Group classification of quasilinear elliptic-type equations. I. Invariance with respect to Lie algebras with nontrivial Levi decomposition
The problem of group classification of quasilinear elliptic-type equations in the two-dimensional space is considered. The list of all equations of this sort is obtained, which admit the semisimple Lie algebras of symmetry operators and the Lie algebras of symmetry operators with nontrivial Levi dec...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3409 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509495279484928 |
|---|---|
| author | Lahno, V. I. Spichak, S. V. Лато, В. І. Спічак, С. В. |
| author_facet | Lahno, V. I. Spichak, S. V. Лато, В. І. Спічак, С. В. |
| author_sort | Lahno, V. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:53:28Z |
| description | The problem of group classification of quasilinear elliptic-type equations in the two-dimensional space is considered. The list of all equations of this sort is obtained, which admit the semisimple Lie algebras of symmetry operators and the Lie algebras of symmetry operators with nontrivial Levi decomposition. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:42:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.95
V. I. Lahno (Poltav. un-t),
S. V. Spiçak (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
HRUPOVA KLASYFIKACIQ KVAZILINIJNYX RIVNQN|
ELIPTYÇNOHO TYPU. I. INVARIANTNIST| VIDNOSNO
ALHEBR LI Z NETRYVIAL|NYM ROZKLADOM LEVI
The problem of group classification of quasilinear elliptic-type equations in the two-dimensional space is
considered. The list of all equations of this sort is obtained, which admit the semisimple Lie algebras of
symmetry operators and the Lie algebras of symmetry operators with nontrivial Levi decomposition.
Rassmatryvaetsq zadaça hruppovoj klassyfykacyy kvazylynejn¥x uravnenyj πllyptyçeskoho
typa v dvumernom prostranstve. Poluçen¥ pereçny vsex uravnenyj πtoho klassa, dopuskagwyx
poluprost¥e alhebr¥ Ly operatorov symmetryy y alhebr Ly operatorov symmetryy s netry-
vyal\n¥m razloΩenyem Levy.
1. Vstup. Predmetom rozhlqdu dano] roboty [ kvazilinijni dvovymirni rivnqnnq
eliptyçnoho typu
∆ u = F ( x, y, u, ux , uy ). (1.1)
V (1.1) i dali ∆ = ∂x x + ∂y y =
∂
∂
+ ∂
∂
2
2
2
2x y
[ dvovymirnym operatorom Laplasa, u =
= u ( x, y ), F — dovil\na hladka funkciq v deqkij oblasti prostoru W = R
2 × V =
= 〈 x, y 〉 × 〈 u, ux , uy 〉, qka [ nelinijnog xoça b za odni[g zi zminnyx u, ux , uy.
Rivnqnnq vyhlqdu (1.1) naleΩat\ do fundamental\nyx rivnqn\ matematyçno]
fizyky, qki znajßly ßyroki zastosuvannq v riznomanitnyx oblastqx suçasnoho
pryrodoznavstva. Zokrema, vony vykorystovugt\sq v teori] teplo- ta masoobmi-
nu, dlq opysu ustalenyx teçij ideal\no] ridyny, v teori] horinnq ta u fizyci
plazmy (dyv., napryklad, [1 – 5]).
Ne ostanng rol\ u formuvanni pravyl\noho rozuminnq qkisnyx osoblyvostej
doslidΩuvanoho procesu vidihragt\ toçni rozv’qzky (u zamknenomu vyhlqdi)
rivnqnnq, qke modelg[ cej proces. Tomu sposteriha[t\sq stijkyj interes same
do znaxodΩennq rozv’qzkiv u zamknenomu vyhlqdi riznyx model\nyx rivnqn\ z
çastynnymy poxidnymy. Zokrema, toçni rozv’qzky rivnqn\ vyhlqdu (1.1) z ekspo-
nencial\nymy ta tryhonometryçnymy nelinijnostqmy bulo znajdeno v [6 – 9], z
loharyfmiçnymy nelinijnostqmy — v [4, 5], z hiperboliçnymy nelinijnostqmy —
v [9, 10] (dyv. takoΩ [4, 5]). Zrozumilo, wo odnym iz kryteri]v pid ças vidboru
rivnqnnq v qkosti matematyçno] modeli deqkoho real\noho procesu [ vymoha,
wob ce rivnqnnq bulo dosyt\ prostym dlq toho, wob joho moΩna bulo uspißno
proanalizuvaty i rozv’qzaty. Ce, zokrema, ma[ misce todi, koly model\ne rivnqn-
nq dopuska[ netryvial\nu hrupu invariantnosti. U takomu vypadku dlq doslid-
Ωennq j intehruvannq model\noho rivnqnnq moΩna efektyvno vykorystovuvaty
metod symetrijno] redukci] [11 – 16].
Qk pravylo, bil\ßist\ rivnqn\ prykladno] ta teoretyçno] fizyky, ximi] i bio-
lohi] mistqt\ parametry abo funkci], wo znaxodqt\sq eksperymental\no j tomu
ne [ stroho fiksovanymy. Tomu dlq vidboru rivnqn\ zi zhadanymy vywe vlasty-
vostqmy aktual\nog [ zadaça hrupovo] klasyfikaci] dyferencial\noho rivnqn-
nq, qka dlq rivnqnnq (1.1) formulg[t\sq tak: opysaty usi specyfikaci] funkci]
F u rivnqnni (1.1), pry qkyx vono matyme najvywi symetrijni vlastyvosti. Slid
zaznaçyty, wo zadaçeg hrupovo] klasyfikaci] dyferencial\nyx rivnqn\ zajmav-
sq we Sofus Li. }] suçasnu postanovku zdijsnyv u 1959 r. L. V. Ovsqnnikov u
klasyçnij statti [17], de nym bulo zaproponovano metod (Li – Ovsqnnikova) dlq
]] rozv’qzuvannq i provedeno povnu hrupovu klasyfikacig nelinijnoho rivnqnnq
© V. I. LAHNO, S. V. SPIÇAK, 2007
1532 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
HRUPOVA KLASYFIKACIQ KVAZILINIJNYX RIVNQN| … 1533
teploprovidnosti. Cq stattq poklala poçatok çyslennym cyklam robit z hru-
povo] klasyfikaci] dyferencial\nyx rivnqn\ (dosyt\ povnyj ohlqd robit, pry-
svqçenyx rozv’qzuvanng zadaçi hrupovo] klasyfikaci] dyferencial\nyx rivnqn\,
stanom na poçatok 90-x rokiv mynuloho stolittq moΩna znajty u [18]).
U danij roboti my provodymo hrupovu klasyfikacig nelinijnyx rivnqn\ vyh-
lqdu (1.1). Pry c\omu dlq opysu predstavnykiv neekvivalentnyx klasiv rivnqn\
my vykorystovu[mo metod, zaproponovanyj v [19, 20] (dyv. takoΩ [21]), qkyj [
modyfikaci[g metodu Li – Ovsqnnikova i dozvolq[ znaçno rozßyryty klasy riv-
nqn\, dlq qkyx povne rozv’qzannq zadaçi hrupovo] klasyfikaci] sta[ konstruk-
tyvnym. TakoΩ zauvaΩymo, wo rozhlqdu pidlqhagt\ rivnqnnq, qki zaminamy
zminnyx ne zvodqt\sq do rivnqnnq Laplasa abo inßyx linijnyx rivnqn\ eliptyç-
noho typu. Tak, qk pokazano dali, danu umovu ne zadovol\nqgt\, napryklad, ne-
linijni rivnqnnq (2.6) ta (2.7).
2. Poperedni rezul\taty hrupovo] klasyfikaci]. Zhidno z vidomym alho-
rytmom Li – Ovsqnnikova [14], infinitezymal\ni operatory, qki henerugt\ lo-
kal\ni hrupy invariantnosti rivnqn\ vyhlqdu (1.1), ßuka[mo u klasi operatoriv
v = τ ∂x + ξ ∂y + η ∂u ,
de τ = τ ( x, y, u ), ξ = ξ ( x, y, u ), η = η ( x, y, u ) — dviçi neperervno dyferencijovni
funkci] v deqkij oblasti prostoru R
2 × V = 〈 x, y 〉 × 〈 u 〉.
Vykonugçy vidpovidni obçyslennq, pryxodymo do takoho rezul\tatu.
TverdΩennq 2.1. Hrupa invariantnosti rivnqnnq (1.1) heneru[t\sq infini-
tezymal\nym operatorom
v = a ( x, y ) ∂x + b ( x, y ) ∂y + c ( x, y, u ) ∂u , (2.1)
de funkci] a, b, c, F zadovol\nqgt\ systemu rivnqn\
ay + bx = 0, ax – by = 0,
(2.2)
cxx + cyy + 2ux cxu + 2 uy cyu + ( + )u u cx y uu
2 2 + ( cu – 2ax ) F =
= a Fx + b Fy + c Fu + [ cx + ux ( cu – ax ) – uy bx ] Fu
x
+
+ [ cy + uy ( cu – by ) – ux ay ] Fu
y
.
NevaΩko pobaçyty, wo perßi dva rivnqnnq [ umovamy Koßi – Rimana, tobto
funkci] a ta b [ harmoniçnymy. TakoΩ bezposerednq perevirka pokazu[, wo
dlq dovil\nyx znaçen\ funkci] F operator (2.1) [ nul\ovym.
Hrupovu klasyfikacig rivnqnnq (1.1) provodymo z toçnistg do ekvivalent-
nosti, qku vyznaçagt\ peretvorennq z hrupy ekvivalentnosti rivnqnnq (1.1) (dali
poznaça[mo ]] � ). Hrupu � utvorggt\ ti z peretvoren\
x = α ( x, y, u ) , y = β ( x, y, u ) , v = γ ( x, y, u ) ,
D x y
D x y u
( )
( )
, ,
, ,
v
≠ 0,
qki zberihagt\ dyferencial\nu strukturu rivnqnnq (1.1), tobto transformugt\
joho v rivnqnnq vyhlqdu
v v v v vx x y y x yx y+ = ( )Φ , , , , .
Bezposeredni obçyslennq pokazaly, wo ma[ misce take tverdΩennq.
TverdΩennq 2.2. Hrupu � rivnqnnq (1.1) skladagt\ peretvorennq
x = α ( x, y ), y = β ( x, y ), v = γ ( x, y, u ), (2.3)
de
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
1534 V. I. LAHNO, S. V. SPIÇAK
αx = ε βy , αy = – ε βx ( ε = ± 1 ), α α β βx y x y
2 2 2 2+ = + ≠ 0, γu ≠ 0.
Oskil\ky v zahal\nomu vypadku ne isnugt\ lokal\ni hrupy peretvoren\, qki b
dopuskalysq rivnqnnqm vyhlqdu (1.1), pryrodno rozpoçaty hrupovu klasyfika-
cig z opysu tyx rivnqn\, qki magt\ najnyΩçi symetrijni vlastyvosti, tobto do-
puskagt\ odnoparametryçni hrupy peretvoren\ (abo, wo te same, [ invariantnymy
vidnosno odnovymirnyx alhebr Li operatoriv symetri]).
Lema 2.1. Isnugt\ taki peretvorennq z hrupy � , qki zvodqt\ opera-
torN(2.1) do odnoho z takyx dvox operatoriv:
v = ∂x , v = ∂u . (2.4)
Dovedennq. V rezul\tati zaminy zminnyx (2.3) operator (2.1) transformu-
[t\sq v operator
v = ( + )∂ + ( + )∂ + ( + + )∂α α β β γ γ γx y x x y y x y ua b a b a b c v . (2.5)
Nexaj v operatori (2.1) a2 + b2 ≠ 0. Todi, poklavßy v (2.3) funkcig γ rivnog
nenul\ovomu rozv’qzku rivnqnnq
γu c + γx a + γy b = 0,
budemo vymahaty, wob v operatori (2.5) maly misce spivvidnoßennq
αx a + αy b = 1, βx a + βy b = 0.
Vraxuvavßy, wo αx = ε βy , αy = – ε βx , perepyßemo danu systemu tak:
– ε b βx + ε a βy = 1, a βx + b βy = 0.
Oskil\ky a2 + b2 ≠ 0, to cq systema [ rozv’qznog vidnosno βx i βy , a tomu ope-
rator (2.5) moΩna zapysaty u vyhlqdi v = ∂x .
Nexaj a = b = 0, c ≠ 0. U c\omu vypadku operator (2.5) ma[ vyhlqd v = γu c ∂v ,
a tomu, poklavßy funkcig γ rivnog rozv’qzku rivnqnnq γu c = 1, moΩemo poda-
ty joho u vyhlqdi v = ∂v .
Dali bezposerednq perevirka pokazala, wo ne isnugt\ peretvorennq z hrupy
�, qki zvodyly b operator ∂ x do operatora ∂v abo operator ∂u do operatora
∂x . Tomu, povernuvßys\ do poçatkovyx poznaçen\ zminnyx, perekonu[mosq v
spravedlyvosti lemy.
Z dovedeno] lemy vyplyva[ take tverdΩennq.
Teorema 2.1. 3 toçnistg do ekvivalentnosti isnugt\ dva klasy kvazilinij-
nyx rivnqn\ vyhlqdu (1.1), qki dopuskagt\ odnoparametryçni hrupy lokal\nyx
peretvoren\. Predstavnyky cyx klasiv rivnqn\ ta vidpovidni odnovymirni alheb-
ry invariantnosti [ takymy:
∆ u = F ( y, u, ux , uy ) : A1
1 = 〈 ∂x 〉,
∆ u = F ( x, y, ux , uy ) : A1
2 = 〈 ∂u 〉.
Dovedennq. Qkwo kvazilinijne rivnqnnq vyhlqdu (1.1) dopuska[ nenul\ovu
hrupu invariantnosti,to vona heneru[t\sq infinitezymal\nym operatorom vyhlq-
du (2.1). Zhidno z lemog 2.1, z toçnistg do ekvivalentnosti taki operatory vy-
çerpugt\sq operatoramy ∂x ta ∂u . Rozv’qzugçy dlq koΩnoho z cyx operatoriv
vidpovidni vyznaçal\ni rivnqnnq (2.2), perekonu[mosq v spravedlyvosti teoremy.
ZauvaΩymo, wo, qk pokazu[ bezposerednq perevirka, vkazani odnovymirni al-
hebry Li A1
1
ta A1
2
operatoriv symetri] dlq dovil\nyx znaçen\ F u vidpovidnyx
rivnqnnqx [ maksymal\nymy alhebramy invariantnosti cyx rivnqn\.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
HRUPOVA KLASYFIKACIQ KVAZILINIJNYX RIVNQN| … 1535
U podal\ßij hrupovij klasyfikaci] rivnqnnq (1.1) my korystu[mosq takym
vidomym faktom z hrupovoho analizu dyferencial\nyx rivnqn\ [14]: qkwo dyfe-
rencial\ne rivnqnnq dopuska[ deqku skinçennovymirnu alhebru Li operatoriv
symetri], to cq alhebra invariantnosti [ abo rozv’qznog alhebrog Li, abo alheb-
rog Li z netryvial\nym rozkladom Levi.
Z opysu rivnqn\, qki dopuskagt\ alhebry Li operatoriv symetri] z netryvi-
al\nym rozkladom Levi, my i prodovΩu[mo hrupovu klasyfikacig.
Ale spoçatku rozhlqnemo dva rivnqnnq vyhlqdu (1.1):
∆ u = f u u ux y( )( + )2 2 , f ≠ 0, (2.6)
∆ u = λ e
γ
u
, λ, γ ∈ R, λ ⋅ γ ≠ 0. (2.7)
Bezposeredn[ vykorystannq alhorytmu Li – Ovsqnnikova pokazu[, wo ci rivnqn-
nq invariantni vidnosno neskinçennoparametryçnyx hrup lokal\nyx peretvoren\,
qki henerugt\sq operatoramy vyhlqdu (2.1). Pry c\omu u vypadku rivnqnnq (2.6)
ax = by
, ay = – bx
, c = β ξ ξ( ) ( ) + ( ) ( )−∫x y u p u d
u
, Φ Φ Φ 1 ,
Φ ( u ) = exp f d
u
( )
∫ η η , βxx + βyy = 0, p ∈ R,
a u vypadku rivnqnnq (2.7)
ax = by = − 1
2
γβ, ay = – bx
, β = β ( x, y ), βxx + βyy = 0, c = β.
Naqvnist\ takyx vysokyx symetrijnyx vlastyvostej u cyx rivnqn\ dozvolq[
zrobyty prypuwennq, wo isnugt\ peretvorennq, qki zvodqt\ ]x do linijnyx riv-
nqn\. Dijsno, rivnqnnq (2.6) zaminog
v = Φ− ( )∫ 1 ξ ξd
u
zvodyt\sq do dvovymirnoho rivnqnnq Laplasa. Rivnqnnq (2.7) zv’qzane z rivnqn-
nqm Laplasa peretvorennqm Beklunda (dyv., napryklad, [9]). Tomu, zhidno z pos-
tanovkog zadaçi, my u podal\ßomu vsi otrymani rivnqnnq, qki ekvivalentni riv-
nqnnqm (2.6) ta (2.7), iz rozhlqdu vyluça[mo.
3. Invariantnist\ rivnqnnq (1.1) vidnosno alhebr Li operatoriv symetri]
z netryvial\nym rozkladom Levi. V teori] abstraktnyx alhebr Li vidomo [22],
wo bud\-qka alhebra Li z netryvial\nym rozkladom Levi mistyt\ qk pidalhebru
deqku prostu (napivprostu) alhebru Li. Tomu nasampered opyßemo rivnqnnq, qki
invariantni vidnosno prostyx (napivprostyx) alhebr Li operatoriv symetri].
3.1. Invariantnist\ vidnosno napivprostyx alhebr Li operatoriv symet-
ri]. Opys kvazilinijnyx rivnqn\ vyhlqdu (1.1), qki dopuskagt\ napivprosti al-
hebry Li operatoriv symetri], rozpoçyna[mo z klasyfikaci] tyx rivnqn\, alhebry
invariantnosti qkyx izomorfni najnyΩçym prostym klasyçnym alhebram Li:
so ( 3 ) ta sl ( 2, R ).
Teorema 3.1. Z toçnistg do ekvivalentnosti isnugt\ dva klasy kvazilinij-
nyx rivnqn\ vyhlqdu (1.1), qki dopuskagt\ alhebry Li operatoriv symetri], izo-
morfni alhebri so ( 3 ). Predstavnyky cyx klasiv rivnqn\ ta vidpovidni alhebry
invariantnosti [ takymy:
I. ∆ u = ch ˜ ,− ( )2 yF u ω , ω = ( + )u u yx y
2 2 2ch :
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
1536 V. I. LAHNO, S. V. SPIÇAK
so1
( 3 ) = 〈 ∂x , sh y cos x ∂x – ch y sin x ∂y
, – sh y sin x ∂x – ch y cos x ∂y 〉;
II. ∆ u = ch ˜ ch , ch− ( )2 yF y yξ η ,
ξ = ( ux – th y ) sin u + uy cos u, η = ( ux – th y ) cos u – uy sin u :
so2
( 3 ) = 〈 ∂x , sh y cos x ∂x – ch y sin x ∂ y + ch y cos x ∂u
,
– sh y sin x ∂x – ch y cos x ∂y – ch y sin x ∂ u 〉.
Dovedennq. Alhebra Li so ( 3 ) = 〈 e1 , e2 , e3 〉 vyznaça[t\sq takymy komuta-
cijnymy spivvidnoßennqmy [22]:
[ e1 , e2 ] = e3 , [ e2 , e3 ] = e1 , [ e3 , e1 ] = e2 . (3.1)
Nasampered z toçnistg do ekvivalentnosti, qku vyznaçagt\ peretvorennq (2.3) z
hrupy �, provedemo opys realizacij alhebry so ( 3 ) v klasi operatoriv (2.1).
Zhidno z lemog 2.1, odyn z operatoriv (napryklad, e1 ) my moΩemo vidrazu po-
klasty rivnym ∂x abo ∂u .
Nexaj e1 = ∂x , a operator e2 ma[ vyhlqd (2.1). Todi, perevirqgçy vykonannq
komutacijnyx spivvidnoßen\ (3.1), otrymu[mo
e3 = ax ∂x + bx ∂y + cx ∂u
,
de funkci] a, b, c zadovol\nqgt\ taku systemu dyferencial\nyx rivnqn\:
A. axx + a = 0, bxx + b = 0,
a axx + b axy – ax
2 – bx ay = 1, a bxx + b bxy – ax bx – bx by = 0; (3.2)
B. cxx + c = 0, a cxx + b cxy + c cxu – ax cx – bx cy – cx cu = 0.
Dopovnyvßy hrupu A rivnqn\ (3.2) perßymy dvoma rivnqnnqmy systemy (2.2) ta
skorystavßys\ zaminamy zminnyx z hrupy � vyhlqdu
x = x + k1
, y = ε y + k2
, v = γ ( y, u ), ε = ± 1, γu ≠ 0, k1
, k2 ∈ R,
(3.3)
qki zalyßagt\ vyhlqd operatora e1 = ∂x nezminnym, otryma[mo rozv’qzok hrupy
A rivnqn\ (3.2):
a = sh y cos x, b = – ch y sin x.
Hrupa B rivnqn\ (3.2) ma[ oçevydnyj tryvial\nyj rozv’qzok c = 0. Vymoha
c ≠ 0 z uraxuvannqm otrymanyx znaçen\ a, b ta zamin zminnyx (3.3) pryvela do
we odnoho rozv’qzku
c = ch y cos x.
OtΩe, vypadok e1 = ∂x pryvodyt\ do takyx dvox neekvivalentnyx realizacij
alhebry so ( 3 ):
so1
( 3 ) = 〈 ∂x , sh y cos x ∂x – ch y sin x ∂ y
, – sh y sin x ∂x – ch y cos x ∂y 〉,
so2
( 3 ) = 〈 ∂x , sh y cos x ∂x – ch y sin x ∂ y + ch y cos x ∂u
,
– sh y sin x ∂x – ch y cos x ∂y – ch y sin x ∂ u 〉.
Nexaj teper e1 = ∂u , a e2 ma[ vyhlqd (2.1). Todi z vykonannq komutacijnyx
spivvidnoßen\ (3.1) vyplyva[, wo a = b = 0, a funkciq c povynna zadovol\nqty
rivnqnnq c cu
2 2+ = – 1, qke v dijsnyj oblasti rozv’qzkiv ne ma[.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
HRUPOVA KLASYFIKACIQ KVAZILINIJNYX RIVNQN| … 1537
OtΩe, z toçnistg do ekvivalentnosti v klasi operatoriv (2.1) isnugt\ dvi
neekvivalentni realizaci] alhebry so ( 3 ). Perevirymo, çy moΩut\ buty otrymani
realizaci] alhebramy invariantnosti kvazilinijnyx rivnqn\ vyhlqdu (1.1).
U vypadku realizaci] so1
( 3 ) z tret\oho rivnqnnq (2.2) vyplyva[ taka systema
rivnqn\ dlq vyznaçennq vyhlqdu funkci] F = F ( y, u, ux , uy ) :
uy Fu
x
– ux Fu
y
= 0,
( 2F – ux Fu
x
– uy Fu
y
) sh y + ch y Fy = 0.
Vona lehko intehru[t\sq, i ]] zahal\nyj rozv’qzok ma[ vyhlqd
F = ch ˜ ,− ( )2 yF u ω , ω = ( + )u u yx y
2 2 2ch .
Za umovy, wo funkciq F̃ [ nelinijnog xoça b za odni[g iz zminnyx u abo ω,
otrymane znaçennq funkci] F zadovol\nq[ umovy sformul\ovano] zadaçi.
Analohiçno, u vypadku realizaci] so2
( 3 ) otrymu[mo, wo u vidpovidnomu inva-
riantnomu rivnqnni
F = ch ˜ ch , ch− ( )2 yF y yξ η ,
ξ = ( ux – th y ) sin u + uy cos u, η = ( ux – th y ) cos u – uy sin u,
i za umovy nelinijnosti funkci] F̃ xoça b za odni[g iz zminnyx v abo ω teΩ
vykonugt\sq umovy sformul\ovano] zadaçi.
Podal\ßa bezposerednq perevirka pokazala, wo dlq dovil\nyx znaçen\
funkcij F̃ v otrymanyx rivnqnnqx vidpovidni realizaci] alhebry so ( 3 ) [ mak-
symal\nymy alhebramy invariantnosti cyx rivnqn\.
Teoremu dovedeno.
Teorema 3.2. Z toçnistg do ekvivalentnosti isnugt\ dva klasy kvazilinij-
nyx rivnqn\ vyhlqdu (1.1), qki dopuskagt\ alhebry Li operatoriv symetri], izo-
morfni alhebri sl ( 2, R ). Predstavnyky cyx klasiv rivnqn\ ta vidpovidni alheb-
ry invariantnosti [ takymy:
I. ∆ u = y F u− ( )2 ˜ , ω , ω = y u ux y
2 2 2( + ):
sl1 ( 2, R ) = 〈 2x ∂x + 2y ∂y , – ( x2 – y2
) ∂x – 2x y ∂y , ∂x 〉 ;
II. ∆ u = y F− ( )2 ˜ ,v ω ,
v = ( 1 – 2y ux ) cos 2u + 2y uy sin 2u, ω = 2y uy cos 2u – ( 1 – 2y ux ) sin 2u :
sl2 ( 2, R ) = 〈 2x ∂x + 2y ∂y , – ( x2 – y2
) ∂x – 2x y ∂y + y ∂u , ∂x 〉.
Dovedennq teoremy 3.2 provodytsq analohiçno dovedenng teoremy 3.1, tomu
my joho ne navodymo. ZauvaΩymo lyße, wo alhebra Li sl ( 2, R ) = 〈 e1 , e2 , e3 〉
vyznaça[t\sq komutacijnymy spivvidnoßennqmy
[ e1 , e2 ] = 2e2 , [ e1 , e3 ] = – 2e3 , [ e2 , e3 ] = e1 . (3.4)
Zhidno z lemog 2.1, odyn z operatoriv (tut e3 ) my vidrazu poklada[mo rivnym ∂x
abo ∂u .
Za vidomog teoremog Kartana [22] bud\-qku napivprostu dijsnu alhebru Li
moΩna rozklasty u prqmu sumu poparno ortohonal\nyx prostyx alhebr Li i cej
rozklad [ [dynym (z toçnistg do izomorfizmu). TakoΩ vidomo (dyv., napryklad,
[22]), wo v teori] abstraktnyx alhebr Li nad polem R rozriznqgt\ çotyry typy
klasyçnyx prostyx alhebr Li:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
1538 V. I. LAHNO, S. V. SPIÇAK
1) typ An – 1, n > 1, mistyt\ çotyry dijsni formy alhebry sl ( n, C ) : su ( n ),
sl ( n, R ), su ( p, q ), p + q = n, p ≥ q, su*
( 2n ) ;
2) typ Dn
, n > 1, mistyt\ try dijsni formy alhebry so ( 2n, C ) : s o ( 2n ),
so ( p, q ), p + q = 2n, p ≥ q, so*
( 2n ) ;
3) typ Bn , n > 1, mistyt\ dvi dijsni formy alhebry so ( 2n + 1, C ) : so ( 2n +
+ 1 ), so ( p, q ), p + q = 2n + 1, p > q;
4) typ Cn , n > 1, mistyt\ try dijsni formy alhebry sp ( n, C ) : sp ( n ), sp ( n,
R ), sp ( p, q ), p + q = n, p ≥ q.
Tomu nastupnu rozmirnist\ 6 magt\ çotyry napivprosti alhebry Li: so ( 4 ), so ( 3,
1 ), so*
( 4 ) ta so ( 2, 2 ), pry c\omu so ( 4 ) ∼ so ( 3 ) � so ( 3 ), so*
( 4 ) ∼ so ( 3 ) � sl ( 2,
R ), so ( 2, 2 ) ∼ sl ( 2, R ) � sl ( 2, R ), a so ( 3, 1 ) mistyt\ qk pidalhebry alhebry Li
so ( 3 ) ta so ( 2, 1 ) [22]. Ce da[ moΩlyvist\ dlq opysu rivnqn\, alhebry invari-
antnosti qkyx izomorfni cym alhebram Li, vykorystovuvaty teoremy 3.1 ta 3.2.
Nexaj so ( 4 ) = 〈 ei | i = 1, 2, 3 〉 � 〈 ei | i = 1, 2, 3 〉. Todi, zhidno z teoremog 3.1,
operatory ei
, i = 1, 2, 3, skladagt\ bazys realizacij so1
( 3 ) abo so2
( 3 ). Bezpo-
seredni obçyslennq pokazugt\, wo v takomu vypadku operatory ei , i = 1, 2, 3,
naleΩat\ do klasu operatoriv c ( u ) ∂u
, a qk bulo vstanovleno pry dovedenni te-
oremy 3.1, v c\omu klasi operatoriv ne isnugt\ realizaci] alhebry so ( 3 ). OtΩe,
ne isnugt\ i nelinijni rivnqnnq vyhlqdu (1.1), alhebry invariantnosti qkyx izo-
morfni alhebri so ( 4 ).
Analohiçnyj rozhlqd realizacij alhebry so*
( 4 ) pokazav, wo u c\omu vypad-
ku povynni isnuvaty v klasi operatoriv c ( u ) ∂u realizaci] alhebry sl ( 2, R ), wo
supereçyt\ teoremi 3.2.
DoslidΩugçy naqvnist\ SO ( 3, 1 )-invariantnyx rivnqn\ vyhlqdu (1.1), sko-
rysta[mosq rozkladom Kartana: so ( 3, 1 ) = 〈 e1 , e2 , e3 〉 +⋅ 〈 N1 , N2 , N3 〉, de 〈 e1 ,
e2 , e3 〉 =̇ so ( 3 ), [ ei , Nj ] = εijl Nl , [ Ni , Nj ] = – εijl el , i, j, l = 1, 2, 3; εijl — antysy-
metryçnyj tenzor tret\oho ranhu, ε123 = 1. Qkwo operatory ei , i = 1, 2, 3,
skladagt\ bazys realizaci] so1
( 3 ), to, provivßy xoça j hromizdki, ale stan-
dartni obçyslennq, perekonu[mosq, wo z toçnistg do ekvivalentnosti moΩna
poklasty
N1 = ε1 ∂y + ε1 th y ∂u ,
N2 = ε1( ch y sin x ∂x + sh y cos x ∂y ) – ε2 ch–
1
y cos x ∂u ,
N3 = ε1( ch y cos x ∂x – sh y sin x ∂y ) + ε2 ch–
1
y sin x ∂u ,
de ε1 ≠ ± 1, a ε2 = 0 abo ε2 = 1.
Qkwo ε2 = 0, to invariantne vidnosno otrymano] realizaci] alhebry o ( 3, 1 )
rivnqnnq ma[ vyhlqd (2.6). Qkwo ε2 = 1, to zamina zminnyx z hrupy �
x = x
, y = ε1 y, v = u – ε1 ln ch y
dozvolq[ zamist\ otrymano] realizaci] alhebry so ( 3, 1 ) vzqty taku (v poçatko-
vyx poznaçennqx zminnyx):
e1 = ∂x , N1 = ∂y ,
e2 = ε1( sh y cos x ∂x – ch y sin x ∂ y ) + sh y sin x ∂ u ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
HRUPOVA KLASYFIKACIQ KVAZILINIJNYX RIVNQN| … 1539
e3 = – ε1( sh y sin x ∂x + ch y cos x ∂y ) + sh y cos x ∂u ,
N2 = ε1( ch y sin x ∂x + sh y cos x ∂y ) – ch y cos x ∂u ,
N3 = ε1( sh y cos x ∂x – sh y sin x ∂y ) + ch y sin x.
Vidpovidne ]j invariantne rivnqnnq
∆ u = λ e2ε1
u, λ ∈ R, λ ≠ 0,
[ çastynnym vypadkom rivnqnnq (2.7).
Qkwo Ω operatory ei , i = 1, 2, 3, skladagt\ bazys realizaci] so2
( 3 ), to ]]
rozßyrennq pryvodyt\ do tako] realizaci] alhebry so ( 3, 1 ):
e1 = ∂x ,
e2 = sh y cos x ∂x – ch y sin x ∂y + ch y cos x ∂u ,
e3 = – sh y sin x ∂x – ch y cos x ∂y – ch y sin x ∂ u ,
N1 = ε ∂y ,
N2 = ε[ ch y sin x ∂ x + sh y cos x ∂y + sh y sin x ∂ u ],
N2 = ε[ ch y cos x ∂x – sh y sin x ∂y + sh y cos x ∂u ], ε = ± 1.
Ale bezposerednq perevirka pokazu[, wo cq realizaciq ne moΩe buty alhebrog
invariantnosti nelinijnyx rivnqn\ vyhlqdu (1.1). OtΩe, v ramkax sformul\ova-
no] zadaçi ne isnugt\ SO ( 3, 1 )-invariantni rivnqnnq vyhlqdu (1.1).
Nastupnu pislq 6 rozmirnist\ 8 magt\ taki try alhebry Li: sl ( 3, R ), su ( 3 ),
su ( 2, 1 ). Provivßy dlq koΩno] z nyx analohiçni doslidΩennq, perekonu[mosq,
wo v ramkax sformul\ovano] zadaçi ne isnugt\ j sl ( 3, R )-, su ( 3 )- ta su ( 2, 1 )-
invariantni rivnqnnq vyhlqdu (1.1).
Podal\ßi prosti mirkuvannq pokazugt\, wo ma[ misce take tverdΩennq.
Teorema 3.3. V ramkax sformul\ovano] zadaçi otrymanymy v teoremax 3.1 i
3.2 SO ( 3 )- ta SL ( 2, R )-invariantnymy rivnqnnqmy vyçerpugt\sq rivnqnnq vyh-
lqdu (1.1), qki dopuskagt\ napivprosti hrupy lokal\nyx peretvoren\.
Dovedennq. Oskil\ky su*
( 4 ) ∼ so ( 5, 1 ), a alhebra so ( 5, 1 ) mistyt\ qk pid-
alhebru alhebru so ( 4 ), to v klasi operatoriv (2.1) ne magt\ realizacij, vidmin-
nyx vid otrymanyx v teoremax 3.1 i 3.2, alhebry typiv An ta Dn
, n > 1.
Ne matymut\ inßyx realizacij i alhebry typiv Bn ta Cn , n > 1. Spravdi, vΩe
dlq n = 2 alhebry typu Bn mistqt\ qk pidalhebry alhebry so ( 4 ) ta so ( 3, 1 ).
TakoΩ magt\ misce taki spivvidnoßennq: sp ( 2, R ) ∼ so ( 3, 2 ) (pidalhebrog
so ( 3, 2 ) [ s o ( 3, 1 ) ), s p ( 1, 1 ) ∼ s o ( 4, 1 ) ( pidalhebrog so ( 4, 1 ) [ s o ( 4 ) ),
sp ( 2 ) ∼ so ( 5 ) (pidalhebrog so ( 5 ) [ so ( 4 ) ).
Zalyßa[t\sq rozhlqnuty vypadky vynqtkovyx napivprostyx dijsnyx alhebr
Li, qki naleΩat\ do odnoho z takyx p’qty typiv [22]: G2 , F4 , E6 , E7 , E8 . Os-
kil\ky ]x rozhlqd provodyt\sq analohiçno, detal\no rozhlqnemo lyße perßyj
typ cyx alhebr, rozmirnist\ qkyx [ najnyΩçog i dorivng[ 14. Typ G2 mistyt\
odnu kompaktnu dijsnu formu g2 ta odnu nekompaktnu formu ′g2 . Oskil\ky
g2 ∩ ′g2 ∼ su ( 2 ) � su ( 2 ) ∼ so ( 4 ), a alhebra so ( 4 ) ne ma[ realizacij v zadanomu
klasi operatoriv, to v c\omu klasi operatoriv ne matymut\ realizacij i alhebry
g2 ta ′g2 .
Teoremu dovedeno.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
1540 V. I. LAHNO, S. V. SPIÇAK
3.2. Invariantnist\ vidnosno alhebr Li operatoriv symetri] z netryvi-
al\nym rozkladom Levi. Oskil\ky, qk pokazano v teoremi 3.3, otrymanymy v
teoremax 3.1 i 3.2 rivnqnnqmy vyçerpugt\sq ti, wo dopuskagt\ napivprosti
alhebry Li operatoriv symetri], to dlq opysu rivnqn\, alhebry invariantnosti
qkyx magt\ netryvial\nyj rozklad Levi, potribno doslidyty moΩlyvosti roz-
ßyrennq symetrijnyx vlastyvostej cyx rivnqn\.
U podal\ßomu budemo vykorystovuvaty vidomu klasyfikacig neizomorfnyx
rozv’qznyx alhebr Li Ak , i = 〈 e1 , … , ek 〉 [23, 24] nad polem R, zhidno z qkog dlq
znaçen\ k = 2, 3, 4 magt\ misce taki spivvidnoßennq:
dvovymirni alhebry A2, i = 〈 e1 , e2 〉:
A2, 1 : [ e1 , e2 ] = 0,
A2, 2 : [ e1 , e2 ] = e2 ;
tryvymirni alhebry A3, i = 〈 e1 , e2 , e3 〉:
A3, 1 : [ ej , el ] = 0, j, l = 1, 2, 3,
A3, 2 : [ e1 , e2 ] = e2 , [ e1 , e3 ] = [ e2 , e3 ] = 0,
A3, 3 : [ e2 , e3 ] = e1 , [ e1 , e2 ] = [ e1 , e3 ] = 0,
A3, 4 : [ e1 , e3 ] = e1 , [ e2 , e3 ] = e1 + e2
, [ e1 , e2 ] = 0,
A3, 5 : [ e1 , e3 ] = e1 , [ e2 , e3 ] = e2
, [ e1 , e2 ] = 0,
A3, 6 : [ e1 , e3 ] = e1 , [ e2 , e3 ] = – e2
, [ e1 , e2 ] = 0,
A3, 7 : [ e1 , e3 ] = e1 , [ e2 , e3 ] = q e2
, 0 < | q | < 1, [ e1 , e2 ] = 0,
A3, 8 : [ e1 , e3 ] = – e2 , [ e2 , e3 ] = e1
, [ e1 , e2 ] = 0,
A3, 9 : [ e1 , e3 ] = q e1 – e2 , [ e2 , e3 ] = e1 + q e2 , q > 0, [ e1 , e2 ] = 0;
çotyryvymirni alhebry A4, i = 〈 e1 , e2 , e3 , e4 〉:
10 rozkladnyx rozv’qznyx alhebr Li:
A2, 2 � A2, 2 = 2A2, 2
, A3, i � A1
, i = 1, 2, … , 9;
10 nerozkladnyx rozv’qznyx alhebr Li (navedeno lyße nenul\ovi komutacijni
spivvidnoßennq):
A4, 1 : [ e2 , e4 ] = e1 , [ e3 , e4 ] = e2
,
A4, 2 : [ e1 , e4 ] = q e1 , [ e2 , e4 ] = e2 , [ e3 , e4 ] = e2 + e3
, q ≠ 0,
A4, 3 : [ e1 , e4 ] = e1 , [ e3 , e4 ] = e2
,
A4, 4 : [ e1 , e4 ] = e1 , [ e2 , e4 ] = e1 + e2 , [ e3 , e4 ] = e2 + e3
,
A4, 5 : [ e1 , e4 ] = e1 , [ e2 , e4 ] = q e2
, [ e3 , e4 ] = p e3
, – 1 ≤ p ≤ q ≤ 1, p q ≠ 0,
A4, 6 : [ e1 , e4 ] = q e1 , [ e2 , e4 ] = p e2 – e3 , [ e3 , e4 ] = e2 + p e3
, q ≠ 0, p ≥ 0,
A4, 7 : [ e2 , e3 ] = e1 , [ e1 , e4 ] = 2e1
, [ e2 , e4 ] = e2 , [ e3 , e4 ] = e2 + e3
,
A4, 8 : [ e2 , e3 ] = e1 , [ e1 , e4 ] = ( 1 + q ) e1
, [ e2 , e4 ] = e2
, [ e3 , e4 ] = q e3
, | q | ≤ 1,
A4, 9 : [ e2 , e3 ] = e1 , [ e1 , e4 ] = 2qe1
, [ e2 , e4 ] = q e2 – e3
, [ e3 , e4 ] = e2 + q e3
, q ≥ 0,
A4, 10 : [ e1 , e3 ] = e1 , [ e2 , e3 ] = e2 , [ e1 , e4 ] = – e2
, [ e2 , e4 ] = e1
.
Alhebry Li, qki magt\ netryvial\nyj rozklad Levi, moΩna umovno rozbyty
na dva taki klasy:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
HRUPOVA KLASYFIKACIQ KVAZILINIJNYX RIVNQN| … 1541
1) alhebry, qki [ prqmog sumog napivprosto] S ta rozv’qzno] N alhebr Li
(rozkladni alhebry);
2) alhebry, qki ne rozkladagt\sq v prqmu sumu napivprosto] ta rozv’qzno]
alhebr Li (nerozkladni alhebry).
3.2.1. Invariantnist\ vidnosno rozkladnyx alhebr. Doslidymo isnuvannq
rivnqn\ vyhlqdu (1.1), alhebry invariantnosti qkyx magt\ strukturu S � N ,
tobto zadovol\nqgt\ spivvidnoßennq
[ S, S ] ⊂ S, [ N, N ] ⊂ N, [ S, N ] = 0. (3.5)
MoΩlyvi realizaci] napivprostyx alhebr S (faktora Levi) znajdeno v teoremax
3.1 i 3.2. Tomu z ohlqdu na umovu (3.5) zalyßa[t\sq opysaty v klasi operatoriv
(2.1) vsemoΩlyvi realizaci] rozv’qznyx alhebr N, qki b zadovol\nqly umovy
sformul\ovano] zadaçi.
Oskil\ky vypadky vsix realizacij alhebry S vyvçagt\sq analohiçno, rozhlq-
nemo detal\no vypadok, koly S zbiha[t\sq z realizaci[g so1
( 3 ). Perevirka
tret\o] umovy (3.5) pokazu[, wo operatory, qki moΩut\ skladaty bazys alhebr N,
naleΩat\ do klasu operatoriv
v = c ( u ) ∂u , c ≠ 0. (3.6)
Ale todi, vykorystovugçy peretvorennq
x = x, y = y, v = U ( u ), U = c d
u
− ( )∫ 1 ξ ξ ,
qki naleΩat\ do hrupy � i zberihagt\ vyhlqd bazysnyx operatoriv realizaci]
so1
( 3 ) nezminnym, baçymo, wo operator (3.6) [ ekvivalentnym operatoru (v
poçatkovyx poznaçennqx zminnyx)
ṽ = ∂u .
Rivnqnnq, invariantne vidnosno alhebry so1
( 3 ) � 〈 ∂u 〉, qk pokazu[ bezpose-
rednq perevirka, ma[ vyhlqd
∆ u = ch ˜− ( )2 yF ω , ω = ( + )u u yx y
2 2 2ch (3.7)
i mistyt\ dovil\nu funkcig vΩe odni[] zminno]. Tomu dlq podal\ßoho doslid-
Ωennq rivnqnnq (3.7) vykorystovu[mo standartnyj metod Li – Ovsqnnikova.
Pidstanovka pravo] çastyny rivnqnnq (3.7) u vyznaçal\ni rivnqnnq (2.2) pry-
vodyt\ do rivnostej
ay + bx = 0, ax – by = 0, cxu = c Fx
˜
ω , cyu = c Fy
˜
ω ,
(3.8)
( + ) + + [ − + ]c c y c c a b y Fxx yy uu u xch th ˜2 2 2ω = 2ω ω[ + − ]b y c a Fu xth ˜
.
Iz (3.8), zokrema, vyplyva[, wo u vypadku dovil\nyx znaçen\ funkci] F̃ alhebra
so1
( 3 ) � 〈 ∂u 〉 [ maksymal\nog alhebrog invariantnosti rivnqnnq (3.7). TakoΩ iz
(3.8) vydno, wo moΩlyvi rozßyrennq symetri] rivnqnnq (3.7) moΩut\ maty misce,
koly funkciq F̃ zadovol\nq[ zvyçajne dyferencial\ne rivnqnnq perßoho po-
rqdku:
λ ω λ λ ωω1 2 3
˜ ˜F F= + , λ1 , λ2 , λ3 ∈ R, | λ1 | + | λ2 | ≠ 0.
Podal\ßyj analiz moΩlyvyx znaçen\ funkci] F̃ ( F̃ ≠ 0 ) pokazav take.
Qkwo F̃ = λ ω + β, λ ≠ 0, λ, β ∈ R, to vidpovidne rivnqnnq vyhlqdu (1.1)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
1542 V. I. LAHNO, S. V. SPIÇAK
∆ u = λ β( + ) + −u u yx y
2 2 2ch
zaminog v = ± e
– λ
u
, v = v ( x, y ), zvodyt\sq do linijnoho rivnqnnq
∆ v = −
−λβvch 2 y ,
i zhidno z umovamy sformul\ovano] zadaçi z podal\ßoho rozhlqdu vyluça[t\sq.
Tomu z toçnistg do ekvivalentnosti v ramkax sformul\ovano] zadaçi isnu[
[dyna moΩlyvist\ rozßyrennq symetrijnyx vlastyvostej rivnqnnq (3.7), qkwo
F̃ = λ | ω | 1
/
2, λ ∈ R, λ ≠ 0.
Pry c\omu maksymal\nog alhebrog invariantnosti vidpovidnoho rivnqnnq vyh-
lqdu (1.1) [ taka p’qtyvymirna alhebra Li operatoriv symetri]: so1
( 3 ) � 〈 ∂u ,
u ∂u 〉. ZauvaΩymo, wo 〈 ∂u , u ∂u 〉 ∼ A2, 2
.
Provodqçy analohiçnyj rozhlqd reßty realizacij so2
( 3 ), sl1
( 2, R ), sl2
( 2,
R ), pryxodymo do takoho rezul\tatu.
V ramkax sformul\ovano] zadaçi z toçnistg do ekvivalentnosti isnugt\
ßist\ klasiv nelinijnyx rivnqn\ vyhlqdu (1.1) , maksymal\ni alhebry invariant-
nosti qkyx [ alhebramy Li operatoriv symetri] z netryvial\nym rozkladom Levi,
wo rozkladagt\sq v prqmu sumu faktora Levi ta rozv’qzno] alhebry Li. Pred-
stavnyky cyx klasiv rivnqn\ ta ]x maksymal\ni alhebry invariantnosti [ takymy:
1) ∆ u = ch ˜− ( )2 yF ω , ω = ( + )u u yx y
2 2 2ch : so1
( 3 ) � 〈 ∂u 〉;
2) ∆ u = ch ˜− ( )2 yF ω , ω = ( − ) +u y y u yx ych sh ch2 2 2
: so2
( 3 ) � 〈 ∂u 〉;
3) ∆ u = y F− ( )2 ˜ ω , ω = ( + )u u yx y
2 2 2
: sl1 ( 2, R ) � 〈 ∂u 〉;
4) ∆ u = y F− ( )2 ˜ ω , ω = 4 1 22 2 2y u yuy x+ ( − ) : sl2 ( 2, R ) � 〈 ∂u 〉;
5) ∆ u = λ ch− +1 2 2y u ux y , λ ≠ 0 : so1
( 3 ) � 〈 ∂u , u ∂u 〉;
6) ∆ u = λy u ux y
− +1 2 2 , λ ≠ 0 : sl1 ( 2, R ) � 〈 ∂u , u ∂u 〉.
ZauvaΩymo, wo u navedenyx vywe rivnqnnqx funkci] F̃ = F̃( )ω nabuvagt\
dovil\nyx znaçen\ i pry c\omu F̃ωω ≠ 0.
3.2.2. Invariantnist\ vidnosno nerozkladnyx alhebr. Tut my doslidΩu[mo
isnuvannq rivnqn\ vyhlqdu (1.1), alhebry invariantnosti qkyx magt\ strukturu
S ⊂+ N, tobto zadovol\nqgt\ spivvidnoßennq
[ S, S ] ⊂ S, [ N, N ] ⊂ N, [ S, N ] ⊂ N. (3.9)
U svo]x doslidΩennqx my vykorystovu[mo rezul\taty roboty [25], v qkij zdij-
sneno klasyfikacig alhebr Li, rozmirnosti qkyx ne perevywugt\ 8 i faktor
Levi qkyx zbiha[t\sq z alhebramy so ( 3 ) ta sl ( 2, R ).
Oskil\ky vypadky vsix naqvnyx faktoriv Levi rozhlqdagt\sq analohiçno,
detal\no rozhlqnemo lyße vypadok, koly S = sl1 ( 2, R ).
Zhidno z klasyfikaci[g [25], sered alhebr (3.9), de S = sl ( 2, R ) = 〈 e1 , e2 , e3 〉
najnyΩçu rozmirnist\ 5 ma[ alhebra sl ( 2, R ) ⊂+ A2, 1
, de A2, 1 = 〈 e4 , e5 〉, i vyko-
nugt\sq komutacijni spivvidnoßennq, qki zv’qzugt\ bazysni elementy alhebr
sl ( 2, R ) i A2, 1:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
HRUPOVA KLASYFIKACIQ KVAZILINIJNYX RIVNQN| … 1543
[ e1 , e4 ] = e4 , [ e2 , e5 ] = e4 , [ e3 , e4 ] = e5 , [ e1 , e5 ] = – e5 . (3.10)
Ale bezposerednq perevirka komutacijnyx spivvidnoßen\ (3.10) dlq bazysnyx
operatoriv realizaci] sl1 ( 2, R ) i operatoriv e4 , e5 vyhlqdu (2.1) pokazu[, wo v
ramkax sformul\ovano] zadaçi ne isnugt\ realizaci] alhebry sl ( 2, R ) ⊂+ A2, 1
.
Nastupnu rozmirnist\ 6 magt\ try alhebry: sl ( 2, R ) ⊂+ A3, 3
, sl ( 2, R ) ⊂+ A3, 5
,
sl ( 2, R ) ⊂+ A3, 1
, pry c\omu vykonugt\sq taki spivvidnoßennq: A3, 3 = 〈 e6 , e4 , e5 〉,
A3, 5 = 〈 e4 , e5 , e6 〉, A3, 1 = 〈 e4 , e5 , e6 〉.
Oskil\ky nenul\ovi komutacijni spivvidnoßennq, qki zv’qzugt\ bazysni ele-
menty alhebr sl ( 2, R ) i A3, 3
, sl ( 2, R ) i A3, 5
, zbihagt\sq zi spivvidnoßennqmy
(3.10), to, zhidno z otrymanym vywe rezul\tatom, moΩna zrobyty vysnovok, wo v
ramkax sformul\ovano] zadaçi dlq realizaci] sl1 ( 2, R ) ne isnugt\ rozßyrennq
do realizacij alhebr sl ( 2, R ) ⊂+ A3, 3
, sl ( 2, R ) ⊂+ A3, 5
.
Dlq alhebry sl ( 2, R ) ⊂+ A3, 1 vidpovidni komutacijni spivvidnoßennq magt\
vyhlqd
[ e1 , e4 ] = 2e4 , [ e2 , e5 ] = 2e4 , [ e3 , e4 ] = e5 ,
[ e1 , e6 ] = – 2e6 , [ e2 , e6 ] = e5 , [ e3 , e5 ] = 2e6 .
Bezposeredni obçyslennq pokazaly, wo dlq realizaci] sl1
( 2, R ) isnu[ rozßy-
rennq do realizaci] alhebry sl ( 2, R ) ⊂+ A3, 1
, de bazysni elementy alhebry A3, 1 z
toçnistg do ekvivalentnosti zbihagt\sq z operatoramy
e4 = y x y u
− ( + )∂1 2 2 , e5 = 2 1x y u
− ∂ , e6 = y u
− ∂1
,
ale vidpovidne invariantne rivnqnnq vyhlqdu (1.1)
∆ u = 2 2 2y u y− −+ λ , λ ∈ R,
[ linijnym, a tomu ne zadovol\nq[ umovy sformul\ovano] zadaçi.
Rozhlqd alhebr Li rozmirnosti 7: sl ( 2, R ) ⊂+ A4, 5 , q = 1 , sl ( 2, R ) ⊂+ A4, 8 , q =
= 1 , sl ( 2, R ) ⊂+ A4, 5 , p = q = 1, sl ( 2, R ) ⊂+ 4A1 pryviv do analohiçnoho rezul\-
tatu.
Vidpovidni doslidΩennq dlq alhebr sl ( 2, R ) ⊂+ N rozmirnostej 5, 6 i 7 u vy-
padku, koly sl ( 2, R ) zbiha[t\sq z realizaci[g sl2 ( 2, R ), pokazaly take. Vyko-
nannq komutacijnyx spivvidnoßen\ (3.10) pryvodyt\ do isnuvannq (z toçnistg do
ekvivalentnosti) operatoriv
e4 = x y u y y u u
− −−( )∂1 2 1 2/ /cos sin , e5 = y u u
− ∂1 2/ cos ,
ale todi, qkwo isnu[ vidpovidne invariantne rivnqnnq vyhlqdu (1.1), to vono bude
invariantnym i vidnosno operatora
ṽ = [ e4 , e5 ] = ε ∂u ,
de ε = 1 dlq y > 0 i ε = – 1 dlq y < 0. Zvidsy vyplyva[, wo v invariantnomu
rivnqnni
F = y F− ( )2 ˜ ω , ω = 4 1 22 2 2y u yuy x+ ( − ) .
Ale podal\ßa vymoha invariantnosti c\oho rivnqnnq, napryklad, vidnosno ope-
ratora e5 pryvodyt\ do nesumisnyx umov dlq vyznaçennq moΩlyvyx znaçen\
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
1544 V. I. LAHNO, S. V. SPIÇAK
funkci] F̃ . TakoΩ bezposeredni obçyslennq pokazaly, wo z toçnistg do ekvi-
valentnosti isnu[ realizaciq
sl ( 2, R ) ⊂+ 〈 〉( + )∂ ∂ ∂x y xu u u
2 2 2, ,
alhebry sl ( 2, R ) ⊂+ A3, 1 , qka teΩ ne moΩe buty alhebrog invariantnosti vyhlq-
du (1.1).
V inßyx vypadkax realizaci] alhebr sl ( 2, R ) ⊂+ N rozmirnostej 6 i 7, de sl ( 2,
R ) zbiha[t\sq z realizaci[g sl2 ( 2, R ), ne isnugt\.
Dlq alhebr so ( 3 ) ⊂+ N my provely doslidΩennq do rozmirnosti 8 vklgçno i
otrymaly analohiçnyj rezul\tat: ne isnugt\ nelinijni rivnqnnq vyhlqdu (1.1),
alhebry invariantnosti qkyx izomorfni alhebram Li operatoriv symetri] tako]
struktury.
4. Obhovorennq rezul\tativ. Zhidno z rezul\tatamy tret\oho punktu robo-
ty, sered rivnqn\ vyhlqdu (1.1) v ramkax sformul\ovano] zadaçi, isnugt\ ßist\
neekvivalentnyx rivnqn\, çotyry z qkyx dopuskagt\ çotyryvymirni maksymal\ni
alhebry invariantnosti, a dva — p’qtyvymirni alhebry invariantnosti. Vynyka[
pryrodne zapytannq: çy moΩna stverdΩuvaty, wo nelinijni rivnqnnq doslidΩu-
vanoho vyhlqdu, alhebry invariantnosti qkyx izomorfni alhebram Li z netryvi-
al\nym rozkladom Levi, vyçerpugt\sq same cymy rivnqnnqmy? Poky wo stverd-
nu vidpovid\ my moΩemo daty wodo rivnqn\, alhebry invariantnosti qkyx rozkla-
dagt\sq v prqmu sumu faktora Levi ta rozv’qzno] alhebry Li. Wodo invariant-
nosti vidnosno nerozkladnyx alhebr Li operatoriv symetri] my otryma[mo povnu
vidpovid\ pislq toho, qk provedemo hrupovu klasyfikacig rivnqn\, alhebry inva-
riantnosti qkyx [ rozv’qznymy alhebramy Li operatoriv symetri]. Cg zadaçu my
rozhlqnemo v druhij çastyni roboty.
Zupynymosq takoΩ na pytanni vykorystannq otrymanyx rezul\tativ hrupovo]
klasyfikaci] rivnqnnq (1.1) dlq pobudovy novyx, we ne vidomyx, kvazilinijnyx
rivnqn\ hiperboliçnoho typu z vysokymy symetrijnymy vlastyvostqmy. Vidomo
(dyv., napryklad, [14]), wo z toçky zoru lokal\no] analityçno] teori] u vypadku
analityçnyx funkcij, qki vxodqt\ v rivnqnnq, eliptyçna normal\na forma ekvi-
valentna hiperboliçnij. Vidpovidne peretvorennq ekvivalentnosti zdijsng[t\sq
ßlqxom vyxodu v oblast\ kompleksnyx znaçen\ nezaleΩnyx zminnyx za for-
mulamy
x = x + i y, y = x – i y, i2 = – 1.
V rezul\tati c\oho peretvorennq rivnqnnq (1.1) perexodyt\ u rivnqnnq
4u F x y u u ux y x y= ( )˜ , , , , , (4.1)
qke [ rivnqnnqm hiperboliçnoho typu.
Hrupova klasyfikaciq kvazilinijnyx rivnqn\ hiperboliçnoho typu (v dijsnyj
oblasti) bula predmetom doslidΩennq bahat\ox robit (dyv., napryklad, [26 – 28]
ta navedenu tam bibliohrafig). Ale navit\ najbil\ß zahal\ne rivnqnnq, wo dos-
lidΩuvalosq v statti [28], [ ekvivalentnym rivnqnng (4.1), v qkomu F̃x = 0.
Tomu rezul\taty hrupovo] klasyfikaci] rivnqnnq (1.1) moΩna vykorystaty i dlq
pobudovy novyx kvazilinijnyx rivnqn\ hiperboliçnoho typu z vysokymy symetrij-
nymy vlastyvostqmy. Napryklad, peretvorene sl1 ( 2, R ) � 〈 ∂u 〉-invariantne riv-
nqnnq (dyv. pp. 3.2.1) ma[ vyhlqd
4 2u x y Fx y = ( − ) ( )− ˜ ω , ω = ( − )−x y u ux y
2
,
j invariantne vidnosno alhebry sl ( 2, R ) � 〈 ∂u 〉, de
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
HRUPOVA KLASYFIKACIQ KVAZILINIJNYX RIVNQN| … 1545
sl ( 2, R ) = 〈 ∂ + ∂ − ∂ − ∂ ∂ + ∂ 〉2 2 2 2x y x yx y x y x y, , .
1. Maslov V. P., Danylov V. H., Volosov K. A. Matematyçeskoe modelyrovanye processov tep-
lomassoperenosa. – M.: Nauka, 1987. – 352 s.
2. Frank-Kameneckyj D. A. Dyffuzyq y teploperedaça v xymyçeskoj texnolohyy. – M.: Nau-
ka, 1987. – 502 s.
3. Andreev V. K., Kapcov O. V., Puxnaçev V. V., Rodyonov A. A. Prymenenye teoretyko-hruppo-
v¥x metodov v hydrodynamyke. – Novosybyrsk: Nauka, 1994. – 319 s.
4. Shercliff J. A. Simple rotational flows // J. Fluid Mech. – 1977. – 82, # 4. – P. 687 – 703.
5. Rosen G. Dilatation covariance and exact solutions in local relativistic field theories // Phys. Rev. –
1969. – 183. – P. 1186 – 1191.
6. Arystov S. N. Peryodyçeskye y lokalyzovann¥e toçn¥e reßenyq uravnenyq ht = ∆ ln h //
Prykl. mexanyka y texn. fyzyka. – 1999. – 40, # 1. – S. 22 – 26.
7. Vekua Y. N. Zameçanyq o svojstvax reßenyj uravnenyq ∆ u = – k e2 u
// Syb. mat. Ωurn. –
1960. – 1, v¥p. 3. – S. 331 – 342.
8. Sabytov Y. X. O reßenyqx uravnenyq ∆ u = f ( x, y ) ecu
v nekotor¥x specyal\n¥x sluçaqx //
Mat. sb. – 2001. – 192, # 6. – S. 89 – 104.
9. Bullaf R., Kodry F. Solyton¥. – M.: Myr, 1983. – 408 s.
10. Ting A. S., Cheb H. H., Lee Y. C. Exact solutions of a nonlinear boundary value problem: the
vortices of the two-dimensional sinh-Poisson equation // Physica D. – 1987. – 14. – P. 37 – 66.
11. Zajcev V. F., Polqnyn A. D. Spravoçnyk po dyfferencyal\n¥m uravnenyqm s çastn¥my
proyzvodn¥my: Toçn¥e reßenyq. – M.: MeΩdunar. prohramma obrazovanyq, 1996. – 496 s.
12. Polqnyn A. D., Vqz\myn A. V., Ûurov A. Y., Kazenyn D. A. Spravoçnyk po toçn¥m reßenyqm
uravnenyj teplo- y massoperenosa. – M.: Faktoryal, 1998. – 368 s.
13. Polqnyn A. D., Zajcev V. F. Spravoçnyk po nelynejn¥m uravnenyqm matematyçeskoj fyzy-
ky: Toçn¥e reßenyq. – M.: Fyzmatlyt, 2002. – 432 s.
14. Ovsqnnykov L. V. Hruppovoj analyz dyfferencyal\n¥x uravnenyj. – M.: Nauka, 1978. –
400 s.
15. Olver P. PryloΩenyq hrupp Ly k dyfferencyal\n¥m uravnenyqm. – M.: Myr, 1989. –
639Ns.
16. Fuwyç V. Y., Ítelen\ V. M., Serov N. Y. Symmetryjn¥j analyz y toçn¥e reßenyq nely-
nejn¥x uravnenyj matematyçeskoj fyzyky. – Kyev: Nauk. dumka, 1989. – 336 s.
17. Ovsqnnykov L. V. Hruppov¥e svojstva uravnenyj nelynejnoj teploprovodnosty // Dokl.
AN SSSR. – 1959. – 125, # 3. – S.492 – 495.
18. CRC handbook of Lie group analysis of differential equations. Vol. 1 / Ed. N. H. Ibragimov. –
Boca Raton: CRC Press, 1994. – 429 p.
19. Zhdanov R. Z., Lahno V. I. Group classification of heat conductivity equations with a nonlinear
source // J. Phys. A: Math. and Gen. – 1999. – 32. – P. 7405 – 7418.
20. Basarab-Horwath P., Lahno V., Zhdanov R. The structure of Lie algebras and the classification
problem for partial differential equations // Acta Appl. Math. – 2001. – 69, # 1. – P. 43 – 94.
21. Lahno V. Y., Spyçak S. V., Stohnyj V. Y. Symmetryjn¥j analyz uravnenyj πvolgcyonnoho
typa. – Moskva; YΩevsk: Yn-t komp\gter. yssled., 2004. – 392 s.
22. Barut A., Ronçka R. Teoryq predstavlenyj hrupp y ee pryloΩenyq: V 2 t. – M.: Myr, 1980. –
T. 1. – 456 s.
23. Mubarqkzanov H. M. O razreßym¥x alhebrax Ly // Yzv. vuzov. Matematyka. – 1963. –
#N1(32). – S. 114 – 123.
24. Patera J., Winternitz P. Subalgebras of real three- and four-dimensional Lie algebras // J. Math.
Phys. – 1977. – 18, # 7. – P. 1449 – 1455.
25. Turkowski P. Low-dimensional real Lie algebras // Ibid. – 1988. – 29. – P. 2139 – 2144.
26. Lahno V., Mahda O., Ûdanov R. Pro invariantnist\ kvazilinijnyx rivnqn\ hiperboliçnoho ty-
pu vidnosno tryvymirnyx alhebr Li // Pr. In-tu matematyky NAN Ukra]ny: Hrupovi ta anali-
tyçni metody v matematyçnij fizyci. – 2001. – 36, v¥p. 3. – S. 136 – 158.
27. Mahda O. V. Çotyryvymirni alhebry Li ta toçni rozv’qzky kvazilinijnyx rivnqn\ hiperboliç-
noho typu // Visn. Ky]v. un-tu. Ser. fiz.-mat. nauky. – 2002. – # 4. – S. 89 – 101.
28. Lahno V., Zhdanov R. Group classification of nonlinear wave equations // J. Math. Phys. – 2005. –
46, # 5. – P. 1 – 37.
OderΩano 22.03.06,
pislq doopracgvannq — 17.07.06
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
|
| id | umjimathkievua-article-3409 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:42:00Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/56/ab0e0b994392c84345f23dbd106e1356.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34092020-03-18T19:53:28Z Group classification of quasilinear elliptic-type equations. I. Invariance with respect to Lie algebras with nontrivial Levi decomposition Групова класифікація квазілінійних рівнянь еліптичного типу. I. Інваріантність відносно алгебр Лі з нетривіальним розкладом Леві Lahno, V. I. Spichak, S. V. Лато, В. І. Спічак, С. В. The problem of group classification of quasilinear elliptic-type equations in the two-dimensional space is considered. The list of all equations of this sort is obtained, which admit the semisimple Lie algebras of symmetry operators and the Lie algebras of symmetry operators with nontrivial Levi decomposition. Рассматривается задача групповой классификации квазилинейных уравнений эллиптического типа в двумерном пространстве. Получены перечни всех уравнений этого класса, допускающих полупростые алгебры Ли операторов симметрии и алгебр Ли операторов симметрии с нетривиальным разложением Леви. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3409 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 11 (2007); 1532–1545 Український математичний журнал; Том 59 № 11 (2007); 1532–1545 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3409/3561 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3409/3562 Copyright (c) 2007 Lahno V. I.; Spichak S. V. |
| spellingShingle | Lahno, V. I. Spichak, S. V. Лато, В. І. Спічак, С. В. Group classification of quasilinear elliptic-type equations. I. Invariance with respect to Lie algebras with nontrivial Levi decomposition |
| title | Group classification of quasilinear elliptic-type equations. I. Invariance with respect to Lie algebras with nontrivial Levi decomposition |
| title_alt | Групова класифікація квазілінійних рівнянь еліптичного типу. I. Інваріантність відносно алгебр Лі з нетривіальним розкладом Леві |
| title_full | Group classification of quasilinear elliptic-type equations. I. Invariance with respect to Lie algebras with nontrivial Levi decomposition |
| title_fullStr | Group classification of quasilinear elliptic-type equations. I. Invariance with respect to Lie algebras with nontrivial Levi decomposition |
| title_full_unstemmed | Group classification of quasilinear elliptic-type equations. I. Invariance with respect to Lie algebras with nontrivial Levi decomposition |
| title_short | Group classification of quasilinear elliptic-type equations. I. Invariance with respect to Lie algebras with nontrivial Levi decomposition |
| title_sort | group classification of quasilinear elliptic-type equations. i. invariance with respect to lie algebras with nontrivial levi decomposition |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3409 |
| work_keys_str_mv | AT lahnovi groupclassificationofquasilinearelliptictypeequationsiinvariancewithrespecttoliealgebraswithnontriviallevidecomposition AT spichaksv groupclassificationofquasilinearelliptictypeequationsiinvariancewithrespecttoliealgebraswithnontriviallevidecomposition AT latoví groupclassificationofquasilinearelliptictypeequationsiinvariancewithrespecttoliealgebraswithnontriviallevidecomposition AT spíčaksv groupclassificationofquasilinearelliptictypeequationsiinvariancewithrespecttoliealgebraswithnontriviallevidecomposition AT lahnovi grupovaklasifíkacíâkvazílíníjnihrívnânʹelíptičnogotipuiínvaríantnístʹvídnosnoalgebrlíznetrivíalʹnimrozkladomleví AT spichaksv grupovaklasifíkacíâkvazílíníjnihrívnânʹelíptičnogotipuiínvaríantnístʹvídnosnoalgebrlíznetrivíalʹnimrozkladomleví AT latoví grupovaklasifíkacíâkvazílíníjnihrívnânʹelíptičnogotipuiínvaríantnístʹvídnosnoalgebrlíznetrivíalʹnimrozkladomleví AT spíčaksv grupovaklasifíkacíâkvazílíníjnihrívnânʹelíptičnogotipuiínvaríantnístʹvídnosnoalgebrlíznetrivíalʹnimrozkladomleví |