Generalized hybrid Mehler-Fock-type integral transformation of the first kind and its applications
We introduce a generalized hybrid integral transformation of the Mehler-Fock type on a segment [0; R] with n conjugate points. We consider examples of application of this transformation to the solution of typical singular boundary-value problems for linear partial differential equations of the secon...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3396 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509477994758144 |
|---|---|
| author | Konet, I. M. Конет, І. М. |
| author_facet | Konet, I. M. Конет, І. М. |
| author_sort | Konet, I. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:53:10Z |
| description | We introduce a generalized hybrid integral transformation of the Mehler-Fock type on a segment [0; R] with n conjugate points. We consider examples of application of this transformation to the solution of typical singular boundary-value problems for linear partial differential equations of the second order in piecewise-homogeneous media. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:41:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.91:532.2
I. М. Конет (Кам’янець-Подiл. ун-т)
УЗАГАЛЬНЕНЕ ГIБРИДНЕ IНТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ
ТИПУ МЕЛЕРА – ФОКА 1-ГО РОДУ
ТА ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ
A generalized hybrid integral transform of the Meler – Fok type is introduced on the segment [0; R]
with n conjugate points. We consider examples of application of this transform to the solution of typical
singular boundary-value problems for linear partial differential equations of the second order in piece-wise
environments.
Введено обобщенное гибридное интегральное преобразование типа Мелера – Фока на отрезке [0; R]
с n точками сопряжения. Рассмотрены примеры применения этого преобразования к решению
типичных сингулярных краевых задач для линейных дифференциальных уравнений с частными
производными второго порядка в кусочно-однородных средах.
Вступ. При розв’язуваннi лiнiйних крайових та мiшаних задач математичної фiзи-
ки однорiдних середовищ у сферичнiй системi координат методом вiдокремлення
змiнних виникають рiвняння з диференцiальним оператором Лежандра
Λm =
d2
dr2
+ cth r
d
dr
+
1
4
− m2
sh2 r
, m ≥ 0. (1)
Пряме
F0[f(r)] =
∞∫
0
f(r)P− 1
2+iλ(ch r) sh rdr ≡ f̃(λ)
та обернене
F−1
0
[
f̃(λ)
]
=
∞∫
0
f̃(λ)P− 1
2+iλ(ch r)λ th(πλ)dλ ≡ f(r)
iнтегральнi перетворення, породженi на полярнiй осi r ≥ 0 диференцiальним опе-
ратором Лежандра
Λ0 =
d2
dr2
+ cth r
d
dr
+
1
4
,
вперше у 1861 р. одержав Ф. Г. Мелер i строго обґрунтували В. А. Фок [1] та
М. М. Лєбєдєв [2]. Цi перетворення ефективно використовуються при розв’язуваннi
осесиметричних задач теорiї потенцiалу в областях, утворених двома сферами, що
перетинаються, та в областях, обмежених поверхнями гiперболоїдiв обертання i
тороїдальними поверхнями.
У випадку вiдсутностi осьової симетрiї використовуються узагальненi iнте-
гральнi перетворення Мелера – Фока [3]
Fm
[
f(r)
]
=
∞∫
0
f(r)Pm
− 1
2+iλ(ch r) sh rdr ≡ f̃(λ),
c© I. М. КОНЕТ, 2007
1376 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
УЗАГАЛЬНЕНЕ ГIБРИДНЕ IНТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ МЕЛЕРА – ФОКА ... 1377
F−1
m
[
f̃(λ)
]
= (−1)m
∞∫
0
f̃(λ)P−m
− 1
2+iλ
(ch r)λ th(πλ)dλ ≡ f(r),
породженi на полярнiй осi r ≥ 0 диференцiальним оператором Λm, m = 1, 2, 3, . . . .
Iнтегральнi перетворення Мелера – Фока на полярнiй осi r ≥ R0 > 0 було
одержано у працях [4 – 6].
Природним узагальненням диференцiального оператора (1) є оператор [7, 8]
Λ(µ) =
d2
dr2
+ cth r
d
dr
+
1
4
+
1
2
(
µ2
1
1− ch r
+
µ2
2
1 + ch r
)
, (2)
де (µ) = (µ1;µ2); µ1 ≥ µ2 > 0.
Оператор (2) будемо називати узагальненим диференцiальним оператором Ле-
жандра. Очевидно, що при µ1 = µ2 = m оператор (2) збiгається з оператором (1).
Iнтегральнi перетворення типу Мелера – Фока, породженi на полярних осях
r ≥ 0, r ≥ R0 > 0 та полярних вiдрiзках [0;R], [R0;R] узагальненим дифе-
ренцiальним оператором Лежандра (2), одержано в [9 – 11]. Вiдповiднi гiбриднi
iнтегральнi перетворення, породженi на цих осях з однiєю, двома та n точками
спряження гiбридним диференцiальним оператором Лежандра, розглянуто в [12 –
15]. У цiй статтi побудовано скiнченнi гiбриднi iнтегральнi перетворення типу
Мелера – Фока на вiдрiзку [0;R] з n точками спряження. Одержанi перетворен-
ня застосовано до розв’язання деяких сингулярних крайових задач для лiнiйних
диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними другого порядку в кусково-
однорiдних середовищах.
Основнi результати. Побудуємо iнтегральне перетворення, породжене на мно-
жинi In =
{
r : r ∈
n+1⋃
k=1
(Rk−1, Rk); R0 = 0, Rn+1 = R < ∞
}
узагальненим
гiбридним диференцiальним оператором Лежандра
L(µ) =
n+1∑
k=1
θ(r −Rk−1)a2
kΛ(µ)k
, R0 = 0, (3)
де (µ) =
(
(µ)1, (µ)2, . . . , (µ)n+1
)
; (µ)k = (µ1k, µ2k), θ(x) — одинична функцiя
Хевiсайда.
Означення. Областю визначення оператора L(µ) назвемо множину G вектор-
функцiй g(r) =
{
g1(r); g2(r); . . . ; gn+1(r)
}
, якi мають такi властивостi:
1) вектор-функцiя f(r) =
{
Λ(µ)1
[
g1(r)
]
; Λ(µ)2
[
g2(r)
]
; . . . ; Λ(µ)n+1
[
gn+1(r)
]}
є
неперервною на множинi In;
2) компоненти gj(r) вектор-функцiї g(r) задовольняють умови спряження[(
αk
j1
d
dr
+ βk
j1
)
gk(r)−
(
αk
j2
d
dr
+ βk
j2
)
gk+1(r)
] ∣∣∣∣
r=Rk
= 0, (4)
j = 1, 2, k = 1, n;
3) справджуються крайовi умови
lim
r→0
rγg1(r) = 0,
(
αn+1
22
d
dr
+ βn+1
22
)
gn+1(r)
∣∣∣∣
r=Rn+1
= 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
1378 I. М. КОНЕТ
Вважаємо, що c1kc2k > 0 для k = 1, n, αn+1
22 ≥ 0, βn+1
22 ≥ 0, αn+1
22 + βn+1
22 6= 0,
cjk = αk
2jβ
k
1j − αk
1jβ
k
2j , j = 1, 2, k = 1, n.
Лема. Компоненти вектор-функцiй u(r) та v(r) з множини G задовольняють
тотожнiсть(
duj
dr
vj − uj
dvj
dr
)∣∣∣∣
r=Rj
=
c2j
c1j
(
duj+1
dr
vj+1 − uj+1
dvj+1
dr
)∣∣∣∣
r=Rj
, j = 1, n. (5)
Доведення. За коефiцiєнтами умов спряження (4) визначимо величини
ck11 = αk
11α
k
22 − αk
21α
k
12, ck12 = αk
11β
k
22 − αk
21β
k
12,
ck21 = βk
11α
k
22 − βk
21α
k
12, ck22 = βk
11β
k
22 − βk
21β
k
12; k = 1, n.
Для u(r) ∈ G з умов спряження
αk
11u
′
k(Rk) + βk
11uk(Rk) = αk
12u
′
k+1(Rk) + βk
12uk+1(Rk),
αk
21u
′
k(Rk) + βk
21uk(Rk) = αk
22u
′
k+1(Rk) + βk
22uk+1(Rk)
за правилами Крамера [16] знаходимо спiввiдношення
u′k(Rk) = c−1
1k
[
ck21u
′
k+1(Rk) + ck22uk+1(Rk)
]
,
uk(Rk) = −c−1
1k
[
ck11u
′
k+1(Rk) + ck12uk+1(Rk)
]
.
(6)
Аналогiчно, для v(r) ∈ G маємо спiввiдношення
v′k(Rk) = c−1
1k [ck21v
′
k+1(Rk) + ck22vk+1(Rk)],
vk(Rk) = −c−1
1k [ck11v
′
k+1(Rk) + ck12vk+1(Rk)].
(7)
На основi рiвностей (6) та (7) одержуємо
u′k(Rk)vk(Rk)− uk(Rk)v′k(Rk) =
= c−2
1k (ck11c
k
22 − ck12c
k
21)(u
′
k+1(Rk)vk+1(Rk)− uk+1(Rk)v′k+1(Rk)).
Враховуючи нерiвнiсть ck11c
k
22 − ck12c
k
21 = c1kc2k > 0, отримуємо тотожнiсть (5).
Лему доведено.
Визначимо числа
σk =
n∏
j=k
c1j
c2j
1
a2
k
≡ c1kc1,k+1 . . . c1n
c2kc2,k+1 . . . c2n
1
a2
k
, k = 1, n, σn+1 =
1
a2
n+1
,
вагову функцiю
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
УЗАГАЛЬНЕНЕ ГIБРИДНЕ IНТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ МЕЛЕРА – ФОКА ... 1379
σ(r) =
[
n+1∑
k=1
θ(r −Rk−1)θ(Rk − r)σk
]
sh r
та скалярний добуток
(
u(r), v(r)
)
=
R∫
0
u(r)v(r)σ(r)dr ≡
n+1∑
k=1
Rk∫
Rk−1
uk(r)vk(r)σk sh rdr,
u(r) ∈ G, v(r) ∈ G.
Теорема 1. Узагальнений гiбридний диференцiальний оператор L(µ), визна-
чений рiвнiстю (3), є самоспряженим, тобто
∀u, v ∈ G :
(
L(µ)[u], v
)
=
(
u,L(µ)[v]
)
. (8)
Доведення. Iнтегруючи двiчi частинами, безпосередньо маємо
(
L(µ)[u], v
)
=
n+1∑
k=1
a2
k
Rk∫
Rk−1
L(µ)
[
u(r)
]
vk(r)σkshrdr =
=
n∑
k=1
{
a2
k
[
u′k(Rk)vk(Rk)− uk(Rk)v′k(Rk)
]
σkshRk−
−a2
k+1
[
u′k+1(Rk)vk+1(Rk)− uk+1(Rk)v′k+1(Rk)
]
σk+1shRk
}
+
+a2
n+1
[
u′n+1(R)vn+1(R)− un+1(R)v′n+1(R)
]
σn+1shR−
−a2
1
[
u′1(R0)v1(R0)− u1(R0)v′1(R0)
]
σ1shR0 +
(
u,L(µ)[v]
)
.
З урахуванням тотожностi (5) i структури чисел σk одержуємо
a2
k[u′k(Rk)vk(Rk)− uk(Rk)v′k(Rk)]σkshRk =
= a2
k
c2k
c1k
[
u′k+1(Rk)vk+1(Rk)− uk+1(Rk)v′k+1(Rk)
]
σkshRk =
= a2
k+1
[
u′k+1(Rk)vk+1(Rk)− uk+1(Rk)v′k+1(Rk)
]
σk+1shRk.
Отже, вираз у фiгурних дужках пiд знаком суми дорiвнює нулю. Третiй доданок
дорiвнює нулю внаслiдок крайових умов у точцi r = 0. Якщо αn+1
22 = 0, то другий
доданок дорiвнює нулю за рахунок крайових умов un+1(R) = vn+1(R) = 0. Якщо
αn+1
22 6= 0, то внаслiдок крайових умов у точцi r = R маємо
u′n+1(R)vn+1(R)− un+1(R)v′n+1(R) =
=
1
αn+1
22
[(
αn+1
22 u′n+1(R) + βn+1
22 un+1(R)
)
vn+1(R)−
−un+1(R)
(
αn+1
22 v′n+1(R) + βn+1
22 vn+1(R)
)]
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
1380 I. М. КОНЕТ
=
1
αn+1
22
(0 · vn+1(R)− un+1(R) · 0) = 0,
тобто у цьому випадку другий доданок також дорiвнює нулю. Отже, одержуємо
рiвнiсть (8).
Теорему доведено.
Оскiльки оператор L(µ) не має на множинi In особливих точок, то його спектр
є дискретним i дiйсним [17].
Знайдемо множину власних чисел (спектр) та множину власних вектор-функцiй
V(µ) =
{
V(µ)1 ;V(µ)2 ; . . . ;V(µ)n+1
}
оператора L(µ). Для цього розглянемо спектраль-
ну задачу Штурма – Лiувiлля: побудувати нетривiальний обмежений на множинi In
розв’язок сепаратної системи узагальнених диференцiальних рiвнянь Лежандра
(Λ(µ)j
+ b2j )V(µ);j(r, β) = 0, r ∈ (Rj−1, Rj), j = 1, n+ 1, (9)
за крайовими умовами
lim
r→0
rγV(µ);1(r, β) = 0,
(
αn+1
22
d
dr
+ βn+1
22
)
V(µ);n+1(r, β)|r=Rn+1 = 0 (10)
та умовами спряження[(
αk
j1
d
dr
+ βk
j1
)
V(µ);k(r, β)−
(
αk
j2
d
dr
+ βk
j2
)
V(µ);k+1(r, β)
]∣∣∣∣
r=Rk
= 0, (11)
k = 1, n, j = 1, 2,
де b2j = a−2
j (β2 + γ2
j ), aj > 0, γ2
j ≥ 0, j = 1, n+ 1, β — спектральний параметр.
Для j ≥ 2 за фундаментальну систему розв’язкiв вiзьмемо двi дiйснi функцiї
A
(µ)j
−1/2+ibj
(ch r) та B(µ)j
−1/2+ibj
(ch r) [8].
Якщо загальний розв’язок однорiдної крайової задачi (9) – (11) шукати за фор-
мулами
V(µ)1(r, β) = A1P
(µ)1
−1/2+ib1
(ch r),
V(µ)j
(r, β) = AjA
(µ)j
−1/2+ibj
(ch r) +BjB
(µ)j
−1/2+ibj
(ch r), j = 2, n+ 1,
то умови спряження (11) i крайова умова в точцi r = Rn+1 ≡ R дають алгебраїчну
систему (2n+ 1)-го рiвняння вiдносно (2n+ 1)-го невiдомого:
Z
(µ)1,11
−1/2+ib1;m1(chR1)A1−
−Y (µ)2,11
−1/2+ib2;m2(chR1)A2 − Y
(µ)2,12
−1/2+ib2;m2(chR1)B2 = 0, m = 1, 2,
Y
(µ)j ,j1
−1/2+ibj ;m1
(chRj)Aj + Y
(µ)j ,j2
−1/2+ibj ;m1(chRj)Bj−
−Y (µ)j+1,j1
−1/2+ibj+1;m2
(chRj)Aj+1−
−Y (µ)j+1,j2
−1/2+ibj+1;m2
(chRj)Bj+1 = 0, j = 2, n, m = 1, 2,
Y
(µ)n+1,n+1,1
−1/2+ibn+1;22
(chRn+1)An+1 + Y
(µ)n+1,n+1,2
−1/2+ibn+1;22
(chRn+1)Bn+1 = 0.
(12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
УЗАГАЛЬНЕНЕ ГIБРИДНЕ IНТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ МЕЛЕРА – ФОКА ... 1381
Для того щоб система (12) мала ненульовий розв’язок, необхiдно i досить, щоб
визначник системи дорiвнював нулю [16]. Таким чином, одержуємо трансцендент-
не рiвняння для власних чисел
δ(µ̃)(β) ≡ Y
(µ)n+1,n+1,1
−1/2+ibn+1;22
(chRn+1)ω
(n)
(µ̃)n+1;2
(β)−
−Y (µ)n+1,n+1,2
−1/2+ibn+1;22
(chRn+1)ω
(n)
(µ̃)n+1;1
(β) = 0, (13)
де
(µ̃)k =
(
(µ)1, (µ)2, . . . , (µ)k), (µ
)
j
= (µ1j , µ2j), µ1j ≥ µ2j , k = 1, 2, . . . , k,
ψ1
(µ̃)2;1j(β, chR1, chR2) = Z
(µ)1,11
−1/2+ib1;11
(chR1)Y
(µ)2,1j
−1/2+ib2;22
(chR2)−
−Z(µ)1,11
−1/2+ib1;21
(chR1)Y
(µ)2,1j
−1/2+ib2;12
(chR2), j = 1, 2,
ψk
((µ)k;(µ)k+1);mj(β, chRk, chRk+1) =
= Y
(µ)k,km
−1/2+ibk;11(chRk+1)Y
(µ)k+1,kj
−1/2+ibk+1;22
(chRk)−
−Y (µ)k,km
−1/2+ibk;21(chRk)Y (µ)k+1,kj
−1/2+ibk+1;12
(chRk+1), k = 2, n,
ω
(1)
(µ̃)2;j
(β) = ψk
((µ)1;(µ)2);1j(β, chR1, chR2), j = 1, 2,
ω
(k)
(µ̃)k+1;j
(β) = ω
(k−1)
(µ̃)k;2(β)ψk
((µ)k;(µ)k+1);1j(β, chRk, chRk+1) −
−ω(k−1)
(µ̃)k;1(β)ψk
((µ)k;(µ)k+1);2j(β, chRk, chRk+1)j = 1, 2, k = 2, n.
Згiдно з роботами [18 – 20] доводяться такi теореми.
Теорема 2 (про дискретний спектр). Коренi βs трансцендентного рiвнян-
ня (13) утворюють дискретний спектр: дiйснi, рiзнi, симетрично розташованi
вiдносно точки β = 0; їх модулi складають монотонно зростаючу послiдовнiсть
з єдиною граничною точкою β = ∞.
Пiдставимо в систему (13) β = βs (bjs = a−1
j (β2
s + γ2
j )1/2) i знехтуємо остан-
нiм рiвнянням внаслiдок лiнiйної залежностi. Рiвняння, що залишилися в систе-
мi (13) при bk = bks, утворюють n рекурентних систем по два рiвняння в кожнiй.
Розв’язуючи останнi, одержуємо
V(µ);1(r, βs) = ∆(µ);n(βs)P
(µ)1
−1/2+ib1s
(ch r),
∆(µ);n(βs) =
n∏
m=1
c2m
shRm
1
S(µ)m
(bms)
,
V(µ);k(r, βs) =
(
n∏
k=m
c2m
shRm
1
S(µ)m
(bms)
)
×
×
[
ω
(k−1)
µ̃k;2 (βs)A
(µ)k
−1/2+ibks
(ch r)− ω
(k−1)
µ̃k;1 (βs)B
(µ)k
−1/2+ibks
(ch r)
]
, k = 2, n,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
1382 I. М. КОНЕТ
V(µ);n+1(r, βs) = ω
(n)
µ̃m+1;2
(βs)A
(µ)n+1
−1/2+ibn+1,s
(ch r)−
−ω(n)
µ̃n+1;1
(βs)B
(µ)n+1
−1/2+ibn+1,s
(ch r).
Власному числу βj вiдповiдає одна власна (спектральна) вектор-функцiя
V(µ)(r, βj) =
n+1∑
k=1
θ(r −Rk−1)θ(Rk − r)V(µ);k(r, βj), R0 = 0, Rn+1 = R.
Квадрат норми спектральної вектор-функцiї визначається формулою
||V(µ)(r, βj)||2 =
R∫
0
[V(µ)(r, βj)]2σ(r)dr ≡
≡
n+1∑
k=1
Rk∫
Rk−1
[V(µ);k(r, βj)]2σk sh rdr, R0 = 0, Rn+1 = R.
Теорема 3 (про дискретну функцiю). Система власних вектор-функцiй
{V(µ)(r, βj)}∞j=1 є ортогональною на множинi In з ваговою функцiєю σ(r), повною
i замкнутою.
Теорема 4 (типу теореми Стєклова). Будь-яка вектор-функцiя g(r) ∈ G роз-
гортається за системою власних вектор-функцiй {V(µ)(r, βj)}∞j=1 оператора L(µ)
в абсолютно i рiвномiрно збiжний на кожнiй компактнiй множинi I∗n ⊂ In ряд
Фур’є:
g(r) =
∞∑
j=1
R∫
0
g(ρ)V(µ)(ρ, βj)σ(ρ)dρ
V(µ)(r, βj)
‖V(µ)(r, βj)‖2
. (14)
Ряд Фур’є (14) визначає пряме M(µ);n та обернене M−1
(µ);n скiнченнi гiбриднi
iнтегральнi перетворення типу Мелера – Фока 1-го роду на множинi In:
M(µ);n[g(r)] =
R∫
0
g(r)V(µ)(r, βj)σ(r)dr ≡ g̃j =
n+1∑
k=1
g̃kj =
=
n+1∑
k=1
Rk∫
Rk−1
gk(r)V(µ);k(r, βj)σk sh rdr, R0 = 0, (15)
M−1
(µ);n[g̃j ] =
∞∑
j=1
g̃j
V(µ)(r,βj)
||V(µ)(r, βj)||2
≡ g(r). (16)
Теорема 5 (про основну тотожнiсть). Якщо вектор-функцiя f(r) = L(µ)[g(r)]
є неперервною на In, а компоненти gm(r) вектор-функцiї g(r) задовольняють
крайовi умови
lim
r→0
sh r
(
V(µ);1
dg1
dr
− g1
dV(µ);1
dr
)
= 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
УЗАГАЛЬНЕНЕ ГIБРИДНЕ IНТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ МЕЛЕРА – ФОКА ... 1383(
αn+1
22
d
dr
+ βn+1
22
)
gn+1(r)
∣∣∣∣
r=Rn+1
= gR = const
та умови спряження[(
αk
j1
d
dr
+ βk
j1
)
gk(r)−
(
αk
j2
d
dr
+ βk
j2
)
gk+1(r)
]∣∣∣∣
r=Rk
= ωjk,
j = 1, 2, k = 1, n,
то справджується основна тотожнiсть iнтегрального перетворення узагальне-
ного гiбридного диференцiального оператора Лежандра L(µ), визначеного рiвнiс-
тю (3):
M(µ);n[L(µ)[g(r)]] = −β2
j g̃j + (αn+1
22 )−1(shR)V(µ);n+1(R, βj)gR −
−
n+1∑
k=1
γ2
k
Rk∫
Rk−1
gk(r)V(µ);k(r, βj)σk sh rdr +
+
n∑
k=1
a2
kσk
c1k
shRk
{
Zk
(µ);12(βj)ω2k − Zk
(µ);22(βj)ω1k
}
, (17)
де Zk
(µ);m2(βj) =
(
αk
m2d/dr + βk
m2
)
V(µ);k+1(r, βj)|r=Rk
.
Застосування. Наявнiсть основної тотожностi (17) дозволяє використати вве-
денi формулами (15), (16) iнтегральнi перетворення для одержання iнтегрального
зображення точного аналiтичного розв’язку вiдповiдних сингулярних крайових за-
дач для лiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними другого по-
рядку в кусково-однорiдних середовищах.
Приклад 1. Побудувати обмежений в областi Dn =
{
(r, z) : r ∈ In; z ∈ (−∞,
+∞)
}
розв’язок сепаратної системи диференцiальних рiвнянь елiптичного типу з
оператором Лежандра(
∂2
∂z2
+ a2
jΛ(µ)j
− χ2
j
)
uj(r, z) = −fj(r, z), j = 1, n+ 1, (18)
за крайовими умовами
∂u1
∂r
∣∣∣∣
r=0
= 0,
(
αn+1
22
∂
∂r
+ βn+1
22
)
un+1
∣∣∣∣
r=Rn+1
= gR(z) (19)
та умовами спряження[(
αk
j1
∂
∂r
+ βk
j1
)
uk −
(
αk
j2
∂
∂r
+ βk
j2
)
uk+1
]∣∣∣∣
r=Rk
=
= ωjk(z), j = 1, 2, k = 1, n. (20)
Не зменшуючи загальностi розв’язку задачi, будемо вважати, що max
{
χ2
1;χ
2
2; . . .
. . . ;χ2
n+1
}
= χ2
1 ≥ 0. Запишемо систему (18) у матричнiй формi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
1384 I. М. КОНЕТ
(
∂2
∂z2
+ a2
1Λ(µ)1
− χ2
1
)
u1 (r, z)(
∂2
∂z2
+ a2
2Λ(µ)2
− χ2
2
)
u2 (r, z)
. . .(
∂2
∂z2
+ a2
n+1Λ(µ)n+1 − χ2
n+1
)
un+1(r, z)
= −
f1 (r, z)
f2 (r, z)
. . .
fn+1 (r, z)
. (21)
Iнтегральний операторM(µ);n згiдно з (15) зобразимо у виглядi операторної матрицi-
рядка
M(µ);n [. . .] =
R1∫
0
. . . V(µ);1 (r, βj) σ1 sh r dr
R2∫
R1
. . . V(µ);2 (r, βj) σ2 sh r dr . . .
. . .
Rn∫
Rn−1
. . . V(µ);n (r, βj) σn sh r dr
R∞∫
Rn
. . . V(µ);n+1 (r, βj) σn+1 sh r dr
.
(22)
Покладемо γ2
m = χ2
1−χ2
m дляm = 1, n+ 1 i застосуємо за правилом множення мат-
риць операторну матрицю-рядок (22) до системи (21). Внаслiдок тотожностi (17)
одержимо крайову задачу: побудувати обмежений на (−∞,+∞) розв’язок дифе-
ренцiального рiвняння другого порядку зi сталими коефiцiєнтами[
d2
dz2
−
(
β2
j + χ2
1
)]
ũj (z) = −F̃j (z) , (23)
де
F̃j (z) = f̃j (z) +
(
αn+1
22
)−1
sh R V(µ);n+1 (R, βj) gR (z)+
+
n∑
k=1
a2
kσk
sh Rk
c1k
[
Zk
(µ);12 (βj)ω2k (z)− Zk
(µ);22 (βj)ω1k (z)
]
.
Безпосередньо перевiряється, що єдиним обмеженим на множинi |z| <∞ розв’язком
рiвняння (23) є функцiя
ũj (z) =
∞∫
−∞
e−qj |z−ζ|
2qj
F̃j (ζ) dζ, qj =
(
β2
j + χ2
1
)1/2
. (24)
Оператор M−1
(µ);n згiдно з (16), як обернений до (15), зобразимо у виглядi оператор-
ної матрицi-стовпця
M−1
(µ);n [. . .] =
∞∑
j=1
. . . V(µ);1 (r, βj)
(∥∥V(µ) (r, βj)
∥∥2
)−1
∞∑
j=1
. . . V(µ);2 (r, βj)
(∥∥V(µ) (r, βj)
∥∥2
)−1
. . .
∞∑
j=1
. . . V(µ);n+1 (r, βj)
(∥∥V(µ) (r, βj)
∥∥2
)−1
. (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
УЗАГАЛЬНЕНЕ ГIБРИДНЕ IНТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ МЕЛЕРА – ФОКА ... 1385
Визначимо головнi розв’язки елiптичної задачi (18) – (20):
1) функцiї впливу
ε(µ);ik (r, ρ, z, ζ) =
∞∑
j=1
e−qj |z−ζ|
2qj
V(µ);i (r, βj)V(µ);k (ρ, βj)∥∥V(µ) (r, βj)
∥∥2 , i, k = 1, n+ 1;
2) функцiї Грiна
W(µ);n+1,i (r, z, ζ) =
=
∞∑
j=1
e−qj |z−ζ|
2qj
shR
αn+1
22
V(µ);i (r, βj)V(µ);n+1 (R, βj)∥∥V(µ) (r, βj)
∥∥2 , i = 1, n+ 1;
3) функцiї Грiна
Rik
(µ);m2 (r, z, ζ) =
∞∑
j=1
e−qj |z−ζ|
2qj
a2
kσk
shRk
c1k
Zk
(µ);m2 (βj)
V(µ);i (r, βj)∥∥V(µ) (r, βj)
∥∥2 .
В результатi застосування за правилом множення матриць операторної матрицi-
стовпця (25) до матрицi-елемента
[
ũj(z)
]
, де функцiя ũj(z) визначена форму-
лою (24), одержуємо єдиний розв’язок елiптичної крайової задачi (18) – (20):
um (r, z) =
n+1∑
k=1
∞∫
−∞
Rk∫
Rk−1
ε(µ);mk (r, ρ, z, ζ) fk (ρ, ζ)σk sh ρ dρ dζ +
+
∞∫
−∞
W(µ);n+1,m (r, z, ζ) gR (ζ) dζ +
+
n∑
k=1
∞∫
−∞
[
Rmk
(µ);12 (r, z, ζ)ω2k (ζ)−Rmk
(µ);22 (r, z, ζ)ω1k (ζ)
]
dζ, m = 1, n+ 1.
Вектор-функцiя u (r, z) =
{
u1(r, z);u2(r, z); . . . ;un(r, z);un+1(r, z)
}
визначає iн-
тегральне зображення єдиного аналiтичного розв’язку даної елiптичної крайової
задачi.
Приклад 2. Побудувати обмежений в областi D+
n =
{
(t, r) : t ∈ (0,∞); r ∈
∈ In
}
розв’язок сепаратної системи рiвнянь параболiчного типу з оператором Ле-
жандра
∂uj
∂t
+ χ2
juj − a2
jΛ(µ)j
[uj ] = fj (t, r) , j = 1, n+ 1, (26)
за початковими умовами
uj (t, r)|t=0 = gj (r) , r ∈ (Rj−1, Rj) , j = 1, n+ 1, R0 = 0, (27)
умовами спряження
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
1386 I. М. КОНЕТ
[(
αk
j1
∂
∂r
+ βk
j1
)
uk (t, r)−
(
αk
j2
∂
∂r
+ βk
j2
)
uk+1 (t, r)
]∣∣∣∣
r=Rk
=
= ωjk (t) , j = 1, 2, k = 1, n, (28)
та крайовими умовами
|u1|r=0 <∞,
(
αn+1
22
∂
∂r
+ βn+1
22
)
un+1|r=Rn+1
= gR (t) . (29)
Вважаємо, що виконуються умови узгодженостi[(
αk
j1
d
dr
+ βk
j1
)
gk(r)−
(
αk
j2
d
dr
+ βk
j2
)
gk+1(r)
]∣∣∣∣
r=Rk
=
= ωjk (0) , j = 1, 2, k = 1, n,
g1|r=0 <∞,
(
αn+1
22
d
dr
+ βn+1
22
)
gn+1|r=Rn+1 = gR(0).
Запишемо систему (26) i початковi умови (27) у матричнiй формi
(
∂
∂t
+ χ2
1 − a2
1Λ(µ)1
)
u1(t, r)(
∂
∂t
+ χ2
2 − a2
2Λ(µ)2
)
u2(t, r)
. . .(
∂
∂t
+ χ2
n+1 − a2
n+1Λ(µ)n+1
)
un+1(t, r)
=
f1 (t, r)
f2 (t, r)
. . .
fn+1 (t, r)
,
(30)
u1 (t, r)
u2 (t, r)
. . .
un+1 (t, r)
∣∣∣∣∣∣∣∣
t=0
=
g1(r)
g2(r)
. . .
gn+1(r)
.
У припущеннi, що max
{
χ2
1;χ
2
2; . . . ;χ
2
n+1
}
= χ2
1, застосуємо до задачi (30) за
правилом множення матриць операторну матрицю-рядок (22). Внаслiдок тотожнос-
тi (17) одержуємо задачу Кошi(
d
dt
+ q2j
)
ũj = F̃j (t) , ũj |t=0 = g̃j , q2j = β2
j + χ2
1, (31)
де
F̃j (t) = f̃j (t) +
(
αn+1
22
)−1
sh Rn+1 V(µ);n+1 (Rn+1, βj) gR (t) +
+
n∑
k=1
a2
kσk
sh Rk
c1k
[
Zk
(µ);12 (βj)ω2k (t)− Zk
(µ);22 (βj)ω1k (t)
]
.
Безпосередньо перевiряється, що єдиним розв’язком задачi Кошi (31) є функцiя
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
УЗАГАЛЬНЕНЕ ГIБРИДНЕ IНТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ МЕЛЕРА – ФОКА ... 1387
ũj (t) = e−q2
j tg̃j +
t∫
0
e−q2
j (t−τ)F̃j (τ) dτ . (32)
До матрицi-елемента [ũj (t)] , де функцiя ũj (t) визначена формулою (32), застосу-
ємо за правилом множення матриць операторну матрицю-стовпець (25). В резуль-
татi елементарних перетворень одержуємо єдиний розв’язок параболiчної задачi
(26) – (29):
um(t, r) =
=
n+1∑
k=1
t∫
0
Rk∫
Rk−1
H(µ);mk (t− τ, r, ρ)
[
fk (τ, ρ) + δ+ (τ) gk (ρ)
]
σk sh ρ dρ dτ+
+
t∫
0
W(µ);n+1,m(t− τ, r)gR(τ)dτ+
+
n∑
k=1
t∫
0
[
Rmk
(µ);12 (t− τ, r)ω2k(τ)−
−Rmk
(µ);22(t− τ, r)ω1k(τ)
]
dτ, m = 1, n+ 1, (33)
де δ+(τ) — мiра Дiрака, зосереджена в точцi 0+.
До формули (33) входять головнi розв’язки даної параболiчної задачi:
1) функцiї впливу
H(µ);mk (t, r, ρ) =
∞∑
j=1
e−q2
j tV(µ);m (r, βj) V(µ);k (ρ, βj)∥∥V(µ) (r, βj)
∥∥2 , m, k = 1, n+ 1;
2) функцiї Грiна
W(µ);n+1,m (t, r) =
=
∞∑
j=1
e−q2
j t sh R
αn+1
22
V(µ);m (r, βj) V(µ);n+1 (Rn+1, βj)∥∥V(µ) (r, βj)
∥∥2 , m = 1, n+ 1;
3) функцiї Грiна
Rmk
(µ);i2 (t, r) =
= a2
kσk
shRk
c1k
∞∑
j=1
e−q2
j tZk
(µ);i2 (βj)
V(µ);m (r, βj)∥∥V(µ) (r, βj)
∥∥2 , i = 1, 2, k = 1, n.
Вектор-функцiя u (t, r) =
{
u1 (t, r) ;u2 (t, r) ; . . . ;un+1 (t, r)
}
, компоненти якої
um (t, r) визначаються формулою (33), повнiстю описує єдиний розв’язок парабо-
лiчної крайової задачi (26) – (29).
Приклад 3. Побудувати обмежений в областi D+
n розв’язок сепаратної систе-
ми рiвнянь гiперболiчного типу з оператором Лежандра
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
1388 I. М. КОНЕТ[
∂2
∂t2
+ χ2
j − a2
jΛ(µ)j
]
uj (t, r) = fj (t, r) , j = 1, n+ 1, (34)
за початковими умовами
uj (t, r)|t=0 = ϕj (r) ,
∂uj
∂t
∣∣∣∣
t=0
= ψj (r) , j = 1, n+ 1, (35)
умовами спряження (28) та крайовими умовами (29).
Вважаємо, що виконуються умови узгодженостi[(
αk
j1
d
dr
+ βk
j1
)
ϕk(r)−
(
αk
j2
d
dr
+ βk
j2
)
ϕk+1(r)
]∣∣∣∣
r=Rk
= ωjk (0) ,
j = 1, 2, k = 1, n,
ϕ1|r=0 <∞,
(
αn+1
22
d
dr
+ βn+1
22
)
ϕn+1
∣∣∣∣
r=Rn+1
= gR(0),
[(
αk
j1
d
dr
+ βk
j1
)
ψk(r)−
(
αk
j2
d
dr
+ βk
j2
)
ψk+1(r)
]∣∣∣∣
r=Rk
= ω′jk (0) ,
ψ1|r=0 <∞,
(
αn+1
22
d
dr
+ βn+1
22
)
ψn+1|r=Rn+1 = g′R(0).
Запишемо систему (34) i початковi умови (35) у матричнiй формi
(
∂2
∂t2
+ χ2
1 − a2
1Λ(µ)1
)
u1(t, r)(
∂2
∂t2
+ χ2
2 − a2
2Λ(µ)2
)
u2(t, r)
. . .(
∂2
∂t2
+ χ2
n+1 − a2
n+1Λ(µ)n+1
)
un+1(t, r)
=
f1 (t, r)
f2 (t, r)
. . .
fn+1 (t, r)
,
u1 (t, r)
u2 (t, r)
. . .
un+1 (t, r)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
t=0
=
ϕ1 (r)
ϕ2 (r)
. . .
ϕn+1 (r)
, (36)
∂
∂t
u1 (t, r)
u2 (t, r)
. . .
un+1 (t, r)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
t=0
=
ψ1 (r)
ψ2 (r)
. . .
ψn+1 (r)
.
До задачi (36) застосуємо за правилом множення матриць операторну матрицю-
рядок (22) в припущеннi, що χ2
1 = max
1≤j≤n+1
{
χ2
j
}
. Внаслiдок тотожностi (17) маємо
задачу Кошi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
УЗАГАЛЬНЕНЕ ГIБРИДНЕ IНТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ МЕЛЕРА – ФОКА ... 1389(
d2
dt2
+ q2j
)
ũj = F̃j (t) , uj |t=0 = ϕ̃j ,
dũj
dt
∣∣∣∣
t=0
= ψ̃j . (37)
Єдиним розв’язком задачi Кошi (37) є функцiя
ũj =
sin qjt
qj
ψ̃j +
d
dt
sin qjt
qj
ϕ̃j +
t∫
0
sin qj (t− τ)
qj
F̃j (τ) dτ . (38)
До матрицi-елемента [ũj ], де функцiя ũj має структуру (38), за правилом множення
матриць застосуємо операторну матрицю-стовпець (25). В результатi елементарних
перетворень одержимо компоненти
um (t, r) =
=
n+1∑
k=1
t∫
0
Rk∫
Rk−1
H(µ);mk (t− τ, r, ρ)
[
fk (τ, ρ) + δ+ (τ)ψk (ρ)
]
σk sh ρ dρ dτ+
+
∂
∂t
n+1∑
k=1
Rk∫
Rk−1
H(µ);mk (t, r, ρ)ϕk (ρ)σk sh ρ dρ+
+
t∫
0
W(µ);n+1,m (t− τ, r) gR (τ) dτ+
+
n∑
k=1
t∫
0
[
Rmk
(µ);12 (t− τ, r)ω2k (τ)−Rmk
(µ);22 (t− τ, r)ω1k (τ)
]
dτ, m = 1, n+ 1,
(39)
вектор-функцiї u (t, r) =
{
u1 (t, r) ;u2 (t, r) ; . . . ;un (t, r) ;un+1 (t, r)
}
, яка визначає
єдиний аналiтичний розв’язок даної гiперболiчної задачi.
Формули (39) мiстять головнi розв’язки гiперболiчної задачi (34), (35), (28), (29):
1) функцiї впливу
H(µ);mk (t, r, ρ) =
∞∑
j=1
sin qjt
qj
V(µ);m (r, βj) V(µ);k (ρ, βj)∥∥V(µ) (r, βj)
∥∥2 , m, k = 1, n+ 1;
2) функцiї Грiна
W(µ);n+1,m (t, r) =
=
∞∑
j=1
sin qjt
qj
sh R
αn+1
22
V(µ);m (r, βj) V(µ);n+1 (Rn+1, βj)∥∥V(µ) (r, βj)
∥∥2 , m = 1, n+ 1;
3) функцiї Грiна
Rmk
(µ);i2 (t, r) = a2
kσk
shRk
c1k
∞∑
j=1
sin qjt
qj
Zk
(µ);i2 (βj)
V(µ);m (r, βj)∥∥V(µ) (r, βj)
∥∥2 ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
1390 I. М. КОНЕТ
i = 1, 2, k = 1, n, m = 1, n+ 1.
Зауважимо, що побудованi розв’язки мають алгоритмiчний характер i неперерв-
но залежать вiд параметрiв та даних задачi.
1. Фок В. А. О разложении произвольной функции в интеграл по функциям Лежандра с комплекс-
ным значком // Докл. АН СССР. – 1943. – 39, № 7. – С. 253 – 256.
2. Лебедев Н. Н. Некоторые интегральные преобразования математической физики: Автореф.
дис. . . . д-ра физ.-мат. наук. – Л., 1951. – 18 с.
3. Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. – Л.: Наука, 1967. –
402 с.
4. Белова Н. А. Об одном разложении в интегралы по сферическим функциям первого и второго
рода // Дифференц. уравнения. – 1969. – 5, вып. 11. – С. 2096 – 2100.
5. Улитко А. Ф. Об одном обобщении интегрального преобразования Мелера – Фока // Прикл.
механика. – 1967. – 3, вып. 5. – С. 45 – 49.
6. Уфлянд Я. С. О некоторых новых интегральных преобразованиях и их приложениях к задачам
математической физики // Вопросы математической физики. – Л., 1976. – С. 93 – 106.
7. Федотова И. А. Об одном интегральном преобразовании с обобщенными присоединенными
функциями Лежандра // Вычислит. и прикл. математика: Межвед. науч. сб. – 1990. – Вып. 71.
– С. 33 – 43.
8. Вирченко Н. А., Федотова И. А. Обобщенные функции Лежандра и их применение. – Киев,
1998. – 158 с.
9. Конет I. М., Нiкiтiна О. М. Iнтегральне перетворення, породжене на полярнiй осi r ≥ 0
узагальненим диференцiальним оператором Лежандра // Сучаснi проблеми математики: Мат.
мiжнар. наук. конф. – Чернiвцi: Рута, 1998. – Ч. 4. – С. 47 – 50.
10. Конет I. М., Нiкiтiна О. М. Iнтегральне перетворення типу Мелера – Фока, породжене на
полярнiй осi r ≥ R0 > 0 узагальненим диференцiальним оператором Лежандра // Зб. наук. пр.
Кам’янець-Подiл. пед. ун-ту. Сер. фiз.-мат. – 1998. – Вип. 4. – С. 57 – 63.
11. Конет I. М., Ленюк М. П., Нiкiтiна О. М. Деякi узагальнення iнтегральних перетворень типу
Мелера – Фока. – Київ, 1998. – 56 с. – (Препринт / НАН України. Iн-т математики; 98.6).
12. Конет I. М. Про узагальнене iнтегральне перетворення типу Мелера – Фока на полярнiй осi
з N точками спряження // Интегральные уравнения и их применения: Тез. докл. междунар.
конф. – Одесса, 2005. – С. 70.
13. Конет I. М. Про узагальнене iнтегральне перетворення типу Мелера – Фока на кусково-
однорiднiй полярнiй осi r ≥ R0 > 0 // Диференц. рiвняння та їх застосування (Мiжнар. конф.,
присв. 60-рiччю кафедри iнтегральних i диференц. рiвнянь Київ. нац. ун-ту iм. Т. Шевченка):
Тези доп. – Київ, 2005. – С. 46.
14. Конет I. М., Ленюк М. П. Узагальнене iнтегральне перетворення типу Мелера – Фока на
полярнiй осi з n точками спряження // Доп. НАН України. Математика, природознавство,
технiчнi науки. – 2006. – № 9. – С. 22 – 27.
15. Конет I. М., Ленюк М. П. Узагальнене iнтегральне перетворення типу Мелера – Фока на
полярнiй осi r ≥ R0 > 0 з n точками спряження // Мат. студiї. – 2006. – 25, № 2. – С. 169 – 180.
16. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432 с.
17. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. – М.: Изд-во иностр. лит.,
1962. – 895 с.
18. Комаров Г. М., Ленюк М. П., Мороз В. В. Скiнченнi гiбриднi iнтегральнi перетворення,
породженi диференцiальними рiвняннями другого порядку. – Чернiвцi: Прут, 2001. – 228 с.
19. Ленюк М. П. Гибридные интегральные преобразования (Бесселя, Лежандра, Бесселя) // Укр.
мат. журн. – 1991. – 43, № 6. – С. 770 – 779.
20. Ленюк М. П., Олейник Н. П. Об одном классе интегральных преобразований (Бесселя – Фурье –
Бесселя – . . . – Фурье – Бесселя) на полярной оси с 2n точками сопряжения // Там же. – 1993. –
45, № 8. – С. 1096 – 1103.
Одержано 12.09.2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-3396 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:41:44Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d4/3ab4712d5980cd9b3783f497fdf259d4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33962020-03-18T19:53:10Z Generalized hybrid Mehler-Fock-type integral transformation of the first kind and its applications Узагальнене гібридне інтегральне перетворення типу Мелера–Фока 1-го роду та його застосування Konet, I. M. Конет, І. М. We introduce a generalized hybrid integral transformation of the Mehler-Fock type on a segment [0; R] with n conjugate points. We consider examples of application of this transformation to the solution of typical singular boundary-value problems for linear partial differential equations of the second order in piecewise-homogeneous media. Введено обобщенное гибридное интегральное преобразование типа Мелера-Фока на отрезке [0; R] с n точками сопряжения. Рассмотрены примеры применения этого преобразования к решению типичных сингулярных краевых задач для линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка в кусочно-однородных средах. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3396 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 10 (2007); 1376–1390 Український математичний журнал; Том 59 № 10 (2007); 1376–1390 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3396/3535 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3396/3536 Copyright (c) 2007 Konet I. M. |
| spellingShingle | Konet, I. M. Конет, І. М. Generalized hybrid Mehler-Fock-type integral transformation of the first kind and its applications |
| title | Generalized hybrid Mehler-Fock-type integral transformation of the first kind and its applications |
| title_alt | Узагальнене гібридне інтегральне перетворення типу Мелера–Фока 1-го роду та його застосування |
| title_full | Generalized hybrid Mehler-Fock-type integral transformation of the first kind and its applications |
| title_fullStr | Generalized hybrid Mehler-Fock-type integral transformation of the first kind and its applications |
| title_full_unstemmed | Generalized hybrid Mehler-Fock-type integral transformation of the first kind and its applications |
| title_short | Generalized hybrid Mehler-Fock-type integral transformation of the first kind and its applications |
| title_sort | generalized hybrid mehler-fock-type integral transformation of the first kind and its applications |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3396 |
| work_keys_str_mv | AT konetim generalizedhybridmehlerfocktypeintegraltransformationofthefirstkindanditsapplications AT konetím generalizedhybridmehlerfocktypeintegraltransformationofthefirstkindanditsapplications AT konetim uzagalʹnenegíbridneíntegralʹneperetvorennâtipumelerafoka1gorodutajogozastosuvannâ AT konetím uzagalʹnenegíbridneíntegralʹneperetvorennâtipumelerafoka1gorodutajogozastosuvannâ |