Integro-differential systems with fuzzy noise
For a controlled integro-differential equation with fuzzy noise, we introduce the notions of a fuzzy bundle of trajectories and a fuzzy reachability set and prove some properties of fuzzy bundles.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3391 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509473888534528 |
|---|---|
| author | Vasilkovskaya, V. S. Plotnikov, A. V. Васильковская, В. С Плотников, А. В. Васильковская, В. С Плотников, А. В. |
| author_facet | Vasilkovskaya, V. S. Plotnikov, A. V. Васильковская, В. С Плотников, А. В. Васильковская, В. С Плотников, А. В. |
| author_sort | Vasilkovskaya, V. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:53:10Z |
| description | For a controlled integro-differential equation with fuzzy noise, we introduce the notions of a fuzzy bundle of trajectories and a fuzzy reachability set and prove some properties of fuzzy bundles. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:41:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9
V. S. Vasyl\kovskaq, A. V. Plotnykov (Odes. akad. str-va y arxytektur¥)
YNTEHRO-DYFFERENCYAL|NÁE SYSTEMÁ
S NEÇETKYMY POMEXAMY
For a controlled integro-differential equation with fuzzy noise, we introduce notions of a fuzzy bundle of
trajectories and a fuzzy set of attainability and prove some properties of fuzzy bundles.
Dlq kerovanoho intehro-dyferencial\noho rivnqnnq z neçitkymy pereßkodamy vvedeno ponqttq
neçitkoho Ωmutka tra[ktorij i neçitko] mnoΩyny dosqΩnosti ta dovedeno deqki vlastyvosti
neçitkyx Ωmutkiv.
1.&&Vvedenye. Vperv¥e ponqtye neçetkoho mnoΩestva poqvylos\ v rabotax
Zadeh [1]. V rabotax O. Kaleva [2, 3] b¥ly rassmotren¥ dyfferencyal\n¥e
uravnenyq s neçetkymy naçal\n¥my uslovyqmy, a v stat\e J. Y. Park, H. K. Han
[4] — dyfferencyal\n¥e uravnenyq s neçetkoj pravoj çast\g. Tam b¥lo vve-
deno ponqtye reßenyq dlq takoho typa uravnenyj y dokazan¥ teorem¥ suwest-
vovanyq.
V dannoj stat\e vvodytsq ponqtye upravlqemoho yntehro-dyfferencyal\-
noho uravnenyq s neçetkymy parametramy v pravoj çasty y dokaz¥vagtsq neko-
tor¥e svojstva sootvetstvugwyx neçetkyx puçkov traektoryj s pomow\g pe-
rexoda k upravlqem¥m dyfferencyal\n¥m vklgçenyqm s neçetkoj pravoj
çast\g.
2. Osnovn¥e opredelenyq y oboznaçenyq. Pust\ Comp( )Rn
( Conv( )Rn )
— prostranstvo nepust¥x (v¥pukl¥x) kompaktn¥x podmnoΩestv evklydova
prostranstva R
n
s metrykoj Xausdorfa
h ( A, B ) = min ( ), ( )r A B S B A Sr r≥ ⊂ + ⊂ +{ }0 0 0 ,
hde A, B ⊂ Comp( )Rn
( yly Conv( )Rn ) , S ar( ) — ßar v Rn
radyusa r s
centrom v toçke a ∈ R
n
.
Rassmotrym sledugwug upravlqemug yntehro-dyfferencyal\nug systemu :
ẋ =
A t x K t s x s ds B t u C t t
t
( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + +∫
0
v , x ( 0 ) = 0, (1)
hde x ∈ R
n
— fazov¥j vektor, A ( t ) , B ( t ) , K ( t, s ) , C ( t ) — sootvetstvenno ( n ×
× n ) - , ( n × m ) - , ( n × n ) - y ( n × k ) - matryc¥, u ∈ U ( t ) — vektor upravlenyq,
U( )⋅ : R
1 → Conv( )Rm
— mnohoznaçnoe otobraΩenye, v ∈ R
k
— neopredelen-
n¥j parametr takoj, çto dlq vsex t ≥ 0 v ( t ) ∈ V , hde V — neçetkoe mnoΩestvo
s xarakterystyçeskoj funkcyej µ ( )⋅ : R
k → [ 0, 1 ] , kotor¥e udovletvorqgt
sledugwym uslovyqm.
PredpoloΩenye&1. 1. Matryc¥ A ( t ) , B ( t ) , C ( t ) yzmerym¥ na R
1
.
2. Suwestvugt konstant¥ a, b, c > 0 takye, çto A t( ) ≤ a, B t( ) ≤
≤ b, C t( ) ≤ c dlq poçty vsex t ∈ R
1
.
3. Matryca K ( t, s ) yzmeryma na R
1 × R
1
.
4. Suwestvuet konstanta l > 0 takaq, çto K t s( , ) ≤ l dlq poçty vsex
( t, s ) ∈ R
1 × R
1
.
5. Mnohoznaçnoe otobraΩenye U ( t ) yzmerymo na R
1
.
6. Suwestvuet konstanta d > 0 takaq, çto U t( ) ≤ d dlq poçty vsex
t ∈ R
1
.
© V. S. VASYL|KOVSKAQ, A. V. PLOTNYKOV, 2007
1322 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
YNTEHRO-DYFFERENCYAL|NÁE SYSTEMÁ S NEÇETKYMY POMEXAMY 1323
7. Xarakterystyçeskaq funkcyq µ ( )⋅ : R
k → [ 0, 1 ] udovletvorqgt uslo-
vyqm:
a) qvlqetsq modal\noj, t.-e. suwestvuet xotq b¥ odno y0 ∈ R
k
takoe, çto
µ ( )y0 = 1; µ ( )y neprer¥vna po y ;
b) dlq lgboho ε > 0 y y R y yk∈ ={ }\ ( )µ 1 s u westvugt ′y , ′′ ∈y Rk
takye, çto y y− ′ < ε, y y− ′′ < ε y µ ( )′y < µ ( )y < µ ( )′′y ;
c) mnoΩestvo cl y R yk∈ >{ }µ ( ) 0 kompaktno, cl( )P — zam¥kanye mno-
Ωestva P ⊂ R
k
.
Opredelenye&1. MnoΩestvo vsex yzmerym¥x selektorov U( )⋅ na [ 0, ∞ )
budem naz¥vat\ mnoΩestvom dopustym¥x upravlenyj y oboznaçat\ U.
Vvedem ponqtye α-srezky neçetkoho mnoΩestva.
Opredelenye&2 [4]. α -Srezkoj neçetkoho mnoΩestva V ( α ∈ [ 0, 1 ] ) nazo-
vem mnoΩestvo [ ]V α , opredelqemoe po formule
[ ]V α =
y R y
y R y
k
k
∈ ≥{ } ∈
∈ >{ } =
µ α α
µ α
( ) , ( , ],
( ) , .
esly
esly
0 1
0 0cl
Rassmotrym nekotor¥e svojstva α-srezky [ ]V α
.
Svojstvo&1. Yz uslovyq 7 predpoloΩenyq 1 sleduet:
1) dlq lgb¥x α1, α2 ∈ [ 0, 1 ] takyx, çto α1 > α2 , spravedlyvo vklgçenye
[ ]V α1 ⊂ [ ]V α2 ;
2) dlq lgboho 0 ≤ α ≤ 1 sootvetstvugwaq α-srezka neçetkoho mno-
Ωestva V qvlqetsq kompaktn¥m mnoΩestvom v R
k
.
Dokazatel\stvo. 1. Provedem dokazatel\stvo ot protyvnoho.
Rassmotrym proyzvol\n¥e α1, α2 ∈ [ 0, 1 ] takye, çto α1 > α2 . Predpolo-
Ωym, çto [ ]V α1 /⊂ [ ]V α2 . ∏to oznaçaet, çto najdetsq, po krajnej mere, odyn
takoj vektor y ∈ R
k
, çto y V∈[ ]α1 , no y V∉[ ]α2 . Esly y V∈[ ]α1 , to sohlasno
opredelenyg α-srezky µ ( )y > α1. Po uslovyg α1 > α2 , y, sledovatel\no,
µ ( )y > α2 . Otsgda sleduet, çto y V∈[ ]α1 , a πto protyvoreçyt naßemu pred-
poloΩenyg. Znaçyt, [ ]V α1 ⊂ [ ]V α2 .
2. DokaΩem zamknutost\ mnoΩestva [ ]V α . Rassmotrym posledovatel\nost\
{ }yn n
α
=
∞
1 ∈ [ ]V α , sxodqwugsq k nekotoromu y
α
∈ R
k
. DokaΩem, çto y
α
takΩe
prynadleΩyt [ ]V α . Poskol\ku yn
α
∈ [ ]V α , n = ∞1, , to µ α( )yn ≥ α . V sylu
neprer¥vnosty funkcyy µ ( )y po y poluçaem, çto µ α( )yn sxodytsq k µ α( )y
pry y yn
α α→ . Dalee, tak kak spravedlyvo sootnoßenye α ≤ µ α( )yn ≤ 1 (yz
opredelenyq funkcyy µ ), to, perexodq k predelu, ymeem α ≤ µ α( )yn ≤ 1. Ot-
sgda sleduet, çto y
α
∈ [ ]V α
, a πto dokaz¥vaet zamknutost\ mnoΩestva [ ]V α .
Tohda, tak kak dlq lgboho 0 < α ≤ 1 [ ] [ ] ( )V V Rkα ⊂ ∈0 Comp , ono takΩe
prynadleΩyt Comp( )Rk .
Svojstvo dokazano.
Rassmotrym neçetkoe yntehro-dyfferencyal\noe vklgçenye
ẋ ∈ A t x K t s x s ds B t u C t V
t
( ) ( , ) ( ) ( ) ( )+ + +∫
0
, x ( 0 ) = 0, (2)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
1324 V. S. VASYL|KOVSKAQ, A. V. PLOTNYKOV
kotoroe poluçaetsq yz system¥ (1) pry zamene parametra v( )t na neçetkoe mno-
Ωestvo V.
Systeme (2) postavym v sootvetstvye systemu
ẋ ∈ A t x K t s x s ds B t u C t V
t
( ) ( , ) ( ) ( ) ( )[ ]+ + +∫
0
α , x ( 0 ) = 0, (3)
hde [ ]V α
— nekotoraq α-srezka ( α ∈ [ 0, 1 ] ) neçetkoho mnoΩestva V.
V rezul\tate poluçaem upravlqemug yntehro-dyfferencyal\nug systemu s
mnohoznaçnoj pravoj çast\g. Takoho typa system¥ b¥ly rassmotren¥ v rabo-
tax [5, 6].
Oboznaçym çerez [ ( )]X u α
puçok traektoryj system¥ (3), sootvetstvugwyx
dopustymomu upravlenyg u( )⋅ , a çerez [ ( , )]X t u α
sootvetstvugwee seçenye
puçka [ ( )]X u α
v moment t > 0 ( α ∈ [ 0, 1 ] ) .
Vvedem ponqtyq neçetkoho puçka traektoryj dlq system¥ (2).
Opredelenye&3. Neçetkym puçkom traektoryj system¥ (2) nazovem
neçetkoe mnoΩestvo X ( u ) takoe, çto dlq lgboho t ≥ 0 α -srezky X ( t, u )
sovpadagt s seçenyem puçka traektoryj [ ( )]X u α
system¥ (3).
Opredelenye&4. Neçetkym yzmerym¥m mnohoznaçn¥m otobraΩenyem nazo-
vem otobraΩenye, lgbaq α-srezka kotoroho qvlqetsq yzmerym¥m mnohoznaç-
n¥m otobraΩenyem po Lebehu.
Opredelenye&5 [4]. Yntehralom ot neçetkoho mnoΩestva F ( t ) nazovem
mnoΩestvo F s ds
t
( )
0∫ , α -srezky kotoroho sovpadagt s yntehralom Aumanna
[7] ot α-srezky neçetkoho mnoΩestva F ( t ) , t.-e. v¥polnqetsq uslovye
F s ds
t
( )
0
∫
α
= [ ( )]F s ds
t
α
0
∫ =
= f s ds f R R f F
t
k( ) : , ( ) [ ( )]
0
1∫ → ⋅ ∈ ⋅
α . (4)
Rassmotrym sledugwug lemmu.
Lemma&1. Esly matryçnaq funkcyq D ( t ) , t ≥ 0, y neçetkoe mnoΩestvo V
s xarakterystyçeskoj funkcyej µ ( ⋅ ) udovletvorqgt uslovyqm:
1) D ( ⋅ ) yzmeryma po t na R+
1 = [ 0, + ∞ ) ;
2) suwestvuet funkcyq d ( ⋅ ) ∈ L R1
1( )+ takaq, çto dlq poçty vsex t ≥ 0
v¥polnqetsq neravenstvo D t( ) ≤ d ( t ) ;
3) xarakterystyçeskaq funkcyq µ ( ⋅ ) udovletvorqet uslovygNN7 yz pred-
poloΩenyqNN1,
to D s V ds
t
( )
0∫ suwestvuet dlq vsex t > 0.
Dokazatel\stvo. Sohlasno [4] (teoremaN2.3) yntehral D s V ds
t
( )
0∫ suwest-
vuet dlq vsex t > 0, esly neçetkoe mnohoznaçnoe otobraΩenye L ( t ) = D ( t ) V
yzmerymo y ohranyçeno nekotoroj yntehral\noj funkcyej ρ ( t ) . Sohlasno us-
lovygNN1 neçetkoe mnohoznaçnoe otobraΩenye L ( t ) yzmerymo, a yz uslovyjNN2
yNN3 y svojstvaNN1 sleduet, çto suwestvuet ρ ( t ) = d ( t ) v0 , hde v0 ≥ [ ]V 0 .
Lemma dokazana.
Opredelenye&6. Neçetkym absolgtno neprer¥vn¥m mnohoznaçn¥m otobra-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
YNTEHRO-DYFFERENCYAL|NÁE SYSTEMÁ S NEÇETKYMY POMEXAMY 1325
Ωenyem nazovem otobraΩenye, lgbaq α-srezka kotoroho qvlqetsq absolgtno
neprer¥vn¥m mnohoznaçn¥m otobraΩenyem.
Opredelenye&7. Neçetkoe mnoΩestvo nazovem kompaktn¥m, esly eho lgbaq
α-srezka qvlqetsq kompaktn¥m mnoΩestvom.
Opredelenye&8. Neçetkoe mnoΩestvo nazovem v¥pukl¥m, esly eho lgbaq
α-srezka qvlqetsq v¥pukl¥m mnoΩestvom.
3. Neçetkye puçok traektoryj y mnoΩestvo dostyΩymosty. DokaΩem
teoremu o svojstvax neçetkoho puçka traektoryj X ( u ) system¥ (2).
Teorema&1. Pry v¥polnenyy uslovyj predpoloΩenyqN1 dlq lgboho dopusty-
moho upravlenyq u ( ⋅ ) sootvetstvugwyj neçetkyj puçok X ( u ) system¥ (2)
udovletvorqet uslovyqm:
1) dlq vsex t > 0 neçetkoe mnohoznaçnoe otobraΩenye X ( t, u ) predsta-
vymo v vyde
X ( t, u ) =
0
t
s
t
t s t R s d B s u s ds∫ ∫+
Φ Φ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )τ τ τ +
+
0
t
s
t
t s t R s d C s V ds∫ ∫+
Φ Φ( , ) ( , ) ( , ) ( )τ τ τ , (5)
hde v pervom slahaemom sprava yntehral ponymaetsq v sm¥sle Lebeha, vo
vtorom slahaemom — v sm¥sle opredelenyqN5. Matryca Φ ( t, s ) — matryca
Koßy dyfferencyal\noho uravnenyq ẋ = A ( t ) x , R ( τ, s ) — rezol\venta, udov-
letvorqgwaq yntehral\nomu uravnenyg
R t s Q t s( , ) ( , )− =
s
t
Q t R s d∫ ( , ) ( , )τ τ τ, (6)
Q ( t, τ ) =
τ
ξ ξ τ ξ
t
K t d∫ ( , ) ( , )Φ ; (7)
2) dlq vsex t > 0 X ( t, u ) qvlqetsq v¥pukl¥m y kompaktn¥m neçetkym
mnoΩestvom;
3) pry kaΩdom dopustymom u ( ⋅ ) mnohoznaçnaq traektoryq X ( ⋅ , u ) qvlq-
etsq neçetkym absolgtno neprer¥vn¥m mnohoznaçn¥m otobraΩenyem;
4) dlq poçty vsex t > 0 y lgb¥x α 1, α2 ∈ [ 0, 1 ] takyx, çto α 1 > α2 ,
sootvetstvugwye α-srezky neçetkoho mnoΩestva X ( t, u ) udovletvorqgt
uslovyg
[ ( , )]X t u α1 ⊂ [ ( , )]X t u α2 .
Dokazatel\stvo. 1. Vo vtorom slahaemom v pravoj çasty v¥raΩenyq (5)
yntehral suwestvuet, tak kak neçetkoe mnohoznaçnoe otobraΩenye
Φ Φ( , ) ( , ) ( , ) ( )t s t R s d C s V
s
t
+
∫ τ τ τ
udovletvorqet predpoloΩenyqm lemm¥N1. Znaçyt, v¥raΩenye (5) ymeet sm¥sl.
Teper\ pokaΩem, çto neçetkoe seçenye puçka X ( t, u ) system¥ (2) predstavy-
mo v vyde (5). Vvedem oboznaçenye G ( t, s ) = Φ Φ( , ) ( , ) ( , )t s t R s d
s
t
+ ∫ τ τ τ .
Rassmotrym proyzvol\nug α-srezku pravoj çasty v¥raΩenyq (5):
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
1326 V. S. VASYL|KOVSKAQ, A. V. PLOTNYKOV
g t s B s u s C s V ds
t
( , ) ( ) ( ) ( )+( )
∫
0
α
=
= G t s B s u s ds G t s C s V ds
t t
( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )
0 0
∫ ∫
+
α α
=
= G t s B s u s ds G t s C s V ds
t t
( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )[ ]
0 0
∫ ∫+ α =
= G t s B s u s C s V ds
t
( , ) ( ) ( ) ( )[ ]+( )∫ α
0
.
Tohda poluçym
G t s B s u s C s V ds
t
( , ) ( ) ( ) ( )+( )
∫
0
α
= G t s B s u s C s V ds
t
( , ) ( ) ( ) ( )[ ]+( )∫ α
0
. (8)
Pravaq çast\ v¥raΩenyq (8) qvlqetsq seçenyem puçka traektoryj [ ( , )]X t u α
system¥ (3), çto sleduet yz opredelenyq samoho mnoΩestva [ ( , )]X t u α
y [8] .
Znaçyt, sohlasno opredelenygNN3 neçetkoe mnohoznaçnoe otobraΩenye X ( t, u )
predstavymo v vyde (5).
2. Dlq vsex t > 0 y lgboho α ∈ [ 0, 1 ] pokaΩem v¥puklost\ y kompakt-
nost\ α-srezky [ ( , )]X t u α
neçetkoho mnoΩestva X ( t, u ) .
Rassmotrym v¥raΩenye (8). Yz svojstv reßenyq yntehral\noho uravnenyq
(6) sleduet, çto rezol\venta R ( τ, s ) qvlqetsq neprer¥vnoj y, znaçyt, yzmery-
moj funkcyej. Matryca Koßy Φ ( t, s ) qvlqetsq yzmerymoj y absolgtno ne-
prer¥vnoj funkcyej kak reßenye dyfferencyal\noho uravnenyq ẋ = A ( t ) x .
Sledovatel\no, proyzvedenye Φ ( t, τ ) R ( τ, s ) qvlqetsq yzmerymoj funkcyej.
Takym obrazom, funkcyq G ( t, s ) qvlqetsq absolgtno neprer¥vnoj funkcyej
kak summa dvux absolgtno neprer¥vn¥x funkcyj.
Sohlasno v¥raΩenyg (8)
[ ( , )]X t u α = G t s B s u s C s V ds
t
( , ) ( ) ( ) ( )[ ]+( )∫ α
0
.
Poskol\ku pod¥ntehral\noe v¥raΩenye qvlqetsq yzmerym¥m y ohranyçenn¥m
mnohoznaçn¥m otobraΩenyem, to sohlasno teoreme Aumanna [9] o nepustote, v¥-
puklosty y kompaktnosty yntehrala ot mnohoznaçnoho otobraΩenyq poluçaem,
çto dlq vsex t > 0 y α ∈ [ 0, 1 ] α -srezka [ ( , )]X t u α
qvlqetsq kompaktn¥m y
v¥pukl¥m mnoΩestvom, çto vleçet za soboj kompaktnost\ y v¥puklost\ neçet-
koho mnoΩestva X ( t, u ) v sylu opredelenyjNN7 y 8.
3. Rassmotrym v¥raΩenye (8) v vyde
[ ( , )]X t u α = G t s B s u s ds G t s C s V ds
t t
( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )[ ]
0 0
∫ ∫+ α .
Oboznaçym I1 = G t s B s u s ds
t
( , ) ( ) ( )
0∫ , I2 = G t s C s V ds
t
( , ) ( )[ ]α
0∫ . Rassmotrym yn-
tehral I1 . Funkcyq G t s B s u s( , ) ( ) ( ) est\ proyzvedenye absolgtno neprer¥vnoj
funkcyy G ( t, s ) y yzmerymoj funkcyy B s u s( ) ( ) (sm.Np.N2) dokazatel\stva).
Znaçyt, I1 predstavlqet soboj absolgtno neprer¥vnug funkcyg kak yntehral
ot yzmerymoj funkcyy.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
YNTEHRO-DYFFERENCYAL|NÁE SYSTEMÁ S NEÇETKYMY POMEXAMY 1327
Rassmotrym yntehral I2 . Mnohoznaçnoe otobraΩenye G t s C s V( , ) ( )[ ]α
qvlq-
etsq proyzvedenyem absolgtno neprer¥vnoj matryçnoj funkcyy G ( t, s ) y
yzmerymoho mnohoznaçnoho otobraΩenyq C s V( )[ ]α . Takym obrazom, I2 pod zna-
kom yntehrala soderΩyt yzmerymoe mnohoznaçnoe otobraΩenye y, sledovatel\-
no, qvlqetsq absolgtno neprer¥vn¥m mnohoznaçn¥m otobraΩenyem [10]. Tohda
α-srezka [ ( , )]X t u α
neçetkoho mnoΩestva X ( t, u ) predstavlqet soboj abso-
lgtno neprer¥vnoe mnohoznaçnoe otobraΩenye. V sylu opredelenyqNN6 otobra-
Ωenye X ( t, u ) qvlqetsq neçetkym absolgtno neprer¥vn¥m mnohoznaçn¥m otob-
raΩenyem, çto y trebovalos\ dokazat\.
4. Yspol\zuq vvedenn¥e v¥ße oboznaçenyq y opredelenye yntehrala Auman-
na [7], seçenyq puçkov [ ( , )]X t u α1
y [ ( , )]X t u α2
zapyßem v vyde
[ ( , )]X t u α1 = G t s B s u s ds C s V ds
t
( , ) ( ) ( ) ( )[ ]+( )∫ α1
0
y
[ ( , )]X t u α2 = G t s B s u s ds C s V ds
t
( , ) ( ) ( ) ( )[ ]+( )∫ α2
0
.
Sohlasno svojstvuNN1 spravedlyvo uslovye [ ] [ ]V Vα α1 2⊂ . ∏to znaçyt, çto
mnoΩestvo G t s B s u s ds C s V( , ) ( ) ( ) ( )[ ]+( )α2
soderΩyt vse vetvy mnoΩestva
G t s B s u s ds C s V( , ) ( ) ( ) ( )[ ]+( )α1 . Otsgda v¥tekaet, çto [ ( , )] [ ( , )]X t u X t uα α1 2⊂ ,
çto y trebovalos\ dokazat\.
Teorema dokazana.
Rassmotrym teoremu o ravenstve seçenyj neçetkyx puçkov traektoryj.
Teorema&2. Pry v¥polnenyy uslovyj predpoloΩenyqN1 dlq lgb¥x dvux ne-
çetkyx mnoΩestv V1 y V2 takyx, çto dlq lgboho α ∈ [ 0, 1 ] conv [ ]V1
α =
= conv [ ]V2
α , lgboho dopustymoho upravlenyq u( )⋅ sootvetstvugwye neçet-
kye puçky X u1( ) y X u2( ) system¥ (2) udovletvorqgt uslovyg X t u1( , ) =
= X t u2( , ) dlq vsex t ≥ 0.
Dokazatel\stvo. V sylu v¥raΩenyq (8) y svojstva yntehrala Aumanna [7],
sohlasno kotoromu dlq lgboho mnohoznaçnoho otobraΩenyq F( )⋅ : R
1 →
→ Comp( )Rn , yntehryruemoho po Aumannu, v¥polnqetsq svojstvo
F t dt
T
( )
0
∫ = conv F t dt
T
( )
0
∫ = conv F t dt
T
( )
0
∫ ,
poluçaem [ ( , )]X t u1
α = [ ( , )]X t u2
α
dlq lgboho α ∈ [ 0, 1 ] . ∏to v svog oçered\
vleçet za soboj ravenstvo sootvetstvugwyx neçetkyx puçkov, t. e .
X t u1( , ) = X t u2( , ), çto y trebovalos\ dokazat\.
Dadym opredelenye mnoΩestva dostyΩymosty dlq upravlqemoj system¥ (3)
s mnohoznaçnoj pravoj çast\g.
Opredelenye&9 [6]. MnoΩestvom dostyΩymost [ Y ( T ) ]
α
system¥ (3) na-
zovem mnoΩestvo vsex mnoΩestv yz Comp( )Rn , v kotor¥e moΩno perevesty
systemu (3) yz naçal\noho sostoqnyq x0 s pomow\g dopustym¥x upravlenyj
za vremq T, t. e.
[ Y ( T ) ]
α = { }[ ( , )] ( ) ( )X T u u Uα ⋅ ∈ ⋅ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
1328 V. S. VASYL|KOVSKAQ, A. V. PLOTNYKOV
Na osnovanyy dannoho opredelenyq vvedem opredelenye mnoΩestva dosty-
Ωymosty dlq neçetkoj system¥ (2).
Opredelenye&10. Neçetkym mnoΩestvom dostyΩymosty Y ( T ) system¥
(2) nazovem mnoΩestvo vsex neçetkyx mnoΩestv, α -srezky kotoroho sovpada-
gt s [ Y ( T ) ]
α
dlq vsex α ∈ [ 0, 1 ] .
Rassmotrym y dokaΩem sledugwye svojstva neçetkoho mnoΩestva dostyΩy-
mosty.
Teorema&3. Pry v¥polnenyy uslovyj predpoloΩenyqN1 neçetkoe mnoΩestvo
dostyΩymosty Y ( T ) system¥ (2) qvlqetsq v¥pukl¥m y kompaktn¥m.
Dokazatel\stvo. 1. DokaΩem vnaçale v¥puklost\ mnoΩestva Y ( T ) . Ras-
smotrym proyzvol\n¥e dopustym¥e upravlenyq u t1( ) , u t2( ) ∈ U ( T ) . Dann¥m
upravlenyqm sootvetstvugt neçetkye seçenyq puçkov traektoryj X T u( , )1 ,
X T u( , )2 ∈ Y ( T ) sootvetstvenno.
Vvedem oboznaçenye G ( t, s ) = Φ Φ( , ) ( , ) ( , )t s t R s d
s
t
+ ∫ τ τ τ . Tohda
X T u( , )1 = G t s B s u s ds G t s C s V ds
t t
( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )1
0 0
∫ ∫+ ,
X T u( , )2 = G t s B s u s ds G t s C s V ds
t t
( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )2
0 0
∫ ∫+ .
Rassmotrym v¥puklug kombynacyg Xβ = β βX T u X T u( , ) ( ) ( , )1 21+ − , β ∈ ( 0, 1 ) ,
y pokaΩem, çto Xβ ∈ Y ( T ) :
β βX T u X T u( , ) ( ) ( , )1 21+ − =
= β G t s B s u s ds G t s C s V ds
t t
( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )1
0 0
∫ ∫+
+
+ ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )1 2
0 0
− +
∫ ∫β G t s B s u s ds G t s C s V ds
t t
=
= β βG t s B s u s ds G t s B s u s ds
t t
( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )1
0
2
0
1∫ ∫+ − +
+ β βG t s C s V ds G t s C s V ds
t t
( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )
0 0
1∫ ∫+ − .
Rassmotrym dva perv¥x slahaem¥x:
β βG t s B s u s ds G t s B s u s ds
t t
( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )1
0
2
0
1∫ ∫+ − =
= G t s B s u s ds G t s B s u s ds
t t
( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )( ) ( )β β1
0
2
0
1∫ ∫+ − =
= G t s B s u s u s ds
t
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )β β1 2
0
1+ −( )∫ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
YNTEHRO-DYFFERENCYAL|NÁE SYSTEMÁ S NEÇETKYMY POMEXAMY 1329
V sylu v¥puklosty mnoΩestva U ( t ) dlq poçty vsex t ≥ 0 suwestvuet nekoto-
roe upravlenye u tβ( ) takoe, çto u tβ( ) = β βu t u t1 21( ) ( ) ( )+ − .
V sylu v¥puklosty yntehrala G t s C s V ds
t
( , ) ( )
0∫ (po teoremeN1) spravedlyvo
sledugwee:
β βG t s C s V ds G t s C s V ds
t t
( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )
0 0
1∫ ∫+ − = G t s C s V ds
t
( , ) ( )
0
∫ .
Otsgda sleduet
β βX T u X T u( , ) ( ) ( , )1 21+ − =
= G t s B s u s ds G t s C s V ds
t t
( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )β
0 0
∫ ∫+ , (9)
t. e. tak kak u Uβ( )⋅ ∈ , to suwestvuet nekotoroe seçenye X T u( , )β = Xβ ∈ Y ( T ) .
Znaçyt, mnoΩestvo Y ( T ) qvlqetsq v¥pukl¥m, çto y trebovalos\ dokazat\.
2. DokaΩem kompaktnost\ mnoΩestva Y ( T ) . Po opredelenygNN7 neçetkoe
mnoΩestvo kompaktno, esly kompaktna lgbaq eho α -srezka. Dlq proyzvol\no-
ho α ∈ [ 0, 1 ] rassmotrym mnoΩestvo
[ Y ( T ) ]
α = { }[ ( , )] ( ) ( )X T u u Uα ⋅ ∈ ⋅ .
Rassmotrym proyzvol\nug posledovatel\nost\ { }[ ( , )]X T uk k
α
=
∞
1 ∈ [ Y ( T ) ]
α,
sxodqwugsq k nekotoromu X̃ . TakΩe rassmotrym sootvetstvugwug posledo-
vatel\nost\ upravlenyj { }( )uk k⋅ =
∞
1 ∈ U . V sylu teorem¥NN19.7.2 [11] yz nee moΩ-
no v¥delyt\ slabo sxodqwugsq podposledovatel\nost\ { }( )uk pp
⋅ =
∞
1, yz koto-
roj, v svog oçered\, po teoreme Mazura [12] moΩno v¥delyt\ posledovatel\-
nost\ { }( )uk sps
⋅ =
∞
1, syl\no sxodqwugsq k nekotoromu upravlenyg ˜( )u ⋅ .
Rassmotrym predel
lim [ ( , )]
˜u u
k
kps
ps
X T u
→
α = [ ( , ˜)]X T u α = X̃ ∈ [ Y ( T ) ]
α,
çto oznaçaet zamknutost\ mnoΩestva [ Y ( T ) ]
α.
Dalee, rassmotrym dyfferencyal\noe vklgçenye
ẋ = A t x K t s x s ds B t U t C t V
t
( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]+ + +∫
0
α , x ( 0 ) = 0. (10)
Oboznaçym çerez [ Z ( T ) ]
α
seçenye puçka traektoryj dyfferencyal\noho
vklgçenyq (10). Oçevydno, çto
[ Z ( T ) ]
α = G t s B s U s ds G t s C s V ds
t t
( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )[ ]
0 0
∫ ∫+ α
y [ Z ( T ) ]
α ⊂ Conv( )Rn . Çerez Ω oboznaçym mnoΩestvo, πlementamy kotoroho
qvlqgtsq vse kompaktn¥e mnoΩestva, vxodqwye v [ Z ( T ) ]
α. MnoΩestvo Ω qv-
lqetsq kompaktn¥m [13, c. 102]. A tak kak [ Y ( T ) ]
α
qvlqetsq zamknut¥m pod-
mnoΩestvom Ω, to mnoΩestvo [ Y ( T ) ]
α
qvlqetsq kompaktn¥m.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
1330 V. S. VASYL|KOVSKAQ, A. V. PLOTNYKOV
Yz pervoj y vtoroj çastej dokazatel\stva sleduet, çto neçetkoe mnoΩestvo
dostyΩymosty Y ( T ) qvlqetsq v¥pukl¥m y kompaktn¥m neçetkym mnoΩestvom.
Teorema dokazana.
1. Zadeh L . A. Fuzzy sets // Inf. Control. – 1965 – 8. – P. 338 – 353.
2. Kaleva O. Fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems. – 1987. – 24 , # 3. –
P. 301 – 317.
3. Kaleva O. The Cauchy problem for fuzzy differential equations // Ibid. – 1990. – 35 . –
P. 389 – 396.
4. Park J. Y., Han H. K. Existence and uniqueness theorem for solution of fuzzy differential equations
// Int. J. Math. and Math. Sci. – 1999. – 22, # 2. – P. 271 – 279.
5. Otakulov S. Zadaçy optymyzacyy dlq upravlqem¥x dyfferencyal\n¥x vklgçenyj: Dys.
… d-ra fyz.-mat. nauk. – Taßkent, 1993. – 270Ns.
6. Plotnykov A. V. Yssledovanye nekotor¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj s mnohoznaçnoj
pravoj çast\g: Dys. … d-ra fyz.-mat. nauk. – Odessa, 1994. – 198Ns.
7. Aumann R. J. Integrals of the set-valued functions // J. Math. Anal. and Appl. – 1965. – # 12. –
P. 1 – 12.
8. Lando G. K. ∏lement¥ matematyçeskoj teoryy upravlenyq dvyΩenyem. – M.: Prosvewe-
nye, 1984. – 88Ns.
9. Aumann R. J. Measurable utility and the measurable choice theorem // Proc. Int. Colloq. La Deci-
sion. – 1967. – P. 15 – 26.
10. Arstein Z., Burne J. A. Integration of compact set-valued functions // Pacif. J. Math. – 1975. – 58,
# 2. – P. 296 – 307.
11. Trenohyn V. A. Funkcyonal\n¥j analyz. – M.: Nauka, 1980. – 495 s.
12. Lgsternyk L. A., Sobolev V. Y. Kratkyj kurs funkcyonal\noho analyza. – M.: V¥sß. ßk.,
1982. – 271 s.
13. Polovynkyn E. S. ∏lement¥ teoryy mnohoznaçn¥x otobraΩenyj. – M.: Yzd-vo MFTY, 1982.
– 127 s.
Poluçeno 19.12.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
|
| id | umjimathkievua-article-3391 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:41:40Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/47/5b23784104b8697f16501397e3b10247.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33912020-03-18T19:53:10Z Integro-differential systems with fuzzy noise Интегро-дифференциальные системы с нечеткими помехами Vasilkovskaya, V. S. Plotnikov, A. V. Васильковская, В. С Плотников, А. В. Васильковская, В. С Плотников, А. В. For a controlled integro-differential equation with fuzzy noise, we introduce the notions of a fuzzy bundle of trajectories and a fuzzy reachability set and prove some properties of fuzzy bundles. Для керованого інтегро-диференціального рівняння з нечіткими перешкодами введено поняття нечіткого жмутка траєкторій і нечіткої множини досяжності та доведено деякі властивості нечітких жмутків. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3391 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 10 (2007); 1322–1330 Український математичний журнал; Том 59 № 10 (2007); 1322–1330 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3391/3525 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3391/3526 Copyright (c) 2007 Vasilkovskaya V. S.; Plotnikov A. V. |
| spellingShingle | Vasilkovskaya, V. S. Plotnikov, A. V. Васильковская, В. С Плотников, А. В. Васильковская, В. С Плотников, А. В. Integro-differential systems with fuzzy noise |
| title | Integro-differential systems with fuzzy noise |
| title_alt | Интегро-дифференциальные системы с нечеткими помехами |
| title_full | Integro-differential systems with fuzzy noise |
| title_fullStr | Integro-differential systems with fuzzy noise |
| title_full_unstemmed | Integro-differential systems with fuzzy noise |
| title_short | Integro-differential systems with fuzzy noise |
| title_sort | integro-differential systems with fuzzy noise |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3391 |
| work_keys_str_mv | AT vasilkovskayavs integrodifferentialsystemswithfuzzynoise AT plotnikovav integrodifferentialsystemswithfuzzynoise AT vasilʹkovskaâvs integrodifferentialsystemswithfuzzynoise AT plotnikovav integrodifferentialsystemswithfuzzynoise AT vasilʹkovskaâvs integrodifferentialsystemswithfuzzynoise AT plotnikovav integrodifferentialsystemswithfuzzynoise AT vasilkovskayavs integrodifferencialʹnyesistemysnečetkimipomehami AT plotnikovav integrodifferencialʹnyesistemysnečetkimipomehami AT vasilʹkovskaâvs integrodifferencialʹnyesistemysnečetkimipomehami AT plotnikovav integrodifferencialʹnyesistemysnečetkimipomehami AT vasilʹkovskaâvs integrodifferencialʹnyesistemysnečetkimipomehami AT plotnikovav integrodifferencialʹnyesistemysnečetkimipomehami |