On one criterion for analyticity of functions
We prove a generalization of the well-known Dzyadyk theorem that gives an interesting geometric criterion for the analyticity of functions.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3399 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509482098884608 |
|---|---|
| author | Trohimchuk, Yu. Yu Трохимчук, Ю. Ю. Трохимчук, Ю. Ю. |
| author_facet | Trohimchuk, Yu. Yu Трохимчук, Ю. Ю. Трохимчук, Ю. Ю. |
| author_sort | Trohimchuk, Yu. Yu |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:53:10Z |
| description | We prove a generalization of the well-known Dzyadyk theorem that gives an interesting geometric criterion for the analyticity of functions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:41:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.54
G. G. Troxymçuk (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
OB ODNOM KRYTERYY ANALYTYÇNOSTY FUNKCYJ
A generalization is proved for the well-known V. K. Dzyadyk theorem presenting an interesting
geometric criterion for the analyticity of functions.
Dovedeno uzahal\nennq vidomo] teoremy V. K. Dzqdyka, qka da[ cikavyj heometryçnyj kryterij
analityçnosti funkcij.
V.,K. Dzqd¥ku prynadleΩyt sledugwaq teorema [1] : esly v oblasty D C⊂
funkcyy u ( x, y ) , v ( x, y ) neprer¥vno dyfferencyruem¥ y poverxnosty Z =
= u ( x, y ) , Z = v ( x, y ) y Z = u2 2+ v nad kaΩdoj kompaktnoj podoblast\g D
ymegt odynakov¥e plowady, to lybo funkcyq f ( z ) = u i+ v, lybo f z( ) =
= u i− v qvlqetsq analytyçeskoj vsgdu v D.
Netrudno pokazat\ [2], çto v kaçestve tret\ej funkcyy vmesto u2 2+ v
moΩno vzqt\ proyzvol\nug hladkug funkcyg ϕ ( u, v ) , dlq kotoroj v¥polne-
no ravenstvo
∂
∂
+ ∂
∂
ϕ ϕ
u
2 2
v
= 1;
naprymer, moΩno poloΩyt\ ϕ = α βu + v , hde dlq postoqnn¥x α, β α β+ = 1.
Çto kasaetsq snqtyq takoho obremenytel\noho uslovyq, kak neprer¥vnaq
dyfferencyruemost\ u, v, to yzvestn¥j prymer funkcyy T.,Bora w =
= x i y+ na ploskosty pokaz¥vaet, çto daΩe uslovye Lypßyca ne moΩet obes-
peçyt\ spravedlyvost\ teorem¥.
Y vse Ωe teorema Dzqd¥ka dopuskaet usylenye, esly vmesto neprer¥vnosty
çastn¥x proyzvodn¥x ot u, v trebovat\ lyß\ yx suwestvovanyq vsgdu v oblas-
ty. Naßej cel\g y budet dokazatel\stvo πtoho obobwenyq. Netrudno doha-
dat\sq, çto ono budet osnovano na dostatoçno dlynnoj cepy druhyx predloΩe-
nyj (a nekotor¥e m¥ poluçym prosto poputno), no zato takyx, kaΩdoe yz koto-
r¥x naxodyt suwestvennoe prymenenye ne tol\ko v dannom konkretnom sluçae.
Ytak, osnovn¥m utverΩdenyem dannoj stat\y qvlqetsq sledugwaq teorema.
Teorema 1. Pust\ neprer¥vn¥e v oblasty D ⊂ C funkcyy u ( x, y ) , v ( x, y )
obladagt vsgdu koneçn¥my çastn¥my proyzvodn¥my. Esly dlq kaΩdoj
kompaktnoj podoblasty D, nad kotoroj poverxnosty Z = u ( x, y ) , Z = v ( x, y )
y Z = α βu + v ( α, β — postoqnn¥e, ne ravn¥e nulg, y α β2 2+ = 1 )
odnovremenno ymegt koneçn¥e plowady, πty plowady ravn¥ meΩdu soboj, to
lybo funkcyq f ( z ) = u i+ v, lybo ej soprqΩennaq f z( ) = u i− v qvlqetsq
analytyçeskoj vsgdu v D.
Kak uΩe otmeçalos\, dokazatel\stvo πtoj teorem¥ m¥ poluçym na osnova-
nyy nekotor¥x vspomohatel\n¥x utverΩdenyj.
Lemma 1. Esly v uslovyqx teorem¥,1 funkcyy u, v lypßycev¥ v podob-
lasty d ⊂ D, to poçty vsgdu v d v¥polnen¥ lybo uslovyq Koßy – Rymana
( CR ) ux = vy , uy = – vx , lybo ym soprqΩenn¥e ( )CR u x = – vy , u y = vx (v
razlyçn¥x toçkax d vozmoΩn¥ razn¥e uslovyq).
Dokazatel\stvo. Poskol\ku dlq lypßycevoj oblasty d funkcyy F ( x,
y ) plowad\ poverxnosty Z = F ( x, y ) koneçna nad d y v¥raΩaetsq yntehra-
lom 1 2 2+ +∫∫ F F dxdyx yd
, yz uslovyj lemm¥ lehko sleduet, çto poçty vsgdu v
d ymeem ravenstva
© G. G. TROXYMÇUK, 2007
1410 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
OB ODNOM KRYTERYY ANALYTYÇNOSTY FUNKCYJ 1411
1 2 2+ +u ux y = 1 2 2+ +v vx y = 1 2 2+ + + +( ) ( )α β α βu ux yv vx y ,
ravnosyl\n¥e sledugwym:
u ux y
2 2+ = v vx y
2 2+ ,
(1)
u ux yv vx y+ = 0.
Esly v nekotoroj toçke vse çastn¥e proyzvodn¥e ot u, v otlyçn¥ ot nulq,
to
ux
vy
=
uy
vx
= k ,
yly
ux = k yv ,
(2)
uy = – k vx ,
no tohda yz pervoho ravenstva v (1) ymeem k
2 = 1 y k = ± 1, t. e. (2) — πto ly-
bo uslovyq CR, lybo CR .
Pust\ teper\ odna yz çastn¥x proyzvodn¥x ravna nulg, naprymer ux = 0.
Esly pry πtom y uy = 0, to yz (1) poluçaem vx = vy = 0; esly Ωe uy ≠ 0, to
yz vtoroho ravenstva (1) sleduet vy = 0, a yz pervoho — uy
2 = vx
2
yly uy =
= ± vx . Y v tom, y v druhom sluçae m¥ snova ymeem lybo uslovyq CR, lybo CR .
Lemma,,1 dokazana.
Sledugwye utverΩdenyq dokazan¥ v [3].
Lemma 2. V uslovyqx teorem¥,1 v oblasty D najdetsq vsgdu plotnoe
otkr¥toe mnoΩestvo O , v kaΩdoj komponente kotoroho lybo f, lybo f bu-
det analytyçeskoj.
Lemma 3. Pust\ v oblasty D zadana neprer¥vnaq funkcyq f y nyhde ne
plotnoe zamknutoe mnoΩestvo P takoe, çto v kaΩdoj komponente otkr¥to-
ho mnoΩestva D P\ lybo f, lybo f qvlqetsq analytyçeskoj. Esly f P
lypßyceva, to f lokal\no lypßyceva vsgdu v D .
Otmetym, çto v uslovyqx teorem¥,,1 na kaΩdom zamknutom mnoΩestve v D
najdetsq porcyq, na kotoroj funkcyq f budet lypßycevoj [3]. Potomu pry ee
dokazatel\stve moΩno sçytat\, çto f v oblasty D uΩe lypßyceva, çto ymeet-
sq otkr¥toe plotnoe mnoΩestvo O, v kaΩdoj komponente kotoroho lybo f, ly-
bo f qvlqetsq analytyçeskoj.
Esly dopolnytel\noe (kak lehko vydet\, soverßennoe) mnoΩestvo P =
= D G\ pusto, to dokaz¥vat\ neçeho.
PredpoloΩym teper\, çto P ≠ 0 .
Naße dal\nejßee dokazatel\stvo budet osnovano na odnoj heometryçeskoj,
toçnee topolohyçeskoj, teoreme.
Opredelenye. Budem hovoryt\, çto neprer¥vnoe otobraΩenye f : D → C
yly, ynaçe, w = f ( z ) , obladaet svojstvom T v toçke z0 , esly v πtoj toçke
peresekagtsq dve razlyçn¥e prqm¥e l1 , l2 takye, çto obraz¥ yx lk , k = 1, 2,
qvlqgtsq kryv¥my Lk v w -ploskosty s razlyçn¥my kasatel\n¥my Tk v
toçke w = f ( z ) . Pry πtom obraz¥ naçal\n¥x otrezkov prqm¥x l1 , l2 uΩe ne
proxodqt çerez toçku w0 = f ( z0 ) .
Teorema, o kotoroj m¥ upomqnuly, formulyruetsq sledugwym obrazom.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
1412 G. G. TROXYMÇUK
Teorema 2. Pust\ f : D → C — neprer¥vnoe otobraΩenye, obladagwee
svojstvom T v kaΩdoj toçke oblasty D, za ysklgçenyem ne bolee çem sçet-
noho yx mnoΩestva. Tohda f qvlqetsq vnutrennym otobraΩenyem oblasty D
(po Stoylovu [4]).
Dlq dokazatel\stva nam potrebuetsq odna lemma o svojstve T, faktyçesky
dokazannaq v [5], poπtomu pryvedem lyß\ ee formulyrovku.
Lemma 4. Pust\ otobraΩenye f : D → C neprer¥vno y P ⊂ D — proyz-
vol\noe zamknutoe mnoΩestvo. Pust\ f obladaet svojstvom T vo vsex
toçkax mnoΩestva N ⊂ P ne pervoj katehoryy na P. Tohda najdutsq otkr¥-
to-zamknutaq porcyq P ′ ⊂ P, çysla σ , δ > 0 takye, çto çerez kaΩdug
toçku z ∈ P proxodqt dve prqm¥e λk ( z )
, k = 1, 2, obladagwye sledugwymy
svojstvamy:
1) uhol
^
[ ]( ), ( )λ λk kz z′ < δ, k = 1, 2, dlq lgb¥x toçek z, z ′ ∈ P ′ ;
2) 100 σ <
^
[ ]( ), ( )λ λ1 2z z < π – 100 σ dlq kaΩdoj toçky z ∈ P ′ ;
3) rasstoqnye ρ( , )′ ∂P D > δ ;
4) esly ′P1 = f P( )′ , to kaΩdaq toçka w = f ( z ) ∈ ′P1 qvlqetsq sov-
mestnoj verßynoj dvux par vertykal\n¥x uhlov Ωk ( w )
, k = 1, 2, rastvora
4 σ kaΩdaq, poluçenn¥x parallel\n¥m perenosom fyksyrovann¥x uhlov Ωk s
obwej verßynoj y obladagwyx tem svojstvom, çto obraz¥ Ωk ( w ) dvux ot-
rezkov λk ( z )
, k = 1, 2, ymegwyx dlynu δ pry otobraΩenyy w = f ( z ) , ras-
poloΩen¥ vnutry sootvetstvugwyx vertykal\n¥x uhlov Ω k ( w ) ; pry πtom
100 σ <
%
[ ],Ω Ω1 2 < π – 100 σ
, esly ponymat\
%
[ ],Ω Ω1 2 kak uhol meΩdu
byssektrysamy uhlov Ω Ω1 2, .
Dokazatel\stvo teorem¥ 2. PreΩde vseho dokaΩem nul\mernost\ otob-
raΩenyq f, t. e. çto proobraz f w−1( ) proyzvol\noj toçky w ymeet razmer-
nost\ nul\.
Pust\ πto ne tak; tohda najdetsq nev¥roΩdenn¥j kontynuum K ⊂ D, dlq
kotoroho f ( K ) = w0 , hde w0 — nekotoraq toçka ploskosty Cw . Po lemme
naxodym otkr¥tug porcyg K ′ , dlq kotoroj v¥polnen¥ vse ee svojstva; moΩno
sçytat\ dyametr K ′ men\ßym çem δ > 0.
Pry dokazatel\stve lemm¥ [5] na K ′ suwestvovalo plotnoe mnoΩestvo to-
çek, v kaΩdoj yz kotor¥x ymelo mesto pervonaçal\noe svojstvo T. Poπtomu
voz\mem proyzvol\n¥e y razlyçn¥e toçky z ′, z ″ ∈ K ′ ; πto oznaçaet, v çastnos-
ty, çto ny odna yz nyx ne prynadleΩyt prqm¥m l1 , l2 dlq druhoj toçky. ∏to
znaçyt, çto dolΩn¥ peresekat\sq „raznoymenn¥e” prqm¥e l z1( )′ y l z2( )′′ , a
takΩe l z2( )′′ y l z1( )′ ; no tak kak f z( )′ = f z( )′′ , to v sylu lemm¥ v obraze ony
peresekat\sq ne mohut. ∏to protyvoreçye dokaz¥vaet nul\mernost\ f.
DokaΩem teper\ otkr¥tost\ otobraΩenyq f.
Opqt\, predpolahaq protyvnoe, najdem takoj kruh Q ( z0 , r ) , dlq kotoroho
obraz w0 = f ( z0 ) centra qvlqetsq hranyçnoj toçkoj dlq obraza f Q( )
zam¥kanyq Q. Vzqv, esly neobxodymo, men\ßyj kruh v Q , moΩem sçytat\, çto
hranyca obraza f Q( ) soderΩyt cel¥j kontynuum k, toçkam kotoroho soot-
vetstvugt vnutrennye toçky kruha Q.
Rassmotrym hranyçnug toçku w ′ ∈ k , obladagwug tem svojstvom, çto ee
moΩno kosnut\sq nekotor¥m kruhom q, vse vnutrennye toçky kotoroho qvlqgt-
sq vneßnymy dlq kompakta f Q( ) ; lehko pokazat\, çto takye „xoroßo vydy-
m¥e” yzvne toçky obrazugt plotnoe mnoΩestvo na hranyçnom kontynuume kom-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
OB ODNOM KRYTERYY ANALYTYÇNOSTY FUNKCYJ 1413
pakta. No v kaΩdoj vnutrennej toçke z ′ kruha Q, dlq kotoroj f z( )′ = w ′,
ymeet mesto svojstvo T y obraz naçal\noho otrezka xotq b¥ odnoj yz prqm¥x
l z1( )′ y l z2( )′′ dolΩen b¥l b¥ vojty vnutr\ kruha q, çeho net po postroenyg.
Teorema dokazana.
Nam potrebuetsq odyn dostatoçn¥j kryteryj, obespeçyvagwyj v¥polnenye
svojstva T , kotor¥j yzvesten dlq sluçaq polnoj dyfferencyruemosty otob-
raΩenyq f = u i+ v, no kotor¥j lehko dokazat\ y v dannom sluçae.
Ymeet mesto sledugwaq teorema.
Teorema 3. Esly otobraΩenye f : D → C obladaet çastn¥my proyzvod-
n¥my
∂
∂
f
x
=
∂
∂
+ ∂
∂
u
x
i
x
v , ∂
∂
f
y
= ∂
∂
+ ∂
∂
u
y
i
y
v
v nekotoroj toçke z0 ∈ D y (formal\n¥j qkobyan)
J ( z0 ) =
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
u
x
u
y
x y
v v
≠ 0,
to v πtoj toçke ymeet mesto svojstvo T.
Druhymy slovamy, obraz¥ koordynatn¥x lynyj u , v = const, peresekag-
wyxsq v toçke z0 , obladagt razlyçn¥my kasatel\n¥my v toçke w0 = f ( z0 ) y s
nuΩn¥m dopolnytel\n¥m uslovyem otnosytel\no naçal\n¥x otrezkov πtyx ly-
nyj.
Koneçno, y v πtom sluçae, daΩe pry vozmoΩno nepolnoj dyfferencyruemo-
sty u, v, kasatel\n¥e k obrazam lynyj u, v = const parallel\n¥ vektoram
∂
∂
f
x
, ∂
∂
f
y
, a poslednye, po uslovyg teorem¥, lynejno nezavysym¥.
Y v rassmatryvaem¥x, xotq y bolee ohranyçytel\n¥x, uslovyqx moΩno
vvesty formal\n¥e proyzvodn¥e fz , fz :
fz =
1
2 2
∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
− ∂
∂
u
x y
i
x
u
y
v v
,
fz =
1
2 2
∂
∂
− ∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
u
x y
i
x
u
y
v v ,
a qkobyan J ( f ) otobraΩenyq f predstavyt\ v vyde
J ( z ) = f fz z
2 2− .
Y zdes\, koneçno, dlq analytyçeskoj funkcyy f ymeem fz = 0, a dlq funk-
cyy, soprqΩennoj analytyçeskoj, fz = 0.
M¥ hovorym o formal\n¥x proyzvodn¥x potomu, çto v rassmatryvaem¥x us-
lovyqx suwestvovanyq tol\ko çastn¥x proyzvodn¥x
∂
∂
f
x
,
∂
∂
f
y
uΩe nel\zq, na-
prymer, sçytat\, çto spravedlyva formula
fz = lim ( )
( )d S
f z dz
Γ
Γ
→ ∫0
1 ,
kotoraq ymeet mesto dlq f, obladagwej poln¥m dyfferencyalom. Zdes\ Γ —
zamknut¥j kontur, soderΩawyj dannug toçku, d ( Γ ) — eho dyametr, a S —
plowad\ oblasty s hranycej Γ.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
1414 G. G. TROXYMÇUK
Dokazatel\stvo teorem¥ 1. Ytak, m¥ ymeem uslovyq: 1) v zamknutom
kruhe Q funkcyq f udovletvorqet uslovyg Lypßyca: 2) ymeetsq vsgdu
plotnoe v Q otkr¥toe mnoΩestvo O, v kaΩdoj komponente kotoroho lybo f,
lybo ej soprqΩennaq f qvlqetsq analytyçeskoj. Pry vvedennom dopolny-
tel\nom uslovyy suwestvovanyq vsgdu v Q çastn¥x proyzvodn¥x
∂
∂
f
x
,
∂
∂
f
y
tre-
buetsq dokazat\, çto lybo f, lybo f qvlqetsq analytyçeskoj vo vsem kruhe Q.
Voz\mem vmesto f funkcyg g ( z ) = f ( z ) + ϕ ( z )
, hde ϕ ( z ) = eAz . V¥berem
proyzvol\n¥e dve toçky z1 , z2 yz komponent analytyçnosty f y rassmotrym
otobraΩenye, osuwestvlqemoe funkcyej
h ( z ) =
g z g z
z z
g z g z
z z
( ) ( ) ( ) ( )−
−
− −
−
1
1
2
2
=
=
f z f z
z z
f z f z
z z
e e
z z
e e
z z
Az Az Az Az( ) ( ) ( ) ( )−
−
− −
−
+ −
−
− −
−
1
1
2
2 1 2
1 2
.
V kaçestve znaçenyj sootvetstvugwyx drobej v toçkax z1 , z2 prymem, koneçno,
znaçenyq proyzvodn¥x çyslytelq.
PokaΩem snaçala, çto pry opredelennom v¥bore poloΩytel\noho A πto
otobraΩenye okaz¥vaetsq vnutrennym.
Dlq πtoho vospol\zuemsq lemmoj y podsçytaem qkobyan J ( h ) v toçkax yz Q.
V toçkax analytyçnosty f funkcyq h budet analytyçeskoj, y pry dal\nej-
ßem v¥bore A proyzvodnaq h ′ ( z ) ≠ 0 v Q, a znaçyt, J ( h ) > 0.
V toçkax „antyanalytyçnosty” f, t. e. tam, hde analytyçeskoj qvlqetsq
soprqΩennaq f , ymeem
hz = –
f z f z
z z
f z f z
z z
z z z z
z z
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) [ ( ) ( )]
( )
−
−
+ −
−
+ ′ ⋅ − − −
−
1
1
2
2
2
2
1 1
1
2
ϕ ϕ ϕ
–
–
′ ⋅ − − −
−
ϕ ϕ ϕ( ) [ ( ) ( )]
( )
z z z z
z z
2 2
2
2 ,
hz =
f
z z
f
z z
z z
−
−
−1 2
.
Dalee
–
f z f z
z z
f z f z
z z
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
−
−
+ −
−
1
1
2
2
2
2 = [ ( ) ( )]
( )( )
( ) ( )
f z f z
z z z z z
z z z z
− − + −
− −1
1 2 1 2
1
2
2
2
2
+
+
f z f z
z z
( ) ( )
( )
1 2
2
2
−
−
=
z z
z z z z
f z f z
z z
z z z1 2
1 2
2
1
1
1 2 2
−
− −
−
−
+ −
( )( )
( ) ( )
( ) –
–
f z f z
z z
z z
z z z z
z z
( ) ( )
( )
( ) [ ( ) ( )]
( )
−
−
−
′ − − −
−
2
2
1
1 1
1
2
ϕ ϕ ϕ
–
–
′ ⋅ − − −
−
ϕ ϕ ϕ( ) [ ( ) ( )]
( )
z z z z
z z
2 2
2
2 = ′
−
−
−
ϕ 1 1
1 2z z z z
–
–
ϕ ϕ ϕ ϕ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
z z
z z
z z
z z
−
−
+ −
−
1
1
2
2
2
2 = ′ −
− −
ϕ z z
z z z z
1 2
1 2( )( )
+
+
z z
z z z z
z z
z z
z z z
z z
z z
z z1 2
1 2
2
1
1
1 2
1 2
1 2
12
−
− −
−
−
+ − − −
−
−
( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
ϕ ϕ ϕ ϕ
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
OB ODNOM KRYTERYY ANALYTYÇNOSTY FUNKCYJ 1415
V rezul\tate poluçym
hz =
z z
z z z z
z z
f z f z
z z
1 2
1 2
2 2
1
1
1
2
−
− −
′ ⋅ − + −
−
( )( )
( )
( ) ( )ϕ +
+
ϕ ϕ ϕ ϕ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z
z z
z z
z
f z f z
z z
z z
z z
−
−
+ −
− −
−
− −
−
1
1
1 2 1 2
1 2
1 2
1 22
,
hz = f
z z
z z z zz ⋅ −
− −
1 2
1 2( )( )
=
z z
z z z z
f z zz
1 2
1 2
2 2
−
− −
⋅ −
( )( )
( ).
Napomnym teper\, çto f udovletvorqet uslovyg Lypßyca
f z f z( ) ( )− ′ ≤ L z z− ′ ,
ϕ ( )z = eAz ,
ϕ ϕ( ) ( )z z
z z
− ′
− ′
≈ AeAx′, fz ≤ L .
Vzqv dostatoçno mal¥j radyus kruha Q y dostatoçno bol\ßoe A > 0, lehko
dostyç\ toho, çtob¥ b¥lo h hz z
2 2− > 0 (sçytaq, çto v Q Re z = x > 0).
Nakonec, v toçkax mnoΩestva P poluçym
hz =
f z z f z f z
z z
f z z f z f z
z z
z z( ) [ ( ) ( )]
( )
( ) [ ( ) ( )]
( )
− − −
−
− − − −
−
1 1
1
2
2 2
2
2 + … ,
hz =
f
z z
f
z z
z z
−
−
−1 2
.
Po sravnenyg s pred¥duwym sluçaem zdes\ voznykagt dopolnytel\n¥e slahae-
m¥e s fz , vlyqnye kotor¥x na znaçenye hz moΩno „zahlußyt\” uvelyçenyem
çysla A .
Ytak, najdetsq takoe A , çto otobraΩenye h okaz¥vaetsq vnutrennym v ob-
lasty Q; napomnym, çto ono neprer¥vno v zamknutom kruhe Q.
Voz\mem proyzvol\nug toçku z0 ∈ P vnutry Q y dve proyzvol\n¥e posle-
dovatel\nosty { }′zn , { }′′zn toçek analytyçnosty f, sxodqwyxsq k z 0 . Po doka-
zannomu v¥ße kaΩdoe otobraΩenye hn yz posledovatel\nosty { }( )h zn :
h zn( ) =
g z g z
z z
g z g z
z z
n
n
n
n
( ) ( ) ( ) ( )− ′
− ′
− − ′′
− ′′
qvlqetsq vnutrennym. ∏to oznaçaet, v çastnosty, çto maksymum modulq hn
dostyhaetsq na hranyce ∂ Q kruha Q . No, v sylu analytyçnosty ϕ = ( )z A+ 3
v¥raΩenye
ϕ ϕ ϕ ϕ( ) ( ) ( ) ( )z z
z z
z z
z z
n
n
n
n
− ′
− ′
− − ′′
− ′′
stremytsq k nulg vo vsem zamknutom kruhe, a modul\ hn na hranyce ∂ Q , oçe-
vydno, takΩe stremytsq k nulg. ∏to oznaçaet, v çastnosty, stremlenye h zn( )0
k nulg y v toçke z0 . ∏to Ωe, nakonec, oznaçaet suwestvovanye proyzvodnoj
′g z( ) , a znaçyt, y ′f z( )0 vdol\ toçek analytyçnosty funkcyy f.
Analohyçno, rassmatryvaq soprqΩenye f , pryxodym k v¥vodu o suwestvo-
vanyy predela
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
1416 G. G. TROXYMÇUK
lim
( ) ( )
z z
f z f z
z z→
−
−0
0
0
v toçkax antyanalytyçnosty f.
Teper\ lehko vydet\, çto vse πto vozmoΩno lyß\ v sluçae, kohda oba πtyx
predela ravn¥ nulg.
Dlq πtoho voz\mem proyzvol\nug posledovatel\nost\ { }zn toçek yz P ,
sxodqwyxsq k z0 : lim zn = z0 . V okrestnosty kaΩdoj toçky zn voz\mem toçku
′zn analytyçnosty f y toçku ′′zn antyanalytyçnosty, pryçem tak, çtob¥
′′ − ′
−
z z
z z
n n
n 0
→ 0. Poskol\ku f — lypßyceva, to
lim
( ) ( )f z f z
z z
n
n
′ −
′ −
0
0
= lim
( ) ( )f z f z
z z
n
n
′′ −
′′ −
0
0
= lim
( ) ( )f z f z
z z
n
n
−
−
0
0
. (3)
Pust\ teper\ πtot predel ne raven nulg. Tak kak po toçkam analytyçnosty
suwestvuet predel lim
( ) ( )
z z
f z f z
z z→
−
−0
0
0
, yz (3) sleduet, çto zn, kak y ′zn, ′′zn , pry-
blyΩagtsq k z0 tol\ko po kasatel\noj k P, parallel\noj dejstvytel\noj
osy. Pust\ v¥ße πtoj kasatel\noj (vblyzy z0) f analytyçna y ∆ f = ke ziα ∆ +
+ o z( )∆ , a nyΩe ∆ f = ke z o ziβ ∆ ∆+ ( ) . Yz (3) sleduet, çto moduly sootvetst-
vugwyx „proyzvodn¥x” odynakov¥.
Tohda, s odnoj storon¥, poluçaem
∂
∂
f
y
= ikeiα ,
∂
∂
f
y
= – ikeiβ ,
t. e. β = π + α, a s druhoj, uçyt¥vaq posledovatel\nosty toçek ′zn, ′′zn y (3),
ymeem
∂
∂
f
x
= keiα ,
∂
∂
f
x
= – keiα
çto moΩet b¥t\ tol\ko pry k = 0.
Ytak, m¥ dokazaly, çto esly mnoΩestvo P = D O\ nepusto, to na nem
funkcyq f monohenna y ee proyzvodnaq ′f vsgdu na P ravna nulg.
Poslednym reßagwym ßahom budet dokazatel\stvo neprer¥vnosty çastn¥x
proyzvodn¥x
∂
∂
f
x
,
∂
∂
f
y
na mnoΩestve P otnosytel\no oblasty D!
Ytak, pust\ z0 ∈ P — snova proyzvol\naq toçka y ε > 0 — proyzvol\noe
çyslo. Najdetsq takoe δ > 0, çto v kruhe U zδ( )0
f z f z( ) ( )− 0 = ε( )( )z z z− 0 , ε( )z < ε,
y dlq proyzvol\n¥x ′z , ′′z ∈ U Pδ ∩
f z f z( ) ( )′ − ′′ < ε ′ − ′′z z .
Oboznaçym δ0 = εδ / L ( L — konstanta Lypßyca dlq f ) ; oçevydno, moΩno
predpoloΩyt\, çto δ0 < δ . DokaΩem, çto v U Pδ0
\ ymegt mesto ravenstva
(dlq komponent sootvetstvugweho roda) ′f z( ) ≤ 3 ε , ′f z( ) ≤ 3 ε .
PredpoloΩym, çto v nekotoroj toçke z1 yz komponent¥ g U P⊂ \ analy-
tyçnosty f ymeem ′f z( )1 = a, a > 3 ε .
ProdolΩym funkcyg f g s komponent¥ g na dopolnenye U g\ do lyp-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
OB ODNOM KRYTERYY ANALYTYÇNOSTY FUNKCYJ 1417
ßycevoj funkcyy s konstantoj ε : otnosytel\naq hranyca ∂g v U prynadle-
Ωyt P y faktyçesky s πtoj hranyc¥, kak yzvestno [6], moΩem prodolΩyt\ f
do nuΩnoj lypßycevoj funkcyy daΩe na vsg ploskost\; no nam ona potrebuet-
sq tol\ko v U g\ . ∏tu novug funkcyg oboznaçym çerez f̃ .
Rassmotrym teper\ funkcyg
F ( z ) = ˜( ) ˜( ) ( )f z f z a z z− − −0 0 .
V toçkax mnoΩestva P funkcyq F monohenna y ′ =F a, a v toçkax, vneßnyx k
g , vse proyzvodn¥e çysla po modulg bol\ße 2 ε .
V komponente g U P⊂ \ ona qvlqetsq analytyçeskoj y otlyçnoj ot kon-
stant¥, ynaçe funkcyq f g b¥la b¥ lynejnoj y na hranyce ∂g P∩ proyzvod-
naq ne ravnqlas\ b¥ nulg; t. e. ona osuwestvlqet nev¥roΩdennoe vnutrennee
otobraΩenye oblasty g .
V dopolnenyy U g\ ona qvlqetsq daΩe homeomorfyzmom: dlq proyzvol\-
n¥x z ′, z ″ yz U g\ ymeem
F z F z( ) ( )′ − ′′ ≥ a z z f z f z′ − ′′ − ′ − ′′˜( ) ˜( ) ≥ ( )a z z− ′ − ′′ε .
Rassmotrym proyzvol\nug toçku ˜ \z U g∈ dyfferencyruemosty f̃ : yz-
vestno [5], çto mnoΩestvo ee proyzvodn¥x çysel, t. e. predel\n¥x znaçenyj ot-
noßenyq
˜( ) ˜(˜)
˜
f z f z
z z
−
−
, est\ okruΩnost\ � z s centrom f̃z y radyusom
˜
˜fz
yly toçka. Po uslovyg πto mnoΩestvo leΩyt v kruhe radyusa < ε ; sledova-
tel\no, dlq funkcyy F πta okruΩnost\ (dyametra < 2 ε ) otstoyt ot naçala ko-
ordynat bolee çem na 2 ε y, znaçyt, v toçke z̃
J ( F ) = F Fz z
2 2 = ˜ ˜f a fz z− −
2 2
> 3 2ε .
∏to oznaçaet, çto y ves\ homeomorfyzm F U g\ prqmoj, t. e. soxranqet lo-
kal\nug oryentacyg zamknut¥x kryv¥x.
Nakonec, m¥ uΩe znaem, çto F P — homeomorfyzm. Po yzvestnoj teoreme o
prodolΩenyy [5] zaklgçaem, çto F na vsej okrestnosty U Uδ δ⊃
0
qvlqetsq
(prqm¥m) vnutrennym otobraΩenyem. Ymeem F z( )0 = 0 y obraz okruΩnosty
K z z0 0: − = δ pry otobraΩenyy w = a z z( )− 0 est\ okruΩnost\ w =
= a δ > 3εδ .
Poskol\ku f z f z( ) ( )− 0 < ε z z− 0 = εδ , dyametr obraza K0 pry otobra-
Ωenyy w = f z f z( ) ( )− 0 budet men\ße 2εδ . Otsgda sleduet, çto vse toçky
kruha w ≤ εδ ymegt porqdok γ otnosytel\no obraza F K( )0 , ravn¥j + 1.
Yz pryncypa arhumenta dlq vnutrenneho otobraΩenyq sleduet, çto vse toçky
πtoho kruha odnokratn¥ v Uδ y proobraz eho v Uδ est\ oblast\ g0 , oçevydno,
soderΩawaq toçku z0 , v kotoroj F — homeomorfyzm.
Ocenym radyus kruha z z− 0 ≤ r, prynadleΩaweho g0 . Esly w w− 0 = ρ,
to yz uslovyq Lypßyca poluçaem
w w− 0 ≤ L z z− 0 ,
t. e. dlq sootvetstvugwyx toçek z y z 0 ymeem z z− 0 ≥ ρ / L . Otsgda sle-
duet, çto oblast\ g0 soderΩyt, po krajnej mere, kruh z z− 0 ≥ εδ / L = δ0 ,
t. e. Uδ0
.
Ytak, F Uδ0
— homeomorfyzm. S druhoj storon¥, v toçke z U P1 0
∈ δ \ yme-
em
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
1418 G. G. TROXYMÇUK
′F z( )1 = ′ −f z a( )1 = 0.
No v takoj toçke analytyçeskaq funkcyq ne moΩet b¥t\ daΩe lokal\n¥m ho-
meomorfyzmom. Poluçennoe protyvoreçye dokaz¥vaet nuΩnoe neravenstvo
′ <f z( ) 3ε dlq toçek analytyçnosty funkcyy f. No vzqtyem soprqΩenyq f
funkcyy f m¥ y dlq komponent antyanalytyçnosty ee toçno tak Ωe dokaΩem,
çto f z( ) < 3ε .
Vse πto y dokaz¥vaet neprer¥vnost\ proyzvodn¥x ′f z( ) , ′f z( ) v toçkax P,
na kotor¥x ony obrawagtsq v nul\.
No tohda, esly P ≠ 0, to v kaΩdoj komponente yz D P\ πty proyzvodn¥e
ravn¥ nulg v sylu yzvestnoj teorem¥ edynstvennosty: esly v oblasty D
funkcyq F analytyçna y na otkr¥toj porcyy hranyc¥ ∂D neprer¥vna y
obrawaetsq v nul\, to ona toΩdestvenno ravna nulg vo vsej oblasty D.
Vozvrawaqs\ k naßym uslovyqm, ubeΩdaemsq teper\, çto funkcyq f est\
konstanta.
Ytak, m¥ pokazaly, çto v uslovyqx teorem¥,,1 v oblasty obqzatel\no
najdutsq toçky, hde lybo f, lybo f okaz¥vaetsq analytyçeskoj, y esly yme-
gtsq toçky oboyx rodov, to πta funkcyq „v¥roΩdaetsq” v konstantu.
A πto y est\ druhaq formulyrovka teorem¥,,1.
1. Dzqd¥k V. K. Heometryçeskoe opredelenye analytyçeskyx funkcyj // Uspexy mat. nauk. –
1960. – 15, # 1. – S.,191 – 194.
2. Goodman A. On the criterium of analytical function // Amer. Math. Monthly. – 1964. – 71 . –
P. 265 – 267.
3. Troxymçuk G. G., Safonov V. M. Ob odnom kryteryy postoqnstva kompleksnoj funkcyy //
Ukr. mat. Ωurn. – 1999. – 1, # 8. – S.,1096 – 1104.
4. Stoylov S. Lekcyy o topolohyçeskyx pryncypax teoryy analytyçeskyx funkcyj. – M.:
Nauka, 1964. – 227 s.
5. Troxymçuk G. G. Ustranym¥e osobennosty analytyçeskyx funkcyj. – Kyev: Nauk. dumka,
1992. – 224 s.
6. Federer H. Heometryçeskaq teoryq mer¥. – M.: Nauka, 1987. – 760 s.
Poluçeno 28.04.2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 10
|
| id | umjimathkievua-article-3399 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:41:48Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/40/d635787ca65c12141e36390eaf505540.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-33992020-03-18T19:53:10Z On one criterion for analyticity of functions Oб одном критерии аналитичности функций Trohimchuk, Yu. Yu Трохимчук, Ю. Ю. Трохимчук, Ю. Ю. We prove a generalization of the well-known Dzyadyk theorem that gives an interesting geometric criterion for the analyticity of functions. Доведено узагальнення відомої теореми В. К. Дзядика, яка дає цікавий геометричний критерій аналітичності функцій Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3399 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 10 (2007); 1410–1418 Український математичний журнал; Том 59 № 10 (2007); 1410–1418 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3399/3541 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3399/3542 Copyright (c) 2007 Trohimchuk Yu. Yu |
| spellingShingle | Trohimchuk, Yu. Yu Трохимчук, Ю. Ю. Трохимчук, Ю. Ю. On one criterion for analyticity of functions |
| title | On one criterion for analyticity of functions |
| title_alt | Oб одном критерии аналитичности функций |
| title_full | On one criterion for analyticity of functions |
| title_fullStr | On one criterion for analyticity of functions |
| title_full_unstemmed | On one criterion for analyticity of functions |
| title_short | On one criterion for analyticity of functions |
| title_sort | on one criterion for analyticity of functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3399 |
| work_keys_str_mv | AT trohimchukyuyu ononecriterionforanalyticityoffunctions AT trohimčukûû ononecriterionforanalyticityoffunctions AT trohimčukûû ononecriterionforanalyticityoffunctions AT trohimchukyuyu obodnomkriteriianalitičnostifunkcij AT trohimčukûû obodnomkriteriianalitičnostifunkcij AT trohimčukûû obodnomkriteriianalitičnostifunkcij |