On some groups all subgroups of which are nearly pronormal
A subgroup $H$ of a group $G$ is said to be nearly pronormal in $G$ if, for each subgroup $L$ of the group $G$ including H, the normalizer $N_L ( H)$ is contranormal in $L$. We prove that if $G$ is a (generalized) soluble group in which every subgroup is nearly pronormal, then all subgroups of $G$ a...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3392 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509474823864320 |
|---|---|
| author | Vincenzi, G. Kurdachenko, L. A. Russo, A. Винчензи, Дж. Курдаченко, Л. А. Руссо, А. Винчензи, Дж. Курдаченко, Л. А. Руссо, А. |
| author_facet | Vincenzi, G. Kurdachenko, L. A. Russo, A. Винчензи, Дж. Курдаченко, Л. А. Руссо, А. Винчензи, Дж. Курдаченко, Л. А. Руссо, А. |
| author_sort | Vincenzi, G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:53:10Z |
| description | A subgroup $H$ of a group $G$ is said to be nearly pronormal in $G$ if, for each subgroup $L$ of the group $G$ including H, the normalizer $N_L ( H)$ is contranormal in $L$. We prove that if $G$ is a (generalized) soluble group in which every subgroup is nearly pronormal, then all subgroups of $G$ are pronormal. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:41:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 512.544
DΩ. Vynçenzy (Un-t Salerno, Ytalyq),
L. A. Kurdaçenko (Dnepropetr. nac. un-t),
A. Russo (Vtoroj un-t Neapolq, Ytalyq)
O NEKOTORÁX HRUPPAX, VSE PODHRUPPÁ
KOTORÁX BLYZKY K PRONORMAL|NÁM
A subgroup H of a group G is said to be nearly pronormal in G if, for each subgroup L of the group
G including H, the normalizer NL ( H ) is contranormal in L . We prove that if G is a (generalized)
soluble group in which every subgroup is nearly pronormal, then all subgroups of G are pronormal.
Pidhrupa H hrupy G nazyva[t\sq nablyΩeno pronormal\nog v G, qkwo dlq koΩno] pidhrupy
L hrupy G, wo mistyt\ u sobi H, normalizator NL ( H ) [ kontranormal\nym v L. Dovedeno, wo
qkwo G — (uzahal\neno) rozv’qzna hrupa, v qkij koΩna pidhrupa [ nablyΩeno pronormal\nog,
to vsi pidhrupy G pronormal\ni.
Podhruppa H hrupp¥ G naz¥vaetsq pronormal\noj v G, esly podhrupp¥ H
y Hg
soprqΩen¥ v 〈 H, Hg
〉 dlq lgboho πlementa g ∈ G . Pronormal\n¥e pod-
hrupp¥ estestvenn¥m obrazom voznykly v processe yzuçenyq takyx vaΩn¥x ty-
pov podhrupp koneçn¥x (razreßym¥x) hrupp, kak sylovskye y xollovskye pod-
hrupp¥, systemn¥e normalyzator¥ y karterov¥ podhrupp¥. Termyn „pronor-
mal\naq podhruppa” b¥l vveden v rassmotrenye F. Xollom bolee trydcaty let
nazad, y perv¥e rezul\tat¥ o pronormal\n¥x podhruppax poqvylys\ v stat\e
D.;Rousa [1]. V koneçn¥x, osobenno razreßym¥x, hruppax svojstva pronormal\-
n¥x podhrupp, yx vaΩn¥e xarakteryzacyy y yx vzaymootnoßenyq s druhymy
vaΩn¥my typamy podhrupp b¥ly yzuçen¥ oçen\ detal\no. Odnymy yz vaΩn¥x
typov podhrupp, svqzann¥x s pronormal\n¥my, qvlqgtsq sledugwye.
Podhruppa H hrupp¥ G naz¥vaetsq abnormal\noj v G, esly g ∈ 〈 H, Hg
〉
dlq lgboho πlementa g ∈ G. Abnormal\n¥e podhrupp¥ vperv¥e b¥ly rassmot-
ren¥ F. Xollom [2], no sam termyn „abnormal\naq podhruppa” b¥l vveden v ras-
smotrenye R. Karterom [3]. Abnormal\n¥e hrupp¥ qvlqgtsq samonormalyzue-
m¥my, tak çto abnormal\nost\ — real\n¥j antypod normal\nosty. Oçevydno,
lgbaq abnormal\naq podhruppa pronormal\na y lgbaq nenormal\naq maksy-
mal\naq podhruppa abnormal\na. Bolee toho, esly H — abnormal\naq pod-
hruppa v G, to HG = H.
Sleduq D. Rousu [4], nazovem podhruppu H hrupp¥ G kontranormal\noj,
esly HG = H. Takym obrazom, lgbaq abnormal\naq podhruppa kontranormal\-
na, no obratnoe verno daleko ne vsehda. Tak, lokal\no nyl\potentn¥e hrupp¥
ne vklgçagt v sebq sobstvenn¥x abnormal\n¥x podhrupp, no v toΩe vremq yme-
gt kontranormal\n¥e podhrupp¥. Naprymer, esly G = 〈 b, an | a1
2 = 1, an +1
2 = an ,
b2 = 1, an
b = an
−1, n ∈ N 〉 — beskoneçnaq dyπdral\naq hruppa, to ona, oçevydno,
hypercentral\na, a ee podhruppa 〈 b 〉 kontranormal\na. Esly H — pronor-
mal\naq podhruppa hrupp¥ G, to NG ( H ) abnormal\na v G (sm., naprymer, [5],
lemmu I.6.21); v çastnosty, NG ( H ) kontranormal\na v G. Bolee toho, esly K
— podhruppa, vklgçagwaq v sebq H, to NK ( H ) abnormal\na v K y, sledova-
tel\no, NK ( H ) kontranormal\na v K.
Podhruppu H hrupp¥ G nazovem pryblyΩenno pronormal\noj, esly NK ( H )
kontranormal\na v kaΩdoj podhruppe K, vklgçagwej k sebq H. Kak moΩno
vydet\, pryblyΩenno pronormal\n¥e podhrupp¥ qvlqgtsq obobwenyem pro-
normal\n¥x podhrupp.
V beskoneçn¥x hruppax yssledovanyq pronormal\n¥x y svqzann¥x s nymy
podhrupp b¥ly naçat¥ v rabotax N. F. Kuzennoho y Y. Q. Subbotyna [6 – 9].
© DÛ. VYNÇENZY, L. A. KURDAÇENKO, A. RUSSO, 2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10 1331
1332 DÛ. VYNÇENZY, L. A. KURDAÇENKO, A. RUSSO
Vmeste s tem ynteres k takoho roda podhruppam voznyk v svqzy s yssledovanyq-
my Z. Y. Borevyça y eho uçenykov v beskoneçn¥x lynejn¥x hruppax nad kol\ca-
my. V obzore [10] M. S. Ba y Z. Y. Borevyç rassmotrely oçen\ mnoho ynteresn¥x
typov podhrupp, voznykagwyx v processe πtyx yssledovanyj, a takΩe yx vzaym-
n¥e svqzy. Yssledovanyq podhrupp, svqzann¥x s pronormal\n¥my, b¥ly pro-
dolΩen¥ v seryy statej F. de Ûyovanny y DΩ. Vynçenzy (sm. obzor. [11]), a
takΩe druhyx avtorov (sm., naprymer, [12 – 14]).
V rabote [6] dano opysanye obobwenno razreßym¥x hrupp, vse podhrupp¥ ko-
tor¥x pronormal\n¥. ∏ty hrupp¥ oçen\ tesno svqzan¥ s hruppamy, v kotor¥x
otnoßenye normal\nosty tranzytyvno. Napomnym, çto hruppa G naz¥vaetsq
T-hruppoj, esly kaΩdaq subnormal\naq podhruppa G budet normal\noj. Hrup-
pa G naz¥vaetsq T -hruppoj, esly kaΩdaq podhruppa G qvlqetsq T-hruppoj.
Stroenye koneçn¥x razreßym¥x T-hrupp opysano V. Haßgcem [15]. V çastnos-
ty, okazalos\, çto lgbaq koneçnaq T-hruppa qvlqetsq T -hruppoj. Stroenye
beskoneçn¥x razreßym¥x T-hrupp yzuçalos\ D. Robynsonom [16]. Otmetym, çto
razreßym¥e T-hrupp¥ metabelev¥, a neperyodyçeskye razreßym¥e T-hrupp¥
abelev¥. V rabote [9] b¥lo pokazano, çto esly lgbaq cyklyçeskaq podhruppa
lokal\no razreßymoj hrupp¥ G pronormal\na, to G qvlqetsq T -hruppoj. V
πtoj svqzy estestvenno voznykaet vopros o stroenyy hrupp, vse podhrupp¥ (so-
otvetstvenno, vse cyklyçeskye podhrupp¥) kotor¥x pryblyΩenno pronormal\-
n¥. Yzuçenye takyx hrupp y qvlqetsq cel\g dannoj rabot¥.
Lemma 1. Pust\ G — hruppa, vse cyklyçeskye podhrupp¥ kotoroj prybly-
Ωenno pronormal\n¥.
1. Esly H — podhruppa G , to lgbaq cyklyçeskaq podhruppa H prybly-
Ωenno pronormal\na v H.
2. Esly L — normal\naq podhruppa G, to lgbaq cyklyçeskaq podhruppa
G / L pryblyΩenno pronormal\na v G / L.
3. Esly H — podhruppa G , L — normal\naq podhruppa H , to lgbaq
cyklyçeskaq podhruppa H / L pryblyΩenno pronormal\na v H / L.
Dokazatel\stvo. Pervoe utverΩdenye oçevydno. DokaΩem vtoroe. Pust\
C / L — proyzvol\naq cyklyçeskaq podhruppa G / L y K / L — podhruppa, vklg-
çagwaq v sebq C / L. Tohda C / L = 〈 c L 〉 dlq nekotoroho πlementa c ∈ G .
Poskol\ku podhruppa 〈 c 〉 pryblyΩenno pronormal\na, to K = ( NK ( 〈 c 〉 ) )
K
.
Vklgçenye NK / L ( C / L ) ≥ NK ( 〈 c 〉 ) L / L pokaz¥vaet, çto podhruppa NK / L ( C / L )
kontranormal\na v K / L. ∏to y oznaçaet, çto C / L pryblyΩenno pronormal\na
v G / L. Poslednee utverΩdenye qvlqetsq sledstvyem perv¥x dvux.
Lemma 2. Pust\ G — hruppa, vse cyklyçeskye podhrupp¥ kotoroj prybly-
Ωenno pronormal\n¥. Esly H — podhruppa G , a L — takaq normal\naq
podhruppa H, çto H / L lokal\no nyl\potentna, to sekcyq H / L dedekyn-
dova.
Dokazatel\stvo. PredpoloΩym snaçala, çto H / L nyl\potentna. Pust\
C / L — proyzvol\naq ee cyklyçeskaq podhruppa. V sylu lemm¥ 1 podhruppa
C / L pryblyΩenno pronormal\na v H / L. Dopustym, çto C / L ne budet nor-
mal\noj podhruppoj v H / L. Tohda K / L = NH / L ( C / L ) ≠ H / L. Yz nyl\potent-
nosty H / L sleduet, çto podhruppa K / L subnormal\na v H / L. Poπtomu v H / L
suwestvuet sobstvennaq normal\naq podhruppa D / L, vklgçagwaq v sebq K / L.
No tohda ( K / L )
H / L ≤ D / L ≠ H / L. Poluçennoe protyvoreçye pokaz¥vaet, çto
lgbaq cyklyçeskaq podhruppa H / L normal\na v H / L. ∏to vleçet za soboj
normal\nost\ v H / L y lgboj ee podhrupp¥.
PredpoloΩym teper\, çto H / L lokal\no nyl\potentna. V sylu lemm¥ 1 y
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
O NEKOTORÁX HRUPPAX, VSE PODHRUPPÁ KOTORÁX BLYZKY … 1333
dokazannoho v¥ße lgbaq koneçnoporoΩdennaq podhruppa H / L budet dedekyn-
dovoj. V çastnosty, lgbaq koneçnoporoΩdennaq podhruppa H / L nyl\potentna
stupeny nyl\potentnosty ne v¥ße 2 (sm., naprymer, [17], predloΩenye 5.3.7).
Tohda y H / L nyl\potentna stupeny nyl\potentnosty ne v¥ße 2. Sohlasno do-
kazannomu v¥ße H / L budet dedekyndovoj.
Sledstvye 1. Pust\ G — hruppa, vse cyklyçeskye podhrupp¥ kotoroj
pryblyΩenno pronormal\n¥. Esly H — podhruppa G , a L — takaq nor-
mal\naq podhruppa H, çto sekcyq H / L neperyodyçeskaq lokal\no nyl\po-
tentna, to H / L budet abelevoj.
V sylu lemm¥ 2 dlq dokazatel\stva dostatoçno lyß\ otmetyt\, çto nepery-
odyçeskaq dedekyndova hruppa abeleva (sm., naprymer, [17], predloΩenye 5.3.7).
Sledstvye 2. Pust\ G — hruppa, vse cyklyçeskye podhrupp¥ kotoroj
pryblyΩenno pronormal\n¥. Esly H — podhruppa G , a L — takaq nor-
mal\naq podhruppa H, çto sekcyq H / L peryodyçeskaq lokal\no nyl\potent-
na y 2 ∉ Π ( H / L ), to H / L budet abelevoj.
V sylu lemm¥ 2 dlq dokazatel\stva dostatoçno lyß\ otmetyt\, çto peryo-
dyçeskaq dedekyndova hruppa, ne ymegwaq πlementov porqdka 2, abeleva (sm.,
naprymer, [17], predloΩenye 5.3.7).
Lemma 3. Pust\ G — hruppa, vse cyklyçeskye podhrupp¥ kotoroj prybly-
Ωenno pronormal\n¥. Esly H , K — takye podhrupp¥ G, çto H normal\na v
K y K / H lokal\no nyl\potentna, to lgbaq normal\naq v H cyklyçeskaq
podhruppa budet K-ynvaryantnoj.
Dokazatel\stvo. Pust\ C — normal\naq v H cyklyçeskaq podhruppa,
tak çto NK ( C ) ≥ H. Yz lemm¥ 1 sleduet, çto K / H dedekyndova, v çastnosty
nyl\potentna (sm., naprymer, [17], predloΩenye 5.3.7). Buduçy kontranormal\-
noj v K, NK ( C ) ne moΩet sovpadat\ s H. PredpoloΩym, çto C ne normal\na
v K, t. e. D = NK ( H ) ≠ K. Takym obrazom, D / H — needynyçnaq sobstvennaq
podhruppa K / H. Yz ravenstva DK = K sleduet ravenstvo ( D / H )
K
/
H = K / H.
Poskol\ku K / H nyl\potentna, to, kak m¥ vydely v¥ße, ona ne moΩet vklg-
çat\ sobstvenn¥x kontranormal\n¥x podhrupp. ∏to protyvoreçye pokaz¥vaet,
çto C normal\na v K.
Sledstvye 1. Pust\ G — hruppa, vse cyklyçeskye podhrupp¥ kotoroj
pryblyΩenno pronormal\n¥. Pust\, dalee, H, K — takye podhrupp¥ G, çto
suwestvuet vozrastagwyj rqd
H = H0 � H1 � … � Hα � Hα +1 � … � H γ = K,
soedynqgwyj H y K, faktor¥ Hα +1 / Hα kotoroho lokal\no nyl\potent-
n¥ pry lgbom α < γ. Tohda lgbaq normal\naq v H cyklyçeskaq podhruppa
budet K-ynvaryantnoj.
Dokazatel\stvo. Pust\ C — normal\naq v H cyklyçeskaq podhruppa.
Vospol\zuemsq yndukcyej po γ. Esly γ = 1, to rezul\tat sleduet yz lemm¥ 3.
PredpoloΩym, çto γ > 1 y uΩe dokazana normal\nost\ podhrupp¥ C v Hα dlq
vsex α < γ. Esly γ — predel\noe porqdkovoe çyslo, to Hγ =
α γ α<∪ H y, oçe-
vydno, C normal\na v Hγ = K. Pust\ teper\ γ – 1 suwestvuet y poloΩym L =
= Hγ – 1 . Ynduktyvnoe dopuwenye pokaz¥vaet, çto C normal\na v L . Poskol\-
ku K / L lokal\no nyl\potentna, lemma 3 pokaz¥vaet, çto C normal\na v K.
Sledstvye 2. Pust\ G — hruppa, vse cyklyçeskye podhrupp¥ kotoroj
pryblyΩenno pronormal\n¥. Pust\, dalee, H, K — takye podhrupp¥ G, çto
H — vosxodqwaq podhruppa K, a K radykal\na. Esly C — cyklyçeskaq nor-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
1334 DÛ. VYNÇENZY, L. A. KURDAÇENKO, A. RUSSO
mal\naq podhruppa H, to C — K ynvaryantna.
Dokazatel\stvo. Pust\
H = H0 � H1 � … � Hα � Hα +1 � … � Hγ = K
— vozrastagwyj rqd meΩdu H y K. Yz toho, çto K radykal\na, sleduet up-
lotnenye πtoho rqda
H = L0 � L1 � … � Lβ � Lβ+1 � … � Lσ = K,
faktor¥ kotoroho Lβ + 1 / Hβ lokal\no nyl\potentn¥ pry lgbom β < σ. Teper\
moΩno prymenyt\ pred¥duwee sledstvye.
Sledstvye 3. Pust\ G — radykal\naq hruppa, vse cyklyçeskye podhrupp¥
kotoroj pryblyΩenno pronormal\n¥. Esly C — cyklyçeskaq vosxodqwaq pod-
hruppa G, to C — G ynvaryantna.
Lemma 4. Pust\ G — radykal\naq hruppa, vse cyklyçeskye podhrupp¥ ko-
toroj pryblyΩenno pronormal\n¥. Tohda lybo G — dedekyndova hruppa, lybo
G vklgçaet v sebq normal\nug podhruppu L, udovletvorqgwug sledugwym
uslovyqm:
1) L dedekyndova;
2) G / L abeleva;
3) CG ( L ) ≤ L;
4) kaΩdaq podhruppa L budet G-ynvaryantnoj.
Dokazatel\stvo. Pust\ L — lokal\no nyl\potentn¥j radykal G. V sy-
lu lemm¥ 2 L dedekyndova. Otsgda sleduet, çto lgbaq cyklyçeskaq podhrup-
pa L budet normal\noj v L, v çastnosty, ona subnormal\na v G. Sledstvye 3
lemm¥ 3 pokaz¥vaet, çto lgbaq cyklyçeskaq podhruppa L budet G-ynvaryant-
noj, a potomu y lgbaq podhruppa L takΩe qvlqetsq G-ynvaryantnoj. Tohda
G / CG ( L ) abeleva (sm., naprymer, [18], teoremu 1.5.1). Esly G = CG ( L ), to G
nyl\potentna y potomu dedekyndova v sylu lemm¥ 2. Esly G ≠ CG ( L ), to
CG ( L ) ≤ L [19] (teorema 7).
Esly G — razreßymaq hruppa, to oboznaçym çerez s ( G ) stupen\ razreßy-
mosty G.
Sledstvye 1. Pust\ G — lokal\no radykal\naq hruppa, vse cyklyçeskye
podhrupp¥ kotoroj pryblyΩenno pronormal\n¥. Tohda lybo G — dedekyndova
hruppa, lybo G vklgçaet v sebq normal\nug podhruppu L, udovletvorqgwug
sledugwym uslovyqm:
1) L dedekyndova;
2) G / L abeleva;
3) CG ( L ) ≤ L;
4) kaΩdaq podhruppa L budet G-ynvaryantnoj.
V çastnosty, G hypercyklyçeskaq.
V samom dele, v sylu lemm 1, 4 kaΩdaq koneçnoporoΩdennaq podhruppa K
hrupp¥ G razreßyma, pryçem s ( K ) ≤ 3. Otsgda sleduet, çto G razreßyma y
moΩno prymenyt\ lemmu 4.
Sledstvye 2. Pust\ G — koneçnaq razreßymaq hruppa, vse cyklyçeskye
podhrupp¥ kotoroj pryblyΩenno pronormal\n¥. Tohda G sverxrazreyßma.
Sledstvye 3. Pust\ G — koneçnaq hruppa, vse cyklyçeskye podhrupp¥ ko-
toroj pryblyΩenno pronormal\n¥. Tohda hruppa G sverxrazreßyma.
Dokazatel\stvo. V sylu sledstvyq 2 dostatoçno pokazat\, çto G razre-
ßyma. PredpoloΩym protyvnoe. V¥berem v G mynymal\nug nerazreßymug
podhruppu L. Esly H — sobstvennaq podhruppa L , to, sohlasno lemme 1 y
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
O NEKOTORÁX HRUPPAX, VSE PODHRUPPÁ KOTORÁX BLYZKY … 1335
sledstvyg 3 lemm¥ 4, H sverxrazreßyma. Odnako koneçnaq hruppa, vse sob-
stvenn¥e podhrupp¥ kotoroj sverxrazreßym¥, razreßyma [20] (predloΩenye
VI.9.6). Poluçennoe protyvoreçye y dokaz¥vaet razreßymost\ hrupp¥ G.
D. Rous [1] pokazal, çto proyzvedenye pronormal\noj y normal\noj pod-
hrupp budet pronormal\noj podhruppoj (sm. takΩe [11], sledstvye 2.8). V neko-
tor¥x specyal\n¥x sluçaqx budet vern¥m y obrawenye πtoho rezul\tata (sm.
[21], lemmu 3.3). Poskol\ku v dal\nejßem nam budet neobxodymo yspol\zovat\
πtot rezul\tat, dlq udobstva çytatelej pryvedem eho s dokazatel\stvom.
Lemma 5. Pust\ G — koneçnaq hruppa, H — p-podhruppa G y L —
normal\naq p ′-podhruppa G dlq nekotoroho prostoho çysla p. Esly HL
pronormal\na v G, to y H pronormal\na v G.
Dokazatel\stvo. Pust\ x — proyzvol\n¥j πlement G . Yz toho, çto H L
pronormal\na v G, sleduet suwestvovanye takoho πlementa y ∈ 〈 H L, ( H L )
x
〉,
çto ( H L )
x = ( H L )
y = H
y
L. V çastnosty, H
x ≤ H
y
L. Ravenstva 〈 H L, ( H L )
x
〉 =
= 〈 H L, H
x
L 〉 = 〈 H, H
x
〉 L pokaz¥vagt,çto y = u v, hde u ∈ 〈 H, H
x
〉, v ∈ L. Tohda
v ( H
y
L ) v–
1 ≤ H
y
L, a poskol\ku v ( H
y
L ) v–
1 = H
u
L, to H
u
L ≤ H
y
L. Ytak, H
x ≤
≤ H
y
L y H
u ≤ H
y
L, tak çto 〈 H
x, H
u
〉 ≤ H
y
L. Poskol\ku H
x, H
u
— sylovskye
p-podhrupp¥ v H
y
L, ony budut y sylovskymy p-podhruppamy v 〈 H
x, H
u
〉. No
tohda ony soprqΩen¥ v πtoj poslednej podhruppe, t. e. H
x = H
u
z
dlq nekoto-
roho z ∈ 〈 H
x, H
u
〉. Tak kak y u ∈ 〈 H, H
x
〉, to u z ∈ 〈 H , H
x
〉. Ytak, podhrupp¥
H y H
x
soprqΩen¥ v 〈 H , H
x
〉, a πto y oznaçaet, çto H pronormal\na v G.
Lemma 6. Pust\ G — koneçnaq hruppa, vse cyklyçeskye podhrupp¥ kotoroj
pryblyΩenno pronormal\n¥. Tohda lgbaq cyklyçeskaq podhruppa G pronor-
mal\na. V çastnosty, G — T -hruppa.
Dokazatel\stvo. V sylu sledstvyq 3 lemm¥ 4 hruppa G razreßyma.
PredpoloΩym protyvnoe y v¥berem sredy vsex koneçn¥x hrupp, udovletvorqg-
wyx uslovyg lemm¥ y soderΩawyx cyklyçeskye nepronormal\n¥e podhrupp¥,
hruppu L, ymegwug naymen\ßyj porqdok. Pust\ C — cyklyçeskaq podhruppa
L, ne qvlqgwaqsq pronormal\noj. Otmetym, çto hruppa L razreßyma v sylu
sledstvyq 3 lemm¥ 4. Esly dlq lgboho p ∈ Π ( C ) sylovskaq p-podhruppa C
pronormal\na v L, to C pronormal\na v L [5] (teorema I.6.10). ∏to pokaz¥-
vaet, çto najdetsq prostoe çyslo p, dlq kotoroho sylovskaq p ′ -podhruppa D
yz C ne pronormal\na v L. PoloΩym K = [ L, L ]. Kak b¥lo otmeçeno, K ≠ L.
Pust\ R — sylovskaq p ′-podhruppa K, y predpoloΩym, çto R needynyçna. V
sylu sledstvyq 3 lemm¥ 4 y samoj lemm¥ 4 lgbaq podhruppa K budet L-ynva-
ryantnoj, v çastnosty, R normal\na v L. Poskol\ku | L / R | < | L |, yz v¥bora L
y lemm¥ 1 poluçaem, çto lgbaq cyklyçeskaq podhruppa L / R budet pronor-
mal\noj. V çastnosty, D R pronormal\na. Tohda yz lemm¥ 5 sleduet, çto D
pronormal\na v L. Poluçyly protyvoreçye. ∏to protyvoreçye pokaz¥vaet, çto
K — p-podhruppa. No v πtom sluçae sylovskaq p-podhruppa P hrupp¥ L nor-
mal\na. Yz lemm 2, 3 poluçaem, çto D normal\na v L, v çastnosty, D pronor-
mal\na v L. Poluçennoe protyvoreçye y dokaz¥vaet lemmu.
Lemma 7. Pust\ G — lokal\no radykal\naq hruppa, vse cyklyçeskye pod-
hrupp¥ kotoroj pryblyΩenno pronormal\n¥. Esly G neperyodyçeskaq, to ona
abeleva.
Dokazatel\stvo. V sylu sledstvyq 1 lemm¥ 4 lybo G — dedekyndova
hruppa, lybo G vklgçaet v sebq sobstvennug normal\nug podhruppu L ≥ [ G,
G ], kaΩdaq podhruppa kotoroj budet G-ynvaryantnoj. Esly G — dedekyn-
dova, to dostatoçno lyß\ otmetyt\, çto neperyodyçeskaq dedekyndova hruppa
abeleva (sm., naprymer, [17], predloΩenye 5.3.7).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
1336 DÛ. VYNÇENZY, L. A. KURDAÇENKO, A. RUSSO
PredpoloΩym, çto G — nededekyndova, y pokaΩem, çto lgbaq cyklyçeskaq
podhruppa G pronormal\na v G. PredpoloΩym protyvnoe, t. e. pust\ G
vklgçaet v sebq cyklyçeskug podhruppu C, kotoraq ne pronormal\na v G.
∏to oznaçaet, çto najdetsq takoj πlement g ∈ G , çto podhrupp¥ C y Cg
ne
soprqΩen¥ v 〈 C , C g
〉. Poskol\ku C pryblyΩenno pronormal\na, to
( NG ( C ) )
G = G. Otsgda poluçaem ravenstvo NG ( C ) L = G, a znaçyt, g = x y, hde
x ∈ NG ( C ), y ∈ L. No tohda Cg = Cy
y podhrupp¥ C, Cy
ne soprqΩen¥ v 〈 C,
Cy
〉. ∏to oznaçaet, çto C ne moΩet b¥t\ pronormal\noj v K = 〈 C, y 〉. Esly
dopustyt\, çto obe podhrupp¥ C y 〈 y 〉 koneçn¥, to K koneçna. Tohda yz lemm
1, 6 poluçaem, çto podhruppa C pronormal\na v K. PredpoloΩym teper\, çto
〈 y 〉 beskoneçna. Pust\ c — πlement, dlq kotoroho C = 〈 c 〉. Esly dopustyt\,
çto [ y, c ] = 1, to K abeleva. No tohda snova poluçaem, çto C pronormal\na v
K. Tak kak 〈 y 〉 — G -ynvaryantna, to yc = y–
1
. Esly dopustyt\, çto NK ( C ) ∩
∩ 〈 y 〉 = 〈 z 〉 ≠ 〈 1 〉, to [ z, c ] = 1, a otsgda v¥tekaet ravenstvo [ y, c ] = 1, t. e pry-
xodym k uΩe rassmotrennoj sytuacyy. Ytak, pust\ teper\ C ∩ 〈 y 〉 = 〈 1 〉. Esly
dopustyt\, çto v πtom sluçae NK ( C ) ∩ 〈 y 〉 = 〈 v 〉 ≠ 〈 1 〉, to [ v, c ] = 1, a otsgda
opqt\ v¥tekaet ravenstvo [ y, c ] = 1. Ytak, pust\ NK ( C ) ∩ 〈 y 〉 = 〈 1 〉. ∏to ozna-
çaet, çto NK ( C ) = C. V πtom sluçae C kontranormal\na v K, a znaçyt, C W / W
kontranormal\na v K / W, hde W = 〈 y2
〉. Netrudno vydet\, çto faktor-hruppa
K / W abeleva, y poluçaem protyvoreçye, kotoroe pokaz¥vaet, çto podhruppa 〈 y 〉
dolΩna b¥t\ koneçnoj, a znaçyt, podhruppa C — beskoneçnoj. No tohda C
vklgçaet v sebq K-ynvaryantnug podhruppu D koneçnoho yndeksa. Vsled-
stvye koneçnosty K / D yz lemm 1, 6 poluçaem, çto C / D pronormal\na v K / D.
No tohda C pronormal\na v K, y snova poluçaem protyvoreçye. ∏to protyvo-
reçye pokaz¥vaet, çto vse cyklyçeskye podhrupp¥ pronormal\n¥ v G. Yz re-
zul\tatov rabot [8, 16] poluçaem teper\, çto G — abeleva hruppa.
Teorema. Pust\ G — lokal\no radykal\naq hruppa.
1. Esly vse cyklyçeskye podhrupp¥ G pryblyΩenno pronormal\n¥, to lg-
baq cyklyçeskaq podhruppa G pronormal\na. V çastnosty, G — T -hruppa.
2. Esly vse podhrupp¥ G pryblyΩenno pronormal\n¥, to vse podhrupp¥ G
pronormal\n¥.
Dokazatel\stvo. Esly G — neperyodyçeskaq hruppa, to G — abeleva v
sylu lemm¥ 7. Poπtomu predpoloΩym, çto G peryodyçeskaq. Yz lemm 1, 6
poluçaem, çto lgbaq koneçnaq podhruppa G budet T -hruppoj. Yz sledstvyq 2
lemm¥ 2.1.1 rabot¥ [16] netrudno poluçyt\ teper\, çto y vsq hruppa G budet
T -hruppoj.
Pust\ teper\ vse podhrupp¥ G pryblyΩenno pronormal\n¥. V sylu sled-
stvyq 1 lemm¥ 4 lybo G — dedekyndova hruppa, lybo G vklgçaet v sebq sob-
stvennug normal\nug podhruppu L ≥ [ G, G ], kaΩdaq podhruppa kotoroj budet
G-ynvaryantnoj. Esly G dedekyndova, to vse ee podhrupp¥ normal\n¥, a poto-
mu y pronormal\n¥. PredpoloΩym poπtomu, çto G nededekyndova, y pokaΩem,
çto lgbaq podhruppa G pronormal\na v G. PredpoloΩym protyvnoe, t. e.
pust\ G vklgçaet v sebq podhruppu H, kotoraq ne pronormal\na v G. ∏to oz-
naçaet, çto najdetsq takoj πlement g ∈ G, çto podhrupp¥ H y Hg
ne soprq-
Ωen¥ v 〈 H, Hg
〉. Poskol\ku H pryblyΩenno pronormal\na, to ( NG ( H ) )
G = G.
Otsgda poluçaem ravenstvo NG ( H ) L = G, a znaçyt, g = x y, hde x ∈ NG ( H ),
y ∈ L. No tohda Hg = H
y
y podhrupp¥ H, H
y
ne soprqΩen¥ v 〈 H, H
y
〉. ∏to
oznaçaet, çto H ne moΩet b¥t\ pronormal\noj v K = 〈 H, y 〉. Tak kak G pery-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
O NEKOTORÁX HRUPPAX, VSE PODHRUPPÁ KOTORÁX BLYZKY … 1337
odyçeskaq, to 〈 y 〉 koneçna. Poskol\ku y ∈ L, to podhruppa 〈 y 〉 G -ynvaryant-
na. Tohda K = 〈 y 〉 H, v çastnosty, H ymeet koneçn¥j yndeks v K. No tohda H
vklgçaet v sebq K-ynvaryantnug podhruppu D koneçnoho yndeksa. Po doka-
zannomu v¥ße G — T -hruppa, tak çto y K / D budet koneçnoj T -hruppoj. No
tohda vse podhrupp¥ K / D pronormal\n¥ [22], v çastnosty, H / D pronormal\na
v K / D. No tohda H pronormal\na v K. Poluçyly protyvoreçye. ∏to proty-
voreçye y pokaz¥vaet, çto vse podhrupp¥ pronormal\n¥ v G.
Napomnym, çto hruppa G naz¥vaetsq lokal\no stupençatoj, esly lgbaq ee
needynyçnaq koneçnoporoΩdennaq podhruppa vklgçaet v sebq sobstvennug
podhruppu koneçnoho yndeksa.
Esly G — razreßymaq hruppa, to çerez δn ( G ) oboznaçym çlen rqda ee pos-
ledovatel\n¥x kommutantov, ymegwyj nomer n.
Sledstvye 1. Pust\ G — peryodyçeskaq lokal\no stupençataq hruppa.
1. Esly vse cyklyçeskye podhrupp¥ G pryblyΩenno pronormal\n¥, to lg-
baq cyklyçeskaq podhruppa G pronormal\na. V çastnosty, G — T -hruppa.
2. Esly vse podhrupp¥ G pryblyΩenno pronormal\n¥, to vse podhrupp¥ G
pronormal\n¥.
Dokazatel\stvo. Pust\ H — proyzvol\naq needynyçnaq koneçnoporoΩ-
dennaq podhruppa G. Oboznaçym çerez K pereseçenye vsex podhrupp H, yme-
gwyx koneçn¥j yndeks. Esly L — normal\naq podhruppa H, ymegwaq v H
koneçn¥j yndeks, to yz lemm 1, 6 sleduet, çto H / L budet T -hruppoj. No
tohda δ2 ( H ) ≤ L. Otsgda v¥tekaet vklgçenye δ2 ( H ) ≤ K, kotoroe pokaz¥vaet,
çto H / K — razreßymaq hruppa. Buduçy peryodyçeskoj, ona koneçna. Teper\
yz v¥bora K poluçaem K = 〈 1 〉. Takym obrazom, G — lokal\no razreßymaq
hruppa, y utverΩdenye v¥tekaet yz pryvedennoj v¥ße teorem¥.
Sledstvye 2. Pust\ G — hruppa, vse prost¥e sekcyy kotoroj koneçn¥.
1. Esly vse cyklyçeskye podhrupp¥ G pryblyΩenno pronormal\n¥, to lg-
baq cyklyçeskaq podhruppa G pronormal\na. V çastnosty, G — T -hruppa.
2. Esly vse podhrupp¥ G pryblyΩenno pronormal\n¥, to vse podhrupp¥ G
pronormal\n¥.
Dokazatel\stvo. Pust\ H — proyzvol\naq needynyçnaq koneçnoporoΩ-
dennaq podhruppa G y M — koneçnoe podmnoΩestvo, poroΩdagwee H. Oboz-
naçym çerez R semejstvo vsex sobstvenn¥x normal\n¥x podhrupp H. Esly L ∈
∈ R , to, oçevydno, L ne vklgçaet v sebq M. Otsgda vsledstvye koneçnosty
M poluçaem, çto obæedynenye lgboho lynejno uporqdoçennoho podsemejstva
yz R ne vklgçaet v sebq M y potomu prynadleΩyt R . Yz lemm¥ Corna polu-
çaem, çto R ymeet maksymal\n¥j πlement, t. e. H vklgçaet v sebq maksymal\-
nug sobstvennug normal\nug podhruppu U. Buduçy prostoj, H / U koneçna.
Yz lemm 1, 6 sleduet, çto H / U budet T -hruppoj. No tohda δ2 ( H ) ≤ U, v çast-
nosty, H ≠ δ2 ( H ). PredpoloΩym, çto V = δ2 ( H ) ≠ 〈 1 〉. Esly H / V peryodyçes-
kaq, to, buduçy razreßymoj y koneçnoporoΩdennoj, ona koneçna. V πtom slu-
çae podhruppa V koneçno poroΩdena. Yspol\zuq pryvedenn¥e v¥ße arhumen-
t¥, poluçaem, çto V vklgçaet v sebq sobstvennug normal\nug podhruppu W
koneçnoho yndeksa. PoloΩym Y = CoreH ( W ), tohda H / Y koneçna y, kak y v¥-
ße, budet T -hruppoj. No tohda δ2 ( H ) ≤ Y. S druhoj storon¥, yz v¥bora Y
v¥tekaet, çto ona qvlqetsq sobstvennoj podhruppoj δ2 ( H ). Poluçyly proty-
voreçye. PredpoloΩym teper\, çto H / V neperyodyçeskaq. Yz lemm¥ 1 y doka-
zannoj v¥ße teorem¥ sleduet, çto H / V abeleva. V πtom sluçae V vklgçaet v
sebq takoe koneçnoe podmnoΩestvo Z, 〈 Z 〉
H = V (sm., naprymer, [17], predloΩe-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
1338 DÛ. VYNÇENZY, L. A. KURDAÇENKO, A. RUSSO
nye 14.1.3). Budem sçytat\, çto Z — mynymal\noe podmnoΩestvo s πtym svoj-
stvom. Pust\ z ∈ Z y S — naybol\ßaq H-ynvaryantnaq podhruppa V,
vklgçagwaq v sebq Z \ { z } y ne soderΩawaq πlementa z. Tohda, oçevydno, V / S
— prostaq y, sledovatel\no, koneçnaq hruppa. Yspol\zuq pryvedenn¥e v¥ße
arhument¥, snova pryxodym k protyvoreçyg. ∏to protyvoreçye dokaz¥vaet ra-
venstvo δ2 ( H ) = 〈 1 〉. V çastnosty, H razreßyma y G lokal\no razreßyma.
Ostaetsq yspol\zovat\ dokazannug v¥ße teoremu.
1. Rose J. S. Finite soluble groups with pronormal system normalizers // Proc. London Math. Soc. –
1967. – 17. – P. 447 – 469.
2. Hall P. On system normalizers of soluble groups // Ibid. – 1937. – 43. – P. 507 – 528.
3. Carter R. W. Nilpotent self-normalizing subgroups of soluble groups // Math. Z. – 1961. – 75. –
S. 136 – 139.
4. Rose J. S. Nilpotent subgroups of finite soluble groups // Ibid. – 1968. – 106. – P. 97 – 112.
5. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. – Berlin: Walter de Gruyter, 1992. – 891 p.
6. Kuzenn¥j N. F., Subbotyn Y. Q. Hrupp¥, v kotor¥x vse podhrupp¥ pronormal\n¥ // Ukr.
mat. Ωurn. – 1987. – 39, # 3. – S. 325 – 329.
7. Kuzenn¥j N. F., Subbotyn Y. Q. Novaq xarakteryzacyq lokal\no nyl\potentn¥x IH-hrupp
// Tam Ωe. – 1988. – 40, # 2. – S. 274 – 277.
8. Kuzenn¥j N. F., Subbotyn Y. Q. Lokal\no razreßym¥e hrupp¥, v kotor¥x vse beskoneçn¥e
podhrupp¥ pronormal\n¥ // Yzv. vuzov. Matematyka. – 1987. – 11. – S. 77 – 79.
9. Kuzenn¥j N. F., Subbotyn Y. Q. Hrupp¥ s pronormal\n¥my prymarn¥my podhruppamy //
Ukr. mat. Ωurn. – 1989. – 41, # 2. – S. 286 – 289.
10. Ba M. S., Borevyç Z. Y. O raspoloΩenyy promeΩutoçn¥x podhrupp // Kol\ca y lynejn¥e
hrupp¥. – Krasnodar: Kuban. un-t, 1988. – S. 14 – 41.
11. de Giovanni F., Vincenzi G. Some topics in the theory of pronormal subgroups of groups // Topics
Infinite Groups. Quad. mat. – 2001. – 8. – P. 175 – 202.
12. Kurdachenko L. A., Subbotin I. Ya. On transitivity of pronormality // Comment. mat. Univ. carol. –
2002. – 43, # 4. – P. 583 – 594.
13. Kurdachenko L. A., Subbotin I. Ya. Pronormality, contranormality and generalized nilpotency in
infinite groups // Publ. mat. – 2003. – 47, # 2. – P. 389 – 414.
14. Kurdachenko L. A., Otal J., Subbotin I. Ya. Abnormal, pronormal, contranormal, and Carter
subgroups in some generalized minimax groups // Communs Algebra. – 2005. – 33, # 12. – P. 4595
– 4616.
15. Gaschütz W. Gruppen in denen das Normalteilersein transitiv ist // J. reine und angew. Math. –
1957. – 198. – S. 87 – 92.
16. Robinson D. J. S. Groups in which normality is a transitive relation // Proc. Cambridge Phil. Soc. –
1964. – 60. – P. 21 – 38.
17. Robinson D. J. S. A course in the theory of groups. – New York: Springer, 1982. – 499 p.
18. Schmidt R. Subgroups lattices of groups. – Berlin: Walter de Gruyter, 1994. – 572 p.
19. Plotkyn B. Y. Radykal\n¥e hrupp¥ // Mat. sb. – 1955. – 37. – S. 507 – 526.
20. Huppert B. Endliche Gruppen. I. – Berlin: Springer, 1967. – 793 S.
21. de Giovanni F., Vincenzi G. Pronormality in infinite groups // Proc. Roy. Irish Acad. – 2000. –
100A. – P. 189 – 203.
22. Peng T. A. Finite groups with pronormal subgroups // Proc. Amer. Math. Soc. – 1969. – 20. –
P. 232 – 234.
Poluçeno 02.11.2006,
posle dorabotky — 13.01.2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
|
| id | umjimathkievua-article-3392 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:41:41Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f1/bcb976a1e667ac691bcde7a642e68cf1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33922020-03-18T19:53:10Z On some groups all subgroups of which are nearly pronormal O некоторых группах, все подгруппы которых близки к пронормальным Vincenzi, G. Kurdachenko, L. A. Russo, A. Винчензи, Дж. Курдаченко, Л. А. Руссо, А. Винчензи, Дж. Курдаченко, Л. А. Руссо, А. A subgroup $H$ of a group $G$ is said to be nearly pronormal in $G$ if, for each subgroup $L$ of the group $G$ including H, the normalizer $N_L ( H)$ is contranormal in $L$. We prove that if $G$ is a (generalized) soluble group in which every subgroup is nearly pronormal, then all subgroups of $G$ are pronormal. Підгрупа $H$ групи $G$ називається наближено пронормальною в $G$, якщо для кожної підгрупи $L$ групи $G$, що містить у собі $H$, нормалізатор $N_L ( H)$ є контранормальним в $L$. Доведено, що якщо $G$ — (узагальнено) розв'язна група, в якій кожна підгрупа є наближено пронормальною, то всі підгрупи $G$ пронормальні. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3392 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 10 (2007); 1331–1338 Український математичний журнал; Том 59 № 10 (2007); 1331–1338 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3392/3527 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3392/3528 Copyright (c) 2007 Vincenzi G.; Kurdachenko L. A.; Russo A. |
| spellingShingle | Vincenzi, G. Kurdachenko, L. A. Russo, A. Винчензи, Дж. Курдаченко, Л. А. Руссо, А. Винчензи, Дж. Курдаченко, Л. А. Руссо, А. On some groups all subgroups of which are nearly pronormal |
| title | On some groups all subgroups of which are nearly pronormal |
| title_alt | O некоторых группах, все подгруппы которых близки к пронормальным |
| title_full | On some groups all subgroups of which are nearly pronormal |
| title_fullStr | On some groups all subgroups of which are nearly pronormal |
| title_full_unstemmed | On some groups all subgroups of which are nearly pronormal |
| title_short | On some groups all subgroups of which are nearly pronormal |
| title_sort | on some groups all subgroups of which are nearly pronormal |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3392 |
| work_keys_str_mv | AT vincenzig onsomegroupsallsubgroupsofwhicharenearlypronormal AT kurdachenkola onsomegroupsallsubgroupsofwhicharenearlypronormal AT russoa onsomegroupsallsubgroupsofwhicharenearlypronormal AT vinčenzidž onsomegroupsallsubgroupsofwhicharenearlypronormal AT kurdačenkola onsomegroupsallsubgroupsofwhicharenearlypronormal AT russoa onsomegroupsallsubgroupsofwhicharenearlypronormal AT vinčenzidž onsomegroupsallsubgroupsofwhicharenearlypronormal AT kurdačenkola onsomegroupsallsubgroupsofwhicharenearlypronormal AT russoa onsomegroupsallsubgroupsofwhicharenearlypronormal AT vincenzig onekotoryhgruppahvsepodgruppykotoryhblizkikpronormalʹnym AT kurdachenkola onekotoryhgruppahvsepodgruppykotoryhblizkikpronormalʹnym AT russoa onekotoryhgruppahvsepodgruppykotoryhblizkikpronormalʹnym AT vinčenzidž onekotoryhgruppahvsepodgruppykotoryhblizkikpronormalʹnym AT kurdačenkola onekotoryhgruppahvsepodgruppykotoryhblizkikpronormalʹnym AT russoa onekotoryhgruppahvsepodgruppykotoryhblizkikpronormalʹnym AT vinčenzidž onekotoryhgruppahvsepodgruppykotoryhblizkikpronormalʹnym AT kurdačenkola onekotoryhgruppahvsepodgruppykotoryhblizkikpronormalʹnym AT russoa onekotoryhgruppahvsepodgruppykotoryhblizkikpronormalʹnym |