) .
Dokazatel\stvo. V sylu neravenstva (9) budem ymet\
x
q
( )α ≤ K p p q
p
x xp
p
p q
p
p
q
p1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1/ , , ; , , ( / ) ( )α β
β
β α
β
β
β
β
β
α
β
β
+
+
− −
+
+
+
−
+
+
+
+
−
−
+
+ .
Prymenqq dlq ocenky x p
p
( / )1
ewe raz neravenstvo (9) v vyde
x p
p
( / )1 ≤ K p q p q x xq
q
q q
q
q
q q0 1 1 1
1
1 1
1
1
1
1 1
1, , ; ( ) , ,/ ( )
( ) ( )
( )
( )α α α
α
α
α α
α
α
α+( ) +
−
− +
+
+
− +
+ ,
poluçaem neravenstvo (10).
Sledstvye(3 . Dlq lgboj funkcyy x S q s∈ +
−
( ) ,
,
α
β
1 , hde α ≥
≥ max ,
( )
1
1
1 1
1
β + −
+
s q
, β α≥ + −1 1/q y 1 ≤ q , s ≤ ∞ , ymeet mesto ne-
ravenstvo
x
q
( )α ≤ K q q s x xq s
0 1 1
1
, , ; ( ) , , ( )
( )α β α α
λ β λ
+( ) +
−
, (11)
hde λ =
β α
β
α
− − +
− +
+
1 1
1 1
1
s q
s q( )
. Neravenstvo (11) obrawaetsq v ravenstvo dlq
lgboj funkcyy x E S∈ −( ) .
Teorema(8 . Dlq lgboj funkcyy x S q p s∈ − +
−
( / ) ,
,
α
β
1 1 , hde α ≥ 1
q
+
+ max ,
( )
1
1 1
1 1p s
+
+ −
β
, α β+ − − ≤1 1 1/ /q p , 1
1
1 1
+
+ −α /q
≤ p ≤ ∞ y
1 ≤ q , s ≤ ∞ , v¥polnqetsq neravenstvo
x
q
( )α ≤ K q p q s x xq p s
0 1 1 1 1
1
, , ; ( ) , ,/ ( / )
( )α β α α
λ β λ
− +( ) − +
−
, (12)
hde λ =
β α
β α
− − +
− + − +( )
1 1
1 1 1 1
/ /
/ / /( )
s q
s p q
. Neravenstvo (12) obrawaetsq v ravenstvo
dlq lgboj funkcyy x E S∈ −( ) .
Dokazatel\stvo. V sylu neravenstva (9) dlq çysel γ, α, β = ω y norm p,
q y
γ
ω
+
+
1
1
p ymeem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
1308 V. F. BABENKO, D. S. SKOROXODOV
x
q
( )α ≤ K p q p x x
p p
γ α ω γ
ω
γ η ω
γ
ω
η
, , ; , , ( ) ( )+
+
+
+
−1
1 1
1
1
,
hde η =
ω α ω
γ
ω γ ω
γ
− − +
+
+
− − +
+
+
1
1
1
1
1
1
( )
( )
p q
p p
. Prymenqq dlq ocenky x
p
( )γ
neravenstvo (11)
dlq çysel β = γ, β y norm ( )α +1 p , p y s, a dlq ocenky x
p
( )ω γ
ω
+
+
1
1
nera-
venstvo (11) dlq çysel α = ω, β y norm ( )γ +1 p ,
γ
ω
+
+
1
1
p y s, poluçaem
x
p
( )γ ≤ K p p s x xp s
0 1 1
1
, , ; ( ) , , ( )
( )γ β γ γ
µ β µ
+( ) +
−
,
x
p
( )ω γ
ω
+
+
1
1
≤ K p p s x xp s
0 1
1
1 1
1
, , ; ( ) , , ( )
( )ω β γ γ
ω γ
τ β τ
+ +
+
+
−
,
hde µ =
β γ
β γ
− − +
− + +
1 1
1 1 1
/ /
/ /(( ) )
s p
s p
y τ =
β ω ω γ
β γ
− − + + +
− + +
1 1 1
1 1 1
/ /
/ /
( ) (( ) )
(( ) )
s p
s p
. Okonçatel\no
ymeem
x
q
α ≤ K p q s x xp s
0 1 1
1
, , ; ( ) , , ( )
( )α β γ γ
λ β λ
+( ) +
−
.
Podstavlqq γ α= − 1/q y ω α= − +1 1/q , poluçaem neravenstvo (12).
Zametym, çto teorema42 — πto pereformulyrovka teorem¥48 v bolee udobnom
vyde.
4. Dokazatel\stvo teorem¥(3. Neobxodymost\ uslovyq (5) sleduet yz
neravenstva (4).
PokaΩem dostatoçnost\ uslovyq (5). Pust\ 0 < a, c < ∞ , 0 ≤ b < ∞ y
ϕa b c z, , ( ) = d t
z t
σ( )
+
∞
∫0
, pryçem
σ( )t =
0 pry
pry
pry
t c
at bc a b c t bc c
a t bc c
≤
− < ≤ +
> +
,
( ) ( ) ,
.
/ /
Proyzvodnug porqdka α, α ∈ +R , funkcyy ϕa b c z, , ( ) moΩno predstavyt\ v
vyde
ϕ α
a b c z, ,
( ) ( ) = Γ( )
( )
α α+
+ +
+
∫1 1
a dt
z t
c
bc c
= a c dm
z c m
b
Γ( )
( )/
α α
α+
+ +
+
∫1 1
1
1
.
Norma proyzvodnoj porqdka α, α ∈ +R , funkcyy ϕa b c z, , ( ) v metryke Lq , 1 ≤
≤ q < ∞ , ymeet vyd
ϕ α
a b c q, ,
( ) = a c dm
c m
b
q
Γ( )
(( ) )/
α α
α+
⋅ + +
+
∫1 1
1
1
=
= a c dm
c m
dz
b q q
Γ( )
(( ) )/
/
α α
α+
⋅ +
∞
+
+
∫ ∫1
0
1
1
1
1
=
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
O NERAVENSTVAX TYPA KOLMOHOROVA DLQ FUNKCYJ … 1309
= a c dm
w m
dwq
b q q
Γ( )
( )
/
/
α α
α+
+
−
∞
+
+
∫ ∫1 1
0
1
1
1
1
= ac q
b q
α αϕ−1
1 1
/
, ,
( ) .
Pry q = ∞ ymeem
ϕa b c, , ∞
= ac dm
m
b
1
1+
∫ = ac bln( )1 + = ac bϕ1 1, , ∞
,
a pry α > 0
ϕ α
a b c, ,
( )
∞
= a c dm
m
b
Γ( )α α
α+ +
+
∫1 1
1
1
=
= a c
b
Γ( )
( )
α
α
α
α+ −
+
1 1 1 1
1
= ac b
α αϕ1 1, ,
( )
∞
.
PredpoloΩym, çto çysla M p0, , M qα, y M sβ, poloΩytel\n¥ y udovletvo-
rqgt neravenstvu (5). PokaΩem, çto najdutsq takye koπffycyent¥ 0 < a, c <
< ∞ y 0 ≤ b < ∞ , çto v¥polnen¥ ravenstva
M p0, = ϕa b c p, , = ac p
b p
−1
1 1
/
, ,ϕ , (13)
M qα, = ϕ α
a b c q, ,
( ) = ac q
b q
α αϕ−1
1 1
/
, ,
( ) , (14)
M sβ, = ϕ β
a b c s, ,
( ) = ac s
b s
β βϕ−1
1 1
/
, ,
( ) . (15)
Yz ravenstv (13)4– (15) m¥ moΩem ysklgçyt\ koπffycyent a :
M
M
q
p
α,
,0
= T b cα( , ) =
c q p
b q
b p
α αϕ
ϕ
− +1 1
1 1
1 1
/ /
, ,
( )
, ,
, (16)
M
M
s
p
β,
,0
= T b cβ( , ) =
c s p
b s
b p
β βϕ
ϕ
− +1 1
1 1
1 1
/ /
, ,
( )
, ,
. (17)
Takym obrazom, esly m¥ najdem koπffycyent¥ 0 < c < ∞ y 0 ≤ b < ∞ ,
udovletvorqgwye ravenstvam (16) y (7), to, poloΩyv a : =
M c
T
q
p
b p
α
α ϕ
,
/
, ,
1
1 1
=
=
M c
T
s
p
b p
β
β ϕ
,
/
, ,
1
1 1
> 0, najdem koπffycyent¥ a, b y c, udovletvorqgwye raven-
stvam (13) – (15). Zametym, çto yz ravenstv (16) y (17) ysklgçaetsq takΩe ko-
πffycyent c :
M
M
M
M
q
p
p
s
q p
s pα
β
α
β,
,
,
,
/ /
/ /
0
0
1 1
1 1
− +
− +
=
M
M M
q
p s
α
λ
β
λ
,
, ,0
1− =
ϕ
ϕ ϕ
α
λ β λ
1 1
1 1 1 1
1
, ,
( )
, , , ,
( )
b q
b p b s
− . (18)
Rassmotrym funkcyg F ( b ) =
ϕ
ϕ ϕ
α
λ β λ
1 1
1 1 1 1
1
, ,
( )
, , , ,
( )
b q
b p b s
− . V sluçae, esly m¥ naj-
dem koπffycyent b, 0 ≤ b < ∞ , udovletvorqgwyj ravenstvu (18), m¥ srazu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
1310 V. F. BABENKO, D. S. SKOROXODOV
Ωe najdem koπffycyent¥ a y c, 0 < a, c < ∞ , udovletvorqgwye ravenstvam
(13) – (15), poloΩyv
a =
M c
T
q
p
b p
α
α ϕ
,
/
, ,
1
1 1
=
M c
T
s
p
b p
β
β ϕ
,
/
, ,
1
1 1
> 0, c = F b
M
M
s
p
b p
b q
q p
( ) ,
,
, ,
, ,
( )
/ /
β
λ
α
αϕ
ϕ0
1
1 1
1 1
1
1 1
− − +
.
V sylu neravenstva (5) 0 < F ( b ) ≤ K ( 0, α, β; p, q, s ) . V sluçae, kohda
M
M M
q
p s
α
λ
β
λ
,
, ,0
1− = K ( 0, α, β; p, q, s ) , voz\mem b = 0. Dlq takoho v¥bora koπffycy-
enta b funkcyq ϕ1 1, ,b prynadleΩyt klassu E S( )− , a dlq funkcyj yz πtoho
klassa neravenstvo (4) obrawaetsq v ravenstvo, sledovatel\no, F ( 0 ) = K ( 0, α,
β; p, q, s ) =
M
M M
q
p s
α
λ
β
λ
,
, ,0
1− .
Pust\ teper\ neravenstvo (5) strohoe. Oboznaçym ξ =
M
M M
q
p s
α
λ
β
λ
,
, ,0
1− . Tohda
0 < ξ < K ( 0, α, β; p, q, s ) y pry πtom ξ — fyksyrovannaq velyçyna. PokaΩem,
çto F ( b ) prynymaet vse znaçenyq yz yntervala ( 0, K ( 0, α, β; p, q, s )) , esly b
probehaet ( 0, ∞ ) . Dlq πtoho otmetym, çto funkcyq F ( b ) =
ϕ
ϕ ϕ
α
λ β λ
1 1
1 1 1 1
1
, ,
( )
, , , ,
( )
b q
b p b s
−
neprer¥vno zavysyt ot b, b ∈ ( 0, ∞ ) . Krome toho, pokaΩem, çto F ( b ) → K ( 0,
α, β; p, q, s ) pry b → 0 y F ( b ) → 0 pry b → ∞ .
Podrobnoe dokazatel\stvo πtyx faktov m¥ pryvedem dlq 1 ≤ p , q , s < ∞ .
V sluçae, kohda nekotor¥e (yly vse) yz parametrov p , q , s ravn¥ ∞ , v pryve-
denn¥e nyΩe v¥kladky nado vnesty nesloΩn¥e yzmenenyq, uçyt¥vagwye spe-
cyfyku qvnoho vyda ϕ1 1, ,b ∞
y ϕ α
1 1, ,
( )
b ∞
.
Funkcyg F ( b ) predstavym v vyde
F ( b ) =
Γ
Γ
( )
[ ( )]
( )
( )
/
/ (
α
β λ
α
λ
β
+
+
⋅
+
+
+
∞ +
+
∞ + ∞ +
+
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
1
1
0 1
1
1
1
0 1
1
0 1
1
1
1
b q q
b p p
b s
dm
w m
dw
dm
w m
dw dm
w m
dw
−−λ)/ s =
=
Γ
Γ
( )
[ ( )]
( )
( )
/
/
α
β λ
α
λ
β
+
+
⋅
+
+
+
∞ +
+
∞ + ∞ +
+
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
1
1
1
1 1
0 1
1
1
1
0 1
1
0 1
1
1
b
dm
w m
dw
b
dm
w m
dw
b
dm
w m
dw
b q q
b p p
b s
−( )/1 λ s .
Uçyt¥vaq, çto pry b → 0
1
1
1
1
b
dm
w m
b
( )+ +
+
∫ α → 1
1( )w m+ +α ,
poluçaem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
O NERAVENSTVAX TYPA KOLMOHOROVA DLQ FUNKCYJ … 1311
F ( b ) →
Γ
Γ
( )
[ ( )]
α
β λ
+
+
1
1
×
× 0
1
1
0 0
1
1
1
1
1
1
1
1
∞
+
∞ ∞
+
−
∫
∫ ∫
+
+
+
( )
( )
/
/ ( )/
w
dw
w
dw
w
dw
q q
p p s s
α
λ
β
λ = K ( 0, α, β; p, q, s )
pry b → 0 .
PokaΩem, çto F ( b ) → 0 pry b → ∞ . Otmetym, çto dlq vsex b > 1
A ( α, q ) : =
0 1
2
1
1∞
+∫ ∫ +
dm
w m
dw
q q
( )
/
α ≤
0 1
1
1
1∞ +
+∫ ∫ +
b q q
dm
w m
dw
( )
/
α ≤
≤
0 1
1
1∞ ∞
+∫ ∫ +
dm
w m
dw
q q
( )
/
α = : B ( α, q ) .
Pry πtom çysla A ( α, q ) y B ( α, q ) poloΩytel\n¥ y ne zavysqt ot b. Sledova-
tel\no, dlq vsex b > 2
[ ( )]
( )
( )
Γ
Γ
β
α
λ+
+
1
1
F b ≤
B q
A s
dm
w m
dw
b p p
( , )
[ ( , )]
/
α
β λ
λ
1
0 1
1
−
∞ + −
∫ ∫ +
=
=
B q
A s
b
w
dwp
p
( , )
[ ( , )]
ln
/
α
β λ
λ
1
0
1
1−
∞ −
∫ +
+
≤
B q
A s
b
w
dw
b
p
p
( , )
[ ( , )]
ln
/ /
α
β λ
λ
1
0
1 2
1
1−
− + −
∫ +
+
≤
≤
B q
A s
dw
b
p
p
( , )
[ ( , )]
ln
/ /
α
β λ
λ
1
0
1 2
3−
− + −
∫
≤
B q
A s
dw
b p
( , )
[ ( , )]
ln
/ /
α
β λ
λ
λ
1
0
1 2
3−
−
− + −
( )
∫ =
= B q
A s b p
( , ) ln
[ ( , )] ( / ) /
α
β
λ
λ λ
3
2 11
( )
−
−
− .
Tretyj znak neravenstva v pryvedennoj v¥ße cepoçke neravenstv ymeet mesto,
tak kak pry w ≤ – 1 + b / 2 v¥polneno sootnoßenye 1
1
+
+
b
w
≥ 3.
Qsno, çto
B
A b p1 2 1− −λ λ( / ) / → 0 pry b → ∞ . Poskol\ku 0 < F ( b ) ≤
≤ B
A b p1 2 1− −λ λ( / ) / , to F ( b ) → 0 pry b → ∞ .
Takym obrazom, m¥ pokazaly, çto F ( b ) → K ( 0, α, β; p, q, s ) pry b → 0 y
F ( b ) → 0 pry b → ∞ . Funkcyq F ( b ) neprer¥vna, poπtomu ona prynymaet vse
znaçenyq yz yntervala ( 0, K ( 0, α, β; p, q, s )) , kohda 0 < b < ∞ . Sledovatel\-
no, suwestvuet b0 , 0 < b0 < ∞ , takoe, çto F ( b0 ) = ξ .
Kak b¥lo otmeçeno v¥ße, yz dokazannoho sleduet, çto suwestvugt koπffy-
cyent¥ 0 < a , c < ∞ y 0 ≤ b < ∞ , udovletvorqgwye uravnenyqm (13) – (15).
Znaçyt, najdetsq funkcyq x Sp s∈ −
,
,β
takaq, çto x p = M p0, , x
q
( )α = M qα, ,
x
s
( )β = M sβ, , kak tol\ko v¥polneno neravenstvo (5).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
1312 V. F. BABENKO, D. S. SKOROXODOV
Zameçanye. Neravenstva (3), (6), (8), (9) y (11) v polnom obæeme ne sledugt
yz neravenstva (4), poskol\ku uslovyq, nalahaem¥e na parametr¥ neravenstvom
(4), bolee syl\n¥e, çem πto trebuetsq v kaΩdom yz pereçyslenn¥x neravenstv.
Odnako otmetym, çto lgboe yz neravenstv (3), (6), (8), (9) pry γ = 0, a takΩe
neravenstvo (11), kak y neravenstvo (4), qvlqgtsq neobxodym¥m y dostatoçn¥m
uslovyem dlq sootvetstvugwej zadaçy Kolmohorova.
1. Kolmohorov A. N. O neravenstvax meΩdu verxnymy hranqmy posledovatel\n¥x
proyzvodn¥x proyzvol\noj funkcyy na beskoneçnom yntervale // Uçen. zap. Mosk. un-ta.
Matematyka. – 1939. – 30, kn. 3. – S.43 – 13.
2. Kolmohorov A. N. O neravenstvax meΩdu verxnymy hranqmy posledovatel\n¥x
proyzvodn¥x funkcyy na beskoneçnom yntervale // Yzbr. tr. Matematyka, mexanyka. – M.:
Nauka, 1985. – S.4252 – 263.
3. Habußyn V. N. O nayluçßem pryblyΩenyy operatora dyfferencyrovanyq na poluprqmoj
// Mat. zametky. – 1976. – 6, # 5. – S.4573 – 582.
4. Hardy G. H., Littlewood J. E., Polya G. Inequalities. – Cambridge, 1934.
5. Stein E. M. Functions of exponential type // Ann. Math. – 1957. – 65, # 3. – P. 582 – 592.
6. Tajkov L. V. Neravenstva typa Kolmohorova y formul¥ çyslennoho dyfferencyrovanyq
// Mat. zametky. – 1967. – 4, # 2. – S.4223 – 238.
7. Landau E. Einige Ungleichungen für zweimal differenzierbare Funktion // Proc. London Math.
Soc. – 1913. – 13. – P. 43 – 49.
8. Matoryn A. P. O neravenstvax meΩdu maksymumamy absolgtn¥x znaçenyj funkcyj y ee
proyzvodn¥x na poluosy // Ukr. mat. Ωurn. – 1955. – 7, # 3. – S.4262 – 266.
9. Schoenberg I. J., Cavaretta A. Solutions of Landau’s problem, concerning higher derivatives on
half-line // M.R.C. Techn. Summary Report. – 1970.
10. Schoenberg I. J., Cavaretta A. Solutions of Landau’s problem, concerning higher derivatives on
half-line // Proc. Conf. Approxim. Theory. – Varna, Sofia, 1972. – P. 297 – 308.
11. Lgbyç G. Y. O neravenstvax meΩdu stepenqmy lynejn¥x operatorov // Yzv. AN SSSR. Ser.
mat. – 1960. – 24. – S. 825 – 864.
12. Kupcov N. P. Kolmohorovskye ocenky dlq proyzvodn¥x v L2 0[ , )∞ // Tr. Mat. yn-ta AN
SSSR. – 1975. – 138. – S. 94 – 117.
13. Arestov V. V. Nayluçßee pryblyΩenye neohranyçenn¥x operatorov ohranyçenn¥my y
rodstvenn¥e πkstremal\n¥e zadaçy // Uspexy mat. nauk. – 1966. – 6. – S.489 – 124.
14. Babenko V. F., Kornejçuk N. P., Kofanov V. A., Pyçuhov S. A. Neravenstva dlq proyzvodn¥x
y yx pryloΩenyq. – Kyev: Nauk. dumka, 2003. – 592 s.
15. Tyxomyrov V. M., Maharyl-Yl\qev H. H. Neravenstva dlq proyzvodn¥x: Kommentaryy k
yzbrann¥m trudam A. N. Kolmohorova. – M.: Nauka, 1985. – S.4387 – 390.
16. Olovqnyßnykov V. M. O neravenstvax dlq verxnyx hranej posledovatel\n¥x proyzvodn¥x
na poluosy // Uspexy mat. nauk. – 1951. – 642, # 2. – S.4167 – 170.
17. Subbotyn G. N., Çern¥x N. Y. Neravenstva dlq proyzvodn¥x monotonn¥x funkcyj. – M.:
MY∏T, 2003. – S.4199 – 211.
18. Babenko V. F., Babenko Yu. V. About Kolmogorov type inequalities for functions defined on a
half-line // Abstrs Int. Conf. „Constructive Theory of Function” (Varna 2002). – Sofia: DARBA,
2003. – P. 205 – 208.
19. Babenko V. F., Babenko Yu. V. Kolmogorov inequalities for multiply monotone functions defined
on a half-line // East J. Approxim. – 2005. – 11, # 2. – P. 169 – 186.
20. Babenko V. F., Babenko Yu. V. The Kolmogorov inequality for absolutely monotone functions on a
half-line // Adv. Constr. Approxim. – 2003. – P. 63 – 74.
21. Krejn M. H., Nudel\man A. A. Problema momentov Markova y πkstremal\n¥e zadaçy. – M.:
Nauka, 1973. – 524 s.
Poluçeno 24.02.2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
|
| id | umjimathkievua-article-3389 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:41:36Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/37/aacdc3dc33b9a2f1c6a15cbb5ad5c437.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33892020-03-18T19:53:10Z On Kolmogorov-type inequalities for functions defined on a semiaxis O неравенствах типа Колмогорова для функций, определенных на полуоси Babenko, V. F. Skorokhodov, D. S. Бабенко, В. Ф. Скороходов, Д. С. Бабенко, В. Ф. Скороходов, Д. С. Necessary and sufficient conditions for the existence of a function from the class S - with prescribed values of integral norms of three successive derivatives (generally speaking, of a fractional order) are obtained. Встановлено необхідні i достатні умови існування функції класу S - із заданими інтегральними нормами трьох послідовних похідних (взагалі кажучи, дробового порядку). Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3389 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 10 (2007); 1299–1312 Український математичний журнал; Том 59 № 10 (2007); 1299–1312 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3389/3521 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3389/3522 Copyright (c) 2007 Babenko V. F.; Skorokhodov D. S. |
| spellingShingle | Babenko, V. F. Skorokhodov, D. S. Бабенко, В. Ф. Скороходов, Д. С. Бабенко, В. Ф. Скороходов, Д. С. On Kolmogorov-type inequalities for functions defined on a semiaxis |
| title | On Kolmogorov-type inequalities for functions defined on a semiaxis |
| title_alt | O неравенствах типа Колмогорова для функций, определенных на полуоси |
| title_full | On Kolmogorov-type inequalities for functions defined on a semiaxis |
| title_fullStr | On Kolmogorov-type inequalities for functions defined on a semiaxis |
| title_full_unstemmed | On Kolmogorov-type inequalities for functions defined on a semiaxis |
| title_short | On Kolmogorov-type inequalities for functions defined on a semiaxis |
| title_sort | on kolmogorov-type inequalities for functions defined on a semiaxis |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3389 |
| work_keys_str_mv | AT babenkovf onkolmogorovtypeinequalitiesforfunctionsdefinedonasemiaxis AT skorokhodovds onkolmogorovtypeinequalitiesforfunctionsdefinedonasemiaxis AT babenkovf onkolmogorovtypeinequalitiesforfunctionsdefinedonasemiaxis AT skorohodovds onkolmogorovtypeinequalitiesforfunctionsdefinedonasemiaxis AT babenkovf onkolmogorovtypeinequalitiesforfunctionsdefinedonasemiaxis AT skorohodovds onkolmogorovtypeinequalitiesforfunctionsdefinedonasemiaxis AT babenkovf oneravenstvahtipakolmogorovadlâfunkcijopredelennyhnapoluosi AT skorokhodovds oneravenstvahtipakolmogorovadlâfunkcijopredelennyhnapoluosi AT babenkovf oneravenstvahtipakolmogorovadlâfunkcijopredelennyhnapoluosi AT skorohodovds oneravenstvahtipakolmogorovadlâfunkcijopredelennyhnapoluosi AT babenkovf oneravenstvahtipakolmogorovadlâfunkcijopredelennyhnapoluosi AT skorohodovds oneravenstvahtipakolmogorovadlâfunkcijopredelennyhnapoluosi |