On some new criteria for infinite differentiability of periodic functions
The set $\mathcal{D}^{\infty}$ of infinitely differentiable periodic functions is studied in terms of generalized $\overline{\psi}$-derivatives defined by a pair $\overline{\psi} = (\psi_1, \psi_2)$ of sequences $\psi_1$ and $\psi_2$ . It is shown that every function $f$ from the set $\mathcal{D}^...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3398 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509480422211584 |
|---|---|
| author | Serdyuk, A. S. Stepanets, O. I. Shydlich, A. L. Сердюк, А. С. Степанець, О. І. Шидліч, А. Л. |
| author_facet | Serdyuk, A. S. Stepanets, O. I. Shydlich, A. L. Сердюк, А. С. Степанець, О. І. Шидліч, А. Л. |
| author_sort | Serdyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:53:10Z |
| description | The set $\mathcal{D}^{\infty}$ of infinitely differentiable periodic functions is studied in terms of generalized $\overline{\psi}$-derivatives defined by a pair $\overline{\psi} = (\psi_1, \psi_2)$ of
sequences $\psi_1$ and $\psi_2$ .
It is shown that every function $f$ from the set $\mathcal{D}^{\infty}$ has at least one derivative whose parameters $\psi_1$ and $\psi_2$ decrease faster than any power function, and, at the same time, for an arbitrary
function $f \in \mathcal{D}^{\infty}$ different from a trigonometric polynomial, there exists a pair $\psi$ whose parameters $\psi_1$ and $\psi_2$ have the same rate of decrease and for which the $\overline{\psi}$-derivative no longer exists.
|
| first_indexed | 2026-03-24T02:41:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
О. I. Степанець, А. С. Сердюк, А. Л. Шидлiч
(Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРО ДЕЯКI НОВI КРИТЕРIЇ
НЕСКIНЧЕННОЇ ДИФЕРЕНЦIЙОВНОСТI
ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ∗
The set D∞ of infinitely differentiable periodic functions is studied in terms of generalized ψ̄-derivatives
defined by a pair ψ̄ = (ψ1, ψ2) of sequences ψ1 and ψ2. It is shown that every function f from the set
D∞ has at least one derivative whose parameters ψ1 and ψ2 decrease faster than any power function,
and, at the same time, for an arbitrary function f ∈ D∞ different from a trigonometric polynomial, there
exists a pair ψ whose parameters ψ1 and ψ2 have the same rate of decrease and for which the ψ̄-derivative
no longer exists.
Изучается множество D∞ бесконечно дифференцируемых периодических функций в терминах
обобщенных ψ̄-производных, определяемых парой ψ̄ = (ψ1, ψ2) последовательностей ψ1 и ψ2.
Показано, что каждая функция f из множества D∞ имеет по крайней мере одну производную,
параметры которой ψ1 и ψ2 убывают быстрее, чем произвольная степенная функция, и в то же время
для произвольной функции f ∈ D∞, отличной от тригонометрического полинома, найдется пара
ψ̄, параметры ψ1 и ψ2 которой имеют такую же скорость убывания и для которой ψ̄-производная
уже не существует.
Нехай L — простiр iнтегровних 2π-перiодичних функцiй, f ∈ L i
S[f ] =
a0
2
+
∞∑
k=1
(ak cos kx+ bk sin kx) =
∞∑
k=0
Ak(f ;x)
— ряд Фур’є функцiї f. Нехай, далi, ψ̄ = (ψ1, ψ2) — пара довiльних числових
послiдовностей таких, що ψ2(k) = ψ2
1(k) + ψ2
2(k) 6= 0, k ∈ N. Якщо ряд
∞∑
k=1
(
ψ1(k)
ψ2(k)
Ak(f ;x)− ψ2(k)
ψ2(k)
Ãk(f ;x)
)
, (1)
де Ãk(f ;x) = ak sin kx − bk cos kx, є рядом Фур’є деякої функцiї ϕ ∈ L, то ϕ
називають ψ̄-похiдною функцiї f i записують ϕ(·) = Dψ̄(f ; ·) = f ψ̄(·).
Зазначимо, що у випадку, коли
ψ1(k) = k−r cos
rπ
2
, ψ2(k) = k−r sin
rπ
2
, r > 0,
ψ̄-похiдна збiгається з дробовою похiдною в сенсi Вейля, яка, в свою чергу, при
натуральних значеннях r є звичайною похiдною порядку r.
Пiдмножину всiх функцiй f ∈ L, у яких iснують ψ̄-похiднi, позначають через
Lψ̄.Нехай такожC — простiр неперервних 2π-перiодичних функцiй, C ψ̄ = Lψ̄
⋂
C,
i M — множина всiх додатних опуклих донизу спадних до нуля послiдовностей:
M =
{
λ(k) : λ(k) > 0, λ(k)− 2λ(k + 1) + λ(k + 2) ≥ 0 ∀k ∈ N, lim
k→∞
λ(k) = 0
}
.
∗ Частково пiдтримано Державним фондом фундаментальних дослiджень України (грант
25.1/0.43).
c© О. I. СТЕПАНЕЦЬ, А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛIЧ, 2007
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10 1399
1400 О. I. СТЕПАНЕЦЬ, А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛIЧ
Узагальненi ψ̄-похiднi були введенi О. I. Степанцем у 80-х роках минулого
столiття (див., наприклад, [1 – 4]). За допомогою цих похiдних вдається ранжува-
ти весь спектр iнтегровних 2π-перiодичних функцiй, починаючи з функцiй, ряди
Фур’є яких можуть навiть розбiгатися, i закiнчуючи нескiнченно диференцiйовни-
ми, серед яких аналiтичнi i цiлi функцiї. При цьому виявилось, що, без суттєвих
втрат загальностi, послiдовностi ψ1 i ψ2 можна вибирати лише iз множини M,
оскiльки, як показано в [5] (гл. III), кожна функцiя f ∈ C (або ж f ∈ L) має
принаймнi одну ψ̄-похiдну f ψ̄(·), котра мiститься в C (або ж в L), причому пару
ψ̄ = (ψ1, ψ2) можна брати так, щоб ψ1, ψ2 ∈ M. Таким чином, виконуються
рiвностi ⋃
ψ1,ψ2∈M
Lψ̄ = L,
⋃
ψ1,ψ2∈M
C ψ̄ = C. (2)
Якщо T — множина всiх тригонометричних полiномiв i f ∈ T, то зрозумiло, що
якою б не була пара ψ̄, функцiя f має ψ̄-похiдну. Звiдси, зокрема, випливає, що
множина Lψ̄ не може бути порожньою. Зрозумiло також, що
⋂̄
ψ
Lψ̄ = T, якщо ψ̄
пробiгає всю множину пар, для яких ψ2(k) 6= 0, k ∈ N. Бiльш того, виконується
рiвнiсть ⋂
ψ1,ψ2∈M
Lψ̄ = T. (3)
Звернемо увагу на те, що рiвностi (2) означають, що коли пара ψ̄ = (ψ1, ψ2)
пробiгає множину M×M, то вся множина L (або C) розбивається на пiдмножини
(класи) Lψ̄ (або C ψ̄). Рiвнiсть (3) означає, що при такiй класифiкацiї залишаються
нерозрiзненними тiльки тригонометричнi полiноми. Принагiдно зазначимо, що
спiльна частина вiдомих класiв W r складається з множини D∞ всiх нескiнченно
диференцiйовних 2π-перiодичних функцiй, оскiльки, як вiдомо, функцiя f нале-
жить множинi D∞ тодi i тiльки тодi, коли її коефiцiєнти Фур’є ck(f) спадають до
нуля швидше за довiльну степеневу функцiю:
f ∈ D∞ ⇐⇒ lim
k→∞
krck(f) = 0 ∀r > 0. (4)
Тобто в шкалi класiв W r такi функцiї розрiзнити не можна.
У данiй роботi встановлено необхiднi i достатнi умови нескiнченної диферен-
цiйовностi функцiї f, якi сформульовано в термiнах їх ψ̄-похiдних, компоненти ψ1
та ψ2 яких вибрано з множини M. Це дає змогу ранжувати всю множину D∞ в
залежностi вiд швидкостi спадання послiдовностей ψ, що визначають цi похiднi.
Не зменшуючи загальностi, будемо вважати, що послiдовностi ψ(k) з множини
M є звуженнями на множину натуральних чисел деяких додатних неперервних
опуклих донизу функцiй ψ(t) неперервного аргумента t ≥ 1, що прямують до нуля
при t→∞. Множину всiх таких функцiй також будемо позначати через M:
M =
{
ψ(t) : ψ(t) > 0, ψ(t1)− 2ψ((t1 + t2)/2) + ψ(t2) ≥ 0
∀t1, t2 ∈ [1,∞), lim
t→∞
ψ(t) = 0
}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
ПРО ДЕЯКI НОВI КРИТЕРIЇ НЕСКIНЧЕННОЇ ДИФЕРЕНЦIЙОВНОСТI ... 1401
Для характеристики швидкостi спадання до нуля функцiй ψ з множини M зручно
використовувати пару функцiй η(t) = η(ψ; t) i µ(t) = µ(ψ; t), якi визначаються
таким чином. При будь-якому t ≥ 1
ψ(η(t)) =
1
2
ψ(t).
Внаслiдок строгої монотонностi функцiї ψ значення η(t) при кожному t ≥ 1 визна-
чається однозначно:
η(t) = η(ψ; t) = ψ−1
(
1
2
ψ(t)
)
.
Функцiя µ(t) задається рiвнiстю
µ(t) = µ(ψ; t) =
t
η(t)− t
.
Через M+
∞ позначимо пiдмножину всiх функцiй ψ ∈ M, для яких величина
µ(ψ; t) монотонно i необмежено зростає при t→∞:
M+
∞ =
{
ψ(t) ∈ M : µ(ψ; t) ↑ ∞
}
.
Зазначимо, що типовими представниками множини M+
∞ є функцiї ψ(t) =
= ts lnε(t+ e)e−αt
r
при будь-яких додатних α та r i дiйсних s та ε.
Основним результатом роботи є таке твердження.
Теорема 1. Якщо f ∈ D∞, то можна вказати пару функцiй ψ̄ = (ψ1, ψ2)
таку, що ψ1, ψ2 ∈ M+
∞, i в функцiї f iснує ψ̄-похiдна f ψ̄, тобто f ∈ Cψ̄.
Водночас для довiльної функцiї f ∈ L \ T можна вказати пару ψ̄ = (ψ1, ψ2)
таку, що ψ1, ψ2 ∈ M+
∞, i f ∈̄Lψ̄, тобто f ψ̄ не iснує.
Доведення. Нехай функцiя f належить множинi D∞. Записуючи її ряд Фур’є
у виглядi
S[f ] =
a0
2
+
∞∑
k=1
(ak cos kx+ bk sin kx) =
a0
2
+
∞∑
k=1
ck cos
(
kx− γkπ
2
)
,
ck =
√
a2
k + b2k, cos
γkπ
2
=
ak
ck
, sin
γkπ
2
=
bk
ck
,
(5)
i враховуючи (4), бачимо, що при будь-якому r > 0
lim
k→∞
krck = 0.
Тому функцiя
a(t) = sup
k≥t
{ckk2}, t ≥ 1, (6)
є кусково-сталою, не зростає i для неї справджується рiвнiсть
lim
t→∞
a(t) = 0.
Переконаємось, що для доведення першої частини теореми досить показати, що
iснує функцiя ψ ∈ M+
∞ така, що при всiх t ≥ 1 виконується нерiвнiсть a(t) ≤ ψ(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
1402 О. I. СТЕПАНЕЦЬ, А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛIЧ
Дiйсно, в цьому випадку для будь-яких послiдовностей ψ1(k) i ψ2(k), для яких
ψ(k) =
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k), ряд
∞∑
k=1
(
ψ1(k)
ψ2(k)
(ak cos kx+ bk sin kx)− ψ2(k)
ψ2(k)
(ak sin kx− bk cos kx)
)
=
=
∞∑
k=1
1
ψ(k)
(
ψ1(k)
ψ(k)
ck cos(kx− γkπ
2
)− ψ2(k)
ψ(k)
ck sin(kx− γkπ
2
)
)
=
=
∞∑
k=1
ck
ψ(k)
cos
(
kx− (γk − βk)π
2
)
,
де послiдовностi βk визначаються за допомогою системи
cos
βkπ
2
=
ψ1(k)
ψ(k)
,
sin
βkπ
2
=
ψ2(k)
ψ(k)
,
a послiдовностi γk — за допомогою рiвностей (5), внаслiдок того, що ψ(k) ≥ a(k) ≥
≥ k2ck ∀k ∈ N, буде абсолютно збiжним, а отже, буде рядом Фур’є деякої сумовної
функцiї f ψ̄, тобто f належатиме множинi C ψ̄.
Таким чином, необхiдно встановити iснування функцiї ψ ∈ M+
∞, для якої
справджується нерiвнiсть
a(t) ≤ ψ(t).
Зобразимо функцiю a(t) при t > 1 у виглядi a(t) = t−r(t). Тодi
r(t) = − ln a(t)
ln t
,
i оскiльки для довiльного r > 0 lim
t→∞
tra(t) = 0, то при кожному r > 0 для досить
великих значень t справджується нерiвнiсть a(t)tr < 1. Звiдси випливає, що для
таких t
r < − ln a(t)
ln t
= r(t),
тобто
lim
t→∞
r(t) = +∞.
Спочатку побудуємо додатну функцiю ϕ(t), t ≥ 1, друга похiдна якої ϕ′′(t) є
недодатною: ϕ′′(t) ≤ 0, lim
t→∞
ϕ(t) = +∞, i для якої при всiх t, бiльших за деяке
число b ≥ 1, виконується нерiвнiсть ϕ(t) ≤ r(t).
Побудову функцiї ϕ можна здiйснити, зокрема, таким чином. Побудуємо спо-
чатку кусково-сталу неспадну функцiю f1(t), t ≥ 1, таку, що lim
t→∞
f1(t) = +∞ i
f1(t) ≤ r(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
ПРО ДЕЯКI НОВI КРИТЕРIЇ НЕСКIНЧЕННОЇ ДИФЕРЕНЦIЙОВНОСТI ... 1403
Покладемо t0 = 1, i через t1, t1 ≥ t0 + 1 позначимо довiльне число таке,
що при всiх t ≥ t1 cправджується нерiвнiсть r(t) > 0. Зрозумiло, що таке число
iснує. Через t2, t2 ≥ t1 + 1, позначимо довiльне число таке, що при всiх t ≥ t2
cправджується нерiвнiсть r(t) > inf
t≥t1
r(t), через t3, t3 ≥ t2 +1, позначимо довiльне
число таке, що при всiх t ≥ t3 r(x) > inf
t≥t2
r(t), i продовжимо процес вибору чисел
ti при i = 4, 5, . . . .
Означимо функцiю f1 за допомогою рiвностей
f1(t) =
inf
t≥1
r(t), t ∈ [1, t1),
inf
t≥tk−1
r(t), t ∈ [tk−1, tk), k = 2, 3, . . . .
Побудована функцiя f1(t) не спадає, для неї виконується нерiвнiсть f1(t) ≤ r(t) i
lim
t→∞
f1(t) = +∞.
Далi, побудуємо невiд’ємну кусково-лiнiйну монотонно зростаючу до нескiн-
ченностi функцiю f2(t), t > 0, графiк якої є опуклою догори кривою i при всiх
t ≥ t1 лежить нижче графiка функцiї f1(t). Для цього розглянемо систему то-
чок A0, A1, A2, . . . таких, що A0 = A0(0; 0), a при довiльному натуральному k
Ak = Ak(tk+1, f1(tk)).
Нехай r0 = r0(t) — функцiя, графiком якої є промiнь A0A1. Якщо промiнь A0A1
лежить нижче графiка функцiї f1 при t ≥ t2, то при t ≥ 0 покладемо f2(t) = r0(t), i
процес побудови функцiї f2 буде завершено. Якщо ж цей промiнь перетинає графiк
функцiї f1, то покладемо f2(t) = r0(t) на промiжку t ∈ [0, tk0+1), де tk0+1 = t2, i
через ∆1 = [tk1 , tk1+1) позначимо пiвсегмент, який мiстить точку перетину даного
променя з графiком функцiї f1 (якщо ж таких пiвсегментiв декiлька, то через
∆1 = [tk1 , tk1+1) позначимо пiвсегмент, що мiстить точку перетину з найменшою
абсцисою).
Через r1 = r1(t) позначимо функцiю, графiком якої є промiнь A1Ak1 , Ak1 =
= Ak1
(
tk1+1, f1(tk1)
)
, i на промiжку t ∈ [tk0+1, tk1+1) покладемо f2(t) = r1(t).
Якщо промiнь A1Ak1 лежить нижче графiка функцiї f1, то при всiх t ≥ tk1+1
покладемо f2(t) = r1(t), i процес побудови функцiї f2 буде завершено. Якщо ж
цей промiнь перетинає графiк функцiї f1, то через ∆2 = [tk2 , tk2+1) позначимо
пiвсегмент, який мiстить точку перетину променя A1Ak1 з графiком функцiї f1 (у
випадку, коли таких точок декiлька, через ∆2 = [tk2 , tk2+1) позначимо пiвсегмент,
що мiстить точку перетину з найменшою абсцисою).
Через r2 = r2(t) позначимо функцiю, графiком якої є промiнь Ak1Ak2 , Ak2 =
= Ak2
(
tk2+1, f1(tk2)
)
, i на промiжку t ∈ [tk1+1, tk2+1) покладемо f2(t) = r2(t).
Продовжуючи цей процес, на деякому, наприклад i-му, кроцi може виявитися,
що промiнь Aki−1Aki
лежить нижче графiка функцiї f1. У такому випадку для
довiльного t ≥ tki+1 покладемо f2(t) = ri(t), де ri — функцiя, графiком якої
є промiнь Aki−1Aki
. Якщо ж цей промiнь перетинає графiк функцiї f1, то че-
рез ∆i = [tki
, tki+1) позначимо пiвсегмент, який мiстить точку перетину променя
Aki−1Aki
з графiком функцiї f1 (якщо ж таких пiвсегментiв декiлька, то через
∆i = [tki
, tki+1) позначимо пiвсегмент, що мiстить точку перетину з найменшою
абсцисою).
Через ri = ri(t) позначимо функцiю, графiком якої є промiнь Aki−1Aki , Aki =
= Aki
(
tki+1, f1(tki)
)
, i на промiжку t ∈ [tki , tki+1) покладемо f2(t) = ri(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
1404 О. I. СТЕПАНЕЦЬ, А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛIЧ
В результатi даного процесу буде побудовано невiд’ємну опуклу догори кусково-
лiнiйну функцiю f2(t), t > 0, таку, що f(0) = 0, при всiх t ≥ t1 справджується
нерiвнiсть f2(t) ≤ f1(t) ≤ r(t) i
lim
t→∞
f2(t) = +∞.
Зрозумiло, що функцiю f2(t) в околах вузлiв tki+1 можна згладити так, щоб
одержана функцiя ϕ(t), t > 0, мала такi властивостi:
а) ϕ(0) = 0,
б) ϕ′′(t) ≤ 0 ∀t > 0,
в) lim
t→∞
ϕ(t) = +∞,
г) ϕ(t) ≤ r(t) ∀t ≥ t1.
У такому випадку при всiх t ≥ t1 буде справджуватися спiввiдношення g(t) df=
df= t−ϕ(t) ≥ t−r(x) = a(t), i оскiльки
g′′(t) =
= t−ϕ(t)
(
(ϕ′(t) ln t)2 +
2ϕ(t)ϕ′(t) ln t
t
+
ϕ2(t)
t2
− ϕ′′(t) ln t− 2ϕ′(t)
t
+
ϕ(t)
t2
)
≥
≥
(
ϕ′(t) ln t− 1
t ln t
)2
− 1
t2 ln2 t
+
ϕ(t)
t2
≥ 1
t2
(
ϕ(t)− 1
ln2 t
)
,
то, починаючи з деякого числа b1 ≥ 1, функцiя g(t) буде опуклою донизу.
Розглянемо тепер функцiю
ψ(t) = ψ(t;K) = K exp
−1
2
t∫
1
ϕ(τ)
τ
dτ
, t ≥ 1, (7)
де K > 0 — довiльна фiксована стала. Зрозумiло, що lim
t→∞
ψ(t) = 0. Похiдна
функцiї ψ має вигляд
ψ′(t) = −1
2
K exp
−1
2
t∫
1
ϕ(τ)
τ
dτ
ϕ(t)
t
.
Внаслiдок опуклостi ϕ i того, що ϕ(0) = 0, кут нахилу сiчної, проведеної з початку
координат до довiльної точки графiка функцiї ϕ(t), не зростає. Звiдси випливає,
що вiдношення t/ϕ(t) не спадає, i тому функцiя ψ ′(t) також є неспадною. Отже,
ψ ∈ M i оскiльки величина
α(ψ; t) =
ψ(t)
t|ψ′(t)|
=
2
ϕ(t)
(8)
монотонно спадає до нуля при t → ∞, то за теоремою 12.1 монографiї [5, c. 161]
(див. також [6]) функцiя ψ належить i множинi M+
∞.
Покажемо, що при певному виборi сталоїK графiк функцiї ψ(t;K) буде лежати
вище графiка функцiї a(t), визначеної рiвнiстю (6).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
ПРО ДЕЯКI НОВI КРИТЕРIЇ НЕСКIНЧЕННОЇ ДИФЕРЕНЦIЙОВНОСТI ... 1405
За побудовою функцiї g(t) та означенням характеристики η = η(g; t) при будь-
якому t ≥ b1 маємо
t−ϕ(t) = g(t) = 2g(η(t)) = 2η(g; t)−ϕ(η(g;t)).
Оскiльки
lim
t→∞
ln(1 + 1/ϕ(t))
1/ϕ(t)
= 1,
то для довiльного ε ∈ (0, 1− ln 2) iснує число t∗ ≥ b1 таке, що при всiх t ≥ t∗
ϕ
(
t+
t
ϕ(t)
)
ln
(
t+
t
ϕ(t)
)
= ϕ
(
t+
t
ϕ(t)
)(
ln t+ ln
(
1 +
1
ϕ(t)
))
≥
≥ ϕ
(
t+
t
ϕ(t)
)(
ln t+
1− ε
ϕ(t)
)
≥ ϕ(t)
(
ln t+
ln 2
ϕ(t)
)
= ϕ(t) ln t+ ln 2.
Звiдси випливає, що для довiльного t ≥ t∗
g
(
t+
t
ϕ(t)
)
=
(
t+
t
ϕ(t)
)−ϕ(t+ t
ϕ(t)
)
≤ 1
2
t−ϕ(t) =
1
2
g(t) = g(η(g; t)),
i тому
η(g; t) ≤ t+
t
ϕ(t)
, t ≥ t∗.
Оскiльки на пiдставi (8) та вiдомої нерiвностi
ψ(t)
t|ψ′(t)|
≤ 2
η(ψ; t)− t
t
∀t ≥ 1, ψ ∈ M (9)
(див., наприклад, [5, c. 164; 6]), виконується спiввiдношення
α(ψ; t) =
ψ(t)
t|ψ′(t)|
=
2
ϕ(t)
≤ 2
η(ψ; t)− t
t
∀t ≥ 1,
то при всiх t ≥ t∗ справджується нерiвнiсть
η(g; t) ≤ t+
t
ϕ(t)
≤ η(ψ; t). (10)
Тому якщо для деякого числа t ≥ t∗ виконується умова g(t) ≤ ψ(t), то
g(η(g; t)) =
1
2
g(t) ≤ 1
2
ψ(t) = ψ(η(ψ; t)) ≤ ψ(η(g; t)).
В рiвностi (7) пiдберемо число K = K0 так, щоб при всiх t ∈
[
1, η(g; t∗)
]
виконувалась нерiвнiсть ψ(t;K0) ≥ g(t). Тодi внаслiдок (10) така ж нерiвнiсть буде
виконуватись i при всiх t > η(g; t∗), тому
a(t) ≤ g(t) ≤ ψ
K0
(t), t ≥ 1.
Таким чином, функцiя ψ(t) = ψ(t;K0), яка визначається рiвнiстю (7) при K = K0,
належить множинi M+
∞, i для неї при всiх t ≥ 1 справджується нерiвнiсть ψ(t) ≥
≥ a(t), тобто ψ є шуканою, i цим першу частину теореми 1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
1406 О. I. СТЕПАНЕЦЬ, А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛIЧ
Переконаємось в справедливостi її другої частини. А саме, покажемо, що для
будь-якої функцiї f ∈ L \T можна вказати пару ψ̄ = (ψ1, ψ2) таку, що ψ ∈ M+
∞, де
ψ(k) =
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k), i f ∈̄Lψ̄.
За твердженням 11.10 iз [5, c. 157] для кожної 2π-перiодичної сумовної функцiї
f, яка не належить множинi T, можна вказати пару ψ̄f = (ψ1, ψ2) таку, що f ∈̄Lψ̄f i
функцiя ψf (t) =
√
ψ2
1(t) + ψ2
2(t) належить множинi M. Тому для доведення другої
частини теореми досить встановити iснування функцiї ψ ∈ M+
∞, графiк якої лежить
не вище графiка функцiї ψf .
Якщо ψf ∈ M+
∞, то в якостi функцiї ψ можна взяти саму функцiю ψf . Якщо ж
це не так, то будемо дiяти таким чином.
Побудуємо функцiю ϕ(t) ∈ M таку, щоб її графiк лежав не вище графiка функцiї
ξ(t) df= η(ψf ; t)− t i при цьому виконувалась нерiвнiсть
∣∣ϕ′(t)∣∣ ≤ 3
2
. (11)
Зрозумiло, що у випадку, коли η(ψf ; t)− t ≥ C > 0, побудова функцiї ϕ є тривiаль-
ною. Якщо ж lim
t→∞
(η(ψf ; t)− t) = 0, то побудувати функцiю ϕ можна, зокрема, ви-
користовуючи схему, запропоновану при доведеннi твердження 11.10 iз [5, c. 157].
Побудуємо допомiжну функцiю l = l(x) таким чином. Покладемо z0 =
= (1, ξ(1)). Промiнь l1, що виходить з точки z0 в напрямку, протилежному осi
ординат, будемо обертати проти годинникової стрiлки доти, доки вiн не торкнеться
графiка функцiї ξ(t). Точку дотику позначимо через z1 = (t1, y1). Якщо таких точок
дотику декiлька, то через z1 = (t1, y1) позначимо точку з найбiльшою абсцисою.
На промiжку [1, t1] означимо функцiю l(t) так, щоб її графiк збiгся з вiдрiзком,
який сполучає точки z0 та z1.
Далi, промiнь l2, який виходить з точки z1 i напрям якого збiгається з напрямом
променя l1 в останньому положеннi, знову будемо обертати проти годинникової
стрiлки доти, доки вiн не торкнеться графiка функцiї ξ(t). Точку дотику позначимо
через z2 = (t2, y2). Якщо таких точок дотику декiлька, то через z2 = (t2, y2)
позначимо точку з найбiльшою абсцисою. На промiжку [t1, t2] означимо функцiю
l(t) так, щоб її графiк збiгся з вiдрiзком, який сполучає точки z1 та z2.
Продовжуючи цей процес, в результатi побудуємо функцiю l(t), t ≥ 1, яка на-
лежатиме множинi M, таку, що l(t) ≤ ξ(t), t ≥ 1. Згiдно з побудовою при всiх
досить великих t, за винятком вузлiв ti, виконуватиметься нерiвнiсть
∣∣l′(t)∣∣ ≤ 3
2
.
Зрозумiло, що функцiю l можна пiдправити таким чином, щоб одержана функцiя
ϕ належала множинi M i при t ≥ 1 задовольняла нерiвнiсть (11) та умову
ϕ(t) ≤ ξ(t) = η(ψf ; t)− t. (12)
Розглянемо функцiю
ψ(t) = ψ(t;K) = K exp
−3
2
t∫
1
dτ
ϕ(τ)
, t ≥ 1, (13)
де K — довiльна додатна стала. Оскiльки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
ПРО ДЕЯКI НОВI КРИТЕРIЇ НЕСКIНЧЕННОЇ ДИФЕРЕНЦIЙОВНОСТI ... 1407
ψ′(t) = −3
2
K exp
−3
2
t∫
1
dτ
ϕ(τ)
1
ϕ(t)
< 0
i
ψ′′(t) =
3
2
K exp
−3
2
t∫
1
dτ
ϕ(τ)
1
ϕ2(t)
(
3
2
+ ϕ′(t)
)
≥ 0,
то ψ ∈ M. Величина
α(ψ; t) =
ψ(t)
t|ψ′(t)|
=
2ϕ(t)
3t
(14)
монотонно спадає до нуля при t → ∞, тому на пiдставi теореми 12.1 монографiї
[5, c. 161] (див. також [6]) робимо висновок, що ψ ∈ M+
∞.
Переконаємось, що при певному виборi сталої K графiк функцiї ψ(t;K) буде
лежати нижче графiка функцiї ψf (t).
Оскiльки ψ ∈ M+
∞, то для будь-якого t ≥ 1
η′(ψ; t) ≤ 1 + γ(t),
де γ(t) — деяка функцiя, яка прямує до нуля при t → ∞ (див., наприклад, [5,
c. 166]). Тому при всiх t, бiльших за деяке число t̄ ≥ 1, виконується спiввiдношення
η′(ψ; t) =
ψ′(t)
2ψ′(η(ψ; t))
≤ 3
2
.
Звiдси, внаслiдок (12), (14) i того, що
∣∣ψ′(η(ψ; t))
∣∣(η(ψ; t)− t
)
≤ −
η(ψ;t)∫
t
ψ′(τ)dτ =
1
2
ψ(t), t ≥ 1,
випливає, що при всiх t ≥ t̄ справджуються спiввiдношення
η(ψ; t)− t
t
≤ ψ(t)
2t|ψ′(η(ψ; t))|
≤ 3
2
ψ(t)
t|ψ′(t)|
=
3
2
α(ψ; t) =
ϕ(t)
t
≤ η(ψf ; t)− t
t
.
Тому при всiх t ≥ t̄ маємо
η(ψ; t) ≤ η(ψf ; t). (15)
Виберемо в (13) число K = K0 так, щоб при всiх t ∈
[
1, η(ψ; t̄)
]
виконувалась
нерiвнiсть ψ(t;K0) ≤ ψf (t). Тодi внаслiдок (15) така ж нерiвнiсть буде виконува-
тись i при всiх t > η(ψ; t̄).
Отже, функцiя ψ(t) = ψ(t;K0), яка при довiльному t ≥ 1 визначається рiвнiстю
(13), де K = K0, належить множинi M+
∞, i для неї при всiх t ≥ 1 справджується
нерiвнiсть ψ(t) ≤ ψf (t), тобто ψ є шуканою.
Теорему доведено.
Теорема 1 дозволяє встановити декiлька нових критерiїв належностi функцiї f
до множини D∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
1408 О. I. СТЕПАНЕЦЬ, А. С. СЕРДЮК, А. Л. ШИДЛIЧ
Нехай M∞ — пiдмножина всiх функцiй ψ ∈ M, якi спадають до нуля швидше
за довiльну степеневу функцiю:
M∞ =
{
ψ ∈ M : ∀r > 0: lim
t→∞
trψ(t) = 0
}
. (16)
Через Mα позначимо пiдмножину всiх функцiй ψ ∈ M, для яких величина α(ψ; t) =
=
ψ(t)
t|ψ′(t)|
, ψ′(t) df=ψ′(t+ 0), спадає до нуля при t→∞:
Mα =
{
ψ(t) ∈ M : lim
t→∞
α(ψ; t) = 0
}
,
через M′
∞ — пiдмножину всiх функцiй ψ ∈ M, для яких величина µ(ψ; t) прямує
до нескiнченностi при t→∞:
M′
∞ =
{
ψ(t) ∈ M : lim
t→∞
µ(ψ; t) = ∞
}
.
Якщо функцiя ψ належить множинi M′
∞, то внаслiдок (9) справджується спiв-
вiдношення
0 ≤ lim
t→∞
α(t) = lim
t→∞
ψ(t)
t|ψ′(t)|
≤ 2 lim
t→∞
η(ψ; t)− t
t
= 0,
тобто ψ належить множинi Mα.
Для довiльної функцiї ψ ∈ M при будь-якому t > 1 виконується рiвнiсть
ψ(t) = ψ(1)exp
− t∫
1
dτ
τα(τ)
(див., наприклад, [5, с. 164]). Тому якщо ψ ∈ Mα, то для довiльного r > 0 i
будь-якого t0 такого, що 1/α(t) ≥ r + 1, t ≥ t0, маємо
lim
t→∞
trψ(t) = ψ(1) lim
t→∞
exp
r ln t−
t∫
1
dτ
τα(τ)
≤
≤ ψ(1) lim
t→∞
exp
− t∫
t0
1
τ
( 1
α(τ)
− r
)
dτ + r ln t0
≤
≤ ψ(1) lim
t→∞
e− ln t+(r+1) ln t0 = 0,
i, отже, ψ належить множинi M∞.
Таким чином, виконуються наступнi вкладення:
M+
∞ ⊂ M′
∞ ⊂ Mα ⊂ M∞. (17)
Якщо f ∈ Cψ̄ для деякої пари ψ̄ = (ψ1, ψ2), для якої функцiя ψ(k) =
=
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k) належить множинi M∞, то внаслiдок (16) ряд (1) можна дифе-
ренцiювати довiльну кiлькiсть разiв, i в результатi будемо отримувати рiвномiрно
збiжнi ряди i, отже, f ∈ D∞.
Звiдси на пiдставi ланцюжка вкладень (17) i теореми 1 отримуємо таке тверд-
ження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
ПРО ДЕЯКI НОВI КРИТЕРIЇ НЕСКIНЧЕННОЇ ДИФЕРЕНЦIЙОВНОСТI ... 1409
Теорема 2. НехайM— будь-яка з множин M+
∞,M
′
∞,M
α або M∞.Наступнi
твердження є еквiвалентними:
i) функцiя f належить множинi D∞;
ii) iснує функцiя ψ(t) з множиниM така, що f ∈ Cψ̄ для всiх пар ψ̄ = (ψ1, ψ2),
для яких при кожному k ∈ N справджується рiвнiсть ψ(k) =
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k);
iii) f ∈ Cψ̄ для деякої пари ψ̄ = (ψ1, ψ2) такої, що функцiя ψ(k) =
=
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k) належить множинi M.
На пiдставi теорем 1 та 2 отримуємо наступнi аналоги спiввiдношень (2) i (3):
D∞ =
⋃
ψ1, ψ2∈M∞
Cψ̄ =
⋃
ψ1, ψ2∈Mα
Cψ̄ =
⋃
ψ1, ψ2∈M′
∞
Cψ̄ =
⋃
ψ1, ψ2∈M+
∞
Cψ̄
i ⋂
ψ1,ψ2∈M∞
(D∞
⋂
Cψ̄) =
⋂
ψ1,ψ2∈Mα
(D∞
⋂
Cψ̄) =
=
⋂
ψ1,ψ2∈M′
∞
(D∞
⋂
Cψ̄) =
⋂
ψ1,ψ2∈M+
∞
(D∞
⋂
Cψ̄) = T.
Отже, весь спектр 2π-перiодичних нескiнченно диференцiйовних функцiй мож-
на проранжувати за допомогою їх ψ̄-похiдних, причому пари ψ̄ = (ψ1, ψ2) досить
вибирати так, щоб функцiї ψ(k) =
√
ψ2
1(k) + ψ2
2(k) належали до однiєї з множин
M+
∞, M′
∞, Mα або M∞. Нерозрiзненними при такiй класифiкацiї залишаються
тiльки тригонометричнi полiноми.
1. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка,
1987. – 268 с.
2. Степанец А. И. Скорость сходимости рядов Фурье на классах ψ̄-интегралов // Укр. мат. журн.
– 1997. – 49, № 8. – С. 1069 – 1113.
3. Степанец А. И. Приближение ψ̄-интегралов периодических функций суммами Фурье
(небольшая гладкость). I // Там же. – 1997. – 49, № 2. – С. 274 – 291.
4. Степанец А. И. Приближение ψ̄-интегралов периодических функций суммами Фурье
(небольшая гладкость). II // Там же. – 1998. – 50, № 3. – С. 388 – 400.
5. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Труды Ин-та математики НАН
Украины. – 2002. – 40, ч. I. – 427 c.
6. Степанец А. И. Несколько утверждений для выпуклых функций // Укр. мат. журн. – 1999. –
51, № 5. – C. 688 – 702.
Одержано 15.06.2007
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-3398 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:41:46Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/84/b33be03cc22ad6dfb15785f8d3030884.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33982020-03-18T19:53:10Z On some new criteria for infinite differentiability of periodic functions Про деякі нові критерії нескінченної диференційовності періодичних функцій Serdyuk, A. S. Stepanets, O. I. Shydlich, A. L. Сердюк, А. С. Степанець, О. І. Шидліч, А. Л. The set $\mathcal{D}^{\infty}$ of infinitely differentiable periodic functions is studied in terms of generalized $\overline{\psi}$-derivatives defined by a pair $\overline{\psi} = (\psi_1, \psi_2)$ of sequences $\psi_1$ and $\psi_2$ . It is shown that every function $f$ from the set $\mathcal{D}^{\infty}$ has at least one derivative whose parameters $\psi_1$ and $\psi_2$ decrease faster than any power function, and, at the same time, for an arbitrary function $f \in \mathcal{D}^{\infty}$ different from a trigonometric polynomial, there exists a pair $\psi$ whose parameters $\psi_1$ and $\psi_2$ have the same rate of decrease and for which the $\overline{\psi}$-derivative no longer exists. Изучается множество $\mathcal{D}^{\infty}$ бесконечно дифференцируемых периодических функций в терминах обобщенных $\overline{\psi}$-производных, определяемых парой $\overline{\psi} = (\psi_1, \psi_2)$ последовательностей $\psi_1$ и $\psi_2$. Показано, что каждая функция $f$ из множества $\mathcal{D}^{\infty}$ имеет по крайней мере одну производную, параметры которой $\psi_1$ и $\psi_2$ убывают быстрее, чем произвольная степенная функция, и в то же время для произвольной функции $f \in \mathcal{D}^{\infty}$ , отличной от тригонометрического полинома, найдется пара $\psi$, параметры $\psi_1$ и $\psi_2$ которой имеют такую же скорость убывания и для которой $\psi$-производная уже не существует. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3398 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 10 (2007); 1399–1409 Український математичний журнал; Том 59 № 10 (2007); 1399–1409 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3398/3539 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3398/3540 Copyright (c) 2007 Serdyuk A. S.; Stepanets O. I.; Shydlich A. L. |
| spellingShingle | Serdyuk, A. S. Stepanets, O. I. Shydlich, A. L. Сердюк, А. С. Степанець, О. І. Шидліч, А. Л. On some new criteria for infinite differentiability of periodic functions |
| title | On some new criteria for infinite differentiability of periodic functions |
| title_alt | Про деякі нові критерії нескінченної диференційовності періодичних функцій |
| title_full | On some new criteria for infinite differentiability of periodic functions |
| title_fullStr | On some new criteria for infinite differentiability of periodic functions |
| title_full_unstemmed | On some new criteria for infinite differentiability of periodic functions |
| title_short | On some new criteria for infinite differentiability of periodic functions |
| title_sort | on some new criteria for infinite differentiability of periodic functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3398 |
| work_keys_str_mv | AT serdyukas onsomenewcriteriaforinfinitedifferentiabilityofperiodicfunctions AT stepanetsoi onsomenewcriteriaforinfinitedifferentiabilityofperiodicfunctions AT shydlichal onsomenewcriteriaforinfinitedifferentiabilityofperiodicfunctions AT serdûkas onsomenewcriteriaforinfinitedifferentiabilityofperiodicfunctions AT stepanecʹoí onsomenewcriteriaforinfinitedifferentiabilityofperiodicfunctions AT šidlíčal onsomenewcriteriaforinfinitedifferentiabilityofperiodicfunctions AT serdyukas prodeâkínovíkriterííneskínčennoídiferencíjovnostíperíodičnihfunkcíj AT stepanetsoi prodeâkínovíkriterííneskínčennoídiferencíjovnostíperíodičnihfunkcíj AT shydlichal prodeâkínovíkriterííneskínčennoídiferencíjovnostíperíodičnihfunkcíj AT serdûkas prodeâkínovíkriterííneskínčennoídiferencíjovnostíperíodičnihfunkcíj AT stepanecʹoí prodeâkínovíkriterííneskínčennoídiferencíjovnostíperíodičnihfunkcíj AT šidlíčal prodeâkínovíkriterííneskínčennoídiferencíjovnostíperíodičnihfunkcíj |