Estimation of the ruin probability of an insurance company operating on a BS-market
We obtain an estimate for the ruin probability of an insurance company that invests a part of its capital in stocks and puts the rest of the capital in a bank account. An insurance premium is established depending on the capital of the insurance company.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3403 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509488284434432 |
|---|---|
| author | Androshchuk, M. O. Mishura, Yu. S. Андрощук, М. О. Мішура, Ю. С. |
| author_facet | Androshchuk, M. O. Mishura, Yu. S. Андрощук, М. О. Мішура, Ю. С. |
| author_sort | Androshchuk, M. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:53:28Z |
| description | We obtain an estimate for the ruin probability of an insurance company that invests a part of its capital in stocks and puts the rest of the capital in a bank account. An insurance premium is established depending on the capital of the insurance company. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:41:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.21
M. O. Androwuk, G. S. Mißura (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka)
OCINKA JMOVIRNOSTI BANKRUTSTVA
STRAXOVO} KOMPANI}, QKA FUNKCIONU{ NA BS-RYNKU
We perform the estimation of the ruin probability of an insurance company which invests some part of
its capital into shares, and the rest of the capital into the current account. An insurance premium is
established depending on the current reserve of the company.
Poluçena ocenka veroqtnosty razorenyq straxovoj kompanyy, kotoraq ynvestyruet çast\ sob-
stvennoho kapytala v akcyy, a ostal\noe — na bankovskyj sçet. Straxovaq premyq ustanavly-
vaetsq v zavysymosty ot velyçyn¥ kapytala straxovoj kompanyy.
1. Vstup. Klasyçna model\ Kramera – Lundberha opysu[ rozmir kapitalu usta-
novy, qka zajma[t\sq vyklgçno straxuvannqm (dyv. [1]). Uzahal\nennqm dano]
modeli [ model\ z moΩlyvistg investuvannq rezerviv straxovo] kompani] (dyv. [2
– 4]).
U danij roboti rozhlqda[t\sq model\ ryzyku straxovo] kompani], qka investu[
pevnu çastynu svoho kapitalu v akci] (ryzykovyj aktyv, zmodel\ovanyj za dopo-
mohog brounivs\koho ruxu), a reßtu — na bankivs\kyj raxunok (u bezryzykovyj
aktyv), tobto rozhlqnuto straxovoho investora, qkyj operu[ na BS-rynku. Ve-
lyçyna kapitalu takoho investora u moment t opysu[t\sq rivnqnnqm, v qkomu vsi
intehraly poky wo zapysani formal\no:
R u K u U p R ds
K
S
dS
R K
e
d et k
k
N
s
t
s
s
t
s
s s
s
t
s
t
( , ) ( )
( )
( )= − + + + −
=
∑ ∫ ∫ ∫
1 0 0 0
δ
δ
, t ≥ 0,
(1)
de u > 0 — poçatkovyj kapital straxovo] kompani] (u moment t = 0 ) ; Uk , k ≥ 1,
— nezaleΩni, odnakovo rozpodileni nevid’[mni vypadkovi velyçyny, wo magt\
rozpodil F ta opysugt\ straxovi vyplaty; { Nt , t ≥ 0 } — puassonivs\kyj proces
nadxodΩennq straxovyx vymoh, wo ma[ intensyvnist\ β i ne zaleΩyt\ vid U k ,
k ≥ 1; p ( Rs ) — proces nadxodΩennq straxovyx vneskiv (qkyj zaleΩyt\ vid vely-
çyny kapitalu straxovo] kompani] u moment s ), de p x( ) : R → R+ — deqka vymir-
na obmeΩena funkciq (na praktyci funkciq p x( ) [, qk pravylo, spadnog, os-
kil\ky vona opysu[ cinu straxovoho produktu, qku pry dosyt\ velykomu vlasno-
mu kapitali straxova kompaniq moΩe znyzyty, vzqvßy na sebe bil\ßyj ryzyk ne-
otrymannq prybutku z pevnoho vydu straxuvannq); K s / Ss — kil\kist\ akcij,
qkog volodi[ straxova kompaniq u moment s; ( Rs – K s ) — velyçyna kapitalu,
investovanoho kompani[g u bezryzykovyj aktyv z postijnog stavkog investycij-
noho doxodu δ.
ZauvaΩymo, wo u danij modeli my ne nakladatymemo obmeΩen\ Ks ≤ Rs , tob-
to vvaΩatymemo, wo straxovyk moΩe qk investuvaty, tak i otrymuvaty neobme-
Ωenyj kredyt z ti[g Ω riçnog stavkog investycijnoho doxodu δ.
Cina akci] St opysu[t\sq heometryçnym brounivs\kym ruxom:
dS S adt bdWt t t= ( + ) , a, b ∈ R, a ≥ 0, b > 0.
Nadali robymo standartne prypuwennq pro nezaleΩnist\ syhma-alhebr, po-
© M. O. ANDROWUK, G. S. MIÍURA, 2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11 1443
1444 M. O. ANDROWUK, G. S. MIÍURA
rodΩenyx procesamy { Wt , t ≥ 0 }, { Nt , t ≥ 0 } ta vypadkovymy velyçynamy { Uk ,
k ≥ 1 }.
ZauvaΩennq 1. Model\, u qkij evolgciq akcij opysu[t\sq za dopomohog
procesu Ornßtejna – Ulenbeka, rozhlqnuto v [4], a model\, u qkij δ = 0 ta
p ( Rs ) = c = const, doslidΩu[t\sq u roboti [2]. Dlq ostann\o] modeli znajdeno
ocinku jmovirnosti bankrutstva straxovo] kompani]: ψ ( u, K ) ≤ e ru− ˆ
, de r̂ —
[dynyj dodatnyj korin\ rivnqnnq Ee
a
b
crrUˆ ˆ1 1
2
2
2− = + .
U danij roboti znajdeno analohiçnu ocinku jmovirnosti bankrutstva straxo-
vo] kompani] dlq bil\ß zahal\noho procesu ryzyku (1).
My budemo prypuskaty, wo funkciq p x( ) i stratehiq Ks [ takymy, dlq
qkyx rivnqnnq (1) ma[ rozv’qzok na bud\-qkomu vidrizku [ 0; T ]. Dostatni umovy
dlq c\oho navedeno u dodatku.
2. Ocinka jmovirnosti bankrutstva straxovo] kompani]. Vvedemo fil\-
tracig F S N U s tt s s k
k
Ns
= ∈
=
∑σ , , , [ , ]
1
0 i poznaçymo E E Ft t( ) ( / )
df⋅ = ⋅ .
Perepyßemo rivnqnnq (1) u vyhlqdi
R u K u U p R dst k
k
N
s
tt
( , ) ( )= − +
=
∑ ∫
1 0
+
+ a K ds R K ds b K dWs
t
s s
t
s
t
s
0 0 0
∫ ∫ ∫+ − +( )δ , t ≥ 0. (2)
Z’qsu[mo umovy, za qkyx usi dodanky v rivnqnni (1) korektno vyznaçeni. Oçe-
vydno, povynni vykonuvatys\ umovy:
K1 ) proces Kt , wo dorivng[ sumi koßtiv, investovanyx u ryzykovyj aktyv, [
Ft-peredbaçuvanym;
K2 ) E K dss
t
2
0
∫ < ∞, t ≥ 0;
P1 ) ∃ C > 0 : | p ( x ) | ≤ C ∀x ≥ 0.
Umovy K1 ta K 2 potribni dlq korektno] vyznaçenosti intehrala za vineriv-
s\kym procesom, z umovy K2 vyplyva[ takoΩ korektnist\ vyznaçennq intehrala
K dss
t
0∫ , a umova P1 zastosovu[t\sq u dovedenni isnuvannq rozv’qzku intehral\no-
ho rivnqnnq (2) (dyv. dodatok).
Dali vvaΩa[mo umovy K1 , K2 , P1 vykonanymy.
Vvedemo deqki poznaçennq:
τ ( u ) =df inf { t ≥ 0 : Rt ≤ 0 } — moment bankrutstva straxovo] kompani]; τ ( u ) =
= + ∞, qkwo Rt > 0 dlq vsix t > 0.
X u K rt( , , ) =df e rR u Kt− ( , )
, r ∈ [ 0, ∞ ), tobto
X u K r e r U p R dst
ru
k
k
N t
s
t
( , , ) exp ( )=
−
− +−
=
∑ ∫
1 0
+
+ a K ds R K ds b K dWs
t
s s
t
s
t
0 0 0
∫ ∫ ∫+ − +
( )δ ;
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
OCINKA JMOVIRNOSTI BANKRUTSTVA STRAXOVO} KOMPANI} … 1445
h ( r ) =df EerU1 1− — momentna funkciq z vlastyvostqmy: h ( ⋅ ) : R+ → R+ ,
h ( 0 ) = 0. Wodo funkci] h ( r ) robymo klasyçne prypuwennq pro isnuvannq zna-
çennq r∞ ∈ ( 0, ∞ ] takoho, wo h ( r ) < ∞ pry r < r∞ ta h ( r ) → ∞ pry r ↑ r∞ .
Funkciq h ( r ) [ zrostagçog, opuklog donyzu ta neperervnog na [ 0, r∞ )
(dyv.L[5]).
Teorema 1. Nexaj dlq deqkoho r > 0, stratehi] Kt ta cinovo] funkci]
p ( x ) vykonugt\sq umovy P1 , K1 , K2 , a takoΩ magt\ misce spivvidnoßennq:
K3 ) r b
K r a K rp R rR h rt t t t
2 2
2
2
0+ − − − + ≤( ) ( ) ( )δ δ β
majΩe napevno dlq t ≥ 0;
R1 ) P e R ds
rR
s
t
s−
+
−∫ < ∞
=
0
1, t ≥ 0;
R2 ) P e K ds
rR
s
t
s−
+
−∫ < ∞
=2 2
0
1, t ≥ 0;
R3 ) P e ds
rR
t
s−
+
−∫ < ∞
=
0
1, t ≥ 0.
Todi proces { Xt ( u, K, r ), t ≥ 0 } [ supermartynhalom vidnosno potoku σ -
alhebr Ft ; qkwo Ω v umovi K3 ma[ misce rivnist\, to proces { Xt ( u, K , r ), t ≥
≥ 0 } [ lokal\nym martynhalom vidnosno Ft .
Dovedennq. Zhidno z formulog (2), wo vyznaça[ proces { Rt ( u, K , r ), t ≥
≥ 0 }, ma[ misce rivnist\
X u K r e r U r p R aKt
ru
k
k
N
s s
tt
( , , ) exp exp ( )=
− +−
=
∑ ∫(
1 0
+
+ ( ) expR K ds rb K dWs s s
t
s−
−
) ∫δ
0
.
Podamo proces { Xt ( u, K, r ), t ≥ 0 } u vyhlqdi eksponenty:
X u K r e et
rR u K Y u K rt t( , , ) ( , ) df ( , , )= =−
, t ≥ 0,
de
Y u K r Y r U f s ds g s dWt k
k
N t t
s
t
( , , ) ( ) ( )= + + +
=
∑ ∫ ∫0
1 0 0
,
Y ru0 = −df
, f s r p R aK R Ks s s s( ) ( ) ( )
df= − + + −( )δ , g s rbKs( )
df= − .
Proces Xt ( u, K, r ) = e rR u Kt− ( , )
[ semimartynhalom vnaslidok formuly Ito,
zastosovano] do eksponencial\no] funkci] f ( x ) = e–
r
x
, ta semimartynhal\nosti
procesu Rt ( u, K ). Ostannq Ω otrymu[t\sq vnaslidok toho, wo proces Rt ( u, K )
[ sumog martynhaliv ta procesiv obmeΩeno] variaci]. Tak, proces − ∫b K dWs s
t
0
[
kvadratyçno intehrovnym martynhalom vnaslidok umovy K2, proces Ukk
Nt
=∑ 1
–
– βtEU1 — martynhalom qk kompensovanyj proces z nezaleΩnymy pryrostamy, a
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
1446 M. O. ANDROWUK, G. S. MIÍURA
procesy βtEU1, − ( )∫ p R dss
t
0
, − ∫a K dss
t
0
, − ( − )∫ R K dss s
t
δ
0
— procesamy obme-
Ωeno] variaci]
βtEU1 — oçevydno, − ( )∫ p R dss
t
0
— vnaslidok umovy P1 ,
− ∫a K dss
t
0
ta − ( − )∫ R K dss s
t
δ
0
— oskil\ky za umovog K2 P K dss
0
1
∫ < ∞
= 1,
a takoΩ vnaslidok nerivnosti Hronuolla dlq dovil\noho T > 0 : Rt ≤ C̃ T e t( ) δ
,
de
˜ sup
df
,
C T u CT a K ds b K dWs
T
s T
z z
s
( ) = + + ( − ) +∫ ∫
∈[ ]
δ
0 0 0
,
sup
,s T
z z
s
K dW
∈[ ]
∫
0 0
< ∞ P-majΩe napevno vnaslidok umovy K2
.
Zapyßemo formulu Ito dlq semimartynhaliv (dyv. [6, s. 78, 79]): dlq semimar-
tynhala { Yt , t ≥ 0 } ta F ∈ C R2( ) ma[mo
F Y F Y F Y dY F Y d Y Yt s
t
s s
t
s
c( ) ( ) ( ) ( ) ,− = ′ + ′′−
+
−
+
∫ ∫0
0 0
1
2
+
+ F Y F Y F Y Ys s s s
s t
( ) ( ) ( )− − ′( )− −
< ≤
∑ ∆
0
. (3)
U danomu vypadku F ( y ) = F′ ( y ) = F′′ ( y ) = ey
i, otΩe, (3) nabyra[ vyhlqdu
e e e dY e d Y Y e e e Y YY Y Y
t
s
Y
t
s
c Y Y Y
s s
s t
t s s s s s= + + + − − −( )− − − −
+ +
−
< ≤
∫ ∫ ∑0
0 0 0
1
2
, ( ) , (4)
de Y u K r Y r U f s ds g s dWt k
k
N t t
s
t
−
=
= + + +
−
∑ ∫ ∫( , , ) ( ) ( )0
1 0 0
.
Ma[mo
Y Y rU I Nt t N tt
− = { ≠ }− ∆ 0 , (5)
e e e e e eY Y Y Y Y Y rU I N
s s s s s s Nt t− = − = −− − − −( ) ( )− ≠
1 1
0{ }∆
, (6)
d Y Y g t dtt
c, ( )= 2
. (7)
OtΩe, z ohlqdu na (5) – (7), a takoΩ vraxovugçy te, wo majΩe na vsix tra[k-
toriqx Ys , s ∈ [ 0, 1 ], ma[ skinçennu kil\kist\ strybkiv, (4) moΩna perepysaty u
vyhlqdi
e e e f s g s ds e g s dWY Y Y
t
Y
t
s
t s s= + +
+− −
+ +
∫ ∫0 1
2
2
0 0
( ) ( ) ( ) +
+ e e
Y rU I N
s t
s Ns s− ( )≠
< ≤
−∑ { }∆ 0
0
1 .
ZauvaΩymo, wo z umovy R2 vyplyva[ korektna vyznaçenist\ intehrala
e g s dW
Yt
s
s −
+∫0
( ) . Zhidno z ti[g Ω umovog ta z rezul\tatamy [7, s. 126], proces
Mt =df
e g s dW
Yt
s
s −
+∫0
( ) [ lokal\nym kvadratyçno intehrovnym martynhalom, os-
kil\ky pry
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
OCINKA JMOVIRNOSTI BANKRUTSTVA STRAXOVO} KOMPANI} … 1447
τN =df
inf : ( )t e g s ds N NY
t
s≥ ≥
∧( )−∫0 2
0
, N ≥ 1,
ma[mo
P{ } P ( )τN
Y
T
N
T e g s ds Ns< ≤ ≥
→( )−∫ →∞
2
0
0
dlq N > T, tobto { τN , N ≥ 1 } [ markovs\kymy momentamy, pryçomu dlq nyx,
oçevydno, vykonugt\sq umovy P { τN ≤ N } = 1, P { τN ≤ τN + 1 } = 1, τN ↑ ∞, ( P-
majΩe napevno), i, krim toho, proces e g s dW
Yt
s
sN −
+
∧
∫0
τ
( ) [ kvadratyçno intehrov-
nym martynhalom.
Proces Pt =df e eY rU I N
s t
s Ns s− ( )≠
< ≤
−∑ { }∆ 0
0
1 [ majΩe napevno nespadnym proce-
som. Zapyßemo danyj proces v intehral\nomu vyhlqdi Pt = e dOY
s
t
s−∫0
, de Ot =df
=df ( )≠
< ≤
−∑ e
rU I N
s t
Ns s{ }∆ 0
0
1 , t ≥ 0. Za totoΩnistg Val\da
E
{ }( )≠
< ≤
−∑ e
rU I N
s t
Ns s∆ 0
0
1 = E ( )( − ) =
=
∑ e th rrU
k
N
k
t
1
1
β ⇒ E Ot < ∞ ∀t ≥ 0;
krim toho, proces { Ot , t ≥ 0 } ma[ nezaleΩni pryrosty, tomu vidpovidnyj
kompensovanyj proces { Ot – E Ot , t ≥ 0 } [ martynhalom.
Rozhlqnemo poslidovnist\ σN =df inf { t ≥ 0 : Yt ≥ N } ∧ N, N ≥ 1, qka [ posli-
dovnistg markovs\kyx momentiv zupynky ta dlq qko] magt\ misce oçevydni vlas-
tyvosti P { σN ≤ N } = 1, P { σN ≤ σN + 1 } = 1 i, krim toho, σN ↑ ∞ ( P-majΩe
napevno), oskil\ky P { σN < T } ≤ P sup
[ ; ]t T
t N
rR N
∈
→∞−{ } ≥
→
0
0 majΩe napevno.
Ostannq vlastyvist\ ma[ misce qk naslidok vyznaçennq procesu ryzyku { Rt , t ≥
≥ 0 }: danyj proces moΩe nabuvaty vid’[mnyx znaçen\ vnaslidok zdijsnennq
straxovyx vyplat Uk , k ≥ 1, ale za skinçennyj ças bude zdijsneno ne bil\ß niΩ
skinçennu kil\kist\ vyplat, rozmir qkyx [ skinçennym z imovirnistg 1. OtΩe,
proces P h r e dst
Yt
s− −
+∫β ( )
0
[ lokal\nym martynhalom, oskil\ky proces
e d O O P h r e dsY
s s
t
t
Y
t
s
N
N
s
N
− −−( ) = −
∧
∧
+
∧
∫ ∫E ( )
0 0
σ
σ
σ
β
— martynhal.
Za vlastyvistg lokal\nyx martynhaliv (dyv., napryklad, [6, s. 37]) proces
M P h r e dst t
Yt
s+ − −
+∫β ( )
0
[ takoΩ lokal\nym martynhalom z fundamental\nog
poslidovnistg τN ∧ σN , N ≥ 1.
Rozhlqnemo riznycg procesiv
V X X M P h r e dst t t t
Y
t
s= − − − −
−
+
∫df
( )0
0
β .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
1448 M. O. ANDROWUK, G. S. MIÍURA
Vykonugçy vidpovidni pidstanovky, ma[mo
V e f s g s h r dst
Y
t
s= + +
−
+
∫ ( ) ( ) ( )
1
2
2
0
β =
= e r p R aK R K r b K h r dsrR
s s s s s
t
s−
+
− − + + −( ) + +
∫ ( ) ( ) ( )δ β1
2
2 2 2
0
.
ZauvaΩymo, wo z umov K 2
, R2 ta nerivnosti Hronuolla dlq { Rt , t ≥ 0 }
vyplyva[ istynnist\ umovy
R4 ) P e K dsrR
t
s
s−
+
−∫ < ∞
=
0
2 1.
Intehral Lebeha { Vt , t ≥ 0 }, zapysanyj vywe, [ korektno vyznaçenym
vnaslidok umov R3, R2, R1 ta R4.
U vypadku, koly „zalyßkovyj” proces { ≥ ≥ }∧ ∧V t Nt N Nτ σ , ,0 1 [ peredbaçu-
vanym spadnym procesom, zhidno z rozkladom Duba – Mej[ra (dyv., napryklad, [6,
s. 105]), proces
X X M P h r e ds Vt t t
Y
t
t
s= + + − +−
+
∫0
0
β ( )
bude lokal\nym supermartynhalom. Peredbaçuvanist\ procesu Vt [ oçevydnog,
oskil\ky vin neperervnyj po t. OtΩe, perevirymo, za qkyx umov proces
{ ≥ ≥ }∧ ∧V t Nt N Nτ σ , ,0 1 [ spadnym.
Vlastyvist\
V V e f s g s h r dsT t
Y
t
T
s− = + +
≤−
+
∫ ( ) ( ) ( )
1
2
02 β ∀T ≥ 0, t ∈ [ 0; T ],
zokrema, ma[ misce pry nedodatnomu pidintehral\nomu vyrazi v livij çastyni,
tobto pry vykonanni nerivnosti
e r p R aK R K r b K h rY
s s s s s
s− − + + −( ) + +
≤( ) ( ) ( )δ β1
2
02 2 2
. (8)
majΩe napevno, s ∈ ( t; T ] . Nerivnist\ (8) ma[ misce vnaslidok umovy K3.
Takym çynom, proces
X u K r e X M P h r e ds Vt
Y u K r
t t
Y
t
t
t s( , , ) ( )( , , )= = + + − +−
+
∫0
0
β
[ nevid’[mnym lokal\nym supermartynhalom, a otΩe, i supermartynhalom vid-
nosno potoku σ-alhebr Ft . (Ostann[ tverdΩennq [ naslidkom lemy Fatu: dlq
bud\-qkoho T ≥ 0, t ∈ [ 0; T ] magt\ misce spivvidnoßennq
E X E X E Xt T t
N
T t
N
TN N N N
= =
→∞
∧ ∧
→∞
∧ ∧lim limτ σ τ σ ≤
l.Fatu
≤
l.Fatu
lim lim
N
t T
N
t tE X X X
N N N N
→∞
∧ ∧
→∞
∧ ∧≤ =τ σ τ σ
lok.supermart.
,
wo j potribno bulo pokazaty.)
Teoremu 1 dovedeno.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
OCINKA JMOVIRNOSTI BANKRUTSTVA STRAXOVO} KOMPANI} … 1449
ZauvaΩennq 2. Prypustymo, wo umovy K2 ta R1 – R3 vykonugt\sq iz zami-
nog verxn\o] meΩi intehruvannq na t ∧ τ ( u ) (ce navit\ bil\ß slabke prypu-
wennq, niΩ bulo dosi), a umova K3 vykonu[t\sq pry vsix 0 ≤ t ≤ τ ( u ). Todi ana-
lohiçno do poperedn\oho moΩna dovesty, wo proces { ≥ }∧X u K r tt uτ( )( , , ), 0 bu-
de supermartynhalom vidnosno potoku σ-alhebr Ft .
Znajdemo ocinku jmovirnosti bankrutstva straxovo] kompani], kapital qko]
opysu[t\sq procesom (1).
Teorema 2. Nexaj vykonu[t\sq umova P1 i a > δ. Todi dlq modeli ryzyku,
opysano] rivnqnnqm (1), pry stalij investycijnij stratehi]
K
a
rb
t = − δ
ˆ 2 , t ≥ 0, (9)
ma[ misce verxnq ocinka jmovirnosti bankrutstva:
P ( ) ˆ{ < ∞} ≤ −τ u e ru
, (10)
de r̂ — [dynyj dodatnyj rozv’qzok rivnqnnq
β δ δh r
a
b
r p x x
x
(ˆ)
( ) ˆ inf ( )= − + +{ }
≥
2
2 02
. (11)
Dovedennq. Dlq investycijno] stratehi] (9) umovy K 1 ta K2, oçevydno, vyko-
nugt\sq. Perevirymo, za qkyx umov ma[ misce umova K3 pry 0 ≤ t ≤ τ ( u ). Roz-
hlqnemo formal\no nerivnist\
r b
K r a K rp R rR h rt t t t
2 2
2
2
0+ − − − + ≤( ) ( ) ( )δ δ β . (12)
Z’qsu[mo, za qkyx umov dyskryminant livo] çastyny ci[] kvadratyçno] neriv-
nosti bude nevid’[mnym:
D r a r b rp R rR h rt t= − − − − + ≥( )2 2 2 22 0( ) ( ) ( )δ δ β . (13)
Dostatn\og umovog vykonannq nerivnosti (13) na intervali [ 0; τ ( u ) ] [ umova
β δ δ
h r rp x rx
a
bx
( ) inf ( )
( )≤ +{ } + −
≥0
2
22
. (14)
OtΩe, pry vykonanni nerivnosti (14) ta pry Kt ∈ [ K1t , K2t ], de
K
ra r D
r b
a a b rp R rR h r
rb
t
t t
1 2 2
2 2
2
2= − − = − − − − − − +( )δ δ δ δ β( ) ( ) ( )
,
K
ra r D
r b
a a b rp R rR h r
rb
t
t t
2 2 2
2 2
2
2= − + = − + − − − − +( )δ δ δ δ β( ) ( ) ( )
,
nerivnist\ (12) ma[ misce na [ 0; τ ( u ) ].
Maksymal\ne znaçennq r, pry qkomu ma[ misce nerivnist\ (14), — ce znaçen-
nq, pry qkomu v (14) dosqha[t\sq rivnist\, a oskil\ky liva çastyna (14) [ zros-
tagçog opuklog donyzu funkci[g vidnosno r, wo proxodyt\ çerez poçatok
koordynat, a prava çastyna — zrostagçog linijnog vidnosno r funkci[g, qka
peretyna[ vis\ ordynat u nevid’[mnij toçci
( )δ − a
b
2
22
, to take znaçennq isnu[ i do
toho Ω [dyne.
OtΩe, pry stalij r̂ , qka [ rozv’qzkom rivnqnnq (11), ta investycijnij stra-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
1450 M. O. ANDROWUK, G. S. MIÍURA
tehi] { Kt , t ≥ 0 }, oznaçenij v (9), qka zavΩdy naleΩyt\ promiΩku [ K1s , K2s ],
magt\ misce nerivnosti (13) ta (12), inßymy slovamy, umova K3 na [ 0; τ ( u ) ].
Umovy R1 – R3 vykonugt\sq vnaslidok nerivnosti Hronuolla (dyv. [8, s. 192]).
Napryklad, dovedemo nerivnist\ R1: P
( )
e R dsrR
s
t u
s−
+
∧
−∫ < ∞
=
0
1
τ
, t ≥ 0.
Dlq dovil\noho fiksovanoho T > 0 znajdemo ocinku zverxu dlq procesu
R s t u Ts , [ ; ( ) ]∈ ∧ ∧{ }0 τ , vykorystavßy zobraΩennq (2) ta nerivnist\ Hronu-
olla
R R u Cs
a
rb
s R dzs s z
s
= ≤ + + − + ∫( )
ˆ
δ δ
2
2
0
+ b
a
rb
W W C es
s− − ≤δ ω δ
ˆ
( )2 0 1 ,
de
C u C
a
rb
T b
a
rb
W
z T
z1
2
2 2 0
( )
( )
ˆ ˆ
max
df
[ , ]
ω δ δ= + + −
+ −
∈
.
Takym çynom,
e R ds C e dsrR
s
t u
s
t
s−
+
∧
+
−∫ ∫≤ < ∞ˆ
( )
( )
0
1
0
τ
δω
majΩe napevno, tobto umova R1 ma[ misce na [ ]∧0; ( )τ u T . Analohiçno dovo-
dyt\sq istynnist\ umov R2 ta R3 na [ ]∧0; ( )τ u T .
OtΩe, na [ ]∧0; ( )τ u T vykonugt\sq usi umovy teoremy 1 i, zhidno z ci[g teo-
remog ta zauvaΩennqm 2, a takoΩ oskil\ky T > 0 — dovil\na stala, proces
{ }∧ ≥X u K r tt uτ( )( , , ˆ), 0 [ supermartynhalom vidnosno potoku σ-alhebr Ft .
Vvedemo poznaçennq
�
X u K r X u K rt t u( , , ˆ) ( , , ˆ)
df
( )= ∧ τ . Todi { }≥
�
X u K r tt( , , ˆ), 0 [
Ft-supermartynhalom, zvidky
e X u K r X u K r X u K r I u tru
t u
− = ≥ = <{ }ˆ
. .
( )( , , ˆ) E ( , , ˆ) E ( , , ˆ) ( )
� �
0
supermart vl
τ τ +
+ E ( , , ˆ) ( ) E ( , , ˆ) ( )( )X u K r I u t X u K r I u tt u{ } { }≥ ≥ <τ ττ ,
lim E ( , , ˆ) ( ) E ( , , ˆ) ( )( ) ( )
t
u uX u K r I u t X u K r I u
→∞
{ } { }< = < ∞τ ττ τ .
Takym çynom,
e X u K r u uru
u
− ≥ < ∞ < ∞{ } { }ˆ
( )E ( , , ˆ)/ ( ) P ( )τ τ τ ⇒
P ( )
E ( , , ˆ)/ ( )
ˆ
( )
ˆ{ } { }< ∞ ≤
< ∞
≤
−
−τ
ττ
u
e
X u K r u
e
ru
u
ru
.
Ostannq nerivnist\ ma[ misce vnaslidok toho, wo Rτ ( u ) < 0 za oznaçennqm τ ( u ) i
tomu X u K r eu
rR u Ku
τ
τ
( )
ˆ ( , )( , , ) ( )= >− 1. OtΩe, teoremu 2 dovedeno.
ZauvaΩennq 3. Pry p ( x ) = c = const, δ = 0, ta postijnij investycijnij
stratehi] K
a
rb
t = − δ
2 ∀t ≥ 0 otrymu[mo rezul\tat statti [2]: ψ( , ) ˆu K e rx≤ −
, de
r̂ — korin\ rivnqnnq βh r rc
a
b
(ˆ) ˆ= +
2
22
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
OCINKA JMOVIRNOSTI BANKRUTSTVA STRAXOVO} KOMPANI} … 1451
Pryklad. Rozhlqnemo dyskretnu model\ znyΩennq ciny v zaleΩnosti vid
velyçyny kapitalu straxovo] kompani]:
p x
c x x
c x x x
c x x
( )
, ,
, [ ; ),
, .
=
<
∈
≥
1 1
2 1 2
3 2
de C = c1 ≥ c2 ≥ c3 (dyv. rysunok),
(Dana model\ poqsng[t\sq znyΩennqm ryzykovoho navantaΩennq do straxovoho
taryfu pry dosyt\ velykomu kapitali straxovo] kompani].)
Todi, zhidno z teoremog 2, pry stalij investycijnij stratehi] K
a
rb
t = − δ
2 ma[
misce ocinka jmovirnosti bankrutstva P ( ) ˆ{ }< ∞ ≤ −τ u e ru
, de r̂ — rozv’qzok
rivnqnnq
β δ δ δh r
a
b
r c c x c x(ˆ)
( ) ˆmin ; ;= − + + +{ }
2
2 1 2 1 3 22
.
Analohiçnyj rezul\tat moΩna oderΩaty dlq dovil\no] spadno] kuskovo-sta-
lo] funkci] p ( x ).
ZauvaΩennq 4. Dlq tako] dyskretno] modeli vstanovlennq rozmiru stra-
xovo] premi] ne moΩna zastosuvaty rezul\taty Haj[ra ta Íaxermaj[ra [2],
oskil\ky proces { }= ≥−X e tt
rRt , 0 pry K
a
rb
t = − δ
2 , t ≥ 0, vzahali kaΩuçy, ne [
martynhalom
proces { Xt , t ≥ 0 } moΩe maty martynhal\nu vlastyvist\ lyße
pry K
r a D
r b
t = −( ) −δ
2 2 abo K
r a D
r b
t = −( ) +δ
2 2 , t ≥ 0, de D vyznaçeno v (13)
.
Martynhal\nist\ Ωe procesu { Xt , t ≥ 0 }, zhidno z [2], [ neobxidnog umovog ot-
rymannq ocinky zverxu jmovirnosti bankrutstva straxovo] kompani], qka funk-
cionu[ na BS-rynku.
3. Dodatok.
Oznaçennq 1. Zhidno z [9, s. 194], hovorymo, wo intehral\ne rivnqnnq
x A t s G x ds F tt s
t
+ − =∫ ( ) ( ) ( )
0
, t ∈ [ 0; T ], (15)
de G L( ) ( ; )loc⋅ ∈ − ∞ ∞∞
, A L T( ) [ ; ]⋅ ∈ 1 0 , F L T( ) [ ; ]⋅ ∈ ∞ 0 , ma[ „promiΩnyj” rozv’q-
zok na [ 0; t0 ), qkwo isnu[ take t0 ∈ ( 0; T ) i para funkcij x L tt ∈ ∞
loc[ ; )0 0 t a
y L tt ∈ ∞
loc[ ; )0 0 , dlq qkyx
G x y G xt t t( ) ( )≤ ≤ majΩe skriz\, t ∈ [ 0; t0 ), (16)
de G x G y
x y
( ) lim ess inf ( )=
→ − <
{ }
ε ε0
, G x G y
x y
( ) lim ess sup ( )=
→ − <
{ }
ε ε0
, ta
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
1452 M. O. ANDROWUK, G. S. MIÍURA
x A t s y ds F tt s
t
+ − =∫ ( ) ( )
0
, t ∈ [ 0; t0 ). (17)
Zhidno z teoremog 1 roboty [9, s. 194], za vykonannq nastupnyx umov: A( )⋅ ∈
∈ L T1 0[ ; ], F L T( ) [ ; ]⋅ ∈ ∞ 0 , G L( ) ( ; )loc⋅ ∈ − ∞ ∞∞
isnugt\ t0 ∈ ( 0; T ) i para funkcij
xt ta yt , dlq qkyx vykonu[t\sq nerivnist\ (16) ta ma[ misce rivnist\ (17), tobto
isnu[ „promiΩnyj” rozv’qzok rivnqnnq (15). Bil\ß toho, zhidno z teoremog 2 [9,
s. 195], qkwo ess sup
[ ; )t t
tx
∈
< ∞
0 0
, to rozv’qzok moΩna prodovΩyty na interval [ 0;
t* ), de t* > t0 . OtΩe, prodovΩyty rozv’qzok ne moΩna lyße u vypadku, koly
ess sup
[ ; )t t
tx
∈
= ∞
0 0
.
Rozhlqnemo rivnist\ (1) (abo, wo te same, (2)) pry koΩnomu fiksovanomu
ω ∈ Ω qk rivnqnnq vidnosno funkci] Rt na fiksovanomu, xoça i vypadkovomu,
vidrizku [ 0; T ] dlq deqkoho T > 0. VvaΩa[mo, wo proces Kt [ stalym, tobto
Kt ≡ K > 0. V rivnqnni (2)
x Rt t=df
,
(18)
F t u U a K ds b K dWk
k
N
s
t
s
t
s
t
( ) ( )
df= − + − +
=
∑ ∫ ∫
1 0 0
δ ,
A t( ) ≡df
1,
(19)
G x p x x( ) = − ( ) −df δ .
U danomu vypadku G L( ) ( ; )loc⋅ ∈ − ∞ ∞∞
vnaslidok umovy P1 ta obmeΩenosti li-
nijno] funkci] na kompaktnyx mnoΩynax; A L T( ) [ ; ]⋅ ∈ 1 0 dlq bud\-qkoho T > 0;
F L T( ) [ ; ]⋅ ∈ ∞ 0 , oskil\ky
F t C u U a Kt bKt Wk
k
N
t T
t
T
( ) ( ) : ( ) max
[ ; ]
≤ = + + − + < ∞
= ∈
∑2
1 0
ω δ
majΩe napevno, t ∈ [ 0; T ].
OtΩe, vykonugt\sq umovy teoremy 1 roboty [9, s. 194], rezul\tatom zastosu-
vannq qko] [ tverdΩennq pro isnuvannq pidintervalu [ ); ( ) [ ; ]0 00t Tω ⊂ , na qko-
mu isnu[ rozv’qzok Rt rivnqnnq (2) u sensi oznaçennq 1, tobto „promiΩnyj” roz-
v’qzok.
Takym çynom, P-majΩe napevno isnu[ t0 = t0 ( ω ) > 0 ta para funkcij Rt ta
yt , wo zadovol\nqgt\ taku modyfikacig rivnqnnq (2):
R y ds F tt s
t
+ =∫
0
( ),
de F ( t ) zadovol\nq[ (18), a ys — (16) z funkci[g G ( ⋅ ) z (19). Pry c\omu,
vykorystovugçy nerivnist\ (16) ta lemu Hronuolla, duΩe lehko pereviryty, wo
ess sup
[ ; ( ))t t
tR
∈
< ∞
0 0 ω
P- majΩe napevno. OtΩe, „promiΩnyj” rozv’qzok rivnqnnq (2)
isnu[ na vs\omu [ 0; T ].
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
OCINKA JMOVIRNOSTI BANKRUTSTVA STRAXOVO} KOMPANI} … 1453
Teper z’qsu[mo, koly G R G Rt t( ) ( )≠ . Ce moΩlyvo lyße todi, koly Rt nale-
Ωyt\ toçci rozryvu funkci] G ( ⋅ ). OtΩe, pry vykonanni umovy
P2 ) funkciq p ∈ C ( R )
rivnqnnq (2) matyme rozv’qzok u zvyçajnomu rozuminni na [ 0; T ], tobto bude is-
nuvaty proces { Rt , t ∈ [ 0; T ] }, wo peretvorg[ (1) na totoΩnist\.
Nexaj vykonu[t\sq umova
P3 ) funkciq p x BV x x( ) [ ; ]∈ − 0 0 dlq bud\-qkoho x0 > 0.
Todi p ( x ) ma[ ne bil\ß niΩ zliçennu mnoΩynu toçok rozryvu na R. Poznaçymo
cg mnoΩynu çerez R ( p ). Rozhlqnemo rivnqnnq (1) na vidrizku [ 0; T ] dlq bud\-
qkoho T > 0. ZauvaΩymo, wo z imovirnistg 1 mnoΩyna toçok t ∈ [ 0; T ] : G Rt( ) ≠
≠ G Rt( ) [ ob’[dnannqm mnoΩyn vyhlqdu { t : Rt = xt }, xt ∈ R ( p ). „PromiΩnyj”
rozv’qzok rivnqnnq (1) moΩna podaty u vyhlqdi
R F t y dst s
t
= − ∫( )
0
. (20)
Prava çastyna (20) mistyt\ napivmartynhal vyhlqdu
u bKW a K y ds Ut s s
t
k
k
Nt
+ + − −( ) −∫ ∑
=
( )δ
0 1
.
Za teoremamy 5.45 ta 5.47 roboty [10] cej napivmartynhal ma[ skinçennyj lo-
kal\nyj ças u bud\-qkij toçci xk , a tomu mira Lebeha λ { : } [ ; ]t R x Tt t=( )∩ 0 = 0
P-majΩe napevno. Ce oznaça[, wo rivnqnnq (1) i v c\omu vypadku ma[ zvyçajnyj
rozv’qzok na [ 0; T ]. Takym çynom, dovedeno nastupnyj rezul\tat.
Lema 1. Qkwo p C R BV R∈ ( ) ( )loc∪ , to rivnqnnq (1) ma[ rozv’qzok pry
stalij stratehi] Ks na bud\-qkomu vidrizku [ 0; T ].
Avtory vyslovlggt\ vdqçnist\ profesoru I. O. Parasgku za korysnu kon-
sul\tacig wodo isnuvannq rozv’qzkiv intehral\nyx rivnqn\ iz rozryvnymy koe-
fici[ntamy.
1. Asmussen S. Ruin probabilities. – Singapore: World Sci., 2001. – 385 p.
2. Gaier J., Grandits P., Schachermayer W. Asymptotic ruin probabilities and optimal investment //
Ann. Appl. Probab. – 2003. – 13. – P. 1054 – 1076.
3. Mißura G. S. Ocinka jmovirnostej bankrutstva dlq modelej z dovhostrokovog zaleΩ-
nistg // Teoriq jmovirnostej ta mat. statystyka. – 2005. – 72. – S. 93 – 100.
4. Ba[v A. V., Bondar[v B. V. Pro jmovirnist\ bankrutstva straxovo] kompani], wo funkcionu[
na BS-rynku // Tam Ωe. – 2006. – 74. – S. 10 – 22.
5. Grandell J. Aspects of risk theory. – Berlin: Springer, 1990. – 175 p.
6. Protter P. E. Stochastic integration and differential equations. – Berlin: Springer, 2004. – 410 p.
7. Lypcer R. Í., Íyrqev A. N. Statystyka sluçajn¥x processov. – M.: Nauka, 1974. – 696 s.
8. Elliott R. J. Stochastic calculus and applications. – New York: Springer, 1982. – 302 p.
9. Kiffe T. A discontinuous Volterra integral equation // J. Integr. Equat. – 1979. – 1. – P. 193 – 200.
10. Jacod J. Calcul stochastique et problemes de martingales // Lect. Notes Math. – 1979. – 714. –
539 p..
OderΩano 28.02.06
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
|
| id | umjimathkievua-article-3403 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:41:54Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c4/9646f19f8f4b6c38c2ea9d4e055638c4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34032020-03-18T19:53:28Z Estimation of the ruin probability of an insurance company operating on a BS-market Оцінка ймовірності банкрутства страхової компанії, яка функціонує на BS-ринку Androshchuk, M. O. Mishura, Yu. S. Андрощук, М. О. Мішура, Ю. С. We obtain an estimate for the ruin probability of an insurance company that invests a part of its capital in stocks and puts the rest of the capital in a bank account. An insurance premium is established depending on the capital of the insurance company. Получена оценка вероятности разорения страховой компании, которая инвестирует часть собственного капитала в акции, а остальное — на банковский счет. Страховая премия устанавливается в зависимости от величины капитала страховой компании. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3403 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 11 (2007); 1443–1453 Український математичний журнал; Том 59 № 11 (2007); 1443–1453 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3403/3549 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3403/3550 Copyright (c) 2007 Androshchuk M. O.; Mishura Yu. S. |
| spellingShingle | Androshchuk, M. O. Mishura, Yu. S. Андрощук, М. О. Мішура, Ю. С. Estimation of the ruin probability of an insurance company operating on a BS-market |
| title | Estimation of the ruin probability of an insurance company operating on a BS-market |
| title_alt | Оцінка ймовірності банкрутства страхової компанії, яка функціонує на BS-ринку |
| title_full | Estimation of the ruin probability of an insurance company operating on a BS-market |
| title_fullStr | Estimation of the ruin probability of an insurance company operating on a BS-market |
| title_full_unstemmed | Estimation of the ruin probability of an insurance company operating on a BS-market |
| title_short | Estimation of the ruin probability of an insurance company operating on a BS-market |
| title_sort | estimation of the ruin probability of an insurance company operating on a bs-market |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3403 |
| work_keys_str_mv | AT androshchukmo estimationoftheruinprobabilityofaninsurancecompanyoperatingonabsmarket AT mishurayus estimationoftheruinprobabilityofaninsurancecompanyoperatingonabsmarket AT androŝukmo estimationoftheruinprobabilityofaninsurancecompanyoperatingonabsmarket AT míšuraûs estimationoftheruinprobabilityofaninsurancecompanyoperatingonabsmarket AT androshchukmo ocínkajmovírnostíbankrutstvastrahovoíkompanííâkafunkcíonuênabsrinku AT mishurayus ocínkajmovírnostíbankrutstvastrahovoíkompanííâkafunkcíonuênabsrinku AT androŝukmo ocínkajmovírnostíbankrutstvastrahovoíkompanííâkafunkcíonuênabsrinku AT míšuraûs ocínkajmovírnostíbankrutstvastrahovoíkompanííâkafunkcíonuênabsrinku |